TP 012 - 2015

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UNQ. Dpto de Cienc ia y Tecnol ogíaAnáli si s Mat emáti co II

Año 2015 - 1

DIPLOMATURA EN CIENCIA Y TECNOLOGIA (UNQ)PROGRAMA DE ANALISIS MATEMATICO II

(Vigente desde el 1er Cuatrimestre de 1998 con posteriores modificaciones)

UNIDAD 1: Integrales impropias.

UNIDAD 2: Polinomio y fórmula de Taylor. Aplicaciones al cálculo aproximado.

UNIDAD 3: Representaciones en R3. Concepto de: distancia, entorno, punto deacumulación, conjuntos abiertos y cerrados. Funciones en varias variables. Curvas ysuperficies de nivel. Límite doble. Continuidad.

UNIDAD 4: Derivada parcial: definición e interpretación geométrica. Derivadas deorden superior. Diferenciabilidad. Plano tangente a una superficie.

UNIDAD 5: Derivada direccional: definición e interpretación geométrica. Gradiente.

UNIDAD 6: Derivada de la función compuesta: regla de la cadena.

UNIDAD 7: Funciones implícitas.

UNIDAD 8: Extremos libres y condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Método de

los mínimos cuadrados. Fórmula de Taylor en dos variables.

UNIDAD 9: Ecuaciones diferenciales: conceptos básicos. Ecuaciones diferencialesseparables y homogéneas. Ecuaciones lineales de primer orden. Ecuaciones exactas.

Ecuaciones lineales de segundo orden: homogéneas y no homogéneas. Aplicaciones.

BIBLIOGRAFIA LARSON - HOSTETLER - EDWARS. "Cálculo". Editorial Mac Graw Hill. LEITHOLD LOUIS. "El cálculo con geometría analítica". Editorial Harla. SIMMONS GEORGE. “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones”. MacGraw Hill. STEIN SHERMAN K.. "Cálculo y geometría analítica". Editorial Mac Graw Hill. STEWART JAMES. "Cálculo". Grupo Editorial Iberoamérica (1ra y 2da edición)

//.Editorial Thomson (3ra/ 4ta edición) SWOKOWSKI EARL W. "Cálculo con geometría analítica". Grupo Editorial

Iberoamérica. ZILL DENNIS. "Cálculo con geometría analítica". Grupo Editorial Iberoamérica. ZILL DENNIS. "Ecuaciones diferenciales y aplicaciones". Grupo Editorial

Iberoamérica. THOMAS-FINNEY. “Cálculo en una variable”. Pearson-Addison Wesley-Logmans

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Año 2015 - 2

Trabajo Práctico Número 0

Temas:

I-Repaso de conceptos de Análisis Matemático I

II-Repaso de algunos gráfico en R 2

III-Calculo de límites aplicando la regla de L’Hopital

SECCION I

Ejercicio 1: Cuando sea posible calcular los siguientes límites

(no aplicar la regla de L’Hopital )

a) 9 x

3 x 2 x l im 2

2

3 x

b) 3) (x 9) (x

3 x 2 x l im 2

2

3 x

c) 9) (x

3) (x 3) x 2 (x l im 2

2

3 x

d) 1) (x

1

1 x

e l i m

e) 2) (x

7 3 x l im

2

2 x

f) 4x

sen(5x) l im

0 x

nota: cuando los límites laterales sean

de distinto signo diremos que el límite

existe y es

g) ?consucedeQué¿

)(lim

2

2

2) ln(x l im

2 x l n

x

x

h) 5x x

1 2x x l im

4

2

x

i) 5x x

1 2x x l im 4

x

75

4

j) 3 x

3| |x l im

3 x

k) )x

1 sen( .x l im

0 x

l) senx l im x

Respuestas:

a) 2/3 b) c) 0 d) no existe

e)7

72 f) 5/4 g) h) 0

i) -5/7 j) no existe k) 0 l) no existe

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Año 2015 - 3

Ejercicio 2:

2 si x 2

Sea f(x) = - x 2 + 4 si 1 x < 2

3x si x

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Año 2015 - 4

Ejercicio 6: Calcular las siguientes integrales:

1. dx x 3

9. 2

1

.52 3

dx e x x 16.

dx x x ).1(

12

2. dx x 3 10. dx e x 3

4x 5 17. (*) dx x tg

3. dx 4 x

1

11. (*)dx l nx 18. dx 1 x

x

4. (*)dx 4 x

1 2

12. 2

1

dx x l n 19. (*))(cos2 dx x

5. dx 4 x

x 2

13. dx x l nx 20. (*)dx (7x) cos

2

6. dx e x )5( 14. dx

x x

1 3

7. (*))5( dx e x x

15. dx x 1) (x

1 2

8. dx e x x

3.52

(*) Verificar resultado con tabla de integrales

Algunas indicaciones y respuestas

1. C x

4

4

8. C e x

35

15

1

15. Sugerencia: aplicarfracciones simples

2. C x 34

4

3 9.

