TRABAJO Y ENERGÍA

INTRODUCCIÓN

La aplicación de las leyes de Newton a problemas en que intervienen fuerzas variables requiere de nuevas herramientas de análisis. Estas herramientas consisten en los conceptos de trabajo y energía cuya aplicación simplifica los problemas ya que no se requiere como varia la fuerza durante el movimiento

Describiremos las técnicas para tratar sistemas de este tipo con la ayuda de un desarrollo importante, llamado Teorema del trabajo y la energía.

Comenzaremos describiendo el concepto de trabajo, el cual proporciona un eslabón entre los conceptos de fuerza y energía mecánica.

Se verá que los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a la dinámica de un sistema mecánico sin recurrir a las leyes de Newton. Sin embargo, es importante notar que los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las leyes de Newton y, por lo tanto, no requieren ningún principio físico nuevo.

Los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a una amplia variedad de fenómenos en los campos del electromagnetismo y la física atómica y nuclear.

rΔFw

ΔxFw //

xTrabajo realizado por una fuerza constante:

Consideremos un objeto que experimenta un desplazamiento, a lo largo de una línea recta por la acción de una fuerza constante F, que forma un ángulo con el desplazamiento, tal como se indica en la figura

El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento

En Newton. metro = joule ( N.m = J )

Como la componente de la fuerza paralela al desplazamiento es

podemos expresar el trabajo como:

Entonces se puede decir que el trabajo es igual al producto de la componente de la fuerza paralela al desplazamiento por la magnitud del desplazamiento.

θ

Fcosθ//F

Sí graficamos F// versus X

El área encerrada representa el trabajo realizado por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. En toda gráfica, fuerza (solo su componente paralela al desplazamiento) versus desplazamiento, el área bajo la curva nos da el trabajo realizado por la fuerza.

Téngase en cuenta que el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento es muy importante pues:

Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección del desplazamiento, el trabajo es positivo

La fuerza F realiza un trabajo positivo

Si la fuerza es siempre perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por ella es cero

F no tiene componente en la dirección del Desplazamiento por lo que su trabajo es cero. De esta última expresión podemos decir que toda fuerza perpendicular al desplazamiento efectúa trabajo cero

si la fuerza tiene una componente en dirección opuesta al desplazamiento, el trabajo es negativo

La fuerza F realiza un trabajo negativo

Ejemplo 1:

Si una masa m= 5 Kg realiza un movimiento circular uniforme con una rapidez v=80 m/s. Determine el trabajo realizado por la fuerza centrípeta

En el movimiento circular

la fuerza centrípeta es

sie mpre perpendicular al

mo vimiento

Solución: El DCL de la masa nos indica que la fuerza centrípeta es siempre perpendicular al desplazamiento por lo tanto el trabajo es cero

)(xF

Ejemplo 2:

En el sistema mostrado en la figura, determínese el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúa sobre el bloque de 80 Kg ( =53º)

El bloque se desliza sobre un plano inclinado 37º con la horizontal

Trabajo realizado por una fuerza variable:

Consideremos un objeto que se esta desplazando a lo largo del eje x, mientras una fuerza variable actúa sobre ella tal como se indica en la figura.

En el intervalo [xi, xi +x], x es tan pequeño que la fuerza en dicho intervalo se puede considerar constante e igual a F(xi)

El objeto se desplaza a lo largo del eje x, desde x=x1 hasta x=x2, En este caso no podemos calcular el trabajo, como en el caso de una fuerza constante, pero podemos

imaginar que el objeto experimenta desplazamientos muy pequeños Δx , entonces la fuerza, F(x), es aproximadamente constante sobre este intervalo, y para este pequeño desplazamiento el trabajo será:

el trabajo total será entonces la suma de los trabajos realizados en cada uno de estos pequeños desplazamientos

esta manera de obtener el trabajo para el caso de una fuerza variable es bastante tediosa, sobre todo, si el desplazamiento que sufre el objeto es bastante grande, sin embargo es posible obtener el trabajo de una manera más sencilla si se conoce cual es la dependencia de la fuerza con la posición

Gráfica de F(x) versus x

Supongamos que la fuerza varía con la posición tal como se indica en la figura

El área sombreada de la figura (entre xi y xi +x) es aproximadamente:

Si pretendemos calcular el área total entre x1 y x2 debemos dividir toda el área entre x1

y x2 en pequeñas áreas como la indicada en la figura y luego sumarlas , esto nos daría;

esta ultima expresión es idéntica a la encontrada para el trabajo de una fuerza variable

x)iF(xiΔw

Δx)iF(x

Δx)iF(xAWx)iF(xA

xkF

FR

es decir el área bajo la curva es igual al trabajo realizado por la fuerza variable. El resorte es un ejemplo de fuerza variable proporcional

TRABAJO REALIZADO POR UN RESORTE

Supóngase que el resorte inicialmente en su posición de equilibrio, es estirado una distancia x por una fuerza aplicada Fapli , si en esa posición el resorte se encuentra en equilibrio entonces por la ley de acción y reacción podemos afirmar que la fuerza que ejerce el resorte es de la misma magnitud pero en sentido opuesto, se puede comprobar experimentalmente que la magnitud de esta fuerza es proporcional a la deformación x que a sufrido el resorte desde su posición de equilibrio, es decir:

el signo negativo nos indica que la fuerza apunta siempre hacia la posición de equilibrio

Medición experimental de la constante elástica de un resorte

La masa m estira el resorte desde su posición de equilibrio una distancia x, en esta nueva posición de equilibrio:

0FFapli

xkFapli

mgkx

de aquí inmediatamente obtenemos el valor de la constante elástica:

xmgk

Conocida la fuerza podemos ahora determinar cual es el trabajo efectuado por esta fuerza variable en mover el resorte desde la posición inicial xi hasta la posición final xf

Supongamos que la fuerza aplicada estira muy lentamente el resorte tal como se indica en la figura

El resorte se estira muy lentamente desde x1 hasta x2 por acción de la fuerza aplicada Fapli, en todo momento , de esta manera en todo momento la fuerza aplicada es igual a la fuerza ejercida por el resorte

entonces:

entonces el trabajo neto realizado es cero:

Si determinamos cuál es el trabajo realizado por la fuerza aplicada conoceremos cuál es el trabajo realizado por el resorte.

En la figura se indica como varia la fuerza aplicada con la deformación del resorte. El área sombreada entonces nos dará el trabajo efectuado en estirar el resorte desde la

posición xi hasta xf

0WW Fapli

2

2fkx

2

2ikx

W

Gráfica de la fuerza aplicada Fapli versus la posición, el área sombreada nos da el trabajo realizado por ella desde xi hasta xf

y el trabajo realizado por el resorte será:

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Consideremos una partícula de masa m moviéndose en la dirección del eje x por acción de la fuerza resultante Fx , por sencillez supondremos que esta fuerza es constante realizando la partícula un MRUV, tal como se indica en la figura

2

2ikx

2

2fkx

Wapli

)ixf)(x2

fkxikx(trapeciodeláreaWapli

2

2mvkE

¿Cuál será entonces el trabajo realizado por la fuerza resultante?

Como la fuerza resultante es constante y esta en la dirección del desplazamiento el trabajo será:

Por la segunda ley de newton se puede establecer que:

además como la aceleración es constante, por cinemática:

remplazando la aceleración obtenemos:

Sí reemplazamos esta expresión en la ecuación del trabajo obtendremos:

Vemos pues que para calcular el trabajo no es necesario conocer la fuerza resultante F, solo es necesario saber cual es la velocidad inicial y final de la partícula.

Al semiproducto de la masa por el cuadrado de su rapidez se le define como la energía cinética de la partícula.

La energía cinética Ek de una partícula de masa m y velocidad v se define como:

da22iv2

fv

maxF

2

2imv

2

2fmv

W

kΔEi)k(Ef)k(EW

es la energía asociada a todo cuerpo en movimiento, la energía cinética es una cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo (Joules)

La definición de energía cinética nos permite expresar el trabajo de la fuerza resultante como:

El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual al cambio en la energía cinética de la partícula, a esta importante relación se le conoce como el teorema del trabajo y la energía cinética

Aún cuando este importante teorema llamado “teorema del trabajo y la energía cinética” ha sido demostrado suponiendo una fuerza constante en magnitud y dirección, es valido aun si la fuerza F fuera variable

En general si sobre una partícula

actúan varias fuerzas, siendo F

la fuerza resultante, tal como se indica en la figura, entonces el trabajo realizado por la fuerza desde la posición inicial a hasta la posición final es igual al cambio en la energía cinética de la partícula

ENERGÍA POTENCIAL

El concepto de energía cinética, esta asociado con el movimiento de un objeto. Se encontró que la energía cinética de un objeto puede cambiar únicamente si se realiza trabajo sobre él, Ahora introduciremos otra forma de energía mecánica, llamada energía potencial, la cual esta asociada con la posición o la configuración de un objeto.

mg Fvv

Nfk

v2

mgypE

3)C(W2)C(W1)C(W

CF

Se descubrirá que la energía potencial de un sistema se puede pensar como una energía almacenada en él y que puede convertirse en energía cinética. El concepto de energía potencial solo se puede aplicar cuando se esta tratando con una clase especial de fuerzas llamadas “fuerzas conservativas”. Si solo actúan fuerzas conservativas sobre un sistema, como las de gravitación o las elásticas.

FUERZA CONSERVATIVA

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que sólo depende de las coordenadas

Características:

Si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula entre dos puntos, es independiente de la trayectoria:

El trabajo solo depende de las posiciones inicial y final

El trabajo efectuado por una fuerza conservativa a través

de una trayectoria cerrada es 0.

Toda fuerza conservativa tiene asociada a ella una función, llamada energía potencial EP tal que el trabajo realizado por esta fuerza conservativa es igual a menos el cambio de su energía potencial

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

La energía potencial es la energía que tiene todo cuerpo inmerso en el campo gravitatorio terrestre respecto de un nivel de referencia dado.

Se define la energía potencial gravitacional como:

donde : m: es la masa del cuerpo, g: la aceleración de la gravedad, y: la coordenada vertical medido desde un nivel de referencia.

Así tenemos que:

Si la masa se encuentra por encima del nivel de referencia su energía potencial será positiva

Si la masa se encuentra en el mismo nivel de referencia su energía potencial es cero

Si la masa se encuentra por debajo del nivel de referencia su energía potencial será negativa

Observamos que para mover el cuerpo, debemos aplicar una fuerza externa al sistema F sobre el cuerpo, y otra fuerza –F sobre la tierra. Estas fuerzas son opuestas, por la tercera ley de Newton. Fijamos nuestro sistema de referencia en la tierra.

Si consideramos un incremento de altura tal que podamos considerar al campo gravitatorio constante, el peso del cuerpo permanecerá constante en todo el recorrido y será también constante la fuerza FEl trabajo realizado por la fuerza externa F al experimentar un desplazamiento d será:

P

FDurante el ascenso la fuerza F da energía cinética al cuerpo (realiza trabajo positivo)

Durante el ascenso el peso P quita energía cinética al cuerpo (realiza trabajo negativo) que se transforma en Ep.

En el punto superior (v=0) la energía dada por F se ha acumulado como Epot.

1

2

P

Durante el descenso el peso P realiza trabajo positivo transformando la energía potencial acumulada en cinética.

En el punto más bajo toda la energía potencial se ha transformado en cinética.

En el punto superior el cuerpo tiene Ep.2

- 0 )

3

Trabajo realizado por el peso:

Supongamos que levantamos un objeto de masa m desde el suelo hasta una altura h.

La fuerza de gravedad o peso realiza trabajo negativo sobre m cuando la partícula se mueve de 1 hacia 2 restando energía cinética al cuerpo que se transforma en energía potencial gravitatoria. Si ahora dejamos que la fuerza de gravedad actúe, (trayectoria de 2 a 1) podemos recuperar toda la energía como energía cinética. La fuerza de gravedad transforma ahora la energía potencial en energía cinética realizando trabajo positivo.

