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1Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Traitement du SignalTraitement du SignalVu parVu par
Un Mesures PhysiquesUn Mesures Physiques
Cette technique reste compliquée par les mathématiques qu’il l’accompagne.J’ai découvert la première fois le TdS au travail (CEA) avec un ingénieur qui a eu comme Prof J.Maxl’une des références en la matière, mais aussi avec un technicien avec beaucoup de pratique.En tant que Mesures Physiques vous comprenez bien que j’ai trouvé cet outil considérable en application.Surprenant mes propos, car j’ai étudié le TdS durant mon DUT, mais en vain, je n’ai vu à l’époquequ’une succession de formules de maths qui tournaient en rond et dont je ne voyais pas l’intérêt !!!
En fait, l’utilisation d’analyseur de spectre m’a permis de mieux appréhender la théorie bien plus tardoù j’ai remis le nez dans les maths pour mieux comprendre ce que j’ai vu dans la pratique et on s’aperçoitqu’avec on fait d’énorme chose…
Ce document est une synthèse et reste non exhaustif, avec le temps, je l’améliorerais. Je l’ai fait avec peu demaths et beaucoup de schémas, ce qui manque dans la plus part des livres de TdS.
BONNE LECTURE
e jwt−
http://mesures.physiques.free.fr
2
Formation
Révision 02 - 29/01/02 - Chapitre 5Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Les premiers outils du Traitement duLes premiers outils du Traitement duSignalSignal
Etre CAPABLE de lire et d’utiliserun SPECTRE de FREQUENCE
3Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
A l’issu, de cette formation vous serez capabled’utiliser les premiers outils du traitement dusignal pour lire un spectre de fréquence
OBJECTIF:
4
sommaire
IntroductionEchantillonnageFiltreSpectreFenêtres de Pondérationsynthèse
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
5
>>>>>>>>>>>>>>>
Initiation par la mesure vibratoire:être capable d’appréhenderl’intérêt de l’analyse spectrale
INTRODUCTION
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
6
La mesure des
VIBRATIONS est
un bon moyen
pour comprendre
Le Traitement du Signal
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Introduction
7
Masse M
Ressort Amortisseur
t
t
La mesure des
VIBRATIONS ??!!
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Introduction
impulsion
signal
8
Les capteurs sont installés à demeure sur les machines etconnectés à un système de surveillance.
Moteur 3000 tr440VAC - 70AType 405TS
MAL
MOVISYS-2
S'tellDiagnostic
AL
BY
MSCA
ALXBY
MAMPV-BG
AL
BY
MSCA
AL
BY
MSCA
AL
BY
MSCA
AL
BY
MSCAPV-BG
AL
BY
MSCA
La mesure des
VIBRATIONS ??!!
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Introduction
9
Emplacement ducapteur de mesure
des vibrations:L’ACCELEROMETRE
70°C
Verre en fusion
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Traitement du Signal
Introduction
Exemple de machine de fibrage
10
Exemple: De mesure vibratoire.
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Introduction
SPECTRESIGNAL (mesure)
AA0
F1
A/√2A0
URMSFourierFourier
SIGNAL (mesure) SPECTRE
11
Introduction
Tout phénomène physique est en général transformé en signalélectrique du fait de la conversion sous forme électrique desgrandeurs physiques par des capteurs.
Le traitement du signal recouvre une variété de techniquesutilisées pour extraire des informations d'un signal complexe. Lebruit peut perturber l’information. On cherche aussi àmodifier cette grandeur physique et à l’adapter aux moyensde transmissions.
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
12
Introduction
L'analyse spectrale est la méthode utilisée pour décomposer unsignal complexe (signal non périodique) en ses constituants debase.
Une représentation conventionnelle du signal se fait dans ledomaine du temps (amplitude en fonction du temps a(t)).L'analyse spectrale reproduit dans le domaine fréquentiell'amplitude en fonction de la fréquence.
La transformée de Fourier (Discrète) est un moyen d'obtenir unereprésentation dans le domaine fréquentiel pour les signaux nonpériodiques en associant à un signal x(t) sa transformée deFourier X(f) appelé spectre.
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal AA0
F1
A/√2A0
URMSFourierFourier
13
Introduction
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
s
14Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Introduction
15Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SignalANALOGIQUE
SPECTREOutil utilisé
pour letraitement du signal
est:
La TFD: Transformée de Fourier Discrète
Introduction
Conclusion:
16
>>>>>>>>>>>>>>>>ECHANTILLONNAGE
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Etre capable d’appliquerLe principe de SHANNON
17Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Pour construire un SPECTREIl faut échantillonner le signal
L’échantillonnage
18
L’échantillonnage
� DéfinitionPassage d’un systèmecontinu possédant uneinfinité de valeurs à unsystème possédant unnombre fini de valeurs.
On distingue 2 étapes :
�La discrètisation�La numérisation t
t
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Traitement du Signal
19
L’échantillonnage
� La discrètisation du signalLa discrètisation dusignal consiste àprélever deséchantillons à unecadence TE pendantune durée T.La fréquence deprélèvement deséchantillons FE estappelée fréquenced’échantillonnage.
T=N.TE
T=durée d’acquisition
t
TE
FE = 1TE
T = NFE
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Traitement du Signal
20
L’échantillonnage
� La numérisation du signalLa numérisation du signal consiste àquantifier les amplitudes A deséchantillons successifs au moyen d ’uneconversion dans un format binaire.
0123
2n-1
4
Le nombre de bits n de laconversion détermine lavaleur du pas dequantification p, qui est lavaleur de l’incertitude.