15

540 ee 16.Sugerencia: aplicar

fracciones simples

3. 4 x Ln + C 10. Sugerencia: efectuarprimero una sustitución con

u= 4x3 y luego por partes

17. C x )cos(ln

4. C x

arctg )2(

2

1

11. C x x x )ln( 18. Sugerencia: efectuarsustitución con u= x

1/2

5. C x Ln )4(2

1 2 12. 2 ln(2) -1 19. Sugerencia: recordar que

(cos u)2 = (1 + cos 2u)/2

6. C

e x

5

5

13. C x 2

)(ln 2

20. Sugerencia: recordar que

(cos u)2

= (1 + cos 2u)/2

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Año 2015 - 5

7. C e x x )(251

5

5 14. Sugerencia: aplicarfracciones simples

Ejercicio 7:

Dada la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 = 9

-a) hallar la ecuación de la recta tangente en (1; - 8 )-b) demostrar que en dicho punto la recta tangente es perpendicular al radio

-c) interpretar gráficamente.

Rta: y + 81/2

= 81/2

(x-1) /8

Ejercicio 8:

Una caja de base cuadrada tiene un volumen de 1000 cm3.

a) Encontrar las dimensiones de la caja para que su área lateral incluidas las tapas sea

mínima (respuesta: la caja es un cubo de lado 10 cm)

b) ¿es posible encontrar las dimensiones de la caja para que su área lateral incluidas las

tapas sea máxima? Justifique (respuesta: no es posible ya que la función área no estáacotada superiormente)

c) Responder a),b) sabiendo que 12≤ x≤ 15 siendo x una arista de la base (respuesta:

si hay porque la función área es continua en un intervalo cerrado, el área es mínima

cuando las aristas de la base miden 12cm y la altura 125/18 cm, el área es máxima

cuando las aristas de la base miden 15cm y la altura 40/9

Ejercicio 9:

Sea c(t) el caudal de agua que fluye hacia un depósito en función del tiempo t, es decir

c(t) representa la rapidez instantánea

-a) ¿Qué unidades tiene c(t)?; -b) ¿Qué representa físicamente c'(t)? -c) ¿Qué

representa 2

1

t

t

c(t).dt siendo t2 >t1

. SECCION II

Ejercicio 1: Graficar todos los puntos de R 2 que satisfacen las siguientes ecuaciones:

a) 1 3x y b) 6x x y 2

c) 10 8x 2x y 2 d) 2522 y x

e) 0 6y 2x y x 22 f) 1

9

)3(

4

22

y x

g) 14 22 y x h) 1

4

22

y x

i)x

y 1 j) 2

3

1

x y

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Año 2015 - 6

k)2

1

x y l)

x e y

m) x y ln n) )3ln( x y

o) |3|ln x y

.

SECCION III

Ejercicio N° 1: Evaluar aplicando la regla de L´Hopital cuando sea posible.

a) lim o x 23

1

x x

e x

d) lim o x

xe x1

1

1

g) lim 0 x xec x g coscot

b) lim t

t

t

cos1

sen5 2

e) lim x x 1/1 xe h) lim 1 x )1ln()1( 3 x x

c) lim 0 x x

x

3ln

2ln

f) lim x xe x 35

i) lim x x

x x sen

Respuestas: a) 1/3; b) 10; c) 1; d) -1/2; e) 1; f) 0; g) 0; h) 0; i) 1

Ejercicio N°2:

Calcular las asíntotas horizontales y verticales para:

I) f(x) = x e x II) f(x) = x

xln III)

x

x x f

ln)(

IV))cosh(

)()(

x

x senh x f V)

)(

)cosh()(

x senh

x x f

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Año 2015 - 7


Tema: Integrales Impropias

Ejercicio N° 1: Calcular si la integral impropia es convergente:

a) dx x

1

2

1 b) dx

x

x

2

ln

c)

1

5 x

dx d) dx

x

x

42

e)

0

cos dx x f)

dx x3

g) dxe x x

0

h)

0

dxe x x

i)

1

ln dx x x j) dxe x

3

k)

0

))(1( dx x sen

respuestas: son CV: a-g-j son DV :b-c-i-k-h Oscilante :e No CV :d-f

Ejercicio N° 2: Justificar analíticamente e interpretar gráficamente que:

dx x3

t

t

dx x3tlim

Ejercicio N° 3: Justifique lo siguiente:

111 11

11

x

dx

x

dxdx

x x

EjercicioN°4: Determinar todos los valores de k de modo de que la integral impropia

sea convergente. Interpretar la respuesta gráficamente.

a)

1

k x

dx b) dxe

kx

0

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Año 2015 - 8

respuesta: a) k >1 b) k

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Año 2015 - 9

b) 0

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Año 2015 -10

Ejercicio N° 12: (Aplicación física para los alumnos que han cursado Fìsica I) Sea

)(r F la fuerza que se realiza sobre un cuerpo en la dirección del eje r . Se define el

trabajo que se realiza para mover el cuerpo desde una posición r 1 hasta una posición r 2

como: 2

1

)(

r

r

dr r F W

Sea T la tierra, R el radio terrestre. Sea F(r) la fuerza (módulo) de la atracción entre

ella y un cuerpo de masa m.

Calcular

R

dr r F W )( en los siguientes casos:

a) 0)( k r

k

r F (constante)

b) 0)(2

k r

k r F (constante)

Interpretar físicamente. (Nota : la situación real es la (b)).

Propiedad: Criterio de comparación

H1) Sean f, g continuas en [a, + )

H2) )()(0),[ x g x f a x

1°) si

a

dx x g )( es

a

dx x f CV )( es CV

2°) Si

a

dx x f )( es

a

dx x g DV )( es DV

Ejercicio N° 13:

a) Usando el criterio de comparación, probar que las siguientes integrales sonconvergentes:

I) dxe x

1

2

II) dxe x

0

2

m

r

T

R

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Año 2015 -11

III) dx x x

x

132 10

IV) dx x

x

1

2

2sen

V)

0 xe x

dx

b) Idem, probar que las siguientes integrales son divergentes:

I) dx x

e x

1

II) dx xe

e x

x

2

Ejercicio N°14: Analizar si las siguientes integrales impropias son convergentes o

divergentes aplicando el criterio de comparación

a)

1

31 x

dx b)

0

3 1 xe

dx c)

4 1 x

dx d)

22 1 x

dx

e)

0

6

1 x

dx x f)

2

ln x

dx g) dx

x

x

cos2 h) dx

x

senx

2

1

respuesta : son CV :a-b-e-h son DV : c-d-f-g

Ejercicio N°15: Se sabe que f, g son continuas en el intervalo [0, +∞), )()(0 x g x f

y

0

)( dx x g es CV. ¿Puede asegurar la CV de las siguientes integrales? Justifique

a) dx x x x f

02 3

)( b)

0

dx x x f )(

Ejercicio N°16:

Determinar si está acotada o no el área entre f(x) y g(x) con x ≥ 0

f (x)= 5+ e-3x , g(x)= 5+e-7x efectuar un gráfico aproximado de las funciones

indicando lo que está calculando

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Año 2015 -12


TEMA: Polinomio de Taylor, fórmula de Taylor. Gráficos de Taylor

Ejercicio N° 1:

Simplificar las siguientes expresiones:

a)2)!4(

!16 b)

)!1(

!

n

n c)

)!2(

)!1()1( 2

m

mm d)

2)!3(

)!!3(

Ejercicio N°2:

I) hallar )(),1(),(),1(),0(),( )2()()()10()10()10( x f f x f f f x f nnn para las

funciones a) f(x)= x3 b) f(x) = 1/(2x+5)

II) Para cada una de las siguentes funciones encontrar una expresión para la derivada n-

ésima:

a) f(x)=ln x b) f(x) xe 2 c) f(x)=senhx d) f(x)=sen x e) f(x)=

)5(

1

x

f) f(x) = 32 5

1 x

x

Ejercicio N° 3: Dada xe x f )(

a) Desarrollar en potencias de x para n = 1, 2, 3.

b) Graficar en el mismo par de ejes cartesianos f(x), P 1(x), P 2(x), P 3(x) (usar

graficador)

c) Calcular con P 1(x), P 2(x), P 3(x) e0.2

, e-0.2

y compararlo con el valor exacto

d) Obtener P n(x)

e) A partir de c) mostrar que!

1....

!3

1

!2

111

ne . Verificar con la calculadora

para n = 5; 10; 20.

Ejercicio N° 4:

a) Escribir )()()( x R x P x f nn para xe x f )( alrededor de x = 0

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Año 2015 -13

b) Calcular aproximadamente e con n = 5 y comparar con el valor de la

calculadora

c) Calcular aproximadamente1.0

e con n=2,3,4,5,10 y comparar con el valor de lacalculadora

d) Demostrar que si x es un número real positivo, entonces xe > )( x P n . Interpretar

gráficamente

e) ¿qué sucede si x

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Año 2015 -14

Ejercicio N° 8: Dada x x f 1)(

a) Hallar P 3(x) alrededor de x = 0.

b) Calcular 1,1 con P 3(x) y comparar con el resultado obtenido con la calculadora.

Respuesta: a) P3(x)=1+1/2 x- 1/8 x2+ 1/16 x3

Ejercicio N° 9: Sea 3)( x x f

a) Hallar P 3(x) alrededor de x = 8.

b) Calcular 3 6,7 con P 3(x) y comparar con el resultado obtenido con la

calculadora.

Respuesta: a) P3(x)=2+1/12 (x- 8) - 1/288 ( x-8)2 + 5/33 29 (x-8)3

Ejercicio N° 10: Justifique la validez de las siguientes fórmulas aproximadas para

x

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Año 2015 -15

c) ln(1+x)= Pn(x) + R n(x) = =)1()1(

1)1()1(

1

11

1

n

x

ck

x n

n

nk n

k

k

d) ex= Pn(x) + R n(x) =)!1(!

1

0

n

xe

k

x nck n

k

e) x1

1 = Pn(x) + R n(x) =

1

20 )1(

1

nn

k n

k

xc

x

f) shx= P2n+1 (x) +R 2n+1(x) =)!22()!12(

2212

0

n

x shc

k

x nk n

k

nota: en todos los casos c está entre 0 y x

Ejercicio N° 12: Teniendo en cuenta los desarrollos del ejercicio N° 11 y

propiedades obtener P n(x) alrededor de x = 0 para:

a) f(x)= xe b) f(x)= sh 3x c) f(x)=21

1

x

d) f(x)=

x1

1 e) f(x)= x.e

x f) f(x)=

2 xe

g) f (x)=sen 3 x

respuestas :

a) n k

k

k

x

0 !)1( b)

n k k

k

x

0

1212

)!12()3( c) k

n

x2

0

d) n

k k x0

)1( e) n k

k x

0

1

! f)

n k

k

k x

0

2

!)1( g)

n k

k k

k

x

0

1212

)!12()3()1(

Ejercicio N° 13:

Sea g(x)= )2( 4 x f donde f(x)= ln(1+x)

a) aplicando propiedades escribir el polinomio genérico de Taylor de g(x) alrededor de

a=0 y determinar su grado

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Año 2015 -16

b) teniendo en cuenta (a) escribir el polinomio de grado 12 y con el hallar

)0(),0( )8()7( g g

Ejercicio N° 14: Calcular mediante un desarrollo de Taylor del numerador y/o eldenominador. Utilizar los primeros términos del desarrollo y el resto correspondiente.

Verificar el resultado del límite por otro método.

Nota: tener en cuenta al calcular el límite que

1°) para toda función continua en un punto a existe un entorno de centro a dónde f está

acotada

2°) el límite del producto de una función acotada por otra que tiene límite 0 es 0

a) x xlim x sen0 b)

x xlim x cos10

c)

20

cos1

x

xlim x

d)k x

x

xlim

cos10

con N k e) 30

cos

x

x xelim

x

x

f)

1

ln1

x

xlim x

g)

21

sen20 x

xe

x xlim

x

x

h) x

x g

xlim x

cot120 (pista: primero reemplazar cotgx=cosx/senx y sumar las

fracciones)

Ejercicio No

15: Sea

t p

y

1001 con P > 0, t tiempo

a) Encontrar el tiempo para el cual y = 2 mediante una fórmula exacta.

b) Demostrar que el tiempo es aproximadamente igual a P

70 para valores

suficientemente pequeños de P . (Sugerencia, utilizar x x x )1(ln0 ).

Ejercicio N° 16: sabiendo que xe x 1 para x pequeños.

a) Aproximar

k

t t

e

0

con k y t 0

constantes.

b) Reemplazar en la expresión anterior para: I) t 0 = 1 ; t = 1,3 ; k = 10II) t 0 = 1 ; t = 1,3 ; k = 10

-4

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Año 2015 -17

Verificar con la calculadora. ¿Qué conclusiones obtiene?

Ejercicio N°17: Calcular dx x x

5

4

)1(1 . (Indicación: utilizar Taylor en el

numerador alrededor de x=1)

Ejercicio N° 18: Sea f(x) cuatro veces derivable en el entorno de x=1. Su polinomio de

Taylor de grado 3 es P3(x)=2+(x-1)-1/2 (x-1)2+5(x-1)

3.

Sea g(x)=ef(x). Hallar Q3(x) siendo el polinomio de Taylor de grado 3 de g(x) alrededor

de x=1.

Ejercicio No

19: (optativo )En la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto que se mueve a la

velocidad v es:

2

2

0

1c

v

mm

La energía cinética del objeto 202 .. cmcmk (1)

a) Demostrar v

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Año 2015 -18

b) dx x1

0

2sen Utilizar los tres primeros términos no nulos de P n(x)

(Indicación: efectuar previamente el desarrollo de sen x y luego sustituir por sen x2).

Ejercicio N° 22:

a) Decir si es posible desarrollar f(x) según la fórmula de Taylor alrededor de x = a,

I) 3)( x x f a = 0

II) x

x f

1

1)( a = -1

III) 3)( x x f a = 3

b) )()()( x R x P x f nn Donde f es una función infinitamente derivable en R. ¿Es

verdadera la siguiente afirmación?

0)(: x Rlim R x nn

Indicación :observar la gráfica del ejercicio 25-5

Ejercicio No24 (optativo )

Un hilo pesado sostenido por sus extremos, bajo la acción de la fuerza de la gravedad

se deforma según la curva llamada catenaria, cuya expresión analítica es:

a

xa y cosh. con a > 0

(Recordar cosh x =2

x x ee )

a) Demostrar analíticamente que para valores dea

x

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Año 2015 -19

a = 1 1 x a = 1 1.0 x

Ejercicio N° 25 : para contestar este ejercicio tenga en cuenta los gráficos de la guía

complementaria

1.1) en el gráfico n° 1 identifique la función ln x, y su asíntota vertical por derecha en

x=0

1.2) en el gráfico n°1 identifique los distintos polinomios de Taylor y agregue la recta

tangente

1.3) en el gráfico n°1, mirando la gráfica ¿cuál es el intervalo de aproximación?

1.4) ¿cuál es la relación entre el gráfico n°1 y el n° 2 ? relacionar con el ejercicio 7

2.1) en el gráfico n° 2 identifique la función ex, y su asíntota horizontal por izquierda

en x=0

2.2) en el gráfico n°2 identifique los distintos polinomios de Taylor y agregue la recta

tangente

2.3) observe que para x>0 los polinomios de Taylor se aproximan por defecto (ejercicio

4) ¿qué sucede si x

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Año 2015 -20

6.1)en el gráfico n° 7 para P3 (x) tener en cuenta el ejercicio 8.Identificar la función y

los polinomios

Gràficos de Taylor:

1) Taylor de la funciòn Logari tmo f(x) = lnx alrededor de x = 1 degrado 2,3, y 4

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Año 2015 -21

1bis)Taylor de la funciòn Logari tmo f(x) = ln (x+1) alrededor de x = 0de grado 2,3, y 4

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Año 2015 -22

2)Taylor de la función exponencial f(x) = e x alr ededor de x = 0 de grado

2,3, y 4

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Año 2015 -23

3)Desarrollo de Taylor de la función f (x) = sin x alr ededor de x= 0 paragrados 1,3 y5

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Año 2015 -24

4)Desarrollo de Taylor de la función f(x) = cos x alrededor de x = 0 paragrados 2,4,y6

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25/27

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26/27


Año 2015 -26

6)Grafica de la función f( x) = e x con su polinomio de Taylor de grado

10 alrededor de x = 0

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Año 2015 -27

7)Polinomio de Taylor de la función f(x) = SQRT (1+x) de grado 3, 6 y 9alr ededor de x = 0

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TP 012 - 2015