Embed Size (px)
Citation preview
1. Giới hạn và liên tục(Toán cao cấp 2 - Giải tích)
Lê Phương
Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh
Homepage: http://docgate.com/phuongle
Nội dung
1 Giới hạn của hàm sốHàm số sơ cấpKhái niệmTính chất của giới hạnGiới hạn một phíaVô cùng bé, vô cùng lớn
2 Tính liên tục của hàm sốKhái niệm và tính chấtKhảo sát tính liên tục
3 Bài tập
Hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp cơ bảnCác hàm số sau đây được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản:
1 hàm hằng,2 hàm lũy thừa f (x) = xa trong đó a ∈ R,3 hàm mũ f (x) = ax trong đó 0 < a 6= 1,4 hàm logarit f (x) = loga x trong đó 0 < a 6= 1,5 các hàm lượng giác sin, cos, tan,6 các hàm lượng giác ngược arcsin, arccos, arctan.
Hàm số sơ cấpHàm số sơ cấp là hàm số thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằngcách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia và phéphợp.
Ví dụ. Hàm số f (x) = sin3x + ln
(1
2 + x
)là một hàm số sơ cấp.
Khái niệm giới hạn
Lân cậnCho ε > 0. Tập hợp Vε(x0) = (x0 − ε, x0 + ε) được gọi là một lân cậnbán kính ε của số thực x0.Ví dụ. V1(3) = (2,4).
Điểm tụ của một tập hợpCho D ⊂ R. Số thực x0 được gọi là một điểm tụ của D nếu mọi lâncận của x0 đều chứa ít nhất một số thực khác x0 trong D, nghĩa là vớimọi ε > 0 ta có D ∩ Vε(x0) \ {x0} 6= ∅.Ví dụ. 1 là điểm tụ của các tập hợp R, (0,2), [0,1] và [0,1) nhưngkhông phải là điểm tụ của (2,3) và (2,3) ∪ {1}.
Khái niệm
Giới hạnCho hàm số f : Df → R và x0 là điểm tụ của Df . Ta nói f có giới hạn làa khi x tiến đến x0, kí hiệu lim
x→x0f (x) = a, nếu
∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ Df : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− a| < ε.
Chú ý: Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x0.
Ví dụ. limx→2
x2 − 4x − 2
= 4.
Khái niệm
Giới hạn ở dương vô cùngCho hàm số f : Df → R và tồn tại M0 > 0 sao cho (M0,+∞) ⊂ Df . Tanói f có giới hạn là a khi x tiến đến +∞, kí hiệu lim
x→+∞f (x) = a, nếu
∀ε > 0,∃M > 0,∀x ∈ Df : x > M ⇒ |f (x)− a| < ε.
Giới hạn ở âm vô cùngCho hàm số f : Df → R và tồn tại M0 < 0 sao cho (−∞,M0) ⊂ Df . Tanói f có giới hạn là a khi x tiến đến −∞, kí hiệu lim
x→−∞f (x) = a, nếu
∀ε > 0,∃M < 0,∀x ∈ Df : x < M ⇒ |f (x)− a| < ε.
Ví dụ. limx→+∞
1x = 0.
Khái niệm
Giới hạn bằng dương vô cùngCho hàm số f : Df → R và x0 là điểm tụ của Df . Ta nói f có giới hạn là+∞ khi x tiến đến x0, kí hiệu lim
x→x0f (x) = +∞, nếu
∀M > 0,∃δ > 0,∀x ∈ Df : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > M .
Giới hạn bằng âm vô cùngCho hàm số f : Df → R và x0 là điểm tụ của Df . Ta nói f có giới hạn là−∞ khi x tiến đến x0, kí hiệu lim
x→x0f (x) = −∞, nếu
∀M < 0,∃δ < 0,∀x ∈ Df : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < M .
Ví dụ. limx→2
1(x − 2)2 = +∞.
Khái niệm
Định nghĩa thông qua giới hạn của dãy sốTa có lim
x→x0f (x) = a nếu: với mọi dãy số (xn) mà xn ∈ Df \ {x0} và
limn→∞
xn = x0 thì limn→∞
f (xn) = a.
