Tomo 2 algebra - Istituto Tecnico Industriale Statale ... 2... · BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 2 ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto

BOOK IN PROGRESS

MATEMATICA

ALGEBRAPRIMO ANNOTOMO NR. 2

ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ) ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)

ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR) LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)

LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN) ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)

In memoria del Preside Francesco Rossi che ha sempre creduto in questo progetto

e l’ha sempre sostenuto.

2

SOMMARIO DEL TOMO 2

CAPITOLO 5: I MONOMI 5.1 Introduzione al calcolo letterale pag. 1

5.2 I monomi pag. 5

5.3 Operazioni con i monomi pag. 9

ESERCIZI CAPITOLO 5 pag. 24

CAPITOLO 6: I POLINOMI 6.1 Definizioni pag. 50

6.2 Operazioni con i polinomi pag. 54

6.3 Approfondimento: l’insieme M dei monomi pag. 87

6.4 Approfondimento: l’insieme P dei polinomi pag. 88


CAPITOLO 7: SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Introduzione pag. 129

7.1 Raccoglimento totale pag. 130

7.2 Raccoglimento parziale pag. 131

7.3 Prodotti notevoli pag. 133

7.4 Trinomio caratteristico pag. 137

7.5 Applicazone del teorema di Ruffini pag. 140

7.6 Esempi di riepilogo pag. 146

7.7 MCD e mcm fra polinomi pag. 151


CAPITOLO 8: LE FRAZIONI ALGEBRICHE 8.1 Introduzione alle frazioni algebriche pag. 165

8.2 Operazioni con le frazioni algebriche pag. 169

8.3 Approfondimento sulle frazioni algebriche pag. 177


1

SOMMARIO DEL FASCICOLO CAPITOLO 9: EQUAZIONI

9.1 Uguaglianze e identità pag. 4

9.2 Equazioni pag. 6

9.3 Classificazione delle equazioni pag. 11

9.4 Equazioni equivalenti pag. 13

9.5 I Principi di equivalenza pag. 15

9.6 Forma normale e grado di un’equazione pag. 17

9.7 Conseguenze dei principi di equivalenza pag. 19

9.8 Equazioni di primo grado in una incognita pag. 23

9.9 Equazioni frazionarie pag. 27

9.10 Equazioni letterali pag. 31

9.11 Equazioni di grado superiore al primo pag. 36

9.12 Equazioni e problemi pag. 39

ESERCIZI pag. 41 CAPITOLO 10: DISEQUAZIONI

10.1 Disequazioni pag. 74

10.2 Rappresentazione dell’insieme soluzione di una disequazione pag. 79

10.3 Intervalli numerici pag. 81

10.4 Principi di equivalenza pag. 83

10.5 Disequazioni numeriche intere di primo grado pag. 90

10.6 Disequazioni frazionarie pag. 91

10.7 Disequazioni numeriche intere di grado superiore al primo pag. 97

10.8 Esempi di riepilogo pag. 98

ESERCIZI pag. 104

1

IL CALCOLO LETTERALE (prima parte)

CAPITOLO 5

I monomi

5.1 Introduzione al calcolo letterale

Nel corso dei tuoi studi hai già avuto modo di incontrare lettere al posto di numeri: ad esempio,

nelle formule che esprimono la misura della superficie di una figura geometrica, nelle formule che

esprimono il volume di un solido, nella proprietà caratteristica di un insieme, nell’indicare le

proprietà delle operazioni, ecc …..

Così, se vogliamo determinare il perimetro di un quadrato di lato 5 cm, moltiplichiamo per quattro

la misura del lato:

Perimetro = (4 • 5) cm = 20 cm .

Se cambia la misura del lato, per determinare il perimetro del quadrato si moltiplica per quattro la

nuova misura. Si può, allora, trovare un “modo” più generale per esprimere la misura del perimetro

di un quadrato, qualunque sia la misura del suo lato; precisamente:

se indichiamo con l il numero che esprime la misura del suo lato, il perimetro del quadrato è

Perimetro = 4 • l .

Ancora un esempio: l’area di un triangolo di base 6 cm e altezza relativa 9 cm è:

A = 2

96 ⋅ cm2 = 27 cm2 .

Le operazioni eseguite consentono di determinare l’area di quei triangoli nei quali la base e l’altezza

relativa misurano 6 cm e 9 cm, ma non consentono di esprimere l’area di un qualsiasi triangolo,

note le misure della base e dell’altezza relativa: ecco, allora, che ci vengono in aiuto le lettere.

Se, in un triangolo, indichiamo con b il numero che esprime la misura della base e con h il numero

che esprime la misura dell’altezza relativa, possiamo dire che, in generale, la sua area è:

A = 2

hb ⋅ .

Altra applicazione:

La proprietà commutativa della somma algebrica si esprime, in generale, con la scrittura:

a + b = b + a .

2

Possiamo dire, allora, che in situazioni nelle quali è necessario esprimere proprietà generali è più

utile usare lettere al posto di numeri.

L’introduzione del calcolo letterale è stata una vera e propria rivoluzione nello sviluppo della

matematica perché ha implementato il processo di astrazione e di generalizzazione.

A questo sviluppo hanno contribuito anche illustri matematici italiani come Niccolò Fontana, detto

Tartaglia, Girolamo Cardano e Luigi Bombelli.

Esempi

Traduciamo alcune frasi del linguaggio naturale in forma simbolica utilizzando lettere per indicare

numeri:

a) Il triplo del successivo di un numero naturale.

− Indichiamo con n un numero naturale;

− il suo successivo è n + 1;

− il triplo del suo successivo si ottiene moltiplicando per 3 il numero n +1.

“Il triplo del successivo di un numero naturale”, in forma simbolica, è 3(n + 1), n ∈∈∈∈ N .

b) Il successivo del triplo di un numero naturale.


− il suo triplo si ottiene moltiplicandolo per 3, quindi è 3n;

− il successivo del triplo di n si ottiene aggiungendo 1 al triplo di n.

“ Il successivo del triplo di un numero naturale”, in forma simbolica, è 3 n + 1, n ∈∈∈∈ N .

c) Al successivo di un numero naturale sottrai la terza parte del suo precedente.


− il suo successivo è n + 1;

− il suo precedente è n − 1;

− ricorda che dividere per 3 significa, anche, moltiplicare per 3

1, per cui la terza parte del

suo precedente si ottiene moltiplicando per 3

1 il numero n − 1, quindi

3

1(n − 1).

“Al successivo di un numero naturale sottrai la terza parte del suo precedente” , in

forma simbolica è:

(n + 1) −−−− 3

1(n −−−− 1), n ∈∈∈∈ N.

3

ATTENZIONE

Negli esempi precedenti, avrai sicuramente notato che per indicare il prodotto a ⋅⋅⋅⋅ b si è omesso il

puntino ed è stato scritto semplicemente a b .

La stessa cosa non si può fare se si vuole indicare il prodotto fra due numeri: 6 ⋅⋅⋅⋅ 2 ≠ 62.

PROVA TU

Traduci in forma simbolica le seguenti frasi del linguaggio naturale:

1) Al doppio del successivo di un numero naturale aggiungi il successivo del doppio del numero

stesso.

2) Al quadrato del successivo di un numero intero sottrai il quadrato del numero stesso.

In questo capitolo imparerai ad utilizzare lettere al posto di numeri e ad operare con espressioni

contenenti numeri e/o lettere.

ATTENZIONE

Il calcolo simbolico ha le sue regole che devono essere:

� ben assimilate;

� rispettate;

� usate in modo consapevole.

Cominciamo questo nuovo argomento con una definizione.

Una espressione algebrica è un insieme di numeri e/o lettere legati fra loro da simboli di

operazione.

Le lettere presenti in una espressione algebrica sono chiamate variabili .

Una espressione algebrica si dice razionale se in essa sono presenti solo le operazioni di somma

algebrica, moltiplicazione e divisione.

Le espressioni algebriche, in generale, si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto; se è

necessario indicare le variabili dell’espressione, esse si racchiudono fra parentesi tonde.

4

Così, ad esempio, possiamo indicare con A(n) l’espressione al punto a) degli esempi precedenti:

A(n) = 3(n + 1), n ∈∈∈∈ N .

Inoltre, il valore di un’espressione algebrica dipende dal valore attribuito alle variabili.

Per l’espressione A(n) abbiamo:

� n = 0 ⇒ A(0) = 3 ( 0 + 1) = 3 ⋅ 1 = 3;

� n = 1 ⇒ A(1) = 3 ( 1 + 1) = 3 ⋅ 2 = 6;

� n = 5 ⇒ A(5) = 3 ( 5 + 1) = 3 ⋅ 6 = 18.

Calcoliamo il valore dell’espressione E(a, b) = ba

ba

−+ 22

assegnando alle lettere i valori indicati:

� per a = 3 e b = −2 si ottiene: E(3, −2) =( )( )23

23 22

−−−+

= 23

49

++

= 5

13;

� per a = 4

1 e b =

5

2− si ottiene: E

−5

2,

4

1 =

−−

−+

5

2

4

15

2

4

122

=

5

2

4

125

4

16

1

+

+ =

20

852516

6425

+⋅+

=

=

20

132516

89

⋅ = 13

20

2516

89 ⋅⋅

= (dopo aver semplificato) = 260

89;

� per a = −5 e b = −5 si ottiene: E(−5, −5) = ( ) ( )

( ) ( )55

55 22

−−−−+−

= 55

2525

+−+

= 0

50 = ?

Questa frazione non ha significato, perché in una divisione il divisore deve essere diverso da 0.

In questa espressione algebrica non possiamo, quindi, attribuire alle variabili uno stesso valore,

perché altrimenti il divisore è nullo e, pertanto, non è possibile eseguire l’operazione di divisione.

Possiamo, allora, dire che, in una espressione algebrica, è possibile attribuire alle lettere qualsiasi

valore, purchè le operazioni siano sempre eseguibili.

PROVA TU

Calcola il valore delle seguenti espressioni algebriche assegnando alle lettere i valori indicati:

a) 5 h 3 + 2a 2 h = −2 e a = 1; h = 2

1 e a =

4

3− ;

b) 3

2 32

+−−zx

zx x = 1 e z = −3; x = −4 e z = 2.

Se x = 1, quale valore non è possibile assegnare a z ? Perché?

5

5.2 I monomi

Consideriamo le seguenti espressioni algebriche e vediamo se esistono analogie e differenze fra di

esse:

a) 4 b 3 − 2 h 2; b) 2(a + b); c) 2

5 2qm; d) 2

5

1xy ;

e) 3 a 2 b 3 ; f ) 21

3

4ba− ; g)

a

d 23; h)

d

da

2

3 3+.

Osserviamo che sono tutte espressioni algebriche razionali e, poiché ci occuperemo solo di tali

espressioni algebriche, in seguito ometteremo l’aggettivo razionale/i.

Le espressioni c) e f ) possono essere scritte in altra forma:

c) 2

5 2qm = qm2

2

5; f) 21

3

4ba− = 21

3

4b

a⋅⋅ =

a

b

3

4 2

= a

b2

3

4 ⋅ .

Osserviamo ancora che tra le lettere:

� nelle espressioni c), d), e) è presente la sola operazione di moltiplicazione;

� nelle espressioni a) e b) è presente, oltre alla moltiplicazione, anche l’operazione di somma

algebrica;

� nelle espressioni f) e g) è presente, oltre all’operazione di moltiplicazione, anche l’operazione

di divisione;

� nell’espressione h) sono presenti le operazioni di somma algebrica, moltiplicazione e

divisione.

Quanto sopra permette di dividere le espressioni algebriche in tre gruppi, a seconda delle operazioni

che sono in esse contenute; precisamente:

1) espressioni che contengono solo l’operazione di moltiplicazione;

2) espressioni che contengono le operazioni di moltiplicazione e somma algebrica;

3) espressioni che contengono le operazioni di moltiplicazione, divisione e/o somma algebrica.

In questo capitolo ci occuperemo solo delle espressioni di cui al punto 1).

Si ha la seguente definizione:

Si chiama monomio una espressione algebrica (razionale) in cui è presente soltanto l’operazione di

moltiplicazione.

Alcuni matematici considerano monomi anche espressioni nelle quali sono presenti potenze con

esponente negativo oppure è presente l’operazione di divisione e chiamano tali espressioni monomi

fratti. Per noi sono monomi quelle espressioni in cui è presente solo la moltiplicazione.

Definiremo, nei prossimi capitoli, le espressioni di cui ai punti 2) e 3).

6

Esempi

2 x 3 b 5 è un monomio;

5a −−−− 2b non è un monomio, perché è presente l’operazione di somma algebrica;

a32

è un monomio;

ba4

⋅=b

a4 non è un monomio, perché è presente l’operazione di divisione fra lettere;

−−−− 3 a −−−− 2 c 3 non è un monomio, perché uno degli esponenti è un intero negativo;

73 2f− è un monomio.

PROVA TU

Fra le seguenti espressioni algebriche, riconosci quelle che sono monomi:

− 4 a 3 ; 3

12 +f; 23

8

3zs− ; 2 c + 4;

11

6 5dh; b 4.

Definizione

Un monomio si dice scritto in forma normale quando ogni lettera, con eventuale esponente, è

presente una sola volta.

� Il monomio 2 x 3 b 5 è scritto in forma normale.

� Il monomio a 2 3 a 3 b non è scritto in forma normale.

Il monomio a 2 3 a 3 b, scritto in forma normale, diventa : [a 2 3 a 3 b = 3 (a 2 a 3) b] = 3 a 5 b

Un monomio, in generale, è formato da un numero e da alcune lettere:

• il numero si chiama coefficiente;

• le lettere formano la parte letterale.

Così, nel monomio 2 x 3 b 5:

• 2 è il coefficiente

• x 3 b 5 è la parte letterale

Se il coefficiente è 1, di solito, si omette:

1 a 3 b = a 3 b

2 x 3 b 5

coefficiente

parte letterale

7

Se il coefficiente è −1, di solito, si omette il numero 1:

−−−−1 m 5s 2 = −−−− m 5s 2

Si dice monomio nullo, e si indica con 0, un monomio che ha coefficiente 0 (zero).

Si chiama grado relativo (o grado rispetto) ad una lettera l’esponente con cui la lettera è presente

nel monomio ridotto a forma normale.

Si chiama grado complessivo di un monomio la somma dei gradi relativi a ciascuna lettera

presente nel monomio.

Considerando ancora il monomio 2 x 3 b 5:

• il grado relativo alla lettera x è 3;

• il grado relativo alla lettera b è 5;

• il grado complessivo è 8 .

ATTENZIONE

• Se in un monomio è presente una lettera ‘senza esponente’, è sottointeso che il suo esponente è

1 e, quindi, il grado relativo a quella lettera è 1.

Per esempio, nel monomio 2 s x 2 la lettera s ‘non ha esponente’; questo vuol dire che il suo

esponente è 1 (ricorda che, in generale, a 1 = a) . Il grado relativo ad s è 1.

• Se in un monomio non è presente una lettera, il grado relativo ad essa è 0.

Ad esempio, nel monomio 2 x 3 b 5 il grado relativo ad y è 0.

• Qualsiasi numero razionale (≠ 0) è un monomio di grado 0 rispetto ad una qualsiasi lettera e

di grado complessivo 0.

Così:

4 = 4 b 0 c 0 (con b ≠≠≠≠ 0, c ≠ 0) ;

−−−−3 = −−−−3 a 0 d 0 m 0 (con a ≠ 0, d ≠ 0, m ≠ 0).

• Per quanto precedentemente affermato, il numero razionale 0 è il monomio nullo.

• Al monomio nullo non viene attribuito alcun grado.

grado relativo ad x grado relativo a b

grado complessivo

+

x b

8

3 2

5

8

Secondo alcuni matematici, il grado del monomio nullo è indeterminato perché esso può avere

parte letterale qualsiasi.

Definizioni

Due monomi non nulli che hanno parte letterale uguale si dicono simili .

I monomi 3 m 2 p e −−−−2 m 2 p sono simili .

I monomi 3 m 2 p e 2 m p 2 non sono simili .

Due monomi simili che hanno coefficienti uguali si dicono uguali.

Due monomi simili che hanno coefficienti opposti si dicono opposti.

Sono uguali i monomi 2 x 2 y 6 e 2 x 2 y 6.

Sono opposti i monomi 4 a 3 b 2 e −−−−4 a 3 b 2.

PROVA TU

1) Completa la seguente tabella:

Grado relativo a Monomio Coefficiente Parte letterale x y z s v

Grado complessivo

− 5 v 3 y

5

6 38 szx

3

2

2) Scrivi un monomio di grado complessivo 5 e di quarto grado rispetto alla lettera c.

3) Scrivi un monomio che sia di secondo grado rispetto alla lettera a, di terzo grado rispetto alla

lettera b e di primo grado rispetto alla lettera f .

4) Dati i monomi:

a) ba3

3

2; b) −3 x 5; c) 9 a 2 b ;

scrivi, per ciascuno di essi,

− tre monomi simili;

− il suo opposto.

9

5.3 Operazioni con i monomi

Le lettere presenti nei monomi sono numeri razionali; quindi, è possibile definire, fra monomi, le

operazioni di somma algebrica, moltiplicazione e divisione, come negli insiemi numerici.

Somma algebrica

Sul suo lettore MP3, Luigi ha inserito, inizialmente, 10 brani musicali e, successivamente, altri 25;

in tutto, sul suo lettore, Luigi ha inserito 35 brani musicali.

Rappresentiamo in forma simbolica la situazione precedente: se indichiamo con b un brano

musicale, Luigi, sul suo lettore MP3 ha

10 b + 25 b = 35 b.

Luigi vuole inserire sul suo lettore MP3 anche 2 film; se indichiamo con f un film, la

rappresentazione simbolica del contenuto del lettore MP3 di Luigi è la seguente:

35 b + 2 f .

Certamente non possiamo dire che Luigi ha 37 brani musicali nè che ha 37 film; sul suo lettore Luigi

avrà 35 brani musicali e 2 film; in simboli rimane 35 b + 2 f .

Questo esempio ci può aiutare a capire meglio come calcolare la somma fra due o più monomi:

� 10 b e 25 b sono due monomi simili: la loro somma è 35 b , cioè ancora un monomio;

� 35 b e 2 f sono due monomi, ma non sono simili; in questo caso la somma dei due monomi

(35 b + 2 f ) non è un monomio.

Osserviamo, allora, che la somma di due monomi dà origine a risultati di tipo diverso; si hanno,

infatti, i seguenti casi:

a) somma di monomi simili ;

b) somma di monomi non simili .

Somma di monomi simili

Dati i monomi simili 5 s 2 e 2 s 2 , determiniamo la loro somma (5 s 2 + 2 s 2).

In tutti i monomi è presente la sola operazione di moltiplicazione e, poichè le lettere sono numeri

razionali, vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica:

a ⋅⋅⋅⋅ b + a ⋅⋅⋅⋅ c = a (b + c) .

Nella somma 5 s 2 + 2 s 2, i monomi 5 s 2 e 2 s 2 hanno in comune il fattore s 2 ; si ha, dunque:

5 s 2 + 2 s 2 = s 2 (5 + 2) = 7 s 2 .

10

Analizziamo il risultato ottenuto:

7 s 2 è un monomio simile sia a 5 s 2 che a 2 s 2 e il suo coefficiente è la somma dei coefficienti

dei monomi 5 s 2 e 2 s 2 .

In generale:

la somma di due o più monomi simili è un

monomio, simile a quelli dati, che ha come

coefficiente la somma dei coefficienti dei

monomi dati .

Somma di monomi non simili

Dati i monomi 4 a 3 e 3 b 2 non simili, determiniamo la loro somma (4a3 + 3b2).

Poiché i due monomi non sono simili e non hanno fattori in comune, non è possibile applicare la

proprietà distributiva.

E’ possibile solo indicare la loro somma: 4 a 3 + 3 b 2.

Come puoi notare, in questo caso, la somma dei due monomi non è un monomio.

Un altro esempio.

Dati i monomi 5 m 2 e 2 m non simili, determiniamo la loro somma (5m2 + 2m).

I monomi non sono simili, ma hanno in comune il fattore “m” e, quindi, è possibile applicare la

proprietà distributiva, ottenendo: 5m2 + 2m = m (5 m + 2).

Tale espressione non è, però, un monomio (l’operazione in parentesi non si può, infatti eseguire) e,

dunque, anche in questo caso, è possibile indicare solamente la somma: 5 m 2 + 2 m .

In generale:

La somma di due o più monomi non simili si indica ponendo fra i due monomi il segno “+”;

essa non è un monomio.

Come per i numeri razionali, la differenza fra due monomi è la somma fra il primo monomio e

l’ opposto del secondo; ad esempio:

3 a 3 − 6 a 3 = 3 a 3 + (− 6 a 3) = (3 − 6) a 3 = −3 a 3 ;

2 b 5 − (−5 b 5) = 2 b 5 + 5 b 5 = (2 + 5) b 5 = 7 b 5 .

Anche per i monomi non c’è distinzione fra le operazioni di addizione e di sottrazione e si parla di

una sola operazione chiamata somma algebrica.

Le regole esposte e gli esempi precedenti ci permettono di affermare che l’insieme dei monomi non

è chiuso rispetto all’operazione di somma algebrica.

5 s2 + 2 s2 = 7 s2

+

parte letterale uguale

somma dei coefficienti

11

ATTENZIONE

Se in una espressione algebrica alcuni termini sono simili e altri non lo sono, si sommano i termini

simili seguendo la regola esposta in precedenza e, successivamente, si lascia indicata la somma

algebrica.

Esempi

Semplifichiamo le seguenti espressioni:

a) −−−−3 x 5 y −−−− 3 x y 5 + (−−−−2 x y 5) + 6 x 5 y − ( −−−− 2 x y 5).

“Liberiamo” l’espressione dalle parentesi tonde:

−3 x 5 y − 3 x y 5 − 2 x y 5 + 6 x 5 y + 2 x y 5.

I monomi non sono tutti simili tra di loro; è conveniente, allora, segnare con uno stesso simbolo

i monomi simili ed “eliminare” gli eventuali monomi opposti. Si ottiene:

−3 x 5 y − 3 x y 5 − 2 x y 5 + 6 x 5 y + 2 x y 5 = −3 x 5 y −3 x y 5 + 6 x 5 y =

ed applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa, si ha:

= (−3 x 5 y + 6 x 5 y) − 3 x y 5 = (−3 + 6) x 5 y − 3 x y 5 = 3 x 5 y −−−− 3 x y 5.

b) 4 a 3 b 2 + 6 a 3 b 2 −−−− ( −−−−2 a 3 b 2 ).

“Liberiamo” l’espressione dalle parentesi tonde:

4 a 3 b 2 + 6 a 3 b 2 + 2 a 3 b 2 =

poiché i monomi sono tutti simili tra loro, si ottiene:

= (4 + 6 + 2) a 3 b 2 = 12 a 3 b 2.

c) 2222222

41

37

332

54

32

45

abbaaaa −

−+

−−− .

Osserviamo che i monomi nelle parentesi tonde sono simili tra loro e quindi possiamo

determinare la loro somma. Si ottiene:

22222

4

1

3

73

3

2

5

4

3

2

4

5abaaa −

−+

−−− = 22222

4

1

3

2

15

2

3

2

4

5abaaa −

+−− =

i monomi in parentesi quadre non sono tutti simili tra loro, per cui, segnando quelli simili con

uno stesso simbolo e calcolando la loro somma, si ottiene:

= 22222

4

1

3

2

15

2

3

2

4

5abaaa −

+−− = 2222

4

1

3

2

15

8

4

5abaa −

+− =

eliminiamo le parentesi quadre: poiché davanti alle parentesi c’è il segno “−”, dobbiamo

cambiare di segno ai termini dentro le parentesi. Si ha, quindi:

= 2222

4

1

3

2

15

8

4

5abaa −−− =

12

i monomi di questa espressione non sono tutti simili tra loro, per cui, segnando ancora una volta

quelli simili con uno stesso simbolo e calcolando la loro somma, si ottiene:

= 2222

4

1

3

2

15

8

4

5abaa −−− = 22

3

2

4

1

15

8

4

5ba −

−− = 22

32

157

ba − .

d) 9 s 3 x 5 z + 0 = 9 s 3 x 5 z .

L’ultimo esempio ci permette di dire che la somma di un generico monomio A con il monomio

nullo è ancora il monomio A.

PROVA TU

Semplifica le seguenti espressioni:

a) − 3 m 2 t 4 z + 5 m 2 t 4 z − (8 m 2 t 4 z − m 2 t 4 z) + (2 m 2 t 4 z + m 2 t 4 z );

b) − [−12 x 3 y 2 + 4 x y 2 − ( 2 + 4 x 3 y 2 − 8 x 3 y 2) + 5] + ( 3 x y 2 −1);

c) 2323

16

19

2

3

4

5

2

1

4

1baabbaabab −+−− .

Moltiplicazione

Ci proponiamo di determinare il seguente prodotto:

3 m 2 s 3 ⋅⋅⋅⋅ (−−−−5 m 3 t 2).

Poiché le lettere sono numeri razionali, possiamo applicare la proprietà commutativa:

3 (−5) m 2 m 3 s 3 t 2.

Applicando, poi, la proprietà associativa, si ottiene:

[3 (−5)] (m 2 m 3) s 3 t 2.

Ed infine, applicando le proprietà delle potenze, si ha:

−−−− 15 m 5 s 3 t 2.

In definitiva :

3 m 2 s 3 ⋅⋅⋅⋅ ( −−−−5 m 3 t 2) = −−−− 15 m 5 s 3 t 2.

Osserva il risultato ottenuto e completa:

� il prodotto dei due monomi è ancora un …………………..;

� il grado complessivo del prodotto è uguale alla …………. dei gradi complessivi dei monomi

dati;

� il coefficiente del prodotto è uguale al …………………… dei coefficienti dei monomi dati;

� la parte letterale del prodotto è “formata” da tutte le ……………….. presenti nei monomi dati;

� l’esponente della lettera m , presente in entrambi i fattori, è uguale alla ……….…. degli

esponenti che m ha nei due fattori.

13

Possiamo, allora, generalizzare:

� il prodotto di due o più monomi è sempre un monomio;

� il coefficiente del prodotto è uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi dati;

� la parte letterale del prodotto è “formata” da tutte le lettere presenti nei fattori; se nei

fattori ci sono lettere uguali, tali lettere nel prodotto hanno esponente uguale alla somma

degli esponenti (che esse hanno nei singoli fattori);

� il grado del prodotto di due o più monomi, diversi dal monomio nullo, è uguale alla

somma dei gradi dei singoli fattori.

Esempi

a) −−−−7 a 4 b 3 ⋅⋅⋅⋅ 3 a 2 b 3 = (−7 ⋅⋅⋅⋅ 3) ⋅⋅⋅⋅ ( a 4 ⋅⋅⋅⋅ a 2) ⋅⋅⋅⋅ (b 3 ⋅⋅⋅⋅ b 3) = −−−−21 a 6 ⋅⋅⋅⋅ b 6 ;

b) 2 f g 2 ⋅⋅⋅⋅

− 52

167

kf = 2 ⋅⋅⋅⋅

−16

7 ⋅⋅⋅⋅ ( f ⋅⋅⋅⋅ f 2) ⋅⋅⋅⋅ g 2 ⋅⋅⋅⋅ k 5 = −−−− 523

87

kgf ;

c) 5 x 5 y ⋅⋅⋅⋅ 4 x 2 ⋅⋅⋅⋅ 0 = 0;

d) 3 x y 2 ⋅⋅⋅⋅ 1 = 3 x y 2 .

Osservazioni

Le regole esposte e gli esempi precedenti ci permettono di affermare che l’insieme dei monomi è

chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione.

Dall’esempio c) deduciamo che il prodotto di due o più monomi è il monomio nullo se e solo se

almeno uno di essi è il monomio nullo.

Anche per i monomi, quindi, vale la legge di annullamento del prodotto.

Osservando l’esempio d) e generalizzando, si può affermare che 1 è l’elemento neutro rispetto alla

moltiplicazione tra monomi.

1

8

prodotto dei coefficienti

somma degli esponenti +

•

3 m 2 s 3 ⋅⋅⋅⋅ ( −−−− 5 m 3 t 2) =

−−−− 15 m 5 s 3 t 2

14

PROVA TU

Calcola i seguenti prodotti fra monomi:

a) − 4 h 3 m ⋅⋅⋅⋅ 7 g h 2 ⋅⋅⋅⋅ (−2 f h m 5);

b) 05

3

3

2 23 ⋅

−⋅ zzx ;

c)

−⋅⋅

− 4235

5

2

9

4

8

5cabba .

Potenza di un monomio

Come ben sai, il prodotto di più fattori uguali si chiama potenza.

La potenza di un monomio, dunque, non è altro che il prodotto di più monomi uguali fra di loro,

ripetuto tante volte quanto indicato dall’esponente.

Calcoliamo la seguente potenza:

(4 f 2 g 3 x) 3 = 4 f 2 g 3 x ⋅⋅⋅⋅ 4 f 2 g 3 x ⋅⋅⋅⋅ 4 f 2 g 3 x.

Applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa, si ottiene:

(4 ⋅⋅⋅⋅ 4 ⋅⋅⋅⋅ 4) ⋅⋅⋅⋅ (f 2 ⋅⋅⋅⋅ f 2 ⋅⋅⋅⋅ f 2 ) ⋅⋅⋅⋅ (g 3 ⋅⋅⋅⋅ g 3 ⋅⋅⋅⋅ g 3 ) ⋅⋅⋅⋅ ( x ⋅⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅⋅ x). Poiché, il prodotto in ciascuna parentesi tonda è, a sua volta, una potenza, si ottiene:

4 3 ⋅⋅⋅⋅ ( f 2 ) 3 ⋅⋅⋅⋅ (g 3) 3 ⋅⋅⋅⋅ x 3 = 64 f 6 g 9 x 3.

In definitiva:

(4 f 2 g 3 x) 3 = 64 f 6 g 9 x 3.

Osserva il risultato ottenuto e completa:

la potenza di un monomio è ancora un …………………… nel quale:

− il coefficiente numerico è la …………………….. del coefficiente numerico;

− ciascuna lettera ha come esponente il ……………………. fra l’esponente di ciascuna lettera

e l’esponente della potenza.

Dall’esempio precedente, possiamo dedurre la seguente regola:

Per calcolare la potenza di un monomio, diverso

dal monomio nullo, è sufficiente calcolare la

potenza del coefficiente numerico e moltiplicare

ciascun esponente della parte letterale per

l’esponente della potenza.

43

•

64 s 6 ( 4 s 2 ) 3 =

Potenza del coefficiente

Prodotto degli esponenti

15

Per le potenze di monomi valgono le già note proprietà delle potenze; in particolare ricordiamo che

qualsiasi monomio, diverso dal monomio nullo, “elevato a 0” è sempre uguale a 1!

Esempi

a) (2 a 2 b ) 0 = 1;

b) ( )3

2232

− dcb = ( )6232 dcb− = (−2)6 (b)6 (c3)6 (d 2) 6 = 64 b 6 c 18 d 12 ;

c) 3

3

53

− ba = ( ) ( )3333

5

3ba

− = 93

12527

ba− ;

d) (−−−− x ) 5 = −−−− x 5 .

PROVA TU

Calcola le seguenti potenze:

a) (− a b 2 ) 3 ;

b) 2

23

3

2

− cba ;

c) ( )[ ] 3233

−−− x ;

d) ( )[ ] 04232

yxa .

Divisione

Ricorderai che, in precedenza, abbiamo definito il quoziente fra due numeri razionali, come quel

numero che moltiplicato per il divisore (≠ 0) dà per risultato il dividendo.

Allo stesso modo definiamo il quoziente, se esiste, fra due monomi (dove, ovviamente, il divisore è

diverso dal monomio nullo).

Proviamo, allora, ad eseguire alcune divisioni:

a) determiniamo il quoziente fra i monomi 21 x 6 y 5 e 7 x 2 y 3 .

Dobbiamo trovare un monomio, se esiste, tale che, moltiplicato per 7 x 2 y 3, dia come

risultato 21 x 6 y 5.

Per determinare il coefficiente del quoziente, basta dividere fra loro i coefficienti del dividendo e

del divisore; per determinare la parte letterale dividiamo fra loro le potenze con la stessa base.

16

Si ha, dunque:

21 x 6 y 5 : 7 x 2 y 3 = (21 : 7) (x6 : x2) (y5 : y3) = 3 x 6−2 y 5−3 = 3 x 4 y 2.

In definitiva: 21 x 6 y 5 : 7 x 2 y 3 = 3 x 4 y 2.

E’ facile, poi, verificare che 3 x 4 y 2 ⋅⋅⋅⋅ 7 x 2 y 3 = 21 x 6 y 5.

b) calcoliamo il risultato della seguente divisione:

535 pm− : 29 m .

Dobbiamo trovare, allora, un monomio, se esiste, tale che, moltiplicato per 29 m , dia come

risultato −−−− 5 m3 p5.

Come nel caso precedente, per ottenere il coefficiente del quoziente, dividiamo fra loro i

coefficienti del dividendo e del divisore; in questo caso il risultato della divisione è un numero

razionale dal momento che il primo coefficiente non è multiplo del secondo.

Per determinare la parte letterale si procede allo stesso modo e, quindi, dividiamo fra loro le

potenze con la stessa base.

Osserviamo che, nella parte letterale del divisore, non è presente la lettera p, questo vuol dire

che il suo esponente è 0.

Si ha, quindi:

535 pm− : 29 m = (−5 : 9) (m3 : m2) (p5 : p0) = 0523

9

5 −−− pm = 95− m p5.

In definitiva: 535 pm− : 29 m = 95− m p5.

E’ facile verificare che: 95− m 5p ⋅⋅⋅⋅ 29 m = 535 pm− .

c) calcoliamo il risultato della seguente divisione:

15 b 3 c d 2 : 3 b 2 c 2 d .

Dobbiamo trovare, quindi, un monomio, se esiste, tale che, moltiplicato per 3 b 2 c 2 d dia

come risultato 15 b 3 c d 2.

Procedendo come negli esempi precedenti, si ottiene:

15 b 3 c d 2 : 3 b 2 c 2 d = (15 : 3) (b3 : b2) (c : c2) (d2 : d) = 5 b 3−2 c 1−2 d 2−1 = 5 b c −−−−1d .

In definitiva: 15 b 3 c d 2 : 3 b 2 c 2 d = 5 b c −−−−1d .

Il risultato ottenuto non è un monomio perché un esponente della parte letterale è un numero

negativo.

17

d) calcoliamo il risultato della seguente divisione:

223 5:53

mff−

Dobbiamo trovare, quindi, un monomio, se esiste, tale che, moltiplicato per 225 mf dia come

risultato 3

53

f− .

Osserviamo che nel dividendo non è presente la lettera m, quindi il suo esponente è 0.

Procedendo come negli esempi precedenti, si ottiene:

223 5:53

mff− = ( ) ( )2023 ::5:5

3mmff

− = 2023

25

3 −−− mf = 2

253 −− mf

In definitiva: 223 5:53

mff− = 2

253 −− mf .

Anche questa volta, il risultato ottenuto non è un monomio perché un esponente della parte

letterale è un numero negativo.

PROVA TU

Completa le seguenti uguaglianze:

1) 4 a 3 b 5 c : 2 a 2 b 3 = … a b … ... ;

2) − 8 m 4 p 3 : (− 4 m 3 p 5 ) = ... m ... −2 ;

3) −12 x 4 y 2 : (− 3 x 3 y 2 ) = ... x y … = …… ;

4) 5 c 3 f : 2 c 2 f 2 = .... c f ... ;

5) 9 z 5 q 3 : 4 q t 3 = .... z 5 q ... t ....

Dagli esempi e dagli esercizi precedenti, si osserva che non sempre la divisione fra due monomi è

ancora un monomio. Precisamente:

� il quoziente è un monomio negli esempi a) e b) e negli esercizi 1) e 3);

� il quoziente non è un monomio negli esempi c) e d) e negli esercizi 2), 4) e 5).

Analizziamo i risultati ottenuti, prestando attenzione alla parte letterale dei monomi dividendo e

divisore:

a) , b) , 1) : nella parte letterale del dividendo sono presenti tutte le lettere della parte letterale del

divisore; l’esponente di ciascuna lettera nel dividendo è maggiore dell’esponente

della stessa lettera nel divisore.

18

Il grado complessivo del quoziente è uguale alla differenza fra i gradi complessivi del

dividendo e divisore; l’esponente di ciascuna lettera nel quoziente è uguale alla

differenza fra gli esponenti della stessa lettera nel dividendo e divisore.

3) : nella parte letterale del dividendo sono presenti tutte le lettere della parte letterale del

divisore; l’esponente di ciascuna lettera nel dividendo è maggiore o uguale

all’esponente della stessa lettera nel divisore.

Il grado complessivo del quoziente è uguale alla differenza fra i gradi complessivi del

dividendo e divisore; l’esponente di ciascuna lettera nel quoziente è uguale alla

differenza fra gli esponenti della stessa lettera nel dividendo e divisore.

c), 2), 4) : nella parte letterale del dividendo sono presenti tutte le lettere della parte letterale del

divisore; esiste, però, una lettera del dividendo che ha esponente minore di quello che

ha la stessa lettera nel divisore ;

d), 5) : una lettera del divisore non è presente nel dividendo.


� Il quoziente fra due monomi è un monomio se l’esponente di ciascuna lettera nel dividendo è

maggiore o uguale dell’esponente della stessa lettera nel divisore.

Se il quoziente è un monomio, si ha che:

• Il grado complessivo del quoziente è uguale alla differenza fra i gradi complessivi del

dividendo e del divisore.

• Il coefficiente del quoziente è uguale al quoziente fra i coefficienti del dividendo e del divisore.

• L’ esponente di ciascuna lettera del quoziente è uguale alla differenza fra gli esponenti che

quella lettera ha nel dividendo e nel divisore.

(nel riquadro, ai fini di una “ lettura”

più agevole, è riportato solo il calcolo

dell’esponente per la lettera “x”).

PROVA TU

Quali, fra i seguenti quozienti, sono monomi?

a) c 3 b 2 : 2 c b 2 ; b) − 4 m 5 h 2 : 3 h 3 ;

c) 5 x 5 z 2 y : (−3 x 3 y t 2) ; d) a 3 b 4 : (− a 2) .

21 x 6 y 5 : 7 x 2 y 3 = 3 x 4 y 2

:

−−−−

quoziente dei coefficienti

differenza degli esponenti

19

Espressioni con i monomi

Dal momento che le lettere rappresentano numeri razionali, per le espressioni in cui sono presenti dei

monomi valgono le regole già viste per i numeri razionali; precisamente:

� se nelle espressioni sono presenti delle parentesi, si risolvono prima le parentesi tonde, poi le

parentesi quadre e, successivamente, le parentesi graffe;

� le operazioni di moltiplicazione e divisione si risolvono nell’ordine in cui si presentano e

hanno la precedenza sull’operazione di somma algebrica;

� si eliminano le parentesi precedute dal segno “−”, cambiando il segno a ciascuno dei termini

racchiusi dalle parentesi;

� si eliminano le parentesi precedute dal segno “+”, lasciando invariato il segno di ciascuno dei

termini racchiusi dalle parentesi.

Esempi


1) − 4 2x y

− 22

4

1xx + ( )43x− y + 3

− yy 23

1 4x + 2 2x y

+− 22

2

33 xx =

(eseguiamo, prima, le operazioni “racchiuse” nelle parentesi tonde e che indicano la somma

algebrica di monomi simili)

= − 4 2x y

− 2

4

41x + ( )43x− y + 3

−y

3

61 4x + 2 2x y

+− 2

2

36x =

= − 4 2x y

− 2

4

3x + ( )43x− y + 3

− y3

5 4x + 2 2x y

− 2

2

3x =

(poiché la moltiplicazione ha la “precedenza” sulla somma algebrica, eseguiamo i prodotti

ricordando la regola dei segni e semplificando dove possibile)

1 = − 4 2x y

− 2

4

3x + ( )43x− y + 3

− y3

5 4x + 2 2x y

− 2

2

3x =

= 3 4x y − 3 4x y − 5 4x y − 3 4x y =

(poiché i monomi di questa somma algebrica sono tutti simili e, in particolare, due sono opposti)

= 3 4x y − 3 4x y − 5 4x y − 3 4x y = (− 5 − 3) 4x y = − 8 4x y .

2) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2322

222232 2:342 babababababa −−−−+−− :::: =

(risolviamo le potenze indicate)

= ( )[ ] 642

222436 4:34:8 babababababa −−⋅+− =

1 1 1

1 1 1

20

(ricordiamo che moltiplicazioni e divisioni hanno la “precedenza” sulla somma algebrica e si

eseguono nell’ordine in cui si presentano)

= ( ) 642323232 4:348 babababa ++− =

(in parentesi tonda è indicata la somma algebrica di monomi simili; risolviamo, allora, la

parentesi tonda)

= ( )[ ] 642

32 4:348 baba++− = ( ) 64232 4: baba− = 6464 4: baba = ( ) 66444:1 −− ba =

= 00

4

1ba =

4

1.

PROVA TU

Semplifica la seguente espressione:

( ) ( ) 332333

333

23

2

2

1:

3

4

4

3yxyxyxxyyx +−

−−

−⋅

− .

5.4 Massimo Comun Divisore e minimo comune multiplo fra monomi

Massimo Comun Divisore

Dati due monomi A e B, con B ≠≠≠≠ 0, si dice che A è divisibile per B, o che B è divisore di A, se

esiste un monomio C tale che B ⋅⋅⋅⋅ C = A.

In altre parole, un monomio A è divisibile per un monomio B (≠0) se il quoziente fra A e B è ancora

un monomio.

Esempio

Il monomio 2 a2 è un divisore di 12 a3 b; infatti 12 a3 b : 2 a2 = 6 a b che è un monomio.

Consideriamo, adesso, i seguenti monomi:

A = 6 a 2 b B = 4 a b 2 c

I divisori di A sono:

a; a 2 ; b; a b; a2 b; 1;

2a; 2a 2 ; 2b; 2a b; 2a2 b; 2;

3a; 3a 2 ; 3b; 3a b; 3a2 b; 3;

6a; 6a 2 ; 6b; 6a b; 6a2 b; 6.

21

I divisori di B sono:

a; b; b2; c; a b; a b2; ac; b c; b2 c; a b 2 c; 1;

2a; 2b; 2b2; 2c; 2a b; 2a b2; 2ac; 2b c; 2b2 c; 2a b 2 c; 2;

4a; 4b; 4b2; 4c; 4a b; 4a b2; 4ac; 4b c; 4b2 c; 4a b 2 c; 4.

In rosso sono indicati i divisori comuni fra i monomi A e B.

Fra i divisori comuni, ce ne sono due che hanno grado maggiore di tutti gli altri: a b e 2ab.

Il monomio 2ab (che ha per coefficiente il MCD fra i coefficienti di A e B) si chiama Massimo

Comun Divisore fra A e B e, come per i numeri naturali, si indica con MCD (A, B).

In generale:

si chiama Massimo Comun Divisore fra due o più monomi il divisore di grado maggiore comune

ai monomi dati.

Il coefficiente del MCD fra due o più monomi può essere arbitrario ma si conviene di assumere, se

possibile, il MCD fra i coefficienti dei monomi dati.

Anche fra i monomi, per determinare il Massimo Comun Divisore non è necessario scrivere ogni

volta tutti i loro divisori; infatti esiste una regola pratica, analoga a quella già vista per i numeri

naturali.

Il MCD fra due o più monomi è un monomio che ha:

♦ come coefficiente:

− il MCD fra i valori assoluti dei coefficienti se i coefficienti sono interi ;

−−−− 1 se i coefficienti non sono tutti interi ;

♦ come parte letterale il prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi, ognuna presa una

sola volta e con il minimo esponente.

Esempi

a) Determiniamo il MCD

323 4,21

mssqm .

− i coefficienti dei monomi non sono interi, quindi il coefficiente del MCD è 1;

− le lettere comuni ai due monomi sono: “m” e “s”; per la lettera m l’esponente più piccolo è

1, per la lettera s l’esponente più piccolo è 2; quindi la parte letterale del MCD è m s 2.

In definitiva: MCD

323 4,21

mssqm = m s 2 (in questo caso, il coefficiente 1 non viene

solitamente indicato) .

22

b) Determiniamo il MCD (−−−− 3 a 4 c 2, 2 b 3 f 5 ).

− i coefficienti, senza tener conto del segno, pur essendo interi, sono primi fra loro, quindi il

loro MCD è 1;

− le parti letterali dei due monomi non hanno lettere in comune.

In definitiva: MCD (−−−− 3 a 4 c 2, 2 b3 f 5 ) = 1.

PROVA TU

1) Scrivi tre divisori del monomio 8b 3c 2.

2) Determina il MCD fra i seguenti monomi:

a) − 8 a 2 b c; 12 a 4 b c 2.

b) 32

5

3zxy− ; ytx2

3

4.

c) 5 f 3 g ; −3 h 5 m 3.

d) −8 s 3 t 2; 4 a 5; 12b3.

Minimo comune multiplo

Dati due monomi A e B, si chiama minimo comune multiplo fra A e B un monomio di grado

minimo fra i multipli comuni ad A e B.

Il minimo comune multiplo fra i monomi A e B si indica con mcm(A, B).

Il coefficiente del mcm fra due o più monomi può essere arbitrario, ma, anche in questo caso, si

conviene di assumere, se possibile, il mcm fra i coefficienti dei monomi dati.

Per determinare il minimo comune multiplo fra due o più monomi esiste, così come per il MCD, una

regola pratica:

Il mcm fra due o più monomi è un monomio che ha:

♦ come coefficiente:

− il minimo comune multiplo fra i valori assoluti dei coefficienti, se i coefficienti sono

inter i;

− 1 se i coefficienti non sono inter i;

♦ come parte letterale il prodotto di tutte lettere dei monomi, ognuna presa una sola volta e

con il massimo esponente.

23

Esempi

1) Determiniamo il mcm

323 4,21

mssqm .

− i coefficienti dei monomi non sono interi, quindi il coefficiente del mcm è 1;

− le lettere comuni ai due monomi sono: “m” e “s”; per la lettera m l’esponente più grande è

3, per la lettera s l’esponente più grande è 3; inoltre la lettera “q” non è comune alle parti

letterali dei due monomi; quindi la parte letterale del mcm è m3 q s 3.

In definitiva: mcm

323 4,21

mssqm = m3 q s 3.

2) Determiniamo il mcm (−−−− 3 a 4 c 2, 2 b 3 f 5 ).

− il mcm fra i coefficienti è 6;

− le parti letterali dei due monomi non hanno lettere in comune, quindi la parte letterale del

mcm è formata dal prodotto di tutte le lettere dei due monomi, cioè a 4c 2b 3 f 5 .

In definitiva: mcm (−−−− 3 a 4c 2, 2 b3f 5 ) = 6 a 4c 2b 3f 5.

3) Determiniamo il mcm (12 x 4y 3 , 18 x 3z 2).

− il mcm (12, 18) = 36, quindi il coefficiente del mcm è 36;

− le parti letterali dei due monomi hanno in comune la lettera “x” e l’esponente maggiore è

4; le lettere “y” e “z” non sono comuni. La parte letterale del mcm è , allora, x 4 y 3 z 2 .

In definitiva: mcm (12 x 4 y 3 ; 18 x 3 z 2) = 36 x 4 y 3 z 2.

PROVA TU

Determina il minimo comune multiplo dei seguenti monomi:

a) zqm 23

5

2; 342 zm .

b) mzx 426 ; mzx 616 .

c) ba2

3

1− ; 5

7

4c .

d) 4 h 2f 2; −6 h p3; 8 f p4.

24

CAPITOLO 5

I monomi

Conoscenza e comprensione

1) Che cos’è un’espressione algebrica?

2) Quando un’espressione algebrica si dice razionale?

3) Che cos’è un monomio?

4) Quali parti si distinguono in un monomio?

5) Quali, fra le seguenti espressioni algebriche, sono monomi?

a) 4

3 2hf; b) 136 −pm ; c)

5

32 −z; d) mare; e) −9.

6) I numeri 5 e 8, intesi come “monomi”, sono simili? Giustifica la tua risposta.

7) Per quali valore di n, con n ∈ N, l’espressione −7 h 3−n k 2 è un monomio?

8) Che cosa si intende per grado relativo ad una lettera di un monomio?

9) Che cosa si intende per grado complessivo di un monomio?

10) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) Qualsiasi numero naturale è un monomio. V F

b) Il monomio nullo ha grado complessivo 0. V F

c) Il coefficiente di b 2d 5 è 0. V F

d) Il monomio 3xy 2 ha grado complessivo 2. V F

e) In un monomio, il grado relativo ad una lettera può essere un numero V F

non positivo.

g) Il grado complessivo di un monomio è sempre un numero positivo. V F

h) Il grado complessivo di un monomio può essere un numero non negativo. V F

i) Se il grado complessivo di un monomio è 1, la sua parte letterale è formata V F

da una sola lettera.

l) In un monomio, il grado relativo ad una lettera ed il grado complessivo V F

possono essere uguali.

11) Quando due monomi sono simili?

12) Uno solo dei seguenti monomi è simile a 4g5k2; quale?

a) 4 g2k5; b) −4 g3k4; c) 7

3 k2g5; d)

4

1 gk5; e) 3 g2k.

25

13) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?

a) due monomi sono opposti se hanno coefficienti opposti;

b) due monomi sono simili se hanno lo stesso grado complessivo;

c) due monomi simili hanno lo stesso coefficiente;

d) due monomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente;

e) due monomi simili hanno lo stesso grado complessivo.

14) Come operi per determinare la somma o la differenza fra due monomi?

15) Come si esegue la moltiplicazione fra due monomi?

16) In quale caso il quoziente di due monomi è ancora un monomio?

17) Come si esegue la divisione fra due monomi?

18) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?

a) il prodotto fra due monomi è sempre un monomio;

b) la somma fra due monomi opposti è il monomio nullo;

c) il grado complessivo del prodotto fra due monomi simili è il doppio del grado complessivo

dei due fattori;

d) il grado complessivo del prodotto fra due monomi è uguale al prodotto dei gradi

complessivi dei due fattori;

e) il grado complessivo del quoziente di due monomi simili è 0.


a) La somma fra due monomi è sempre un monomio. V F

b) Se la somma fra due monomi è un monomio, i monomi sono simili. V F

c) Il quoziente di due monomi simili è un numero razionale. V F

d) Il prodotto di due monomi simili è un monomio simile ai due fattori. V F

e) Il quoziente fra due monomi può essere un monomio. V F

f) La differenza fra due monomi simili è un numero razionale. V F

g) Il grado complessivo della somma fra due monomi simili è uguale alla V F

somma dei gradi complessivi dei due monomi.

h) Se il quoziente fra due monomi è un monomio, il suo grado complessivo V F

è uguale alla differenza fra il grado complessivo del dividendo e il grado

complessivo del divisore.

i) Il grado complessivo del prodotto di due monomi simili è il doppio del grado V F

complessivo di ciascuno dei fattori.

20) Come si determina il massimo comun divisore fra due o più monomi?

21) Come si determina il minimo comune multiplo fra due o più monomi?

26

Esercizi

Espressioni algebriche

Traduci in simboli le seguenti proposizioni:

1) Al doppio di a aggiungi il triplo del quadrato di b.

2) Dividi il doppio del quadrato di g per la somma del triplo di h con il doppio di g.

3) Sottrai dal quadrato di a il cubo della somma tra a e b.

4) Dividi la somma del doppio di z con la quarta parte di p per il triplo della differenza fra z e t.

5) Moltiplica la somma fra x e y per la differenza fra il doppio di x e la quarta parte di y.

6) Sottrai dal cubo della differenza fra s e il quadrato di t, il quadrato della somma fra la metà di s e

il quadrato del triplo di t.

7) Aggiungi al quadrato della differenza fra m e k, il triplo della somma del quadrato di m con il

doppio di k.

Traduci nel linguaggio naturale le seguenti espressioni scritte nel linguaggio simbolico:

8) 2g − 3k2

9) (f + 2h)2 − 3 f h

10) ( )33

2

qs

sq

+−

11) 223 yxyy −+

12) 2(2b 2) 3 + (3c 2) 2

13) ( )( )

6

11 −+ nnn

14) (m2 − 2h3):(m + h)

15) (2x + 3y 2) 3 + 2x4

Calcola il valore che assumono le seguenti espressioni algebriche sostituendo alle lettere i valori

indicati:

16) 4

22

23

3 babb

a +−− per a = − 2 e b = +3

17) gkgk

k 222

24

13 +−−−

per k = 2

3− e g = 3

2

18) 33

222

52 hm

mhm

hm

hm

−−−

−−

per m = 2 e h = −1

27

19) yx

yx

yx

xy

yx

x

−+−

−+

+ 2222

2 per

2

3=x e y = 3

2−

20) ts

s

ts

st

−−

−

2

22

5 per s = −3 e t = −2

21) ( )( )1

1432

223

−−−

+−+−

pm

mp

mp

pmm per m =

2

1− e p = 2

22) L’espressione 33

3

ba

ba

−−

perde di significato:

a) se 3

2=a e b = 3

2− ;

b) se a = −2 e b = 2;

c) se a = b = 2

1− ;

d) se a = 2 e b = 2

1− ;

e) mai.


a) ∀x ∈ Z, il valore dell’espressione A(x) = ( )xx 242

1 3 + è un numero intero. V F

b) ∃ y ∈ Q / l’espressione B(y) = 4y 2 + 3 assume il valore 0. V F

c) ∀ a ∈ Q −, il valore dell’espressione F(a, b) = 22

45 45

ba

ba

+−

è un numero negativo. V F

d) ∀ t ∈ Q, il valore dell’espressione P(t) = −t 4 − t 2 è un numero negativo. V F

24) Le seguenti affermazioni si riferiscono all’espressione A(k, m) = 3

24

m

mk +; una sola di esse è

falsa. Quale?

a) ∀ m ∈ Q −, A(k, m) < 0;

b) ∃ k, m ∈ Q / A(k, m) ∈ Z;

c) ∃ k, m ∈ Q / A(k, m) = 0;

d) ∀ m ∈ Q +, A(k, m) > 0;

e) A(1, 2) = 8

5.

25) Solo una, fra le seguenti espressioni, non assume mai il valore zero. Quale?

a) 5(z3 + 2z2 + z + 2); b) −3(m4 + 2m2); c) −x3 − x2 − x − 1; d) z4 + 2z2 +1.

28

Per quali valori attribuiti alle lettere, le seguenti espressioni perdono di significato?

26) 3

23 2

−−

k

hk;

33

7252

23

+−+

a

aa;

b

bb

3

154 2 −+.

27) 12

457 3

−+−

t

tt;

24

523 3

+−+−

x

xyx;

5

24

3

+−

s

ss.

28) ba

ba

++3

; kh

hkh2

24 42 +− ;

22

33 362

pm

pmpm

+−+

.

Monomi

29) Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono monomi e riducile a forma normale:

a)

−

+− 323

8

1

16

25

5

4yzzxyyx

b) ( )aba

23

12

⋅

c)

⋅ −− 232

16

1

7

4yxxy

d)

+

− 2323

2

1

9

4

2

3xbxabba

30) Sia A =

−+ −− 5243

22

2

1,0,

19

6,,,

1,

5

3,52 gkm

hmztxsole

a

ba un insieme formato da

espressioni algebriche.

Determina la rappresentazione tabulare dell’insieme P = {x ∈ A / x è un monomio}.

31) Dato l’insieme B =

−−−− −

z

yxpmkf

gbahk

3

26,,,

2

3,

4

35,

8

3 25721

2352 , determina la

rappresentazione tabulare di S = {x ∈ B / x è un monomio}. Determina, inoltre, una partizione

dell’insieme B che contenga almeno tre elementi, rappresentando per caratteristica ogni elemento

della partizione.

Riduci a forma normale i seguenti monomi:

32) ( )2

532 ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ bbaba

33) xyxxx ⋅

−⋅⋅⋅⋅−8

15

5

4

3

1; ( ) 32 23 mkmk ⋅−⋅⋅⋅⋅−

34) tptpp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 32 55

2; 25

5

22

33

16

8

3zyzz ⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅−

29

Per ciascuno dei seguenti monomi indica:

−−−− il coefficiente;

−−−− il grado relativo a ciascuna lettera;

−−−− il grado complessivo.

35) −3 x 2 y 3; 5

4x y 3 z 2 t; 3 a 5b 2 c3

36) k 4 m 3 z; 3

5− b h 6; 7

2 2ntp

37) 4 s 5 f 7; −2 b c; 3

3kt

38) −s p3; 3

5k− ; kgf 42

13

2

39) 5; t 3 z 2; 11

3 5ab−

Scrivi i monomi con le caratteristiche indicate:

40) Coefficiente: −1; grado complessivo: 3; grado rispetto ad x: 2.

41) Coefficiente: 9

5− ; grado complessivo: 4; grado rispetto a b: 1; grado rispetto a c: 3.

42) Coefficiente: −5

1; grado complessivo: 2; grado rispetto a p: 2.

43) Coefficiente: − 2; grado complessivo: 0.

44) Coefficiente: 1; grado complessivo: 6; grado rispetto ad f : 4; grado rispetto a k: 0.

45) Coefficiente: 3

7− ; grado complessivo: 4; grado rispetto ad h: 1; grado rispetto ad n: 1.

46) Sia b ∈ N e A(m, p) = 3 m 4 p2 − b; quali valori puoi assegnare a b affinchè tale espressione sia un

monomio? Quale valore puoi assegnare a b affinchè A(m, p) sia di grado complessivo 5?

47) Sia m ∈ N; quale valore puoi assegnare alla lettera m affinchè l’espressione −3x2m y sia un

monomio di grado 6 rispetto alla lettera x? Quale valore puoi assegnare alla lettera m affinchè la

stessa espressione sia un monomio di grado complessivo 5?

48) Sia h ∈ Z; per quale valore di h l’espressione 4 p2h+5 s 2 è un monomio di grado complessivo 3?

Per quale valore di h la stessa espressione è di grado 3 rispetto alla lettera p?

30

49) Siano b, c interi; quali valori puoi assegnare alle lettere b e c affinchè l’espressione m3cqb-2 sia un

monomio di grado complessivo 0 ? Per quali valori di b la stessa espressione non è un monomio?

50) Sia b un numero naturale; per quale valore di b l’espressione 7xb+3 z b è un monomio di grado

complessivo 2?

51) Una dimensione di un rettangolo è t e l’altra è i suoi 4

3; qual è l’area del rettangolo?

52) Il lato di un triangolo equilatero è 5m; qual è il suo perimetro?

53) Qual è la lunghezza di una circonferenza di raggio r ? E la superficie del cerchio delimitato da tale

circonferenza?

54) Qual è il volume del parallelepipedo di dimensioni a, b, c ?

