Trabajo Final Pre Cálculo

8/16/2019 Trabajo Final Pre Cálculo

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Asignatura: Pre calculo

Sección: Grupo 6 marte de 8 am a 11 am y jueves de 8 am a10 am

Profesor: Andradi luna

Trabajo final de Pre calculo Vectores y Matices

INDICE


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Matriz y Vectores

1. mportancia de las matrices en el campo de lacomputaci!n.

". M#todo de codificaci!n de Mensaje con matri$ inversa%. Ma&nitud de un Vector '. (omponente vertical y )ori$ontal de un vector'.1 *peraciones con Vectores por el M#todo de las

(omponentes+. Anali$ar ejemplo , y 8 p-&. 61' del libro de Pre (alculo

de james te/art +ta dici!n6. eali$ar los jerci! de 28.'3 61+,. "%4 ",4 "5 4 %% del libro Pre (alculo de james te/art +ta

dici!n8. Producto punto entre dos vectores5. vectores orto&onales10. evisa los ejemplos de la p-&ina 6"' y reali$ar los

ejerci! 2"54'13 del libro Pre (alculo de james te/art +tadici!n

11. emostrar 7ue v.u u.v cos o1". Tipo de Matri$1%. Matri$ (uadrada1'.


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Matrices Y Vectores

Investigue la imortancia !e las matrices en el camo !e la comutación

9a importancia de las matrices en el campo de la computaci!n es 7ue las matricesson )erramienta fundamentar 7ue se usa en la computadora para manipularim-&enes. Vemos como la manipulaci!n de matrices se utili$an para mover unpunto en el plano en un lu&ar determinado. Al combinar dic)o movimientopodemos estirar. (omprimir &irar y )acer otro tipo de transformaciones en la fi&uracomo vemos en las im-&enes si&uientes:

Tambi#n vemos la importancia de las matrices en el len&uaje de Pro&ramaci!n en

los array

9os arre&los son los e7uivalentes en pro&ramaci!n de las matrices y vectores delas matem-ticas. Precisamente4 una &ran motivaci!n para usar arre&los es 7ue)ay muc)a teor;a detr-s de ellos 7ue puede ser usada en el dise


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Operaciones con arreglos

Las limitaciones que tienen los arreglos respecto de las listas son compensadas por

la cantidad de operaciones convenientes que permiten realizar sobre ellos.

Las operaciones aritméticas entre arreglos se aplican elemento a elemento:

>>> a = array([55, 21, 19, 11, 9])>>> b = array([12, -9, 0, 22, -9])

# sumar los dos arreglos elemento a elemento>>> a + barray([67, 12, 19, , 0])

# mult!"l!ar elemento a elemento>>> a $ barray([ 660, -1%9, 0, 2&2, -%1])

# restar elemento a elemento>>> a - barray([ &, 0, 19, -11, 1%])

E#li$ue cómo se ue!e co!ificar un mensa"e usan!o matriz inversamuestre un e"emlo

9as matrices inversas se pueden usar para proporcionar un procedimiento simple

y efectivo para codificar y decodificar mensajes. Para codificar un mensaje loselementos 7ue se re7uieren son: un emisor4 un receptor4 un mensaje y un c!di&o.(uando )ablamos de c!di&o4 estamos )ablando de un m#todo de codificaci!n4 esdecir al&=n al&oritmo biun;voco 2una funci!n biyectiva34 7ue asi&ne a cada car-cter del mensaje otro car-cter. ste m#todo )ace 7ue el mensaje enviado por el emisor se transforme en una cadena de s;mbolos ile&ibles para el resto de los receptores7ue no sean le&ales. ependiendo de la calidad del m#todo de codificaci!n4 elmensaje ser- m-s o menos dif;cil de descifrar si es capturado por receptoresile&ales.

M%to!o !e encritación

A las letras del alfabeto se le asi&nan los n=meros del 1 al ",. Al espacio enblanco se le asi&na el n=mero "84 para poder separa palabras. sta es unaposibilidad4 tambi#n podr;an asi&narse las letras en orden decreciente ocomen$ando por el n=mero %4 etc.

