Projektni zadatak 2: Prenos toplote između tijela od različitih materijala

Jednačina prenosa toplote se može zapisati kao:

gdje je

ρ-gustina materijalaC-toplinski kapacitetk-koeficijent konduktivnosti toploteQ-toplotni izvorh-koeficijent konvekcije toploteText-vanjska temperatura

Ova jednačina opisuje proces prenosa topline kroz ravan, aksimetrijski.

Za stacionarno stanje, koristi se eliptička verzija jednačine:

Granični uslovi mogu biti Dirichletovog tipa, gdje je temperatura na granici određena ili

Neumannovi granični uslovi gdje je toplotni fluks određen. Generalizovani

Nemannovi uslovi takođe mogu bii korišteni. Generalizovana jednačina Neumannovih

graničnih uslova je , gdje je q koeficijent prenosa toplote.

Vizualizacija temperature, temperaturnog gradijenta i toplinskog fluksa je primjenom pdetool boksa moguća. Iscrtavanje dijagama obuhvata iscrtavanje isotermi i vektora toplinskog fluksa.

Primjer

U slijedećme primjeru razmatran je problem prenosa toplote između različitih materijala.Problem je riješen u 2D domenu, i sadrži 2 kvadrata, tj. jedan kvadarat stranice dužine 3, a drugi unutar njega je postavljen pod uglom od 45 stepeni. Veći kvadrat predstavlja materijal slijdećih karakteristika:

- koeficijent konduktivosti toplote je 10- specifična gustina materijala 2, dok

unutrašnji kvadrat predstavlja materijal slijdećij karakteristika- koeficijent konduktivosti toplote je 2- specifična gustina materijala 1, - i posjeduje toplotni izvor Q=4. Oba regiona imaju toplotni kapacitet jednak 0.1.

Korištenje grafičkog interfejsa

Pokrenuti MATLAB i pokrenuti pdetool GUI. Selektrovati aplikaciju Heat Transfer.

U Drew modu izvršiti podešavanje koordinatnih osa, postavljajući granice osama, tj. podešavajući x- i y-axis limit na (-0.5 3.5), a zatim je potrebno aktivirati opciju Axis Equal iz Options menija.

U 2D koordinatnom sistemu nacrtati kvadrate čije su koordinate: - kvadrat 1: (0,0), (0,3), (3,0), (3,3)

-kvadrat 2: (1.5,0.5), (2.5,1.5), (1.5,2.5), (0.5, 1.5)

Nakon iscrtavanja drugog (manjeg) kvadrata, potrebno ga je zarotirati za 45 stepeni, aktiviranjem opcije Rotate.

Sada je potrebno aktivirati Boundary mode. Potrebno je postaviti temperaturu na vanjski granicama na o stepeni. To se vrši aktiviranjem Boundary Conditions dialog box-a.

Potrebno je izvršiti dvostruki klik na region 1, a zatim aktivirati PDE mode i pridružiti svojstva tom regionu putem PDE Speification dialog box-a.Obzirom da se rješava parabolička jednačina prenosa toplote, potrebno je uključiti opciju Parabolic.

Podaci za prvi (veći kvadrat su):

- ρ-gustina materijala =2- C-toplinski kapacitet =0.1- k-koeficijent konduktivnosti toplote = 10- Q-toplotni izvor = 0- h-koeficijent konvekcije toplote = 1- Text-vanjska temperatura =0

Podaci za drugi (manji kvadrat su):

- ρ-gustina materijala =1- C-toplinski kapacitet =0.1- k-koeficijent konduktivnosti toplote = 2- Q-toplotni izvor = 4- h-koeficijent konvekcije toplote = 0- Text-vanjska temperatura =0

Obzirom da se rješava dinamički problem, potrebno je definisati početne vrijednosti, i vrijeme u kome će se problem rješavati. Zbog toga je neophdno pokrenuti opciju Solve Parameters dialog box, te u rubriku za vrijeme upisati logspace(-2,-1,10), kao vektor vremena u kome će se rješavati jednačina prenosa toplote. Kako je dinamički problem veoma brz tj. temperatura dostiže stacionarno stanje za 0.1 vremenku jedinicu na osnovu ove logaritamske raspodjele dobiti ćemo rješenja u intervalu 0.01 i 0.1. Potrebno je podesiti vrijednost početne temperature na 0.

Nakon izvršenog podešavanja parametara potrebno je pokrenuti opciju PDE Solve.

Mreža konačnih elemenata za dati problem izgleda kao na gornjoj slici. A raspodjela temperature prikazana je na donjoj slici.

Za bolju vizualizaciju temperaturne raspodjele i gradijenta temperature potrebno je uključiti opciju Height (3-D plot) i pciju Plot in x-y grid.

Pitanja:

1. Najprije potebno je ispitati u Boundary modu (Boundary Conditions) koji se sve granični uslovi mogu postaviti. Potrebno je objasniti koji su granični uslovi odabrani u ovom zadatku i zašto?

2. Pregledati detaljno PDE Specification dialog box. Objasniti koji tip PDE jednačine je korišten za opis problema iz Projektnog zadatka. Koje koeficijente je potrebno definisati u jednačini? Kako su definisani i šta pokazuju?

3. Dati komentar o načinu kreiranja mreže konačnih elemenata i njenoj kvaliteti.4. Da bi se mogao vidjeti izgled ekvipotencijalnih linija potrebno je aktivirati Plot

Selection dialog box. Koje još veličine je moguće predstaviti grafički u ovom slučaju?5. Dati svoj komentar na dobijene rezutate.