55) Qual è la superficie laterale di un prisma retto avente per base un pentagono regolare di lato h e

altezza tripla del lato del pentagono di base?

56) Qual è la superficie laterale di un cubo di lato l ?

57) L’altezza di una piramide a base quadrata è 2a e il lato di base è la terza parte dell’altezza; qual è

il volume della piramide?

58) In un cilindro, il diametro di base misura 3r e l’altezza è il triplo del raggio. Qual è la superficie

laterale del cilindro? E il suo volume?

Fra i seguenti monomi, individua quelli simili:

59) −m3k2; 32

2

1km ; m3k2; m2k3; 23

5

8km− ; 3m4k

60) zph 32

5

2; 23

5

2zhp ; −h2 p z 3; zhp 23

7

9− ; 232 zhp ; 23 pzh

61) lago; alto; goal; gola; lato; alga

62) −4b3f k4; 2

5 43 fkb; 2f k3b4; fbk 52

13

17− ; 8k4f b3; 17k3f b4

63) Scrivi tre monomi simili al monomio 32

4

3bca .

64) Scrivi tre monomi simili al monomio −5x 2y z6.

65) Scrivi i monomi opposti dei seguenti monomi: yx2

3

2− ; 2

2

5ab ; 32

20

13cab .

31


67) Le seguenti affermazioni si riferiscono all’espressione A(a, b, c) = 3

5 24 kkcba −

− ; stabilisci se sono

vere o false:

a) ∀ k ∈ N, A(a, b, c) è un monomio V F

b) ∀ k ∈ Z −, A(a, b, c) non è un monomio V F

c) ∃ k ∈ N / A(a, b, c) è simile al monomio 3a4b3c2 V F

d) Se k = 0, A(a, b, c) è l’opposto di 24

3

5ba V F

e) Se k ∈ {0, 1, 2}, A(a, b, c) è un monomio V F

f) ∃ k ∈ Z / A(a, b, c) ha grado complessivo 0 V F

g) Se k = −3, il grado rispetto alla lettera b è 5 V F

h) Se k = 2, A(a, b, c) è uguale al monomio ca4

3

5− V F

Monomio Monomio opposto Monomio simile

k 5s 2

32bpa−

2

3 3zxy

12

5 1053 sqm−

yx2

3

2−

32

20

13cab

2

2

5ab

3

2 5mk−

83

35

27mz

32

68) Le seguenti affermazioni si riferiscono all’espressione B(m, p) = 2

1219

m

pm hh ++

; stabilisci se sono

vere o false:

a) ∀ h ∈ N, B(m, p) è un monomio V F

b) ∃ h ∈ Z −, B(m, p) non è un monomio V F

c) ∀ h ∈ Z+, B(m, p) è un monomio V F

d) ∃ h∈ N / B(m, p) è simile al monomio 5p V F

e) Se h = −1, B(m, p) è di grado 0 rispetto alla lettera m V F

f) Se h = 0, B(m, p) ha grado complessivo 0 V F

g) ∃ h∈ N / B(m, p) è simile al monomio −3m2p7 V F

h) Se h = 1, B(m, p) è l’opposto di 2

3

3−

− p V F

Operazioni con i monomi

Somma algebrica

Esegui le operazioni indicate:

69) 2222

6

5

3

4xxxx −+−− 25

2x

−

70) bbbb4

7

4

5

2

3 −

−−− [− b]

71) 22222

2

33,25,0

4

1aaaaa +−+− 231

20a

72) xyzxyzxyzxyzxyz10

1

4

52

20

3

3

2 −+−+− 41

30xyz

−

73) 2323232323

2

53

9

2

6

1

3

4yxyxyxyxyx +−+− 3 28

9x y

74) 2222222

4

1

3

73

3

2

3

4

3

2

4

5ttttttt −

−+

−−− 21

3t

75) mkmkmkmkmkmkmk 3333333

3

52

9

4

18

11

6

7

12

5 −

+

−

−−+− 325

12k m

−

76) 222 35293875 ababbaaab +−−+−+−+ [ 22 3 6 4ab a b− + + ]

77) 12v2 – 5z2 + 7v2 – 3 – 6z2 + v2 – 10v2 [10v2 – 11z2 – 3]

33

78) 222

4

35

2

1

2

1536 mmmkmmmkm +−+−+− 211 7

2 4km m

−

79) 16c2 − (9f – 5c2) +5c2 − (2f + 9c2) + 2f [17c2 – 9f]

80) ( ) 3333

6

1

2

1

6

1

3

2yxyxyxyy ++

+−+−

+−− 3 311 1 1

6 6 6y xy x

− − −

81) ( )hdhdhdhdhdhdhdhd 22222222 323

1

5

2

3

42

2

33 +−

−−

−+− 241

10d h

−

82) ( )[ ] ( )43243342 322753 ybaxybbyax +−−−+−−− [5b3 − ax2]

83) ( ) hghghhhghhghgh2

3

2

3

8

15

4

16

4

3 2222 −

−

+−−+

−−−−− 2310

8h hg

− −

84) nnn bbb +−3

13 , con n∈ N

11

3nb

85) nnnn aaaa +−− 22

2

125 , con n∈ N

86) kkkk bbbb 33

2

7

2

5

4

1

8

3 −

−+

−− , con k∈ N

Inserisci al posto dei puntini i monomi che rendono vera l’uguaglianza:

87) xyxy =+ ............4

3

88) 05............ 22 =+− xx

89) 333 36............10 aaa =+−

90) 02

1............ 44 =−+ aa

91) 333 103............ yyy −=−+

92) 2222 ............5 xxxx =++−

93) 323232

4

9............

2

1

4

3bababa =+−−

94) 555 2............210 ababab −=++

95) yxzyx 434

2

1..................2..............

2

1 =+−+−

96) 3232 26................4..............3 yymyym −=−++−

97) 342

5

4..................4.......................................

9

2bbb =−−++

98) xhhxxhhx 3333 125.................9.....................12 =+−+−

34

Esempio

Dati i monomi A = 23

3

2sk− e B = 23sk ; dopo aver sostituito ad A e B le rispettive espressioni,

semplifica l’espressione: −A + B − (A + B).

Nell’espressione assegnata, dobbiamo sostituire alla lettera A e alla lettera B i monomi indicati,

facendo molta attenzione ai segni. Si ottiene:

−A + B − (A + B) = −

+−−+

− 23232323

3

2

3

2skskmksk = (eliminiamo le parentesi) =

= ++ 2323

3

2sksk 2323

3

2sksk − = 23

3

4sk

In definitiva: −A + B − (A + B) = 23

3

4sk

Siano A = ka2

9

4− , B = ka2

3

5 e C = ka2

6

7 tre monomi. Semplifica le seguenti espressioni,

come nell’esempio precedente:

99) (A + C) − B

100) (B − C) + (−A − B)

101) − A − (B − C) + B

102) − B − (− A + C) + A − (− C)

Moltiplicazione


2

3

4ab nab ba27− 23

5

6ba

ba23−

2

3

1xy

ban

3

4−

23a−

....

35

Esegui le seguenti moltiplicazioni fra monomi:

104) ( )yxy 223 +⋅− ;

−⋅ 232

10

3

4

5tzt

105)

−⋅− 52

4

1

20

7baab ;

−⋅ 22

2

14 xyx

106)

−⋅ xcab5

31,0 23 ;

⋅ hfh 32

8

93,1

107) ( ) ( )5322 27 ghhgh −⋅−⋅

108)

⋅

−⋅

⋅

− 22

7

2

3

5

8

3

5

4mmttmt

109) ( )

−⋅−⋅− 223

5

12

8

5xxyxy

110) ( )

−⋅−⋅− 3

3

52 ddd

111)

+⋅

−⋅ xxyy14

1

4

37,0 23

112)

−⋅

−⋅

−⋅ abxababxxa2

3

2

7

4

3

7

8 322

113) 5xm ⋅ (− 2x3), con m ∈ N

114) 332

5

14

6

5

7

3fcfcc nnn ⋅

−⋅ , con n ∈ N

115) − 4k 3a t 2 ⋅

− at8

3 ⋅ 2k 2a ⋅ at 2

2

5, con a ∈ N

Inserisci al posto dei puntini il monomio che rende vera l’uguaglianza:

116) 3m3 ⋅ ……….. = − 6m5

117) sk 2

3

2− ⋅ ……… = 4k3s

118) ⋅− mtz3

2 ………… = ztm 33

119) .................25

17 54 ⋅ba = 55

17

5ba−

120)

−⋅⋅ 32

14

25............

5

2ssp = 336

7

10tps

121)

−⋅⋅ hggd 24

4

3............

3

2 = 337

2

1ghd−

36

122)

−⋅⋅ 28452

9

21.............

7

5vzhzh = 3106 vzh

123) .............21 ⋅+ yxk = 2123 ++ kk yx , con k ∈ N

124) 3122 2................3 mpm hh ⋅⋅−+ = hh pm 2733 +− , con h ∈ N0

125) 2a2p-2 ⋅ 4bp+1 ⋅ …………… = a3pb2p, con p ∈ N0


126) ( ) ( )222 3523 xxxxyxy +−⋅+− 3[ 7 ]x y−

127)

+−⋅

−+ bxbxbxxaxaxa2

1

10

9

5

1

3

2

12

1

4

5 222 2 22

15a bx

−

128) ghmmhgmhgmhgghm 2222

8

3

2

5

6

3

3

2

7

6

6

5

4

7 +

−+

+− 2 211

12m h g

−

129) ( )cfcfcc 2,01,05

2

5

3 +⋅

− 23

50c f

130) ( )2222

3

1

3

2xyxyyxyx −−⋅

+ 3 3[ 2 ]x y−

131) 322332

4

1

2

5

6

3

3

4

7

6

3

5

4

7tsqqtqtsqtttsq −

−+

+− 2 313

3sq t

−

132) 3 2 2 3 22 1 5 7 3 32

5 4 6 5 2 4f k f f kf f f f k f kf

+ − − + + −

4 313 12

30 5f k f k

−

133) ( )

+⋅−⋅

− 2233

7

6

7

41,02

2

14 kkkkkgkg 4 319

2k g

134)

+⋅

−+⋅

+ 222

2

1

2

3

5

1

5

1ccccbbb 3 36 8

5 5b c

+

135) 2 23 5 2 3 1 4 54

4 2 3 16 2 5 6x xy xy x xy y x y y y x y − + − − + ⋅ − ⋅

2 2 2 27 1 13

4 2 30x y xy x y

+ −

136) ( ) ( ) ( )

−+−−+− mhhmhmhmmmmm4

554 3323233 4 4 441

24

m m h − −

137) 2 3 2 2 2 2 2 4 35 8 1 1 22,5 4

4 15 2 3 3k t k t t k k t t k t

− − − − − +

2 319

6k t

138)

+−

+

−+⋅

− 223333

4

7

8

5

3

2

3

1

9

7

4

153

4

3hhhqhhqqqhh 38

3h q

−

139)

−

−

+−+

−− abbabaabaaaba5

3

12

52

2

1

8

3

6

5

3

4

2

15 2222222 4 2 3 45 1

16 2a b a b

− +

37

140) 3 2 2 2 2 2 28 10 5 9 5 1 2 3 1

5 3 8 16 3 6 3 2 4x x y y y xy x y x y x y x x

− − + − + − − +

2 2 39 3 5

5 10 9x y x y x y

+ − −

5 247

24x y

−

141)

−−−

⋅

−+

−+− 33332222

6

7

9

5

3

113

2

5

4

94

3

23

2

1

3

4

8

5dddcdcdcdddccddc 3 3235

144c d

−

142) ( )2222222343 3236

11

2

3

3

13

2

9

3

10

5

4mmpmpmpmpmmmpmppm −

⋅

+−−⋅

−− 5 4[ 7 ]m p−

Siano A = ba3

5

2− , B = ba2

2

3, C = 35

8

5ba e D = − 574 ba quattro monomi. Semplifica le

seguenti espressioni:

143) AB − 2C

144) 2AB + 3C

145) 3

2AB − BC + 5D

146) 2BD +8AC

Potenze di monomi

Calcola le seguenti potenze di monomi:

147) ( )227x− ; ( )2y− ; ( )23a−

148) ( )322 hm− ; 0

2

5

6

fg ;

323

6

1

− xab

149) ( )32ch− ; 4

2

2

1

− xy ; 2

23

4

3

cab

150) 2

23

4

3

− zmt ; 3

32

2

1

kng ;

332

2

1

− bca

151) 2

23

4

3

− vst ; 3

32

2

1

−− dhc ; ( )[ ] 3233

−−− x

152) ( )642mh− ; ( )[ ] 452 yx−− ;

343

7

5

− yx

153) ( )[ ] 3222 qm− ;

04223

5

1

−− gh

154) ( )[ ] 13323 yx− ; ( )[ ] 15075a

38

Esempio

Calcoliamo le potenze dei seguenti monomi:

a) ( )32nn yx , n ∈ N ; b) ( )nph 323− , n ∈ N

a) Applicando le proprietà delle potenze, otteniamo:

( )32nn yx = ( ) ( )323 nn yx ⋅ = nn yx 63

b) Applicando le proprietà delle potenze, otteniamo:

( )nph 323− = ( ) ( ) ( )nnn ph 323 ⋅⋅−

Per stabilire il segno di ( )n3− dobbiamo distinguere due casi: n pari o n dispari.

� n pari: ( )n3− = n3+

� n dispari: ( )n3− = n3−

Si ottengono, quindi, i seguenti risultati:

� n pari: ( )nph 323− = ( ) ( ) ( )nnn ph 323 ⋅⋅− = nnn ph 323

� n dispari: ( )nph 323− = ( ) ( ) ( )nnn ph 323 ⋅⋅− = nnn ph 323−

Calcola le potenze dei seguenti monomi:

155) ( )4223 yx m− , con m ∈ N ; ( )na32− , con n ∈ N

156) 3

2

2

1

pmsh , con m, p ∈ N ; ( ) nmcb223 , con m, n ∈ N

157) ( ) hp yx232− , con p, h ∈ N ; ( ) pkba

3324− , con k, p ∈ N

Esempio

Completiamo le seguenti uguaglianze:

a) ( ………….)3 = −−−− 8 x 6 z 3 ; b) ( ………….)2= 289 pm

a) Determiniamo il coefficiente della base della potenza.

Osserviamo che l’esponente della potenza è dispari ed il monomio ottenuto ha coefficiente

negativo; deduciamo, allora, che il coefficiente della base della potenza è preceduto dal segno

“−”; inoltre, 8 = 23. La base della potenza ha come coefficiente −2.

Determiniamo, adesso, la parte letterale.

Poiché per determinare l’esponente della parte letterale di una potenza si moltiplicano fra loro

gli esponenti, per calcolare gli esponenti della parte letterale della base della potenza è

necessario eseguire l’operazione inversa; dobbiamo, quindi, dividere per 3 gli esponenti 6 e 3.

Si ottiene: (−−−−2 x 2 z)3 = −−−− 8 x 6 z 3

39

b) Determiniamo il coefficiente della base della potenza.

Osserviamo che l’esponente della potenza è pari; il coefficiente della base, allora, può essere

preceduto dal segno “+” o dal segno “−”; inoltre 9 = 32. Il coefficiente della base della potenza,

allora, è +3 oppure −3.

Per determinare l’esponente della parte letterale, si procede come al punto a); dividiamo, quindi,

per 2 gli esponenti 8 e 2.

Si ottiene: ( )243 pm = 289 pm oppure ( )243 pm− = 289 pm

Completa le seguenti uguaglianze:

158) 3123 27........)(......... sm−=

159) 8122 25........)(......... ba=

160) 9153

125

64........)(......... ba−=

161) ( )4................. = 12

16

1x

162) ( )5................. = 1510 fk

163) ( )2................. = 4106

64

9gdc

164) 1055

243

32........)(......... ba−=

165) ( ) mn yx 642 09,0.................. ⋅=

Sostituisci al posto dei puntini i termini mancanti in modo da rendere vere le uguaglianze:

166) ( ) 63......2 273 yxxy =

167) .........

2

4

3

bm = 1

168) ( ) 693............ 8...... baba −=

169) ( ) 64............2 25...... tptp =

170) ( ) 63............ 64...... yxxy −=

171) 412......

..... ........4

1xcxc =

172) 126......

............

27

1

3

1fkfk −=

−

40

173) 2.....10.....

.....3..... .....25

9.....

.....

3tmpm =

174) ( ) nnff 4.... ......5 =

175) ( )...............3........... ba n = mnba 6425

176) ( ) khh yxyx 155............ .......2 =

177) nnn

tztz 416.....

.....8

....

....

5

2

=

Esempio

Semplifichiamo la seguente espressione:

( )

−+

+⋅

⋅

−

⋅− kkkmmmkmkmm32

41

223

32

43

21

24 3222

3

Sommiamo i termini simili racchiusi nelle parentesi tonde; si ha:

( )

−+

⋅

⋅

−

⋅ kkmmkmkm12

52

2

5

3

2

4

3

2

12 3

2223 =

Eseguiamo, prima di tutto le potenze

=

⋅=

⋅

2222

2

1

3

2

4

3

3

2

4

3mkkmkmcheosserva ; si

ottiene:

−+

⋅−⋅ kkmmkmkm12

52

2

5

4

1

4

18 32223 =

Procediamo, adesso, eseguendo le moltiplicazioni:

232323

6

5

8

52 kmkmkm −− = (i termini sono simili) = 23

2413

km

In definitiva:

( ) 233222

3

2413

32

41

223

32

43

21

24 kmkkkmmmkmkmm =

−+

+⋅

⋅

−

⋅−


178) ( ) ( ) 224

232

5722324 22

1

2

1bababaabba ⋅

−+

−−⋅ 14 107

8a b

179) ( )3

332

3

2

4

152

5

3 2

−−

⋅+

− xxxx 9235

27x

−

180) ( )

⋅−− 532

6

5

5

3ababab 3 6 2 61

2a b a b

− −

41

181) ( ) ( ) ( )2222 25 aaaaa −⋅−−⋅− [−18a4]

182) ( )[ ] ( )[ ]

−−3

20

222

3

2

1252 gfgf [ 6 68 f g ]

183) ( )0

222

2

22

12

23

3

4

3

2

2

1

−

−−

+− kmkkmkmk [1]

184) ( ) ( )[ ] 22 5454 aaaa +⋅− [ 681a ]

185) ( )2

23

222

2

1

3

12

−⋅−−

−⋅ xyxyxx 10 4 8 44 1

81 4x y x y

−

186) ( ) ( ) ( ) 26223232

23 25

4

4

154

25

1babababa +⋅−⋅+

⋅⋅⋅ [0]

187) ( ) ( ) ( )03

3 2 22 2 21 12 2 7 5 2

3 3p t t pt pt pt t t

+ − ⋅ − 2 349

3p t

188) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−−−−⋅−+−2

2243232

5

3483752334 yzzyyyyyzyzzyzy

8 12 3 271

5y z y z −

189) ( ) ( )433242

3 22

1

2

12

4

5

5

2

4

5gfgggfgf −−

−⋅+⋅

6 4 3 458

2f g f g

−

190) ( ) ( )

−⋅

−−

−− 333320

3232222

3

2

2

1

5

2

3

4

2

3

5

3ckckkcckkcckkk 7 541

30k c

−

191) xxyyyxx 22

32

2

3

4

5

3

2 22

22

−−

+

− 2 2199

48x y

−

192) ( )3 3 3 2032 21 8 1 1 1

25 5 2 3 2

a b ab ab ab b ab ab − − − − + +

3 6 2 22 25

125 36a b a b

+

193) ( ) ( ) ( ) hhh yyy 3332 55

2 −− , con h ∈ N

194) ( ) ( ) ( )[ ] aaaaaa mmmmmmm 2323

3

1

3

22

2

1 −

−+−+− , con a ∈ N

195) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnknk cbbcb 223222 −−+−− , con k, n ∈ N

196) ( ) ( ) ( )2

5223

3

2

4

32

2

1

−−+−−

aaaaa mmm , con m ∈ N

42

Divisione


Esempio

Eseguiamo la seguente divisione: 223

815

:49

stts .

Osserviamo, prima di tutto, che gli esponenti di ciascuna lettera del dividendo sono maggiori o

uguali agli esponenti della stessa lettera nel divisore; quindi, il quoziente è un monomio.

Il coefficiente del quoziente si ottiene dividendo fra loro il coefficiente del dividendo ed il

coefficiente del divisore

8

15:

4

9 e, poiché sono concordi, il segno del coefficiente è “+”; la parte

letterale è formata dalle lettere del dividendo aventi per esponente la differenza fra gli esponenti del

dividendo e quelli del divisore; si ha, dunque:

223

815

:49

stts = 2213

8

15:

4

9 −−

ts = 02

15

8

4

9ts

⋅ = 2222s56

ATTENZIONE

Consideriamo la divisione dell’esempio precedente: 223

815

:49

stts

Osserviamo che è un grave errore scriverla nel seguente modo:

223

8

15

4

9stts : = 223

15

8

4

9stts ⋅

dove abbiamo “invertito” il coefficiente del divisore e non la parte letterale.

2

3

4xy yx2

4

3− xy3

2 3

3

5x−

2312 yx−

24

5

4yx

3 33

4x y−

25

4

1yx

:

43

Esegui, se possibile, le seguenti divisioni:

198) ( )2234 2:18 baba −− ; ( )23 :4 cxcx−

199) bba 3:7 2 ; 423 2:15 xyyx

200)

− 2243

5

4:

5

3gkgmk ;

−− yxyax 323

2

3:12

201)

73823

2

3:9 tzszts ;

−

− kff 24

9

4:

3

16

202) ( )4252 7:7

2ghgh − ;

− kvpvkp 637

2

5:5

203)

− 22

3

2:

3

1cc ;

485

4

15:6 mffm

204) ( )tstzs 53 5:4

5 −

− ;

−

4

3

8:

13

8 454 yxyx

205) ( )32

32 14:9

7stzst −

−

206) ( )hmhmn 332 8:24 + , con n ∈ N ∧ n ≥ 1

207)

− + jkjk aba

4

15:

5

2 25 , con a ∈ N, b ∈ N0

208) ( ) ( )22522 4:2 kgkg hh ++ −− , con h ∈ N

209) ( ) ( )mfmf kkk 312 2:5 −− − , con k ∈ N ∧ k ≥ 3

210) ( ) ( )nn hh 2:14 2 −− , con n ∈ N

211)

−12

3

7

6:

4

3 nn pttp , con n ∈ N ∧ n ≥ 1

212)

− + kkk smsm 21

3

2:

3

5, con k ∈ N ∧ a ≥ 2

213) A quale insieme deve appartenere k affinchè il quoziente della divisione ( ) ( )31 2:24 xxk −− + sia

un monomio?

a) N b) N0 c) N − {2} d) A = {b∈ N / b ≥ 2} e) B = {h∈ N / h > 2}

214) A quale insieme deve appartenere a affinchè il quoziente della divisione ( ) ( )422 3:12 yy a+ sia un

monomio?

a) B = {x∈ N / x > 2}; b) A = {x∈ N / x ≥ 2}; c) F = {x∈ N / x ≥ 1};

d) N − {1}; e) N − {2}.

44

215) A quale insieme deve appartenere k affinchè il quoziente della divisione ( ) ( )242 3:35 +− kk tt non

sia un monomio?

a) N− {4}; b) N − {2}; c) A = {x∈ N / x ≤ 2}; d) A = {x∈ N / x ≥ 2};

e) per qualsiasi valore di k il quoziente della divisione è un monomio.

Inserisci, se possibile, al posti dei puntini i monomi opportuni in modo che le seguenti uguaglianze

risultino vere:

216) ( ) ( )....................:18 53 cba− = 36ab

217) ( ) ( )tp23:............... = 224 hpt

218) ( ).................:2

1 43

yx = 34 yx

219) ( ) ( )..................:6 53kz =

43

3

1kz

220) ( )

73

7

4:............... sm = 527 sm

221) ( )

32

3

2:............... fc = 42g

222) ( )....................:11

4 48

hgk =

4

7

223) ( ) ( )345:................. hf = 43

5

1kh

224) ( )

− 45

9

4:................ xc = 6

3

4c

225) ( )...............:13

9 47 fgd = 38

2

1xd−

226) ( )

− 2

5

2:............... z = 3

8

3k−

227) ( )

5

9

23:.............. h =

4

23


228)

−

−−+− yxyxyxyxyxyx 3324242424

5

132:

5

1

4

5

2

5

20

13

2

3xy

229)

−

+− 2232323

3

5:

6

5

2

1

3

7abababa 28

5ab

−

230) ( ) 15632

32 : baba

−−

45

231) ( ) ( ) 324

23

32 : zxyzx

6 12[ ]y z

232)

−⋅

− mmmkmkmk15

4:

10

9

5

3

3

1:

6

5

3

2 22

2

22 3 29

32m k

−

233) 2

225252333

4

3:

6

1

3

4

36

7:

6

5

3

4

9

5

−

+−

−

+− tststsssss 62

21s

−

234) ( )3

22 2 2 2 3 31 2 3 72 : : 3

2 5 2 6b b c c b b c

− + ⋅ − − −

31

15b

−

235)

+−

−

−+3

330

552

2255

2

1:

8

1

4

3:

2

1:

4

3abbabababa [impossibile]

236) 3 2

2 2 3 32 2 2 62:

3 3 9 27ab a b ab a b

− + − − +

[0]

237) 2

22

2

23422

3

15

18:

11

6

20

33:

5

3

2

1

−

−

−

−⋅

− xhmxhmxmhmxmh 21

4m

238) ( ) ( )

−

−⋅−+

−

− 22252

3

2:2

4

9:

2

3pspssssp [2ps]

239) ( ) ( ) ( )2 2

23 22 2 2 2 21 33 : 3 :

2 2xy xy x y x y x y x y y

+ ⋅ − + − ⋅ − + − 4 21

3x y

−

240) 246

2323

223

4323

623

4

9

2

3

2

3:

2

3:

2

3cbacbacbacbacba −

+⋅

−

+

− [0]

241) ( ) ( )2

2

4

34454422223

9

2:

5

2:

30

4

3

1:

9

2

−

−−−+−−+ txzxtzxtxtztzxt [2t 2]

242) 2222

222222 332

2

6

1

16

7:

24

1

6

5

8

3gkkgkgkggkgkgk −

−−

+− [k 2g 2]

243) ( )46

2

422

233

2

5

2

3:

2

3:

4

9xyxxyyxyx −+

−

−

+ 2 41

4x y

−

244) ( )

−−+

−−−−

−+− aaaabbabababababa6

5

2

1

4

33:

3

2

6

5

8

3

6

5

4

3

3

2 222222 5

24a

−

245) 2

23

265332

5

1

5

32

10

1

2

1

2

1:

2

3:5

+

−⋅+

+

−−− yyybabyybayb 33

10y

−

246) ( ) ( )2226322

22 4:4

9

27

1

4

1

6

5

2

1:

3

13bmbmbmbbmbmbmmb −

−⋅−

−+

2 21

12b m

46

MCD e mcm fra monomi

247) Scrivi tutti i divisori del monomio 25ab .

248) Scrivi tre divisori del monomio bk 23 .

249) Le seguenti affermazioni si riferiscono al monomio bk 23 . Stabilisci se esse sono vere o false:

a) bk 23 non ha divisori di grado complessivo 0. V F

b) I divisori di bk 23 di grado complessivo 2 sono, al massimo, 2. V F

c) Esistono divisori di bk 23 di grado complessivo 3. V F

d) Esistono almeno tre divisori di bk 23 di grado complessivo 1. V F

e) Esiste un solo divisore di bk 23 che ha grado complessivo 3. V F

f) Esiste un solo divisore di bk 23 di grado 1 rispetto alla lettera k. V F

g) Esistono almeno quattro divisori di bk 23 di grado 1 rispetto alla lettera b. V F

250) Sia A = 42

7

15qm− . Solo uno dei seguenti monomi non è un divisore di A; quale?

a) 315mq ; b) 5; c) 45

3

2qm ; d) 2

7

3m− ; e) 45q

251) Scrivi tre divisori comuni ai monomi 326 xa− e zxa 524 .

252) Dati i monomi A = ts3

9

2 e B = 324 ts− ; solo uno dei seguenti monomi è un divisore comune

ad A e B; quale?

a) ts4

9

4− ; b) 32

3

1ts ; c) ts33 ; d) 324 ts− ; e) 2

2

3s

253) Completa la seguente tabella e calcola il MCD delle seguenti coppie di monomi:

23xy zxy215−

cab2

3

1 25xz−

yx27

xyz4−

239 cb

5330 zx

MCD

47

Determina il MCD fra i seguenti gruppi di monomi:

254) ;2 23 cba bca38−

255) ;12 54 fc− hfc310

256) yxt 2536− ; 5324 yt ; 3218 ytx

257) 2316 sm ; 2

5

4m ; 22ms

258) ;5

3 32 yx 4

4

5xy ; 32

3

2yx

259) 233 kg− ; 2

3

2h ; 45m

260) 43

8

5tp− ; ft 25− ; 32

3

5qf

261) Completa la seguente tabella e calcola il mcm delle seguenti coppie di monomi:

Calcola il mcm tra i seguenti gruppi di monomi:

262) 7415 tp− ; 29p

263) yx4

4

3− ; 5234 zyx

264) ks212 ; 358 hs− ; kh23

265) 32

2

1gfk− ; 22

3

2gkf ; 22

5

3gk

23xy zxy215−

cab2

3

1 25xz−

yx27

xyz4−

239 cb

5330 zx

mcm

48

266) zqm 22 ; 23zm− ; 4mq

267) 2

4

1ax ; ba2

2

3; 22

5

3ba

268) 23

7

2kf− ; 47p− ; 4

3

4g−

Calcola il MCD ed il mcm dei seguenti gruppi di monomi:

269) 234 ba ; 248 cb− ; 3210 dc

270) ;3 23 zyx 346 yx ; 5330 zx

271) zpm 222 ; 346 zm ; 254 pm

272) 52

5

3zk ; zh4

2

5; 7

3

2z−

273) 47

5

8ps ; 322 kp− ; 54kp

Problemi

274) Un lato di un triangolo misura 8k e l’altezza ad esso relativa è i suoi 4

3. Qual è l’area del

triangolo? Determina l’area del triangolo nel caso in cui k = 5 m. [24k2; 600 m2]

275) Una dimensione di un rettangolo misura 12h e l’altra è i suoi 6

5. Determina il perimetro e l’area

del rettangolo. Qual è l’area del rettangolo se h = 8 cm? [44h; 120h2; 7680 cm2]

276) La misura della superficie di un quadrato è 36b2; al suo lato viene aggiunto un segmento uguale

ai suoi 3

2. Di quanto è aumentata la superficie del quadrato? Qual è la misura della superficie

del nuovo quadrato? Quanto misura il perimetro di ciascuno dei due quadrati?

[64b2; 100b2; 24b; 40b]

277) Il lato di un rettangolo misura a e il suo perimetro è a3

14. Qual è l’area del rettangolo che si

ottiene triplicando il lato maggiore e dimezzando il lato minore? [2a2 ]

278) La base di un triangolo isoscele è 12k e il lato obliquo è i suoi 3

2. Qual è il perimetro del

triangolo che si ottiene diminuendo la base di un segmento pari ad 4

1 del lato obliquo ed

aumentando il lato obliquo di un segmento pari ad 3

1della base? Per quale valore di k il

perimetro di quest’ultimo triangolo è 204 cm? [34k; k = 6 cm]

49

279) Francesco deve plastificare un dado il cui spigolo misura 8q. E’ sufficiente un foglio

rettangolare di dimensioni 32q e 12q? Motiva la tua risposta.

280) Antonio e Bruno si danno appuntamento al centro commerciale che dista da casa di Antonio

144a. Dopo aver percorso 3

1del tragitto, Antonio incontra Lucia e si ferma per salutarla; dopo

aver percorso 4

1 del tratto rimanente si ferma ancora per salutare Giorgio, un suo vecchio

compagno di scuola. Bruno, non vedendolo arrivare, lo chiama sul cellulare: “Antonio, dove

sei? Quanta strada devi fare ancora? ”. Antonio risponde: “Sto arrivando, devo fare ancora

…..”. Cade la linea. Come avrebbe completato la frase Antonio? Scrivi e semplifica

l’espressione che risolve il problema. [72a]

281) Marta ha k libri di autori francesi, inglesi, italiani, statunitensi. Marta ha pensato, allora, di

sistemarli in modo che su ogni ripiano della libreria ci siano libri di autori della stessa

nazionalità. Mentre sistemava i libri si è accorta che 3

1 di questi sono stati scritti da autori

italiani; dei rimanenti, 6

1 sono di autori di origine inglese e i

5

2 sono di autori statunitensi.

Quanti sono i libri di scrittori di origine francese? 13

45k

Quale, fra i seguenti valori, puoi attribuire a k, affinchè il problema abbia soluzione?

a) k = 145 b) k = 260 c) k = 125 d) k = 130 e) k = 135

282) Una piazza della città di Manigoldia ha la forma di un rettangolo in cui una dimensione è 15b è

l’altra è i suoi 5

3. In onore di Lamus, grande eroe di Manigoldia, al centro della piazza è stato

costruito un edificio avente per base un triangolo equilatero equivalente ai 9

2del rettangolo.

Quanto misura la superficie della piazza esterna all’edificio? [105b2]

283) Osserva la seguente figura:

Qual è l’area della parte non colorata ?

[18a2]

Qual è l’area della parte colorata?

[12a2]

3a

3a

2a

2a

a

50

CAPITOLO 6

I polinomi

6.1 Definizioni

Nella figura a lato è rappresentata la piantina del cortile di un

condominio.

Scrivi un’espressione che indichi il perimetro del cortile:

….…………………………………………………………………... .

Scrivi un’espressione che indichi l’area del cortile:

……………………………………………………………………… .

Entrambe le espressioni precedenti indicano la somma di più monomi non tutti simili tra di loro;

tali espressioni prendono il nome di polinomi.

Si ha, allora, la seguente definizione:

Si chiama polinomio la somma algebrica di più monomi.

I monomi che formano il polinomio si chiamano termini del polinomio.

Osserva i termini che formano i seguenti polinomi e completa:

A = 2 b 2 c + 3 a 3 − 5 b 2 c e B = 4 x 5 − 2 x 3 y + 7 x y + 5.

Il polinomio A contiene ….... monomi ………..…..; invece il polinomio B ..….. contiene monomi

………………. . Il polinomio B si dice ridotto a forma normale.

In generale:

un polinomio si dice ridotto a forma normale se è la somma algebrica di monomi non simili fra

di loro.

Inoltre, un polinomio, ridotto a forma normale, si chiama:

• binomio se è la somma algebrica di due monomi;

• trinomio se è la somma algebrica di tre monomi;

• quadrinomio se è la somma algebrica di quattro monomi.

PROVA TU

Stabilisci se i seguenti polinomi sono ridotti a forma normale e, qualora non lo siano, riducili a

forma normale:

a) 5 a 3 b 4 + 9 a b 4 – 6 a 3 b 4 + 3 a 3 b 2;

b) tppssp 2452

8

3

7

2

3

1 +− ;

c) hfhf 254 22 −+− .

51

ATTENZIONE

Osserva i seguenti “polinomi”:

A = 2 f 2 + 5 f 2 – 3 f 2 ; B = −−−− 4 p 3 + 0 x 2 + 0 y ;

C = aa 0052 3 ++− ; D = 0 b 4 + 0 c 3 f 2 + 0 b 3.

Il polinomio A è la somma di monomi simili, quindi A = 4 f 2; il polinomio B è la somma fra un

monomio e altri monomi tutti nulli, quindi B = − 4 p 3; il polinomio C è la somma fra un numero

razionale e monomi nulli, quindi C = 5

2− ; infine, il polinomio D è la somma di monomi nulli,

quindi D = 0.

In tutti questi casi, in realtà, i “polinomi” sono dei monomi.

Da questi esempi possiamo dedurre che:

i monomi sono dei particolari polinomi e, poiché, i numeri razionali sono dei monomi, anche i

numeri razionali sono particolari polinomi.

Il polinomio formato da monomi nulli è chiamato polinomio nullo.

In modo analogo a quanto fatto per i monomi, anche per i polinomi si definiscono il grado

complessivo ed il grado relativo (ovviamente i polinomi devono essere ridotti a forma normale).

• Si chiama grado complessivo di un polinomio il maggiore fra i gradi complessivi dei suoi

termini .

• Si chiama grado relativo (o grado rispetto) ad una lettera l’ esponente maggiore con cui quella

lettera compare nel polinomio.

• Il termine del polinomio di grado (complessivo) zero è chiamato termine noto.

• Se i termini del polinomio hanno lo stesso grado complessivo, il polinomio si dice omogeneo.

Esempi

a) Sia A = 32

43

ba− + 5 a4 b3 + 6 .

♦ L’esponente maggiore della lettera “a” è 4, quindi il grado relativo ad “a” è 4;

♦ l’esponente maggiore della lettera “b” è 3, quindi il grado rispetto a “b” è 3;

♦ il monomio 32

43

ba− ha grado complessivo 5; il monomio 5 a4 b3 ha grado complessivo 7;

il monomio 6 (termine noto del polinomio) ha grado complessivo 0;

il maggiore fra i gradi complessivi è 7; allora, il grado complessivo del polinomio A è 7.

52

b) Sia C = 323 526 ppmm +− .

Tutti i termini del polinomio hanno grado complessivo 3; il polinomio è, dunque, un

polinomio omogeneo (di terzo grado).

PROVA TU

Per ciascuno dei seguenti polinomi indica il grado complessivo ed il grado relativo a ciascuna

lettera; stabilisci, inoltre, se esso è omogeneo:

a) 232 63

14 baaba +−+ ;

b) 3223 453

17xyyxyx −+ ;

c) 23423

9

42

3

5pmmhmh −+− .

Osserva, adesso, i polinomi:

P(x, y) = 3 x 3 y – 6 y + 8 x y – 5 x 2 , Q(m, t) = 9521 23 −− mtm ,

S(a) = 5a – 2a 3 – 6a 5, T(k) = 2 k 4 −−−− k 3 + 2 k 2 + 8 k – 5,

B(a) = – 2a 3 – 6a 5 + 5a, F(k) = k 3 −−−− 2 k 4 −−−− 2 k 2 + 5 −−−− 8 k .

Il polinomio P(x, y) è di terzo grado rispetto alla lettera “x”; inoltre, in esso, la lettera “x” è presente

con esponenti 3 (che è il maggiore), 2, 1, 0 (il termine 6 y è di grado 0 rispetto ad x).

Nel polinomio P(x, y) sono presenti, quindi, tutti gli esponenti di x, dal maggiore (3) fino

all’esponente 0.

Si dice, allora, che P(x, y) è completo rispetto alla lettera x.

Nel polinomio Q(m, t), il primo termine

tm3

2

1 è di terzo grado rispetto a m, il secondo termine

( 25m− ) è di secondo grado rispetto a m, l’ultimo termine (− 9) è di grado 0 rispetto a m, cioè i

termini del polinomio sono scritti in ordine decrescente rispetto al grado relativo a m; si dice

che il polinomio Q(m, t) è ordinato secondo le potenze decrescenti di m.

Il polinomio S(a), invece, è ordinato secondo le potenze crescenti di a; infatti il primo termine

(5 a) è di primo grado rispetto ad a, il secondo termine (−2a 3) è di terzo grado rispetto ad a,

l’ultimo termine (– 6a 5) è di quinto grado rispetto ad a.

53

Infine, il polinomio T(k) è completo rispetto alla lettera k e ordinato secondo le potenze

decrescenti della lettera k.

Osserva, adesso, con attenzione i polinomi S(a) e B(a) e completa:

i termini di S(a) sono tutti ….………… a quelli di …….. ;

osserva i polinomi T(k) e F(k) e completa:

ciascuno dei termini di T(k) è …….………… ai termini di …….. .

I polinomi S(a) e B(a) si dicono uguali e si scrive S(a) = B(a); i polinomi T(k) e F(k) si dicono

opposti.

In generale:

• un polinomio P è completo rispetto ad una lettera se in esso sono presenti tutte le potenze di

quella lettera, dalla maggiore fino a quella con esponente 0;

• un polinomio P è ordinato secondo le potenze decrescenti di una lettera se i suoi termini sono

scritti in ordine decrescente rispetto al grado relativo a quella lettera;

• un polinomio P è ordinato secondo le potenze crescenti di una lettera se i suoi termini sono

scritti in ordine crescente rispetto al grado relativo a quella lettera;

• due polinomi sono uguali se, a parte l’ordine, contengono gli stessi monomi;

• si chiama opposto di un polinomio, il polinomio che si ottiene cambiando di segno a ciascuno

dei termini del polinomio dato. L’opposto di un polinomio A si indica con −−−−A.

Completa

Se un polinomio non è ordinato rispetto ad una lettera, lo si può riscrivere in modo che sia ordinato

rispetto a quella lettera applicando la proprietà ………………..………………………… della

………………………………………. fra monomi.

Se un polinomio non è completo rispetto ad una lettera, lo si può rendere completo rispetto a quella

lettera aggiungendo un monomio che abbia per coefficiente ……... e come parte letterale ……

…………......... con l’esponente …………………… .

PROVA TU

a) Ordina il seguente polinomio secondo le potenze crescenti di x e stabilisci se esso è completo

rispetto alla lettera y:

43

5

3

4 3432 +−− yxxyyx .

54

b) Ordina il seguente polinomio secondo le potenze decrescenti di y e stabilisci se esso è completo

rispetto alla lettera x:

223447556 343 yxxyyxyxyx +−+− .

c) Riscrivi il seguente polinomio in modo che sia completo rispetto alla lettera h :

938

5

5

3 24 +−+− hhh .

d) Completa i polinomi A(x) e B(x) in modo tale che essi siano uguali:

A(x) = ….. x 4 − 3

2….. + 5 x − ……

B(x) = 5 ….. − 4 + 3 x 4 − ….. x 2.

e) Scrivi il polinomio opposto del polinomio A(x) dell’esercizio precedente.

Anche i polinomi sono delle espressioni algebriche, quindi il loro valore dipende da quelli che

vengono attribuiti alle variabili.

Ad esempio: consideriamo il polinomio B(m) = 2m3 − 3m + 2 e determiniamo il valore che esso

assume quando alla variabile m si assegnano i valori 2, 3, −2, 0.

Se m = 2 ⇒ B(2) = 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 3 − 3 ⋅⋅⋅⋅ 2 + 2 = 2 ⋅⋅⋅⋅ 8 − 6 + 2 = 16 − 6 + 2 = 12;

se m = 3 ⇒ B(3) = 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 3 − 3 ⋅⋅⋅⋅ 3 + 2 = 2 ⋅⋅⋅⋅ 27 − 9 + 2 = 54 − 9 + 2 = 45;

se m = −2 ⇒ B(−2) = 2 ⋅⋅⋅⋅ (−2) 3 − 3 ⋅⋅⋅⋅ (−2) + 2 = 2 ⋅⋅⋅⋅ (−8) + 6 + 2 = −16 + 6 + 2 = −8;

se m = 0 ⇒ B(0) = 2 ⋅⋅⋅⋅ 0 3 − 3 ⋅⋅⋅⋅ 0 + 2 = 2 ⋅⋅⋅⋅ 0 − 0 + 2 = 2.

Per i polinomi vale il seguente Principio d’identità :

Due polinomi nelle stesse variabili sono identici se assumono gli stessi valori qualunque siano i

valori attribuiti alle variabili .

6.2 Operazioni con i polinomi

Addizione e sottrazione

Si chiama somma di due polinomi A e B, e si indica con A + B, il polinomio che si ottiene

addizionando ai monomi di A i monomi di B.

Per esempio, dati i polinomi A(x, y) = 5 x 2 y 3 + 4 x y − 9 e B(x, y) = 3 x y 2 − 2 x y − 4 x 2 y 3 +3,

determiniamo la loro somma.

55

A(x, y) + B(x, y) = 5 x 2 y 3 + 4 x y − 9 + 3 x y 2 − 2 x y − 4 x 2 y 3 + 3 = (riducendo i termini simili)

= x 2 y 3 + 3 x y 2 + 2 x y −−−− 6.

Si chiama differenza fra due polinomi A e B, e si indica con A −−−− B, la somma fra il polinomio A e

l’ opposto del polinomio B: A −−−− B = A + (−−−− B).

Così, se A(x, y) e B(x, y) sono i polinomi dell’esempio precedente, calcoliamo la loro differenza.

A(x, y) −−−− B(x, y) = A(x, y) + [−B(x, y)] = 5 x 2 y 3 + 4 x y − 9 + (−3 x y 2 + 2 x y + 4 x 2 y 3 − 3) =

(eliminando le parentesi) = 5 x 2 y 3 + 4 x y − 9 − 3 x y 2 + 2 x y + 4 x 2 y 3 − 3 =

(riducendo i termini simili) = 9 x 2 y 3 + 6 x y −−−− 3 x y 2 −−−− 12.

Come già visto per le operazioni definite negli insiemi numerici, anche la differenza fra due

polinomi si “trasforma” in addizione e le due operazioni diventano un’unica operazione chiamata

somma algebrica.

PROVA TU

Dati i polinomi:

A(a, b) = 3 b 2 − 2 a 2 + 4 a b − 7 a + b − 5; B(a, b) = − 5 a b + 3 a 2 + 9 a + b 2 − 6;

C(a, b) = − 7 a 2 + 9 a b + 8 b 2 + 6 a b +1; D(a, b) = − 7 a 2 − 9 a + 2 b 2 + 3.

determina:

a) A(a, b) + D(a, b);

b) D(a, b) + A(a, b);

c) B(a, b) − C(a, b);

d) B(a, b) − [A(a, b) + C(a, b)] ;

e) [D(a, b) + A(a, b)] + C(a, b);

f) D(a, b) + [A(a, b) + C(a, b)].

Completa

Osservando i risultati degli esercizi a) e b), si ha che

A(a, b) + D(a, b) …… D(a, b) + A(a, b).

Generalizzando, si può affermare che per l’operazione di somma algebrica fra polinomi vale la

proprietà ……………..…………….… .

Osservando i risultati degli esercizi e) e f), si ha che:

[D(a, b) + A(a, b)] + C(a, b) ........ D(a, b) + [A(a, b) + C(a, b)].

Generalizzando, si può affermare che per l’operazione di somma algebrica fra polinomi vale la

proprietà ……………..…………….… .

∼∼∼∼ ∼∼∼∼

∼∼∼∼ ∼∼∼∼

56

Moltiplicazione di un monomio per un polinomio

Calcoliamo il seguente prodotto:

− 4 m 3 p ( 2 m 2 + p 3 − 2 m p 2).

Ricordando che le lettere sono numeri razionali, possiamo applicare la proprietà distributiva della

moltiplicazione rispetto alla somma algebrica; si ha:

−−−− 4 m 3 p ( 2 m 2 + p 3 −−−− 2 m p 2) = − 4 m 3 p ⋅⋅⋅⋅2 m 2 − 4 m 3 p ⋅⋅⋅⋅ p 3 − 4 m 3 p ⋅⋅⋅⋅ (− 2 m p 2) =

= −−−− 8 m 5 p −−−− 4 m 3 p 4 + 8 m 4 p 3.

Si ha, dunque, la seguente regola:

Il prodotto di un monomio per un polinomio (o viceversa) è un polinomio i cui termini si

ottengono moltiplicando il monomio per ciascuno dei monomi che formano il polinomio.

PROVA TU

Esegui le seguenti moltiplicazioni:

a) 3 a 3 (− 4 a + 5 a 2 – 2 );

b)

−+− 3223

2

1

3

2

4

3yxyyxyx .

Completa

Osservando l’esempio introduttivo e i risultati degli esercizi precedenti, si ha che:

• il prodotto di un monomio per un polinomio è un ………………………….. ;

• il grado complessivo del prodotto è uguale alla ……………… dei gradi ………………………

dei due fattori.

Moltiplicazione di due o più polinomi

Ci proponiamo, adesso, di calcolare il seguente prodotto:

(5a 3 – 2b 2) (4a + 6b 3 – 3)

Indichiamo il polinomio 5a 3 – 2b 2 con la lettera P (P = 5a 3 – 2b 2); la precedente moltiplicazione

diventa:

P ⋅⋅⋅⋅ (4a + 6b 3 – 3) =

(applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica)

= P ⋅⋅⋅⋅ 4a + P ⋅⋅⋅⋅ 6b 3 – P ⋅⋅⋅⋅ 3 =

(sostituendo a P il polinomio 5a 3 – 2b 2)

= (5a 3 – 2b2) ⋅⋅⋅⋅ 4 a + (5a 3 – 2b2) ⋅⋅⋅⋅ 6b 3 – (5a 3 – 2b 2) ⋅⋅⋅⋅ 3 =

57

(applicando nuovamente la proprietà distributiva)

(∗) = 5a 3 ⋅⋅⋅⋅ 4 a – 2b 2 ⋅⋅⋅⋅ 4 a + 5a 3 ⋅⋅⋅⋅ 6b 3 – 2b 2 ⋅⋅⋅⋅ 6b 3 – 5a 3 ⋅⋅⋅⋅ 3 – (–2b 2) ⋅⋅⋅⋅ 3 =

= 20 a 4 – 8 a b 2 + 30 a3 b 3 – 12 b 5 – 15 a 3 + 6 b 2.

In definitiva:

(5a 3 – 2b 2) (4a + 6b 3 – 3) = 20 a 4 – 8 a b 2 + 30 a3 b 3 – 12 b 5 – 15 a 3 + 6 b 2.

Se osserviamo la riga (∗), notiamo che essa contiene il prodotto di ciascun termine del primo

polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

Si ha, allora, la seguente regola:

Il prodotto di due polinomi è un polinomio ottenuto moltiplicando ciascun monomio del primo

polinomio per ciascun monomio del secondo polinomio. E’ opportuno, poi, ridurlo a forma

normale.

ATTENZIONE

� Prima di eseguire la moltiplicazione di due polinomi è opportuno che essi siano ridotti a forma

normale.

� Per determinare il prodotto di tre o più polinomi, si esegue il prodotto fra i primi due e, dopo

aver ridotto a forma normale il polinomio ottenuto, lo si moltiplica per il terzo polinomio e così

via.

� Se i polinomi sono più di tre, è opportuno applicare la proprietà associativa e moltiplicare i

polinomi dati a due a due; dopo aver ridotto a forma normale, se necessario, i polinomi così

ottenuti, li si moltiplica fra di loro.

� Nel caso della moltiplicazione fra un monomio e due o più polinomi, è opportuno, prima,

determinare il prodotto dei polinomi e, successivamente, moltiplicare il monomio per il

polinomio così ottenuto.

Esempi

a) Calcoliamo il seguente prodotto:

(3b2 + ab + a2) (2b +3a) (4a3 – 2).

Applicando la proprietà associativa, calcoliamo il prodotto fra i primi due polinomi:

[(3b2 + ab +a2) (2b +3a)] (4a3 – 2) = (6b3 + 9ab2 + 2ab2 + 3a2b + 2a2b + 3 a3) (4a3 – 2) =

(sommiamo i termini simili del polinomio racchiuso nelle prime parentesi tonde):

= (6b3 + 11ab2 + 5a2b + 3 a3) (4a3 – 2) =

= 24a3b3 – 12 b3 + 44 a4b2 – 22ab 2 + 20 a5b – 10a 2b + 12 a 6 – 6 a3

58

nell’ultimo polinomio ottenuto non sono presenti monomi simili, quindi:

(3b2 + ab + a2)(2b +3a)(4a3 – 2) =

= 24a3b3 – 12 b3 + 44 a4b2 – 22a 2 + 20 a 5b – 10a 2b + 12 a6 – 6 a3.

b) Calcoliamo il seguente prodotto:

(2x2 −−−− 1)(3y + 2) (y3 + x)(2y −−−− 1).

Applichiamo la proprietà associativa come di seguito indicato e determiniamo il prodotto fra il

primo e secondo polinomio ed il prodotto fra il terzo e il quarto:

[(2x2 − 1)(3y + 2)] [(y 3 + x)(2y − 1)] = (6x2 y + 4x2 – 3y – 2)(2y4 − y 3 + 2xy − x).

I polinomi ottenuti non contengono termini simili, possiamo, allora, seguire la moltiplicazione:

= 12x2 y5 – 6x2 y4 + 12x3 y2 – 6x3 y + 8x2 y4 – 4x2 y3 + 8x3 y – 4x3 – 6y5 + 3y4 – 6xy2 + 3 xy –

− 4y4 + 2y 3 – 4xy + 2x =

Riduciamo a forma normale il polinomio ottenuto:

= 12x2 y5 + 2 x2 y4 + 12x3 y2 +2 x3 y – 4x2 y3 – 4x3 – 6y5 – y4 – 6xy2 – xy + 2y 3 + 2x.

Quindi: (2x2 −−−− 1)(3y + 2) (y3 + x)(2y −−−− 1) =

= 12x2 y5 + 2 x2 y4 + 12x3 y2 +2 x3 y – 4x2 y3 – 4x3 – 6y5 – y4 – 6xy2 – xy + 2y 3 + 2x.

c) Calcoliamo il seguente prodotto:

( )

−+32

31221 2 aba .

Applichiamo la proprietà associativa e determiniamo, prima, il prodotto dei due polinomi:

( )

++3

2312

2

1 2 aba =

+++3

23

3

46

2

1 2 ababa =

Calcoliamo, adesso, il prodotto fra il monomio ed il polinomio ottenuto:

= 2323

3

1

2

3

3

23 aababa +++ .

In definitiva si ha:

( )

−+32

31221 2 aba = 2323

31

23

32

3 aababa +++ .

PROVA TU

1) Esegui le seguenti moltiplicazioni fra polinomi:

a) ( ) ( )72453 32 +−+− aaaa ;

b)

++−

+− mppmmppm3

12

5

45

5

2

4

1 3223 .

∼∼∼∼ ∼∼∼∼

59

Completa

Osservando l’esempio introduttivo e i risultati degli esercizi precedenti, si ha che:

� il prodotto di un polinomio per un polinomio è un ………………………….. ;

� il grado complessivo del prodotto è uguale alla ……………… dei gradi

……………………… dei due fattori.

2) Dati i polinomi

A = fhhf 532 2 +− ; B = 243 hf +− ; C = 23 69 hff −

calcola:

a) A ⋅⋅⋅⋅ B; B ⋅⋅⋅⋅ A;

b) A ⋅⋅⋅⋅ (B ⋅⋅⋅⋅ C); (A ⋅⋅⋅⋅ B) ⋅⋅⋅⋅ C;

c) A ⋅⋅⋅⋅ 1; B ⋅⋅⋅⋅ 0.

Osserva i risultati ottenuti ai punti a), b) e c) dell’esercizio 2) e completa:

� A ⋅⋅⋅⋅ B ….. B ⋅⋅⋅⋅ A;

� quindi, per la moltiplicazione fra polinomi vale la proprietà …………………………. ;

� A ⋅⋅⋅⋅ (B ⋅⋅⋅⋅ C) ….. (A ⋅⋅⋅⋅ B) ⋅⋅⋅⋅ C;

� quindi, per la moltiplicazione fra polinomi vale la proprietà …………………………. ;

� 1 è elemento ……………. rispetto alla moltiplicazione fra polinomi;

� anche per i polinomi vale la legge di …………………………….. del prodotto.

Prodotti notevoli

� Completa la seguente tabella come nell’esempio della prima riga:

(a + 2) (a – 2) = a 2 – 2a + 2a – 4 = a 2 – 4

(b – 3) (b + 3) =

(5s – 2t) (5s + 2t) =

(– 4 – x) (– x + 4) =

(– m + 3q) (3q + m) =

Osserviamo attentamente la tabella:

• i prodotti indicati in ciascuna casella della prima colonna sono prodotti fra binomi ;

• i binomi sono “particolari”: essi sono formati da due termini uguali e due opposti;

• eseguendo la moltiplicazione dei binomi, nel prodotto si ottengono sempre due monomi

opposti (seconda colonna);

• il prodotto è un binomio i cui termini sono due quadrati, uno dei quali è preceduto dal

segno “−−−−” (terza colonna);

• è preceduto dal segno “−−−−” il quadrato del termine opposto nei binomi dati.

60

I prodotti indicati nella tabella prendono il nome di “somma per differenza”.

Infatti, se opportunamente ordinati o riscritti in modo equivalente, si possono sempre ricondurre al

prodotto fra la somma di due termini per la differenza fra gli stessi termini.

Possiamo, quindi, generalizzare:

se A e B sono due monomi, il prodotto fra la loro somma e la loro differenza è uguale alla

differenza dei loro quadrati.

In sintesi: (A + B) (A −−−− B) = A2 −−−− B2.

In realtà, il risultato sopra esposto è più generale e vale anche se A e B sono due qualsiasi

espressioni algebriche.

Esempi

a) Calcoliamo il seguente prodotto:

(3b2 + 2k) (3b2 − 2k).

Osserviamo che il prodotto indicato è il prodotto fra due binomi formati da un termine uguale

(3b2) ed uno opposto (2k) ; possiamo, quindi, applicare la regola precedente.

Il risultato è un binomio i cui termini sono (3b2)2 e (2k)2, e, quest’ultimo sarà preceduto dal

segno “−−−−” .

Si ottiene:

(3b2 + 2k) ( 3b2−−−− 2k) = (3b2)2 −−−− (2k)2 = 9 b4 −−−− 4 k2.

b) Calcoliamo il seguente prodotto:

−−

− 62

36

2

3ff


(−6) ed uno opposto

f

2

3; possiamo, quindi, applicare la regola precedente.

Il risultato è un binomio i cui termini sono (−6)2 e 2

2

3

f e, quest’ultimo, sarà preceduto dal

segno “−−−−” .

Si ottiene:

−−

− 623

623

ff = (−−−−6)2 −−−− 2

23

f = 36 −−−− 2

49

f .

61

c) Calcoliamo il seguente prodotto:

(−−−− 4m + 2s) (2s + 4m)


(2s) ed uno opposto (4m); possiamo, quindi, applicare la regola precedente.

Il risultato è un binomio i cui termini sono (2s)2 e ( )24m e, quest’ultimo, sarà preceduto dal

segno “−−−−” .

Si ottiene:

(−−−− 4m + 2s) (2s + 4m) = (2s)2 – (4m)2 = 4s2 – 16m2

PROVA TU

Applicando la regola precedente, calcola i seguenti prodotti:

a) (x + 4y) (x − 4y);

b)

+

+− hphhhp 3223

7

2

4

1

4

1

7

2;

c)

−−

− smsm5

1

3

5

5

1

3

5 22 .


