Transferencia de Calor y Masa - Cengel 3th - 8 Convección Interna Forzada

451

CONVECCIN INTERNA FORZADA

En las aplicaciones de calentamiento y enfriamiento, es comn el uso delflujo de lquido o gas a travs de tubos y ductos. En ellas, se fuerza al flui-do a desplazarse por medio de un ventilador o bomba por un tramo detubo o ducto que es suficientemente largo como para realizar la transferenciadeseada de calor. En este captulo, se pone atencin particular en la determi-nacin del factor de friccin y del coeficiente de conveccin, ya que estn rela-cionados en forma directa con la cada de presin y con la razn de latransferencia de calor, respectivamente. As, estas cantidades son usadas paradeterminar la necesidad de potencia de bombeo y la longitud requerida del tubo.

Se tiene una diferencia fundamental entre los flujos interno y externo. En elflujo externo, considerado en el captulo 7, el fluido tiene una superficie librey, como consecuencia, la capa lmite sobre la superficie del cuerpo slidopuede crecer en forma indefinida. Sin embargo, en el flujo interno, el fluidoest confinado por completo por las superficies interiores del tubo y, por con-siguiente, existe un lmite en el crecimiento posible de la capa lmite.

Se inicia este captulo con una descripcin fsica general del flujo interno,as como de la velocidad promedio y la temperatura promedio. Se continacon la discusin de las longitudes de entrada, hidrodinmica y trmica, elflujo en desarrollo y el flujo completamente desarrollado. A continuacin, seobtienen los perfiles de velocidad y temperatura para el flujo laminar comple-tamente desarrollado y se desarrollan relaciones para el factor de friccin y elnmero de Nusselt. Por ltimo, se presentan relaciones empricas para los flu-jos en desarrollo y completamente desarrollado, y se demuestra su aplicacin.

OBJETIVOS

Cuando el lector termine de estudiar este captulo, debe ser capaz de:

Obtener la velocidad promedio a partir de un conocimiento del perfil de velocidad, ascomo la temperatura promedio a partir de un conocimiento del perfil de temperatura,en el flujo interno

Tener una comprensin visual de las diferentes regiones del flujo, en el flujo interno: lasregiones de entrada y de flujo completamente desarrollado; asimismo, calcular las lon-gitudes de entrada hidrodinmica y trmica

Analizar el calentamiento y el enfriamiento de un fluido que se desplaza en un tubo, encondiciones de temperatura de superficie constante y de flujo constante de calor en lasuperficie, as como trabajar con la diferencia media logartmica de temperatura

Obtener relaciones analticas para el perfil de velocidad, la cada de presin, el factorde friccin y el nmero de Nusselt, en el flujo laminar completamente desarrollado, y

Determinar el factor de friccin y el nmero de Nusselt en el flujo turbulento completa-mente desarrollado, con la aplicacin de relaciones empricas, y calcular la cada depresin y la razn de la transferencia de calor.

8CONTENIDO

8-1 Introduccin 452

8-2 Velocidad y temperaturapromedios 453

8-3 La regin de entrada 455

8-4 Anlisis trmico general 458

8-5 Flujo laminar en tubos 463

8-6 Flujo turbulento en tubos 473

Tema de inters especial:

Flujo de transicin en tubos 482

Resumen 490

Bibliografa y lecturassugeridas 491

Problemas 492

CAPTULO

Cengel_08A.qxd 1/3/07 8:56 AM Page 451

8-1 INTRODUCCINLos trminos tubo, ducto y conducto suelen usarse en forma intercambiablepara los tramos de flujo. En general, los tramos de flujo de seccin transversalcircular son nombrados tubos (en especial cuando el fluido es un lquido), ylos tramos de flujo de seccin transversal no circular, ductos (en especialcuando el fluido es un gas).*

Es probable que el lector haya advertido que la mayor parte de los fluidos, enespecial los lquidos, se transportan en tubos circulares. Esto se debe a que lostubos con una seccin transversal circular pueden soportar grandes diferenciasde presin de adentro y de afuera del tubo, sin sufrir una distorsin significativa.Los tubos no circulares suelen ser usados en aplicaciones como los sistemas decalefaccin y enfriamiento de los edificios, en donde la diferencia de presin esrelativamente pequea, los costos de fabricacin e instalacin son ms bajos yel espacio del que se dispone para la revisin y reparacin del ducto es limitado(figura 8-1). Para un rea superficial fija, el tubo circular da la mayor transfe-rencia de calor para la cada de presin ms baja, lo cual explica la abrumadorapopularidad de los tubos circulares en los equipos de transferencia de calor.

Aunque la teora del flujo de fluidos est comprendida razonablementebien, soluciones tericas slo son obtenidas para unos cuantos casos sencillos,como el de un flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular.Por lo tanto, para la mayor parte de los fluidos se debe buscar apoyo en resul-tados experimentales y relaciones empricas, y no en soluciones analticas quepermitan conocer todas las variables desconocidas a base de las variablesdadas. Al advertir que los resultados experimentales son obtenidos en condi-ciones de laboratorio controladas de manera cuidadosa y que no hay dos sis-temas que sean exactamente semejantes, no se debe ser tan ingenuo como paraver los resultados obtenidos como exactos. Un error de 10% (o ms) en losfactores de friccin calculados con la aplicacin de las relaciones dadas eneste captulo es la norma, en lugar de la excepcin.

La velocidad del fluido en un tubo cambia de cero en la superficie, debido ala condicin de no deslizamiento, hasta un mximo en el centro del mismo. Enel flujo de fluidos, resulta conveniente trabajar con una velocidad promedio,Vprom, la cual se mantiene constante en el flujo incompresible, cuando el rea dela seccin transversal del tubo es constante (figura 8-2). La velocidad promedioen las aplicaciones de calefaccin y enfriamiento puede cambiar un tanto en vir-tud de las modificaciones en la densidad debidos a la temperatura. Pero, en laprctica, se evalan las propiedades del fluido a alguna temperatura promedio yse les trata como constantes. La conveniencia de trabajar con propiedades cons-tantes por lo general justifica suficientemente la ligera prdida en exactitud.

Asimismo, la friccin entre las partculas del fluido en un tubo en realidadcausa un ligero aumento en la temperatura del propio fluido, como resultadode la energa mecnica que se est convirtiendo en energa trmica sensible.Pero esta elevacin de la temperatura debido al calentamiento por friccinsuele ser demasiado pequea para garantizar alguna consideracin en losclculos y, como consecuencia, se descarta. Por ejemplo, en ausencia decualquier transferencia de calor, no se puede detectar una diferencia notableentre las temperaturas de entrada y de salida de agua que fluya en un tubo. Laconsecuencia principal de la friccin en el flujo de fluidos es la cada de pre-sin, por lo que cualquier cambio significativo de temperatura en el fluido se

452TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

Tubo circular

Ducto rectangular

Agua50 atm

Aire 1.2 atm

FIGURA 8-1Los tubos circulares pueden soportargrandes diferencias de presin entre elinterior y el exterior sin sufrir distorsin,pero los tubos no circulares no.

FIGURA 8-2La velocidad promedio Vprom se definecomo la magnitud promedio de lavelocidad a travs de una seccintransversal. Para el flujo laminarcompletamente desarrollado en tubos,Vprom es la mitad de la velocidadmxima.

Vprom

*Nota del RT: Al traducir del ingls al espaol las palabras pipe y tube se utiliza el vocablotubo; sin embargo los tubos de dimetro pequeo comnmente son llamados tubes,mientras que a los tubos de mayores dimetros se conocen como pipes. Dada estaincertidumbre, en esta obra se usarn frases ms descriptivas (como un tubo circular o unducto rectangular) siempre que sea necesario, a fin de evitar cualquier malentendido.


CAPTULO 8453

debe a transferencia de calor. Pero se debe considerar el calentamiento porfriccin para los flujos en los que intervienen fluidos intensamente viscososcon gradientes grandes de velocidad.

8-2 VELOCIDAD Y TEMPERATURA PROMEDIOSEn el flujo externo, la velocidad de la corriente libre sirvi como una veloci-dad de referencia conveniente para usarse en la evaluacin del nmero deReynolds y el coeficiente de friccin. En el flujo interno, no se tiene corrien-te libre y, como consecuencia, se necesita una alternativa. La velocidad de unfluido en un tubo cambia desde cero en la superficie, en virtud de la condicinde no deslizamiento, hasta un mximo en el centro del propio tubo. Por lo tan-to, resulta conveniente trabajar con una velocidad promedio o media, Vprom,la cual permanece constante para el flujo incompresible cuando el rea de laseccin transversal del tubo es constante.

El valor de la velocidad media, Vprom, en un tubo se determina a partir del re-quisito de que se debe satisfacer el principio de conservacin de la masa(figura 8-2). Es decir,

(8-1)

en donde m. es el gasto de masa, r es la densidad, Ac es el rea de la seccintransversal y u(r) es el perfil de velocidad. Entonces la velocidad promedio parael flujo incompresible en un tubo circular de radio R se puede expresar como

(8-2)

Por lo tanto, cuando se conoce el gasto o el perfil de velocidad, se puede de-terminar con facilidad la velocidad promedio.

Cuando un fluido se calienta o se enfra conforme fluye por un tubo, su tem-peratura en cualquier seccin transversal cambia de Ts en la superficie de lapared hasta algn mximo (o mnimo, en el caso del calentamiento) en el centrodel tubo. En el desplazamiento de fluidos, resulta conveniente trabajar con unatemperatura promedio o media, Tm, la cual permanece constante en una sec-cin transversal. A diferencia de la velocidad media, la temperatura media Tmcambia en la direccin del flujo, siempre que el fluido se caliente o se enfre.

El valor de la temperatura media Tm se determina con base en el requisito deque se debe satisfacer el principio de conservacin de la energa. Es decir, laenerga transportada por el fluido a travs de una seccin transversal en el flu-jo real debe ser igual a la energa que se transportara a travs de la misma sec-cin transversal si el fluido estuviera a una temperatura constante Tm. Esto sepuede expresar matemticamente como (figura 8-3)

E fluido m cpTm cpT(r)dm rcpT(r)u(r)VdAc (8-3)

en donde cp es el calor especfico del fluido. Advirtase que el productomcpTm, en cualquier seccin transversal a lo largo del tubo, representa el flujode energa con el fluido en esa seccin transversal. Entonces, la temperaturamedia de un fluido, con densidad y calor especfico constantes, que fluye enun tubo circular de radio R, se puede expresar como

Tm T(r)u(r) rdr (8-4)2VpromR2

R

0

R0

cpT(r)ru(r)2prdrrVprom(pR2)cp

m# cpT(r)dm

#

m#cp

Ac

m

Vprom Ac

ru(r) dAcrAc

R

0 ru(r)2pr dr

rpR2

2R2

R

0 u(r)r dr

m#

rVprom Ac Ac

ru(r) dAc

Tmn

Ts

Tm

a) Real

b) IdealizadoFIGURA 8-3

Perfiles real e idealizado de temperaturapara el flujo en un tubo (la velocidad a

la cual se transporta la energa con elfluido es la misma para ambos casos).


