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resistencia materiales
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Curso: Resistencia de materiales 1 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
CAPITULO I
“El querer lo es todo en la vida. Si queréis ser felices lo seréis. Es la
voluntad la que transporta las montañas.” Alfred Victor de Vigny (1797-1863) Escritor francés.
I. TRACCIÓN, COMPRESIÓN Y CORTANTE
1. PRE-REQUISITOS
Para la compresión adecuada de este tema se necesita conocimientos previos
en cálculo, estática y materiales de construcción.
2. GENERALIDADES
La resistencia de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata
del comportamiento de los cuerpos solidos sometidos a varios tipos de carga.
Otros nombres que se le conoce son la mecánica de los materiales y
mecánica de los cuerpos deformables. El objetivo principal de este curso es
determinar las tensiones, deformaciones y desplazamientos en estructuras y
sus componentes que actúan sobre ella. (Gere, 2006)
Se ocupa de predecir las condiciones de reposo o movimiento de los sólidos
rígidos bajo la acción de fuerzas exteriores. Un sólido rígido es aquel en el que
las distancias entre sus puntos no sufren variación durante la aplicación de las
fuerzas exteriores. En las aplicaciones de la Ingenieria mecánica y estructural
se requiere verificar la seguridad de los componentes mediante la
comparación de las fuerzas internas a que se ven sometidos durante su
trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construcción. La
determinación de dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso
general, si se mantiene la hipótesis de que los componentes se comportan
como solidos rígidos. Debe suponerse que los componentes son sólidos
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Ingeniería Civil
deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen
constantes al aplicar un sistema de fuerzas exteriores. (Beltrán, 2007)
3. INTRODUCCIÓN
Entender el comportamiento mecánico es esencial para el diseño seguro de
todos los tipos de estructura, ya sean aeroplanos, antenas, edificios, puentes,
máquinas, motores, barcos y naves espaciales. Ésta es la razón por lo que la
resistencia de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la
ingeniería. La estática y la dinámica también son asociadas con partículas y
cuerpos rígidos. En la resistencia de materiales vamos un paso más allá al
examinar las tensiones y deformaciones dentro de los cuerpos reales; es
decir, cuerpos de dimensiones finitos que se deforman bajo carga. Para
determinar las tensiones y las deformaciones, usamos las propiedades físicas
de los materiales así como numerosas leyes y conceptos teóricos.
El desarrollo histórico de la resistencia de materiales es una fascinante mezcla
de teoría y experimentos; en algunos casos, la teoría ha señalado el camino
para llegar a resultados útiles y la experimentación lo ha hecho con otros. El
desarrollo histórico de la resistencia de materiales es una fascinante mezcla
de teoría y experimentos; en algunos casos, la teoría ha señalado el camino
para llegar a resultados útiles y la experimentación lo ha hecho en otros.
Algunos personajes como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei
(1564-1642) llevaron ensayos para determinar resistencia de algunos
materiales. En otro plano, Leonhard Euler (1707-1783) desarrollo la teoría
matemática de las columnas y calculo la carga crítica de una columna en
1744. (Gere, 2006)
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4. MARCO TEÓRICO
4.1. Tensión normal y deformación lineal
Tensión normal
Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son la tensión
y la deformación. Esos conceptos pueden ilustrarse en su forma más
elemental considerando una barra prismática sometida a fuerzas axiales.
Una barra prismática es un miembro estructural recto con sección
transversal constante en toda su longitud. Fuerza axial es una carga
dirigida a los largo del eje del miembro que se somete a tracción o a
compresión. Ejemplo de estos son la armadura de puentes, las bielas en
motores y automóviles, los rayos de las ruedas de bicicletas, las columnas
de edificios y los puntales de las alas aeroplanos pequeños.
Si tenemos una barra y le aplicamos una fuerza horizontal (P), generamos
un esfuerzo a tracción, generando así el esfuerzo (σ) entre el área que se
muestra en la figura 1. En el sistema internacional se tiene como N/m² las
unidades. (Gere, 2006)
Fig. 1 “Tracción y compresión” Fuente: Google
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La ecuación 1, da la tensión normal promedio sobre una sección
transversal.
Deformación lineal
Como se vio, una barra recta cambiará de longitud al cargarla axialmente,
volviéndose más larga en tracción y más corta en compresión. Por
ejemplo, considérese de nuevo la barra prismática de la figura 1, el
alargamiento , es el alargamiento acumulativo del alargamiento de todos
los elementos de material en todo el volumen de la barra, supongamos
que el material es el mismo material en todas sus partes, si consideramos
la mitad de la barra (L/2), está tendrá un alargamiento igual a , y si
consideramos la cuarta barra de la barra (L/4), quedará , de esta
deducción podemos decir que el alargamiento de un segmento es igual a
su longitud dividida entre la longitud total L y multiplicad por el
alargamiento total . Por tanto, una unidad de longitud de la barra tendrá
un alargamiento igual a veces . Esta cantidad se denomina
alargamiento por unidad de longitud, o deformación lineal, que se
representa con la letra griega épsilon . (Gere, 2006)
Tensión y deformaciones uniaxiales
Las definiciones de tensión normal y deformación lineal se basan en
consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que significa que
las ecuaciones 1 y 2 pueden usarse para cargas de cualquier magnitud y
material. El principal requisito es que la deformación de la barra sea
uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que ésta sea
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prismática, que las cargas pasen por los centroides en las secciones
transversales y que el material sea homogéneo.