(b + 2)2 = (b + 2) (b + 2) = b2 + 2b + 2b + 4 = b2 + 2 ⋅⋅⋅⋅ 2b + 4 = b2 + 4b + 4

(2a − 1)2 = (2a − 1) (2a − 1) =

(x − 3)2 =

( )2334 y+− =

( )22 32 ts −− =

Osserviamo attentamente la tabella:

• in ciascuna casella della prima colonna è indicato il quadrato di un binomio;

• calcolando il quadrato come prodotto di due fattori uguali , si ottiene un polinomio

contenente due termini uguali (terza colonna);

• ricorda che sommare due termini uguali significa moltiplicare per 2 quel termine (quarta

colonna);

• il quadrato di un binomio (quinta colonna) è un trinomio in cui due termini sono i

quadrati dei monomi che formano il binomio e il terzo termine è il loro prodotto

moltiplicato per 2.

62

Possiamo, quindi, generalizzare:

dati i monomi A e B, il quadrato del binomio A + B è un trinomio formato dalla somma dei

quadrati dei due termini e dal doppio prodotto dei termini del binomio.

In sintesi: (A + B)2 = A2 + 2AB +B2.

La regola appena esposta è più generale e vale anche se A e B sono due qualsiasi espressioni

algebriche.

Esempi

a) Determiniamo il seguente quadrato:

(6k2 – 2)2.

Osserviamo, prima di tutto, che (6k2 – 2)2 = [6k2 + (– 2)]2.

Si tratta, evidentemente, del quadrato di un binomio formato dai monomi A = 6k2 e B = – 2.

Applicando la regola esposta in precedenza, si ottiene:

(6k2 – 2)2 = [6k2 + (– 2)]2 = (6k2)2 + 2 ⋅⋅⋅⋅ 6k2 ⋅⋅⋅⋅ (– 2) + (– 2)2 = 36 k4 −−−− 24 k2 + 4.

b) Determiniamo il seguente quadrato:

2

3

3

4

2

1

−− yx .

Osserviamo che 2

3

3

4

2

1

−− yx = 2

3

3

4

2

1

−+− yx .

Si tratta, allora, del quadrato di un binomio i cui termini sono A = x21− e B = 3

34

y− .

Applicando la regola prima definita, si ottiene:

2

3

34

21

−− yx = 2

3

34

21

−+− yx = 2

21

− x + 2

3

34

− y + 2 ⋅⋅⋅⋅

− x21 ⋅⋅⋅⋅

− 3

34

y =

= 362

34

916

41

xyyx ++ .

c) Determiniamo il seguente quadrato:

( )223 ab +

I termini del binomio sono A = 3b e B = 2a.

Applicando la regola prima definita si ottiene:

( )223 ab + = (3b)2 + 2 ⋅⋅⋅⋅ 3b ⋅⋅⋅⋅ 2a + (2a)2 = 9b2 + 12ab + 4a2.

1

1

63

Osservando la tabella e gli esempi precedenti, notiamo che nello sviluppo del quadrato di un

binomio il “ doppio prodotto” è preceduto dal segno “+” se i due monomi sono concordi, dal

segno “−−−−” se i due monomi sono discordi.

PROVA TU

Determina il quadrato dei seguenti binomi:

(m2 – 3)2 ; 2

2

9

2

4

3

+ yyh ; ( f 2g 3 + 5h)2.


(m + p − s)2 = (m + p − s) (m + p − s) = m 2 + m p − m s + m p +

+ p2 − p s − m s − p s + s2 =

m 2 + p 2 + s 2 +

+ 2mp − 2ps −2ms

(2 − a2 + b)2 =

(3b + 1− 2f )2 =

(1 − 4xy + z3)2 =

Osserva attentamente la tabella e completa:

• in ciascuna casella della prima colonna sono indicati quadrati di ………………………. ;

• calcolando il quadrato come prodotto di ………..……. uguali, si ottiene un polinomio

contenente alcuni termini a due a due ………………. (terza colonna);

• ricorda che sommare due termini uguali significa ………………………… …… …. quel

termine (quarta colonna);

• il quadrato di un trinomio (quinta colonna) è un ……………….……… formato da ……

termini: i ……………….. dei monomi che formano il trinomio, il prodotto del primo

.……………. per il ……………. monomio moltiplicato per ……., il prodotto del primo

……………….. per il …………….. monomio moltiplicato per …, il prodotto del .………..

monomio per il terzo …………….. moltiplicato per ……. .

∼∼∼∼ ∼∼∼∼

64


Il quadrato di un trinomio è un polinomio formato da sei termini; precisamente da:

• il quadrato di ogni termine;

• il doppio prodotto di ciascun termine per gli altri due.

In sintesi, se A, B, C sono monomi, si ha:

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC.

La regola sopra esposta è più generale e vale anche se A, B, C sono tre qualsiasi espressioni

algebriche.

Esempi

a) Calcoliamo il seguente quadrato:

(3 + 2h – 4z2)2.

Osserviamo, prima di tutto, che (3 + 2h – 4z2)2 = [(3 + 2h +(– 4z2)]2.

Si tratta, dunque, del quadrato di un trinomio formato dai monomi A = 3, B = 2h e C = – 4z2.

Applichiamo, allora, la regola sopra esposta; si ottiene:

(3 + 2h – 4z2)2 = [(3 + 2h +(– 4z2)]2 = 32 + (2h)2 + (– 4z2)2 + 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅ 2h + 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅ (– 4z2) +

+ 2 ⋅⋅⋅⋅2h ⋅⋅⋅⋅ (– 4z2) = 9 + 4h2 + 16z4 + 12h – 24z2 – 16hz2.

Calcoliamo il seguente quadrato:

2

32

421

++ fm .

E’, evidentemente, il quadrato del trinomio formato dai monomi A = m21

, B = 4 f e C = 32

.

Applichiamo la regola esposta in precedenza:

2

32

421

++ fm = 2

21

m + ( )24 f +2

32

+ 2⋅⋅⋅⋅

m21 ⋅⋅⋅⋅ ( )f4 + 2 ⋅⋅⋅⋅

m21 ⋅⋅⋅⋅

32

+ 2 ⋅⋅⋅⋅ ( )f4 ⋅⋅⋅⋅

32

=

= fmmffm3

1632

494

1641 22 +++++ .

OSSERVAZIONE

Tale procedimento può essere generalizzato per determinare il quadrato di un qualsiasi polinomio:

il quadrato di un polinomio è formato dalla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi

prodotti di ciascun termine per i termini successivi. Per esempio:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

65

PROVA TU

Determina il quadrato dei seguenti trinomi:

234

5

2

+− ba ; ( ) 232 213 pm −+ ;

22 2

2

5

4

3

−+−− mlh .

� Calcola le seguenti potenze come negli esempi:

(m + h)3 = (m + h)2 (m + h) = (m2 +2mh + h2) (m + h) = m3 + m2h + 2m2h + 2mh2 + mh2 + h3

= m3 + 3m2h + 3mh2 + h3;

( )321 a− = ( ) ( )222 11 aa −− = ( ) ( )242 121 aaa −+− = 64422 221 aaaaa −++−− =

= 642 331 aaa −+− .

( )32 zx + = ( ) ( )zxzx ++ 22 2 = ( ) ( )zxzx +++ 2......4 22 =

= ....... + .…... + ..….. + ……. + ….... + ……. = …….. + …..… + …..… + …..… ;

3

3

3

2

− yx = =

−

− .....3

2

3

2 32

3 xyx …………………………………………………….. =

= ……………………………………...………. = ……………..…………………. ;

(−2d – 3)3 = …………….…………. = ……………………………………………………… =

= ………………………………………………. = …………………………………. .

Osserva i risultati ottenuti e completa:

• in ogni potenza hai calcolato il cubo di un …………………… ;

• il risultato è un polinomio formato da ………… termini;

• i termini del polinomio ottenuto sono:

∗ i ……….. di ciascun termine del binomio dato;

∗ il ……………….. del quadrato del .……… termine per il .……………. moltiplicato per 3;

∗ il ……………….. del quadrato del .………..… termine per il ……...….. moltiplicato per 3.

66


Il cubo di un binomio è un quadrinomio i cui termini sono:

• il cubo del primo monomio;

• il cubo del secondo monomio;

• il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo monomio;

• il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio.

In sintesi, se A e B sono monomi, si ha:

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.

La regola sopra esposta è più generale e vale anche se A e B sono due qualsiasi espressioni

algebriche.

Esempi

a) Calcoliamo il seguente cubo:

( )32 23 fk − .

Osserviamo, prima di tutto, che ( )32 23 fk − = ( )[ ] 32 23 fk −+

Dobbiamo, allora, calcolare il cubo di un binomio formato dai monomi A = 3k2 e B = −−−− 2f .


( )32 23 fk − = ( )[ ] 32 23 fk −+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3222232 22332333 ffkfkk −+−⋅⋅+−⋅+ =

= ( ) 32246 84929327 ffkfkk −⋅+−⋅⋅+ = 32246 8365427 ffkfkk −+− .

b) Calcoliamo il seguente cubo:

3

3

3

2

4

3

+ gh .

E’ evidente che dobbiamo calcolare il cubo di un binomio formato dai monomi A = h43

e

B = 3

32

g .


3

3

32

43

+ gh = 3

32

3323

3

2

3

2

4

33

3

2

4

33

4

3

+

⋅⋅+⋅

⋅+

gghghh =

= 96233

27

8

9

4

4

9

16

92

64

27gghhgh +⋅+⋅+ = 96233

278

89

6427

ghghgh +++ .

1

1

1

1

1 1

1 81

67

OSSERVAZIONE 1

Ragionando allo stesso modo, si potrebbe ricavare una regola per determinare il cubo di un trinomio

o di un qualsiasi polinomio. Tale regola, tuttavia, è abbastanza complessa e quindi è preferibile

calcolare il cubo di un trinomio o di un qualsiasi polinomio come prodotto di opportuni fattori.

PROVA TU

Calcola il cubo dei seguenti polinomi:

3

3

1

+ ps ; ( )3322 kgh − ; ( )312 −+ ba ; 3

2 23

2

−− wt .

Adesso sappiamo calcolare il quadrato ed il cubo di un binomio; ma è lecito, comunque, chiedersi:

“Esiste un metodo o una regola per calcolare la potenza di un binomio quando l’esponente è

maggiore di 3?

Esaminiamo, inizialmente, il caso in cui il binomio è formato da due monomi di primo grado con

coefficiente 1 e, quindi, potenze del tipo (a + b)n con n > 3”. Il caso più generale (A + B)n con A e B

monomi qualsiasi sarà esaminato in seguito.

Determiniamo, allora, alcune potenze (con esponente maggiore di 3) del binomio (a + b):

(a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a + b) =

= a4 + a3b + 3a3b + 3a2b2 + 3a2b2 + 3ab3 + ab3 + b4 =

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

(a + b)5 = (a + b)4 (a + b) = (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4) (a + b) =

= a5 + a4b + 4a4b + 4a3b2 + 6a3b2 + 6a2b3 + 4a2b3 + 4ab4 + ab4 + b5 =

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Procedendo allo stesso modo, verifica che:

(a + b)6 = (a + b)5 (a + b) = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

Completa:

(a + b)7 = (a + b)6 (a + b) = ............................................................................................................... ;

(a + b)8 = (a + b)7 (a + b) = ................................................................................................................ .

Per maggiore chiarezza, facciamo un riepilogo:

(a + b)0 = 1;

(a + b)1 = a + b;

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ;

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5;

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6;

∼∼∼∼ ∼∼∼∼

68

(a + b)7 = ............................................................................................ ;

(a + b)8 = ...................................................................................................... ;

Osserva i risultati ottenuti e completa inserendo, al posto dei puntini, una delle voci indicate in

rosso:

� se 0 ≤ n ≤ 8, il risultato delle precedenti potenze è un polinomio formato da …… (n −1, n, n + 1)

termini ;

� il grado complessivo del polinomio ottenuto è …………….. (uguale, diverso) …… esponente;

� il polinomio ottenuto è un polinomio ……………………… (omogeneo, non omogeneo);

� il polinomio ottenuto è ordinato secondo le potenze ……..……………….. (crescenti,

decrescenti) di a e secondo le potenze ………………………… (crescenti, decrescenti) di b.

Riepilogando:

la potenza di un binomio del tipo ( )nba + è un polinomio:

• di grado complessivo uguale all’esponente della potenza;

• omogeneo;

• ordinato secondo le potenze decrescenti di una variabile e secondo le potenze crescenti dell’altra.

Ora sappiamo determinare la parte letterale dei monomi che formano il polinomio sviluppo di

( )nba + ; ma come è possibile determinarne i coefficienti?

Niccolò Fontana (matematico del Cinquecento), detto Tartaglia, eliminando la parte letterale dei

monomi, si accorse che i coefficienti potevano essere disposti in un triangolo, come mostrato nella

seguente figura:

Riga 0 1 →→→→ (a + b)0 Riga 1 1 1 →→→→ (a + b)1 Riga 2 1 2 1 →→→→ (a + b)2 Riga 3 1 3 3 1 →→→→ (a + b)3 Riga 4 1 4 6 4 1 →→→→ (a + b)4 Riga 5 1 5 10 10 5 1 →→→→ (a + b)5 Riga 6 1 6 15 20 15 6 1 →→→→ (a + b)6 Riga 7 1 7 21 35 35 21 7 1 →→→→ (a + b)7

….. ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

….. ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

Riga n ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ →→→→ (a + b)n Il precedente triangolo prende il nome, ovviamente, di Triangolo di Tartaglia , anche se esso era

già noto nell’antica Cina.

69

Analizziamo le caratteristiche del triangolo di Tartaglia:

� ogni riga inizia e termina con 1;

� i termini equidistanti dagli estremi di ciascuna riga sono uguali;

� ogni elemento di una riga, diverso da un estremo, è la somma dei due elementi della riga

precedente fra i quali viene incolonnato.

Osserva, a tal proposito, la riga 4 e la riga 5 del precedente triangolo [coefficienti di (a + b)4 e

(a + b)5] riportata nella figura sottostante:

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Alcune curiosità sul Triangolo di Tartaglia

∗ La somma degli elementi di ciascuna riga è una potenza di 2; in particolare ∀ n ∈ N, la somma

degli elementi della n − sima riga è uguale a 2n;

∗ la prima linea parallela a quella obliqua formata da soli 1, contiene tutti i numeri naturali;

∗ la seconda linea parallela a quella obliqua formata da soli 1, contiene i numeri triangolari (si

chiama triangolare un numero naturale m che è la somma dei primi n numeri naturali

consecutivi; ad esempio: 6 = 1 + 2 + 3; quindi 6 è un numero triangolare); tutti i numeri

triangolari sono della forma ( )

2

1+nn , con n ∈ N

Esempi

a) Calcoliamo ( )9ba + .

Lo sviluppo di ( )9ba + dà come risultato un polinomio omogeneo di grado 9, formato da 10

termini e ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b. Possiamo, dunque,

scrivere la parte letterale dei termini che formano il polinomio:

( )9ba + = … a9 + …a8b + …a7b2 + …a6b3 + …a5b4 + …a4b5 + ...a3b6 + ...a2b7 + ...ab8 + ...b9.

Per determinare i coefficienti, costruiamo il Triangolo di Tartaglia fino alla riga 9:

Riga 0 1 →→→→ (a + b)0 Riga 1 1 1 →→→→ (a + b)1 Riga 2 1 2 1 →→→→ (a + b)2 Riga 3 1 3 3 1 →→→→ (a + b)3 Riga 4 1 4 6 4 1 →→→→ (a + b)4 Riga 5 1 5 10 10 5 1 →→→→ (a + b)5 Riga 6 1 6 15 20 15 6 1 →→→→ (a + b)6 Riga 7 1 7 21 35 35 21 7 1 →→→→ (a + b)7 Riga 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 →→→→ (a + b)8 Riga 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 →→→→ (a + b)9

+ + + +

70

Si ha, dunque:

( )9ba + = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 84a6b3 + 126a5b4 + 126a4b5 + 84a3b6 + 36a2b7 + 9ab8 + b9.

b) Calcoliamo (2h + 1)6.

Questa potenza non sembra del tipo (a + b)6, tuttavia possiamo ricondurci ad una potenza dello

stesso tipo.

Poniamo 2h = a e 1 = b ; si ha, allora: (2h + 1)6 = (a + b)6.

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

Nel polinomio ottenuto, operiamo la stessa sostituzione: al posto di a scriviamo 2h e al posto di

b scriviamo 1; si ottiene:

(2h + 1)6 = (2h)6 + 6(2h)5 ⋅⋅⋅⋅ 1 + 15(2h)4 ⋅⋅⋅⋅ (1)2 + 20(2h)3 ⋅⋅⋅⋅ (1)3 + 15(2h)2 ⋅⋅⋅⋅ (1)4 +6(2h) ⋅⋅⋅⋅ (1)5 +

+ (1)6 = 64h6 + 6 ⋅⋅⋅⋅ 32h5 + 15 ⋅⋅⋅⋅ 16h4 + 20 ⋅⋅⋅⋅ 8h3 + 15 ⋅⋅⋅⋅ 4h2 + 12h +1 =

= 64h6 + 192h5 + 240h4 + 160h3 + 60h2 + 12h +1.

c) Calcoliamo 7

2

21

2

− gk .

Come nell’esempio precedente, poniamo 2k = a e 2

2

1g− = b.

Si ha, allora: 7

2

21

2

− gk = (a + b)7.

(a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 +35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Nel polinomio ottenuto, operiamo la stessa sostituzione: al posto di a scriviamo 2k e al posto di

b scriviamo 2

2

1g− ; si ottiene:

72

21

2

− gk = (2k)7 + 7 ⋅⋅⋅⋅ (2k)6 ⋅⋅⋅⋅

− 2

2

1g + 21 ⋅⋅⋅⋅ (2k)5 ⋅⋅⋅⋅

22

2

1

− g + 35 ⋅⋅⋅⋅ (2k)4 ⋅⋅⋅⋅ 3

2

2

1

− g +

+ 35 ⋅⋅⋅⋅ (2k) 3 ⋅⋅⋅⋅ 4

2

2

1

− g + 21 ⋅⋅⋅⋅ (2k) 2 ⋅⋅⋅⋅ 5

2

2

1

− g + 7 ⋅⋅⋅⋅ (2k) ⋅⋅⋅⋅ 6

2

2

1

− g +

+ 7

2

2

1

− g =

= 128 k7 + 7 ⋅⋅⋅⋅ 64 k6 ⋅⋅⋅⋅

− 2

2

1g + 21 ⋅⋅⋅⋅ 32 k5 ⋅⋅⋅⋅ 4

4

1g + 35 ⋅⋅⋅⋅ 16 k 4 ⋅⋅⋅⋅

− 6

8

1g + 35 ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ 8 k 3 ⋅⋅⋅⋅ 8

16

1g + 21 ⋅⋅⋅⋅ 4 k 2 ⋅⋅⋅⋅

− 10

32

1g + 14 k ⋅⋅⋅⋅ 12

64

1g −−−− 14

128

1g ====

1

32

1

8

1

2

2

1

8

1

32

7

71

= 128 k7 −−−− 224 k 6g 2 + 168 k 5g 4 −−−− 70 k 4g 6 + 83

235

gk −−−− 102

821

gk + 12

327

kg −−−−

−−−− 14

1281

g .

PROVA TU


a) (3b + 2)8 ; (h3 + 2f )10 ;

b) (2x − y)6; (2a − 3)5.

Divisione di un polinomio per un monomio

Ricordando che le lettere non sono altro che numeri, in modo analogo a quanto già definito negli

insiemi numerici, si ha che:

un polinomio A è divisibile per un monomio B non nullo se esiste un polinomio P che

moltiplicato per il monomio B dà come prodotto il polinomio A.

Ad esempio, il polinomio A = 8h4g2 + 6h3g − 2h2 è divisibile per il monomio B = 2h2.

Infatti, se moltiplichiamo il polinomio P = 4h2g2 + 3hg −1 per il monomio B otteniamo proprio il

polinomio A (verifica tu).

La divisione fra un polinomio ed un monomio non nullo si esegue applicando la proprietà

distributiva della divisione rispetto alla somma algebrica e, quindi, dividendo ogni termine del

polinomio per il monomio e sommando i quozienti ottenuti.

Possiamo, allora, dedurre che un polinomio è divisibile per un monomio (≠ 0) se lo è ciascun

termine del polinomio.

Esempi

Esegui le seguenti divisioni:

a) (5k4m3 −−−− 10k2m2 + 3km) : (5km).

Applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:

[5k4m3 : (5km)] − [10k2m2 : (5km)] + [3km : (5km)] = k3m2 − 2km + 5

3.

In definitiva:

(5k4m3 −−−− 10k2m2 + 3km) : (5km) = k3m2 −−−− 2km + 53

.

72

b) (12x4y2 + 4x2y −−−− 2x) : (2xy)

Applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:

[12x4y2 : (2xy)] +[4x2y : (2xy)] − [2x : (2xy)]

Osserviamo che l’ultimo quoziente non è un monomio, quindi il polinomio 12x4y2 + 4x2y − 2x

non è divisibile per il monomio 2xy.

PROVA TU

Esegui le seguenti divisioni:

a) (6a5 − 3a3 + 9a2) : (3a);

b) (3f 5h4 + 2f 3h2 − 4f 2h) : (2f 2h);

c) (4p6t4 − 3p3t3 + 7p2t) : (2p2t3).

Divisione fra polinomi

Per iniziare, consideriamo polinomi in una sola variabile.

Un polinomio P(x) è divisibile per un polinomio T(x) (diverso dal polinomio nullo) se esiste un

polinomio Q(x) tale che Q(x) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ T(x) = P(x).

Ad esempio, P(x) = 2x5 + 4x2 − 2x + 4 è divisibile per T(x) = x2 + 1; infatti se moltiplichiamo T(x)

per il polinomio S(x) = 2x3 − 2x + 4 otteniamo il polinomio P(x) (verifica tu).

Se, invece, un polinomio P(x) non è divisibile per un polinomio T(x) (non nullo), si può dimostrare

che esistono due polinomi Q(x) e R(x) tali che P(x) = Q(x) ⋅⋅⋅⋅ T(x) + R(x).

Ad esempio, P(x) = 3x5 − 2x4 − 2x2 − 4 non è divisibile per T(x) = x3 − 2x +1; tuttavia, se

consideriamo i polinomi S(x) = 3x2 − 2x + 6 e R(x) = −9x2 +14x − 10, si ha che

P(x) = S(x) ⋅ T(x) + R(x) (verifica tu).

In analogia con quanto definito per la divisione negli insiemi numerici, il polinomio P(x) prende il

nome di dividendo, il polinomio T(x) (≠ 0) si chiama divisore, il polinomio Q(x) è il quoziente e

il polinomio R(x) si chiama resto della divisione.

Ovviamente, se P(x) è divisibile per T(x), il resto R(x) è il polinomio nullo.

Da questi primi esempi, è evidente che, affinché il quoziente fra due polinomi sia ancora un

polinomio, il grado complessivo del dividendo deve essere maggiore o uguale del grado

complessivo del divisore (nel caso dell’uguaglianza, il quoziente è un numero razionale).

Se i polinomi A e B contengono più variabili, non sempre il quoziente è ancora un polinomio.

73

Come procedere per determinare quoziente e resto nella divisione fra polinomi?

Facciamo alcuni esempi:

1) Esaminiamo il caso in cui dividendo e divisore sono polinomi in una sola variabile.

Prima di eseguire la divisione è necessario fare alcune osservazioni:

� il grado complessivo del dividendo deve essere maggiore o uguale al grado complessivo

del divisore;

� il dividendo deve essere completo ed ordinato secondo le potenze decrescenti della

variabil e;

� il divisore deve essere ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile e non è

necessario che sia completo.

Dati i polinomi P(h) = 3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 e T(h) = h2 + 2h − 1, determiniamone quoziente e

resto.

Disponiamo dividendo e divisore come in figura:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

Iniziamo la divisione.

a) Dividiamo il primo termine del dividendo (3h4) per il primo termine del divisore (h2) ; si

ottiene:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

3h2

Il monomio Q1 = 3h2 così ottenuto è il primo termine del quoziente.

74

b) Moltiplichiamo Q1 per il divisore e riportiamo il prodotto sotto il dividendo incolonnando i

termini simili; si ottiene la seguente figura:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

3h4 + 6h3 − 3h2 3h2

Adesso determiniamo la differenza fra il dividendo ed il prodotto ottenuto.

La differenza fra due polinomi altro non è che la somma fra il primo polinomio e l’opposto del

secondo polinomio, quindi dobbiamo cambiare il segno a tutti i termini del secondo polinomio;

si ottiene:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2

" − 4h3 − 2h2

c) Trascriviamo gli ultimi termini del dividendo ottenendo la seguente figura:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2

" −−−− 4h3 −−−− 2h2 + h −−−− 1

Il polinomio R1 = −−−−4h3 −−−− 2h2 + h −−−− 1 è chiamato primo resto parziale.

Osserviamo che il grado complessivo di R1 è maggiore di quello del divisore; ripetiamo, allora,

le operazioni ai punti a), b) e c) fra il primo resto parziale e il divisore.

75

Dividiamo, quindi, il primo termine di R1 (−4h3) per il primo termine del divisore (h2); si

ottiene:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2 − 4h

" −−−− 4h3 −−−− 2h2 + h −−−− 1

Il monomio Q2 = −−−−4h è il secondo termine del quoziente.

Moltiplichiamo Q2 per il divisore e, per il motivo prima indicato, riportiamo l’opposto del

prodotto sotto R1 incolonnando i termini simili; dopo aver determinato la differenza fra R1 ed il

prodotto ottenuto ed aver trascritto l’ultimo termine di R1, si ha la situazione in figura:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2 − 4h

" − 4h3 − 2h2 + h − 1

+ 4h3 + 8h2 − 4h

" 6h2 −−−− 3h −−−− 1

Il polinomio R2 = 6h2 −−−− 3h −−−− 1 è il secondo resto parziale.

Il grado complessivo di R2 è uguale a quello del divisore, quindi possiamo continuare la

divisione ripetendo le operazioni ai punti a), b) e c) fra R2 e il divisore.

Dividiamo, dunque, il primo termine di R2 (6h2) per il primo termine del divisore (h2); si

ottiene:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2 − 4h + 6

" − 4h3 − 2h2 + h − 1

+ 4h3 + 8h2 − 4h

" 6h2 − 3h − 1

Il monomio Q3 = 6 è il terzo termine del quoziente.

76

Moltiplichiamo S3 per il divisore e, per il motivo prima indicato, riportiamo l’opposto del

prodotto sotto R2 incolonnando i termini simili; dopo aver determinato la differenza fra R2 ed il

prodotto ottenuto, si ha la situazione in figura:

3h4 + 2h3 − 5h2 + h − 1 h2 + 2h − 1

− 3h4 − 6h3 + 3h2 3h2 −−−− 4h + 6

" − 4h3 − 2h2 + h − 1

+ 4h3 + 8h2 − 4h

" 6h2 − 3h − 1

− 6h2 − 12h + 6

" −−−− 15h + 5

Il polinomio R = −15h + 5 ha grado complessivo minore di quello del divisore, quindi non

possiamo ripetere l’operazione al punto a). La divisione è, così, terminata.

Il polinomio Q(h) = 3h2 −−−− 4h + 6 è il quoziente ed il polinomio R(h) = −−−−15h + 5 è il resto

della divisione.

In definitiva la divisione fra P(h) = 3h4 + 2h3 −−−− 5h2 + h −−−− 1 e T(h) = h2 + 2h −−−− 1 ha per

quoziente il polinomio Q(h) = 3h2 −−−− 4h + 6 e per resto il polinomio R(h) = −−−−15h + 5.

Verifica che P(h) = Q(h) ⋅⋅⋅⋅ T(h) + R(h).

Completa:

il grado complessivo di P(h) è ……;

il grado complessivo di T(h) è …… ;

il grado complessivo di Q(h) è …… ;

il grado complessivo di R(h) è ….. ;

possiamo, allora, dedurre che

il grado complessivo di Q(h) è uguale alla ……………… fra i gradi complessivi di P(h) e T(h);

il grado complessivo di R(h) è …………….. del grado complessivo di T(h).

2) Eseguiamo la divisione fra i polinomi A(k) = 2k 3 + 4k + 6k 5 e E(k) = 2k 2 −−−− k + 3.

Osserviamo che:

� il grado del dividendo è maggiore del grado del divisore;

� il dividendo non è completo rispetto alla variabile k;

� il dividendo non è ordinato secondo le potenze decrescenti di k;

� il divisore è ordinato secondo le potenze decrescenti di k.

77

Prima di eseguire la divisione dobbiamo “completare” ed “ordinare” il dividendo; si ottiene:

(6k 5 + 0k4 + 2k 3 + 0 k 2 + 4k + 0 ) : (2k 2 −−−− k + 3)

Procedendo come nell’esempio precedente, disponiamo i polinomi ed eseguiamo la divisione:

6k5 + 0k4 + 2k3 + 0k2 + 4k + 0 2k2 − k + 2

− 6k5 + 6k4 − 9k3 3k3 + 3k2 −−−− 2k −−−− 4

" 6k4 − 7k3 + 0k2 + 4k + 0

− 6k4 + 3k3 − 6k2

" − 4k3 − 6k2 + 4k + 0

+ 4k3 − 2k2 + 4k

" − 8k2 + 8k + 0

+ 8k2 − 4k + 8

" + 4k + 8 Si ha, quindi, che:

Q(k) = 3k3 + 3k2 −−−− 2k – 4 e R(k) = 4k + 8.

In definitiva la divisione fra A(k) = 2k 3 + 4k + 6k 5 e E(k) = 2k 2 −−−− k + 3 ha per quoziente il

polinomio Q(k) = 3k3 + 3k2 −−−− 2k – 4 e per resto il polinomio R(k) = 4k + 8.

Verifica che A(k) = Q(k) ⋅⋅⋅⋅ E(k) + R(k).

Completa:

il grado complessivo di A(k) è ……;

il grado complessivo di E(k) è …… ;

il grado complessivo di Q(k) è …… ;

il grado complessivo di R(k) è ….. ;

possiamo, allora, dedurre che:

il grado complessivo di Q(k) è uguale alla ……………… fra i gradi complessivi di A(k) e E(k);

il grado complessivo di R(k) è …………….. del grado complessivo di E(k).

3) Eseguiamo, adesso, la divisione fra i polinomi:

F(m, k) = 6m3k2 −−−− 3m2k3 + 9mk4 −−−− k5 e S(m, k) = 2mk + k2.

(6m3k2 −−−− 3m2k3 + 9mk4 −−−− k5) : ( 2mk + k2)

I polinomi F e S contengono due variabili.

In questo caso è necessario scegliere rispetto a quale delle due variabili vogliamo eseguire la

divisione.

78

Scegliamo la lettera “m”.

Osserviamo che:

� il grado relativo a “m” di F(m, k) è maggiore del grado relativo a “m” di S(m, k);

� i polinomi F(m, k) e S(m, k) sono ordinati secondo le potenze decrescenti di m;

� il polinomio F(m, k) è completo rispetto a m.

Determiniamo, quindi, quoziente e resto della divisione procedendo come negli esempi

precedenti.

La divisione termina quando il grado rispetto a m dell’ultimo resto parziale è minore del grado

rispetto ad m del divisore.

Si ottiene:

6m3k2 − 3m2k3 + 9mk4 − k5 2mk + k2

6m3k2 − 3m2k3 3m2k −−−− 3mk2 + 6k3

" − 6m2k3 + 9mk4 − k5

+ 6m2k3 + 3mk4

" + 12mk4 − k5

− 12mk4 − 6k5

" −−−− 7k5

Si ha: Q(m, k) = 3m2k – 3mk2 + 6k3 e R(m, k) = −−−−7k5.

In definitiva:

la divisione fra F(m, k) = 6m3k2 −−−− 3m2k3 + 9mk4 −−−− k5 e S(m, k) = 2mk + k2, se scegliamo

come variabile la lettera m, ha per quoziente il polinomio Q(m, k) = 3m2k – 3mk2 + 6k3 e

per resto il polinomio R(m, k) = −−−−7k5.

Verifica che F(m, k) = Q(m, k) ⋅⋅⋅⋅ S(m, k) + R(m, k).

Eseguiamo, adesso, la stessa divisione scegliendo come variabile la lettera “k”.

Osserviamo che:

� il grado relativo a “k” di F(m, k) è maggiore del grado relativo a “k” di S(m, k);

� i polinomi F(m, k) e S(m, k) non sono ordinati secondo le potenze decrescenti di k;

� il polinomio F(m, k) non è completo rispetto a k.

Prima di eseguire la divisione, quindi, è necessario “ordinare” i polinomi F(m, k) e S(m, k)

secondo le potenze decrescenti di k e completare F(m, k) rispetto alla lettera k.

79

Anche in questo caso la divisione termina quando il grado rispetto a k dell’ultimo resto parziale

è minore del grado rispetto a k del divisore.

Si ottiene:

− k5 + 9mk4 − 3m2k3 + 6m3k2 + 0m4k + 0m5 k2 + 2mk

k5 + 2mk4 − k3 + 11mk2 − 25m2k + 56m3

" 11mk4 − 3m2k3 + 6m3k2 + 0m4k + 0m5

− 11mk4 − 22m2k3

" − 25m2k3 + 6m3k2 + 0m4k + 0m5

25m2k3 + 50m3k2

" + 56m3k2 + 0m4k + 0m5

− 56m3k2 − 112m4k

" − 112m4k + 0m5

Si ha: Q'''' (m, k) = −−−−k3 + 11mk2 −−−− 25m2k + 56m3 e R'''' (m, k) = −−−−112m4k.

La divisione fra F(m, k) = 6m3k2 −−−− 3m2k3 + 9mk4 −−−− k5 e S(m, k) = 2mk + k2, quando scegliamo

come variabile la lettera k, ha per quoziente il polinomio Q'''' (m, k) = −−−−k3 + 11mk2 −−−− 25m2k + 56m3

e per resto il polinomio R'''' (m, k) = −−−−112m4k .

Verifica che F(m, k) = Q'''' (m, k) ⋅⋅⋅⋅ S(m, k) + R'''' (m, k).

Osserviamo che Q (m, k) ≠ Q'''' (m, k) e che R (m, k) ≠ R'''' (m, k).

Le osservazioni fatte per il quoziente ed il resto delle divisioni degli esempi 1) e 2) sono più

generali e valgono per il quoziente ed il resto della divisione fra due polinomi qualsiasi in una

variabile:

Nella divisione fra due polinomi in una variabile

� il grado complessivo del quoziente è uguale alla differenza fra i gradi complessivi,

rispettivamente, del dividendo e del divisore;

� il resto è un polinomio di grado complessivo minore del grado complessivo del divisore.

PROVA TU

Esegui le seguenti divisioni fra polinomi:

(2a3 − 8 a4 + 6) : (2 a2 + 1);

(6f g 3 + 6f 4 − f 3g) : (3f 2 − 2fg + g 2).

80

Teorema del resto

Abbiamo già osservato che, assegnati due polinomi nella stessa variabile A e B, esistono due

polinomi Q e R tali che A = Q ⋅⋅⋅⋅ B + R ; se R = 0, allora A è divisibile per B.

E’ lecito chiedersi se esistono dei “criteri di divisibilità” tra polinomi come quelli che esistono fra

numeri negli insiemi numerici.

In altre parole: è possibile stabilire se un polinomio è divisibile per un altro polinomio senza

eseguire la divisione?

A tal proposito, consideriamo polinomi in una variabile e come divisori binomi di primo grado.

Sia P(s) = 2s 3 − 11s 2 + 17s − 6 un polinomio nella variabile s.

Il resto della divisione fra P(s) ed un binomio di primo grado (ovviamente nella stessa variabile) è

un polinomio di grado zero e, quindi, è un numero razionale.

Nella prima riga della tabella 1 sono indicati alcuni divisori di primo grado; completala inserendo

nella seconda riga il resto della divisione fra il polinomio P(s) e il binomio indicato nella prima riga.

Per esempio, dividendo P(s) per il binomio s − 1 si ottiene come resto R = 2.

Completa la tabella 2 inserendo nella seconda riga il valore assunto dal polinomio quando alla

variabile s sono assegnati i valori indicati.

Ad esempio, P(1) = 2 ⋅⋅⋅⋅ 13 – 11 ⋅⋅⋅⋅ 12 + 17 ⋅⋅⋅⋅ 1 – 6 = 2 – 11 + 17 – 6 = 2

Analizziamo e confrontiamo le due tabelle (completa):

� i divisori della tabella 1 sono binomi di …………… grado dove il coefficiente del termine di

primo grado è ………;

� nella tabella 2, i valori assegnati alla variabile sono ……………… al termine noto del divisore;

� la seconda riga della tabella 1 è …………….. alla seconda riga della tabella 2.

Possiamo, allora, dire che il resto della divisione fra P(s) ed un binomio di primo grado, con

coefficiente della variabile 1, è …………….. al valore che assume il polinomio quando alla

variabile si assegna il valore ……………… al termine noto del divisore.

Si tratta di una coincidenza casuale, oppure no?

Divisore s − 1 s − 2 s + 1 s + 2 s + 3

Resto 2

P(1) P(2) P(−1) P(−2) P(−3)

2

Tab. 1 Tab. 2

81

Consideriamo, quindi, un altro polinomio: T(m) = 3m 4 − 11m 3 − 16m 2 + 44m + 16.

Completa le tabelle 3 e 4, simili a quelle precedenti:

Analizziamo e confrontiamo le due tabelle:

� i divisori della tabella 3 sono binomi di …………… grado dove il coefficiente del termine di

primo grado è ………;

� nella tabella 4, i valori assegnati alla variabile sono ……………………... termine noto del

divisore;

� la seconda riga della tabella 3 è …………….. alla seconda riga della tabella 4.

Anche questa volta, possiamo dire che il resto della divisione fra T(m) ed un binomio di primo

grado, con coefficiente della variabile 1, è …………….. al valore del polinomio quando alla

variabile si assegna il valore ……………… al termine noto del divisore.

Non si tratta di una coincidenza, ma di una proprietà generale che vogliamo dimostrare.

Prima di tutto osserviamo che:

s + 1 = s − (−1); s + 2 = s − (−2); s + 3 = s − (−3);

m + 1 = m − (−1); m + 2 = m − (−2).

I divisori considerati nelle precedenti tabelle, quindi, sono tutti dello stesso tipo; infatti essi sono

della forma (x − a) dove la lettera a indica un qualsiasi numero razionale.

Dato il polinomio P(x) ed un binomio del tipo (x − a), esistono due polinomi Q(x) e R (di grado zero

e, perciò, un numero razionale) tali che:

P(x) = Q(x) ⋅⋅⋅⋅ (x −−−− a) + R;

assegnando alla lettera x il valore a (opposto del termine noto del divisore), si ottiene:

P(a) = Q(a) ⋅⋅⋅⋅ (a −−−− a) + R

poiché a − a = 0, la precedente uguaglianza diventa:

P(a) = Q(a) ⋅⋅⋅⋅ 0 + R

e, per la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:

P(a) = 0 + R

ed infine:

P(a) = R

Divisore m + 1 m − 2 m − 4 m + 2 m − 3

Resto 2

P(−1) P(2) P(4) P(−2) P(3)

Tab. 3 Tab. 4

82

Si ha, allora, il seguente teorema, chiamato Teorema del resto:

Il resto della divisione fra un polinomio P(x) ed un binomio del tipo (x −−−− a) è uguale al valore che

il polinomio assume quando alla variabile si assegna il valore opposto al termine noto del

divisore.

Dal momento che un polinomio è divisibile per un altro polinomio se il resto della divisione è nullo,

per il teorema del resto si ha che un polinomio P(x) è divisibile per un binomio del tipo (x −−−− a) se

P(a) = 0.

In sintesi

P(x) divisibile per (x −−−− a) ⇒⇒⇒⇒ R = 0 ⇒⇒⇒⇒ (per il teorema del resto) P(a) = 0;

viceversa:

P(a) = 0 ⇒⇒⇒⇒ (per il teorema del resto) R = 0 ⇒⇒⇒⇒ P(x) divisibile per (x −−−− a).

Si ha allora il seguente Teorema di Ruffini:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia divisibile per un binomio del

tipo (x −−−− a) è che il polinomio si annulli quando alla variabile si assegna il valore opposto al

termine noto del divisore.

I numeri razionali che annullano un polinomio prendono il nome di “zeri” o “ radici ” del

polinomio.

Esempi

1) Senza eseguire la divisione, determiniamo il resto della seguente divisione:

(2b3 – 4b2 + 3) : (b + 2).

Il divisore è un binomio di primo grado e il coefficiente di b è 1; il termine noto del divisore è

2, quindi il suo opposto è −2.

Indicato con P(b) il dividendo, applichiamo il teorema del resto e, nel dividendo, sostituiamo

alla lettera b il valore − 2; si ottiene:

R = P(−2) = 2 ⋅⋅⋅⋅ (−2)3 – 4 ⋅⋅⋅⋅ (−2)2 + 3 = 2 ⋅⋅⋅⋅ (−8) – 4 ⋅⋅⋅⋅ 4 + 3 = − 16 – 16 + 3 = −29.

Si ha, dunque: R = −−−−29.

2) Dato il polinomio S(h) = −2h3 + 9h2 + 2h – 24, stabiliamo se è divisibile per i seguenti binomi:

a) (h – 4); b) (h + 3); c)

+2

3h .

a) Stabiliamo se S(h) è divisibile per (h – 4).

Il termine noto del divisore è – 4; il suo opposto è 4. Calcoliamo S(4):

83

S(4) = −2 ⋅⋅⋅⋅ 43 + 9 ⋅⋅⋅⋅ 42 + 2 ⋅⋅⋅⋅ 4 – 24 = −2 ⋅⋅⋅⋅ 64 + 9 ⋅⋅⋅⋅ 16 + 8 – 24 = −128 + 144 + 8 – 24 =

= −152 + 152 = 0.

In definitiva:

S(4) = 0 ⇒⇒⇒⇒ (per il teorema di Ruffini) S(h) è divisibile per (h – 4).

b) Stabiliamo se S(h) è divisibile per (h + 3).

Il termine noto del divisore è 3; il suo opposto è −3. Calcoliamo S(−3):

S(−3) = −2 ⋅⋅⋅⋅ (−3)3 + 9 ⋅⋅⋅⋅ (−3)2 + 2 ⋅⋅⋅⋅ (−3) – 24 = −2 ⋅⋅⋅⋅ (−27) + 9 ⋅⋅⋅⋅ 9 – 6 – 24 =

= 54 + 81 – 6 – 24 = 135 − 30 = 105.

In definitiva:

S(−−−−3) ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ (per il teorema di Ruffini) S(h) non è divisibile per (h + 3).

c) Stabiliamo se S(h) è divisibile per

+2

3h .

Il termine noto del divisore è 2

3; il suo opposto è

2

3− . Calcoliamo S

−2

3:

S

−2

3 = −2 ⋅⋅⋅⋅

3

2

3

− + 9 ⋅⋅⋅⋅ 2

2

3

− + 2 ⋅⋅⋅⋅

−2

3– 24 = −2 ⋅⋅⋅⋅

−8

27 + 9 ⋅⋅⋅⋅

4

9 − 3 – 24 =

=4

27 +

4

81 − 3 – 24 = 27 − 27 = 0.

In definitiva:

S

−23

= 0 ⇒⇒⇒⇒ (per il teorema di Ruffini) S(h) è divisibile per

+23

h .

PROVA TU

1) Senza eseguirla, determina il resto della seguente divisione:

(3 k4 − k3 − 20 k2 − 13 k + 3) : (k + 2)

2) Stabilisci se il polinomio 3 k4 − k3 − 20 k2 − 13 k + 3 è divisibile per (k − 3).

Nella divisione di un polinomio P(x) per un binomio del tipo (x − a), senza eseguire la divisione,

possiamo determinare il resto, il grado del quoziente e stabilire, inoltre, che esso è un polinomio

ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile.

Paolo Ruffini, matematico del Settecento, scoprì una regola che consente di determinare i

coefficienti dei monomi che formano il quoziente in una divisione di questo tipo.

Questa regola prende il nome di Regola di Ruffini.

Illustriamola con un esempio.

84

Determiniamo quoziente e resto della divisione (3m 4 − m 3 − 2m 2 + 3m – 6) : (m – 2).

Scriviamo in una riga i coefficienti dei termini del dividendo ordinato secondo le potenze

decrescenti di m e completo rispetto a m.

Tracciamo due linee verticali: una a sinistra del primo coefficiente del dividendo e l’altra prima del

termine noto del dividendo; saltiamo una riga e tracciamo una linea orizzontale.

Al di sopra della linea orizzontale e a sinistra della prima linea verticale scriviamo l’opposto del

termine noto del divisore (fig.1):

3 − 1 − 2 3 − 6

2

Trascriviamo il primo coefficiente al di sotto la linea orizzontale (fig. 2):

3 − 1 − 2 3 − 6

2

3

Moltiplichiamo il numero appena scritto (3) per l’opposto del termine noto del divisore (in questo

caso 3 ⋅⋅⋅⋅ 2) e scriviamo il prodotto sotto il secondo coefficiente (fig. 3):

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6

3

Scriviamo la somma dei numeri così incolonnati al di sotto della linea orizzontale (fig. 4):

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6

3 5

fig.1

fig. 2

fig. 3

fig. 4

85

Moltiplichiamo il numero così ottenuto (5) per l’opposto del termine noto del divisore (in questo

caso 5 ⋅⋅⋅⋅ 2) e scriviamo il prodotto sotto il terzo coefficiente (fig. 5):

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10

3 5

Scriviamo la somma dei numeri così incolonnati al di sotto della linea orizzontale (fig. 6)

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10

3 5 8


caso 8 ⋅⋅⋅⋅ 2) e scriviamo il prodotto sotto il quarto coefficiente (fig. 7):

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10 16

3 5 8


3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10 16

3 5 8 19


caso 19 ⋅⋅⋅⋅ 2) e scriviamo il prodotto sotto il termine noto del dividendo (fig. 9):

3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10 16 38

3 5 8 19

fig. 5

fig. 6

fig. 7

fig. 8

fig. 9

86


3 − 1 − 2 3 − 6

2 6 10 16 38

3 5 8 19 32

L’ultimo numero scritto è il resto della divisione.

I numeri dell’ultima riga all’interno delle due linee verticali sono i coefficienti dei monomi che

formano il quoziente.

Scriviamo, allora, il quoziente e il resto della divisione (3m 4 − m 3 − 2m 2 + 3m – 6) : (m – 2). Si ha:

Q(m) = 3m 3 + 5m 2 + 8m + 19;

R = 32.

Esempio

Applicando la regola di Ruffini, determiniamo quoziente e resto delle seguente divisione:

(4p3 − 2p – 1) : (p + 3)

Osserviamo che il dividendo è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di p, ma non è

completo; è necessario, quindi, renderlo completo. Si ottiene:

(4p3 + 0p2 − 2p – 1) : (p + 3)

Lo schema per determinare i coefficienti del quoziente è il seguente:

4 0 − 2 − 1

− 3 − 12 36 − 102

4 − 12 34 − 103 Poiché il dividendo è un polinomio di terzo grado e il divisore è un binomio di primo grado, il

quoziente è un polinomio di secondo grado; si ottiene quindi:

Q(p) = 4p2 −−−− 12p + 34;

R = – 103.

PROVA TU

Applicando la Regola di Ruffini, determina quoziente e resto delle seguenti divisioni:

a) (2z 2 + z 4 − 3z) : (z – 2);

b) (−3h + 5h3 – 2h2 +1) : (h + 3).

fig. 10 resto Coefficienti del quoziente

87

6.3 Approfondimento: l’insieme M dei monomi

Indichiamo con M l’insieme formato da tutti i possibili monomi: M = {{{{x / x è un monomio}}}}.

Sia ℜ la relazione così definita in M : x ℜℜℜℜ y ⇔⇔⇔⇔ x è simile ad y.

Aiutandoti con degli esempi, verifica che per la relazione ℜ valgono le seguenti proprietà:

(completa)

� riflessiva

infatti, ciascun …………….. è simile a ……………… ;

� simmetrica

infatti, per ogni coppia di monomi (x, y) tale che x è …......… ad y, anche y è …….… ad x;

� transitiva

infatti, per ogni terna di monomi (x, y, z) tale che x è ……..……. ad y e y è ………..……. a z,

si verifica che anche x è …………….. a z.

La relazione “essere simili”, definita nell’insieme M dei monomi, è, dunque, una relazione

…………………………… .

L’insieme formato dai sottoinsiemi di M i cui elementi sono monomi simili è, allora, una

………………………. di M .

Analizziamo, adesso, le proprietà delle operazioni definite in M.

Dal momento che le lettere rappresentano dei numeri razionali, le operazioni tra monomi sono delle

operazioni tra numeri razionali; valgono, allora, per esse, le proprietà già viste nell’insieme Q :

Somma algebrica

� L’operazione di somma algebrica non è interna all’insieme M; tuttavia valgono per essa:

▪ ▪ ▪ ▪ proprietà commutativa;

▪ ▪ ▪ ▪ proprietà associativa.

� Sia M * un sottoinsieme di M formato da monomi simili.

Verifica con degli esempi e completa le seguenti affermazioni:

♦ L’operazione di somma algebrica fra monomi simili è un’operazione binaria.

♦ M * è chiuso rispetto all’operazione di somma algebrica, infatti la somma di monomi simili

è …… ………………… ….………… ai monomi dati.

♦ L’operazione di somma algebrica in M * è associativa

88

♦ Sia 0 il monomio nullo, allora ∀ x ∈ M * : x + 0 = x = 0 + x; quindi il monomio nullo è

……….…….….. ………… per la somma algebrica in M *.

♦ ∀x ∈ M *, ∃ x’ (monomio opposto) ∈ M *

/ x + x’ = 0 = x’ + x; quindi ogni elemento di M *

ammette simmetrico rispetto alla ……..… ……………………… .

Possiamo, allora, dire che (M *, +) è un …………..… .

♦ L’operazione di somma algebrica in M * è commutativa.

(M *, +), quindi, è un gruppo …………………….. .

Moltiplicazione

� L’operazione di moltiplicazione fra monomi è un’operazione binaria.

� L’insieme M è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione.

Come già visto per la somma algebrica, anche per la moltiplicazione in M valgono le seguenti

proprietà:

▪ ▪ ▪ ▪ proprietà commutativa;

▪ ▪ ▪ ▪ proprietà associativa;

▪ proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica;

▪ legge di annullamento del prodotto.

� Verifica con degli esempi e completa le seguenti affermazioni:

∀ x ∈ M : x ⋅⋅⋅⋅ 1 = x = 1 ⋅⋅⋅⋅ x; quindi il “monomio 1” è ………………… ………….. rispetto

all’operazione di moltiplicazione in M .

� Non tutti gli elementi di M ammettono simmetrico rispetto all’operazione di moltiplicazione;

infatti, se, per esempio, consideriamo il monomio 2 a 2 , …… …………………un monomio che

…………………….. per 2 a 2 dia per risultato 1.

Possiamo, allora, dire che (M, ⋅⋅⋅⋅) non è un …………….. rispetto all’operazione di moltiplicazione.

In quali insiemi l’operazione di moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’operazione di

moltiplicazione fra monomi? …………….; ……………… .

6.4 Approfondimento: l’insieme P dei polinomi.

Nell’insieme P dei polinomi sono state definite le operazioni di somma algebrica e moltiplicazione.

Come detto in precedenza, le lettere rappresentano dei numeri razionali, quindi le operazioni tra

polinomi sono delle operazioni tra numeri razionali; valgono, allora, per esse, le proprietà già viste

nell’insieme Q.

89

Somma algebrica

L’operazione di somma algebrica fra polinomi è un’operazione binaria; inoltre, è un’operazione

interna all’insieme P; infatti la somma algebrica fra due polinomi è ancora un polinomio.


per la somma algebrica fra polinomi valgono le seguenti proprietà:

♦ proprietà associativa;

♦ proprietà commutativa;

♦ sia 0 il polinomio nullo; allora ∀A ∈ P: A + 0 = A = 0 + A, quindi il polinomio nullo è

l’elemento ……..……… per l’operazione di somma algebrica fra polinomi;

♦ ∀A ∈ P, ∃ A’ (polinomio opposto) ∈ P / A + A’ = 0 = A’ + A; quindi ogni elemento di P

ammette simmetrico rispetto alla ……………. ………………………… .

Possiamo, allora, dire che (P, +) è un …………..… ………………………… .

Moltiplicazione

La moltiplicazione fra polinomi è un’operazione binaria; inoltre, l’insieme P dei polinomi è chiuso

rispetto all’operazione di moltiplicazione; infatti, il prodotto fra due polinomi è ancora un

polinomio.


per la moltiplicazione fra polinomi valgono le seguenti proprietà:

♦ proprietà associativa;

♦ proprietà commutativa;

♦ proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica;

♦ legge di annullamento del prodotto;

♦ sia 1 il “polinomio unità”; allora ∀A ∈ P: A ⋅⋅⋅⋅ 1 = A = 1 ⋅⋅⋅⋅ A, quindi il polinomio unità è

l’elemento …………… per l’operazione di moltiplicazione fra polinomi;

♦ non tutti gli elementi di P sono simmetrizzabili rispetto all’operazione di moltiplicazione.

Possiamo, allora, dire che (P, ⋅⋅⋅⋅) non è un ………...… .

Poniamo, adesso, la nostra attenzione sull’insieme Z degli interi e sull’insieme P dei polinomi e, in

particolare, sulle proprietà delle operazioni definite in Z e in P e vediamo se ci sono analogie e

differenze.

Nell’insieme Z sono definite due operazioni interne: somma algebrica (+) e moltiplicazione (⋅⋅⋅⋅): � (Z, +) è un gruppo (abeliano);

� (Z, ⋅⋅⋅⋅) non è un gruppo, perché non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzabili;

90

� per la moltiplicazione in Z vale la proprietà associativa;

� per la moltiplicazione in Z vale la proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica.

Diciamo , allora, che (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello.

Inoltre:

� la moltiplicazione in Z è commutativa,

e quindi (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello abeliano.

Dal momento che

� la moltiplicazione in Z ammette elemento neutro,

si dice che (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello con unità.

Poichè

� per la moltiplicazione in Z vale la legge di annullamento del prodotto,

si dice che (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello di integrità.

Ricapitolando: (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello abeliano di integrità con unità.

Nell’insieme P dei polinomi sono definite due operazioni interne: somma algebrica (+) e

moltiplicazione (⋅⋅⋅⋅): � (P, +) è un gruppo (abeliano);

� (P, ⋅⋅⋅⋅) non è un gruppo, perché non tutti gli elementi di P sono simmetrizzabili;

� per la moltiplicazione in P vale la proprietà associativa;

� per la moltiplicazione in P vale la proprietà distributiva rispetto alla somma algebrica.

Possiamo dire, allora, che anche (P, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello.

Inoltre:

� la moltiplicazione in P è commutativa,

e quindi anche (P, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello abeliano.

Dal momento che

� la moltiplicazione in P ammette elemento neutro,

anche (P, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello con unità.

Poichè

� per la moltiplicazione in P vale la legge di annullamento del prodotto,

anche (P, +, ⋅⋅⋅⋅) è un anello di integrità.

Possiamo, pertanto, concludere che (Z, +, ⋅⋅⋅⋅) e (P, +, ⋅⋅⋅⋅) hanno la stessa struttura: sono anelli abeliani

di integrità con unità.

91

CAPITOLO 6

Polinomi


1) Che cos’è un polinomio?

2) Quando un polinomio si dice ridotto a forma normale?

3) Che cosa si intende per grado complessivo di un polinomio? E per grado relativo a ciascuna

lettera?

4) Quando un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera? E quando si dice completo rispetto

ad una lettera?

5) Quando un polinomio si dice omogeneo?

6) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:

a) I numeri razionali sono polinomi. V F

b) I termini di un polinomio, ridotto a forma normale, sono sempre almeno due. V F

c) Un polinomio non ha monomi simili. V F

d) In un polinomio ridotto a forma normale, il grado rispetto ad una lettera è V F

uguale alla somma degli esponenti di quella lettera.

e) In un polinomio ridotto a forma normale, il grado rispetto ad una lettera può V F

essere uguale al grado complessivo del polinomio.

f) Il grado complessivo di un polinomio è sempre positivo. V F

g) Il grado complessivo di un polinomio è sempre maggiore o uguale al maggiore V F

dei gradi complessivi dei monomi che lo compongono.

h) Se, in un polinomio, il grado rispetto a ciascuna lettera è 1, il grado complessivo V F

del polinomio è 1.

i) Un polinomio omogeneo è sempre completo. V F

l) Un polinomio completo può essere omogeneo. V F

m) Un polinomio in una variabile, di grado complessivo 1, non può avere più di due V F

termini.

7) Le seguenti affermazioni si riferiscono ai polinomi A = 2x2z + xz −1 e B = −4b3 + 7b2 −5b + 2.

Solo una di esse è falsa; quale?

a) I due polinomi hanno lo stesso grado complessivo.

b) Entrambi i polinomi sono ordinati.

c) Nessuno dei due polinomi è omogeneo.

d) Soltanto il polinomio B è completo.

e) Soltanto il polinomio A è un trinomio.

92

8) Che cosa afferma il principio di identità dei polinomi?

9) Come operi per calcolare la somma di due polinomi? E per calcolare la differenza?

10) Quale proprietà applichi per calcolare il prodotto fra un monomio ed un polinomio? Applichi la

stessa proprietà per calcolare il prodotto fra due polinomi?

11) Quale proprietà delle potenze applichi per determinare il prodotto di due polinomi?

12) Siano A e B due polinomi tali che il grado complessivo di A sia maggiore del grado complessivo

di B; una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?

a) Il grado complessivo di A + B è uguale alla somma dei gradi complessivi di A e B.

b) Il grado complessivo di A + B è uguale al grado complessivo di A.

c) Il grado complessivo di A − B è uguale al grado complessivo di B.

d) Il grado complessivo di A − B è uguale alla differenza fra gradi complessivi di A e B.

e) Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.


a) Il grado complessivo della somma di due polinomi è zero soltanto se i V F

due polinomi sono opposti.

b) La somma di due polinomi omogenei è ancora un polinomio omogeneo. V F

c) Se due polinomi sono opposti la loro differenza è il polinomio nullo. V F

d) Il grado complessivo del prodotto di due polinomi è uguale alla somma V F

dei gradi complessivi dei due fattori.

e) Il grado complessivo del prodotto fra due polinomi è uguale al grado V F

complessivo di uno dei fattori soltanto se uno dei due fattori ha grado

complessivo zero.

f) Il quoziente di due polinomi è sempre un polinomio. V F

g) Se due polinomi sono divisibili fra loro, il grado complessivo del V F

quoziente è uguale alla differenza fra i gradi complessivi del

dividendo e del divisore.

h) Il grado complessivo del quoziente di due polinomi opposti è sempre V F

uguale a zero.

14) Esponi le regole che consentono di determinare il quadrato e il cubo di un binomio.

15) Che cos’è e a cosa serve il triangolo di Tartaglia?

16) Come procedi per determinare la potenza di un binomio del tipo (a + b)n ?

17) Che cosa afferma il teorema del resto? E il teorema di Ruffini?

18) Quale operazione fra polinomi è possibile eseguire mediante la regola di Ruffini? In quale caso

può essere usata?

93

Esercizi

19) Esprimi sotto forma di polinomi le seguenti proposizioni:

a) Ad un numero pari aggiungi i suoi tre successivi pari.

b) Ad un numero dispari aggiungi il suo successivo.

c) Ad un multiplo di 4 sottrai il suo precedente.

d) Al doppio di un numero b aggiungi il triplo del suo quadrato.

e) Ai 3

2 di un numero x sottrai il doppio di un numero y.

f) Al triplo di un numero t sottrai la terza parte del cubo di un numero s, quindi aggiungi il

doppio prodotto fra t e s.

g) Alla somma del doppio del quadrato di un numero a con il triplo di un numero b sottrai la

quarta parte del cubo di b.

20) Esprimi con un polinomio il perimetro delle seguenti figure:

…………………………………. ……………………

……………………. ………………………………….

21) Esprimi l’area della regione colorata con un polinomio:

……………………..

2a+1 a−4

3a+2

x−3

x−5 2b+3

2b

3b−5

4b−1

2a

b c

c

94

22) Completa la seguente tabella, come nell’esempio della prima riga:

Espressione algebrica Polinomio Non polinomio

23 2 +a ××××

5

24 3 qm −

h

kk

223 +−

555 2312 sss +−

13

5−

6132 324 thth +− −

000 fg

5

6 42xt−

x

xxyyx

2

825 532 −+

aaba b

5

22

7

3 23 −+−

23) Quali dei seguenti polinomi sono ridotti a forma normale? Riduci a forma normale quelli che non

lo sono:

a) 232 542 ppsp +− ; b) yxyxxy 3223 35

1

3

1 +− ; c) aa2

5

11

3 − ;

d) 497 +− cc ; e) 10

3

5

2 +− ; f) fggffggf 3323 23

2

13

4 +−− ;

g) 52 33 −+− mhhm ; h) 3224

5

3

3

5hsshsh +−− ; i) 2

24

3

4

1 525252 +−+− bk

bkbk ;

l) 94

52 23

+− bhhb; m) 3232 3553 zzzz −+− ; n) 8510 23 +− bb .

Dei seguenti polinomi determina il grado complessivo ed il grado relativo a ciascuna lettera:

24) 524 7352 xxxx +−+− ; 485 2 +− bccb

25) 2

153

7

2 25223 −+−+ mhhmhmhm ; 232 63

14 baaba +−+

95

26) 3223 453

7sttsts −+− ; gkgkgk 24

9

113 2543 +−+−

27) 59

4

15

45 23635 +−− xaxaxa ; 10

2

1

3

2 524 ++− thtt

28) 512759 42332 −+−+− ptpttptp ; ybbyyb 3796 2 −+−

29) Per quale valore di h il polinomio -3bh+2 − 2b3ch−1 + b4c + c5 ha grado 6 rispetto alla lettera b? Per

quale valore di h ha grado 5 rispetto alla lettera c?

30) Per quale valore di n i polinomi

42732 432

1yxyxxy +− e 422

3

1

2

35 xyyxxn −+−

hanno grado uguale?

Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono omogenei:

31) 4235 23

4

13

3bccbb −+ ; kmkmmkk 356 423 −−+−

32) 22 32 psps −+− ; 53222 4125 mzhhzm −−−

33) 2853 22 −+− xyyx ; 323332 42

3

5

4cybycbcby +−−

34) Scrivi un trinomio omogeneo di grado complessivo 3 e di grado 2 rispetto ad x e ad y.

35) Scrivi un binomio omogeneo di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto alla lettera c e di grado 2

rispetto alla lettera f .

36) Scrivi un binomio omogeneo di grado complessivo 4, di grado 3 rispetto alla lettera m, di grado 2

rispetto alla lettera k e di grado 1 rispetto alla lettera s.

37) Sia B = baba k 322 3+ ; con k ∈ N.

a) Per quali valori di k l’espressione B è un polinomio?

b) Per quali valori di k il grado relativo alla lettera a è 0?

c) Per quali valori di k il grado relativo alla lettera a è 3?

d) Per quali valori di k il grado relativo alla lettera a è 5?

e) Esistono valori di k per i quali il grado relativo alla lettera a è un numero dispari

maggiore di 3? Perché?

f) Per quale valore di k il grado complessivo di B è 4?

g) Per quale valore di k l’espressione B è un polinomio omogeneo?

h) Per quale valore di k il grado complessivo di B è 6?

i) Esistono valori di k per i quali il grado complessivo di B è un numero dispari ? Perché?

96

38) Sia A = hh yxyx 332 +− − , h ∈ N.

a) Per quali valori di h l’espressione A è un polinomio?

b) Per quali valori di h il grado complessivo di A è 5?

c) Per quali valori di h il polinomio A è omogeneo?

d) Esiste un valore di h per il quale il grado complessivo di A è minore di 4? Perché?

e) Per quali valori di h il grado relativo ad y è 0?

f) Per quali valori di h il grado relativo ad y è 2?

g) Esiste un valore di h per il quale il grado relativo ad y è maggiore di 3?

39) Rispetto a quali lettere i seguenti polinomi sono ordinati?

a) ababa 252 4233 −+− b) 234 25 mmkkm +−

c) 523

1 23 +− yxxy d) 643

2

72

4

3stsst −+−

e) 62 725 +−− pkpk f) cdccddc 210

7

5

3 23342 −+−

40) Scrivi i seguenti polinomi in modo che siano ordinati secondo le potenze decrescenti di x:

a) 52332 745 xxaxaax −+− b) 43232

2

1

4

5

4

7xxbxbbx ++−−

c) 342423

3

7

3

1xmxmmxxm ++− d) 32

5

2 452 −+−− xxx

e) 43

5

3

4 3432 +−− hxxhhx f) 23447856 343 xyxyyxyxyx +−+−

41) Scrivi i polinomi dell’esercizio 40) in modo che siano ordinati secondo le potenze crescenti di x.

42) Siano A = baba 322

1 22 −+ e B = ykkyk 223 323 −+− due polinomi; una sola delle seguenti

affermazioni è vera. Quale?

a) A e B sono completi rispetto a ciascuna delle lettere che in essi vi compaiono.

b) A e B sono completi rispetto ad almeno una delle lettere che in essi vi compaiono.

c) A è completo rispetto ad entrambe le lettere e B non è completo rispetto ad alcuna lettera.

d) A non è completo rispetto a b e B non è completo rispetto a y.

e) A e B non sono completi rispetto ad alcuna lettera.

Completa i seguenti polinomi inserendo al posto dei puntini monomi, scelti a piacere, in modo che

il polinomio risulti completo; scrivi, successivamente, l’opposto di ciascuno dei polinomi ottenuti:

43) 4..........5...........2 42 +−++ bb

44) 35 9..........3

1....................2 xxx −−+++−

97

45) .....................2...........8 23 −++− aa

46) ....................15

89

10

3..........

5

1 463 −++++−− kkk

Completa i seguenti polinomi inserendo al posto dei puntini monomi, scelti a piacere, in modo che

il polinomio risulti omogeneo e completo rispetto a ciascuna lettera:

47) ..........2 22 −+− pt

48) mkkmmk 3322 5..........9..........6 −+−+

49) .....................2..........6 5423 −++−− yxyyx

50) 323 2.........3 yaya −−+

51) ..........3

5..........

9

2.......... 34 +−++− fhf

52) Riscrivi i polinomi degli esercizi 45), 46), 47), 48), 49) in modo che risultino ordinati. Che cosa

osservi?

53) Sia B = 21 657 −− −+− kkk ttt . Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) ∀ k ∈ N, B è un polinomio. V F

b) ∃ k ∈ N / B è completo. V F

c) ∃ k ∈ N / B è un polinomio completo di grado complessivo 3. V F

Esempio

a) Siano A = 1453 23 +−+ xxbx e B = 1253 23 +++ hxxx due polinomi. Per quali valori di b e h

i polinomi sono identici?

b) Siano F = 12825 24 −−− ykyy e G = 12465 24 +++− myyy due polinomi. Per quali valori di

k e m i polinomi F e G sono opposti?

a) Per il principio di identità dei polinomi, due polinomi sono identici se assumono lo stesso valore

qualunque siano i valori attribuiti alle variabili. In pratica, affinchè due polinomi siano identici è

necessario che i polinomi siano formati da monomi uguali.

I termini che hanno grado uguale, allora, devono avere coefficienti uguali.

Si ha, quindi: 3b = 3 ∧∧∧∧ 2h = −−−−4.

I valori richiesti sono: b = 1 ∧∧∧∧ h = −−−−2.

b) Due polinomi sono opposti se sono opposti i monomi che li compongono e, quindi, i monomi

simili devono avere coefficienti opposti.

Si ha, allora: −−−−2k = −−−−6 ∧∧∧∧ 4m = 8

I valori richiesti sono: k = 3 ∧∧∧∧ m = 2

98

54) Per quali valori di k e m il polinomio 533

1 2 ++− kxx è identico al polinomio 592 +− xmx ?

55) Per quali valori di a e b i polinomi 3

252 23 −+ yay e

3

2108 3 −− by sono identici?

56) Per quali valori di c e h i polinomi 9)1(2 23 +++ zcz e 952 23 +++ hzzz sono identici?

57) Per quale valore di m i polinomi 81275 23 −+− kmkk e mkkk 412145 23 +++ sono identici?

58) Per quale valore di k i polinomi kbbkb +−+− 253 24 e 4256 24 +−+ bbb sono identici?

59) Determina i valori di a, b, c per i quali il polinomio N(x) = 253

1 23 ++− xxx è identico al

polinomio D(x) = ( ) ( ) 221 23 +−+−− xcxbax .

60) Per quali valori di b e c i polinomi 5262 35 +−+− bsss e 5264 34 −+− sscs sono opposti?

61) Per quali valori di h e k i polinomi hxkxx 5733 35 +−+ e 1573 35 ++−− xxx sono opposti?

62) Per quali valori di m e p i polinomi 942 234 +−− maaa e paaa 322 234 −−+− sono opposti?

63) Per quale valore di h i polinomi 7634 23 −+− yhyy e 7264 23 +−−− hyyy sono opposti?

64) Sia A(x) = 81452 23 +−− xxx . Determina: A(2), A

2

1, A(1), A(3).

65) Sia B(t) = 48783 234 +−+− tttt . Determina: B(0), B(−2), B

3

2, B

−2

1.

66) Sia P(a, b) = 363

1 22 +− abba . Determina: P(2, 3), P

−2

1,

3

1, P

−2

5,

4

3.

67) Sia D(m, k) = 223 22 kmkkmm +−− . Determina: D(0, 1), D(2, −1), D

−2

3,

4

1.

68) Siano P(x) = 23 2xx − e Q(x) = hxx +−− 35 3 due polinomi; per quale valore di h risulta

P(−2) = Q(−2)?

Operazioni con i polinomi

Somma algebrica

Esegui le seguenti operazioni fra polinomi e riduci i termini simili:

69) ( ) ( )22 524242 mmmm +−−+− [ 23 8 4m m− − + ]

70) ( ) ( ) ( )22222 74773513 yxxyyxxyxxy +−−++−+− [3xy]

71)

+−

−+

+− 2232322

4

332

3

152

2

1abbaaababaab 2 2 31

5 312

ab a b a − +

72)

+−−

−+ tzzttzzt2

1

5

4

2

3

5

2

3

1 2222 2 211 6 1

6 5 2zt zt t

+ −

99

73) ( ) ( ) ( )xyabcbxyabxyabcb 328114735 22 +−−+−−+−+− [ 213 3 15 ]b c ab xy− − −

74)

−+−

−−−+

+−− yxyyxxyyxxy5

6

12

5

5

2

6

5

3

1

5

4

3

1

4

3 22 27 3 8

6 2 5x xy

y

− − +

75)

−−

++

−−

− 22222222

4

12

2

1

3

22

4

1

5

3kkssskkssksk 2 2 28 4 3

5 3 2k s ks s

− −

76)

++

+−

− qmqmqm2

3

3

12

3

4

5

6

2

1

1 17

2 10m q

− −

77) ( )

+−+−

+− yaccyaxaccyayacxaccya 2222222 33

433

3

12 2 27 4

3 3a cy ac x

− −

78)

−+−

−+

−+ ststsststts4

1

2

52

2

1

3

2

3

153 22222 2 5

312

t st +

79) ( ) ( )

−−

+−−−+ 332323 62

15423 bpbpbppbbp 3 2 39

9 82

p b pb b + − −

80) ( ) ( )hhhhhh aaaaaa 222222 34523 +−−+− −− , con h ∈ N0 [ 2 26 6h ha a−− + ]

81)

+−

−+

− −+−+ cbbccbcbcbcb kkkkkk 11312231 24

3

3

122

2

1, con k ∈ N0

1 3 11 7

4 3k kb c b c+ − − −

Inserisci al posto dei puntini un monomio opportuno in modo che le seguenti uguaglianze siano

vere:

82) ( ) ( ) 436..........2..........5..........2 33 +−=−+++− yyyy

83) ( ) ( ) 7..........3..........5..........3 33 ++=−+−++ mmmm

84) ( ) ( ) 455....................34..........5 2424 ++−=−+−+− mmmmmm

85) 2

1..........

5

3

2

13..........

3

1..........6

5

2.......... 3553 −++=

+−++

−+− aaaaaa

86) ( ) 323332

2

55..........

5

42..........

5

6..........5.......... abababab ++−−=

−−−+−

87) Sia A(k) = 3

4

3

2

8

5 34 −+− kkk , determina:

a) un polinomio B(k) tale che A(k) + B(k) = 18

5 234 +−+ kkk ;

b) un polinomio C(k) tale che A(k) − C(k) = kkk 23

5

2

1 34 +−− ;

c) un polinomio F(k) tale che F(k) − A(k) = 22

13 +− kk ;

d) un polinomio G(k) tale che A(k) + G(k) = 0;

100

e) un polinomio P(k) tale che A(k) − P(k) = −3;

f) un polinomio T(k) tale che A(k) + T(k) = 2k;

g) un polinomio D(k) tale che D(k) − A(k) = −1.

88) Siano A = 354

1

2

1 23 −+− bbb , B = 2

5

4

13

4

1

3

1 23 −+− bbb , C = 2

1

4

7

6

1 3 +−− bb tre

polinomi; una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) A + B − C ha grado complessivo 3.

b) A − C + B ha grado complessivo 1.

c) A − (B + C) è il polinomio nullo.

d) (A − B) + C ha grado complessivo 0.

e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.

89) Siano A, B, C i polinomi dell’esercizio precedente; determina e semplifica le seguenti espressioni:

a) −(B − A) + (A − C)

b) C − [−(A + B) + (C − A)]

c) (B + C) – (A − B) − (C + A)

d) (B − C) + A − (B + C)

e) − {B − [−(A − B) + C ] − (C +A)} + C

Moltiplicazione di un monomio per un polinomio


A B A ⋅⋅⋅⋅ B A2 ⋅⋅⋅⋅ B

3k2p 236

5 22 +− pkp

432

1 2 −+− bb b3−

mk 72 + 5m

23mh mhhm 22 34

7 −

425 3 −+− xx x2

1−

32

8

5xzc 32 424 zxcz −+−

101


91)

−−−

++ ttststsst 2

3

22

2

1

3

12 24

23

st st +

92) ( )

+−+ zxyzyx3

126

3

2 [4xz − 2yz]

93) ( )

−+

++−− babbaa

aba 34

1

3

102

52

2

3 2 219 25

310 36

a ab b − −

94) ( )

−+−

+ tstts4

1

2

5425

3

1 2 5

10 103

t st s − − +

95)

−

+−

−

− ababab3

4

4

1

8

3

3

2

4

9

2

1 2 21 11 1

2 6 3a ab b

+ −

96)

+−

++

+− hmkkmhkhm4

5

4

32

4

522

2

1

3

43 [0]

97) ( )

+−+

−+−− abccbaccacb3

24

4

33

5

4

6

532

3

1 2222 [−2b2c2 − 2ac2]

98) ( ) ( )

−−−−+ zyzzyzyzyy3

1

2

143

3

22

3

1 22 3 31 4

3 3y z

+

99) ( ) ( ) ( )[ ]{ }xyxxxxyyyxyxxx 3364223244 22223 −+−−+−− [−x3 − 3x2y]

100) ( ) 31 232 +− ⋅+− hhh xxxx , con m ∈ N − {0,1}

101)

−−

− + nnn bbbbbb 2122232

2

1

4

32

2

34

2

1, con n ∈ N 2 3 2 21 1

2 4n nb b+ + +

102) ( ) ( )1212 6252 ++ +++− mmmm aaaaaa , con m ∈ N [2a2m+1 − 4am+2]

103) Completa la seguente tabella, dove A è un monomio e B un polinomio:

A B A ⋅⋅⋅⋅ B A −−−− B

22p 23 46 pp +

263 kkg − kgk 38 2 −

ay− yaay 252 −−

22 ks + 32 33 kks +

kg −3 gk 32 −

a5− 232 2 −+ aa

24x 46 23 −+− xx

mb2 bb 23 −

102

Inserisci al posto dei puntini i monomi mancanti:

104) ( ) ..........122..........4 32 +−=+ kk

105) ( ) 2222 48..........2.......... ttptp +−=−

106) ( ) 575

2

3

4

1.....................

8

3xxx −=−

107) 3332 2..............................3

42

2

1mkmmkmk +−=

+−

108) bacbaacba 2222

2

5.............................

9

73 +−=

−+−

109) ( ) 25254525

5

4

25

12

3

4...............................

5

4phphphph +−−=−+−

110) ( ) ( ) mhmm 64...................2 2 −−=⋅+

111) ( ) .........5..........5

2 242 +=+ kffkkf

112) kggkgk2

3.........

3

1......... 3333 +−=

−−

113) 23423 12...................6

5

5

12yaaya +=

−−

Traduci in simboli le seguenti proposizioni e semplifica le espressioni ottenute:

114) Al prodotto di due numeri consecutivi aggiungi il precedente del numero più piccolo.

115) Moltiplica un numero pari per il suo successivo pari.

116) Moltiplica un numero pari per la terza parte del suo successivo.

117) Ai 3

2di un numero dispari aggiungi il triplo di un numero pari.

118) Dai 4

3di un numero a sottrai la somma fra il doppio di a e la metà di un numero b; moltiplica il

risultato ottenuto per il triplo di b.

119) Il lato di un triangolo misura 3l e l’altezza ad esso relativa è uguale alla sua metà aumentata di 2.

Esprimi l’area del triangolo.

120) Esprimi l’area di un rettangolo avente una dimensione di misura 2k e tale che la differenza fra le

due dimensioni è k + 2.

121) Esprimi il volume di un parallelepipedo sapendo che una delle dimensioni di base misura 3q, che

l’altra è i suoi 3

2 e che la somma della dimensione maggiore della base e dell’altezza è 5q + 3.

103

Prodotto fra polinomi

122) Esprimi l’area delle seguenti figure mediante un polinomio:

…………………………… ……………... ………………………


A B A ⋅⋅⋅⋅ B A (A −−−− B)

yx 42 − xy 3−

ba +−3

2 22 ba −

32 −x yx 42 −

ba +−3

2

5

3

5

24 2 +− aa

xy 3− 132 2 +− xx

Esegui le operazioni indicate e riduci, eventualmente, i termini simili:

124) ( )( )1423 22 +−+ hhh

125) ( )( )1322 223 +−+− xxxx

126) ( )( )432 32435 zzz −+−

127)

−+

+− 34

1

4

32

3

1 2 hmhm

128) ( )

−+− azzax3

22432

129)

−

+−3

2

3

5

5

1

5

3 222 skks

130)

+−

+− cbacba3

12

2

1

104

131) ( )( )nnnn bbbb −−+ +12 32 , con n ∈ N

132) ( )( )kkkk mmm 32 112 −− +− con n ∈ N0

133) ( )( )hkhh baba 21122 +− −+ con n ∈ N

134) ( )( )( )1432 −−− xxx

135)

+

+

−2

1

3

2

2

1 22 aabba

136) ( )( )223 ++−− chhch

137) ( )( )( )( )xyyxyxyx −−+− 22

138) ( ) ( ) ( )( )pmpmmpmpm 4342 222 +−−+−+ [ 2 26 15 5p mp m− − ]

139) ( )( ) ( )( ) ( )( )khkhkhkhkhkh 6522342 −+++−++−− [ 26 22hk k− − ]

140) )2)(2()(4)(3 yxyxyxyyxx −+−++− [ 2 24 6x xy y+ + ]

141) ( ) ( )1232

321

2

13 22 +

+−−−

−+ aaaaaa [ 312 2a− − ]

142) [ ( ) ( )ztzztt 3232 ++− ][ ( )( ) ( )22 2323 ztztzt +−++ ] [ 3 2 2 342 28 14tz t z t z− + ]

143) 22

6

7

3

2

3

1

2

3

3

1

2

1

3

2szzszszszs +−

+

−+

−

− 2 211 23

9 3s sz z

− −

144) [ ( )( ) ( ) )]8103)(2()10)(3[()]65(63232 22 ++++++−+++++− bbbbbbbbbb 2[6 8 16]b b+ −

145) ( )( ) ( )[ ]34222

1 223 −−−++− yyyyyyy 4 252 2

2y y y

− +

146) xyxyxyxyxy3

52

2

14

2

121

2

31

3

1 +

−

+−

+

− 3

152

xy −

147)

+

−+

+

−−

−

+2

12

3

264

3

5

3

1

2

3

6

5

4

3

2

3

.3

2 222222 mkmkmkmkmkkm

2 2 3 245 11 13

4 8 3m k mk k

− − −

148) ( ) ( ) ( )2 23 33 1 2 2 1 2

2 4hg g h hg h g h g hg

− + − − + − − +

2 2 34 2

4hg h g hg

− +

149) ( )( ) ( )( ) ( )( )22 222 zzxzxzxzxxzz −+++−−−− 3 2 2[ 2 4 2 ]x xz xz z− + − +

150) ( ) 1 1 1 2 52 1

4 2 2 3 6c c c c

− − − − − +

22 5

3 2 3

cc

− + +

151) ( )

+−−

−−−− xyxyyxxyyxyyy5

183

2

1

2

3

5

4 2 2 2 38 12

5 25x y xy

+

105

Traduci in simboli le seguenti proposizioni e semplifica le espressioni ottenute:

152) Siano a, b numeri naturali; moltiplica la differenza fra la metà di a e la terza parte di b per il

successivo di a.

153) Siano m un intero positivo e k un numero pari; aggiungi al doppio di m il triplo della differenza fra

il successivo di m e la metà di k, moltiplica il risultato ottenuto per il successivo della metà di k.

154) Siano x e y numeri interi; moltiplica la differenza fra il doppio di x ed il successivo di y per la

somma fra il triplo di y ed il precedente di x.

155) Moltiplica la differenza fra i 4

3 di un numero h e la metà di un numero s per la somma fra la metà

di h e i 4

3 di s; aggiungi al prodotto così ottenuto la somma fra la metà di h e il doppio di s.

156) Moltiplica la differenza fra il numero c aumentato di 2 ed il numero b per la terza parte di c

aumentata di 1; al risultato così ottenuto, aggiungi il prodotto fra la somma del doppio di c e b per

la differenza fra c e il triplo di b.

157) La madre di Luca ha k anni ed il padre ha 5 anni più della madre; Luca ha la metà degli anni della

madre. Quale sarà il prodotto degli anni di Luca e dei suoi genitori fra 3 anni?

158) Esprimi l’area di un parallelogramma sapendo che la differenza fra un lato, di misura 2b + 3, e

l’altezza ad esso relativa è b + 2.

159) Esprimi la superficie totale di un parallelepipedo a base quadrata sapendo che il lato della base

misura 3h e l’altezza supera il lato di base di 5.

160) Esprimi il volume di una piramide a base rettangolare sapendo che una dimensione di base misura

h, l’altra dimensione è i suoi 3

2 diminuiti di 2 e l’altezza è i

4

7 della dimensione minore della

base.

Prodotti notevoli

Somma per differenza

Calcola i seguenti prodotti:

161) ( )( )3434 −+ mm

162) ( )( )baba +− 22

163)

−−

− ff2

511

2

5

164) ( )( )zxzx −+

165)

+

− hmhm 24

12

4

1

106

166) ( )( )ckck 2424 +−+

167) ( )( )2525 −−− zz

168)

+

− 28

3

8

32 xx

169)

−−

+− 33

7

5

7

5xyxxyx

170)

−−

+− 27

4

7

42 yy

171)

+

− ztszts 23

12

3

1 22

172)

+

+− 2323 52

1

2

15 baxxba

173) ( )( )352235 44 fkggfk −−−

174)

−−

+− 33

3

5

6

1

6

1

3

5kk

175)

+−

+ 3434

2

1

5

2

5

2

2

1dgmmdg

176)

+

+− 3232

3

54

3

54 yzxyzx

177)

−

+ 523352 73

1

3

17 caasasca

178)

+

+− 2323

4

5

5

1

5

1

4

5tsssts

179)

+

+

− 94

13

2

13

2

1 2hhh

180) ( )( )( )2422 yyy +−+

181)

−−

+

− 22

9

4

4

1

3

2

2

1

2

1

3

2kmkmmk

182) ( )( )mnmn baba −+ 22 , con n, m ∈ N

183)

−

+ −− 11

2

122

2

1 hh xx , con h ∈ N −{0}

184)

+

− ++ mkkm yzzy 2112

5

2

5

2, con m, k ∈ N

185) ( )( )123312 33 −++− ++− kkkk qttq , con k ∈ N −{0}

107


186) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 1 1 2 1 1h k h k h h k k+ − − − + − − − − 2[ 7 1]h− +

187) ( )( ) ( )( ) ( )23 3 1 1 2x x x x x− − − + + − − − 2[8 4 ]x−

188) ( )( ) ( )( ) ( )225233244 bbbbb −+−−−−−+ [ 15]−

189) 2

24422

3

1

81

5424

9

1

3

12

3

12

−

−−

+

+

− kkmmkkmkm 4[8 ]m

190) 2

3

1

2

1

2

1

3

122

3

1

−+

−−

−−

−

+ aaaaa 2 15

4a +

191) ( )( )yxyxyyxx +−−

+−

−−+

+

− 2222 322

1

2

121

2

31

2

3 4 23 3

4 4x y

− − −

192) ( ) ( )( )32 3 3 2 3 31 1 1 13 2 2 2 2 4 2 4 2

3 3 2 2a m m a a m a m a m + − − + − − − + −

2 6 24928

3a m a

−

193) ( )( )112

1

2

1

4

322

4

3 2 +−−

+

−−

−−

− kpkpppkkk 2135

16k

−

Inserisci al posto dei puntini i monomi mancanti:

194) ( )( ) 94..........232 2 −=+ yyy

195) 19

4...........

3

21

3

2 2 −=

− xxx

196) 294

1

2

1...........

2

13 aa −=

+

197) ( )( ) 21649.........7..........4 hh −=−

198) ( ) 44

12...................

2

1 63 −=

kk

199) ( )( ) 25..........353........ −=+ mm

200) 42 ..........2

3.........

2

3aah −=

+

201) ( ) 824 169

1

3

14................... stts −=

−

202) 242

25

4

4

1.........

2

1........

5

2kttk −=

203) ( ) 264

25

99................

5

3.......... bhab −=

108

Esempio

Scriviamo il binomio 94 2 −h come prodotto di due fattori.

Osserviamo che i termini del binomio sono “particolari”; infatti:

4h2 = (2h)2 oppure 4h2 = (−−−−2h)2

9 = 32 oppure 9 = (−−−−3)2

Il binomio 94 2 −h è, perciò, la differenza di due quadrati e, quindi è del tipo A2 − B2 [in questo

caso A = 2h e B = 3 oppure (completa) A = …….. e B = …………. ].

Ricordiamo che A2 − B2 = (A + B) (A − B); si ha, dunque:

94 2 −h = (2h + 3) (2h – 3)

oppure

94 2 −h = [−2h + (− 3)] [−2h – (−3)] = (−−−−2h −−−− 3) (−−−−2h + 3)

Scrivi i seguenti binomi come prodotto di due fattori :

204) 22 916 yx − ; 4 – 9k2

205) 42 12181 xz − ; 259 2 −a

206) 436 6 −b ; 9

4

25

4 2 −t

207) 226

16

9

9

16yxx − ; 64 4964 gf −

208) 1616

25 2 −b ; 68 94

1sp −

209) 24 254

1mh − ; 42 49144 yx −

Esempio

Calcoliamo i seguenti prodotti:

a) 41⋅⋅⋅⋅ 39 b) 22 ⋅⋅⋅⋅ 18

a) Osserviamo che: 41 = 40 +1 e 39 = 40 −−−− 1

si ottiene: 41⋅⋅⋅⋅ 39 = (40 + 1) (40 – 1) = 402 – 12 = 1600 – 1 = 1599.

b) Osserviamo che: 22 = 20 + 2 e 18 = 20 – 2

si ottiene: 22 ⋅⋅⋅⋅ 18 = (20 + 2) (20 – 2) = 202 – 22 = 400 – 4 = 396

Calcola in modo rapido, come nell’esempio, i seguenti prodotti:

210) 17 ⋅ 23; 48 ⋅ 52; 77 ⋅ 83

211) 91 ⋅ 89; 42 ⋅ 38; 33 ⋅ 27

109

Quadrato di un binomio

Esempio

Determiniamo il quadrato dei seguenti binomi:

a) ( )223 zx − b) ( )23 22k m− −

Ricordiamo, prima di tutto, la regola che ci permette di determinare il quadrato di un binomio:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

a) Osserva che zx 23 − = ( ) ( )zx 23 −+ .

Poniamo A = 3x e B = −−−− 2z,

applicando la regola indicata:

[(3x) + (−−−−2z)]2 = (3x)2 + 2 ⋅ (3x)(−2z) + (−2z)2 = 9x2 −−−− 12xz + 4z2.

b) Osserva che 23 2mk −− = ( ) ( )3 22k m− + − .

Poniamo A = −−−−k3 e B = −−−−2m2,

applicando la regola indicata:

[(−−−−k3) + (−−−−2m2)]2 = (−k3)2 + 2 ⋅ (−k3)(−2m2) + (−2m2)2 = k6 + 4 k3 m2 + 4m4.

Determina il quadrato dei seguenti binomi come nell’esempio precedente:

212) ( )223 +a ; ( )214 −x ; ( )252 −− m

213) ( )235 +− h ; ( )22 16 +f ; ( )2384 m−−

214) ( )23 26 +t ; ( )23 5ts −− ; ( )22 18 −p

215) 2

42

1

− y ; 2

5

23

+x ; 2

23

7

+− k

216) 2

2

4

5

3

2

+ ax ; 2

43

3

1

−− bab ; 2

2

8

32

+ km

217) 2

32

2

1

− aak ; 2

2

3

7

4

+ ayxy ; 2

23

3

24

−− ts

218) 2

2 22

3

+s ; 2

3

3

46

− zh ; 2

3

1

5

9

+− kg

A B A2 A B B2

A B A2 A B B2

110

219) 2

22 ab3

1ba

2

1

− ; 2

34

5

25

+− ccb ; 2

22

3

2

4

3

+ tz

220) 2

332

3

7

7

4

+ xyx ; 2

42

5

6

2

3

+− htth ; 2

232

4

3

3

1

−− hffa

221) 2

4

32

+ mn yx , con n, m ∈ N

222) ( ) 22yx mn +− + , con n, m ∈ N

223) ( )22 nm kyk − , con n, m ∈ N

224) ( )221 2 mm ba ++ , con m ∈ N

Esempio

Calcoliamo in modo rapido:

a) 512 b) 822 c) 592 d) 352 – 252 + 412

a) Osserviamo che 51 = 50 + 1; quindi:

512 = (50 + 1)2 = 502 + 2 ⋅ 50 ⋅ 1 + 1 = 2500 +100 +1 = 2601.

b) Osserviamo che 82 = 80 + 2; quindi:

822 = (80 + 2)2 = 802 + 2⋅ 80 ⋅ 2 + 22 = 6400 + 320 + 4 = 6724.

c) Osserviamo che 59 = 60 − 1; quindi:

592 = (60 − 1)2 = 602 – 2 ⋅ 60 ⋅ 1 + 12 = 3600 – 120 + 1 = 3481.

d) Osserviamo che:

352 – 252 = (35 – 25) ⋅ (35 + 25) = 10 ⋅ 60 = 600

412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 12 = 1600 + 80 +1 = 1681

Si ottiene, dunque:

352 – 252 + 412 = 600 + 1681 = 2281

Calcola, in modo rapido, i seguenti quadrati:

225) 263 ; 492; 912

226) 722; 992; 1012

227) 322 – 222 ; 552 – 452 + 612

228) 462 – 362; 352 – 252 + 422

229) 1022 + 852 – 752

111


230)

+

−−

++

− 13

21

3

21

3

12

3

222

aaaa 212 6

9a a

− +

231) ( ) ( )

−

++−−+ 22

12

2

13525 22 yyyy 29

30 124

y y − + −

232) ( ) ( ) ( )( )3322 2222 +−−+− kkkk 2[25 8 ]k−

233) ( ) ( )( ) ( )22 34211225 sssss −−−−−−− 3 2[5 20 44 37]s s s− + −

234)

−−

+−+

−−

−− 12

11

2

12

3

133

3

2 22

22

2 sssss 4 254

6s s

+

235) 222

4

12

2

122

4

1

2

1

4

1

2

14

2

123

−−

+−

+

−−

− mmmmm 2 39

8m m − +

236)

−

+−

+

−−

+

−92923

12

3

12

2

1

2

14

2222224

224 xaxa

aaxxxa

4 4 2 4 4 2812 2

9a x a x a x

− + −

Inserisci i monomi mancanti in modo che le seguenti uguaglianze siano vere:

237) ( ) 44....................2 ++=+ aa

238) ( ) 222 16...................4.............. xbx +=−

239) ( ) ...........6...............3 2 +−=− bb

240) ( ) ..................92........ 2 =− k

241) 224 )(4................25 =++ xa

242) ( ) .........4.................... 32 ++=+ aa

243) ........4

1......

2

1 362

3 ++=

+ ttt

244) 22 )(.............5

1

36

1 =+− xyx

245) ( ) ...........4...........2............ 44232 ++=+ baba

246) ( ) 222 5....................................2 yyx ++=+

247) 22 )..............(.........2255

1..................... =+− yxy

248) 22

2 36........................................3

2tts +=

+

112

249) ..............6.......................5

3 22

2 ++=

+− kk

Esempio


a) ( )( )cbacba ++−+ 22 b) ( )( )mkmk 2112 −−+− c) ( )( )shsh +−−+ 11

In tutti i casi dobbiamo eseguire il prodotto tra due polinomi che, ormai, dovresti essere in grado di

calcolare senza alcuna difficoltà. Scrivi, pertanto, il risultato dei prodotti indicati:

a) ( )( )cbacba ++−+ 22 = ………………………………………………….

b) ( )( )mkmk 2112 −−+− = ………………………………………………….

c) ( )( )shsh +−−+ 11 = ………………………………………………………

Un’attenta analisi dei termini dei polinomi, ci può permettere di determinarne il prodotto in modo

più rapido.

a) I polinomi ( )cba −+2 e ( )cba ++2 sono formati da due termini uguali, (2a + b), e un termine

opposto, (c). Applicando la proprietà associativa, otteniamo:

( )( )cbacba ++−+ 22 = [(2a + b) − c] [(2a + b) + c]

Poniamo A = 2a + b; il prodotto precedente diventa:

( )( )cbacba ++−+ 22 = (A − c) (A + c) = (per la nota regola) = A2 – c2.

Operiamo la sostituzione inversa; si ottiene:

( )( )cbacba ++−+ 22 = A2 – c2 = (2a + b)2 – c2 = 4a2 + 4ab + b2 – c2 .

In definitiva:

( )( )cbacba ++−+ 22 = (2a + b)2 – c2 = 4a2 + 4ab + b2 – c2.

Come sicuramente avrai notato, è lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

b) I polinomi ( )12 +− mk e ( )mk 21−− hanno due termini uguali, (k − 2m), ed un termine

opposto, (1). Applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa, otteniamo:

( )( )mkmk 2112 −−+− = [(k − 2m) + 1] [(k − 2m) − 1]

Poniamo A = k − 2m; il prodotto diventa:

( )( )1212 −−+− mkmk = (A + 1) (A − 1) = (per la nota regola) = A2 – 12 = A2 – 1.

Operiamo la sostituzione inversa; si ottiene:

( )( )1212 −−+− mkmk = A2 – 1 = (k − 2m)2 – 1 = k2 – 4mk + 4m2 – 1.

In definitiva:

( )( )mkmk 2112 −−+− = (k − 2m)2 – 1 = k2 – 4mk + 4m2 – 1.

Come sicuramente avrai notato, è lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

A A

A A

113

c) I polinomi ( )sh −+1 e ( )sh +−1 hanno un termine uguale (1) e due opposti (h – s). Applicando

la proprietà associativa, possiamo scrivere:

( )( )1+ - 1- +h s h s = [1 + (h – s)][1 – (h – s)] = (operando come in precedenza) = 12 – (h – s)2 =

= 1 – (h2 – 2hs + s2) = 1 – h2 + 2hs – s2.

Calcola i seguenti prodotti come nell’esempio precedente:

250) ( )( )22 22 ++−+ xxxx

251) ( )( )cbacba +−−+

252) ( )( )hssh 3113 −−−+

253)

−−

−+ 22

2

133

2

1tzzt

254)

−+

−+− yyyx5

22525

5

2

255)

−−−

−− bccb4

33232

4

3


256) ( )( ) ( )( ) ( )212323233 −−+++−+−+ axaxaxx [16 1]a −

257) 2 2 2 25 1 1 5 1 5 5 1 11 1 1 1 4 1 1

4 2 2 4 4 2 2 4 4k p p k k k p p

+ + + + + + − + + −

19

4p +

258) ( )( )2

2

1

2

12

2

12212

−

−−

+−−+− kkmkmmm 2[ 7 6]m m+ −

259) 2 2 1 1 2

2 2 3 2 3 2 2 13 3 3 3 3

x y x y x y x y y x − − − − + − − − − −

259 2

9x y

− +

260) )2(2212

12

2

12

2

1222

mhmmhhh ++

+−−

+

− 4 21 94 15

16 4h h h m

− + + +

Quadrato di un polinomio

Determiniamo il quadrato dei seguenti polinomi:

a) ( )22 12 −+ yx b) ( ) 22 2−−+ mkh

a) Dobbiamo determinare il quadrato di un trinomio; ricordiamo la regola:

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC

In questo caso A = x2, B = 2y, C = −1; si ottiene:

( )22 12 −+ yx = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )122122212 222222 −⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+−++ yxyxyx =

= x4 + 4y2 + 1 + 4x2y −−−− 2x2 −−−− 4y.

114

b) Dobbiamo determinare il quadrato di un polinomio; ricordiamo la regola:

(A + B + C + D)2 = A2 + B2 + C2 + D2 + 2AB + 2AC + 2AD + 2BC + 2BD + 2CD

In questo caso A = h, B = k2, C = − m, D = −2; si ottiene:

( ) 22 2−−+ mkh =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+

+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+−+−++=

22222

2222222

222222

mkmk

hmhkhmkh

= h2 + k4 + m2 + 4 + 2hk2 −−−− 2hm −−−− 4h −−−− 2k2m −−−− 4k2 + 4m.

Determina il quadrato dei seguenti polinomi:

261) ( ) 22 1−+ yx ; ( )2423 cba +−

262) 2

2

2

1

3

4

−− xaax ; 2

2

3

23

+− tm

263) 2

12

3

2

1

+− ts ; 2

24

35

−− kh

264) 2

524

1

++ f ; 2

25

24

+− yx

265) 2

323 25

3

++ kgh ; ( ) 22132 −+ +− nnn xyyx

266) 2

3

1

2

121

−−+ qma ; 2

2

323

+−+ ytz

267) 2

3 124

3

−++ cab

268) 2

2

1

−+ nnnn baba

Inserisci i monomi mancanti in modo che le seguenti uguaglianze risultino vere:

269) ( )2222 ..................................222 =+++++ yzxzxyzyx

270) ( )23324 .....................................2221 =−−+++ xxxxx

271) ( )22322224 .....................................3

2

3

1

9

1

4

1 =−+−++ abbabababa

272) .................6.................94

1........

2

1 222

+−+++=

−+ xyxyx

273) ............2...........2

1.......... 332244

22 −−+++=

+− abbabababba

115

274) ( ) 2223422422 24

1.................................... xyzzxyxzyxxx +−−++=


275) ( ) ( ) ( )42612123 22 −−−−−+− xyyxyx 2[8 20 8 16 ]x xy x y− + +

276) ( ) ( ) ( ) ( )1361241212 22222 +−−−−−+− yyyyyy 3 2[ 34 20 10 ]y y y− − −

277)

−−+−

−+−4

11

4

3

2

1

4

1

2

1

4

3

2

12

2

baabababba 2 21 92 3 4

4 16a b a b

+ − + +

278) 2

222

2

3

3

2

3

13

3

132

+−−

+

− aabbababb 4 3 2 2 3 42 55 522 2

3 18 3a a b a b ab b

− + − + +

Cubo di un binomio

Esempio

Calcoliamo il cubo dei seguenti binomi:

a) ( )332 yx + b) 3

2

1

− ba

Ricordiamo la regola che consente di determinare il cubo di un binomio:

(A + B) 3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3

a) In questo caso:

A = 2x, B = 3y ; sostituendo si ottiene:

( )332 yx + = (2x)3 + 3 (2x)2 ⋅ 3y + 3 ⋅ 2x ⋅ (3y)2 + (3y)3 = 3223 279233438 yyxyxx +⋅⋅+⋅⋅+ =

= 3223 2754368 yxyyxx +++ .

b) In questo caso: A = a2

1, B = −b; sostituendo si ottiene:

3

2

1

− ba = ( ) ( ) ( )3223

2

13

2

13

2

1bbabaa −+−⋅⋅+−⋅

⋅+

=

= ( ) 3223

2

13

4

13

8

1bbabaa −⋅⋅+−⋅⋅+ = 3223

2

3

4

3

8

1babbaa −+− .

Calcola i seguenti cubi:

279) ( ) 32 ba − ; ( ) 3

32

4 yx +

280) ( ) 322 bx +− ; ( )32−k

A B A

2 A B B

2 2 B A B A3 B2 A2 A B3

A B A3 B2 A2 A B3

B

116

281) 3

2

2

1

5

3

−− yx ; 3

2

12

+− m

282) 3

32

2

1

3

2

− mmh ; 3

2 22

3

+− a

283) ( )32 43 +s ; 3

2

4

3

3

1

−− zt

284) 3

22

3

2

2

3

− abba ; 3

3

3

23

− cb

285) 3

32

2

3

3

4

− t

k;

3

22

3

5

5

2

+− m

mg

286) ( ) 3nn yx − , con n ∈ N

287) ( ) 3

2 nn zt + , con n ∈ N

288)

− −12

2

1 hh ba , con h ∈ N −{1}

289) ( ) 312 2 kk pm −+ , con k ∈ N

290) 3

1

3

2

2

1

− +nn ba , con n ∈ N

Inserisci al posto dei puntini i monomi mancanti in modo che le seguenti uguaglianze risultino vere:

291) 3223

4

9

16

27

64

27yxyyxx +++ = ( )3....................+

292) 27

64

3

8

8

1 32642963 −+− zxyzyxzyx = ( )3....................−

293) 3

3

1...........

+ = ..........3

123 +++ aaa

294) 3

2 ..........4

3

+s = 624 ..........16

27.......... tts +++

295) 336

27

8....................

8

1mkk +++ = ( )3....................+

296) ( )3....................− = 123

4

27

8 23 −+− aaa

297) 32 ..........12.......... ccb −− = ( )3....................−

298) ( )3....................− = ..........8

9..........

27

8 43 −+− kgk

117

299) ....................27

648 33 −−−− zx = 3.....)..........(.........

300) 3

2

2

1..........

+ hg = ..............................................3.6gh−


301) ( ) ( )3 3 22 2 7 ( )a b a b b a b− + + − + 3 2 2[9 13 4 ]a a b ab− +

302) ( ) ( ) ( )

−−−−−− 32463

233

322 2 yxxyyxyxyx 4 3 4 2 2 6 2 4 9 6[ 3 3 3 ]x y x y x y x y y y− − + + −

303) ( ) ( ) ( )( ) ( ) aaaaaaa −+++−++−−− 116117212 23 3

[14]

304) tssttsts 2233

23

1

2

12

2

3 −+

−−

+− 3 2 2 37 51 97 217

2 4 6 27s s t st t

− + − +

305) ( )3 3 3

21 1 1 1 12 6 3 2

2 2 2 2 2h k k h k h k h k k h k h k

− + − + − + + − + −

3

2 33 88

hh k

− − +

Seguendo gli esempi di pag. 69 – 70, calcola le seguenti potenze:

306) ( )4mh + ; ( )6tk + ; ( )422 yx −

307) ( ) 52 1−b ; ( )6zx − ; ( )712 +a

308) 8

22

1

− ts ; 5

3

2

+k ; 6

2

2

1

+ mhm


309) ( ) ( )( ) ( )( )yxyxxyxyxyyx −+−−+−− 8222 3 2 2[ 16 14 ]x y xy− +

310) ( ) ( ) ( )22222 2111 xxxxx +−−+−++ [−1]

311) (2m + 3mh + 3h)(3h + 2m− 3mh) −m (2m − 3mh)(2 + 3h) 2[9 12 ]h mh+

312) (y −1)(y + 2) − 2(y − 1)(y + 1) − (y −2)(y − 3) + 2(y − 3)2 [12 − 6y]

313) (a + b)2 − (2a − b)2 + (3a −b)(3a + b) − 6a (a + b) [−b2]

314) ( ) ( ) ( )

−−−+−++−−

+

−2

2323322

2

13422

4

32

4

32 hhhhhhhhh 31 11 65

2 8 4h h

− − +

315) ( )zyxzzyxzyx 633

2

3

12

2

1

3

12

2

122

−

−

+−−

−+− 2[4 2 ]xz xyz−

118

316) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 3 1 3 1 1 3 2 2 3 1f k k k k f k f k+ − + − + − + − + − 2[ 4 12 4 ]f kf f− − +

317) )]8103)(2()10)(3[()]65)(63()2)(32[( 22 ++++++−+++++− mmmmmmmmmm

2[6 8 16]m m+ −

318) ( ) ( )

−−+

−

+−

−+

+−−− bbabababaabbabaa4

1

2

3

2

13

2

13

2

1

2

15

2

12

2

1 323

2

3 2 253 4

4a a b ab

− − −

319) ( )( ) ( )2 3

2 2 3 2 4 5 2 2 3 21 3 3 9 13 3 3 3 3

2 2 2 4 6b x ax b ax a x ax b bx a bx a b ax a b

− − + − − + − + − + − +

3 2 3 2 69 272

2 4b ab x a bx

− −

320) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 32 2 4 2 4 2 2 2 2 3 3 24 2 2 2 4 4 6k t t k t t k t k t t k t k t t− + − + − + − + − + − − 4 8[16 ]t t−

321) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )321829

893243423232233 332222 −+

−−−+++−+−++− ssssspsppspspsps

2 2[18 18 29 27]s sp s+ + −

322) ( )22532322

323323323 33

1

5

1

3

1

5

1213

2

1

5

2

5

2babababababababababa −−

+

−−

−+

−

+

4 6 6 21 78

4 3a b a b

+ +

323) 33

22

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

4

1

2

1

2

1

+−

−+

+−

++

++

− kkkkkkkk 3

2k

−

324) ( )( ) ( )1222

12

2

12

2

1212

9

41

3

2

2

3 22

22

−−⋅

−

+−

−−−−

+

+− ttttttttt

3 24 31 59

3 3 6t t t

− + +

325) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )17234732521223 222222 ++++−+−−−−−+−− ghhghghghgghghghghg

[3g]

326) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )332222322 25724222 yxyyxxyyxyxyxyxyx −+++−+−+−−−+−

4 2 2[ 16 4 4]x x y+ + −

327)

+

−+

+−

−−

− abbaabbabaabba2

1

2

3

2

1

2

3

4

9

4

1

2

1

2

3

2

3

2

1 23232

46

2

3223

2 21

4a b

−

119

328) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 2 3 2 2[ 2 2 12 8 6b c b c bc b c b c b bc c c b b bc c− − + + − + + − + + − + + 3 22 24c b c − −

329) ( ) ( )323 23)]23(4)23[(623 −−++−−+ mmmmm 2[ 18 24 8]m m− + −

330) ( ) ( ) ( )24 2 2 24k t kt k t kt k t − − − + − +

3 2 2 3[ 8 8 8 ]k t k t kt− + −

331) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )5 3 322 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1s s s s s s + − + − + − − + −

6 4 2[6 6 18 2]s s s+ + +

332) 4 4

41 1 801

2 3 81x x x

− + − − + −

4

3 25 5 50

16 6 6 27

xx x x

+ + −

333) ( )( )nnnnn babaaba −+− , con n∈ N

334) ( )( )2323 22 +++− nnnn hhhh , con n∈ N

335) ( ) ( )( ) ( )1210555 +−−−+−− nnnnnnnnn gddgdgdgd , con n∈ N

336) ( ) ( ) nnnn tz222323 −−+ , con n∈ N0

337)

+−

+− +++ 22123

1

4

3

2

1

2

1 nnnnnn mpmpmp , con n∈ N

Dati i polinomi A = 2m −1, B = m2 − 2m + 3, C = 3m2 − 1, calcola:

338) A2 − B + 2C [9m2 − 2m − 4]

339) (A + B) (A − B) – C2 [−10m4 + 4m3 +8m – 9]

340) A3C – 4ABC [24m4 – 78m3 + 25m2 + 26m – 11]

341) B2 – 2C2 [−17m4 – 4m3 +22 m2 – 12m + 7]

342) (2A – B)2 + C2 [10m4 – 12m3 + 40m2 – 60m + 26]

343) (3B – C) – A2 [−4m2 – 2m + 9]

Problemi

344) Determina l’area delle seguenti figure:

………………… ………………

ba3

1−

ba3

1− 3b x

3b

x

120

345) Dati i numeri interi h e k, indica con

A: la somma dei loro precedenti,

B: il prodotto dei loro quadrati,

C: il quadrato della loro somma.

Quale espressione si ottiene aggiungendo ad A il doppio della differenza fra B e C?

Dopo aver semplificato l’espressione ottenuta, calcola il suo valore nei seguenti casi:

♦ h = −1; k = 2

♦ h = 5; k = −3

♦ h = −2; k = 0.

346) Sia n un numero naturale, dimostra che ( ) ( )22 1232 +−+ nn è multiplo di 8.

347) Siano s e t due numeri interi, indica con

T: il prodotto dei loro consecutivi,

S: la somma dei loro successivi,

L: il quadrato della loro differenza.

Quale espressione si ottiene sottraendo al cubo di S la differenza fra L e T?

Dopo aver semplificato l’espressione ottenuta, calcola il suo valore nei seguenti casi:

♦ s = − 2; t = 1

♦ s = 3; t = −1

♦ s = −3; t = 0.

348) Sia n un numero naturale, dimostra che ( )( )[ ]13212 +++ nn è un quadrato.

349) Siano n, m due numeri naturali, dimostra che ( ) ( )2 2[ 2 1 2 1 ]n m+ + + è un numero pari.

350) Siano n, m due numeri naturali, dimostra che ( ) ( ) ]122[ 22 ++ mn è un numero dispari.

351) Siano a, b due numeri naturali; sapendo che a2 − b2 = 891 e a + b = 33 , determina a e b.

352) Siano x e y due numeri naturali; sapendo che x2 − y2 = 16 e x − y = 2, determina x e y.

353) Siano m e p due numeri interi. Al prodotto fra i loro consecutivi sottrai la somma dei quadrati dei

loro precedenti.

354) Quale, fra le seguenti espressioni, rappresenta il quadrato del triplo del consecutivo di un numero

intero n?

a) [3(n + 1)]2 b) 3n2 + 1 c) (3n + 1)2 d) 3(n2 + 1) e) 3(n + 1)2

[Olimpiadi Matematica, 1998]

355) Sapendo che x + y = 1, quanto vale x3 + y3 ?

a) 1 b) 22 33 xyx + c) 22 yx + d) xy31− e) nessuno dei valori precedenti


121

Divisione

Esegui, se possibile, le seguenti divisioni e verifica il risultato ottenuto:

356) ( ) ( )aaaa 2:684 24 +−

357) ( ) ( )mmmm 6:1836 235 −−−

358) ( ) ( )hhhh 5:155105 34 −+−

359)

−

+− 2235

4

3:3

2

1

3

2tttt

360) ( ) ( )kmkmmkmk 2:226 223 −+−

361)

−

−+− yxxyyxyx 22233

3

2:

2

32

5

1

362) ( )3:3

4

5

2

3

5 232 −

−+− mhhm

363)

−

+− 35342

5

1:

5

2

2

1

8

3hgghggh

364) ( ) ( )232435426 4:324 zszstzszts −+−

365) ( ) ( )nnnn abaa 3:63 2 −− , con n∈ N

366) ( ) ( )112 3:54 −++ −− nnn xxx , con n∈ N − {1}

Completa in modo che le uguaglianze risultino vere:

367) ( ) ( ) 133:.................................................... 322 +−= mmm

368) ( ) ( ) 12.......:..........................................3 234 −+=− hhh

369) ( ) ( ) 22 22:.................................................... cbcbbc +−=

370) ( ) ( ) ghhghg 3.......:6...................................... 222 −+−=−

371) 3

12.........

3

1:...........................................

9

4 24 +−=

kkk

372) 14

3

2

1

8

5:...........

5

6.............................. 2323 −−−=

− bbbbb 1


373) ( ) ( )( )

−++−++ 222

2

1:]422[]2:64[ mmmmmm 2[4 12 7]m m+ +

374) ( )21 1 1 1 1 7 5:

3 2 2 3 6 6 6s t s t s t t t

− − − − + −

7

30 5

s −

122

375) ( )( )( ) ( )[ ] ( ){ } ( )222422 2:4 hhgghhghghghg −+−−−++− 2 2[3 ]g h+

376) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )abababbabaabbabababa −−−⋅++⋅−⋅−−⋅+−−− :5322222322 322223

2 2[4 3 7 ]a a b b+ − −

377) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 3 2 4 :[ 2 5 ]bk b bk b k b k b k k− + + − − + − 2 232

2b k bk k

− +

378) ( )( )3 2

2 21 1 1 11 1 1 : 2 1 2 1 3

2 2 2 3g g g g g g g

− − + − − + − + −

[impossibile]

379) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2[ 2 1 2 1 4 1 1]: 2 4 6 : 2 :k k k k k k k k k+ − + + − + + − [2]

380) ( ) ( ) ( )( ) ( )

−

−++−++−+−−−+ xyxyyxyxyxyxyxyxyxyy3

1:

3

4222:]12162[ 2222223

2 2[ 3 4 ]x x y− + −

381) ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( )22 22 1 1 2 1 1 2 1 1 2 :t z t z t z t − − + + + − + − + −

[4]

382) Nella prima colonna della seguente tabella è indicato il dividendo [P(x)], nella seconda colonna il

divisore [B(x)], nella terza colonna il quoziente [Q(x)] e nella quarta colonna il resto [R(x)] della

divisione. Completala:

P(x) B(x) Q(x) R(x)

1423 234 +−+− xxxx 122 +− xx

3x– 1 xx −2 −2

48252 235 −++− xxxx 32 2 −x

12 23 +− xx 53 2 −+ xx x +1

Determina quoziente e resto nelle seguenti divisioni; verifica, successivamente, il risultato ottenuto:

383) ( ) ( )3:275 23 −−+− kkkk [Q(k) = 2 2 1k k− + ; R(k) = 1]

384) ( ) ( )12:472 234 +−−− bbbb [Q(b) = 2 3 2b b− − ; R(b) = b – 2]

385) ( ) ( )1:3364 2246 −−+−+ mmmmm [Q(m) = 4 24 5 1m m+ − ; R(m) = 3m – 4]

386) ( ) ( )1:252 2363 +−+− hhhh [Q(h) = 3 22 2 2 5h h h+ + − ; R(h) = 27 2 7h h− − + ]

387) ( ) ( )3 2 210 7 6 1 : 2 1y y y y y− + − − + [Q(y) = 5y – 1; R(y) = 0]

123

388) ( ) ( )23:3223 234 +−−+− sssss 2 1 7 17 13( ) ; ( )

3 9 9 9Q s s s R s s = − − = −

389) ( ) ( )132:2923314 23542 −−+−++− ttttttt [Q(t) = 3 4 1t t− + ; R(t) = 2t + 3]

390) ( ) ( )2 4 3 23 4 10 8 6 : 2a a a a a a− + + − − − + − [Q(a) = 24 4 1a a− + ; R(a) = 3a – 4]

391) 2 4 5 213 9 16 2 : 2 2

2 2 2s s s s s s

+ + − − + −

[Q(s) = 3 22 4 1s s s+ + + ; R = 0]

392) 4 2 33 3 5 1: 2

2 4 2 2t t t t

− + − − +

23 3 3( ) ; ( )

4 8 2Q t t R t t t = = − − −

393) ( ) ( )3 29 6 8 1 : 3 1x x x x− + + + 2 11 8( ) 3 3 ;

3 3Q x x x R = − + = −

394) ( ) ( )122:3343 23246 −+−+− ggggg 3 2 23 3 1 5 1 7( ) ; ( )

2 2 2 4 2 4Q g g g g R g g g = − − + = − − −

395) ( )1:1352

3 2342 −

+−+− xxxx 2 7 9( ) 5 3 ; ( ) 3

2 2Q x x x R x x = − + = − +

Esegui le seguenti divisioni scegliendo prima una variabile e, successivamente, l’altra :

396) ( ) ( )cbcbccbcbb 3:25563 433224 −++−−

397) ( ) ( )222233 6:1326 skskskksks +−−+−+

398)

−

−+− thtthhtth2

1:

3

1

4

3

5

1

3

2 42323

399)

+

++− babaaba2

1:

2

1

3

2

3

1 323

400) ( )223223 32

1

2

1

2

5bkbkbkbbkk +−

+−−

Teorema del resto

Senza eseguire l’operazione, determina il resto delle seguenti divisioni:

401) ( ) ( )1:452 23 −−+ ppp

402) ( ) ( )2:1543 234 +−+−+ sssss

403) ( ) ( )1:524 23 ++−+ tttt

404) ( ) ( )2:75 35 −−+− kkkk

405) ( ) ( )3:953 24 +++− mmmm

124

Esempio

Determiniamo il resto delle seguenti divisioni:

a) ( ) ( )12:4572 23 −++− aaaa ; b) ( ) ( )kmkkmm 2:24 434 −+−

a) Il divisore è un binomio di primo grado, ma il suo coefficiente è diverso da 1, pertanto non

posso applicare il Teorema del resto.