Note que la temperatura media Tm de un fluido cambia durante el calentamien-to o el enfriamiento. Asimismo, las propiedades del fluido en el flujo internosuelen evaluarse en la temperatura media del fluido con respecto a la masa, lacual es el promedio aritmtico de las temperaturas medias en la admisin y lasalida; es decir, Tb (Tm, i Tm, e)/2.

Flujos laminar y turbulento en tubosEl flujo en un tubo puede ser laminar o turbulento, dependiendo de las condi-ciones del mismo. El flujo de fluidos sigue lneas de corriente y, como conse-cuencia, es laminar a velocidades bajas, pero se vuelve turbulento conformese incrementa la velocidad ms all de un valor crtico. La transicin de flujolaminar a turbulento no ocurre de manera repentina; ms bien, se presenta so-bre algn intervalo de velocidad, donde el flujo flucta entre laminar y turbu-lento antes de volverse por completo turbulento. La mayor parte de los flujosen tubos que se encuentran en la prctica son turbulentos. El flujo laminar seencuentra cuando fluidos intensamente viscosos, como los aceites, fluyen entubos de dimetro pequeo o pasos angostos.

Para el flujo en un tubo circular, el nmero de Reynolds se define como

Re (8-5)

en donde Vprom es la velocidad promedio del flujo, D es el dimetro del tubo yn m/r es la viscosidad cinemtica del fluido.

Para el flujo por tubos no circulares, el nmero de Reynolds as como el n-mero de Nusselt y el factor de friccin se basan en el dimetro hidrulico Dh,definido como (figura 8-4)

Dh (8-6)

donde Ac es el rea de la seccin transversal del tubo y p es su permetro. Eldimetro hidrulico se define en tal forma que se reduce al dimetro comn Dpara los tubos circulares, ya que

Tubos circulares: Dh D

Por supuesto, resulta conveniente tener valores precisos de los nmeros deReynolds para los flujos laminar, de transicin y turbulento, pero, en la prc-tica, este no es el caso. Esto se debe a que la transicin de flujo laminar a tur-bulento tambin depende del grado de perturbacin que ese flujo recibe porparte de la aspereza de la superficie, las vibraciones del tubo y las fluctuacio-nes en el flujo. En las condiciones ms prcticas, el flujo en un tubo es la-minar para Re 2 300, turbulento para Re 10 000 y, en los valores inter-medios, de transicin. Pero se debe tener presente que, en muchos casos, elflujo se vuelve completamente turbulento para Re 4 000, como se discuteen el Tema de inters especial, al final de este captulo. Cuando se diseanredes de tuberas y se determina la potencia de bombeo, se aplica un enfoqueconservador y se supone que los flujos con Re 4 000 son turbulentos.

En el flujo de transicin ste oscila entre laminar y turbulento de maneraaleatoria (figura 8-5). Se debe tener presente que, en tubos muy lisos, se pue-de mantener el flujo laminar con nmeros de Reynolds mucho ms altos, pa-ra evitar las perturbaciones del flujo y las vibraciones del tubo. Enexperimentos cuidadosamente controlados de esa manera, se ha mantenido elflujo laminar con nmeros de Reynolds de hasta 100 000.

4pD2/4pD

4Acp

4Acp

Vprom D

rVpromDm


Dh = = D4(pD2/4)

pD

Dh = = a4a24a

Dh = =4ab

2(a + b)2ab

a + b

Tubo circular:

Ducto rectangular:

Ducto cuadrado:

ab

D

a

a

FIGURA 8-4El dimetro hidrulico Dh 4Ac/p sedefine en tal forma que se reduce al dimetro comn para los tuboscirculares.

FIGURA 8-5En la regin de transicin, el flujocambia aleatoriamente entre laminar yturbulento.

Laminar Turbulento

Vprom

Traza de tinta

Inyeccin de tinta


8-3 LA REGIN DE ENTRADAConsidrese un fluido que entra a un tubo circular a una velocidad uniforme.Debido a la condicin de no deslizamiento, las partculas del fluido en la capaen contacto con la superficie del tubo llegan a detenerse por completo. Estacapa tambin causa que las partculas del fluido en las capas adyacentes se de-saceleren en forma gradual como resultado de la friccin. Para compensar estareduccin en la velocidad, la velocidad del fluido en el centro del tubo tieneque incrementarse a fin de mantener constante el flujo de masa por el tubo.Como resultado, se desarrolla un gradiente de velocidad a lo largo del tubo.

La regin del flujo en la cual se sienten los efectos de las fuerzas cortantesviscosas causadas por la viscosidad del fluido se llama capa lmite de veloci-dad o slo capa lmite. Una superficie fronteriza hipottica divide en dos re-giones el flujo en un tubo: la regin de la capa lmite, en la cual los efectosviscosos y los cambios en la velocidad son significativos, y la regin del flujoirrotacional (central), en la cual los efectos de la friccin son despreciablesy la velocidad permanece esencialmente constante en la direccin radial.

El espesor de esta capa lmite se incrementa en la direccin del flujo hastaque esa capa llega al centro del tubo y, como consecuencia, llena ste porcompleto, como se muestra en la figura 8-6. La regin que existe desde la en-trada del tubo hasta el punto en donde la capa lmite se une en la lnea centralse llama regin de entrada hidrodinmica, y la longitud de esta regin seconoce como longitud de entrada hidrodinmica, Lh. El flujo en la reginde entrada se menciona como flujo hidrodinmicamente en desarrollo, ya queen esta regin se desarrolla el perfil de velocidad. La regin que se encuentrams all de la regin de entrada, en la cual el perfil de velocidad est comple-tamente desarrollado y permanece inalterado, se conoce como regin com-pletamente desarrollada hidrodinmicamente. El perfil de velocidad en laregin completamente desarrollada es parablico, en el flujo laminar, y untanto ms plano o ms lleno en el flujo turbulento, debido al movimiento arre-molinado y al mezclado ms vigoroso en la direccin radial.

Considere ahora un fluido a una temperatura uniforme que entra en un tubocircular cuya superficie se mantiene a una temperatura diferente. En esta oca-sin, las partculas de fluido que estn en la capa en contacto con la superficiedel tubo toman la temperatura de esta superficie. Esto iniciar la transferenciade calor por conveccin en el tubo y el desarrollo de una capa lmite trmicaa lo largo de este ltimo. El espesor de la capa lmite tambin aumenta en ladireccin del flujo hasta que alcanza el centro del tubo y, de este modo, lo lle-na por completo, como se muestra en la figura 8-7.

La regin del flujo sobre la cual se desarrolla la capa lmite trmica y alcan-za el centro del tubo se llama regin trmica de entrada y la longitud de es-ta regin se llama longitud trmica de la entrada Lt. El flujo en la regin deentrada trmica se llama flujo en desarrollo trmico, ya que es ah donde se

CAPTULO 8455

FIGURA 8-6Desarrollo de la capa lmite de velocidad

en un tubo. (El perfil desarrollado develocidad promedio es parablico en elflujo laminar, como se muestra, pero untanto ms plano o ms lleno en el flujo

turbulento).

x

r

Regin de entrada hidrodinmica

Regin completamente desarrollada hidrodinmicamente

Capa lmitede velocidad

Perfil de velocidaden desarrollo

Perfil de velocidad

completamente desarrollado

Regin del flujoirrotacional (central)

Vprom Vprom Vprom Vprom Vprom


desarrolla el perfil de temperaturas. La zona que se encuentra ms all de laregin de entrada trmica, en la que el perfil de temperaturas adimensionales,expresado como (Ts T)/(Ts Tm), permanece inalterado se llama regin tr-mica completamente desarrollada. La regin en la cual el flujo est tanto hi-drodinmica como trmicamente desarrollado y, como consecuencia, tanto elperfil de velocidades como el de temperaturas adimensionales permaneceninalterados se llama flujo completamente desarrollado; es decir,Completamente desarrollado

0 u u(r) (8-7)hidrodinmicamente:

Completamente desarrollado 0 (8-8)trmicamente:

El esfuerzo cortante en la pared del tubo, tw, est relacionado con la pen-diente del perfil de velocidad en la superficie. Al advertir que el perfil de ve-locidad permanece inalterado en la regin completamente desarrolladahidrodinmicamente, el esfuerzo cortante en la pared tambin permanece cons-tante en esa regin. Se puede dar un argumento semejante para el coeficientede transferencia de calor en la regin completamente desarrollada trmica-mente.

En una regin plenamente desarrollada trmicamente la derivada de (Ts T)/(Ts Tm) con respecto a x es cero por definicin y, por tanto (Ts T)/(Ts Tm) es independiente de x. Entonces, la derivada de (Ts T)/(Ts Tm) con respecto ar tambin debe ser independiente de x; es decir,

f(x) (8-9)

El flujo de calor en la superficie se puede expresar como

qs hx(Ts Tm) k hx (8-10)

lo cual, por la ecuacin 8-9, es independiente de x. Por lo tanto, se concluyeque en la regin de un tubo completamente desarrollada trmicamente, el coe-ficiente local de conveccin es constante (no vara con x). Por ende, la friccin(la cual est relacionada con el esfuerzo cortante en la pared) y los coefi-cientes de conveccin permanecen constantes en la regin completamentedesarrollada de un tubo.

Note que el perfil de temperaturas en la regin completamente desarrolladatrmicamente vara con x en la direccin del flujo. Es decir, a diferencia delperfil de velocidades, el perfil de temperaturas puede ser diferente en seccionestransversales diferentes del tubo en la regin desarrollada y, por lo comn, loes. Sin embargo, el perfil de temperaturas adimensionales definido con anterio-

k(T/r)rRTs Tm

Tr

rR

(T/r)rRTs Tm

r

Ts TTs TmrR

x

Ts(x) T(r, x)Ts(x) Tm(x)

u(r, x)x


FIGURA 8-7Desarrollo de la capa lmite trmica enun tubo. (El fluido dentro del tubo seest enfriando.)

Perfil de temperaturas

Regin completamente

desarrollada trmicamente

Capa lmite trmica

Regin de entrada trmica

x

Ti Ts


ridad permanece inalterado en la regin trmicamente desarrollada cuando latemperatura o el flujo de calor en la superficie del tubo permanecen constantes.

Durante el flujo laminar en un tubo la magnitud del nmero adimensionalde Prandtl (Pr) es una medida del crecimiento relativo de las capas lmite tr-mica y de la velocidad. Para los fluidos con Pr 1, como los gases, las doscapas lmite coinciden entre s. Para los fluidos con Pr 1, como los aceites,la capa lmite de la velocidad crece ms que la trmica. Como resultado, lalongitud de la entrada hidrodinmica es ms pequea que la trmica. Se cum-ple lo opuesto para los fluidos con Pr 1, como los metales lquidos.

Considrese un fluido que se est calentando (o enfriando) en un tubo, con-forme se desplaza por l. El esfuerzo cortante en la pared y el coeficiente detransferencia de calor son los ms altos en la entrada del tubo, en donde el es-pesor de las capas lmite es el ms pequeo, y decrecen en forma gradual hastalos valores del flujo completamente desarrollado, como se muestra en lafigura 8-8. Por lo tanto, la cada de presin y el flujo de calor son ms altos enlas regiones de entrada de un tubo, y el efecto de la regin de entrada siemprees el incremento del factor de friccin promedio y del coeficiente promedio detransferencia de calor evaluados para el tubo completo. Este incremento puedeser significativo para los tubos cortos, pero despreciable para los largos.

