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MEMORIAS DEL XXVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE DE 2021 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO
Tema A4 Termofluidos: Transferencia de calor en aletas
“Transferencia de calor en aletas de geometría pre-fractal: Experimentos y simulaciones numéricas”
Carlos Arturo Debenardi Aguirre a, Luis Enrique Martínez Alvarado b, Francisco Antonio
Godínez Rojano c, d, Francisco Javier Solorio Ordaz a, Rafael Chávez Martínez a, *.
a Departamento de Termofluidos, DIMEI, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Exterior S/N, Ciudad
Universitaria, Ciudad de México, C.P. 04510, México b Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería - Facultad de Ingeniería UNAM c Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, C. U., Ciudad de México, C.P. 04510, México d Polo Universitario de Tecnología Avanzada, km. 10 PIIT, C. P. 66629, Apodaca Nuevo León, México * Autor contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected]
R E S U M E N
En el presente trabajo se estudia de forma experimental y numérica el efecto de la primera iteración de la alfombra de
Sierpinski en la transferencia de calor en una aleta cuadrada de cobre en condiciones de convección natural. Los campos
de temperatura en la aleta se obtuvieron mediante termografía infrarroja, mientras que las simulaciones numéricas se
realizaron con el software ANSYS considerando transferencia de calor por conducción en la aleta y por convección al aire
circundante. Los resultados experimentales muestran que para la misma potencia de entrada, la temperatura en la base de
la aleta con geometría fractal se incrementa en 5 ºC debido a la eliminación de material y por consecuencia la disminución
del área de transferencia de calor por conducción. Las simulaciones numéricas muestran que la aleta con la primera
iteración de la alfombra de Sierpinski fomenta la circulación de aire a través de la ventana cuadrada.
Palabras Clave: transferencia de calor en aletas, convección natural, geometría pre-fractal, alfombra de Sierpinski.
A B S T R A C T
In the present work the effect of the first iteration of the Sierpinski carpet on the heat transfer process in a copper squared
fin in a natural convection environment is studied experimentally and numerically. Infrared thermography was used to
measure the temperature fields and numerical simulations were carried out using the ANSYS CFD software. For the same
input power in the heating base experimental results showed the temperature in the pre-fractal fin increases in 5 ºC compared
to the squared fin, due to the diminishing of the conduction heat transfer area in the fin. Numerical simulations show an air
flow through the window in the pre-fractal fin, promoting convection heat transfer and diminishing the temperature in the
edges of the window.
Keywords: heat transfer fins, natural convection, pre-fractal geometry, Sierpinski carpet.
1. Introducción
Los dispositivos tecnológicos que utilizamos en nuestra
vida cotidiana generan como producto residual calor, que
tiene que ser disipado a su entorno para garantizar un
óptimo desempeño. Los elementos que se encargan de
transferir esta energía térmica se conocen como
disipadores de calor, que se dividen en activos y pasivos.
Los primeros requieren suministro de electricidad,
mientras que los pasivos no ya que basan su
funcionamiento en la transferencia de calor por
convección natural. En la transferencia de calor por convección
interactúan una superficie y el fluido que lo circunda, el
calor transferido se calcula con la ley de enfriamiento de
Newton, ec. (1). De acuerdo con esta ecuación y
considerando a la temperatura de pared Ts fija, existen
tres formas de aumentar la transferencia de calor. Estas
se basan en incrementar: (a) el coeficiente de
transferencia de calor por convección h, (b) la diferencia
de temperatura entre la superficie y el fluido circundante,
o (c) el área de intercambio de calor A. La última da como
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resultado la generación de las aletas, incrementar su
capacidad de transferir calor es de interés tanto para la
industria como para la ciencia y es tal su importancia que
se han escrito libros sobre el tema [1].