Ejemplo

A un cuerpo de 500 g, situado en el suelo, se aplica una fuerza constante de 15 N que actúa verticalmente y hacia arriba. Calcular el tipo de energía y su valor en los siguientes puntos:

a) En el suelo. b) 2 m del suelo. c) 5 m del suelo.Solución:

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Cuando se calculó el trabajo realizado por un resorte se encontró que éste sólo

dependía de la elongación inicial y final del resorte

a) Ecin = 0 ; E pot = 0.

b) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h1 = 15 N . 2 m = 30 J

Epot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2. 2 m = 10 J

Ek = 20 J

c) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h2 = 15 N . 5 m = 75 J

Epot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2. 5 m = 25 J

Ek = 50 J.

2 m

5 m

Se define la energía potencial elástica como

entonces el trabajo realizado por el resorte se puede expresar:

es decir el trabajo realizado por la fuerza elástica es igual a menos el cambio de la energía potencial elástica

LA ENERGÍA MECÁNICA

El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y después de cada transformación. En el caso de la energía mecánica se puede concluir que, en ausencia de rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma de las energías cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conoce con el nombre de Principio de conservación de la energía mecánica

Si, por ejemplo, un niño desciende por un tobogán, la energía potencial que tenía cuando estaba arriba se convertirá en energía cinética al descender. En el caso del patinador de la ilustración siguiente, la energía cinética y la potencial se van transformando una en otra según se mueve de un lado para otro.

Principio de su conservación

kΔEW

PC ΔEw

pECEE

NCWΔE

CNC wWW

NCW

pNCC ΔEWΔE NCipCFpC W)E(E)E(E

0WNC

ctePECEE

Supóngase que sobre una partícula de masa m actúan varias fuerzas 321 ,, FFF

no

conservativas y una fuerza conservativa CF

,

El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas individuales:

si llamamos al trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas

entonces el trabajo de la fuerza resultante se puede expresar:

Por el teorema del trabajo - energía cinética , podemos decir;

como Fc es conservativa el trabajo realizado será, según la ecuación :

reemplazando obtenemos:

si definimos la energía mecánica del sistema como:

entonces:

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica del sistema

¿Que sucede si solo actúan fuerzas conservativas?

En este caso

y

esta importante relación nos indica que en todo momento la energía cinética y potencial del sistema se mantiene constante y recibe el nombre de: principio de conservación de la energía mecánica del sistema

El principio de conservación establece que la suma de la energía cinética y potencial se mantiene constante en todo momento,

C2F2F1FwwwwW

2F2F1FNC wwwW

NCpC W)EΔ(E

tiempototaltrabajoP

ctePECEE

pECEE

En la figura podemos apreciar que hay una transformación de energía cinética en energía potencial y de energía potencial en energía cinética durante todo el movimiento, conservándose la energía mecánica.

POTENCIA

Se define como el trabajo efectuado en la unidad de tiempo o la rapidez con la cual se efectúa el trabajo

Potencia media:

Es el trabajo total efectuado entre el tiempo total empleado

Potencia instantánea:

Determinemos el trabajo W realizado por una fuerza F en un intervalo de tiempo muy pequeño t:

si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero obtendremos entonces la potencia instantánea

Como en ese pequeño intervalo de tiempo el bloque se logra desplazar r, el trabajo realizado será:

esto nos permite expresar la potencia instantánea de la siguiente manera:

W]sJ[,watt

segundojoule

ΔtΔwP

ΔtΔW

limP 0Δt

rΔFΔW

ΔtrΔF

0ΔtlimΔt

ΔW0ΔtlimP

Ordenando adecuadamente:

el segundo termino de esta ultima expresión es justamente la velocidad instantánea

es decir:

La potencia instantánea desarrollada por una fuerza F es igual al producto de la fuerza por la velocidad instantánea

ΔtrΔlimFP 0Δt

vFP