Trabalho Final v1

ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS ISEP

Introdução

Serve o presente trabalho para aplicar a matéria estudada na disciplina de

Estrutura de Edifícios, no qual é feito o pré-dimensionamento dos elementos

estruturais de uma edificação. A edificação situa-se na zona urbana de Bragança a uma

altitude de 700 metros e é constituída por rés-do-chão e quatro andares elevados e

cobertura não acessível.

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Cálculo das Acções

Local: Bragança

Altitude: 700m

Acções Permanentes

Habitação

Revestimento inferior: 12 x 0,02 = 0,24 kN/m2

Revestimento Superior: 0,2 + 0,02 x 20 + 0,100 x 10 + 0,01 x 0,8 = 1,608 kN/m2

Paredes Divisórias: 0,4 x 2,65 x 1,40 = 1,48 kN/m2

Terraço

Revestimento Inferior: 0,24 kN/m2

Revestimento Superior:0,06 x 15 + 0,15 + 0,04 x 0,4 + 0,02 x 20 + 0,10 x 10 =2,47 kN/m2

Varandas

Rev. Inf: 0, 02 x 12 = 0,24 kN/m2

Rev. Sup: 1 + 0,02 x 20 + 0,015 x 26 = 1,79 kN/m2

Acções Variáveis

Sobrecarga do Terraço: 1kN/m2

Sobrecarga Varandas: 5,0kN/m2 adjacente ao parapeito; 2,0kN/m2 no restante

Sobrecarga Habitação: 2,0kN/m2

Sobrecarga Escadas: 3,0kN/m2

Sobrecarga Guardas: 0,5kN/m

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Acção do Vento

Zona B – os valores característicos da pressão dinâmica (w) obtêm-se multiplicando por 1,2 os valores indicados para a zona A.

Rugosidade – Tipo I

Pv=δ p×w

Terraço:

hb=1512

=1,25

12< hb≤32

w = 0,79

Pv=−1,0× (0,79×1,2 )=−0,95kN /m2

Varanda 4º piso:

hb=1212

=1

12< hb≤32

w = 0,70

Pv=−1,0× (0,70×1,2 )=−0,84kN /m2

Varanda 3º piso:

hb= 912

=0,75

12< hb≤32

w = 0,70

Pv=−1,0× (0,70×1,2 )=−0,84kN /m2

4


Varanda 2º:

hb= 612

=0,5

hb≤12

w = 0,70

Pv=−0,8× (0,70×1,2 )=−0,672kN /m2

Varanda 1º:

hb= 312

=0,25

hb≤12

w =0,70

Pv=−0,8× (0,70×1,2 )=−0,672kN /m2

Acção da Neve

Terraço:

S0k=1400

(h−50 ) ⇔S0 k=1400

(700−50 )=1,625kN /m2

μ – Anexo II RSAEEP

0≤ β≤30

µ=0,8

SK=S0k×μ=0,8×1,625=1,3kN /m2

Varandas: 1,3 kN/m2

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Estado Limite Último

Habitação

Sd (s )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik )

¿ (3,33+ p . p . )×1,5+1,5 (2+0 )=7,995+1,5 p . p .

Terraço

Sd (s )=ΣGik×γG+γQ (Q1+Σψ0 sQik )

Sd (s )=(2,71+ p . p . ) ×1,5+1,5×1=5,565+1,5 p . p .

Sd (N )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik)

Sd (N )= (2,71+ p . p . )×1,5+1,5×1,3=6,015+1,5 p . p .

Sd (V )=ΣGik×γG+γQ (Q1+Σψ0 sQik )

Sd (N )= (2,71+ p . p . )×1,5+1,5× (−0,95 )=2,64+1,5 p . p .

Varandas 3º e 4º piso

Sd (S )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik)

Sd (S )=(4,72+ p . p . )×1,5+1,5×5=14,58+1,5 p . p .

Sd (V )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik )

Sd (V )=(4,72+ p . p . )×1,5+1,5× (−0,84 )=5,82+1,5 p . p .

6



Sd (N )= (4,72+ p . p . ) ×1,5+1,5×1,3=9,03+1,5 p . p .

Varandas 1º e 2º piso

Sd (S )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik)

Sd (S )=(4,72+ p . p . )×1,5+1,5×5=14,58+1,5 p . p .

Sd (V )=ΣGik×γG+γQ(Q1+Σψ0 sQik )

Sd (V )=(4,72+ p . p . )×1,5+1,5× (−0,672 )=6,072+1,5 p . p .


Sd (N )= (4,72+ p . p . ) ×1,5+1,5×1,3=9,03+1,5 p . p .

Estado Limite de Serviço

Habitação

Sd2=ΣGik×ψ1Q

Sd2=(3,33+ p . p . )+0,3×2=3,93+ p . p .

Terraço

Sd2=ΣGik×ψ1Q

Sd2=(2,71+p . p . )+1,3×0,3=3,1+ p . p .

Varandas

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Sd2=ΣGik×ψ1Q

Sd2=(4,72+ p . p . )+5×0,3=6,22+ p . p .

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Tabela Resumo do Cálculo de Acções

Acções Permanentes Acções VariáveisPavimento

sLaje

Revest. Sup.

Revest. Inf.

Paredes Div.

Guardas

TOTAL Sobrecarga

Neve Vento E.L.S E.L.U

Terraço P.P. 2.47 0.24 2.71 + P.P. 1.0 1.3 0.95 3.10 + P.P. 6.015 + P.PHabitação P.P. 1.608 0.24 1.48 3.33 + P.P. 2.0 3.93 + P.P. 7.995 + P.P.Varanda 1 P.P. 1.3 0.42 3 4.72 + P.P. 5.0 / 2.0 1.3 0.672 6.22 + P.P. 14.58 + P.P.Varanda 2 P.P. 1.3 0.42 3 4.72 + P.P. 5.0 / 2.0 1.3 0.672 6.22 + P.P. 14.58 + P.P.Varanda 3 P.P. 1.3 0.42 3 4.72 + P.P. 5.0 / 2.0 1.3 0.84 6.22 + P.P. 14.58 + P.P.Varanda 4 P.P. 1.3 0.42 3 4.72 + P.P. 5.0 / 2.0 1.3 0.84 6.22 + P.P. 14.58 + P.P.