> (ual7uier matri$ cuyos elementos sean enteros positivos y sea invertible sepuede usar como matri$ de codificaci!n.


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> i la matri$ de c!di&o es de n?n se construye con el mensaje una matri$ de nfilas y tantas columnas como sean necesarias4 escribiendo los n=meros por columna y rellenando al final con espacios en blanco si fuera necesario.

> 9ue&o se multiplica a i$7uierda por la matri$ de c!di&o y el resultado es elmensaje codificado.

> Para recuperar el mensaje se multiplica la matri$ anterior a i$7uierda por lainversa de la matri$ de c!di&o&

E"emlo: Mensa"e a co!ificar: 'vuelvo ma(ana)

Matri$ de c!di&o4 se eli&e cual7uiera 7ue sea invertible4 debe ser conocida por elemisor y el receptor:

ecuencia 7ue le corresponde: *+ *, - ,* *+ ,. */ ,+ , ,- , ,0 ,

Matri$ de c!di&o4 se eli&e cual7uiera 7ue sea invertible 4 debe ser conocida por el

emisor y el receptor

(onstrucci!n de la matri$ A 2tendr- dos filas3:

Multiplicando (A4 se obtiene: @


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l receptor es 7uien recibe esta matri$ y debe conocer la inversa de la matri$ dec!di&o para recuperar el mensaje.

n este caso (B1 entonces al reali$ar el producto ( B1 .@ (B1 . (. A . AA y se recupera el mensaje en forma matricial. s evidente 7ue elreceptor debe conocer tanto la primera fase de la codificaci!n4 es decir 7uen=mero le corresponde a cada letra4 como la se&unda fase4 es decir la matri$ dec!di&o.

Escri1a la !iferencia un escalar y un vector

Cna cantidad escalar es un simple numero como la masa el volumen etc.. tansimple como el n=mero de alumnos de una aula.

Mientras 7ue un vector es una ma&nitud m-s una direcci!n4 por ejemplo eldespla$amiento. e representa con una l;nea y una flec)a4 donde la l;nea indica lama&nitud 2el numero3 y la flec)a la direcci!n.

,& Defina y !e e"emlo

Magnitu! !e un vector

9a ma&nitud de un vector es la distancia entre el punto inicial Py el punto final D . n s;mbolos la ma&nitud de es escrita como

.i las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vectorest-n dadas4 la f!rmula de la distancia puede ser usada paraencontrar su ma&nitud.


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jemplo

Comonente vertical y 2orizontal !e un !e un vector

n &eneral4 las componentes de un vector son otros vectores4 en direccionesperpendiculares. l eje de referencia principal m-s utili$ado es el plano cartesiano.


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e&=n #ste marco de referencia4 las componentes )ori$ontales son vectores endirecci!n al eje ? y las componentes verticales son vectores en direcci!n al eje y.

9as ma&nitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la ma&nituddel vector principal por medio del teorema de pit-&oras4 tomando como catetos lascomponentes4 y como )ipotenusa el vector principal.

9a direcci!n del vector principal relaciona tambi#n a las ma&nitudes de lascomponentes por medio de las relaciones tri&onom#tricas conocidas para untri-n&ulo rect-n&ulo simple. 9as relaciones m-s utili$adas son el seno4 coseno ytan&ente.

jemplo. ncuentre la ma&nitud de las componentes en ? e y del vector 2%.+u460E3.

9a componente en ? se puede encontrar f-cilmente utili$ando la relaci!n delcosena:

esolviendo: (omponente en ? 2%.+ u3>cos260E3 1.,+ u.

e manera similar4 se puede encontrar la ma&nitud de la componente en y pormedio de la relaci!n del senoF pero adem-s se conoce la ma&nitud del vectorprincipal4 lo cual permite utili$ar el teorema de pit-&oras:


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esolviendo:

(omponente en y %.0% u

n &eneral4 las componentes de un vector pueden verse como efectos oproyecciones a lo lar&o de los ejes ? e y. (onsidere el vector V. Podemos escribirlas componentes en ? e y del vector V en t#rminos de su ma&nitud V y sudirecci!n :

B (omponente en ?4 o V? V cos

B (omponente en y4 o Vy V sen

donde es el -n&ulo4 medido en direcci!n anti)oraria4 entre el vector V y el ladopositivo del eje ?.

