TP Fisica II 1oparte

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Unidad Académica Reconquista

Ingeniería Electromecánica

GGuuííaa ddee PPrroobblleemmaass

FFÍÍSSIICCAA IIII

Parte Teórica: Ing. Oscar Vitti JTP: Ing. Walter Buyatti Ayudante: Bec. Sebastián Alegre

Guía de Problemas FÍSICA II UTN – Regional Académica Reconquista

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Calendario Académico UTN – RAR 2008


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Datos a tener en cuenta Unidades básicas

Longitud El metro (m) es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 s

Tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo 133Cs

Masa El kilogramo (kg) es la masa del cuerpo considerado como patrón internacional que se conserva en Severes, Francia

Corriente El imperio (A) es la corriente que al circular por dos conductores rectilíneos muy largos y paralelos separamos 1 m entre sí, da origen a una fuerza magnética por unidad de longitud de 2 X 10-7 N/m

Temperatura El kelvin (K) es 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua

Intensidad luminosa La candela (cd) es la intensidad luminosa, en la dirección perpendicular, de la superficie de 1/600 000 m2 de un cuerpo negro a la temperatura de congelación del platino a la presión de 1 atm

Unidades derivadas

Fuerza newton (N) 1 N =1 kg m/s2 Trabajo, energía joule (J) 1 J =1 N m Potencia vatio (W) 1 W = 1 J/s Frecuencia hertz (Hz) 1 Hz = s-1 Carga culombio (C) 1 C =1 A s Potencial Voltio (V) 1 V =1 J/C Resistencia ohmio(Ω) 1 Ω = 1 V/A Capacidad faradio (F) 1 F = 1 C/V Campo magnético tesla (T) 1 T =1 N/A m Flujo magnético weber (Wb) 1 Wb =1 J/A2

Datos terrestres

Aceleración de la gravedad g 9,80665 m/s2 Valor estándar 32,1740 pies/s2 A nivel del mar, en el ecuador * 9,7804 m/s2 A nivel del mar, en los polos * 9.8322 m/s2

Masa de la Tierra, M T 5,98 x 1024 kg

Radio de la Tierra R `T medio 6,37 x 106 m

3960 millas

Velocidad de escape gRT2 1,12 x 104 m/s

6,95 millas/s Constante polar ** 1,35 kW/m2 Temperatura y presión normales (C.N): Temperatura 273,15 K Presión 101,325 kPa 1,00 atm Peso molecular del aire 28,97 g/mol Densidad del aire (C.N), ρaire 1,293 kg/m3 Velocidad del sonido (C.N.) 331 m/s Calor de fusión del H2O (0ºC, 1 atm) 333,5 kJ/kg Calor de vaporización del H2O (100ºC, 1 atm) 2,256 MJ/kg

* Medida respecto a la superficie de la Tierra. ** Potencia media incidente normalmente sobre 1 m2 en el exterior de la atmósfera y a la distancia media de la Tierra al Sol.

Datos astronómicos

Tierra Distancia a la Luna * 3,844 x 108 m 2,389 x 105 millas Distancia del Sol, media * 1,496 x 1011 m 9,30 x 107 millas 1,00 AU Velocidad orbital, media 2,98 x 104 m/s


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Luna Masa 7,35 x 1022 kg Radio 1,738 x 106 m Período 27,32 d Aceleración de la gravedad en su superficie 1,62 m/s2

Sol Masa 1,99 x 1030 kg Radio 6,96 x 108 m

* De centro a centro

Constantes físicas

Constante de la gravitación G 6,672 6 x 10-11 N m2/kg2

Velocidad de la luz c 2,997 924 58 x 108 m/s

Carga del electrón e -1,602 177 x 10-19 C

Número de Avogadro NA 6,022 137 x 1023 partículas/mol

Constante de los gases R 8,314 51 J/mol K 1,987 22 cal/mol K 8,205 78 x 10-2 L atm/mol K

Constante de Boltzmann k= R/NA 1,380 658 x 10-23 J/K 8,617 385 x 10-5 eV/K

Constante de Stefan - Boltzmann σ 5,6699 x 10-8 W m-2 K -4

Unidad de masa unificada u= (1/NA)g 1,660 540 x 10-24 g

Constante de Coulomb 04

1

πε=k 8,987 551 788 x 109 N m2/C2

Permitividad del espacio libre 0ε 8,854 187 817 x 10-12 C2/N m2

Permeabilidad del espacio libre 0µ π4 x 10-7 N/A2

Constante de Planck h 6,626 076 x 10-34 J s 4,135 669 x 10-15 eV s

h =π2h

1,054 573 x 10-34 J s

6,582 122 x 10-16 eV s

Masa del electrón me 9,109 390 x 10-31 kg 510,999 1 keV/c2

Masa del protón mp 1,672 623 x 10-27 kg 938,272 3 MeV/c2

Masa del neutrón mn 1,674 929 x 10-27 kg 939,565 6 MeV/c2

Magnetón de Bohr mB=em

e

2

h 9,274 015 4 x 10-24 J/T

5,788 382 63 x 10-5 eV/T

Magnetón nuclear mn= pm

e

2

h 5,050 786 6 x 10-27 J/T

3,152 451 66 x 10-8 eV/T

Cuanto de flujo magnético eh 2/0 =φ 2,067 834 6 x 10-15 T m2

Resistencia Hall cuantizada 2/ ehRk = 2,581 280 7 x 104 Ω

Constante de Rydberg RH 1,097 373 153 4 x 107 m-1

Cociente frecuencia-tensión 2e/h 4,835 979 x 1014 Hz/V Josephson

Longitud de onda Compton cmh ec /=λ 2,426 310 58 x 10-12 m


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Factores de Conversión

Las relaciones marcadas con asteriscos son exactas

Longitud Velocidad 1 hm = 0,6215 millas 1 km/h = 0,2778 m/s= 0,6215 millas/h

1 milla = 1,609 km 1 milla/h = 0,4470 m/s= 1,609 hm/h 1m = 1,0936 yd = 3,281 pies = 39,37 pulgadas 1 milla/h = 1,467 pies/s *1 pulgada= 2,54 cm *1 pie = 12 pulgadas= 30,48 cm Ángulo y velocidad angular *1 yd = 3 pie= 91,44 cm *π rad=180º 1 año-luz = 1 c a = 9,461 x 1015 m 1 rad= 57,30º *1 Å = 0,1 nm 1º = 1,745 x 10z-2 rad 1 rev/min = 0,1047 rad/s Área 1 rad/s = 9,549 rev/min *1 m2 = 10 cm2