Chú ý. Thường dùng định nghĩa này để chứng tỏ hàm số không cógiới hạn.
Ví dụ. Giới hạn limx→0
sin1x có tồn tại hay không?
Giải. Chọn dãy xn =1
2nπ và x ′n =1
2nπ + π/2thì
limn→∞ xn = limn→∞ x ′n = 0. Tuy nhiên limn→∞ f (xn) = 0 và
limn→∞ f (x ′n) = 1 nên limx→0
sin1x không tồn tại.
Tính chất của giới hạnTính chất của giới hạnCho các hàm số f và g có giới hạn khi x → x0.
1 limx→x0
cf (x) = c limx→x0
f (x) với c ∈ R.
2 limx→x0
(f (x) + g(x)) = limx→x0
f (x) + limx→x0
g(x).
3 limx→x0
(f (x)g(x)) = limx→x0
f (x) · limx→x0
g(x).
4 limx→x0
f (x)g(x) =
limx→x0
f (x)
limx→x0
g(x) nếu limx→x0
g(x) 6= 0.
5 Nếu limx→x0
f (x) = a thì limx→x0
g(f (x)) = limx→a
g(x).
6 Nếu f là hàm số sơ cấp và x0 ∈ Df thì limx→x0
f (x) = f (x0).
7 Nguyên lý kẹp:
Nếu
{f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)lim
x→x0f (x) = lim
x→x0g(x) = a thì lim
x→x0h(x) = a.
Tính chất của giới hạn
Các giới hạn vô định thường gặp
1 limx→0
sin xx = 1.
2 limx→0
tan xx = 1.
3 limx→0
1− cos xx2 =
12
.
4 limx→0
arcsin xx = 1.
5 limx→0
arctan xx = 1.
6 limx→0
ex − 1x = 1.
7 limx→0
ln(1 + x)x = 1.
8 limx→0
(1 + x)1/x = e.
9 limx→0
(1 + x)α − 1x = α.
(Chứng minh bằng cách sử dụng quy tắc L’Hôpital trong chương 2).
Ví dụ. Tính limx→0
esin x − 1x và lim
x→0
√9 + sin x − 3
x .
Tính chất của giới hạn
Giới hạn ở vô cùng của các hàm số sơ cấp cơ bản
1 limx→+∞
xa =
{+∞, a > 00, a < 0
2 limx→+∞
ax =
{+∞, a > 10, 0 < a < 1
limx→−∞
ax =
{0, a > 1+∞, 0 < a < 1
3 limx→+∞
loga x =
{+∞, a > 1−∞, 0 < a < 1
4 limx→+∞
sin x , limx→+∞
cos x không tồn tại.
Giới hạn một phíaGiới hạn tráiSố a được gọi là giới hạn trái của f tại x0, kí hiệu lim
x→x−0
f (x) = a, nếu
∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ Df : 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x)− a| < ε.
Giới hạn phảiSố a được gọi là giới hạn phải của f tại x0, kí hiệu lim
x→x+0
f (x) = a, nếu
∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ Df : 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x)− a| < ε.
Định líGiới hạn lim
x→x0f (x) tồn tại khi và chỉ khi lim
x→x+0
f (x) và limx→x−
0
f (x) tồn tại
và bằng nhau. Khi đó
limx→x0
f (x) = limx→x−
0
f (x) = limx→x+
0
f (x).
Giới hạn một phía
Giới hạn một phía thường được dùng để tính giới hạn trong cáctrường hợp hàm chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn bậc chẵn, hoặc hàmghép.
Ví dụ 1. Chứng minh hàm số f (x) = sin x|x | không có giới hạn khi
x → 0.Giải. lim
x→0+f (x) = lim
x→0+
sin xx = 1 và lim
x→0−f (x) = lim
x→0−
sin x−x = −1 nên
f (x) không có giới hạn khi x → 0.
Ví dụ 2. Cho hàm số
f (x) ={ x3, x ≥ 0,
x sin1x , x < 0.
Tính limx→0
f (x).