𝑞 = ℎ 𝐴 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑎) (1)
Debido a los avances tecnológicos se crean
dispositivos y sistemas cada vez más compactos, que
generan una cantidad de calor por unidad de área cada
vez más grande. Lo anterior implica serias restricciones
de peso o espacio para los sistemas de enfriamiento. Lo
que ha llevado a estudiar diversas alternativas para el
enfriamiento de los dispositivos como utilizar fluidos
mezclados con nanopartículas [2-3], así como el uso de
aletas perforadas [4-5]. Los fractales son objetos cuya estructura geométrica
se repite indefinidamente a diferentes escalas. Por lo que
no importa si el objeto se amplía o reduce, el patrón
observado siempre será el mismo. Estos han sido tema de
estudio por varios años [6-7] y se han aplicado en
diferentes áreas de la ingeniería como las
telecomunicaciones [8-10], así como en otras áreas del
conocimiento como la biología [11] y la medicina [12-
13], por mencionar algunas. Uno de los fractales más
utilizados es la alfombra de Sierpinski, cuya primera
iteración se construye cuando un cuadrado de longitud l,
es dividido en nueve secciones cuadradas iguales, cuyos
lados miden l/3, y se elimina la sección central del
arreglo. Este proceso se aplica nuevamente a cada uno de
los ocho elementos restantes, para obtener la segunda
iteración. El proceso sigue sucesivamente hasta que se
llega a la iteración deseada. Los fractales son por
definición entes complejos que solo existen como
modelos matemáticos. En el mundo real solo se pueden
diseñar y construir estructuras conocidas como pre-
fractales, generadas a partir de un número finito de
iteraciones del fractal. En el caso de la alfombra de
Sierpinski, físicamente es muy difícil ir más allá de la
cuarta iteración. En lo que respecta al estudio de aletas fractales, se han
desarrollado diversos estudios tanto experimentales
como numéricos, algunos se pueden encontrar
publicados como tesis [14-16]. Utilizando la premisa de
aletas perforadas, Dannelley y Baker estudiaron
experimentalmente [17] las primeras tres iteraciones de
la alfombra de Sierpinski, maquinadas en aletas de
aluminio, y numéricamente [18] a las primeras cuatro
iteraciones, en ambos casos el enfriamiento de las aletas
fue por convección natural. Encontraron que la
efectividad de las aletas fractales es proporcional al área
de superficie, así como la relación efectividad por unidad
de masa es mayor al aumentar la iteración del fractal en
las aletas. Además, hipotetizaron que la cuarta iteración
tendría una mayor efectividad por unidad de masa que
una aleta rectangular sólida. Por su parte, Calamas et al. desarrollaron varios
trabajos experimentales en los que estudiaron el efecto de
las primeras cuatro iteraciones de la alfombra de
Sierpinski bajo convección natural [19], convección
forzada [20], así como el efecto del tamaño de la aleta y
de la potencia a disipar [21]. En todos ellos evaluaron la
eficiencia, efectividad y efectividad por unidad de masa
de las aletas estudiadas, y compararon sus resultados con
una aleta de las mismas dimensiones sin perforaciones.
Encontraron que la cuarta iteración de la alfombra de
Sierpinski tiene una mayor efectividad por unidad de
masa al compararlo con el caso base, mientras que la
transferencia de calor por radiación juega un papel
importante en el calor disipado por la aleta. Posteriormente, Calamas et al. ampliaron el trabajo de
Dannelley y Baker, estudiaron experimentalmente la
efectividad de aletas inspiradas en las primeras cuatro
iteraciones de la alfombra de Sierpinski en entornos de
convección natural [22], así como mixtos y forzados [23].
En estos trabajos Calamas et al. confirmaron la hipótesis
de Dannelley y Baker sobre la efectividad de una aleta
con la cuarta iteración de la alfombra de Sierpinski y
obtuvieron de forma analítica que una aleta inspirada en
la cuarta iteración resulta en un aumento en la efectividad
en comparación con una aleta plana rectangular sin
perforaciones. El presente trabajo tiene por objetivo estudiar de
forma experimental y numérica el efecto que tiene la
primera iteración de la carpeta de Sierpinski en la
transferencia de calor por conducción en una aleta
cuadrada de cobre, así como a la disipación de calor por
convección en su superficie. Enfocándose en el efecto de
la ventana de la primera iteración sobre el flujo
convectivo generado alrededor de la aleta. Para ello se
mide la distribución de temperatura por medio de
termografía infrarroja y se utiliza el software ANSYS
para simular el proceso de transferencia de calor.
2. Dispositivo experimental
Los experimentos fueron realizados en el Laboratorio de
Investigación en Termofluidos de la Facultad de
Ingeniería, en cuya entrada fueron instaladas barreras de
plástico para minimizar la generación de corrientes de
aire al ingresar al laboratorio, éstas también ayudaron a
disminuir la variación de la temperatura ambiente.
2.1 Dispositivo experimental
El arreglo experimental está conformado por una aleta y
una base de calentamiento. Durante los experimentos se
utilizaron dos tipos de aletas. La primera es una aleta
cuadrada de 10 cm de ancho, 10.5 cm de alto y 0.35 cm
de espesor. La segunda aleta es de dimensiones idénticas
y posee una ventana cuadrada en su centro, conforme la
primera iteración de la alfombra de Sierpinski, nombrada
en adelante como aleta pre-fractal. Dicha ventana se
maquinó con equipo CNC, teniendo una precisión en la
manufactura de ± 0.1 mm. Las aletas fueron pintadas de
color negro mate para garantizar que la emisividad de su
ISSN 2448-5551 T 233 Derechos Reservados © 2021, SOMIM
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superficie fuese lo más cercana a uno. En la Fig. 1 se
muestran esquemas de aletas utilizadas en los
experimentos. La base de calentamiento consiste en una barra
cuadrada de cobre electrolítico de 1.27 cm de lado y 10.0
cm de largo. Para acoplar la aleta a la barra de cobre, se
maquinó en la cara superior de esta última, una ranura de
0.5 cm de profundidad y 0.35 cm de ancho, con ajuste de
apriete. Para minimizar la resistencia térmica de contacto
entre las piezas se utilizó pasta térmica de silicón.