Escadas P.P. 1.79 0.24 2.03 + P.P. 3.0

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Lajes

Uma laje é o elemento estrutural de uma edificação responsável por transmitir as acções que nela actuam para as vigas que a sustentam. Estes são elementos estruturais bidimensionais, caracterizadas por ter uma espessura muito menor do que as outras duas dimensões, apresentando uma largura no mínimo 5 vezes inferior á sua altura.

Figura 1 – Comportamento da laje

Lajes Aligeiradas

É um tipo de laje com um peso inferior às normais, frequentemente, constituídas por vigotas de betão pré-esforçado, preenchidas com abobadilhas em materiais cerâmicos ou outros materiais compósitos, e nervuras que podem ser dispostas em uma ou duas direcções ortogonais.

Figura 2 -Laje Aligeirada

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Abobadilha

http://pt.wikipedia.org/wiki/Viga


A laje aligeirada está cada vez mais comum na engenharia civil, devido ao baixo consumo de betão e aço em relação a outras soluções que leva a uma redução do peso da estrutura.

Apresenta várias vantagens em relação a outras soluções, tais como:

1) Rapidez e simplicidade na execução

2) Redução da diversidade de mão-de-obra

3) Facilidade de locomoção pelo interior da obra

4) Obra com aspecto mais limpo

Em contra partida, apresenta uma menor rigidez em relação às lajes maciças; maior possibilidade de fissuração devido às variações térmicas e ainda a concentração da maioria carga numa só direcção.

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Figura 3 – Laje Aligeirada de Blocos Cerâmicos

Cálculo de Lajes Aligeiradas

Para conseguirmos pré-dimensionar uma laje aligeirada, consideramos quatro parâmetros fundamentais a que esta tem de verificar. Os quatro parâmetros são: flexão; corte; fendilhação e, por ultimo, deformação. Estes só podem ser verificados através dos valores resistentes de cada parâmetro, que são pré-definidos pelo fabricante pois este tipo de laje é pré-fabricada.

Pré – Dimensionamento

Condições de apoio

Simplesmente Apoiada Contínua para 1 Apoio Contínua para 2 Apoios

Vão Equivalente

li=α ×l

Altura Mínima da Laje

lih=30×η

η - Coeficiente usado devido ao tipo de aço

η=1.4 A235 η=1.0 A400 η=0.8 A500

Escolha do tipo de laje e verificação dos parâmetros necessários

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Condições de Apoio αSimplesmente apoiada 1Contínua para 1 apoio 0.9Contínua para 2 apoios 0.8


Flexão

M sd=P×l2

❑

8 – Simplesmente Apoiada9 – Continua para 1 Apoio10 – Continua para 2 Apoios

M sd≤M rd (Dado Pelo Fabricante)

Corte

V sd=P×l2

×k

0.95 – Descontinua 1.1 – Continua para 1 Apoio1.0 – Continua para 2 Apoios/Simplesmente Apoiada

V sd≤V rd (Dado pelo Fabricante)

Caso não verifique, temos hipótese de tentar emaciçar uma pequena porção da laje

X=(1−V Rd

V Sd)×L

Comprimento a emaciçar para verificar o corte

Σ X=X+hLaje Σ Xϵ ⟦11−15 ⟧%

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Fendilhação

M f=P×l2

❑

8 – Simplesmente Apoiada9 – Continua para 1 Apoio10 – Continua para 2 Apoio

Mf ≤ Mf ctk (Dado Pelo Fabricante)

Deformação

f cp=5×Pf ×li4

384× EI

Pf−Estado Limite Serviço

EI – Módulo de Rigidez (Dado Pelo Fabricante)

CR=1+∑G

Pf×φ

CR−Coeficiente de Reduçãode Rigidezá flexão

ΣG−Acções Permanentes

f lp=f cp×CR

Para verificar a flecha a longo prazo:

f lp<1.5 ou f lp=L400

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Lajes Aligeiradas

L1A - Contínua para 1 Apoio

Tipo: 2V4 - BN 40*20 – 24

Vão (l) = 5.9m

li = α x l = 0,9 x 5,9 = 5,31m

P.P. = 3.48 kN/m2

E.L.U. = 7.995 + 1.5 × 3.48 = 13.215 kN/m2

E.L.S. = 3.93 + 3.48 = 7.41 kN/m2

1. Flexão:

M sd=P×l2

9=13.215×5.9

2

9=51.11kN /m

M sd≤M rd 51.1kN .m/m≤53kN .m /mOK !

2. Corte:

V sd=P×l2

×k=13.215×5.92

×1.1=42.88kN /m

V sd≤V rd 42.88kN /m≤46.8kN /mOK !

3. Fendilhação:

Mf =Pf (E . L .S .)×l2

8 ;9 ;10=7.41×5.9

2

9=28.66kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 28.66kN .m /m≤31.1kN .m /mOK !

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4. Deformação:

f cp=5×Pf ×li4

384× EI=5×7.41×5.31

4

384×19313=0.004m=0.4 cm

CR=1+∑G

Pf×φ=1+

6.817.41

×2=2.84

f lp=f cp×CR=0.4×2.84=1.13cm

Segundo REBAP:

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.48cm≥1.13cmOK !

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L1A - Simplesmente Apoiada

Tipo: 2V5 - BN 40*20 – 24

Vão (l) = 5.9m

li = α x l = 1 x 5,9 = 5,9m

P.P. = 3.49 kN/m2

E.L.U. = 7.995+1.5*3.49= 13.23 kN/m2

E.L.S. = 3.93+3.49 = 7.42 kN/m2

1. Flexão

M sd=13.23×5.92

8=57.7 kN .m/m

M sd≤M rd 57.7kN .m /m≤63.8kN .m /mOK !

2. Corte

V sd=13.23×5.9

2×1=39.0285kN /m

V sd≤V rd39.0285kN /m≤46.8kN /mOK !

3. Fendilhação

Mf =7.42×5.92

8=32.29kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 32.29kN .m /m≤37.6kN .m /mOK!

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4. Deformação

f cp=5×7.42×5.94

384×19413=0.006m=0.6 cm

CR=1+ 6.827.42

×2=2.84❑

f lp=f cp×CR=0.6×2.84=1.7cm

Segundo REBAP:

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.48cmou1.5cm≤1.7cm KO!

Teremos de aplicar uma contra-flecha! C . f .≤l250

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L1B - Contínua para 1 Apoio

Tipo: 2V4 - BN 40*20 – 24

Vão (l) = 5.9m

li = α x l = 0,9 x 5,9 = 5,31m

P.P. = 3.48 kN/m2

E.L.U. = 7.995+1.5*3.48 = 13.215 kN/m2

E.L.S. = 3.93+3.48 = 7.41 kN/m2

1. Flexão

M sd=P(E . L .U .)×l2

8 ; 9;10=13.215×5.9

2

9=51.11 kN .m /m

M sd≤M rd 51.1kN .m/m≤53kN .m /mOK !

2. Corte

V sd=P×l2

×k=13.215×5.92

×1.1=42.88kN /m

V sd≤V rd 42.88kN /m≤46.8kN /mOK !

3. Fendilhação

Mf =Pf (E . L .S .)×l2

8 ;9 ;10=7.41×5.9

2

9=28.66kN .m /m


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4. Deformação

f cp=5×Pf ×li4

384× EI=5×7.41×5.31

4

384×19313=0.004m=0.4 cm

CR=1+∑G

Pf×φ=1+

6.817.41

×2=2.84

f lp=f cp×CR=0.4×2.84=1.13cm

Segundo REBAP:

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.48cm≥1.13cmOK

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L2A - Continua para 2 Apoios

Tipo: V3 - BN 24*20 – 24

Vão (l) = 4.8m

li = α x l = 0,8 x 4,8 = 3,84m

P.P. = 3.53 kN/m2

E.L.U. = 7.995+1.5*3.53 = 13.29 kN/m2

E.L.S. = 3.93+3.53 = 7.46 kN/m2

1. Flexão

M sd=13.29×4.82

10=30.62kN .m /m

M sd≤M rd 30.62kN .m /m≤38.3 kN .m /mOK !

2. Corte

V sd=13.29×4.8

2×1=31.896kN /m

V sd≤V rd31.896 kN /m≤35.6kN /mOK !

3. Fendilhação

Mf =7.46×4.82

10=17.19kN .m /m


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4. Deformação

f cp=5×7.46×3.844

384×17611=0.0012m=0.12cm

CR=1+ 6.867.46

×2=2.84❑

f lp=f cp×CR=0.12×2.84=0.34 cm

Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

4.8400

=0.012m=1.2cm

1.2cm≥0.12cmOK !

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L2-B – Contínua para 1 Apoio

Tipo: V3 - BN 24*20 – 24

Vão (l) = 4.8m

li = α x l = 0,9 x 4,8 = 4,32m

P.P. = 3.53 kN/m2

E.L.U. = 7.995+1.5*3.53 = 13.29 kN/m2

E.L.S. = 3.93+3.53 = 7.46 kN/m2

1. Flexão

M sd=13.29×4.82

9=34.02Kn .m /m

M sd≤M rd 34.02Kn .m /m≤38.3Kn .m /mOK!

2. Corte

V sd=13.29×4.8

2×1.1=35.086kN /m

V sd≤V rd35.086 kN /m≤35.6kN /mOK !

3. Fendilhação

Mf =7.46×4.82

9=19.098kN .m /m


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4. Deformação:

f cp=5×7.46×4.324

384×17611=0.0019m=0.19cm

CR=1+ 6.867.46

×2=2.84

f lp=f cp×CR=0.19×2.84=0.54cm

Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

4.8400

=0.012m=1.2cm

1.2cm≥0.54 cmOK !

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Tabela Resumo Lajes Aligeiradas

Laje

L Condições

Li hmin h Tipo Estado limite último Estado limite de Serviço

de P.P Sd Msd Mrd Vsd Vrd Sf Mf Mfctk fCP CR fLP fmáx

m Apoio m m m Faprel kN/m2 kN/m2 kN.m/m

kN.m/m

kN/m kN/m2 kN/m2 kN.m/m

kN.m/m

cm cm cm

L1A 5.9

S.A. 5.9 0.25

0.24

2V4 - BN 24x20 - 24

4.10 14.145

61.55 70.00 39.64 63.1 8.03 34.94 40.3 0.55

2.85

1.57

1.5

5.9

C.1A. 5.31

0.22

0.24

2V4 - BN 40x20 - 24

3.48 13.215

51.11 53.00 42.88 46.8 7.41 28.66 31.10 0.4 2.84

1.13

1.48

L1B 5.9

C.1A. 5.31

0.22

0.24

2V4 - BN 40x20 - 24

3.48 13.215

51.11 53.00 42.88 46.8 7.41 28.66 31.10 0.4 2.84

1.13

1.48

L2A 4.8

C.2A. 3.84

0.16

0.24

V3 - BN 24x20 - 24 3.53 13.29 30.62 38.30 31.896

35.60 7.46 17.19 24.10 0.12

2.84

0.34

L2B 4.8

C.1A. 4.32

0.18

0.24

V3 - BN 24x20 - 24 3.53 13.29 34.02 38.30 35.09 35.60 7.46 19.10 24.10 0.19

2.84

0.54

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Lajes De Cobertura

L1A – Simplesmente Apoiada

Tipo: 2V4 – BN 40 x 20 – 24

Vão – 5.9 m

li= α x l = 1.0 x 5,9 = 5.9m

P.P. = 3.48 kN/m2

E. L. U. – 6.015+1.5×3.48=11.235 kN /m2

E. L. S. – 3.10+3.48=6.58kN /m2

1) Flexão

M SD=p×l2

8=11.235× (5.9 )2

8=48.89kN .m/m

M sd≤M rd 48.89kN .m /m≤53kN .m /mOK !

2) Corte

VSD=¿ p×l

2× 0.95=31.49 kN /m≤ 46.80kN /m¿

V sd≤V rd31.49kN /m≤46.80kN /mOK !

3) Fendilhação

M f=p

f × (l)2

8=28.63kN .m /m≤31.10kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 28.63kN .m /m≤31.10kN .m /mOK!

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4) Deformação

f CP=5×ΣG× (li )

4

384× EI=5×6.58× (5.9 )4

384×19313=0.54cm

CR=1+( 6.196.58 )×2=2.88f LP=CR×f CP=2.88×0.54=1.56cm

Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.50cm≥1.56cmKO!

Como não verifica a deformação, aplicamos uma contra-flecha em obra para contrariar a deformação a longo prazo.

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L1A – Contínua 1 Apoio

Tipo: 2V4 – BN 40 x 20 – 24

Vão = 5.9 m

li= α x l = 0.9 x 5,9 = 5.31 m

P.P. =3.48 kN/m2

E. L. U. – 6.015+1.5×3.48=11.235 kN /m2

E. L. S. – 3.10+3.48=6.58kN /m2

1) Flexão

M SD=p× (l2 )9

=11.235× (5.92 )

9=43.45kN .m /m

M sd≤M rd 43.45kN .m /m≤53.00kN .m /mOK !

2) Corte

V SD=p×l❑

2×1.1=

11.235×5.9❑

2×1.1=36.46 kN /m

V sd≤V rd36.46 kN /m≤46.80 kN /m OK!

3) Fendilhação

M f=p× (l )2

9=6.58× (5.9 )2

9=25.45kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 25.45kN .m /m≤31.10kN .m /m

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4) Deformação

f CP=5×ΣG× ( l )4

384×EI=5×6.58× (5.31 )4

384×19313=0.35cm

CR=1+(ΣGp f

)×2=1+( 6.196.58 )×2=2.88

f LP=f CP×CR=0.35×2.88=1.01cm

Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.50cm≥1.01cmOK !

Verifica a flecha

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L1B – Contínua 1 Apoio

Tipo: 2V4 – BN 40 x 20 – 24

Vão = 5.9 m

li = α x l = 0.9 x 5,9 = 5.31 m

P.P.=3.48 kN/m2

E. L. U. – 6.015+1.5×3.48=11.235 kN /m2

E. L. S. – 3.10+3.48=6.58kN /m2

1) Flexão

M SD=p× (l2 )9

=11.235× (5.92 )

9=43.45kN .m /m

M sd≤M rd 43.45kN .m /m≤53.00kN .m /m

2) Corte

V SD=p×l❑

2×1.1=

11.235×5.9❑

2×1.1=36.46 kN /m

V sd≤V rd36.46 kN /m≤46.80 kN /m

3) Fendilhação

M f=p× (l )2

9=6.58× (5.9 )2

9=25.45kN .m /m≤31.10kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 25.45kN .m /m≤31.10kN .m /m

30


4) Deformação

f CP=5×ΣG× ( l )4

384×EI=5×6.58× (5.31 )4

384×19313=0.35cm

CR=1+(ΣGp f

)×2=1+( 6.196.58 )×2=2.88f LP=f CP×CR=0.35×2.88=1.01cm

Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm

5.9400

=0.0148m=1.48cm

1.50cm≥1.01cmOK !

Verifica a flecha

31


L2A – Contínua 2 Apoio

Tipo: V3 – BN 40 x 20 – 24

Vão = 4.8 m

li= α x l = 0.8 x 4.8 = 3.84 m

P.P. =2.96 kN/m2

E. L. U. – 6.015+1.5×2.96=10.46kN /m2

E. L. S. – 3.10+2.96=6.06kN /m2

1) Flexão

M SD=p× (l2 )10

=10.46× (4.82 )

10=24.10kN .m /m

M sd≤M rd 24.10kN .m /m≤26.60 kN .m/mOK !

2) Corte

V SD=p×l❑

2×1.0=

10.46×4.8❑

2×1.0=25.10kN /m

V sd≤V rd25.10kN /m≤24.40kN /mKO!

Logo teremos que aplicar um emaciçamento!

32


Vsd=10,46×4,82

×1,1=27,61kN /m

(27,61+27,61 ) 4,8 ⇒L=2,40 27,61 L

X=(1−VrdVsd )×L=(1− 24,4

27,61 )×2,40=0,29mΣ xi∈ [11−15 ]%

Σ x=0,29+0,24 0,534,8

×100=11% OK!!

hmin

3) Fendilhação

M f=p× (l )2

10=6.06× (4.8 )2

10=13.96kN .m /m


4) Deformação

f CP=5×ΣG× ( l )4

384×EI=5×6.06× (3.84 )4

384×13828=0.12cm

CR=1+(ΣGp f

)×2=1+( 5.766.06 )×2=2.87f LP=f CP×CR=0.12×2.87=0.344cm

33


Segundo REBAP

f lp≤l400

Ou

f lp≤1.5cm1.50cm≥0.344cmOK !

5.9400

=0.0148m=1.48cm

L2B – Contínua 1 Apoio

Tipo: V4 – BN 40 x 20 – 24

Vão = 4.8 m

li= α x l = 0.9 x 4.8 = 4.32 m

P.P. =2.97 kN/m2

E. L. U. – 6.015+1.5×2.97=10.47 kN /m2

E. L. S. – 3.10+2.96=6.07kN /m2

1) Flexão

M SD=p× (l2 )9

=10.47× (4.82 )

9=26.80kN .m /m

M sd≤M rd 26.80kN .m /m≤32.90kN .m /mOK!

2) Corte

V SD=p×l❑

2×1.1=

10.47×4.8❑

2×1.1=27.64kN /m

V sd≤V rd27.64 kN /m≤24.40kN /mKO!

Teremos que aplicar um emaciçamento!

34


Vsd=10,47×4,82

×1,1=27,64kN /m

Vsd=10,47×4,82

×0,95=23,87kN /m

(27,64+23,87 ) 4,8 ⇒L=2,58 27,64 L

X=(1−VrdVsd )×L=(1− 24,4

27,64 )×2,58=0,31mΣ xi∈ [11−15 ]%

Σ x=0,31+0,24 0,554,8

×100=11% OK!!

hmin

3) Fendilhação

M f=p× (l )2

9=6.07× (4.8 )2

9=15.54kN .m /m

Mf ≤ Mf ctk 15.54kN .m /m≤19.90kN .m /m OK!

4) Deformação

35


f CP=5×ΣG× ( l )4

384×EI=5×6.07× (4.32 )4

384×13887=0.037cm

CR=1+(ΣGp f

)×2=1+( 5.686.07 )×2=2.87

f LP=f CP×CR=0.037×2.87=0.11cm Verifica a flecha

36


Tabela Resumo Lajes Cobertura

Laje

L (m)

Condições Li hmin h Tipo Estado limite ultimo Estado limite de Serviço

de P.P Sd Msd Mrd Vsd Vrd Sf Mf Mfctk fCP CR fLP fmáx

Vãos Apoio (m) (m) (m) Faprel

Kn/m2 Kn/m2 Kn.m/

mKn.m/

m

Kn/m

Kn/m

Kn/m2

Kn/m2

Kn/m2 cm cm cm

L1A 5.9S.A. 5.9 0.2

50.24

2V4 - BN 40x20 - 24

3.48 11.235

48.89 53.00 31.49

46.80

6.58 28.63 31.10 0.54

2.88

1.56

1.50

C.1A. 5.31

0.22

0.24

2V4 - BN 40x20 - 24

3.48 11.235

43.45 53.00 36.46

46.80

6.58 25.45 31.10 0.35

2.88

1.01

1.50

L1B 5.9 C.1A. 5.31

0.22

0.24

2V4 - BN 40x20 - 24

3.48 11.235

43.45 53.00 36.46

46.80

6.58 25.45 31.10 0.35

2.88

1.01

1.50

L2A 4.8 C.2A. 3.48

0.16

0.24

V3 - BN 40x20 - 24

2.96 10.46 24.10 26.60 25.10

24.40

6.06 13.96 17.20

2.87

L2B 4.8 C.1A. 4.32

0.18

0.24

V3 - BN 24x20 - 24

3.53 11.31 28.95 38.30 29.86

35.60

6.63 16.97 24.10 0.17

2.88

0.49

1.50

37


Lajes Maciças

São constituídas por peças maciças de betão armado e uma armadura em duas direcções. Foi, o sistema estrutural mais utilizado nas edificações correntes betão armado.

Este tipo de laje não tem grande capacidade portanto, devido a pequena relação rigidez/peso. Os vãos encontrados na prática variam, geralmente, entre 3 e 6 metros, podendo-se encontrar vãos até 8 metros. A maior desvantagem neste tipo de solução estrutural é a necessidade de execução de uma cofragem, que a torna anti-económica quando não houver repetitividade do pavimento.

Calculo Lajes Maciças


Condições de Apoio

Simplesmente apoiada Continua para 1 apoio

Continua para 2 apoios Consola.

Condições de Apoio αSimplesmente apoiada 1Contínua para 1 apoio 0.9Contínua para 2 apoios 0.8Consola 2.4

38


Vão Equivalente

li=α ×l


lih=30×η

η=1,4−−−−−A235

η=1,0−−−−−A 400

η=0,8−−−−−A 500

Cálculo do Msd em varandas

Msd=Sd 1× L2×( L22 +l1)+Sd 2×L1×L12

+Sd3× (L2+L1 )+Sd 4× L3

39


µ “ económico “

μ= Msd

b×d2×f cd

f cd−ver atigo19 º , REBAP

0.10≤μ≤0.20

Laje de escadas

Msd e µ “ económico “

M sd=P×l2

❑

8 – Simplesmente Apoiada9 – Continua para 2 Apoios10 – Continua para 1 Apoio

μ= Msd

b×d2×f cd

40



0.10≤μ≤0.20

Corte

V sd=P×l2

×k


Vcd=τ×b×d ×0,6× (1,6−d )

Vsd≤Vcd

41


Lajes Maciças

Laje L3 - Consola

l=1,7m

α=2,4

li=l×α=1,7×2,4=4,08m

hmin≥li30η

⇔hmin≥4,0830×1

⇔hmin≥0,136≅ 0,14m

η=1; Art. 89.1 REBAP

h=hmin+3cm ( por motivos construtivos );ouh=0,15m

h=0,14+0.03=0,17m

Acções Distribuídas

p . p=h× p . p .betão

¿0,17×25=4,25kN /m2

Revestimento

Revestimento:0,5+ (0,04×20 )+0,02×21=1,72kN /m2

42


Acções Variáveis

Peso próprio da guarda: 0,12×1×25=3kN /m2

Sd1=( p . p .+rev .+sob )×1,5

¿ (4,25+1,72+5 )×1,5=16,46 kN /m2

Sd2=( p . p .+rev .+sob )×1,5¿ (4,25+1,72+2 )×1,5=11,96 kN /m2

Sd3=Guarda×1,5=3×1,5=4,5kN /m2

Sd4=AcçãoGuarda×1,5¿0,5×1,5=0,75kN /m2

Msd=16,46×1× (0,5+0,7 )+11,96×0,7×0,35+4,5×1,7+0,75×1¿31,08kN .m /m

μL3=Msd

bd2 f cd

= 31,08

1×0,142×13,3×103=0,119OK !0,1≥μ≥0,2

Verificação ao Corte

Vsd=16,46×1+11,96×0,7+4,5=29,33kN /m2

Vcd=τ×b×d ×0,6× (1,6−d )=0,65×103×1×0,14×0,6× (1,6−0,14 )¿79,72kN /m2

Vsd≤VcdOK !

Laje 5 – Corpo balançado

43


l=0,9m

α=2,4

li=l×α=0,9×2,4=2,16m

hmin≥li30η

⇔hmin≥2,1630×1

⇔hmin≥0,072≅ 0,102m

Por razões construtivas h = 0,14

η=1; Art. 89.1 REBAP



¿0,14×25=3,5kN /m2

Revestimento

Revestimento:(12×0,02 )+0,2+0.02×20+0.10×10+0,01×0 ,8=¿1 ,85 kN /m2

Cofragem Perdida: 1 ,2kN /m2

Paredes Divisórias: 1 ,48kN /m2

44


Sobrecarga:2kN /m2

Parede exterior: (4,1×3 )−(1,1×1,7 ) ×2,9

4,1 ¿7,38kN /m2

Sd1=( p . p .laje+rev .+ p .÷.+cof .+sob . ) ×1,5

¿ (3,5+1,85+1,48+1,2+2 )×1,5=13,045kN /m2

Sd2=P.ext .×1,5=7,38×1,5=11,07 kN /m2

Msd=15,045×0,9×0,45+11,07×0,9=16,06kN .m /m

μ= 16,06

1×0,112×13,3×103=0,1OK ‼

Verificação ao Corte

Vsd=15,045×0,9+11,07=24,6kN /m2

Vcd=τ×b×d ×0,6× (1,6−d )=0,65×103×1×0,11×0,6× (1,6−0,11 )¿63,92kN /m2

Vsd≤VcdOK !

45


Laje de escadas – C1A

l=5,1m

α=0,9

li=l×α=5,1×0,9=4,32m

hmin≥li30η

⇔hmin≥4,3230×1

⇔hmin≥0,14m

h=hmin+3cm ( por motivos construtivos )

h=0,14+0.03=0,17m



¿0,17×25=4,35kN /m2

Sobrecarga=3kN /m2

Revestimentos

Tamanhodo patim=1,97

=0,2714m

Alturadodegrau (espelho )=3,014

=0,214m

α=arctg( 0,2140,2714 )=38,26o

46


Revestimentodo patim=1+0,02×20=1,4kN /m

Revestimentodo espelho=26×0,015=0,39 kN / patim

Rev .Total=1,4+0,39=1,79

1,79 0,2714

x 1

x=6,5945kN /m

p. p .degrau=21×0,214=4,494kN /m

47


Sd1=[ p . p laje+revcosα

+sob+ p . p .degrau]×1,5¿ [ 4,35+6,595cos38,256

+3+4,494 ]×1,5=32,149kN

Sd2=( p . p . laje+rev . patim+sob )×1,5

¿ (4,35+1,4+3 )×1,5=13,125kN /m2

Sdeq=Sd1×l1+Sd2×l2

l1+l2

¿32,149×1,9+13,125× (1,8+1,1 )

1,9+(1,8+1,1 )=20,655kN /m2

Msd=Sdeq×l2

9=20,655×4,8

2

9=52,877 kN .m /m

μ= 52,877

1×0,142×13,3×103=0,20OK‼O ,1≤ μ≤0,2

Verificação ao corte

Vsd=Sdeq×l

2×1,1=20,655×4,8

2×1,1=54,529kN /m2

Vcd=τ×b×d ×0,6× (1,6−d )=0,65×103×1×0,14×0,6× (1,6−0,14 )¿82,169kN /m

Vsd≤VcdOK !

48


Tabela resumo Lajes Maciças

Laje

l C. apoio

α li hmin h p.p. Revs. Cof. Perd.

Div./ Deg. Gua./ P. ext.

Gua. Sob. Sd1 Sd2 Sd3

Sd4 Msd µ Vsd

m m m m kN/m2

kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/

m2kN/m2 kN kN kN kN kN.m/

m kN/m

L3 1,7

consola 2,4

4,1

0,14 0,17

4,25 1,72 3 0,5 5⁄2 16,46

11,96

4,5 0,75

31,08 0,12

29,33

L5 0,9

C. Balan.

2,4

2,2

0,072

0,14

3,75 1,85 1,2 1,48 2 15,04

11,07

16,06 0,1 24,61

LE 4,8

C1A 0,9

4,3

0,14 0,17

4,35 6,595 4,494 3 32,15

13,12

52,88 0,2 54,53

49


Vigas

São peças geralmente horizontais, onde nas estruturas tradicionais, apoiam as lajes, normalmente em secções rectangular, que trabalham fundamentalmente à flexão, isto é, sob acção de esforços perpendiculares ao seu eixo.

Tipos de Vigas

Vigas Normais

As vigas normais são usadas geralmente na periferia dos edifícios (caso em que a sua largura b é condicionante pelas paredes exteriores) ou em situações em que a sua visibilidade não prejudica o desempenho da estrutura.

50


Vigas Invertidas

As vigas invertidas funcionam de modo semelhante às normais e a sua aplicação é maioritariamente em coberturas. A sua execução em obra (betonagem) é mais difícil.

Vigas Embebidas

As vigas embebidas ou aparentes são usados preferencialmente na zona interior dos edifícios nas situações em que não é aceitável o uso de vigas “visíveis”.A sua utilização conduz normalmente ao uso de lajes mais espessas.

51


Outras considerações inerentes à tipologia de vigas

Maior resistência a momentos flectores Normais e Invertidas

Maior resistência a esforços transversos Embebidas

Maior consumo de betão e aço Embebidas

Maior consumo de cofragem Normais e Invertidas

Maior consumo de mão-de-obra Normais e Invertidas

Maior dificuldade de execução em obra Invertidas e Embebidas

Maior condicionamento na dimensão de lajes Embebidas

Maior atenção no condicionamento de deformação Embebidas

52


Cálculo de Vigas

O pré-dimensionamento das vigas faz-se geralmente considerando o estado limite ultimo através do estudo de esforços que são características das peças que trabalham à flexão : Momento flector (Msd) e Esforço transverso (Vsd).


Condições de Apoio

Simplesmente apoiada Continua para 1 apoio

Continua para 2 apoios Consola.

Vão Equivalente

li=α ×l


lih=20×η

η=1,4−−−−−A235

η=1,0−−−−−A 400

η=0,8−−−−−A 500

53

Condições de Apoio αSimplesmente apoiada 1Contínua para 1 apoio 0.9Contínua para 2 apoios 0.8Consola 2.4


Msd e µ “ económico “

M sd=P×l2

❑

8 – Simplesmente Apoiada10 – Continua para 2 Apoios – Tramos interiores12 – Continua para 1 Apoio – Tramos extremidades

μ= Msd

b×d2×f cd


0.20≤μ≤0.30

Corte

V sd=P×l2

×k


τ=V Sd

b×d

τ ≤3.2MPa

54


Vigas

Viga BC (Simplesmente apoiada)

li=∝×l=1×5.9=5.9m

hmin≥li

20×η= 5.920×1

=0.30

h≅ 0,35b=0.25

P .P .Viga=0.35×0.25×25×1.5=3.28kN /m2

Parede exterior=[(5.9×2.65)−(2.1×1.5)−(1.5×1.1)×2.9]

5.9×1.5=7.99kN /m2

V sd L3=29.33kN /m

SdL1 B=13.215kN /m2

P .P . L1 B=3.48kN /m2

∆Vsd LM 3=(25×0.24−P . P .L1B ) ×1.5×5.9=22.30kN /m2

Sd=3.28+7.99+29.33+13.215+22.30=76,12kN /m2

Msd=76.12×5.92

8=331,22kN .m /m

55


μ= Msd

b×d2×f cd

μ= 331,22

0.25×0.322×13.3×103=097.KO !

Vamos ter que encontrar outro h!

0.25= 331.22

0.25×d2×13.3×103≤>d=0.63⇒h=0,70m

P .P .Viga=0.25×0.70×25×1.5=6,56kN /m2

Sd=6,56+7,99+2 , .33+13,215+22,30=79,40kN /m2

Msd=79,4×5.92

8=345,49kN .m /m

μ= 345,49

0.25×0,672×13.3×103=0.23OK !

d=h-0.03

Neste caso, como a altura da viga está condicionada pela caixa de estores da janela optamos por uma solução na qual 0,25m da viga irá ficar embebida na parede do piso superior, como está demonstrado na figura seguinte.

Vsd=79,4×5.92

×1=234,23 kN /m2

τ= 234,230,25×0.64

=1,46MPaOK !(τ ≤3.2MPa)

56


h x 0,92

57


Viga A’B’ (Simplesmente apoiada)

l=5.8m

li=∝×l=1×5.8=5.8m

hmin≥li

20×n= 5.820×1

=0.29m

h≅ 0,35mb=0.25m

P .P .Viga=0.35×0.25×25×1.5=3.28kN /m2

Parede exterior=[(5.8×2.65)−(1.6×1.1)−(1.5×1.1)×2.9 ]

5.8×1.5=8.97kN /m2

(1m) L1A=13.215kN

Sd=3.28+8.97+13.215=24.47 kN /m2

Msd=24.47×5.82

8=102.9kN .m /m

μ= 102.9

0.25×0.322×13.3×103=0.3O. K .; 0.2≤ μ≤0.3

Vsd=102.9×5.8×0.92

=268.57 kN /m

τ= 268.570.25×0.32

=3.4KO!;logo vamosaumentar aaltura para 0.40m

P .P .Viga=0.25×0.40×25×1.5=3,75kN /m2

Sd=25.94kN /m2

58


Msd=25.94×5.82

8=109.08kN .m /m

μ= 109.08

0.25×0.372×13.3×103=0.24OK !

Vsd=25.94×5.88

×1=75.23kN /m

τ= 75.230.25×0.37

=0.813MPaOK ! ;τ ≤3.2MPa

59


Viga EI (Continua para1apoio)

l=4.9m

li=0.9×4.9=4.4m

hmin≥4.420×1

=0.22m

Esta viga vai ser embebida, portanto h=0,24 e b=0,45

P .P .Viga=0.24×0.45×25×1.5=4,05kN /m2

Vsd L1B=42.88 kN/m2

(1m)L2A=13.29 kN/m2

Sd=4,05+42,88+13,29=60,22kN /m2

Msd=60,22×4.92

10=144,59kN .m /m

μ= 144,59

0.24×0.422×13.3×103=0.26OK !

Vsdesq=60.22×4.9

2×1.15=169,67kN /m

τ= 169,670.45×0.22

=1,7MPaOK !; τ ≤3.2MPa

Vsddir=60.22×4.9

2×0.9=132,79kN /m

τ= 132,790.45×0.22

=1,3MPaOK !;τ ≤3.2MPa

60


61


Viga BE (Continua para2apoios)

l=5.1m

li=0.8×5.1=4.08m

hmin≥4.0820×1

=0.20m

h=0.25m;b=0.25m

P .P .Viga=0.25×0.25×25×1.5=2,34kN /m2

P .Parede=(5.1×2.65)×2.5×1.5

5.1=9.94 kN /m2

Vsd L1A=42.88 kN/m

Vsd L1B=42.88 kN/m

Sd=2,34+9.94+42.88+42.88=98,04 kN /m2

Msd=98,04×5.12

12=212,50kN .m /m

μ= 212,50

0.25×0.222×13.3×103=1,3KO !

0.25= 212,50

0.25×d2×13.3×103≤>d=0.51 , h≅ 0.55m

Como o h=0.25m, não é suficiente teremos que usar h=0.55m

h=0.55m;b=0.25m

P .P .Viga=0.55×0.25×25×1.5=5.16kN /m2

62


Sd=100.86kN /m2

Msd=100.86×5.12

12=218.61kN .m /m

μ= 218.61

0.25×0.522×13.3×103=0.24OK !

Vsd=100,86×5,112

×1=257,19kN /m

τ= 257.190.25×0.51

=2.02MPaOK !;τ ≤3.2MPa

h x 92%

63


Viga B’B (Consola)

l=0.9 m

li=2,4×0.9=2,16m

hmin≥2,1620×1

=0.11m

Iremos optar por h= 0,20 e b=0,20

P .P .Viga=0.20×0.20×25×1.5=1.5kN /m2

P .Parede ext .=(0.9×2.65)×2.9×1.5

0.9=11.53kN /m2

h=0.20m;b=0.20m

Vsd L1A=42.88 kN/m

Vsd A’B’=75.23 kN/m

Sd=1,5+11.53+42.88+75.23=131.14kN /m2

Msd=131.14×0.92

10=10,62kN .m /m

μ= 10,62

(0,20×0,172×13,3×103)=0,14‼

Apesar de ser um µ muito pequeno é o mínimo que conseguimos ter.

Vsd=10.62×0.92

×1.15=5.50kN /m

τ= 5,50(0,20×0,18)

=0,15MPaOK‼ τ≤3,2MPa

64


65


Tabela resumo Vigas

Viga Tramo hmin h b p.p. Lajes Paredes Outras Sd Msd Vsd μ τ

m m m kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN kN.m/m kN/m MPa

BC S.A. 0,30 0,70 0,25 6,56 64,85 7,99 79,4 345,49 234,23 0,23 1,46A'B' S.A. 0,29 0,40 0,25 3,75 13,215 8,97 25,94 109,08 75,23 0,24 0,813EI C1A 0,22 0,24 0,45 4,05 56,17 60,22 144,59 169,67/132,79 0,26 1,3BE C2A 0,2 0,55 0,25 5,16 85,76 9,94 100,86 218,61 257,19 0,24 2,02B'B Consola 0,11 0,2 0,2 1,5 42,88 11,53 75,23 131,14 10,62 5,5 0,14 0,15

66


Pilares

Um pilar é um elemento estrutural vertical usado normalmente para receber os esforços verticais de uma edificação e transferi-los para outros elementos, como as fundações.

Na engenharia estrutural os pilares são dimensionados par a resistir a compressão e á encurvadura. O betão apesar de praticamente não resistir a esforços de tracção, resiste razoavelmente bem a compressão, sendo que em várias oportunidades, como em residências e edificação pequenas, os pilares são armados com a ferragem mínima exigida pelas normas. Os pilares de betão devem receber uma armadura transversal que sirva de apoio a armadura longitudinal para evitar a encurvadura do pilar, quando este estiver em carga.

67


Pilares

Pré-dimensionamento do pilar B

Como este pilar vai estar condicionado pela largura da parede o b não poderá exceder 0,25m.

Pilar 4

Msd cobertura≅ 0,75× Msdpiso

Altura do pilar = 2,65m

p . p . pilar=0,25×0,25×25×1,5×2,65¿6,21kN /m2

Msd piso=496,92kN .m /m

Msd cobertura=0,75×496,92=372,69kN .m /m

Nsd4=372,69+6,21=378,90kN /m2

Nsd= 1ω

(0,85×fcd× Ac+ fsyd× As )

68


λ 10 20 30 40 50 60 70 80ω 1,00 1,02 1,05 1,10 1,15 1,23 1,32 1,42

λ= l ×ηh

√12

=2,65×0,90,25

√12

=33,05⟹consideramosω=1,06

378,90= 11,06

(0,85×13,3×103× (0,25×0,25 )+348×103× As )

As=−8,8×10−4 Sobredimensionamento da área de secção do aço, mas como é a secção mínima do pilar que conseguimos ter, iremos considerar OK!

Limites de As

Pilar económico : As≅ 1%Ac

Limite superior : As<8%Ac ( Art .121.2 REBAP )

Limite inferior : As≥0,4%Ac−A235 ≥0,3%Ac−A400 /A500

Pilar 3

69


p . p . pilar=0,25×0,25×25×1,5×2,65=6,21kN /m2

Nsd3=378,90+496,92+6,21=882,03kN /m2

λ= l ×ηh

√12

=2,65×0,90,25

√12

=33,05⟹ω=1,06

Nsd= 1ω


882,03= 11,06

(0,85×13,3×103× (0,25×0,25 )+348×103× As )

As=6,56×10−4

%As= 6,56×10−4

(0,25×0,25 )×100=1,05%AcOK !

Pilar 2

p . p . pilar=0,25×0,35×25×1,5×2,65=8,69kN /m2

Nsd2=882,03+496,92+8,69=1387,64 kN /m2

λ= l ×ηh

√12

=2,65×0,90,35

√12

=23,61⟹ω=1,03

Nsd= 1ω


70


1387,64= 11,03

(0,85×13,3×103× (0,25×0,35 )+348×103× As )

As=12,65×10−4

%As=12,65×10−4

(0,25×0,35 )×100=1,45%AcOK !

Pilar 1

p . p . pilar=0,25×0,40×25×1,5×2,65=9,94kN /m2

Nsd2=1387,64+496,92+9,94=1894,5kN /m2

λ= l ×ηh

√12

=2,65×0,90,40

√12

=20,65⟹ω=1,02

Nsd= 1ω


1894,5= 11,02

(0,85×13,3×103× (0,25×0,40 )+348×103× As )

As=23,04×10−4

%As=23,04×10−4

(0,25×0,40 )×100=2,30%AcOK !

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Pilar R/C

p . p . pilar=0,25×0,45×1,5×2,65=11,18 kN /m2

Nsd2=1894,5+496,92+11,18=2402,60kN /m2

λ= l ×ηh

√12

=2,65×0,90,45

√12

=18,36⟹ω=1,01

Nsd= 1ω


2402,60= 11,01

(0,85×13,3×103× (0,25×0,45 )+348×103× As )

As=33,18×10−4

%As=33,18×10−4

(0,25×0,45 )×100=2,95%AcOK !

72


Anexo

73


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Documents

Trabalho Final v1