Longitudes de entradaLa longitud de entrada hidrodinmica suele tomarse como la distancia desdela entrada al tubo hasta aquella seccin transversal donde el esfuerzo cortanteen la pared (y, por consiguiente, el factor de friccin) se aproxima al valor delflujo completamente desarrollado dentro de 2% de diferencia. En el flujolaminar, las longitudes de entrada hidrodinmica y trmica se dan de maneraaproximada como [vanse Kays y Crawford (1993) y Shah y Bhatti (1987)]

Lh, laminar 0.05 Re D (8-11)Lt, laminar 0.05 Re Pr D Pr Lh, laminar (8-12)

Para Re 20, la longitud de la entrada hidrodinmica tiene un tamao cerca-no al del dimetro, pero crece de manera lineal con la velocidad. En el caso l-mite de Re 2 300 esa longitud es de 115D.

En el flujo turbulento, el intenso mezclado que se efecta en el curso de lasfluctuaciones aleatorias suele dominar los efectos de la difusin molecular y,por lo tanto, las longitudes de entrada hidrodinmica y trmica tienen ms omenos el mismo tamao y son independientes del nmero de Prandtl. La lon-gitud de entrada hidrodinmica para el flujo turbulento se puede determinar apartir de [vanse Bhatti y Shah (1987) y Zhi-qing (1982)]

Lh, turbulento 1.359D Re1/4 (8-13)

La longitud de entrada es mucho ms corta en el flujo turbulento, como era deesperarse, y su dependencia del nmero de Reynolds es ms dbil. En muchosflujos en tubos de inters prctico, los efectos de la entrada se vuelven in-significantes ms all de la longitud de tubo igual a 10 dimetros, y las longi-tudes de entrada hidrodinmica y trmica se toman en forma aproximadacomo

Lh, turbulento Lt, turbulento 10D (8-14)

En la figura 8-9 se da la variacin del nmero de Nusselt local a lo largo deun tubo en flujo turbulento, tanto para la temperatura superficial uniforme co-mo para el flujo de calor uniforme en la superficie, para el intervalo de nme-

CAPTULO 8457

Capa lmite trmica

Regin completamente

desarrollada

Capa lmite de la velocidad

Lh

x

hx

ho

f

fx

Lt

Regin de

entrada

Flujo completamente

desarrollado

FIGURA 8-8Variacin del factor de friccin y del

coeficiente de transferencia porconveccin en la direccin del flujo,

para el flujo en un tubo (Pr 1).


ros de Reynolds que se encuentran en el equipo de transferencia de calor. Conbase en esta figura, se hacen estas observaciones importantes:

Los nmeros de Nusselt y, por consiguiente, los coeficientes de transferen-cia de calor por conveccin son mucho ms altos en la regin de entrada.

El nmero de Nusselt alcanza un valor constante a una distancia de menosde 10 dimetros y, por tanto, se puede suponer que el flujo est completa-mente desarrollado para x 10D.

Los nmeros de Nusselt para las condiciones de temperatura superficialuniforme y flujo de calor uniforme son idnticos en las regiones comple-tamente desarrolladas y casi idnticos en las regiones de entrada. Por lotanto, el nmero de Nusselt no es sensible al tipo de condicin de fronteratrmica y se pueden usar las correlaciones del flujo turbulento para cual-quiera de los dos tipos de esa condicin.

En la literatura, se encuentran correlaciones precisas para los coeficientes defriccin y de transferencia de calor, para las regiones de entrada. Sin embargo,la longitud de los tubos que se usan en la prctica, en la conveccin forzada,suele ser varias veces la longitud de cualquiera de las dos regiones de entraday, por consiguiente, a menudo se supone que el flujo por los tubos est com-pletamente desarrollado en toda la longitud del tubo. Este enfoque simplistaproporciona resultados razonables para la transferencia de calor en los tuboslargos, y resultados conservadores, en caso de los tubos cortos.

8-4 ANLISIS TRMICO GENERALEn ausencia de cualesquiera interacciones de trabajo (como el calentamientomediante resistencia elctrica), la ecuacin de conservacin de la energa para elflujo estacionario de un fluido en un tubo se puede expresar como (figura 8-10)

Q m cp(Te Ti) (W) (815)donde Ti y Te son las temperaturas medias del fluido en la entrada y la salidadel tubo, respectivamente, y Q es la razn de la transferencia de calor hacia elfluido o desde ste. Note que la temperatura de un fluido que fluye en un tubo


FIGURA 8-9Variacin del nmero local de Nusselt alo largo de un tubo, en flujo turbulento,

tanto para temperatura superficialuniforme como para flujo uniforme

de calor en la superficie [Deissler(1953)].

800

700

600

500

400

300

200

100

0 2

x/D

4 6 8 10 12 14 16 18 20

D

Nux, T (Ts = constante)Nux, H ( s = constante)

Nu x

, T

Nu x

, H

Re

= 2 105

6 104

3 104

105

q

104

TeTi

.

Q

cp(Te Ti)mBalance de energa

=

m cpTem cpTi

Q

FIGURA 8-10La transferencia de calor hacia un fluidoque fluye en un tubo es igual al aumentoen la energa de ese fluido.


permanece constante en ausencia de cualquier interaccin de energa a travsde la pared.

Las condiciones trmicas en la superficie por lo comn se pueden aproxi-mar con razonable precisin como temperatura superficial constante (Ts constante) o flujo de calor constante en la superficie (qs constante). Porejemplo, se presenta la condicin de temperatura superficial constante cuandoocurre un proceso de cambio de fase, como ebullicin o condensacin, en lasuperficie exterior de un tubo. Se tiene la condicin de flujo de calor constan-te en la superficie cuando el tubo se somete a calentamiento por radiacin oresistencia elctrica de manera uniforme desde todas las direcciones.

El flujo de calor en la superficie se expresa comoqs hx (Ts Tm) (W/m2) (8-16)

donde hx es el coeficiente de transferencia de calor local y Ts y Tm son las tem-peraturas en la superficie y media del fluido en ese lugar. Note que la tempe-ratura media del fluido Tm de un fluido que fluye en un tubo debe cambiardurante el calentamiento o el enfriamiento. Por lo tanto, cuando hx h constante, la temperatura superficial Ts debe cambiar cuando qs constante,y el flujo de calor en la superficie qs debe cambiar cuando Ts constante. Portanto, se puede tener Ts constante o qs constante en la superficie de un tubo, pero no ambas. Enseguida, se considerar la transferencia de calor porconveccin para estos dos casos comunes.

Flujo constante de calor en la superficie(qs constante)En el caso de qs constante, la velocidad de la transferencia de calor tambinse puede expresar como

Q qs As m cp(Te Ti) (W) (8-17)Entonces, la temperatura media del fluido en la salida del tubo queda

Te Ti (8-18)

Note que la temperatura media del fluido se incrementa linealmente en la di-reccin del flujo en el caso de flujo de calor constante en la superficie, puestoque el rea superficial aumenta en forma lineal en esa direccin (As es igual alpermetro, el cual es constante, multiplicado por la longitud del tubo).

En el caso de flujo de calor constante en la superficie, qs, la temperatura su-perficial se puede determinar a partir de

qs h(Ts Tm) Ts Tm (8-19)

En la regin completamente desarrollada, la temperatura superficial Tstambin se incrementar linealmente en la direccin del flujo, dado que hes constante y, por tanto, Ts Tm constante (figura 8-11). Por supuesto, es-to se cumple cuando las propiedades del fluido permanecen constantes en elflujo.

Se puede determinar la pendiente de la temperatura media del fluido Tm enun diagrama T-x mediante la aplicacin de un balance de energa de flujo es-tacionario a una rebanada del tubo de espesor dx, mostrada en la figura 8-12.Esto da

m cp dTm qs(pdx) constante (8-20)

donde p es el permetro del tubo.

q#s pm#cp

dTmdx

q# sh

q# s Asm#cp

CAPTULO 8459

T

= Ts Tm =

TeTi

L x

TRegin

de entrada

Regin completamente

desarrollada

Ti

0

Ts

Te

Tmh

qs = constante

qs

FIGURA 8-11Variacin de las temperaturas superficialdel tubo y media del fluido a lo largo del

tubo para el caso de flujo constante decalor en la superficie.

cp(Tm + dTm)cpTm .

m

= h(Ts Tm)dA

dx

Tm Tm + dTm

Ts

m

Q

FIGURA 8-12Interacciones energticas para un

volumen diferencial de control en un tubo.


Puesto que qs y h son constantes, la derivacin de la ecuacin 8-19 con res-pecto a x da

(8-21)

Asimismo, el requisito de que el perfil de temperatura adimensional perma-nezca inalterado en la regin completamente desarrollada da

0 0 (8-22)

puesto que Ts Tm constante. Al combinar las ecuaciones 8-20, 8-21 y 8-22, da

constante (8-23)

Entonces, se concluye que en el flujo completamente desarrollado en un tubosujeto a flujo de calor constante en la superficie, el gradiente de temperaturaes independiente de x y, por tanto, la forma del perfil de temperaturas no cam-bia a lo largo del tubo (figura 8-13).

Para un tubo circular, p 2pR y m rVprom Ac rVprom(pR2), la ecuacin8-23 queda

Tubo circular: constante (8-24)

Donde Vprom es la velocidad media del fluido.

Temperatura superficial constante (Ts constante)Con base en la ley de Newton del enfriamiento, la razn de la transferencia decalor desde o hacia un fluido, que fluye en un tubo se puede expresar como

Q hAsTprom hAs(Ts Tm) prom (W) (8-25)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por conveccin promedio,As es el rea superficial para la transferencia de calor (es igual a pDL para untubo circular de longitud L) y Tprom es alguna diferencia promedio apropiadade temperatura entre el fluido y la superficie. Ms adelante se discuten dosmaneras adecuadas para expresar Tprom.

En el caso de temperatura superficial constante (Ts constante), Tprom sepuede expresar aproximadamente por la diferencia media aritmtica detemperatura Tma como

Tprom Tma Ts

Ts Tb (8-26)

donde Tb (Ti Te)/2 es la temperatura media de masa del fluido, la cual esel promedio aritmtico de las temperaturas medias del fluido en la admisin yla salida del tubo.

Note que la diferencia media aritmtica de temperatura Tma es simple-mente el promedio de las diferencias de temperatura entre la superficie y elfluido en la admisin y la salida del tubo. Inherente a esta definicin, se supo-ne que la temperatura media del fluido vara linealmente a lo largo del tubo, locual difcilmente es el caso cuando Ts constante. Esta simple aproximacin

Ti Te2

(Ts Ti) (Ts Te)2

Ti Te2

2q# srVpromcp R

Tx

dTsdx

dTmdx

q# s pm#cp

Tx

dTsdx

dTmdx

Tx

dTsdx

1Ts Tm

Tsx Tx x Ts TTs Tm

dTsdx

dTmdx


T (r) T (r)Ts1 Ts2

x1

x

x2

qs

FIGURA 8-13La forma del perfil de temperaturaspermanece inalterada en la regincompletamente desarrollada de un tubosujeto a flujo de calor constante en lasuperficie.


a menudo proporciona resultados aceptables, pero no siempre. Por lo tanto, senecesita una mejor manera de evaluar Tprom.

