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Topic 4. MODELOS MULTIVARIANTES CON ESTRUCTURA DINÁMICA TRANSITORIA NO RECURSIVA Y CON RELACIONES DE COINTEGRACIÓN. (4T y 1P) 4.1. Cointegración. Definición. Ejemplos. 4.2. Modelos VAR bivariantes con variables no estacionarias. Modelos vectoriales con mecanismos de corrección del equilibrio (VEqCM). 4.3. Metodología para la construcción de modelos VEqCM. 4.4. Ejemplos de modelos VEqCM.
Cointegración
• La idea de serie temporal integrada.
• De forma intuitiva lo mejor es utilizar el símil y las palabras que empleó el profesor Granger para tal fin en su discurso al recibir el Premio Nobel.
Se tiene un conjunto de perlas ensartadas en con un hilo y se lanza
sobre una mesa • la colocación de una perla impactará sobre la
posición de la siguiente, dado que están ligadas,
• esta serie tendrá una apariencia bastante suave, y no habrá grandes fluctuaciones de valor de un término al siguiente.
El concepto de series estacionarias a
partir del símil de las perlas,
• Consistiría básicamente en lanzar las perlas sueltas sobre una mesa y un mano temblorosa va echando las perlas sobre el centro de la mesa.
• Las perlas estarán alrededor del centro de la mesa (media constante en una serie estacionaria), pero su secuencia será muy oscilante debido a la mano temblorosa, sin embargo las distancias de las perlas al centro de la mesa (desviación estándar constante) se mantendrán controladas porque son siempre lanzadas dentro de la mesa.
Para explicar la cointegración Clive Granger en su
discurso continúa con el símil de las perlas
• La cointegración hace referencia a la posibilidad de que dos series integradas (suaves), quizás debidamente reescaladas,
• pueden evolucionar de formas similares que no son idénticas y sin embargo la diferencia entre ellas puede ser estacionaria.
• Si tenemos tenemos dos hilos con perlas ensartadas y los echamos sobre la mesa cada uno irá por su cuenta.
• Tendremos dos series integradas, pero sin relación a largo plazo entre ellas.
• Si a los hilos con perlas se les añade un pequeño imán en cada piedra, al tirarlos sobre la mesa las dos cuerdas tenderán a coger posiciones similares. ESO ES LA COINTEGRACION.
Un factor oculto determinante de esa
propiedad de integración
A largo plazo en las dos series cointegradas vienen generadas por un solo factor que las vincula y determina que tales tendencias no sean independientes, sino restringidas por una relación de equilibrio.
pueden representarse mediante modelos de corrección del equilibrio (teorema de representación de Granger).
COINTEGRACIÓN
Dado un vector de variables xt = (x1t, x2t, …, xnt)’
se dice que sus componentes están cointegrados si:
(1) Todas las variables componentes del vector son integradas de orden d,I(d) y
(2) Si existe una combinación lineal entre ellas
1x1t + 2x2t + … + nxnt
que es integrada de un orden menor (d-b), b>0, es decir
I(d-b).
Al vector = ( 1, 2, …, n)’
Se le denomina vector de cointegración y se dice que las variables están cointegradas con un orden CI(d,b).
La mayor parte del análisis de cointegración teórico y aplicado se refiere a la cointegración CI(1,1), es decir,
Entre variables I(1) para las que existe una relación lineal que es estacionaria.
En este tema sólo se estudia la cointegración CI(1,1).
COINTEGRACIÓN Y EQUILIBRIO A LARGO PLAZO
En la cointegración CI(d,d) existe una combinación lineal
1x1t + 2x2t + … + nxnt = mt
’xt = mt
que es estacionaria, es decir, a largo plazo tiende a cero, pues la posible existencia de constantes se recogería con variables aritificiales adicionales a las variables x’s.
Por tanto la relación ’xt es una relación de equilibrio a largo plazo.
Las evoluciones de largo plazo entre variables cointegradas no son independientes vienen restringidas por la relación: ’xt.
ERROR DE EQUILIBRIO
En la cointegración CI(d,d) mt es estacionario, y en cada momento t refleja cómo los componentes del vector xt se alejan de su valor de equilibrio.
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(a)Entre los precios de presente, st, y de futuro, ft, en un mercado eficiente se tiene que st y ft son I(1) pero su diferencial
ft – st
es estacionario, y a largo plazo se tiende a la siguiente relación de equilibrio
ft = st
TIPOS DE INTERÉS A CORTO Y TIPOS DE INTERÉS A
LARGO,tienden a tener un diferencial estacionario.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3- month US Treasury Bills rate (secondary market)
20/3
0 y
ear-
US
Tre
asu
ry B
on
ds
yie
lds
Period:1958.01-2000.01
Source: Federal Reserve Board of Governors
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(b) El consumo, Ct, y la renta, Yt, son variables I(1) pero a largo plazo existe una relación de equilibrio
Ct = Yt ,
es decir, en el corto plazo
Ct - Yt = mt
es estacionario.
