TRABAJO COLABORATIVO

ALGEBRA

CAROLINA BERMEO

ROCIO DEL CARMEN MUÑOZ

JAIRO ALEJANDRO RUIZ

TUTOR:

RUBERNEY RAMOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

CEAD PITALITO

21 de Marzo de 2012

Introducción

En el siguiente trabajo encontramos una serie de ejercicios basados en

ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones, lo cual nos ha permitido

recordar conceptos fundamentales y ejercitar, formular y graficar diferentes

ejercicios, tanto con ecuaciones como con sistemas de ecuaciones e

inecuaciones. También a partir de este trabajo podemos ejercitar la memoria

lógica y adquirir nuevas habilidades en la resolución de problemas de ocurrencia

frecuente.

Esperamos que a partir de este podamos proyectarnos hacia la resolución de

nuevos problemas de mayor complejidad que comprendan estos esquemas o

esquemas similares

Objetivos

Desarrollar ejercicios de Algebra, trigonometría y Geometría que permitan la

familiarización con este tipo de problemas.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por los cinco métodos vistos (gráfico, algebraicos (3) y determinantes):

a. 4 y=5 y 9 x+8 y=13

SUSTITUCION

a). 7x - 4y = 5 y 9x † 8y = 13 y = 7x † 5 9x † 8 y = 13 9x†8(-7 x†5) =13 9x-56x†4= 13 47x = 13 -4 X= 9 47

X= 5.2

7x – 4y = 57(52) – 4y =536.5 – 4y = 5 4y = 36 5 4Y = 9.1

IGUALACION

7X - 4Y = 5 Y X9 X † 8Y = 13 7X = 5† 4Y 9 X = 13- 8Y 5† 4YX = 13- 8Y 7 95† 4Y = 13 -8Y7x – 4Y = 5 7 9 7X – 4(2) = 5 7 X – 8 = 5

X = 13 7

9(5† 4Y) = 7(13 – 8 Y) 45 † 36 Y = 91 – 56 Y 35 Y † 56 Y = 91 – 4591 Y = 46 92

Y = 2

DETERMINANTES

7X – 4Y = 5 Y 9X† 8Y = 13 9X † 89 = 13

X 5 – 4 13 8 = 40 – ( - 52 ) = 92 = 1 7 - 4 56 – (- 36 ) 92 1 – 8

Y = 7 - 5 9 13= 91 – 45 = 46 7- 4 56 - ( -36 ) 92 9 8

SOLUCION ( 1, 46 ) 92

REDUCCIÓN

7X – 4 Y = 5 Y 9 Y † 8 Y = 13 7X – 4Y = 5 (2)9 x † 89 = 13 14 Y – 8Y = 10 9 X † 8 Y = 13 23 X = 23 X = 23 X = 1 9 X † 8Y = 13 9(1) † 8Y = 13 8Y = 9 † 13 Y = 4 8 Y = 2

GRAFICO

7X – 4Y = 5 Y 9 X † 8 Y = 13 7X – 4Y = 5 (5 – 4Y ) - 8Y = 13 7X = 5 – 4 Y 7 1

X = 5 – 4 Y 5- 4Y – 8Y = 13 7 7

5 - 4Y – 8Y = 13 (2) 5 - 12Y -26 -12 Y -26 -12 12 Y = 14 Y = 14 12 Y = 1, 2

3 X 0 1 –1 2

Y 1 6 -4 11

B)5x+7y=-1 y -3x+4y=-24

DETERMINANTES

5X † 7 Y = - 1 3X †4Y =-24

-1 7 -24 4= - 4 – (-1 68) = 16 4 X = 5 7 - 21 – 20 - 41 -3 4

Y = 5 – 1 -3 – 24 = 120 – 3 = 123 5 7 -21 – 20 - 41 -3 4

Solución 164 - 123 -41 -41

SUSTITUCIÓN

5X † 74 = - 1 Y 3 X † 4 Y = - 24 7Y = -5 X – 1 -3 X †4Y = - 24 -3X – 2º X -4 = - 24 23 X = 20 X = 20 2 3

REDUCCIÓN

5X † 7 Y = - 1 Y - 3X † 4 Y = 24 5X † 7Y = - 1 (-) 12 3X †4( -9) = 243Y † 4Y = - 24 3X = 36 – 24 -60 X – 84 Y = - 12 3X = 36 – 24 60 x † 84 Y= - 24 X = 12

-4y=36

y= -36 4 X= 4Y =- 9

IGUALACCIÓN

5X † 7 Y =- 1 Y -3 X †4 Y = - 24 5X = -2 – 7 Y - 3X = - 24 -4Y X= - 1 – 7Y X= - 24 – 4Y 5 -3

-3 (-1 +7Y) 5 (- 24 -4Y) 3+21y 120-20y21y+20y -120- 3

= 41y = - 123

Y = -123 41 Y= 3

-3 X + 4Y = - 24 5X + 7 Y = - 1 -3 (4) + (-3) = -245X7 (3) = -1 12- 12 = -24 X= 21 +1- 24 = - 24 X = 20 5 X = 4

SOLUCIÓN

(4, 3)

Grafica 3

X O 1 – 1 2Y 24 21 11 18

c) 10x-3y=36

2x+5y=-4

DETERMINANTES

10X – 3Y = 36 2X + 5Y = - 4

X = 36 -3 2 - 4 = 180 – 12 = 168 = 21 = 3 10 - 3 50 – (-6) 56 7 2 5

Y = 10 36 = 72 - (-40) = 112 = 1 2 – 4 50 – (-6) 56 10- 3

25

Solución (3,1)

IGUALACIÓN

10X – 3Y = 36 Y 2X + 5 Y = - 4 10X = - 36+ 3Y 2X = 4 – 5 y X = - 36 +3 Y Y = 4 – 5Y 10 22 (- 36+ 3 Y) 10 (46- 5Y) -72 + 6Y 70 – 56Y -6 Y + 50Y - 4 + 72

REDUCCIÓN

10 X – 3Y = 36 Y 2 X † 5Y = - 4 1OX – 3Y = 36 2X † 5Y = - 4 2X † 5Y = - 4 (-) 5 2 X † 5(-2) = - 410X – 3Y = 36-10 X – 25Y = 20 - 20 = 56 2X- 1º =-4 Y = 56 2X = 10- 4 28 X = 6 Y= -2 2 X = 3

SUSTITUCCIÓN

10 x – 3Y = 36 Y 2X 5 Y = - 4 3Y =- 10X † 36 2X† 5 Y = - 4 2X † 5 (- 10 † 36 ) = - 4 2X – 50 X† 180 = - 448 X = - 4 – 180 2X † 59 = - 4 X = - 184 2 (3.8) 75Y = -4 48 - 5Y =- 76 – 4 X =3.8 Y = 11. 6 5Y = 2.32

REDUCCIÓN 3X3

1(A) 2X – 3 Y † 2Z = - 7 2 (B) 3X † 2 Y † Z = 4 3(C) Y †4Y – Z = 10

(1)2X- 3 Y † 27 = - 731X †4Y – Z = 10 (-2)-2X – 8Y † 27 = - 20 -11 † 47 = - 21 3X † 2 Y † 2 = 4 X † 4 Y – Z = 10 (- 3)-3X – 12 Y † 3 Z = - 30

-10 Y †4 Z =- 27 (-1) -10 Y † 4Z = - 28 11Y † 4 Z = 27 Y = 1 X = 10 – 4 Y – Z X = 2 X = 10 – 40 – 4 X = 10 – Y – 4

-11 Y † 4 Z = - 27 -11 † 4 Z = 274Z = - 27† 11Z = - 16 4 Z = 4

2. Plantea un sistema de ecuaciones según las condiciones de cada problema y resuelve.

a) El perímetro de un campo rectangular es de 32 metros, y el largo del campo excede el ancho, en 6 metros, calcula las dimensiones.

p= h*bp=(32)*(32+6)p=(32)*(38)p= 1216.

b. En un teatro 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $ 51.200 y 17 de niño y 15 de adulto cuestan $ 83.100. Halla el precio de una entrada de niño y una de adulto.

10x+9y=51.20015x+17y=83.100

30x+27y=153.600 10x+9(1800)=51.200-30x-34y=-166.200 10x+16.200= -7y=126000 10x=51.200

y=-126.000 x=51.200-16.200-7 10

y= $1.800 entrada de un niño. x=$3.500 entrada adulto

c. Juan compra una camisa y un pantalón los precios de ambas prendas suman $60.000, pero le hicieron un descuento del 10% en el precio de la camisa y del 20% en el pantalón. Si en total Juna pago $ 50.150, cuál era el precio sin descuento de cada prenda.

x= camisay= pantalón

x+y=60.000 -0,1x-0,1y=-60.000 x+y=60.000 0,1x+0,2y= 9.850 x=60.000-38.500

0,1+0,2 0,1y= -3.850 x=21.500valor camisa

0,1y=3.850

y=3.8500,1

y=38.500 valor del pantalón

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 por los métodos de reducción y determinantes.

a. 2x-3y+2z=-7Solución.

a. 2x-3y+2z=-7b. 3x+2y+z=4c. x+4y-z3=10

2 -3 2 2 1 3 1 3 23 2 1 =2x -(-3)x 2x1 4 1 4 -1 1 -1 1 -2

2x (2x-1-1-4x1)-(-3)(3(-1)-1x1)3x (3x4-1x2)=-6-12+30=12

-7 -3 14 2 1 4 2 4 1 + 4 210 4 3 = -7 4 3 -(-3) 10 3 10 4 2 12x=-7(12-8)+3(12-10)+1(16+20)

12

x=-28+6+36 x=14= 7 12 12 6

2 7 2 4 1 - (-7) 3 1 +2 3 1 y= 3 4 1 =2 10 -1 1 -1 1 -1 1 10 -1

y= 2(-4+10)+7(-3+1)+2(1-3) y = 12-14-412

y= 6 = 3 12 2 -3 -7

z= 3 2 4 = 2 2 4 - (-3) 3 4 + (-7) 3 2

1 4 10 4 10 1 10 1 4

12 12z =1(20x16)3 (30+4)-7(12+2)z= 36+102-98= 40 = 10 12 12 3a. 2x-3y+2z=-7b. 3x+2y+z=4c. x+4y-z=10

2x-3y+2z=-7x+4y-z=10(-2)2x-8y+2z=-20 -11+47=-213x+2y+z=4(2) x+4y-z=10(-3)3x-12y+3z= -30

-10y+4z=26

-11y+4z=-27 (-11)-10y+4y=-26 11y+4z=27

y=1-11y+4z=-27-11+4z=27 4z=-27+11z= -16 =4 4

4. Expresa cada problema como un sistema de ecuaciones lineales con 3 variable y soluciónalos.

a. En un concierto las boletas vip, son dos veces más caras que las boletas de platea. las boletas de platea cuestan $20.000, menos que las boletas de platino y $60.000 menos que las boletas vip. Determine el precio de cada boleta.VIP= X X-2Y=0 Z+20.000=YPLATEA= Y X-Y=-60.000 Z+20.000=-60.000PLATINO=Z -X+2Y=0 Z=-60.000-20.000X=2Y X-Y=-60.000 Z=-80.000Z+20.000=Y Y=-60.000X+60.000=Y X-2(-60.000)=0X-2Y=0 X+120.000=0Z-Y=-20.000 X=-120.000X-Y=-60.000

VIP=X=120.000PLATEA=Y=60.000PLATINO=Z=80.000.

b. Mateo vende revistas. el jueves viernes y sábado vendió en total 91, el jueves vendió 5 más viernes y el sábado vendido 6 más que el jueves. Cuantas revistas vendió cada día.

j=x+5 j+s+v=91 j=x+ ss=x+11 x+5+x+11+x=91 j=25+5v=x 3x=91-16 j=30 jueves

3x=75x=75 s=x+11 3 s=25+11x=25 viernes s= 36 sabado.

J+S+V=9130+36+25=91

5. resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la formula general.a. 5x²-x+1=0

Solución

X=-(-1)±√(-1)²-4(5)(1)X=1±√-1-20=1±√-21

10X₁=5+√-21 X₂=5-√21 10 10

b. 8x=-4x²34x²+8x+3=0x=-(8)±√(8)²-4 (4)(3) 2(4)

x=-8±√16-48 8x= -8±√32 x₁= -8+√32 x₂=8-√32 8 8 8

c. 4x+3=4x²-4x²+4x+3=0x=-(4)±√(4)²-4(4)(3)

2(-4)

x=-4±√16-48 -8x=-4±√32x₁=-4+√32 x₂=-4√32 8 8 8

d. 16x²+8x-3=0x=-(8)±√(8)²-4(16)(-3)

2(16) x=-8±√16-192 32 x -8±√208 32 x=-8±√208 32

x₁=-8√20832

6. Plante la ecuación según las condiciones de cada problema y resuelve:

a. Un terreno de forma rectangular tiene una superficie de 1800m². Si el largo mide el doble del ancho, cuales son las dimensiones del terreno.Solución

m m=√1800m²2 2m m=√90m² (2m) (m)0 1800m² m=3m√10 2m²=1800m² largo=3m√10*2

Largo 6m√10

b. Las sumas de las edades de Andrés y Camila es 39 años y su producto es 360. Encuentra las edades de Andrés y Camila.Solución

x+y=39 39-y=360(x)(y)=360 yx=39-y y(39-y)=360x=360 39Y-Y²=360

y -Y²+39Y-360=0(Y-24)(Y-15)Y-24=0 Y-15=0Y=24 Y=15

1800m²

7. Hallar el conjunto solución de la inecuación(x-1)(x-2)(x+1)≤0, por el método alternativo(--+++++).

x – 1 ≤ 0x ≤ 1- - - - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + +

Cuando x=1el resto de la ecuación es 0si x =≤0x=≤2- - - - - - -- - -- - - -- - -- - - -- - -- - -- - -- - -- - - -- - + + + + + + + + + + + + + + + Cuando x = 2 el resto de la ecuación es 0

Si x0-1≤0X≤0

X≤-1- - - - - - -- - - + + + + ++ + + ++ + + + + + ++ + ++ + + + + ++ + ++ + ++ + +

- - - - - - - - - -- - + + + + ++ + ++ + + - - - - - -- - - + + + ++ + ++ + + + ++ + + +

8. Diseña la inecuación necesaria para resolver el siguiente problema y desarróllalo.a. En la fabricación de cierto producto los costos totales por mes, están dados por la

ecuación C=2500+100x. siendo x las unidades producidas. Si el precio de venta se fija en $150, determina la cantidad mínima que debe venderse para asegurar que no haya pérdidas mensuales.

Costos 2500+100xVentas 150x2500+100x≤150x.302500+100x≤450x-450x+100x≤2500-350x≤2500x ≤ 350+2500

x≤2850.9. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. 3x-½_1x≥ x-½≥ X-1/3 P≥0 ⅔ ⅖

P=2X-1 = 6X-1 6X-1/2= 2 2 2/3

18X-3= 18X-3 -1X = 17X-3X 4 4 4 4

3X-1Q= X-1/3 = 3 = 15X-5 2 2 6 5 5 17X-3≥ 15X-5 17X-3 – 15X-5 ≥0 3 6 4 6

3 (17X-3) -2 (15X-5)≥0 12

51X-30X-9+10≥0 12

21X+1≥0 1221X+1

21X+1=0 X=1-/21

Q= X/X€R,X≥ -1/21

Solución -1/21, ∞)

b. (x+5)²≥ 49√ (x+5)²≥√49X+5≥7x≥2 x≥7-5

c. 2-3x ≥ 2 5-2 ≤ 2-3x ≤ 2

-10≥ 2-3x ≤ 10-12 ≤ - x ≤ 8 3 3 -4 ≤ -x ≤ 8

3+4≤ x ≤ -8 3

d. 1< x-2 < 41²<( x-2 ) ²< 4²1< x -2 < 161 +2< x < 16 -23< x < 14

Solucione cada una de las siguientes ecuaciones por factorización:

a. x²+2x+1 = 0(x+1) ( x+1)= 0X+1 = 0 x +1 =0X = -1 x = -1X= -1

b. 5x² -8x+3 = 0

(5x-3) ( x-1 ) = 0

5x-3= 0 x-1 =0

X = 3 x= 1 5 3 ,1 5

c. 4x² +12x -16 =0( 4x +16) (x -1) = 4x +16 = 0 x -1 = 0X= -16 x = 1 4X = -4 (-4,1)

d. x² -13x-30 =0(x-15 ) ( x+2) =0x-15 = 0 x +2 =0

x= 15 x= -2

(-2.15)

BIBLIOGRAFIA

Modulo de algebra

Algebra