Considere el calentamiento de un fluido en un tubo de seccin transversalconstante cuya superficie interior se mantiene a una temperatura constante deTs. Se sabe que la temperatura media del fluido Tm aumenta en la direccin delflujo como resultado de la transferencia de calor. El balance de energa sobreun volumen diferencial de control, mostrado en la figura 8-12, da

m cp dTm h(Ts Tm)dAs (8-27)

Es decir, el aumento en la energa del fluido (representado por un aumento ensu temperatura media por dTm) es igual al calor transferido por conveccin hacia este ltimo desde la superficie del tubo. Dado que el rea superficial diferencial es dAs pdx, donde p es el permetro del tubo, y que dTm d(Ts Tm), puesto que Ts es constante, la relacin antes dada se puede rea-comodar como

dx (8-28)

Al integrar desde x 0 (admisin del tubo donde Tm Ti), hasta x L (sali-da del tubo donde Tm Te) da

ln (8-29)

donde As pL es el rea superficial del tubo y h es el coeficiente de transfe-rencia de calor por conveccin promedio constante. Al tomar la exponencialde ambos miembros y despejar Te se obtiene la siguiente relacin, la cual re-sulta muy til para la determinacin de la temperatura media del fluido en lasalida del tubo:

Te Ts (Ts Ti) exp (hAs /m cp) (8-30)

Tambin se puede usar esta relacin para determinar la temperatura media delfluido Tm(x), para cualquier valor de x, al reemplazar As pL por px.

Note que la diferencia de temperatura entre el fluido y la superficie decaeexponencialmente en la direccin del flujo y la velocidad del decaimiento de-pende de la magnitud del exponente hAx /m cp, como se muestra en la figura 8-14. Este parmetro adimensional recibe el nombre de nmero de unidadesde transferencia, denotado por NTU (Number of Transfer Units), y es una medida de la efectividad de los sistemas de transferencia de calor. Para NTU 5, la temperatura de salida del fluido se vuelve casi igual a la tempe-ratura superficial, Te Ts (figura 8-15). Dado que la temperatura del fluidopuede aproximarse a la superficial pero no puede cruzarla, un NTU de alrede-dor de 5 indica que se alcanza el lmite para la transferencia de calor y sta no aumenta, sin importar cunto se extienda la longitud del tubo. Por otra parte, un valor pequeo del NTU indica ms oportunidades para la transferen-cia de calor y sta continuar incrementndose conforme se aumenta la longi-tud del tubo. Un NTU grande y, por consiguiente, un rea superficial grandepara la transferencia de calor (lo cual significa un tubo grande) puede ser de-seable desde un punto de vista relativo a la transferencia de calor, pero ina-ceptable desde un punto de vista econmico. Por lo comn, la seleccin delequipo de transferencia de calor refleja un compromiso entre el rendimientoen la transferencia de calor y el costo.

hAsm#cp

Ts TeTs Ti

hpm#cp

d(Ts Tm)Ts Tm

CAPTULO 8461

L x

Ts = constante

Ts = constante

Ti

Ts

T

(Tm tiende asintticamente a Ts)

0

Ti

Te

T

= Ts Tm

Tm

TeTi

FIGURA 8-14Variacin de la temperatura media del

fluido a lo largo del tubo para el caso detemperatura constante.

Te

As,h

Ts = 100C

, cp

NTU = hAs / cp Te , C

0.010.050.100.501.005.00

10.00

20.823.927.651.570.699.5

100.0

Ti =20C

m

m

FIGURA 8-15Un NTU mayor que 5 indica que el

fluido que fluye en un tubo alcanzar latemperatura superficial a la salida, sin

importar cul sea la temperatura de admisin.


Despejando m cp en la ecuacin 8-29 da

m cp (8-31)

Al sustituir esto en la ecuacin 8-15 se obtieneQ hAsTln (8-32)

donde

Tln (8-33)

es la diferencia media logartmica de temperatura. Note que Ti Ts Tiy Te Ts Te son las diferencias de temperatura entre la superficie y el flui-do en la admisin y la salida del tubo, respectivamente. Esta relacin de Tlnparece ser propensa a usarse de manera indebida, pero es prcticamente aprueba de fallas, ya que si se usa Ti en lugar de Te y viceversa en el numeradory en el denominador, o en cualquiera de los dos, cuando mucho se afectar elsigno, no la magnitud. Asimismo, se puede usar tanto para el calentamiento(Ts Ti y Te) como para el enfriamiento (Ts Ti y Te) de un fluido en un tubo.

La diferencia media logartmica de temperatura, Tln, se obtiene al seguir elrastro del perfil real de temperaturas del fluido a lo largo del tubo y es una re-presentacin exacta de la diferencia de temperatura promedio entre el fluido yla superficie. En verdad refleja el decaimiento exponencial de la diferencia detemperatura local. Cuando Te difiere de Ti en no ms de 40%, el error al usarla diferencia media aritmtica de temperatura es menor a 1%. Pero el error seincrementa hasta niveles indeseables cuando Te difiere de Ti en cantidadesmayores. Por lo tanto, siempre se debe usar la diferencia media logartmica detemperatura cuando se determine la transferencia de calor por conveccin enun tubo cuya superficie se mantenga a una temperatura constante Ts.

Te Tiln (Te /Ti)

Ti Teln [(Ts Te)/(Ts Ti)]

hAsln [(Ts Te)/(Ts Ti)]


115CAgua15C

0.3 kg/s

Vapor de aguaTs = 120C

D = 2.5 cm

FIGURA 8-16Esquema para el ejemplo 8-1.

EJEMPLO 8-1 Calentamiento de agua en un tubo por mediode vapor

Entra agua a 15C y a razn de 0.3 kg/s en un tubo delgado de cobre, de 2.5cm de dimetro interno, que forma parte de un intercambiador de calor y se ca-lienta por medio de vapor que se condensa en el exterior a 120C. Si el coefi-ciente de transferencia de calor promedio es de 800 W/m2 C, determine lalongitud requerida del tubo para calentar el agua hasta 115C (figura 8-16).

SOLUCIN Se calienta agua por medio de vapor en un tubo circular. Se debedeterminar la longitud requerida del tubo para calentar el agua hasta una tem-peratura especfica.Suposiciones 1 Existen condiciones de operacin estacionarias. 2 Las propie-dades del fluido son constantes. 3 El coeficiente de transferencia de calor porconveccin es constante. 4 La resistencia a la conduccin del tubo de cobre esdespreciable, de modo que la temperatura superficial interior del mismo es iguala la temperatura de condensacin del vapor.Propiedades El calor especfico del agua a la temperatura media de la masa de(15 115)/2 65C es de 4 187 J/kg C. El calor de condensacin del va-por a 120C es de 2 203 kJ/kg (tabla A-9).Anlisis Al conocer las temperaturas de admisin y de salida del agua se de-termina que la razn de la transferencia de calor es

Q m cp(Te Ti) (0.3 kg/s)(4.187 kJ/kg C)(115C 15C) 125.6 kW


8-5 FLUJO LAMINAR EN TUBOSEn la seccin 8-2, se mencion que el flujo en tubos es laminar para Re 2 300 y que est completamente desarrollado si el tubo es suficientementelargo (en relacin con la longitud de entrada), de modo que los efectos de laentrada sean despreciables. En esta seccin, se considera el flujo laminar esta-cionario de un fluido incompresible con propiedades constantes, en la regincompletamente desarrollada de un tubo circular recto. Se obtiene la ecuacinde la cantidad de movimiento al aplicar un balance de fuerzas a un elementodiferencial de volumen, as como el perfil de velocidad al resolver dichaecuacin. Como paso siguiente, se usa sta con el fin de obtener una relacinpara el factor de friccin. Aspecto importante del anlisis es que se trata deuno de los pocos casos en que se dispone de la solucin analtica para el flujoviscoso.

En el flujo laminar completamente desarrollado, cada una de las partculasdel fluido se mueve a una velocidad axial constante a lo largo de una lnea decorriente y el perfil de velocidades, u(r), permanece inalterado en la direccindel flujo. No se tiene movimiento en la direccin radial y, por tanto, la com-ponente de la velocidad en la direccin perpendicular al flujo es cero en todaspartes. No se tiene aceleracin, puesto que el flujo es estacionario.

Considrese ahora un elemento diferencial de volumen con forma de anillo,de radio r, espesor dr y longitud dx, orientado en forma coaxial con el tubo,como se muestra en la figura 8-17. En el elemento de volumen slo inter-vienen los efectos de la presin y los efectos viscosos, de donde las fuerzas depresin y cortantes deben equilibrarse entre s. La fuerza de presin que actasobre una superficie plana sumergida es el producto de la presin en el cen-troide de la superficie y el rea de sta. Un balance de fuerzas sobre el ele-mento de volumen en la direccin del flujo da

(2prdrP)x (2prdrP)x dx (2prdxt)r (2prdxt)r dr 0 (8-34)

CAPTULO 8463

umx

u(r)

x

dx

dr rR

Px Px dx

tr

tr dr

FIGURA 8-17Diagrama de cuerpo libre de un

elemento diferencial de fluido con formade anillo, de radio r, espesor dr y

longitud dx, orientado en forma coaxialcon un tubo horizontal en flujo laminar

completamente desarrollado.

La diferencia media logartmica de temperatura es

Te Ts Te 120C 115C 5C

Ti Ts Ti 120C 15C 105C

Tln 32.85C

El rea superficial de transferencia de calor es

Q hAsTln As 4.78 m2

Entonces la longitud requerida del tubo queda

As pDL L 61 m

Discusin La temperatura media de la masa de agua durante este proceso de calentamiento es de 65C y, por consiguiente, la diferencia media aritmti-ca de temperatura es Tma 120 65 55C. Si se usa Tma en lugar de Tlndara L 36 m, lo cual es un tremendo error. Esto hace ver la importancia deusar la temperatura media logartmica en los clculos.

4.78 m2p(0.025 m)

AspD

125.6 kW(0.8 kW/m2 C)(32.85C)

QhTln

5 105ln (5/105)

Te Tiln (Te /Ti)


lo cual indica que en el flujo completamente desarrollado en un tubo horizon-tal las fuerzas viscosas y de presin se equilibran entre s. Al dividir entre2pdrdx y reacomodar,

r 0 (8-35)

Al tomar el lmite cuando dr, dx 0 da

r 0 (8-36)

Si se hace la sustitucin t m(du/dr) y se toma m constante, da laecuacin deseada

(8-37)

La cantidad du/dr es negativa en el flujo en tubos y se incluye el signo nega-tivo con el fin de obtener valores positivos para t. (Es decir, du/dr du/dy,ya que y R r.) La parte izquierda de la ecuacin 8-37 es funcin de r y laparte derecha lo es de x. La igualdad debe cumplirse para cualquier valor de ry x, y una igualdad de la forma f(r) g(x) slo se puede satisfacer si tanto f(r)como g(x) son iguales a la misma constante. De lo anterior se concluye quedP/dx constante. Se puede verificar esto al escribir un balance de fuerzassobre un elemento de volumen de radio R y espesor dx (una rebanada deltubo), lo cual da (figura 8-18)

Aqu, tw es constante, puesto que la viscosidad y el perfil de velocidad sonconstantes en la regin completamente desarrollada. Por lo tanto, dP/dx constante.

La ecuacin 8-37 se puede resolver al reordenar e integrarla dos veces, paradar

u(r) C1 ln r C2 (8-38)

Se obtiene el perfil de velocidades u(r) mediante la aplicacin de las condicio-nes de frontera u/r 0 en r 0 (debido a la simetra con respecto a la l-nea central) y u 0 en r R (la condicin de no resbalamiento en lasuperficie del tubo). Se obtiene

u(r) (8-39)

Por lo tanto, el perfil de velocidades en el flujo laminar completamente desa-rrollado en un tubo es parablico con un mximo en la lnea central y mnimoen la superficie del tubo. Asimismo, la velocidad axial u es positiva para cual-quier r y, como consecuencia, el gradiente de presin axial dP/dx debe ser ne-gativo (es decir, la presin debe decrecer en la direccin del flujo debido a losefectos viscosos).

La velocidad promedio se determina con base en su definicin al sustituir laecuacin 8-39 en la 8-2 y realizar la integracin. Esto da

(8-40)Vprom 2R2

R

0 u(r)r dr 2

R2

R

0

R2

4madP

dxb a1 r 2

R2br dr R2

8madP

dxb

R24m dPdx1 r

2

R2

14m dPdx

dPdx

2twR

m

r

ddr

ar dudrb dP

dx

d(rt)dr

dPdx

(rt)xdr (rt)rdr

Pxdx Pxdx


tw

R2P pR2(P dP) 2pR dx tw = 0

=

dPdx R

r

x

2pR dx tw

pR2(P dP)

p

2

pR2P

R

Balance de fuerzas::

Simplificando::

dx

FIGURA 8-18Diagrama de cuerpo libre de unelemento de fluido con forma de disco,de radio R y longitud dx, en flujolaminar completamente desarrollado enun tubo horizontal.


Si se combinan las dos ltimas ecuaciones, se redefine el perfil de velocidadcomo

(8-41)

La anterior es una forma conveniente para el perfil de velocidades, ya que se puede determinar Vprom con facilidad a partir de la informacin del gasto deflujo.

Se tiene la velocidad mxima en la lnea central y se determina a partir de laecuacin 8-41 mediante la sustitucin r 0,

(8-42)

Por lo tanto, la velocidad promedio en el flujo laminar completamente desa-rrollado en un tubo es un medio de la velocidad mxima.

Cada de presinUna cantidad de inters en el anlisis del flujo en tubos es la cada de presin

P ya que est directamente relacionada con las necesidades de potencia delventilador o la bomba con el fin de mantener el flujo. Dado que dP/dx cons-tante y se integra desde x x1, donde la presin es P1, hasta x x1 L, don-de la presin es P2. Se obtiene

(8-43)

Si se sustituye la ecuacin 8-43 en la expresin de la Vprom de la 8-40, la cadade presin se puede expresar como

Flujo laminar: (8-44)

Tradicionalmente, se usa el smbolo para indicar la diferencia entre los valo-res final e inicial, como y y2 y1. Pero en el flujo de fluidos, P se em-plea para designar la cada de presin y, por consiguiente, es P1 P2. Unacada de presin debida a efectos viscosos representa una prdida irreversiblede presin y se le conoce como la prdida de presin PL, para hacer resaltarque es una prdida (precisamente como la prdida de carga hL, la cual es pro-porcional a ella).

Ntese, por lo expresado en la ecuacin 8-44, que la cada de presin es pro-porcional a la viscosidad m del fluido, y P sera cero si no hubiera friccin.Por lo tanto, en este caso, la cada de presin de P1 a P2 se debe por entero alos efectos viscosos, y la ecuacin 8-44 representa la prdida de presin PLcuando un fluido de viscosidad m fluye por un tubo de dimetro constante Dy longitud L, a la velocidad promedio Vprom.

En la prctica, resulta conveniente expresar la prdida de presin para todoslos tipos de flujos internos completamente desarrollados (flujos laminares oturbulentos, tubos circulares o no circulares, superficies lisas o speras, tuboshorizontales o inclinados) como (figura 8-19)

Prdida de presin: (8-45)

en donde rV 2prom/2 es la presin dinmica y f es el factor de friccin deDarcy,

ste tambin se conoce como factor de friccin de Darcy-Weisbach, enhonor del francs Henry Darcy (1803-1858) y el alemn Julius Weisbach

f 8twrV 2prom

PL f LD rV2prom

2

P P1 P2 8mLVprom

R2

32mLVpromD2

dPdx

P2 P1

L

umx 2Vprom

u(r) 2Vprom1 r2R2

CAPTULO 8465

Prdida de presin: PL = f L

Vprom

D 2

21

2g

Prdida de carga: hL = f L

PLDrg

D

L

PL

Vprom

rVprom2

2 =

FIGURA 8-19La relacin para la prdida de presin (y

para la prdida de carga) es una de lasms generales en la mecnica de fluidos

y es vlida para los flujos laminares oturbulentos, para tubos circulares o nocirculares y para tubos con superficies

lisas o speras.

2


(1806-1871), los dos ingenieros que realizaron la mayor contribucin para sudesarrollo. No debe confundirse con el coeficiente de friccin Cf [tambin lla-mado factor de friccin de Fanning, en honor del ingeniero estadounidenseJohn Fanning (1837-1911)], el cual se define como Cf 2tw /(rV 2prom) f /4.

Si se igualan las ecuaciones 8-44 y 8-45 entre s y se despeja f, se obtiene elfactor de friccin para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubocircular:Tubo circular, laminar: (8-46)

Esta ecuacin muestra que en el flujo laminar, el factor de friccin es funcinslo del nmero de Reynolds y es independiente de la aspereza de la superfi-cie del tubo.

En el anlisis de sistemas de tuberas, las prdidas por friccin comnmentese expresan en trminos de la altura equivalente de la columna de fluido, lla-mada prdida de carga hL. Si se observa, con base en la esttica de fluidos,que P rgh y, como consecuencia, una diferencia de presin de P corres-ponde a una altura de fluido de h P/rg, la prdida de carga en el tubo seobtiene al dividir PL entre rg para dar

La prdida de carga hL representa la altura adicional a la que necesita ele-varse el fluido por medio de una bomba para vencer las prdidas por friccinen el tubo. La prdida de carga es causada por la viscosidad y est relacionadade manera directa con el esfuerzo cortante en la pared. La ecuacin 8-45 esvlida tanto para los flujos laminares como para los turbulentos, tanto en tu-bos circulares como en no circulares; en cambio, la ecuacin 8-46 slo es vli-da para el flujo laminar completamente desarrollado en tubos circulares.

Una vez que se conoce la prdida de presin (o prdida de carga), se deter-mina la potencia requerida de bombeo para vencer la prdida de presin, apartir de

(8-47)

donde V.

es el gasto volumtrico y m. es el gasto de masa.La velocidad promedio para el flujo laminar en un tubo horizontal es, de

acuerdo con la ecuacin 8-44,

Tubo horizontal:

Entonces, el gasto volumtrico para el flujo laminar a travs de un tubo hori-zontal de dimetro D y longitud L queda

(8-48)

Esta ecuacin se conoce como ley de Poiseuille y a este flujo se le llama flujode Hagen-Poiseuille, en honor de los trabajos de G. Hagen (1797-1884) y J.Poiseuille (1799-1869) sobre el tema. A partir de la ecuacin 8-48, ntese quepara un gasto especificado, la cada de presin y, por ende, la potencia re-querida de bombeo, son proporcionales a la longitud del tubo y a la viscosi-dad del fluido, pero inversamente proporcionales a la cuarta potencia delradio (o del dimetro) del tubo. Por lo tanto, la necesidad de potencia debombeo para un sistema de tuberas se puede reducir en un factor de 16 al du-plicar el dimetro del tubo (figura 8-20). Por supuesto, deben sopesarse losbeneficios de la reduccin en los costos de la energa en contraste con el costomayor de construccin, debido al uso de tubo con dimetro ms grande.

V# Vprom Ac

(P1 P2)R28mL

pR2 (P1 P2)pD4

128mL

P pD4

128mL

Vprom (P1 P2)R2

8mL

(P1 P2)D232mL

P D2

32mL

W#

bomba, L V# PL V

#rghL m

# ghL

hL

PLrg

f LD

V2prom

2g

f 64mrDVprom

64Re


2D

Wbomba = 16 hp

Wbomba = 1 hp

D

FIGURA 8-20La necesidad de potencia de bombeopara un sistema de tubos con flujolaminar se puede reducir en un factor de 16 al duplicar el dimetro del tubo.


La cada de presin P es igual a la prdida de presin PL, si se trata de untubo horizontal, pero ste no es el caso para los tubos inclinados o para aqu-llos con rea variable de la seccin transversal, debido a los cambios en la ele-vacin y la velocidad.

Perfil de temperatura y el nmero de NusseltEn el anlisis anterior, se ha obtenido el perfil de velocidad para el flujo com-pletamente desarrollado en un tubo circular a partir de un balance de fuerzasaplicado sobre un elemento de volumen, y se ha determinado el factor de fric-cin y la cada de presin. Ahora se obtendr la ecuacin de la energa me-diante la aplicacin del balance energtico sobre un elemento diferencial devolumen y se resolver con el fin de obtener el perfil de temperatura para loscasos de temperatura superficial constante y flujo de calor constante en la su-perficie.

Reconsidrese el flujo laminar estacionario de un fluido en un tubo circularde radio R. Las propiedades del fluido r, k y cp son constantes y el trabajo rea-lizado por las fuerzas viscosas es despreciable. El fluido fluye a lo largo deleje x con velocidad u. El flujo est completamente desarrollado, de modo queu es independiente de x, de donde u u(r). Al advertir que la energa se trans-fiere por la masa en la direccin x y por conduccin en la direccin r (sesupone que la conduccin en la direccin x es despreciable), el balance deenerga de flujo estacionario para un elemento con forma de una capa ciln-drica, de espesor dr y longitud dx, se puede expresar como (figura 8-21)

m cpTx m cpTx dx Q r Q r dr 0 (8-49)

donde m ruAc ru(2prdr). Al sustituir y dividir entre 2prdrdx da, des-pus de reordenar,

rcpu (8-50)

o bien,

u (8-51)

Pero

k2prdx 2pkdx (8-52)

Al sustituir y utilizar a k/rcp da

u (8-53)

lo cual expresa que la razn de transferencia neta de energa al volumen decontrol por el flujo de masa es igual a la razn neta de conduccin de caloren la direccin radial.

Flujo constante de calor en la superficiePara el flujo completamente desarrollado en un tubo circular sujeto a flujo decalor constante en la superficie, se tiene, con base en la ecuacin 8-24,

constante (8-54)2q# s

rVpromcpRTx

dTsdx

dTmdx

ar

dr ar Tr bTx

r

r Tr Tr r Qr

Qr

12rcpprdx

Tx

Q#

rdr Q#r

dr1

2prdxTxdx Tx

dx

CAPTULO 8467

dx

drr

mcpTx dx

Qr dr

QrmcpTx

.

.

.

.

FIGURA 8-21Elemento diferencial de volumen usado

en la deduccin de la relacin delbalance de energa.



