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TOPOLOGÍA DIGITALAlgoritmos topológicos para imágenes digitales

Facultad de Informática (UPM)

Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 1 / 1

Algoritmos topológicos para imágenes digitales Transformaciones de imagen

Transformaciones de imagen

Una transformación de imagen es una función T que al ser aplicada a unaimagen nos proporciona una nueva imagen.Un algoritmo A de imagen consiste en una sucesión {T1,T2,T3, . . . ,Tn} detransformaciones de imagen y una condición de terminación T .La aplicación del algoritmo consistirá en la aplicación sucesiva e iteradade las transformaciones que lo componen hasta llegar a la condición determinación T .


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Reducción 2-dimensional de imágenes

Reducción 2-dimensional de imágenes

Sea P = (Z2,m, n,N) una imagen digital y sea D ⊂ N. Sea P ′ =(Z2,m, n,N \ D). Se dice que P ′ es una reducción (“shrinking”) de Psi la eliminación de los puntos de D “preserva la topoloǵıa” (en el sentidoque se indica más adelante).La operación de reducción de imágenes se utiliza como una operación depreprocesamiento en tratamiento de imágenes, por ejemplo para recuentode componentes o para escoger semillas para etiquetarlas.Existen esencialmente dos formas de reducción de imágenes:

La imagen inicial se transforma en una imagen topológicamenteequivalente.

La imagen inicial se transforma en una imagen con las mismascomponentes conexas.

Nosotros nos centraremos en el primer tipo.


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Reducción 2-dimensional de imágenes

Reducción 2-D con preservación de la topoloǵıa

Este tipo de trasformaciones se utilizan como preprocesamiento enreconocimiento de formas. Su objetivo es reducir el conjunto de puntosde la imagen sin alterar la topoloǵıa de la misma.Uno de los criterios de preservación de topoloǵıa que se utilizan es elsiguiente.

Definición

Sea P = (Z2,m, n,N) una imagen digital y sea D ⊂ N. Se dice que laeliminación de los puntos de D preserva la topoloǵıa si P ′ = (Z2,m, n,N\D)verifica que

i) cada componente negra de P contiene exactamente una componentenegra de P ′,

ii) cada componente blanca de P ′ contiene exactamente una componenteblanca de P.

El criterio anterior no es válido para imágenes tridimensionales.


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Puntos simples en imágenes 2-dimensionales

Puntos simples en imágenes 2-dimensionales

Definición

Un punto negro de una imagen digital es un punto simple si su eliminaciónpreserva la topoloǵıa.El siguiente cálculo directo permite determinar si un punto p es 8-simple:

p simple⇔ [p′2∧(p3∨p4)]+[p′4∧(p5∨p6)]+[p′6∧(p7∨p8)]+[p′8∧(p1∨p2)] = 1

(esto es, p es simple si y solo si exactamente uno de los sumandos anterioreses 1).Por ejemplo, para la configuración

e e eu u eu u u

p

[p′2∧(p3∨p4)]+[p′4∧(p5∨p6)]+[p′6∧(p7∨p8)]+[p′8∧(p1∨p2)] = 0+0+1+0 = 1.




Teorema

Sea p un punto frontera no aislado de una imagen digital P = (Z2,m, n,N).Entonces son equivalentes

i) p es un punto simple,

ii) p es m-adyacente a exactamente una m-componente deN(p) ∩ (N \ {p}),

iii) p es n-adyacente a exactamente una n-componente de N(p) \ N.

Observación

El teorema anterior implica que un punto es punto simple deP = (Z2,m, n,N) si y solo si lo es de P ′ = (Z2, n,m,Nc ∪ {p}).



Eliminación secuencial de puntos simples

Si P = (Z2,m, n,N) es una imagen digital tal que N es no vaćıo, conexo y notiene agujeros, entonces P puede transformarse por eliminación o adicciónsecuencial de puntos simples en una imagen digital formada por un únicopunto negro.Si P = (Z2,m, n,N) es una imagen digital tal que N es no vaćıo, conexoy con un único agujero, entonces P puede transformarse por eliminación oadicción secuencial de puntos simples en una imagen digital formada por unúnico arco cerrado.Si P = (Z2,m, n,N) y P ′ = (Z2,m, n,N ′) son dos imágenes digitales talesque N y N ′ son no vaćıos, conexos y con el mismo número de agujeros,entonces P puede transformarse por eliminación o adicción secuencial depuntos simples en P ′.Si P = (Z2, 4, 8,N) es una imagen digital, P puede transformarse poreliminación secuencial de puntos simples en una imagen que no contenganingún rectángulo 3×2 de puntos negros.


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Eliminación secuencial de puntos simples

Eliminación secuencial de puntos simples

Sea T la aplicación de imagen que barre la imagen secuencialmente y quepara cada punto p, cuando llega su turno, lo borra si p es un punto simple.El ejemplo más obvio de algoritmo de imagen que preserva la topoloǵıaconsiste en aplicar repetidamente esta aplicación, hasta que una de estasiteraciones no consigue eliminar ningún punto negro.En la siguiente figura se puede ver un ejemplo para (8, 4)-imágenes

c c c c c c c c cc s s s c c s s cc s s s c c s s cc s c s s s s s cc s s s c c s c cc s s s s s s c cc c c c c c c c c

-Iter.1

c c c c c c c c cc c c c c c c c cc c s s c c c s cc s c c s s s c cc c s s c c s c cc c c c s s c c cc c c c c c c c c

p -Iters.2 y 3

c c c c c c c c cc c c c c c c c cc c s s c c c c cc s c c s s c c cc c s s c c s c cc c c c s s c c cc c c c c c c c c

El soporte de este algoritmo consta de 9 pixels (ḿınimo soporte posible paraun (8,4)-algoritmo reductivo que preserve componentes).Este algoritmo no reduce las imágenes a equivalentes topológicos minimales,puesto que en algunos casos la imagen original no contiene ninguno de éstos.Para obtener esto habŕıa que utilizar un algoritmo que no solo eliminarapuntos sino que también permitiera añadirlos.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 8 / 1

Algoritmos topológicos para imágenes digitales Eliminación en paralelo de puntos simples

Eliminación en paralelo de puntos simples

La eliminación en paralelo de puntos simples no tiene porqué preservar latopoloǵıa. El ejemplo más sencillo es la siguiente figura en la que tanto pcomo q son puntos simples pero no podemos eliminar ambos.

d d d d d d dd t t t t t dd t t t t t dd d d d d d d

qp

Se pueden dar condiciones adicionales para garantizar la preservación detopoloǵıa al eliminar en paralelo varios puntos simples.




i) Una opción es eliminar únicamente los puntos simples que sean fronteranorte (o este, oeste o sur), alternando ćıclicamente las 4 posibles direcciones.En el ejemplo anterior no eliminariamos q.Esta opción se basa en el siguiente teorema.

Teorema

Sea P = (Z2,m, n,N) una imagen digital. Entonces la eliminación enparalelo de cualquier número de puntos frontera norte simples de N, que seanadyacentes al menos a otros 2 puntos negros de N, preserva la topoloǵıa.

Este teorema se utiliza para construir algoritmos de adelgazamiento.




ii) También se puede dividir el plano digital en varios subcampos, como lossiguientes, y aplicar el algoritmo ćıclicamente a éstos subcampos.Una posibilidad es considerar los subcampos de la siguiente figura:

c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2c3 c4 c3 c4 c3 c4 c3 c4c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2c3 c4 c3 c4 c3 c4 c3 c4

Como dos puntos en un mismo subcampo nunca son 8-adyacentes, laeliminación en paralelo de todos los puntos simples de uno de estossubcampos preservará la topoloǵıa.

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Otra división que se ha utilizado, con sólo 2 subcampos, es la siguiente:


que funciona en el caso de eliminación en paralelo de puntos simples para(4, 8)-imágenes, y en el caso de (8, 4)-imágenes si imponemos la condiciónadicional de no eliminar los 2 puntos negros de una componente conexaformada por unicamente 2 puntos en diagonal.




iii) Otra posibilidad es imponer alguna condición adicional, aumentando elsoporte del algoritmo, que controle como influye la eliminación de un puntosimple en sus vecinos.Un ejemplo es el de cualquier operador que cumpla las siguientescondiciones, válidas para (8, 4)-imágenes digitales:

R1. Si p es eliminado, p es 8-simple.

R2. Si 2 puntos negros 4-adyacentes son eliminados, su eliminación preservala topoloǵıa.

R3. Ninguna 8-componente de 2, 3 ó 4 puntos negros mutuamente 8-adyacentes es totalmente eliminada.

Éstas condiciones no son sólo suficientes, sino que son necesarias paraalgoritmos que cumplen algunas condiciones sobre el soporte, que incluyena los operadores 3× 3.




Para verificar R1 hemos visto algunos métodos. En el peor de los casosrequeriŕıa considerar las 28 = 256 configuraciones posibles de N∗(p). Deéstas, 116 corresponden a puntos simples y 140 a puntos no simples.Para comprobar R2, supuesto que se cumple R1, tendŕıamos que considerartodas las posibles configuraciones de pares de puntos {p, q} 8-simples 4-adyacentes, tales que {p, q} no es una 8-componente negra. De las 210configuraciones posibles para N∗({p, q}) = (N(p) ∪ N(q)) \ {p, q}, paracada orientación posible de {p, q} (horizontal y vertical), 192 correspondena configuraciones en las que no se pueden eliminar ambos puntos sin alterarla topoloǵıa. Ejemplos de estas configuraciones son

d d t d d d t t d t t dd t t d t t t d d t t dd t d d t t d d d t t d

p q p q p q

Afortunadamente, no es necesario comprobar todas las configuracionesanteriores para comprobar que se cumplen R2. Se tiene el siguienteresultado.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 14 / 1



Proposición

La eliminación de un par {p, q} de puntos negros 4-adyacentes preserva latopoloǵıa si y solo si N∗({p, q}) = ((N(p) ∪ N(q)) \ {p, q}) ∩ N es unconjunto 8-conexo no vaćıo y, ó bien p ó bien q, es 4-adyacente a un puntoblanco (es decir, no es interior).

Proposición

La eliminación de un par {p, q} de puntos negros 8-simples 4-adyacentes,que no constituyen una 8-componente de N, preserva la topoloǵıa si(N(p) ∪ N(q)) ∩ N encaja en alguna de las siguientes configuraciones, osus rotaciones mediante múltiplos de 90◦.

` ` `` t d` t dp` ` `

q ` t `` t `d t dp` ` `

q



Más eliminación en paralelo de puntos simples

Teorema

Sea P = (Z2,m, n,N) una imagen digital. Para todo p ∈ N definimosNS(p) como el conjunto de puntos negros no simples de N(p). Sea R unconjunto de puntos simples de P tales que, para todo p ∈ R se cumple

i) NS(p) es conexo y contiene dos o más puntos,

ii) NS(p) es adyacente a p y a todo punto negro simple adyacente a p.

Entonces la eliminación en paralelo de los puntos de R preserva la topoloǵıa.

Observación

Este teorema es la base de un algoritmo isotrópico de adelgazamiento enparalelo consistente en eliminar, en cada paso, todos los puntos satisfaciendolas condiciones i) y ii) anteriores, hasta que no queden puntos que lasverifiquen. El algoritmo deja intactos los rectángulos 2×n (es claro quecualquier algoritmo isotrópico de adelgazamiento tiene esta limitación).



Más eliminación en paralelo de puntos simples

Un molde es una disposición 3×3 de puntos negros, blancos y grises(indefinidos), de tal forma que el punto central es negro. Se dice que unpunto negro satisface el predicado definido por un molde si N(p) coincidecon el molde, sin tener en cuenta los puntos grises.

Teorema

Un algoritmo que elimina en paralelo los puntos que satisfacen el predicadodefinido por un molde preserva la topoloǵıa si y solo si todo punto quesatisface el predicado es un punto simple.



Algoritmo RH (para (8,4)–imágenes digitales)

En cada iteración se aplica el siguiente operador reductivo, en paralelo, atodos los pixels. Un punto negro p es eliminado si y solo si:

a) p simple,

b) p2 = 0 (⇔ p frontera norte), o N∗8 (p) contiene exactamente un puntonegro (⇔ p punto extremo),

c) el entorno de p no es ninguno de los siguientes:

d d dd d t dd t d dd d d

p d d dd t d dd d t dd d d

p d d dd t dd t dd d d

p d d d dd t t dd d d d

p

El algoritmo termina cuando en una iteración ningún punto negro eseliminado.La condición a) implica que no se van a eliminar residuos. La condición b)implica que únicamente se eliminan puntos extremos o puntos frontera norte8-simples. La condición c) garantiza que para cada 8-componente formadapor 2 puntos negros se preserva únicamente uno de éstos.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 18 / 1



Ejemplo

Un ejemplo de la evolución de este algoritmo se puede ver en la siguientefigura:

t d t t tt d t t tt d t t td t d t dt d t t t

-

d d t t tt d t t tt d t t dd t d t dd d t d d

-

d d t t td d t t dt d t t dd t d t dd d t d d

-

d d t t dd d t t dd d t t dd t d t dd d t d d

Observación

Para ver que cada 8-componente simplemente conexa se reduce a un 8-residuo tendŕıamos que ver que toda 8-componente negra simplementeconexa con 2 ó más puntos contiene un punto que será eliminado por eloperador anterior. Esto se deduce de la siguiente observación:Si G es una 8-componente negra simplemente conexa con 2 ó más puntos,G contiene al menos dos puntos que satisfacen a) y b) del algoritmo RH.




El soporte del algoritmo anterior consta de 19 pixels.

t t t tt t t t tt t t t tt t t t t

p

En el caso de (8,4)-imágenes digitales este es el menor soporte posible paraun algoritmo reductivo de reducción completamente paralelo y que constade una única aplicación.


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Adelgazamiento 2-dimensional de imágenes

Adelgazamiento 2-dimensional de imágenes

Sean P = (Z2,m, n,N) y P ′ = (Z2,m, n,N ′) dos imágenes digitales conN ′ ⊂ N. Se dice que P ′ es un adelgazamiento de P si es una reducciónde P con preservación de la topoloǵıa y cada “parte alargada” de P seve representada por una curva en P ′. Por tanto, además de que N ′ seatopológicamente equivalente a N intentaremos que se cumplan algunas delas siguientes propiedades:

i) N ′ tiene anchura 1

ii) N ′ está centrado en N.

iii) N ′ contiene los “extremos” de N.

iv) Los puntos de N ′ están etiquetados con su distancia a Nc . Esto sehace cuando queremos poder reconstruir la imagen original.

Al conjunto adelgazado N ′ se le suele llamar el esqueleto de N.El esqueleto estará formado por puntos de 3 tipos: puntos extremos, puntosnormales y puntos de ramificación. Aunque intuitivamente el significado deestos 3 tipos de puntos es claro, existen diferentes caracterizaciones que nocoinciden en todos los conjuntos.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 21 / 1



En general, el esqueleto no tendrá puntos interiores. Sin embargo, en lafigura siguiente se ve un conjunto irreducible (si respetamos los extremos)con un punto interior.

t d d t d d td t d t d t dd d t t t d dt t t t t t td d t t t d dd t d t d t dt d d t d d t




Otro problema que encontraremos es compaginar el carácter local delalgoritmo con el que se obtengan esqueletos equivalentes para la mismaimagen rotada. Por ejemplo, en los 2 conjuntos de la imagen siguiente lospuntos p y q tienen la misma configuración local en ambos. Sin embargo,si un algoritmo elimina p en una de los conjuntos debeŕıa eliminar q en elotro.

d d d d d t t d d d d d d d td d d d t t d d d d d d d t td d d t t d d d d d d d t t dd d t t d d d d d d d t t d dd t t d d d d d d d t t d d dt t d d d d d d d t t d d d dt d d d d d d d t t d d d d d

p q p q




También es dif́ıcil obtener esqueletos centrados cuando la anchura delconjunto es par. En la siguiente figura vemos 3 posibles esqueletos paraun rectángulo 8× 4:

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd t t t t t t tf f f f f f t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t tf t tf t tf t t dd t t tf t tf t tf t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t t t t t t tf f f f f f t dd t t t t t t tf f f f f f t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d




Este problema desaparece cuando la anchura del conjunto es impar. En lasiguiente figura vemos 3 posibles esqueletos para un rectángulo 8× 5:

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd t t t t t t tf f f f t dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t tf t t t t tf t dd t t t t t t tf f f f t dd t tf t t t t tf t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd tf t t t t t t tf dd t tf t t t t tf t dd t t t t t t tf f f f t dd t tf t t t t tf t dd tf t t t t t t tf dd dd d d d d d d d d




Existen básicamente 2 enfoques para obtener el esqueleto de una imagen:

Eliminar sucesivamente puntos frontera con ciertas condiciones, hastaquedarnos con un conjunto que no se puede reducir más.

Identificar como puntos del esqueleto aquellos que verifiquendeterminada condición relacionada con la distancia al borde (MATs).

Nosotros nos centraremos en el primer tipo. Para este caso, veremos2 enfoques globales que se corresponden con casos considerados cuandoestudiamos cómo paralelizar el algoritmo de eliminación secuencial de puntossimples:

i) Algoritmos subiterativos, que operan en ciclos donde vaŕıa la direcciónen la que se escogen los puntos simples a eliminar.

ii) Algoritmos de subcampos, que operan en ciclos donde vaŕıa elsubcampo del plano digital en el que se escogen los puntos simplesa eliminar.

Previamente, necesitamos la noción de punto extremo.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 26 / 1


Puntos extremos

Una definición intuitiva de punto extremo seŕıa:E1. Puntos con un único vecino negro.Sin embargo, los puntos p en la siguiente figura no satisfacen E1, aunquedebeŕıan ser considerados extremos, para evitar una excesiva reducción.

d d d d d d d d d d dd t t t t d d d t t dd t t t d d d t t d dd t t d d d t t d d dd t d d d d t d d d dd d d d d d d d d d dp

p p

p

E2. Puntos con uno o dos vecinos negros.Los puntos p satisfacen E2. Desafortunadamente todos los puntos de unarco cumplen E2 y no son extremos.E3. Puntos con uno o dos vecinos negros tales que N∗(p)∩N es 4-conexo.Si utilizamos E3, los únicos extremos del segundo conjunto seŕıan losetiquetados p.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 27 / 1

Algoritmos topológicos para imágenes digitales Algoritmos de adelgazamiento subiterativos

Algoritmo ROS (para (8,4)–imágenes digitales)

En cada iteración se aplican ćıclicamente los 4 operadores siguientes, enparalelo, a todos los pixels. Un punto negro p es eliminado si y solo si:

a) C8(p) = 1.b) p no es un punto extremo.

c) pi = 0.

donde i va tomando sucesivamente los valores 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, . . . , estoes, eliminamos sucesivamente puntos frontera norte, oeste, sur, este,. . . .El algoritmo termina cuando en un ciclo ningún punto negro es eliminado.Este algoritmo permite obtener esqueletos centrados, aunque su eficaciadepende de la definición de punto extremo que se tome.Para ver que ROS preserva la topoloǵıa hay que comprobar que se cumplenlas condiciones R1, R2 y R3.



Algoritmo GH89-A1 (para (8,4)–imágenes digitales)

Un punto p es eliminado si:

a) N∗(p) ∩ N es 8-conexo.b) p no satisface E3.

c1) En las iteraciones impares p4 es blanco, o p2 y p3 son blancos y p5 esnegro, esto es, N(p) es alguno de los siguientes:

` ` `` t d` ` `

p ` ` t` t `` d d

p

c2) En las iteraciones pares p8 es blanco, o p6 y p7 son blancos y p1 esnegro, esto es, N(p) es alguno de los siguientes:

` ` `d t `` ` `

p d d `` t `t ` `

p

La condición (c1) permite eliminar algunos puntos frontera este y norte. Lacondición (c2) permite eliminar algunos puntos frontera sur y oeste.La preservación de la topoloǵıa se demuestra fácilmente viendo que secumplen las condiciones de Ronse.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 29 / 1


Algoritmo TSIN (para (8,4)–imágenes digitales)

Un punto p es eliminado si:

a) N∗(p) ∩ N es 8-conexo.b) p no satisface E3.

c1) En las iteraciones impares p2 ó p4 es blanco, pero N(p) no es uno delos siguientes:

` ` `t t dd t `

p ` t d` t t` d `

p

c2) En las iteraciones pares p6 ó p8 es blanco, pero N(p) no es uno de lossiguientes:

` t dd t t` ` `

p ` d `t t `d t `

p

Para producir esqueletos más simétricamente situados se utilizan algoritmosde 4 etapas en las que se eliminan sucesivamente puntos orientados hacia elsuroeste, hacia el noreste, hacia el noroeste y hacia el sureste. Su velocidadsuele ser comparable a los de 2 etapas que hemos visto.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 30 / 1

Algoritmos topológicos para imágenes digitales Algoritmos de adelgazamiento con alternancia en campos


Se considera la división


del plano digital y se aplica, alternando entre los 2 campos, el operadorsiguiente, en paralelo a todos los pixels. Un punto negro p es eliminado siy solo si:

a) p es simple.

b) N∗(p) ∩ N tiene 2 ó más puntos.


Algoritmos topológicos para imágenes digitales Algoritmos de adelgazamiento con alternancia en campos


Este algoritmo tiende a preservar ramas de esqueleto que salen de unaesquina.

d d d d d d d d d dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd t t t t t t t t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd d t d t d t d t dd t t t t t t t d dd d t t t t t t t dd t t t t t t t d dd d t d t d t d t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd d d d d d d d t dd d t d t d t t d dd d d t t t t t d dd d t d t d t t d dd d d d d d d d t dd d d d d d d d d d

d d d d d d d d d dd d d d d d d d t dd d t d d d d t d dd d d t t t t d d dd d t d d d d t d dd d d d d d d d t dd d d d d d d d d d




Teorema

Sea p un punto de una imagen digital P = (Z3,m, n,N). Entonces p es unpunto simple si y solo si

i) p es adyacente a exactamente una componente de N(p) ∩ (N \ {p}),ii) p es adyacente a exactamente una componente de N(p) \ N.iii) χ((Z3,m, n,N ∩ N(p))) = χ((Z3,m, n, (N \ {p}) ∩ N(p))).Además, si n = 6 las condiciones i) y iii) implican la ii) mientras que sim = 6 las condiciones ii) y iii) implican la i).

Las condiciones i) y ii) indican que el número de componentes y de cavidadesha de permanecer invariante al suprimir p. Por otra parte, como lacaracteŕıstica de Euler χ en R3 coincide con el resultado de sumar en númerode componentes conexas más el número de cavidades menos el número detúneles, la condición iii) (junto con la i) y la ii)) especifica que el númerode túneles tampoco ha de variar.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 33 / 1


Preservación de la topoloǵıa en 3 dimensiones

Definición

Sea P = (Z3,m, n,N) una imagen digital y sea D ⊂ N. La eliminación delos puntos de D preserva la topoloǵıa si P ′ = (Z3,m, n,N \ D) cumple

i) cada componente negra de P contiene exactamente una componentenegra de P ′,

ii) cada componente blanca de P ′ contiene exactamente una componenteblanca de P,

iii) cada camino cerrado en N puede ser deformado digitalmente en N aun camino cerrado en N \ D,

iv) siempre que un camino cerrado en N \ D puede ser deformadodigitalmente en N a un camino cerrado en N \ D, entonces estadeformación puede efectuarse en N \ D.

Existen otros criterios formulados en términos del grupo fundamental digital,o basados en los análogos continuos de las dos imágenes digitales.Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOǴIA DIGITAL Algoritmos topológicos para imágenes digitales 34 / 1

Algoritmos topológicos para tratamiento de imágenes digitalesTransformaciones de imagenReducción 2-dimensional de imágenesPuntos simples en imágenes 2-dimensionalesEliminación secuencial de puntos simplesEliminación en paralelo de puntos simplesAdelgazamiento 2-dimensional de imágenesAlgoritmos de adelgazamiento subiterativosAlgoritmos de adelgazamiento con alternancia en campos

Puntos simples en imágenes 3-dimensionales

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