Transform at A Wavelet

8/8/2019 Transform at A Wavelet

http://slidepdf.com/reader/full/transform-at-a-wavelet 1/7

TTR R AANNSSFFOOR R MMAATTAA WWAAVVEELLEETT

VVEER R SSUUSS OOPPEER R AATTOOR R II CCLLAASSIICCII

PPEENNTTR R UU DDEETTEECCŢŢIIAA MMUUCCHHIIIILLOOR R

Asist.univ. R OMANA OANCEA

Abstract

Depending on the type of image and on the purpose of its utilization, there are moretechniques for the edge detection. This study, presents two modalities of edge detection: onebased on gradient operators and the another one based on wavelet transform. The edgedetection using gradient operators actually means the convolution of the image with apredefined mask, and the use of the wavelet transform implies the decomposition of eachoperator in orthogonal wavelet functions.

1. Operatori clasici pentru detecţia muchiilor

Frontierele sunt zone din imagine caracterizate prin variaţii bruşte aleintensităţii. Detecţia muchiilor este o problemă fundamentală în prelucrarea imaginilor, deoarece permite extragerea informaţiei utile dintr-o imagine, informaţie necesar ă în analiza imaginilor. Detecţia frontierelor în imagini se bazează pe operatori care aproximează în planul discretgradientul sau laplacian-ul imaginii.

Vectorul gradient reprezintă direcţia şi mărimea variaţiei maxime deintensitate într-un punct al unei imagini şi este definit în funcţie dederivatele par ţiale ale funcţiei imagine. Dacă notăm f(x, y) imaginea,atunci vectorul gradient este:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∇

y

) y , x( f x

) y , x( f

) y , x( f (1)

Fie ) y , x( f

D x ∂∂

= şi, y

) y , x( f D y ∂

∂= , atunci ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

Dy

D

y

) y , x( f

x ) y , x( f

x

Operatorii gradient uzuali sunt Roberts (cruce), Sobel şi Prewitt şisunt definiţi pentru imagini cu mai multe niveluri de gri, dar utilizarea lor poate fi extinsă şi la imagini color. În cazul imaginilor color, o modalitatede aplicare a operatorilor gradient este descompunerea imaginii în cele treispaţii de culoare fundamentale (R, G, B) iar apoi aplicarea, pentru fiecarespaţiu, unui operator de detecţie de frontier ă.



Operatorul Laplacian, care detectează tranziţiile bruşte de intensitatedin imagine, cere mai puţin calcule. El este definit în funcţie de derivatele par ţiale de ordinul 2:

2

2

2

22

y

) y , x( f

x

) y , x( f ) y , x( f

∂

∂+

∂

∂=∇ (2)

Derivatele par ţiale de ordinul 2, de-a lungul direcţiilor x şi y, suntaproximate prin diferenţe finite astfel:

22

2

)(

)),(),(()),(),((

x

y x x f y x f y x f y x x f

x

f

Δ

Δ−−−−Δ+=

∂

∂

(3)

22

2

)(

)),(),(()),(),((

y

y y x f y x f y x f y y x f

y

f

Δ

Δ−−−−Δ+=

∂

∂

Fig. nr. 1a Imaginea original ă

Fig. nr. 1b Operatorul Sobel Fig. nr. 1c Operatorul Prewitt

Fig. nr. 1d Operatorul Roberts Fig. nr. 1e Operatorul Canny

2. Utilizarea transformatei wavelet la detecţia muchiilor

În cazul în care imaginea este afectată de zgomot operatorii clasici nu pot face diferenţă între un pixel afectat de zgomot, şi un pixel ce apar ţine

unei muchii şi pot scă pa pixeli de muchie. Pentru a rezolva această problemă se poate utiliza transformata wavelet. În fapt, fiecare operator poate fi descris ca un model discret de funcţii wavelet ortogonale.

Op Sobel Op prewitt

Op roberts Op CannyDeviatia standard=0.043655



Operatorul Sobel poate fi descris ca model discret de următoarelefuncţii wavelet ortogonale:

21

22 y x

xe ) y , x(

+−

−=ψ (4)

22

22 y x

ye ) y , x(

+−

−=ψ Operatorul Prewitt poate fi descris ca model discret de două funcţiiwavelet Haar ortogonale:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−<≤

≤≤−<≤−−

=ψ

altfel ,

, y , , , x ,

, y , , x , ,

) y , x(

0

51515101

51510511

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤−<≤

≤≤−<≤−−

=ψ

altfel ,

, x , , , y ,

, x , , y , ,

) y , x(

0

51515101

51510511

2

Operatorul Roberts poate fi descris ca două funcţii waveletortogonale:

21

22 y x

e ) x y( ) y , x(

+−

−=ψ

22

22 y x

e ) y x( ) y , x(

+−

+=ψ În cazul în care imaginea nu este afectată de zgomot, rezultatele

comparative obţinute sunt mai bune pentru detecţia muchiilor utilizândoperatorul Sobel. Utilizarea funcţiilor wavelet ortogonale la detecţiacontururilor necesită şi o subţiere de contur ulterioar ă.