Ví dụ 3. Chứng minh hàm số f (x) = e1/x không có giới hạn khi x → 0.
Vô cùng bé, vô cùng lớnVô cùng bé, vô cùng lớn• Hàm số f được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → x0 nếu
limx→x0
f (x) = 0.
• Hàm số f được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x → x0 nếu1
f (x)là một VCB.
Ví dụ. f (x) = x3 + 3 sin2x là một vô cùng bé khi x → 0 vì
limx→0
(x3 + 3 sin2x) = 0.
Tính chất1 Tổng của hai VCB là một VCB.2 Tích của hai VCB là một VCB.3 Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
Lưu ý: Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
Vô cùng bé
So sánh bậc của các vô cùng béCho f và g là hai vô cùng bé khi x → x0. Giả sử lim
x→x0
f (x)g(x) = k .
1 Nếu k = 0 thì f được gọi là VCB bậc cao hơn g. Kí hiệuf (x) = o(g(x)).
2 Nếu k ∈ R \ {0} thì f và g là hai VCB cùng cấp.Đặc biệt: Nếu k = 1 thì f và g là hai VCB tương đương. Kí hiệuf (x) ∼ g(x).
3 Nếu k = ±∞ thì g là VCB bậc cao hơn f . Kí hiệu g(x) = o(f (x)).
Ví dụ 1. Cho f (x) = x2 + tan4 x và g(x) = sin2 x + 2x3. Khi đó f và glà hai VCB tương đương khi x → 0 vì
limx→0
f (x)g(x) = lim
x→0
x2 + tan4 xsin2 x + 2x3
= limx→0
1 + tan4 x/x2
sin2 x/x2 + 2x= 1.
Vô cùng bé
Ví dụ 2. Cho f (x) = sin3 x + x2 và g(x) = x + tan2 x . Chứng tỏ rằng flà VCB bậc cao hơn g khi x → 0.
Ví dụ 3. Cho f (x) = sin2 x + 2x2 và g(x) = tan2 3x . Chứng tỏ rằng fvà g là hai VCB cùng bậc khi x → 0.
Ví dụ 4. Cho f (x) = e√
1−x − 1 và g(x) =√
1− x2. Chứng tỏ rằng fvà g là hai VCB cùng bậc khi x → 1−.
Vô cùng bé
Các vô cùng bé thường gặp khi x → 0
1 sin x ∼ x ,
2 1− cos x ∼ x2
2,
3 tan x ∼ x ,4 arcsin x ∼ x ,5 arctan x ∼ x ,6 ex − 1 ∼ x ,7 ln(1 + x) ∼ x ,8 (1 + x)α − 1 ∼ αx .
Sử dụng VCB để tính giới hạn
Qui tắc thay thế trong tích, thươngCho các VCB f1, f2,g1,g2 khi x → x0. Giả sử f1 ∼ f2, g1 ∼ g2. Khi đó:
f1(x)g1(x) ∼ f2(x)g2(x)
vàlim
x→x0
f1(x)g1(x)
= limx→x0
f2(x)g2(x)
(Khi tính giới hạn được phép thay thế các VCB tương đương với sốhạng của tích hoặc thương trong hàm số).
Qui tắc thay thế trong tổngCho các VCB f1, f2, f3, . . . , fn khi x → x0. Giả sử fi ∼ aixk với mọi i vàa1 + a2 + · · ·+ an 6= 0. Khi đó:
f1 + f2 + f3 + · · ·+ fn ∼ (a1 + a2 + · · ·+ an)xk .
Sử dụng VCB để tính giới hạn
Qui tắc ngắt bỏCho các VCB f1, f2, f3, . . . , fn khi x → x0. Giả sử f2, f3, . . . , fn đều là cácVCB có bậc cao hơn f1. Khi đó:
f1 + f2 + f3 + · · ·+ fn ∼ f1
(Khi tính giới hạn được phép ngắt bỏ các VCB bậc cao trong một tổngcác VCB).Chú ý: Thông thường ta kết hợp sử dụng quy tắc thay thế và quy tắcngắt bỏ khi tính giới hạn.
Sử dụng VCB để tính giới hạn
Ví dụ 1. Tính limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3 x
.
