Ing. Diego Chacón

Regresión Mínimos Cuadrados

GRUPO 1

Contreras Ortiz Sebastián

Gómez Juca Francisco

San Martin Feijoo Cristhian.

4to Nivel.

Marzo – Julio 2013 CAMPUS EL VECINO

Cuenca – Azuay – Ecuador

MÉTODOS NUMÉRICOS

Regresión Mínimos Cuadrados Ejercicios.

Contreras Sebastián, Gómez Francisco, San Martin Cristhian Ingeniería Eléctrica (4to Nivel) 2

EJERCICIO 17.6

Con el mismo enfoque que se empleó para obtener las ecuaciones (17.15) y (17.16), obtenga el ajuste por mínimos

cuadrados del modelo siguiente:

Es decir, determine la pendiente que resulta en el ajuste por mínimos cuadrados para una línea recta con

intersección en el origen. Ajuste los datos siguientes con dicho modelo e ilustre el resultado con una gráfica.

Para empezar nos planteamos una forma en la que dividimos toda la ecuación planteada para el exponencial

quedando de la manera siguiente nuestra ecuación:

Por lo tanto:

Ahora vamos a ver las gráficas que nos daría los datos dados por los ejercicios.

Ahora mostramos la tabla de datos con nuestra transformación propuesta anteriormente del problema.

n X Y X/e Y/e

1 2 1 0,73575888 0,36787944

2 4 2 1,47151776 0,73575888

3 6 5 2,20727665 1,83939721

4 7 2 2,57515609 0,73575888

5 10 8 3,67879441 2,94303553

6 11 7 4,04667385 2,57515609

MÉTODOS NUMÉRICOS

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7 14 6 5,15031218 2,20727665

8 17 9 6,2539505 3,31091497

9 20 12 7,35758882 4,41455329

Ahora procedemos a calcular la pendiente de la recta que obtenemos después de la transformación siendo

esta la siguiente:

Como el problema nos dice que debe intersectar o pasar por el origen por lo tanto sabemos que

Por lo tanto nuestra ecuación queda:

Por lo tanto calculamos y

∑

∑

Retomando la ecuación anterior ahora si podemos sacar el valor de

Podemos también sacar el valor de nuestra pendiente sacando la tangente inversa a nuestro

resultado.

De esta manera nos queda ya la ecuación de la línea que hemos transformado.

Como nos planteamos al inicio

El grafico correspondiente es el siguiente:

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Pero como podemos ver esta grafica no parte del origen por lo que le desplazamos hacia abajo para que

cumpla las condiciones que nos pide el ejercicio que dando esta de forma siguiente:

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EJERCICIO 17.7

Emplee la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

a) Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de

correlación. Grafique los datos y la línea recta. Evalúe el ajuste.

y x2 xy y2 ( ) ( )

1 1 1 1 1 18.2993827 2.41947759

2 1.5 4 3 2.25 14.2716049 0.35656901

3 2 9 6 4 10.7438272 0.13046472

4 3 16 12 9 5.1882716 0.6716327

5 4 25 20 16 1.63271605 1.63293896

6 5 36 30 25 0.07716049 3.0143835

7 8 49 56 64 7.41049383 0.03784231

8 10 64 80 100 22.2993827 0.1205034

9 13 81 117 169 59.632716 3.56757677

45 47.5 285 325 390.25 139.55556 11.951389

∑

∑

∑

∑

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∑ ∑ ∑

∑ (∑ )

( ) ( )( )

( )

( )( )

De modo que la ecuación nos queda:

x y

1 -0.5555

2 0.9028

3 2.3611

4 3.8194

5 5.2777

6 6.736

7 8.1943

8 9.6526

9 11.1109

√

√

√

Como Entonces el modelo de

regresión lineal es adecuado.

Para el coeficiente de relación tenemos:

( )

El coeficiente de relación es: √

√

Los resultados indican que el modelo lineal explicó el 91.4% de la incertidumbre original.

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b) Vuelva a hacer el cálculo del inciso a), pero use regresión polinomial para ajustar una parábola a los

datos. Compare los resultados con los del inciso a).

x y x2 xy y

2 ( )

( )

1 1 1 1 1 1 1 1 18.2993827 -0.227277

2 1.5 4 8 16 6 3 2.25 14.2716049 0.151512

3 2 9 27 81 18 6 4 10.7438272 0.148267

4 3 16 64 256 48 12 9 5.1882716 0.262988

5 4 25 125 625 100 20 16 1.63271605 -0.004325

6 5 36 216 1296 180 30 25 0.07716049 -0.653672

7 8 49 343 2401 392 56 64 7.41049383 0.314947

8 10 64 512 4096 640 80 100 22.2993827 -0.098468

9 13 81 729 6561 1053 117 169 59.632716 0.106083

45 47.5 285 2025 15333 2438 325 390.25 139.55556 0.00055

[

] [

]

De modo que la ecuación de la parábola es:

x y

1 1.227277

2 1.348488

3 1.851733

4 2.737012

5 4.004325

6 5.653672

7 7.685053

8 10.098468

9 12.893917