Embed Size (px)
Citation preview
TOÁN RỜI RẠC
(DISCRETE MATHEMATICS)
Bùi Thị Thủy
Đặng Xuân Thọ
Support
TS. Đặng Xuân Thọ
Mobile: 091.2629.383
Email: [email protected]
Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/
Toán rời rạc - ĐHSPHN
2
NỘI DUNG
Chương 1. Logic mệnh đề
Chương 2. Lý thuyết tập hợp
Chương 3. Một số công thức tổ hợp
Chương 4. Suy luận và kiểm chứng chương trình
Chương 5. Đại số Boole và cấu trúc mạch logic
Chương 6. Thuật toán
Chương 7. Lý thuyết đồ thị
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
3
Chương 5. Đại Số Boole & Cấu Trúc
Mạch Logic
Giúp tính toán các biểu thứ logic trên bảng giá
trị chân lý 0 và 1 cho ra đời một ngành toán
học mới là đại số Boole.
Biểu thức Boole và hàm Boole
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Sơ đồ mạch logic
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
4
Biểu thức Boole và hàm Boole
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
5
Biểu thức Boole & hàm Boole
Định nghĩa. Đại số Boole là một tập hợp B với 3
phép toán: phép lấy phần bù (-), phép lấy tổng Boole
(+), và phép nhân (). Tập hợp B có 2 phần tử đặc
biệt là 0 và 1 sao cho các đẳng thức sau thỏa mãn:
b.1 = b + 0 = b, bB (luật đồng nhất)
b + 𝑏 = 1; b.𝑏 = 0, bB (luật bù)
(x + y) + z = x + (y + z); (x.y).z = x.(y.z) (kết hợp)
x + y = y + x; x.y = y.x (giao hoán)
x.(y + z) = x.y + x.z; (x.y) + z = (x + z). (y + z)
(phân phối)
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
6
Biểu thức Boole & hàm Boole
Thứ tự thực hiện của các phép tính của đại số
Boole như sau:
Lấy phần bù > Phép lấy tích > Phép lấy tổng
Khi có các dấu ngoặc, thực hiện theo thứ tự
thông thường là ngoặc trong cùng được thực
hiện trước.
Phép lấy phần bù, phép nhân, và phép tổng
của đại số Boole tương ứng với các toán tử
logic: phần bù, ⋀, và ⋁.
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
7
Các hằng đẳng thức của đại số Boole
8
0
1
Các hằng đẳng thức của đại số Boole
(1 )x x y Ví dụ: Tính giá trị của
Ta có:
( .1 . )
( . )
( ) .
1 .
1
x x x y
x x x y
x x x y
x y
(1 )x x y
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
9
Biểu thức Boole & hàm Boole
Một hàm số Boole F với n biến x1, x2, …, xn
được kí hiệu F(x1, x2, …, xn) là một ánh xạ
f : {0, 1}n {0, 1}
Hàm Boole có thể được mô tả bằng lời hoặc
dùng bảng tương tự bảng logic toán.
Ví dụ: hàm F(x,y) sau x y F(x,y)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
10
Biểu thức boole & hàm boole
Hai hàm boole F(x1,x2,…,xn) và G(x1,x2,…,xn)
là hai hàm Boole bằng nhau nếu
F(x1, x2, …, xn) = G(x1, x2, …, xn)
cho mọi giá trị của các biến.
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
11
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
12
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 1: Khai triển các bảng thành
các bảng sơ cấp
x1 x2 F(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x1 x2 F1(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
x1 x2 F2(x1,x2)
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐹1 𝑥1, 𝑥2 + 𝐹2(𝑥1, 𝑥2)
13
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 1
Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận duy nhất giá trị 1
tại (a1,a2, …,an) và 0 tại mọi giá trị khác của (x1,x2, …, xn) thì ta có:
F(x1, x2, …, xn) = y1y2…yn
quy ước: yi = xi nếu ai = 1
yi = 𝑥𝑖 nếu ai = 0
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
14
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 1
Ví dụ:
x1 x2 F1(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
x1 x2 F2(x1,x2)
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2+𝑥1 𝑥2
𝐹1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2
𝐹2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 𝑥2
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
15
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 2: Khai triển các bảng thành
các bảng sơ cấp
x1 x2 F(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x1 x2 G1(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
x1 x2 G2(x1,x2)
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐺1 𝑥1, 𝑥2 × 𝐺2(𝑥1, 𝑥2)
= ×
16
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 2
Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận duy nhất giá trị 0
tại (a1,a2, …,an) và 1 tại mọi giá trị khác của (x1,x2, …, xn) thì ta có:
F(x1, x2, …, xn) = y1 + y2 + …+ yn
quy ước: yi = 𝑥𝑖 nếu ai = 1
yi = xi nếu ai = 0
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
17
Xác định biểu thức Boole của hàm Boole
Quy tắc 2
Ví dụ:
x1 x2 G1(x1,x2)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
x1 x2 G2(x1,x2)
1 1 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
𝐹 𝑥1, 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1+ 𝑥2 )
𝐺1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2
𝐺2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
18
Luyện tập
Tìm các hàm chỉ nhận giá trị 1 tại giá trị sau:
a) (x, y, z) = (0, 0, 1)
b) (x, y, z) = (0, 1, 1)
c) (x, y, z) = (0, 1, 0)
Tìm các hàm chỉ nhận giá trị 0 tại giá trị sau:
a) (x, y, z) = (0, 0, 1)
b) (x, y, z) = (0, 1, 1)
c) (x, y, z) = (0, 0, 0)
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
19
Sơ đồ mạch logic
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
20
Các cổng logic cơ bản
Các mạch chúng ta nghiên cứu ở đây không
có khả năng nhớ, nghĩa là giá trị của nó chỉ
phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà không phụ
thuộc vào trạng thái của mạch lúc đó.
Các mạch như vậy gọi là các mạch tổ hợp.
Các phần tử cơ bản của các mạch được gọi là
các cổng.
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
21
Các cổng logic cơ bản
Cổng NOT
Cổng OR
Cổng AND
x x
x
y
x y
x
y
xy
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
22
Tổ hợp các cổng và thiết kế mạch
Khi lập tổ hợp các mạch phức hợp, ta sử dụng
các cổng cơ bản.
Có thể dùng chung đầu vào cho các cổng.
Ví dụ: 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦
xy
xy
x
yxy
xy xy
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
23
Luyện tập
Dựng các mạch có đầu ra là các hàm Boole
sau:
a) 𝑥 + 𝑦
b) 𝑥 𝑦
c) 𝑥 + 𝑥 + 𝑦
d) 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥
e) 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑧
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN
24
THANK YOU!