P.E : PleineEchelle
A=∑ ai.2i ai∈{0;1}i=1
n-1
p = P.E2n
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Traitement du Signal
21
L’échantillonnage
� Les effets de l’échantillonnage : Altération du signalL’échantillonnage provoque une altération du signal :
� Perte d’échantillons temporels� Perte d’échantillons fréquentiels
Cette altération dépend des performances du système demesure et notamment :
� De la valeur de la fréquence d’échantillonnage FE
� Du nombre de bits n du convertisseur Analogique /Numérique
ExempleUn convertisseur 12 bits permet 4096 valeursUn convertisseur 16 bits permet 65536 valeurs
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Traitement du Signal
22
L’échantillonnage
� Les effets de l’échantillonnage : Périodisation du spectre àla fréquence d’échantillonnage FE
t F
FM-FM
F
FM-FM FE-FE
t
TE
FourierFourier
FourierFourier
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
23
L’échantillonnage
� Les effets de l’échantillonnage : Repliement du spectre
t
t
TE
F
FM-FM
FourierFourier
FE-FE
F
FourierFourier
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Traitement du Signal
24
L’échantillonnage
� Le Théorème de SHANNON
F
FE-FE FMAX-FMAX
Soit FMAX la fréquence maximale duspectre du signal à échantillonner etFE la fréquence d’échantillonnage :
FE >2.FMAX
Si cette condition n’est pasvérifiée, l’échantillonnage introduitune distorsion du signal qui nepourra être corrigée et due aurepliement de spectre (souséchantillonnage).
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Traitement du Signal
25
L’échantillonnage
� Le Théorème de SHANNONUne autre interprétation du Théorème de SHANNON utilisela représentation temporelle du signal :
FE >2.FMAX
Soit au moins 2points par période !
Echantillonnagecorrect
Sous-Echantillonnage
TE < TMAX
2
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Traitement du Signal
26
L’échantillonnage
� Le Théorème de SHANNONEn sous-échantillonnage, on visualise un autre signal :
Si le signal, à l’origine, est de F=60Hz, et que Fe =100Hz(Shannon non respecté). On se retrouve au final avec unsignal de 40 Hz, au lieu de visualiser le 60Hz. C’est lerésultat du repliement.
Soit au moins 2points par période !
Sous-Echantillonnage
TE < TMAX
2
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Traitement du Signal
27
L’échantillonnage
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Traitement du Signal
� SHANNON respecté
Fe+20
204 Fe=100
2Fe=200
Fe-4
Fe-20
Fe+4
28
L’échantillonnage
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Traitement du Signal
� SHANNON JUSTE respecté
404 Fe=100
2Fe=200
Fe-4
Fe-40
Fe+40
Fe+4
29
L’échantillonnage
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Traitement du Signal
� SHANNON NON respecté
604 Fe=100
2Fe=200
Fe-4
Fe-60=40≠60
Fe+60
Fe+4
30
L’échantillonnage
� Le Théorème de SHANNON
Le but de l'analyse spectrale étant de déterminer lescomposantes fréquentielles d'un signal, celles-ci ne sontdonc pas au premier abord connues et le choix de lafréquence d'échantillonnage peut être fait sans avoir lacertitude que toutes les composantes du spectre satisfontla condition de SHANNON.
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Traitement du Signal
C'est l'effet indésirable de repliement de spectre que nousallons résoudre avec un
FILTRE ANTIREPLIEMENT de spectre
31
L’échantillonnage ET Les filtres anti-repliement
� IntroductionLa vérification du critère de SHANNON suppose que lespectre du signal soit borné, et que cette borne (FMAX) soitconnue.Afin de vérifier ces conditions dans tous les cas, on faitprécéder l’échantillonnage d’un filtrage passe-bas dit filtreanti-repliement tel que : FM < 0,5.FE
FiltreA.R Echantillonnage
Le filtre utilisé est un filtre analogique à coupure très raide telqu’un filtre de CAUER d’ordre élevé (8 ou 9).
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Traitement du Signal
32
L’échantillonnage ET Les filtres anti-repliement
� Principe
t
t
t
F
FFM-FM
FFE-FE
Filtrage
Echantillonnage
FM
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Traitement du Signal
33
L’échantillonnage ET Les filtres anti-repliement
� Application aux analyseursSur nombre de collecteurs / analyseurs du marché, le filtreanti-repliement est positionné automatiquement en fonctionde la gamme d’analyse.La fréquence d’échantillonnage est adaptée à la gammed’analyse, selon la relation :
FE=2,56.FM FM :Fréquence maxi de la gamme d ’analyse
[0;25]Hz �FE=64Hz[0;100]Hz �FE=256Hz[0;200]Hz �FE=512Hz[0;500]Hz �FE=1.28kHz[0;1k]Hz �FE=2.56kHz
[0;2k]Hz �FE=5.12kHz[0;5k]Hz �FE=12.8kHz[0;10k]Hz �FE=25.6kHz[0;20k]Hz �FE=51.2kHz
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Traitement du Signal
34
L’échantillonnage ET Les paramètres d’acquisition
� Les paramètres de l’acquisition
Soient :
T=durée d’acquisition
t
TE
� FE : Fréquenced’acquisition oud’échantillonnage
� N : Nombre de pointacquis
� T : Durée del’acquisition
T=N.TE
FE = 1TE
T = NFE
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Traitement du Signal
35
∆F
L’échantillonnage ET Les paramètres d’acquisition
� Les paramètres de la TFD
Ils découlent des paramètres del’acquisition : En général, on trouve :
� FMAX : Fréquencesupérieure de lagamme d’analyse
� ∆F : Résolutionspectrale
� C : Nombre depoints (lignes) duspectre
FMAX
FMAX =FE
2FE
N-
∆F = 1T
FE
N=
C = N2
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Traitement du Signal
36
L’échantillonnage ET Les paramètres d’acquisition
� Les paramètres de la TFDSur beaucoup d’analyseurs, afin de normaliser les gammes defréquences, les tailles d’échantillons et nombres de lignes dansle spectre, on trouve les relations suivantes :
FE=2.56*FMAX
N = 256, 512,…., 8192 points (taille de l’échantillon temporel)
avec FMAX=1Hz, 2Hz, 5Hz, 10Hz, 25Hz, 50Hz,100Hz, 200Hz, 500Hz, 1kHz, 2kHz,5kHz, 10kHz, 20kHz
D’où C=100, 200, 400, 800, 1600, 3200 lignes
Remarque : La résolution du spectre ne dépend que de lataille de l’échantillon temporel.
