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TORRES DE ENFRIAMIENTO
CON AGUA
Se considerará una torre empacada
para enfriamiento de agua con aire que
fluye hacia arriba y agua a
contracorriente. El proceso se lleva a
cabo adiabáticamente.
Donde:
L es el flujo de agua, kg de agua/ s.m2
TL es la temperatura del agua en °C
G es el flujo de aire en kg/s.m2
TG es la temperatura del aire en °C
Hy es la entalpia de la mezcla de aire-
vapor de agua en J/kg de aire seco
H es la humedad del aire en kg agua /
kg aire seco.
dz
z
Agua,
TL2,L2
Agua,
TL1,L1 Aire,
TG1 , G1, Hy1, H1
L
TL
G
TG
Aire,
TG2 , G2, Hy2, H2
El área interfacial total entre las fases
aire y agua se desconoce, puesto que
el área superficial del empaque no es
igual al área interfacial entre las
gotas de agua y el aire. Por
consiguiente se define una cantidad
a, que es m2 de área interfacial por
m3 de volumen de sección empacada.
Esto se combina con el coeficiente
de transferencia de masa de la fase
gaseosa kG en kmol/s.m2.Pa para
obtener un coeficiente volumétrico
kGa en kmol/s.m3 de volumen.Pa.
dz
z
Agua,
TL2,L2
Agua,
TL1,L1 Aire,
TG1 , G1, Hy1, H1
L
TL
G
TG
Aire,
TG2 , G2, Hy2, H2
Si se efectúa un balance total de
calor para la sección marcada
con líneas punteadas se tendrá
la línea de operación:
dz
z
Agua,
TL2,L2
Agua,
TL1,L1
Aire,
TG1 , G1, Hy1
L
TL
G
TG
)()( 11 LLLyy TTLcHHG
Donde L es esencialmente
constante y cL es la capacidad
calorífica del líquido que se
supone constante e igual a
4.187 x 103 J/kg.K.
Aire,
TG2 , G2, Hy2, H2
Si se efectúa un balance de calor
para la altura dz de la columna y
despreciar los términos de calor
sensible en comparación con el
calor latente:
dz
Agua,
TL2,L2
Agua,
TL1,L1
Aire,
TG1 , G1, Hy1, H1
L
TL G
TG
yLL GdHdTLc
)()( 1212 LLLyy TTLcHHG
Para un balance de calor en
toda la torre:
Aire,
TG2 , G2, Hy2, H2
z
Donde hL es el coeficiente
volumétrico de transferencia de
calor de la fase líquida en W/m3.K
y Ti es la temperatura de la interfaz.
Para una transferencia adiabática
de masa, la velocidad de
transferencia de calor debida al
calor latente en el vapor de agua
que se está transfiriendo, se puede
obtener por:
Calor sensible
en el líquido
Calor latente en
el aire
Calor sensible
en el aire
Interfase
)( iLLyLL TTadzhGdHdTLc
La transferencia total de calor sensible
del volumen del líquido a la interfaz es
Donde q/ A está en W/m2
MB es el peso molecular del aire.
kGa es un coeficiente volumétrico de transferencia de masa en el
gas en kmol/s.m3. Pa
P es la presión atmosférica en Pascal.
o es el calor latente del agua en J/kg agua
Hi es la humedad del gas en la interfaz en kg agua/ kg aire seco.
HG es la humedad del gas en la fase gaseosa masiva en kg de
agua/ kg de aire seco.
dzHHaPkMA
qGioGB )(
La velocidad de transferencia de calor sensible en el gas es:
dzTTahA
qGiG
s )(
Donde qs/A se da en W/m2 y
hGa es el coeficiente
volumétrico de transferencia
de calor en el gas en W/m3.K
Calor sensible
en el líquido
Calor latente en
el aire
Calor sensible
en el aire
Interfase
TEORIA DE LA TORRE PARTE SUPERIOR
Calor latente en
el gas Calor sensible
en el líquido
Calor sensible
en el gas
AGUA AIRE
TL
Interfaz
Ti
TG
Vapor de agua
Hi
HG
Película efectiva de agua Película efectiva de aire
Se suman las ecuaciones de calor sensible y latente:
akM
akc
yB
Gs
aPkM
akc
GB
Gs
Sustituyendo kya por PkGa:
Esta ecuación se sustituye en la ecuación que suma
las ecuaciones de calor sensible y latente.
La definición de calor húmedo:
dzTTahHHaPkMGdH CiGGioGBy )()(
Calor sensible
en el líquido
Calor latente en
el aire
Calor sensible
en el aire
Interfase
Sumando y restando cS To en los corchetes:
2
1
y
y
H
H yyi
y
GB HH
dH
aPkM
Gz
REORDENANDO:
)( yyiGBy HHaPdzkMGdH
GoGSioiSGBy HTcHTcaPdzkMGdH
GooGSiooiSGBy HTTcHTTcaPdzkMGdH )()(
)( yyi HH
Igualando la ecuación de transferencia de calor sensible:
Li
yyi
BG
L
TT
HH
PaMk
ah
)()( yyiGBiLLyLL HHaPdzkMTTadzhGdHdTLc
)( iLLyLL TTadzhGdHdTLc
)( yyiGBy HHaPdzkMGdH
Con la ecuación obtenida:
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1 12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
Línea de operación
Línea de equilibrio
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de equilibrio
TL Ti
Hyi
Hy PaMk
ahpendiente
BG
L
Línea de operación
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES DE PELÍCULA
DE TRANSFERENCIA DE MASA
La fuerza impulsora Hyi -Hy se calcula para varios valores de TL
entre TL1 y TL2.
TL Hy Hyi 1/(Hyi- Hy)
TL1
TL2
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES DE PELÍCULA
DE TRANSFERENCIA DE MASA
2
1
y
y
H
H yyi
y
HH
dH
Hy1 Hy2
)(
1
yyi HH
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES DE PELÍCULA
DE TRANSFERENCIA DE MASA
Finalmente el valor de la integral se reemplaza en la ecuación para
hallar la altura de la torre en metros:
2
1
y
y
H
H yyi
y
GB HH
dH
aPkM
Gz
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2MAX
Hy1
12
1max2
min LL
yy
imo
L
TT
HH
G
Lc
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2MAX
Hy1
12
1max2
min LL
yy
imo
L
TT
HH
G
Lc
EJEMPLO
• Se desea enfriar agua desde 43.3 ºC hasta 29.4 ºC en una torre de enfriamiento de agua empacada trabajando a contracorriente con un flujo de aire húmedo de 15000 m3/h. Se desea que en la torre la velocidad de flujo del aire sea de 1.356 kg de aire seco/s.m2 y una velocidad de flujo de agua de 1.356 kg de agua/s.m2. El aire de entrada tiene 29.4 ºC y una temperatura de bulbo húmedo de 23.9 ºC.
• El coeficiente de transferencia de masa kGa tiene un valor estimado de 1.207 x10-7 kmol/s.m3.Pa y hLa/kGaMBP es 4.187 x 104. Si la torre opera a una presión de 1.013 x 105 Pa. Calcular:
• A) El flujo mínimo de aire.
• B) El área de la sección transversal de la torre.
• C) La altura de la torre empacada.
DATOS DE EQUILIBRIO TL (º C) HY (J/KG aire seco)
15.6 43.68 x 103
26.7 84.0 x 103
29.4 97.2 x 103
32.2 112.1 x 103
35.0 128.9 x 103
37.8 148.2 x 103
40.6 172.1 x 103
43.3 197.2 x 103
46.1 224.5 x 103
60.0 461.5 x 103
Agua,
TL2= 43.3 ºC
Agua,
TL1=29.4 ºC
Aire,
TG1 = 29.4 ºC
TW1= 23.9 ºC
H1= 0.0165 kg agua/kg aire seco
L
TL
G
TG
Carta psicrométrica
Humedad relativa
60
H
um
edad
ab
solu
ta k
g/k
g a
ire
seco
20
Tª bulbo seco ºC
90 70 50 40 30 60
-10 5 0 -5 35 50 45 40 55
30
25
20
15
-10
-5 0
5
10
10
0.005
0.000
0.010
0.015
0.020
0.025
12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
1111 4.250188.1005.1sec
HTHokgaire
kJH GY
kgJxokgaire
kJHY /107.71
sec
3
1
4.293.43
107.71
356.1
)10187.4(356.13
23
xHx y
oairekgjxHY sec../109.129 3
2
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2MAX
71700
4.293.43
71700)4187)(356.1( max2
min
y
imo
H
G
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
129900
71700 12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
Línea de operación
Línea de equilibrio
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
TL Ti
Hyi
Hy
31087.41 xPaMk
ahpendiente
BG
L
VALORES DE LA ENTALPÍA
Hyi Hy Hyi-Hy 1/(Hyi – Hy)
94.4 x 103 71.7 x 103 22.7 x 103 4.41 x 10-5
108.4 x 103 83.5 x 103 24.9 x 103 4.02 x 10-5
124.4 x 103 94.9 x 103 29.5 x 103 3.39 x 10-5
141.8 x 103 106.5 x 103 35.3 x 103 2.83 x 10-5
162.1 x 103 118.4 x 103 43.7 x 103 2.29 x 10-5
184.7 x 103 129.9 x 103 54.8 x 103 1.82 x 10-5
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES DE PELÍCULA
DE TRANSFERENCIA DE MASA
82.1
2
1
y
y
H
H yyi
y
HH
dH
71700 129900
)(
1
yyi HH
2
1
y
y
H
H yyi
y
GB HH
dH
aPkM
Gz
)82.1()10013.1)(10207.1)(29(
356.157 xx
z
mz 98.6
)()1056.41083.2(sec
333
KTHxxokgaire
mVH
)15.2734.29)(0165.01056.41083.2(sec
333
xxxokgaire
mVH
Con la temperatura de entrada del aire de 29.4 ºC y su humedad
H1 = 0.0165
oairekg
mVH
sec..8970.0
3
s
oairekg
húmedoairem
oairekgx
s
hx
h
húmedoairem sec..6451.4
..897.0
sec..1
3600
1.15000
3
3
Del aire húmedo calculamos la cantidad de aire seco con el
volumen húmedo.
Calculamos el área transversal de la torre si dividimos el flujo
de aire fresco sobre la velocidad de flujo del aire en la torre:
2
2
43.3
.
sec..356.1
sec..6451.4
m
ms
oairekgs
oairekg
área
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES GLOBALES DE
TRANSFERENCIA DE MASA
En la mayor parte de los casos no se dispone de los coeficientes de
película experimentales y sólo se dispone del coeficiente global de
transferencia de masa KGa en kmol/s.m3.Pa o kmol/s.m3.atm y la
ecuación se transforma en:
2
1
*
y
y
H
H yy
y
GB HH
dH
aPKM
Gz
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Temperatura del líquido (°C)
TL1 TL2
Hy2
Hy1
TL
Hy
Hy1*
Hy*
Hy2*
Línea de operación
Línea de equilibrio
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES GLOBALES DE
TRANSFERENCIA DE MASA
La fuerza impulsora Hy* -Hy se calcula para varios valores de TL
entre TL1 y TL2.
TL Hy Hy* 1/(Hy
*- Hy)
TL1
TL2
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES GLOBALES DE
TRANSFERENCIA DE MASA
2
1
*
y
y
H
H yy
y
HH
dH
Hy1 Hy2
)(
1*
yy HH
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO COEFICIENTES GLOBALES DE
TRANSFERENCIA DE MASA
Finalmente el valor de la integral se reemplaza en la ecuación para
hallar la altura de la torre en metros:
2
1
*
y
y
H
H yy
y
GB HH
dH
aPKM
Gz
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO LA ALTURA DE UNA UNIDAD
DE TRANSFERENCIA
Muchas veces se usa otra forma del coeficiente de transferencia de
masa de película:
2
1
y
y
H
H yyi
y
GHH
dHHz
aPkM
GH
GB
G
Donde HG es la altura de una unidad de transferencia de
entalpia gaseosa en metros. Se utiliza con frecuencia
puesto que depende menos de las velocidades de flujo que
kGa.
En cambio la integral recibe el nombre de número de
unidades de transferencia.
2
1
y
y
H
H yyi
y
HH
dH
DISEÑO DE UNA TORRE DE ENFRIAMIENTO
UTILIZANDO LA ALTURA DE UNA UNIDAD
DE TRANSFERENCIA
Otras veces se usa el coeficiente general de transferencia de masa
Kga en kmol/s.m3.Pa
2
1
2
1
**
y
y
y
y
H
H yy
y
OG
H
H yy
y
GB HH
dHH
HH
dH
aPKM
Gz
Donde HOG es la altura de una unidad de transferencia general de
entalpia gaseosa en metros.
EJEMPLO
• Se desea enfriar agua desde 43.3 ºC hasta 29.4 ºC en
una torre de enfriamiento de agua empacada trabajando
a contracorriente con un un flujo de gas de 1.356 kg de
aire seco/s.m2 y una velocidad de flujo de agua de
1.356 kg de agua/s.m2. El aire de entrada tiene 29.4 ºC
y una temperatura de bulbo húmedo de 23.9 ºC.
• El coeficiente de transferencia de masa KGa tiene un
valor estimado de 1.207 x10-7 kmol/s.m3.Pa . Si la torre
opera a una presión de 1.013 x 105 Pa. Calcular la
altura de la torre empacada.
Agua,
TL2= 43.3 ºC
Agua,
TL1=29.4 ºC
Aire,
TG1 = 29.4 ºC
TW1= 23.9 ºC
H1= 0.0165 kg agua/kg aire seco
L
TL
G
TG
12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
1111 4.250188.1005.1sec
HTHokgaire
kJH GY
kgJxokgaire
kJHY /107.71
sec
3
1
4.293.43
107.71
356.1
)10187.4(356.13
23
xHx y
oairekgjxHY sec../109.129 3
2
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
129900
71700 12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
Línea de operación
Línea de equilibrio
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Temperatura del líquido (°C)
29.4 43.3
Hy2*
71700
TL
Hy
Hy1*
Hy*
129900
Línea de operación
Línea de equilibrio
VALORES DE LA ENTALPÍA
Hy* Hy Hy
* -Hy 1/(Hy
* – Hy)
101 x 103 71.7 x 103 22.7 x 103 4.41 x 10-5
150 x 103 83.5 x 103 24.9 x 103 4.02 x 10-5
175 x 103 94.9 x 103 29.5 x 103 3.39 x 10-5
190 x 103 106.5 x 103 35.3 x 103 2.83 x 10-5
195 x 103 118.4 x 103 43.7 x 103 2.29 x 10-5
200 x 103 129.9 x 103 54.8 x 103 1.82 x 10-5
2
1
*
y
y
H
H yy
y
HH
dH
71700 129900
)(
1*
yy HH
2
1
*
y
y
H
H yy
y
GB HH
dH
aPKM
Gz
)72.1()10013.1)(10207.1)(29(
356.157 xx
z
TEMPERATURA Y HUMEDAD DE LA
CORRIENTE DE AIRE EN LA TORRE
• La formación de niebla en la fase vapor es una limitante para el intervalo de condiciones prácticas de operación.
• La niebla se formará cuando la fase gaseosa global alcanza la supersaturación. La niebla representa un inconveniente serio ya que las pérdidas de agua son elevadas en una operación de enfriamiento de agua y en una operación de deshumidificación se frustra el objetivo principal.
MÉTODO DE MICKLEY
La velocidad de transferencia de calor sensible en el gas es:
GsGiGs dTGcdzTTah
A
q )(
Combinando con:
)( yyiGBy HHaPdzkMGdH
PaMk
ahc
BG
cs
MÉTODO DE MICKLEY
Se genera:
Gi
yyi
G
y
TT
HH
dT
dH
yyi
Gi
y
G
HH
TT
H
T
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
Temperatura de
salida del aire
• La construcción paso a paso de Mickley puede proceder
en sentido opuesto para determinar las constantes kGa, hca
y hLa partir de un sólo conjunto de datos de prueba.
TL1 TL2
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
TG1
Temperatura de
salida del aire
TEMPERATURA DE BULBO
HÚMEDO DEL AIRE DE SALIDA
La temperatura de bulbo húmedo del aire de salida TG2
se puede encontrar con la entalpía de salida y con la
temperatura de bulbo seco del aire de salida hallada por
el método de Mickley. Con la fórmula de la entalpía y la
temperatura se puede hallar la humedad y luego con eso
en la carta se halla la temperatura de bulbo húmedo.
2222 4.250188.1005.1sec
HTHokgaire
kJH GY
EJEMPLO
• Se desea enfriar agua desde 43.3 ºC hasta 29.4 ºC en una torre de enfriamiento de agua empacada trabajando a contracorriente con un flujo de aire húmedo de 15000 m3/h. Se desea que en la torre la velocidad de flujo del aire sea de 1.356 kg de aire seco/s.m2 y una velocidad de flujo de agua de 1.356 kg de agua/s.m2. El aire de entrada tiene 29.4 ºC y una temperatura de bulbo húmedo de 23.9 ºC.
• El coeficiente de transferencia de masa kGa tiene un valor estimado de 1.207 x10-7 kmol/s.m3.Pa y hLa/kGaMBP es 4.187 x 104. Si la torre opera a una presión de 1.013 x 105 Pa. Calcular:
• A) La temperatura de salida del aire.
• B) La temperatura de bulbo húmedo de la salida del aire.
Agua,
TL2= 43.3 ºC
Agua,
TL1=29.4 ºC
Aire,
TG1 = 29.4 ºC
TW1= 23.9 ºC
H1= 0.0165 kg agua/kg aire seco
L
TL
G
TG
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Línea de operación
Línea de equilibrio
29.4 43.3
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
Hy2
Hy1
Temperatura de salida
del aire es 31 ºC
12
12
LL
yyL
TT
HH
G
Lcpendiente
1111 4.250188.1005.1sec
HTHokgaire
kJH GY
kgJxokgaire
kJHY /107.71
sec
3
1
4.293.43
107.71
356.1
)10187.4(356.13
23
xHx y
oairekgjxHY sec../109.129 3
2
2222 4.250188.1005.1sec
HTHokgaire
kJH GY
22 4.2501)31(88.1005.1129900 HH
2H
Con la humedad y la temperatura de bulbo seco de la salida del aire
se va a la carta psicrométrica se determina la temperatura de bulbo
húmedo del aire de salida.
Carta psicrométrica
Humedad relativa
60
H
um
edad
ab
solu
ta k
g/k
g a
ire
seco
20
Tª bulbo seco ºC
90 70 50 40 30 60
-10 5 0 -5 35 50 45 40 55
30
25
20
15
-10
-5 0
5
10
10
0.005
0.000
0.010
0.015
0.020
0.025
DETERMINACIÓN DE
COEFICIENTES DE PELÍCULA 1) Con las temperaturas globales de entrada y salida del agua
y del aire, así como las humedades del aire, quedan fijados
los puntos extremos de la línea de operación y las
condiciones iniciales y finales del aire.
2) La curva de la condición de aire se obtiene suponiendo un
valor de –hLa/kGa y graficando la curva paso a paso. Si
esta curva no cumple la condición final debe escoger un
nuevo valor de –hLa/kGa
3) Una vez que se encuentra un valor apropiado de la
relación –hLa/kGa se lee la fuerza impulsora.
PROCEDIMIENTO
2
1
y
y
H
H yyi
y
GB HH
dH
aPkM
Gz
Se calcula la integral y conociendo el valor de z:
Se obtiene kGa.
Luego: valor
ak
ah
G
L
Se obtiene hLa.
En la torre de deshumidificación el agua
fría se usa para reducir la humedad y la
temperatura del aire que entra.
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
TL1 TL2
Línea de operación Hy1
Hy2
Línea de equilibrio
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
TL1 TL2
Hy1
Hy2
1
2
y
y
H
H yiy
y
GB HH
dH
aPkM
Gz
Para coeficientes de película
Temperatura del líquido (°C)
Entalpia Hy
J/kg gas seco
TL1 TL2
Hy1
Hy2
1
2
*
y
y
H
H yy
y
GB HH
dH
aPKM
Gz
Para coeficientes globales