UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHRAIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: CONTROLE I.

CONTROLADOR DE AQUECIMENTO PARA UMA CÉLULA PELTIER.

SÃO LUÍS – MA

2010

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHRAIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ELETRÔNICA I.

ALUNO: CARLOS EDUARDO AROSO SALDANHA EE06130-66

CONTROLADOR DE AQUECIMENTO PARA UMA CÉLULA PELTIER.

Autor: CARLOS EDUARDO AROSO SALDANHA EE06130-66

SÃO LUÍS – MA

2010

2

Trabalho sobre projeto proposto da disciplina de Controle I.

SUMÁRIO.

1. Objetivo...............................................................................................................................4

2. Introdução...........................................................................................................................4

2.1. Efeito Peltier................................................................................................................4

2.2. Célula Peltier................................................................................................................5

3. Planta...................................................................................................................................6

3.1. Parâmetros do Sistema................................................................................................7

4. Projeto do Controlador PI....................................................................................................9

5. Projeto do Compensador...................................................................................................14

6. Projeto do PI por alocação de polos..................................................................................17

7. Conclusão...........................................................................................................................21

8. Script MATLAB...................................................................................................................22

9. Bibliografia.........................................................................................................................27

3

1. Objetivo.

Implementar o conhecimentos obtidos em sala de aula aplicando-os em um modelo real, utilizando as ferramentas necessárias para projetar um controlador para uma câmara de térmica (Planta) utilizando células de Peltier (Atuador). Utilizaremos algumas técnicas para realizar as análises necessárias e assim obter os resultados satisfatórios. Entre as técnicas que utilizaremos podemos destacar o método do lugar das raízes, diagramas de Bode e critério de Routh. Para o controle usaremos o controlador PI que nos foi sugerido e compensadores.

2. Introdução.2.1. Efeito Peltier.

Ocorre quando é fornecida corrente a um sistema composto por duas placas de materiais semicondutores de tipos diferentes (N e P) ou de metais diferentes, gerando aquecimento e resfriamento em dos materiais, em outras palavras, um aquece e outro resfria.

O efeito Peltier é o inverso do efeito Seebeck, onde a partir de uma diferença de temperatura, obtemos uma diferença de potencial. Em termos físicos, quando um metal é submetido a um gradiente de temperatura, os elétrons do material tendem a ir para o lado mais frio do material devido a energia cinética do material do lado mais quente, gerando assim uma diferença de potencial.

Existem várias aplicações para o efeito peltier entre eles podemos citar: resfriamento de câmaras, incubadoras, esterilizadoras, etc.

4

Em nosso projeto utilizaremos uma célula Peltier para variar a temperatura em uma câmara.

2.2.Célula Peltier.

Consiste em um módulo termoelétrico que aplica os efeitos Seebeck e Peltier formado por pares semicondutores P e N. Nesse tipo de célula, quanto maior o número de pares, maior será a capacidade térmica do módulo. Esse módulo consistirá em nosso atuador

Há também outro efeitos físicos associados ao atuador, podemos destacar o efeito Joule devido a passagem de corrente há um aquecimento intrínseco originado pela resistência dos materiais.

O modelo matemático da Potência do módulo é dado por:

Ph=I ² Rm2

+α p ,nT h I (1)

Pc=I ² Rm2

−α p ,nT c I (2)

Onde,

I é a corrente do circuito; Rm é a resistência do módulo; αp,n é o coeficiente de Seeback; Tc é a temperatura do lado frio; Th é a temperatura do lado quente; Ph é a potência do lado quente; Pcé a potência do lado frio.

5

3. Planta.

A planta proposta consiste em uma câmara com um corpo de prova, a célula peltier acoplada à carcaça da câmara. O corpo de prova é um bloco de alumínio. Há também três sensores para medir a temperatura externa, interna e do bloco. O diagrama da planta encontra-se na figura 1.

Figura 1 – Planta.

Tomando a planta da figura 1, teremos as seguintes equações:

mo cod T odt

=K ¿ , o(T ¿−T o) (3)

m¿c¿dT ¿

dt=K ¿ ,o (T o−T ¿)+K ¿ , ext (T ext−T ¿)+ucélula (4)

Onde,

mo é a massa do objeto; co é a constante calorimétrica do objeto; Kin,o é a térmica do ambiente interno; min é a massa do ar contida na câmara; cin é a constante calorimétrica do ar; Kin,ext é a térmica do ambiente externo; ucélula é a função do atuador.

Realizando os algebrismos necessários e aplicando a tranformada de Laplace, temos:

T o (s )=K ¿ ,ext

as2+bs+cText (s )+

Rmas2+bs+c

I (s) (5)

Onde,

6

a=m¿ c¿mocoK ¿ ,o

; (6)

b=(m¿ c¿+mo co+(K ¿ , ext−α pn) .mo co

K ¿ , o

); (7)

c=K ¿ , ext−α pn (8)

3.1. Parâmetros do Sistema.

Para determinar os parâmetros, dispomos de métodos de medição e teste. No nosso caso, utilizamos os dados fornecidos pelo material contido na bibliografia (referência [3]). Desconsiderando os efeitos do ambiente externo, admitindo-se que as influências externas sejam muito pequenas devido à câmera ser isolada termicamente, teremos a seguinte função de transferência:

G (s )= 25,548

7,2526 ∙104 s2+1,1362∙103 s+1I ( s) (9)

Pela função de transferência da planta, obtemos os seguintes resultados:

Polos: -0,0147;-0,0009; Ganho: 3,5226e-4.

Através desses resultados, podemos dizer que todos os polos do sistema estão no LHP do plano complexo, o que significa que a planta é estável. Porém há necessidade de “levar” esses polos mais para esquerda do plano. Para tal tarefa, iremos projetar um controlador PI.

Podemos ver a alocação dos polos no plano complexo na figura abaixo:

7

-0.015 -0.01 -0.005 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.00260.00420.00620.0090.013

0.02

0.04

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.00120.00260.00420.00620.0090.013

0.02

0.04

0.0012

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 2: Polos do sistema do atuador.

Para as respostas do sistema, utilizaremos a resposta ao degrau e ao impulso.

Para uma entrada de 1A, temos que a resposta ao degrau será:

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000

5

10

15

20

25

30Degrau G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 3: Resposta ao degrau de G(s).

Podemos observar na figura 3, que o nosso tempo de subida é muito alto, logo o sistema demorará a alcançar a temperatura que queremos na saída, o que justifica o uso de um controlador. Para o sistema natural, obtemos os seguintes valores de resposta ao degrau:

Tempo de subida (tr) = 2,3538e+03 s; Tempo de acomodação (ts) = 4,2496e+03 s; Tempo de pico (tp) = 9,2801e+03 s;

8

Valor de overshoot (Mp) = 0;

Outra observação que podemos fazer é através da resposta ao impulso que se encontra na figura 4. Nela podemos observar que o gráfico corrobora as análises quanto a estabilidade do sistema feitas anteriormente. Podemos observar que depois de um impulso, o sistema tende a voltar ao estado inicial, mas com um tempo muito alto.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02Impulso G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 4: Impulso em G(s).

Analisando via diagrama de Bode (figura 5), observamos que nosso atuador possui a sua frequência de corte localizada em aproximadamente -3dB e fc=0,02 rad/s o eu nos permite afirmar que o sistema trabalha melhor com sinais DC.

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

40System: g_sysFrequency (rad/sec): 0.0201Magnitude (dB): -3.09

Mag

nitu

de (

dB)

Figura 5: Diagrama de Bode de G(s)

9

4. Projeto do Controlador PI.

Para nosso projeto, utilizaremos um controlador utilizando a ação proporcional e integral. No domínio do tempo, teremos a seguinte função de controle:

c (t )=k p e ( t )+k i∫ e ( t )dt (10)

Na equação 10, o primeiro termo, representa a ação proporcional, que tem o fim principal reduzir o tempo de subida e reduzir o erro de regime. Essa ação é proporcional ao erro e(t) e se anula quando esse erro se torna nulo. A desvantagem dessa ação se dá pelo fato do valor máximo ser aumentado e o tempo de acomodação ser influenciado de forma não previsível. Para corrigir tais deficiências, dispomos de outra ação: a ação integral, que na equação 10 é representada pelo segundo termo.

Na ação integral, podemos assegurar que a saída do processo, teremos o valor de referência em regime permanente. A grande vantagem dessa ação é a eliminação do erro de regime, além de reduzir também o tempo de subida. Em contrapartida, temos também um aumento do valor máximo e do tempo de acomodação.

Em relação ao domínio da frequência, a equação 10 é dada por:

C ( s )=(k p+ k is ) (11)

No projeto, realizamos dois testes: com controlador em malha aberta, e com controlador em malha fechada. Para o teste em malha aberta consideramos o seguinte diagrama de blocos:

R(s) Y(s)

Figura 6: Diagrama de Blocos Projeto PI em malha aberta.

Realizando os algebrismos temos que:

Y (s )=25,548(k p ∙ s+k i)

7,2526 ∙104 s3+1,1362∙103 s2+s (12)

Através da figura abaixo, podemos ver que há um polo na origem, o que caracteriza um sistema instável, logo não podemos utilizar a planta com controlador em malha aberta.

10

(k p+ k is ) G(s)

-0.015 -0.01 -0.005 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.00260.00420.00620.0090.013

0.02

0.04

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.00120.00260.00420.00620.0090.013

0.02

0.04

0.0012

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 7: Polos do sistema em malha aberta com PI.

A resposta ao degrau nos fornece:

0 500 1000 15000

50

100

150

200

250

300

350

400

450Degrau Malha Aberta C(s)G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 8: Resposta ao Degrau PI em malha aberta.

Com esse comportamento, danificaríamos o atuador.

Tendo em vista os problemas encontrados no sistema em malha aberta, propomos um processo com feedback. O digrama de blocos, lembrando que não consideraremos distúrbios externos, é o seguinte:

R(s) + Y(s)

-

Figura 9: Diagrama de Blocos Projeto PI em malha fechada.

11

(k p+ k is ) G(s)

Para o digrama de blocos da figura 9, temos:

Y (s )= C (s )G ( s )1+C ( s)G (s )

R (s ) (13)

Para o nosso modelo, teremos a seguinte função de transferência:

Y (s )=25,548(k p ∙ s+k i)

7,2526 ∙104 s3+1,1362∙103 s2+s (25,548∙ k p+1 )+25,548∙ k i (14)

Da equação (14), o polinômio carcacterístico é:

P (s )=7,2526 ∙104 s3+1,1362 ∙103 s2+s (25,548 ∙ k p+1 )+25,548 ∙ k i (15)

Aplicando P(s) na array de Routh para verificar a estabilidade do sistema, temos:

s3 7,2526 ∙104 (25,548 ∙ k p+1 )s2 1,1362∙103 25,548 ∙ k is a1 b1

000

s0 a2 b20

Determinando a1, b1, a2 e b2, para termos as condições de BIBO estabilidade, temos:

a1=25,548 ∙ k p−0,163 ∙ k i+1 (16)

a2=0 (17)

b1=25,548 ∙ ki (18)

b2=0 (19)

Para que tenhamos estabilidade, a1 e b1 devem ser positivos.

Para o projeto, utilizamos a técnica de erro e tentativas direcionado pelas equações (16) e (17). Para ki=0,002 e kp=20.

12

0 20 40 60 80 100 1200

5

10

15

20

25

30Degrau Malha Fechada C(s)G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 10: Resposta ao Degrau PI em malha fechada.

Utilizando os parâmetros já mencionados, obtemos a resposta ao degrau que corresponde a figura 10. Nela observamos que o tempo de subida tornou-se bem mais rápido em relação à utilização somente do atuador. Os parâmetros da figura de mérito são:

Tempo de subida (tr) = 36,14 s; Tempo de acomodação (ts) = 60,23 s; Tempo de pico (tp) = 104,23 s; Valor de overshoot (Mp) = 0,05;

Comparando com os dados do item 3.1, podemos concluir que o uso de um controlador PI é aceitável haja vista os parâmetros de méritos serem conformes aos das especificações da planta sem comprometimento do funcionamento do atuador.

Em relação a resposta ao impulso, também observamos uma acomodação mais rápida do sistema. Podemos constatar através da figura 11.

0 50 100 150 200 250 300-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035Impulso Malha Fechada C(s)G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 11: Resposta ao Impulso PI em malha fechada.

Tratando da frequência, através do diagrama de Bode, obtemos:

13

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

System: cmf_sysFrequency (rad/sec): 0.128Magnitude (dB): -9.89

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 12: Diagrama de Bode PI em Malha Fechada.

Considerando a figura 12 e comparando com a figura 5, vemos que o sistema ganhou robustez, ou seja, tornou-se mais estável em relação a variações de frequência, haja vista do aumento de fc de um valor de 0,02 rad/s para 0,1 rad/s.

5. Projeto do Compensador.

Outro método utilizado para controle de atuadores é a análise feita através do lugar das raízes (ou root lócus). Esse método é baseado no “caminho” que os polos do sistema percorrem no plano “s” quando variamos o ganho do mesmo. Tal procedimento permite a alocação de polos dominantes no sistema de modo a obter estabilidade e variação desejada na figura de mérito. Muitas vezes e necessário, como no nosso projeto, afastar os polos da origem para mais esquerda do LHP causando diminuição do ts. Baseando-se nisso, podemos implementar o uso de compensadores.

A função de transferência do compensador é:

H (s )=K ∙ s+ds+e (20)

Para o sistema em estudo em malha fechada, temos o diagrama de blocos:

R(s) + Y(s)

-

14

H (s) G(s)

Figura 13: Diagrama de Blocos Projeto do Compensador em Malha Fechada.

O polinômio característico do processo é:

P (s )=1+K ∙ 25,548 ∙ s+25,548 ∙ d7,2526∗104 ∙ s3+(1,1362 ∙103+7,2526∗104∙ e ) s2+ (1+1,1362∙103 ∙ e ) s+e

(21)

Utilizando de testes, utilizamos d=−9,36 ∙10−4 e e=−5.Utilizando a figura 14, que contém o lugar das raízes do sistema, temos que o valor de K que nos retorna o t s mais adequado para o processo é 6,48 ∙103. De posse desses valores, podemos construir nossa função de transferência representada pela equação (22).

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

30.20.380.560.70.810.89

0.95

0.988

0.20.380.560.70.810.89

0.95

0.988

123456

Rootlocus Compensador

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 14: Rootlocus Compensador.

Y (s )= 165,56 s+0,15572,526 s3+363,766 s2+5,682 s+0,16

(23)

Fazendo a análise do sistema, em relação à resposta ao degrau temos:

15

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25Degrau Malha Fechada H(s)G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 15: Resposta ao Degrau Processo com Compensador.

Pela figura 15, percebemos que o sistema teve seu tempo de subida bem reduzido em relação ao PI. Os parâmetros das figuras de mérito são:

Tempo de subida (tr) = 4,23 s; Tempo de acomodação (ts) = 7.6920s; Tempo de pico (tp) = 19.99 s; Valor de overshoot (Mp) = 0;

Observamos também, que o sistema se comporta de maneira semelhante a função de transferência somente com atuador. Não temos overshoot, porém o tempo de acomodação é menor que o tempo de pico o que demonstra que o sistema terá uma lentidão para alcançar o valor de referência.

A resposta ao impulso também demonstra a estabilidade desse sistema, e seu retorno rápido ao estado inicial.

16

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Impulso Malha Fechada H(s)G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 15: Resposta ao Impulso Processo com Compensador.

Tratando da frequência, temos que:

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (

dB)

System: klr_sysFrequency (rad/sec): 1.59Magnitude (dB): -10.9

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 16: Diagrama de Bode Processo com Compensador.

O sistema também apresenta uma rejeição a variações de frequência maior que os já estudados, no caso, fc=1,59 rad/s.

6. Projeto do PI por alocação de polos.

17

Esta etapa do projeto utiliza a equação do polinômio característico e padrões pré-determinados de ωn, σ , ωd e ζ .

Nosso sistema é de 3ª ordem, logo o polinômio característico é:

P (s )=(s2+2ωn ζs+ωn2 ) (τs+1 ) (24)

Ou,

P (s )=τ s3+(2ωn ζτ+1 ) s2+(ωn2 τ+2ωn

❑ζ ) s+ωn2 (25)

O P(s) do sistema com controlador PI é dado por:

P (s )=7,2526 ∙104 s3+1,1362 ∙103 s2+s (25,548 ∙ k p+1 )+25,548 ∙ k i (26)

Fazendo uma relação entre as equações (25) e (26), temos que:

k p=ωn2+2ωnζ−17,2526 ∙104

(27)

k i=ωn2

7,2526 ∙104 (28)

Determinaremos agora os valores que desejamos para o sistema:

Tempo de subida (tr) = 90 s; Tempo de acomodação (ts) = 250 s;

De posse dos valores, podemos afirmar que:

σ=4,6t s

=0,018 (29)

ωd=1,8tr

=0,02 (30)

ωn=√σ2+ωd2=0,027 (31)

ζ= σωn

=0,667 (32)

De posse desse valores, encontramos k p=3,77 ∙10−2 e k i=2,85 ∙10

−5

18

A resposta ao degrau pode ser observada em:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 104

0

5

10

15

20

25

30

35Degrau Alocação de Polos G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 17: Resposta ao Degrau Sistema por Alocação de Polos

Podemos observar na figura 17 que nossos resultados não foram satisfatórios. A análise quantitativa nos mostra que:

Tempo de subida (tr) = 5,0360e+003 s; Tempo de acomodação (ts) = 4.2442e+004 s; Tempo de pico (tp) = 1.2281e+004 s; Valor de overshoot (Mp) = 1.3381;

Resultados que não são aceitáveis para o sistema térmico. Com isso, devemos utilizar outro método para determinar os valores de kp e ki para o sistema.

Em relação à resposta ao impulso temos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-4 Impulso Alocação de Polos G(s)

Time (sec)

Am

plitu

de

19

Figura 18: Resposta ao Impulso Sistema por Alocação de Polos

que também demonstra a dificuldade do sistema em retornar ao valor inicial.

Em relação à frequência, observamos que o sistema também se tornou sensível a ruídos.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 19: Diagrama de Bode Sistema por Alocação de Polos

Na figura 20 podemos observar onde os polos foram alocados no plano s.

-0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-4

111111

1

1

111111

1

1

0.020.040.060.080.10.120.140.16

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 20: Plano s, Sistema por Alocação de Polos

20

Os polos ficaram muito próximos ao eixo imaginário, uma solução seria coloca-los mais longe do eixo em questão.

7. Conclusão.

No trabalho podemos observar alguns métodos para controle do sistema térmico. Sabemos que em termos de resposta para obtenção da referência o sistema compensado foi o que teve melhor performance, porém a velocidade com que o obtivemos a resposta pode ser prejudicial ao atuador, por isso talvez a melhor forma de implementar um controle fosse com o controlador PI em malha fechada haja vista em malha aberta o mesmo perderia a estabilidade.

No processo de alocação de polos, encontramos algumas dificuldades, por isso acredito que mais estudos devem ser feitos posteriormente para encontramos uma solução aceitável para implementação da técnica.

Podemos também sugerir a inserção de um elemento de inteligência artificial no modelo para controlar os ganhos do sistema, proporcionando mais estabilidade e performance ao sistema.

Sabemos que cada caso é um caso, por isso fica difícil determinar qual a melhor técnica para obtenção de um melhor controle.

21

Por fim, o trabalho, além de interessante, foi de suma importância para aquisição de mais conhecimentos na área de controle bem como a aplicação dos conhecimentos obtidos na disciplina sendo aplicados em um problema real.

8. Script MATLAB.

%%%UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

%%%CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

%%%DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

%%%DISCIPLINA: CONTROLE I

%%%ALUNO:CARLOS EDUARDO AROSO SALDANHA EEE06130-66

%%%PARÂMETROS PLANTA%%%

clc;

clear all;

22

i=1;

num=[25.548];

den=[7.2526e4 1.1362e3 1];

g_sys=tf(num,den);

figure(i);

i=i+1;

pzmap(g_sys);

grid;

[z,p,k]=tf2zp(num,den);

figure(i);

i=i+1;

step(g_sys);

title('Degrau G(s)');

grid;

stepinfo(g_sys)

figure(i);

i=i+1;

impulse(g_sys);

title('Impulso G(s)');

grid;

figure(i);

i=i+1;

bode(g_sys);

title('Bode G(s)');

grid;

%%%PROJETO PI%%%

23

ki=0.002;

kp=20;

den1=[7.2526e4 1.1362e3 1 0];

num1=[(25.548*kp) (25.548*ki)];

cma_sys=tf(num1,den1);

figure(i)

i=i+1;

pzmap(cma_sys);

grid;

figure(i);

i=i+1;

step(cma_sys);

title('Degrau Malha Aberta C(s)G(s)');

grid;

den2=[72526 11362 (kp*25.548+1) 25.548*ki];

num2=[25.548*kp 25.548*ki];

cmf_sys=tf(num2,den2);

figure(i);

i=i+1;

step(cmf_sys*25.5);

title('Degrau Malha Fechada C(s)G(s)');

grid;

figure(i);

i=i+1;

impulse(cmf_sys);

24

title('Impulso Malha Fechada C(s)G(s)');

grid;

figure(i);

i=i+1;

bode(cmf_sys);

grid;

stepinfo(cmf_sys)

%%%Projeto do Compensador%%%%

d=9.36e-4;

e=5;

num3=[25.548 25.548*d];

den3=[7.2526e4 (1.1362e3+ (7.2526e4*e)) (1+(1.1362e3*e)) 1*e];

lr_sys=tf(num3,den3);

figure(i);

i=i+1;

rlocus(lr_sys);

title('Rootlocus Compensador');

grid;

klr=6.48e3;

den31=[7.2526e4 (1.1362e3+ (7.2526e4*e)) (1+(1.1362e3*e)+(klr*25.548)) (e+(klr*25.548*d))];

klr_sys=tf(klr*num3,den31);

figure(i);

i=i+1;

step(klr_sys*25.5);

title('Degrau Malha Fechada H(s)G(s)');

25

grid;

figure(i);

i=i+1;

impulse(klr_sys);

title('Impulso Malha Fechada H(s)G(s)');

grid;

stepinfo(klr_sys)

figure(i);

i=i+1;

bode(klr_sys);

title('Bode Malha Fechada H(s)G(s)');

grid;

%%%Alocação de Polos%%%%%

kpal=3.77e-2;

kial=2.85e-5;

den4=[72526 11362 (kpal*25.548+1) 25.548*kial];

num4=[25.548*kpal 25.548*kial];

cal_sys=tf(num4,den4);

figure(i);

i=i+1;

step(cal_sys*25.5);

grid;

title('Degrau Alocação de Polos G(s)');

figure(i);

i=i+1;

26

impulse(cal_sys);

title('Impulso Alocação de Polos G(s)');

grid;

stepinfo(cal_sys)

figure(i);

i=i+1;

bode(cal_sys);

title('Bode Alocação de Polos G(s)');

grid;

figure(i);

i=i+1;

pzmap(cal_sys);

grid;

9. Bibliografia.

[1] Gene F. Franklin, David J. Powell, and Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, NJ, USA, 2006.

[2] Katsuhiko Ogata. Engenharia de Controle Moderno. Ed. Rio de Janeiro: Prenttice - Hall do Brasil, 2003.

[3] Denis Fabrício Sousa de S. Controlador PID para uma Célula Peltier. UFMA. 2010.

[4] J.V. da Fonseca Neto. Notas de Aula – Teoria de Controle - Realização de Sistemas de Controle. 2010.

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