Fig. nr. 2a Imaginea ini ţ ial ă Fig. nr. 2b Descompunerea operatorului

Sobel în func ţ ii wavelet ortogonale(scala N = 10)

(5)

(6)



Fig. nr. 2c Descompunereaoperatorului Sobel în func ţ ii wavelet

ortogonale (scala N = 20)

Fig. nr. 2d Descompunerea operatoruluiSobel în func ţ ii wavelet ortogonale

(N = 30)

Fig. nr. 2e Descompunerea

operatorului Prewitt în func ţ ii wavelet

ortogonale (N = 10)

Fig. nr. 2f Descompunerea operatorului

Prewitt în func ţ ii wavelet ortogonale

(scala N = 20)

Fig. nr. 2g Descompunereaoperatorului Prewitt în func ţ ii wavelet

ortogonale (N = 30)

Fig. nr. 2h Descompunerea operatorului Roberts în func ţ ii wavelet ortogonale

(N = 10)

Fig. nr. 2i Descompunereaoperatorului Roberts în func ţ iiwavelet ortogonale (N = 20)

Fig. nr. 2j Descompunerea operatorului Roberts în func ţ ii wavelet ortogonale

(N = 30)

Pentru o imagine afectată de zgomot, operatorii clasici (figura nr. 3c)nu pot face diferenţa între zgomotul din imagine şi muchie, astfel că rezultate bune s-au obţinut în urma descompunerii operatorilor clasici înfuncţii wavelet ortogonale (figura nr. 3 b-e).



Fig. nr. 3a Imaginea ini ţ ial ă ; SNR = 10 dB

Fig. nr. 3b Operator Sobel clasic Fig. nr. 3c. Descompunereaoperatorului Sobel în func ţ ii wavelet

ortogonale (N = 10)

Fig. 3d. Descompunerea operatoruluiSobel în func ţ ii wavelet ortogonale

(N = 20)

Fig. 3e. Descompunerea operatoruluiSobel în func ţ ii wavelet ortogonale

(N = 30)

3. Rezultate şi concluzii

Calitatea contururilor identificate cu ajutorul operatorilor clasici, pentru o imagine cu tonuri de gri, este dependentă de spectrul imaginii. Cucât spectrul e mai larg, cu atât contururile sunt mai slabe. În primul caz,

pentru baboon, rezultate sensibil mai bune s-au obţinut cu operatorul Sobel(figura nr. 4a), în cazul al doilea, pentru lena, operatorul Roberts a datrezultate mai bune (figura nr. 4b).



Original Image

Roberts Operator

Standard deviation=0.04647

Sobel Operator


Prewitt Operator


Original Image

Roberts Operator


Sobel OperatorStandard deviation=0.081287

Prewitt OperatorStandard deviation=0.080756

Fig. nr. 4a Imagine cu spectru larg Fig. nr. 4b Imagine cu spectru mai îngust

Pentru imaginile afectate de zgomot, indiferent de lărgimea spectrului,operatorii clasici nu deosebesc zgomotul de contur astfel că, pentrudetecţia conturului, fiecare operator trebuie descris ca un model discret defuncţii wavelet ortogonale. Pe de altă parte, în funcţie de nivelul de zgomottrebuie aplicată transformata wavelet la diverse niveluri de rezoluţii. Cucât SNR (Signal to Noise Ration) este mai mic, cu atât trebuie utilizate maimulte niveluri de descompunere.

Fig. nr. 5a. Imaginea original ă ; SNR = 19 dB

Fig. nr. 5b. Operatorul Sobel

clasic

Fig. nr. 5c. Operatorul Sobel

(scala N = 10)p wavelet prewitt =1



Fig. nr. 5d. Operatorul

Prewitt clasic

Fig. nr. 5e. Operatorul Prewitt

(scala N = 10)l r r

Fig. nr. 5f. Operatorul

Roberts clasic

Fig. nr. 5g. Operatorul Roberts

(scala N = 10)

Imagine original ă ; SNR = 10 dB

Operatorul Sobel (N = 30) Operatorul Sobel (N = 10)

Operatorul Sobel (N = 30)

BIBLIOGRAFIE [1] Li, Jun, A Wavelet Approach to Edge Detection, Thesis for the Degree of Master

of Science, Huntsville, Texas, August, 2003[2] Vertan, C., Ciuc, M., Zamfir, M., Analiza imaginilor , Bucureşti, Editura Printech,

2001[3] Vlaicu, A., Prelucrarea digital ă a imaginilor , Cluj-Napoca, Editura Albastr ă, 1997

Documents

Transform at A Wavelet