10/11/2019

1

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5

10/10/2019 1

KHÁI NIỆM

Một ánh xạ

được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

: n mf R R

( ) ( ) ( ), ,

( ) ( ), ,

n

n

f x y f x f y x y R

f x f x x R R

10/10/2019 2

VÍ DỤ

10/10/2019 3

VÍ DỤ 1

Kiểm tra điều kiện đầu tiên.

Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự

Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính

10/10/2019 4

VÍ DỤ 2

Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay không?

2 2

2 2

) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 )

) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5)

a f R R f x y x y x y

b f R R f x y x y x y

10/10/2019 5

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

: n mf R R

, 1 2 ... nA f f f

10/10/2019 6

10/11/2019

2

XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F

,f x A x

10/10/2019 7

VÍ DỤ 3

3 2

1 2 3 1 2 3 1 3: , ( , , ) ( 2 3 ,2 )f R R f x x x x x x x x

(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)

(1,1);(1,2)

E

F

10/10/2019 8

GIẢI

Ma trận cần tìm:

10/10/2019 9

VÍ DỤ 4

3 3

1 2 3 1 3 1 2 2 3: , ( , , ) ( , , )f R R f x x x x x x x x x

1 2 3

1 2 3

( ) (1,1,1); ( 1,1,2); (1,2,3)

( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

10/10/2019 10

VÍ DỤ 5

1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2

1 1 2 2

( , , , ) ( , ,

, , )

n n n n n

m m mn n

f x x x a x a x a x a x a x a x

a x a x a x

: ,n mf R R

10/10/2019 11

VÍ DỤ 6

Cho ánh xạ tuyến tính:

Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:

Là:

A) Tìm f(3,1,5)

B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)

3 2:f R R

1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 1,1 , 2,1E F

,

2 1 3

0 3 4E FA

10/10/2019 12

10/11/2019

3

VÍ DỤ 6

10/10/2019 13

VÍ DỤ 6

Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)

10/10/2019 14

VÍ DỤ 6

10/10/2019 15

VÍ DỤ 7

Cho ánh xạ tuyến tính:

A) Tìm f(2,1,5)

B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:

C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a)

3 3:f R R

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,2 ,3 4f x f x x x x x x x x x x x x

1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2E

10/10/2019 16

GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

. .A x x

10/10/2019 17

VÍ DỤ 8

10/10/2019 18

10/11/2019

4

VÍ DỤ 9

10/10/2019 19

GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG

10/10/2019 20

ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

n

n

A

n n nn

a a a

a a aP

a a a

( ) 0AP

10/10/2019 21

TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG

10/10/2019 22

KHÔNG GIAN CON RIÊNG

10/10/2019 23

BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG

10/10/2019 24

10/11/2019

5

VÍ DỤ 10Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

3 1 1

2 4 2

1 1 3

A

10/10/2019 25

VÍ DỤ 10

10/10/2019 26

VÍ DỤ 11

Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận

2 1 0

0 1 1

0 2 4

A

10/10/2019 27

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG

Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.

10/10/2019 28

CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG

1T AT D

10/10/2019 29

CHÉO HÓA MA TRẬN

- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.

- Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n ma trận A không chéo hóa được

- Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính.

Định lý. Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉkhi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại sốcủa chúng.

10/10/2019 30

10/11/2019

6

VÍ DỤ 12

Ma trận nào sau đây chéo hóa được?

5 4 6 3 1 1

4 5 6 7 5 1

4 4 5 6 6 2

A B

10/10/2019 31

VÍ DỤ 13

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

1 3 3

3 5 3

3 3 1

A

10/10/2019 32

VÍ DỤ 13

10/10/2019 33

VÍ DỤ 13

10/10/2019 34

VÍ DỤ 14

Hãy chéo hóa ma trận sau nếu được.

2 4 3

4 6 3

3 3 1

A

10/10/2019 35

VÍ DỤ 15A) Hãy chéo hóa ma trận A nếu được:

B) Tính A100

Giải.

5 0 0 0

0 5 0 0

1 4 3 0

1 2 0 3

A

10/10/2019 36

10/11/2019

7

VÍ DỤ 15

10/10/2019 37

VÍ DỤ 15

B) Ta có:

Sinh viên tự tính kết quả sau cùng.

10/10/2019 38

VÍ DỤ 16

10/10/2019 39

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

10/10/2019 40

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO

10/10/2019 41

ĐỊNH LÝ

Chú ý.- Ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được.- Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trựcgiao P.

- Ma trận chéo hóa trực giao được thì đối xứng. 10/10/2019 42

10/11/2019

8

CÁC BƯỚC CHÉO HÓA TRỰC GIAO

Chú ý. Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên không cần kiểm tra.

Để tìm cơ sở trực chuẩn ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram-Schmidt.

10/10/2019 43

VÍ DỤ

10/10/2019 44

VÍ DỤ

10/10/2019 45 10/10/2019 46

10/10/2019 47

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Định nghĩa. Dạng toàn phương trong không gian Rn là một hàm số thực:

Được xác định bởi:

Với A là ma trận đối xứng (thực) và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

1

2,

...

T n

n

x

xf x x Ax x

x

: nf

10/10/2019 48

10/11/2019

9

VÍ DỤ

Cho:

Ta có dạng toàn phương trong R2

Nhận xét các phần tử của A và các hệ số của dạng toàn phương.

1

2

2 3

3 4

xx A

x

1 11 2 1 2 1 21 2

2 22 2 2 1

2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 2

2 32 3 3 4

3 4

2 3 3 4 2 6 4

T

T

x xx Ax x x x x x x

x x

x Ax x x x x x x x x x x

10/10/2019 49

DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3

Thường được ghi dưới dạng sau:

Ma tận dạng toàn phương:

Dễ thấy:

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1, , 2 2 2f x f x x x Ax Bx Cx Dx x Ex x Fx x

A D F

M D B E

F E C

1

1 2 3 2

3

T

xA D F

f x x x x D B E x x Mx

F E C x

10/10/2019 50

VÍ DỤ

Cho dạng toàn phương trong R3

Tìm ma trận A của q(x).

Đáp án

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 1 3( ) 2 3 4 6 .q x x x x x x x x x x

12 3

2

13 2 .

2

3 2 1

A

10/10/2019 51

DẠNG CHÍNH TẮC

10/10/2019 52

DẠNG CHÍNH TẮC

Trong dạng chính tắc, các số hạng có dạng bình phương.

Ma trận A của dạng toàn phương ban đầu là ma trận xét trong cơ sở chínhtắc.

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương nhưng xét trong cơ sởkhác (cơ sở trực giao)

10/10/2019 53

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bằng phép biến đổi trực giao.

10/10/2019 54

10/11/2019

10

VÍ DỤ.

10/10/2019 55

VÍ DỤ

Ma trận của dạng toàn phương:

Chéo hóa bằng ma trận trực giao:

10/10/2019 56

VÍ DỤ

Dạng chính tắc cần tìm:

Phép biến đổi cần tìm:

2 2 2

1 2 3 1 2 3, , 7 7 2f y y y y y y

1 1

2 2

3 3

x y

x Py x P y

x y

10/10/2019 57

ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Phép biến đổi Lagrange

- Sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạngtoàn phương về dạng chính tắc

- Dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp, không cần tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận.

- Cơ sở không phải là trực chuẩn nên sẽ khó khăn.

Chú ý. Phép biến đổi x=Py gọi là không suy biến nếu ma trận P không suy biến.

10/10/2019 58

PP LAGRANGE

, ,

i i j

k k

j i jx y y x y y

x x k i j

10/10/2019 59

VÍ DỤ

10/10/2019 60

10/11/2019

11

VÍ DỤ

Bước 3. Lập thành dạng tổng bình phương ở nhóm 1

Ta có:

Bước 4. Lặp lại cho dạng toàn phương sau:

10/10/2019 61

VÍ DỤ

Một cách tương tự:

+ Chọn số hạng:

+ Tạo 2 nhóm:

+ Lập dạng tổng bình phương:

2

2

14

3x

10/10/2019 62

VÍ DỤ

Ta có dạng:

Phép biến đổi cần tìm:

Dạng chính tắc cần tìm:

10/10/2019 63

VÍ DỤ

Dạng toàn phương này không có số hạng bình phương.

Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2):

10/10/2019 64

VÍ DỤ

Ta có:

10/10/2019 65

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

0, 0f x x

0, 0f x x

1 10, : 0f x x x f x

1 10, : 0f x x x f x

1 2 1 1, : 0, 0x x f x f x 10/10/2019 66

10/11/2019

12

DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG

10/10/2019 67

LUẬT QUÁN TÍNH

10/10/2019 68

ĐỊNH THỨC CON CHÍNH

Ký hiệu các định thức con chính:

10/10/2019 69

TIÊU CHUẨN SYLVESTER.

10/10/2019 70

VÍ DỤ

10/10/2019 71

VÍ DỤ

10/10/2019 72

10/11/2019

13

ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 2

10/10/2019 73

VÍ DỤ

10/10/2019 74

VÍ DỤ

10/10/2019 75

KIỂM TRA 45PH

Hãy chéo hóa các ma trận sau đây (nếu được)

3 4 2 1 3 3

1 7 7 3 5 3

1 4 4 1 1 1

A B

10/10/2019 76