1 km = 0,3861 mi2 = 247,1 acres Masa *1 pulg2 = 6,4516 cm2 *1 kg = 1000 g 1 pie2 = 9,29 x 10-2 m2 *1 tonelada = 1000 kg = 1 Mg 1 m2 = 10,76 pie2 1 u = 1,6606 x 10-27 kg *1 acre = 43 560 pie2 1 kg = 6,022 x 1023 u 1 milla2 = 640 acres = 2,590 km2 1 slug = 14,59 kg 1 kg = 6,852 x 10-2 slug Volumen 1 u = 931,50 MeV/c2 *1 m3 = 106 cm3 *1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3 Densidad 1 gal = 3,786 L * 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 = 1 kg/L 1 gal = 4 qt = 8 pt = 128 oz = 231 pulg3 (1 g/cm3)g = 692,4 lb/pie3 1 pulg3 = 16,39 cm3 1 pie3 = 1728 pulg3=28,32 L=2,832 x 104 cm3 Fuerza 1 N = 0,2248 lb= 105 dina Tiempo 1 lb = 4,4482 N *1 h = 60 min = 3,6 ks (1 kg)g = 2,2046 lb *1 d =24 h = 1440 min = 86,4 ks 1 año = 365,24 días = 31,56 Ms Presión *1 Pa = 1 N/m2

Energía *1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bars *1 kW.h = 3,6 MJ 1 atm = 14,7 lb/pulg3 = 760 mmHg *1 cal= 4,1840 J = 29,9 pulgHg = 33,8 pie H2O 1 pie.lb = 1,365 J = 1,286 x 10-3 Btu 1 lb/pulg2 = 6,895 kPa *1 L.atm = 101,325 J 1 torr = 1 mmHg = 133,32 Pa *1 L.atm = 24,217 cal 1 bar =100 kPa 1 Btu = 778 pie.lb = 252 cal = 1054,35 J 1 eV = 1,602 x 10-19 J Potencia 1 u.c2 = 931,50 MeV 1 caballo de vapor = 550 pie-lb/s = 745,7 W 1 erg = 10-7 J 1 Btu/min = 17,58 W 1 W = 1,341 x 10-3 1 caballo de vapor Campo magnético = 0,7376 pie.lb/s *1 G = 10-4 T *1 T = 104 G Conductividad térmica 1 W/m.K = 6,938 Btu.pulg/h.pie2 ºF Btu.pulg/h.pie2 ºF = 0,1441 W/m.K Múltiplos, Submúltiplos y Prefijos SI

Múltiplos Prefijos Símbolos Submúltiplos Prefijos Símbolos 1024 1021 1018 1015

1012

109 106

103 102

101

Yotta

Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

Y

Z E P T G M K H D

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

deci centi mili micro nano pico femto atto septo yacto

d c m µ n p f a z y


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1 Temperatura

1-1 Un termómetro de gas a volumen constante está calibrado en el punto triple del agua con h = 300 mm. Si el líquido utilizado es Hg en condiciones normales hallar a) h(ºT) en escala absoluta. b) Si en la calibración del punto triple h = 0, halle h(ºT). c) Grafique en un diagrama P(ºT) los valores obtenidos en los incisos anteriores y compare. Dato: δHg = 13600 kg/m

3 . Desprecie dilataciones por ∆T Rta: a) h(ºT)= 1,115 x 10-3 T - 0,76024 b) h(ºT)= 1,669 x 10-5 T - 0,76024

1-2 La plataforma de la figura es horizontal y está apoyada en 2 columnas; una de Aluminio y otra de Hierro. Determine las longitudes de las barras para que la plataforma permanezca horizontal a cualquier temperatura, sabiendo que αFe = 12 x 10

-6 (°C)-1 y αAl = 24 x 10

-6 (°C)-1. Rta: LAl = 0,4 [m]; LFe = 0,8 [m]

1-3 A una temperatura de 20 ºC, el volumen de un determinado frasco de vidrio, hasta una marca de referencia hecha en su cuello, es exactamente de 100 cm3. Se llena el frasco hasta ese punto con un líquido cuyo coeficiente de dilatación volumétrica es de 120 x 10-5 (ºC)-1, el frasco y el líquido están a 20 ºC. El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 8 x 10 -6 (ºC)-1. La sección transversal del cuello es de 1 mm2 y puede considerarse constante ¿Cuánto ascenderá o descenderá el líquido en el cuello cuando la temperatura llegue a 40 ºC?

Rta: ∆h = 2,352 [m]

1-4 La densidad ρ, la masa m y el volumen V de cualquier material están relacionados por

Vm=ρ .a) Demuéstrese que T∂∂

−=ρ

ρβ

1 b) La densidad de la sal de roca entre -193 ºC y

-13 ºC está dada por la fórmula empírica ( )275 105,0102,111168,2 TT −− ×−×−⋅=ρ con T medida

en ºC. Calcúlese β a -100 ºC Rta: b) )Cº(10009,1 14 −−×=β

1-5 Se sumerge una resistencia eléctrica en un líquido y se disipa energía eléctrica durante 100 s a un ritmo constante de 50 W. La masa del líquido es de 530 g y su temperatura aumenta desde 17,64 °C hasta 20,77 °C. Hallar el calor específico medio del líquido en éste intervalo de temperaturas. Desprecie la ∆Q de la resistencia y suponga que no hay intercambio de calor con el entorno.

Rta: Cm = 3,01 J (gr-1) (ºC)-1

1-6 Un trozo de hielo a 0 °C cae, partiendo del reposo, en un lago a 0 °C, y se funde un 0,5 % del hielo. Calcular la altura mínima desde la que cae el hielo.

Rta: hmin = 170,92 [m]

1-7 Un recipiente de aluminio de 500 g de masa contiene 117,5 g de agua a 20 °C. Se deja caer dentro del recipiente un bloque de hierro de 200 g de masa a 75 °C. Calcular la temperatura final del conjunto, suponiendo que no hay intercambio de calor con el entorno. CAl = 0,217 kcal/kg ºC CFe= 0,113 kcal/kgºC

Rta: Tf = 25 [°C]

40 cm

Al Fe

h


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1-8 La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna.

a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente Tint = 40 ºC y su coeficiente de convección hint = 30 W/m2·K y la temperatura del aire exterior Text = -10 ºC y su coeficiente de convección hext = 65 W/m2·K.

b) Evalúe cualitativamente la influencia de Text y hext sobre las temperaturas. Dato: kvidrio (a 300 K) = 1,4 W/m·K.

Rta: a) Tint = 7,68 [ºC] y Text = 4,9 [ºC]; b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar Text.

1-9 Una tubería que transporta un fluido a 120 ºC (coeficiente de convección h = 346,9 Btu pulg/h pie2 ºF) está hecha de acero k = 50,2 W/m·K y tiene 8 cm de diámetro interno, 9 cm de diámetro externo y 5 m de longitud. Para aislarla del medio, se usa una capa de espuma de poliestireno k = 0,01 W/m·ºC de 2 cm de espesor. Suponiendo que el aire tiene un coeficiente de convección h= 173,45 Btu pulg/h pie2 ºF. Halle la temperatura de la capa externa que está en contacto con el aire.

Rta: a) T = 22,12 [ºC]

1-10 Una pequeña esfera maciza y ennegrecida de cobre, de radio 2 cm, se coloca en el interior de una cavidad en la que se ha hecho el vacío, y cuyas paredes se mantienen a 100 ºC . A qué ritmo ha de suministrarse energía a la esfera para mantener su temperatura constante e igual a 127 ºC?

Rta: dU/dt = 1,78 [W]. 2- Termodinámica

2-1 ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el vapor cuando 1 mol de agua a 100 ºC hierve y se convierte en 1 mol de vapor a 100 ºC a 1 atm de presión? Suponiendo que el vapor se comporta como gas ideal, determine el cambio en energía interna del material cuando se vaporiza.

Rta: W = -3,1 kJ ∆U = 37,6 kJ 2-2 Cuando un sistema se lleva del estado a al b por la trayectoria acb, 90 J de calor entran

en el sistema y éste efectúa 60 J de trabajo. a)¿Cuánto calor entra en el sistema por la trayectoria adb si el trabajo efectuado por el sistema es de 15 J? b) Cuando el sistema regresa de b a a siguiendo la trayectoria curva, el valor absoluto del trabajo efectuado por el sistema es de 35 J ¿El sistema desprende o absorbe calor? ¿Cuánto? c) Si Ua = 0 y Ud= 8 J ¿Cuánto calor se absorbe en los procesos ad y db?

Rta: a) Qadb = 45 [J ] b) baQ = 65 [J] c) Qad = 23 [J] Qdb = 22 [J]

P

V

c

a

b

d


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2-3 Un cilindro está cerrado por un émbolo conectado a un resorte de constante k = 2 x 103 N/m. Con el resorte relajado, el cilindro se llena con 5 litros de gas a una presión de 1 atm y a una temperatura de 20 ºC a) Si el émbolo tiene un área de 0,01 m2 y masa despreciable, ¿Cuánto subirá cuando la temperatura se eleva a 250 ºC? b) ¿Cuál es la presión del gas a esa temperatura? c) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por el gas? d) ¿Cuánto calor absorbió el gas si su γ = 1,4?

Rta: a) h = 16,8 [cm] b) 1,334 [atm] c) W = 28,49 [J] d) Q = 1.022,72 [J] 2-4 Una bomba de aire tiene un cilindro de 0,25 m de longitud, provisto de un pistón móvil.

La bomba se utiliza para comprimir aire de la atmósfera (Pabs = 1 atm) e introducirlo en un tanque muy grande cuya presión manométrica es de 4,2 x 105 Pa (Cv aire = 20,8 J/mol K) a) El pistón inicia la carrera de compresión en el extremo abierto del cilindro. ¿Qué distancia se ha movido el pistón en el cilindro cuando comienza a fluir aire del cilindro al tanque? Suponga que la compresión es adiabática. b) Si el aire se introduce en la bomba a 27 ºC ¿Qué temperatura tendrá una vez comprimido? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la bomba al introducir 20 moles de aire en el tanque?

Rta: a) h = 0,173 m b) t = 206ºC c) W = 7,46 x 104 J 2-5 Una bola de acero de calor específico 460 J/kg K cae a un piso duro desde una altura de

10 m y rebota a 2

2de su velocidad de impacto. a) Suponga que toda la energía cinética perdida

por la bola en el impacto la retiene en forma de un aumento en su energía interna (como si hubiera transferencia de calor, aunque no la hay). Calcule el aumento de la temperatura de la bola provocado por un solo rebote. b) Si el rebote continúa hasta que la bola quede en reposo, calcule el aumento total de temperatura de la bola.

Rta: a) ∆T = 0,106 K b) ∆T = 0,213 K 2-6 Una máquina de calor somete 0,35 mol de un gas diatómico con comportamiento ideal al

ciclo que se muestra en el diagrama pV. El proceso 1→2 es a V = constante, el 2→3 es adiabático y el 3→1 es a p constante igual a 1 Atm. Para este gas γ = 1,4 a) Calcule la presión y el volumen en los puntos 1, 2 y 3. b) Calcule Q, W y ∆U para cada proceso. c) Calcule el Wneto efectuado por el gas en el ciclo. e) Determine la eficiencia térmica de la máquina y compárela con la de una máquina de Carnot que opera entre las mismas temperaturas.

Rta: a) p1 = 1 Atm, p2 = 2 Atm, V1 = 8,62 x 10-3 m3, V3 = 1,41 x 10-2 m3 b) 1→2: Q = 2183 J, W = 0, ∆U = 2183 J, 2→ 3: Q = 0 J, W = 786 J, ∆U = -786 J, 3→1: Q = -1960 J, W = -559 J, ∆U = -1400 J c) Wneto = 227 J d) Qneto = 227 J e) e = 10,4%, ecar = 50 %

h

2

1 3

T2 = 600 K

T3 = 492 K T1 = 300 K

P

V


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2-7 Una planta de energía de 100 MW opera con una eficiencia de 0,35. Los 100 MW se refieren a la rapidez con la que se genera la energía para propósitos útiles a) ¿Cuál es el flujo de calor al ambiente? b) El flujo de calor se descarga en el agua tomada de un río local. Para proteger el ambiente acuático en el río, el agua que se devuelve a él no debe estar 3 ºC más caliente que la que se toma para efectuar el enfriamiento. ¿Qué flujo de agua se requiere para realizar esta tarea? Expresarlo en kg/s y m3/s

Rta: a) Q = 185,7 [MW] b) Qmasico = 14.795,6 [kg/s]; Qvolumétrico = 14,79 [m3/s]

2-8 Un congelador fabrica cubos de hielo a razón de 5 g por segundo, comenzando con agua

en el punto de congelación. Cede calor a una habitación a 30 ºC. Si el sistema utiliza un frigorífico de Carnot ideal, a) ¿Qué potencia eléctrica de alimentación requiere? b) ¿Cuánto calor por unidad de tiempo cede a la habitación?

Rta: a) Pelec = 184,07 [W] b) QF/t= 444,33 [cal/s]

3 – Electrostática

3-1 Una moneda de cobre tiene una masa de 3 g. a) ¿Cuál es la carga total de los electrones de la moneda? b) Suponga que toda esa carga se encuentra en el origen del plano xy, exprese el campo eléctrico en función de q, x e y. c) Demuestre que el campo eléctrico es conservativo, o

sea x

E

y

E yx

∂

∂=

∂

∂. Dato: Masa atómica del Cu = 63,54 g/mol y el número atómico es 29.

Rta: a) -1,32 × 105 [C] b) ( )jiE yxyx

qkyx +⋅

+

⋅=

23

)(),(

22

r

3-2 El dibujo muestra cuatro cargas estáticas de 2

gr de masa cada una. Calcular, aplicando superposición de los efectos, las fuerzas eléctricas y las fuerzas másicas que actúan sobre la carga q1, siendo q1 = 2 µC y q2 = q3 = q4 = -3 µC. b) ¿Cuanto debe valer q4 para que la resultante de la fuerza eléctrica en q1 sea cero? c) En un momento se suelta la carga q1, hallar su aceleración en ese instante. d) Determine el número de unidades fundamentales de carga (Nº de e) que posee o que carece cada una de las cargas.

Rta: a) FE = -4,044 [N] i ; FM = -2 x 10-14[N] i b) q4 = -11,8 µC c) a = -2.022 [m/s2] i

d) e 1 = -1,25 x 1013 ; e 2 = e 3 = e 4 = 1,87 x 10

13

3-3 Las carga puntuales q1 y q2 de +12 × 10-9 C y

de – 12 × 10-9 C, respectivamente, están separadas 0,1m, formando un triángulo equilátero como se ve en la fig. calcúlese los campos eléctricos creados por estas cargas en los puntos a, b, c.

Rta: Ea = 9,69 x 104 [N/C] i

Eb = -6,19 x 104 [N/C] i

Ec = 1,078 x 104 [N/C] i

20 cm

q1

30 º

30 º

q2

q3

q4

c

b q2 q1 a


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3-4 a) Determinar el campo eléctrico en el plano debido a una carga lineal uniforme a una distancia perpendicular y como se indica en la figura 1. b) Con la ecuación obtenida en el inciso anterior y usando la superposición de los efectos halle el campo eléctrico producido por un conductor en el punto P como muestra la figura 2 sabiendo que λ = 2 µC/m.

Rta: a) [ ]j iE )sen(sen)cos(cos 0101 θθθθλ

++−⋅=y

kr b) E = (-46.026,69 i – 85.782,63 j) [N/C]

3-5 Determinar el campo eléctrico sobre a) el eje x de un anillo

de radio a y de carga total Q uniformemente distribuida en su longitud (figura 1). b) el eje x de un disco de radio R, perpendicular al eje x el cuál tiene una carga por unidad de superficie de σ=Q/π R2 (figura 2). c) en las proximidades de un plano infinito de carga perpendicular al eje x, el cuál tiene una carga por unidad de superficie de σ=Q/π R2.

Rta: a) 2

3

)( 22 ax

kQx

+=xE b) Ex

+−=

2212

Rx

xkσπ

c) Ex= 2 π k σ; x>0 Ex= -2 π k σ; x<0 3-6 Se proyecta un electrón con una rapidez inicial v0 = 1,6 x 10

6 m/s hacia el interior de un campo eléctrico uniforme entre las placas paralelas de la figura. Suponga que el campo entre las placas es uniforme y su dirección es vertical descendente, y que el campo afuera de las placas es cero. El electrón entra en el campo en un punto equidistante de las placas. a) Si el electrón pasa casi rozando la placa superior al salir del campo, halle la magnitud del campo eléctrico. b) Suponga que el electrón se lo sustituye por un protón con la misma v0 ¿Cuál sería la magnitud de su desplazamiento vertical al salir de la región comprendida entre las placas?

Rta: a) E = 182 [N/C] b) y = -1,36 [µm] 3-7 Para el sistema representado en la figura, denominado Dipolo

eléctrico, en el cual dos cargas iguales con signos opuestos separadas una distancia 2a están sumergidas en un campo eléctrico, en éste caso constante; determinar a) El torque que se genera. b) La energía potencial almacenada en el dipolo. c) Si E está orientado en el plano de izquierda a derecha y vale 5 x 105 N/C, las cargas son de ± 1,6 x 10-19 C, y la distancia que están separadas es de 0,125 nm; Para la posición θ = 145º encuentre la fuerza neta que ejerce el campo sobre el dipolo d) La magnitud y dirección del momento dipolar eléctrico e) La magnitud y dirección del torque. f) La energía potencial del sistema en esa posición.

x

dq = λ dl =λ dx

θ0

y r

θ1

+ + + + + + + + +

0,5 m

0,3 m

0,25 m

P

Figura 1 P 3-4 Figura 2 P 3-4

dq

r

x

Ex

Figura 1 P 3-5

x

Ex

Figura 2 P 3-5

E v0

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - -

d = 1 cm

S = 2 cm

+q

-q


- 10 -

Rta: a) EpEqarrr

×=⋅⋅= θτ sen2 b) EpUrr

⋅−= c) FR = 0 d) p = 2 x 10-29 Cm

e) τ = 5,7 x 10-24 N m f) U = 8,2 x 10-24 J 3-8 Hallar el campo eléctrico en todo el espacio a partir del Ley de Gauss de las siguientes

distribuciones de carga. Considere distribuciones de carga uniforme a) Distribución lineal infinita de carga con densidad lineal λ b) Distribución plana infinita de carga con densidad superficial σ c) Distribución esférica de carga con densidad volumétrica de carga ρ d) Distribución esférica de carga con densidad superficial de carga σ e) Distribución cilíndrica infinita de carga con densidad volumétrica de carga ρ f) Distribución cilíndrica infinita de carga con densidad superficial de carga σ.

Rta: a) 02

)( rr

krE

r⋅

⋅⋅=

λ b) 0

02)( rrE

r⋅=

εσ

c) 03)( r

R

rQkrE

r⋅

⋅⋅= para r < R ; 02

)( rr

QkrE

r⋅

⋅=

para r > R donde R es el radio de la esfera d) E(r)= 0 para r < R ; 02)( r

r

QkrE

r⋅

⋅= para r > R

e) 002

)( rr

rEr⋅

⋅=

ερ

para r < R 00

2

2)( r

r

RrE

r⋅

⋅⋅⋅

=ε

ρdonde R es el radio del cilindro. f) E(r) = 0 para r < R

00

)( rr

RrE

r⋅

⋅⋅

=εσ

para r > R

3-9 Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga

uniforme ρ. La esfera no está centrada en el origen, sino en br

rr= .

a) Calcule el campo eléctrico en el interior de la esfera. b) Una esfera aislante de radio R tiene un hueco esférico de radio a situado dentro de su volumen y centrado a una distancia b del centro de la esfera, donde a < b < R (La figura 1 muestra un corte transversal de la esfera) . La parte sólida de la figura tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ. Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico dentro del hueco y demuestre que es uniforme en todo el hueco. Ayuda utilice la superposición de los efectos y el resultado obtenido en el inciso a

Rta: a) 03

)()(

ερ br

rrr −

=rE b) 03

)(ε

ρ b

rr ⋅

=rE

3-10 Un cubo tiene lados de longitud L. Está

colocado con un vértice en el origen como se muestra en la figura 1. El campo eléctrico es

uniforme y está dado por kji DCBE −+−=r

, donde

B, C y D son constantes positivas. a) Halle el flujo eléctrico a través de cada una de las 6 caras del cubo S1, S2, S3, S4, S5 y S6 b) Halle el flujo eléctrico en todo el cubo.

Rta: a) S1 = -CL2; S2 = -DL

2; S3 = CL2; S4 = DL

2 S5 = -BL2 S6 =BL

2 b) φElec = 0 3-11 Se tienen dos planos paralelos infinitos de ecuaciones z = a/2 y z = -a/2,

respectivamente. Entre ellos existe una distribución de carga de densidad constante ρ y fuera de ellos el vacío. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Rta: 2/2

)(;2/2

)(;2/)(000

azsia

zEazsia

zEazsiz

zE ≤⋅⋅⋅

−=≥⋅⋅⋅

=≤⋅⋅

= k k kε

ρε

ρερ rrr

b

R

a

Densidad de

carga ρ

Figura 1 P 3-9

Figura 1 P 3-10

z

y

x

S1 (lado izquierdo)

S2 (parte superior)

S4 (parte inferior)

S6 (parte posterior)

S3 (lado derecho)

S5 (frente)


- 11 -

4 – Potencial eléctrico 4-1 a) Una carga q1 se halla en el origen de coordenadas. Hallar el trabajo que es necesario

realizar para traer otra carga q en forma cuasiestacionaria desde un punto muy alejado hasta una distancia d. ¿Depende este trabajo del camino que se tome?

b) Dos cargas puntuales q1 y q2 están separadas una distancia d. Hallar el trabajo que es necesario realizar para traer en forma cuasiestacionaria otra carga q desde un punto muy alejado hasta el punto central del segmento que separa a q1 y q2.

Rta: a) W = kq1q/d b) W = 2kq (q1/d + q2/d) 4-2 Un bloque de masa m y carga +Q está conectado a un resorte

que tiene una constante k. El bloque se encuentra en un plano horizontal sin fricción y el sistema está dentro de un campo eléctrico uniforme E, como se muestra en la figura 1. Si el bloque se libera del reposo cuando no está estirado (x = 0). a) ¿Cuánto se estirará el resorte? b) ¿Cuál es la posición de equilibrio del bloque? c) Demuestre que el movimiento del bloque es un movimiento armónico simple, y determine su período. d) Repita el primer inciso si el coeficiente de la fricción cinética del bloque y la superficie fuera µk e) Calcule el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento cuando el bloque, después de oscilar, queda detenido en su posición de equilibrio.

Rta: a) 2QE/k b) x = QE/k c) kmT /2π= d) 2(QE - µkmg)/k e) [ ]22 )()(2

1QEmg

kW k −= µ

4-3 a) Calcule la energía potencial eléctrica que posee el sistema del problema 3-2

b) Calcule el potencial eléctrico que poseen a una distancia x las cargas uniformemente distribuidas del problema 3-5

Rta: a) UE = -0,6899 [J] b)

−+=

+= xaxkV

ax

kQV discoanillo

22

222; σπ

4-4 Un protón se sitúa en un campo E = (4i +3j) [V/m] y desde el reposo se deja en libertad.

¿Qué velocidad posee después de recorrer 4 cm? b) Exprese la energía cinética adquirida en mega electrón voltios (MeV).

Rta: a) v = (4.952 i + 3.714 j) [m/s] b) Ec = 19,98 MeV 4-5 En la figura se muestra un dipolo. Calcular el potencial

eléctrico V producido por el dipolo para cualquier punto del espacio, con la única condición r >>> a.

Rta: 2

0

cos

4

1

r

pV

θπε

=

4-6 El potencial eléctrico en cierta región del espacio está dado por 22 543 xyxzyxV −−=

voltios. Encuéntrese: a) El potencial eléctrico en el punto (1, 3, -2) b) Las componentes del campo eléctrico en el mismo punto anterior, donde todas las

distancias están en metros. c) La densidad de carga volumétrica en el espacio. (opcional)

Rta: a) V = 28 [V] b) E = (19 i + 27 j + 4 k) [V/m] c) ρ = (4 y - 6 x + 4) ε0

k m, Q E

x = 0

Figura 1 P 4-2

+q

-q

θ

r


- 12 -

4-7 El principio fundamental de operación del generador electrostático consta de dos esferas concentricas de radios r y R, donde r < R. Las dos esferas llevan cargas q y -q respectivamente. Calcular la diferencia de potencial interna, es decir Vr – VR

Rta:

−=−Rr

qVV Rr

11

4 0πε

4-8 Una cáscara conductora esférica, de radio interior a = 5 cm y espesor d = 4 cm, tiene en

su centro una carga puntual q = +1 µC. Calcular y graficar el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio suponiendo la cáscara conductora:

a) Descargada. b) Cargada con Q = - 3µC. c) Conectada a un potencial V=10V (respecto del infinito) ¿Cómo se distribuye la carga en

cada caso?

Rta: a) E (0<r<0,05) = 02

9878r

r

. r⋅ [N/C]; E (0,05<r<0,09) = 0 [N/C]; E (r>0,09) = 02

9878r

r

. r⋅ [N/C]

V (0<r<0,05) = r

.9878 [V] ; V (0,05<r<0,09) = 9.985 [V]; V (r>0,09) =

r

.9878 [V]

b) E (0<r<0,05) = 02

9878r

r

. r⋅ [N/C]; E (0,05<r<0,09) = 0 [N/C]; E (r>0,09) = 02

17974r

r

r⋅− [N/C]

V (0<r<0,05) = 451.3799878

−r

. [V]; V (0,05<r<0,09) = -199.711 [V]; V (r>0,09) =

r

974.17− [V]

c) E (0<r<0,05) = 02

9878r

r

. r⋅ [N/C]; E (0,05<r<0,09) = 0 [N/C]; E (r>0,09) = 02

987,8r

r

r⋅ [N/C]

V (0<r<0,05) = 730.1799878

−r

. [V]; V (0,05<r<0,09) = 10 [V]; V (r>0,09) =

r

8987,0 [V]

5 Capacitores y dieléctricos 5-1 a) Hallar la capacitancia de la esfera terrestre. El radio promedio de la esfera es 6.370

km. Suponer que la tierra es un conductor esférico que está en equilibrio electrostático b) ¿Cuánto variaría el potencial de la esfera terrestre, si se le comunicase una cantidad de electricidad igual a 1C?

Rta: a) CTIERRA = 7,08 x 10-4 [F] = 708 [µF] b) ∆V = 1.412,4 [V]

5-2 Calcular la capacidad de a) Un capacitor de placas paralelas, formado por dos placas de

la misma superficie A separadas por una distancia s, pequeña comparada con la longitud y anchura de las placas. Se dispone una carga +Q en una y -Q en la otra debido a una diferencia de potencial ∆V. b) Un capacitor cilíndrico de un pequeño cilindro o alambre conductor de radio a y una corteza cilíndrica mayor de radio b concéntrica con la anterior. La longitud del condensador es L y posee una carga +Q en el conductor interior y -Q en el exterior debido a una diferencia de potencial ∆V. c) Un capacitor esférico formado de un cascarón conductor esférico de radio b y de carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y de carga +Q producida por una diferencia de potencial ∆V

Rta: a)s

AC 0ε= b)

)/(ln

2 0

ab

LC

πε= c)

)(

4 0

ab

baC

−

⋅⋅⋅=

επ


- 13 -

5-3 En cada caso, determinar: a) La Capacitancia equivalente Cab b) La carga en el C2

c) La ∆V2 y la Q que entrega la fuente. d) La diferencia de potencial Vab con s abierto y el potencial en el punto b cuando el interruptor s se cierra y se encuentran los capacitares en equilibrio electrostático.

Rta: a) CEquiv = C1 + C2 + C3 + ...... + Cn b) Q2=20 [µC] c) ∆V2 = 2 [V]; Qfuente= 44 [µC] d) Vab= 66,66 [V]; Vb= 100 [V] 5-4 a) Determinar la energía que se puede almacenar en el campo eléctrico de un

condensador de capacidad C y diferencia de potencial ∆V . b) Si el condensador tiene una capacidad de 15 µF, una ∆V inicial de 5 V y se le aplica una ∆V = 65 V ¿Cuánta energía se entrega al capacitor?

Rta: a) ( )22

1VCU ∆⋅= b)U = 0,0315 J

5-5 El área de un capacitor de placas paralelas es de 2.000 cm2 y tiene una separación de

1 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas ∆Vo , es 3.000 V y disminuye hasta 1.000 V cuando se inserta una lamina de dieléctrico entre las mismas. Calcúlese (a) la capacitancia inicial Co , (b) la carga Q de cada placa, (c) la capacitancia C después de insertar el dieléctrico, (d) la constante dieléctrica K, (e) la permitividad ε del dieléctrico, (f) la carga inducida Qi en cada cara del dieléctrico, (g) el campo eléctrico inicial Eo entre las placas, y (h) el campo eléctrico E después de insertar el dieléctrico.

Rta: a) Co = 17,7 x 10

-11 [F] = 177 [pF] ; b) Q = 53,1 x 10 -8 [C] ; c) C = 531 [pF] ; d) K = 3 ; e) ε = 26,6 x 10 -12 [C2 N -1 m-2 ] ; f) Qi = 35,4 x 10

-8 [C] g) Eo = 3 x 10

5 [V m -1] h) E = 1 x 105 [V m -1]

5-6 En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos

llenándolo como se muestra. Demostrar que la capacidad del condensador

es

+=

2210 kk

s

AC

ε donde A es el área y s es la separación de las

placas.

C1 C2 C3 Cn

∆V

a

b

C1=2 µF

∆V = 15 V

C1 C2 C3 Cn

∆V

a

b C2=6 µF C3=1 µF

C2=7 µF C1=3 µF

C3=5 µF

C4=2 µF

∆V=10 V

∆V=200 V

a b s

C1=6 µF

C3=3 µF

C2=3 µF

C4=6 µF

V = 0 V

V = 0 V

k1 k2


- 14 -

5-7 Determinar la densidad de energía que puede almacenar un capacitor con dieléctrico en

su campo eléctrico. Siendo la densidad de energía η = Energía almacenada sobre Volumen. Rta: η = ½ ε E2 5-8 Un capacitor de placas planas y de superficie A = 200 [cm2], separadas una distancia

d = 1 [mm], tiene en su zona central una lámina de material dieléctrico de la misma forma y tamaño que las placas, de espesor 0.6 [mm] y susceptibilidad eléctrica χelec= 3. El capacitor se ha cargado hasta adquirir ∆V = 100 [V] entre sus placas. Calcular:

a. La capacitancia del capacitor. b. La carga del mismo. c. La energía que almacena. d. Los vectores desplazamiento eléctrico, campo eléctrico y polarización. Representarlos

gráficamente. Rta: a) C = 3,21 x 10-10 [F]; b) Q = 3,21 x 10-8 [C] ; c) U = 1,6 [µJ] d) D = 1,6 [µC/m2] Do

6 Corriente eléctrica 6-1 Una pequeña esfera tiene una carga q. Se la hace girar en círculo en el extremo de un

hilo aislante. La velocidad angular es ω. ¿Qué corriente promedio representa esta carga en rotación?

Rta: I = q ω/2π 6-2 Un conductor de cobre de sección cuadrada de 1 mm de lado transporta una corriente

constante de 20 A. La densidad de los electrones libres es de 8 x 1028 electrones por cada metro cúbico. Hállese a) La densidad de corriente b) El módulo de la velocidad de arrastre. c) El módulo del campo eléctrico dentro del conductor sabiendo que la resistividad del cobre es 1,7 x 10-8 Ω m.

Rta: a) J = 2 x 107 A/m2 b) vd = 1,56 x 10-3 m/s c) E = -0,34 A Ω 6-3 Determinar la resistividad en función del recorrido libre medio (λ) y la velocidad media

del electrón (vm). La velocidad media es e

mm

kTv

3≅ , donde k =Constante de Boltzmann, T es

la Temperatura en grados Kelvin y me = masa del electrón.

Rta: λ

ρ⋅⋅

⋅=

2en

vm me ; donde e es la carga del electrón.

6-4 Una lámpara tiene una resistencia de 240 [Ω] cuando está funcionando, sujeta a una

diferencia de potencial de 120 [V] ¿Cuál es la corriente que circula por ella? Rta: I = 500 [mA] 6-5 Calcule la resistencia de un cilindro de aluminio con una longitud de 10 [cm] y una

sección transversal de 2 x 10-4 [m2] sabiendo que su conductibilidad es 3,546 x 107 [Ω-1 m-1] Rta: R = 1,41 x 10-5 [Ω]


- 15 -

6-6 Determinar el porcentaje en que se incrementa la resistencia de un alambre de cobre de

sección transversal constante, cuando su temperatura crece de 20 a 30 ºC. Tomar para estos rangos de temperatura el coeficiente α = 3,9 x 10-3 ºC-1 Rta: 3,9 % 6-7 Un tostador tiene un elemento calefactor hecho de alambre de Nicromo. Cuando se lo

conecta por primera vez a una alimentación de 120 V (estando el alambre a una temperatura de 20 ºC), la corriente inicial es de 1,8 A. Sin embargo, la corriente empieza a reducirse conforme el elemento calefactor aumenta su temperatura. Cuando el tostador alcanza su temperatura de operación final, la corriente se ha reducido a 1,53 A. Determine a) La potencia entregada al tostador cuando está a su temperatura de funcionamiento. b) La temperatura final del elemento calefactor. Buscar en la bibliografía los datos faltantes.

Rta: a) P = 184 w b) T = 461 ºC 6-8 a) Calcule el costo diario de operación de una lámpara de 60 w conectada a una línea de

220 V. Suponga que el costo de la energía es de $0,08/kWh. b) Halle la resistencia que representa la lámpara. c) Halle la intensidad que circula por ella.

Rta: a) 11,52 centavos b) R = 806,66 Ω c) I = 0,27 A 6-9 Identifique las características (Resistencia y tolerancia) del

siguiente resistor, sabiendo que tiene las siguiente bandas de colores. Buscar en la bibliografía los códigos de colores.

Rta: R = 2.400 k Ω Tolerancia = ± 120 kΩ

7 Circuitos de corriente continua. 7-1 Determinar la resistencia equivalente entre

los terminales x e y para cada caso, sabiendo que el valor de cada una de las resistencias es R0

Rta: a) Req = 3R0 b) Req = 30R

7-2 Dos baterías de 1,5 V (con sus terminales positivas en una misma orientación) están

insertas en serie en el cuerpo de una linterna. Una de las baterías tiene una resistencia interna de 0,153 Ω y la otra de 0,255 Ω. Cuando el interruptor se cierra, por la lámpara pasa una corriente de 600 mA. ¿Cuál es la resistencia de la lámpara?

Rta: R = 4,59 Ω 7-3 Determine los valores de la resistencia

equivalente a) R 1-3 b) R 3-5 c) R 4-5 d) R 2-4 d) R 1-2

Rta: a)R1-3 = 0,83 Ω, b) R 3-5 = 0,467 Ω,

c) R4-5 = 1,867 Ω, d) R2-4 = 0,867 Ω e)R1-2 = 1,319 Ω

R1

2 Ω R24 Ω

R3

500mΩ

R41 Ω

R5

1 Ω

R66 Ω

4

5

1

3

2

Rojo Amarillo Verde Oro

a) b)

x

y

x y


- 16 -

7-4 En la figura encontrar la corriente en cada resistencia y la diferencia de potencial entre a y b aplicando correctamente las leyes de Kirchoff. Supóngase fem1 = 6 [V], fem2 = 5[V], fem3 = 4 [V], R1 = 100 [Ω], R2 = 50 [Ω]

Rta: IR1 = 0,05 [A] ; IR2 = 0,06 [A] ; Vab = 9 [V] 7-5 a) Hállese la diferencia de potencial entre los

puntos a y b de la figura. Si a y b están conectados, hállese la corriente en la pila de 12 [V]. b) Usando el método de intensidades de ramas c) Usando método de superposición d) Usando el método de intensidades de mallas.

Rta: a) Vab = 0,22 [V] b) I12 v = ≅28

130,464 [A]

7-6 La resistencia de la bobina de un galvanómetro de

bobina móvil es de 10 [Ω], y una corriente de 0,02 [A] hace que se desvíe a fondo de escala. Se desea convertirlo en un amperímetro de lectura de 10 A a fondo de escala. El único shunt disponible tiene una resistencia de 0,03 [Ω] ¿Qué resistencia R debe conectarse en serie con la bobina? Ver figura. I = 10 A

Rta: R = 489,97 Ω 7-7 Un puente de Wheastone como el de la figura se utiliza

para hacer medidas de precisión de la resistencia desconocida Rx. Cuando los interruptores k1 y k2 están cerrados, se varía la resistencia R1 hasta que la corriente por el galvanómetro es cero; entonces se dice que el puente está equilibrado. a) Demuéstrese que bajo esta condición la resistencia desconocida está dada por Rx =R3 R2/R1 b) Si el puente de Wheastone se balancea cuando R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω. Calcule el valor de Rx

Rta: Rx = 60 Ω 7-8 Se tiene el circuito potenciómetro como se indica en la

figura, en el cual se han utilizado los siguientes valores de calibración:

∆V = 10 V; iG = 0: R1 = 1.000 Ω; R2 = 500 Ω. Calcule el valor de la fem. ex de la pila.

Rta: ex = 6,66 V

a b

2 Ω

2 Ω 2 Ω

1 Ω

12 V, 1 Ω

10 V, 1 Ω

8 V, 1 Ω

3 Ω

fem1

fem3 fem2 R2

R1

a b

Pila

R1 R2

G ex r

+ ∆V -

G

R1

R3

R2

Rx

k2

k1

fem

Galvanómetro

BOBINA

Shunt

R


- 17 -

7-9 Tenemos una batería de una determinada fem y una resistencia interna r. a) ¿Qué valor de la resistencia externa R debemos conectar entre los bornes de la batería para obtener la máxima potencia disipada en la R? b) ¿A qué diferencia de potencial queda sometida la resistencia R cuando R = r? c) Determine la eficiencia en esas condiciones.

Rta: a) R = r b) ∆VR = ½ fem c) Eficiencia = 0,5 7-10 Resolver el problema 1-8 como un circuito térmico, donde ∆T = ∆V y H = I 7-11 En el circuito de la figura, en t = 0 seg. el interruptor

s pasa a la posición 2. a) Halle y grafique la carga, la diferencia de potencial y la intensidad en función del tiempo en el capacitor.

Después de mucho tiempo de estar en la posición 2, el interruptor pasa a la posición 4. b) Halle y grafique la carga, la diferencia de potencial y la intensidad en función del tiempo en la resistencia R2. c) ¿Después de cuantos segundos es considerado que el efecto de carga y descarga del capacitor ha finalizado?

Rta: a) ( )te,q 000.10021 −−5 −110 ×= [C]; ( )tev 000.10012 −−1=∆ [V]; tei

000.1002,1 −⋅= [A]

b) te,q 000.5021 −−5 ⋅10 ×= [C]; tev 000.5012 −⋅=∆ [V]; tei

000.506,0 −⋅= [A]

c) 05,0carga =t [ms] 1,0descarga =t [ms]

7-12 El circuito muestra un capacitor C1 cargado, con una diferencia de potencial de 10 V

entre sus placas con la polaridad indicada. En un cierto tiempo se cierra el interruptor, halle: a) La constante de tiempo. b) El valor de la intensidad señalada en función del

tiempo. c) La diferencia de potencial en cada capacitor según la

polaridad señalada. d) La carga en cada capacitor en función del tiempo. e) La potencia promedio disipada por la resistencia.

Rta: a) 61033,3 −×=τ [s] b) teti 000.3002)( −⋅−= [A]

c) tC ev 000.3001

3

10

3

20 −+=∆ [V] ( )tC ev 000.3002 1

3

20 −−−=∆ [V]

d) tC eq 000.3001

000.150

1

000.75

1 −+= [C] ( )tC eq 000.3002 1

000.150

1 −−−= [C]

e) Pprom. = 2 w 7-13 En cierto conductor de cobre (ρ = 2 x 10-8 Ω m) que transporta una corriente, el campo

eléctrico varía sinusoidalmente con el tiempo según E = 0,1 sen(120π t) [V m-1]. a) Hállese la magnitud de la densidad de la corriente de conducción máxima en el cable. b) Suponiendo que ε = ε0, hállese la densidad de la corriente de desplazamiento máxima en el conductor y compárese con el resultado del inciso a).

Rta: a) J = 5 x 106 [A m-2] JD = 3,34 x 10-10 [A m-2]

V1

12 V

R1

10 Ω

C1

1uF

R2

20 Ω 1

0

2

3

4

S

C1

2uF 10 V +

C2 1uF -

R1

5 Ω

0 0

1

2

3

i(t)

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