Tópicos de Cálculo Vol. II

MAXIMO MITACC LUIS TORC

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TERCERA EDICION

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida la reproduccin total o parcial por todos los medios grficos, sin permiso de los autores.

Nmero de Inscripcin en le Registro Nacional de Derechos de Autor N 160

Impreso en los Talleres Grficos de: Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION Mayo del 2009

PRLOGO

En esta segunda edicin de Tpicos de Clculo Vol. II, nos hemos esforzado por

presentar el clculo integral para funciones reales de una variable real y la

geometra analtica en el espacio, en forma tal que resulte de mximo provecho a

los estudiantes cuyo campo de especializacin no sea estrictamente las

matemticas. La orientacin principal del libro es hacia aplicaciones en diversas

reas de la ciencia, lo cual ampla la utilidad del texto.

Aunque en esta edicin la estructura bsica general no se ha cambiado, se ha

realizado una gran cantidad de revisiones. Hemos reestructurado casi la totalidad

del capitulo 6 y el captulo 7, se han hecho una gran cantidad de modificaciones a

lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales

desarrollados y redaccin de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos

se ha modificado, con la adicin de nuevos ejercicios.

El Libro se divide en siete captulos. En los primeros cuatro captulos se hace una

presentacin de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus

aplicaciones. Hemos visto por conveniencia desarrollar primero la integral

indefinida con la finalidad de familiarizar al estudiante con las tcnicas y/o

artificios de integracin que luego se usan en los captulos siguientes. El captulo

cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los captulos

siguientes (del sexto al sptimo), se inicia con una introduccin breve de vectores

en el espacio tridimensional y se continua con recta, plano, superficies y se

concluye con las coordenadas cilindricas y esfricas.

Nuestro propsito es que esta edicin no lenga errores, pero es casi un axioma que

todo libro de Matemtica los presente; por tal motivo consideramos que este texto

no sea la excepcin, a pesar del esmero y la dedicacin puesta para detectarlos y

corregirlos antes de su impresin. En tal sentido, los autores compartimos la

responsabilidad de los mismos, aclarando que dichos errores han sido cometidos

solamente por uno de los autores.

Queremos expresar nuestro agradecimiento a los profesores y alumnos de todo el

pas por la acogida brindada a la edicin anterior y esperamos que esta nueva

edicin tenga la misma preferencia.

Los Autores

INDICE

CAPITULO 1: INTEGRAL INDEFINIDA

Antiderivada e integracin indefinida................................................ 1

Propiedades de la integral indefinida.......................................... 4

Integrales inmediatas.................................................................. 5

Mtodos de integracin.............................................................. 10

Integracin por sustitucin o cambio de variable............... 11

Integracin por partes......................................... 20

Tcnicas de integracin.............................................................. 29

Integrales de algunas funciones trigonomtricas e hiperblicas 32

integrales de la forma / sen* cos-x dx y f s 'n k "* cosk'z fa 32

Integracin por sustitucin trigonomtrica.................................... 45

Mtodo de integracin por descomposicin en fracciones parciales 56

Integracin de algunas funciones irracionales............ ................ 68

CAPITULO 2: INTEGRAL DEFINIDA

Sumatorias..... ................................................................................ 95

Clculo del rea de una regin plana por sumatorias................ 104

Suma superior y suma inferior.................................................. 112

Integrales inferiores y superiores................................................ 115

Integral de Riemann ...................................................................... 116

Propiedades de la integral definida ............................................ 120

Teoremas fundamentales del clculo integral........................... 121

Cambia de variable en una integral definida........................... 130

Integracin por partes en una integral definida........................ 134

Clculo aproximado de las integrales definidas..................... 144

CAPITULO 3: INTEGRALES IMPROPIAS

Integrales impropias con lmites infinitos................................. 149

Integrales impropias con lmites finitos............ ...................... 152

Integrales impropias con integrando no negativo............... . 161

CAPITULO 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

rea de regiones planas.......................... ...................................... 167

Volumen de un slido en funcin de las reas de las secciones planas....... 181

Volumen de un slido de revolucin......................................... 185

Mtodo del disco circular y del anillo circular......................... 185

Mtodo de la corteza cilindrica ................................................... 191

Longitud de arco.......................................................................... 201

rea de una superficie de revolucin....................................... 208

Momentos y centros de masa ( centros de gravedad)............. 214

Aplicaciones de la integral en los negocios................................ 229

CAPITULO 5: COORDENADAS POLARES

Sistema de coordenadas polares................................................... 237

Relacin entre las coordenadas polares y las rectangulares........ 239

Distancia entre dos puntos en coordenadas polares..................... 240

Ecuacin polar de una recta......................................................... 241

Ecuacin polar de una circunferencia........................................... 243

Discusin y grfica de una ecuacin polar..................................... 244

Interseccin de curvas en coordenadas polares............................... 248

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares................ 251

ngulo entre dos curvas en coordenadas polares........................ 254

rea de regiones en coordenadas polares........................... ....... 262

Longitud de arco en coordenadas polares..................................... 266

Volumen de un slido de revolucin en coordenadas polares.... 268

CAPITULO 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TRIDIM ENSIONAL

Vectores en el espacio tridimensional............................................. 273

Representacin geomtrica de un vector en i 3 ........ .................... 274

Vectores paralelos en E 3 ................................................................. 276

Mdulo y longitud de un vector en K3 ........................................... 277

ngulo entre dos vectores................................................................ 278

Vectores ortogonales o perpendiculares......................................... 279

Producto vectorial............... .............................................................. 283

Aplicaciones del producto vectorial................................................. 285

Aplicacin del triple producto escalar............................................. 287

Recta en el espacio.................................. .......................................... 295

Relacin entre los cosenos directores de una recta.......................... 296

Ecuaciones de un plano en el espacio.............................................. 306

ngulo entre dos planos.................................................................... 319

Proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano........................ 320

CAPITULO 7: SUPERFICIES

Esfera.............................................................................................. 342

Discusin y grfica de la ecuacin de una superficie................... 347

Cilindros........................................................................................... 352

Superficie de revolucin................................................................ 356

Superficies cuadrticas.................................................................... 361

Coordenadas cilindricas y coordenadas esfricas........................... 369

Coordenadas esfricas....................................................................... 371

Aplicaciones....................................................................................... 373

( r ' ........... .....1..... .............................. ^

INTEGRAL INDEFINIDA

^ ........ ....... ^

1.1 ANT1DERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA

En el libro de Tpicos de Clculo Volumen 1, se trat principalmente el problema

bsico siguiente: Dada una funcin encontrar su derivada. Sin embargo, existen

muchas aplicaciones del clculo que estn relacionadas con el problema inverso,

el cual es: Dada una funcin / , definida en un intervalo /, encontrar una funcin

F cuya derivada sea la funcin f , es decir,

F '(x) = / (* ) , V x G /.

Definicin 1. Sea / un intervalo y / : / -> M una funcin. Una funcin F: / M

tal que F'(x ) = /(x ), V x 6 /, se denomina primitiva o antiderivada de / en / y

se escribe

F(x) = Ant ( / (* )) , V x 6 /

Ejemplo 1. Sea / (x ) = 4x3 , x G R y g(x ) = ex , E B .

Las funciones F(x) x4 y G(x) = ex, x K, son respectivamente antiderivadas

de / y g en E, es decir,

F'(x ) = (x4)' = 4x3 , V x R

G(x) = (ex)' = ex , V x e R

Tambin son antiderivadas de f (x ) = 4x3 las funciones

1007TF1(x) = x4 + 2, F2{x ) = x4 + ln 7i y F3(x) = x4 +

pues sus derivadas son iguales a f(x ) = 4x3

Anlogamente, otras antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,

V3GiCx) = ex - 1, G2(x ) = ex - ee, G3(x) = ex + y C4(x) = ex + k

donde k es cualquier constante real.

Observacin i. Si F{x) = A nt(f(x )) en 1, entonces F(x) + C, donde C es una

constante real, es tambin antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F(x) = Ant(J{x)) en /, entonces

F '(x )= f (x ) , V x e l

Tambin (F(x) + C)' = F'{x) = f(x ), Vx 6 /. Entonces

F(x) + C - Ant{f{x)) en /

Una pregunta natural es: Si F{x) = A nt(f(x )) en el intervalo /, cualquier otra

antiderivada de / en / difiere de F a lo ms en una constante?. Dicho de otro

modo, si F^x) = A n t(f(x )) en /, necesariamente F^x) = F(x) + C, V x e l ?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente proposicin.

Proposicin 1. Sea / : / - E una funcin definida en el intervalo abierto / y

F :I -> E una antiderivada o primitiva de / . Si E es tambin unaantiderivada de / , entonces

F1(x) = F(x ) + C

para alguna constante C.

Demostracin

Definimos la funcin H por H(x) = F^x ) - F(x). Entonces

H'(x) = F/OO - F'{x) = f (x ) - / ( * ) - 0, Vx 6 /

Luego, H'(x) = 0 , V x e l .

De aqu se deduce que //(x) = C, V x E / , donde C es una constante (ver

Corolario 1 del T.V.M. Tpicos de Clculo Vol. 1). Luego, se tiene

H(x) = F-tix) - F{x) = C F^x) = F(x) + C , V x e l

Geomtricamente, significa que si F(x) = A nt(f(x )) en el intervalo I, cualquier

otra antiderivada de / en / es una curva paralela al grfico de y = F(x) (Fig. 1.1).

TOI%()S DE CLCULO- VOLUMEN II

2

INTEGRAL INDEFINIDA

Definicin 2. Sea F(x) una antiderivada de f{x ) definida en el intervalo I. La

integral indefinida'de f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f (x )

definidas en dicho intervalo y se representa mediante el smbolo

J f(x )dx = F CO -+ C

donde C es una constante real que se denomina constante de integracin.

La funcin f(x ) se llama integrando, f{x)dx es el elemento de integracin, x

variable de la integral- y el smbolo j se denomina smbolo de la integral. La

expresin / f(x )dx se lee integral de f ( x ) con respecto a x" o integral

indefinida de f (x ) diferencial x.

Observacin 2, De la definicin 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J 7 (x )< te ) (S f (x )d x ) = (F(x) + cy = / (* ) , es decir-.

"la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d |J / (x)dxj = /(x )dx j dx = f{x)dx

iii) Si f es una funcin derivable en /, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f'{x )dx = f (x ) + C

iv) Como d{f{x)) = f ' ( x )d x , de (iii) se deduce:

J d ( f (x )) = f (x ) + C

De las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede

interpretarse como una operacin inversa de la diferenciacin, pues al aplicar la

integral indefinida a la diferencial de la funcin f{x), sta reproduce la funcin

f (x ) ms la constante de integracin.

Ejemplo 2. Del ejemplo 1 se deduce:

i) J exdx = ex + C

ii) J 4x3dx = x4 + C

En la figura 1.2 se muestra la grfica de las antiderivadas de f(x ) = ex, es decir,

de F(x) = e* + C , donde C es una constante real. Si C > 0, la grfica de y = ex

se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza

paralelamente C unidades hacia abajo.

3

TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 3. Como d(x \nx - x) = lnx dx, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d(xlnx x) = J Inx dx = xlnx - x + C

, , x 1 x Ejemplo 4. J - ^ j = - arctan-+C, pues

n x \' 1(-arctan- + C) = -

1__ 2__

X 1 + =r

4

1

4 + x2

1.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Proposicin 2. Si / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /

y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / g y kf admiten antiderivadas en / y se tiene:

a) [ f(x) g(x)]dx = J f(x)dx J g(x)dx

b) I [kf(x)]dx = k j f{x)dx

Demostracin

a) Como {jlf(x)g(x)]dx] = f(x) g(x) = [J f{x)dx] J g{x)dx ,

entonces J [f(x) g(x)]dx y J f(x )dx J g(x)dx son las antiderivadas

de f (x ) g(x ) . Por tanto,

j l f ( x ) g(x)]dx = J f(x)dx j g(x)dx

b) La demostracin queda como ejercicio para el lector.

De la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una suma algebraica de

varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales.

Ejemplo 5. Calcule j (ex - 4x3 + ln x)dx.

Solucin. En virtud de la proposicin 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (ex - 4x3 + ln x)dx = J exdx - J 4x3dx + J ln xdx

= (ex + Ct) - (x4 + C2) + (xlnx - x + C3)

= ex - x4 + x ln x - x + C, donde C - Cx + C2 + C3

En lo que sigue solamente usaremos una constante nica de integracin para la

suma de 2 o ms funciones.

4

Si conocemos f '(x ) , por la observacin 2-iii se deduce que

j f '(x )d x = f (x ) + C J d (f(x )) = f{x ) + C

Esta integral se denomina integral inmediata. Por ejemplo, una integral inmediata

es / dx = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,

que contiene, adems de las integrales de funciones elementales, otras que sern

de mucha utilidad. Por comodidad, en lugar de la variable x usaremos la letra u.

Ms adelante, veremos que u puede ser una funcin, es decir, u = u(%).

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 INTEGRALES INMEDIATAS

FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION

du+ C1. J du u + C 2. J -lnlu

un+1 f3. undu -------- + C ,n = 1 4. eudu = e + C

J n + 1 J

f ciu f5. \audu = -----H C 6. I sen u du = - cosu + C

J In a J

7. J eos udu = sen u + C 8. j tan u d u = ln|sec u| + C

9. J cot u du = njsen u + C 10. J secu du lnlsecu + tan u| + C

ese u du = ln|csci coti| + C 12. J sec2u du = tan u + C

13. J csc2u du = cot u + C 14. J secu tan u du = secu + C

15. J csc u cot udu cscu + C 16. J senh u du - cosh u + C

17. J cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C 20. J cschJu du = -coth u + C

21. J sechu tpnh u du = sechu + C

22. j cschu coth u du = cosh u + C

5

h

h

du

+ u- a

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1 Uarctan + C , (a > 0)

1 u a= ln

2a u + a

1 u 4 a= ln

2a u - a

+ C , (a > 0)

4 C , (a > 0)

26f du u

= = = arcsen - + C , (a > 0)

-arcsec---1- C , (a > 0)a

29

30

arcsen- + C , (a > 0) a j

f du i 1----- 127. I - p = = ln u + -y/u2 a2 4 C

> v u2 a2

r du 128. ;..= -

J uvu1 a2 a

. J yja2 u2du = - JuVa2 - u2 + a

j yj'u2 + a2du = - |u%/u2 + a2 + a2 ln (u + J u 2 + a2)j + C

31. J yju2 - a2du = - [uvu2 - a2 - a2 ln |u + -Ju2 - a2|| + C

Cada una de stas frmulas se pueden verificar mediante la derivacin (respecto a

la variable u).

Por ejemplo, en el caso de la frmula 24 se tiene:

dd / 1 iu ai\ 1

du \2a n lu + a l/ 2a(ln|u - a\- ln|u + a|)

i IUU

1 1 1 1

2a u - a u + a

Por tantof du 1 iu - ai

I -t = tln ------- + CJ u'- a2 2a lu + al

En el caso de la frmula 18, se tiene:

d senhu (In cosh u|) = r ?= tanh u du cosh u

De lo anterior se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.

6

Ejemplo 6. Calcule J (6x4 - x2 + 3)du.

Solucin

Usando las frmulas de integracin, tenemos

J (6x4 - x2 + 3)du = J 6x4dx - J x2dx + j 3dx

= 6 J x4dx - j x2dx 4-3 j dx

6 x3= - x 5 - + 3x + C

Ejemplo 7. Calcule J (v2 \[x)2dx.

Solucin

Como (V2 V* )2 = (2 2V2Vx + x), entonces se obtiene

j (V2 - Vx)2dx = 2 J dx - 2V2 j x l /2dx + J xdx

r 3/2 y 2= 2 1 - 2 ^ + y + C

= 2x - ^ V T x 3/2 4-^x2 4- C

f 3x5 6x2 4- Vx Ejemplo 8. Halle I ------ ----dx.

J x^Solucin

Dividiendo trmino a trmino el integrando y aplicando las propiedades de la

integral, se tiene

f 3x5 6x2 4- Vx f f dx fI ----- ------- dx 3 I x dx - 6 I --- 1- I x 5/2cx

2- x3 - 6 ln|x| - - x 3/2 4 C

En los ejemplos anteriores, el mtodo para hallar las integrales consisti en tratar

de descomponer el integrando como la suma algebraica de varias funciones y

luego aplicar las propiedades enunciadas en la proposicin 2. Este mtodo es

llamado "mtodo de integracin por descomposicin. En ciertas funciones,

descomponer la funcin en sumas parciales no es tarea fcil, pues depende de la

experiencia, habilidad y prctica del que calcula.

INTEGRAL INDEFINIDA

7

/


dxEjemplo 9. Calcule ,

J senh2x cosh-x Solucin

1 cosh2x - senh2xLomo -- -- = ----- ---- = csch^x - sech2x, entonces

senrrx cosh-x senh2x cosh^x

/ senh2x cosh2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~COth X tanh x + C

r x2 + 2Ejemplo 10. Encuentre ----dx.

J x2(x2 + 4)Solucin

Expresando el numerador del integrando en trminos de los factores del

denominador, resulta

2 1 + 2 = xz + - (xz + 4 - x2) ~ - [(x2 + 4) + x2]

Ahora, escribimos la integral como la suma de dos integrales (haciendo las

simplificaciones en cada integrando) y obtenemos

* +2 l f i ! + ( i 2 + 4) i r dx 1 r dx

J x2(x2 + 4) X ~ 2 j x2(x2 + 4) 2 j ^ T 4 + 2 j ^

1 rl xi 1

~ 2 l2

i ri x : arctan -

+ 2

1 X 1-arctan - - + C 4 2 2x

x2 5Ejemplo 11. Halle / = dx

J x2(x2 - 9)Solucin

Procediendo del mismo modo que en el ejemplo anterior, resulta

x2 - 5 = x2 + | (x2 - 9 - x2) = | (x2 - 9) i- ~x2 9 9 9

_ f * 2 + | ( * 2 - 9) 4 r dx 5 r dx

J x2(x2 - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2

4 1

= 9 ' ln

x + 3

x 3

5 2 ix + 3| 5

~9x + ~ 27 ln lx-31 ~9x + C

8

INTEGRAL INDEFINIDA

3 dxEjemplo 12. Halle

J x (x + 5)

Solucin

Usando el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 3 33 = - (x2 + 5 x2) = (x2 + 5) - -x2 . Luego,

3 , - , . , . 3 2 j_ T 5 O 2 + 5) - 5 X2 dx ^ 3 rdx 3 f

J x2(x2 + 5) 5 J x2 5 J x2 + 5

3 x: arctan + C

5x 5V5 V5

Ejemplo 13. Sea / : R -> R una funcin continua en R tal que

m = 2 y = * e\ex, x > 1

Determine f(x ).

Solucin

(- 1, 00 < x < 0 f-x + Cu x < 0

/ '(x ) = |1. 0 < x < l => f(x ) = I x + C2 , 0 < x < 1

le * , x > l le * + C3 , x > l

De la continuidad de / en E, se tiene

0 /(O) - l*m f(x ) = l'm f(x ) *=* 2 = C, = C2 ( 1)x-0_ x >0*

ii) / (1 ) = lim_/(x) = lim+/(x ) => 1 + C2 e + C3 (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: Cx - 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.

x + 2 , x < 0

Por tanto, / (x ) = | x + 2, 0 < x < 1

[ex + e - 3 , x > 1

Observacin 3. Una identidad til en el proceso de integracin es

1 1

a2 - u 2 2a a u a-ru

9


f dxEjemplo 14. Calcule I -.

Solucin

Usando la identidad de la observacin 3, se tiene

C dx _ 1 f r 1 1

J x4 9 ~ ~ 6 J lx2 + 3 + 3~~}111 x 1- arctan + ln 6 LV3 V3 2V3

x2 + 13

dx

+ V3

-V3+ C

r x + 13Ejemplo 15. Encuentre --- dx.

J V F T 9Solucin

Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene

f i z + 13 , f (x2 + 9) + 4 f r--- f dx. dx = dx = I 4 X + 9 dx + 4 I

J Vx2 + 9 J Vx2 + 9 J J Vx2 + 9

= - j*V * 2 + 9 + 9 ln(x + V* 2 + 9)] + 4 ln(x + j x 2 + 9) + C

= 2 [W * 2 + 9 + 17 ln(x + V x ^T i)] + C

1.4 MTODOS DE INTEGRACIN

Antes de presentar los mtodos de integracin por sustitucin o cambio de

variable y por partes, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las

operaciones de derivacin y de integracin. Dada una funcin elemental (funcin

que se obtiene mediante un nmero finito de operaciones de suma, resta,

multiplicacin, divisin y composicin de funciones de las funciones: constante,

potencia (y - xa), exponencial (y = ax), logartmica (y = loga x),

trigonomtricas y trigonomtricas inversas), su derivada mantiene la misma

estructura, es decir, tambin se expresa como una funcin elemental, mientras que

en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones muy especiales.

Por ejemplo, las integrales simples como

l ^ i x . e -dx,

J Vi + x3 dx , J ser(x2)dx , j cos(x2) dx

no pueden ser expresadas en trminos de combinaciones finitas de funciones

elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDA

Del punto de vista prctico, la integracin se presenta como una operacin ms

complicada que la derivacin, pues sta tiene reglas generales de derivacin;

mientras que para la integracin es posible hacer artificios que son vlidos para

clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una

tentativa, por lo que se recomienda prctica, ms prctica y ms prctica.

1.4.1 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAM BIO DE VARIABLE

Para hallar la integral indefinida por este mtodo, dividimos nuestro anlisis en

dos partes: reconocimiento del modelo y cambio de variable.

En el reconocimiento del modelo realizamos la sustitucin mentalmente, mientras

que en cambio de variable escribimos los pasos de la sustitucin.

El procedimiento de sustitucin en la integracin es comparable con la regla de la

cadena en la derivacin. Recuerde que para funciones derivables y = f{u ) y

u = g(x), la regla de la cadena establece

^IfCffCx))] = f '(g (x )) .g '(x )

Si hacemos la sustitucin u = g(x), entonces a partir de la definicin de la

integral definida tenemos

J f(g (x ))g\ x)dx = f (g (x )) + C = f (u ) + C

As, hemos probado la siguiente proposicin:

]Proposicin 3. Si y = f ( u ) es una funcin derivable de u, u = g(x) es una i

funcin derivable de x y F es una antiderivada de / , entonces |!

[ f ( g (x))g '(x)dx - F(g(x)) + C (Reconocimiento del modelo) \

Si hacemos el cambio de variable u = g(x), entonces du = g'{x)dx . Luego,

| f (g ( .x ))g 'to d x = J f(u )d u = F(u) + C

Ejemplo 16. Calcule J (x3 + l )4 3x2 dx.

Solucin

Sea t - x :) + 1 . entonces dt 3x2 dx . Luego,

J ( x 3 + l ) 43x2dx = J t 4dt = + C - ..^ + C

II

TOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

X4Ejemplo 17. Halle la integral I - dx.

J Vx5 + 1Solucin

Si t = x5 + 1 , se tiene dt 5x4dx . Entonces

f x4 , l f 5x4dx i r 1 7 T'f - dx = r Tr , = c f dt = - - - t6/7 + C

J Vx5 +1 5J Vx5 +1 5 J 5 6

= V ( * s + i ) 6 + c

r SexdxEjemplo 18. Calcule la integral J - ^ = = = .

Solucin

Si u = ex , se tiene du exdx . Luego, se obtiene

r Sexdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

J V i - e2* J V l ^ 2

f senhxcoshxEjemplo 19. Calcule / = ---- - dx.

J (1 + senh2x)5Solucin

Si consideramos u = 1 + senh2x , se tiene du - 2 senh x cosh x dx . Luego,

f ? du 1 1 u 4 1

/ - J - ^ - 2 j U dU - 2 ( ^ ) + C - ~ 8(1 + senh2x)4 + C

f arcsenVx dx Ejemplo 20. Halle I = = .

/ V xx2Solucin

r- . ' 1 dx dxSi se hace u = arcsenVx, se tiene du = -- = = .. Por tanto,

V T ^x 2Vx 2Vx - x2

r arcsenVx dx r J r ^ i 2J = J 2u d u = u + C - [arcsenVx] + C

= arcsen2 Vx + C

Observacin 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el

integrando para que el cambio de variable sea ms fcil de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 21. Calcule I I 2+ J2 + J2 + 2cos (5\/x + 4) x 1/2dx.Solucin

En el integrando, aplicamos la identidad trigonomtrica

9 1 + eos 6eos = --

2 2

Q

1 + eos 6 2 eos2

- I1 = 2 + 2+ |2[l + eos (5Vx + 4)] x 1/2dx

- s! 2 + 12 + 2cos 5- +4 x~1/2dx = J 2 + 2 eos

5Vx 4- 4t/2dx

5Vx + 4 5 _ . 16Si u = -- ----, entonces du = ~x ,dx -du = x ' dx . Luego,

8 16 5

32 r 32 32 /5Vx + 4\/ = I eos u d u = sen u + C = sen I -- g | + C

Ejemplo 22. Halle / = Jx dx

e3* ( l - x)4

Solucin

Luego de expresar el denominador en una sola potencia, tenemos

xex dx r xex dxr xe dx r xe

= J e4x(l x)4 = J (e *- .e4x(l x)4 J (e*-xe*)4

hacemos u = ex xex. Entonces du = xexdx *=> du = xexdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/f du _ 1

J u4 3u 3+ C =

3e3* ( l x)3+ C

13


Ejemplo 23. Calcule / = J(x2 - 1)dx

(x2 + l)Vx4 + 1

Solucin

Dividiendo el numerador y el denominador entre x2 , se tiene

, = f f t 1 ~ x 1) dx

V i

Si u = x + -, entonces du - ( 1 -- r) dxx V x2/

V u2 = x2 + + 2 ^ u2 2 = x2 + . Por tanto, se obtieneX X

C du 1 |u| 1 /x 2 + 1/ = .......= aresee + C = aresee

J xWu2 2 V2 V2 V2 \V2|x|

f x + 2Ejemplo 24. Calcule / = I ---- dx.

J (X i-)

Solucin

Si hacemos u = x 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (u +J )du = | ( i r3 + 4u-4)du

u 2 4 , 3x + 2

= - " 3 +C = - ^ 2 F +C

r x ixEjemplo 25. Calcule / = | f = .

I i + x2 + 7 ( i + x2)3

Solucin

La integral puede escribirse como

x dx f x dx/

1 + X 2 + V ( l+ x 2)3 V i + x2V l + V i + x2

,----- x dxSi consideramos i = 1 + Vx2 + 1< entonces du = . Luego,

Vx2 + 1

/ = J J u /2du = 2Vt + C = 2J 1 + V 1 + x2 + C

14

Ejemplo 26. Calcule I = J xVx + 4 dx.

Solucin

Si se hace u = Vx + 4 , entonces u2 = x + 4 y dx

I = J (u2 - 4)u. 2u du j (2u4 - 8u2)du (x + 4)3/2

INTEGRAL INDEFINIDA

15- (6x - 16) + C

2u du . Por consiguiente,

n uS 8 *= 2 T - 3 +C

EJERCICIOS

J (Vx + 3)dx

J Vx(x + l)dx

4 dx

V6 x2

dx

x(x2 8)

7x2 + 16

x4 + 4x2

18 dx

9xz - x4

3 dx

x2 + 4x - 5

4 dx

V4x2 20x 9

/?. - x3,/2 + 3x + C

/?. ^ * 5/2 + 3 x3/2 + C

R. 4 aresen + CV6

K.x2 - 8

+ C

3 x 4R. -arctan----- 1- C

2 2 x

2 1_ _ lnx 3

x 3

A. lnx 1

x + 5

x + 3

+ C

+ C

2x + 5 R. 2 aresen------ i- C

V -4x2 - 12x - 5 dx

1R. (2.x + 3)V~4x2 - 12x - 5 + 4 aresen

2x + 3

1 0 .

11.

xox+12X3-dx

( D ' t *

3 / '*

25

senh x dx

i.:. J CO

(1 + cosh x) 3

dx

R. -2(1 + coshx):

4- C

C

+ C

os2( l - 4x)R. - - tan (l - 4x) + C

4

15

TOPICOS Di; CLCULO - VOLUMLN II

13. J cos(7x + 4)dx

14. J c'2x~r,) dx

15. J (lnx + l )e xlnxdx

16.dx

x ln2x

f dx17. ----

J x lnx

18. J 4xex dx

dx19.

20./sen2x Vcotx - 1

tan2*sen x e

cosJx

ev*3e2 '. I

Idx

23.

(1 + x2) ln(x 4- V i + x2)

arctan* + x ln (x2 + l) + l

1 + x2

1R. -scn(7x + 4) + C

R. - e ^ - ^ + C

R. xx + C

R. ---- h Cln x

R. ln|ln x| + C

(4e)xR. --- ~ + C

1 + ln4

3R. - -(cotx - 1)2/3 + C

r _ etarv2r j . c

2(3e^ )R + C

ln 3

R 2 J ln (x + ij 1 + x2) -i- C

dx

R earctanx + - ln (x2 + 1) + arctan x + C 4

24,

25

26

J i

I /

sen x

dx

dx R. sen x + *+ c

1 + eoslOx

dx

R. tan 5x + C

V2x + 1 - vx

R. 2(V2x + 1 + Vx) 2[arctanV2x + 1 + arctanVx] + C

^ f (x2 -2x + l ) 1/5 j27. ---- --------- dx

J 1 - xR. - (x l ) 2/s + C

16

28. J x2x(\nx + 1 )dx

x2xR .- y + C

INTEGRAL INDEFINIDA

29V2 + x 2 V2 x2

V4 x4

dx

-dx

31.

32.

33.

34.

35

Vx - 1 + V xT T

dx

1 + sen x

x - arctan 2x

/

f 1 + 4x2

J ln ( ln x )

/

/vi

-dx

x lnx

dx

2X 4- 3

dx

X _ !

sen xcosx

37

38.

39

40

41.

V2 - sen4x

dx

dx

4 + 5 cos2x

dx

4 + 5 sen2x

dx

ex + 4

ln 3x

x ln 5x

ln(x + Vx2 + 1)

' /

J /

42. J V i + sen x dx

43. J V i + cosx dx

4 4 / ;

1 + x 2dx

*. a r c s e (- | )- s e h - (- ) + C

/?. - [(x + I )3/2 (x - I ) 3/2] + C

R. tan x - secx + C

1 1R. - ln ( l + 4x2) - -arctan2(2x) + C

O

1R. - ln 2(lnx) + C

1

* 3x - ln(2* + 3) + C

R. 2 a retan Ve* - 1 + C

R. -aresen, _ 2 V V2

+ C

1 (2 tan x\. _ arctan( _ _ j + c

1 2 cot x\R. _ - arctan( _ _ j + C

R. - - ln ( l + 4e x) + C

R. In ln|ln5x| + lnx + C

R. ^[ln(x + yjx2 + 1)] / +C

R. - 2 vT - sen x + C

e x + ex

R. 2V i - cosx + C

R. arctan(e*) + C

17

J W -


dx 4f dx 445' ~ r = = R. ~ (V x + 1)3/2 - 4(Vx + l )1/2 + c

J v V x + 1

f a r c t a n V x

' J vTrTWf^dx R tarctan^ r + c

a i f ( x ~ 2) , _ _ fyfx2 - x + l\

' J W f ^ T V p ^ T T T * * 2 arcse" ( ---- i ---- ) + c

48. x Zsenx~: (senx + x cosx ln x )d x R. x 2senx + C*' 2

~ /--- - ---- ft. J l n x + V l n x + . . . + oo + c

eln(2jcJV ln x + Vlnx + ... +oo x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10

J eos 5x + 5 eos 3x + 10 cosx dX R - 2 s e n x + Cf sen 8x d x 1 /s e n 2 4x\

5L I 9 + senHx R' J arctan ( 3 j + C

f cos2x (ta n 2x + 1 ) 152. ------ ------ dx R ------------- 1- c

J (se nx + c o sx )2 1 + tan x

f Isecx - tan x

b3 J Jsecx + ta n x d* R' >n|secx + tanx| - ln(secx) + C

54. J c s c 3x d x R. - -[esc x cotx 4- ln|csc x - cotx|J + C

55. J s e c 3xdx R. - [lnlsecx + tan x| + secx tan x] + C

f e2x 25- J 4 Y+~dx R- l ^ x - 1)3/2 - 2(ex + l )1-'2 -r C

r V e ^ T earctan * + ln f( l + x2)V*2e*-*2l + V ^ = T57. I --------- -*-------- ^

J \l 1 4- y ^-\!p x 4- v ^ - p X v 2 1

/?. earctan at + i In2 (1 + x2) + arctan X + C 4

q s f x d x n 1

J ( X ~ l ) 5e4x R' ~ 4(x l)4 e4Ar + C

18

59.2e* + e_*

INTEGRAL INDEFINIDA

f 2e* + e-* |3-------3/------- ,J 3T " - 4 e - d y f. In J-v/3e2jc 4 ^ 3 e~2x\ + C

f Inx dx 1

J x 3( l n x - 1)3 2x2(lnx - l )2 + C

4 dx61. f -----

J eos XV 1 sen 2x + 2cos2x ____________________

/?. 4 ln[(tan x - 1) + Vtan2x - 2 tan x + 3] + C

62. j (4 3 lnx )4 d (lnx ) R. - (4 - 31nx)s + C

\

. r e xy*~+2J ,----- Ve* + 263. dx f. 2 Ve* + 2 - 4 arctan------- hC

j e* + 6 2

f x5 dx x3 8M . j j r r g B. _ + 8|+ c

f 1 + tan x 165. - dx R. -In esc 2x - cot 2x| + tan x + C

J sen 2x 2

66. Una funcin / : E -> E es continua en E y satisface:

n r ,, X x + |1 - x|

x2 + 1/(O) = - - y / '(x ) = -f : ; . Halle/(x).

/ M = j arctan:r f S 1(.ln(x2 + 1) - arctan x - ln 2 , x > 1

467. Halle la ecuacin de la curva para el cual y " y que es tangente a la

x2

recta 2x + y = 5 en el punto (1; 3) R. y = + 1

68. Halle la ecuacin de la curva cuya tangente en el punto (0; 2) es horizontal y

tiene punto de inflexin en ( 1; 2 ) y y' = 4.

2 vR. y = - x 3 + 2x2 + 2

x2 + VTTx

V f709\

69. Encuentre la antiderivada de / (x ) = T7~.. < m0C0 que dicha

antiderivada pase por P ^0; 2qqJ, r3 , 6 3 6 ______

R. (1 + x) / (1 "f* x) - - (1 + x) + - + - V i + x L8 5 L 1

+1

19

Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de la diferencial del producto, se tiene

d(uv ) = udv + vdu

Podemos reescribir la expresin como

udv = d(uv ) - vdu

Integrando ambos lados de la igualdad se obtiene la frmula

J udv = uv j vdu

Esta frmula es conocida como frmula de integracin por partes.

Observacin 5. La idea bsica de la integracin por parles consiste en calcular

la integral original mediante el clculo de otra integral, la cual se espera que sea

ms simple de resolver que la integral original dada.

Para descomponer el elemento de integracin en dos factores u y dv.

normalmente se elige como la funcin u aquella parte del integrando que se

simplifica con a derivacin y dv ser el factor restante del elemento de

integracin. Esta no es una regla general, pues en la prctica la habilidad y la

experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observacin 6. Cuando se determina la funcin v a partir de su diferencial dv,

no es necesario considerar la constante de integracin, pues si en lugar de v se

considera v + C, C constante, entonces

j u d v = u(v + C) - j (v + C)du = uv - J v du

Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.

Ejemplo 27. Calcule j lnx dx.

Solucin

De acuerdo con la sugerencia dada en la observacin .2, elegimos

1u ~ \nx => du = - dx

x

dv = dx =s v j dx = x (no se considera la constante de integracin)

Por la frmula de integracin por partes, se obtiene

, f x dxJ ln x dx = x ln x - I - x\ nx-x + C


1.4.2 MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES

20

Ejemplo 28. Calcule / = J (x2 + 3x - 1 )e2xdx.

Solucin

Escogemos

u = x2 + 3 x - l

INTEGRAL INDEFINIDA

du = (2x + 3 )dx

| dv, e2xdx => v | e2xdx = e2x/ '

Luego, obtenemos

/ = - (x2 + 3x - l ) e 2x - J (* + 2) e2*dx

En la ltima integral (ms simple que la original) aplicamos nuevamente la

integracin por partes con

r 3\u = x + - =* du = dx

dv = e2xdx => v = - e 2x 2Por lo tanto,

I = 2 ^x2 + - l ) e 2x -

,2x

= (x2 + 2x - 2) + C

Ejemplo 29. Calcule / = J eax cosbx dx.

Solucin

Escogemos

[ u = eax => du = aeax dx 1

dv - eos bx dx => v - - sen bx b

Entonces,

1/ = - e ax sen bx

b - aeaxsen bx dx = - sen bx

b i eaxsen bx dx

Integrando nuevamente por partes en I eax sen bx d x , escogemos!

u e du = a eax dx

Idv = sen bx dx =* v = cosbx ' b

21

= ~b e * Lt

f cosx 4- x sen x 1 Ejemplo 32. Calcule / = J -- ^ x ^ 2

Solucin

Utilizando la identidad sen2x 4- cos2x = 1, escribimos la integral como

f cosx 4- x sen x - sen2x - cos2x

= J (sen x - x)2f - cosx(cosx - 1) - sen x(sen x - x)

' I --------- ^ ^

/

(sen x - x) 2

cosx(cosx 1) f senxdxf - cosx(cosx - 1) f

J (sen x - x)2 J (sen x - x)/

Para la integral J, aplicamos la integracin por partes con

u eos x => du = sen x dx(co sx - 1 )dx ^ _ 1dV ~ (sen x - x )2 ^ V ~ (sen x - x)

Luego,

cosx "f senxdx f senxdx / = ------- 4-

f sen x dx f

J (sen x - x) Jsen x - x J (sen x - x) J (sen x - x)

Por lo tanto,

cosx/ = -------- 4-C

sen x - x

Ejemplo 33. Calcule / = J dx.

Solucin

Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene


/ J dx + J ex\n x dx

Para la integral /, hacemos u ln a: => rfu

vdi? = exdx => v exAs,

/ = f- yd x + [exlnx- j dx = ex ln x + C

dx.f YParCan x

Ejemplo 34. Calcule / = I --------J ( i + x2y/2

Solucin

garctan x

Como la integral de ^ 2 es inmediata, elegimos

u V i + x2

du =(1 + x2)3/2

dx

, arctan xdv =

1 + X -dx =$ v = e- arctan x

Luego, tenemos

3arctan */

xe

/V I T * 2 J ( 1 + x2)3/2dx

En la integral J consideramos

( 1u =

V i + x2du = -

x dx

(1 + x2)3/2

dv =

Luego, se tiene

1 +x2-dx => v = e a arctan x

I =xe arctan x

V i + X 2 vr+n x [

= H (1 + x2)3/2dx

-i arctan xrvPortante, l = i - -_ ! ? i i + c

2 V i + x2

24

INTEGRAL INDEFINIDA

Otra forma de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cambio de

variable t = arctan x y la integral se transforma en J ecsert t dt.

Ejemplo 35. Calcule / = [ J

senh2x dx

(x cosh x senh x)2 Solucin ,

Multiplicando y dividiendo entre x, se tiene

/f senh x x senh x dx

J x (x cosh x - senh x) 2

Ahora escogemos

senhx x cosh x- senh xu = ----- => du ----- ------- dx

x xlx senh x 1

dv = ----- ------- - dx => v(x cosh x - senh x) 2 x cosh x-senhx

Entonces

senh x r dx

x(senh x - xcoshx) J x2

senh x 1/ = -- :-------- z r - - + C

x(senh x - xcoshx) x

f e enx(xcosJx sen x)Ejemplo 36. Calcule / = I ----------------- dx.

J CQSXSolucin

Tenemos l = J xesen * eos x dx - Jsen x

sen* ----- dxCOS2X

(u = x = > d u = dx ...h n h a c ie n d o < , v , con r se obtiene

1-dv = e eos x dx => v = e

"J'1

ln /2, haciendo

U = xesenx

(u = esenx =* du = esen * eos x dx, sen x 1 resulta

dv = -- dx = > v -----cos^x cosx

l2 = ------[ esenx dx = esenx see x - [ esenx dxcosx J J

25


EJERCICIOS

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

v31. J x2 lnx dx

2. J (7 + x - 3xz)e~x dx

3. J x sec2x dx

4. J arcsen(2x)dx

_ f lnx

* J ^

6. J ln(x + V i + x2) dx

7. j cos (ln al:) dx

8. J sen(lnx)dx

9. J x arctan2x dx

R. (3 lnx 1) + C

. (3x2 + 5x - 2)e~x + C

R. x tan x + ln|cosx| + C

V i - 4x2 R. x aresen 2x H--------- 1- C

1 + 2 lnxR. - ----b C

4x2

R. x ln(x + 71 + x 2) - J l + x2 + C

XR. -[sen(lnx) + eos (lnx)] + i'

/?. -[sen(lnx) cos (lnx)] + C

R- 2 [(.x2 + l)arctan2x - 2x arctan x + ln(x2 + 1)] + C

10 / arcsen2x dx

i i .

' ,J i r r n c v con v V

f J (x + l ) 2

/?. a: arcsen2x + 2 V T ^ x 2 aresen x - 2 x + C

R. lnx |ln(Inx) - 1| + C

x2 + 1 ( X 1

x2 dx

(a: eos x - sen x )2

(x2 + l ) e x

R.

R.

R.

-ln ( )Vx + 1/

sen x(cosx - sen x)

2x ex

x + C

cot x + C

x + 1ex + C

26

INTEGRAL INDEFINIDA

15.

16.

17.

18.

19.

20

21

22.

23.

24.

25.

27.

28.

x e*

(1 + x )zdx R. ----- + ex + C

l + x

x e

_ ^ x arctan j x 2 ld x R. - x 2 arctanVx2 - 1 ~ 2 ~ 1 + C

x aresen x

(1 - x2)3/2

arctan x

dxaresen x 1

R. + ln

-dx R.

V i - x2 2

arctan x

1 - x+ C

l+ x

+ ln|x| - ln i / l + x2 + C

es c5xdx R.

X ( X + 1\

ln ( * ^ t ) dxV i x2

e2*cos (e*) dx

ea*sen x dx

-csc3x cotx - -(esex cotx + ln|cscx + cotx|)j + C

R. V i - x2 ln f--- r) + 2 aresen x + CVx + 1/

R. exsen(ex) + cos(ex) + C

[a sen bx b cos bxJ + C

arctan(Vx + 1) dx

ln(Vx + V i + x) dx

sen2(Inx) dx

a2 + b2

R. (x + 2)arctanVx + 1 - Vx + 1 + C

R. {x + ln(Vx + Vx + 1) ~Vx2 + x + C

R. x sen2 (ln x) - - [x sen(2 ln x) - 2x eos (2 ln x)] + C

^gSen x C 0S4X _ ^

COSJ Xdx

R. esen * - - [seex tan x + ln|secx + tan x|] + C

(x2 - sen2x)-dx R. x(cscx - cotx) + C

x - sen x eos x + x eos x - sen x

(arccos x - ln x) dx R. x rceos x - V 1 - x2 x(ln x - 1) + C

27

29. Si / (x) = a f (x) y g"(x) = b g(x), donde ay b son constantes, hallar la integral:


j f(x)g"(x) dx

/30. I 4x3 arcsen dx

x arctan x 31. I ~~7Z--- T^rdx

- P

I

35. I

d + x 2y

x4 x arctan x32. | --- dx

(1 + x2)2

, arcsenVx33. | --- dx

Vx

,1 /x

dx

.. r x2sec2x37. I ----------^~z^dx

J (tan x - x se /

^2cai.2,

(tan x x sec2x)2 '

1

dxarcsen

39 1 ------*

41. j arctan^jVx - 1 dx

43.

45.

47.

49.

50.

dx

(e2x - x2)(x - 1)

/

xcosx

J (x -

x2ex

sen x + 1

dx

-dx(x + cosx) 2

a In(x + a + Vx2 + 2ax)

a + b[f(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C

i 1 ( x 2 + 2R. x arcsen 4- ( - 1 - /v2x2 - 1 + c

/34. eos x ex dx

36.

38.

40.

42.

44.

:eos x dxJ x ex i

J x arctan Vx2 - 1 dx

/

/

I

!

cosh2x dx

(x senh x - coshx)2

ln(2 + Vx)

Vx-dx

(x sen x + cosx)(x2 - cos2x)dx

46. cosh 3x eos 2x dx

f x / l + *\48. I :In ( ---- dx

J VI - x 2 V i-x )

(x + a )2/

f X^J - = = [ l n ( l + X)* - l n ( l - x y ]dx

28

1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado

de la forma: /

dx f dxI

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 TCNICAS DE INTEGRACIN

I. ----- II. J px2 + qx + r J j zpx2 + qx + r J v'px2 + qx + r

n] [ (ax + b)dx f (ax + b)dx

J px2 + qx + r J J p x 2 + qx + r

En los casos (I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinomio y aplicar

las frmulas que correspondan: (23), (24), (25) (26).

En los casos (III) y (IV) se usa el siguiente artificio:

a aqax + b (2 px + q) + b

2 p 2 p

La expresin 2px + q es la derivada del trinomio cuadrado. Entonces

f (ax + b)dx a C (2px + q)dx / aq\ r dx

J px2 + qx + r 2p J px2 + qx + r V 2p) J px2 + qx + rA

a / aq\= ln|px2 + qx + r \ + yb - J A

Por otro lado,

(ax + b)dx a f (2px + q)dx / aq\ f dxI' (ax + b)dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq^ f

J yjpx2 + qx + r 2p J j p x 2 + qx + r ' 2p) J ^jpx2 + qx + :

a / ------- ( acl\= - Vpx2 + qx + r + \ b - j B

p \ 2 p j

I ,as integrales (4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.

Ejemplo 37. Calcule las siguientes integrales:

3 dx f dxf 3 dx . s 1

J 4x2 + 4x - 3 J x2 - 2x + 10f 2 dx 5 dx

J Vx2 + 6x + 18 i Vx2 8x 12

Solucin

Completando el cuadrado en cada trinomio y aplicando las frmulas de

migracin, tenemos

29

f 3 dx 3 r

J 4x2 + 4x-3 ~ 2 J


2 x - l3 dx 3 f 2 dx 3= ^ln

(2x + i y - 4 2x + 3+ C

, n f dx f dx 1 (x~l\) J x 2 -2x + 10 J (x- 1)2 + 9 3 arCtan(_ 3~J + C

( 2 dx r dx , ,---------- ,c) 7 r . T i = 2 1 t=~ = 2 ln x + 3 + Vx2 + 6x + 18 + C

J Vx2 + 6x + 18 J V(* + 3)2 + 9 L J

f 5 dx r dx /x + 4\d) I 7 ' 0 ~ = 5 = = 5 arcsen (- ) + C

i V-x2 - 8x 12 J ^ 4 - (x + 4)2 v 2 )


f (3x - 5)dx r (1 - 4x)dx

J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1c) 2 ~ ix d) ( - ( i i i W

J Vx2 + lOx + 21 J x(x + 3)

Solucin

Completando cuadrado en cada trinomio y usando el artificio indicado, se tiene

3 3a) 3x 5 = (2x + 6) 9 5 = (2x + 6) 14. Entonces

f (3x 5)dx _ 3 r (2x + 6)dx f dx

J x2 + 6x + 18 2 J x2 + 6x + 18 14J(x + 3)2 + 93, / , 14 /x + 3\

= -ln(x + 6x + 18) arctan -J + C

4 4 2 7b) 1 4x = (18x + 6) + l+ = - (18x + 6) + . Luego,

f (1 ~ 4x)dx _ _ 2 f (18x + 6)dx ^ 7 1 f 3 dx

J V9x2 + 6x - 3 9 J V9x2 + 6x - 3 + 3 3 J y/(3x + l ) 2 - 4

4 : 7 ----------------------= V9x2 + 6x - 3 + -ln 3x + 1 + V9x2 + 6x - 3 + C

y y i i

1 1c) 2 x = (2x + 10) + 2 + 5 = - (2x + 10) + 7. Entonces

(2 - x)dx 1 f (2x + 10)dx f dxf (2 _-x)dx _ i r (2x + 10)dx f

i Vx2 + lOx + 21 ~ 2 j Vx2 + lOx + 21 + 7 i 'Vx2 + lOx + 21 J V(x + 5)2 - 4

= -Vx2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V*2 + 10x + 2l| + C

30

d)

INTEGRAL INDEFINIDA

(4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f dxf (4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f

Jx(x + 3 )dX 2 j x 2 + 3xdX 2 J / 3\ 9V* + 2 4

5 7 i x= -ln|x2 + 3x| -ln

2 6 Ix + 3'


f (3e2x - 4ex) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^

J V4e* - ex - 3 J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)Solucin

a) I(3e2x- 4 e x) f ( 3 e x -4 )exdx_ [ (3ex - 4ex) Hy _ f

~ J v4e* - e x - 3 ~ J v 4ex - e x - 3 J V4ex - e2x - 3

Si se hace t = ex , entonces dt = ex dx . Luego,

f (31 - 4)d t 3 f (4 - 2t)dt f dtl =

j- (31 - 4)dt _ 3 I" (4 2t)dt + ^ [ dt

J V4t - t 2 - 3 2 J >/4t - t2 - 3 J yjl - (t - 2)2

= -3V4 - t 2 3 + 2 arcsen(t 2) + C

= 3y4ex e2x 3 + 2 arcsen(e* 2) + C

r (senh x + 3 cosh x) dx

^ J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)

= /:(senh x + 3 coshx) dx

cosh x(6 senh2x + 2 senh x cosh x + 5)

Dividiendo numerador y denominador entre cosh3x , se tiene

;= J

(tanh x + 3) sech2x dx

6 tanh2x + 2 tanh x + 5 sech2x

(tanh x + 3) sech2x dx

J 6 tanh2x + 2 tanh x + 5(1 tanh2x)Ahora bien, si t = tanh x , entonces dt = sech2x dx. Por consiguiente.

r (t + 3)d _ 1 f (2t + 2)dt n f dt

1 ~ J t2 + 2t+ 5 ~ 2J t2 + 2t + 5 + 2 J (t + l ) 2 + 4

1 , , /tanh x + 1\-ln|tanh2x + 2 tanhx + 5| + arctan --- ---- J + C

31

TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

! '52 rH IP ERB U C A ESALGUNAS FUNCIONES TRIGONOM TRICAS

Recordemos las siguientes identidades:

1. sen2u + cos2u = 1

3. csc2u - cot2u = 1

1 + eos 2 u5. cos2u =

7. sech2u + tanh2u = 1

cosh 2u - 19. senh2u2

2. sec2u - tan2u = 1

1 - eos 2u4. sen2u =

6. cosh2u - senh2u = 1

8. coth2u - csch2u = 1

cosh2u + 110. cosh2u =

Estas identidades son muy importantes en los artificios para resolver ciertos tiposde integrales de funciones trigonomtricas e hiperblicas.

I. INTEGRALES DE LA FORMA: J senmx cosnx dx y J senhm* coshn* dx.

Se consideran 2 casos:

CASO 1: Uno de los exponentes m n e s un entero impar positivo.

0 Si m es impar positivo, se factoriza sen * dx (o senh * dj) y se expresa los senos o senos hiperblicos) restantes en funcin de cosenos (o cosenos hiperblicos) usando la identidad

sen2* = 1 eos2* ( senh2* = cosh2* - 1)

ii) S. n es impar positivo, se procede de manera similar, es decir, se factoriza

eos x dx (o coshx dx) y se expresa los cosenos ( cosenos hiperblicos) restantes en funcin de senos (o senos hiperblicos) usando la identidad.

eos2* = 1 - sen2* (o cosh2* = 1 + senh2*)

Ejemplo 40. Calcule las integrales

a) I sen3* eos4* dx b) J senh5* V ^ ih 7 dx

Solucin

a) / = J sen3* eos4* dx eos4* (sen * dx)= J sen2*

= - cos2*)cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA

En la ltima integral, hacemos u = eos * =* du - -sen * dx . As, se tiene

/ = J (1 - u2)u4 (-du) = - f (tt4 - u6)du = - y + y + C

35(5 eos2* - 7) + C

b) f senh5* V ^ i h l dx = f (cosh2* - l ) 2(cosh * ) ^ 2 (senh * dx)

= j (cosh9/2* - 2 cosh5/2* + cosh1/z*)(senh * dx)

= JLcosh11/2* - ~cosh7/2* + \ cosh3/2* + C 11 7 3

CASO 2: Ambos exponentes m y n son pares y mayores o iguales a cero.

En este caso, se usan las identidades:

1 eos 2* , 1 + eos 2*

sen2* = --- ^--- y C = --- 2---

/ cosh 2* - 1 , 7 cosh 2x + 1\/ cosh 2 * - 1 , senh2* ------^---- Y cosh * =

Al efectuar las operaciones, se obtienen trminos que contienen potencias pares e

impares de eos 2* ( cosh 2x). Los trminos que tienen las potencias impares se

integran teniendo en cuenta el caso 1. Los trminos que tienen las potencias pares

se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. C alcu le las integrales:

a) J senh43* dx b) f sen2* eos4* dx

Solucin

a) I seh43x dx = J ( 5 - t l i ) 2 ix = i J (c o s h 6* - 2 cosh 6 + 1) dx

- ? / (

- I I

csh(12) + l _ fa + 1 ^

2

(cosh 12* - 4 cosh 6* 4- 3) dx

= i f senh 12* senh 6* + 3*) + C 8 \12 3 >

33


. 2u f 4 , f / I - cos2x\/I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J (-------- j ( --- ---- J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32x) dx

1 f / 14- cos4x\ 1 f- g J + eos 2x--------- j dx - - I (1 - sen22x)(cos 2x dx)

= j ( j + cos 2x ~\cos4x) dx ~ T 6



a) J tan3/2x sec4x dx b) j csc4x dx

c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6xdx

Solucin

a) j tan3/2xsec4xdx = J tan3/2xsec2x(sec2x dx)

= j tan3/2x (l + tan2x)(sec2x dx)

- J (tan3/

d) J cosh 4x senh x dx = j [senh 5x - senh 3x]dx

1/1 1 \

= 2 \5 C S ~ 3 C0S ^ / + ^

En este ejemplo, se han usado las identidades:

senh(-u) = -senh u , sen(-u) = -sen u

cosh(u) = coshu , cos(-u) = cosu

Ejemplo 45. Calcule las integrales:

i ~ . sen4* + cos.4xa) I sen3(3x)tan3xdx b) --- ----- T-dx

J J sen2x cos2x

f eos x fc) dx d) I cos3x sen 3x dx

J Vsen7(2x) cosx J

Solucin

f f sen43xa) / = sen3(3x)tan3xdx = --- dx

J J eos 3*

_ J (1 - cos23x)2


eos 3x-dx

b)

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33x)dx

1 2 1 f = -ln|sec3x + tan 3x| - - sen 3x + - I (1 - sen23x)(3 eos 3x dx)

1 2 1 / 1 \= -ln|sec3x 4- tan 3x| - - sen 3x + - (sen 3x - -sen33x + C

j 3 3 V 3 /

1 , 1 1= -ln|sec3x 4- tan 3x| - -sen 3x --sen33x + C

J J 7

fsen4x + eos4x r 4(2 + 2 cos22x)

i ----------- J~ d x = ------------- -------- d xJ sen2x - cos2x J -cos2x

- l (see2x + eos 2x)dx

1 , 1 = --rhi(see2x + tan 2x| - -rsen 2x + C

4 4

38

c) /

INTEGRAL INDEFINIDA

eos x I r eos x dx- C 0 S ; : C h - 1 f

J ^ /s e ^x je o sx V27 J Vsen7 x cos8x

Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en

(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transformar a los

otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes cotangentes y

cosecantes. En este ejemplo, transformando a tangentes y secantes (dividiendo

entre cos5x, numerador y denominador) se obtiene:

1 r sec4x 1 r 1 + tan2x

' = V l28 J tan7/3x = V f J tan7/3* (sec"x dx )

1. .tan 7/3x + tan 1/3x)see2xdx

4 V2J v J

= rrz ( - eot4/3x + - ta n 2/3x ) + C 4V2V 4 2 J

f f (1 + eos 4x\d) ] = I cosi 2x sen 3xdx - J ^--- ---- J eos 2x sen 3x dx

^ / ( c o s z x s e n 3 ^ + J eos 4x(cos 2x sen 3x)dx

= - J [sen x + sen 5x] dx + - J [cos4x sen x + cos4x sen 5x]dx

1 1 1 ir= eos x - eos 5x + - I [-sen 3x + sen 5x + sen x + sen 9x]dx

1 / 1 \ 1/1 1 1 \= - eos x - eos 5x I + - - eos 3x - - eos 5x - eos x -- eos x] + C

4 V 5 / 8 \3 5 9 /

3 1 3 1= - - eos x + - eos 3x - eos 5x - eos 9x + C

8 24 40 72


f f f sen^xa) j tanh42xdx b) I sech3xdx e) I dx

, ^ 4d )

cosx

rsen43x f-- rr~dx e) tan2xseexdx

J cos33x J

Solucin

Se observa que ninguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo

que ser necesario efectuar algunas transformaciones. En efecto,

39


a) I tanh42x dx = J (1 - sech2x)2 dx = J ( 1 - 2 sechz2x + sech42x) dx

= x tanh 2x + J (1 tanh22x) sech2x dx

1 / 1 = x - tanh 2x 4- -(tanh 2x - ~tanh32x) 4- C

1 1= x - -tanh 2x - -tanh32x + C

O

b) J sech3x dx - J - J l- tanh2x (sech2x dx)

(Si u = tanh x , du - seeh2x dx)

= [tanh x V l - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r

^ J cs^xdx = J tan2x Sec4x dx = I tan2x(-1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2x + tan4x)(sec2x dx) = ^ ta n3x + ^ ta n sx + C J 3 5

( sen43x r (1 - cos23x) 2 r

3 J cos33x J ^ s'33x dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* ) dx

= J V l + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x 4- tan 3x| 4-^sen3x

A

1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x 4- tan 3x|] - A

1 1 1 = gtan 3x sec3x - -In|sec 3x + tan 3x| + gSen 3x + c

e) I tan2x secxdx = J y /sec^x^l(tan xsecxdx)

1 ,= -|secxtanx - ln|secx + tanx|] + C

INTEGRAL INDEFINIDA

f dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la sustitucin x = 2 tan i

Sol ut-ion

< .uno x = 2 tan 0 , dx 2 scc29 dO. Entonces

1 f s e c 29 d9 1I

f dx l f sec 0 d9 1 r

1 f (1 + cos 26)d9 1

- l 2 16

x 2x

sen 20+ C = [0 + sen 0 cos 0] + C

16

1 /= arctan - 4- , ,

16 V 2 4 + x2+ C

Para regresar a la variable original x, en vista de que tan# = - , se construye

d tringulo

A partir de este tringulo, se obtiene que

sen 0 =Vx2 + 4

y cos ti = Vx2 4- 4

EJERCIC IOS

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

1. V xz + 2x 8 dx

- [(x 4- l )V x 2 - x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- V * 2 4- 2x - 8|J 4-

3.

9 dx

V9xz - 12x 4- 13

3 dx

4x2 16x 4-17

4 Ix

?. 3 ln [3x - 2 4- V6x2 - 12x 4- 13] 4- C

R. -arctan(2x - 4) 4- C

Vx2 4- 2x 8: dx

. - 7V x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8| 4- C

41

5. f !J 9x2 -

3 4- 5x

12x + 13

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMEN II

dx

1.

f (2 -

I

(2 - x)dx

V-x2 - 10x - 21

sen 2x 4- 3 cosx

V9 4- 4 sen x cos2x

R- lg In(9x2 12x 4-13) 4- y arctan 4- C

V * 2 lOx 21 + 7arcsen + q

dx

R- 2 V i iH ^ T 4 ^ H T T 8 - In|sen x 4- 2 4- x 7 T 4 l i i T T 8 | + C

a f _____(5senh x 4- 4 cosh x)dx

J coshx(9 senh2x 4

9. J sen2xdx

cosh x(9 senh2x 4- 6 senh 2x 4- 5)

R- g ln|4 tanh2x 4-12 tanh x| - ~ ln tanh ^ + 1 [ + 16 12 tanh x 4-5

n x sen 2x

* 2 ~ +C

10. J cosh25x dx

u . J sen4x dx

12. / cos5x dx

, 3 . / cos7x sen3x dx

f sen3x14. I -- r-dx

J cos4x

15. J senh3x dx

16. j sen2(3x)cos43x dx

17. J senh8x cosh5x dx

18. j tan6x dx

d * 1R- 2 + ^ sen(10x) 4- C

3x sen 2x sen 4x

* ' T 4 ~ + + c

D 2 , 1R. sen x - -sen3x 4- -sen5x 4- C

R.

COS8X

40

1

3 cos3x

(4 cos2x - 5) 4- C

- secx 4- C

1

R cshx(cosh2x 3) 4- C

x sen 12x sen36x

' 16 192 + ~144~+C

1 2 i R. -senh9* 4- -senh3x 4- -senhsx -f C

1 1R g tan x - -tan3x - tan x 4- x 4- C

42

INTEGRAL INDEFINIDA

19. J cot5* dx

20. J tanh4x dx

21. j sec4* Vcot3* dx

22. J tan5x Vcos3x dx

23. J tanh6x sech4* dx

V2 dx24.

cos3*Vsen 2*

25. J sen 3* sen 5* d*

26. I cos 2* cos 7* dx

/

J

I

27. J sen52x cosB2x d*

28. J sen3* cos3* d*

29. J (1 4- cos 4x)3/2 d*

30. J cot4(3*)d*

I a * 7 * ,31. | sen4 - cos dx

32. J tan3* dx

33. J tan3(3x)sec3(3x)dx

1 * 1 ,R. -cot4* 4--cot2* 4- ln|sen*| 4- C

R. x tanh* -- tanh3* 4- C

R. - 2Vcot * 4- - Vtan3* 4- C

2 2 R. -sec5/2* 4 sec1/2* -cos3/2* 4-C

1 , 1 R. -tanh7* -tanh9* 4- C

7 9

R. -Vtan*(5 + tan2*) 4- C

sen 2* sen 8*R ------77 4- C

4 16

1 1 R. sen 5* 4- sen 9* 4- C

10 18

1 1R. -sen6(2*) - -sen8(2*) 4- C

R. - -i-cos(2*) 4--i-cos3(2x) 4 C 16 48

V2 V2 , 'R. sen 2 * sen32* 4- C

2 3

1 , 1R. -cot33* 4--cot 3* 4- * 4- C

9 3

* 1 1R TZ ~ To sen 2* sen * 4- C

16 32 24

tan2*R. --- F ln|cos*| 4- C

1 1 ,R. sec53* - -sec33x 4- C

15 9

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

.43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

Veos4*


dx i?. Vsec* cos2x + + C

dx ^

R. 2 tan* + -tan3* - cota: + Csen2* eos4* " ---- 3

dx 1 3 j

sen5* eos5* 2 tan x + 3 n ltan x\ ~ :> cot2* -cot4* + C

dx

Vsenx eos3*R. 2Vtan x + C

dx R- -cot* - -cot3* + Ctan4* " v'v-'v 3 '

Veot* eos9* dx ?. 2Vsen * - ^sen5/z* + sen9/2* + C

sen2(?r*)

cos6(jr*) dx R -[3 tan3(?r*) +-tans(7r*)j + C

f sen* sen 2 * sen 3* dx R. c o s 6 * - i Cos4* ^ c o s 2* + C

f sen 4* eos 5* dx r eos 9* eos*18 2

sen 8* sen 3* dx r sen * lx _ sen , r

cosh 3* cosh * dx r . -senh 4* + -senh 2x + Co 4

senh 4x senh * dx R. cosh 5* + i cosh 3* + C

sen3* eos 3xdx R. j^cos2x - c o s 4 x + cosx + C

eos2* sen24* dx R x ^en 1 sen 2x sen 6* sen 10*' 4 32 -8 ~ 48 8 ~ + C

senh2* cosh 5* dx f sen^ . senh 3* senh 5* ^

' 28 ^ 12 iT + C

50 f dX 2 J Vsen3* cossx -2Vct* + -tan*V taF* + C

44

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOM TRICA

Las integrales de la forma f R(x , yjpx 2 + qx + r)dx, donde R es una funcin

racional de las variables * y j p x 2 + qx + r , se puede simplificar por medio de

una sustitucin trigonomtrica adecuada.

Completando el cuadrado en el trinomio px2 + qx + r se obtiene una expresin

de la forma u 2 + a2 u 2 a2 a2 u 2, donde a es una constante.

I) Si el trinomio tiene la forma a2 u 2, mediante la sustitucin

u - a sen 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 - u 2 = a eos 6 . Tambin se tiene que

d.u a eos 6 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el tringulo formado con la

usustitucin sen 6 = (Fig. 1.3 a).

(a)

lu 2 - a 2

Fig. 1.3

II) Si el trinomio tiene la forma a2 + u 2, mediante la sustitucin

u - a tan 8 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 6 . Tambin se tiene que

du - sec20 dff

Para regresar a la variable original u, se utiliza el tringulo formado con la

usustitucin tan 0 = - (Fig. 1.3 b).

a

III) Si l trinomio tiene la forma u 2 t- a2 , mediante la sustitucin

u = a sec 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tambin se tiene

du = a sec 9 tan QdB

Para expresar la integral original en trminos de su variable u, se emplea el

utringulo elaborado con secfi = - (Fig. 1.3 c).

45


Ejemplo 48. Calcule / = J y9 - x2 dx.Solucin

Haciendo la sustitucin x = 3 sen 8, dx - 3 eos 9 dd y calculando la integral

trigonomtrica que resulta, se tiene

/ = j V32 x2 dx J 9 - 9 sen28 3 eos 0 dd = J 9 cos29 d9 = - J (1 + eos 29) d9

cos20.3 eos 8 d9

9 9 ( x xV9 - x2\= -(0 4- sen 9 eos 9) + C = -I aresen- +-------I + C

- (*V9 - x2 + 9 aresen -) + C

Ejemplo 49. Calcule / = /dx

X2V 1 6 + 9 X 2

Solucin

Sea 3x = 4tan0, dx = -sec29 d9. Luego,

dx _ 4 f

J x2%/l6 + 9x2 ~ 3 J

sec29 d9

x2V 16 + 9x2 3 J ^ tan20V16 + 16tan20

3 f see9 3 f cos= -- T-d9 = -- d0

16 J tan20 16 Jsen 20 16- ese 0 + C

3 V16 + 9x2 V l6 + 9x2 .+ C = ------- + C

16 3x 16x

; dx.Ejemplo 50. Calcule / ,J Vx2 9

Solucin

Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 0 tan 0 d9 , se obtiene

27 sec30 .3 sec 9 tan 9 d9

V9 sec20 9

f xJ f := dx =

J Vx2 9 J

= 27 J (1 + tan20)sec20 d9 = 27 (tan 9 + -tan3flj +

= 9v'* 2 9 + - (x2 9)2 + C3

46

ItlPiiiplo 51. Halle = INTEGRAL INDEFINIDA

X3 dx

Vx2 + 2x + 5

Solucin

i ompletando el cuadrado en el trinomio y

luu icndo la sustitucin

v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz9 d9

M' obtiene

x3 dx f x3 dxf xJ dx r

J Vx2 + 2x + 5 i + l)2 + 4I (2 tan 0 l )3 2 sec20 d0 = tan 0 - l )3 sec 0

2 see0

(8 tan30 sec 0 - 1 2 tan20 sec 0 4- 6 tan 0 sec 0 - sec 0) d0

Hsec30 - 6 see 0 tan 0 + 5 ln|sec0 + tan 0| - 2 see0 + C

1 3 (____________________

, {xl + 2x + 5 )3/2 - - (x + 1 )V *2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - + C

,------ (2x2 - 5x - 5v x + 2x + 5 ( ---- -----

lijemplo 52. Halle /Solucin

/

+ 5 In jx + 1 + V* 2 + 2x + 5| + C

dx

(1 + X 4) a/\/I + X 4 - X 2"

sec20Si se hace x = tan 9 => dx = ; . dft.

Hntonces

dx

2Vtan I

-/

sec20 d0

2%/tan 0

(1 +x4)VVl + x4 - x 2 J sec20Vsec0-tan

_ 1 C eos 0 d0 _ 1 r

2 J Vsen 0 sen20 2 J IJeos 0 d9

(sen 0 i )z 2

-aresen + C

1 1 / 2x2= -arcsen(2 sen 0 - 1) + C = - aresen - ^ =

2 2 V v i+ x 41 + C

47


12 dx

/;Ejemplo 53. Calcule / - , _________________

(2x - l ) / (4 x 2 - 4x - 8)3

Solucin

Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustit jcin

2x - 1 = 3 sec 9, dx = - sec 9 tan 9 d.9

Resulta

/= /

- /

/

12 dx

(2x - 1)V(4x2 4x 8)3

12 dx

{2.x l)[(2x l )2 9]3/2

18 sec 8 tan 9 dd 2

3sec0 27tan30 9J cot26 d9 - j (esc20 1 )d6

2 2 = [cot 6 0] 4- C = I

Ejemplo 54. Calcule J

Solucin

Si se sustituye

/

9 VV4x2 - 4x - 8

e~* dx

2x - 1\+ aresen - J 4- C

(9e~2x + l ) 3/2'

3e x tan 9, e Xdx = - -sec29 dd , se tiene

= /e x dx

[(3e~*)2 + I ]3/2

r ~ 3 sec29 dQ i r

J sec39 3 J cos0 d9--sen 9 + C

V i + 9e~2*4-C

48

R|inplo 55. Calcule / = I * X- drJ V2 - x

Solucin

Racionalizando el integrando, obtenemos

f x V 1 - x f x ( l - x ) r x ( l - x )dx

J V 2 - * * ~ J V l ^ V 2 ^ * J V *2 - 3x + 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Aliora bien, completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitucin

3 1 1- = - sec 0, dx = - sec 9 tan 0 d92 2 2

S w j. 2 x - 3 = sec9

c obtiene2x-3/

+ f x ( l - x)dx

\(y 1/ Q \

12

r ^ sec 0 + ( l - ^ - i sec ] sec 9 tan 0 d)

2 tan 9

- - - J (sec39 + 4 sec29 4- 3 sec 9) d93 i r --------

= - tan 9 - -ln|sec0 + tan 9\ - - V i + tan20 sec20 d94 4 J

3 1= -tan 9 - -ln|sec0 4- tan 9 | - - (sec9 tan 9 + ln|sec0 4- tan 0\ 4- C

4 8

1 7= - - tan 0(8 4- sec) - -ln|sec0 4- tan 9\ 4- C

O O

2\Jx2 3x 4- 2 7 i ___________= ------ -------(8 -i- 2x - 3) - -ln \2x - 3 4- 2yfx2-3x + 2\ 4- C

O O ' *

y j 3x h 2 7 i ____ i= ------ ------- (5 4- 2x) -ln 2x - 3 4- 2V* 2 - 3x 4- 2| 4- C

49


Observacin 7. Si el integrando contiene una expresin de la forma Va2 u

Va2 + u 2 Vu2 - a2 , a veces una sustitucin hiperblica es ms efectiva.

Para Va2 - u 2 , la sustitucin es u = a tanh t.

Para Va2 + u 2 , la sustitucin es u = a senh t.

Para Vu2 a2 , la sustitucin es u = acosh.

En el primer caso, Va2 - u 2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u1 = a cosh t.

En el tercer caso, Vu2 - a2 = a senh t.

Ejemplo 56. Calcule / = J x2J x 2 + 4dx.Solucin

Usando la sustitucin

x - 2senh t , dx - 2 cosh t dt

tenemos

/ - J x 2 x 2 + 4 dx = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t dt- 16 J senh2t cosh2t dt = 4 J senh22 dt = 2 j (cosh 4t - l)d

1- -senh 4 - 2t + C = 2 senh tcosh t(senh2t + cosh2t) - 2 1 + C

x V + lt2 /x 2 4 + x2 \ *j _ 2 Senh-1- + :

xV4 + x2(,x2 + 2) - 2 senh 1 % + C

4 2

x2 dxEjemplo 57. Calcule / ~ f

J

f (x5 - x) _ r (x* - l)(x dx) f [(z2 - 3)2 -]z dz

J V^T3 J V F T 3 " J zf z **

= J (z4 - 6z2 4- 8)dz = Y - 2z3 + 8z + C


b) Haciendo z2 = xz 4- 3, z dz = x dx se obtiene

z= -[z4 - 1 0 z2 +40] + C

Vx2 + 3 ,= -- --- (x4 - 4x2 4- 19) + C

c) Si se sustituye z 2 = x2 + 9, z dz = x dx resulta

r x3 dx _ r x2{x dx) f (z2 - 9)(z dz)

J ( X 2 + 9 )3 /2 - J ( x 2 + 9 )3 /2 - J

dz

9 1 ,= zH---h C = - (z 4- 9) 4- C

z z

1(x2 4- 18) + C

Vx2 + 9

d) Haciendo z 3 x2, x dx = - -dx se obtiene

f x 5 dx x 4(xdx) f (3 - z )2( - dz)

J (3 - x2)4 " J (3 - x 2)4 = J ?1 f / 9 6 1\

2 J l 4 _ ? + ? ) dz1 /3 3 1\

2 f e " i 2 + z ) + C

x4 - 3x2 + 3

_ 2(3 - x 2)3 +C

f x" a*

J V T ^ x 2

J / 4- x2 dx

j xzV4 - xz dx

f dx

i x2v l + x2

dx

J (x2 + l)V l - xz

' x3 dx

v2x2 T- 7

dx

x4Vx2 + 3

r (4x + 5)dx

( x 2 2 x 4- 2 ) 3/ 2

f - 4I ( X 2

(2x - 3)dx

J (x2 4- 2x - 3) 3/2

fV x 2 4xdx

x4 dx

I 1

(4 - x2)7/2

(x2 - 25)3/2 dx

x6

dx

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCICIOS

(x 4- l ) 3Vx2 + 2x

r sen x dx

J yjcos2x + 4cosx 4- 1

/?. - - a rc s e n x - - v l- * +C

R. - j x V 4 + x 2 + ln ( x 4- 4 + x 2) j + C

x V4 - x2 i?. 2 arcsen ------- |x - 2xj + C

V i + xi R . ----------- 4- C

/ V2x ,R. arctanl - = = ) + C

1

Ti \V1 - x 2

Vx2 4- 3 (x2 4- 3)3/zf. --r------ --+ C

R.

9x 27x3

9x - 13^ ______ : 4~ C

Vx2 - 2x 4- 2

5x - 3

4Vx2 4- 2x - 3

(x2 - 4x)3/2

: 4" C

6x3

5

R.20(4 - x2) 5/2

(xz - 25)s/2

4- C

4- C

125x5

1 Vx2 4- 2x . jarsenC jr+ D + j j ^ + C

/?. - ln jc o s x 4- 2 + V c o s ^ x T T c o s x + l j + C

53


' i

ex'Je2x - - 2e2x(ex + )15. | :-: -II ' ~J Hv

2(ex + 2) V e 2* - 4 R. \n\ex + 2\ - yje2x - 4 + C

_ f 2x2 - 4x 4-4 16. j - dx

J V3 4- 2x x2a resen - (x - 1)V3 + 2x-x2 + C

17

18.

/dx

(x2 -2x + 5)3/2

O 2 + 3x)dx

R.W x' - 2 x + S

i ~ -

f x3 d 19.

J V 4-

(x - l)V x 2 - 2x 4- 10

fl. V*2 - 2a: + 10 + 51n jV*2 - 2a: + 10 + x + 1 +^ln

x3 dx

Va:2 - 2x + 10 - 3

x- 1+ C

V4 - x2 / ? .---- --- (8 + x2) + C

. (3 + x2) 2 x3 20. J 77 dx

' /

(1 4-x2)2

1R. --

. 2

(x2 + i f f ? 4-------+ (x2 + 1) +

x2 4- 1+ C

y/y2 - 4dy p A (y2 - 4)3/2

2 y 3 C

f dx J (x2 - l)Vx

f

(x2 l)V x2 - 2

2x2 + 1------- - dx(x2 + 4) 2

dx

_ V x 2 - 2 k. arctan------ 4-

n 1 r x i4x 1 R. - Ja rc tan-- ] + c

(2x2 4- l)V x2 + 1

f3 x aresen x 25. . dx

J V( 1 - x 2) 5

5 = . 3

fi. arctan * ...) 4- CW l + x 2 '

(1 - x2)3/2 2

W l 4-x2

aresen x 1 r % x + 1

l r ^ +in v r ^ - +c

/26. f - j~ = = ln (7 ) dx J V i - x 2 V i - x /

* ln ( t ^ i ) ( r 3 ~ i b 5 ~ z) +^ arcsen * - *2 (/25 + 6x

"604- C,

donde z = J l - x2

tx 3

a V x4 - 4: dx

INTEGRAL INDEFINIDA

1R.

2 x2ln |x2 + Vx2 - 4| - -aresen

I (x2

x dx

{x2 - 2)Vx4 - 4x2 + 5

x2 dx

1/?. -ln

Vx4 4x2 4- 5 1

x 2 - 2

+ C

+ C

\l 4x2 12x 5

1R. -

(2x 4- 3\ i------------11 aresen^ - j 4- V- 4x2 - 12x 5(3 2x)

411

II

I,

I I

x l dx

(x2 4- 4)3

2x:i dx

1

R 64

x 2 x (4 - x 2)1 arctan - -

2 (4 4- x2) 2

4- C

4- C

( v - l ) 4

dx

1 - 3x2 R -- ITT 4- C

(() _ x2)3

(4x2 4- l)dx

R. 4- 3

4- ln

6(x2 l ) 3

(3 + x f

36(9 x2) 216(9- x 2) 4 9 x24- C

II

( v - 3)V6x x2 8

/. 24 arcsen(x 3) 4- 37 ln

e2x dx

1 - Vx - x2 - 8

x 3

J ( C-X _ 2ex + 5) )3

senh 2x dx

R.

4y6x x2 8 4- C

e* 5

4Ve2* - 2e* 4- 54- C

(.! cosh2x 3 senh2x 2 cosh x)3/2

/?3 cosh 2x

j 8 si

) (20 - 4 si

sen 2x sen x dx

(20 - 4 sen 2x - 19 sen2x)5/2

2V2 cosh2x - 3 senh2x - 2 coshx

128

:4- C

1/

^ 4 tan x 16 ^ 5 ( t a n x - 4 ) 2 1 7 ^ +

W l.in^V - 8 tan x + 20 V an2* - 8 tan a: + 20 T / 3 ( ta n2x - 8 tan x + 2 0 )3/2

dx

r C

(* 1 )(x2 - 2x 4- 5) 2

R- Trrln 32

(x - l )2

x2 2x 4- 54-

1

8(x2 - 2x 4- 5)4- C

55

I.5.4.1 INTEGRACIN DE FRACCIONES SIMPLES

Se denominan fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

0 f t o =

TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1.5.4 MTODO DE INTEGRACIN POR DESCOM POSICIN EN

FRACCIONES PARCIALES

x r

*) f t o = 7 , n > 2 , n e N (.x - r )n

ax + bni) f(x ) ; ,--- : , donde px2 + qx + r no tiene races reales, es decir,

JJ X t QX T Y

qz Apr < 0.

^ s ax + bIV) f(x ) = - ----- , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.

(;px2 + qx + r)n ^ p

Las integrales de estas fracciones simples son inmediatas, pues

f ai) ----dx = a lnx - r| + C

J x r

U) (x - r )n dX ~ (1 - n)(x - r)n_1 + C

f ax + biii) 7---- ; dx (desarrollado en 1.5.1 caso III)

J px2 +qx + r J

f ax + b (2 px + q)dx

J (px2 + qx + r ) n X 2 p J (px2 + qx + r ) n + \

2p(n - 1 )(px2 + qx + r)n~- +

( - S ) J

f dx

i (px2 + qx + r )n

f dx

J (px2 + qx + r)n

;

Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinomio, se obtiene

, J = ~ T i , i n , ' donde u - Jp .x + = y k = ------

J v J (u2 + k2)n y 4niu 2 + k2r ^ 2^ y 1 1 4p

En esta ltima integral, se puede usar la sustitucin trigonomtrica u - k tan 0 la siguiente frmula de reduccin:

56

dx

INTEGRAL INDEFINIDA

Kjcmplo 59. Usando la frmula de reduccin, calcule / = J + .Solucin

l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2(2) - 3 f dx

J (x2 + 4)2 2.22(2 - l) (x 2 + 4)2-1 + 2. 22(2 - 1) J (x2 + 4)

x 1 1 x 1 / x 2x \

8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + ^ T ) + C

1.5.4.2 INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES POR

DESCOM POSICIN EN FRACCIONES SIMPLES

p(x)Sim la funcin racional f(x ) - -rr-r. donde P(x) y Q(x) son polinomios

n, se dice que

es una funcin racional impropia.

I'or ejemplo, las funciones racionales

x5 - 6x2 + 7f t o = T z r r z y a t o2x4 + 8 J " 2x& + 3x3 + 2

mm propias, pues el grado del polinomio del numerador es menor que el giado del

polinomio del denominador; mientras que las funciones racionales

3x4 - 2x2 + 7 _ 5x3 - 3x2 + 1

F(X) ~ x2 + 2x + 3 y G M " 2x2 - 7x3 + 4

son impropias.

P(x)Si / (x) = es Una funcin racional impropia, por el algoritmo de la divisin,

uxisicn polinomios C(x) y R(x) nicos tales que

l t o r r , R W--- = C(x) +Q(x) Q(x)

dnele el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). C(x) y R(x) son,

ii'speclivamente, el cociente y el resto de la divisin de P(x) entre Q(x) .

I to significa que toda fraccin impropia puede ser expresada como la suma de un

polinomio y de una fraccin propia. As, la integral de una fraccin impropia

IMifilc ser escrita como

pt o , f , ( Rto

m dx ~ c ( s )dx+1 q wdx

57

Enseguida, veremos el mtodo de integracin para una fraccin propia, el cual se

basa en que toda fraccin racional propia puede ser descompuesta en la suma de

fracciones simples. Este hecho se sustenta en el conocimiento de dos teoremas

del lgebra que admitiremos sin demostracin.

Teorema 1. Si Q(x) es un polinomio de grado n (n > 1) , entonces Q(x) se

descompone como un producto de factores de 1er grado y de factores de 2do

grado irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a(x r1)n' (x r2)n2 ... (x - rk)nk(x2 + pjX + q1)m ...(x2 + psx + qs)m> (*),

donde n = n1 + n2+ ... + nk + 2m l + ...+ 2ms

Teorema 2. Si el polinomio (?(*) posee la descomposicin '(*) y P(x) es

P (Xjun polinomio de grado menor que n, entonces la fraccin propia

se descompone unvocamente en fracciones simples como

P(X) _ ^11 A12 ^21 ^22

Q(x) x - r ^ i x - r ^ ) 2 (x - rj)ni + (x - r2) + (x - r2)2 + ^

+ - A l n t ----+ .- 4 - A k l - + A k 2 + . . . + A k n * +

(x - r 2)"2 (x - r k) (x - rk)2 (x - rk)n> A 1/3.

Igualando coeficientes de x2 en (*), resulta: 0 = .d+Z?=>B = 1/3.

Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O - -A + B + C = > C = 2/3.

En esta integral, el problema mayor es la integracin de la fraccin simple /?. Un

mtodo que facilita la integracin de este tipo de fracciones simples (y que se usa

cuando el denominador presenta factores cuadrticos irreducibles) consiste en

expresar el integrando como

1 1 A D (2x - 1) +

x 3 + 1 (x + l ) ( x 2 x + l ) x + 1 x 2 x + 1

donde 2x - 1 es la derivada del denominador x 2 - x + 1. Obsrvese que para

integrar la segunda fraccin es suficiente separar en dos integrales tal como

veremos a continuacin.

En la igualdad anterior, multiplicando por el denominador se obtiene la nueva

ecuacin principal:

INTEGRAL INDEFINIDA

1 = A(x2 - x + 1) + [D(2x - 1) + E](x + 1) (**)

Para x = -1 en (**), se obtiene: 1 = 3A => A = 1/3.

Igualando coeficientes de x2 en (**), resulta: Q = A + 2 D = $ D = 1/6.

Igualando coeficientes de x en (**), se tiene: O = A + D + E => E = 1/2.

Luego,

l = i i h d x + i

i r dx i r 2x i i r

3 J x + 1 6 J x2 - x + 1 * 2 jxz - x + 1

dx

( - ) -

1 1 1 - 1\= -ln|x + 1| - g ln (x2 - x + 1) + -^arctan + c

f dxljeinplo 63. Calcule J

dx63. Calcule I -3

Solucin

Como x3 - 1 = (x - l) ( x 2 + x + 1), aplicamos el mtodo del ejemplo anterior.

1 )c este modo, la descomposicin en fracciones simples es

1 _ A B(2x +1) + C

x3 - 1 x - 1 ' x2 + x + 1

Eliminando denominadores.se obtiene A = 1/3, B = -1/6. C = -1/2. Por tanto,

f dx 1 f dx 1 f (2x +1 )dx 1 f dxf dx _ 1 f dx_ _ l f (2x + l)dx _ 1 j-

J ^ T ' s J T ^ T 6J x2 + x + 1 2J(x4 )

1 1 1 2X+1\ r-= -ln|x - 1| - gln(x2 + x + 1) - ^ a r c t a n +

Ejemplo 64. Halle / _ dx(x 2)2(x2 4x + 3)

Solucin

( orno (x - 2)2(x2 - 4x + 3) = (x - 2)2(x - 3)(x - 1), entonces

1 A B C D---------------- - ---r + ~--- +---- + '(x 2 )2(x2 4x + 3) x - 2 ( x - 2 ) 2 x - 3 x - 1

l lim inando denominadores, obtenemos la ecuacin principal:

61


l = A(x- 2 )0 - 3 )0 - 1) + B(x - 3 )0 - 1) + C(x - 1 )0 - 2)2 + D(x - 3 )0 - 2)2

Trabajando con esta ecuacin principal, se tiene

Para x = 2 => 1 - B => B - -1

Para x = 3 => 1 = 2C => C = 1/2

Para x = 1 => 1 = -2D => D = -1/2

Igualando coeficientes de x3 resulta: 0 = i4 + C + D => .4 = 0

Por consiguiente,

dx r dxIS o r :(x 2)20 3 )0 1)

x - 3

_ T dx 1 r dx 1 f dx

( x - 2)2 + 2 J x 3 ~ 2 J x - 11 1

:-- ^ + rlnx - 2 2 x 1

+ C

Ejemplo 65. Halle I - j Solucin

Escribimos la integral como

' VserTx

Vsen x

cosx-dx.

f vsenx f vsen xcosx/ = ----- dx = ----- dx

J cosx J 1 sen2x

Haciendo u 2 senx => eos x dx = 2u d u y descomponiendo el resultado en fracciones simples, se tiene

r 2u2 du _ 2u2 du r r 1/2 1/2 1

~ J 1 - u4 ~ J (1 - u2)( 1 + u2)~ J l l - u + 1+ u ~ 1 + 22 u2 du

du

1, |u+ li 1 I Vsenx + 1~ ln --- r - arctan u + C = -ln , ---2 \u-l\ 2 |V Iex- l

arctanVsen x + C

Ejemplo 66. Cacule I = j Solucin

dx

x(x69 + l ) 3 '

dx 1 f 69 x68 dxSe tiene que I = I - 7------ -----------

J x 0 69 + l )3 69 J x69(x69 + l )3

t Si en la ltima integral se hace u = x69 + 1 => du = 69 x68 dx, resulta

1 169 J u3 (u - 1) 69 J [u + u2 + i3 + u l j

62

INTEGRAL INDEFINIDA

Determinando las constantes A, B, C y D por el procedimiento usado en los

|emplos anteriores, se obtiene

! L _ j L _ - L 1 >9 J L u u2 u3 + u - 1691 ,69

69 h x69 + l

1 1du = -ln|u| H---+ ln|u - 1| 4- C

u 2 u2

+ C+ 1 2 O 69 + l )2

K|emplo 67. Calcule 1 = J Vtan x dx..Solucin

SI lineemos t2 = tanx

2t2 dt

x = arctan t2 y dx =2t dt

1 + tentonces

f 2t dt _ f

1 ~ J 1 + t4 J (T2t2 dt

+ V2t + t2) ( l - V2t + t 2)

l .n factorizacin de 1 + t4 se realiz del siguiente modo:

1 f t4 = (t2 + l )2 - 212 = (t2 + l )2 - (V2t)2 = ( t2 + 1 - V2t ) ( t2 + 1 + V2t)

I .1 descomposicin del integrando es

y4(2t + V2) + B 1 C(2t -y/2) + D _ 212

t2 +V2t + l t2-V 2t + l l + t4

I liminando denominadores, se tiene

2t2 = [/l(2t + V2) + B][t2 V2t + 1] + [C(2t - V2) + D][t2 + V2t + l]

Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinomios, se obtiene

2A + 2C^=0, (B + D) + V2(C A) = 2 ,

V2(B - D) = O , V2G4 C) + B + D = 0

Kesolviendo las ecuaciones, resulta

A = V2/4, C = V2/4, B = - l/2 , D = 1/2

I uego,

V2 4

r 2t + V2 _ i r _

J t2 + V2t+ 1 f 2 J t2dt V2 f 2t- V 2 1 f

J t2 - V2t + 1 t + 2 j t2-2 + V2t + l " 2 J t 2 + V2t + l ' 4 Integrando y simplificando, se obtiene

t2 - V2t + 1

dt

V2t + 1

V2,/ = T ln 4 t2 + V2t + 1

donde t = Vtanx.

/ ^2 arctan(V2t + l ) + arctan(V2t l ) + C

63

r

Ejemplo 68. Calcule / = j


x sec2* dx

3+ 4 tan x + sec2x

Solucin


*sec2* dx r xsec2x dx f x sec2x dx _ r x sec2* dx r x sec2* dx r

J 3 + 4 tan * + sec2* ~ J 3 + 4 tan x + (1 + tan2*) ~ J i3 + 4 tan * + (1 + tan2*) J (tan * + 2)2

Aplicando el mtodo de integracin por partes, elegimos

f u = x => du = dx ( , sec2* dx 1

) d v = 71----- V = -(tan * + 2)2 tan * + 2

Luego,

tan * + 2 J tan * + 2J ;

dx

i *i

Haciendo t = tan * =* dt = sec2* dx en la integral /, se tiene

i - f ^x - f _ sec2* dx r dt

J tan * + 2 ~ J (tan * + 2)(1 + tan2*) = J (t + 2)(1 + t2)

Descomponiendo el integrando en fracciones simples, tenemos

* - j L + i w i 2t) +(t + 2)(1 + t2) t + 2 1 + t2

Luego,

dt1 f dt 1 2 td t 2 f

J ~ 5 J t + 2 ~ W J l + t2 + 5 j 1 + t2

1 1 2 J = pln|t + 2| ln|l + t21 +-arctan t + C

b 10 5

1 1 2 7 = g In|tan * + 2| - ln|l + tan2*| + -arctan(tan *) + C

Finalmente, obtenemos

* 1/ ------- |---ln

ta n * + 2 10

(tan * + 2)3

sec2*

2+ - * + C

d

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCIC IOS

II,illc las siguientes integrales indefinidas:

1 4x2 + 6

* 3 + 3*I

\wR. arctan -- + C

V3 V V3

65

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN H

f 2x"14. -7--- -

J X 4 + X -dx

/

/ i

+1

-. |m

x2 dx

x6 - 10x3 + 9

dx

x2 - x + 1

X2 + * + 1

1 /2x + 1\ 1 /2x - 1\+ arctan =r + arctan = + C

V V3 ) V3V3i ( ^ )\ V3 /

fi' 2 4 ln

V3

X3 - 9

x3 1+ C

17.

V2 /?. ln

dx

x8 + x6

7 .

1 + V2x + x2

1 V2x + x2+ -arctan(V2x + l ) arctan(V2x l ) + C

1 1 1. - ;r^r + -=----- arctan x + C

5x3 3x4 x

r x + xJ18' J - 24 ' + 1

1 9 . /dx

20

x(x7 + l ) 2

f dx

I X (X 999 + l ) 2

dx

/

/

x(x9 + l )3

dx

X12 ( X11 + 1)

. 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 V5|R. :rln|x4 - 1| - -ln[x6 + x4 - 1 --- l n ---------= + C

2 4 2V5 |2x4 + 14- v5i

R. n|x|-^in|x7 + 1|+ + C7 7(x- t t j

1 1R. ln|x|---- lnjx999


Hemos visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan como

combinaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las

funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.

En esta seccin y en las siguientes, vamos a estudiar algunos tipos de funciones

irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas como una suma finita de

funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cambio de variable de

manera que el integrando de la nueva integral sea una funcin racional.

1.6 INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES

f /a + bx\mi/ni /a + bx\mk/nk1.6.1 INTEGRALES DEL TIPO j A ( _ ) ;...; ( )

En este caso, R es una funcin racional de variables

/a + bx\miJni /a + bx\mk/rlk .

x f c r s ) y '*> "* > .... .............." 6 :

a + bxPor tanto, los exponentes de --- son nmeros racionales.

c + dx

En esta situacin, se hace el cambio de variable

a + bx

dx

= tn , donde n = m. c. m. {ri!, n2, - ,n k}c + dx

Despejando x, se obtiene

tnc a (be a d )n n_1

x = v ^r y dx= b - d - ic

Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una funcin

racional de variable t.

dxEjemplo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4)

Solucin

En este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces

m.c. m.{2 ,4} = 4

Haciendo el cambio de variable x ?4 =* dx = 4t 3 dt resulta

f 4 t3 dt r 4t f ( 4 \

^ ~ j t 2( 1 + t) ~ J 1 + t dt ~ j \ ~ t + 1/

= 4t - 4 ln|t + 1| + C = 4x1/4 - 4 ln|x1/4 + l| + C

Ejemplo 70. Halle I = f dxJ V* - 1 + Vx - 1 '

Solucin

I .os exponentes fraccionarios de x 1 son 1/2 y 1/ 3.

Si se hace x ~ 1 = t* (6 = m . c. m. {2 ,3}) ==n..mos al lector seguir este camino. Resolvemos la integral usando el siguiente

, - - . .Sz - U dz )dz I r dz i r dz1 f (z - 1 )dz _ 1 r (z - 1 )dz _ 1 r dz i r

2i zvl + zyz 1 2 J zyfr[ ~ 2 j Vz2 ~ 2 J z 'lz2 - 1

1 , -----, i; ln + Vz2 1 j --arcsec|z| + C

Ejemplo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.Solucin


tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx


lr tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x x + f

J Vtan2* + 2 J Vtan2x + 2 J Vtan2x + 2 JVtan2x + 2 i Vtan2x + 2 'i '2

Aplicando las frmulas de integracin correspondiente a cada integral, tenemos

/* = ln jtan x + J ta n 2x + | + Cx

r cosxdx f cosxdx t senx\/, = , = -- arcsen I + C2

J Vsen2x + 2 cos2x J V2 sen2* ' v 2 /

Por consiguiente,

i ,--------1 /sen x\I = ln |tan x + Vtan2* + 21 + arcsen ^ j + C

1.6.2 INTEGRALES DE LA FORMAdx

(x - a)nJp x 2 + qx + r, n e

Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente sustitucin recproca

1 dt x - a = j= > d x = - j j

Ejemplo 73. Calcule 1 = 1 J x

dx

2y/4x2 + X + 4Solucin

1 1Haciendo la sustitucin x = - => dx = -rdt, se obtiene

t t z

dtt2f = U L = = -

J 1 4 , 1 , , J

t dt

1 t2\|t2

- - 8 J

+ + 4

(8t + l)d t

V4t2 + t + 4 ' 8 ji f8.1

V4t2 + t + 4

dt

- s-5

V4t2 + t + 4dt

= - ~ J4 t2 + t H-4 + - ^ ln | 2 t + 7 + V4t2 + t + 4 4 V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4x2 + x 1------------ + ==ln4 x 2V63

8 + x V4x2 + x + 4 +---------

4x

+ C

+ C

70

Ejemplo 74. Calcule /

Solucin

INTEGRAL INDEFINIDA

dx= [_ _ _ _ _ iJ (x 2)yfx(x - 2)yx2 +3x - 9

1 1 Como x 2 = => dx = dt, entonces

dt

n r T , . ; . - /dt

J ( + 2y + 3 ( + 2 ) - 9 J V F T t F T T

= = - ln t + - + V t2 + 7t + 1 45 I 2

+ C

- ln7x - 12 Vx2 + 3x - 9

2(ac - 2) x - 2

Ejemplo 75. Calcule J = f .....+ 3)dx J x2yj3x2 + 2x + 1

Solucin

1 1 Si se hace x = - => dx = - -dt. Luego,

/ I . _\dt

= _ f f

J 1 / 3 +2 + 1 - Jt2y JF+ t + 1

3 f 2t + 2

(1 + 3t)dt

V t2 + 2 + 3

dt h 22 J V t2 + 2t + 3 J V (t + l ) 2 + 2/ :

dt

= 3-y/t2 + 2t + 3 + 2 ln |t + 1 + V t2 + 2t + 3 + C

x + 1 + V3x2 + 2x + l l3V3x2 + 2x + 1+ 2In + C

1 11 algunos casos, la sustitucin recproca puede facilitar el

imicl,racin, como veremos en los dos ejemplos siguientes.proceso de

71


Vx -;r -yx XEjemplo 76. Calcule / = J dx.

Solucin1 1

Si se hace x = - => dx = ^dt. Luego, t t2

* 11 _ J_

= - J -- ^ = - J V t 2- 1 tdt ,(u = t2 - l , d u = 2td)

Ejemplo 77. Calcule / = J dx(x + l )4 x2

Solucin

1 1 t * ~~ t

dt

Si se hace x + 1 = 7 => dx = --^dt. Luego,

t4 L)

= - f y + t2 + 3 + 4 ln (l - 1) + + c

1 1 3 1 x 1 x + l i ---- H------ - H------f- 4 ln --- t H-----1 + C

.3(x + l )3 (x + 1)2 x + l ljc + l

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Tópicos de Cálculo Vol. II