Adicionalmente se maquinaron tres agujeros en la pared
posterior de la base, en la que se instalaron termopares
para monitorear su temperatura, resaltados en color rojo
como se muestra en la Fig. 2. El calor es generado por
una resistencia eléctrica de 1.8 Ω y dimensiones de 10 cm
de largo, 1.27 cm de ancho y 0.35 cm de espesor, la cual
se fija en la superficie inferior de la barra de cobre. La
resistencia puede alcanzar una temperatura de hasta 100
ºC. Para minimizar las pérdidas de calor al ambiente, se
aisló a la base de calentamiento con madera de pino de
0.5 cm de espesor que funciona también como soporte
para todo el arreglo. Mediciones durante los
experimentos mostraron una pérdida de calor máxima del
5% a través del aislante. La Fig. 2 muestra un esquema del ensamble de las
piezas descritas. Al acoplar la aleta a la base de
calentamiento se tiene una aleta cuadrada de 10 cm por
lado.
2.2 Instrumentación
El equipo utilizado para la realización de los
experimentos consta de una fuente de alimentación que
suministra energía a la resistencia eléctrica, tiene una
capacidad máxima de 10 A y 24 V. La humedad relativa
en el laboratorio se monitoreó con el lector de humedad
SDL500 de la compañía EXTECH. Para la medición de temperatura se instrumentó un
termómetro digital de cuatro canales 88503-4ch-K-SD.
Se utilizaron termopares tipo K, tres instalados en la base
de calentamiento y uno para monitorear la temperatura
ambiente en el laboratorio, la posición del último se
puede observar en la Fig. 3. Se programó el dispositivo
para guardar la información con una frecuencia de
muestreo de 1 dato/s. Se utilizó un termistor SA1-TH-44034-40-T para
calibrar la cámara térmica. Este tiene una precisión de ±
0.1 ºC, y se conectó a un controlador DP25-TH para
monitorear en tiempo real la temperatura de la aleta. Para medir el campo de temperaturas en las aletas, se
empleó la cámara termográfica ThermaCAM P40 de la
marca FLIR SYSTEMS. Esta permite tomar fotografías
a intervalos de tiempo definidos o de forma manual. El
lente de la cámara se colocó perpendicularmente y a una
distancia de 0.4 m de la superficie frontal de la aleta. Para
mejorar las lecturas obtenidas, parámetros como
temperatura ambiente y humedad relativa fueron
monitoreados y especificados en el software de control
de la cámara. El arreglo experimental se instaló dentro de un
cilindro de acrílico para minimizar las perturbaciones del
espacio de trabajo en la aleta, este tiene 0.70 m de alto,
0.50 m de diámetro interno y un espesor de 0.05 m. El
interior fue recubierto con papel negro mate para
minimizar reflejos. Se maquinó una ventana circular de
0.10 m de diámetro en la parte frontal del cilindro, que
sirve como ventana de visualización para tomar las
termografías. A 3.0 cm de la base del cilindro se
maquinaron dos ranuras de 6.0 cm de largo y 2.0 cm de
ancho, que sirven como ventilación. El arreglo
experimental completo se muestra en la Fig. 3.
Fig. 1 - Vista en isométrico de las aletas utilizadas. Izquierda -
iteración 0 (I0). Derecha - iteración 1 (I1)
Fig. 2 – Ensamble de la aleta y la base de calentamiento
Fig. 3. Arreglo experimental. 1): Termistor, 2) Termómetro
digital, 3) Fuente de alimentación, 4) Ranura de ventilación, 5)
Termopar
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2. Método numérico
El software utilizado en las simulaciones es la versión
estudiantil de ANSYS FLUENT 2021 R1. Para el
análisis, se trataron de reproducir lo más fielmente
posible las condiciones experimentales. En
consecuencia, se usaron exactamente los mismos
materiales de construcción y las mismas geometrías y
dimensiones de las aletas disipadoras; así mismo, se
contempló la base de calentamiento para establecer el
posicionamiento correcto de las aletas en el interior del
cilindro ranurado. Es importante destacar que la base no
interviene en el análisis térmico, solo sirve para
posicionar y dar soporte a la aleta e igualar las
condiciones geométricas de los experimentos. El
dominio de aire alrededor de cada disipador se consideró
con la misma forma y dimensiones del contenedor
cilíndrico, tal como se muestra en la Fig. 4. Además, se
tomaron en cuenta dos entradas laterales de aire (ranuras
de ventilación, ver Fig.4) y una entrada frontal (ventana
circular), mientras que la parte superior del cilindro se
consideró como una salida circular de aire. Las tres
entradas y la salida de aire se tomaron como condiciones
de frontera a una presión atmosférica de 101 kPa y a una
temperatura ambiente de 17 °C. El fenómeno simulado incluye a la conducción de
calor a través de la aleta y las pérdidas de calor por
convección hacia el aire circundante. La ecuación de
gobierno únicamente para la conducción de calor en el
disipador es la ecuación de energía en estado permanente:
∇2𝑇𝐷 = 0 (2)
donde 𝑇𝐷 es la temperatura en el disipador de calor. Las
condiciones de frontera en este caso, consisten en
considerar una temperatura constante en la base
𝑇𝐷(x=0,y,z,t) = γ °C, mientras las demás caras del
disipador permanecen en contacto con el aire
circundante, donde ocurren las pérdidas de calor por
convección, como se ilustra en la Fig. 5. Para las
simulaciones se utilizaron los resultados de las pruebas
experimentales, es decir con la aleta I0 se utilizó
γ = 62 ºC, mientras que para la aleta I1 se utilizó
γ = 67 ºC. Como también es de interés conocer las variaciones
de temperatura, velocidad y densidad en el aire, se
considera la continuidad de energía entre los medios
sólido y fluido, por lo que se considera una condición de
frontera del tipo conjugada, donde el calor que gana el
aire es el mismo que pierde el disipador:
𝑛 ∙ (𝑘𝐴 ∇𝑇𝐴)|𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 ∙ (𝑘𝐷 ∇𝑇𝐷)|𝑖𝑛𝑡 (3)
donde 𝑘 es la conductividad térmica, mientras que los
subíndices 𝐴 y 𝐷 indican respectivamente, aire y
disipador. Las ecuaciones de gobierno para el aire son las
de conservación de masa, momentum y energía,
respectivamente [24]:
Fig. 4. Modelo usado para las simulaciones. El ensamble aleta-
base se encuentra inmerso en un dominio de aire con la forma del
contenedor cilíndrico. Se consideran tres entradas y una salida de
aire
Fig. 5. Condiciones de frontera para el disipador
∇ ∙ �̅� = 0 (4) ρ(�̅� ∙ ∇ �̅�) = −∇𝑃 + 𝜇∇2�̅� + 𝜌 �̅� (5) 𝛼 ∇2 𝑇𝐴 = �̅� (∇ ∙ 𝑇𝐴) (6)
donde �̅� es la velocidad, 𝜌 es la densidad, 𝛼 es la
difusividad térmica, 𝑇𝐴 es la temperatura, 𝑃 es la presión,
𝜇 es la viscosidad, y �̅� es la aceleración de la gravedad
(-9.81 m/s2, en la dirección negativa del eje x como se
aprecia en la Fig. 4). Dado que el aire se considera
incompresible, las variaciones en la densidad dependen
principalmente de la temperatura, de acuerdo con la ley
de los gases ideales se tiene:
𝜌 (𝑇) = 𝑃 𝑀
𝑅𝑢 𝑇 (7)
donde Ru es la constante del gas ideal, M es la masa
molar del aire, P es la presión y T es la temperatura en
Kelvin. En la Tabla 1 se muestran los valores de los
parámetros usados en las simulaciones, tanto para el
material de las aletas como para las propiedades del aire. El modelo de interpolación/discretización utilizado en
las simulaciones es el “Upwind de segundo orden”;
mientras que el esquema “Coupled” se usó para el
acoplamiento de la distribución de la presión con las
ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento.
Los residuos de las ecuaciones de continuidad,
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momentum y energía se fijaron por debajo de 1 × 10−2.
El mallado de los dominios (sólido y gaseoso) se
construyó con elementos hexaédricos y tetraédricos de un
tamaño mínimo de 10 mm.
Tabla 1 – Propiedades del material de las aletas y del aire
circundante
Propiedad Disipador Aire
Conductividad térmica 394 W/m K -
Difusividad térmica - 2.035×10-5 m2/s2
Densidad 8900 kg/m3 1.217 kg/m3
Viscosidad dinámica - 1.812 ×10-5 Pa·s
Calor específico - 1007 J/kg K
Constante del gas ideal - 8.314
kJ/kmol K
Masa molar - 28.964 kg/mol
Coeficiente de expansión
volumétrica
- 3.440×10-3 K-1
Viscosidad cinemática - 18×10-6 m2/s
Número de Prandtl - 0.72
1. Desarrollo experimental
Para minimizar las fuentes de ruido que afecten a las
termografías, los experimentos se realizaron en un
ambiente sin luz natural o artificial. El cilindro de acrílico
evita que fuentes de calor externas como las
computadoras, el equipo utilizado y el usuario del equipo,
afecten a las lecturas. La temperatura promedio en el
laboratorio fue de 17.5 ºC ± 0.8 ºC, mientras que la
humedad relativa se mantuvo en 60%.