CONSUMO Y RENTA EN EE.UU.
Real Consumers' expenditure on non-durables and services(1)
and real personal disposable income(2) in U.S.
2600
3000
3400
3800
4200
4600
5000
5400
5800
6200
19
82
19
83
19
84
19
85
19
86
19
87
19
88
19
89
19
90
19
91
19
92
19
93
19
94
19
95
19
96
19
97
19
98
Source: Departament of Commerce US. BEA
(2)
(1)
Figure 2.13
CONSUMO Y RENTA EN EE.UU
• El gráfico anterior muestra la vinculación existente en la evolución tendencial entre ambas variables.
• En una regresión simple esto implica una dispersión estable de los datos sobre una recta de regresión estable,tal como suguiere el gráfico siguente del consumo frente a la renta.
GRÁFICO DE CONSUMO FRENTE A RENTA
Consumers' expenditure versus Real Personal Disposable
Income
2900
3400
3900
4400
4900
37
50
00
0
39
50
00
0
41
50
00
0
43
50
00
0
45
50
00
0
47
50
00
0
49
50
00
0
51
50
00
0
53
50
00
0
55
50
00
0
57
50
00
0
59
50
00
0
61
50
00
0
Real Personal Disposable Income (US)Rea
l C
on
sum
ers´
ex
pen
dit
ure o
n n
on
-du
ra
ble
s a
nd
serv
ices
Period 1982(I)- 1998(IV)
Source: Departament of Commerce US. BEA
Figure 2.21
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(d) Arbitraje en mercados de bienes similares. El precio del bien i, Pit, y del bien j, Pjt, son I(1) pero a largo plazo su diferencial
Pit - Pjt
es cero.
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(f) En muchos casos las importaciones, Mt, el producto interior bruto, Yt, y un índice de precios relativos, PRt, son I(1) existiendo una relación
Mt - 1Yt - 2PRt ,
que es estacionaria.
COMPONENTES DENTRO DE UNA SERIE AGREGADA
(g) Componentes en un índice de precios: dentro de un índice de precios existe con frecuencia un número de componentes (precios) que están cointegrados.
Pero otros que claramente no lo están.
EL INDICE DE PRECIOS DE ALIMENTOS Y DE OTROS BIENES NO ENERGÉTICOS PODRÍAN ESTAR COINTEGRADOS ENTRE SÍ,
PERO NO CON LOS OTROS
Four main components in US Consumer price index
(logaritmic transformation)
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Ft food index
Et energy index
Ct index for other commodities
St index for other services
Source: BLS
Et
Ct
St Ft
Figure 2.15
LOS INDICES DE PRECIOS AL CONSUMO DE VESTIDO DE HOMBRE Y DE MUJER PARECEN ESTAR COINTEGRADOS, EXCEPTO QUIZÁS EN LA NUEVA
ESTACIONALIDAD INDUCIDA AL COMPUTAR LAS REBAJAS
INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA
(Series en logaritmos)
4.3
4.4
4.4
4.5
4.5
4.6
4.6
4.7
4.7
4.8
4.8
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Vestido Mujer
Vestido Hombre
Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005
LOS PRECIOS AL CONSUMO DE MUEBLES Y ELECTRODOMÉSTICOS NO ESTÁN COINTEGRADOS.EN ESTOS ULTIMOS LAS MEJORAS TECNOLÓCAS PARECE QUE ESTÁN
AFECTANDO MUCHO SU TENDENCIA.
INDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA
(Series en logaritmos)
4.3
4.4
4.4
4.5
4.5
4.6
4.6
4.7
4.7
4.8
4.8
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Electrodomesticos* Muebles
Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005*A part ir de 2002m01
electrodomesticos incluye reparaciones
Modelos VAR con variables no estacionarias. Modelos vectoriales con mecanismos de corrección del equilibrio (VEqCM).
Formulaicón general del modelo uniecuacional con una variables exógena y cointegración.
El modelo (12) para la variable de interés con sólo un retardo se generaliza de la siguiente forma
∆yt = b∆xt + b1∆xt-1 + … + br∆t-r + 1∆yt-1 + … +
r∆yt-r + (yt-1 - xt-1) + εt
Un modelo para un tipo de interés a corto plazo (rt) y otro a largo (Rt) cuando el primero es exógeno.
En este caso el modelo (12) puede ser válido.Así
∆Rt = b∆rt + (Rt-1 - rt-1) + εt (14)
∆rt = ait (15)
Para otro tipo de variables la estructura dinámica del modelo anterior puede ser muy simple y es necesario generalizar el modelo (12).