E’ possibile, tuttavia, ricondursi al caso in cui è possibile applicare il Teorema del resto?

Per la proprietà invariantiva della divisione, se dividiamo dividendo e divisore per uno stesso

numero h, il quoziente rimane invariato; mentre,il resto viene diviso per h.

(Per convincerti di questo, puoi fare qualche esempio numerico).

Allora, procediamo nel seguente modo:

♦ dividiamo dividendo ( )4572 23 ++− aaa e divisore ( )12 −a per il coefficiente di a (2):

−

++−2

1:2

2

5

2

7 23 aaaa

♦ applicando il teorema del resto, determiniamo il resto di questa divisione; si ottiene:

22

1

2

5

2

1

2

7

2

123

+⋅+

−

= 2

5

♦ il risultato ottenuto lo moltiplichiamo per il coefficiente di a(2); quindi

R = 22

5 ⋅ = 5

b) Osserviamo che il divisore è un binomio di primo grado ed il coefficiente di m è 1; allora,

scegliendo come variabile (rispetto alla quale eseguire la divisione) la lettera m, possiamo

applicare il Teorema del resto.

Sostituiamo, allora, nel dividendo il termine k2 ; si ottiene:

R = ( ) ( ) 434 2242 kkkk +− = 444 23216 kkk +− = 414k−

Osservazione

Se, invece, scegliamo come variabile (rispetto alla quale eseguire la divisione) la lettera k,

dobbiamo procedere, prima, come al punto a) e, successivamente, come al punto b).

Procedendo come negli esempi precedenti, determina il resto delle seguenti divisioni:

406) ( ) ( )12:453 4 +−+ hhh

407) ( ) ( )23:34 23 −−− mmm

408) ( ) ( )13:4626 34 +−+− ssss

409) ( )434 564 zztt ++ : ( )zt 2+

410) ( ) ( )cbcbcbcb ++−+ :253 553223

125

Stabilisci se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi a fianco indicati:

411) 3832 23 +−+ mmm 1−m ; 3+m ; 1+m ; 2

1−m

412) 8201053 234 −+−− xxxx 3−x ; 2+x ; 1−x ; 1+x

413) 673 2 −− bb 2−b ; 3

2+b ; 3+b ; 3−b

414) 1644 23 −−+ ggg 2+g ; 3−g ; 4−g ; 3+g

415) 24221172 234 +−−+ aaaa 2

3−a ; 2−a ; 1+a ; 1−a

Per quale valore della lettera k i seguenti polinomi sono divisibili per il binomio a fianco indicato?

416) 223 −−+ akaa 2+a

417) 4732 234 −+−− kmmmm 1−m

418) 23 234 ++−− sskss 1+s

419) kzzz +−− 1153 23 3−z

420) 68 234 +−−+ bbbkb 1−b

421) Dato il polinomio A(h) = 32 24 −+ hh , una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) h = 1 ∧ h = 2 sono zeri per A (h);

b) A(h) è divisibile per 2−h ;

c) A(h) ha, fra i suoi divisori, il binomio 2+h ;

d) Il resto nella divisione di A(h) per il binomio 1+h è 3;

e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.

422) Le seguenti affermazioni si riferiscono al polinomio B(a) = 12 23 +−− kaaa ; una sola è falsa.

Quale?

a) Se 2=k , 2

1=a è uno zero per B(a);

b) Se 1−=k , B(a) non è divisibile per 1+a ;

c) Se 2

13=k , B(a) è divisibile per 2−a ;

d) Se 0=k , B(2) + B(−1) = 5;

e) Almeno una delle precedenti affermazioni è vera.

423) Nella divisione ( ) ( )3:)1()4(11 23 −−+++− tktktkt il resto è 5 se :

a) k = 2; b) k = 1; c) k = 3; d) k = −2; e) per nessun valore di k.

126

424) Per quale valore della lettera k, t = 2

1− è uno zero del polinomio F(t) = 821132 234 −++− ktttt ?

425) Per quale valore della lettera m, s = −2 è uno zero del polinomio G(s) = msss +−+ 263 34 ?

426) Per quale valore della lettera h, z = 2 è uno zero del polinomio B(z) = ( ) 82 234 +++−− hzzhzz ?

Per ciascuno dei seguenti polinomi, stabilisci se i numeri a fianco indicati sono degli “zeri”:

427) P(b) = 3 22 3 2 3b b b a+ − − b = −2; b = 3

2; b =

3

2− ; b = −1.

428) A(h) = 4 3 22 9 18 10h h h h+ − + − h = 1; h = 1

2; h = −5; h = 2.

429) R(t) = 4519255 234 −−++ tttt t = −1; t = −4; t = 2; t = −2.

430) M(a) = 635 234 ++−− aaaa a = 3; a = −3; a = −1; a = 2.

431) P(h) = 3

2

2

5

3

4

2

1 23 +−+ hhh h = 2

1− ; h = −1; h = 3

1; h =

2

1.

Applicando la regola di Ruffini, determina quoziente e resto delle seguenti divisioni:

432) ( ) ( )3:316143 23 −++− bbbb [Q(b) = 23 5 1b b− + ; R = 6]

433) ( ) ( )2:236 23 +−++ mmmm [Q(m) = 2 4 5m m+ − ; R = 8]

434) ( ) ( )3:134352 234 +++−+ hhhhh [Q(h) = 3 22 4h h− + ; R = 1]

435) ( ) ( )1:253 42 −−++ ssss [Q(s) = 3 22 2 5 4s s s+ + + ; R = 9]

436)

+

−++2

1:

4

3

2

52

2

3 32 zzzz 2 1Q( ) 2 1; R 3

2z z z

= + − =

437) ( ) ( )2:32 5 −+− aa [Q(a) = 4 3 22 4 8 16a a a a+ + + + ; R = 0]

438) ( ) ( )5:992153 234 ++−−+ ggggg [Q(g) = 33 2 1g g− + ; R = 4]

439)

−

−++−2

1:24

2

122 234 qqqqq [Q(q) = 3 22 4q q− + ; R = 0]

440) ( ) ( )2:132 264 −−−+− yyyy [Q(y) = 5 4 3 22 2 4 5 10y y y y y+ + + + + ; R = 19]

441)

+

−−+3

2:23

9

4

3

2 34 xxxx 32Q( ) 3; R 0

3x x

= − =

442) ( ) ( )4:21873 23 ++−+ cccc [Q(c) = 23 5 2c c− + ; R = 0]

443) ( ) ( )3:2444628 4235 −+−−−+ ffffff [Q(f ) = 4 32 2 4 4f f f+ − − ; R = 12]

444)

−

−++2

1:

4

11

2

16

4

5 32 cccc 21 3Q( ) 2; R 5

2 2c c c

= + − =

127

Esempio

Determiniamo quoziente e resto delle seguenti divisioni:

a) ( ) ( )12:6824 34 +−−+ ffff b) ( ) ( )3 2 2 34 6 6 : 2m hm h m h m h− + − −

a) Il divisore è un binomio di primo grado, ma il coefficiente del termine di primo grado è diverso

da 1; non possiamo, dunque, eseguire la divisione mediante la regola di Ruffini.

Ricordiamo, però, la proprietà invariantiva della divisione: se dividiamo dividendo e divisore

per uno stesso numero n il quoziente non cambia, il resto, invece, viene diviso per il numero n.

Dividiamo, allora, dividendo e divisore per il coefficiente :

( ) ( ) ]2:12[:]2:6824[ 34 +−−+ ffff = ( )

+−−+2

1:342 34 ffff

Possiamo applicare, adesso, la regola di Ruffini, e determinare i coefficienti del quoziente; si

ottiene:

Si ha, allora: Q(f ) = 42 3 −f . Il resto della divisione è R = −−−−1 ⋅⋅⋅⋅ 2 = −−−−2.

b) Sia il divisore che il dividendo sono polinomi in due variabili. Notiamo, però, che il divisore è un

binomio di primo grado e il coefficiente della lettera m è 1. Possiamo, quindi, eseguire la

divisione scegliendo come variabile la lettera m ed applicare la regola di Ruffini:

4 −6h 6h2 − h3

2h 8h 4h2 20h3

4 2h 10h2 19h3

Si ha, quindi:

Q(m, h) = 22 1024 hhmm ++ ; R(h) = 319h

2 1 0 −4 −3

2

1−

−1 0 0

2

2 0 0 −−−−4 −−−−1

Coefficienti del quoziente

R : 2

Coefficienti del quoziente resto

128

Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni:

445) ( ) ( )52:2213136 23 −+−− aaaa [Q(a) = 23 4a a+ − ; R = 2]

446) ( ) ( )13:83254 423 +−+−− ttttt [Q(t) = 3 2 2 2t t t+ − − ; R = 0]

447) ( ) ( )12:132 25 ++− hhh 4 3 21 1 13 13 3( ) ;

2 4 8 16 16Q h h h h h R = − + − + =

448) ( ) ( )23:261669 324 −−−+− kkkkk [Q(k) = 33 2 4k k− + ; R = 6]

449) ( )23:4

99365 432 −

+−++ mmmmm 3 23 5( ) 1; 8

4 2Q m m m R = − + =

450) ( ) ( )kmmkkmmk +−+− :2632 3322

451) ( ) ( )btbt 2:16 44 −−

452)

−

++ tststs2

1:

2

1

4

3 4422

453) ( ) ( )bababbabaa 3:232 432234 −+−+−

Problemi

454) Un rettangolo di dimensioni m e t è isoperimetrico ad un quadrato; Scrivi l’espressione che

esprime l’area del quadrato. Calcola tale area per m = 10 cm e t = 12 cm.

455) Sia P(x) = cbxx ++2

6

1. Se si divide P(x) per x si ottiene resto 2, se si divide P(x) per x – 2 si

ottiene ancora resto 2. Quanto vale P(1)?

456) Un polinomio P(x) dà resto 3 sia quando viene diviso per x – 1 che quando viene diviso per x + 1.

Qual è il resto della divisione di P(x) per x2 – 1?

457) Un numero di due cifre viene sommato al numero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide,

quindi, la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il

risultato. Che numero si ottiene?

a) 36 b) 49 c) 100 d) 121 e) dipende dalle cifre del numero

[Olimpiadi della Matematica, 2002]

458) Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio:

( ) ( ) 2216672212001221 43434 xxxxxx ++++−−+


459) Comunque si prenda un numero naturale n, il numero (n + 2)(n + 3)(2n + 5) è divisibile per

a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 15


129

IL CALCOLO LETTERALE (seconda parte)

CAPITOLO 7

Scomposizione in fattori

Nel capitolo precedente hai imparato ad eseguire operazioni con i polinomi, in particolare a

calcolare il prodotto di due o più polinomi.

In questo capitolo ci proponiamo di affrontare il problema inverso: sapendo che un polinomio è il

prodotto di più polinomi, vogliamo determinare i fattori di tale prodotto.

Questa “operazione” si chiama scomposizione in fattori (di un polinomio).

Per esempio, è possibile verificare facilmente che il polinomio 352 2 −+ xx è il prodotto fra 12 −x

e 3+x ; quindi, possiamo scrivere:

352 2 −+ xx = ( 12 −x )( 3+x )

quindi ( 12 −x )( 3+x ) è la scomposizione in fattori del polinomio 352 2 −+ xx .

Come fare per determinare i fattori?

In alcuni casi, non è molto difficile.

Ad esempio, consideriamo il polinomio 42 −x . Osserviamo che il polinomio esprime la differenza

di due quadrati; ricordando i prodotti notevoli (Tomo 2, cap. 5) possiamo scrivere che:

42 −x = ( )( )22 −+ xx

Osservando i due esempi precedenti, notiamo che il grado complessivo di ciascuno dei fattori è

minore del grado complessivo del polinomio.

Un problema analogo a questo lo hai già affrontato quando hai imparato a scomporre in fattori primi

un numero naturale.

Ricorderai, sicuramente, la definizione di numero primo (Tomo 1, pag. 48); ora, nell’insieme dei

polinomi, al posto dei numeri primi, esistono polinomi che non possono essere scritti come prodotto

di altri polinomi di grado inferiore; questi polinomi sono detti “polinomi irriducibili”.

Si hanno, pertanto, le seguenti:

Definizioni

� Un polinomio si dice irriducibile se non può essere ottenuto come prodotto di polinomi di

grado inferiore ad esso.

� Un polinomio non irriducibile è detto riducibile.

� Scomporre un polinomio in fattori vuol dire scrivere quel polinomio come prodotto di

polinomi irriducibili .

Come per i numeri naturali, la scomposizione in fattori di un polinomio è unica, a meno dell’ordine.

130

I polinomi 352 2 −+ xx e 42 −x sono riducibili; il polinomio 35 +x è irriducibile.

In generale, i polinomi di primo grado sono polinomi irriducibili.

Per scomporre un polinomio in fattori, esistono delle tecniche che, se ben assimilate, permettono di

individuare i fattori in modo abbastanza agevole.

7.1 Raccoglimento totale

Ricordi la proprietà distributiva?

A ⋅ B + A ⋅ C = A (…. + ….) (Completa)

In alcuni esercizi del Tomo 1, hai imparato a trasformare la somma di numeri interi in prodotto

applicando tale proprietà.

Scrivi, in sintesi, come si procede.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Ricorda, inoltre, che è possibile trasformare una somma di interi in un prodotto solo se i termini

della somma non sono primi fra loro.

Dal momento che un polinomio è la somma di più monomi, talvolta è possibile operare nello stesso

modo.

Esempio

Consideriamo il polinomio 23 86 aa + .

Procediamo come è stato descritto in precedenza e determiniamo il MCD fra i termini del

polinomio:

MCD ( 36a , 28a ) = 22a (questo è il fattore esterno).

Dividiamo il polinomio 23 86 aa + per il MCD:

( 23 86 aa + ) : 22a = )2:8()2:6( 2223 aaaa + = 43 +a .

Pertanto, il polinomio 23 86 aa + può essere visto come il prodotto fra il MCD ed il quoziente

ottenuto:

23 86 aa + = 22a ( 43 +a ).

Abbiamo, così, scritto il polinomio 23 86 aa + come prodotto di due polinomi irriducibili di grado

inferiore ad esso; quindi il polinomio 23 86 aa + è stato scomposto in fattori.

La tecnica usata nell’esempio precedente prende il nome di raccoglimento totale o raccoglimento

a fattor comune.

131

OSSERVAZIONE

Applichiamo il procedimento appena descritto al polinomio 46 2 +m .

MCD ( 26m , 4 ) = 2; pertanto, applicando la proprietà distributiva, otteniamo:

46 2 +m = ( )232 2 +m

Dunque, il polinomio 46 2 +m è il prodotto di due polinomi; osserviamo, però, che uno dei due

fattori non è di grado inferiore ad esso. Non possiamo, perciò, dire di aver scomposto in fattori il

polinomio 46 2 +m .

Tuttavia, in casi del genere è sempre opportuno fare il raccoglimento totale di eventuali fattori

numerici comuni ai termini del polinomio.

Tenendo conto dell’esempio precedente e dell’osservazione appena fatta, possiamo schematizzare

tale metodo nel modo seguente:

determiniamo il MCD fra i termini del polinomio;

♦ se MCD ≠≠≠≠ 1

� dividiamo il polinomio per il MCD;

� scriviamo il polinomio dato come prodotto fra il MCD ed il quoziente ottenuto;

♦ se MCD = 1, non si può eseguire il raccoglimento totale.

PROVA TU

Applicando il metodo del raccoglimento totale, scomponi in fattori i seguenti polinomi:

a) 35 102 kk +

b) hmmhh 22 935 −+

7.2 Raccoglimento parziale

Esempio

a) Consideriamo il polinomio 22 2my mt y ty− + − .

Il MCD fra i termini del polinomio è 1, quindi non è possibile eseguire il raccoglimento totale.

Tuttavia, osservando attentamente il polinomio, notiamo che alcuni termini hanno dei divisori

comuni (Completa):

2my e ……..; y2 e …….. oppure 2my e ……...; y2 e ……..

oppure 2my e …….; −2mt e ………… .

Applichiamo la proprietà associativa (se necessario, anche quella commutativa) e riscriviamo il

polinomio dato come somma di due polinomi in modo tale che fra i termini di ciascuno dei due

polinomi ci siano divisori comuni.

132

Per esempio, un modo di scrivere il polinomio nella forma richiesta è il seguente:

22 2my mt y ty− + − = ( ) ( )22 2my mt y ty− + − (∗)

I termini del polinomio possono essere associati anche in modi diversi; scrivine almeno un altro:

……………………………………………………………………………………………………

Consideriamo l’uguaglianza (∗).

Il MCD fra i termini del primo polinomio è diverso da 1, così come è diverso da 1 anche il MCD

fra i termini del secondo polinomio; per ciascuno di essi possiamo, quindi, eseguire il

raccoglimento totale:

2 2my mt− = ( )2m y t− , tyy −2 = ( )tyy −

Si ottiene, dunque:

22 2my mt y ty− + − = ( ) ( )22 2my mt y ty− + − = ( ) ( )2m y t y y t− + −

Poniamo A = ty − , l’uguaglianza precedente diventa:

22 2my mt y ty− + − = 2m ⋅ A + y ⋅ A = (raccogliendo a fattor comune) = A(2m + y).

Al posto di A riscriviamo ty − ; si ha

22 2my mt y ty− + − = A(2m + y) = ( )( )ymty +− 2

In definitiva, abbiamo ottenuto che:

22 - 2 + -my mt y ty = ( )( )ymty +− 2

Il polinomio 22 2my mt y ty− + − è il prodotto di due polinomi irriducibili di grado inferiore ad

esso, quindi è stato scomposto in fattori.

b) Consideriamo il polinomio 1224 −+− kxkx .

Il MCD fra i termini del polinomio è 1, quindi non possiamo eseguire il raccoglimento totale.

Osserviamo che alcuni termini del polinomio hanno divisori comuni e, dunque, applicando la

proprietà associativa, scriviamo il polinomio come somma di polinomi:

1224 −+− kxkx = ( ) ( )1224 −+− kxkx

Per il primo dei due polinomi possiamo eseguire il raccoglimento totale [MCD(4kx, 2x) = 2x].

Il MCD fra i termini del secondo polinomio è 1 e, dunque, non è possibile eseguire il

raccoglimento a fattor comune; ricordiamo, tuttavia, che 12 −k = ( )121 −⋅ k

Si ottiene, allora:

1224 −+− kxkx = ( ) ( )1224 −+− kxkx = ( ) ( )121122 −⋅+− kkx

I due termini della somma hanno un fattore comune ( 12 −k ) e, procedendo come nell’esempio

precedente, possiamo eseguire il raccoglimento a fattor comune; si ottiene:

1224 −+− kxkx = ( )( )1212 +− xk

133

Questo modo di scomporre in fattori un polinomio prende il nome di raccoglimento parziale.

ATTENZIONE

♦ Scrivere un polinomio come somma di polinomi i cui termini hanno divisori comuni è,

ovviamente, utile se, successivamente, i termini della somma hanno un fattore comune.

♦ Talvolta il modo di associare i monomi non consente, successivamente, di avere dei fattori

comuni; in questo caso, allora, è necessario cambiare il modo di associare i monomi fra loro.

♦ Consideriamo il polinomio 3 3ht st h s− + − .

Effettuando il raccoglimento parziale otteniamo:

3 3ht st h s− + − = ( ) ( )3 1 1h t s t+ − + = (il polinomio non è ancora scomposto in fattori) =

= ( )( )1 3t h s+ −

Il polinomio 3 3ht st h s− + − è ora scomposto in fattori.

Possiamo schematizzare tale metodo nel modo seguente:

� scriviamo il polinomio come somma di due o più polinomi in modo tale che i monomi di almeno

uno di essi abbiano dei fattori comuni;

� per ciascuno dei polinomi così determinati, eseguiamo il raccoglimento totale ed otteniamo una

somma di prodotti con un fattore comune;

� eseguiamo, nuovamente, il raccoglimento totale.

Il polinomio dato è, così, scomposto in fattori.

PROVA TU

Scomponi in fattori i seguenti polinomi

a) 222 28312 kkkmm +++

b) bbcaca −−+ 5102

c) 2 6 15 5h hk kg g− − −

7.3 Prodotti notevoli

Sicuramente ricorderai che:

� (A + B) (A −−−− B) = A2 – B2

� (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

� (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC

� (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Queste uguaglianze ti saranno molto utili nella scomposizione in fattori di un polinomio.

134

Esempi

a) Scomponiamo in fattori il polinomio 4k4 −−−− 9h2.

Osservando attentamente i termini del polinomio, notiamo che:

• il polinomio è la differenza di due monomi;

• i due monomi sono dei quadrati; infatti 4k4 = (±±±±2k2)2 e 9h2 = (±±±±3h)2

Possiamo, perciò, scrivere:

4k4 −−−− 9h2 = (±±±±2k2)2 −−−− (±±±±3h)2

e, quindi, il polinomio 4k4 −−−− 9h2 è la differenza di due quadrati.

Poniamo A = 2k2 e B = 3h; si ottiene:

4k4 −−−− 9h2 = A2 – B2 = (ricordando quanto menzionato prima) = (A + B) (A −−−− B) =

= (2k2 + 3h) (2k2 −−−− 3h)

oppure, se poniamo A = −2k2 e B = −3h:

4k4 −−−− 9h2 = A2 – B2 = (ricordando quanto menzionato prima) = (A + B) (A −−−− B) =

= [−−−−2k2 + (−−−−3h)] [−−−−2k2 −−−− (−−−−3h)] = (−−−−2k2 −−−− 3h)(−−−−2k2 + 3h)

In definitiva:

4k4 −−−− 9h2 = (2k2 + 3h) (2k2 −−−− 3h) oppure 4k4 −−−− 9h2 = (−−−−2k2 −−−− 3h)(−−−−2k2 + 3h)

b) Scomponiamo in fattori il polinomio 4g2 + 12g + 9.

Ancora una volta, osserviamo attentamente i termini del polinomio; notiamo che:

• il polinomio è un trinomio,

• due termini sono dei quadrati; infatti 4g2 = (±±±±2g)2; 9 = (±±±±3)2.

Possiamo pensare, allora, che il trinomio 4g2 + 12g + 9 sia il quadrato di un binomio.

Per averne conferma è sufficiente calcolare il doppio prodotto delle basi dei due quadrati (senza

tener conto del segno):

2 ⋅⋅⋅⋅ 2g ⋅ 3 = 12g

Tale prodotto, a meno del segno, è uguale al terzo termine del polinomio; possiamo, allora,

affermare che il polinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio.

Inoltre, poichè il termine 12g è preceduto dal segno “+”, le basi dei due quadrati sono concordi.

Se poniamo A = 2g e B = 3, si ha:

4g2 + 12g + 9 = A2 + 2AB + B2 = (per quanto ricordato prima) = (A + B)2 = (2g + 3)2;

oppure, se poniamo A = −2g e B = −3, si ha:

4g2 + 12g + 9 = A2 + 2AB + B2 = (per quanto ricordato prima) = (A + B)2 = (−−−−2g −−−− 3)2

In definitiva:

4g2 + 12g + 9 = (2g + 3)2 oppure 4g2 + 12g + 9 = (−−−−2g −−−− 3)2

135

c) Scomponiamo in fattori il polinomio −21+1

4h h .

Ancora una volta, osserviamo attentamente i termini del polinomio:

• il polinomio è un trinomio;

• due termini sono dei quadrati; infatti

221 1

= ±4 2

h h e 1 = (±±±±1)2.

Possiamo pensare, allora, che anche il trinomio −21+1

4h h sia il quadrato di un binomio.

E’ sufficiente calcolare il doppio prodotto delle basi dei due quadrati (senza tener conto del

segno):

12 1

2h⋅ ⋅ = h

Tale prodotto, a meno del segno, è uguale al terzo termine del trinomio; possiamo, allora,

affermare che il polinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio.

Inoltre, poiché il termine h è preceduto dal segno “−”, le basi dei due quadrati sono discordi.

Se poniamo A = 1

2h e B = −1, si ottiene:

−21+1

4h h = A2 + 2AB + B2 = (per quanto ricordato prima) = (A + B)2 = −

21

12

h .

Se poniamo A = 1

2h− e B = 1, si ottiene:

−21+1

4h h = A2 + 2AB + B2 = (per quanto ricordato prima) = (A + B)2 = −

21

12

h+ .

In definitiva:

−21+1

4h h = −

21

12

h oppure −21+1

4h h = −

21

12

h+

d) Scomponiamo in fattori il polinomio 2 2 2+ 4 + + 4x s t sx −−−− 2tx – 4st .

Seguendo il procedimento dell’esempio precedente, completa.

Ancora una volta osserviamo attentamente i termini del polinomio:

• il polinomio è formato da …… termini;

• ….. termini sono dei quadrati; infatti: x2 = (±±±± ….)2, 4s2 = (±±±± ….)2 e t 2 = (±±±± ….)2.

Questo lascia pensare che il polinomio potrebbe essere il quadrato di un trinomio.

Per averne conferma è sufficiente calcolare i “doppi prodotti” fra le basi (senza tener conto del

segno); si ottiene:

2 2x s⋅ ⋅ = …… 2 x t⋅ ⋅ = …… 2 2s t⋅ ⋅ = …….

136

Essi sono ……………….. (a meno del segno) agli altri termini del polinomio; quindi il polinomio

2 2 2+ 4 + + 4 2 4x s t sx tx st− −− −− −− − è lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Poiché il termine 4sx è preceduto da segno “+”, le due basi x e 2s sono …..……………..; poichè

il termine 2tx è preceduto dal segno “−”, le basi x e t sono discordi; poiché il termine 4st è

preceduto dal segno “−”, anche le basi 2s e t sono …………………….. .

2 2 2+ 4 + + 4x s t sx −−−− 2tx – 4st = (x + 2s −−−− t)2

oppure

2 2 2+ 4 + + 4x s t sx −−−− 2tx – 4st = (−−−−x −−−− 2s + t)2

e) Scomponiamo in fattori il polinomio 3 2 2 3+ 6 +12 + 8b ab a b a .

Osserviamo attentamente i termini del polinomio:

• il polinomio è formato da quattro termini;

• due termini sono dei cubi; infatti b3 = (+b)3 e +8a3 = (+2a)3.

Questo fa pensare che il polinomio 3 2 2 3+ 6 +12 + 8b ab a b a possa essere il cubo di un binomio.

Per averne conferma basta calcolare i “tripli prodotti”:

2 23 ( ) 2 6b a ab⋅ ⋅ = e ( )2 23 2 12b a a b⋅ ⋅ =

Essi sono uguali, rispettivamente, agli altri due termini del polinomio; si ha, quindi:

3 2 2 3+ 6 +12 + 8b ab a b a = (+b)3 + 23 ( ) ( 2 )b a⋅ + ⋅ + + ( )23 ( ) 2b a⋅ + ⋅ + + (+2a)3 = (b + 2a)3

In definitiva:

3 2 2 3+ 6 +12 + 8b ab a b a = (b + 2a)3

f) Scomponiamo in fattori il polinomio 318

m − 294

m27

+2

m −27.

Seguendo il procedimento dell’esempio e), completa.

Ancora una volta osserviamo attentamente i termini del polinomio:

• il polinomio è formato da …… termini;

• ….. termini sono dei cubi; infatti: 318

m =

31

....2

e −−−−27 = (……)3

Questo fa pensare che il polinomio 318

m − 294

m27

+2

m −27 possa essere il …... di un

binomio.

Per averne conferma basta calcolare i “………. prodotti”:

( )2

13 3

2m

⋅ ⋅ −

= …………. e ( )213 3

2m⋅ ⋅ − = …………

Essi sono ………………., rispettivamente, agli altri due termini del polinomio; si ha, quindi:

137

318

m − 294

m27

+2

m −27 = 3

1

2m

+ ( )2

13 3

2m

⋅ ⋅ −

+ ( )213 3

2m⋅ ⋅ − + (−3)3 = −

31

32

m

In definitiva:

318

m − 294

m27

+2

m −27 = −

31

32

m

7.4 Trinomio caratteristico

Prima di stabilire che cosa sia un “trinomio caratteristico”, riflettiamo sul prodotto di particolari

binomi:

a) (x + 1)(x + 3) = x2 + 3x + x + 3 = x2 + 4x + 3;

b) (h −−−− 2)(h + 5) = h2 + 5h − 2h − 10 = h2 + 3h −−−− 10;

c) (t −−−− 3)(t −−−− 2) = t2 − 2t − 3t + 6 = t 2 −−−− 5t + 6;

d) (m + 4)(m −−−− 6) = m2 − 6m + 4m − 24 = m2 −−−− 2m −−−− 24

I fattori delle precedenti moltiplicazioni sono binomi di primo grado nei quali il coefficiente del

termine di primo grado è 1; analizziamo, adesso, il prodotto. Osserviamo che:

� è un trinomio di secondo grado con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1;

� il coefficiente del termine di primo grado è uguale alla somma dei termini noti dei due

fattori;

� il termine noto è uguale al prodotto dei termini noti dei due fattori.

Un trinomio di questo tipo è detto trinomio caratteristico o trinomio notevole.

Tenendo conto delle osservazioni precedenti, calcoliamo i seguenti prodotti:

� (k + 6) (k − 3) = k2 + (6 − 3)k + 6 ⋅ (−3) = k2 + 3k − 6;

� (s − 2)(s − 4) = s2 + (−2 − 4)s +(−2)⋅(−4) = s2 − 6s + 8.

PROVA TU

Determina i seguenti prodotti:

(b + 1)(b + 6);

(z − 5)(z − 4);

(b − 9) (b − 6)

Ci proponiamo, adesso, di fare il percorso inverso; cioè scrivere, quando possibile, un trinomio

come prodotto di due fattori.

138

Esempi

a) Scomponiamo in fattori il polinomio y2 + 11y + 24.

Osserviamo che il polinomio y2 + 11y + 24 è un trinomio di secondo grado ed il coefficiente del

termine di secondo grado è 1; potrebbe, perciò, essere un trinomio caratteristico ed essere

scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado; si avrebbe, dunque:

y2 + 11y + 24 = (y + a) (y + b)

Se così fosse, il termine noto dovrebbe essere il prodotto di due numeri interi a e b ed il

coefficiente del termine di primo grado la somma degli stessi numeri.

Ci proponiamo, allora, di stabilire se esistono due numeri interi a e b tali che:

a ⋅⋅⋅⋅ b = 24 e a + b = 11

Dal fatto che il prodotto a⋅⋅⋅⋅b è positivo deduciamo che i due numeri sono concordi; inoltre,

poiché anche la loro somma è positiva, i numeri sono entrambi positivi.

Nella prima e seconda colonna della seguente tabella sono riportati i valori di a e b il cui

prodotto è 24, nella terza colonna la somma degli stessi numeri:

a b a + b

1 24 25

2 12 14

3 8 11

6 4 10

Si vede, allora, che i numeri richiesti sono a = 3 e b = 8.

Possiamo, perciò, scrivere y2 + 11y + 24 = (y + 3) (y + 8)

Il polinomio y2 + 11y + 24 è il prodotto di due fattori irriducibili di grado inferiore ad esso e,

quindi, è stato scomposto in fattori.

b) Scomponiamo in fattori il polinomio t 2 + 5t −−−− 36. Il polinomio t 2 + 5t −−−− 36 è un trinomio di secondo grado con coefficiente del termine di secondo

grado uguale a 1; potrebbe, perciò, essere un trinomio caratteristico e, quindi essere scomposto

nel prodotto di due binomi di primo grado:

t 2 + 5t −−−− 36 = (t + a) (t + b)

Dobbiamo, allora, determinare due numeri a e b tali che:

a ⋅⋅⋅⋅ b = −−−−36 e a + b = 5

Poiché il prodotto è negativo, i due numeri sono discordi e, dal momento che la somma è

positiva, il numero positivo è quello che ha valore assoluto maggiore.

139

Riportiamo nella prima e seconda colonna della seguente tabella i possibili valori di a e b il cui

prodotto è −36 e nella terza colonna la loro somma:

a b a + b

−1 36 35

−2 18 16

−3 12 9

−−−−4 9 5

−6 6 0

Si vede, allora, che i numeri richiesti sono a = −−−−4 e b = 9.

Possiamo, perciò, scrivere: t 2 + 5t −−−− 36 = (t −−−− 4) (t + 9).

Il polinomio t 2 + 5t −−−− 36 è il prodotto di due fattori di grado inferiore ad esso e, quindi, è stato

scomposto in fattori.

c) Scomponiamo in fattori il polinomio 6t 2 + t – 2.

Questo polinomio non è un trinomio caratteristico in quanto il coefficiente del termine di

secondo grado è ≠ 1. Tuttavia esso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo

grado.

Dobbiamo determinare due numeri a e b tali che la loro somma sia uguale al coefficiente del

termine di primo grado (+1) ed il loro prodotto sia uguale al prodotto fra il termine noto del

polinomio ed il coefficiente del termine di secondo grado [6 ⋅ (−2) = −12].

Seguendo le osservazioni fatte nei due esempi precedenti puoi affermare che i due numeri sono

…………..… ed è positivo quello che ha valore assoluto ……….………. .

Nella prima e seconda colonna della seguente tabella riportiamo i possibili valori di a e b il cui

prodotto è −12, nella terza colonna la loro somma:

a b a + b

−1 12 11

−2 6 4

−−−−3 4 1

Si vede, allora, che i numeri richiesti sono a = −−−−3 e b = 4.

Il termine di primo grado del polinomio (+ t) lo possiamo scrivere, allora, come somma di due

monomi simili ad esso aventi, ciascuno di essi, per coefficiente uno dei due numeri trovati.

140

Quindi : + t = 4t – 3t.

Il polinomio dato diventa: 6t 2 + t – 2 = 6t 2 + 4t – 3t – 2.

Scomponiamo quest’ultimo polinomio mediante il raccoglimento parziale

6t 2 + 4t – 3t – 2 = (6t 2 + 4t) – (3t + 2) = 2t(3t + 2) – (3t – 2) = (3t – 2)(2t +1)

In definitiva:

6t 2 + 4t – 3t – 2 = (3t – 2)(2t +1)

Il polinomio 6t 2 + 4t – 3t – 2 è il prodotto di due fattori irriducbili di grado inferiore ad esso,

quindi è stato scomposto in fattori.

PROVA TU

Scomponi in fattori i seguenti polinomi:

a) 2 9 22p p− − ;

b) 2 13 40t t− + ;

c) 2 12 27h h+ + ;

d) 4k2 + k – 3;

e) 12x2 – 16x – 3.

7.5 Applicazione del teorema di Ruffini

Nel precedente capitolo hai imparato a stabilire se un polinomio P(x) è divisibile per un binomio del

tipo (x − a). Completa, dunque, la seguente proposizione (Teorema di Ruffini):

− un polinomio P(x) è divisibile per il binomio x − a se e solo se P(….) = …. .;

− il numero a prende il nome di …………. del polinomio.

Ricordiamo, inoltre, che:

• se un polinomio è divisibile per x − a allora P(x) = Q(x)(x −−−− a) dove Q(x) indica il

quoziente fra P(x) e x − a.

Esempi

a) Scomponiamo in fattori il polinomio P(x) = x3 + 3x2 + x −−−− 2.

Prima di tutto determiniamo il divisore del tipo x − a, dove a è uno “zero” del polinomio.

A tal proposito, premettiamo il seguente teorema:

Se esiste un numero razionale che annulla un polinomio, allora esso è una frazione che ha per

numeratore uno dei possibili divisori del termine noto del polinomio e per denominatore uno

dei possibili divisori del coefficiente del termine di grado massimo del polinomio.

Se il termine di grado massimo ha coefficiente 1, il numero razionale che annulla il polinomio,

se esiste, è uno dei divisori del termine noto.

141

Osserviamo che −−−− 2 è il termine noto di x3 + 3x2 + x −−−− 2; sia D l’insieme dei suoi divisori, allora

D = {±1, ±2}.

Stabiliamo, adesso, se almeno uno degli elementi di D è uno zero del polinomio; calcoliamo,

allora:

� P(1) = 13 + 3 ⋅ 12 + 1 − 2 = 1 + 3 +1 − 2 = 3 (≠ 0), quindi 1 non è uno zero del polinomio;

� P(−1) = (−1)3 + 3 ⋅ (−1)2 + (−1) − 2 = −1 + 3 − 1 − 2 = −1 (≠ 0), quindi −1 non è uno zero del

polinomio;

� P(2) = 23 + 3 ⋅ 22 + 2 − 2 = 8 + 12 + 2 − 2 = 20 (≠ 0), quindi 2 non è uno zero del polinomio;

� P(−−−− 2) = (− 2)3 + 3 ⋅ (− 2)2 + (− 2) − 2 = −8 +12 − 2 − 2 = 0, quindi −−−−2 è uno zero del

polinomio.

Un divisore di x3 + 3x2 + x −−−− 2 è, allora, il binomio x −−−− (−−−−2) = x + 2.

Determiniamo, adesso, il quoziente fra x3 + 3x2 + x −−−− 2 e x + 2 usando la regola di Ruffini:

Quindi, Q(x) = x2 + x − 1

Possiamo, allora, scrivere che: (x3 + 3x2 + x −−−− 2) : (x + 2) = x2 + x −−−− 1

Ricordando la definizione di divisione, si ha:

x3 + 3x2 + x −−−− 2 = (x + 2)( x2 + x −−−− 1)

Il polinomio x2 + x − 1 è irriducibile (verifica); quindi il polinomio x3 + 3x2 + x −−−− 2 è stato

scritto come prodotto di due fattori irriducibili di grado inferiore ad esso ed è, perciò, scomposto

in fattori.

b) Scomponiamo in fattori il polinomio A(m) = 3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1.

Prima di tutto determiniamo il divisore del tipo m − a, dove a è uno “zero” del polinomio.

Il coefficiente del termine di grado massimo è 3, il termine noto del polinomio è 1; se esiste un

numero razionale che è uno zero del polinomio, esso è da ricercare fra tutte le possibili frazioni

che hanno per numeratore uno dei divisori di 1 e per denominatore uno dei divisori di 3.

Siano D1 l’insieme dei divisori di +1, D2 l’insieme dei divisori di 3 e D l’insieme delle frazioni

fra le quali ricercare lo zero del polinomio:

D1 = {±1}; D2 = {±1, ±3} ; D = 1

1,3

± ±

.

Stabiliamo, adesso, se almeno uno degli elementi di D è uno zero del polinomio; calcoliamo, allora:

1 3 1 −2

−2 −2 −2 2

1 1 −1 0

142

� A(1) = 3 23 1 7 1 1 1⋅ − ⋅ − + = 3 – 7 – 1 +1 = −4 ≠ 0;

� A(−1) = ( ) ( ) ( )3 23 1 7 1 1 1⋅ − − ⋅ − − − + = −3 − 7 + 1 + 1 = −8 ≠ 0;

� A(3) = 3 23 3 7 3 3 1⋅ − ⋅ − + = 81 − 63 – 3 + 1 = 16 ≠ 0;

� A(−3) = ( ) ( ) ( )3 23 3 7 3 3 1⋅ − − ⋅ − − − + = −81 − 63 + 3 + 1 = −140 ≠ 0;

� 3 2

1 1 13 7 1

3 3 3 = ⋅ − ⋅ − +

1A

3=

1 7 11

9 9 3− − + = 0; quindi

13

è uno zero del polinomio.

Un divisore di 3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1, è, dunque, il binomio − 13

m .

Determiniamo, adesso, il quoziente fra 3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1 e − 13

m usando la regola di Ruffini:

Quindi, Q(m) = 3m2 – 6m – 3.

Possiamo, allora, scrivere (3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1) : −

13

m = 3m2 – 6m – 3 .

Ricordando la definizione di divisione, si ha:

(3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1) = − ⋅

13

m (3m2 – 6m – 3) (∗)

Osserviamo che il MCD fra i coefficienti di Q(m) è 3 e, dunque, possiamo eseguire il raccoglimento

a fattor comune; si ottiene: 3m2 – 6m – 3 = 3(m2 – 2m – 1); sostituendo nell’ uguaglianza (∗):

(3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1) = − ⋅

13

m 3 (m2 – 2m – 1) = (3m – 1) (m2 – 2m – 1)

In definitiva:

(3m3 −−−− 7m2 −−−− m + 1) =(3m – 1) (m2 – 2m – 1)

Il polinomio A(m) è scomposto in fattori perché è il prodotto di due polinomi irriducibili di grado

inferiore ad esso.

PROVA TU


a) b3 + 2b2 + b + 2; b) 2p4 + p3 – p2 – 2p + 1; c) h4 – 2h3 + 2h2 – 5h + 2.

3 −7 −1 1

1

3

1 −2 −1

3 −6 −3 0

143

Somma e differenza di due cubi

Scomponi in fattori i seguenti binomi:

a) k3 + 1; b) y3 + 27; c) h3 – 8; d) 27x3 – 64

Osserviamo, prima di tutto, che i termini di ciascuno dei binomi da scomporre sono dei cubi; in

particolare: i binomi alle lettere a) e b) esprimono la somma di due cubi; i binomi alle lettere c) e

d) esprimono la differenza di due cubi.

Per scomporre i binomi indicati applica il teorema di Ruffini.

Completa

a) Uno zero di k3 + 1 è ……; quindi un divisore di k3 + 1 è k + ….. .

Determina il quoziente fra k3 + 1 e k + 1 applicando la regola di Ruffini:

Quindi, Q(k) = ……………….. .

Q(k) è un polinomio irriducibile; si ottiene, allora: k3 + 1 = (k + 1)( ………..…………).

b) Uno zero di y3 + 27 è …….; quindi un divisore di y3 + 27 è y + …. .

Determina il quoziente fra y3 + 27 e y + 27 applicando la regola di Ruffini:

Quindi, Q(y) = ……………………. .

Q(y) è un polinomio irriducibile; si ottiene, allora: y3 + 27 = (y + 3)(………….…………).

c) Uno zero di h3 – 8 è ……. ; quindi un divisore di h3 – 8 è h − …… .

Determina il quoziente fra h3 – 8 e h – 2 applicando la regola di Ruffini:

1 0 0 1

−1 …. …. ….

1 …. …. 0

1 0 0 27

−3 …. …. ….

1 …. …. 0

1 0 0 −8

2 …. …. ….

1 …. …. 0

144

Quindi, Q(h) = …………….. .

Q(h) è un polinomio irriducibile; si ottiene, allora: h3 – 8 = (h – 2)(…………………).

d) Uno zero di 27x3 – 64 è …….; quindi un divisore di 27x3 – 64 è x − ….. .

Determina il quoziente fra 27x3 – 64 e 4

3x− applicando la regola di Ruffini:

Quindi, Q(x) = ………………. .

Nel polinomio Q(x) puoi eseguire il raccoglimento a fattor comune: Q(x) = ….. (………………).

Si ottiene, allora: 27x3 – 64 = (3x – 4) (………………).

Riepilogando:

a) k3 + 1 = (k + 1)(k2 – k + 1);

b) y3 + 27 = (y + 3)(y2 – 3y + 9);

c) h3 – 8 = (h – 2)(h2 + h + 1);

d) 27x3 – 64 = (3x – 4)(9x2 + 12x + 16).

Riflettiamo sui risultati ottenuti:

� ciascuno dei binomi dati è il prodotto di due fattori: un binomio ed un trinomio ;

� nei casi a) e b) il binomio è la somma delle basi dei due cubi; il trinomio è formato dalla

somma dei quadrati delle basi meno il prodotto delle basi;

� nei casi c) e d) il binomio è la differenza delle basi dei due cubi; il trinomio è formato dalla

somma dei quadrati delle basi più il prodotto delle basi.

Questi trinomi vengono anche chiamati “falsi quadrati ” (perché?......) .

Le osservazioni appena fatte sono più generali.

Verifica , applicando il teorema di Ruffini, che:

� x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2) (con a ∈ Q)

� x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2) (con a ∈ Q)

Tali considerazioni valgono, ovviamente, anche se al posto di x ed a ci sono delle espressioni

algebriche.

In definitiva, abbiamo che:

� A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)

� A3 − B3 = (A − B) (A2 + AB + B2)

27 0 0 −64

4

3

…. …. ….

27 …. …. 0

145

Osservazione

Due potenze che hanno basi diverse ed esponenti uguali si dicono simili .

Ad esempio, sono simili m7 e p7.

Si verifica che:

è divisibile per la somma delle basi;

è divisibile per la differenza delle basi;se è pari

non è divisibile per la somma delle basi:

non è divisibile per la differenza d

n n

n n

n n

n n

a b

a bn

a b

a b

−

−

+ + elle basi.

è divisibile per la differenza delle basi;se è dispari

è divisibile per la somma delle basi.

n n

n n

a bn

a b

−

+

Ad esempio, scomponiamo in fattori il binomio x5 – 32.

Osserviamo che x5 – 32 = x5 – 25.

Poiché l’esponente (5) è dispari, x5 – 25 è divisibile per la differenza delle basi, quindi è divisibile

per il binomio x – 2.

Applicando la regola di Ruffini, determiniamo il quoziente:

Quindi, Q(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16.

Possiamo, allora, scrivere: x5 – 32 = (x – 2) (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16).

Il binomio x5 – 32 è il prodotto di due polinomi irriducibili, ciascuno di grado inferiore ad esso,

quindi è stato scomposto in fattori.

PROVA TU

Scomponi in fattori i seguenti binomi:

a) 8z3 + 27;

b) 311

8m −

c) 1

81k4 – 16;

d) 32t 5 + 1

1 0 0 0 0 −32

2 2 4 8 16 32

1 2 4 8 16 0

146

7.6 Esempi di riepilogo

Per scomporre un polinomio in fattori, spesso, le “tecniche” esposte in precedenza vengono usate

contemporaneamente.

Ecco, di seguito, alcuni consigli.

Prima di tutto si determina il MCD fra tutti i termini del polinomio:

− se MCD ≠≠≠≠ 1 ⇒ esegui il raccoglimento totale ed analizza, successivamente, il

polinomio ottenuto;

− se MCD = 1 ⇒ analizza il polinomio.

Il polinomio ottenuto dopo il raccoglimento totale o il polinomio dato può essere:

• uno dei prodotti notevoli:

− se è un binomio può essere differenza di quadrati, somma o differenza di cubi, somma o

differenza di potenze simili;

− se è un trinomio può essere un quadrato di binomio o un trinomio caratteristico oppure

si può scomporre mediante un opportuno raccoglimento parziale;

− se è un quadrinomio può essere il cubo di un binomio oppure si può scomporre

mediante il raccoglimento parziale;

− se è formato da sei termini può essere il quadrato di un trinomio.

• un polinomio con almeno quattro termini :

− si può scomporre con raccoglimenti parziali;

− si può scomporre applicando il teorema di Ruffini.

Tutto questo può essere riassunto nel seguente schema:

Raccoglimento a fattor comune

Prodotto notevole Somma o differenze di potenze simili

Applicazione del teorema di Ruffini

Raccoglimento parziale

147

Esempi

1) Scomponiamo in fattori il polinomio 2a3 – 8ab2.

♦ Determiniamo il MCD fra i termini del polinomio: MCD(2a3, 8ab2) = 2a ≠ 1.

♦ Eseguiamo il raccoglimento a fattor comune; si ottiene: 2a3 – 8ab2 = 2a (a2 – 4b2).

♦ Il polinomio a2 – 4b2 è riducibile (differenza di due quadrati):

a2 – 4b2 = (a + 2b) (a – 2b)

quindi:

2a3 – 8ab2 = 2a (a2 – 4b2) = 2a (a + 2b) (a – 2b).

In definitiva:

2a3 – 8ab2 = 2a (a + 2b) (a – 2b)

Il polinomio 2a3 – 8ab2 è stato scritto come prodotto di più fattori irriducibili, ciascuno di grado

inferiore ad esso; quindi 2a3 – 8ab2 è stato scomposto in fattori.

PROVA TU


a) 20m5n2 – 45m3;

b) 48x – 3xy4;

c) 3 23 75

16 4x xy−

2) Scomponiamo in fattori il polinomio 3h3m – 18h2m2 + 27hm3.

♦ Determiniamo il MCD fra i termini del polinomio: MCD(3h3m, 18h2m2, 27hm3) = 3hm ≠ 1.

♦ Eseguiamo il raccoglimento a fattor comune; si ottiene:

3h3m – 18h2m2 + 27hm3 = 3hm (h2 – 6hm + 9m2)

♦ Il polinomio h2 – 6hm + 9m2 è riducibile; infatti osserviamo che esso è formato da due

quadrati (h2, 9m2) e il terzo termine (a meno del segno) è il doppio prodotto delle due basi

dei quadrati. Esso, dunque, è il quadrato di un binomio: h2 – 6hm + 9m2 = (h – 3m)2.

Si ottiene, allora:

3h3m – 18h2m2 + 27hm3 = 3hm(h2 – 6hm + 9m2) = 3hm(h – 3m)2.

In definitiva:

3h3m – 18h2m2 + 27hm3 = 3hm(h – 3m)2

Il polinomio 3h3m – 18h2m2 + 27hm3 è stato scritto come prodotto di più fattori irriducibili,

ciascuno di grado inferiore ad esso; quindi 3h3m – 18h2m2 + 27hm3 è stato scomposto in fattori.

148

PROVA TU

a) 2 2 35 10 5x y xy y− + ;

b) 2 2 3 418 24 8ab a b ab− + ;

c) 2515 45

4z t zt t− +

3) Scomponiamo in fattori il polinomio + +4 3 22 16 30x y x y x y .

♦ Determiniamo il MCD fra i termini del polinomio: MCD( 4 3 22 ,16 30x y x y, x y ) = 2x2y ≠ 1.

♦ Eseguiamo il raccoglimento a fattor comune; si ottiene:

+ +4 3 22 16 30x y x y x y = 2x2y(x2 + 8x + 15)

♦ Il polinomio x2 + 8x + 15 è un trinomio caratteristico e, quindi, x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).

Si ottiene, allora:

+ +4 3 22 16 30x y x y x y = 2x2y(x2 + 8x + 15) = 2x2y(x + 3)(x + 5).

In definitiva: + +4 3 22 16 30x y x y x y = 2x2y(x + 3)(x + 5).

Il polinomio 4 3 22 16 30x y x y x y+ + è stato scritto come prodotto di più fattori irriducibili,

ciascuno di grado inferiore ad esso; quindi 4 3 22 16 30x y x y x y+ + è stato scomposto in fattori.

PROVA TU

a) 2 2 2 24 24 64g h g h g− − ;

b) 22 14 24z z− + ;

c) 2 2 2 24 5 24m p mp p+ +

4) Scomponiamo in fattori il polinomio a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5. Il MCD fra i termini del polinomio è 1; analizziamo, dunque, il polinomio.

Esso non è uno dei prodotti notevoli; proviamo ad applicare il raccoglimento parziale. A tal fine

osserviamo che i primi due termini hanno un divisore comune così come gli altri due.

Applichiamo, allora, il metodo del raccoglimento parziale, si ottiene:

a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 = (a5 – 2a4b) – (16ab4 −−−− 32b5) = a4(a – 2b) – 16b4(a – 2b) =

= (a – 2b)(a4 – 16b4)

Il polinomio a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 è il prodotto di due fattori di grado inferiore ad esso;

tuttavia non possiamo dire che esso è scomposto in fattori perché uno dei due fattori è riducibile.

Infatti il binomio a4 – 16b4 è la differenza di due quadrati:

a4 – 16b4 = (a2 + 4b2)(a2 – 4b2)

quindi a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 = (a – 2b)(a2 + 4b2)(a2 – 4b2).

149

Il polinomio a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 è il prodotto di tre polinomi, ciascuno di grado inferiore

ad esso, ma, ancora una volta, non è scomposto in fattori perché uno dei tre polinomi è

riducibile; infatti il binomio a2 – 4b2 è ancora la differenza di due quadrati:

a2 – 4b2 = (a + 2b)(a – 2b)

quindi a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 = (a – 2b)(a2 + 4b2)(a + 2b)(a – 2b).

Nell’ultimo prodotto ottenuto ci sono due fattori uguali; possiamo, perciò, scrivere:

a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 = (a – 2b)2(a2 + 4b2)(a + 2b)

Il polinomio a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 è il prodotto di più fattori irriducibili, ciascuno di grado

inferiore ad esso; quindi è stato scomposto in fattori.

L’esercizio appena svolto può essere così schematizzato:

a5 – 2a4b – 16ab4 + 32b5 = (a5 – 2a4b) – (16ab4 −−−− 32b5) = a4(a – 2b) – 16b4(a – 2b) =

= (a – 2b)(a4 – 16b4) =

= (a – 2b) (a2 + 4b2) (a2 – 4b2) =

= (a – 2b) (a2 + 4b2) (a + 2b) (a – 2b) =

= (a – 2b)2(a2 + 4b2)(a + 2b).

PROVA TU

a) a3 + 2a2 – 4a – 8;

b) 9x2 (x + y) – 6x (x + y) + (x + y);

c) (x – y)3 + 4x2 – 8xy + 4y2

5) Scomponiamo in fattori il polinomio h2 + 4hm + 4m2 – 9c2.

Il MCD fra i termini del polinomio è 1; analizziamo, allora, il polinomio:

− non è un prodotto notevole;

− il raccoglimento parziale non porta ad avere dei fattori uguali.

Un’attenta osservazione dei termini del polinomio ci permette di affermare che i primi tre

termini formano il quadrato di un binomio; applichiamo, pertanto, la proprietà associativa:

h2 + 4hm + 4m2 – 9c2 = (h2 + 4hm + 4m2) – 9c2 = (h + 2m)2 – 9c2

L’espressione così ottenuta è una differenza di due quadrati, quindi:

(h + 2m)2 – 9c2 = ( ) ( )2 3 2 3h m c h m c + + + − = (h + 2m + 3c)(h + 2m – 3c)

In definitiva:

h2 + 4hm + 4m2 – 9c2 = (h + 2m + 3c)(h + 2m – 3c).

150

PROVA TU

a) 2 21 3 9 25

4 2 4 4x xy y− + − ;

b) 16 a2 – b2 + 2b – 1;

c) 4m2 – 9z2 + 6z – 1.

6) Scomponiamo in fattori il polinomio 4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − .

Il MCD fra i termini del polinomio è 2mn; eseguiamo, dunque, il raccoglimento a fattor comune:

4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − = 2mn (m3 – 5m2 + 8m – 4)

Osserviamo che il quadrinomio m3 – 5m2 + 8m – 4 non è un prodotto notevole e non può essere

scomposto in fattori mediante il raccoglimento parziale; vediamo se è possibile scomporlo

applicando il teorema di Ruffini.

Puoi facilmente verificare che m3 – 5m2 + 8m – 4 si annulla per m = 1, quindi esso è divisibile

per il binomio m – 1. Determiniamo, ora, il quoziente applicando la regola di Ruffini:

Quindi: Q(m) = m2 – 4m + 4 e m3 – 5m2 + 8m – 4 = (m – 1) (m2 – 4m + 4).

Si ha, allora che: 4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − = 2mn (m – 1) (m2 – 4m + 4)

Osserviamo ancora i tre fattori ottenuti: notiamo che il trinomio m2 – 4m + 4 è il quadrato di un

binomio; cioè m2 – 4m + 4 = (m – 2)2.

In definitiva, si ottiene:

4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − = 2mn(m – 1) (m – 2)2

Il polinomio 4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − è stato scritto come prodotto di più polinomi

irriducibili, ciascuno di grado inferiore ad esso, quindi è stato scomposto in fattori.

L’esercizio appena svolto può essere così schematizzato:

4 3 22 10 16 8m n m n m n mn− + −− + −− + −− + − = 2mn(m3 – 5m2 + 8m – 4) =

= 2mn (m – 1) (m2 – 4m + 4) =

= 2mn (m – 1) (m – 2)2

PROVA TU

a) 10x5 – 8x3 – 2x2; b) s4y – 9s3y + 6s2y + 16sy ; c) 3a4b – 12a3b +3a2b + 6ab.

1 −5 8 −4

1 1 −4 4

1 −4 4 0

151

7.7 Massimo comun divisore e minimo comune multiplo fra polinomi

In maniera analoga a quanto fatto per i monomi, si hanno le seguenti definizioni:

� Il MCD fra due o più polinomi è, fra i divisori comuni, quello di grado

massimo.

� Il mcm fra due o più polinomi è, fra i multipli comuni, quello di grado minimo.

Le regole per determinare il MCD ed il mcm fra polinomi non sono, poi, molto diverse, da quelle

già viste per i monomi.

Per determinare il MCD fra due o più polinomi, si procede come segue:

− si scompongono i polinomi in fattori;

− si moltiplicano i fattori comuni, presi una sola volta, con il più piccolo esponente.

Il polinomio così ottenuto è il MCD fra i polinomi dati.

Per determinare il mcm fra due o più polinomi, si procede come segue:

− si scompongono i polinomi in fattori;

− si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, quelli comuni presi una sola volta con il

maggiore esponente.

Il polinomio così ottenuto è il mcm fra polinomi dati. Esempio

Determiniamo il MCD e il mcm fra i seguenti polinomi: 2t 4 – 8t 2; 3t 3 + 12t 2 + 12t.

Scomponiamo i polinomi in fattori:

� 2t 4 – 8t 2 = (raccoglimento a fattor comune) = 2t 2 (t 2 – 4) =

= 2t 2 (t + 2) (t – 2). � 3t 3 + 12t 2 + 12t = (raccoglimento a fattor comune) = 3t (t 2 + 4t + 4) =

= 3t (t + 2)2.

In definitiva: 2t 4 – 8t 2 = 2 t 2 (t + 2) (t – 2).

In definitiva : 3t 3 + 12t 2 + 12t = 3 t (t + 2)2.

Osserviamo che i fattori comuni nelle scomposizioni dei due polinomi sono t e (t + 2) e

l’esponente minore, per ciascuno di essi, è 1; l’esponente maggiore, invece, è 2. Si ha, quindi:

•••• MCD(2t 4 – 8t 2, 3t 3 + 12t 2 + 12t) = t (t + 2)

•••• mcm ( 2t 4 – 8t 2, 3t 3 + 12t 2 + 12t) = 6t 2(t + 2)2(t – 2)

PROVA TU

Determina il MCD e il mcm fra i seguenti polinomi:

4y2 – 4y – 24; 2y2 – 8; 6y2 + 24y +24

152

CAPITOLO 7

Scomposizione in fattori


1) Quando un polinomio si dice irriducibile?

2) Cosa vuol dire scomporre in fattori un polinomio?

3) Quale proprietà applichi quando effettui il raccoglimento totale?

4) In quale caso la somma di due potenze simili è divisibile per la somma delle basi?

5) In quale caso la differenza di potenze simili è divisibile per la differenza delle basi?

6) Come procedi per stabilire se un trinomio è il quadrato di un binomio?

7) Come procedi per stabilire se un quadrinomio è il cubo di un binomio?

8) Che cosa si intende per trinomio caratteristico?

9) Come procedi per scomporre un trinomio caratteristico?

10) Che cos’è il MCD fra due o più polinomi? Qual è la regola che ti consente di determinarlo?

11) Che cos’è il mcm fra due o più polinomi? Qual è la regola che ti consente di determinarlo?


a) Un polinomio completo di primo grado è irriducibile. V F

b) Tutti i trinomi di secondo grado possono essere scomposti in fattori. V F

c) Se due dei tre monomi di un trinomio sono dei quadrati, il trinomio V F

è sicuramente il quadrato di un binomio

d) La differenza di due quadrati si può scomporre, al massimo, nel prodotto V F

di due fattori.

e) La somma di due potenze simili è sempre scomponibile in fattori. V F

f) La differenza di due potenze simili è sempre scomponibile in fattori. V F

g) Uno dei fattori della scomposizione della differenza di due potenze V F

simili non può mai essere la somma delle basi.

h) Il numero dei fattori della scomposizione di un polinomio P(x) è, V F

al massimo, uguale al grado del polinomio.

i) Il MCD fra due o più polinomi (di grado maggiore di zero) è sempre V F

un polinomio di grado maggiore di zero.

j) Il mcm fra due o più polinomi (di grado maggiore di zero) è sempre V F

un polinomio di grado maggiore di zero.

153

Esercizi

Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il raccoglimento totale:

1) xx 23 − ; aaa +− 23 42 ; 2 28 6m z m−

2) 24 2h h− ; 34b b+ ; yxyx 32 32 −

3) 234 9927 zzz −− ; 22 69 abba − ; 2 2 2 28 6 4p y p y− +

4) 3 212 3k k− ; 323 15129 ababbca +− ; 4 35 10b b−

5) 5 2 38 16g h g h− − ; 3243

2

1

2

1yxzyx − ; 6 4 2 31

22

m t m t−

6) ;322 101520 xyxxy −− ; abbcacba 12812 4222 +−

7) 22232 31215 babcaca +− ; xyxxy 4610 22 +−

8) 245233 633514 bababa −− ; 6 2 41 1 1

2 4 6s s s− +

9) 3 2 2 3 215 21 3

4 4 4z t z t zt− − ;

9

4

3

2

3

4 332 ++ aba

10) 543325

3

1

6

5

3

2yayaya +− ; 3 3 2 2 2 31 1

9 3a m k a m a m− +

11) 6 4 2 3 4 21 1

2 4g h g h g h− − ; 4 4 4 4 3 4 23 9

32 4

x y z x y x y− −

12) nn aa 129 3 − ; 231 +++ +− nnn xxx (con n∈ N )

13) yxyx nmn 524

9

1

9

4 − ; mnmn yxyx −++ 3224

(con ,n m ∈ N )

Esempio

Scomponiamo in fattori il polinomio x(a − b) + (a − b).

Osserviamo che x(a − b) + (a − b) = x(a − b) + 1 ⋅ (a − b).

Notiamo che i termini legati dal segno “+” hanno un fattore uguale: il fattore (a – b).

Possiamo, allora, applicare la proprietà distributiva; si ottiene:

x(a − b) + (a − b) = x(a − b) + 1 ⋅ (a − b) = (a – b) (x + 1).

In definitiva: x(a −−−− b) + (a −−−− b) = (a – b) (x + 1).

14) ( ) ( )a b x a b z+ − + ; z(x − 2y) − (x − 2y)

15) 2( 3 )s t+ + (s + 3t); ( ) ( )21 2 1x x− − −

16) ( ) ( )2m p m p+ − + ; 32 )(3)(2)( babaaba +++++

17) 2)( xax− ; 332 )( byy −

154

18) )3)(12()3(2)3)(32( 2 +−++−+− bbbbb

19) 2)32()32)(()32( yaxyaxyxyax +−++++

20) )2(5

3)2(18)2(12 2 −−−−− xxxxx

Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il raccoglimento parziale:

21) ax bx az bz− − − ; 3 3mt mz m z+ + +

22) 2 2gh gk h k+ + + ; 2 34 4b b b+ + +

23) 23 3c c c+ + + ; 3 6 2v z tv tz+ + +

24) 22 10 5gf mf g gm− + − ; 3 24 4 1h p h p h+ + +

25) 3 212 30 6 15kp kp p− + + − ; 5 4 3 22 3 2 3 2 3t t t t t− + − − +

26) 3 2 25 4 5 4a y ay a y+ + + ; 4 34 8 2b b b+ − −

27) 4 3 1bm bm m+ − − ; 3 35 10 2 15 3d s d s ys y+ − − − −

28) 23 12 4 16ay by ab b+ − − ; cacabbaa 223 224334 −−+++

29) 2 2 2 2 23 4 3 3 4 4k bk k y ky bky by− − − + +

Esempio

Scomponiamo in fattori il polinomio 3 215

5h hs h s+ − − .

Dopo aver osservato superficialmente il polinomio e provato ad associare i suoi termini in diversi

modi, saremmo tentati di dire che esso non è scomponibile in fattori.

In realtà, è necessaria una riflessione più attenta.

Osserviamo che 3h ha per coefficiente 1 che può essere scritto come una frazione avente per

denominatore 5; infatti: 3 3 35 15

5 5h h h= = ⋅ .

Applichiamo la proprietà associativa e riscriviamo il polinomio:

3 215

5h hs h s+ − − = ( )3 21 1

5 55 5

h h hs s ⋅ − + −

Possiamo, adesso, continuare applicando il raccoglimento parziale:

3 215

5h hs h s+ − − = ( )3 21 1

5 55 5

h h hs s ⋅ − + −

= ( ) ( )215 1 5 1

5h h s h− + − = ( ) 21

5 15

h h s − +

In definitiva: 3 215

5h hs h s+ − − = ( ) 21

5 15

h h s − +

.

30) 4 312 1

2y y y+ − − ; 4 31

33

v v uv u+ − −

155

31) 3 214 1

4z z z− + − ; 3 21 3

2 65 5

b b ab a− + −

32) 3 2 2 23 93

4 4mp t m mp t− − + ; 3 2 5

18 156

z z zx x− + −

33) ( )23 2 3 2a b a b+ − − ; ( )2

2 2 4 2x y x y ax ay− + − − +

34) ( )2f g hf hg+ − − ; ayaxyxayx 33)(10)(2 23 −−+−+

35) 322 44))(( yxyayaxyxyx ++−−+−

36) ( ) ( ) ( )2 26 2 3 3 3 4 3t z t z tz z tv tz v z t z− − − − + + − − − − −

37) 3 1 32 3 6n nb b ab a+ − + − (con n∈ N )

38) 4 1 32 2n ny x y x y x− + − − (con n∈ 0N )

39) 4 1 33 3n ng g gm m+ ++ − − (con n∈ N )

40) 3 21 33

5 5n n ns s s v v− + − (con n∈ N )

Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti polinomi utilizzando i prodotti notevoli:

41) 2 9t − ; 22 1009 yx −

42) 24 1q − ; 22 6481 ba −

43) 4 2a x− ; 3649 62 −yx

44) 6 1064 25m h− ; 4 6425

9d f+

45) 6 2 816 9t s y− ; 2 281 16g k −

46) 425 c− + ; 44

9

1bx −

47) 29 4c− − ; 44 ba −

48) 4 2100 1x y − ; 681 a− +

49) 136 42 −ba ; 2 20,49 0,25p v−

50) 6 3 44 1

25 9d m f− ; 4 2 4 21

94

m a b c−

51) 21 4

9 25k − ; 4 416c z−

52) 2 6 816

49a b k− ; 4 4 8 881 16a b z t−

53) 6 84

9z k− ; 2 6 88 36a b c−

156

54) 10164

81k− +

2 2

4 9

g m−

55) 21 1

27 4x − ; 1

25

16 22 −yx

56) 6 4 80,25 0,01s m t− ; 1616 yx −

57) 10 8 6 4 2a b c d z− ; 2 5 44m g h− +

58) na21− ; nm ba 22 − (con ,n m ∈ N )

59) 2 219

4km + − ; 2 4 2 616 25n ng k z− − (con ,k n ∈ N )

60) 22)1( yx −+ ; 2)1(16 −− xy

61) ( )2 43 1 64x z− − ; ( )2 23 5 9a y y+ −

62) ( )225 4 2ab− + − ; ( )24 216 1z z− −

63) 22 )43()32( baba +−− ; 22 )(25)(9 baba −−+

64) 22 )3

1

10

1()

3

2

5

1( yxyx +−− ; 22 )2()2( ++−−−+ baba

65) 4 210 25y y− + ; 22 2 baba +−

66) 6 39 4 12c c+ + ; 4 22 4m m− +

67) 4224 96 bbaa +− ; 122 ++ xx

68) 4 2 4 84 20 25z z t t− + ; 4 2 2 46 9g g h h− +

69) 4 4 4z z+ + ; 4 4 2 29 6 1x y x y+ +

70) 8118 36 ++ aa ; 2 2 21 8 16

9 15 25m mpt p t− −

71) 4 2497 1

4h h− + ; 4 6 2 2 3100 25 100a b c a b c+ −

72) 6 3 214

16a a x x− + ; 262422

4

813

9

1bababa +−

73) 8 49 49 42k k+ − ; 2 2 212 9

9h g hgm m− +

74) 4 2 281 25 45 yx y x+ + ; 10 8 5 4 3 2 62a b a b xy x y+ +

75) 4 336 12 1x x+ + ; 6 2 3 20,01 2 100a x a xy y+ +

76) 2 4 4n nx x+ + ; 4

12 +− nn xx (con n∈ N )

77) 2 2 116 8k kb b+ ++ − ; 4 2 2 1 2 49 6m mp p t t− −+ + (con ,k m ∈ N )

157

78) 2 2 1 2 2 2c m cm c m+ + + − −

79) byayabyba 412649 222 +++++

80) 6 5 4 3 212 4 4

4h h h h h− + + − +

81) 6 4 3 212 1

4v v v v v− − + + +

82) 4 2 2 3 21 2 2 2c c d c d c cd+ + + − −

83) 2 29 12 3 4 4 1a ab a b b+ + + + +

84) 2 29 16 12 16 24 4s t s t st+ + + + +

85) 2 4 2 3 24 4 12 6 9m h m m h m m h+ + + + +

86) 4 2 2 2 3 2 249 4 14 2 28x y x y x y x y xy+ + + + +

87) 2 2 24 4 20 25 10k v kv kt t vt+ − − + +

88) 3 29 27 27s s s+ + +

89) 2 31 3 3f f f+ + +

90) 3 3 2 23 3 1v z v z vz− + −

91) 3 28 60 150 125p p p+ + +

92) 3 2 2 38 12b b k bk k+ + +

93) 3 2 2 36 12 8z z t zt t+ − −

94) 3223 862

3

8

1yxyyxx −+−

95) 3 2 2 4 68 12 9a a k ak k+ + −

96) 3 2 3 6 2 9 36 12 8u u y t uy t y t− + +

97) 332456

27

8

3

888 yxyxyxx −+−

98) 3 21 3 31

8 4 2c c c− + −

99) 18 12 63 3 1h h h− − −

100) 3223 1257515 xyxxyy −+−

101) 3 2 2 6 427 27125 45

25 5x x y y xy+ + +

102) 3 28 36 54 27n n nz z z− + − (con n∈ N )

103) 133 23 +++ nnn aaa (con n∈ N )

104) 32123 33 aaaa nnn +++ ++ (con n∈ N )

158

Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti trinomi:

105) 2 12d d+ − ; 2 8 20a a+ −

106) 2 5 6g g− + ; 2 3 2z z+ +

107) 2 5 24k k+ − ; 2 10 21t t+ −

108) 2 7 6m m− + ; 2 9 8t t− +

109) 2 6 5y y+ + ; 2 7 10s s− +

110) 2 30h h+ − ; 2 2a a+ +

111) 2 15 36z z− + ; 2 14 33b b− +

112) 2 3 18f f− − ; 2 7 8s s− −

113) 2 10 24k k− − ; 2 5 36x x− −

114) 22 17 21u u− − ; 25 9 2p p+ −

115) 23 2 8s s+ − ; 26 17 10x x+ +

116) 22 15 27t t+ − ; 24 31 8y y− −

117) 29 8 1y y+ − ; 27 10 3z z+ +

118) 24 11 3h h+ − ; 25 33 14v v+ −

Esempio

Scomponiamo in fattori il trinomio 2 22 24m bm b+ − .

Poiché il coefficiente di 2m è 1, possiamo considerare come variabile del polinomio la lettera m e

pensare la lettera b come una costante.

Il coefficiente del termine di primo grado rispetto a m è 2b ed il termine di grado zero (rispetto ad

m) è 224b− ; procediamo, allora, come nella scomposizione del trinomio caratteristico.

Determiniamo due monomi A e B tali che:2

A B 2

A B 24

b

b

+ =

⋅ = −

I monomi richiesti sono simili fra loro e hanno come parte letterale b; per determinarne i

coefficienti si procede come nel caso dei trinomi in una variabile. Si ottiene A = 6b e B = −4b.

Si ha, allora:

2 22 24m bm b+ − = ( ) ( )6 4m b m b+ −

Il trinomio 2 22 24m bm b+ − è il prodotto di due fattori irriducibili di grado inferiore ad esso, quindi

è stato scomposto in fattori.

119) 2 23 18x ax a+ − ; 2 220x bx b− −

120) 2 2 214 48h hmg m g− + ; 2 8 15k sk s− +

159

121) 2 22 3c cy y− − ; 2 28 20t ut u− −

122) 2 25 14y yz z+ − ; 2 22 15p pm m+ −

123) 2 211 24z zt t+ + ; 2 212 27a ac c− +

124) 2 214 48b bg g− + ; 2 28 12k kx k+ +

Esempio

Scomponiamo in fattori il trinomio 4 2 6b b+ − .

Il trinomio 4 2 6b b+ − , ovviamente, non è di secondo grado; tuttavia osserviamo che tutti gli

esponenti della lettera b sono pari.

Osserviamo che ( )24 2b b= ; possiamo, allora, porre 2b t = ; si ottiene:

4 2 6b b+ − = ( )22 2 6b b+ − = 2 6t t+ −

Il trinomio di quarto grado è stato ricondotto ad un trinomio di secondo grado.

Scomponiamo, così, il trinomio di secondo grado:

2 6t t+ − = ( ) ( )3 2t t+ −

Operiamo, adesso, la sostituzione inversa e, al posto di t riscriviamo 2b ; si ottiene:

4 2 6b b+ − = ( ) ( )2 23 2b b+ −

I due fattoti sono polinomi irriducibili di grado inferiore ad esso, quindi il trinomio 4 2 6b b+ − è

stato scomposto in fattori.

125) 4 211 18a a− + ; 4 212 13m m− −

126) 4 14 45d d+ + ; 6 312 45p p− −

127) 6 39 36b b− − ; 4 26 72k k+ +

128) 4 2 56s s− − ; 6 34 45y y+ −

129) 4 216 63z z− + ; 6 34 12x x− −

Applicando la regola di Ruffini, scomponi in fattori, se possibile, i seguenti polinomi:

130) 3 22 5 6x x x− − + ( )( ) ( )2 1 2 3x x x − + −

131) 3 23 5 3y y y− + − ( ) ( )21 2 3y y y − − +

132) 3 23 5 16 12m m m− − + ( )( )( )3 2 2 3m m m − + −

133) 4 3 23 2 3z z z z− − + − ( )( )3 21 3 5 4 3z z z z + − + −

134) 3 2 4 6h h h− − − ( )( )23 2 2h h h − + +

160

135) 4 3 29 21 3 10p p p p+ + + − ( ) ( )( )21 5 3 2p p p p + + + −

136) 3 22 7 6t t t− + − ( )( )( )2 1 2 3t t t − + +

137) 3 23 4 15 20b b b+ − − ( )( )25 3 4b b − +

138) 4 22 3x x+ − ( )( )( )21 1 3x x x − + +

139) 4 3 22 5 23 38 24t t t t− − + + ( )( ) ( )( )2 4 3 2 1t t t t − − + +

140) 5 10 12a a− − ( ) ( )4 3 22 2 4 8 6a a a a a − + + + +

141) 4 3 23 2 1c c c c− + − + ( )( )3 21 2 1c c c − − −

142) 6 58 2 16y y y− + − ( )( )58 2y y − +

143) 3 22 4 7 5k k k− + − ( ) ( )21 2 2 5k k k − − +

144) 4 3 22 2 11 6y y y y− − − − ( ) ( )( )22 3 2 1y y y + − +

145) 3 23 9 3z z z− + − ( )( )23 1 3z z − +

146) 3 22 6 3m m m− + − ( ) ( )22 1 3m m − +

147) 3 212 25 2h h h− + + ( )( )( )4 1 3 1 2h h h + − −

148) 3 2 33 2s p s p− + ( ) ( )22s p s p − +

149) 3 2 2 32 5 2u u v uv v− − − ( )( ) ( )2 2u v u v u v + − +

150) 3 2 2 39 3a a b ab b+ + − ( )( )2 23 3 2a b a ab b − + +

Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti polinomi, somma o differenze di potenze simili:

151) 3 27s − ; 68 1a − ; 12 64b +

152) 9 3 125x y − ; 318

8z + ; 128 a− +

153) 15 6 9b x k− ; 6 343c + ; 9 9216k z−

154) 18 21d b+ ; 3 38k m− ; 61 27f+

155) 9 627b h− ; 3 327a b+ ; 3 664 1t s −

156) 6 3a b− ; 38 125k + ; 3 6 327 125p h k+

157) 3 1nx + ; 3 3n mz t− ; 3 3 3 68 h ha b+ ++

158) 5 5k m+ ; 10 5z y− ; 14 7b c+

161


159) 3 22 2m mp− ( )( )2m m p m p + −

160) 3 22 9 5x x x− − ( )( )5 2 1x x x − +

161) 23 2z z− − ( )( )1 3 2x x − +

162) 4 22 17 9b b− − ( ) ( )( )23 3 2 1b b b − + +

163) 2 2hm hm h+ + ( )21h m +

164) 2 23 6 2b b ab ab+ − − ( ) ( )3 1 1 2b b a + −

165) 6 2 2 277

9s t s t− 2 2 2 21 1

7 1 13 3

s t s s + −

166) 4 416 81h k− ( )( )( )2 22 3 2 3 4 9h k h k h k − + +

167) 2 22 2 2a ab b a b− + + − ( )( )2a b a b − − +

168) 6 9 12 4 6 4 2 3 83 3x y z x y z x y z− − + ( )32 3 4x y z −

169) 22 16169 baa −+− ( )( )3 4 1 3 4 1a b a b + − − −

170) 22 24 26ty ty t− − ( ) ( )2 13 1t y y − +

171) 2 11 18c c− + ( ) ( )2 9c c − −

172) 3 2 2 420t s t s t− − ( )( )2 25 4t t s t s − +

173) 2 2 32ch c h c+ + ( )2c h c +

174) 222 162 zbaba −+− ( ) ( )4 4a b z a b z − − − +

175) 6 3 4 2 26 12 8m g m g m g− + − ( )32 2m g −

176) 3 216 24 8h h h− + ( )( )8 1 2 1h h h − −

177) 6 64 4x y+ ( )( )2 2 4 2 2 44 x y x x y y + − +

178) 6 5 1p p p− − + ( ) ( )2 4 3 21 1p p p p p − + + + +

179) 5 4 1z z z− − + ( ) ( ) ( )2 21 1 1z z z + − +

180) 2 2bx a ax b+ − − ( ) ( )( )1 1x x b a + − −

162

181) 2 5 32sp s s p+ + ( )22s p s +

182) 3 28 19 12a a a− + − ( )( )( )1 4 3a a a − − −

183) 2 22 2 2g k g gk k+ + + + ( )( )2g k g k + + +

184) 3 2 2 32b b bc c c+ − + − ( )( )2 2b c b c b bc c − − + + +

185) 53 96y − ( )( )4 3 23 2 2 4 8 16y y y y y − + + + +

186) ( ) ( ) ( )23 2 2 24t z zt t z t z− + − − − ( ) ( )31t z t z − − +

187) 24 4 1a a− + ( )22 1a −

188) 2 2 3 3f kf k f k− + + + ( ) ( )2 21 f k f kf k + + − +

189) ( )2 24 1 2 4c d c− + − − ( )( )2 3 2 1d c d c + − − −

190) ( ) ( )3 3a b b c+ − + ( ) ( )2 2 23 3 3a c a b c ab ac bc − + + + + +

191) 2 26 9 1m mp p− + − ( )( )3 1 3 1m p m p − + − −

192) 3 26 11 6k k k+ + + ( )( )( )1 2 3k k k + + +

193) abababaa2

3431

16

94 2222 −+−++

23

2 14

a ab − +

194) 4 32 2 1h h h− + − ( )( )31 1h h + −

195) ( ) ( )2 2a b b c+ − + ( )( )2a c a b c − + +

196) 8 88 8y z− ( )( )( )( )2 2 4 48 y z y z y z y z + − + +

197) 4 2 2 3 4 29 6x y x y z y z− + ( )22 23y x yz −

198) 2 24 4s s y+ + − ( ) ( )2 2s y s y + + − +

199) 3 22 5 6x x x+ − − ( )( )( )1 2 2 3x x x − + +

200) )(9))((6)(3 2222 yxxyxyxyxyxx −++−−− ( )( )2 23 2 2 3x x y x y y xy − − − − +

201) 5 3 22 8 16g g g+ + + ( )( )( )2 22 2 2 4g g g g + + − +

202) 4 3 2 2 37 14 8z az a z a z+ + + ( )( )( )2 4z z a z a z a + + +

203) 4 3 22 3 11 3 9v v v v+ − − + ( )( )( )( )1 1 3 2 3v v v v + − + −

163

204) 4 3 2 28 20k mk m k− − ( ) ( )2 2 10k k m k m + −

205) acbcba 291241 222 −−+−+ ( )( )2 3 1 2 3 1a b c a b c + − − − + −

206) 5 3 24 2 8g g g− + − ( )( ) ( )3 2 2 2g g g + − +

207) 2 2 21 1 1 1

4 16 2 4m s t ms mt st+ + − − +

21 1

2 4m s t

− −

208) 4 29 10b b+ − ( )( )( )( )3 1 1 3b b b b − − + +

209) )32()()(4)( 232 yxyxyxyx −+−+−+ ( ) ( )21 6x y x y + − −

210) 5 4 34 6 4y y y− − ( )( )32 2 2 1y y y − +

211) 27 8 1u u+ + ( ) ( )1 7 1u u + +

212) 4 25 4h h− + ( )( )( )( )1 1 2 2h h h h − + − +

213) 2 21 1 1

9 3 4a ab b− +

21 1

3 2a b

−

214) 4 26 5 6s s+ − ( )( )2 23 2 2 3s s − +

215) ( )2 4 2 2 43 2v v v h h+ − − − ( )( )2 2 2 23 3v h v v v h + + + + − −

216) ( )48 1k k− − ( )( )( )4 2 2 22 1 1 1k k k k k k k + − + − + + −

217) )2()2()2(2 2322 xyxyyxyxyxxy −+−−− ( )( )2 2 1xy x y xy − −

218) ( ) ( )2 23 2h t h t+ − + ( ) ( )3 4 2h t t h + −

219) 6 2 4 3 19 6 3

4c c c c c+ − − + +

23 1

32

c c − −

Determina il MCD e il mcm fra i seguenti gruppi di monomi:

220) 3 22 2a a− ; 24 8 4a b ab b− +

221) 23 6t + ; 3 22 2t t t− + +

222) 3 2 4h m hm− ; 4 3 2 2 22 4 2h m h m h m+ +

223) 3 22 13 6c c c− − − ; 3 224 36 18 3c c c+ + +

224) 3 24 10c c+ ; 28 40 50c c+ + ; 210c

225) 29 g− ; 24 9 12g g+ − ; 22 5 3g g− +

226) 38 1v + ; 22 9 5v v− − ; 26 3v v+

227) 3 2 2a b a b− ; 2 2 32a b ab− ; 3 3 2 22 2 4a b ab a b+ −

164

228) 2 25 10x y xy+ ; 25 10xy y+ ; 3 3 2 28 6 12x y x y xy+ + +

229) 2 49 4b c − ; 3 2 212 8b c b− ; 36 4bc c−

230) 2 6;s− 2 4s − ; 2 4s +

231) 4 4h s− ; 2 22h hs s+ − ; 2 2 4 35 5 10h s s hs+ −

232) 3 28 4z y z− ; 32 2zy zy− ; 3 4 2 32z y zy zy+ −

233) 2 26 12 6p pm m+ + ; 3 2p p m p m+ − − ; 2 2 23 3 3 3p m pm pm m+ − −

Problemi

234) Dopo aver semplificato l’espressione ( ) ( ) ( )2 22 2 2 224 3 34 7x x x x+ − + + − , scomponi in fattori

il polinomio ottenuto.

235) Scomponi in fattori il polinomio che si ottiene semplificando la seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 3 1 2x y x y x y x y+ − + − + + − + + − + − − .

236) Se il polinomio ( ) 2 11A 6

2t x x= + + ( 0x > ) rappresenta l’area di un rombo, quali polinomi

rappresentano le diagonali del rombo?

237) Il polinomio 2 3 1( )

2 2B s s s= + + ( )0s > rappresenta l’area di un triangolo rettangolo ABC.

Determina l’area di un quadrato che ha il lato congruente all’ipotenusa del triangolo rettangolo

ABC.

238) Il volume di un parallelepipedo è 3 29 42 64 32x x x+ + + ( 0x > ). Quali sono le dimensioni del

parallelepipedo?

239) La superficie di un cubo è 23 22

2 3x x+ + ( )0x > . Un parallelepipedo rettangolo, a base

quadrata, ha altezza congruente allo spigolo del cubo; il lato della base è un polinomio

2x mx q+ + che ha per radici i numeri 0 e 2

3− . Qual è la superficie totale del parallelepipedo?

E il suo volume?

240) Per quale valore di m il polinomio 41 16 4

4 9 3mv v+ + è lo sviluppo del quadrato di un binomio?

241) Sia 3 2T( ) 4 7 6a a a ma= − + + . Determina il valore di m affinchè a = 2 sia uno zero del

polinomio. Scomponi in fattori il polinomio ottenuto.

242) Sia 3 2P( ) 2 4y y ay y b= + − + . Determina i valori di a e b affinchè P(0) = 3 e il polinomio abbia

uno zero per y = 3. Scomponi in fattori il polinomio ottenuto.

165

CAPITOLO 8

Le frazioni algebriche

8.1 Introduzione alle frazioni algebriche

Nel capitolo 5 (Tomo2, pag. 5) abbiamo suddiviso le espressioni algebriche razionali in tre gruppi:

1) espressioni che contengono solo l’operazione di moltiplicazione;

2) espressioni che contengono le operazioni di moltiplicazione e di somma algebrica;

3) espressioni che contengono operazioni di moltiplicazione, divisione e/o somma algebrica.

Le espressioni del tipo 1) sono chiamate …………………….. ; le espressioni del tipo 2) sono

chiamate …………………………… .

In questo capitolo ci occuperemo delle espressioni del tipo 3).

Nei precedenti capitoli abbiamo imparato ad eseguire la divisione fra due polinomi e abbiamo visto

che non sempre due polinomi sono tra loro divisibili.

Adesso, ricordiamo quanto detto per i numeri naturali: se a non è divisibile per b, il quoziente fra a

e b si indica con a

b e si chiama frazione.

Consideriamo, allora, i polinomi A(x) = 3x3 – 17x2 + 6 e B(x) = x2 – 7x + 6, il quoziente fra A(x) e

B(x) è Q(x) = 3x + 4 e il resto della divisione è R(x) = 10x – 16 (≠ 0); quindi, A(x) non è divisibile

per B(x).

In analogia con i simboli usati per i numeri naturali, il quoziente fra A(x) e B(x) si indica con

3 2

2

3 17 6

7 6

x x x

x x

− −− +

e prende il nome di frazione algebrica.

Abbiamo, quindi, la seguente definizione:

Se A e B sono due polinomi (B ≠ 0), la scrittura AB

si chiama frazione algebrica.

Sempre in analogia con le frazioni numeriche, A si chiama numeratore, B si chiama

denominatore; la linea “

” che separa i due polinomi ha il significato di divisione e si chiama

linea di frazione.

Poiché i monomi sono considerati polinomi, anche il quoziente fra due monomi è una frazione

algebrica; poiché i numeri interi sono particolari polinomi, anche i numeri razionali sono frazioni

algebriche.

Così come una frazione (numerica) che ha per denominatore 1 è un numero intero, una frazione

algebrica che ha per denominatore 1 è un polinomio; quindi se A indica un polinomio A

1= A.

Possiamo, allora, dire che tutti i polinomi sono delle frazioni algebriche.

166

Sappiamo che, in una espressione algebrica, le lettere sono dei numeri ed il suo valore dipende dai

valori attribuiti alle lettere.

Ad esempio, la frazione algebrica S(y) = 2 6

5

y

y

+−

assume il valore 87

4 quando alla lettera y

sostituiamo il valore 9; assume, invece, il valore 15

2− quando alla lettera y si attribuisce il valore 3.

Qual è il valore di S(y) quando y = 5?

Se y = 5, S(y) assume il valore 31

0 che è una frazione numerica priva di significato.

E’ facile, inoltre, verificare che 5 è l’unico valore per cui S(y) perde significato.

E’ possibile, dunque, attribuire ad y qualsiasi valore purchè esso sia diverso da 5.

In generale, è possibile assegnare alle variabili di una frazione algebrica qualsiasi numero purchè

esso non annulli il polinomio al denominatore.

Definizione

Si chiama dominio di una frazione algebrica, e si indica con D, l’ insieme formato dai valori che,

attribuiti alle lettere, non annullano il polinomio al denominatore .

Il dominio di una frazione algebrica viene chiamato anche campo di esistenza (indicato con C. E.)

oppure insieme di definizione (indicato con I. D.).

Il dominio di S(y) è l’insieme D = Q − {5}; oppure, in modo equivalente, C.E.: y ≠ 5.

Usare un modo anziché un altro per indicare i valori che è possibile assegnare alle variabili della

frazione dipende dalle frazioni stesse, come puoi osservare negli esempi seguenti.

Esempi

Determiniamo il dominio delle seguenti frazioni algebriche:

a) 3

2

3

2

a

b c; b)

2

3 1h+; c)

2

2

4 9

k m

k

+−

a) Deve essere 2b2c ≠ 0. Ora, un prodotto è diverso da zero quando tutti i suoi fattori sono diversi da

zero; quindi:

2b2c ≠ 0 ⇒ b2 ≠ 0 ∧ c ≠ 0 ⇒ b ≠ 0 ∧ c ≠ 0 ⇒ C.E.: b ≠ 0 ∧ c ≠ 0.

b) Deve essere 3h + 1 ≠ 0. Ora, la somma algebrica di due termini è diversa da zero quando i due

termini non sono opposti; quindi:

3h + 1 ≠ 0 ⇒ 3h ≠ −1⇒ h ≠ 1

3− ⇒ D = Q −

1

3 −

oppure C.E.: h ≠ 1

3− .

167

c) Deve essere 4k2 – 9 ≠ 0. Il polinomio ha grado complessivo maggiore di 1; allora si scompone

in fattori: 4k2 – 9 = (differenza di quadrati) = (2k + 3)(2k – 3). Deve essere, dunque:

4k2 – 9 ≠ 0 ⇒ (2k + 3)(2k – 3) ≠ 0 ⇒ (2k + 3) ≠ 0 ∧ (2k – 3) ≠ 0 ⇒ 2k ≠ −3 ∧ 2k ≠ 3 ⇒

⇒ k ≠ 3

2− ∧ k ≠

3

2 ⇒ D = Q −

3 3,

2 2 −

oppure C.E.: k ≠ 3

2− ∧ k ≠

3

2.

PROVA TU

Determina il dominio delle seguenti frazioni algebriche:

a) 3 2

3

4

m

s t;

2

3

x

x

−−

b) 26

7

b

b

−+

; 5

3 1

c

c

+−

c) 2 2

2 3

a b

a

+ −+

; 2

2

2 3

g

g g

−− −

Per le frazioni algebriche valgono le proprietà già viste per le frazioni numeriche.

Si ha, allora la seguente:

Definizione

Due frazioni algebriche AB

e CD

(B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) sono equivalenti se A ⋅⋅⋅⋅ D = C ⋅⋅⋅⋅ B.

Se due frazioni A

B e

C

D sono equivalenti si scrive

A

B =

C

D.

Proprietà invariantiva

Se si moltiplica numeratore e denominatore di una frazione algebrica per uno stesso polinomio

(ovviamente diverso da zero) si ottiene una frazione algebrica equivalente a quella data.

Se si divide numeratore e denominatore di una frazione algebrica per uno stesso polinomio

(ovviamente diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Definizione

Una frazione algebrica A

B si dice ridotta a minimi termini quando il MCD(A, B) = 1.

La proprietà invariantiva viene utilizzata, per esempio, quando è necessario ridurre due frazioni

algebriche allo stesso denominatore oppure quando è necessario semplificare una frazione

algebrica.

168

Esempi

a) Riduciamo le frazioni A = 3 2 22

b

a a b ab+ − e B =

3 2 22

b

a a b ab+ + allo stesso denominatore

(con la condizione che i denominatori delle due frazioni siano diversi da zero).

Il procedimento da seguire è analogo a quello usato per ridurre due frazioni numeriche allo

stesso denominatore. Si ha, quindi che:

• il mcm fra numeratore e denominatore è il denominatore comune delle due frazioni;

• il numeratore di ciascuna delle “nuove” frazioni è il prodotto fra il numeratore delle “vecchie”

frazioni ed il quoziente fra mcm e “vecchio” denominatore.

Per determinare il mcm dobbiamo scomporre i polinomi in fattori:

• 3 2 22a a b ab+ − = ( )2 22a a ab b+ − = ( )( )2a a b a b− +

• 3 2 22a a b ab+ + = ( )2 22a a ab b+ + = ( )2a a b+

Quindi, mcm( 3 2 22a a b ab+ − , 3 2 22a a b ab+ + ) = ( )( )22a a b a b− + .

Si ottiene, allora:

A = ( )

( ) ( )22

b a b

a a b a b

+

− +; B =

( )( ) ( )2

2

2

b a b

a a b a b

−

− +

b) Semplifichiamo la frazione algebrica 3 2

3 2

3 17 6

7 6

h h h

h h h

− −− +

.

Determiniamo, prima di tutto, il dominio della frazione algebrica; perciò deve essere:

h3 – 7h2 + 6h ≠ 0 ⇒ (dopo aver scomposto in fattori) h(h – 1)(h – 6) ≠ 0 ⇒ h ≠ 0 ∧ (h – 1) ≠ 0 ∧

(h – 6) ≠ 0 ⇒ h ≠ 0 ∧ h ≠ 1 ∧ h ≠ 6 ⇒ D = Q − {0, 1, 6}.

Dobbiamo determinare il MCD fra il numeratore e il denominatore della frazione; scomponiamo,

allora, questi polinomi in fattori:

• 3 23 17 6h h h− − = h(3h2 – 17h – 6) = h(3h + 1)(h – 6)

• h3 – 7h2 + 6h = h(h2 – 7h + 6) = h(h – 1)(h – 6)

Si ha, allora: MCD( 3 23 17 6h h h− − , h3 – 7h2 + 6h) = h(h – 6).

Dividendo numeratore e denominatore della frazione per il MCD appena determinato, si ottiene:

3 2

3 2

3 17 6

7 6

h h h

h h h

− −− +

= = 3 1

1

h

h

+−

Osserviamo che è stato possibile eseguire la semplificazione perché abbiamo determinato, in

precedenza, il dominio della frazione.

169

OSSERVAZIONE

Per ridurre una frazione ai minimi termini, possiamo procedere per semplificazioni successive, cioè

dividere numeratore e denominatore per un divisore comune e ripetere tale operazione fino a

quando numeratore e denominatore non hanno come divisore comune il numero 1.

Così, per semplificare la precedente frazione, anziché dividere numeratore e denominatore per il

loro MCD, si può dividere, prima, per il monomio h e, successivamente, per il binomio h – 6, dal

momento che essi sono divisori comuni del numeratore e del denominatore.

3 2

3 2

3 17 6

7 6

h h h

h h h

− −− +

= ( ) ( )( )( )3 1 6

1 6

h h h

h h h

+ −− −

= ( )( )( )( )3 1 6

1 6

h h

h h

+ −− −

= 3 1

1

h

h

+−

Praticamente e ………. simbolicamente si ha:

3 2

3 2

3 17 6

7 6

h h h

h h h

− −− +

= ( ) ( )( )( )3 1 6

1 6

h h h

h h h

+ −− −

= 3 1

1

h

h

+−

PROVA TU

a) Completa, applicando la proprietà invariantiva:

( )( ) ( )( )( )2 ..........................

3 1 3 1 7

s

s s s s s=

− − − − +; ( )( ) ( )( )( )

5 .............................

7 3 1 7 3

x

x x x x x

+ =+ − − + −

b) Semplifica le seguenti frazioni:

86

22 +−

−aa

yay;

2 2 3

2 2

4 4

4

hg gh h

g h

+ +−

8.2 Operazioni con le frazioni algebriche

Anche per le operazioni con le frazioni algebriche continuano a valere proprietà e regole già viste

per le frazioni numeriche.

Somma algebrica

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche aventi lo stesso denominatore, di dominio D,

è una frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la

somma algebrica dei numeratori.

In simboli: A C A + C

+B B B

= oppure A C A C

B B B

−− =

Per determinare la somma algebrica di due o più frazioni algebriche, entrambe di dominio di D,

aventi denominatori diverso, prima si riducono allo stesso denominatore e, successivamente, si

opera come nel caso precedente.

1 1

1 1

170

Esempi

Determiniamo le seguenti somme algebriche fra frazioni algebriche:

a) 24 3 5

2 1 2 1

b b

b b

+ −++ +

; 2 4 2

3 4 3 4

bc bc

c b c b

− −−+ +

b) 3 1 2

1 2 5

a a

a a

− −++ +

; 2 2

1 6 5

4 4 5 6

y y

y y y y

− +−− + − +

a) �� Calcoliamo 24 3 5

2 1 2 1

b b

b b

+ −++ +

.

Prima di tutto, determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono

significato.

Deve essere: 2b + 1 ≠ 0 ⇒ b ≠ 1

2− ⇒ D = Q − { 1

2− }.

Le due frazioni hanno lo stesso denominatore; la somma delle due frazioni è una frazione

che ha per numeratore la somma di numeratori delle due frazioni e per denominatore lo stesso

denominatore. Quindi:

24 + 3 5

+2 +1 2 +1

b bb b

−−−−=

( ) ( )24 3 5

2 1

b b

b

+ + −

+ =

24 3 5

2 1

b b

b

+ + −+

= 23 + 12 +1

b bb

−−−−

�� Calcoliamo 2 4 2

3 4 3 4

bc bc

c b c b

− −−+ +

.

Determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono significato. In

questo caso non è semplice indicare il dominio come un sottoinsieme dei numeri razionali

perché nelle frazioni sono presenti più variabili; preferiamo, perciò, indicare soltanto la

relazione che deve intercorrere fra le variabili affinchè le frazioni non perdano di significato.

Deve essere, quindi: 3c + 4b ≠ 0.

Le due frazioni hanno lo stesso denominatore; la differenza delle due frazioni è una frazione

che ha per numeratore la differenza dei numeratori delle due frazioni e per denominatore lo

stesso denominatore. Quindi:

2 4 23 4 3 4bc bcc b c b

− −− −− −− −−−−−+ ++ ++ ++ +

= ( ) ( )2 4 2

3 4

bc bc

c b

− − −+

= 2 4 2

3 4

bc bc

c b

− − ++

= 6

3 43bcc b

−−−−++++

.

b) �� Calcoliamo 3 1 2

1 2 5

a a

a a

− −++ +

.

Determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono significato.

Deve essere:

(Completa) a + 1 ≠ …. ∧ 2a + 5 ≠ … ⇒ a ≠ …. ∧ a ≠ …. ⇒ D = Q − {…., ….}

171

Riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore e, dunque, determiniamo il mcm fra i

polinomi al denominatore di ciascuna di esse. Poiché questi polinomi sono irriducibili, si ha:

mcm (a + 1, 2a + 5) = (a + 1)(2a + 5).

Quindi:

• 3 1

1

a

a

−+

= (per la proprietà invariantiva) = ( )( )( )( )3 1 2 5

1 2 5

a a

a a

− ++ +

• 2

2 5

a

a

−+

= (per la proprietà invariantiva) = ( )( )

( )( )2 1

1 2 5

a a

a a

− ++ +

Adesso siamo in grado di eseguire l’operazione indicata:

3 1 2

1 2 5a a

a a− −− −− −− −++++

+ ++ ++ ++ + =

( )( )( )( )3 1 2 5

1 2 5

a a

a a

− ++ +

+ ( )( )

( )( )2 1

1 2 5

a a

a a

− ++ +

= ( )( ) ( )( )

( )( )3 1 2 5 2 1

1 2 5

a a a a

a a

− + + − ++ +

=

= ( )( )2 26 15 2 5 2

1 2 5

a a a a a

a a

+ − − + − −+ +

= ( ) ( )27 12 71 2 5

a aa a

+ −+ −+ −+ −+ ++ ++ ++ +

.

� Calcoliamo 2 2

1 6 5

4 4 5 6

y y

y y y y

− +−− + − +

.

Per ridurre le frazioni allo stesso denominatore è necessario determinare il mcm fra i

denominatori delle due frazioni; scomponiamo tali polinomi in fattori e determiniamo il mcm.

( )( )( )

( ) ( ) ( )22

22 2

2

4 4 2mcm 4 4, 5 6 2 3

5 6 2 3

y y yy y y y y y

y y y y

− + = −⇒ − + − + = − −

− + = − −

Determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono significato ; è

sufficiente che il mcm appena determinato sia diverso da zero (perché?); quindi (Completa):

( ) ( )22 3y y− − ≠ 0 ⇒ 2y − ≠ …. ∧ 3y − ≠ …. ⇒ y ≠ …. ∧ y ≠ …. D = Q − {…., ….}.

Riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore:

• ( )2

1

2

y

y

−−

= (per la proprietà invariantiva) = ( )( )

( ) ( )2

1 3

2 3

y y

y y

− −

− −;

• ( )( )6 5

2 3

y

y y

+− −

= (per la proprietà invariantiva) = ( )( )( ) ( )2

6 5 2

2 3

y y

y y

+ −

− −

Adesso possiamo eseguire l’operazione indicata:

( ) ( )( )2

1 6 52 32

y yy yy

− +− +− +− +−−−−− −− −− −− −−−−−

= ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )2 2

1 3 6 5 2

2 3 2 3

y y y y

y y y y

− − + −−

− − − −=

( ) ( ) ( )( )( ) ( )2

1 3 6 5 2

2 3

y y y y

y y

− − − + −

− −=

= ( )

( ) ( )

2 2

2

4 3 6 12 5 10

2 3

y y y y y

y y

− + − − + −

− −=

( ) ( )2 2

2

4 3 6 12 5 10

2 3

y y y y y

y y

− + − + − +− −

= ( ) ( )

2

2

5 3 13

2 3

y y

y y

− + +− + +− + +− + +− −− −− −− −

.

172

PROVA TU


a) 2 2

4 1 2

4 2

m m

m m m

− +− − −

; 2 2 2

3 2z k

kz k k z k−

− −

b) 2 2

1 2

9 2 3

f f

f f f

+ −− + −

; 2

2 2

1 2 3 3

s t t s

s s st s t

+ −++ − − − +

Moltiplicazione fra frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni algebriche, entrambe di dominio D, è una frazione algebrica che ha per

numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

In simboli:

A C A C

B D B D

⋅⋅ =⋅

Esempi


a) 3 1 1

2 3

x x

x x

+ −⋅− −

b) 2

2

2 6

1 6 9

p p p

p p p

− +⋅+ − +

a) Determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono significato.

I denominatori delle frazioni algebriche sono polinomi irriducibili; quindi, deve essere:

(Completa) 2 0x− ≠ ∧ 3 0x− ≠ ⇒ x ≠ …… ∧ x ≠ …… ⇒ D = …………………………

Adesso possiamo calcolare il prodotto:

⋅3 1 12 3

+ −+ −+ −+ −− −− −− −− −

x xx x

= ( ) ( )( )( )3 1 1

2 3

x x

x x

+ −− −

= 2

2

3 3 1

5 6

x x x

x x

− + −− +

= 2

2

3 2 15 6

− −− −− −− −− +− +− +− +

x xx x

.

b) Determiniamo l’insieme D in cui entrambe le frazioni algebriche non perdono significato. Deve

essere:

(Completa) p +1 ≠ 0 ∧ 2 6 9p p− + ≠ 0 ⇒ p ≠ …. ∧ (………)2 ≠ 0 ⇒ p ≠ …. ∧ p ≠ …. .

Adesso possiamo calcolare il prodotto:

⋅2

2

2 61 6 9

− +− +− +− ++ − ++ − ++ − ++ − +

p p pp p p

= (scomponendo in fattori i polinomi riducibili) = ( ) ( )( ) ( )2

2 3 1

1 3

p p p

p p

− ⋅ ⋅ +

+ −

Osserviamo che MCD[ ( ) ( )( )22 ( 3) 1 ; 1 3p p p p p− + + − ] = ( )( )1 3p p+ − e, quindi, la frazione

ottenuta è riducibile; quindi, applicando la proprietà invariantiva si ottiene:

⋅2

2

2 61 6 9

− +− +− +− ++ − ++ − ++ − ++ − +

p p pp p p

= ( ) ( )( ) ( )2

2 3 1

1 3

p p p

p p

− ⋅ ⋅ +

+ − =

23−−−−

pp

173

OSSERVAZIONE

Nel precedente prodotto avremmo ottenuto lo stesso risultato se, prima di eseguire la

moltiplicazione, avessimo “ semplificato in croce” le frazioni algebriche; infatti numeratore di una e

denominatore dell’altra hanno divisori comuni.

⋅2

2

2 61 6 9

− +− +− +− ++ − ++ − ++ − ++ − +

p p pp p p

= ( ) ( )

( )2

2 3 1

1 3

p p p

p p

− +⋅

+ − =

23−−−−

pp

E’ sempre opportuno, come fra i numeri razionali, prima di eseguire la moltiplicazione fra due o

più frazioni algebriche, semplificare le frazioni stesse; infatti:

• si eseguono moltiplicazioni fra un minor numero di polinomi;

• il prodotto delle frazioni algebriche (dopo la semplificazione) è una frazione algebrica

irriducibile.

Potenza di una frazione algebrica

La definizione di potenza, con esponente un numero naturale, di una frazione algebrica è analoga a

quella che è stata data per la potenza di un numero razionale e, per determinare tale potenza, si

segue il procedimento già visto per le potenze di un numero razionale; si ha, quindi:

la potenza di una frazione algebrica è una frazione algebrica che ha come numeratore la

potenza del numeratore della base e come denominatore la potenza del denominatore della

base.

In simboli: ( )( )AA

B B

nn

n

=

Per le potenze delle frazioni algebriche valgono tutte le proprietà già viste per le potenze

nell’insieme Q.

Esempio

Calcoliamo la seguente potenza 243

1

y

y

−

Determiniamo il dominio della frazione algebrica; deve essere:

(Completa) 1 .... ....y y− ≠ ⇒ ≠

Possiamo, ora, calcolare la potenza:

( )( )

22 44 8

2 2

33 9

1 1 21

yy y

y y yy

= = − − +−

1 1

1

174

PROVA TU


a) 53

4

2m

k

; 3

4

2

x

x

− +

b) 422

2

g

g

+

; ( )

223

3

b

b

−

Quoziente fra frazioni algebriche

Continuando l’analogia con i numeri razionali, si ha la seguente

Definizione

Si chiama reciproca o inversa di una frazione algebrica A

B(≠ 0) la frazione

B

A che si ottiene da

quella data scambiando fra loro numeratore e denominatore.

Osserviamo che:

� la reciproca di una frazione algebrica esiste soltanto se il suo numeratore è diverso da zero

(perché?);

� il prodotto fra una frazione algebrica e la sua reciproca è 1; infatti A

B⋅ B

A = 1.

Come per i numeri razionali, il quoziente A C

:B E

di due frazioni algebriche è uguale al prodotto fra

la prima frazione e la reciproca della seconda; in simboli:

A C:

B E =

A E

B C⋅ =

A E

B C

⋅⋅

È opportuno ricordare che, affinchè sia possibile determinare il quoziente di due frazioni algebriche,

deve essere B ≠ 0 ∧ C ≠ 0 ∧ E ≠ 0.

Esempi

Calcoliamo i seguenti quozienti:

a) 2

2

5 5:3

m m m

m m

− −−

; b) 3 5

:2 2

s s

hs h s− −

a) Prima di tutto determiniamo l’insieme D in cui è possibile eseguire la divisione; deve essere:

2 0 5 0 3 0m m m≠ ∧ − ≠ ∧ − ≠ ⇒ 0 5 3m m m≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ⇒ D = Q − {0, 3, 5}.

Adesso possiamo determinare il quoziente richiesto:

2

2

5 53

− −− −− −− −::::−−−−

m m mm m

= 2

2

5 3

5

m m m

m m

− −⋅−

= ( )

2

5 3

5

m m m

m m

− −⋅−

= −3 mm

1

1

1

1

1

1

1

175

b) Osserviamo che alcuni polinomi sono riducibili; allora, prima di determinare le condizioni per le

quali è possibile eseguire la divisione indicata, scomponiamo i polinomi in fattori; si ottiene:

3 5:

2 2

s s

hs h s− − = ( )

3 5:

2 2

s s

h s s− −

Determiniamo, adesso, le condizioni per poter eseguire la divisione; deve essere:

( ) ( ) ( )2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0h s s s h s s h s s− ≠ ∧ 5 ≠ ∧ − ≠ ⇒ ≠ ∧ − ≠ ∧ ≠ ⇒ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠

Possiamo, adesso, eseguire la divisione:

3 52 - 2

::::−−−−s s

hs h s = ( )

3 5:

2 2

s s

h s s− −= ( )

3 2

2 5

s s

h s s

−⋅−

= 3

5h

PROVA TU Esegui le seguenti divisioni:

a) 2

4 3

2 1 1:

3 3

x x x

x x x

+ + ++ +

b) 2

2 2 3

3 2 2:

a b a b

a b a

+−

c) 2

4 2 5 3

1 1:

2 1

b b

b b b b

− −+ + +

Ancora sulle potenze

In precedenza abbiamo visto come si determina la potenza di una frazione algebrica quando

l’esponente è un numero naturale.

Vediamo, adesso, come si determina la potenza di una frazione algebrica nel caso in cui l’esponente

è un intero negativo.

Anche in questo caso, si procede come già visto per le potenze con esponente intero negativo dei

numeri razionali.

Quindi, la potenza con esponente intero negativo di una frazione algebrica è una potenza che ha

come base la reciproca della base e come esponente il valore assoluto dell’esponente.

In simboli, se n > 0: A B

B A

n n− =

Esempio

Calcoliamo 3

2 1

t

t

− −

Come al solito, determiniamo il dominio della frazione algebrica:

(Completa) 0t ≠ (perché?) ∧ 2 1 .... 2 .... ....t t t− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒ D = Q −{…. , ….}.

1 1

1 1

176

Adesso, calcoliamo la potenza:

3

2 1

t

t

− −

= 3

2 1t

t

−

= ( )3

3

2 1t

t

− =

3 2

3

8 12 6 1t t t

t

− + −.

PROVA TU


a) 53

2

5

2

m

k

− −

; b) 2

7 5

9

a

a

−+ −

Espressioni con le frazioni algebriche

Per semplificare un’espressione contenente frazioni algebriche si seguono le regole già viste per la

semplificazione di un’espressione numerica.

Esempio:

Semplificare la seguente espressione:

22

3 3 2 2 2 2

1 2 1:

1

x y y

x y x xy y x y x xy y y

+− − ⋅ + − + + − + +

Prima di tutto, dovremmo determinare le condizioni per le quali è possibile eseguire tutte le

operazioni indicate; è opportuno, tuttavia, analizzare i denominatori di tutte le frazioni e vedere se

almeno uno di essi è riducibile. In tal caso conviene scomporre tali polinomi in fattori.

Analizziamo, dunque, i denominatori delle frazioni algebriche presenti nell’espressione data;

notiamo che l’unico polinomio riducibile è il polinomio 3 3x y+ , gli altri denominatori sono

polinomi irriducibili ( 2 1x xy− + è un “falso quadrato” e, ricorda, non si annulla mai qualunque sia

il valore attribuito alle variabili). Dopo aver scomposto 3 3x y+ in fattori, si ottiene:

22

3 3 2 2 2 2

1 2 1:

1

x y y

x y x xy y x y x xy y y

+− − ⋅ + − + + − + + =

=( ) ( )

22

2 2 2 22 2

1 2 1:

1

x y y

x xy y x y x xy y yx y x xy y

+ − − ⋅ − + + − + + + − +

(∗)

Determiniamo, adesso, le condizioni per le quali è possibile eseguire le operazioni indicate:

20 0 1 0 0 1x y y y x y y y+ ≠ ∧ ≠ ∧ + ≠ ⇒ ≠ − ∧ ≠ ∧ ≠ −

Continuiamo a semplificare l’espressione; prima dobbiamo determinare la somma algebrica indicata

nella parentesi tonda, possiamo anche svolgere la potenza; si ottiene:

(∗) = ( )

( ) ( ) ( )2

22 22 2

2 1:

1

x x y y y

x y x xy yx y x xy y y

− + + − ⋅ =

+ − ++ − + +

177

= ( ) ( ) ( )

2

22 22 2

2 1:

1

x x y y y

x y x xy yx y x xy y y

− − + − ⋅ =

+ − ++ − + +

(eseguendo la divisione) =

= ( )( ) ( )22 2 22 2

2 1

1

y x y y

y x xy yx y x xy y y

− + + ⋅ − ⋅ =

− ++ − + +

= ( ) ( )22 22 2

1 2 1

1

y

x xy yy x xy y y

− + − ⋅ =

− +− + +

(sommiamo le frazioni in parentesi) =

= ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

2 22 2 2 2

1 2 1 1 2 1

1 1

y y y y

y x xy y y x xy yy y

− − + − − −⋅ = ⋅− + − ++ +

= (raccogliamo a fattor comune −1) =

= ( )( ) ( )

2

22 2

1 2 1

1

y y

y x xy y y

− + +⋅

− + + = (il trinomio al numeratore è il quadrato di un binomio) =

= ( )

( ) ( )

2

22 2

1 1

1

y

y x xy y y

− +⋅

− + += ( )2 2

1

y x xy y−

− +.

PROVA TU

Semplifica l’espressione 2 4

2 2

2 1 1u v u v

u v u u uv

+ − − + ⋅ + +

8.3 Approfondimenti sulle frazioni algebriche

Nell’insieme F delle frazioni algebriche abbiamo definito le operazioni di somma algebrica e di

moltiplicazione.

Verifica , con degli esempi, che la somma fra frazioni algebriche è una operazione interna; inoltre:

� gode della proprietà associativa e commutativa;

� ammette elemento neutro; esso è il numero razionale ……..;

� per ogni frazione algebrica esiste il simmetrico; essa è la frazione ………………….. .

Possiamo, dunque, dire che l’insieme delle frazioni algebriche, rispetto alla somma, è un ……..…. .

Verifica , anche con degli esempi, che la moltiplicazione fra frazioni algebriche è un’operazione

interna; inoltre:

� gode della proprietà associativa e commutativa;

� ammette elemento neutro; esso è la frazione …. ;

� ciascuna frazione algebrica (≠ 0) ammette simmetrico che è la frazione ………………...

� vale la legge di annullamento del prodotto.

Possiamo dire che l’insieme delle frazioni algebriche, rispetto alla moltiplicazione, non è un

……..…. ma se ……………………….. .

1

1 1

1

1

178

CAPITOLO 8

Frazioni algebriche


1) Che cosa si intende per frazione algebrica?

2) Che cos’è il dominio di una frazione algebrica?

3) Come procedi per determinare il dominio di una frazione algebrica?

4) Quando una frazione algebrica si dice ridotta ai minimi termini?

5) Quando due frazioni algebriche si dicono equivalenti?

6) Come procedi per trasformare una frazione algebrica in un’altra ad essa equivalente?

7) Come procedi per semplificare una frazione algebrica?

8) Verifica che, nell’insieme delle frazioni algebriche, la relazione “essere equivalenti” è una

relazione di equivalenza.


a) L’espressione 3 22a b− non è una frazione algebrica. V F

b) Un polinomio è una frazione algebrica. V F

c) L’espressione 3 53x y non è una frazione algebrica. V F

d) Le lettere presenti in una frazione algebrica non possono assumere il valore zero. V F

e) Un numero razionale non è una frazione algebrica. V F

f) Il dominio di una frazione algebrica è sempre un sottoinsieme proprio di Q. V F

g) La differenza fra due frazioni algebriche è sempre una frazione algebrica. V F

h) Il rapporto fra due frazioni algebriche è sempre una frazione algebrica. V F

i) La frazione 2

3

4 4

2

k k

k

+ ++

è ridotta ai minimi termini. V F

j) L’espressione 3 22a b− è equivalente a 2

3

4

2

b c

a c V F

k) La frazione algebrica 23 6

4 8

x x

x

++

assume il valore zero per 2x = − . V F

l) La frazione 3

2

s

s− è equivalente alla frazione

2

2

3 3

1

s s

s s

+− −

solo se s ≠ 2. V F

10) Siano A e B due frazioni equivalenti; quali delle seguenti affermazioni sono vere?

a) A – B = 0; b) A + B = A2; c) A ⋅ B = B2;

d) A – (−B) = 2B ; e) 1

A 1B

⋅ =

179

11) Della frazione algebrica 2

3

3 4

1

t t

t

− −+

si può dire che:

a) è equivalente alla frazione 2

4

1

t

t t

−− +

per qualsiasi valore di t ;

b) si annulla per un solo valore di t ;

c) assume il valore −5 per t = −1;

d) se t > 4, è negativa;

e) il suo dominio è l’insieme Q.

12) Le seguenti proposizioni si riferiscono alla frazione algebrica A(m) = 5

3

m

m

++

. Stabilisci se sono

vere o false:

a) A(m) perde significato se m = 0. V F

b) A(m) è equivalente alla frazione 2 5

3

m m

m

++

. V F

c) A(m) è ridotta ai minimi termini. V F

d) A(m) è sempre positiva. V F

e) A(m) assume il valore zero se m = −3. V F

f) A(m) è equivalente a 5

3. V F

g) A(m) è sempre non negativa. V F

h) Esiste almeno un valore di m per il quale A(m) assume il valore 5

3. V F

i) Esiste un solo valore di m per il quale A(m) assume il valore zero. V F

j) A(m) assume il valore zero se m = −5. V F

k) A(m) è equivalente a 2 10

2 6

m

m

++

. V F

l) Se m ≠ −3 allora 0

51

3

m

m

+ = + . V F

13) Quale delle seguenti frazioni ha per dominio l’insieme Q ?

a) 3

2 2s+; b)

2

4

x; c)

25 1

3

h

h

+; d)

2

6

2 4

t

t +; e)

3 2

1

y

y

−−

14) Il dominio della frazione algebrica 2

4

9

v

v

−−

è:

a) { }3−Q b) Q c) { }3,3− −Q d) { }4−Q e) { }9− −Q

180

15) Quale, fra i seguenti polinomi, devi inserire al posto dei puntini in modo che il dominio della

frazione algebrica 3 8

...................

a + sia { }2− −Q ?

a) 2 2a+ b) 2 4 4a a− + c) 2 4a − d) 2 2a a+ e) 6 12a +

16) Quale, fra i seguenti polinomi, devi inserire al posto dei puntini in modo che la frazione

algebrica 2 4

..................

3m h+ sia maggiore di zero per qualunque valore attribuito alle lettere?

a) 42h b) 42 2h + c) 24 4m − d) 2 7 12m m− + e) 29 12 1m m+ +


algebrica 4

..................

8 2t−

+ sia minore di zero per qualunque valore attribuito alle lettere?

a) 24 t− − b) 24 t− + c) 24 t+ d) 24 t− e) 24t


algebrica 26 7

.....................

f + sia maggiore di zero per qualunque valore attribuito alle lettere?

a) 3 + f ; b) 2 3f + ; c) 47 f ; d) 24 f− − ; e) 3f

19) Il dominio della frazione algebrica 2

4

9

v

v

++

è:

a) { }9− −Q b) { }9−Q c) { }3− −Q d) { }4− −Q e) Q

20) Per quali valori di a le frazioni 2

1

a

a + e

2

2

2 2

1

a a

a

−−

sono equivalenti?

a) { }0a∈ −Q ; b) { }1a∈ −Q ; c) a∀ ∈Q d) { }1a∈ − −Q e) { }1a∈ − ±Q

Esercizi

Determina il dominio delle seguenti frazioni algebriche:

21) 4

5z−;

5 1

2 3

g

g

−−

; 4 7

3

h

h

+

22) 23 3m

m t

−−

; 27 3

4

t k

kt

−;

25 6y

x y

−+

23) ( ) ( )2 3 2

4 2

t t

y y

− ++ −

; 4

2

5 2 1

1

a b

a

− +−

24) ( )25 2 8

2

u u

u u

− ++

; 23b c

25) 2 26 5

2 4

h t ht

h

− +−

; 2

2

16

4

d

d

−−

181

26) 2

5

2 8

d

d −;

3

7

8

s

s

+−

27) 2

5

10 25

z

z z

++ +

; 2

2a b

a ab

−−

28) 2

5 1

2

p

p p

−− −

; 3

2 2

5

6

s t

s st t

+− −

29) 2 5 6a a+ + ; 4

5

1c +

30) 2 2

2 1

9

m

m h

+−

; 2

7

4 6 9

a

a a− +

Inserisci al posto dei puntini il polinomio mancante in modo che le seguenti uguaglianze risultino vere:

31) 5 5 ................ 20 5

4 1 ................. 16 4 .................

m f

f f

+= = =+ +

32) 2 2 2

2 2 2

.......... 7 14 .................................

9 1 9 ................. 9 9

m h m h

m m m m h m mh m= = =

+ + − + −

33) 2

2 2 3

6 ........... 3 6 ..........

2 2 1 ........................

t t

t t t t

+= = =− − −

34) 2

2

3 9 ............... 12 4

2 ............ 8 ...............

k k k

ks ks

− − −= = =

35) 2

2

2 1 ........... 2 3 2 4 2

2 4 ...................... ...........

a a a a

a a

− + − −= = =+ −

Stabilisci quali delle seguenti frazioni algebriche sono tra loro equivalenti:

36) 2

8

16

d

d −;

2 2

d

d −;

2

3

8

2

d

d −;

2

3

8

16

d

d d−;

2

3 2

8 8

16 1

d d

d d d

−− − +

37) 22

3

m m

m

+;

2 1

3

m

m

+;

2 1

3

m+;

22 1

3 3

m m

m

− −−

; 22

3

m m+

38) 4

2

x

xy;

2

2 2

16

4

x

x y;

4 4

2 4

x

xy

−−

; 2

y;

1

y

39) 2 4

1

z

z

−+

; 3

2

4

1

z

z

−+

; 23 12

3 3

z

z

−+

; 4

3

z−;

3

z

z−

40) 2

2

2 1

9

h h

h

− +;

1

3

h

h

−;

3 2

3

2

9

h h h

h

− +;

3

1

9

h

h

−;

2

2

2

9 1

h h

h

−−

41) 2

2 4

km

k m−;

2

2

2 2

2 4 2 4

km km

km m k m

−− − −

; 2

k

k −;

1 2

m

m−

182

Dopo averne determinato il dominio, riscrivi le seguenti frazioni in modo che abbiano lo stesso

denominatore:

42) 3

2z;

5

6

z

x;

2

4

3x

43) 3

2 3

5

2

a

b c;

2

4 2

3

4

b

a c;

3

7

6a b

44) 3 26

2

v t

v t+;

2

4 1

8 4

t

vt t

++

; 2 3

3

4 2

v

vt t+

45) 3 1

2 4

a

a

+−

; 2

2

5

4 4

a

a a− +;

2

3

4

a

a

−−

46) 2 3

9 6

b

b

−−

; 2

9

5 6

b

b b− +

47) 2

2 2

3 2m h

m h

−−

; 2 2

4

2 4 2

h m

m hm h

−− +

48) 2

2 5

9

h

h

−;

3

9

6 6

h

h h

−−

; 2

3 2

3

3 9 9 3

h

h h h− + −

49) 2

2

3 2

2 3

q

q q

+− −

; 3

2

7

4 4

q

q q−;

2

2 3

24 72 54

q

q q

−− +

50) 3

6 5

8 1

z

z

−−

; 2

4

8 4 2z z+ +;

2

24 1

z

z −

51) 3

3

7

8

s

s +;

2 8

3 6

s

s

−+

; 2

2

2

4 4

s

s s

++ +

Dopo averne determinato il dominio, semplifica le seguenti frazioni algebriche:

52) 15

5

x

y;

6

3

st

t;

210

2

z v

zv

3; 2 ; 5

xs z

y

53) 39

27

a z

ay;

212

4

m gh

m;

2

2

22

2

bk

b k

2 11; 3 ;

3

a z kmgh

y b

54) 4 3

3

16

4

a b

a b;

2 2 3

3

9

12

g h c

gh;

3 3

2 6

8

2

af m

a f m

3 22

3

3 44 ; ;

4

gc mab

h af

55) 5 5

;5

x+

3 3;

6 6

k s

k s

++

4 6

2 8

b

b

−+

1 2 3

1; ;2 4

bx

b

− + +

56) 3

;a

a ab+

3;

3 3

c

c+

10 10

2 2

p s

p s

−−

2

; ; 51 1

a c

b c

+ +

183

57) 2

0,8 0,8;

0,4

x xy

xy

−

2

;3

gk g

gk

+

2 2

25

d du

d

−

2

2

2(1 ); ;

3 5

y g k d u

y k d

− + −

58) 113;

26

n

n

a

a

+

3

2 2

8;

4

n

n

h s

h s

1

1

9

12

n n

n n

k b

k b

+

+ 2 3

; ;2 4n

a s b

h k

59) 2 6

3 2

0,5;

0,3

n

n

v s

v s

+

+ 3 2

2

11;

33

n n

n

x y

x y

+ +

1 2 1

2 2 2

0,2

0,5

n n

n n

z u

z u

− +

− − 4 1 2 33 2

; ;2 3 5

ns x y u

v z

+

60) 3 2

2;

c c

c c

++

2

3

3;

6

m mt

m

−

a ab

a ab

−+

2

3 1; ;

6 1

m t bc

m b

− − +

61) ;gd d

d gd

−−

2

;2 2

ab b

a b

++

2h h

ht t

++

1; ;2

b h

t −

62) 2 2

;2 2

z y

z y

−−

3 3

2 2;

x y

x y

+−

2 2

;2

z y x xy y

x y

− − + −

63) 3 2

2 2;

2

c cf

c cf f

−+ +

3 2

2

3 4

1

k k

k

− +−

2( ) ( 2)

;1

c c f k

c f k

− − + −

64) 3 2

3

18 12;

27 12

t t

t t

+−

4

2 2 2;

hz h

z h h

−+

22 1

;3 2

t z

t h

− −

65) 2 2

2 2

3 3;

9 9

a x a y

ax ay

−−

2 2

2 2

6 12 6

3 3

ax axy ay

x y

− +−

2 ( )

;3( )

a a x y

x y x y

− + +

66) 4 3 2 3 3

2 4 4

2;

f h f h h

f h h

+ ++

2 2

2

2 8 8

a b

a ab b

++ +

2 1 1

;2( 2 )

f

h a b

+ +

67) 4 4

2 2

14 14;

7 7

x y

x y

−+

4 3 2

2

6 12 6

2 2

k s k s k s

k s ks

− +−

2 22( ); 3 ( 1)x y k k − −

68) 2

2

6 9;

9

v v

v

− +−

ax bx ay by

ax bx ay by

+ + ++ − −

3

;3

v x y

v x y

− + + −

69) 3 2

4 3 2

4 4;

2

y y y

y y y

− +− −

2

2

2 1

1

u u

u

− +−

( )

2 1;

1 1

y u

y y u

− − + +

70) 2

2

2 6;

2 12 18

q q

q q

−− +

3

2

1

1

c

c

−−

2 1

;3 1

q c c

q c

+ + − +

71) 2 2

2 2

4 4;

4

s sp p

s p

− +−

2 224 24 6

6 3

v vz z

v z

+ ++

2

; 2(2 )2

s pv z

s p

− + +

72) 2

2

5 6;

4

m m

m

− +−

2

ax bx ay by

a ab

+ + ++

3

;2

m x y

m a

− + +

73) 2 3 6

;2

mt m t

mt m

− + −−

2

2 22 4 2

ab ac b bc

b bc c

− + −− +

3

;2( )

m a b

m b c

+ + −

74) 2 2( )

;x y z

x y z

+ −+ +

4 3 2

3 2

3 9 9 3

6 12 6

k k k k

k k k

− + −− +

1

;2

kx y z

− + −

75) 2 2

;ax ay bx by

a x b x

− − +−

2 6

5 10

k k

k

− −+

3

;( ) 5

x y k

x a b

− − +

184

76) 2 2( )

;k f g

k f g

+ −+ −

3 3

2 2

6 6

3 6 3

m h

m mh h

++ +

2 22( )

;m mh h

k f gm h

− ++ + +

77) 2

2

2 1;

3 2

t t

t t

− +− +

2 2 2

2 2 2

2

2

a b c ac

a b c ab

− + −+ − +

1

;2

t a b c

t a b c

− − − − + +

78) 2

2

8 15;

11 30

k k

k k

− +− +

2

2

2

1

t t

t

+ −−

3 2

;6 1

k t

k t

− + − +

79) 1

;1

vx x v

vx x v

− + −− + −

2

2 2

a ax ab bx

a x

+ + +−

1

;1

x a b

x a x

− + + −

80) 2 2

2

( ) ( );

4

m s m s

m

+ − −

2

2 23 3 6

xy xz y yz

y z yz

− − ++ −

;3( )

s x y

m y z

− −

81) 2 2

2 2

2 1;

1 2

d c d

d c dc

− + ++ − +

2

3 3

3 3g g gk k

g k

+ + ++

2 2

1 3;

1

d c g

d c g gk g

− + + + − − +

82) 2

2

10 24;

4 4

u u

u u

+ −− +

2 2

2 2

16 2

16 8

v t vt

v t t

− − +− + +

12 4

;2 4

u v t

u v t

+ − + − + +

83) 2 2

2

1 2;

2 2 2

k s s

k ks k

− + −+ −

3

2

27

6 9

h

h h

++ +

21 3 9

;2 3

k s h h

k h

− + − + +

84) 4 3 2

3

3 3;

1

t t t

t

− + −−

3 3

3 2 2

8

12 6 3

f b

f f b f b

−+ +

3

2

3 3 2;

1 3

t t f b

t t f

+ + − + +

85) 3

2

8 1;

4 1

z

z

−−

2 2 1 2 2 2

5 5 5

k h hk k h

k h

+ + + + ++ +

24 2 1 1

;2 1 5

z z k h

z

+ + + + +

86) 2 2

2 2

2;

k hk h

k k h h

− −+ − +

3

2

8

2 3 2

m

m m

−− −

22 2 1

;1 2 1

k h m m

k h m

− + + − + +

87) 2

2

6 7 3;

2 3

x x

x x

+ −+ −

3 2 2 3

2 2

8 36 54 27

4 9 12

k hk h k h

k h hk

− + −+ −

3 1

; 2 31

xk h

x

− − −

88) 3

2 2 1;

1

ab b a

b

+ − −−

24 4

4 4 4 4

a

ab b ac c

−− + −

2

2 1 1;

1

a a

b b b c

+ + + + +

89) 3 2

2

4 6;

3 2 1

x x x

x x

− + ++ −

2

2

2 5 3

2 3

u u

u u

+ +− −

( 2)( 3) 2 3

;3 1 3

x x u

x u

− − + − −

90) 2

2

6 1;

4 1 4

d d

d d

− −+ −

3 2

2

2 7 6

2

p p p

p p

− − ++ −

3 1

; 2 32 1

dp

d

+ − −

91) 3 2

2

4 5 2;

4

k k k

k

− + −−

2 2

2 2

2 5 2

4

k hk h

k h

− +−

2( 1) 2

;2 2

k k h

k h k

− − + +

185

Operazioni con le frazioni algebriche

Somma algebrica

Eseguire le operazioni indicate:

92) 1

;aa

+ 1 1

;s t

+ 2

1 1

p p−

2

2

1 1; ;

a s t p

a st p

+ + −

93) ;h g

g h+

2

3 2;

2t t−

2

1x

y xy−

2 2 2

2 2

3 4; ;

2

h g t x y

gh t xy

+ − −

94) 1

2 ;vv

− + 4

;3 6 2

b b

d d+ +

2 3 1

3 2z z z+ −

2( 1) 2(2 ) 7; ;

3 6

v d b

v d z

− +

95) 1 1

;h p

hx px

+ −− 1

;u z

uz u

+ − 1 1

3 3 4

x y

xy x y

+ − − 1 1

; ;12

h p

hpx u y

+

96) 1 1 1

;s v sv

+ − 3

;2 3

t t+ 2 2

12

a b

ab

+ − 21 11 ( )

; ;6 2

s v t a b

sv ab

+ − −

97) 2

3 2 6

m k m k m k

m m m

− + ++ − 7

6

98) 2 2

2 2 2 2

2

4 2 4

c f c f c f

c f cf c f

− + −+ − 3

4cf

99) ;2 2 2 2

c b

c b c b+

+ −

2 2

2 22( )

c b

c b

+ −

100) 2 2

2g t gt

g t g t g t+ −

+ − −

g t

g t

− +

101) 2 2 2

2 1 1

4 2 2

z z

z z z z z

+ −− +− + −

2

4

4z −

102) 2

2 3 4

9 3 3

q q

q q q

+ −+ −− + −

2

2

9 1

9

q q

q

− − −

103) 3

2

4 4 5

1 1 1

k k kk

k k k

− ++ − −− + −

[ ]1

104) 2 2 3

2 2 4 4

2 4h t h t ht ht

h t h t h t h t

+ −+ + −− + + −

[ ]2

105) 2 2 2

1 2 2 2

3 2 2

u u u

u u u u u u

+ + ++ +− + − −

2

1

u u −

106) 2 2 2

2 2 2

4 9

4 2 6 3 2 3 6 9 3 6 2

x y z

x xy xz yz y xy yz xz z yz xz xy+ +

− − + − − + − − + [ ]1

186

107) 2

2 2

4 1 1 1

1 2 2 1 2 2

a a a a

a a a a

+ + −− + −− − − +

1

1

a

a

− +

108) 2

2 3 2 4 3

1 2 2 1

1

k k k k

k k k k k k k

+ − +− − +− − − −

2

1

k

k

−

109) 2 2

5 4 ( 2) 3 5

2 4 2

v v v

v v v v

+ +− +− −

( )5 1

2 2

v

v

+ −

110) 2 2

2 2

12 3 3 8

8 4 6 3 4

x x y x y

x y x y x y

+ +− ++ − −

6

2

x

x y

+

111) 2 2 2

2 1 1 1

36 12 3 6 1 36 24 3 36 1t t t t t t+ − +

− − + − + −

1

6 1t −

112) 2

4 2 2 2

3 4 1 1

8 16 4 4 4 4

k k k

k k k k k k

+ + −+ −− + + + − +

2

3

4 k −

113) 3 3

6 3 3

4 1 1

1 1 1

a a

a a a

+ −+ −− − +

3

4

1a −

114) 3 2

3 2

2 1 2 4

1 3 3 3 3 3

n n n n

n n n n

− + −− ++ − + +

[ ]1

115) 2 2 3 2

2 1 3

6 5 6 2 9 18b b b b b b b+ +

− − + + + − −

2

3

9b −

116) 2 2

2 2 2 4 2

4 1 31

4 1 2 2 5 4

h h

h h h h h+ + − −

− − − − + ( )2

1

2 1h

−

117) 2 2 2

3 2 3 3 1

1 2 3 2

c c c

c c c c c

+ + +− +− − − − +

2 1

c

c −

118) 2

3 2 2 2

8 2 1 4

6 12 8 2 4 4

x x x

x x x x x x x

+ − −+ ++ + + + + +

2

1

2x x +

119) 2

2 2 2

3 3 6 3

2 3 9 6 9

p p p p

p p p p p

+ +− +− − − + +

3

3

p

p

− +

120) 2 2 2

4 3 2 2 3 2 3 2 2 3

4 2 2 2 2

3 3 3 3

xy xy y x x xy x

x x y x y xy x xy x x y xy y

+ + + + +− ++ + + + + + +

[ ]0

121) 4 2 2

3 3 2 2 2 22 2 6 6 2 2

a a b ab a b

a b a b ab a b ab

− −− ++ + + + +

4 4

3

2

2( )

a b

a b

− +

122) 2 2

3 2 12

2 2 2 4s k s k s k sk− −

+ − + + + + −

1

2s k + +

123) 2

3 2 4 2 3 2

5

4 4 5 4 4 4

k k k

k k k k k k k k− +

− − + − + + − −

2 1

k

k −

187

Prodotto e divisone fra frazioni algebriche


124) 3 5 4 2

2 3 2

7 3

21 14

a b b y

a b y a y ⋅

6

14

b

a

125) 4 3

2 4 3

18 10

16 9

xyz b

x b yz

− ⋅ 5

4

z

xb

126) 3 2

2

3 6 1:

2 4 2

abc c

xyz xy z yb ⋅

2

ac

127) 3 2

2 2

5 6 1

3 4

t t t

t t t

− + ⋅ − −

1

2t +

128) 2 2 2

2 2 2

9 6

3 6 9

v z z

vz v vz z

− ⋅ − + +

( )( )

2 3

3

v z

v v z

−− +

129) 3 2 3 23 3 1 2

:1

s s s s s s

s s

− + − − + − −

[ ]1

130) 2 2 2

2 2

4 4 2 2 4:

4 4 2 6 4

x ax a x ax x a

x x x x

− + − + − + + +

2

2

x a

x

−

131) 2 2

2 2

3 2 2 1

1 4

g g g g

g g

− + + + ⋅ − −

1

2

g

g

+ +

132) 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2

2 4 2 4 4

m n m n m mn

m m n mn m n mn m n

− + − − ⋅ − + + + + + +

1

2m n + +

133) 3 3 2 2

4 2 2 4 3 2 2 3 2 2

3 3:

2 2 2 3 3 3

a b a b

a a b b a b a b ab a ab b

+ − + + + − + − − +

9

b a −

134) 3 2 2

4 2

2 9 13 6 2 2:

9 4 8 24 18

x x x x

x x x

− + − − − + +

22 6

1

x x

x

− + + +

135) ( )4 2 3

3 2

9 6 1 4: 1 2

6 3 2 1

d d d dd

d d d d

− + − ⋅ −+ − −

21 3d −

136) 2 2 2

2 3 2

9 3 6 9: :

2

y y y y y

by y b y y y

− − + + + + +

2

3

y

y

+− −

137) 2 2 2 3 2

1:

3 6 9 9

c c

c cf c cf f c cf ⋅

− − + −

2

1

3c cf

+

138) ( ) ( )3 3 2 22 2

4 42 2 : 2 4 2

2 2 2

m bm b m bm b

m mb b

−− ⋅ − ++ +

[ ]2

139) 2 2

2 2

6 4 16 16

2 8 18 2

h h h h

h h

+ − + + ⋅ − −

2

3

h

h

+ −

188

140) 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2:

1

b b bt t b

bt b t t t

+ + + − + + + + −

1

1

t

b

− −

141) 3 2 2

3 2

6 12 8 4 8 16

8 4 16 16

k k k k k

k k k

− + − − − − ⋅ − − +

[ ]1

142) ( )3

22

8 14 :

2 4 2 4

yy

y y y

−− ⋅ + + +

1

2

143) 4 2 4 2 3

6 6 4 2 3

2 7 6 2 3 2: :

1

x x x x x x

x x x x x x

+ + + + + − + +

[ ]1

144) 2 2

2 3

3:

6 9 27

v v v

v v v

− −− + − −

2 3 9v v

v

+ +

145) 3 2 2 3 2 2

2 2 2

5 10 20

5 4 16 4 8 16

a b a b a b b

a b a b ab a b

− + ⋅ + + − + −

2

2 4

b

a b

− +

146) 4

7 4

5 5 25

125 2

k k k

k k k

+ ⋅ + +

3 1

k

k +

147) 4 2 2 3

3 2 2

9 12 4 8 6 4: :

3 2 3 2 4 4 10

x x y y x xy

x xy x y x

+ + + + − − − + −

5 5

2

x

x

+ −

148) 4 3 2 3 2 2

3 2 3 2

4 4 6 9:

2 4 8 6

a b a b a b a b a b ab a

a a a a a a

+ + − − − ⋅ + + − + −

[ ]2a +

149) 2

2 2

2 3 3 2 3 8: 2

3 2 2 1 4

y y y y

y y y y y

+ − + + −− + + + + + + −

2

2

2

y

y

−

150) 3 2 3 2

10 2 7 11 4 1 1:

2 2 1 2 4 4 2 1 1

p p

p p p p p p p

− ++ − − − − + + + + − ( )

2

2

27

4 1

p p

p p

−

+ +

151) 2

2 2 2

4 4 2 3 3 8:

4 4 2 2 4

c c c c

c c c c c c

− + − + + − + − − − − 2

2

c

c

+ −

152) 2 2

8 4 8 4:

1 4 4 4 1 8 4 4 2

x x

x x x x x

− + + − + + − + 1

2 1x +

153) 4 2 3 2 2

2 2

4 4

2 2 2 2

a b a b a

a b b a a b b

−− − ⋅ − − + 2 34 4 2ab b a − − −

154) 2 2 2 2

2 2:

s t st st t s

s t s t s t t s s t t s + + − − + − − − + −

2

s t

s t

+ −

155) 2

2 3 1 8:

1 3 3 3 6p p p p p

− + − − − +

2p

p

+−

189

Potenze di frazioni algebriche

Esempio

Dopo averne determinato il dominio, calcoliamo le seguenti potenze applicando, se possibile, le

proprietà delle potenze:

a)

424

3

p

p

− −

; b) 52

2

9 4 12

4 1

x x

x

+ + −

a) Determiniamo il dominio della frazione algebrica.

Il denominatore della frazione algebrica deve essere diverso da zero; inoltre, poiché uno degli

esponenti è negativo, anche il numeratore deve essere diverso da zero. Si ha:

3 0 0 0 4p p p p≠ ∧ 4 − ≠ ⇒ ≠ ∧ ≠

Il dominio è, allora, l’insieme D = { }0,− 4Q .

Calcoliamo, adesso, la potenza.

Applichiamo le proprietà delle potenze; si ottiene:

424

3

p

p

− −

=

84

3

p

p

− −

=

83

4

p

p

−

= ( )

8 8

8

3

4

p

p−

b) Determiniamo il dominio della frazione algebrica.

Il denominatore deve essere diverso da zero; quindi

( )( ) ( ) ( )2 14 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0

2x x x x x x− ≠ ⇒ − + ≠ ⇒ − ≠ ∧ + ≠ ⇒ ≠ ± .

Il dominio è l’insieme D = 1

2Q

− ±

.

Calcoliamo, adesso, la potenza.

Osserviamo che sia il numeratore che il denominatore della frazione sono polinomi riducibili; il

numeratore è il quadrato di un binomio, il denominatore è la differenza di due quadrati.

Si ottiene:

52

2

9 4 12

4 1

x x

x

+ + −

= ( )

( )( )

523 2

2 1 2 1

x

x x

+

− +

Applichiamo le proprietà delle potenze:

52

2

9 4 12

4 1

x x

x

+ + −

= ( )

( )( )

523 2

2 1 2 1

x

x x

+

− +

= ( )

( ) ( )

10

5 5

3 2

2 1 2 1

x

x x

+

− +

190

Dopo averne determinato il dominio, calcola le seguenti potenze applicando, se possibile, le

proprietà delle potenze:

156) 222

c

ab;

35h t

z

−

; 2

2

−

y

xz

157) ( )2

2

2 h

h

+;

( )( )24

2

3

5

a

ba +− ; ( )2

3

3

++−

xyx

xxy

158)

322k

mm

−

;

332

z

xy;

323

2

t

t

− − −

159) 22 1

+−−

ns

ns;

3

2

3

+−−

c

c;

322

−−−

q

mp

160)

21

2

1−−

a;

122x x y

y x

− +− ⋅

;

32

6

+−−m

nm

161) 3

22

22 2

−+−

qp

qpqp;

42322

bc

a

bc

a

162) 3 3

2 2

1 1

1 2 1

g g

g g g

+ − − + +

( )6

1

1g

+

163)

322

2

4 2 1

2 1 2

h

h h h h

− − − − − −

( )

12

122 1

h

h

−

164)

33 12 2z z

t t

− + +

( )6

6

2z

t

+

165) ( ) ( )

23

2

2

−++

xy

yxyx

( )18

6 12

x y

x y

+

166) ( )

22

22

2253

−⋅

+ba

ba

abc

ba

( )

4 4

4

15 a

c a b

−

167) ( )

222

2

2 2

6 3 3

k k k k

k k k

− + + ⋅ +

( )4

9

2k

+

168)

312

2

2

2

2

126

12

+⋅

+−

−

x

x

xx

x

( )5

5

32

2

x

x

+

191

169) ( ) 232

2

12

2

144

+−⋅

++−

a

a

a

aa

( )( )

10

4

2 1

2

a

a

−

+

170) 2 22 3

2 2

2 15 27

3 9 7 10

t t t

t t t t

− − +⋅ − + − +

( )( )

4

2

3

2

t

t

+

−

171) ( )

22 33 29 27 27

3

z yz z z

z y z

+ − + − ⋅ + −

( )( ) 43z z y − +

172)

32

22

−

−

+

−

q

p

qp

pq

p

q

q

p

p

q

q

p

6

6

q

p

173) ( )

2

22

224

3

33 2:

−

+++−

−−

zszs

zszs

zs

zs

( )

22 2

2

s sz z

s z

+ + −

174) ( )

++

−−

+−

y

yxyx

yx

yx

yx

yx

2::

222

22

233

( )2 22y x xy y + +

175) 2222

2

3:

2

3

2

−

−ab

cba

abc

ab

2

1

c

176) 32 2

2 2 3 3

3 6 4 4:

2 2 24

f h f f f

f f h h f f h

− − +⋅ + +

( )( )

6 6

6

81 2f h f

f h

−

+

177) ( ) ( )

3

22

3

2

2:

11

++−

++

− qpqpqp

p

qpqp ( )3

p q −

178) ( ) ( ) ( )

1

2

3

23

33

3

2

2

32

−

+⋅+⋅

x

xy

xy

xx

( )36

9

3x x

y

+

179) 2

22

23

22 1

21

2

−+⋅

−+−⋅

+−−

q

qp

qp

qq

qpqp

qp

( )( )

2

5

1 q

p q

−

−

180) 3 3 33 4

2 2 3

8 2 4:

2 4

c c c

c c c c

− − ⋅ + +

15

8

c

181) ( )

( )( )

( )

25 72

5 7

5 2 5 23:

5 23 3

s ss

ss s

− + + ⋅ +

( )

( )

7

7

5 2

3

s

s

+

182) 4 4

3 3 6 3 3:

s t

t s s t t s − + + −

( )4

1

s t

−

192

Riscrivi le seguenti espressioni come frazioni algebriche e, se possibile, semplificale:

183) ( )4

2 3 12 8

2m k g

−− ⋅ ⋅

; ( )

122 32

43

a b c−

− ⋅

184) ( ) ( )3

2 22 2 12 2

2s s s s

−− − ⋅ + ⋅

185) ( ) ( ) ( )2 2 44 2 3 3 13 2x z z x z− − −⋅ ⋅

186) ( ) ( )32 2

15 2 23 23

m gm g m mg g

−− − − − +

Esercizi di riepilogo


187) 33

1233

4333

5

2

5322

312

5

2

5

25

16

yx

at

tzyx

baa

ba

tzyx +

−

−

−

3 12

3 327

t a

x y

188) uvu

vu

uvu

vu

+−⋅

++

−+2

42

2

112

( ) ( )2

2

u v u v

u

+ −

189) 2

13

412

1

2

+−

+−+ x

x

x

x

x

x

( ) ( )16

1 3 1

x

x x

− + +

190) lm

lm

lm

lml

ml

ml

ml

lml

++

−−⋅

−−⋅

+−+

2

22

232

4

2

2ml

m l

− +

191)

332

11

11

+−

−+ a

a

a

( )9

181

a

a

−

+

192)

32

4224

22

12

+

++⋅

+⋅

−rrss

sr

s

r

r

s

s

r

r

s

( )12

62 2

64s

s r

+

193) 22 2

2

2 2 2 4 4 41 2 :

2 4 3

g g g g

g g g g g

− ++ + + − + −

( )8 24

2

g

g g

− −

194) 2

43

21

1

11

1

1

4 22

2

−−−−

−+

++

⋅

−+

⋅−+

uu

u

u

u

uuu

uu

2

1u − +

195)

3

22

22

2

2

2

2

2

2

42411

4

+⋅

+−

+⋅

+⋅

−−

ba

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

12

12

a

b

−

196) ( )

1

1133114

23

3

4

+⋅

+⋅

−−

+⋅

+⋅

−r

r

rr

r

r

rr

rr

rr 4 1r −

193

197) 224222332 :qpqp

q

qp

qp

qp

pq

qp

qp

qp

qp

+−⋅

++−

−−+

3 3

p q

p q

+

198) ml

l

lmml

m

lm

l

ll

m

56162492

16916

41

3 22222 +⋅

+++

−⋅

− ( )2

2

3 3 4l ml

−

+

199) 2

22

22

223

33

22

1

4

1

+−⋅

+−

−−⋅

−+

−+−−

+−

ba

ba

babab

ba

ba

a

ba

ba

aba

ba

( )2

2 2

a b

a b

−

200) ( )

22

3

44

33

2

22 12bababa

b

ba

ba

a

ba

a

b

b

a

a

b

b

a

+−⋅

+−

−⋅

++

−⋅

+ b

a b −

201) ( )

22

4:

14

133

12

4 22

22

23

2

33

+−

+−+++⋅

++ x

xx

x

xy

yx

xxx

xx

yx

2

2

y

x −

202) xy

x

xyx

x

x

x

x

xx

x

x

3

1:

1

1

1

32

55

1510

12

1

32 222

2

−−−++

++⋅

++−⋅

−+

2

2

3 3

1

x x

x

+ + −

203) 2

2

2

22

22 23188

310623

+⋅

−+++

−+

b

ba

ab

baba

ba

ba

( )2

1

4 3 2a b

−

204) 2 2 2 2

2 1 3 1 4

4 2 3 2 1 8 8 9 1

y y y y y

y y y y y y y y

+ − −+ − + − + − − + − − +

( )2

1

1y

−

205)

2

2

2

22

2

5

144

6

32

12

127

3

131

−⋅

−−+−−−+− aba

ab

ab

b

a

a

a

a

4

1

25b

206)

+−⋅

++++

−−

−+

nmnm

nmnm

mn

m

nm

nm

33

1

2

2

244

22

22

22

( ) ( )

2 27 10 8

6 2 2

m n mn

m n m n

+ + − +

207) 2222

22

3223

3

2

21026:

77

7

33 mn

mn

nmnm

nmnm

nm

nm

nmnnmm

m

−+

+−−−

−+−

−+−

( )( ) ( )

13

14

n n m

m n m n

− − +

208) 2

22

2

2233 112

:1

+⋅

+−+−

+

+−−

+ yyxyx

y

yx

y

yxyxyx

x ( )2 2

1

y x xy y

−

− +

209) 2

2

2

2

1

3

3

24

1:

65

1

−⋅

−+

−−

+−+

l

l

lll

l

ll

l

3

1l

l

−

210) 2

2 2 2

2 3 2 4

2 5 5 10 9 2 1

w w w w

w w w w w w w

+ + − − ⋅ − − − + − − + +

( )2

2

2 2

5 1

w w

w

− +

+

194

211) fg

gf

gffg

f

gfgfgfgf

f 44

2222

2

222233

1:

11 −⋅

+−

−

−−

++−

−

2 2

2 2

g f

f fg g

− + +

212) 22

2322 321

3896

9491241

−+

++⋅

−+−

++ vuvu

uvu

uvu

vu

vuvu

( ) ( )2

2 2

4

2 3 2 3

u

u v u v

+ −

213) r

r

rrr

r

rrrr

2

24

72

42

1

1

1

12

11

11

11

11

−⋅

+−

+−⋅

−−

+

−

+ 2

1r

r

+ −

214)

45

54

22

526

10

96

ba

abba

baba

−

+−

( )3

4

a a b

b

−−

215)

2

1025644812

153

2

246

−−+−−+−

−

d

cddcdddd

cd

( ) ( )2 4

3

2 2d d

− +

216) 2

22

4

3

+

−−⋅

−+−

+−

sr

rs

sr

rs

sr

sr

sr

sr

( )2

3

4 r s

−

217)

22

44

3

422466

22

242

14:

7

baba

abba

ba

bbaa

ab

ba

ba

++

−−

+−+ a b

b a

+ −

218) rsr

srsr

srssrrssr

sr

sr

sr

sr

sr

+−

+++++

++

⋅−⋅−

2

22

3223

22

43

22

33

22

133

1210

5

( )r s

rs r s

− +

219)

23

2

2

2

164161

3127

1

1

pp

pp

p

pp

p

+−

+−

+++

− ( ) ( )

13 3

3 4 1

p

p p

+ + +

220) 2

23

2

2

2

2

15

51

107

32510

9

c

cc

c

c

cc

cccc

c

−−⋅

−++

+−+

+−−

6

1

c

c +

221) a

ba

ba

ba

abba

baaba

ba22

2

2

22

2 16

5

151

1

816:

55

4−⋅

+−−

−++

−−++

( )4

4

a b

a a b

− +

195

222) 4

22

2

4224

33

33

33

33

2c

dcdc

ddcc

cddc

dc

dc

dc++⋅

++

+−−

−+

( )

4

2

16d

c d

−

223) y

yxyx

yxyx

y

xyyx

yxyx

yx

x

yxxyx

yx1

22

666

2

18

36

66

3

22

22

2

2

22

44

2

2

55

−

++

++

++−⋅−⋅

+−−

2

11

12

x y

y

−

224) feeff

e

feffee

fefefe

fe

++

−⋅

−+

+−+

+−

−+

11

2

1

23

2

224224

22

2244

22

( ) ( )2 2

2ef

e f e f

−

+ +

Quesiti

225) La frazione 87 79

76 68

x x

x x

++

( )0x ≠ è equivalente a:

a) 2; b) 112 x⋅ ; c) 22x ; d) 11

1

x; e) 11x

226) Una dimensione di un rettangolo è 1

4

a

a

++

( )4a ≠ − e l’altra è i suoi 2

3.

Determina l’area del quadrato isoperimetrico al rettangolo.

227) Siano F = 2

1

k

k

+−

e G = 1

2 4

k

k

−+

due frazioni algebriche. Nel caso in cui le due frazioni non

perdano di significato, quanto vale l’espressione 1 FG+ ?

a) 2; b) 1

2; c)

2

1

k

k

+−

; d) 3

2; e) 1

228) Siano F = 2

1

k

k

+−

e G = 1

2 4

k

k

−+

due frazioni algebriche.

Nel caso in cui le due frazioni non perdano di significato, per quale valore di k l’espressione

1 1G F

F G + +

assume il valore 9

4?

a) k = 1; b) k = 1

2; c) per qualsiasi valore di k ;

d) mai; e) nessuna delle precedenti risposte è corretta.

229) Determina il perimetro di un quadrato che ha il lato congruente alla diagonale di un altro

quadrato la cui area è 2

2

2

6 9

y

y y+ +.

196

230) Delle frazioni A = 3

2

4 1

a

a a− − e B =

2

2 3

2 1

a

a a

+− −

non è vero che:

a) hanno lo stesso dominio;

b) assumono lo stesso valore per 1a = − ;

c) nel loro dominio, la loro somma è sempre positiva.

231) Delle frazioni D = 3 2

2

2 3 2 3

1

x x x

x

+ − −−

e F = 3 2

2

2 7 6

2

x x x

x x

+ − −− −

possiamo dire che:

a) sono equivalenti;

b) assumono lo stesso valore per x = −1;

c) se non perdono di significato, la loro differenza è zero;

d) se non perdono di significato, il loro rapporto è −1;

e) tutte le predente affermazioni sono false.

232) Siano x, y numeri razionali con x > y > 0. Allora 5 5 6 6

2 2

x y x y

x y x y

+ −−+ −

è uguale a:

a) ( )2 2xy x y− + ; b) ( )2xy x y+ ; c) ( )2

xy x y− − ; d) ( )4 42 x y+

[M. Gobbino, Training Olimpico]

233) Se 1

3xx

+ = ( )0x ≠ , quanto vale 22

1x

x+ ?


234) Per quanti interi relativi n si ha che 3

5

n

n+ è un numero intero divisibile per 4?

a) 1; b) 2; c) 4; d) 8; e) più di 8


235) Trova tutti gli interi n tali che 2 3 8

1

n n

n

+ ++

sia intero.

[Olimpiadi Matematica]

236) Per quanti valori dell’intero n l’espressione 5 93

7

n

n

++

è un intero positivo?

a) Nessuno; b) 1; c) 2; d) 4; e) infiniti

237) Trova tutti gli interi a minori di 100 tali che 25

2

a

a

++

sia intero.

[M. Gobbino, Training Olimpico]

197

IL PRESENTE VOLUME E’ STATO REALIZZATO DA:

Prof.ssa Aureli Ileana

Prof.ssa Cifolelli Rosa

Prof.ssa Chilleri Maria Annunziata

Prof.ssa De Marco Pasqualina

Prof.ssa Farneti Gloria

Prof.ssa Lepore Emilia

Prof.ssa Leuci Maria Rosaria

Prof. Marinaro Michelino

Prof.ssa Pisanelli Daniela

Prof.ssa Rescio Anna Maria

Prof. Tiralongo Salvatore

Prof. Vadacca Antonio

2

Indovinello: Un mattone pesa un Kg più mezzo mattone. Quanto pesa il

mattone?

Risolviamo con le equazioni

11

2x x= +

E’ proprio il caso di dirlo: queste equazioni sono UN MATTONE!!!!

4

CAPITOLO 9

EQUAZIONI

9.1 Uguaglianze e identità

Spesso, nei capitoli precedenti, ti è stato chiesto di scrivere con i simboli della matematica alcune

frasi. Facciamolo ancora una volta.

Consideriamo le seguenti proposizioni:

a) il rapporto fra il cubo di 4 ed il quadrato di 4 è 4;

b) il quadrato di 7 è 49;

c) il doppio di 5 diminuito di 3 è 8;

d) la somma fra il cubo di 3 e il quadrato di 5 non è il triplo di 18;

e) il triplo di 4 aumentato di 3 è minore del doppio di 7.

Riscriviamole con i simboli del linguaggio matematico:

a) 3 24 : 4 4=

b) 27 49=

c) 2 5 3 8⋅ − =

d) 3 23 5 3 18+ ≠ ⋅

e) 3 4 3 2 7⋅ + < ⋅

Analizziamo le proposizioni:

• nella formalizzazione delle proposizioni a), b), c) è stato usato il simbolo “=”;

• nella formalizzazione della proposizione d) è stato usato il simbolo “≠”;

• nella formalizzazione della proposizione e) è stato usato il simbolo “<”.

Prescindendo dal fatto che siano vere o false, le proposizioni a), b), c) sono chiamate uguaglianze,

le proposizioni d), e) sono chiamate disuguaglianze. Possiamo, perciò, dire che:

Si chiama uguaglianza una scrittura nella quale, fra due espressioni numeriche, compare

il simbolo “=”.

Si chiama disuguaglianza una scrittura nella quale, fra due espressioni numeriche,

compare il simbolo “ ≠ ” oppure i simboli “>”, “<”, “≥”, “≤”.

Oppure, con il linguaggio della Logica:

Si chiama uguaglianza una proposizione nella quale il predicato è “essere uguale”.

Si chiama disuguaglianza una proposizione nella quale il predicato è “essere diverso”,

“essere maggiore”, “essere minore”, “essere maggiore o uguale”, “essere minore o

uguale”.

Facciamo, adesso, un semplice gioco.

5


1) Pensa un numero.

2) Ad esso aggiungi 12.

3) Raddoppia il numero ottenuto.

4) Dal nuovo numero sottrai 20.

5) Dimezza il numero così ottenuto.

6) Sottrai, all’ultimo numero ottenuto, il numero che hai pensato all’inizio.

Il numero finale è, sicuramente, 2!

Puoi provare a fare lo stesso gioco con un tuo amico; ti accorgerai che, qualunque sia il numero

iniziale, il risultato finale è sempre 2.

Formalizziamo le operazioni eseguite.

Poiché non conosciamo il numero pensato, tale numero lo indichiamo con una lettera dell’alfabeto.

Generalmente, per indicare numeri non noti si usa la lettera x che prende il nome di incognita o

variabile.

L’espressione che traduce le operazioni dal punto 1) al punto 6) è la seguente:

( )2 12 20 : 2x x⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦

Dal momento che il risultato finale “è” 2, possiamo scrivere:

( )⎡ ⎤⎣ ⎦2 12 20 2 = 2x x+ − −:

Anche in questa scrittura, fra le due espressioni, è presente il segno “=”; è, dunque, un’uguaglianza.

Tuttavia, diversamente dalle precedenti, l’espressione che compare prima del segno “=” è

un’espressione letterale.

Abbiamo già osservato che il risultato finale è 2 qualunque sia il numero iniziale; questo vuol dire

che l’uguaglianza è vera qualunque sia il valore attribuito alla lettera x.

Un altro esempio.

La proposizione aperta:

“Il doppio di un numero diminuito del numero stesso è il numero stesso ”,

scritta con i simboli della Matematica, diventa:

− =2x x x

Questa proposizione è vera qualunque sia il valore attribuito alla lettera x.

Infatti, attribuiamo ad x qualche valore numerico:

• se x = −2, si ottiene: ( ) ( )2 2 2 2⋅ − − − = − ⇒ 4 2 2− + = − ⇒ 2 2− = − (V)

6

• se x = 3, si ottiene: 2 3 3 3⋅ − = ⇒ 6 – 3 = 3 ⇒ 3 = 3 (V)

• se 12

x = , si ottiene: …………………………………………………….. (COMPLETA).

Del resto, svolgendo le operazioni nell’espressione che precede il segno “=”, si ottiene: x = x che è

vera per qualsiasi valore di x.

Una scrittura, a te ben nota, nella quale è presente il segno “=” fra due espressioni letterali è la

seguente:

( )2 2 22a b a ab b+ = + +

Qualunque valore attribuiamo alle lettere a e b essa è sempre vera.

Infatti, assegniamo alle lettere a e b diversi valori numerici:

• se a = 3 e b = 2, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( )2 223 2 3 2 3 2 2+ = + ⋅ + ⇒ 25 9 12 4= + + ⇒ 25 25;=

• se a = 4 e b = −5, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 24 5 4 2 4 5 5− = + ⋅ − + − ⇒

⇒ ( )21 16 40 25− = − + ⇒ 1 1.=

“Uguaglianze” di questo tipo prendono il nome di identità.

Si definisce identità una “uguaglianza” fra due espressioni letterali che è verificata qualunque

sia il valore attribuito alle lettere che in essa vi compaiono.

Le due espressioni che compaiono, rispettivamente, a sinistra e a destra del simbolo “ = ”

vengono chiamate primo membro e secondo membro. Oppure, con il linguaggio della Logica:

Si definisce identità una proposizione aperta, di dominio D, nella quale il predicato è “essere

uguale” che è vera qualunque sia il valore, appartenente a D, attribuito alle variabili.

9.2 Equazioni

Per introdurre questo argomento partiamo da alcuni semplici problemi:

a) Trova un numero naturale che sommato al suo doppio dia 18.

b) La somma di due numeri interi è 5.

c) Il quadrato di un numero razionale è −9.

Formalizziamo, con i simboli della Matematica, i problemi proposti.

a) Non conoscendo il numero richiesto lo indicheremo con lettera x e, conseguentemente, il suo

doppio sarà 2x.

Visto che la somma del numero col suo doppio deve dare 18, si ottiene: 2 = 18x + x .

7

Inoltre, il numero da trovare deve essere un numero naturale, quindi il dominio della

proposizione è N. La formalizzazione del problema è, dunque:

x + 2x = 18, x ∈ N (D = N).

b) I due numeri non noti li indichiamo, rispettivamente, con le lettere x e y; poiché la loro

somma deve essere 5, si ottiene: x + y = 5.

Dal momento che dobbiamo trovare una coppia di numeri interi, il dominio della

proposizione è Z 2 (Z × Z). La formalizzazione del problema è la seguente:

x + y = 5, (x, y) ∈ Z 2 (D = Z 2).

c) Indicato il numero richiesto con la lettera x, il suo quadrato sarà x2 e, dovendo essere uguale

a −9, si ottiene: −2 = 9x .

Il numero richiesto deve essere un numero razionale, quindi il dominio della proposizione è

Q. La formalizzazione della proposizione è la seguente:

x 2 = − 9, x ∈ Q (D = Q).

Come puoi notare, nella formalizzazione matematica dei problemi proposti compare il segno “=”

fra due espressioni letterali.

Possiamo, però, dire che sono delle identità?

Esaminiamole una per una:

a) + 2 = 18x x

Stabiliamo per quali valori di x, se esistono, l’uguaglianza 2 = 18x + x è verificata:

• x = 7 ⇒ 7 + 14 = 18 FALSO

• x = 5 ⇒ 5 + 10 = 18 FALSO

• x = 6 ⇒ 6 + 12 = 18 VERO

Solo se x = 6 la scrittura 2 = 18x + x risulta vera, per altri valori attribuiti ad x essa è falsa;

2 = 18x + x non è, dunque, un’identità.

b) x + y = 5

Stabiliamo per quali valori di x e di y, se esistono, l’uguaglianza x + y = 5 è verificata:

• x = 2 ∧ y = 4 ⇒ 2 + 4 = 5 FALSO

• x = −1 ∧ y = 6 ⇒ −1 + 6 = 5 VERO

• x = 1 ∧ y = −4 ⇒ 1 + (−4) = 5 FALSO

• x = 12 ∧ y = −7 ⇒ 12 + (−7) = 5 VERO

Anche in questo caso, per alcuni valori attribuiti alle lettere x e y, x + y = 5 è falsa e per altri

è vera; x + y = 5 non è, dunque, un’identità.

c) 2 = 9x −

8

Stabiliamo per quali valori di x, se esistono, l’uguaglianza −2 = 9x è verificata.

Ricorderai che, per le proprietà delle potenze, 2x è sempre non negativo; quindi −2 = 9x è

falsa qualunque sia il valore attribuito alla lettera x; −2 = 9x , dunque, non è un’identità.

Siamo, dunque, di fronte a nuovi tipi uguaglianze: per alcuni valori attributi alle lettere risultano

vere, per altri risultano false o, ancora, mai verificate. Tali uguaglianze si chiamano equazioni.

Si hanno, allora, le seguenti definizioni:

Si chiama equazione algebrica una uguaglianza fra due espressioni algebriche in una o più

variabili.

L’insieme al quale devono appartenere le variabili si chiama dominio dell’equazione.

I valori per i quali l’uguaglianza risulta vera si chiamano soluzioni (o radici) dell’equazione;

possiamo dire che questi valori “verificano” o “soddisfano” l’equazione.

Oppure, con il linguaggio della Logica:

Si chiama equazione una proposizione aperta in cui il predicato è “essere uguale”.

Il dominio della proposizione aperta è anche il dominio dell’equazione.

Gli elementi del dominio che rendono vera la proposizione aperta si chiamano soluzioni (o

radici) dell’equazione. Approfondimento

Sono equazioni algebriche quelle equazioni nelle quali compaiono le operazioni di somma

algebrica, moltiplicazione, divisione e estrazione di radice, cioè equazioni del tipo:

a) 2 3 2x xx+

− = − ; b) 1 12xx + − =

Il concetto di equazione è, tuttavia, più generale.

Ad esempio, anche uguaglianze del tipo:

c) 4x + 2 = 18, d) sen(x) – 1 = 0, e) ln(x) = 5

sono equazioni. Poiché in esse sono presenti, oltre alle usuali operazioni, altri simboli (o

“operatori”) matematici non sono equazioni algebriche e sono chiamate equazioni trascendenti.

Affronterai questi argomenti nei prossimi anni.

Le equazioni algebriche nelle quali compaiono soltanto le operazioni di somma algebrica,

moltiplicazione e divisione sono dette equazioni algebriche razionali; le equazioni algebriche

nelle quali le variabili compaiono sotto il segno di radice sono dette equazioni irrazionali.

Sintetizziamo, nello schema seguente, quanto appena detto.

9

Equazioni razionali

Equazioni algebriche

Equazioni Equazioni irrazionali

Equazioni trascendenti

Per il momento, parleremo soltanto delle equazioni algebriche razionali e le indicheremo con la

parola “equazioni”

PROVA TU

1) Stabilisci se il numero x = 2 è soluzione dell’equazione ( )23 3 7x x+ = + SI NO

2) Stabilisci se il numero x = −1 è soluzione dell’equazione 2 4 6 3x x x+ = − − SI NO

3) Stabilisci se la coppia (x, y) = (1,−1) è soluzione dell’equazione 2x + y = 1 SI NO

Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni.

L’insieme formato da tutte le soluzioni prende il nome di insieme soluzione dell’equazione e,

generalmente, viene indicato con la lettera S.

Possiamo anche dire, con il linguaggio della Logica, che l’insieme soluzione di un’equazione è

l’insieme di verità della proposizione aperta.

ATTENZIONE

Anche in una equazione le due espressioni che compaiono rispettivamente a sinistra e

a destra del simbolo “ = ” vengono chiamate primo membro e secondo membro.

L’identità è una particolare equazione.

Un’equazione, di dominio D, è una identità ⇔ S = D.

Soluzioni di un’equazione

Consideriamo le equazioni degli esempi precedenti e determiniamo l’insieme S delle soluzioni:

a) x + 2x = 18 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6.

Esiste, dunque, un solo numero naturale che verifica l’equazione, quindi S = {6}. S è un insieme

finito.

b) x + y = 5

10

Abbiamo già osservato che questa equazione ha più di una soluzione.

Quante sono le soluzioni?

Osserviamo che qualunque sia il valore assegnato ad x, esiste sempre un valore che sostituito ad y

rende vera l’uguaglianza. L’insieme S, allora, contiene infiniti elementi e, come ben sai, è

opportuno rappresentarlo per caratteristica. Si ha, dunque:

S = {(x, y) ∈ Z 2 / y = 5 − ….} (COMPLETA).

c) x2 = −9

Sappiamo che non esiste un numero razionale che verifica questa equazione, quindi, in questo caso

si ha che S = ∅.

In base al numero di soluzioni e, conseguentemente, in base al numero di elementi che compongono

l’insieme soluzione, possiamo, allora, classificare l’equazione in tre differenti modi:

EQUAZIONE NUMERO DI SOLUZIONI INSIEME SOLUZIONE

Determinata L’uguaglianza è verificata per un numero finito di valori.

S = { ..., … } è un insieme finito

Indeterminata

L’uguaglianza è verificata per un numero infinito di valori attribuiti alle variabili; esistono quindi infinite soluzioni.

S ⊆ D e S è un insieme infinito

Impossibile

Non esiste alcun valore che soddisfi l’uguaglianza che, di conseguenza, non è mai verificata. Quindi non esiste alcuna soluzione.

S = ∅ S è l’insieme vuoto

Esempi

5x + 3 = 8 equazione determinata S = {1}

5x + 3 = 6x – x + 1 + 2 identità S = Q

2x + 5y = 0 equazione indeterminata S è un insieme infinito

5x + 3 = 5x + 4 equazione impossibile S = ∅

ATTENZIONE

Consideriamo, ancora, l’equazione x + y = 5, ma questa volta il suo dominio sia D = N 2.

Quante sono le sue soluzioni? Sono ancora infinite?

E’ facile verificare che ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }S 0,5 , 1, 4 , 2,3 , 3, 2 , 4,1 , 5,0= .

L’insieme delle soluzioni S è un insieme finito e, quindi, questa equazione è determinata.

11

Classifichiamo, adesso, le seguenti equazioni in base al numero delle soluzioni:

a) 2x = 5 di dominio D = Q ; b) 2x = 5 di dominio D = Z.

Caso a): 5S2

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

; S è un insieme finito e, dunque, l’equazione è determinata.

Caso b): S = ∅ ; S non contiene alcun elemento, quindi l’equazione è impossibile.

Dagli esempi precedenti, avrai notato che, cambiando il dominio, una stessa equazione può essere

determinata o indeterminata, e, ancora, determinata o impossibile .

Allora, prima di classificare una equazione in base al numero delle sue soluzioni, è necessario

prestare molta attenzione al dominio dell’equazione stessa.

Se non è esplicitamente indicato, si conviene considerare come dominio di un’equazione l’insieme

“più grande” nel quale non perdano di significato le espressioni algebriche dell’equazione stessa.

PROVA TU

1) Un’equazione si dice determinata quando ammette:

infinite soluzioni nessuna soluzione un numero finito di soluzioni

2) Un’equazione si dice indeterminata quando ammette:


3) Un’equazione si dice impossibile quando ammette:


4) L’insieme S = {1; 2} è l’insieme soluzione di un’equazione:

impossibile indeterminata determinata

9.3 Classificazione delle equazioni

Consideriamo le seguenti equazioni:

a) 10 8 4 7x x x− = − ; b) 3 5 0ax x− = ;

c) 2 137 3y y+ = d) 3 64 4

1 3x

x x−

+ = −− +

; e) 5 2 131

y by y−

+ =−

.

Le equazioni a), c), d) non contengono altre lettere oltre alla variabile (x o y): si dice che sono

equazioni numeriche.

Nelle equazioni b), e), oltre alla variabile (x o y), è presente un’altra lettera: si dice che sono

equazioni letterali.

Nelle equazioni a), b), c) la variabile non compare mai al denominatore: si dice che sono

equazioni intere.

12

Nelle equazioni d), e) la variabile compare al denominatore delle frazioni: si dice che sono

equazioni fratte o frazionarie.

Si hanno, dunque, le seguenti definizioni:

Un’equazione si dice numerica se, oltre alle variabili, non contiene altre lettere.

Un’equazione si definisce letterale se, oltre all’incognita, contiene anche altre lettere che

prendono il nome di parametri.

Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare al denominatore dell’equazione.

Un’equazione si dice frazionaria se l’incognita compare in uno o più denominatori.

Lo schema seguente riassume le precedenti definizioni:

Equazioni intere

Equazioni numeriche

Equazioni fratte

Equazioni Equazioni intere

Equazioni letterali

Equazioni fratte Esempi

Classifichiamo le seguenti equazioni:

a) 2 15

x −= ; b) 43 5

2 1a

a− =

−; c) 3 1 0

2 2m

h−

+ = .

a) L’unica lettera (x) presente nell’equazione non compare al denominatore della frazione;

l’equazione è, dunque, una equazione numerica intera.

b) L’unica lettera (a) presente nell’equazione compare anche al denominatore della frazione;

l’equazione è, dunque, una equazione numerica fratta.

c) Nell’equazione sono presenti due lettere (m, h). Si possono presentare, allora, tre casi:

entrambe le lettere sono le variabili dell’equazione:

oltre a queste non sono presenti altre lettere e una di esse (h) è presente nel denominatore

di una frazione; l’equazione è una equazione numerica fratta;

la lettera m è l’unica variabile:

oltre alla variabile è presente un’altra lettera (h), la variabile non compare al

denominatore della frazione; l’equazione è una equazione letterale intera;

la lettera h è l’unica variabile:

oltre alla variabile è presente un’altra lettera (m); la variabile compare nel denominatore

della frazione; l’equazione è una equazione letterale fratta.

13

E’ consuetudine indicare le variabili di un’equazione con le lettere x, y, z. Esse, tuttavia, possono

essere indicate con una qualsiasi lettera dell’alfabeto.

Qualora nell’equazione siano presenti lettere diverse dalle solite o vi sia ambiguità per stabilire

quali sono le variabili, è opportuno specificare quale o quali lettere sono da considerare variabili.

PROVA TU

Completa la seguente tabella:

1) 3 64 45 3

x x− ++ = −

intera frazionaria

numerica letterale

2) 2 3ax bx+ = intera frazionaria

numerica letterale

3) 3 61 45 2 3x x

x x− +

+ = −+ +

intera frazionaria

numerica letterale

4) 33 6 4

5 3x x

a− +

= − intera frazionaria

numerica letterale

5) 65 3 3

x xx a b

+=

+

intera frazionaria

numerica letterale

6) 52

a abb

+− = (variabile a)

intera frazionaria

numerica letterale

7) 52

a abb

+− = (variabile b)

intera frazionaria

numerica letterale

9.4 Equazioni equivalenti

Determiniamo l’insieme soluzione S delle seguenti equazioni:

a) − 2 = 0x ; b) 2 4x = ;

c) −2 9 0x = ; d) 3 0x − = .

a) S = {2}; b) S = {2}; c) S = {−3, +3}; d) S = {+3}.