3eraciones con Vectores or el M%to!o !e lasComonentes

Hste m#todo mejora la precisi!n y la rapide$ al determinar el vector resultante pormedio del conocimiento de las componentes del vectorF adem-s tiene la ventajade sumar o restar dos o m-s vectores a la ve$4 mediante un proceso al&ebraico.

l m#todo consiste en sumar o restar las componentes en ? de los vectoresprincipales4 y el resultado de #sta operaci!n es la componente en ? del vectorresultante.

e i&ual manera4 se operan las componentes en y de los vectores principales y el

resultado es la componente en y del vector resultante.

*btenidas las componentes de la resultante4 se pueden encontrar la ma&nitud4direcci!n y sentido de #ste vector.

(uando una componente4 en ? o en y4 tiene un valor ne&ativo4 el sentido de #sacomponente es contrario a los lados positivos del marco de referencia. Por


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ejemplo4 si una componente en y tiene un valor ne&ativo4 la proyecci!n en el eje yde #se vector apunta )acia abajo.

E"emlo& Calcule la resultante !e las fuerzas $ue se resentan en la figura&

Iote 7ue para los vectores @ y ( no son los 7ue se presentan en la fi&ura4 sino7ue se deben calcular a partir del eje ? positivo 2-n&ulos suplementarios3.

Para el vector @4 180E B '+E 1%+E

Para el vector (4 180E J ++E "%+E

Calculan!o las comonentes en # !e los vectores A4 5 y C:

A? 2"00 I3 cos 2%0E3 1,%."0 I

@? 2%00 I3 cos 21%+E3 B "1".1% I

(? 21++ I3 cos 2"%+E3 B 88.50 I

Calculan!o las comonentes en y !e los vectores A4 5 y C:

Ay 2"00 I3 sen 2%0E3 100 I

@y 2%00 I3 sen 21%+E3 "1".1% I


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(y 21++ I3 sen 2"%+E3 B 1"6.5, I

9ue&o se calcula la fuer$a resultante4 encontrando las componentes de #stafuer$a4 a partir de una simple suma de componentes de fuer$as individuales.

9a Kuer$a esultante K es la suma de las fuer$as individualesF es decir4 de losvectores anteriores:

K? A? J @? J (? 1,%."0 I J 2B "1".1% I3 J 2B 88.50 I3 B 1",.8% I.

Ky Ay J @y J (y 100 I J "1".1% I J 2B 1"6.5, I3 18+.16 I.

i dibujamos esas componentes resultantes4 obtenemos un vector como semuestra en la si&uiente fi&ura:

6a magnitu! !el vector resultante se encuentra or el teorema !e it7goras:

Para el c-lculo del -n&ulo 4 se introduce el valor de un nuevo -n&ulo L4 7ue esa7uel formado por la componente en ? del vector resultante y el vector resultante.

sto se )ace debido a 7ue al utili$ar una funci!n tri&onom#trica 7ue relacione lascomponentes4 #sta es v-lida si y s!lo si la relaci!n es de un tri-n&ulo rect-n&ulo.Para el caso4 al encontrar L4 se puede calcular el valor de 4 as;:


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180E B L

9a funci!n tri&onom#trica 7ue relaciona las dos componentes es la de tan&ente:

Iote 7ue para utili$ar la funci!n tri&onom#trica se deben operar los valoresabsolutos de las ma&nitudes de las componentes4 para 7ue el resultado sea elvalor absoluto del -n&ulo.

9a relaci!n 180E B L es v-lida para los vectores 7ue est#n en el "E cuadrantedel plano cartesianoF si el vector est- en el %E o 'E cuadrante4 se procede as;:

Tercer cuadrante: 180E J L

(uarto cuadrante: %60 E B L

Analizar e"emlo 8 y / ag .,0 !el te#to


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9ealizar los E"erció !e /&0; .,-*+4 *84 *< 4 ++


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Pro!ucto unto entre !os vectores !efinir;Si u = >a,41,? y V = >a*4 1*? son vectores4 entonces su producto punto denotadopor u&v se define como :

u&v a1a" J b1b"

As; 7ue para )allar un producto de u y v se multiplican las componentescorrespondiente y se suman. l producto punto no es vector4 es un n=mero real oescalar.


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E#licar $ue son vectores ortogonales

os vectores son orto&onales o perpendiculares si su producto escalar es cero.


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Descrición:

os vectores u4v'n4 no nulos4 decimos 7ue son orto&onales cuando sonvectores perpendiculares4 es decir4 forman un -n&ulo recto 250E3. Due dos

vectores u4v'n son orto&onales se representa por uv4 es decir:uv50Ecos0

Descritores:

spacio eucl;deo

@lge1ra

E"emlo:

(omprobar 7ue los vectores u 214"3 ' " v 2N"413 ' " son orto&onales.

(alculamos el producto escalar de los dos vectores: u *v 214"3*2N"413 N"J"04como los vectores son no nulos4 el coseno del -n&ulo 7ue forman es cero4 cos04es decir4 el -n&ulo 7ue forman los dos vectores es: 50E

Demostrar $ue v&u u&v cos o

9evisa los e"emlos !e la 7gina .*0 y realizar los e"erció

*


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*& Defina y !ar e"emlo

a; Matriz Cua!ra!a

9a matri$ cuadrada tiene el mismo n=mero de filas 7ue de columnas.

9os elementos de la forma aii constituyen la dia&onal principal.

9a dia&onal secundaria la forman los elementos con iJj nJ1. iendo n el ordende la matri$.

1; Matriz I!enti!a!

Cna matri$ identidad es una matri$ dia&onal en la 7ue los elementos de ladia&onal principal son i&uales a 1.


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i todos los elementos son ceros o nulos e?cepto los 7ue componen sudia&onal principal 7ue )an de ser i&uales a 1:

c; Matriz Bransuesta

ada una matri$ A4 se llama matri$ traspuesta de A a la matri$ 7ue se obtienecambiando ordenadamente las filas por las columnas

3eraciones con matrices

Proie!a!es !e la suma !e matrices

,& Interna

9a suma de dos matrices de orden m ? n es otra matri$ dimensi!n m ? n.

*& Asociativa

A J 2@ J (3 2A J @3 J (

+& Elemento neutro

A J 0 A


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onde * es la matri$ nula de la misma dimensi!n 7ue la matri$ A.

0& Elemento ouesto

A J 2NA3 *

9a matri$ opuesta es a7uella en 7ue todos los elementos est-n cambiados desi&no.

-& Conmutativa

A J @ @ J A

Suma y !iferencia !e matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de matrices

Mm x n x Mn x p = M m x p


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Matriz inversa

A · A - 1 = A - 1 · A = I

(A · B) - 1 = B - 1 · A - 1

(A - 1) - 1 = A

(k · A) - 1 = k - 1 · A - 1

Cálculo de la matriz inversa

Ejercicios


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ean la matrices:

!"ectuar las si#uientes $peraci$nes:

(A + B) %; (A - B) %; (B) &; A · B t · C'


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Dadas las matrices:

1usti"icar si s$n p$siles l$s si#uie ntes pr$duct$s:

1(A t · B ) · C

(A t 3 x 2 · B2 x 2 ) · C3 x 2 = (A t · B )3 x 2 · C3 x 2

*$ se puede e"ectuar el pr$duct$ p$rue el n,mer$

de c$lumnas de

(A t · B ) n$ c$incide c$n el n de "i las de C'

%(B · C t ) · A t

(B2 x 2 · C t 2 x 3 ) · A t 3 x 2 = (B · C )2 x 3 · A t 3 x 2 =


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=(B · C t · A t ) % x %

*& Determinar la !imensión !e M ara $ue ue!a

efectuarse el ro!ucto A · M · C

A3 x 2 · Mm x n · C3 x 2 m = %

&'Determina la dimensi.n de M para ue C t · M sea una

matri/ cuadrada'

C t 2 x 3 · Mm x n m = & n = &

De$strar ue: A% - A - % I = 0 siend$:

Sea A la matriz . Hallar An , para n


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Por qué matriz a! que premultipli"ar la matriz

para que re#ulte la matriz .

2allar la matri/ in3ersa de:


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Calcular el ran#$ de las si#uientes matrices:

$2$=2 %&


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r(A) = %

r(B) = 4


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!liminam$s la tercera c$lumna p$r ser nula la

cuarta p$r ser pr$p$rci$nal a la primera 5 la

uinta p$rue c$minaci.n lineal de la primera 5

se#unda: c6 = -% · c1 + c%

r(C) = %

Determinante !e una matriz

Definición ,

s una funci!n 7ue asi&na a cada matri$ cuadrada un n=mero real.

Definición ,&*

l determ!nante es una un!n .ue le as!gna a una matr!/ deorden n, un n!o nmero real llamado el determ!nante de lamatr!/ ! 3 es una matr!/ de orden n, el determ!nante de la

matr!/ 3 lo denotaremos "or det(A) o tamb!4n "or (las barrasno s!gn!an alor absoluto)


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jemplo 1

9egla !e Cramer

9a re&la de (ramer es un teorema en -l&ebra lineal4 7ue da la soluci!n de unsistema lineal de ecuaciones en t#rminos de determinantes. ecibe este nombreen )onor a Gabriel (ramer 21,0' B 1,+"34 7uien public! la re&la en su ntroduction

O lanalyse des li&nes courbes albri7ues de 1,+04 aun7ue (olin Maclaurintambi#n public! el m#todo en su Treatise of Geometry de 1,'8 2y probablementesab;a del m#todo desde 1,"53 9a re&la de (ramer es de importancia te!ricapor7ue da una e?presi!n e?pl;cita para la soluci!n del sistema. in embar&o4 parasistemas de ecuaciones lineales de m-s de tres ecuaciones su aplicaci!n para laresoluci!n del mismo resulta e?cesivamente costosa: computacionalmente4 esineficiente para &randes matrices y por ello no es usado en aplicaciones pr-cticas7ue pueden implicar muc)as ecuaciones.

órmulas e#lcitas ara sistemas e$ue(os

Sistema !e * ecuaciones con * incógnitas

Para la resoluci!n de un sistema de dos ecuaciones con dos inc!&nitas4 de la forma. ado el

sistema de ecuaciones:

9o representamos en forma de matrices:

ntonces4 e pueden ser encontradas con la re&la de (ramer4 con una divisi!n de

determinantes4 de la si&uiente manera:


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Sistema !e + ecuaciones con + incógnitas

9a re&la para un sistema de tres ecuaciones con tres inc!&nitas es similar4 con una divisi!n de

determinantes:

Due representadas en forma de matri$ es:

4 4 pueden ser encontradas como si&ue:

Matriz inversa +#+ y *#*

e llama matri$ inversa de una matri$ cuadrada A4 y se e?presa A

B1

4 a la =nica matri$7ue cumple 7ue:

A·A-1 = I = A-1·A

s decir4 la matri$ inversa de A es la =nica matri$ 7ue al multiplicarla por ellaobtenemos la matri$ identidad del orden correspondiente.


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9a matri$ inversa no siempre e?iste4 para 7ue e?ista4 es condici!n necesaria ysuficiente 7ue el determinante de la matri$ sea distinto de cero:

Aun7ue e?iste otro procedimiento para calcular la inversa a trav#s detransformaciones elementales 2 m#todo de Gauss34 la formula con la 7ue secalcula la matri$ inversa es:


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!7empl$ %x%

E"emlo +#+


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Solución !e sistema or gaus y gauss "or!an

Método de Gauss

l m4todo de auss, ono!do tamb!4n omo de tr!angula!n o deasada, nos "erm!te resoler s!stemas de eua!ones l!neales onual.u!er nmero de eua!ones y de !ngn!tas

8a !dea es muy s!m"le "or e:em"lo, "ara el aso de un s!stema detres eua!ones on tres !ngn!tas se trata de obtener un s!stemae.u!alente uya "r!mera eua!n tenga tres !ngn!tas, lasegunda dos y la terera una e obt!ene as; un sistematriangular o en asada de la orma<

3x + y + >z = ?y + @z =

Az = B

:em"lo<

x1+2 x

2+3 x

3=6

2 x1−3 x

2+ x

3=14

3 x1+ x

2− x

3=−2 }sistema de ecuaciones

Ceal!/amos o"era!ones de la

(1 2 32 −1 23 1 −1|

6

14

−2) ≈

f 3

← f 3−3 f

1

f 2

← f 2−2 f

1

(1 2 30 −7 −40 −5 −10|

6

2

−20) ¿

f 3

←(−1

5) f

3

(

1 2 3

0 −7 −4

0 1 2

|

6

2

4

) ≈

f 3

↔ f 2

(

1 2 3

0 1 2

0 −7 −4

|

6

4

2

) ≈

f 3

← f 3+7 f

1

(1 2 30 1 20 0 10

| 6430

) ≈

f 3

←( 1

10) f

3(1 2 3

0 1 2

0 0 1|64

3)


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8a ult!ma matr!/ esta en orma esalonada "or las, (m4todo degauss), lo ual s!gn!a .ue<

x3=3 ; x

2=4 ; x

1=−2

Método de Gauss-Jordan

ste m4todo, .ue onst!tuye una ar!a!n del m4todo deel!m!na!n de auss, "erm!te resoler Dasta 15 o 20 eua!oness!multEneas, on % o 10 d;g!tos s!gn!at!os en las o"era!onesar!tm4t!as de la om"utadora ste "roed!m!ento se d!st!ngue

del m4todo auss!ano en .ue uando se el!m!na una !ngn!ta, seel!m!na de todas las eua!ones restantes, es de!r, las .ue"reeden a la eua!n "!ote as; omo de las .ue la s!guen

l m4todo se !lustra me:or on un e:em"lo Cesolamos els!gu!ente on:unto de eua!ones

0 F1 - 01 F2 - 02 F = 7%500

01 F1 + 70 F2 - 0 F = - 19

0 F1 - 02 F2 + 10 F = 71&000Gr!mero eH"resemos los oe!entes y el etor de t4rm!nos!nde"end!entes omo una matriz aumentada

e normal!/a el "r!mer rengln d!!d!endo entre "ara obtener


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l t4rm!no X 1 se "uede el!m!nar del segundo rengln restando 0.1 ees el "r!mero del segundo rengln ?e una manera s!m!lar,restando 0.3 ees el "r!mero del terer rengln se el!m!na elt4rm!no on X 1 del terer rengln

n segu!da, se normal!/a el segundo rengln d!!d!endo entre7.00333<

Cedu!endo los t4rm!nos en X 2 de la "r!mera y la terera eua!nse obt!ene<

l terer rengln se normal!/a d!!d!endolo entre 10.010<

@!nalmente, los t4rm!nos on X 3 se "ueden redu!r de la "r!mera ysegunda eua!n "ara obtener


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Itese .ue no se nees!ta sust!tu!n Da!a atrEs "ara obtener lasolu!n

8as enta:as y desenta:as de la el!m!na!n gauss!ana se a"l!antamb!4n al m4todo de auss-Jordan

3un.ue los m4todos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss "ueden "areer as! !d4nt!os, el "r!mero re.u!erea"roH!madamente 50K menos o"era!ones Gor lo tanto, lael!m!na!n gauss!ana es el m4 todo s!m"le "or eHelen!a en laobten!n de solu!ones eHatas a las eua!ones l!nealess!multEneas Lna de las "r!n!"ales ra/ones "ara !nlu!r el m4todode auss-Jordan, es la de "ro"or!onar un m4todo d!reto "araobtener la matr!/ !nersa

C!"E!# P$$ %$&&$ '#&(C!#)E'(na vez aplicado Gauss o Gauss-Jordán

"iene soluci*n +nica si el n+mero de ecuaciones validas es

igual al n+mero de inc*gnitas, "iene innitas soluciones si el n+mero de ecuaciones validas

es menor al n+mero de inc*gnitas, )o tiene soluci*n si el n+mero de las no nulas de la matriz

ampliada y el de la matriz de coecientes son di.erentes,

$plicamos Gauss / Jordán

(1 1 11 1 11 1 1

|111)

≈

f 3

← f 3−f

1

f 2

← f 2−2 f

1

(1 1 10 0 00 0 0

|100)∴∃∞ soluciones

Como se escri0en las innitassoluciones

Ejemplo1


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Seael sistema

de ecuaciones{ x−2 y+ z=o x−3 y−2 z=02 x−5 y− z=0

det ( A )=

|1 −2 1

1 −3 −22 −5 −1|

=0 ,∴∃∞soluciones yaque

esun sistema homogé neo

esoluci*n por Gauss- Jordan

(1 −2 11 −3 −22 −5 −1|

0

0

0)

≈

f 2

← f 2−f

1

f 3

← f 3−2 f

1

(1 −2 10 −1 −30 −1 −3|

0

0

0) ¿f 3 ← f 3−f 2

(1 −2 1

0 −1 −30 0 0

|0

00

)∴∃∞ soluciones

Ecuaciones{ x=−7 z y=−3 z

CS={( x , y , z ) ¿ x=−7 z y=−3 z}∴CS={(−7 z ,−3 z , z ) ¿ z∈ R }

Ejercicios tipo examen1

2eterminar para 3ue valores de , ! existe1

a ∃" soluc

b ∃∞soluc

∃ soluc

Seael sistema

de ecuaciones

{

x1−2 x

2+0 x

3=

0 x1+0 x

2+ ! x

3=2

0 x1+0 x2+ x3=−3

(1 −2 00 0 !0 0 1

| 2−3) ≈f 3 ↔ f 2(1 −2 00 0 1

0 0 !| −3

2 )


39/44

¿f

3← f

3− ! f

2(1 −2 00 0 1

0 0 0| −32+3 !)

¿ A

1|¿|=0#∃" soluc¿2¿

Si ! $−2

3,∀ ∈ R # ∃ soluc

∴ {¿3¿Si !=−2

3,∀ ∈ R #∃∞ soluc¿

?eterm!nar los alores de MaN "ara .ue el s!stema

{(2 a+2) x+(a−1 ) y+(a+3) z=−2

+(a−1 ) y−(a−1 ) z=02 x+ y− z=−1

a Oenga solu!n n!a Aallarlasb Oenga ms de una solu!n Aallarlas Io tenga solu!ones

(2 a+2 a−1 a+3 ⋮−20 a−1 −(a−1) ⋮ 02 1 −1 ⋮−1 )

| A|=|2 a+2 a−1 a+30 a−1 −(a−1)2 1 −1 |

| A|=2 a+2|a−1 −(a−1)

1 −1 | +2 |a−1 a+3a−1 −(a−1)|

| A|=2a+2 [−a+1+a−1 ] +2 [−(a−1) (a−1 )−(a+3 )(a−1)]

| A|=¿ 2 (a−1 ) [−(a−1)−(a+3 ) ]


40/44

| A|=−4 (a−1 )(a+1)

(a−1 )(a+1)$ 0

∴∃ "solucion ∀ a∈ R− {−1,1 }

%a&aa=−1

(0 −2 2⋮−20 −2 2 ⋮ 02 1 −1 ⋮−1)

' 3

↔ ' 1(2 1 −1 ⋮−10 −2 2 ⋮ 0

0 −2 2⋮−2 ) ≈ ' 3= ' 3− ' 2(2 1 −1 ⋮−10 −2 2 ⋮ 00 0 0 ⋮−2 )

∴ %a&a a=−1∄ solucion

%a&aa=1

(

4 0 4 ⋮−20 0 0⋮ 0

2 1 −1⋮−1

) '

2↔ '

3

(

4 0 4 ⋮−22 1 −1⋮−1

0 0 0 ⋮0

)

≈

' 1=

1

4

' 1

(1 0 1⋮−

1

2

2 1 −1 ⋮−10 0 0 ⋮ 0

)


41/44

¿≈

' 2=¿ '

2−2 '

1

(

1 0 1⋮−1

2

0 1 −3⋮ 0

0 0 0 ⋮0

)

x+ z=

−12

y−3 z=0

∴ %a&a a=1∃∞ soluciones

C,',4

x , y , z¿¿¿¿

C,',4

, 3 z , z

−12

− z¿

¿¿¿

?eterm!nar los alores de MmN "ara .ue el s!gu!ente s!stema

{(2 m+2 ) x+(m−1 ) y+(m+3 ) z=2 m+2

+(m−1 ) y−(m−1 ) z=0mx+ y− z=m+1

a Oenga solu!n n!a Aallarlasb Oenga mEs de una solu!n Aallarlas

Io tenga solu!ones

(2 m+2 m−1 m+3 ⋮ 2 m+20 m−1 −m+1 ⋮ 0m 1 −1⋮ m+1 )


42/44

| A|=|2 m+2 m−1 m+30 m−1 −m+1m 1 −1 |

| A|=2 m+2|m−

1

−m+3

1 −1 |+m

|m−

1 m+

3

m−1 −m+1|

| A|=2 m+2 [−m+1−1+m ]+m [ (m−1) (1−m )−(m+3 )(m−1)]

| A|=m ( m−1 ) [−2m−2 ]

| A|=−2m (m−1 )(m+1)

−2 m (m−1 )(m+1)$ 0

∴∃ "solucion ∀m∈ R−{−1,0,1}

%a&am=1

≈¿

(4 0 4 ⋮ 4

0 0 0 ⋮0

1 1 −1⋮ 2) ' 2 ↔ ' 3(4 0 4 ⋮ 4

1 1 −1 ⋮20 0 0 ⋮ 0

) ¿

' 1=¿

1

4

' 1(1 0 1 ⋮11 1 −1⋮ 20 0 0 ⋮0

) ≈ ' 2=¿ ' 2− ' 1

(1 0 1 ⋮1

0 1 −2 ⋮10 0 0 ⋮ 0 ) x+ z=1 y−2 x=1∴ %a&a m=1∃∞ soluciones


43/44

C,',4

x , y , z¿¿¿¿

C,',4

1− z ,1+2 z , z¿¿¿¿

%a&am=0

(2

−1 3 ⋮ 2

0 −1 1 ⋮ 00 1 −1 ⋮ 1)

≈ '

3= '

3+ '

2(2

−1 3 ⋮ 2

0 −1 1 ⋮ 00 0 0⋮ 1)

∴ %a&am=0∄ solucion

%a&a m=−1

( 0 −2 2⋮ 00 −2 2⋮ 0−1 1 −1⋮ 0)

' 3

↔ ' 1(−1 1 −1⋮ 00 −2 2⋮ 0

0 −2 2⋮ 0 ) ≈ ' 3= ' 3− ' 2(−1 1 −1⋮ 0

0 −2 2⋮ 00 0 0⋮ 0

) ≈

' 2=−1

2

' 2

(−1 1 −1 ⋮ 00 1 −1 ⋮ 00 0 0⋮ 0

) ≈ ' 1= ' 1− ' 2(−1 0 0 ⋮0

0 1 −1⋮ 00 0 0 ⋮0

) − x=0 y− z=0


44/44

C,',4

x , y , z¿¿¿¿

C,',4

0 , z , z¿¿¿¿

Documents

Trabajo Final Pre Cálculo