Universidad Rafael LandívarFacultad de IngenieríaLaboratorio de Resistencia de Materiales I, Sección 02Catedrático: Ing. Francisco Gerardo Corado

PRÁCTICA NO. 2TORSIÓN Y MÓDULO DE RIGIDEZ

Andrés Asturias 1286307

Guatemala, miércoles 25 de marzo de 2015

I. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVOS GENERALES

Determinar el módulo de rigidez de ejes sometidos a torsión y compararlo con los valores teóricos del material.

I.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Observar la deformación de ejes delgados a torsión en el laboratorio y comparar los resultados con el valor teórico de la misma.

Medir los ángulos de torsión de las deformaciones de ejes sometidos a torsión y compararlos con los valores teóricos obtenidos con fórmulas aprendidas en clase.

II. MARCO TEÓRICO

2.1 ESFUERZO CORTANTE PRODUCIDO POR TORSIÓN

Cuando un miembro de sección circular está sometido a torsión, se producen en él fuerzas cortantes internas. El producto de estas fuerzas cortantes por sus respectivas distancias respecto al centro del eje es el par resistente. Las fuerzas cortantes y los esfuerzos cortantes actúan en dirección perpendicular al radio que une el punto donde estos se ejercen con el eje del miembro (Fitzgerald, 1991).

Para estudiar dichos esfuerzos es necesario hacer las siguientes suposiciones: Una sección plana de la flecha (eje) permanece plana después de la

torsión. El diámetro de la flecha no cambia durante la carga. Los esfuerzos están en el rango elástico. Las deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el eje del

miembro hasta un máximo en las fibras externas

2.2 DEFORMACIÓN DE EJES SOMETIDOS A TORSIÓN

Las deformaciones por cortante en un eje sometido a torsión varían proporcionalmente a la distancia del eje. Sin embargo, en cualquier punto, es decir, a cualquier distancia, la deformación y el esfuerzo pueden expresarse como una fracción del esfuerzo cortante máximo en las fibras exteriores (Fitzgerald, 1991).

Cómo se muestra en la siguiente figura, la deformación cortante γ puede encontrarse por medio de una relación de arco: es decir, para valores pequeños de γ la deformación cortante por la longitud es a la longitud de arco, al igual que ρΦ (Beer y Ferdinand, 1993).

γ= ρ∅L

2.3 DISEÑO DE EJES SOMETIDOS A TORSIÓN

Al diseñar un eje sometido a torsión, por lo tanto se debe considerar en primer lugar el ángulo de torsión que se le va a permitir girar. Se tiene que atender al hecho de que este varía en forma directamente proporcional al torque aplicado y a la longitud del eje, y de forma inversamente proporcional al módulo de rigidez del eje y al momento polar de inercia, y por lo tanto, a la cuarta potencia del radio del eje (cuando es sólido) (Fitzgerald, 1991).

∅= TLGJ

Por lo tanto, si, por ejemplo, se quiere restringir el ángulo de torsión de un elemento ante un torque determinado, deberá reducirse la longitud del elemento o viene utilizarse un material con un mayor módulo de rigidez o un eje de diámetro mayor.

2.4 MÓDULO DE RIGIDEZ

La relación entre el esfuerzo cortante y la deformación se expresa como un ángulo, y está dada por la ley de Hooke, es decir sigue una variación lineal, donde la constante de proporcionalidad es G, llamada módulo de elasticidad al cortante.

τ=Gγ

Donde τ es el esfuerzo cortante (en lb/plg2 o en N/m2), G es el módulo de elasticidad al esfuerzo cortante (en lb/plg2 o en N/m2) y γ es la deformación por cortante (en radianes). Por lo que dicho de otra forma, el módulo de rigidez es el esfuerzo necesario para deformar al elemento en un radián. 2.4.1 MÓDULOS DE RIGIDEZ DE DISTINTOS MATERIALES

A continuación se presenta una tabla elaborada por la American Society for Metals (ASM), donde se detallan los módulos de rigidez, así como otras propiedades físicas de algunos materiales comúnmente usados en ingeniería.

Los materiales considerados anteriormente son elásticos lineales e isótropos, es decir sus deformaciones varían linealmente con el esfuerzo hasta cierto punto, y poseen las mismas propiedades independientemente de la dirección en la que se apliquen las fuerzas.

III. DATOS OBTENIDOS

Tabla No. 1 Medidas de los instrumentos y probetas, cargas aplicadas y ángulos de torsión

 Masa

(g)

Radio de la polea (m)

Angulo de torsión del

eje (°)

Ángulo de torsión del eje (rad)

Diámetro del eje (m)

Longitud del eje (m)

11

100 0.075 3 ± 0.5 0.05235988 ± 0.02617917 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

200 0.075 8.5 ± 0.5 0.14835299 ± 0.07417431 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

300 0.075 13 ± 0.5 0.2268928 ± 0.11344306 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

400 0.075 19 ± 0.5 0.33161256 ± 0.16580139 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

33

100 0.075 20 ± 0.5 0.34906585 ± 0.17452778 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

200 0.075 24 ± 0.5 0.41015237 ± 0.20507014 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

300 0.075 28 ± 0.5 0.48869219 ± 0.24433889 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

400 0.075 34 ± 0.5 0.5846853 ± 0.29233403 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

22

100 0.075 2 ± 0.5 0.03490659 ± 0.01745278 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

200 0.075 4 ± 0.5 0.06981317 ± 0.03490556 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

300 0.075 6 ± 0.5 0.10471976 ± 0.05235833 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

400 0.075 8 ± 0.5 0.13962634 ± 0.06981111 0.004 ± 0.005 1 ± 0.005

Corto

100 0.075 6.5 ± 0.5 0.1134464   0.05672153 0.004 ± 0.005 0.432 ± 0.005

200 0.075 15 ± 0.5 0.26179939   0.13089583 0.004 ± 0.005 0.432 ± 0.005

300 0.075 22 ± 0.5 0.37524579   0.18761736 0.004 ± 0.005 0.432 ± 0.005

400 0.075 28 ± 0.5 0.48869219   0.24433889 0.004 ± 0.005 0.432 ± 0.005

IV. CÁLCULOS

Tabla No. 2 Cargas, torques aplicados, esfuerzos cortantes máximos

Carga (N)

Torque aplicado

(N-m)

Momento polar de inercia (m^4)

τmax (MPa) γ (rad)

11

0.98 0.0735 2.5133E-08 5.848944160.00010472

1.96 0.147 2.5133E-08 11.69788830.00029671

2.94 0.2205 2.5133E-08 17.54683250.00045379

3.92 0.294 2.5133E-08 23.39577660.00066323

33

0.98 0.0735 2.5133E-08 5.848944160.00069813

1.96 0.147 2.5133E-08 11.69788830.0008203

2.94 0.2205 2.5133E-08 17.54683250.00097738

3.92 0.294 2.5133E-08 23.39577660.00116937

22

0.98 0.0735 2.5133E-08 5.848944166.9813E-05

1.96 0.147 2.5133E-08 11.69788830.00013963

2.94 0.2205 2.5133E-08 17.54683250.00020944

3.92 0.294 2.5133E-08 23.39577660.00027925

Corto

0.98 0.0735 2.5133E-08 5.848944160.00052521

1.96 0.147 2.5133E-08 11.69788830.00121203

2.94 0.2205 2.5133E-08 17.54683250.00173725

3.92 0.294 2.5133E-08 23.39577660.00226246

Gráfica No. 1 Ángulo de torsión vs. Torque aplicado (Eje delgado 11)

El valor de la pendiente de la gráfica mostrada es de 1.2467 para la recta de mejor ajuste. Dado que la razón entre la longitud del eje delgado y su momento polar de inercia es de 3.97x1010 (m3), el módulo de rigidez estaría dado por el cociente entre este último valor y la pendiente de la gráfica, y sería igual a 31.92 GPa.

Gráfica No. 2 Ángulo de torsión vs. Torque aplicado (Eje delgado 33)

Pendiente: 1.068568930612245. Módulo de rigidez: 37.2 GPa.

Gráfica No. 3 Ángulo de torsión vs. Torque aplicado (Eje delgado 22)

Pendiente: 0.47492. Módulo de rigidez: 83.78 GPa.

Gráfica No. 4 Ángulo de torsión vs. Torque aplicado (Eje corto)

Pendiente: 1.6859. Módulo de rigidez: 10.19 GPa.

Gráfica No. 5 Esfuerzo cortante máximo vs. Deformación (Eje delgado 11)

Gráfica No. 6 Esfuerzo cortante máximo vs. Deformación (Eje delgado 33)

Gráfica No. 7 Esfuerzo cortante máximo vs. Deformación (Eje delgado 22)

ESFU ER ZO VS. DEFOR M ACI ÓN

E S F U E R ZO (P a )

5e+06

1e+07

1.5e+07

2e+07

2.5e+07

E S F U E R ZO (P a )

5e+06

1e+07

1.5e+07

2e+07

2.5e+07

D E F O R M A C I Ó N (R A D )

5e−05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003

5e−05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003

Gráfica No. 8 Esfuerzo cortante máximo vs. Deformación (Eje corto)

ESFU ER ZO VS. DEFOR M ACI ÓN

E S F U E R ZO (P a )

5e+06

1e+07

1.5e+07

2e+07

2.5e+07

E S F U E R ZO (P a )

5e+06

1e+07

1.5e+07

2e+07

2.5e+07

D E F O R M A C I Ó N (R A D )

0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025

0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025

Tabla No. 3 Posible material de fabricación de cada eje de acuerdo a la proximidad de su módulo de rigidez experimental y el modulo de rigidez del material reportado por la ASM

Eje Módulo de rigidez (GPa) Material11 31.92 Aleación de zinc33 37.2 Latón, cobre22 87.8 Acero al carbono

Corto

10.2 Aleación de magnesio

Tabla No. 4 Posible material de fabricación de cada eje asumiéndolo de latón o acero

Eje Módulo de rigidez (GPa) Material11 31.92 Latón33 37.2 Latón22 87.8 Acero

Corto

10.2 Latón

V. RESULTADOS

5.1 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Los módulos de rigidez obtenidos experimentalmente resultaron muy similares a los módulos de rigidez consultados. Especialmente semejantes fueron los valores de G para el acero al carbono (según la ASM) y el eje 33 ensayado a torsión en la práctica.

No obstante, en los demás ejes se obtuvieron módulos de cizalladura muy distintos, los cuales no resultaban comparables a un material en específico, de acuerdo a los reportados por la ASM.

Debe tomarse en cuenta que las variaciones posiblemente se debieron a la fatiga del material en las probetas, ya que éstas han estado en uso para las mismas pruebas de laboratorio en repetidas ocasiones. Además, en el cálculo del torque aplicado, se debe añadir al radio de la polea la distancia del gancho al que se sujetaba el cable, ya que es a partir de este de donde se ejercía realmente el torque, y no directamente al borde de la polea, lo cual aunque es una diferencia pequeña puede producir una propagación de error considerable .

En el caso del eje corto debe prestarse atención al hecho de que este había sido soldado anteriormente, ya que el material había fallado en una prueba similar. En general, puede decirse que, debido a las imprecisiones para comparar los módulos de rigidez teóricos y los experimentales, no es posible determinar adecuadamente el material con el que fue construido cada eje, por lo que el experimento debe limitarse a señalar que los módulos de rigidez encontrados son cercanos a los de ciertos materiales reportados por la ASM. O bien si se asume que los ejes están construidos de latón o acero, solo el eje 33 sería similar en rigidez al acero al carbono, mientras que los demás tendrían mayor semejanza con el latón.

5.2 CONCLUSIONES

El eje delgado 11, presentaba un módulo de rigidez (31.92 GPa) similar al módulo de rigidez de la aleación de zinc (31.1 GPa).

El eje delgado 33 presentaba un módulo de rigidez similar al módulo de rigidez del latón o del cobre (41.5 GPa).

El eje delgado 22 presentaba un módulo de rigidez (87.8 GPa) similar al módulo de rigidez del acero al carbono (80.8 GPa).

El eje corto presentaba un módulo de rigidez (10.2 GPa) similar al módulo de rigidez de la aleación de magnesio (16.8 GPa).

Asumiendo que los ejes son de latón o acero: los ejes 11, 33 y el eje corto son de latón, y el eje 22 es de acero.

5.3 RECOMENDACIONES

Utilizar probetas nuevas, ya que la fatiga del material puede hacer que el módulo de rigidez se vea reducido.

Se debe verificar que las probetas no se encuentren tensas ya que se puede afectar la distribución de esfuerzos.

Se debe añadir al radio de la polea la longitud del gancho al que se sujetaba el cable, ya que es a partir de este de donde se ejercía realmente el torque.

BIBLIOGRAFÍA

ASM. (2012). Metals Handbook. Ohio: Materials Park.

Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. (2a. ed.). México: Mc Graw Hill.

Fitzgerald, R. (1990). Mecánica de materiales. México: Alfaomega.