Giải. Ta có ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 và x2 + sin3 x ∼ x2. Do đó
limx→0
ln(1 + x tan x)x2 + sin3 x
= limx→0
x2
x2 = 1.
Ví dụ 2. Tính limx→0
ex2 − cos xsin2 x
.
Giải. Ta có ex2 − 1 ∼ x2 và 1− cos x ∼ x2
2. Do đó
limx→0
ex2 − cos xsin2 x
= limx→0
(ex2 − 1) + (1− cos x)sin2 x
= limx→0
x2 +x2
2x2 =
32.
Sử dụng VCB để tính giới hạn
Ví dụ 3. Tính limx→0
ln(cos x)ln(1 + x2)
.
Ví dụ 4. Tính limx→0
esin 5x − esin x
ln(1 + 2x) .
Ví dụ 5. Tính limx→1
sin(ex−1 − 1
)ln x .
Ví dụ 6. Tính limx→+∞
x2 · e1/x2 − cos(1/x)arctan x .
Ví dụ 7. Tính limx→0
sin x − tan xx3 .
Ví dụ 8. Tính limx→0
ln(1 + x) + ln(1− x)x2 .
Tính liên tục của hàm số
Định nghĩaHàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu f xác định tại x0 và
limx→x0
f (x) = f (x0).
Nếu f không liên tục tại x0, ta nói f gián đoạn tại x0.
Tính chất của hàm số liên tụcCho f và g là hai hàm số liên tục tại x0, khi đó
1 af (x), f (x) + g(x) và f (x)g(x) liên tục tại x0, với a ∈ R.
2 Nếu g(x0) 6= 0 thìf (x)g(x) liên tục tại x0.
Định líCác hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
Tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1. Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên miền xác định của nó:
f (x) =
x cos
x2
sin x , x ∈[−π
2,
3π2
]\ {0, π},
a, x = 0,b, x = π,
Giải. Với x ∈[−π
2,
3π2
]\ {0, π} thì f là hàm số sơ cấp nên liên tục.
f liên tục tại x = 0⇔ limx→0
f (x) = f (0)⇔ limx→0
x cosx2
sin x = a⇔ a = 1.
f liên tục tại x = π ⇔ limx→π
f (x) = f (π)⇔ limx→π
x cosx2
sin x = b ⇔ b =π
2.
Vậy a = 1, b =π
2.
Tính liên tục của hàm sốVí dụ 2. Tìm a để hàm số sau liên tục trên miền xác định của nó:
f (x) =
ln(cos x)sin2 x
, x ∈ (0, π) ,
x2 + a, x ≤ 0,
Giải. Với x ∈ (−∞, π) \ {0} thì f là hàm số sơ cấp nên liên tục.
f liên tục tại x = 0⇔ limx→0
f (x) = f (0)⇔ limx→0+
f (x) = limx→0−
f (x) = f (0).
Ta có
limx→0+
f (x) = limx→0+
ln(1 + cos x − 1)sin2 x
= limx→0+
cos x − 1sin2 x
= limx→0+
− x2
2x2 =
−12.
limx→0−
f (x) = limx→0−
(x2 + a) = a = f (0).
Do đó: a = −12
.
Dạng 1: Tính giới hạn
Tính các giới hạn sau:
1 limx→0
5√
32 + x − 2x .
2 limx→0
cos3x − cos7xx2 .
3 limx→π
4
cot2x · cot(π
4− x
).
4 limx→0
(1− tan2 x
)1/ sin2 2x .
5 limx→0
(cos x)1/x2.
6 limx→2
2x − x2
x − 2.
7 limx→+∞
x sin xx2 + 1
.
Dạng 2: Khảo sát tính liên tục
Bài 1. Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên miền xác định của nó:
f (x) ={
x , |x | ≤ 1,x2 + ax + b, |x | > 1,
Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục trên miền xác định của nó:
f (x) =
ln(1− ax)1− e2x , x < 0,
1, x ≥ 0,
Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số sau liên tục trên R
f (x) =
x sin1x2 nếu x 6= 0,
m nếu x = 0.
