Sumário

1. Introdução.............................................................................................................6

2. Trabalho................................................................................................................7

Trabalho: positivo, negativo ou nulo.........................................................................8

Trabalho total...........................................................................................................8

3. Energia cinética e o teorema do trabalho-energia.................................................9

O significado de energia cinética...........................................................................10

4. Trabalho e energia com forças variáveis............................................................11

Trabalho realizado por uma força variável em movimento retilíneo.......................11

Teorema do trabalho-energia para um movimento retilíneo com força variável....12

Teorema do trabalho-energia para um movimento ao longo de uma curva...........13

5. Energia potencial gravitacional...........................................................................14

Conservação da energia mecânica (somente forças gravitacionais).....................15

Energia potencial gravitacional para movimentos ao longo de uma trajetória curva...............................................................................................................................16

6. Energia potencial elástica...................................................................................17

7. Conclusão...........................................................................................................19

8. Referências bibliográficas...................................................................................20

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Lista de equações

Equação 1 (Força constante atuando na direção e no sentido do deslocamento retilíneo).......................................................................................................................7Equação 2 (Força constante, deslocamento retilíneo).................................................7Equação 3 (Dedução e definição de energia cinética)................................................9Equação 4 (Definição de energia cinética)..................................................................9Equação 5 (Teorema do trabalho-energia)..................................................................9Equação 6 (Componentes x da força variável, deslocamento retilíneo)....................11Equação 7(força necessária para esticar uma mola).................................................12Equação 8 (Trabalho realizado para esticar a mola).................................................12Equação 9 (Trabalho realizado pela energia potencial gravitacional).......................14Equação 10 (energia potencial gravitacional)............................................................14Equação 11 (Análise da energia potencial gravitacional)..........................................14Equação 12(Se somente a gravidade realiza trabalho).............................................15Equação 13(Se somente se a gravidade realiza trabalho)........................................15Equação 14 (Trabalho das forças dissipativas).........................................................15Equação 15 (Definição da energia mecânica)...........................................................15Equação 16(Variação da energia mecânica).............................................................16Equação 17(Relação entre trabalho das forças dissipativas e a variação da energia mecânica)..................................................................................................................16Equação 18 (Trabalho realizado sobre a mola).........................................................17Equação 19 (Trabalho realizado pela mola)..............................................................17Equação 20(Energia potencial elástica)....................................................................18

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Lista de figurasFigura 1- Mola............................................................................................................12Figura 2- Compressão de uma mola.........................................................................18

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Lista de gráficosGráfico 1 (Força pelo espaço)...................................................................................11

4

Lista de quadrosQuadro 1 (Relação do componente da força com a direção e o sentido do deslocamento).............................................................................................................8

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1. Introdução

Um dos objetivos fundamentais da física é investigar algo de que se fala muito hoje em dia: a energia. O tópico é obviamente importante; na verdade, nossa civilização se baseia na obtenção e uso eficiente da energia.

Todo mundo sabe, por exemplo, que é preciso energia para executar qualquer movimento. Atravessar o Oceano Pacífico de avião exige energia. Transportar um equipamento de um lugar para o outro exige energia. Arremessar uma bola exige energia. Gastamos verdadeiras fortunas para obter e utilizar energia. Guerras foram travadas por causa de fontes de energia, Guerras foram decididas pelo uso de armas que liberam grandes quantidades de energia de forma explosiva. Qualquer um é capas de citar exemplos de energia e sua utilização. Mas o que será tratado neste trabalho é a definição de energia, e como ela pode se apresentar em fenômenos físicos,

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2. Trabalho

Na física, o trabalho diferentemente da energia possui uma definição muito mais precisa, ele é a medida que a energia é transferida pela força ao longo de um deslocamento. Usando essa definição, será possível verificar que em qualquer movimento realizado, por mais complicado que seja o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética (grandeza abordada no próximo capítulo que possui relação com a velocidade da partícula). Essa relação é empregada meso quando as forças aplicadas não são constantes.

Ao empurrar um carro, por exemplo, você realiza um trabalho exercendo uma força sobre ele enquanto ele se move de um local pra outro, ou seja, ocorre um deslocamento. O trabalho é maior quando a força é aplicada sobre o objeto é maior (você empurra o carro com mais intensidade) ou quando o deslocamento é maior (você desloca o carro por uma distancia maior ao longo da estrada). A definição física de trabalho pautou-se nessas observações. Pelo que foi descrito pode se afirmar que força e deslocamento são diretamente proporcionais ao trabalho, nos levando a seguinte equação:

τ=F⃗ . ∆⃗ S (1)

Equação 1 (Força constante atuando na direção e no sentido do deslocamento retilíneo)

, onde F⃗ é força e ∆⃗ S é o deslocamento.

Se ele empurra o carro ao longo de um deslocamento d⃗ com uma força

constante F⃗ na direção do movimento, a quantidade de trabalho realizado é dado pela equação 1. Entretanto se alguém empurra o carro de modo a formar um ângulo θ com o seu deslocamento, nesse caso F⃗ possui um componente F II=F .cosθ na direção do deslocamento e um componente F❑=F . senθ que é perpendicular ao deslocamento. Outras forças devem atuar sobre o carro para que ele se mova ao longo de d⃗, não na direção de F⃗. Nesse caso somente o componente paralelo F IIé atuante no movimento do carro; portanto definimos trabalho como o produto desse componente de força pelo módulo do deslocamento. Logo, τ=F II . d ou

F=F .d . cosθ (2)

Equação 2 (Força constante, deslocamento retilíneo)

, onde F é o módulo da força, ∆ Sé o módulo do deslocamento e θ é o ângulo entre a força e o deslocamento.

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Trabalho: positivo, negativo ou nulo

O trabalho realizado para empurrar o carro era positivo. Mas é importante entender que o trabalho também pode ser negativo ou nulo. Quando a força possui um componente na mesma direção e sentido do deslocamento (θ entre zero e 90º) é considerado positivo. Quando a força possui um componente na mesma direção, mas no sentido contrário ao deslocamento (θ entre 90º e 180º) o trabalho realizado é negativo. Quando a força é perpendicular ao deslocamento, θ=90° e o trabalho realizado pela força é igual a zero.

Componente da força na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento

Trabalho realizado sobre o objeto é positivo

τ=F⃗ . ∆⃗ S=F .d . cosθ

Componente da força no sentido contrário ao do deslocamento

O trabalho realizado sobre o objeto é negativo

τ=F⃗ . ∆⃗ S=F .d . cosθ τ<0, pois F .cosθ é

negativo para 90º<θ<270º

Força perpendicular à direção do deslocamento

A força não realiza nenhum trabalho sobre o objeto

Quadro 1 (Relação do componente da força com a direção e o sentido do deslocamento)

Trabalho total

Quando várias forças atuam sobre um mesmo corpo existem duas maneiras de se descobrir o trabalho exercido. A primeira é calcular o trabalho de cada uma delas a partir das equações 1 e 2, e realizar a soma algébrica dos resultados obtidos. A segunda maneira é calcular a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo (ou seja, a força resultante) e a seguir usar as equações apresentadas.

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3. Energia cinética e o teorema do trabalho-energia

O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo relacionado com o deslocamento do corpo, ou seja, com variações da posição do corpo. Contudo o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo. Para entender melhor esse conceito considere uma partícula de massa m movendo-se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força resultante constate de módulo F orientada no sentido positivo do eixo Ox. A aceleração da partícula é constante, sendo dada pela segunda lei de Newton, F=m .ax. Suponha que a velocidade

varie de v1a v2 enquanto a partícula vai do ponto x1 ao ponto x2 realizando um

deslocamento d= x2−x1. Usando a equação do movimento com aceleração constante obtêm-se:

v22=v1

2+2axd ax=v22−v1

2

2. d F=max=m.

v22−v1

2

2 . d Fd=

12mv2

2−12mv1

2

Fd=12mv2

2−12mv1

2 (3)

Equação 3 (Dedução e definição de energia cinética)

O produto Fd é o trabalho realizado pela força resultante F e, portanto, é o trabalho total realizado por todas as forças que atual sobre a partícula. A

grandeza 12mv2 denomina-se energia cinética (K) da partícula:

F⃗ . ∆⃗ S=K=12mv2 (4)

Equação 4 (Definição de energia cinética)

, onde F⃗ é força, ∆⃗ S é o deslocamento, K é a representação da energia cinética, m é massa e v o módulo da velocidade.

Analogamente ao trabalho a energia cinética é uma grandeza escalar, ela depende somente da massa e do módulo da velocidade, e não da direção do movimento. A equação 3 pode ser interpretada em termos do trabalho e da energia

cinética. O primeiro termo do membro direito da equação é K2=12mv2

2, a energia

cinética final da partícula (ou seja, depois do deslocamento). O segundo termo do

membro direito é a energia cinética inicial, K1=12mv1

2, e a diferença entre os dois

termos e a variação de energia cinética. Logo, a equação 3, diz que:

O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação de energia cinética da partícula:

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τ=K2−K1=∆ K (5)

Equação 5 (Teorema do trabalho-energia)

Esse resultado é conhecido como teorema do trabalho-energia

O significado de energia cinética

A partir do que foi analisado e deduzido é possível definir facilmente o conceito de energia cinética: trabalho total que uma partícula pode realizar durante o processo de ser conduzida até o repouso.

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4. Trabalho e energia com forças variáveis

Até agora tratamos de forças constantes em movimento retilíneo. Mas existem diversas situações em que as forças aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em uma trajetória curva. É necessário saber interpretar essas situações.

Trabalho realizado por uma força variável em movimento retilíneo

Primeiramente será considerado um movimento retilíneo no qual a força possui um componente paralelo ao deslocamento, mas o módulo da força é variável. Suponha uma partícula movendo-se ao longo do eixo Ox, de um ponto x1 a um

ponto x2. Para calcularmos o trabalho realizado por essa força dividimos o deslocamento total em pequenos segmentos ∆ x, cada um deles pode ter o seu trabalho aproximado, quando multiplicado pela força. Isso é feito em cada segmento e depois somando os resultados de todos os segmentos. O trabalho realizado pela força no deslocamento de x1 e x2 é dado aproximadamente por

τ=F .∆ x

Gráfico 1 (Força pelo espaço)

À medida que o número de segmentos aumenta e a largura de cada segmento torna-se cada vez menor, essa soma fornece (no limite) a integral de F de x1 a x2

τ=∫x1

x2

F .dx (6)

Equação 6 (Componentes x da força variável, deslocamento retilíneo)

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τ=∫x1

x2

F .dx=F∫x1

x2

dx=F( x2− x1), onde x2−x1 corresponde ao deslocamento total da

partícula, nos levando a conclusão de que a equação 6 concorda com a equação 1. A interpretação do trabalho como área abaixo da curva F em função de x também vale para uma força constante. Ao esticar uma mola de uma distancia x além de sua posição não deformada deve-se aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas extremidades. Quando o alongamento x não é muito grande, verifica-se que o módulo F é diretamente proporcional ao módulo do deslocamento x:

F=kx (7)

Equação 7(força necessária para esticar uma mola)

, onde k é uma constante denominada constante da força (ou constante da mola). A observação de que a força é diretamente proporcional ao deslocamento quando ele não é muito grande chama-se Lei de Hooke, as molas não obedecem a essa relação de modo exato, contudo ela é um modelo idealizado bastante aproximado e útil.

Para esticar qualquer mola devemos realizar um trabalho. Normalmente a extremidade esquerda da mola é mantida em repouso de modo que a força que atua nessa extremidade não realize trabalho, então somente a força que atua na extremidade móvel realizará trabalho. A figura 1, a seguir, demonstra essa situação.

Figura 1- Mola

O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo x é dado por:

τ=∫0

x

Fdx=∫0

x

kx dx=12k x2 (8)

Equação 8 (Trabalho realizado para esticar a mola)

Teorema do trabalho-energia para um movimento retilíneo com força variável

O teorema do trabalho-energia foi definido, para o caso especial de um movimento retilíneo com força resultante constante como, τ=K2−K1. Esse resultado também é válido para um movimento retilíneo com força variável.

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Teorema do trabalho-energia para um movimento ao longo de uma curva

O teorema do trabalho-energia é tão abrangente que permanece verdadeiro mesmo para o caso de forças variáveis e deslocamentos ao longo de uma trajetória curva. A força permanece essencialmente constante em qualquer deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória, de modo que este teorema possa ser aplicado no caso do movimento retilíneo para esse deslocamento. A soma de todos os deslocamentos permitira a obtenção do trabalho total, que é equivalente à variação total de energia. Logo τ=K2−K1. É um resultado geral, qualquer que seja a trajetória e qualquer que seja o caráter da força aplicada.

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5. Energia potencial gravitacional.

Uma partícula ganha ou perde energia cinética porque ela interage com outros objetos que exercem forças sobre ela. Até agora a variação da energia cinética correspondia ao trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre a partícula. Em muitas situações, tudo se passa como se a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperada posteriormente. Por exemplo, ao erguer uma pedra pesada acima da sua cabeça você precisa realizar um trabalho. Parece razoável que, elevando a pedra no ar você esteja armazenando energia no sistema, energia tal que será mais tarde convertida em energia cinética quando a pedra cair.

Esse exemplo aponta para a idéia de que deve existir uma energia associada cm a posição dos corpos em um sistema. Esse tipo de energia fornece um potencial ou a possibilidade da realização de um trabalho. Por esse motivo ela denomina-se energia potencial, nesse momento, especificamente, será tratada da energia potencial associada com o peso do corpo e sua altura do solo, ela é chama de energia potencial gravitacional.

Ao considerar um corpo de massa m que se move ao longo do eixo Oy (vertical), as forças que atuam sobre ele são o seu peso, com módulo P=mg, e possivelmente algumas outras forças. Deseja-se achar o trabalho realizado pelo peso quando o corpo cai de uma altura acima da origem até uma altura menor, e até que o trabalho realizado sobre o corpo por seu peso é positivo.

τ=F∆ S=τ (h1−h2 )=mgh1−mgh2 (9)

Equação 9 (Trabalho realizado pela energia potencial gravitacional)

Essa grandeza, o produto do peso mg pela altura h acima da origem do sistema, denomina-se energia potencial gravitacional, para pequenas altitudes, ou seja, para variações desprezíveis de “g”, que será definida como U grav em:

U grav=mgh (10)

Equação 10 (energia potencial gravitacional)

A variação de Ugrav é o seu valor final menos o seu valor inicial, que pode ser expresso do seguinte modo:

τ=U grav .1−U grav .2=−(U grav .2−U gra v .1)=−∆U grav (11)

Equação 11 (Análise da energia potencial gravitacional)

O sinal negativo antes do ∆U grav é fundamental. Quando um corpo se move de baixo para cima, h aumenta, trabalho realizado pela força gravitacional é negativo e a energia potencial aumenta. Quando um corpo se move de cima para baixo, h

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diminui, o trabalho realizado pela força gravitacional é positivo e a energia potencial gravitacional diminui.

Conservação da energia mecânica (somente forças gravitacionais)

O teorema trabalho-energia afirma que o trabalho total realizado sobre o corpo é igual à variação de energia cinética do corpo. Como a gravidade é a única força atuando sobre o corpo então, pela equação 11 τ total=τ grav=U grav .1−U grav .2, ou

seja, ∆ K=−∆ τgrav ou K2−K1=U grav .1−U grav .2, a qual poderia ser escrita como

K1+U grav .1=K2+U grav .2 (12)

Equação 12(Se somente a gravidade realiza trabalho)

Ou ainda,

12mv1

2+mgh1=12mv2

2+mgh2 (13)

Equação 13(Se somente se a gravidade realiza trabalho)

O que permite finalmente definir que a soma da energia cinética com a energia potencial como energia mecânica que permanecera constante, em todos os pontos durante o movimento do corpo. Mas esse conceito só é válido quando se trata de forças conservativas que são aquelas em que o trabalho realizado por elas é sempre reversível e que quando são aplicadas em uma trajetória fechada o seu trabalho é igual a zero. As forças dissipativas, por sua vez não podem ser representadas por nenhuma função que forneça energia potencial, pois elas produzem uma perda ou dissipação de energia mecânica. De modo geral, a equação 5, nos remete a:

τ r=∆K

τ diss+τ cons=∆ K

τ diss+(−∆U )=∆ K

τ diss=∆U+∆ K (14)

Equação 14 (Trabalho das forças dissipativas)

, mas como a energia mecânica é dada por:

εmec=U+K (15)

Equação 15 (Definição da energia mecânica)

15

, a variação da energia mecânica é:

∆ εmec=∆U +∆ K (16)

Equação 16(Variação da energia mecânica)

,a equação 14 associada com a 16 permite-nos concluir que:

τ diss=∆εmec (17)

Equação 17(Relação entre trabalho das forças dissipativas e a variação da energia mecânica)

, de modo que não havendo forças dissipativas (τ diss=0), a variação da energia

mecânica será nula (∆εmec=0), e, portanto ela se conserva.

Energia potencial gravitacional para movimentos ao longo de uma trajetória curva

Sobre o corpo atua uma força gravitacional e possivelmente outras forças, para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional durante um deslocamento que envolve uma trajetória curva, ela foi divida em pequenos segmentos, de tal forma que quando analisados possam ser considerados como uma reta. Por esse motivo, o trabalho realizado pela força gravitacional continua sendo o mesmo que seria obtido caso o corpo se deslocasse verticalmente. Logo, quando a trajetória é curva, o trabalho total realizado pela força gravitacional depende somenta da diferença de altura entre os pontos da trajetória analisado. Portanto, pode-se usar a mesma expressão para energia potencial gravitacional tanto para uma trajetória curva quanto para uma retilínea

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6. Energia potencial elástica

Há muitas situações em que encontramos energia potencial de natureza

diferente da gravitacional. Um exemplo é uma atiradeira com tiras de borracha. A

força que estiva a tira de borracha realiza um trabalho sobre ela armazenando-o na

tira esticada até o momento em que você a solta. Este processo é definido como

armazenamento de energia em um corpo deformável, como uma mola ou uma tira

de borracha, em termos da energia potencial elástica. Dizemos que um corpo é

elástico quando ele volta a ter a mesma forma e o mesmo tamanho que possuía

antes da deformação

A energia potencial, assim como a energia potencial gravitacional, está

relacionada à posição que o corpo ocupa. Então será adotado um procedimento

análogo ao da energia potencial gravitacional. A diferença é que a energia potencial

gravitacional é dividida entre o corpo e a Terra, mas a energia potencial elástica é

armazena somente na mola (ou outro corpo elástico).

Uma mola ideal, com uma extremidade fixa e a outra presa a um bloco de massa

m que pode se mover ao longo do eixo Ox. O corpo encontra-se em equilíbrio no

ponto x=0, quando a mola não está nem esticada e nem comprimida. Quando o

bloco é movido lateralmente, é exercido um trabalho sobre a mola para move-lo,

este trabalho é dado por:

τ=12kx2

2−12kx1

2(18)

Equação 18 (Trabalho realizado sobre a mola)

,onde k é a constante da mola. Se a mola for esticada, o trabalho realizado sobre ela é um trabalho positivo; quando ela é relaxada o trabalho passa a ser negativo. Mas e expressão anterior continua válida para quando a mola é comprimida (figura 2) de modo que x1 ou x2 ou ambos são negativos. Dessa maneira é possível determinar o trabalho realizado pela mola. A partir da terceira lei de Newton (ação e reação) este trabalho será igual e de sinal contrário ao outro. Portanto obtemos:

τ el=12kx1

2−12kx2

2(19)

Equação 19 (Trabalho realizado pela mola)

O índice inferior indica elástico. Quando x1 e x2 são positivos, a mola é esticada e o trabalho realizado sobre o bloco é negativo que se move no sentido +x

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enquanto a mola se move no sentido −x. Quando x1 e x2 são negativos, a mola é comprimida e o trabalho realizado sobre o bloco é positivo que se move no sentido −x enquanto a mola se move no sentido +x.

Como no caso gravitacional, podemos representar o trabalho realizado pela mola em termos de quantidade no início e no fim do deslocamento. Essa quantidade

é chamada de energia potencial elástica dada por k x2

2:

U el=12k x2 (20)

Equação 20(Energia potencial elástica)

Figura 2- Compressão de uma mola

Quanto maior for o valor da compressão ou do alongamento da mola, maior é o valor da sua energia potencial elástica.

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7. Conclusão

A energia está presente no universo de várias formas. Todo processo físico no universo envolve energia e transferência ou transformação de energia. Tornando esse conceito extremamente importante de ser compreendido, infelizmente ele não pode ser facilmente compreendida, por se tratar de uma noção mais abstrata.

O conceito energia está relacionado com o trabalho de uma força conservativa, ou seja, é uma grandeza que pode ser convertida de uma forma para a outra, mas que não pode ser criada e nem destruída. Logo a energia total permanece constante e a soma de todas as formas de energia envolvidas permanece a mesma. Esse conceito é fundamental na compreensão do que foi apresentado neste trabalho.

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8. Referências bibliográficas

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: Ltc, 2006. 356 p. ISBN 978-85-216-1484-5

KELLER, Frederick J.; GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J. Física. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2004. 2. v. ISBN 85-346-0542-4 (v. 1)

SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark W. Física. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1973. 3 v.

TIPLER, Paul A.; MORS, Paulo Machado (Trad.). Física para cientistas e engenheiros: volume 1 : mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC 2009 759 p. ISBN 978-85-216-1462-3 - v. 1

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