Osserviamo che:

♦ gli insiemi soluzione delle equazioni a) e b) sono uguali: le due equazioni si dicono

equivalenti;

♦ gli insiemi soluzione delle equazioni c) e d) , invece, pur avendo un elemento in comune,

[esiste, quindi, un valore di x (+3) che le soddisfa entrambe], sono diversi tra loro: le due

equazioni non sono equivalenti.

14

Si ha, allora, la seguente definizione:

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.

ATTENZIONE

Esercizio “trappola”

Stabiliamo se le seguenti equazioni sono equivalenti:

a) 2x = 4 b) ( ) ( ) ( )3 22 23 5 27 9 27 5x x x x x x x− − + = − + − −

Come procediamo?

Indichiamo con Sa e con Sb, rispettivamente, l’insieme soluzione delle equazioni a) e b).

Sicuramente siamo in grado di determinare la soluzione dell’equazione a): x = 2 ed affermiamo, con

certezza, che essa è l’unica soluzione.

Si ha, quindi: Sa = {2}.

Non altrettanto si può dire dell’equazione b); risulta abbastanza difficile determinare Sb.

Come proseguire, allora?

“Viene in mente” di stabilire se x = 2 è soluzione dell’equazione b), cioè di vedere se il valore x = 2

rende vera l’uguaglianza.

Operando la sostituzione, si ottiene:

( ) ( ) ( )3 22 22 3 5 2 27 2 2 9 2 27 2 5 2− − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ − −

ed, effettuando le operazioni indicate, si ha: 6 = 6 VERA!

Il valore x = 2 verifica l’uguaglianza e, quindi, è soluzione dell’equazione b).

Possiamo, allora, concludere che le equazioni a) e b), avendo la stessa soluzione, sono equivalenti.

Ritieni che il procedimento seguito sia corretto? SI NO

Attenzione, ……

Esistono altri numeri razionali che soddisfano l’equazione b)?

Proviamo:

x = 0 ⇒ ( ) ( ) ( )3 22 20 3 5 0 27 0 0 9 0 27 0 5 0− − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ − ⇒ 0 = 0 VERA!

x = 1 ⇒ ( ) ( ) ( )3 22 21 3 5 1 27 1 1 9 1 27 1 5 1− − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ − − ⇒ 14 = 14 VERA!

x = −2 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 22 3 5 2 27 2 2 9 2 27 2 5 2⎡ ⎤− − − ⋅ − + = − − − ⋅ − + ⋅ − − −⎣ ⎦ ⇒ 118 = 118 VERA!

Come possiamo osservare, allora, esistono altri numeri razionali che soddisfano l’equazione b).

15

Le equazioni a) e b), dunque, non sono equivalenti.

Qual è l’errore commesso nel ragionamento seguito in precedenza?

Stabilendo che 2 soddisfa l’equazione b) abbiamo solo dimostrato che 2 ∈ Sb, ma non abbiamo

dimostrato che 2 è l’unica soluzione dell’equazione b), cioè che 2 è l’unico elemento di Sb.

Ricordiamo, allora, che:

per stabilire se due equazioni sono equivalenti non è sufficiente verificare che le soluzioni di

una siano anche soluzioni dell’altra; è, infatti, necessario stabilire che gli insiemi soluzione

delle due equazioni siano uguali.

9.5 I principi di equivalenza

Consideriamo le seguenti equazioni:

a) 3 42 5 14 2x xx −

− + = − (D = Q); b) 83

x = (D = Q)

E’ molto facile determinare l’insieme soluzione dell’equazione b); esso è S = 83

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Determinare l’insieme soluzione dell’equazione a), invece, non è altrettanto semplice; eppure le due

equazioni sono equivalenti (fidati!).

Anche l’equazione

9 20 6 12x x− = − (D = Q)

è equivalente (fidati!) all’equazione a); sicuramente, però, essa è “più semplice” dell’equazione a).

E’ possibile, allora, “trasformare” l’equazione a) in equazioni ad essa equivalenti, via via più

semplici (fino alla forma dell’equazione b)), in modo da poterne determinare, in maniera rapida,

l’insieme soluzione S?

La risposta è affermativa: per operare questa “trasformazione” basta osservare due semplici regole

chiamate principi di equivalenza.

Primo principio di equivalenza

Se ad entrambi i membri di un’equazione (di dominio D) si aggiunge o si sottrae uno stesso

numero o una stessa espressione algebrica (avente lo stesso dominio dell’equazione), si ottiene

un’equazione equivalente alla data.

Secondo principio di equivalenza

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un’equazione (di dominio D) per uno

stesso numero diverso da zero, o per un’espressione algebrica che non si annulli mai e che

non perda di significato in D, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

16

Il primo principio di equivalenza può essere così schematizzato:

Equazione iniziale: 1° membro = 2° membro

Equazione equivalente: 1° membro “±”

“numero” oppure

“espressione algebrica”

= 2° membro “±”

“numero” oppure

“espressione algebrica”

Il secondo principio di equivalenza può essere, così, schematizzato:

Equazione iniziale: 1° membro = 2° membro

Equazione equivalente:

1° membro “⋅” o “:”

“numero” oppure

“espressione algebrica ≠ 0”

= 2° membro “⋅” o “:”

“numero” oppure

“espressione algebrica ≠ 0”

I principi di equivalenza sono conseguenza delle seguenti proprietà delle uguaglianze numeriche:

∀ a, b, c ∈ Q : a = b ⇒ a + c = b + c;

∀ a, b, c ∈ Q : a = b ⇒ a c b c⋅ = ⋅ .

∀ a, b ∈ Q, ∀ c ∈ Q −{0} : a = b ⇒ a bc c

= .

ATTENZIONE

Perché il numero o l’espressione algebrica per cui dividiamo entrambi i membri

dell’equazione deve essere diversa da zero?

• La divisione per zero non è definita.

Perché il numero per cui moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione deve essere diverso

da zero?

Osserva i due esempi seguenti.

• L’ uguaglianza 1 = 2 è sicuramente falsa.

Se moltiplichiamo entrambi i membri per zero otteniamo 0 = 0 e l’ uguaglianza da falsa

si trasforma in vera. Cosa impossibile!

• L’equazione 3x = 12 è soddisfatta per x = 4; quindi S = {4}.

Se moltiplichiamo entrambi i membri per zero otteniamo 0 3 12 0 0 0x⋅ = ⋅ ⇒ = che è

una identità; quindi S = Q.

17

E’ evidente che le due equazioni non sono equivalenti.

Un’equazione determinata si è trasformata in una identità!

Perché l’espressione algebrica per la quale moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione

deve essere sempre diversa da zero?

Consideriamo l’equazione 5x = 10 che è soddisfatta per x = 2; quindi S = {2}.

Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per l’espressione algebrica x + 3 che assume

il valore zero per x = −3; si ottiene:

( ) ( )5 3 10 3x x x+ = + ⇒ (per il 1° principio di equivalenza) ⇒ ( ) ( )5 3 10 3 0x x x+ − + = ⇒

⇒ (raccoglimento a fattor comune) ⇒ ( )( )5 10 3 0x x− + = ⇒ (per la legge di annullamento

del prodotto) ⇒ 5 10 0 3 0x x− = ∨ + = ⇒ 2 3x x= ∨ = − .

L’insieme soluzione è, dunque, S = {−3, 2}.

I due insiemi soluzione sono diversi. Le due equazioni, dunque, non sono equivalenti.

9.6 Forma normale e grado di un’equazione

Un’equazione si dice ridotta a forma normale quando il primo membro è un polinomio

(ovviamente ridotto a forma normale) e il secondo membro è 0 (zero); cioè è del tipo P = 0

(dove la lettera P indica in polinomio).

Esempi

• L’equazione 3x + 2y – 4 = 0 è ridotta a forma normale, perché è del tipo P(x, y) = 0.

• L’equazione 2 73 1 0xx

− + = non è ridotta a forma normale, perché il primo membro

dell’equazione non è un polinomio.

• L’equazione 5 1 4xy − = non è ridotta a forma normale, perché il secondo membro

dell’equazione è diverso da zero.

Ridurre a forma normale un’equazione significa trasformarla in una ad essa equivalente

del tipo P = 0 (dove la lettera P indica un polinomio). Per ridurre un’equazione a forma normale, si applicano i principi di equivalenza.

Esempi

Riduciamo a forma normale le seguenti equazioni:

a) 5 1 4xy − = ; b) 2 13t tt

+ = { }( )D 0= −Q

18

a) Poiché il secondo membro dell’equazione deve essere zero; applichiamo il primo principio di

equivalenza ed aggiungiamo ad entrambi i membri dell’equazione il numero −4; si ottiene:

5 1 4 4 4xy − − = − ⇒ 5 5 0xy − =

L’equazione così ottenuta, equivalente a quella data, è ridotta a forma normale.

b) Applichiamo il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo per t (sicuramente ≠ 0) ambo i

membri dell’equazione; si ottiene: ( )2 13t t t tt

+ = ⋅ ⇒ 3 23 1t t+ = .

Applichiamo il primo principio di equivalenza e aggiungiamo −1 ad ambo i membri

dell’equazione ottenuta; si ha: 3 23 1 1 1t t+ − = − ⇒ 3 23 1 0t t+ − = .

L’equazione così ottenuta, equivalente a quella data, è ridotta a forma normale.

Si chiama grado di un’equazione, ridotta a forma normale, il grado (complessivo) del

polinomio che compare al primo membro dell’equazione.

ATTENZIONE

Se l’equazione ha una sola incognita, per determinarne il grado non è necessario ridurla a forma

normale, ma, dopo averla trasformata in una equazione intera ad essa equivalente, il suo grado è

uguale al massimo esponente dell’incognita. Esempi

L’equazione 1 5 02

a + = ha grado 1 perché il polinomio al primo membro dell’equazione ha

grado 1.

L’equazione 2 3 2 1 0xy x y− + + = (variabili x, y) ha grado 3 perché il polinomio al

primo membro dell’ equazione ha grado 3.

Per determinare il grado dell’equazione 2 73 1tt

+ = è necessario, prima, trasformarla in una

equazione intera ad essa equivalente.

Applichiamo, dunque, il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo ambo i membri

dell’equazione per t : ( )2 73 1t t tt

+ = ⋅ ⇒ 33 7t t+ = .

Il massimo esponente dell’incognita è 3, quindi l’equazione data ha grado 3.

19

PROVA TU

1) Le seguenti equazioni sono ridotte a forma normale?

a) 24 3 0b b+ = SI NO

b) 1 3 22

y y− = SI NO

c) 12 1 0xx

− + = SI NO

2) Riduci a forma normale le seguenti equazioni:

a) 4 2 3b − = −

b) 3 2 5z

− =

3) Determina il grado delle seguenti equazioni:

a) 25 3 0a − = ;

b) 23 5 04

z z− + = ;

c) 2 0xy − = (variabili x, y).

9.7 Conseguenze dei principi di equivalenza

Vediamo, con alcuni esempi, come il primo principio di equivalenza ci consente di risolvere

un’equazione:

ESEMPIO 1 Equazione iniziale: 3 2 2 5x x− = + Applichiamo primo principio → Aggiungiamo 2 ai due membri 2 23 2 2 5x x− = ++ +

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 3 2 7x x= + Applichiamo primo principio → Sottraiamo 2x ai due membri 3 2 72 2x xx x− = + −

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 7x =

La soluzione dell’equazione è 7x = , quindi S = {7}. L’equazione è determinata.

ESEMPIO 2 Equazione iniziale: 7 5 7x + = + Applichiamo primo principio → Sottraiamo 7 ai due membri 7 5 77 7x + = +− −


La soluzione dell’equazione è 5x = , quindi S = {5}. Anche questa equazione è determinata. Applicare il primo principio di equivalenza ad ogni termine dell’equazione può rendere lunghissimo

il processo di “trasformazione” delle equazioni; sono state dedotte, allora, delle “regole” che

consentono di velocizzare tale processo.

20

Osserviamo attentamente i passaggi dell’esempio 1: il numero 2 è “scomparso” dal primo membro

e “comparso” al secondo così come l’espressione algebrica 2x è “scomparsa” dal secondo membro

e “comparsa” al primo:

3 2x − 2+ 2 5 2x= + + e 3 2 2x x x− = 27 x+ −

Ma facciamo bene attenzione ai segni: al primo membro c’è −2 e al secondo +2; al secondo

membro c’è +2x e al primo −2x.

Possiamo quindi affermare che quando si elimina un termine da un membro, utilizzando il primo

principio di equivalenza, esso compare nell’altro con il segno cambiato.

Si ha, allora, la seguente regola (detta regola del trasporto):

Regola del trasporto

In una equazione, se si “trasportano” dei termini da un membro all’altro, cambiando loro il

segno, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

3x – 2 = 2x + 5

3x −2x = + 5 + 2

x = 7 Osserviamo, adesso, il passaggio dell’esempio 2: si può notare che nel testo il numero 7 compare in

entrambi i membri e dopo l’applicazione del primo principio esso è “scomparso” da entrambi i

membri :

7x + 7− 5 7= + 7− .

Possiamo quindi affermare che il numero 7 è stato semplificato e formulare la seguente regola, detta

regola della cancellazione:

Regola della cancellazione o di eliminazione di termini uguali

In una equazione, se si semplificano termini uguali che si trovano in entrambi i membri

dell’equazione, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

+7x = +5 7

= 5x

Applicando il primo principio faremo in modo da avere solo il termine con l’incognita al primo

membro e solo il termine noto al secondo.

21

ATTENZIONE

Ricorda che le espressioni algebriche che utilizziamo nell’applicazione del primo principio non

devono aggiungere condizioni di esistenza all’equazione stessa restringendone il dominio. Se, dopo aver applicato il primo principio di equivalenza, il termine con l’incognita ha un

coefficiente diverso da 1, come possiamo procedere per determinare il valore di x che soddisfa

l’equazione? Utilizziamo, a tal fine, il secondo principio di equivalenza.

Vediamo, con alcuni esempi, come il secondo principio di equivalenza ci aiuta a risolvere

un’equazione:

ESEMPIO 3 Equazione iniziale: 4 3 2 9x x− = +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo −3 e 2x 4 2 9 3x x− = + +

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 2 12x =

Applichiamo secondo principio → Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x cioè 2

2 122 2x

=

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 1

1 2 122

x=

1

6

2 → 6x =

La soluzione dell’equazione è 6x = , quindi S = { 6 }. L’equazione è determinata. Come per il primo principio, anche dal secondo posso dedurre delle “regole” che ci permettono di

risolvere una equazione. Scopriamole con altri esempi:

ESEMPIO 4 Equazione iniziale: 8 2 7x x+ = +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 2x e 8 2 7 8x x− = + −

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 1x− = −

Applichiamo secondo principio → Moltiplichiamo tutto per −1 ( ) ( )11 1x− = −− −



Possiamo, pertanto, affermare che per cambiare il segno a tutti i termini di un’equazione dobbiamo

applicare il secondo principio di equivalenza, moltiplicando per −1 tutti i suoi termini.

Possiamo quindi formulare la seguente regola (regola del cambiamento di segno):

Cambiamento di segno

In una equazione, se si cambiano i segni di tutti i termini di entrambi i membri, si ottiene

un’equazione equivalente a quella data.

22

Ecco un altro esempio:

ESEMPIO 5 Equazione iniziale: 30 15 15 45x x+ = +

Applichiamo secondo principio → Dividiamo entrambi i membri

dell’equazione per 15 ( ) ( )30 15 :15 15 45 :15x x+ = +

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 2 1 3x x+ = +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 2x e 1 2 3 1x x− = + −



Abbiamo potuto applicare il secondo principio e dividere entrambi i membri per 15 perché tutti i

termini presentavano 15 come fattore comune. Possiamo, allora, formulare la seguente regola:

Semplificazione di fattori comuni

Se si dividono tutti i termini dei due membri di un’equazione per uno stesso fattore comune si

ottiene un’equazione equivalente alla data.

Finora abbiamo analizzato esempi relativi a equazioni con coefficienti interi, ma come dobbiamo

comportarci in presenza di frazioni numeriche?

Nuovamente ci aiuta il secondo principio di equivalenza. Vediamo come:

ESEMPIO 6 Equazione iniziale: 1 5 3

6 2 4x x+

− =

Riduciamo tutte le frazioni allo

stesso denominatore → m.c.m. (6; 2; 4) = 12 ( )2 1 5 6 3 3

12 12x x+ − ⋅ ⋅

=

Applichiamo secondo principio

→

Moltiplichiamo entrambi i membri

per il denominatore comune ( )2 1 5 6 3 3

112 12

2 12x x+ − ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

Semplifico il 12 Equazione equivalente 112 ( )2 1 5 612

x + − ⋅⋅

3 3121

x⋅=

112⋅

1

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 2 2 30 9x x+ − =

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 9x, 2 e −30 2 9 30 2x x− = + −

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 7 28x− =

Applichiamo secondo principio

→

Dividiamo entrambi i membri per il

coefficiente di x cioè per −7 7 287 7x−

=− −

(svolgiamo i calcoli →) Equazione equivalente 1 7−

7x

−28

1=

4

7

−

− 1 → 4x = −

23

La soluzione dell’equazione è 4x = − , quindi S = {−4}. L’equazione è determinata.

Dopo aver ridotto entrambi i membri allo stesso denominatore, abbiamo applicato il secondo

principio ed “eliminato” tale denominatore.

Possiamo, quindi, formulare la seguente regola:

Eliminazione dei denominatori

Se si moltiplicano entrambi i membri di un’equazione a coefficienti frazionari per uno stesso

numero opportuno (denominatore comune) si ottiene un’equazione equivalente alla data con

coefficienti interi. PROVA TU

Nelle seguenti equazioni indica il principio di equivalenza utilizzato:

a) 24 8 0y + = 24 8y = − ……… principio di equivalenza

b) 163 =− x 136 −=−x ……… principio di equivalenza

c) 5 2 5m m+ = − 2m m= − ……… principio di equivalenza

d) 7 2b = − 27

b = − ……… principio di equivalenza

Indica se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti:

a) 43 =−x 1512 =+x SI NO

b) 25 =+− x 25 =−x SI NO

c) xx −= 63 3 0x − = SI NO

d) 0331

=−x 33313 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −x SI NO

Determina l’insieme soluzione S delle seguenti equazioni come negli esempi precedenti:

a) 6 3 12 21x x− = −

b) 2 143 3 2

tt − = +

9.8 Equazioni di primo grado in una incognita

Le considerazioni fin qui svolte sono di carattere generale e valgono per qualsiasi tipo di equazione.

Da questo punto in poi, tuttavia, ci occupiamo soltanto di equazioni di primo grado in una

incognita.

Se applichiamo i principi di equivalenza possiamo sempre trasformare un’equazione di primo grado

intera in una, ad essa equivalente, che abbia un solo termine contenente la variabile al primo

membro ed un solo termine noto al secondo membro.

24

Così, se x indica la variabile, l’equazione trasformata avrà la forma ax = b (a, b ∈ Z).

Un’equazione di primo grado in una incognita si dice ridotta a forma normale anche quando si

presenta nella forma ax = b.

Un’equazione di primo grado è detta equazione lineare.

Una volta che l’equazione (di primo grado in una incognita) è stata ridotta a forma normale, è facile

stabilire se essa è determinata, indeterminata o impossibile.

Riprendiamo la tabella vista in precedenza ed aggiungiamo la forma normale nei tre diversi casi.

TIPO DI

EQUAZIONE

NUMERO DI

SOLUZIONI FORMA NORMALE INSIEME SOLUZIONE

Determinata

L’uguaglianza è verificata

per un numero finito di

valori.

=ax b

0≠a =

bxa

S =

ba

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

è un insieme finito

Indeterminata

(Identità)

L’uguaglianza è verificata

per ogni valore attribuito

all’incognita; esistono,

quindi, infinite soluzioni.

L’equazione è un’identità.

=ax b

00

==

ab

0 0=x

(sempre vera)

S = Q

è un insieme infinito

Impossibile

Non esiste alcun valore che

soddisfi l’uguaglianza che,

di conseguenza, non è mai

verificata. Quindi non

esiste nessuna soluzione.

=ax b

00

=≠

ab

0 =x b

(sempre falsa)

S = ∅

è l’insieme vuoto

Esempi:

a) 3 2x = determinata, b) 0 0x = indeterminata, c) 0 7x = impossibile

PROVA TU

Stabilisci se le seguenti equazioni sono determinate, indeterminate o impossibili:

a) 3 6 6 3− = −x x …………………………………..

b) 722 −= xx …………………………………..

c) 3 6 6 3+ = −x x …………………………………..

d) ( ) 5155 −+= xx …………………………………..

e) 4221

−=− xx …………………………………..

25

Vediamo ora di schematizzare i passaggi necessari per risolvere un’equazione lineare:

NO

SI

Applichiamo 1° principio e trasportiamo termini in x al primo membro, termini noti al secondo

Riduciamo a forma normale

Riduciamo allo stesso

denominatore entrambi i membri

Applichiamo 2° principio e semplifichiamo denominatore comune

Equazione iniziale

Sviluppiamo i calcoli indicati

Equazione con

coefficienti

=ax b (a ≠ 0)

0 0=x

Equazione

determinata

Equazione

indeterminata

S = ba

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

S = Q

( )00

≠=

bx b

Equazione

impossibile

S = ∅

26

Nel caso di una equazione determinata, per verificare la correttezza della soluzione, è sufficiente

controllare che, dopo aver sostituito la soluzione trovata all’incognita, l’equazione si trasforma in

una uguaglianza vera.

Esempio

Risolviamo in Q la seguente equazione e verifichiamo la correttezza della soluzione ottenuta:

Equazione iniziale 43

621

241

432

=−

−−

+− xxx

Riduciamo allo stesso denominatore ( ) ( ) ( )3 2 3 6 1 4 2 1 2 3 312 12

− + − − − ⋅=

x x x

Semplifichiamo il denominatore (2° principio) 112 ( ) ( ) ( )3 2 3 6 1 4 2 1 212

− + − − −⋅

x x x 3 3121

⋅= 12

1⋅

1

Sviluppiamo i calcoli 6 9 6 24 2 4 9− + − − + =x x x

Trasportiamo i termini (1° principio) 6 24 4 9 9 6 2− + = + − +x x x

Riduciamo i termini simili e valuto la forma

normale 14 14− =x

Equazione determinata: divido per −14

(2° principio)

14−14−

14=x

14−

Scriviamo soluzione e insieme soluzione { }1 1= − = −Sx

Verifichiamo ora la correttezza della soluzione sostituendo −1 ad x.

( ) ( ) ( )1 12 3 1 4 1 2 34 2

16 4

− − −− − −+ − = ⇒ 5 5 3

4 2− + −

1

6 2

34

= ⇒ 5 10 2 3 3 3 4 4 4 4

− + −= ⇒ =

L’ultima uguaglianza ottenuta è vera; la soluzione trovata, dunque, è corretta.

PROVA TU

Risolvi in Q le seguenti equazioni e, ove possibile, verifica la correttezza della soluzione ottenuta:

1) ( ) ( )xxxx −=−− 221 { }2= −S

2) ( ) ( )( ) 10331 2 ++−=− xxx { }0=S

3) ( )( ) xxxx 31222 −++=+ =S Q

4) 14

1756

8117

238

2 −−

−=

+−

+ xxxx = ∅S

5) 4154

127

643

32−−=+−+

xxxxxx { }60=S

27

9.9 Equazioni frazionarie (o fratte)

Finora abbiamo risolto solo equazioni numeriche intere, ora vediamo come procedere per

determinare le soluzioni di equazioni numeriche frazionarie.

ATTENZIONE

Ricorda: equazione frazionaria non significa che i coefficienti sono frazioni ma che l’incognita

compare al denominatore.

Ad esempio le seguenti equazioni sono equazioni frazionarie

2 11 83 1

+ −=

+x x

x x; 2

2 1 13 3

= +− −x x x

;

non è, invece, un’equazione frazionaria l’equazione 5 2 12 3

x x x+ −= +

Alcuni dei termini delle equazioni frazionarie sono frazioni algebriche e, quindi, tali termini

perdono significato per i valori che annullano i denominatori.

E’, dunque, necessario, prima di eseguire qualsiasi trasformazione dell’equazione data, determinare

le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche che vi compaiono e, quindi, quello che

viene chiamato dominio D dell’equazione.

Si chiama dominio D di un’equazione frazionaria l’insieme formato da quei valori per i quali

tutti i termini dell’equazione non perdono di significato. Il valore da assegnare all’incognita, affinchè possa essere considerato soluzione dell’equazione

frazionaria, deve appartenere al dominio dell’equazione.

Con particolare riferimento alle equazioni frazionarie, è importante ricordare che:

in una equazione l’insieme soluzione S dell’equazione è un sottoinsieme del dominio

dell’equazione stessa. In simboli S ⊆ D. Dal momento che sappiamo risolvere equazioni numeriche intere, per risolvere un’equazione

frazionaria dobbiamo, prima di tutto, trasformarla in una equazione numerica intera ad essa

equivalente e, successivamente, applicare il procedimento visto nel paragrafo precedente.

Quali sono i passaggi che permettono questa trasformazione?

Determiniamo il minimo comune multiplo fra i polinomi che compaiono al denominatore

delle frazioni algebriche presenti nell’equazione: esso sarà il loro denominatore comune.

Riduciamo tutte le frazioni algebriche allo stesso denominatore.

28

Determiniamo il dominio dell’equazione imponendo che ciascun fattore non numerico del

m.c.m. sia diverso da zero.

Applichiamo il 2° principio di equivalenza: moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione

per il loro denominatore comune e semplifichiamo il denominatore.

A questo punto l’equazione è intera e siamo in grado di trovarne la soluzione.

Tuttavia, possiamo essere sicuri che la soluzione dell’equazione numerica intera ottenuta sia anche

soluzione dell’equazione frazionaria inizialmente assegnata?

Se l’equazione intera ottenuta è determinata, dobbiamo stabilire se la sua soluzione appartiene

al dominio dell’equazione; se vi appartiene, essa è anche soluzione dell’equazione

frazionaria; se, invece, non vi appartiene, l’equazione è impossibile.

ATTENZIONE

Se l’equazione frazionaria è indeterminata, l’insieme soluzione non è Q bensì il dominio D

dell’equazione perchè vanno esclusi i valori che annullano i denominatori.

Esempi

Esempio 1

Equazione iniziale 2 2

2 13 3 1

=− −x x x

Scomponiamo in fattori

i denominatori ( ) ( )( )2 1

3 1 1 1=

− − +x x x x

Determiniamo il m.c.m. e

riduciamo allo stesso

denominatore

( )( )( ) ( )( )2 1 3

3 1 1 3 1 1+

=− + − +x x

x x x x x x

Determiniamo il dominio

0 1 0 1 0 0 1 1

≠ ∧ − ≠ ∧ + ≠ ⇒⇒ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ −x x x

x x x

Scriviamo il dominio D { }1;0;1= − −D Q

Applichiamo 2° principio

e semplifichiamo il

denominatore

( )( )1 3 1 1− +x x x ( )( )( )

2 13 1 1

+⋅

− +

xx x x ( )( )

33 1 11

=− +

xx x x

( )( )3 1 11

⋅ − +x x x1

Riduciamo a forma

normale 2 2 3 2 3 2 2 2+ = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =x x x x x x

Valutiamo accettabilità

soluzione 2 ?∈D Sì, perché i valori che∉D sono −1; 0; 1

Insieme soluzione { } =S 2

29

Esempio 2


3 2 44 4

t tt t t

+− =

− −

Scomponiamo in fattori

i denominatori ( )( ) ( )( )3 2 4

2 2 2 2t t

t t t t t+

− =− + − +

Determiniamo il m.c.m. e

riduciamo allo stesso

denominatore ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 23 2 8 4 8 42 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t t tt t t t t t t t t t t t

− + + + += ⇒ =

− + − + − + − +

Determiniamo il

dominio

( )( )2 2 0 0 2 0 2 0t t t t t t− + ≠ ⇒ ≠ ∧ − ≠ ∧ + ≠ ⇒

0 2 2t t t⇒ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ −

Scriviamo il dominio D { }2;0;2= − −D Q


e semplifichiamo il

denominatore

( )( )1 2 2− +t t t( )( )

2 82 2

+⋅

− +t

t t t ( )( )

2 42 21

+=

− +t t

t t t( )( )2 2

1⋅ − +t t t

1

2 28 4t t t⇒ + = + Riduciamo a forma

normale e determiniamo t 4 8 2t t= ⇒ =

Valutiamo accettabilità

della soluzione 2 ∈ D? No, perché è uno dei valori esclusi dal dominio

Insieme soluzione S = ∅

Esempio 3

Equazione iniziale ( )2 1 5 1 31 1x x

x x+ −

= − −− −

Riduciamo allo stesso

denominatore ( ) ( )1 3 12 1 5 2 2 5 1 3 3 3 2 3 2

1 1 1 1 1 1

xx x x x x x xx x x x x x

− − −+ − + − − − + − + − += ⇒ = ⇒ =− − − − − −

Determiniamo il

dominio 1 0 1x x− ≠ ⇒ ≠

Scriviamo il dominio D { }D 1Q= −


e semplifichiamo il

denominatore

( )1 1x−( )

3 21

xx

− + ⋅− ( )

3 21 11

xx

− +=−

( )1x⋅ −1

3 2 3 2x x ⇒ − + = − +

Riduciamo a forma

normale 0 0x =

Insieme soluzione S = D

30

Vediamo ora di schematizzare i passaggi necessari per risolvere un’equazione frazionaria:

SI

NO


Riduciamo allo stesso denominatore entrambi i membri

Poniamo ciascun fattore

(non numerico) ≠ 0

Equazione iniziale

Determiniamo il dominio D

Applichiamo il 2° principio e

semplifichiamo i denominatori

Scomponiamo i denominatori

Determiniamo il m.c.m.

S = ∅ S = D ?∈

b Da

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

bSa

=ax b (a ≠ 0) ( )0

0≠=

bx b

0 0=x

Equazione

impossibile

Equazione

indeterminata =bxa

SI

31

PROVA TU

Risolvi in Q le seguenti equazioni:

1) 3 4 834 4

xx x

− = +− −

{ }4S = −Q

2) 21 3 4

3 3 1 1x x x+ =

+ − − 2

5S ⎧ ⎫⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=

3) 2

2

3 1 3 62 2 8 4

x x x xx x x x

+ + + ++ =

+ + S = ∅

9.10 Equazioni letterali

Come abbiamo già osservato, un’equazione si dice letterale se in essa compaiono, oltre

all’incognita, altre lettere.

I coefficienti e il termine noto variano, quindi, a seconda dei valori assunti da tali lettere quindi

dovremo individuare per quali di questi valori l’equazione sarà determinata, indeterminata o

impossibile.

Vediamo, adesso, con alcuni esempi, come si procede per determinare la soluzione di equazioni

letterali intere.

Esempi

Esempio 1

Equazione iniziale (ridotta

a forma normale) ( )2 6a y a− = − ( )a ∈Q DISCUSSIONE

Determiniamo i valori di

a che non annullano il

coefficiente di y

2 0 2a a− ≠ ⇒ ≠

Se 2a ≠ , applichiamo il 2° principio

di equivalenza:

6 62 2

a ay Sa a

− −⎧ ⎫= ⇒ = ⎨ ⎬− −⎩ ⎭

(Equazione determinata)

Sostituiamo ad a il valore

per il quale si annulla il

coefficiente di y

0 2 6 0 4y y= − ⇒ = − 2a = ⇒ S = ∅

(equazione impossibile)

Se { }2a Q∈ − 62

aSa

−⎧ ⎫ = ⎨ ⎬−⎩ ⎭

Soluzione dell’equazione

Se { }2a ∈ (a = 2) S = ∅

32

Esempio 2


a forma normale) 2 1x b= + DISCUSSIONE

il coefficiente di x non

dipende dalla lettera b

Applichiamo il 2° principio di equivalenza:

12

bx +=

1,2

bb S +⎧ ⎫∀ ∈ = ⎨ ⎬⎩ ⎭

Q

(equazione determinata)

Soluzione dell’equazione b∀ ∈Q 1

2bS +⎧ ⎫ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Esempio 3

Equazione iniziale (ridotta a

forma normale) ( )2 3 93

2−

− =+

kk k xk

( )k ∈Q DISCUSSIONE

Condizione sul denominatore 2 0 2+ ≠ → ≠ −k k Se 2= −k

l’equazione perde significato

Determiniamo i valori di k

che non annullano il

coefficiente di x

( ) ( )2 3 0 3 0− ≠ ⇒ − ≠ ⇒k k k k

0 3⇒ ≠ ∧ ≠k k

Se 0 3≠ ∧ ≠k k

l’equazione è determinata.

Applichiamo il 2° principio di

equivalenza:

( )3 3−=

kx

( )

11

2 3⋅

+ −k k k 1 ⇒

( ) ( )3 3

2 2⎧ ⎫⎪ ⎪⇒ = ⇒ = ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

x Sk k k k

0 9 9 0 00 2 2

−⇒ = ⇒ = −

+0k x x=

0k = ⇒ S = ∅

equazione impossibile Sostituiamo a k i valori per i

quali si annulla il

coefficiente di x

9 9 0 0 00 2

−⇒ = ⇒ =

+3k x x=

3k = ⇒ S = Q

equazione indeterminata

{ }2,0,3k ∈ − −Q ( )

32

Sk k

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

{ } ( )2 2k k∈ − = − Equazione perde significato

{ } ( )0 0k k∈ = S = ∅

Soluzione dell’equazione

{ } ( )3 3k k∈ = S = Q

33

Esempio 4

Equazione iniziale ( ) ( )1 2 2 1m mx x− = + , ( )m∈Q DISCUSSIONE


2 24 2 4 2m x m x m x x m− = + ⇒ − = +(operiamo il raccoglimento a fattor comune)

( )2 4 2m x m− = +

Determiniamo i valori di m che non annullano il coefficiente di x

( )( )2 4 0 2 2 0m m m− ≠ ⇒ − + ≠ ⇒

2 0 2 0m m⇒ − ≠ ∧ + ≠ ⇒ 2 2m m⇒ ≠ ∧ ≠ −

Se 2m ≠ ± , applichiamo il 2° principio di equivalenza:

2mx +=

( ) ( )

1

2 2m m− +

12

1m

⇒ −

(equazione determinata)

2 0 2 2 0 4m x x= ⇒ = + ⇒ = se 2m = ⇒ S = ∅

(equazione impossibile) Sostituiamo ad m i valori per i quali si annulla il coefficiente di x 2 0 2 2m x x= − ⇒ = − + ⇒ 0 = 0

se 2m S= − ⇒ = Q (equazione indeterminata)

se { }2,2m∈ − −Q 1S

2m⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭

se { }2m∈ (m = 2) S = ∅ Soluzione dell’equazione

se { }2m∈ − (m = −2) S = Q

Esempio 5


a forma normale) ( )2 7k h y h k− = − (variabile y) DISCUSSIONE

Determiniamo la relazione

fra h e k per la quale non si

annulla il coefficiente di y

2 0 2k h h k− ≠ ⇒ ≠

o, in maniera equivalente,

2 02hk h k− ≠ ⇒ ≠

se 2h k≠ 2hk⎛ ⎞≠⎜ ⎟

⎝ ⎠, applichiamo il 2°

principio di equivalenza: 72

h kyk h

−=

−

(equazione determinata) se 2 0 Sh k k= ∧ ≠ ⇒ = ∅

(equazione impossibile) Sostituiamo ad h (k) il

valore per il quale si

annulla il coefficiente di y

2 0 13h k y k= ⇒ = se 2 0 0 0h k k k h= ∧ = ⇒ = ∧ = ⇒ 0 Sy⇒ 0 = ⇒ = Q

(equazione indeterminata)

se 2h k≠ 7S2

h kk h

−⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭

2 0h k k= ∧ ≠ S = ∅ Soluzione dell’equazione

0 0k h= ∧ = S = Q

34

Il procedimento seguito per risolvere le precedenti equazioni letterali prende il nome di discussione

dell’equazione.

Tale procedimento può essere, così, sintetizzato (ovviamente, se x è la variabile dell’equazione):

se necessario determiniamo le C.E. rispetto al parametro; l’equazione perde significato per i

valori del parametro che annullano i denominatori;

riduciamo l’equazione in forma normale ;ax b=

valutiamo i valori del coefficiente di x, cioè a, e del termine noto b;

l’equazione è determinata per i valori che rendono il coefficiente a ≠ 0 (indipendentemente

dai valori che può assumere b);

l’equazione è impossibile per quei valori che rendono il coefficiente a = 0 e b ≠ 0;

l’equazione è indeterminata per quei valori per i quali a = 0 e b = 0.

ATTENZIONE

Risolvere un’equazione letterale non significa stabilire quale sia l’insieme soluzione soltanto nel

caso in cui essa risulti determinata, ma vuol dire determinarne l’insieme soluzione analizzando tutti

i possibili valori attribuibili alle lettere che in essa compaiono.

PROVA TU

Risolvi le seguenti equazioni:

1) ( )2 1 1m t m− = +

2) ( )2 2 22 kk k xk+

− − =

3) ( ) 2 1a b y b+ = −

Le equazioni che abbiamo imparato a risolvere negli esempi precedenti sono equazioni letterali

intere; ma, come si procede per risolvere una equazione letterale frazionaria?

In questo caso alla nostra discussione dobbiamo aggiungere ulteriori considerazioni. Infatti una

volta trovata la soluzione, nel caso di equazione determinata, dovrò escludere i valori del

parametro che rendono tale soluzione uguale ai valori che non appartengono al dominio

dell’equazione.

35

Esempio

Risolviamo l’equazione 3 11

−=

+k

x x


1k

x x−

=+

DISCUSSIONE

Determiniamo il m.c.m. e riduciamo allo stesso denominatore

( )( )

( )( ) ( ) ( )

3 1 1 3 31 1 1 1

x k x x kx xx x x x x x x x

+ − + −= ⇒ =

+ + + +

Determiniamo il dominio

( )1 0 0 1 0x x x x+ ≠ ⇒ ≠ ∧ + ≠

{ }0 1 D 1;0x x⇒ ≠ ∧ ≠ − ⇒ = − −Q

Applichiamo 2° principio e semplifichiamo il denominatore

( )1 1x x +( )3 3

1x

x x+

⋅+ ( )11

kx xx x

−=

+( )1

1x x⋅ +

1

x kx x⇒ 3 + 3 = −


( )4 3 4 3x kx k x− = − ⇒ − = −

Determiniamo i valori di k che non annullano il coefficiente di x

4 0 4k k− ≠ ⇒ ≠

se 4k ≠ , applichiamo il 2° principio di equivalenza:

3 34 4

x xk k

−= ⇒ =

− −

(l’equazione può essere determinata)

3 04

kk

= ⇒ ∃− Stabiliamo i

valori di k per i quali Dx ∉ (x = 0, x = −1)

3 1 3 4 14

k kk

= − ⇒ = − ⇒ =−

se k = 1, S = ∅ (equazione impossibile)

se k ≠ 1 ∧ k ≠ 4 ⇒

⇒ 3

4x

k=

− (equazione determinata)

Sostituiamo a k il valore per il quale si annulla il coefficiente di x

4 3k x= ⇒ 0 = − Se k = 4 ⇒ S = ∅

(equazione impossibile)

{ }1, 4k ∈ − Q 3S

4k⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭ Soluzione

dell’equazione { } ( )1, 4 1 4k k k∈ = ∨ = S = ∅

PROVA TU

Risolvi la seguente equazione: 4 12 2

− =− −

k kx x x

36

9.11 Equazioni in una incognita di grado superiore al primo

Consideriamo le seguenti equazioni, già ridotte a forma normale:

a) 23 12 0t − = ; b) 2 5 4 0y y− + = ; c) 3 2 1 0x x x− + − =

E’ evidente che esse sono equazioni numeriche intere, ma non di primo grado; il loro grado è

maggiore di uno.

Saremo, allora, in grado, di risolverle? Ci proviamo!

Poiché sappiamo risolvere soltanto equazioni di primo grado, ancora una volta dobbiamo cercare di

operare delle “trasformazioni” in modo tale che, dalle equazioni assegnate, ci si possa ricondurre ad

equazioni di primo grado.

La prima cosa da fare è quella di riscrivere i polinomi a primo membro dell’equazione in modo che

in essi compaiano polinomi di primo grado; questa operazione la possiamo fare mediante la

scomposizione in fattori.

Esaminiamo, allora, le equazioni una alla volta:

a) 23 12 0t − = ⇒ (scomponiamo in fattori) ⇒ ( ) ( )( )23 4 0 3 2 2 0t t t− = ⇒ − + = .

Il primo membro dell’equazione ottenuta è il prodotto di più fattori; dobbiamo, allora,

determinare i valori di t che annullano questo prodotto.

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

( )( )3 2 2 0t t− + = ⇒ 2 0 2 0t t− = ∨ + =

Abbiamo, così, ottenuto due equazioni di primo grado che siamo in grado di risolvere; si ottiene:

2 0 2 0t t− = ∨ + = ⇒ 2 2t t= ∨ = − L’ultima proposizione aperta ottenuta è una proposizione molecolare con l’operazione di

disgiunzione inclusiva; ricordiamo, allora, che all’operazione “vel” tra proposizioni aperte

corrisponde l’operazione di “unione” fra i rispettivi insiemi di verità.

L’insieme soluzione dell’equazione è, dunque, dato dall’unione dei due insiemi soluzione delle

equazioni di primo grado; quindi, S = { }.2,2−

b) 2 5 4 0y y− + = ⇒ (scomponiamo in fattori) ⇒ ( )( )1 4 0y y− − = .

Il primo membro dell’equazione così ottenuta è il prodotto di due fattori; dobbiamo, allora,

determinare quei valori che annullano tale prodotto. Applichiamo, dunque la legge di

annullamento del prodotto:

( )( )1 4 0y y− − = ⇒ 1 0 4 0y y− = ∨ − =

Risolviamo le equazioni di primo grado ottenute:

1 0 4 0y y− = ∨ − = ⇒ 1 4y y= ∨ =

37

Ricordando quanto osservato nell’esempio a), si ha che l’insieme soluzione dell’equazione è dato

dall’unione dei due insiemi soluzione delle equazioni di primo grado; quindi, S = { }.1,4

c) 3 2 1 0x x x− + − = ⇒ [scomponiamo in fattori (raccoglimento parziale o usando il teorema del

resto)] ⇒ ( )( )21 1 0x x− + = .

Il primo membro dell’equazione ottenuta è il prodotto di due polinomi; di questi solo uno è di

primo grado.

Applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:

( )( )2 21 1 0 1 0 1 0x x x x− + = ⇒ − = ∨ + = .

Risolviamo le equazioni di primo grado ottenute:

0 1 1x x− = ⇒ = ;

2 1 0x + = ⇒ [il primo membro è la somma fra un termine non negativo (≥ 0) ed uno

positivo] ⇒S = ∅ .

Ricordando quanto osservato nell’esempio a), si ha che l’insieme soluzione dell’equazione è dato

dall’unione dei due insiemi soluzione delle equazioni; quindi, S = { }.1

PROVA TU


a) 25 10 0x x+ = ;

b) 2 7 18 0z z+ − = ;

c) 22 1 0b b+ − =

ATTENZIONE

Abbiamo già visto che per determinare l’insieme soluzione di alcune equazioni non è necessario

applicare procedimenti generali, ma è sufficiente porre maggiore attenzione e riflettere sulla forma

dell’equazione stessa.

Esempi

a) Qual è l’insieme soluzione dell’equazione 4 23 5a a+ = − ?

E’ un’equazione numerica intera di quarto grado e non conosciamo procedimenti o regole che

consentano di risolvere equazioni di questo tipo.

Osserviamo, tuttavia, il primo ed il secondo membro dell’equazione:

primo membro: 4 23a a+ indica la somma di due termini non negativi, quindi sicuramente è

sempre non negativo;

38

secondo membro: −5 è un numero negativo.

E’ ovvio, a questo punto, che un numero non negativo non possa essere mai uguale ad un

numero negativo.

L’equazione, dunque, è impossibile e, quindi, S = ∅.

b) Qual è l’insieme soluzione dell’equazione 2 22 7 0z y+ + = ?

Anche questa equazione è un’equazione numerica intera di secondo grado , ma ha due variabili

(x, y); … fino ad ora non abbiamo mai incontrato equazioni di questo tipo.

Ancora una volta guardiamo con molta attenzione il primo ed il secondo membro dell’equazione:

primo membro: 2 22 3z y+ + indica la somma di tre termini dei quali due ( 22z e 2y )

sicuramente non negativi ed il terzo (7) maggiore di zero; tale somma, perciò, è positiva

qualunque siano i valori attribuiti alle variabili;

secondo membro: 0.

E’ ovvio che un numero positivo non potrà mai essere uguale a zero.

Non esiste, dunque, alcuna coppia di numeri razionali che rende vera l’uguaglianza.

L’equazione è impossibile e, quindi, S = ∅.

c) Risolviamo l’equazione 3 0x + = .

L’equazione proposta non è riconducibile ad alcuna delle equazioni che abbiamo imparato a

risolvere in questo capitolo; in essa è presente il simbolo di valore assoluto di un numero.

Ricordiamo che se 0

0,se 0

x xx x x

x x ≥⎧

= ⇒ ≥ ∀ ∈⎨− <⎩Q

Il termine x è, quindi, non negativo.

Ancora una volta, osserviamo attentamente ambo i membri dell’equazione:

primo membro: 3x + indica la somma di un termine non negativo ( x ) e di un termine

positivo (3); tale somma, perciò, è positiva qualunque sia il valore attribuito alla variabile;

secondo membro: 0.

Come negli esempi precedenti, un numero positivo non potrà mai essere uguale a zero.

L’equazione, dunque, è impossibile e, quindi, S = ∅.

Consiglio

Per determinare l’insieme soluzione di una equazione, talvolta, non è sempre necessario applicare

regole e procedimenti generali, talvolta basta osservare con molta attenzione la sua forma.

PROVA TU


a) 2 5 0b + = ; b) 4 22 9 0x y+ + = ; c) 1 1 0x + + =

39

9.12 Equazioni e problemi

In molti ambiti, non solo in quello matematico, possiamo trovare dei problemi che si risolvono

facilmente con l’uso delle equazioni: in questi casi si costruisce il modello matematico del

problema.

Anche per la costruzione del modello matematico possiamo seguire un semplice schema:

Cosa mi chiede il problema? → 1. Individuare la richiesta del problema

Quale quantità posso indicare con x? → 2. Scegliere l’ incognita (richiesta)

Quali valori può assumere x? → 3. Porre condizioni accettabilità o

dominio del problema

Quali elementi dipendono da x? → 4. Scrivere altri elementi in funzione di x

Quale relazione mi consente di trovare x? → 5. Impostare equazione risolvente

Determino il valore di x → 6. Risolvere l’equazione

Posso accettare il valore che ho trovato? → 7. Controllare accettabilità della

soluzione

Scrivo la risposta al problema → 8. Scrivere insieme soluzione o risposta

Applichiamo ora il nostro schema ad un simpatico problema:

Cunegonda, santa di professione e matematica per diletto.

Un poveretto aveva pochi soldi. Allora pregò Santa Cunegonda che gli

raddoppiasse i denari, in cambio egli avrebbe donato 8 € ad un altro povero.

Santa Cunegonda esaudì i suoi desideri ed egli diede 8 € ad un povero.

Visto che la cosa funzionava, il poveretto ripregò Santa Cunegonda che gli

raddoppiasse i denari: in cambio egli avrebbe donato ancora 8 € ad un povero.

Santa Cunegonda lo esaudì ed egli mantenne la parola.

Non contento, si rivolse di nuovo a Santa Cunegonda per farsi raddoppiare i

denari; in cambio avrebbe donato altri 8 € ad un povero. Santa Cunegonda lo

esaudì ancora ed egli donò 8 € ad un povero.

Ma, in questo modo, il poveretto si ritrovò senza un euro.

Quanti soldi aveva all'inizio?

Seguendo lo schema descritto in precedenza, costruiamo il modello del problema.

40

1. Individuare la richiesta del problema → Capitale iniziale (denaro)

2. Assegnare incognita (richiesta) → x = capitale iniziale

3. Porre condizioni accettabilità → x ∈ Q + (numero positivo, eventualmente decimale)

4. Scrivere altri elementi in funzione di x → 2x = denaro raddoppiato

5. Impostare equazione risolvente →

Dopo la prima volta egli raddoppia il capitale (2x), ma dà 8 € ad un povero per cui il capitale rimasto è 2x − 8

Dopo la seconda volta il capitale rimasto è (2x − 8) · 2 – 8

Dopo la terza volta il capitale rimasto è [(2x − 8) · 2 − 8] · 2 − 8

Ma sappiamo che a questo punto è rimasto... al verde, dunque [(2x − 8) · 2 −8] · 2 − 8 = 0

6. Risolvere l’equazione → [4x − 16 − 8] · 2 − 8 = 0 ⇒ ⇒ 8x – 32 – 16 – 8 = 0 ⇒ 8x = 56 ⇒ ⇒ x = 7

7. Controllare accettabilità della soluzione → 7 ∈ Q +, quindi, la soluzione è accettabile

8. Scrivere insieme soluzione o risposta → S = {7} oppure (Risposta) Il poveretto, inizialmente, aveva 7 €

PROVA TU

Risolvi questi problemi di diversa tipologia dopo averli formalizzati tramite equazione:

a) La somma di due numeri pari consecutivi è 30. Determina i due numeri. [ ]14;16

b) L’età di un padre è tripla di quella del figlio e la loro differenza è di 26 anni. Calcola le due

età. [ ]39;13

c) Il contenuto di due recipienti pesa complessivamente 80 Kg. Se si spostano 15 Kg da un

recipiente all’altro, i due recipienti hanno lo stesso peso. Calcola il peso, in kg, del

contenuto di ciascun recipiente. [ ]55;25

d) I cateti di un triangolo rettangolo sono uno doppio dell’altro e la loro somma misura cm 42.

Determina la misura delle due dimensioni. [14; 28]

e) Il perimetro di un rettangolo misura 10 m e la base è i 23 dell’altezza. Calcola le dimensioni,

in m, dei due lati. [ ]2;3

41

ESERCIZI CAPITOLO 9

Equazioni


1) Che cosa si intende per uguaglianza? E per disuguaglianza?

2) Dai la definizione di identità e di equazione in tutti i modi che conosci.

3) Che cosa si intende per soluzione di una equazione?

4) Che cos’è il dominio di una equazione?

5) Che cos’è l’insieme soluzione di una equazione?

6) Come puoi classificare le equazioni in base alle sue soluzioni?

7) Vero o Falso?

a) Una equazione determinata ha una sola soluzione. V F

b) Una equazione indeterminata ha almeno due soluzioni. V F

c) Una equazione indeterminata ha un numero finito di soluzioni. V F

d) Una identità è una equazione indeterminata. V F

e) Una equazione indeterminata è una identità. V F

f) Una equazione ammette sempre almeno una soluzione. V F

g) Sia D = { }/ 20 15a Z a∈ − < < il dominio di un’equazione; se S = D V F

l’equazione è indeterminata.

8) Quale dei valori a fianco indicati è soluzione di ciascuna delle seguenti equazioni?

a) 23 11 4 0a a− − = 4a = − ; 4a = ; 3a = ; 13

a = −

b) ( )( ) ( )22 3 2 6 3 1m m m m m+ − + = + + m = 6; m = 4; m = −4; m = −3

c) ( ) ( )( )3 2 1 2 3 3 2t t t t− = + − 32

t = − ; 34

t = ; 12

t = ; 23

t =

9) Una sola delle seguenti equazioni non è razionale; quale?

a) ( ) 23 1 2 3b b−+ = + ;

b) 4 1 2 1s s− = + ;

c) ( )2 3 5 ;t t+ + =

d) 3 4 12 3

aa

− =+

;

e) ( )5 1 3 23

mx m− = − .

42

10) Come puoi classificare le equazioni in base alla loro forma?

11) Completa la seguente tabella come nell’esempio della prima riga:

EQUAZIONE NUMERICA LETTERALE INTERA FRATTA

22 5 0t − = × ×

1 3 02

ax a+ =

2 131

bb b

− =−

25 21

m m pp

+ − =+

(var. m)

25 21

m m pp

+ − =+

(var. p)

22 31

y yk k

− =+

12) L’equazione 23 23

a m+ = è:

a) numerica intera; b) letterale intera; c) numerica fratta;

d) letterale fratta; e) non può essere classificata.

13) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

a) Una equazione con almeno due lettere è sicuramente una equazione letterale.

b) Se in una equazione compaiono delle frazioni, l’equazione è frazionaria.

c) Se in una equazione almeno una lettera è presente al denominatore, l’equazione è sicuramente

frazionaria.

d) Una equazione nella quale compare una sola lettera è sicuramente un’equazione numerica.

e) In una equazione intera non sono presenti coefficienti frazionari.

14) L’insieme S = { }2− non è l’insieme soluzione di una sola delle seguenti equazioni. Quale?

a) 4 8 0x + = ;

b) ( )( ) ( )3 2 2 3 4 36 0s s s s− + − − + = ;

c) ( )2 22 1 2 1 1y y y− + = − + ;

d) 4 1 1 53 3 3 3

t t+ = − ;

e) 5 36 24 4t t+ = −

43

15) Quando due equazioni si dicono equivalenti?

16) Sia E l’insieme di tutte le equazioni; verifica che la relazione “essere equivalenti” definita

nell’insieme E è una relazione di equivalenza.

17) Le seguenti equazioni sono equivalenti?

a) 2 8 3x − = ; 2 11y = SI NO

b) ( ) 21a a a+ = ; 1b b+ = SI NO

c) 32 1 32

z z z+ − = ; 5 3 8y y− = SI NO

d) 1 3 2 12

t t t+ = + ; 3 12 35 5

z z z+ − = + SI NO

e) 1 2 3b b+ = + ; 2 21 2 3m m m− = + − SI NO

18) Quale delle seguenti equazioni è equivalente all’equazione 3 6 0y − = ?

a) 2 4 0y − = ; b) 2 5 4 1x x− = − ; c) 3 8z = ;

d) 6 12m = − ; e) 2 0t − = .

19) Che cosa afferma il primo principio di equivalenza? E il secondo?

20) Quale principio si applica per cambiare di segno a tutti i termini di una equazione?

21) Quale principio si applica per spostare un termine da un membro all’altro di una equazione?

22) Delle equazioni 3 1 1m m− = + e ( )( ) ( )21 3 1 1m m m+ − = + si può dire che:

a) sono equivalenti nell’insieme Q;

b) sono equivalenti nell’insieme { }13

A = −Q ;

c) sono equivalenti nell’insieme { }1A = −Q ;

d) sono equivalenti nell’insieme { }1A = − −Q ;

e) sono equivalenti nell’insieme { }10,3

A = −Q .

23) Le equazioni 5 42 3

t t− = e 5 42 4 3 6

t tm m

− =+ +

a) sono equivalenti m∀ ∈Q ;

b) sono equivalenti { }2m∀ ∈ −Q ;

c) sono equivalenti { }0m∀ ∈ −Q ;

d) sono equivalenti { }2m∀ ∈ − −Q ;

e) non possono essere mai equivalenti.

44

24) Quando una equazione si dice ridotta a forma normale?

25) Come procedi per determinare il grado di un’equazione?

26) Completa la seguente tabella come nell’esempio della prima riga:

EQUAZIONE GRADO TERMINE NOTO

33 1 0y y+ − = 3 −1

2 7 0x x+ =

3 42 5 11b b b b+ + − =

2 3 0x y xy+ − − =

2 31 23 84 7

t t t t− + − = +

113

x x− =

( )2 22 1 2 1 3z z z− = + + −

27) Vero o Falso?

a) Se un’equazione è ridotta a forma normale, i suoi coefficienti sono interi. V F

b) Il grado di un’equazione ridotta a forma normale è uguale al maggiore V F

degli esponenti che in essa compaiono.

c) Un’equazione fratta non è ridotta a forma normale. V F

d) Se tutti gli esponenti delle lettere di una equazione sono uguali ad 1, V F

l’equazione è sicuramente di primo grado.

28) Una sola delle seguenti equazioni è di secondo grado. Quale?

a) 2 3 1a a− = + ;

b) ( ) ( ) 23 1 2 2x x x x x− = − + ;

c) ( ) ( )2 2 21 2 1 ( 2)b b b b b b+ = − − + ;

d) ( )( ) 21 1 4y y y+ − = − ;

e) ( )( )2 21 2 5z z− + = .

29) Le seguenti proposizioni si riferiscono all’equazione ( )2 2 5ab b a− = :

a) se l’equazione è di secondo grado, la sua variabile è la lettera “b”. V F

b) se l’equazione è di terzo grado, è un’equazione numerica. V F

c) il suo grado è sempre maggiore di 1. V F

45

30) Dell’equazione 1 01

xx

− =−

si può dire che:

a) è ridotta a forma normale;

b) è di primo grado;

c) ha per soluzione x = 1;

d) è un’equazione impossibile;

e) è un’equazione determinata.

31) Dell’equazione 22 2 0

1 2 3 2y

y y y y+ − =

− − − + si può dire che:

a) è equivalente all’equazione 2 4 0t − = ;

b) è definita per qualsiasi valore di y;

c) ha una sola soluzione;

d) è ridotta a forma normale;

e) ha più di due soluzioni.

32) Sia S l’insieme soluzione dell’equazione ( ) ( )( )23 2 1 3 1 1 1m m m m+ − = + + + . Allora:

a) S ⊂ N; b) S ∩ Z ≠ ∅; c) S ∩ Z = ∅; d) S = ∅; e) S = Q

33) Il dominio D dell’equazione 2 23 1 2 0

1aa a

− + =+

è:

a) D = Q;

b) D = { }0,1−Q ;

c) D = { }0−Q ;

d) D = { }1,0− −Q ;

e) D = { }0,1, 1− −Q

34) Quante sono le soluzioni dell’equazione ( ) ( ) ( ) ( )2 23 1 2 1 4 1 2 3 2y y y y y− − + = − − − avente

come dominio l’insieme D = { }/ 5 2m m∈ − < <Z

a) 0; b) 1; c) 2;

d) più di due, ma in numero finito; e) infinite

35) Per quale valore del parametro k l’equazione ( ) ( ) ( )( )26 2 3 1 3 1 2k m m k m m m k− + − = − − è

impossibile?

a) 72

k = ; b) , Sk∀ ∈ ≠ ∅Q ; c) 7k = ; d) 2k = e) 27

k =

46

36) