TP - optique - diffraction

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Majeure ELP 413 PC3 DIFFRACTION

1

PPPCCC333

DDDIIIFFFFFFRRRAAACCCTTTIIIOOONNN

On se placera dans le cas des angles petits pour lesquels la théorie scalaire (Le

champ peut être représenté par une seule de ses composantes) est valable.

III FFFIIIGGGUUURRREEESSS DDDEEE DDDIIIFFFFFFRRRAAACCCTTTIIIOOONNN AAAUUU FFFOOOYYYEEERRR DDD’’’UUUNNNEEE LLLEEENNNTTTIIILLLLLLEEE

Dans cet exercice, on considère une onde plane (de longueur d’onde λ) qui est

limitée par une ouverture (diaphragme). On cherche à savoir ce que l’on voit après le

diaphragme.

Figure 1 : comment obtenir une onde plane : On utilise le montage ci-dessous, ou

bien, on prend une source située très loin.

• On place un diaphragme dans une onde plane. On utilisera le principe de

Huygens Fresnel pour trouver la figure de diffraction. On rappelle le

principe (dans le cas des angles α et β suffisamment petits pour pouvoir négliger

la nature vectorielle du champ : approximation scalaire)) :

( ) ( )dS

ri

r

MfiPF

S

−−= ∫ λπ

λ2exp

source laserlentille de courtefocale (objectif de microscope)

petitdiaphragme

lentille de plusgrande focale

ondeplane

x

y

M x y

0 α β

β

α

ds=dx dy

f(m)=A0 contribution de l'élément de surface ds

u,v

r0

P

D

? diaphragme


2

Dans le cas des grands angles, la nature vectorielle du champ devient importante.

on posera

sin sinαλ

βλ

= =u et v ,

I - 1

Montrer que si la distance D du diaphragme au plan d’observation est grande, on

peut écrire F(P) sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )( )dSvyux2iexpMfrikrexpiPF

S0

0 +−−−= ∫ πλ

u et v sont appelés cosinus directeurs de la direction d’observation (on pourra les

considérer comme les coordonnées du point P) et f(M) est la répartition d’amplitude

de l’onde incidente dans la pupille. On reconnaît dans F(P) la transformée de

Fourier (TF) de f(M).

corrigé :

( ) ( ) ( )dSr2iexpr

MfiPFS

λπλ −−= ∫

u=sinα/λ v=sinβ/λ

x

y

Mxy

0 αβ

β

α

ds=dx dy

f(m)

u,v

r0

r

P

O’D

X

Y

( ) ( )2222 yYxXDr −+−+=

Yy2Xx2yxYXDr 222222 −−++++=

Yy2Xx2yxrr 2220

2 −−++=

0

2

0

2

000 r2

yr2

xrYy

rXxrr ++−−=

Si D est grand : 1/r dépend peu de x,y et peut être sorti de l’intégrale

Le terme exponentiel varie rapidement avec r, seules des variation de r < λ/4 pourront être négligées : calculons r

Si r0 est grand:

( ) ( ) ( )dSr2iexpr

MfiPFS

λπλ −−= ∫

u=sinα/λ v=sinβ/λ

x

y

Mxy

0 αβ

β

α

ds=dx dy

f(m)

u,v

r0

r

P

O’D

X

Y

x

y

Mxy

0 αβ

β

α

ds=dx dy

f(m)

u,v

r0

r

P

O’D

X

Y

X

Y

( ) ( )2222 yYxXDr −+−+=

Yy2Xx2yxYXDr 222222 −−++++=

Yy2Xx2yxrr 2220

2 −−++=

0

2

0

2

000 r2

yr2

xrYy

rXxrr ++−−=

Si D est grand : 1/r dépend peu de x,y et peut être sorti de l’intégrale

Le terme exponentiel varie rapidement avec r, seules des variation de r < λ/4 pourront être négligées : calculons r

Si r0 est grand:


3

Si physiquement, on ne peut pas toujours se placer à une très grande distance,

on visualisera alors le plan de l’infini au foyer d ’une lentille.

Le plan de l’infini ou le plan focal de la lentille est dit « plan de Fourier »

Figure 2 : schéma de la manip avec visualisation au foyer d’une lentille :

I – 2 Exemples de diaphragmes : trouver la forme de la figure de

diffraction

1. fente de hauteur infinie et de largeur X0.

2. deux fentes de largeur X0 et séparées d’une distance D.

3. Le diaphragme est une pupille ronde de rayon Ra

Corrigé :1 fente

écran desurface S

lentille

ondeplane

diaphragme carréou circulaire

?

4r2y

,r2

x

0

2

0

2 λ<<

Si r0 est suffisamment grand:

et

000 r

YyrXxrr −−=

On remplace 00 rYet

rX Par sin(α) et sin (β)

Il reste: ( ) ( ) ( ) dydxvyux2iexpMfr2iexpriPF

S

0

0

+−

−−= ∫ πλπλ

Transformée de Fourier de f(M)

4r2y

,r2

x

0

2

0

2 λ<<

Si r0 est suffisamment grand:

et

000 r

YyrXxrr −−=

On remplace 00 rYet

rX Par sin(α) et sin (β)

Il reste: ( ) ( ) ( ) dydxvyux2iexpMfr2iexpriPF

S

0

0

+−

−−= ∫ πλπλ

Transformée de Fourier de f(M)


4

Corrigé 2 : 2 fentes

Corrigé 3 : diaphragme circulaire

On donne : ( ) ( ) ( )J zz

z d10

2= ∫πθ θ θ

πcos cos sin

( ) ( ) ( ) F P i ux dx i vy dy H

H

= − −

−H/

+

∫ ∫ exp exp

/

2 2

2

π π

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] F P i u

i ux0 i ux0 i v

i vH i vH = −

− − + −

− − + 1 2

1 2 π

π π π

π π exp exp exp exp

( ) ( ) ( ) F P c

ux0 ux0

vH vH

= 2 sin sin π π

π π

X0/

-

On prend une hauteur de fente = H très

Si H devient très grand, la fonction ( ) vH vH

sin π π Devient très

La figure de diffraction est concentrée sur une ligne

Figure 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

On ne s’occupe ici que du problème à une dimension

( ) ( ) ( )∫∫+

−

−−

+−

−+−= 20xD

20xD

20xD

20xD

dxux2iexpdxux2iexpPF ππ

( ) ( )∫+

−= 2

D0x

20xD

dxux2cos2PF π

( ) ( )( ) ( )( )

−−+= 00 xDusinxDusin2u2

1PF πππ

( ) ( ) ( )0

00 ux

uxsinuDcosx2PF πππ=

Exemple de figure de diffraction de deux fentes


5

I – 5

Quel est le rayon angulaire ρρρρ0 de la tache de diffraction ?

On appelle cette figure : tache d’AIRY

Corrigé :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

20 -0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 J1 (z) / z

z

h

θ

R( ) ( ) ( ) ( )F u u R R d = ∫

0

2 22 2 2 π

π θ θ θ co co si

on pose z u R= 2 π

( ) ( ) ( ) ( )F u R z d = ∫ 4 2

0

2π

θ θ θ co co si

On : ( ) ( ) ( ) J z z

z d 10

2= ∫ π θ θ θ

πco co si

( ) F u

J

z z( ) = 4 1π

( )( )

a

a

uR

uRJuF

π

ππ

2

24

1= u=sinα/λ


6

Rayon du premier anneau sombre : J1(z) = 0

z = 3,85

z = 2π u Ra

u0 = 3,85 / 2π Ra

u0 = 1,22 / 2 Ra

sin(α0) = 1,22 λ / 2 Ra


7

IIIIII AAAPPPPPPLLLIIICCCAAATTTIIIOOONNN ::: RRREEESSSOOOLLLUUUTTTIIIOOONNN DDDEEESSS IIINNNSSSTTTRRRUUUMMMEEENNNTTTSSS

DDD’’’OOOPPPTTTIIIQQQUUUEEE

On a maintenant 2 sources ponctuelles à l’infini (2 étoiles) séparées d’un angle

θ. Elles forment deux ondes planes faisant entre elles le même angle θ qui arrivent

sur une lentille :

Dans le plan focal de la lentille, on observe deux taches d’Airy séparées de fθ.

II – 1 : Quel est le rayon r du premier anneau sombre de la tache d’Airy en fonction

de la longueur d’onde λ, du diamètre D du diaphragme et de la focale f de la

lentille ?

On a

sin(α0) = 1,22 λ / 2 Ra et D = 2Ra

si α0 est petit, r = f α0 = 1,22 f λ / D

II – 2 : Quelle est la valeur de θ pour que les deux taches soient séparées de 2r ?

Fθ doit être égal à 2r

fθ = 2 *1,22 f λ / D ou

θ = 2,4 λ / D

II – 3 AN : (λ =0,5µm)

• Webcam ou œil de 2mm de diamètre

lentille


8

θ = 2,4*.5e-3/2 = 0,6 mrd = 2’

• télescope de 1m de diamètre

θ = 2,4*.5e-6/1 = 1,2 10-6 rd

• appareil photo focale 50mm ouvert à f/2 : D= f/2

Il s’agit d’un appareil photo 24x36 . Combien de taches d’Airy peut-on placer sur

l’image ? Comparer cette valeur au nombre de pixels d’un appareil photo numérique.

Ouvert à f/2 signifie que D= f/2 d’où D = 25mm

θ = 2,4*.5e-3/25 = 8 10-5 rd

f θ = 8 10-5 * 50 = 4 10-3 mm

Nombre de taches que l’on peut mettre sur le film : 24*36 / (4 10-3)^2 = 54000000

On comprend que la photographie numérique n’a réellement concurrencé le film que

quand les appareils photo numérique ont eu plusieurs millions de pixels.

IIIIIIIII RRREEESSSEEEAAAUUUXXX DDDEEE DDDIIIFFFFFFRRRAAACCCTTTIIIOOONNN EEETTT SSSPPPEEECCCTTTRRROOOMMMEEETTTRRRIIIEEE

Le réseau de diffraction est souvent introduit de la manière suivante :

Une plaque opaque percée de fentes parallèles au pas p. Une onde plane est

incidente sur la plaque, chaque fente diffracte la lumière et on a des

interférences constructives et une onde dans la direction θ2 telle que :

p (sinθ1 + sinθ2) = m λ

Sur la figure ci-dessous, on a

θ1 = 0

θ2 = θ


9

Le nombre entier m est appelé ordre de diffraction.

Les réseaux de diffraction sont utilisés en analyse spectrale : en effet l’angle θ2

dépend de la longueur d’onde : chaque longueur d’onde d’une onde plane incidente

sera diffractée dans une direction différente et se focalisera en un point différent du

plan focal de la lentille.

Pour obtenir l’image du spectre, il faut former une onde plane, pour cela la lumière

entre dans le spectromètre par une fente située au foyer d’une lentille ou d’un miroir.

Dans la pratique, les réseaux sont réfléchissants et peuvent être concaves, ce qui

évite l’utilisation de la lentille. Le réseau disperse les différentes longueurs d’onde

dans différentes directions et l’image du spectre se forme dans le plan focal d’une

lentille.

Des réseaux qui envoient une grande proportion de la lumière incidente dans un

ordre donné sont utilisés. On les appelle réseaux blazés.

Onde plane incidente

rayon

Grille périodique de pas p

Onde sphérique à chaque trou dans la grille

p

p

p

p

θ2

mλ

Onde plane incidente

rayon

Grille périodique de pas p

Onde sphérique à chaque trou dans la grille

p

p

p

p

θ2

mλ


10

Nous allons dans la PC nous intéresser à la proportion de lumière (rendement) qui

part dans les différents ordres, et ceci, pour différents motifs de réseau.

Revenons au résultat de la question I - 1 : dans le plan focal de la lentille, on observe

la Transformée de Fourier de la répartition d’amplitude de l’onde transmise par l’objet

diffractant, ici le réseau.

Le réseau peut être modélisé comme un motif qui se répète sur toute la largeur du

faisceau.

On appellera tr(x) l’amplitude transmise par le réseau, on a (tr(x)=tr(x+p)

On définit la fonction

t(x) = tr(x) si 0<x<=p et

t(x) = 0 si x=<0 et x>p

On appelle X0 la largeur du réseau.

La répartition d’amplitude peut alors s’écrire de manière mathématique :

(porte de largeur X0) multiplié { (motif du réseau) convolué à (peigne de pas p) }

III – 1 : Dessiner la Transformée de Fourier de la fonction tr (on supposera une forme

arbitraire de la de la TF de t(x))

x

T(u) =TF de t(x)

>1/p car le motif est < p Sin (πuX0) / (πuX0) : étroit car X0 est large

x Peigne de pas 1/p

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Porte de largeur X0

x x

Motif du réseau : t(x)

Peigne de Dirac de pas p

Fonction tr(x)

Porte de largeur X0

x xx

Motif du réseau : t(x)

Peigne de Dirac de pas p

Fonction tr(x)


11

III – 2 : En déduire que l’on obtient le rendement pour chacun des ordres du réseau

en calculant la Transformée de Fourier de t pour des valeurs précises de u. Quelles

sont ces valeurs ?

La hauteur du pic à l’ordre m est la TF de t(x) pour u = m / p

Notons que comme u = sin(α) / λ, on retrouve bien les ordres de diffraction dans les

directions sin(α) = λ m / p (on a supposé l’incidence normale)

III – 2 : expliciter le rendement de diffraction de l’ordre m en fonction de t(x).

On pose τ(x/p) = t(x). Expliciter le rendement de diffraction en fonction de τ(a). (On

gardera le résultat sous forme d’intégrale)

Attention : le flux lumineux est proportionnel à (A mplitude x amplitude cc*).

Le rendement de diffraction de l’ordre m va être le rapport entre le flux à l’ordre m et

le flux à l’ordre 0 en absence de réseau.

Commençons par l’ordre 0 en absence de réseau :

t(x) = 1 entre 0 et p et nulle ailleurs sa TF est

le module de T0(u) vaut p si u = 0 et 0 pour les autres valeurs de u multiple de 1/ p

le flux de référence est donc proportionnel à p2

x

T(u) =TF de t(x)

>1/p car le motif est < p Sin (πuX0) / (πuX0) : étroit car X0 est large

x

Peigne de pas 1/p

x

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

=

=

-15 -10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( ) ( ) ( ) ( )up

puxuipdxxuiuT

p

ππππ sin

exp2exp0

0 −=−= ∫


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Calculons maintenant la TF de t(x), en remplaçant u = m / p et x = a p

Comme pour la référence p est en facteur, il va donc disparaitre pour le calcul du

rendement de diffraction

Où R(m) est le rendement à l’ordre m

III – 3 calculer le rendement de diffraction aux ordres 1 et 2 pour une grille dont le tau

d’ouverture est 0,5.

III – 4 : Pour éviter de perdre de la lumière, on peut inscrire, non pas des motifs

d’atténuation, mais des motifs de phase : pour cela, on peut graver le verre ou une

résine déposée sur du verre. On grave de manière à obtenir un réseau à deux

niveaux de phase : 0 et π

x

t(x

1

0 p/2 p

( ) ( ) ( )∫∫ −=−=1

00

0 2exp)(2exp)( daamiapdxxuixtuTp

πτπ

( ) ( ) 21

0

2exp)(∫ −= daamiamR πτ

( ) ( ) ( )1013,0

1

2

1)exp(2exp11

22

2/1

0

==−=−= ∫ ππππ i

daaiR

( ) ( ) ( )0

2

1)2exp(22exp12 2

2/1

0

=−=−= ∫ πππ i

daaiR


13

Dessiner la transmission en amplitude : t(x)

Calculer le rendement aux ordres 0, 1 et 2.

x

t(x

1

0 p/2 p

0

Lame de verre gravée

Amplitude 1

e

Amplitude exp( 2iπ (n-1)e / λ)

n : indice du matériau


Amplitude 1

e

Amplitude exp( 2iπ (n-1)e / λ)


- 1

( ) 0110 22/1

0

1

2/1

=−+= ∫ ∫ dadaR

( ) ( ) ( ) 405,04

2exp12exp112

22/1

0

1

2/1

==+−−+−= ∫ ∫ πππ daaidaaiR

( ) ( ) ( ) 022exp122exp12 22/1

0

1

2/1

=+−−+−= ∫ ∫ daaidaaiR ππ


14

III – 4 : On fait maintenant un réseau en escalier avec 4 niveaux de phase : 0, pi/2, pi

et 3pi/2

Dessiner la forme de la lame de verre

Calculer les rendements de diffraction aux ordres 1 et -1

Les 4 valeurs de l’amplitude valent 1, i, -1, -i

L’intégrale est divisée en 4 parties :

exp( 2iπ (n-1) e / λ) = π /2

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 81,08

1

2exp2exp12exp2exp11

22

24/1

0

2/1

4/1

4/3

2/1

1

4/3

==

−−+−−+−+−= ∫ ∫ ∫ ∫

π

ππππ

R

daaiidaaidaaiidaaiR

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 01

2exp2exp12exp2exp11

2

24/1

0

2/1

4/1

4/3

2/1

1

4/3

=−

+++−++++=− ∫ ∫ ∫ ∫

R

daaiidaaidaaiidaaiR ππππ


15

III – 5

On grave maintenant la lame en forme de petits prismes de telle manière que :

( 2iπ (n-1)e / λ) = 2π

Trouver le rendement de diffraction à l’ordre 1.

La phase en fonction de a est 2πa et l’amplitude exp (2iπa)

Cependant, le rendement de diffraction va dépendre de la longueur d’onde.

Trouver le rendement de diffraction à l’ordre 1 et à l’ordre 2 pour λ1 = λ/2 .

Pour λ1 la phase est deux fois plus grande que pour λ, l’amplitude est exp (4iπa)

L’ordre 1 pour λ1correspond à un angle de sinus moitié que l’ordre 1 pour λ

Tandis que l’ordre 2 pour λ1 correspond au même angle que l’ordre 1 pour λ

Ordre 2 : λ1

Ordre 1 : λ


e

( 2iπ (n-1)e / λ) = 2π



e

( 2iπ (n-1)e / λ) = 2π


( ) ( ) ( ) 12exp2exp1 21

0

21

0

==−= ∫∫ dadaaiaiR ππ

( ) ( ) ( ) ( ) 04exp2exp2exp1 21

0

21

0

===− ∫∫ daaidaaiaiR πππ


e

( 2iπ (n-1)e / λ) = 2π



e

( 2iπ (n-1)e / λ) = 2π

n : indice du matériau Ordre 1 : : λ1


16

On supposera que l’indice du matériau ne dépend pas de λ.

Souvent, des réseaux réfléchissants sont utilisés. Les réseaux peuvent être blazés

pour de grandes valeurs de m avec des pas, permettant ainsi une grande résolution

spectrale comme ci-dessous :

Montage de Littrow avec réseau blazé. Le plan du ré seau est incliné par rapport

à l'axe optique de telle sorte que les facettes du réseau sont quasi

perpendiculaires à l'axe optique.

http://media4.obspm.fr/public/FSU/instrumentation/optique/interference/spectro-

reseau/OBSERVER.html

( ) ( ) ( ) 02exp4exp1 21

0

=−= ∫ daaiaiR ππ

( ) ( ) ( ) 14exp4exp2 21

0

=−= ∫ daaiaiR ππ

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