4.1 Calibración del equipo
Para obtener los campos de temperatura fue necesario
obtener la emisividad de las aletas y realizar la
calibración de la cámara térmica. Para ello, se utilizó el
termistor SA1-TH-44034-40-T como instrumento de
comparación el cual fue colocado en la parte central de la
superficie posterior de la aleta I0. El procedimiento de calibración consiste en
establecer una temperatura constante en la aleta. Se
comparan las lecturas del termistor y de la cámara
térmica. De ser necesario se corrige el valor de la
emisividad en el software de la cámara, hasta obtener la
misma temperatura en ambos instrumentos en la región
central de la aleta. Como resultado de este proceso se
obtuvo que la emisividad de la aleta es 1. Este
procedimiento sirvió también para establecer la escala
para convertir las termografías a una matriz de
temperaturas. Se asignó a cada color en escala de gris en
la región central de la aleta la temperatura en esa área. La
calibración se realizó para temperaturas de 20 ºC a 80 ºC,
con incrementos de 5 ºC.
4.2 Obtención de resultados
Para minimizar el ruido en los campos de temperatura se
dividió a la aleta en áreas de interrogación de 5 pixeles ×
5 pixeles en las que se promedió la temperatura,
físicamente estas áreas son de 0.125 mm × 0.125 mm. El
área ocupada por las aletas en las termografías es de 400
pixeles × 400 pixeles, por lo que la matriz de
temperaturas resultante es de 80 × 80 elementos. Para verificar la repetibilidad de los experimentos, se
realizaron diez pruebas con la aleta I0, suministrando
25 W a la base de calentamiento. El tiempo promedio
necesario para alcanzar una temperatura estable en la
aleta fue de 42 minutos. La temperatura promedio en la
base de calentamiento fue de 80.18 ºC ± 0.21 ºC. La
máxima incertidumbre de la temperatura en la placa es de
0.98 ºC, que es aproximadamente un orden de magnitud
mayor al presentado por el termistor utilizado para
calibrar a la cámara térmica. De las pruebas realizadas se
encontró que la temperatura en la base de la aleta es de
62 ºC y 67 ºC para I0 e I1 respectivamente. Estos datos
se utilizaron como condición de frontera en la base de la
aleta para realizar las simulaciones. Los vectores del flujo de calor (W/m2) en la aleta se
calcularon por medio de la ley de Fourier aplicada para Z
y X
𝑞𝑧" = − 𝑘
∆ 𝑇
∆ 𝑧 = 𝑘
𝑇(𝑖+1,𝑗) − 𝑇(𝑖,𝑗)
𝑧(𝑖+1) +𝑧(𝑖) (8)
𝑞𝑥" = − 𝑘
∆ 𝑇
∆ 𝑥 = 𝑘
𝑇(𝑖,𝑗+1) − 𝑇(𝑖,𝑗)
𝑥(𝑗+1) +𝑥(𝑖) (9)
donde Δz = Δx = 0.125 mm, es la distancia de separación
entre el centro de cada elemento de la matriz de
temperatura para la dirección Z y X respectivamente. El
material se consideró isotrópico y de acuerdo con el
fabricante k = 394 W/ m2K.
4.3 Presentación de resultados
Los resultados experimentales se presentan en gráficas de
iso-temperatura, de vectores de flujo de calor y perfiles
de temperatura en puntos específicos tanto para Z, como
X. Los primeros permiten observar la distribución de
temperatura en toda la aleta. Debido a que se quiere
estudiar el comportamiento del flujo de calor por
conducción en la superficie de la aleta y el efecto de la
ventana generada por la primera iteración de la alfombra
de Sierpinski, los vectores de flujo de calor fueron
calculados únicamente en la superficie de la aleta,
ignorando la transferencia de calor por convección en los
bordes de esta. Por su parte, los perfiles de temperatura
permiten estudiar en detalle el comportamiento de la aleta
en ciertas regiones de esta, estos fueron obtenidos para Z
= 3.12 cm, y Z = 5.00 cm, mientras que en dirección
horizontal se graficaron para X = 1.50 cm a X = 9.00 cm,
en intervalos de 1.5 cm.
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Los resultados numéricos se presentan en gráficas de
iso-temperatura tanto en la superficie de la placa, y
superficies de iso-temperatura e iso-velocidad para el
flujo convectivo alrededor de la placa.
2. Resultados
En la Fig. 6 se presentan los campos de temperatura
obtenidos experimentalmente para I0 e I1, en ambos
casos se suministraron 25 W a la base de calentamiento.
Ambas aletas tienen una distribución lineal de
temperatura, como se muestra en las Figs. 7 y 8,
interrumpida en I1 por la perforación cuadrada en la
aleta. Para I1 se presenta una temperatura mayor en la base
de la aleta que para I0, esto se debe a que al eliminar la
zona central de la aleta se disminuye en un tercio el área
de transferencia de calor por conducción,
incrementándose en la misma proporción la resistencia
térmica por conducción en la aleta (Rt), definida como:
𝑅𝑡 = 𝐿
𝑘 𝐴 (10)
donde L es la distancia entre dos puntos de temperatura
en dirección X, k es la conductividad térmica de la aleta
y A es el área transversal de la aleta. El incremento de temperatura en I1 es uniforme en
toda la aleta, 5 ºC aproximadamente. Por otro lado, para
I0 la zona de alta temperatura abarca únicamente el
primer centímetro desde la base, mientras que para I1 ésta
se extiende hasta los 3 cm aproximadamente, justo
debajo de la perforación de la aleta. Algo similar ocurre
para la zona de baja temperatura en el extremo de la aleta,
como se muestra en la Fig. 6. En la aleta I0, el efecto del borde de la aleta se puede
observar en la Fig. 9. En ambos extremos de la aleta,
Z = 0 cm y Z = 10 cm, hay un decremento de
aproximadamente 2 ºC cerca de la base, mientras que en
el extremo de la aleta es de solo 1 ºC, esto se debe a que
la diferencia de temperatura de la placa respecto al
ambiente es mayor en la base. Para I1, el efecto de la perforación en la aleta se hace
evidente en la Fig. 7, donde el perfil de temperatura en
Z = 3.12 cm disminuye drásticamente 3 ºC en la zona
adyacente a la perforación, es decir de X = 3.3 cm a
X = 6.6 cm, rango en el cual el perfil de temperatura para
I0 e I1 son prácticamente iguales. Los perfiles de
temperatura en Z = 5.0 cm se presentan en la Fig. 8, en la
que los bordes de la perforación están señalados con
líneas verticales, para I1 se presenta una disminución de
temperatura de aproximadamente 5 ºC en el borde
inferior y de 1 ºC en el borde superior, en este último la
resolución de los resultados experimentales no permite
obtener la temperatura en el borde.
Fig. 6. Contornos de temperatura para I0 (arriba) e I1 (abajo),
resultados experimentales
Fig. 7. Perfiles de temperatura en X para I0 e I1, para Z = 3.12 cm
Fig. 8. Perfiles de temperatura en X para I0 e I1, Z = 5 cm
Fig. 9. Perfiles de temperatura de I0, en el eje Z para distancias de
la base X = 1.5 cm, 3.0 cm, 4.5 cm, 6.0 cm, 7.5 cm y 9 cm
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Fig. 10. Flujo de calor en la aleta I1
El efecto de la perforación también se puede observar
en la gráfica de flujo de calor, ver Fig. 10, en la que los
vectores adyacentes a este espacio son normales a sus
bordes y su tamaño es claramente mayor que en el resto
de la aleta. Por lo que se puede concluir que la
perforación cuadrada favorece la transferencia de calor
en las zonas adyacentes a ésta.
5.1 Comparación de resultados experimentales y
numéricos En las Figs. 6 y 11 se presentan los campos de
temperatura obtenidos de los experimentos y de las
simulaciones numéricas respectivamente. Al comparar
cualitativamente ambos resultados, se puede encontrar
gran similitud entre ellos. Por ejemplo, en la Fig. 11 se
puede observar que la región de mayor temperatura es
más amplia para I1. De igual forma se visualiza que en la
parte inferior de la ventana, se favorece la transferencia
de calor al curvar las superficies de iso-temperatura. Una
comparación cuantitativa muestra diferencias claras entre
ambas metodologías, siendo la temperatura de las aletas
5 ºC menor en los resultados experimentales.
5.2 Flujo convectivo
Las Figs. 12 y 13 presentan, respectivamente, las
distribuciones de temperaturas y velocidades
correspondientes al flujo convectivo en las
inmediaciones y en las zonas apartadas de las aletas I0
(usada como referencia) e I1. En la parte superior de cada
figura, se han dispuesto la vista frontal (VF) y la lateral
(VL) de la aleta I0, mientras que en la parte inferior se
observan la VF y la VL correspondientes a la aleta I1.
Cabe señalar que la vista lateral de cada aleta coincide
con el plano vertical de corte XY que pasa por su mitad
geométrica. Los resultados muestran diferencias claras
en los patrones de flujo convectivo generados en las
aletas. La VL de la aleta I0 (ver Fig.12) muestra como el
aire en el exterior del dominio cilíndrico es succionado a
Fig. 11. Contornos de temperatura en las aletas, resultados
numéricos. Arriba- I0, abajo - I1
través de la ventana circular y las ranuras laterales hacia
la cara frontal de la placa, a medida que el aire se acerca
a la superficie, éste se calienta y eleva porque su densidad
disminuye. De este modo, la parte central de la aleta se
vuelve ineficaz porque la corriente de aire caliente pasa
sobre esa zona y no produce una gran transferencia de
calor. En cambio, la aleta I1 revela que el área eliminada
por la perforación cuadrada se compensa con la entrada
de más aire frío (ver VF en la Fig.12). Una inspección
cuidadosa de la Fig. 12, muestra distribuciones
asimétricas de temperatura para las aletas I0 e I1.
Creemos que esto se debe a dos aspectos: 1) la posición
de la aleta no está ubicada en el centro del contenedor
cilíndrico, 2) solo se tiene una ventana lateral circular
como entrada principal de aire. Ambas condiciones hacen
que el sistema sea asimétrico, y por ende, también lo sean
las distribuciones de temperatura y velocidad (ver Fig.
13) de las plumas térmicas. Además, las vistas laterales
de la Fig. 13 dejan ver las distribuciones características
de velocidad en las plumas correspondientes a las aletas
I0 e I1. Las velocidades más grandes se desarrollan a una
cierta distancia del extremo superior de las aletas, lo cual
se debe a un proceso de aceleración del flujo al estar
sujeto a la fuerza de flotación. Otro aspecto que vale la
pena destacar es la diferencia observada en la estructura
de las chimeneas generadas en la parte superior de las
aletas. La parte trasera de la aleta I0 tiende a bloquear el
flujo y circulación de aire generando una zona de
estancamiento (en forma de gota, ver VL en la Fig. 13),
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Fig. 12. Distribuciones de temperatura para el flujo aledaño a las
aletas y en zonas lejanas a las mismas. En la parte superior se
muestran las vistas frontal (VF) y lateral (VL) de la aleta I0, en la
parte inferior se muestran las vistas correspondientes a la aleta I1
lo cual impide que el aire caliente se desplace hacia
arriba, disminuyendo la eficiencia en la transferencia de
calor, adicionalmente la chimenea que nace en el extremo
superior de la aleta tiende a rodear la zona de
estancamiento y a pegarse sobre la superficie interna del
contenedor cilíndrico hasta alcanzar la salida circular de
aire. Por su parte, el flujo de aire a través de la ventana
cuadrada como lo evidencian la VF de la Fig. 13 y la Fig.
14 (la cual muestra el campo de velocidades cercano a la
aleta I1), tiene un efecto interesante en la estructura de la
chimenea correspondiente a la aleta I1. En este caso, se
genera una zona de recirculación mucho más amplia que
la zona de estancamiento observada en el caso de la
aleta I0; de manera similar, la chimenea que nace en el
extremo superior de la aleta I1 rodea la zona de
recirculación y tiende a acercarse y pegarse ligeramente
a la superficie interior del cilindro en su parte más alta,
esto facilita mucho más el flujo de aire hacia la zona
superior de descarga de aire caliente, lo cual en principio
mejora el proceso de transmisión de calor. Por otro lado, cuando se diseñan aletas de
enfriamiento es útil conocer las características del flujo
en la capa límite. El número adimensional de Rayleigh
(Ra) es de suma importancia para determinar si el flujo
en la capa límite es laminar o turbulento. Para una placa
plana vertical, el flujo se vuelve turbulento para un valor
de [28]
Fig.13. Distribuciones de velocidad para el aire circundante al
disipador
Fig. 14. Campo de velocidades en las proximidades de la aleta
I1, evidentemente se predice un flujo de aire que pasa a través de
la ventana cuadrada en el centro de la placa
𝑅𝑎 = 𝑔 𝛽 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝐿3
𝜈2 𝑃𝑟 ≈ 109 (11)
donde β es el coeficiente de expansión del aire, 𝑇𝑠 es la
temperatura en la aleta, 𝑇∞ es la temperatura del aire a
corriente libre, Pr es el número de Prandtl, L es la
longitud característica de la aleta y ν es la viscosidad
cinemática. Tomando los datos correspondientes a la
aleta de referencia I0 (ver Tabla 1), resulta un
𝑅𝑎 = 3.29 × 106. Este valor indica que el flujo en
la capa límite en la aleta de referencia es laminar. Para
este régimen es posible estimar un número de Nusselt,
𝑁𝑢 = 0.59 𝑅𝑎1/4 = 25.13.
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También, es posible mediante un análisis sencillo
(para los detalles se recomienda consultar [25])
calcular el espesor de la capa límite (δ) en el borde
superior de la aleta, así como la velocidad máxima
desarrollada (u). Mediante las siguientes ecuaciones se
estiman el espesor y la velocidad
𝛿 = 6 𝐿
(𝐺𝑟/4)1/4 (12)
𝑢 = 2 𝜈 𝑓′ (𝜂) 𝐺𝑟1/2
𝐿 (13)
donde 𝑓′ (𝜂) es un parámetro que se toma de gráficas de
perfiles de velocidad [25] y su valor es aproximadamente
0.28, y el símbolo Gr representa el número adimensional
de Grashof, el cual se calcula como:
𝐺𝑟 = 𝑅𝑎
𝑃𝑟 = 4.71 × 106, (14)
así se calcula que δ = 1.82 cm, u = 0.21 m/s. Vale la pena mencionar que estas estimaciones
concuerdan en cierta medida con lo que muestran las
simulaciones numéricas, a pesar de que la aproximación
usada para los cálculos, mediante las ecs. (12) y (13), se
basan en considerar una placa vertical bajo condiciones
isotérmicas, lo cual, por supuesto no se cumple para las
placas que se estudian aquí. En la Fig. 15 se muestran dos acercamientos a las
vistas laterales de las aletas I0 e I1 para visualizar mejor
las características de la capa límite. Se dibujó encima de
cada figura un contorno típico de la forma que adquiere
la capa límite, se indicó además el espesor δ en el borde
superior de la aleta. Para la aleta de referencia I0, se
aprecia a partir de la figura que la distancia δ equivaldría
aproximadamente a 1.66 cm, este valor es 9% menor a lo
estimado con la ec. (11). Por otro lado, la velocidad
máxima según la escala de colores de la simulación es de
alrededor de 0.17 m/s, este valor es 14% menor a lo
estimado con la ec. (12). Para el caso de la aleta I1, se
observa un decrecimiento en el espesor de la capa límite
al compararla con el caso de la aleta I0, de la figura es
posible estimar un valor de δ ≈ 1.37 cm, esto implica una
disminución del 17.5%. En cuanto a la velocidad, según
la escala de colores de la simulación indica que
u ≈ 0.1729 m/s, lo cual implica un ligero incremento con
respecto a lo obtenido para la aleta I0. Esto no es
sorprendente, pues una mayor velocidad en la capa límite
implica por un lado un espesor más delgado
corroborando lo arriba descrito; y por otro lado una capa
menos resistente a la transferencia de calor.
3. Conclusiones
Se llevaron a cabo experimentos, así como
simulaciones numéricas de la transferencia de calor por
convección natural en dos aletas verticales de diferente
geometría: una aleta cuadrada y una aleta pre-fractal
Fig. 15. Distribuciones de velocidad para el aire circundante al
disipador. a) Capa límite desarrollada en la aleta de referencia I0.
b) Capa límite en la aleta perforada I1
perforada de acuerdo con la iteración uno de la alfombra
de Sierpinski. Sobre la base de los resultados numérico-
experimentales obtenidos, se pueden extraer las
siguientes conclusiones: • Los resultados experimentales muestran que en la
aleta pre-fractal se promueve la transferencia de
calor en la periferia de la ventana cuadrada; sin
embargo, debido al material eliminado se disminuye
el área transversal de la aleta, restringiendo la
transferencia de calor por conducción y ocasionando
el incremento de la temperatura en su base.
• Las simulaciones numéricas revelan cómo la
cercanía de las aletas a la pared interna del
contenedor cilíndrico provoca efectos que hacen
ineficaz la transferencia de calor por convección. En
el caso de la aleta sin perforación se predice la
formación de una zona de estancamiento que por un
lado impide al aire caliente desplazarse libremente
hacia la zona de descarga, y por otro lado ocasiona
que la chimenea que nace en el extremo superior de
la aleta tienda a pegarse sobre la superficie interna
del contenedor. Algo similar es predicho para la aleta
perforada, sin embargo, el flujo de aire a través de la
ventana cuadrada tiende a aminorar los efectos
negativos arriba señalados.
• El flujo en la capa límite para ambas placas se
cataloga dentro del régimen laminar. Sin embargo,
se predicen ligeras diferencias entre las
características de la capa límite (espesor y velocidad)
correspondientes a cada aleta. En la placa perforada
se desarrollan capas más delgadas y con velocidades
mayores; lo que implica menos resistencia a la
transferencia de calor y por ende una ventaja que
puede ser explotada para hacer más eficiente la
transferencia de calor.
Agradecimientos
El trabajo es patrocinado por la DGAPA de la UNAM
por medio del proyecto IN-113821. Agradecemos al
Prof. Mihir Sen por los valiosos comentarios.
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