Republica Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación

Universidad Nacional Experimental De Los Llanos Occidentales Ezequiel Zamora

San Carlos Cojedes

ESTÁTICA APLICADA“Ingeniería civil”

Integrantes

Sección # 01

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Contenido

1 Introducción………………………………………….……………....…. . pág. 03

2 Estabilidad y grado de libertad de una estructura con respecto a los apoyos

cuando se considera un cuerpo monolítico rígido………………….….. ……….… pág. 04

3 Estabilidad y grado de determinación de estructura………………..............…pág. 06

3.1.- Estabilidad y grado de determinación generales de vigas:………………..… pág. 06

3.2.- Estabilidad y grado de determinación generales en cerchas y Armadura..

……..…………………………………………………………………….……………….. pág. 09

4 Análisis de pórtico rígido de estáticamente determinado………….……………... pág. 12

5 Análisis determinado de estructura estáticamente indeterminado….…………….. pág. 14

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Introducción

Con este trabajo se pretende investigar y tener conocimiento sobre la teoría de la estabilidad y grado de libertad de una estructura con respecto a los apoyos cuando se considera un cuerpo rígido monolítico para el desarrollo y análisis de la estructura en todo sentido en la ingeniería civil como un análisis de la estáticamente determinada también se estudiara los análisis de pórtico rígido de estáticamente determinado como el análisis determinado de estructura estáticamente indeterminado una definición de estructura puede ser algo que está construido. Las principales estructuras con la que trabaja el ingeniero civil son: puente, edificios, muro, presas, torres, cascaras. Tales estructuras se componen de unos o más elementos resistentes dispuestos de tal manera que tanto la estructura total como sus componentes sean capaces de mantenerse sin cambios apreciable en su geometría durante la carga y la descarga y debe cumplir algunas condiciones como

La estructura debe cumplir los requisitos de funcionalidad La estructura debe soportar la carga en condiciones segura

Estabilidad y grado de libertad de una estructura con respecto a los apoyos

cuando se considera un cuerpo monolítico rígido

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Cuando se proyecte una estructura debe tenerse cuidado con el número y disposición de los apoyos relacionados directamente con la estabilidad estática y grado de determinación de la estructura. En esta forma no habrá condiciones internas involucradas, y la estabilidad y grado de determinación de la estructura serán juzgadas solamente por la estabilidad y grado de determinación de los apoyos.

1.- Dos elementos de reacción proporcionados por los apoyos, tales como dos fuerzas cada uno con punto de aplicación y dirección definidos, no son suficientes para garantizar la estabilidad de un cuerpo rígido, debido a que los dos únicamente pueden ser colineales, paralelos o concurrentes. En cada uno de estos casos, la condición de equilibrio se infringe no por causa de falta de resistencia de los apoyos sino, por número insuficiente de elementos de apoyo. Esto se conoce como Inestabilidad Estática.

Si dos fuerzas de reacción son colineales, como se muestra en la figura (a) no pueden resistir una carga externa que tenga componente normal a su línea de acción. Si son paralelas, figura (b) no pueden evitar el deslizamiento lateral del cuerpo. Si son concurrentes figura (c) y (d), no pueden resistir el momento respecto del punto de concurrencia producido por cualquier fuerza que no pase por 0.

En los casos anteriores no se satisface algebraicamente una de las condiciones de equilibrio. En la figura (a) y (b) la condición ∑Fx=0 no se cumple (x indica la dirección normal a la línea de reacción) mientras que en la figura (c) y (d) la condición ∑M0= 0 no se cumple. El cuerpo por tanto, no está en equilibrio y se dice que es inestable

El cuerpo puede restra estable solamente bajo condiciones muy estable de carga. En el caso de la figura (a) las cargas aplicadas que actúan sobre el cuerpo están entre si en

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equilibrio, no requiriéndose entonces reacción alguna. En el caso (b) la carga aplicada tiene la misma dirección que las reacciones, de tal manera que el equilibrio puede mantenerse para el sistema de fuerzas paralelas y en lo casos (c) o (d) la carga aplicada pasa atreves del punto de concurrencia 0 de las reacciones; luego los equilibrios puede también lograrse

Aquellas estructuras, estables bajo condiciones especiales de carga, pero inestable bajo condiciones generales de carga, se dice que están en un estado de equilibrio inestable y se clasifican como estructura inestable.

2.- Para que un cuerpo este en equilibrio estable son necesario por los momentos tres elementos de reacción como aparece en la siguiente figura.

El cuerpo rígido está sujeto por los tres elementos de reacción que pueden calcularse mediante las tres ecuaciones disponibles de equilibrio. Si las tres ecuaciones de equilibrio, ∑Fx=0 , ∑Fy=0 y ∑M=0, se satisfacen para las cargas y reacciones que actúan sobre el cuerpo, respectivamente, se garantiza que el cuerpo no podrá moverse ni horizontal ni verticalmente, ni rotar. En este caso se dice que el sistema es estáticamente estable y determinado

3.- Si hay más de tres elementos de reacción, como en los casos mostrados a continuación el cuerpo necesariamente es más estable, debido a las sujeciones adicionales. Como el número de incógnitas de reacción es mayor que el número de ecuaciones del equilibrio estático, el sistema es estáticamente indeterminado con respecto a las reacciones de apoyos.

4.- el hecho de que el número de elemento de reacción por lo menos sea igual a tres, es una condición necesaria, pero no suficiente, para que la estructura sea

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externamente estable. Hay muchos casos en que no son estable respecto al sistema de apoyo a un teniendo tres o más elementos de reacción. En las líneas de acción de las reacciones son todas paralelas como se muestra en la siguiente figura (a) el cuerpo es inestable por qué no puede oponerse al desplazamiento horizontal. En la figura (b) caso donde las líneas de acción de los tres elementos de reacción concurrentes inicialmente en el punto 0. El sistema es también inestable aunque probablemente no se producirá el colapso, porque al producirse una pequeña rotación alrededor de 0 causada por le momento de cualquier fuerza que no pase por dicho punto, esta rotación cesara cuando las tres líneas de acción de las reacciones formen el triangulo rayado indicado en la figura. La inestabilidad mencionada anteriormente, que resulta de una disposición inadecuada de los apoyos, se conoce como inestabilidad geométrica externa.

Estabilidad y grado de determinación de estructura

Debe juzgarse tanto por el numero y disposición de los apoyos como por el numero y disposición de sus elementos y las uniones de las estructura. Se determina por simple inspección o por medios de formulas.

1.- Estabilidad y grado de determinación generales de vigas:

Se construye sin ninguna unión interna (articulación interna, apoyo de rodillo o pendular) , la viga completa puede considerarse como un cuerpo rígido monolítico colocado sobre un numero cualquiera de apoyos y la cuestión de la estabilidad y grado de determinación de la viga se basa únicamente en el numero y disposición de los apoyos. Supongamos que se introduce una articulación en una viga estable y estáticamente determinada como se muestra a continuación en la figura (a) o (b). la viga en todo caso se hará evidentemente inestables bajo un sistema general de cargas como resultado de una rotación relativa entre las partes de la izquierda y la derecha de la articulación interna,

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como se muestra en la figura (c) y(d) como la articulación no tiene capacidad de resistir un momento, se impone una condición restrictiva a las fuerzas externas actuantes sobre la estructura esto es de construcción. Esto significa que el número de incógnitas de reacción es uno menos que el número de ecuaciones independientes de la estática disponibles para su solución. La viga es inestable, a menos que proveamos por lo menos un elemento adicional de reacción tal como el apoyo de rodillos mostrado en la figura (e) y (f) lo que hace el número total de incógnitas sea igual al número de ecuaciones independiente de la estática necesarias para determinar los elementos de reacción. Si esto se hace la viga recuperara el estado de estabilidad y determinación estática.

El cumplimiento de la condición de H=0 para la porción de la estructura a cualquier lado del apoyo pendular evita el movimiento en la dirección normal a este de una porción de la estructura con relación a la otra. El cumplimiento de la condición M=0 para la porción de la estructura a cualquier lado del apoyo pendular asegura que dichas porciones no rotaran alrededor de sus pasadores.

En la siguiente figura (a) y (b) encontramos que en cada caso hay tres elementos de reacción proporcionados por el sistema de apoyos, mientras que hay cinco condiciones de la estática que los limitan: tres de equilibrio y dos de construcción. Puesto que el numero de ecuaciones de la estática para determinarlos, la viga es entonces, bastante inestable a menos que proveamos un mínimo de dos elementos adicionales de reacción, tal como el apoyo articulado mostrado en la figura (c) y (d) para compensar el exceso de ecuaciones. Con esto la viga recuperara su estado estable y estéticamente determinado

Hay vigas en las cuales el número de elementos de reacción es mayor que el número total de ecuaciones independientes proporcionado por la estática. Las vigas se clasifican

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entonces como estáticamente indeterminadas o hiperestáticas; y el número de incógnitas en exceso indica el grado de indeterminación.

En la figura (b) la viga será aparentemente estáticamente determinada. Sin embargo al aplicar una carga se producirá un desplazamiento inicial que no será resistido eleáticamente por la estructura. En tal caso la viga es inestable no por causa de apoyos inadecuados si no por una disposición inadecuada de sus dos partes. Esto se conoce como inestabilidad geométrica interna muy a menudo en estos casos la estructura se derrumba. En el caso presente no ocurrirá el colapso de la estructura: la viga quedara en una posición de reposos como la indicada por la línea de trazos en la figura (b)

El criterio para la estabilidad y grado de determinación de la viga es:

Si designamos por r el numero elementos de reacción y por c el numero de ecuaciones de condición (c=1 para una articulación; c=2 para un apoyo móvil; c=0 para una viga sin uniones intermedias)

a.- Si r< c + 3, la viga es inestable

b.- Si r = c +3, la viga es estáticamente determinada siempre y cuando no exista inestabilidad geométricamente (interna o externa)

c.- Si r > c +3, la viga es estáticamente indeterminada

Ejemplos:

2.- Estabilidad y grado de determinación generales en cerchas y armadura

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Una cercha está compuesta por un numero de barras unidas con sus extremos mediante pasadores formando una red formada normalmente por una serie de triángulos y montada sobre un numero de apoyos , tal como se muestra en la siguiente figura (a). Cada barra de una cercha es un elemento sometido a dos fuerzas; de tal manera que cada una representa una incógnita de fuerza interior. El número total de elementos desconocidos del sistema completo es igual al número de barras (internas)

1.- Si b + r < 2j, el sistema es inestable

2.- Si b + r = 2j el sistema es estáticamente determinado siempre que sea también

estable

3.- Si b + r > 2j el sistema es estáticamente indeterminado

El cumplimiento de la condición b + r ≥2j no asegura que la cercha sea estable. Para que sea estable se requiere el cumplimiento de más condiciones.

a.- El valor de r debe ser igual o mayor que el de tres requerido para la estabilidad estática de los apoyos y barras

b.- No debe haber una disposición inadecuada en los apoyos y barras para evitar a las ves inestabilidad geométrica externa e interna. Básicamente, una cercha estable puede obtenerse partiendo de tres barras unidas por medios de separadores en sus extremos, formando un triangulo y ampliarse a partir de este añadiendo dos nuevas barras por cada nudo nuevo como se indica en la figura (a) puesto que esta cercha satisface b + r = 2j(b=13,r=3, j=8) tendremos una estructura estáticamente determinada.

Supongamos que la forma de esta cercha se cambia como se muestra en la siguiente figura. El número de barras y nudos permanecen constantes la ecuación de condición de estabilidad continua cumpliéndose. Pero es geométricamente inestable, porque no hay una barra que soporte la fuerza vertical (cortante) en el tramo donde se omitió la diagonal

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En la siguiente figura se muestra una armadura de puente de gran luz, que puede considerare compuesta de tres cerchas rígidas unidas por la articulación A y el apoyo pendular BC, montada sobre cuatro apoyos. Etas uniones no son completamente rígidas, introduciéndose por tanto, algunas ecuaciones de condición que han de cumplir las fuerzas externas aplicadas sobre la estructura. En este caso la articulación en A proporciona una ecuación de condición MA = 0. La cual indica que el momento respecto de A de las fuerzas aplicadas a la izquierda, o a la derecha de ese punto, debe ser cero. El tirante BC (apoyo pendular), proporciona dos ecuaciones de condición MB =0 (o MC=0) y H =0, las cuales implican que el momento respecto de B( o C) de las fuerzas colocadas a cualquier lado de

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B (o C) debe ser 0 y también que la suma de las fuerzas horizontales tomadas a cualquier lado del tirante deben ser cero, ya que este es incapaz de resistir fuerzas horizontales.

La estabilidad y grado de determinación de la cercha puede investigarse en primer lugar contando el número de barras, nudos y elementos de reacción. Se encuentra que la ecuación b + r =2j se satisface en la cercha, puesto que b=40, r=6 y j=23. En esta forma la condición necesaria para que el sistema sea estáticamente determinado se cumple.

c.- Estabilidad y grado de determinación generales de pórtico rígidos

Los criterios para que la estabilidad y grado de determinación de un pórtico rígido se establecen comparando el número de incógnitas (3b + r) con el número de ecuaciones independientes (3j + c):

1.- Si 3b + r < 3j + c, el pórtico es inestable

2.- Si 3b + r = 3j + c, el pórtico es estáticamente determinado, siempre que sea a la vez estable.

3.- Si 3b + r > 3j + c, el pórtico es estáticamente indeterminado

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Otra forma de resolver fácilmente es por una simple inspección cortando los elementos del pórtico y descomponiendo la estructura en varias más simples.

Supónganse que deseamos análisis el grado de indeterminación del pórtico de la siguiente figura (a), el mejor enfoque del problema consiste en cortar como se indica en la figura (b), en tal forma que la estructura queda separada en tres partes estáticamente determinadamente y estables. El numero de ligaduras hechas desaparecer para lograr este resultado nos da el grado de indeterminación del pórtico. Como cada corte lleva consigo tres elementos internos desconocidos, el número total de ligaduras internas removidas en cuatro cortes será (4)(3)=12; el pórtico es estáticamente indeterminado de duodécimo grado

Análisis de pórtico rígido de estáticamente determinado

Generalmente se construyen los pórticos con un alto grado de indeterminación estática. Para analizar un pórtico estáticamente determinado, se empieza por obtener los componentes de las reacciones partiendo de las ecuaciones de la estática aplicadas a la estructura completa. Hecho esto se pueden determinar la fuerza cortante, el momento y la fuerza axial en cualquier sección del pórtico, tomando el sólido aislado separado por esta sección y aplicando las ecuaciones de equilibrio. Tomando como eje de abscisa el eje central de cada barra, se pueden dibujar los diagramas de las fuerzas cortantes, el momento flector, y la fuerza axial para el pórtico rígido. Sin embargo, es el diagrama de momento flector el que más nos interesa en el análisis de pórtico rígido.

Ejemplo:

Estudiar el pórtico rígido simplemente apoyado de la figura (a) llamemos Ha y Ba´

respectivamente, a los componentes horizontal y vertical de la reacción en el apoyo a, y Vd

la reacción vertical en el apoyo d. de ∑Fx = 0, se encuentra que Ha = 10 Klb; de ∑ Md = 0, Va = 5 Klb, y de ∑Fy = 0, ∑ Vd = 15 Klb, como se in deca en la figura (a).

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Después de determinar todas las fuerzas externas aplicadas sobre el pórtico puedan determinarse fácilmente todas las fuerzas internas en cada uno de los extremos de la barra, como se representan en la figura (b). Tómese la barra ab,

Por ejemplo. En el extremo b se encuentra que la la fuerza cortante es igual a cero al aplicar ∑ F x = 0 en la barra ab como solido aislado; la fuerza axial es iguala a 5Kbl (hacia abajo) de ∑F y = 0, y el momento resistente es igual a 50 ft-Klb (sentido anti horario), de ∑ Mb =0.

El diagrama del momento flector de cada barra puede dibujarse entonces, como se indica en la figura (c), aplicando el método de superposición, como se describió para la viga simple. Obsérvese que la el momento positivo se dibuja por el lado comprimido de la barra.

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Análisis determinado de estructura estáticamente indeterminado

Sin importar si una estructura es estáticamente determinada o indeterminada, su análisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones:

1.- Ecuaciones de Equilibrio.

2.- Condiciones de Compatibilidad.

3.- Relaciones de fuerza. Deformación de los miembros.

.- Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actúan sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa así como sus partes permanezcan en equilibrio.

.- Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.

.- Las relaciones de fuerza -  deformación en los miembros, las cuales comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.

En el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjunción con las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como incógnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformación de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en términos de los desplazamientos desconocidos o viceversa.

Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo contiene un tipo de  incógnitas, para las fuerzas o desplazamientos desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones fundamentes para determinar las características restantes de respuestas de la estructura.

Para facilitar el análisis y aplicación de los conceptos introducidos en los párrafos anteriores estudiaremos paso a paso el Grado de Indeterminación Estática de la siguiente Figura:

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Se = 2-1 = 1

Se = 2-1 = 1

Si = 3-1 = 2Si = 2-1 = 1

Área (1)

Área (2) Área (3)

Paso 1: Deben identificarse las chapas que conforman la estructura, recordando que en los nodos articulados que representan las uniones de estas chapas se producen las Ecuaciones de Condición Externa Se que se determinan a partir de la expresión (11) para cada nodo como se muestra en la siguiente Figura. Las reacciones se obtienen aplicando la expresión (3).

Paso 2: Deben identificarse áreas cerradas conformadas por los elementos estructurales, recordando que en los nodos articulados de dichas áreas se producen las Ecuaciones de Condición Interna Si que se determinan a partir de la expresión (12) para cada nodo articulado (Ver Figura ).

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R = 3 x 1 + 2 x 1 + 1 x 1 = 6 (3)

Figura. Estructura para analisis de Indeterminación Estática.

Figua Identificación de Chapas y Calculo de las Se.

Figura Identificación de las Areas Cerradas y Calculo de las Si.

biela

Se= 1

Se= 1

Se= 1

Se= 1Se= 2

Se= 2

biela

1

2 3 4

5

6

7

Paso 3:

Se determinan GIET, GIEE y GIEI aplicando las expresiones (8), (13) y (14).

Ejemplo:

Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de las estructuras estables indicada en la siguiente Figura

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Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se.

Figura

GIEE=R−3−Se=6−3−2=1GIEI=3×A−Si=3×3−3=6GIET=GIEI+GIEE=6+1=7Estructura Estaticamente INDETERMINADA de grado 7

Si= 3

(1)

Si= 2 Si= 3

Si= 1 Si= 2 Si= 4 Si= 2Si= 1

Si= 1Si= 2

Si= 3

Si= 3

Si= 2Si= 1

Si= 1

(2)(3)(4)

(5)(6)

(7)(8)

(9)(10)(11)

(12)

GIEE=R−3−Se=14−3−8=3GIEI=3×A−Si=3×12−31=5GIET =GIEI+GIEE=5+3=8Estructura Estaticamente INDETERMINADA de grado 8

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Identificar los nodos articulados que representan unión entre elementos de una misma chapa que forman áreas cerradas para determinar los Si.

Calculamos la Indeterminación Estática Interna, Externa y Total.