MODELO DE DOS VARIABLES COINTEGRADAS SIENDO UNA DE ELLAS EXOGENA
• Este es el caso del ejemplo anterior sobre tipos de interés.
• En tales modelos: - la ecuación para la variable de interés toma la forma de un modelo con mecanismo de corrección del equilibrio - la ecuación para la variable exógena tiene la forma de un modelo ARIMA. El análisis de la variable de interés puede hacerse uniecuacionalmente condicional a valores de la variable exógena.
CASO GENERAL
• Existe re-alimentación entre las variables y
• No puede hacerse un análisis uni-ecuacional de la variable de interés.
• Es necesario un modelo vectorial.
El modelo VAR también se puede escribir como:
tptpttt axxxx 11111 ...
(2) en donde
i = - ( i-1 + …+ p) i = 1, …, p-1
= -(I - 1… - p)
Ejemplo. p = 2
xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + at (4)
xt = xt-1 + 1 xt-1 + at (5)
1 = - 2
= -(I - 1 - 2).
Ejemplo:
t
t
t
t
t
t
a
a
x
x
x
x
2
1
22
11
2122
12 11
2
1
(1a)
t
t
t
t
t
t
a
a
x
x
x
x
2
1
22
11
2221
1211
2
1
1
1-
(2a)
1
1
2221
1211
CASOS POSIBLES EN EL EJEMPLO ANTERIOR Caso (1) r( ) = 2 xt es estacionario Caso (2) r( ) = 0 = 0 xt es estacionario xt no es estacionario Hay 2 raíces unitarias. Caso (3) r( ) = 1 xt : no es estacionario (sólo hay una raíz unitaria).
ESTACIONARIEDAD : |I - 1 L| = - Caso (1) |I - 1 L| = 0 : tiene todas las raíces fuera del círculo unidad. Caso (2) Si r ( ) = 0 hay dos raíces unitarias en |I - 1 z| = 0
En efecto, si r ( ) = 0 11 = 1 = 22
12 = 21 = 0 [B]
010
01
10
01z
1
1
2
02012
0z)-(1
010
012
2
z
zzz
z
En este caso x1t y x2t en este ejemplo son dos senderos aleatorios independientes.
Caso (3) Si en | I - 1Z| =0 hay al menos una raíz
unitaria se cumple que | I - 1| = 0
en consecuencia
(1- 11) (1 - 22) - 21 22 = 0
ó
22
21122211
1
1 [A] Cuando hay una raíz se cumple [A] si además hay dos raíces se cumple [B]
Caso (3) con exogeneidad Siempre que
22 = 1 y 21 = 0 se cumple [A]
Es decir
t
t
t
t
t
t
a
a
x
x
x
x
2
1
12
111211
2
1
10
2t2
1121211111
a t
tttt
x
axxx
(9)
En este caso x2t es exógena. En el caso que x1t fuese un tipo de interés a largo y x2t un tipo de interés a corto, este modelo implicaría que entre ambas hay una restricción de equilibrio a largo plazo, pero solamente x1t (al tipo de interés a largo) reacciona a desvíos sobre esa norma de equilibrio.
Caso (3): cointegración sin variables exógenas La forma más general, cuando la mayor raíz de la ecuación característica es uno, de que se cumpla [A] es
22 > -1 y [A1]
12
222112 [A2]
A partir de [A1] y [A2] el modelo (1.a) toma la forma ∆x1t = 1 (x1t-1 - x2t-1) + a1t
∆x2t = 2 (x1t-1 - x2t-1) + a2t , donde
1 = - 12 21 / (1- 22)
= (1- 22) / 21
2 = 21
En el caso en el que x2t es exógena Si x1 e x2 son I(1)
2t2t
1t121211111
a x
a )1( ttt xxx (10) En (10) hay una relación lineal entre la x1 y la x2 que es estacionaria. Es una relación de cointegración.
Tal relación es -X1t-1 + 11 X1t-1 + 12 X2t-1 = mt-1 . (11)
en el sistema (10) las variables dependientes son estacionarias y, por tanto, las explicativas de donde se deduce (11). A partir de (10) y (11) se deduce que X1t - 11 X1t-1 - 12 X2t-2 = a1t
X2t – X2t-1 = a2t. (12)
Al ser mt una variable estacionaria tenemos que el término X1t-1 + [ 12 ( 11 – 1)] X2t-1 = X1t-1 + X2t-1 = MCEt. Puede verse como un mecanismo de corrección del error que entra en (10) de la forma
X1t = - MCEt + a1t
X2t = a2t donde = - ( 11 –1) o
X1t = - (X1t-1 - X2t-1) + a1t
X2t = a2t.
De (11) se tiene que la transformación estacionaria no es (I – LI) sino I – T (L) = I – T L donde T = . 10
1211
Al operador [I – T (L)] se le puede denominar operador generalizado de estacionariedad.
MODELOS VAR
PAUTAS PARA LA CONSTRUCCION DE MODELOS ECONOMETRICOS
SOBRE VARIABLES INTEGRADAS
Prof. Antoni Espasa
PAUTAS PARA LA CONSTRUCCION DE MODELOS ECONOMETRICOS SOBRE
VARIABLES INTEGRADAS • En las diapositivas siguientes se supone que las variables
a modelizar son de aluno de los tres tipos siguientes: • estacionarias,I(0), es decir oscilan alrededor de una
media constante, • No estacionarias por tener tendencia determinista I(0.2)
su no-estacionariedad es plenamente determinista, en cuyo caso los datos oscilan alrededor de la senda determinista, o
• son integradas de orden uno, en cuyo caso pueden mostrar oscilaciones locales de nivel, I(1,0), o crecimiento sistemático con media constante.
• Estas propuestas suponen que la selección de variables se ha realizado adecuadamente y que no hay variables omitidas relevantes.
• Las propuestas de esta sección se generalizan para el caso de variables integradas de orden 2, pero entonces el análisis de cointegración resulta algo más complejo.
Analizar y contrastar la presencia de raíces
unitarias en cada una de las variables a estudiar.
• El análisis gráfico de la serie es meramente ilustrativo.
• Es conveniente ampliar el análisis gráfico anterior con los correlogramas de la serie original y de todas las transformaciones mencionadas en el punto anterior.
• Es necesario realizar contrastes formales de raíces unitarias.
CONTRASTE DE RAICES UNITARIAS
• Aplicando el procedimiento de Dickey y Fuller
• ampliado con retardos sobre las variables diferenciadas y
• permitiendo la presencia de tendencias deterministas lineales,
• contrastar la presencia de raíces unitarias.
POSIBLES RESULTADOS EN EL CONTRASTE DE RAICES UNITARIAS
• A.- Que las variables no tengan raíces unitarias.
Si son estacionarias se pasará a construir un modelo VAR sobre variables estacionarias.
Si tienen tendencias deterministas se pasará a construir un VAR del tipo del punto anterior pero incluyendo tendencias deterministas.
B.- QUE LAS VARIABLES TENGAN UNA RAIZ UNITARIA
• Si la variable de interés tiene una raíz unitaria y las demás no, se diferenciará la variable de interés y se construirá un VAR sobre variables estacionarias.
• Si la variable se interés es estacionaria y alguna de las restantes son I(1), se diferenciarán estas últimas y se construirá un VAR sobre variables estacionarias.
QUE LA VARIABLE DE INTERÉS Y ALGUNA DE LAS DEMAS SEAN I(1)
• En lo sucesivo supondremos que sólo la variable de interés y una de las explicativas son I(1)
LOS PASOS A REALIZAR SON LOS SIGUIENTES: 1.- Realizar, siguiendo a Engle y Granger, una
regresión estática entre ambas variables y contrastar si los errores son estacionarios.
Idealmente la regresión anterior debe ser ampliada con retardos de ambas variables en diferencias.
Existen otros procedimientos, propuestos por Johansen, que son preferibles pero más complejos y sólo se ilustran en este curso.
SI LOS RESIDUOS DE LA REGRESION ESTATICA SON I(1)
• Se diferenciarán las variables I(1) y se construirá un VAR en primeras diferencias, es decir, un VAR sobre variables estacionarias.
SI LOS RESIDUOS DE LA REGRESION SON I(0)
• Las variables están cointegradas. • Hay que construir un modelo VEqCM:
sobre las variables diferenciadas explicadas en ambos casos
- el mecanismo de corrección del equilibrio y - la dinámica transitoria, es decir retardos de las primeras diferencias de ambas variables.
POSIBILIDAD DE MODELOS UNIECUACIONALES EN LOS MODELOS
VAR ESTACIONARIOS o VEqM
• Para ello todas las variables explicativas en la ecuación sobre la variable de interés tienen que ser fuertemente exógenas.
• MODELOS VAR ESTACIONARIOS [A] La exogeneidad fuerte requiere que - la causalidad vaya desde las variables explicativas a la
variable de interés y no exista causalidad en la dirección inversa.
- se requiere también que los residuos no estén correlacionados. Pero si lo están se pueden ortogonalizar.
EXOGENEIDAD FUERTE EN LOS MODELOS VEqM
• Las ecuaciones de los modelos VEqM tienen dos partes:
- la relación de largo plazo, recogida por el mecanismo de corrección del equilibrio y
- la dinámica transitoria, recogida por los retardos de las variables diferenciadas.
LA EXOGENEIDAD FUERTE DE LOS REGRESORES EN LA ECUACION DE LA VARIABLE DE INTERES
• 1.- La dinámica transitoria tiene que cumplir la
condición [A] anterior.
• 2.- La relación de cointegración tiene que aparecer en la ecuación de la variable de interés, pero no en la de la variable explicativa.
Modelo VAR
t
t
t
t
t
t
a
a
y
x
y
x
2
1
1
1
7.04.0
01
15.0
5.01
1.Discuta la estructura dinámica en el vector de variables y la dependencia contemporánea entre xt e yt. En caso de ser cero esta última calcule su correlación.
1.Tiene estructura dinámica triangular. Es decir el pasado de yt no influye en xt, pero el de ésta sí que afecta a yt. Como cov(a1t, a2t)=0.5, las variables xt e yt tienen una covarianza contemporánea de 0.5. Como las correspondientes desviaciones estándar son uno la correlación contemporánea es también de 0.5.
2. Sabiendo que la ecuación característica dinámica de (1) es
z2 – 1.7z + 0.7 , (2)
discuta si el vector zt es estacionario o no.
2. La ecuación característica es:
z2 – 1.7z + 0.7 y sus raíces 1 y 0.7. Luego el sistema es no estacionario.
3. Sabiendo que los modelos univariantes de xt e yt que se derivan de (1) tienen una parte AR(2) cuya ecuación característica es (2), señale si xt e yt son o no estacionarias. En este último caso señale el tipo de no estacionariedad que siguen.
3. En los correspondientes modelos univariantes xt e yt tienen una raíz unitaria y ambas son I(1). Es decir son variables con oscilaciones locales de nivel.
4. Señale si las esperanzas matemáticas de ∆xt e ∆yt son iguales o no y justifique su respuesta.
4. Ambas ∆xt e ∆yt tienen media igual a cero, ya que en el modelo VAR ninguna de las ecuaciones tiene constante.
5. Reformule el modelo VAR anterior como un VAR con matriz de varianzas y covarianzas residuales diagonal, sabiendo que la causalidad contemporánea va desde xt e yt.
5. El modelo VAR tiene estructura dinámica triangular, pero con dependencia contemporánea. Haciendo
a2t = ba1t + ε
b = 12 / 1 · 2 = 0.5
y
a2t = 0.5xt - 0.5xt-1 + εt .
Por lo tanto el siguiente sistema de dos ecuaciones
yt = 0.5xt - 0.1xt-1 + 0.7 yt-1 + εt (A1)
xt = xt-1 + at (A2)
es un VAR reformulado de modo recursivo.
6. A partir de la ecuación sobre yt en el modelo VAR del punto (5) y de todos los resultados anteriores, discuta si las variables xt e yt están o no cointegradas.
6. Como xt e yt son I(1) y en (A1) el residuo es estacionario, incluso ruido blanco, se tiene que la no estacionariedad de la yt viene plenamente explicada por la no estacionariedad de la xt, es decir están cointegradas con orden CI(1,1). Se pasa por tanto al punto 8.
7. En caso de respuesta negativa en el punto (6) señale qué tipo de resultados esperaría obtener en una regresión de yt sobre xt. ¿Serían espurias? ¿Cómo lo contrastaría? Describa con gran detalle el estadístico que utilizaría para contrastar si la relación es espuria.
8. En caso de respuesta positiva en el punto (6) formule un modelo con mecanismo de corrección del equilibrio e interprete todos sus parámetros.
8. Las variables están cointegradas. Restando xt-1 a ambos lados de (A1) e yt-1 a ambos lados de (A2) el modelo VAR se puede reformular como:
t
t
t
t
t
t
a
a
y
x
y
x
2
1
1
1
3.04.0
00. (B)
a
tmEn se recoge una combinación lineal entre xt-1 e yt-
1 que es estacionaria por lo que cualquier c· es también estacionaria. a
tm
En la segunda ecuación de (B) se tiene un factor explicativo
a
tmy un componente ruido blanco con lo que dado que la variable dependiente es estacionaria el factor explicativo a
tm lo ha de ser también.
= (0.4xt-1 – 0.3yt-1)
Para identificar tal relación vamos a estandarizarla sobre el coeficiente (-0.3) de la variable de interés, es decir, multiplicamos a
tm
por (-0.3), con lo que se obtiene:
mt = yt-1 – 0.4/0.3 xt-1 (3)
y dado que = -0.3 m ,
a
tm
el modelo VAR se puede formular como un modelo VEqCM, modelo vectorial con mecanismo de corrección del equilibrio, como:
t
t
tt
t
t
a
axy
y
x
2
1
11 3.0/4.03.0
0C1
C2
En (C1) los residuos están correlacionados. Bajo el supuesto de que la causalidad contemporánea va de xt a yt se tiene que
a2t = ρa1t + εt ρ = 0.5 Como en (C1) a1t = ∆xt, (C) se puede formular como
∆xt = at-1 (D1)
∆yt = 0.5∆xt - 0.3 (yt-1 – 0.4/0.3 xt-1) + εt. (D2)
En (D2):
0.5 es la correlación contemporánea entre ∆xt e ∆yt.
0.4/0.3 es la ganancia a largo plazo entre de xt e yt. Si las variables están en logaritmos es una elasticidad, que en este caso es positiva y mayor que la unidad.
(-0.3) es la velocidad de ajuste de de ∆yt a desviaciones sobre el valor de equilibrio a largo plazo en (t-1).
La variable xt sigue meramente un modelo de sendero aleatorio.
9. Comente sobre la exogeneidad de xt en la ecuación de yt. Indique el tipo de causalidad en el sentido de Granger que relaciona a las variables xt e yt.
9. En el modelo VEqCM, (C), no existe dinámica transitoria, es decir los retardos de ∆zt no entran en la ecuación. Toda la relación temporal entre xt e yt está recogida en la relación de equilibrio (3). Como tal relación mt no entra en la ecuación explicativa de xt en el modelo (C) se concluye que xt es fuertemente exógena en (C2) La dinámica transitoria y la causalidad entre xt e yt es unidireccional desde xt e yt.
10. A lo largo de su respuesta se ha encontrado con dos posibles modelos uniecuacionales sobre la variable yt, uno con yt como variable dependiente y otro con ∆yt como variable dependiente. Comente sobre ellos.
10. El sistema (A) es un VAR recursivo por lo que (A1) es un modelo uniecuacional válido para yt, pero formulado con variables no estacionarias y probablemente sin estar especificado sobre los parámetros de interés. Suponga que estos parámetros son: (g), la ganancia a largo plazo de yt sobre xt y ( ) la velocidad de ajuste de yt a desviaciones temporales sobre su patrón de equilibrio a largo plazo.
El modelo (D2) está formulado sobre los supuestos parámetros de interés.
Tal como se ha demostrado anteriormente D2 se formula con ∆yt como variable dependiente y todo él se especifica sobre variables estacionarias, ∆yt , ∆xt y mt.
PASOS EN LA CONSTRUCCÓN DE MODELOS DINAMICOS CON VARIABLES INTEGRADAS.
• 1.- Mediante estadísticos D-F aumentados
contrastar si son integradas.
• - Si no lo son, es decir son estacionarias, construir un modelo VAR en niveles determinando el orden dinámico mediante el AIC.
• - Si lo son formúlense todas las variables en órdenes de integración igual o inferior al de la variable de interés.
PASOS EN LA CONSTRUCCÓN DE MODELOS
DINAMICOS CON VARIABLES INTEGRADAS: 2.
• 2.- Si en el vector sólo hay dos variables contrástese por el procedimiento de Engle-Granger si están cointegradas. Si hay más de dos variables utilícese el procedimiento de Johansen.
• - Si no están cointegradas formúlese un VAR sobre las series diferenciadas.
- Si las variables están cointegradas, utilícese la relación de cointegración (podría haber más de una y en tal caso se utilizarían todas) para formular un VEqCM fijando el orden dinámico utilizando el AIC.
PASOS EN LA CONSTRUCCÓN DE MODELOS
DINAMICOS CON VARIABLES INTEGRADAS: 3.
• 3.- Contrástese si las variables explicativas en la ecuación de la variables de interés son fuertemente exógenas. Para ello podría ser necesario una ortogonalización de los residuos.
• Los contrastes se pueden hacer mediante estadísticos t para ver si la dinámica transitoria es triangular y el MCEq influye en la variables de interés pero no en la ecuación de la variables explicativa.
• Si las variables son fuertemente exógenas se puede construir un modelo uniecuacional, si no se necesita todo el modelo vectorial.
Relaciones dinámicas entre precios del vacuno
Ejemplo preperado por la Profa.Esther Ruíz
Relaciones dinámicas entre precios del vacuno
El objetivo de esta sección es contrastar empíricamente la integración espacial de los dos circuitos en los que tradicionalmente ha estado fragmentado el
mercado internacional de vacuno.
Para ello, se va a contrastar si existe una relación de equilibrio a largo plazo
entre dos precios representativos de cada uno de los dos circuitos.
El precio elegido como representativo del circuito de fiebre aftosa es el precio mensual de
exportación FOB de carne de vacuno en Argentina y como representativo del circuito libre de fiebre
aftosa, el precio de importación CIF de carne australiana en Estados Unidos. Los precios, medidos en dólares por tonelada, han sido
observados mensualmente durante el periodo comprendido entre enero de 1977 y diciembre de
1997.
La transformación logarítmica de ambas series de precios aparece representada en el
gráfico 1 donde puede observarse que su nivel parece evolucionar a lo largo del
tiempo
Gráfico 1.- Logaritmos de los precios mensuales de carne de vacuno en Estados Unidos (LUSA) y Argentina (LARG) durante el periodo 1977-1997
6.4
6.8
7.2
7.6
8.0
8.4
78 80 82 84 86 88 90 92 94 96
LARG LUSA
Cuadro 1.-Contrastes de Dickey-Fuller Ampliado (ADF).
Valor del Estadístico Valores Críticos (1%, 5%, 10%)
LUSA (4) -2,833254 -3,9984, -3,4292, -3,1378
DLUSA (4) -7,572660 -3,4585, -2,8734, -2,5730
LARG (4) -2,610202 -3,9984, -3,4292, -3,1378
DLARG (4) -7,482174 -3,4585, -2,8734, -2,5730
• En el gráfico 1 también se puede observar que, hasta aproximadamente el fin del año 1990, la evolución a largo plazo de ambos precios es muy similar.
• Sin embargo, a partir del año 1991 parece haber un cambio en el tipo de relación a largo plazo que mantienen ambos precios.
• Posteriormente, a partir de aproximadamente 1994 ambas series se juntan en su evolución.
• El 14 de mayo de 1989 el Partido Justicialista gana las elecciones presidenciales.
• Se inaugura una nueva orientación en la política económica con una serie de medidas de estabilización.
• El sector del vacuno también experimenta una fuerte liberalización.
• El segundo de los cambios podría estar justificado por cambios en el propio mercado
internacional del vacuno. A mediados de 1989, los Gobiernos de Argentina, Brasil y Uruguay, junto con el Centro Panamericano de Fiebre
Aftosa, firmaron un convenio para el control y la erradicación de la enfermedad en la Cuenca
del Plata.
• Uruguay fue declarado, en 1993, país libre de aftosa con vacunación mientras que Argentina
ha recibido dicha declaración en mayo de 1997.
• Para analizar las relaciones dinámicas entre los precios para todo el periodo, desde enero de
1977 hasta diciembre de 1997, se van a incluir en el modelo VECM, dos variables artificiales
D1t y D2t.
• La primera toma valor cero hasta diciembre de 1990, momento a partir del cual toma valores 1, 2, 3… hasta diciembre de 1994, volviendo a
tomar valor cero para el resto del periodo.
La variable D2t es una variable escalón que toma valores cero hasta diciembre de 1994 y
valor 1 a partir de enero de 1995.
Los resultados de la estimación del correspondiente modelo VECM son los
siguientes:
4tLUSA*
(0,14)0,16
3tLUSA*
(0,11)0,15
2tLUSA*
(0,12)0,05
1tLUSA*
(0,11)0,02
4tLARG*
(0,06)0,09
3tLARG*
(0,06)0,18
2tLARG*
(0,06)0,01 +
1tLARG*
(0,06)0,19
)1-2t
D*
(0,11)
0,52-1-1t
D*
(0,002)
0,008-1t
LUSA1t
LARG
(0,03)
0,51(*(0,03)0,13tLARG
4tLUSA*
(0,06)0,06
3tLUSA*
(0,07)0,04
2tLUSA*
(0,05)0,22
1tLUSA*
(0,06)0,46
4tLARG*
(0,04)0,06
3tLARG*
(0,04)0,03
2tLARG*
(0,04)0,09 +
1tLARG*
(0,04)0,0004
)1-2t
D*
(0,11)
0,52-1-1t
D*
(0,002)
0,008-1t
LUSA1t
LARG
(0,03)
0,51(*(0,01)0,008tLUSA
La relación de equilibrio a largo plazo:
(0,03)
0,512t
D*
(0,11)
0,521t
D*
(0,002)
0,008tLUSAtLARG
• Entre enero de 1991 y diciembre de 1994 los precios argentinos crecen a un ritmo del 0,8 %. A partir de enero de 1995 los dos precios se integran totalmente y la diferencia entre ellos desaparece al cancelarse la constante de la relación de equilibrio a largo plazo con el coeficiente de la variable escalón, D2t.
Los estadísticos Box-Ljung correspondientes a los residuos de las ecuaciones de los precios LARG y de los precios LUSA toman valores de 9,12 y 23,32 respectivamente, no detectando problemas de mala especificación en el modelo.
Por lo que se refiere a la relación dinámica a corto plazo. Los precios argentinos realizan el ajuste ante desviaciones respecto al equilibrio de largo plazo.
Las variaciones en el precio de este país responden a su propio pasado (son significativos los coeficientes de los precios con uno y tres retardos) así como a las variaciones en el precio de Estados Unidos, a través del ajuste a las desviaciones del largo plazo.
Por otro lado, los precios de Estados Unidos responden a su propio pasado (son significativos los coeficientes de los precios con uno y dos retardos). Además, como ya se detectaba en el periodo anterior, el coeficiente de los precios de Argentina con dos retardos es significativo, confirmando la respuesta a corto plazo de los precios de Estados Unidos al pasado de los argentinos.
SERIES I(1,1) COINTEGRADAS
• Por ser I(1,1) tienen una tendencia lineal. • Si ambas series tienen la misma pendiente en la
tendencia, entonces la relación de cointegración es como en el caso de variables I(1,0), pero con una constante en el modelo.
• Si las pendientes son distintas, la relación de cointegración incluye una tendencia lineal y el modelo una constante.
• La constante del modelo se puede descomponer, en cuyo caso el modelo se puede reformular incluyendo la tasa de crecimiento de equilibrio.
•APENDICE
Modelos univariantes derivados de un modelo VAR
• En un modelo VAR de orden p en el que las matrices Φ no sean diagonales se tiene que una variable,xj , depende de los p retardos de otra,xh ,y como el peésimo retardo de xh depende a su vez de los p retardos de xj se concluye que al resolver el modelo se obtienen modelos univariantes para cada variable que son de orden superior a p.
• Esto se ilustra en las 4 transparencias siguientes. El contenido de las cuatro transparencias siguientes es optativo
DEPENDENCIA TEMPORAL Y CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD DEL VAR (1).
(1)
x1t = 11 x1t-1 + 12 x2t-1 + a1t (2.1)
x2t = 21 x1t-1 + 22 x2t-1 + a2t (2.2)
DESPEJANDO x2t y SUSTITUYENDO EN (2.1)
t
t
t
t
t
t
a
a
x
x
x
x
2
1
12
11
2221
1211
2
1
L
axx tt
t
22
21121
21
t
tt
ta
Lφ
aφ
Lφ
xφφxLφ
1
22
1212
22
212112
111
111
x
(1 - 11 L) (1 - 22 L) x1t = 12 21 x1t-2 + 12 a2t-1 + (1- 22L) a1t
[(1- 11L) (1- 22L) - 12 21 L2 ] x1t = 12 a2t-1 + (1- 22 L) a1t . (3) IGUALMENTE
[(1- 11L) (1- 22L) - 12 - 21 L2 ] x2t = 21 a1t-1 + (1- 11 L) a2t . (4) DE (3) Y (4) SE DESPRENDE QUE LA DEPENDENCIA TEMPORAL SOBRE EL PROPIO PASADO ES SUPERIOR A 1. LA CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD ES QUE EL POLINOMIO (que es el determinante de la matriz polinomial autoregresiva) [(1- 11L) (1- 2L) - 12 22 L2 ] (5) SEA ESTACIONARIO.
x
•ADDITIONAL EXAMPLES OF COINTEGRATED RELATIONSHIPS
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(c) En los análisis de demanda de dinero se consideran las variables: mt : agregado monetario pt: índice de precios yt: renta en términos reales it: tipo de interés,
todas ellas son I(1) y la relación
mt – 0 – 1pt – 2yt – 3it
es estacionaria.
EJEMPLOS DE RELACIONES DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO EN ECONOMIA
(e) Paridad del poder adquisitivo. Por ejemplo entre el dólar y el euro. El tipo de cambio e(€/$)t, un índice de precios europeo en euros p(€) y un índice de precios americano en dólares son variables I(1) pero
e (€/$)xp($)/p(€)
que es el tipo de cambio real, es estacionario, con lo que a largo plazo se cumple
log et (€/$) = log p(€)t – log p($)t
LOS COMPONENTES DE SERIES DE SERIES AGREGADAS PUEDEN NO ESTAR COINTEGRADOS.
Usage of water
0
100
200
300
400
500
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
bil
lio
n g
alo
ns
per d
ay
Other industrial use
Generating electric power
Irrigation
Self supplied domestic and
livestock
Publicly Supplied domestic &
comercial
Source: U.S. Geological Survey
Figure 2.16
LOS COMPONENTES DE LA INVERSION EN EE. UU. NO PARECEN ESTAR INTEGRADOS
-200
300
800
1300
198
2
198
7
199
2
199
7
Gross Private Domestric
Investment (US)
Gross Private Domestric Investment
(US)Nonresidential fixed investment
Residential fixed investment
Change in private inventories
Period:1982(I)-1999(IV)
Source:Department of Commerce (BEA)-US
BILLIONS OF CHAINED (1996) DOLLARS
LOS INDICES DE PRECIOS AL CONSUMO SUBYACENTE Y RESIDUAL
TIENDEN A NO ESTAR COINTEGRADOS.
IINDICE DE PRECIOS AL CONSUMO EN ESPAÑA
(Series en logaritmos)
4.3
4.4
4.4
4.5
4.5
4.6
4.6
4.7
4.7
4.8
4.8
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
residual
Tendencial
Fuente:INE Fecha: 13 de abril de 2005
(h) Componentes de un índice de producción: dentro de un índice de producción existe con frecuencia un número alto de componentes que están cointegrados. Los ejemplos (g) y (h) son importantes cuando se aborda una modelización econométrica desagregada.