C = N2.56
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Traitement du Signal
37Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Le numérique implique un échantillonnage.L’échantillonnage périodise le spectre.Le risque de la périodisation est le recouvrement.Ce dernier nous ne permettra pas ne retrouvernotre signal temporel d’origine (après un TFD-1).
Pour palier à cette difficulté, on utilise un filtreanti-repliement et on respecte Shannon
FE >2.FMAX
L’échantillonnage
Conclusion:
38
>>>>>>>>>>>>>>>FILTRAGE
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Etre capable de choisir le filtreAnti-Repliement
39
� Introduction
Le Filtrage
Le filtrage est une opération dont l’objectif est de mettre enévidence l’information utile contenue dans le signal.
Exemple : Elimination du bruit (« parasites »)
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
40
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : Introduction
GMIN : Gain mini en bande passanteGMAX : Gain maxi en bande atténuéeFP : Fréquence de la bande passanteFA : Fréquence de la bande atténuéeK : Sélectivité :
Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :
F0 FP FA
GMIN
GMAX
Ondulation
Exemple d’application :Filtre anti-repliement
K= Fp
FA<1
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Traitement du Signal
41
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : DéterminationLe gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuation :
Des abaques permettent alors de déterminer lescaractéristiques du filtre
AMAX : Atténuation maxi en bandepassante
AMIN : Atténuation mini en bandeatténuée
F0 FP FA
AMAX
AMIN
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Traitement du Signal
42
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Introduction
GMIN : Gain mini en bande passanteGMAX : Gain maxi en bande atténuéeFP : Fréquence de la bande passanteFA : Fréquence de la bande atténuéeK : Sélectivité :
Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :
Exemple d’application : Suppressionde composante continueF0 FA FP
GMIN
GMAX
Ondulation
K= Fp
FA<1
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Traitement du Signal
43
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Détermination
AMAX : Atténuation maxi en bandepassante
AMIN : Atténuation mini en bandeatténuée
Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuationrequise :
Des abaques permettent alors de déterminer lescaractéristiques du filtre
F0 FA FP
AMAX
AMIN
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Traitement du Signal
44
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : IntroductionLe gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :
0
Exemple d’application : Suivi d’ordre
FA1 FP1
GMIN
FFP2 FA2F0
B : largeur debande relative :GMAX
Ondulation
La sélectivité est :
K=Fp2 -Fp1
<1FA2 -FA1
B=Fp2 -Fp1
F0
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Traitement du Signal
45
Le Filtrage
� Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : Détermination
On rend souvent cefiltre symétrique :
FP1.FP2=FA1.FA2=F02
0 FA1 FP1
AMAX
AMIN
FFP2 FA2F0
Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuationrequise :
Des abaques permettent alors de déterminer lescaractéristiques du filtre
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
46
Le Filtrage
� Le Filtre Coupe-Bande : IntroductionLe gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :
Exemple d’application : Suppression du 50 Hz
0 FP1 FA1
GMIN2
GMAX
FFA2 FP2F0
GMIN1
B : largeur debande relative :
La sélectivité est :
K=Fp2 -Fp1
<1FA2 -FA1
B=F0
FA2 -FA1
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
47
Le Filtrage
� Le Filtre Coupe-Bande : Détermination
FP1.FP2=FA1.FA2=F02
AMAX1=AMAX2= AMAX
FP1 FA1
AMAX
FFA2 FP2F0
On rend souvent cefiltre symétrique :
Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuationrequise :
Des abaques permettent alors de déterminer lescaractéristiques du filtre
AMIN
0
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Traitement du Signal
48
Le Filtrage
� Les différentes réponsesPour un gabarit donné, la fonction de transfert du filtre peutêtre représentée par différentes fonctions :
� Réponse de BUTTERWORTH� Réponse de CHEBYSHEV� Réponse de LEGENDRE� Réponse de CAUER� Réponse de BESSEL ou THOMSON
Chacune de ces réponses présente des caractéristiquesparticulières dont la connaissance permet la sélection du filtrele plus adapté à une utilisation donnée.
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Traitement du Signal
49
Le Filtrage
� Les filtres de BUTTERWORTH
F0 FP FA
� Réponse régulière dans laBande Passante
� Décroissance monotone enBande Coupée
� Pente faible pour un ordredonné
Utilisés pour la solution de problèmes simples lorsque larégularité de la réponse est un critère important
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Traitement du Signal
50
Le Filtrage
� Les filtres de CHEBYSHEV
0
L’inconvénient majeur est l’oscillation dans la bandepassante. Les abaques permettent la détermination dufiltre pour une ondulation donnée : 0.01 dB, 0.1 dB, 1dB
FFP FA
� Oscillation dans la BandePassante
� Décroissance monotone en BandeCoupée
� Pente élevée pour un ordre donné� Filtres simples à calculer� Bon rapport qualité - prix
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Traitement du Signal
51
Le Filtrage
� Les filtres de LEGENDRE
La régularité de la réponse dans la bande passanteassociée à la pente intéressante en font un filtre qui peutêtre très avantageux.
F0 FP FA
� Réponse régulière dans laBande Passante
� Décroissance monotone enBande Coupée
� Coupure comparable à celled’un filtre de CHEBYCHEFFd’ondulation 0.1 dB.
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Traitement du Signal
52
Le Filtrage
� Les filtres de CAUER (ou filtres elliptiques)
La très grandeur raideur de la bande de transition(pente) est bien adaptée à la réalisation de filtres anti-repliement. Il est alors nécessaire de corriger lesoscillations dans la bande passante.
� Oscillation dans la BandePassante
� Présence de zéros de transmissionen Bande Coupée
� Pente la plus élevée pour un ordredonné
� Filtres complexes à calculer
FFP FA
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Traitement du Signal
53
Le Filtrage
� Les filtres de BESSEL
Ces filtres ont optimisés pour présenter dans la bandepassante la variation de phase la plus linéaire possible.La réponse en impulsion de cette structure se fait doncavec un minimum de distorsion.
� Réponse la plus régulière dans laBande Passante.
� Pente la plus faible pour un ordredonné
� Faible déformation des régimestransitoires
F0 FP FA
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Traitement du Signal
54
Le Filtrage
� Réalisation pratique : Les filtres analogiquesLa sélectivité du filtre requise impose une pente plus ou moinsimportante à la fonction de transfert du filtre.
Cette sélectivité détermine l’ordre du filtre et par suite sacomplexité : En effet, un filtre analogique est réalisé aumoyen de cellules élémentaires du 1er et 2ème ordre misesen cascade pour parvenir à l ’ordre requis.
Exemple d ’un filtre du 7ème ordre :
2ème
Ordre2ème
Ordre2ème
Ordre1er
Ordre
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
55
Le Filtrage
� Réalisation pratique : Les filtres numériquesLes filtres numériques sont destinés aux signauxéchantillonnés. Ils offrent des avantages considérables sur lesstructures analogiques, et sont aujourd’hui très répandus :
� Réalisation de fonctions complexes irréalisables encontinu
� Caractéristiques proches de celles du filtre idéale(pente infinie, pas d’atténuation dans la bandepassante)
� Modification de la valeur du filtre par modification destables de coefficients du filtre.
� Invariance du filtre dans le temps et en fonction descomposants.
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
56Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Les filtres sont à choisir en fonction de ses besoins.Les filtres de CHEBYSHEV: Bon rapport qualité – prix
Mais aujourd’hui, les filtres numériques restent lesplus avantageux par leur flexibilité de conception.
FILTRAGE
Conclusion:
57
>>>>>>>>>>>>>>>>SPECTRE
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Etre capable d’utiliserla TFD (Transformée Fourier Discrète)avec les unités (RMS…Veff²)
58
SPECTRES
OrthogonalitéTFD (Transformée de Fourier Discrète)
Représentations des spectres(Puissance, Energie…Veff, RMS)
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
AA0
F1
A/√2A0
URMSFourierFourier
59
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Expliquons l’orthogonalité, dans un premier temps,simplement sans trop de Maths.
60
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
L’orthogonalité explique en quoi la formule de la TFDpermet d’identifier les différentes fréquences dans unsignal
Historiquement, il est connu depuis longtemps quel’addition de deux ou plusieurs fonctions périodiquesdonne une nouvelle fonction périodique.
Il était aussi connu que si pour composer cette nouvellefonction on utilisait uniquement des sinus (ou descosinus), on pouvait les retrouver par analyse à l’aidede la formule de Fourier
61
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
La somme de plusieurs signaux peut donner un signal carré
62
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
L’orthogonalité nous permet d’identifier toutes les fréquencesconstituant un signal, par le biais de Fourier.
Pour ce faire on utilise le principe du produit scalaire que l’on a tousappris au lycée.
αcos.V.UV. =U
Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) donc α = π / 2 alors 0V. =U
Si les deux vecteurs sont non orthogonaux exemple α = π / 2 alors 0V.UV. ≠=U
α: angle entre les deux vecteurs U et V
63
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
A0
A
A0 = rayon du cercle
Représentation de Fresnel (polaire)du signal temporel
Représentation orthonorméedu signal temporel
A = A0 . Cos(w.t + ϕ )
Phase instantanée
w.t = 2πFHz
ϕen radian
64
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
B = B0 . Cos(wt + ϕ )
A = A0 . Cos(wt + ϕ )
Si les signaux A et B ont la même phase� le produit scalaire =MAXI
B = B0 . Cos(wt + ϕ )
A = A0 . Cos(wt’ + ϕ’ )
Si les signaux A et B n’ont pas la même phase � le produit scalaire sera = mini
65
SPECTRES: Orthogonalité
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Si les signaux A et B n’ont pas la même phase � le produit scalaire sera = mini
La modulation d’amplitudesans porteuse
permet de comprendrele spectre résultant
66
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
Si les signaux A et B ont la même phase� le produit scalaire =MAXI
La modulation d’amplitudesans porteuse
permet de comprendrele spectre résultant
67
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
Quel est le lien entre l’orthogonalité et la formulation deFourier ?:
A = A0 . Cos(wt + ϕ )
Peut s’écrire aussi:
A = A0 . ejwt
L’exponentielle se retrouve dans la TFD :
68
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
∑−
=
−=1
0
21 N
i
Nikj
ik eXNX π
Produit scalaire
Le signal échantillonné à étudier L’exponentielle dont laphase est variable
Produit scalaire « amélioré »
La phase de l’exponentielleest une variable, elle
permet à l’aide du produitscalaire d’identifier lesfréquences du signal
échantillonné.
La formulation de la TFD est:
69
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
Résumé sur l’orthogonalité:
70
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
Et dans un deuxième temps, l’orthogonalitéqu’avec des Maths.
Ici, l’orthogonalité est traitée d’une façon discrète et non continue. Onentrevoit l’orthogonalité d’une manière plus juste.
71
SPECTRES: Orthogonalité
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Traitement du Signal
72
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète
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Traitement du Signal
Considérez un signal très simple D.C ayant une amplitudeconstante de +1 V.Quatre échantillons de ce signal sont pris.
Chacun des échantillons a une valeur +1,selon la séquence temporelle : x[0] = x[1] = x[3] = x[4] = 1
Les échantillons sont notés x[i], 0 ≤ i ≤ N–1Vous avez un total de N échantillons=4 dans le domainetemporel.
Comment çà marche la TFD ?
73
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète
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Traitement du Signal
∑−
=
−=1
0
21 N
i
Nikj
ik eXNX π
La TFD est appliquée à ces N =4 échantillons temporels.
Le résultat X[k], (0 < k < N–1) est la représentation du domaine fréquentieldes x[i] points temporels (au nombre de 4 dans notre exemple).
Spectre:Représentation des x[i]
dans le domaine fréquentiel
Signal temporel échantillonné
74
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète
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Traitement du Signal
Excepté pour la composante DC donc X[0],toutes les autres valeurs sont nulles.Cependant, la valeur calculée de X[0]dépend de la valeur de N (le nombre d’échantillons).
Parce que vous avez N = 4, X[0] = 4.Si N = 10, vous aurez X[0] = 10.Cette dépendance de X[ ] par rapport à N se produitégalement pour les autres composantes de fréquence.
Ainsi, vous divisez généralement la sortie DFT par N,de façon à obtenir l’amplitude correctede la composante de fréquence.
∑−
=
−=1
0
21 N
i
Nikj
ik eXNX π
75
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète
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Traitement du Signal
∑−
=
−=1
0
21 N
i
Nikj
ik eXNX π
RESULTAT DE LA TFD SUR UN SIGNAL CONTINU ECHANTILLONNE
fréquence
X[0]=1V à O Hz
76
SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète
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Traitement du Signal
= SXX=(1/N²)[X(k)]²=Veff2
XkX*k fournit une estimation de l'autospectre du signal,
c'est-à-dire de la puissance moyenne sur la durée T,contenue dans une bande fréquence de largeur , l’unité est le volt efficace au carré Veff² ou RMS².
Le logiciel LABView utilise la TFD ainsi:
77
SPECTRES:La représentation des spectres
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Traitement du Signal
� IntroductionLes algorithmes de calcul de la TFD (Transformation discrètede Fourier…FFT) permettent la représentation du spectre enfréquences sous plusieurs formes
� Autospectre bi-latéral, uni-latéral ou crête� Autospectre de puissance ou en amplitude (linéaire)� Densité spectrale de puissance ou d’énergie
Dans ce qui suit, l’autospectre sera appelé spectre.
78Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
Avant d’attaquer la pratique
Faisons une synthèse de la représentation graphique d’un spectre pourmettre en évidence les effets suivants de:
•l’échantillonnage en temporel
•l’échantillonnage fréquentiel (résolution)•la fenêtre de pondération.
C’est une synthèse sous forme graphique beaucoup plus facile à comprendre que laformulation mathématiques. Néanmoins si elle était accompagnée d’une explication
orale ce serait encore plus facile à comprendre !
79Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE TRONQUEE (OU PONDEREE)
On observe donc ici les effets d'une fenêtre de pondération rectangulairequi modifie l'allure du spectre sous la forme d'un.sinx/x
X
=
*
=
Multiplicationen temporel
Convolutionen fréquentiel
80Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE ECHANTILLONNEE et TRONQUEE (OU PONDEREE)
81Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
Dans la réalité l'acquisition du signal se répète plusieurs fois : (voir fig III.c)
1/Tf = ∆fTf temps d’acquisitiontemporel ∆f résolution spectrale
82Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
Le calcul général de la TF s'effectue en théorie sur un temps infini. En réalité, lecalcul de la TFD est effectué sur un signal de durée limitée à Tf ,ce qui assimile le
signal traité à un signal périodique de période Tf (ceci est vrai même si le signalanalysé n'est pas périodique. Si le signal est de période To, la périodicité Tf
introduite par le traitement est au premier abord indépendant de To).
Cet effet de périodisation, lié au nombre limité d'échantillons n traités, peut êtreconsidéré comme le résultat d'une convolution du signal x2(t) avec un peigne de
Dirac de pas de Tf.
Le spectre de x3(t) noté X3(f) est donc un spectre lui-même échantillonné(spectre de raies) avec un pas de ∆f .
)(ttfTe CC
83Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectres
Synthèse terminée expliquonsl’autospectre et la densité spectrale
par la pratique
84
Considérerons le signal temporel d’origine constitué de :
� Une composante continued’amplitude A0
� Un sinus d’amplitudecrête A et de fréquence F1
AA0
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Traitement du Signal
SPECTRES:La représentation des spectresautospectre
85
L’algorithme de calcul de la TFD fournit un spectre bi-latéral depuissance, c’est à dire une fonction paire présentant desamplitudes pour des fréquences négatives.Il représente la puissance du signal contenue dans l’échantillon
AA0
F1-F1
A2/4A0
2
A2/4
U2RMS
FFTFFT
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Traitement du SignalSPECTRES:La représentation des spectresautospectre
86
SPECTRES: La représentation des spectresautospectre
� Le spectre de puissance uni-latéralIl est déduit du précédent en « repliant » le spectre desfréquences négatives sur le spectre des fréquences positives, cequi revient à doubler les amplitudes des fréquences strictementpositives.
AA0
F1
A2/2A0
2
U2RMS
FFTFFT
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Traitement du Signal
87
SPECTRES: La représentation des spectresautospectre
� Le spectre d’amplitude (ou linéaire) bi-latéral
AA0
Il est déduit du spectre de puissance bi-latéral en considérant laracine carrée de la puissance de chacune des raies.Les spectres en amplitude permettent la visualisation de laphase des composantes, à l’inverse des spectres en puissance.
F1-F1
A/2A0
A/2
URMS
FFTFFT
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Traitement du Signal
88
SPECTRES: La représentation des spectresautospectre
� Le spectre d’amplitude (ou linéaire) uni-latéral
AA0
Il est déduit du spectre de puissance uni-latéral en considérantla racine carrée de la puissance de chacune des raies.Les amplitudes affichées sont donc homogènes aux valeursefficaces ou valeurs RMS des composantes du signal.
C ’est la représentation la plus courante en analyse vibratoire.
F1
A/√2A0
URMS
FFTFFT
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Traitement du Signal
89
SPECTRES: La représentation des spectresautospectre
� Le spectre d’amplitude crête (ou linéaire) uni-latéral
AA0
Les amplitudes affichées sont homogènes aux valeurs crêtesdes composantes du signal.
F1
AA0
U
FFTFFT
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Traitement du Signal
90
Niveau dubruit de fond
SPECTRES: La représentation des spectresautospectre
� PRINCIPE
La densité spectrale (DSP) estutilisée pour les mesures de bruitlarge bande, ou les mesures debruit de fond.En effet, dans un spectre enpuissance ou en amplitude, leniveau de bruit dans chaque canaldépend de la largeur ∆F du canal etdonc de la résolution du spectre.
Ainsi, le niveau de bruit de fond du spectre varie en fonction dela résolution choisie. Tout calcul de puissance ou d’amplitudeefficace dans une bande large sera également dépendant de larésolution.
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Traitement du Signal
91
SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale
� La représentation en DSP ou en RMS (ou Veff)
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Traitement du Signal
La DSP est utilisée pour la mesure de BdF
La RMS (ou Veff) est utilisée pour la mesure d’Amplitude
92
SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale
� La représentation en RMS ou Veff du BdFSi le nombre de points dans l’échantillon temporel est doublé,∆F est divisé par 2 et le niveau de bruit dans chaque canal estdivisé par 2 (en puissance).
256 points
2048 points
+8dB
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Traitement du Signal
x8
Veff
93
SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale
� La représentation en densité spectrale du BdFLa densité spectrale de puissance s’obtient en divisant lesamplitudes de chacune des raies par ∆F. Le niveau de bruitmesuré dans ce mode devient indépendant de la résolution.
256 points
2048 points
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Traitement du Signal
DSP
Rappel: DSPvolt².s = Veff²/∆Hz
94
SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale
� La représentation en densité spectrale d’une amplitude
256 points
2048 points
Attention : Cette représentation ne doit pas être utilisée pourdes mesures d’amplitudes discrètes.
Erreur:+8dB
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Traitement du Signal
DSP
Rappel: DSPvolt².s = Veff²/∆Hz
95
SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale
La DSP représente la puissance contenue dans une bandeétroite ∆f.
La DSP n’a aucune signification lorsque l’on a affaire à unspectre de raie (sinus, cosinus…)
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Traitement du Signal
Rappel: DSPvolt².s = Veff²/∆Hz
96
SPECTRES: La représentation des spectres
� La densité spectrale de puissance (DSP) bi-latéraleElle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F.
AA0
F1-F1
A2/4∆FA0
2/∆FA2/4∆F
U2RMS/Hz
FFTFFT
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Traitement du Signal
97
SPECTRES: La représentation des spectres
� La densité spectrale de puissance (DSP) uni-latérale
AA0
Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F.
F1
A2/2∆F
A02/∆F
U2RMS/Hz
FFTFFT
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Traitement du Signal
98
SPECTRES: La représentation des spectres
� La densité spectrale d’énergie (DSE) bi-latéraleElle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F puis en la multipliant par la durée de la durée d’observationT du signal avec T=N.TE=1/∆F.
AA0
F1-F1
A2/4(∆F)2
A02/(∆F)2
A2/4(∆F)2
U2RMS.S/Hz
FFTFFT
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Traitement du Signal
99
SPECTRES: La représentation des spectres
� La densité spectrale d’énergie (DSE) uni-latérale
AA0
Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F puis en la multipliant par la durée de la durée d’observationT du signal avec T=N.TE=1/∆F.
F1
A2/2(∆F)2
A02/(∆F)2
U2RMS.S/Hz
FFTFFT
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Traitement du Signal
100
SPECTRES: La représentation des spectres
� Les affichages en décibelLe décibel exprime le rapport de deux puissances sur uneéchelle logarithmique. Il permet de comparer deux mesures depuissance P1 et P2 :
Il permet également d’exprimer une puissance mesurée P parrapport à une puissance de référence PR :
La valeur de PR, qui fixe le niveau 0 dB est déterminée parconvention.
dB =10.log10P2
P1
dB =10.log10PPR
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Traitement du Signal
101
SPECTRES: La représentation des spectres
� Les affichages en décibelSi la grandeur mesurée n’est pas homogène à une puissance,son carré est généralement proportionnel à la puissance portéepar le signal et on exprime le rapport du carré de la mesure aucarré de la valeur de référence de la grandeur considérée :
L’affichage du spectre en décibel fournit ainsi le mêmerésultat, que le spectre soit un spectre en puissance ou enamplitude.
dB =10.log10U2
U2R
=20.log10UUR
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Traitement du Signal
102Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
�La formule de base de la TFD: ∑−
=
−=1
0
21 N
i
Nikj
ik eXNX π
�La représentation des spectres bi ou uni-latérale:
�Spectre de puissance Veff²�Spectre d’Amplitude Veff�DSP (Densité Spectrale de Puissance) Veff²/∆F�DSE (Densité Spectrale d’Energie) Veff²/∆F²
SPECTRES:
Conclusion:
103
>>>>>>>>>>>>>>>>FENETRES DE PONDERATION
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Traitement du Signal
Etre capable de choisirla fenêtre d’acquisition du signal
104
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : IntroductionL’échantillonnage consiste à prélever des échantillons du signalsur une durée finie T : Il s’agit d’un fenêtrage temporel.
=1 �
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Traitement du Signal
105
Les fenêtres de pondération
� Problématique de lafenêtrage temporel
Lors de l’acquisition des discontinuités se produisent entre les périodessuccessives. Ceci survient lorsqu’on échantillonne un nombre non entier decycles. Ces discontinuités artificielles se révèlent être de très hautesfréquences dans le spectre du signal, fréquences qui n’étaient pasprésentes dans le signal original.Ces fréquences peuvent être bien plus hautes que la fréquence Nyquist, etcomme vous l’avez vu précédemment,sont repliées quelque part entre 0 et fe/2.
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Traitement du Signal
106
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : IntroductionSi la période d’acquisition correspond à un nombre entier depériodes du signal : Il y a recouvrement des extrémités et laFFT ne crée pas de distorsion du spectre.
FFTFFT
TE
T0
F0
TE=k.T0
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Traitement du Signal
107
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : Introduction
FFTFFT
T0
TE
F0
TE≠k.T0
Si la période d’acquisition ne correspond pas à un nombreentier de périodes du signal, il n’y a pas recouvrement desextrémités et la FFT crée une distorsion du spectre.
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Traitement du Signal
108
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectresLe fenêtrage du signal est un produit dans le domaine temporel.En application du Théorème de Plancherel :
Convolution Fréquentielle
S(t) = X(t).H(t)
Produit temporel
S(f)=X(f)*H(f)=∫X(g).H(f-g).dg0
∞
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Traitement du Signal
109
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres
F0-F0
F
F
FourierFourier
Fenêtre rectangulaire ou uniforme
FourierFourier
X(f)
H(f)H(t)
X(t)
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Traitement du Signal
SinxSinx/x ou/x ou sincsinc xx
110
Les fenêtres de pondération� Rappel à propos du sinus cardinal (sinc)
F0-F0
F
FourierFourier
Fenêtre rectangulaire ou uniforme
H(f)H(t)
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Traitement du Signal
SinxSinx/x ou/x ou sincsinc xx
F0-F0
F
FourierFourier
H(f)H(t)
SinxSinx/x ou/x ou sincsinc xx
111
Les fenêtres de pondérations
� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres
F0-F0
F
� Les lobes latérauxne génèrent pas debandes latérales.
S(f)=X(f)*H(f)X(t)
T0
TE
FourierFourier
TE=k.T0
� L’amplitude mesurée est la bonne.
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Traitement du Signal
1/TE = ∆f
∆f résolution spectrale (CANAL)
112
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres
F0-F0
F
S(f)=X(f)*H(f)X(t)
TE
T0
FourierFourier
TE≠k.T0
� Les lobes latérauxgénèrent desbandes latérales.
� L ’amplitude mesurée n’est pas la bonne.
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Traitement du Signal
1/TE = ∆f
113
Les fenêtres de pondération
� Le fenêtrage temporel
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Traitement du Signal
Transformées de Fourier numériquesX(f) du signal cosinusoïdal defréquence f0, Y(f) de la fenêtre et Z(f)du résultat de la convolution.Le cas α): correspond au cas où f0 estun multiple de Fe/NLe cas β): correspond au cas où f0n'est pas un multiple de Fe/N.
114
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres de pondération : UtilitéLa condition TE=k.T0 (nombre entier de périodes dansl’échantillon) n’est en pratique pas vérifiée en analysespectrale car :
� On s’intéresse à un grand nombre de fréquences� On ne connaît pas à priori les fréquences du signal
L’utilisation des fenêtres de pondération permet de limiter leserreurs d’estimation causées par le fenêtrage temporelsimple, appelé fenêtre rectangulaire.
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Traitement du Signal
115
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres de pondération : PrincipeLes fenêtres de pondération créent artificiellement unrecouvrement des extrémités de l’échantillon temporel :
=�
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Traitement du Signal
116
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres de pondération : Principe
Les profils des fenêtresde pondération ont pourbut de limiter lesamplitudes des lobeslatéraux de leurstransformées de Fourier.Ceci est réalisé audétriment de la largeurdu lobe principal quiaugmente.
Rectangulaire
Hanning
Flat-Top
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Traitement du Signal
117
Les fenêtres de pondération
� Caractéristiques des fenêtres de pondération
� Le rapport entre le maximumd’amplitude du lobesecondaire le plus élevé et lemaximum d’amplitude dulobe central en dB
� La largeur du lobe principal� L’atténuation des lobes
secondaires en dB/octave
Les caractéristiques principales des différentes fenêtres depondération sont déterminées sur leur transformées de Fourier :
-6dB
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Traitement du Signal
118
Les fenêtres de pondération
� Caractéristiques des fenêtres de pondérationLe tableau ci-dessous résume les caractéristiques des fenêtrescourantes en analyse spectrale :
Rectangulaire
Hamming
Hanning
Flat-Top
Fenêtre
0.88 ∆F
1.30 ∆F
1.44 ∆F
2.94 ∆F
largeur -3dBLobe princip.
-13 dB
-43 dB
-32 dB
-44 dB
Niveau lobessecondaires
6
6
18
6
Atténuation(dB/octave)
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Traitement du Signal
119
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres usuelles : La fenêtre rectangulaire� Meilleure résolution
fréquentielle pour un nombred’échantillons donné :Largeur du lobe à -3 dB =0.88 ∆F
� Lobes secondairesd’amplitude élevée (-13 dB) àl’origine d’incertitudesimportantes sur l ’amplitudedes raies.
� Utilisation : Analyse temporelle du signal (pas de FFT)
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Traitement du Signal
120
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres usuelles : La fenêtre de HammingC’est une fenêtre qui présente desamplitudes de lobes secondairesplus faibles que la fenêtre deHanning, et une largeur de lobeprincipal inférieure. Par contre,l’atténuation des lobes latérauxsuivants étant moindre, on luipréfère généralement Hanning,sauf en présence de raiesspectrales très proches où sarésolution supérieure estavantageuse.
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Traitement du Signal
121
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres usuelles : La fenêtre de HanningC’est la fenêtre qui réalise lemeilleur compromis entre larésolution fréquentielle et laprécision sur la mesure del’amplitude.
Elle convient pour la plupartdes signaux rencontrés enanalyse vibratoire.
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Traitement du Signal
122
Les fenêtres de pondération
� Les fenêtres usuelles : La fenêtre Flat-TopC’est la fenêtre présentantles lobes secondaires de plusfaible amplitude et donc lameilleure résolution enamplitude. Sa résolution enfréquence est par contre laplus faible. On l’utilise doncexclusivement en calibrationd’instruments, ou pour lamesure très précise de raiesspectrales connues.
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Traitement du Signal
123
Les fenêtres de pondération
� Influence de la fenêtre de pondération sur le spectreDans le calcul de la FFT de l’échantillon après fenêtrage,chaque canal du spectre se comporte comme un filtre dont laforme épouse le profil de la transformée de la fenêtre.
Une fréquence discrète du spectre réel est ainsi distribuée dansplusieurs canaux adjacents de l’analyseur.
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
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Traitement du Signal
124
1 2 31 2 3
1 2 31 2 3
Les fenêtres de pondération
� Influence de la fenêtre de pondération sur le spectre
Hanning
Rectangle
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Traitement du Signal
125
Les fenêtres de pondération
� Erreur d’amplitude due à la fenêtreLorsque la fréquence d’intérêt coïncide exactement avec lafréquence centrale d’un canal d’analyse, l’amplitude affichéepour la raie correspondante est exacte. Les raies latérales, quin’ont pas de réalité physique, sont d’amplitudes égales.
1 2 31 2 3 1 2 3
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Traitement du Signal
126
Les fenêtres de pondération
� Erreur d’amplitude due à la fenêtreLorsque la fréquence d’intérêt ne coïncide pas exactementavec la fréquence centrale du canal d’analyse, l’amplitudeaffichée pour la raie correspondante est entachée d’uneerreur, variable selon les fenêtres. Les raies latérales sontd’amplitudes différentes.
21 2 3 1 3 Erreur surl ’amplitude
Bandes latéralesdissymétriques
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Traitement du Signal
127
Les fenêtres de pondération
� Erreur d’amplitude due à la fenêtre
Les erreurs d’amplitudemaximales dues aumauvais centrage de laraie dans le canald’analyse sont donnéesdans le tableau ci-contre,en fonction du type defenêtre utilisé.
Rectangulaire
Hamming
Hanning
Flat-Top
Fenêtre
3.92
1.42
1.75
<0.01
Erreur max.(dB)
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Traitement du Signal
128
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération pour la FFT
Le choix d’une fenêtrede pondération doitêtre fait en fonction dusignal analysé et desgrandeurs recherchées.Le tableau ci-dessouspermet de détermineren première approchele type de fenêtreadapté selon la naturedu signal.
Type de signal Fenêtre
Sinus ou combinaisonde sinus Hanning
Sinusoïde (recherchede l’amplitude) Flat-Top
Signaux vibratoiresBruit large bande RectangleSinusoïdes defréquences proches Hamming
Inconnu Hanning
Hanning
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
129
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple
kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
g
1 E-6
1 E-5
1 E-4
1 E-3
1 E-2
1 E-1
1 E0C:(0.00000 kHz, -25.28dBg, 54.45E-03 g) Spectrum Ch. 1
Allure duspectre d’un
signal sinusoïdalpondéré par la
fenêtrerectangulaire
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
130
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple
kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
g
1 E-6
1 E-5
1 E-4
1 E-3
1 E-2
1 E-1
1 E0C:(0.00000 kHz, -25.17dBg, 55.14E-03 g) Spectrum Ch. 1
Allure duspectre d’un
signal sinusoïdalpondéré par la
fenêtre deHamming
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
131
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple
kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
g
1 E-6
1 E-5
1 E-4
1 E-3
1 E-2
1 E-1
1 E0C:(0.00000 kHz, -25.21dBg, 54.89E-03 g) Spectrum Ch. 1
Allure duspectre d’un
signal sinusoïdalpondéré par la
fenêtre deHanning
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
132
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple
kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
g
1 E-6
1 E-5
1 E-4
1 E-3
1 E-2
1 E-1
1 E0C:(0.00000 kHz, -25.41dBg, 53.64E-03 g) Spectrum Ch. 1
Allure duspectre d’un
signal sinusoïdalpondéré par la
fenêtre Flat-Top
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
133
Les fenêtres de pondération
� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple
RectangleHammingHanning
Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
134Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Les fenêtres de pondération (fenêtre d’acquisitiontemporelle) influe l’estimation de lectureen amplitude et en fréquence du spectre.
La fenêtre de Hanning est un bon compromisde résolution entre l’amplitude et la fréquence.
Les fenêtres de pondération
Conclusion:
135Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques
Traitement du Signal
Le traitement du signal reste une sciencecompliquée.Néanmoins, vous possédez les premiers outilspour être capable d’utiliser la TFD pour passer dudomaine temporel au fréquentiel. En prenantsoin de respecter Shannon et acquérir le signalavec une fenêtre d’acquisition respectant vosexigences en terme de résolution en amplitudeet fréquentielle pour une lecture spectrale quirépond à vos attentes.
SYNTHESE: