TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS)fit.hnue.edu.vn/~thodx/data/trr/Chapter3_MotSoCongThucToHop_Print.pdf · 11 . Một Số Công Thức Tổ Hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

TOÁN RỜI RẠC

(DISCRETE MATHEMATICS)

Bùi Thị Thủy

Đặng Xuân Thọ

Support

Full name: Đặng Xuân Thọ

Mobile: 091.2629.383

Email: [email protected]

Website: http://cs.fit.hnue.edu.vn/~tho/

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

2

NỘI DUNG

Chương 1. Logic mệnh đề

Chương 2. Lý thuyết tập hợp

Chương 3. Một số công thức tổ hợp

Chương 4. Suy luận và kiểm chứng chương trình

Chương 5. Đại số Boole và cấu trúc mạch logic

Chương 6. Thuật toán

Chương 7. Lý thuyết đồ thị


3

Chương 3. Một số công thức tổ hợp

“Đánh giá số điện thoại nhiều nhất có thể có trong Hà Nội.”

“Xác định số mật khẩu, mỗi mật khẩu gồm sáu, bảy, hoặc tám ký tự; mỗi ký tự có thể chữ hoặc số; mỗi mật khẩu chứa ít nhất một chữ.”

Một số công thức tổ hợp

Chỉnh hợp

Hoán vị

Hoán vị trên đường tròn

…


4

Cơ sở của phép đếm


5

Cơ sở của phép đếm

Phần này chúng ta chỉ giải quyết xác định lực

lượng của tập hợp hữu hạn.

Nếu tập hợp A là tập hợp hữu hạn, thì lực

lượng của nó là số lượng phần tử của nó, ký

hiệu là 𝐴 .

Định lý: Nếu Ai (i=1,2,..n) là một phân hoạch

của tập hợp A thì ta có 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 = 𝐴 .


6

Số phần tử của tích Đêcac

Ví dụ: Cho tập hợp A={a,b}. Tìm tất cả các

dãy ký tự có ba phần tử được tạo thành từ A?

aaa, aab, bbb, bba, abb, baa, aba, bab

Định lý: cho trước các tập hợp hữu hạn Ai

(i=1,..,k) trong đó tập hợp Ai có đúng ni phần

tử. Khi đó tích Đêcac A1 x A2 x … x Ak có đúng

n1n2…nk phần tử. Nghĩa là: 𝐴1 × 𝐴2 ×⋯×𝐴𝑘 = 𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴𝑘

Đặc biệt ta có: 𝐴𝑛 = 𝐴 𝑛


7

Số phần tử của tích Đêcac

Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ

số mà trong biểu diễn thập phân của nó không

có mặt chữ số nào trong tập hợp {0,3,7,9}?

Mỗi số tự nhiên có chín chữ số không được viết

bởi các chữ số {0,3,7,9} là một dãy chín kí tự có lặp của tập hợp {1,2,4,5,6,8}.

69


8

Hai nguyên lý cơ bản


9

Cơ sở của phép đếm (1/2)

Nguyên lý cộng

Giả sử có các công đoạn E1, E2,…, Ek. Để thực

hiện E ta chỉ cần thực hiện một trong những Ei (i = 1..k) trong đó số cách thực hiện Ei là ni. Khi

đó số cách thực hiện E là n1 + n2 + …+ nk.

Ví dụ:

Hà Nội TP. HCM

3 hãng hàng không

2 hãng tàu thủy

15 hãng giao thông

đường bộ Có 3 + 2 + 15 = 20 cách

10

Cơ sở của phép đếm (2/2)

Nguyên lý nhân

Giả sử có công đoạn E được thực hiện lần lượt

qua các công đoạn E1, E2, …, Ek trong đó số cách thực hiện Ei là ni (i = 1, k). Khi đó số cách thực

hiện E là n1 x n2 x … x nk

Ví dụ:

Hà Nội TP. HCM 4 cách 8 cách

Có 8 * 4 = 32 cách

Đà Nẵng


11

Một Số Công Thức Tổ Hợp


12

Khái niệm. Hoán vị của một tập các đối tượng

khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự các

đối tượng này.

Bài toán. Cho tập A có n phần tử. Hãy tính số

các hoán vị khác nhau của tập A.

Ví dụ: cho A={a,b,c,d} tìm tất cả các hoán vị có thể có

của tập hợp A?

Định lý. Số các hoán vị khác nhau của một

tập n phần tử là Pn = n!

Hoán vị


13

Ví dụ: Hãy tính số các số sau:

Có năm chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số 1, 2,

3, 4 và 5?

Có năm chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số 1, 2,

3, 4 và 5 trong đó ba chữ số đầu là ba chữ số lẻ,

hai chữ số sau là hai chữ số chẵn?

Hoán vị


14


Ví dụ: Cho tập hợp A = {a,b,c,d}. Tìm tất cả

các hoán vị khác nhau của các phần tử của A

trên đường tròn?


15

Bài toán: Tính số các hoán vị khác nhau của

một tập hợp A gồm n phần tử nằm trên một

đường tròn?

Định lý: Số các hoán vị tròn khác nhau của

tập hợp A có n phần tử là Qn = (n – 1)!



16

Chỉnh hợp

Bài toán: Cho tập A có n phần tử và số k≤n

(kN). Mỗi dãy độ dài k được xếp bởi các

phần tử của tập A trong đó mỗi phần tử có

mặt không quá một lần được gọi là một dãy

k phần tử không lặp của A.

Tính số các dãy đó?


17

Chỉnh hợp

Định lý: Cho trước tập A có n phần tử và một

số tự nhiên k ≤ n. Số các dãy k phần tử không

lặp của A là:

Ví dụ: có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong

biểu diễn thập phân của nó không có 2 chữ số

nào giống nhau và không có mặt chữ số

chẵn?


18

Chỉnh hợp lặp

Cho tập A có n phần tử. Khi đó số dãy gồm k

phần tử có lặp thuộc tập A là nk và được gọi là

chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.

Ví dụ: có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số

mà trong biểu diễn thập phân của nó không có

mặt chữ số nào trong tập hợp {0,1,2,3,4,5}?


19

Chỉnh hợp với tần số lặp cho trước

Định lý: Cho trước một tập hợp A có n phần

tử. Số các dãy k phần tử có lặp (k1+k2+…+kn)

và (k=k1+…+kn) là:

Ví dụ: Tính các số tự nhiên có 7 chữ số, trong

đó có 3 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số 3.

1 2

1 2

!( , ,..., )

! !... !n

n

kP k k k

k k k


20

Tổ hợp chập k của n phần tử là số các tập

hợp con k phần tử của một tập n phần tử cho

trước (không có thứ tự).

Ví dụ: Cho tập hợp A={a,b,c,d}. Tìm tất cả các

tập hợp hai phần tử của A?

{a,b}; {a,c}; {a,d}; {b,c}; {b,d}; {c,d}

Định lý. Số tập hợp con k phần tử của một tập

A có n phần tử cho trước là:

Tổ hợp


21

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số

10 cầu thủ của một đội bóng để đi thi đấu tại

một trường khác?

Ví dụ 2. Trong 10 cầu thủ trên, có 3 cầu thủ

nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ đi

thi đấu trong đó có 2 cầu thủ nữ.

Tổ hợp


22

Luyện tập

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một

khác nhau?

2. Có bao nhiêu máy điện thoại có 6 chữ số?

Và trường hợp 6 chữ số đôi một khác nhau?

3. Cho A={1,2,3,4,5,6,7}. Có bao nhiêu số tự

nhiên có 5 chữ số lấy từ A sao cho:

Có chữ số đầu là 3

Không tận cùng bằng chữ số 4

Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau

Không bắt đầu bằng 123

23

Luyện tập


24

4. Một lớp học có 40 học sinh với 25 nam và 15

nữ. Có mấy cách chọn 4 học sinh sao cho:

a. Chọn nam, nữ tùy ý

b. Chọn 2 nam và 2 nữ

c. Tính xác suất để chọn ít nhất một nữ

5. Tìm số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh.

(Đa giác lồi là đa giác có tính chất kéo dài bất kỳ cạnh

nào đều không cắt đa giác. Khi đó 2 đỉnh bất kỳ nối

lại, được hoặc cạnh hoặc đường chéo.)

Luyện tập


25

6. Từ tập A = {0,1,2,3,4,5} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho:

- chữ số 2 có mặt 3 lần

- mỗi chữ số còn lại có mặt 1 lần

7. Xét tam giác có đỉnh lấy từ một đa giác lồi có 20 cạnh.

a. Có bao nhiêu tam giác nói trên?

b. Tính xác suất để chọn được tam giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác?

c. Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác?

d. Tính xác suất để chọn được tam giác không có cạnh chung với đa giác?

Khai triển lũy thừa của đa thức


26

Hệ số tam giác Pascal


27

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

…

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Nhị thức Newton

Định lý. Cho mỗi số tự nhiên n 1 ta có:

= C0nb

n + C1nabn-1 + C2

na2bn-2 + … + Cn-1

nan-1b + Cn

nan


28

n

k

kknk

n

nbaCba

0

Nhị thức Newton


29

Tính chất:

1

1 1

1 1 1

1 2

1.

2.

3. ...

k n k

n n

k k k

n n n

k k k k

n n n n k

C C

C C C

C C C C

Ví dụ


30

Ví dụ 1: Tính A = C0n + C1

n + … + Cnn

Chọn x=1 thì: 2n = C0n + C1

n + … + Cnn

n

k

kk

n

n

k

knkk

n

nxCxCx

00

11

= C0n + C1

nx + C2nx

2 + … + Cn-1nx

n-1 + Cnnx

n

Luyện tập


31

8. CM: C02n+C2

2n+..+C2n2n=C1

2n+C32n+..+C2n-1

2n

n

k

kk

n

n

k

knkk

n

nxCxCx

2

0

2

2

0

2

2

211

Với x = -1 thì:

0 = C02n - C

12n + C2

2n – C32n+…-C2n-1

2n+C2n2n

C02n+C2

2n+…+C2n2n = C1

2n+C32n+…+C2n-1

2n

Luyện tập


32

9. Khai triển đa thức:

P(x)=(x+1)10 + (x+1)11 + (x+1)12 + (x+1)13 + (x+1)14

ra dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x

14.

tính a10?

Khai triển lũy thừa của đa thức

Định lý. Cho m, n là 2 số nguyên dương. Khi

đó ta có:

tổng được lấy trên tất cả các bộ m số tự nhiên

(k1,k2,…,km) sao cho k1 + k2 +…+ km = n.

1 2

1 2

1 2 1 2

... 1 2

!( ... ) ...

! !... !m

m

kk kn

m m

k k k n m

nx x x x x x

k k k


33

Ví dụ


34

Tất cả các bộ (k1,k2,k3) sao cho k1+k2+k3=3 là:

(3,0,0), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (1,1,1),

(0,3,0), (0,2,1), (0,1,2), (0,0,3).

3

321

321

3

321

321

321

!!!

!3

kkk

kkkxxx

kkkxxx

Công thức Tổ hợp trong tập hợp 35


Số phần tử của một hợp các tập hợp


36

Ví dụ: Bài kiểm tra Toán có 2 câu hỏi. Cả lớp

có 30 em làm được câu thứ nhất, 20 em làm

được câu thứ hai, và chỉ có 10 em làm được

cả hai câu. Tìm số học sinh cả lớp?

A tập hợp học sinh giải được câu thứ nhất

B tập hợp học sinh giải được câu thứ hai

A∩B là tập hợp học sinh giải được cả hai câu

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 30+20–10 = 40 em

Số phần tử của một hợp các tập hợp


37

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

Định lý: cho trước các tập hợp A1,A2,..An. Khi đó:

|A1∪A2∪⋯An|= |Ai|- |Ai∩Bj|+…+(-1)n+1|A1∩A2∩⋯An|

Luyện tập


38

10. Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán, Lý, Hóa.

Biết rằng có 20 em thi Toán, 14 em thi Lý, 6 em

thi cả Toán và Lý, 5 em thi cả Lý và Hóa, 2 em

thi cả Toán và Hóa, và có 1 em tham gia cả 3

môn. Hỏi có bao nhiêu em?

11. Tính số các mật khẩu tạo được bằng cách

hoán vị các chữ cái của từ “TINHOCTRE” sao

cho không có hai chữ cái nào giống nhau đứng

cạnh nhau?

THANK YOU!

Documents

TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS)fit.hnue.edu.vn/~thodx/data/trr/Chapter3_MotSoCongThucToHop_Print.pdf · 11 . Một Số Công Thức Tổ Hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN