Transf Lorentz Consecinte Ale Trans Lorentz

Teoria relativităţii restrânseTeoria relativităţii restrânse

Transformările Lorentz .Transformările Lorentz .Consecinţe ale transformărilor LorentzConsecinţe ale transformărilor Lorentz

Rezumat

Eseul dezbate transformările Lorentz şi prezintă modul în care acestea au fost elaborate plecând de la postulatele teoriei relativităţii restrânse emise de Einstein . De asemenea , în eseu sunt expuse şi consecinţele transformărilor Lorentz ( contracţia lungimilor , dilatarea duratelor şi legea de compunere relativistă a vitezelor ) .

1. Introducere . Postulatele lui Einstein

O serie întreagă de experienţe efectuate la sfârşitul secolului trecut ( experienţele lui Michelson – 1881 , Michelson şi Morley – 1887 , Morley şi Miller – 1904 ) nu au putut fi interpretate pe baza principiilor generale ale mecanicii newtoniene , evidenţiind astfel caracterul limitat al acestora . A apărut necesitatea elaborării unei noi teorii capabilă să explice consecvent noile fapte experimentale acumulate .

Acest lucru a fost realizat în 1905 de către Albert Einstein care a formulat două noi principii generale ( postulate ) care stau la baza teoriei relativităţii restrânse .

1.Principiul relativităţii : „Legile fizicii sunt aceleaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale” .

2.Principiul constanţei luminii în vid : „Viteza luminii în vid are aceeaşi valoare în toate direcţiile şi în toate sistemele de referinţă inerţiale , fiind independentă de mişcarea sursei de lumină sau a observatorului” .

Principiile teoriei se referă doar la cazul mai particular al sistemelor de referinţă inerţiale ( SRI ) , din care cauză se numeşte teoria relativităţii restrânse . Mai menţionăm că Einstein a construit o teorie care se aplică şi sistemelor neinerţiale numită teoria relativităţii restrânse .

Observaţie 1:Observaţie 1: Primul principiu constituie de fapt o generalizare a principiului relativităţii galileiene din mecanică ( care se referă doar la legile mecanicii ) pentru toate fenomenele fizice . El arată că în condiţii identice un fenomen fizic se desfăşoară la fel în SRI diferite. Aceasta înseamnă că prin nici o experienţă de fizică nu poate fi pusă în evidenţă mişcarea rectilinie şi uniformă a unui SRI .

Observaţie 2:Observaţie 2: Cel de-al doilea principiu intră în contradicţie cu primul . Într-adevăr , dacă sursa luminoasă se apropie sau se depărtează de observator cu viteza v , conform legii de compunere a vitezelor dată de cinematica newtoniană viteza luminii faţă de observator ar trebui să fie c + v în primul caz şi respectiv c – v în al doilea caz . Principiul al doilea al teoriei relativităţii restrânse afirmă însă că viteza luminii faţă de observator este aceeaşi în ambele situaţii :

c = 3 ∙10 m/s

1

Transformările Lorentz . ConsecinţeTransformările Lorentz . Consecinţe

2. Transformările Lorentz

Se ştie că transformările lui Galilei care dau relaţiile dintre poziţia şi timpul măsurate în SRI ( S’ ) în mişcare şi respectiv în SRI ( S ) considerat fix , exprimă matematic principiul relativităţii mecanice , deoarece lasă neschimbate ecuaţiile dinamicii. Ar părea plauzibil să considerăm că transformările lui Galilei ne dau , şi în teoria lui Einstein , relaţiile de trecere de la un SRI la altul , adică exprimă matematic şi primul principiu al teoriei relativităţii restrânse . Problema esenţială este de a vedea dacă aceste transformări nu contrazic principiul constanţei luminii în vid . Pentru a putea să răspundem la această întrebare să analizăm cu atenţie consecinţele acestui principiu .

Conform principiului lui Huygens , radiaţia luminoasă emisă de o sursă punctiformă se propagă sub forma unei unde sferice , înţelegând prin aceasta că frontul de undă este o suprafaţă sferică de rază R = ct , unde c este viteza luminii în vid , iar t – timpul necesar luminii să se propage de la sursă până la punctul din spaţiu atins de frontul de undă . Considerând sursa în originea sistemului de coordonate legate de SRI fix ( S ) , ecuaţia acestei suprafeţe este :

x + y + z = R = c t . ( 2.1 )

În figura 2.1 am reprezentat intersecţia sferei cu planul xOy al sistemului de coordonate ales .

y

x

Fig. 2.1

Fie acum SRI mobil ( S’ ) care se deplasează faţă de S cu viteza v dirijată în lungul axei x ( fig. 2.2 ) . Presupunem că la momentul t = t’ = 0 originile O şi O’ ale celor două sisteme de coordonate coincid . Pentru un observator care se află în repaus faţă de sistemul ( S ) frontul undei emise la t = 0 din O va fi după t secunde suprafaţa sferică cu centrul în O ( fig. 2.2.a ) de rază ct ( ecuaţia 2.1 ) . Pentru observatorul care se găseşte în repaus faţă de sistemul ( S’ ) conform principiului relativităţii frontul de undă va fi tot o sferă cu centrul în punctul unde a fost emisă lumina în acest sistem , adică punctul O’ (fig. 2.2.b) deoarece acesta coincidea cu O la momentul emisiei ( t = t’ = 0 ) . Conform principiului al doilea al teoriei relativităţii restrânse după t’ secunde raza R’ a frontului de undă va fi ct’ deoarece viteza luminii în vid nu depinde de mişcarea sistemului de referinţă . Prin urmare frontul de undă în acest sistem este reprezentat de ecuaţia :

2

R = ct O


. ( 2.2 )Dacă transformările Galilei descriu corect din punct de vedere matematic

principiile teoriei relativităţii restrânse ele trebuie să transforme ecuaţia ( 2.2 ) în ( 2.1 ) şi invers . Aceasta înseamnă că prin înlocuirea lui x’ , y’ , z’ şi t’ conform relaţiilor lui Galilei ecuaţia ( 2.2 ) trebuie să treacă în ( 2.1 ) pentru orice punct din spaţiu orice moment de timp . Să înlocuim această înlocuire :

sau . ( 2.3 )

După cum se vede imediat , ultima relaţie nu poate să coincidă cu ( 2.1 ) pentru orice valoare a lui x ,y ,z şi t . În concluzie , transformarea lui Galilei nu ne furnizează din punct de vedere al teoriei relativităţii restrânse relaţiile corecte de trecere de la un SRI la altul .

y y’ y y’(S) (S’) (S) (S’)

P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)

x,x’ x’

a) b)Fig. 2.2

Să încercăm să modificăm relaţiile de transformare ( ale lui Galilei ) aşa încât ecuaţia ( 2.2 ) să fie transformată în ( 2.1 ) . Vom admite în continuare că y’ = y , z’ = z deoarece în relaţia ( 2.3 ) termenii cu y şi z coincid cu cei din ( 2.2 ) . Comparând ecuaţia ( 2.3 ) cu ( 2.1 ) apar două neconcordanţe : în primul rând coeficientul lui t nu mai este c , iar în membrul stâng apare termenul suplimentar ( - 2xvt ) . Acest termen suplimentar se datorează faptului că x’ se exprimă şi prin x şi prin t . Această dificultate poate fi eliminată doar dacă admitem că şi t’ se exprimă prin x şi t , astfel încât să introducă la rândul său un termen proporţional cu produsul xt care să compenseze termenul suplimentar din ( 2.3 ) . Vom căuta t de forma :

t’ = ft – gx ,

unde constanta f trebuie să fie pozitivă deoarece în orice sistem de referinţă evoluţia în timp trebuie să se desfăşoare de la trecut spre viitor . Observând că conţine şi termeni în va trebui să modificăm puţin şi expresia lui x’ luând :

3

ct O O’

ct

O’ O


x’ = h(x – vt )

( f , g , h constante care trebuie determinate) . Introducând în ( 2.2 ) se obţine :

care coincide cu ( 2.1 ) pentru orice punct din spaţiu şi orice moment dacă f , g , h satisfac ecuaţiile :

(a) (b) ( 2.4 )

(c)

Înmulţind ( 2.4.a ) cu v şi înlocuind pe vh în ( 2.4.b ) obţinem . Înmulţind apoi ( 2.4.b ) cu v şi înlocuind vh în ( 2.4.c ) rezultă Raportul ultimelor două ecuaţii ne dă sau .Înlocuind pe g în ( 2.4.b ) rezultă h = f . Din relaţia ( 2.4.c ) obţinem atunci :

, adică .

Cu aceste valori pentru constantele f , g şi h obţinem relaţiile :

, y’ = y , z’ = z , , ( 2.5 )

cunoscute sub numele de transformările lui Lorentz . Este evident că a afirma că un SRI (S’) se mişcă faţă de SRI (S) cu viteza v , este echivalent cu a spune că SRI (S) se mişcă faţă de SRI (S’) cu viteza (- v) . Deoarece relaţiile ( 2.5 ) sunt valabile pentru viteza constantă v oarecare , relaţiile de trecere de la SRI (S’) la SRI (S) se obţin din ( 2.5 ) înlocuind pe v cu (- v) , adică :

, y = y’ , z’ = z , . ( 2.5 )’

Expresiile ( 2.5 )’ trec aproximativ în transformările lui Galilei dacă viteza v dintre cele două sisteme de referinţă este aproximativ mică în raport cu viteza luminii în vid ( putem considera ) . Aceasta justifică faptul că transformările lui Galilei conduc la rezultate practic corecte pentru viteze uzuale , înţelegând prin aceasta chiar şi rachetele care se mişcă cu a doua viteză cosmică ( 11,2 km/s ) sau Pământul în mişcarea pe ecliptică ( 30 km/s ) .

3. Consecinţele fizice ale transformărilor Lorentz

4


3.1. Contracţia lungimilor

După cum se ştie măsurarea unei distanţe revine la a determina de câte ori o lungime aleasă ca etalon este cuprinsă în acea distanţă .

Să considerăm o riglă , care se află în repaus faţă de SRI (S’) , aşezată în lungul axei Ox şi care are lungimea l0 în acest sistem . Notând cu şi punctele în care se

găsesc cele două capete ale riglei avem că l0 = - . Să vedem acum care este lungimea riglei pe acre o măsoară un observator situat în S . Pentru aceasta trebuie determinată poziţia capetelor riglei în S la acelaşi moment de timp în sistem . Pentru aceasta trebuie să cunoaştem simultan ( la momentul t1 = t2 ) coordonatele capetelor riglei x1 şi x2 . Conform relaţiilor ( 2.5 ) avem :

Scăzând aceste relaţii şi având în vedere că t1 = t2 obţinem

Ţinând cont că ( x2 – x1 ) reprezintă lungimea l a riglei în sistemul S , rezultă ( 2.6 )

Deoarece este mai mic decât unu ,rezultă că pentru observatorul faţă de care rigla se mişcă cu viteza v , lungimea riglei este micşorată ( l < l0 ) . Din acest motiv relaţia ( 2.6 ) reprezintă contracţia lungimilor . Atragem atenţia că dacă am considera rigla de lungime l0 în repaus în S atunci pentru un observator din S’ ea apare de asemenea contractată cu factorul . Acest rezultat se obţine printr-un raţionament analog plecând de la relaţiile ( 2.5 )’ deoarece se poate considera de asemenea că S’ se mişcă cu viteza ( -v ) faţă de S .

Menţionăm că această contracţie apare numai după direcţia de mişcare deoarece în demonstraţie am folosit ipoteza că rigla este aşezată în lungul acestei direcţii . În cazul în care rigla este aşezată perpendicular pe direcţia de mişcare , atunci l = l0 , deoarece , conform relaţiei ( 2.5 ) , y’ = y şi z’ = z .

Observăm că rigla are lungimea mai mare în sistemul faţă de care se află în repaus, denumit sistem propriu . Acestei lungimi i se mai spune şi lungime proprie sau de repaus . Deoarece contracţia Lorentz are loc numai după direcţia de mişcare , un corp care are volumul V0 în sistemul propriu va avea un volum

V = V0

în sistemul faţă de care corpul se mişcă cu viteza v .Faptul că distanţa dintre două puncte apare diferită după cum este considerată

într-un SRI sau altul ( în mişcare faţă de celălalt ) , face necesară revizuirea concepţiilor newtoniene asupra spaţiului . Într-adevăr , spaţiul relativ ca parte componentă a spaţiului aparent nu mai poate fi în nici un fel confundat cu acesta limitându-se astfel realitatea fizică a spaţiului absolut . Apare clar legătura strânsă între proprietăţile spaţiului şi mişcarea corpurilor materiale . În afară de aceasta , deoarece , conform principiului relativităţii , prin nici o experienţă fizică nu se poate pune în evidenţă mişcarea unui SRI

5


faţă de altul ( deci nici faţă de spaţiul absolut ! ) rezultă că putem folosi mişcarea sistemelor inerţiale pentru marcarea succesivă prin mijloace fizice a punctelor din spaţiu .

3.2. Dilatarea duratelor

Am văzut că distanţele spaţiale au valori diferite in diferite sisteme inerţiale . Apare naturală întrebarea dacă nu cumva şi cu duratele se întâmplă acelaşi lucru . Pentru aceasta să considerăm două evenimente acre au loc în acelaşi punct din sistemul ( S’ )la momentele t1’ şi respectiv t2’ fiind despărţite de intervalul de timp ∆t0 = t2’ – t1’ . Notând cu t2 şi respectiv t1 momentele corespunzătoare din SRI ( S ) , faţă de care ( S’ ) se mişcă cu viteza v , intervalul de timp în acest sistem va fi ∆t0 = t2 – t1 . Conform relaţiilor ( 2.5 )

unde x1 şi x2 sunt punctele în care se petrec cele două evenimente pentru un observator din sistemul ( S ) , la momentele t1 şi respectiv t2 . Scăzând relaţiile de mai sus , obţinem :

( 2.7 )

Diferenţa x2 – x1 o calculăm folosind din nou relaţiile ( 2.5 ) :

, ,

unde x1’ şi x2’ sunt punctele din ( S’ ) în care au loc cele două evenimente . Deoarece am considerat că aceste evenimente se petrec în acelaşi punct din ( S’ ) , x1’ = x2’ . Scăzând ultimele două relaţii rezultă :

adică x2 – x1 = v∆t .

Introducând pe x2 – x1 în ecuaţia ( 2.7 ) , obţinem :

sau

, ( 2.8 )

Din formula ( 2.8 ) rezultă faptul că intervalul de timp ∆t dintre cele două evenimente este mai mare în sistemul ( S ) decât în sistemul ( S’ ) ( care se mişcă cu viteza v faţă de S ) în care evenimentele au loc în acelaşi punct .

Desigur că nu ne putem aştepta să putem pune în evidenţă dilatarea duratei prin efectuarea unei experienţe în sistemele de referinţă în mişcare rectilinie şi uniformă faţă de Pământ ( automobil , tren , rachetă etc. ) care ne stau la dispoziţie în mod obişnuit . Într-adevăr , în aceste cazuri raportul v/c este mult mai mic şi deci radicalul poate fi foarte bine aproximat prin unu .

6


O confirmare experimentală a apărut însă în urma observaţiilor efectuate asupra timpului de viaţă a mezonilor μ din radiaţia cosmică , care se mişcă faţă de Pământ cu viteze aproximativ 0,9998 c . Mezonii μ sunt particule instabile care apar în urma ciocnirilor şi dezintegrărilor altor particule . Intervalul de timp dintre apariţia şi dispariţia ( dezintegrarea ) lor se numeşte timp de viaţă şi poate fi determinat experimental .

Se pot produce mezoni μ şi în condiţii de laborator . Timpul lor de viaţă măsurat în sistemul legat de Pământ este de aproximativ 2∙10 s .

3.3. Legea relativistă de compunere a vitezelor

Să considerăm un punct material care are coordonatele ( x , y , z ) în SRI ( S ) şi respectiv ( x’ , y’ , z’ ) în SRI ( S’ ) care se mişcă faţă de ( S ) rectiliniu şi uniform , în lungul axei Ox , cu viteza v . Dacă presupunem că punctul material se mişcă paralele cu axa Ox , el va avea viteza u = dx/dt în sistemul ( S ) , respectiv u’ = dx’/dt’ în ( S’ ) . Scriind transformarea Lorentz pentru coordonata x ( 2.5 ) la momentele de timp t şi respectiv t + dt avem :

.

Scăzând prima relaţie din cea de-a doua obţinem :

. ( 2.9 )

Analog se obţine o relaţie pentru timp :

. ( 2.10 )

Împărţind membru cu membru relaţia ( 2.9 ) la ( 2.10 ) rezultă :

.

Având în vedere relaţiile de definiţie ale lui u şi u’ , din ultima relaţie obţinem legea relativistă de compunere a vitezelor paralele :

. ( 2.11 )

Se vede imediat că această relaţie satisface principiul constanţei vitezei luminii în vid . Într-adevăr , punând în ( 2.11 ) u = c se obţine u’ = c .

4. Concluzii

Aşadar , teoria relativităţii impune noi concepţii asupra spaţiului şi timpului , care mai departe au condus la o modificare a cinematicii , a dinamicii newtoniene etc.

7

Documents

Transf Lorentz Consecinte Ale Trans Lorentz