Línea de acción de las fuerzas axiales para una distribución uniforme
de la tensión.
En todo el análisis anterior de la tensión y de la deformación lineal en una
barra prismática, supusimos que la tensión normal estaba distribuida
uniformemente sobre la sección transversal. Demostremos ahora que esta
condición se satisface si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por
el centroide del área de la sección transversal. (Gere, 2006)
Consideremos una barra primatica de sección transversal arbitraria,
sometida a fuerzas axiales P que producen tensiones distribuidas
uniformemente. Sea P1 el punto de la sección transversal donde la línea
de acción de las fuerzas intersectan la sección transversal. Construimos
un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y denotamos
las coordenadas del punto P1 con y . Para determinar esas
coordenadas, observamos que los momentos Mx y My de la fuerza P
respecto a los ejes x y y, respectivamente, deben ser iguales a los
momentos correspondientes de las tensiones uniformemente distribuidas.
(Gere, 2006)
Fig. 2 “Esfuerzo”
Fuente: Timoshenko
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Fig. 2 “Centroide”
Fuente: Timoshenko
Los momentos de la fuerza P son:
…… (3)
En donde un momento se considera positivo cuando su vector actúa en la
dirección positiva del eje x. Los momentos de las tensiones distribuidas se
obtienen integrando sobre el área A de la sección transversal. La fuerza
diferencial que actúa sobre un elemento de área , es igual . Los
momentos de esta fuerza elemental con respecto a los ejes x y y son
y – , respectivamente, en donde x y y denotan las coordenadas del
elemento . Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área
de la sección transversal:
∫ –∫ …… (4)
Estos momentos son producidos por las tensiones .
A continuación, igualamos los momentos , obtenidos
anteriormente con los momentos resultantes de las tensiones distribuidas.
Curso: Resistencia de materiales 7 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
∫ –∫ …… (5)
∫
–∫
…… (5)
∫
∫
…… (5)
Estas ecuaciones son las mismas que las ecuaciones que definen las
coordenadas del centroide de un área; por tanto, hemos llegado a una
importante conclusión; para tener tracción o compresión uniforme en
una barra prismática, la fuerza axial debe actuar por el centroide del
área de la sección transversal. Como se explicó antes, siempre
supondremos esto, a menos que se especifique lo contrario.
En los siguientes ejemplos se calcularán tensiones y deformaciones
lineales en barras prismáticas. En el primer ejemplo despreciamos el peso
de la barra y en el segundo lo incluimos. (Gere, 2006)
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Ejemplo 1:
Un poste de aluminio construido con un tubo circular hueco, soporta una
carga en compresión de 30 kg. Los diámetros interior y exterior del tubo
son y , respectivamente, y su longitud es de 3
metros. El acortamiento del poste debido a la carga es de 0.003 mts.
Determine la tensión de compresión y la deformación lineal en el poste(
Se desprecie el peso del poste y se supone que esta no pandea bajo la
carga).
Solución
Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo
hueco, podemos usar la ecuación 1 del texto, para calcular la tensión
normal. La fuerza P es igual a 30 Kg. y el área de la sección transversal
es:
(
)
Por tanto, la tensión de compresión en el poste es:
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La deformación lineal de compresión es: (Ecuación 2)
Ejemplo 2:
Una barra de acero de longitud L y diámetro d cuelga de un foco en una
vivienda, sosteniendo en su extremo inferior un foco de peso W.
a) Calcular una fórmula para la tensión máxima en la barra,
tomando en cuenta el peso propio de este.
b) Calcular la tensión máxima si L= 1.50 mts, d= 8 mm y W=1.5 kN
Solución
a) La fuerza axial máxima en la barra ocurre en el extremo superior
y es igual al peso más el peso propio peso de la barra. Este
último es igual a la densidad del acero multiplicada por el volumen V
de la barra; es decir,
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Por tanto, la fórmula para la tensión máxima es:
Reemplazando valores en la solución anterior.
Para obtener el segundo miembro se lo divide entre 981, que es la
aceleración de la gravedad.
4.2. Propiedades mecánicas de los materiales
Para que las máquinas y estructuras funcionen apropiadamente, su diseño
requiere que entendamos el comportamiento mecánico de los
materiales usados. Por lo general, la única manera de establecer el
comportamiento de los materiales cuando están sometidos a cargas, es
llevar a cabo experimentos en el laboratorio. El procedimiento cual es
colocar pequeñas probetas del material en máquinas de prueba, aplicar
las cargas y medir las deformaciones resultantes (como cambios de
longitud y diámetro). La mayoría de los laboratorios de pruebas de
materiales están equipados con máquinas capaces de cargar las probetas.
(Gere, 2006)
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Ensayo de Compresión
FIGURA Nº 2. EQUIPO DE ENSAYO UPN PARA COMPRESIÓN.
FUENTE: PROPIA
Ensayo de Tracción
FIGURA Nº 3. EQUIPO DE ENSAYO PARA TRACCIÓN. FUENTE: GOOGLE
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4.3. Diagramas tensión-deformación
Los resultados de las probetas dependen en general del tamaño de la
probeta ensayada. Como es poco probable que se diseñe una estructura
con partes del mismo tamaño que las probetas de prueba, los resultados
de las pruebas se deben expresar en forma al que puedan aplicarse a
miembros de cualquier tamaño. (Gere, 2006)
La tensión normal en una probeta de prueba se calcula dividiendo la
carga axial P entre el área A de la sección transversal. Cuando se usa el
área inicial de la probeta en los cálculos, la tensión se llama tensión
nominal. Un valor más exacto de la tensión normal, llamada tensión
verdadera, puede calcularse usando el área real de la barra en la sección
transversal donde ocurre la falla. Como el área real en una prueba de
tracción es siempre menor que el área inicial, la tensión verdadera es
mayor que la tensión nominal.
La deformación lineal promedio en la probeta de prueba se encuentra
dividiendo el alargamiento medido entre las marcas de calibración, entre
la longitud calibrada L. Si se usa la longitud calibrada inicial en los
cálculos, se obtiene la deformación lineal nominal. Puesto que la
distancia entre las marcas de calibración crece conforme se aplica la
carga, podemos calcular la deformación lineal verdadera para cualquier
valor de la carga usando la distancia real entre las marcas de calibración.
En tracción, la deformación lineal verdadera siempre es menor que la
deformación lineal. (Gere, 2006)
Después de efectuar una prueba de tracción-compresión, podemos trazar
un diagrama de tensión-deformación, tal diagrama es una característica
del material particular que se está probando y contiene información
importante sobre las propiedades mecánicas y tipo de comportamiento.
Curso: Resistencia de materiales 13 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
El primer material que estudiaremos es el acero estructural, conocido
también como acero dulce o acero de bajo carbono. El acero estructural
es uno de los metales más usados y se encuentra en edificios, puentes,
grúas, barcos, torres, vehículos y muchos otros tipos de construcciones.
(Gere, 2006)
En la figura 4, se muestra un diagrama tensión-deformación para acero
estructural típico en tracción. Las deformaciones lineales se trazan sobre
el eje horizontal y tensiones sobre el eje vertical. El diagrama comienza
con una línea recta que va del origen O al punto A, lo que significa que la
relación entre la tensión y la deformación en esta región inicial no es sólo
lineal sino también proporcional. Más allá del punto A, la proporcionalidad
entre la tensión y la deformación ya no existe; por esto, la tensión en A se
llama límite proporcional. Para aceros al bajo carbono, este límite varía
de 210 a 350 MPa, pero los aceros de alta resistencia, pueden tener
límites proporcionales de más de 550 MPa. La pendiente de la recta O a A
se llama módulo de elasticidad. Como la pendiente tiene unidades de
tensión divididas entre deformación, el módulo de elasticidad posee las
mismas unidades que la tensión. (Gere, 2006)
Fig. 4 “Tracción y compresión” Fuente: Timoshenko
Curso: Resistencia de materiales 14 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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Con un incremento en la tensión más allá del límite proporcional, la
deformación comienza a crecer con más rapidez para cada incremento de
la tensión; en consecuencia, la curva tensión-deformación tiene una
pendiente cada vez menor, hasta que en el punto B se vuelve horizontal.
Comenzando en este punto, ocurre un considerable alargamiento de la
probeta de prueba sin un incremento perceptible en la fuerza de tracción.
Este fenómeno se conoce como fluencia del matemático y el punto B se
llama punto de fluencia. La tensión correspondiente se conoce como
tensión de fluencia del acero. En la región de B a C, el material se vuelve
perfectamente plástico, lo que significa que se deforma sin ningún
incremento en la carga aplicada. En términos habituales, el alargamiento
de una probeta de acero dulce en la región perfectamente plástica es de
10 a 15 veces que ocurre en la región lineal. La presencia de
deformaciones muy grandes en la región plástica es la razón para no
trazar este diagrama a escala. Después de experimentar las grandes
deformaciones que ocurren durante la fluencia en la región BC, el acero
empieza a endurecerse por deformación. Durante el endurecimiento por
deformación, el material experimenta cambios en su estructura cristalina,
lo que conduce a una resistencia mayor del material a deformaciones
adicionales. El alargamiento de la probeta de prueba en esta región re
quiere un incremento en la carga de tracción, por lo que el diagrama
tensión-deformación tiene una pendiente positiva C a D. La carga termina
por alcanzar su valor máximo y la tensión correspondiente se llama
tensión última. Un alargamiento adicional de la barra va acompañado por
una reducción de la carga y la fractura ocurre finalmente en un punto
como el E. (Gere, 2006)
La tensión de fluencia y la tensión última de un material se llaman también
resistencia de fluencia y resistencia última, respectivamente.
Resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una
estructura para resistir cargas. Por ejemplo, la resistencia a la fluencia de
Curso: Resistencia de materiales 15 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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una viga es la magnitud de la carga requerida para causar la fluencia en la
viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima que
puede soportar (carga de falla). Sin embargo, cuando se lleva a cabo una
probeta de tracción de un material específico, definimos la capacidad de
tomar carga por tensiones en la probeta y no por las cargas totales que
actúan sobre ella, en consecuencia, la resistencia de un material suele
indicarse mediante una tensión. (Gere, 2006)
Cuando una probeta de prueba se estira, sufre una contracción lateral,
según se mencionó antes. El decremento resultante del área transversal
es muy pequeño para que tenga efecto significativo en los valores
calculados de las tensiones hasta aproximadamente el punto C, pero más
allá de este punto la reducción del área comienza a modificar la forma de
la curva. En la vecindad de la tensión última, la reducción de área de la
barra resulta visible y ocurre una estricción pronunciada en ellas. Si se
usa el área verdadera la sección transversal de la parte estrecha debido a
la estricción para calcular la tensión, se obtiene la curva verdadera
tensión-deformación. Como se espera que la mayoría de las estructuras
funcionen a tensiones inferiores al límite proporcional, la curva
convencional tensión-deformación OABCDE, que es fácil de
determinar, proporciona una satisfactoria teoría para su uso. (Gere, 2006)
Cuando un material como el aluminio no tiene un punto de fluencia obvio y
sufre grandes deformaciones después de excedido al límite proporcional,
puede determinarse una tensión de fluencia arbitraria por el método de
corrimiento. Se traza una línea recta, sobre el diagrama tensión-
deformación, paralela a la parte inicial de la curva, pero desplaza cierta
deformación estándar, como 0.002. La intersección de la línea desplazada
y la curva tensión-deformación, define la tensión de fluencia.
Curso: Resistencia de materiales 16 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
Los materiales que fallan en tracción a valores relativamente bajos de la
deformación se clasifican como frágiles.
4.4. Elasticidad, plasticidad y flujo plástico
Los diagramas tensión-deformación muestran el comportamiento de los
materiales ingenieriles cuando están cargados en tracción o en
compresión. Para ir un paso más allá, consideremos ahora qué sucede
cuando la carga se retira y el material se descarga; por ejemplo,
supongamos que aplicamos una carga de tracción a una probeta de
manera que la tensión y la deformación lineal van del origen O al punto A
sobre la curva tensión-deformación en la figura 4. Supongamos además
que cuando la carga se retira, el material sigue la misma curva de regreso
al origine O. Esta propiedad por medio de la cual un material recupera sus
dimensiones originales al ser descargado, se llama elasticidad y se dice
que el material es elástico. Nótese que la curva tensión-deformación de O
a A no tiene que ser lineal para que el material sea elástico. Supongamos
ahora que cargamos otro material a un mayor nivel, de manera que
alcanza el punto B, de manera que se alcanza el punto B sobre la curva
tensión deformación. Cuando la descarga ocurre desde el punto B, el
material sigue la línea BC sobre el diagrama. Esta línea de descarga es
paralela a la porción inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es
paralela a la tangente de la curva tensión-deformación en el origen.
Cuando se alcanza el punto C, se ha suprimido por completo la carga,
pero el material conserva una deformación residual o deformación
permanente, representada por la línea OC; en consecuencia, la probeta de
prueba es ahora más larga que antes de cargarla. Este alargamiento
residual de la barra se llama deformación remanente. De la deformación
total OD desarrollada durante la carga de O a B, la deformación CD se ha
recuperado elásticamente y la deformación OC queda como una
deformación permanente; por tanto, durante la descarga la barra torna a
Curso: Resistencia de materiales 17 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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su forma original en forma parcial y se dice que el material parcialmente
elástico. (Gere, 2006)
Entre los puntos A y B sobre la curva tensión-deformación debe haber un
punto antes del cual el material es elástico y después del cual es parcial
mete elástico. Para encontrarlo, cargamos el material hasta cierto valor
específico de la tensión y luego retiramos la carga. Si no tiene una
deformación permanente, el material es totalmente elástico hasta ese
valor específico de la tensión. Este proceso de carga y descarga puede
repetirse para valores sucesivamente mayores de la tensión, hasta
terminar alcanzando una tensión para la cual no toda la deformación se
recuperará durante la descarga. Con este procedimiento es posible
determinar la tensión en el límite elástico. Muchos materiales, incluidos la
mayoría de los metales, tienen regiones lineales al principio de sus curvas
tensión-deformación. La tensión en el límite superior de esta región lineal
es el límite proporcional. La tensión en el límite superior de esta región
lineal es el límite proporcional. El límite elástico suele ser el mismo o un
tanto superior, que el límite proporcional. La característica de un material
por la cual sufre deformaciones inelásticas más allá de la deformación en
el límite elástico se conoce como plasticidad. En la curva tensión-
deformación de la figura 4 tenemos una región plástica. Cuando ocurren
deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice
que el material sufre un flujo plástico. Cuando un material entra a un flujo
plástico la estructura interna del material se altera y sus propiedades
cambian. Supongamos que un material es recargado después de una
descarga en un flujo plástico, la nueva carga comienza en el punto C
sobre el diagrama y continúa hacia arriba hasta el punto B, el punto en
que comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. El material
sigue el diagrama original de tensión-deformación hacia el punto F. Para la
segunda carga, podemos imaginar que tenemos una nueva curva tensión-
deformación con su origen en C. (Gere, 2006)
Curso: Resistencia de materiales 18 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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4.5. Elasticidad lineal, ley de Hooke y coeficiente de Poisson
Muchos materiales estructurales, incluidos la mayoría de los metales,
madera, plásticos y cerámicos, se comportan elástica y linealmente en las
primeras etapas de carga. Cuando un material se comporta elásticamente
exhibe también una relación lineal entre la tensión y la deformación, se
dice que es elástico-lineal. (Gere, 2006)
Ley de Hooke
La relación lineal entre la tensión y la deformación lineal en una barra
sometida a tracción o compresión simple se expresa por la ecuación.
Dónde:
La ecuación anterior se conoce como ley de Hooke, en honor al
científico inglés Robert Hooke, esta ecuación es una versión muy limitada
de la ley de Hooke porque relaciona sólo las tensiones y deformaciones
lineales desarrolladas en la tracción o compresión simple de una barra
(Tensión Uniaxial).
Coeficiente de Poisson
Cuando una barra prismática se somete a tracción, el alargamiento axial
va acompañado de una contracción lateral. Este cambio en la forma se
ilustra en la siguiente figura 5.
Curso: Resistencia de materiales 19 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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Fig. 5 “Variación según Poisson” Fuente: Google
La contracción lateral advierte con facilidad estirando una goma elástica;
pero en los metales, los cambios en las dimensiones laterales suelen ser
muy pequeños para detectarlos a simple vista, por lo cual se utilizan de
medición sensibles. (Gere, 2006)
Si una barra está hecha de un material elástico lineal, la deformación
lineal lateral en cualquier punto de ella es proporcional a la deformación
lineal axial en el mismo punto. La razón de estas deformaciones es una
propiedad del material conocida como coeficiente de Poisson. Esta
razón adimensional, comúnmente representada mediante la letra griega
, puede expresarse a través de la ecuación.
Para que el módulo de Poisson sea igual en todas sus partes, el material
debe ser homogéneo, lo que significa que debe tener la misma
composición.
Curso: Resistencia de materiales 20 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
Ejemplo 3:
Un tubo de acero de longitud , diámetro exterior y
diámetro interior , está comprimido por una fuerza axial
El material tiene un módulo de elasticidad
y un coeficiente de Poisson .
Determinar las siguientes cantidades en el tubo:
a) El acortamiento ;
b) La deformación lineal lateral
c) El incremento y
d) El incremento , del espesor de la pared.
Solución
El área A de la sección transversal y la tensión normal se determina
como sigue:
(
)
Por tanto, la tensión de compresión en el poste es:
Curso: Resistencia de materiales 21 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
Como la tensión está muy baja de la tensión de fluencia (comportamiento
general del acero), la deformación axial se puede hallar mediante la ley de
Hooke.
a) El acortamiento
b) La deformación lineal lateral se obtiene con el coeficiente de Poisson
c) El incremento en el diámetro exterior es igual a la deformación lineal
lateral multiplicada por el diámetro:
El diámetro interior también.
Curso: Resistencia de materiales 22 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
d) El incremento del espesor también se encuentra de esa manera:
4.6. Tensión tangencial y deformación angular
Se vio anteriormente las tensiones que actúan en una superficie
perpendicularmente, a estas se le conoce como tensiones normales; pero
existen otras que actúan de forma paralela a la superficie, a estas se las
conoce como tensiones tangenciales.
Como ejemplo de la acción de las tensiones tangenciales consideramos la
conexión con perno mostrada en la figura 6. Esta conexión consisten en
una barra plana A, una abrazadera C y un perno B que pasa por agujeros
en la barra y en la abrazadera. Por la acción de cargas de tracción P, la
barra y la abrazadera presionarán el perno en aplastamiento y se
desarrollaran tensiones de contacto llamadas tensiones de
aplastamiento. Además, la barra y la abrazadera tienen de a cortar el
perno, es decir, cortar a través de él, y esta tendencia es resistida por
tensiones tangenciales en el perno. Para mostrar con más claridad las
acciones de las tensiones de aplastamiento y tangenciales, consideremos
una vista lateral de la conexión. Con esta vista en mente, dibujamos un
diagrama de cuerpo libre del perno. Las tensiones de aplastamiento
ejercidas por la abrazadera contra el perno aparecen sobre el lado
izquierdo del diagrama y están rotulados con 1 y 3. Las tensiones de la
barra aparecen sobre el lado derecho y están rotuladas con 2. Es difícil
determinar la distribución de las tensiones de aplastamiento, por lo que se
acostumbra suponer que están uniformemente distribuidas. Con base a
esta suposición, podemos calcular una tensión de aplastamiento promedio
dividiendo la fuerza lateral total de aplastamiento por el área de
aplastamiento :
Curso: Resistencia de materiales 23 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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Fig. 6 “Conexión con perno en que el perno está sometido cortante doble” Fuente: Timoshenko
Fig. 7 “Diagrama cuerpo libre figura anterior” Fuente: Timoshenko
El área de aplastamiento se define el área proyectada de la superficie
curva de aplastamiento; por ejemplo, consideremos las tensiones de
aplastamiento rotulada como 1. El área proyectada sobre la que actúan
es un rectángulo de altura igual al espesor de la abrazadera y ancho igual
al diámetro del perno. La fuerza de aplastamiento representada por las
tensiones rotuladas con 1 es igual a P/2. La misma área y la misma fuerza
se aplican a las tensiones 3. (Gere, 2006)
Veamos ahora las tensiones de aplastamiento entre la barra plana y el
perno. Para estas tensiones, el área de aplastamiento es un rectángulo
con altura igual al espesor de la barra plana y ancho igual al diámetro del
perno. La fuerza de aplastamiento correspondiente es igual a la carga P.
Curso: Resistencia de materiales 24 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
Ingeniería Civil
El diagrama de cuerpo libre de la figura 7 muestra la posibilidad de que el
perno sea degollado a lo largo de las secciones transversales mn y pq. En
un diagrama de cuerpo libre de la porción mnpq del perno, se aprecia la
acción de tensiones cortantes V sobre las superficies cortadas del perno.
En este ejemplo, hay dos planos de cortante (mn y pq) y se dice que el
perno está en cortante doble. En cortante doble, cada uno de los
esfuerzos cortantes es igual a la mitad de la carga total transmitida por el
perno, es decir, V=P/2. Los esfuerzos cortantes son las resultantes de las
tensiones tangenciales que actúan sobre la sección transversal del perno;
por ejemplo, las tensiones tangenciales que actúan sobre la sección
transversal mn se muestran en la figura 7, estas tensiones actúan
paralelamente a la superficie cortada. No se conoce la distribución exacta
de las tensiones, pero son máximas cerca del centro y se vuelven cero en
ciertas posiciones de los bordes. Según se indica en la figura, las
tensiones tangenciales se denotarán como la letra griega . (Gere,
2006)
En el análisis anterior de conexiones con pernos despreciables cualquier
fricción entre los elementos conectaos. La presencia de fricción significa
que parte de la carga es tomada por fuerzas de fricción resulta complicada
y poco confiable, es práctica común errar conservadoramente y omitirla en
los cálculos.
La tensión tangencial promedio sobre la sección transversal de un
perno se obtiene dividiendo el esfuerzo cortante total V por el área A de la
sección transversal sobre la que actúa:
Curso: Resistencia de materiales 25 Docente: Ing. Gabriel Cachi Cerna
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Igualdad de las tensiones tangenciales
Para obtener una representación más completa de la acción de las
tensiones tangenciales, consideremos un pequeño elemento de material
que forma un paralelepípedo rectangular y lados de longitud a, b y c en las
direcciones x, y y z respectivamente. Las caras anterior y posterior del
elemento están libres de tensión. Las tensiones tangenciales son iguales
en caras opuestas.
Deformación tangencial
Las tensiones tangenciales que actúan sobre un elemento de material van
acompañados por deformaciones tangenciales. Como ayuda para
visualizar esas deformaciones, notamos que las tensiones tangenciales no
tienden a alargar o acortar el elemento en las direcciones x, y y z; en otras
palabras, la longitud de los lados del elemento no cambia. Más bien, las
tensiones tangenciales producen un cambio en la forma del elemento. El
elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un
paralelepípedo oblicuo y las caras anteriores y posteriores se convierten
en romboides. Debido a esta deformación, los ángulos entre las caras
laterales cambian por ejemplo, los ángulos en los puntos q y s, que eran
antes de la deformación, se reducen por un pequeño ángulo a
. Al
mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r se incrementan a
. El
ángulo es una medida de distorsión, o cambio de forma negativa del
elemento y se llama deformación tangencial. Como la deformación
tangencial es un ángulo, se mide en grados o en radianes.
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Fig. 8 “Deformación Tangencial”
Fuente: Timoshenko
Convenciones de signos para tensiones tangenciales y
deformaciones tangenciales
Una tensión tangencial que actúe sobre una cara positiva de un elemento
es positiva si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes
coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Una
tensión tangencial que actúe sobre una cara negativa de un elemento es
positiva en la dirección negativa de un eje y negativa si actúa en una
dirección positiva.
La deformación tangencial en un elemento es positiva cuando el ángulo
entre dos caras positivas (o dos negativas) se reduce. La deformación
tangencial es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos
negativas) se incrementan
NOTA: Una cara es positiva cuando su normal tiene dirigido uno de los
ejes del sistema de referencia.
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Ley de Hooke en cortante
La ley de hooke en cortante es:
El módulo de cortante y el módulo de Young se reducen como sigue.
Deducción se verá más adelante, en capítulos adelantados.
(Conocimientos en torsión).
Ejemplo 4:
Un puntual S de acero que sirve como riostra a un malacate marino
transmite una fuerza P de compresión de 54 kN a la plataforma de un
muelle de 40°. Un pasador que atraviesa el puntual transmite la fuerza de
com. El puntual tiene una sección transversal cuadrada hueca con
espesor de pared t=12 mm (FIG) y el ángulo entre el puntual y la
horizontal es presión del puntual a 2 placas de unión G soldadas a la placa
de base B. Cuatro pernos de anclaje la aseguran a la plataforma. El
diámetro del pasador es , el espesor de las placas de unión
es , el espesor de la placa de base es y el diámetro
de los pernos de anclaje es de .
Determinar lo siguiente
a) La tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador.
b) La tensión tangencial en el pasador.
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c) La tensión de aplastamiento entre el pasador y las placas de unión.
d) La tensión de aplastamiento entre el anclaje y la placa base.
e) La tensión tangencial en los pernos de anclaje.
Desprecie cualquier fricción entre la placa de base y plataforma.
a) Tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador. El valor
promedio de la tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador
se encuentra dividiendo la fuerza en el puntual entre el área total de
apoyo del puntual contra el pasador. Ésta es igual a dos veces el
espesor del puntual multiplicando por el diámetro del pasador. La
tensión de aplastamiento es:
b) Tensión de aplastamiento entre el puntual y el pasador. Como
puede verse en la figura el pasador tiende a cortarse en dos planos, es
decir, en los planos entre el puntual y las placas de unión; por tanto, la
tensión tangencial promedio en el pasador es igual a la carga total
aplicada al pasador dividida entre dos veces su área transversal:
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El pasador se fabricaría normalmente con acero de alta resistencia y
podría resistir con facilidad está tensión tangencial.
c) Tensión de aplastamiento entre el pasador y las placas de unión.
El pasador se apoya contra las placas de unión en dos lugares, por lo
que el área de aplastamiento es dos veces el espesor de las placas
multiplicados por el diámetro del pasador, entoces:
que es menor que la tensión de aplastamiento contra el puntual.
d) Tensión de aplastamiento entre los pernos de anclaje y la placa de
base. La componente vertical de la fuerza P, se transmite a la
plataforma por aplastamiento directo entre la placa de base y la
plataforma; por su parte la componente horizontal se transmite por
medio de los pernos de anclaje. La tensión igual a la componente
horizontal de la fuerza P dividida entre el área de apoyo de cuatro
pernos. El área de apoyo de un perno es igual al espesor de la placa
multiplicado por el diámetro del perno. En consecuencia, la tensión de
aplastamiento.
e) Tensión tangencial en los pernos de anclaje. La tensión tangencial
promedia en los pernos de anclaje es igual a la componente horizontal
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de la fuerza dividida entre el área transversal total de cuatro pernos;
por tanto,
Cualquier fricción entre la placa de base y la plataforma reduciría la
carga sobre los pernos de anclaje.
Ejemplo 5:
En la figura del problema se un punzón (herramienta de acero para
grabado) para perforar placas de acero. Supóngase que se usa un punzón
con diámetro de 0.75 in para perforar un agujero en una placa de ¼ in,
como se muestra en la vista de perfil. Si se requiere una fuerza
, ¿Cuál es la tensión tangencial promedia en la placa y la tensión
normal de compresión promedia en el punzón?
Solución
La tensión tangencial promedia en la placa se obtiene dividiendo la fuerza
P entre el área cortante de la placa. El área cortante es igual a la
circunferencia del agujero multiplicada por el espesor de la placa, esto es:
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En donde el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa; por tanto,
la tensión tangencial promedio en la placa es:
La tensión normal promedio de compresión en el punzón es:
en donde es el área de la sección transversal del punzón.
Ejemplo 6:
Un cojinete de apoyo del tipo usado para soportar maquinaria y vigas de
puentes, consiste en un material elástico lineal con una tapa de placa de
acero como se muestra en la figura del problema. Supóngase que el
espesor del elastómero es h, que las dimensiones de la placa son a x b y
que el cojinete está sometido a un esfuerzo cortante horizontal V. Obtener
fórmulas para la tensión tangencial promedio en el elastómero y
para el desplazamiento horizontal d de la placa.
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Solución
Supongamos que las tensiones tangenciales en el elastómero están
distribuidas uniformemente en todo su volumen. Entonces, la tensión
tangencial sobre cualquier plano horizontal del elastómero es igual al
esfuerzo cortante y dividido entre el área del plano.
La deformación tangencial correspondiente es,
En donde es el módulo cortante del elástomero. Por último, el
desplazamiento horizontal d es igual a .
En la mayoría de los casos prácticos, la deformación tangencial es un
ángulo pequeño y entonces puede remplazarse por , con lo que se
obtiene.
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4.7. Tensiones y cargas admisibles
Como sabemos los ingenieros diseñan una gran variedad sin fin de
objetos que satisfacen las necesidades básicas de la sociedad. Además
sabemos que el curso de resistencia de materiales, la capacidad del
objeto para soportar o transmitir cargas. Los objetos que deben soportar
cargas incluyen edificios, máquinas, recipientes, camiones, aeronaves,
barcos, etc. Por simplicidad, los llamaremos a toda estructura; entonces,
una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas.
Factor de seguridad
La resistencia verdadera de una estructura debe exceder la resistencia
requerida. Por tanto el factor de seguridad n:
Margen de Seguridad (Ms)
EL margen de seguridad se utiliza mucho en las estructuras, y se define
como:
Tensiones admisibles
Los factores de seguridad se definen y ponen en práctica de diversas
maneras. En muchas estructuras es importante que el material
permanezca dentro del intervalo elástico lineal para evitar deformaciones
permanentes cuando las cargas se retiran. En esas condiciones, el facor
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de seguridad establece con respecto a la fluencia de la estructura. La
fluencia empieza cuando la tensión de fluencia se alcanza en cualquier
punto dentro de la estructura; por tanto, al aplicar un factor de seguridad
con respecto a la tensión de fluencia que no debe excederse en ninguna
parte de las estructuras.
o para tracción y cortante, respectivamente
donde son las tensiones de fluencia; son los factores de
seguridad. Por ejemplo en el diseño de edificios, un factor característico
de seguridad con respecto a la fluencia en tracción es 1.67; un acero dulce
con tensión de fluencia de 36 ksi tiene una tensión admisible de 21.6 ksi.
En ocasiones, el factor de seguridad se aplica a la tensión última y no a
la tensión de fluencia. Este método es adecuado para materiales frágiles
como el concreto y algunos plásticos, y para materiales sin una tensión de
fluencia bien definida como la madera y los aceros de alta resistencia.
Por ejemplo el factor de seguridad con respecto a la resistencia última de
un material suelen ser mayores que los basados en la resistencia de
fluencia. Por ejemplo en el acero dulce, el factor de seguridad para la
fluencia es 1.67 y para el factor último de 2.80.
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Cargas admisibles
Después de que se ha establecido la tensión admisible para un material y
estructura en particular, es posible establecer la carga admisible sobre
esa estructura. La relación entre carga admisible y tensión admisible
depende del tipo de estructura. En este capítulo solo se verán barras en
tracción o compresión y pasadores en cortante directo y aplastamiento.
En estas estructuras, las tensiones están uniformemente distribuidas
sobre un área; por ejemplo, en el caso de una barra en tracción, la tensión
esta uniformemente distribuida sobre el área de la sección transversal,
siempre que la fuerza actuante actué en el centroide. Lo mismo sucede en
una barra de compresión en tanto no esté sometida a pandeo. En el caso
de un pasador sometido cortante, consideremos solo la tensión tangencial
promedio sobre la sección transversal, lo que equivale a suponer que la
tensión tangencial está uniformemente distribuida. De manera similar,
consideremos sólo un valor promedio de la tensión de aplastamiento que
actúa sobre el área proyecto del pasador. Por tanto, en los 4 casos
anteriores, la carga admisible es igual a la tensión admisible multiplicada
por el área la que actúa.
Para barras en tracción y compresión directas (sin pandeo), esta ecuación
es:
A es el área, si tuviera un hueco se considerara el área neta de la barra en
tracción o compresión
Para cortantes en cortante directo, se utilizara
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Si está en cortante simple, el área transversal es A, si es en cortante doble
el área es el doble.
La carga admisible de aplastamiento
Ejemplo 7:
Una barra de acero que sirve de colgante vertical para soportar
maquinaria pesada en una fábrica, está unida a un soporte por medio de
la conexión con perno de la figura que se muestra. La parte principal del
colgante tiene sección transversal rectangular con ancho y
espesor En la conexión, el ancho colgante se amplía a
. El perno que transfiere la carga del colgante a las 2 placas de unión
tiene un diámetro . Determinar el valor admisible de la carga de
tracción P en el colgante en base a las siguientes consideraciones:
a) La tensión de tracción admisible en la parte principal del colgante es de
16 000 psi.
b) La tensión admisible de tracción en la sección transversal del colgante
que pasa por el perno es de 11000 psi.
c) La tensión admisible de aplastamiento entre el colgante y el perno es
de 26000 psi
d) La tensión tangencial admisible en el perno es de 6500 psi
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Solución
a) La carga admisible con base a la tensión en la parte principal del
colgante es igual a la tensión admisible de tracción multiplicada por el
área de la sección transversal del colgante.
Una carga mayor que este valor sobre esforzará la parte principal del
colgante, o sea la tensión real excederá la tensión admisible; con lo
cual reducirá el factor de seguridad.
b) En la sección transversal del perno, se precisa un cálculo similar pero
con una tensión admisible y un área diferente. El área transversal neta
(el área después del taladrado), es igual al ancho neto multiplicado por
el espesor. El ancho neto es igual al ancho total menos el diámetro
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d del agujero. De esta manera, la ecuación para la carga admisible
en esta sección es entonces:
c) La carga admisible con base en el aplastamiento que existe entre el
colgante y el perno es igual a la tensión de aplastamiento admisible
multiplicada por el área de aplastamiento. Esta última es la proyección
del área de contacto real, que en este caso es igual al diámetro del
perno multiplicado por el espesor del colgante. Por tanto, la carga
admisible es:
d) Por último, la carga admisible basada en la tensión tangencial sobre
el perno es igual a la tensión tangencial admisible multiplicada por el
área de corte. El área de corte es dos veces el área del perno porque
el perno está en cortante doble; así
Al comparar cualquier de los valores, vemos que el menor valor de la
carga es:
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Problemas
1. Un poste de aluminio construido con un tubo circular hueco,
soporta una carga en compresión de 54 kips. Los diámetros
interior y exterior del tubo son y ,
respectivamente, y su longitud es de 40 in. El acortamiento del
poste debido a la carga es de 0.022 in. Determine la tensión de
compresión y la deformación lineal en el poste (Se desprecie el
peso del poste y se supone que esta no pandea bajo la carga).
2. Una barra de acero de longitud L y diámetro d cuelga en el pozo
de una mina en una vivienda, sosteniendo en su extremo inferior
una cubeta con mineral de peso W.
a) Obtener una fórmula para la tensión máxima , tomando en cuenta
el peso propio
b) Calcular la tensión máxima si L= 40 mts, d= 8 mm y W=1.5 kN
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3. Un tubo de acero de longitud , diámetro exterior
y diámetro interior , está comprimido por una fuerza
axial El material tiene un módulo de elasticidad
y un coeficiente de Poisson .
Determinar las siguientes cantidades en el tubo:
a) El acortamiento ;
b) La deformación lineal lateral
c) El incremento y
d) El incremento , del espesor de la pared.