Si en la deduccin de la ecuacin 8-53 se considerara la conduccin de caloren la direccin x, dara un trmino adicional a2T/x2, el cual sera igual a ce-ro, ya que T/x constante y, por tanto, T T(r). Por lo tanto, en este caso,se satisface con exactitud la suposicin de que no se tiene conduccin de ca-lor axial.

Al sustituir la ecuacin 8-54 y la relacin para el perfil de velocidad (ecua-cin 8-41) en la 8-43, da

(8-55)

la cual es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden. Su solucingeneral se obtiene mediante la separacin de las variables e integrar dos veces,para dar

T C1r C2 (8-56)

La solucin deseada para el problema se obtiene al aplicar las condiciones defrontera T/x 0 en r 0 (debido a la simetra), y T Ts, en r R. Se ob-tiene

T Ts (8-57)

La temperatura media de la masa Tm se determina al sustituir las relaciones delos perfiles de velocidades y de temperaturas (ecuaciones 8-41 y 8-57) en laecuacin 8-4 y llevar a cabo la integracin. Esto da

Tm Ts (8-58)

Al combinar esta relacin con qs h(Ts Tm) da

h (8-59)

o bien,

Tubo circular, laminar (qx constante): Nu 4.36 (8-60)

Por lo tanto, para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular sujeto a flujo de calor constante en la superficie, el nmero de Nusseltes constante. No se tiene dependencia con respecto a los nmeros de Reynoldso de Prandtl.

Temperatura superficial constanteSe puede realizar un anlisis semejante para el flujo laminar completamentedesarrollado en un tubo circular para el caso de temperatura superficial cons-tante Ts. En este caso el procedimiento de solucin es ms complejo, ya que serequieren iteraciones, pero la relacin del nmero de Nusselt que se obtiene esigualmente simple (figura 8-22):

Tubo circular, laminar (Ts constante): Nu 3.66 (8-61)hDk

hDk

2411

kR

4811

kD 4.36

kD

1124

q# s Rk

qs Rk 34 r

2

R2

r 4

4R4

q# skR ar 2 r

4

4R2b

4qskR 1 r

2

R2 1r ddr r dTdr

Ts = constante

f = 64Re

DNu = 3.66

Flujo laminar completamente desarrollado

u (r)

FIGURA 8-22En el flujo laminar en un tubo contemperatura superficial constante tantoel factor de friccin como el coeficientede transferencia de calor permanecenconstantes en la regin completamentedesarrollada.


CAPTULO 8469

TABLA 8-1

Nmero de Nusselt y factor de friccin para el flujo laminar completamentedesarrollado en tubos de diversas secciones transversales (Dh 4Ac /p,Re VpromDh /v, y Nu hDh /k)

Nmero de NusseltConfiguracin a/b Factor de geomtrica del tubo o Ts Const. q

s Const. friccin f

Crculo 3.66 4.36 64.00/Re

Rectngulo a/b1 2.98 3.61 56.92/Re2 3.39 4.12 62.20/Re3 3.96 4.79 68.36/Re4 4.44 5.33 72.92/Re6 5.14 6.05 78.80/Re8 5.60 6.49 82.32/Re 7.54 8.24 96.00/Re

Elipse a/b1 3.66 4.36 64.00/Re2 3.74 4.56 67.28/Re4 3.79 4.88 72.96/Re8 3.72 5.09 76.60/Re

16 3.65 5.18 78.16/Re

Tringulo 10 1.61 2.45 50.80/Re30 2.26 2.91 52.28/Re60 2.47 3.11 53.32/Re90 2.34 2.98 52.60/Re

120 2.00 2.68 50.96/Re

D

La conductividad trmica k a usarse en las relaciones de Nu antes dadas debeevaluarse en la temperatura media de la masa del fluido, la cual es el prome-dio aritmtico de las temperaturas medias del fluido en la admisin y la salidadel tubo. Para el flujo laminar el efecto de la aspereza superficial sobre el fac-tor de friccin y el coeficiente de transferencia de calor es despreciable.

Flujo laminar en tubos no circularesEn la tabla 8-1 se dan las relaciones del factor de friccin f y del nmero deNusselt para el flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diver-sas secciones transversales. Los nmeros de Reynolds y de Nusselt para el flu-jo en estos tubos estn basados en el dimetro hidrulico Dh 4Ac /p, dondeAc es el rea de la seccin transversal del tubo y p es su permetro. Una vezque se cuenta con el nmero de Nusselt, el coeficiente de transferencia de ca-lor por conveccin se determina a partir de h kNu/Dh.

b

a

b

a


Desarrollo del flujo laminar en la regin de entradaPara un tubo circular de longitud L sujeto a temperatura superficial constante,el nmero promedio de Nusselt para la regin de entrada trmica se puede de-terminar a partir de (Edwards y otros, 1979)

Regin de entrada, laminar: Nu 3.66 (8-62)

Note que el nmero de Nusselt promedio es ms grande en la regin de entra-da, como era de esperarse, y tiende en forma asinttica al valor completamen-te desarrollado de 3.66 cuando L . En esta relacin se supone que el flujoest hidrodinmicamente desarrollado cuando el fluido entra en la seccin decalentamiento, pero tambin se puede usar en forma aproximada para el flujoen desarrollo hidrodinmico.

Cuando la diferencia entre las temperaturas de la superficie y del fluido esgrande, puede ser necesario tomar en cuenta la variacin de la viscosidad conla temperatura. En ese caso, se puede determinar el nmero de Nusselt prome-dio para el flujo laminar en desarrollo en un tubo circular a partir de [Sieder yTate (1936)]

Nu 1.86 (8-63)

Todas las propiedades se evalan en la temperatura media de la masa del flui-do, excepto ms, la cual se evala en la temperatura de la superficie.

El nmero de Nusselt promedio para la regin de entrada trmica de flujoentre placas paralelas isotrmicas de longitud L se expresa como (Edwards yotros, 1979)Regin de entrada, laminar: Nu 7.54 (8-64)

donde Dh es el dimetro hidrulico, el cual es el doble del espaciamiento en-tre las placas. Esta relacin se puede usar para Re 2 800.

0.03 (Dh /L) Re Pr1 0.016[(Dh /L) Re Pr]2/3

Re Pr DL 1/3

mbms0.14

0.065 (D/L) Re

Pr1 0.04[(D/L) Re

Pr]2/3


EJEMPLO 8-2 Cada de presin en un tubo

Est fluyendo agua en forma estacionaria a 40F (r 62.42 lbm/ft3 y m 1.038 103 lbm/ft s) en un tubo horizontal de 0.12 in de dimetro y 30 ftde largo, a una velocidad promedio de 3 ft/s (figura 8-23). Determine la cadade presin y la necesidad de potencia de bombeo que se requiere para venceresta cada de presin.

SOLUCIN Se da la velocidad de flujo promedio en un tubo. Deben determi-narse la cada de presin y la potencia requerida de bombeo.Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 Los efectos de la en-trada son despreciables y, por consiguiente, el flujo est completamente de-sarrollado. 3 El tubo no contiene componentes como codos, vlvulas o conec-tores.Propiedades Se da que la densidad y la viscosidad dinmica del agua, que sonr 62.42 lbm/ft3 y m 1.038 103 lbm/ft s.Anlisis En primer lugar, se necesita determinar el rgimen de flujo. Elnmero de Reynolds es

Re 1 803(62.42 lbm/ft3)(3 ft/s)(0.12/12 ft)

1.038 103 lbm/ft srVprom D

m

3 ft/s

30 ft

0.12 in



CAPTULO 8471

el cual es menor que 2 300. Por lo tanto, el flujo es laminar. Entonces el factorde friccin y la cada de presin quedan

f 0.0355

P f 0.0355

930 lbf/ft2 6.46 psi

El gasto volumtrico y las necesidades de potencia de bombeo son

V

Vprom Ac Vprom (pD2/4) (3 ft/s)[p(0.01 ft)2/4] 0.000236 ft3/s

Wbomba V

P (0.000236 ft3/s)(930 lbf/ft2) 0.30 W

Por lo tanto, se necesita una entrada de potencia mecnica en la cantidad de0.30 W para vencer las prdidas por friccin en el flujo debidas a la viscosidad.

a 1 W0.73756 lbf ft/sb

1 lbf32.174 lbm ft/s2(62.42 lbm/ft3)(3 ft/s)2

230 ft

0.01 ftLD rV2prom

2

64Re

641 803

Te

200 m

20C Aceite2 m/s

D = 0.3 m

Lago helado, 0C

0C


EJEMPLO 8-3 Flujo de aceite en una tubera que pasa a travsde un lago

Considere el flujo de aceite a 20C en una tubera de 30 cm de dimetro a unavelocidad promedio de 2 m/s (figura 8-24). Una seccin de 200 m de largo dela tubera horizontal pasa por las aguas heladas de un lago a 0C. Las medicio-nes indican que la temperatura de la superficie del tubo est muy cercana a0C. Si descarta la resistencia trmica del material del tubo, determine a) latemperatura del aceite cuando el tubo sale del lago, b) la razn de la transfe-rencia de calor desde el aceite y c) la potencia requerida de bombeo para ven-cer las prdidas de presin y mantener el flujo del aceite en el tubo.

SOLUCIN Fluye aceite en una tubera que pasa por las aguas heladas de unlago a 0C. Deben determinarse la temperatura de salida del aceite, la razn dela prdida de calor y la potencia de bombeo necesaria para vencer las prdidasde presin.Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operacin. 2 La tempera-tura superficial del tubo es muy cercana a 0C. 3 La resistencia trmica del tu-bo es despreciable. 4 Las superficies interiores de la tubera son lisas. 5 El flujoest hidrodinmicamente desarrollado cuando la tubera llega al lago.Propiedades No se conoce la temperatura de salida del aceite y, como conse-cuencia, no se puede determinar la temperatura media de la masa a la cual sedeben evaluar las propiedades del aceite. La temperatura media del aceite enla admisin es de 20C y se espera que esta temperatura caiga un tanto comoresultado de la prdida de calor hacia las aguas heladas del lago. Se evalan laspropiedades del aceite a la temperatura de admisin, pero se repetirn los clculos, si es necesario, mediante las propiedades a la temperatura media de lamasa evaluada. A 20C, se lee (tabla A-14)

r 888.1 kg/m3 n 9.429 104 m2/s

k 0.145 W/m C cp 1 880 J/kg C Pr 10 863

Cengel_08B.qxd 1/4/07 3:29 PM Page 471


Anlisis a) El nmero de Reynolds es

Re 636

el cual es menor que el nmero de Reynolds crtico de 2 300. Por lo tanto, elflujo es laminar y, en este caso, la longitud de la entrada trmica es muy apro-ximada,

Lt 0.05 Re Pr D 0.05 636 10 863 (0.3 m) 103 600 m

lo cual es mucho mayor que la longitud total del tubo. Esto es tpico de los flui-dos con altos nmeros de Prandtl. Por lo tanto, se supone un flujo en desarro-llo trmico y se determina el nmero de Nusselt a partir de

Nu 3.66

3.66

33.7

Note que este nmero de Nusselt es considerablemente ms alto que el valorcompletamente desarrollado de 3.66. Entonces,

h Nu (33.7) 16.3 W/m2 C

Asimismo,

As pDL p(0.3 m)(200 m) 188.5 m2m rAcVprom (888.1 kg/m3)[ p(0.3 m)2](2 m/s) 125.6 kg/s

A continuacin se determina la temperatura de salida del aceite a partir de

Te Ts (Ts Ti) exp (hAs /m cp)

0C [(0 20)C] exp

19.74C

Por tanto, la temperatura media del aceite cae en un simple 0.26C al cruzar ellago. Esto hace que la temperatura media de la masa de aceite sea 19.87C, lacual es prcticamente idntica a la de admisin de 20C. Por lo tanto, no se ne-cesita volver a evaluar las propiedades.

b) La diferencia media logartmica de temperatura y la razn de la prdida decalor del aceite son

Tln 19.87C

Q hAs Tln (16.3 W/m2 C)(188.5 m2)(19.87C) 6.11 104 W

20 19.74

ln 0 19.740 20

Ti Te

ln Ts TeTs Ti

(16.3 W/m2 C)(188.5 m2)(125.6 kg/s)(1 881 J/kg C)

14

0.145 W/m C0.3 m

kD

0.065(0.3/200) 636 10 8631 0.04[(0.3/200) 636 10 863]2/3

0.065 (D/L) Re Pr1 0.04 [(D/L) Re

Pr]2/3hDk

Vprom Dn

(2 m/s)(0.3 m)

9.429 104 m2/s


Por lo tanto, el aceite perder calor a razn de 61.1 kW cuando fluye por el tu-bo en las aguas heladas del lago. Note que, en este caso, Tln es idntica a latemperatura media aritmtica, ya que Ti Te.

c) El flujo laminar del aceite est hidrodinmicamente desarrollado. Por lo tan-to, se puede determinar el factor de friccin a partir de

f 0.1006

Entonces, la cada de presin en el tubo y la potencia requerida de bombeoquedan

P f 0.1006 1.19 105 N/m2

Wbomba 16.8 kW

Discusin Se necesita una bomba de 16.8 kW slo para vencer la friccin en el tubo cuando el aceite fluye en el tramo de 200 m de largo a travs del lago.

(125.6 kg/s)(1.19 105 N/m2)888.1 kg/m3

m#Pr

200 m0.3 m

(888.1 kg/m3)(2 m/s)22

LD rV 2prom

2

64Re

64636

CAPTULO 8473

8-6 FLUJO TURBULENTO EN TUBOSAl principio se mencion que el flujo en los tubos lisos es completamente tur-bulento para Re 10 000. El flujo turbulento se utiliza de manera comn enla prctica debido a los coeficientes ms altos de transferencia de calor asocia-dos con l. La mayor parte de las correlaciones para los coeficientes de fric-cin y de transferencia de calor en el flujo turbulento se basan en estudiosexperimentales debido a la dificultad para tratar en forma terica con este ti-po de flujo.

Para los tubos lisos, el factor de friccin en el flujo turbulento se puede de-terminar a partir de la primera ecuacin de Petukhov explcita [Petukhov(1970)], dada comoTubos lisos: f (0.790 ln Re 1.64)2 3 000 Re 5 106 (8-65)

El nmero de Nusselt en el flujo turbulento est relacionado con el factor defriccin a travs de la analoga de Chilton-Colburn, expresada como

Nu 0.125 f RePr1/3 (8-66)Una vez que se cuenta con el factor de friccin, se puede usar esta ecuacin demanera conveniente con el fin de evaluar el nmero de Nusselt tanto para lostubos lisos como para los speros.

Para el flujo turbulento completamente desarrollado en tubos lisos, se pue-de obtener una relacin simple para el nmero de Nusselt al sustituir en laecuacin 8.66 de la simple relacin de la ley de potencia f 0.184 Re0.2 parael factor de friccin. Esto da

Nu 0.023 Re0.8 Pr1/3 (8-67)

la cual se conoce como ecuacin de Colburn. Se puede mejorar la precisinde esta ecuacin al modificarla como

Nu 0.023 Re0.8 Pr n (8-68)

0.7 Pr 160Re 10 000


donde n 0.4 para el calentamiento y 0.3 para el enfriamiento del fluido quefluye por el tubo. Esta ecuacin se conoce como ecuacin de Dittus-Boelter[Dittus y Boelter (1930)] y se prefiere a la de Colburn.

Pueden usarse las ecuaciones precedentes cuando la diferencia de tempera-tura entre el fluido y la superficie de la pared no es grande, evaluando todaslas propiedades del fluido en la temperatura media del fluido, Tb (Ti Te)/2. Cuando la variacin es grande, debido a una diferencia grande en lastemperaturas, puede usarse la ecuacin que sigue, debida a Sieder y Tate(1936),

(8-69)

En este caso, todas las propiedades se evalan en Tb, excepto ms, la cual seevala en Ts.

Las relaciones del nmero de Nusselt que acaban de darse son bastante sim-ples, pero pueden dar errores tan grandes como de 25%. Este error se puedereducir de manera considerable, hasta menos de 10%, mediante relacionesms complejas pero precisas, como la segunda ecuacin de Petukhov, expre-sada como

Nu (8-70)

Se mejora la exactitud de esta relacin al modificarla como [Gnielinski(1976)]

Nu (8-71)

donde se puede determinar el factor de friccin f a partir de una relacin apro-piada, como la primera ecuacin de Petukhov. En los clculos debe preferirsela ecuacin de Gnielinski. Una vez ms, las propiedades deben evaluarse a latemperatura media de la masa del fluido.

Las relaciones antes dadas no son muy sensibles a las condiciones trmicasen las superficies del tubo y se pueden usar tanto para el caso de Ts constan-te como para el de qs constante. A pesar de su sencillez, las relaciones yapresentadas dan resultados suficientemente precisos para la mayor parte de losfines de ingeniera. Tambin se pueden usar para obtener estimaciones apro-ximadas del factor de friccin y de los coeficientes de transferencia de caloren la regin de transicin.

Las relaciones dadas hasta ahora no se aplican a los metales lquidos debi-do a sus nmeros de Prandtl muy bajos. Para los metales lquidos (0.004 Pr

0.01), Sleicher y Rouse (1975) recomiendan las relaciones siguientes para104 Re 106:

Metales lquidos, Ts constante: Nu 4.8 0.0156 Re0.85 Pr (8-72)

Metales lquidos, qs constante: Nu 6.3 0.0167 Re0.85 Pr (8-73)

donde el subndice s indica que el nmero de Prandtl se debe evaluar a la tem-peratura superficial.

0.93s

0.93s

0.5 Pr 2 0003 103 Re 5 106( f/8)(Re 1 000) Pr

1 12.7( f/8)0.5 (Pr2/3 1)

0.5 Pr 2 000104 Re 5 106( f/8) Re Pr

1.07 12.7( f/8)0.5 (Pr2/3 1)

0.7 Pr 17 600Re 10 000 Nu 0.027 Re0.8Pr1/3am

msb 0.14



Superficies sperasCualquier irregularidad o aspereza en la superficie perturba la subcapa lami-nar y afecta el flujo. Por lo tanto, a diferencia del flujo laminar, el factor defriccin y el coeficiente de conveccin en el flujo turbulento dependen fuerte-mente de la aspereza superficial.

El factor de friccin en el flujo turbulento completamente desarrollado enun tubo depende del nmero de Reynolds y de la aspereza relativa e/D, lacual es la razn de la altura media de la aspereza del tubo al dimetro de ste.La forma funcional de esta dependencia no se puede obtener a partir de unanlisis terico y todos los resultados de los que se dispone se obtienen deconcienzudos experimentos mediante el uso de superficies cuya aspereza seproduce en forma artificial (comnmente, al pegar granos de arena de untamao conocido sobre las superficies interiores de los tubos). La mayor partede esos experimentos los condujo J. Nikuradse, estudiante de Prandtl, en1933, y fueron seguidos por los trabajos de otros. El factor de friccin secalcul a partir de las mediciones del gasto y de la cada de presin.

Los resultados experimentales obtenidos se presentan en las formas tabular,grfica y funcional, obtenidas mediante ajuste de curvas con base en los datosexperimentales. En 1939, Cyril F. Colebrook (1910-1997) combin los datos dis-ponibles para el flujo de transicin y para el flujo turbulento en tubos lisos, ascomo speros, en la relacin implcita siguiente, conocida como ecuacin deColebrook:

2.0 log (flujo turbulento) (8-74)

Se observa que el logaritmo de la ecuacin 8-74 es uno de base 10, en lugar denatural. En 1942, el ingeniero estadounidense Hunter Rouse (1906-1996) veri-fic la ecuacin de Colebrook y produjo un trazo grfico de f como funcin deRe y del producto . Tambin present la relacin para el flujo laminar yuna tabla de asperezas de tubos comerciales. Dos aos ms tarde, Lewis F.Moody (1880-1953) volvi a trazar el diagrama de Rouse en la forma que esusada comnmente en la actualidad. En el apndice se da, como figura A-20, elahora famoso diagrama de Moody. En ste se presenta el factor de friccinde Darcy para el flujo en tubos como funcin del nmero de Reynolds y dee/D, sobre un amplio rango. Probablemente es uno de los diagramas acepta-dos y usados con ms amplitud en ingeniera. Aunque est desarrollado paratubos circulares, tambin se puede usar para tubos no circulares, al reemplazarel dimetro por el dimetro hidrulico.

Para los tubos lisos, la concordancia entre las ecuaciones de Petukhov y deColebrook es muy buena. El factor de friccin es mnimo para un tubo liso(pero todava no cero debido a la condicin de no deslizamiento) y aumentacon la aspereza (figura 8-25).

Los tubos que se encuentran en el comercio son diferentes a los usados en losexperimentos en el sentido de que la aspereza de los primeros no es uniforme yresulta difcil dar una descripcin precisa de ella. En la tabla 8-3 y en el diagra-ma de Moody, se dan valores de la aspereza equivalente para algunos tubos co-merciales. Pero debe tenerse presente que estos valores son para tubos nuevos yla aspereza relativa de stos puede incrementarse con el uso como consecuenciade la corrosin, la acumulacin de incrustacin y la precipitacin. Como resul-tado, el factor de friccin puede incrementarse en un factor de 5 a 10. En el di-seo de sistemas de tuberas, deben considerarse las condiciones reales deoperacin. Asimismo, el diagrama de Moody y su equivalente ecuacin de Co-

Re1f

/D3.7 2.51Re f1

f

CAPTULO 8475

Aspereza Factor derelativa, friccin,

/D f

0.0* 0.01190.00001 0.01190.0001 0.01340.0005 0.01720.001 0.01990.005 0.03050.01 0.03800.05 0.0716

*Superficie lisa. Todos los valores son para Re 106 y estn calculados con base en la ecua-cin 8-74.

FIGURA 8-25El factor de friccin es mnimo para un

tubo liso y aumenta con la aspereza.

TABLA 8-2

Tamaos estndar para tubos deacero cdula 40

Tamao Dimetro interiornominal, in real, in

18 0.26914 0.36438 0.49312 0.62234 0.8241 1.049112 1.6102 2.067212 2.4693 3.0685 5.047

10 10.02


lebrook comprenden varias incertidumbres (el tamao de la aspereza, el errorexperimental, el ajuste de la curva para los datos, etc.) y, por consiguiente, losresultados obtenidos no deben tratarse como exactos. Suele considerarse queson exactos hasta 15% sobre el intervalo completo de la figura.

La ecuacin de Colebrook es implcita en f y, por lo tanto, la determinacindel factor de friccin requiere alguna iteracin, a menos que se use un pro-grama para resolver ecuaciones, como EES. En l983, S. E. Haaland dio unarelacin explcita aproximada como

1.8 log (8-75)

Los resultados obtenidos a partir de esta relacin se encuentran a menos de 2%de diferencia de los obtenidos con la ecuacin de Colebrook. Si se desean re-sultados ms exactos, se puede usar la ecuacin 8-75 como una buena primeraconjetura en una iteracin de Newton cuando se usa una calculadora progra-mable o una hoja de clculo a fin de resolver para f con la ecuacin 8-74.

En el flujo turbulento la aspereza de la pared incrementa el coeficiente detransferencia de calor h en un factor de 2 o ms [Dipprey y Sabersky (1963)].Se puede calcular aproximadamente el coeficiente de transferencia de calorpor conveccin para los tubos speros con base en las relaciones del nmerode Nusselt, como la ecuacin 8-71, mediante el factor de friccin determina-do a partir del diagrama de Moody o la ecuacin de Colebrook. Sin embargo,este procedimiento no es muy exacto, ya que no se tiene un aumento adicio-nal en h con f para f 4fliso [Norris (1970)] y deben usarse las correlacionesdesarrolladas especficamente para los tubos speros cuando se desea una ma-yor exactitud.

Desarrollo del flujo turbulento en la regin de entradaLas longitudes de entrada para el flujo turbulento son tpicamente cortas, amenudo slo de 10 dimetros de tubo de largo y, por tanto, se puede usar demanera aproximada el nmero de Nusselt determinado para el flujo turbulen-to completamente desarrollado para todo el tubo. Este simple procedimientoproporciona resultados razonables para la cada de presin y la transferenciade calor, en el caso de tubos largos, y resultados conservadores para los tuboscortos. Para obtener una mayor exactitud, en la literatura se dispone de corre-laciones para los coeficientes de friccin y de transferencia de calor para lasregiones de entrada.

Flujo turbulento en tubos no circularesLos perfiles de velocidades y de temperaturas en el flujo turbulento son casilneas rectas en la regin central y se tienen cualesquiera gradientes significa-tivos de velocidad y de temperatura en la subcapa viscosa (figura 8-26). Apesar del espesor pequeo de la subcapa laminar (por lo comn mucho menosde 1% del dimetro del tubo), las caractersticas del flujo en esta capa son muyimportantes, ya que fijan el escenario para el flujo en el resto del tubo. Por lotanto, las caractersticas de la cada de presin y de la transferencia de calordel flujo turbulento en los tubos son dominados por la subcapa viscosa muydelgada prxima a la superficie de la pared y la forma de la regin central notiene mucho significado. Como consecuencia, tambin se pueden usar, con ra-zonable exactitud, las relaciones para el flujo turbulento antes dadas para lostubos circulares en los no circulares, al reemplazar el dimetro D en la evalua-cin del nmero de Reynolds por el dimetro hidrulico Dh 4Ac /p.

6.9Re /D3.71.11

1f


TABLA 8-3

Valores de la aspereza equivalentepara tubos comerciales nuevos*

Aspereza,

Material ft mm

Vidrio, plstico 0 (liso)Concreto 0.003-0.03 0.9-9Duela de

madera 0.0016 0.5Caucho

alisado 0.000033 0.01Tubera de co-

bre o latn 0.000005 0.0015Hierro

fundido 0.00085 0.26Hierro

galvanizado 0.0005 0.15Hierro forjado 0.00015 0.046Acero

inoxidable 0.000007 0.002Acero comer-

cial (liso) 0.00015 0.045

*La incertidumbre en estos valores puede ser tangrande como 60%.

u (r)r

Regin del ncleo

Subcapa viscosa

0

FIGURA 8-26En el flujo turbulento, el perfil develocidades es casi una recta en laregin del ncleo y se tienencualesquiera gradientes significativos develocidad en la subcapa viscosa.


Flujo por la seccin anular entre tubos concntricosAlgunos equipos sencillos de transferencia de calor constan de dos tubos con-cntricos y, de manera apropiada, se les conoce como intercambiadores de ca-lor de tubo doble (figura 8-27). En esos aparatos, uno de los fluidos fluye porel tubo en tanto que el otro fluye por el espacio anular. Las ecuaciones dife-renciales que rigen los dos flujos son idnticas. Por lo tanto, se puede estudiaranalticamente el flujo laminar estacionario por una corona circular mediantecondiciones de frontera adecuadas.

Considere una corona circular concntrica de dimetro interior Di y exteriorDo. El dimetro hidrulico de la corona es

Dh Do Di

El flujo en un espacio anular est asociado con dos nmeros de Nusselt Nui sobre la superficie interior del tubo y Nuo sobre la superficie exteriordel tubo ya que puede estar relacionado con transferencia de calor en lasdos superficies. En la tabla 8-4, se dan los nmeros de Nusselt para el flujo la-minar completamente desarrollado con una superficie isotrmica y la otraadiabtica. Cuando se conocen los nmeros de Nusselt, los coeficientes deconveccin para las superficies interior y exterior se determinan a partir de

Nui y Nuo (8-76)

Para el flujo turbulento completamente desarrollado, los coeficientes deconveccin interior y exterior son aproximadamente iguales entre s y la coro-na circular del tubo se puede considerar como un tubo no circular con un di-metro hidrulico de Dh Do Di. En este caso, se puede determinar elnmero de Nusselt con base en una relacin adecuada del flujo turbulento, como la ecuacin de Gnielinski. Para mejorar la exactitud de los nmeros deNusselt obtenidos a partir de estas relaciones para el flujo anular, Petukhov yRoizen (1964) recomiendan multiplicarlos por los siguientes factores de co-rreccin, cuando una de las paredes del tubo es adiabtica y la transferencia decalor se lleva a cabo a travs de la otra pared:

Fi 0.86 (pared exterior adiabtica) (8-77)

Fo 0.86 (pared interior adiabtica) (8-78)

Mejoramiento de la transferencia de calorLos tubos con superficies speras tienen coeficientes de transferencia de calormucho ms altos que aquellos con superficies lisas. Por lo tanto, a menudo lassuperficies de los tubos se hacen intencionalmente speras, corrugadas o conaletas con el fin de mejorar el coeficiente de transferencia de calor por con-veccin y, de este modo, la velocidad de la transferencia de calor por ese me-dio (figura 8-28). La transferencia de calor en el flujo turbulento en un tubo seha incrementado en tanto como 400% al hacer spera la superficie, por su-puesto, tambin se incrementa el factor de friccin y, en consecuencia, la ne-cesidad de potencia para la bomba o el ventilador.

Tambin se puede incrementar el coeficiente de transferencia de calor porconveccin al inducir flujo pulsante mediante generadores de pulsos, al indu-cir remolinos mediante la introduccin de una cinta en espiral dentro del tubo,o bien, induciendo flujos secundarios formando un serpentn con el tubo.

DiDo0.16

DiDo0.16

ho Dhk

hi Dhk

4p(D2o D2i )/4p(Do Di)

4Acp

CAPTULO 8477

a) Superficie con aletas

b) Superficie hecha spera

Aleta

Aspereza

FIGURA 8-28Con frecuencia las superficies de los

tubos se hacen intencionalmentesperas, se corrugan o se les colocan

aletas para mejorar la transferencia decalor por conveccin.

DoDi

FIGURA 8-27Un intercambiador de calor de tubo do-

ble consta de dos tubos concntricos.

TABLA 8-4

Nmero de Nusselt para flujo lami-nar completamente desarrollado enuna corona circular con una superfi-cie isotrmica y la otra adiabtica(Kays y Perkins, 1972)

Di /Do Nui Nuo

0 3.660.05 17.46 4.060.10 11.56 4.110.25 7.37 4.230.50 5.74 4.431.00 4.86 4.86



EJEMPLO 8-4 Cada de presin en un tubo de agua

Est fluyendo agua en forma estacionaria a 60F (r 62.36 lbm/ft3 y m 7.536 104 lbm/ft s) en un tubo horizontal de 2 in de dimetro interno,fabricado de acero inoxidable, a razn de 0.2 ft3/s (figura 8-29). Determine lacada de presin y la potencia de bombeo requerida para mantener el flujo entubo de 200 ft de largo.

SOLUCIN Se da el gasto volumtrico de agua que corre por un tubo especfi-co. Deben determinarse la cada de presin y las necesidades de potencia debombeo.Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 Los efectos de la en-trada son despreciables y, por tanto, el flujo est completamente desarrollado. 3 El tubo no contiene componentes como codos, vlvulas y conectores. 4 La sec-cin de tubera no contiene aparatos de trabajo como una bomba o una turbina.Propiedades Se da que la densidad y la viscosidad dinmica del agua son r 62.36 lbm/ft3 y m 7.536 104 lbm/ft s. Para el acero inoxidable, e 0.000007 ft (tabla 8-3).Anlisis En primer lugar se calculan la velocidad media y el nmero de Rey-nolds con el fin de determinar el rgimen de flujo:

V 9.17 ft/s

Re 126 400

lo cual es mayor que 10 000. Por lo tanto, el flujo es turbulento. La asperezarelativa del tubo es

/D 0.000042

El factor de friccin correspondiente a esta aspereza relativa y el nmero deReynolds se pueden determinar con facilidad a partir del diagrama de Moody.Para evitar el error de lectura, se determina con base en la ecuacin de Cole-brook:

2.0 log 2.0 log

Mediante un programa para resolver ecuaciones o un esquema iterativo se de-termina que el factor de friccin es f 0.0174. Entonces la cada de presin yla entrada requerida de potencia quedan

P f 0.0174

1 700 lbf/ft2 11.8 psi

Wbomba V

P (0.2 ft3/s)(1 700 lbf/ft2) 461 W

Por lo tanto, se necesita una entrada de potencia en la cantidad de 461 W para vencer las prdidas por friccin en el tubo.Discusin Tambin pudo determinarse el factor de friccin con facilidad a par-tir de la relacin explcita de Haaland. Dara f 0.0172, lo cual est suficien-temente cercano a 0.0174. Asimismo, en este caso el factor de friccincorrespondiente a 0 es 0.0170, lo cual indica que se puede suponer, conerror despreciable, que los tubos de acero inoxidable son lisos.

a 1 W0.73756 lbf ft/sb

a 1 lbf32.174 lbm ft/s2

b(62.36 lbm/ft3)(9.17 ft/s)22200 ft2/12 ftLD rV2

2

0.0000423.7 2.51126 400 f 1

f

/D3.7

2.51Re f

1f

0.000007 ft2/12 ft

(62.36 lbm/ft3)(9.17 ft/s)(2/12 ft)7.536 104 lbm/ft s

rVDm

0.2 ft3/sp(2/12 ft)2/4

V#

Ac

V#

pD2/4

200 ft

2 inAgua a 0.2 ft3/s

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Transferencia de Calor y Masa - Cengel 3th - 8 Convección Interna Forzada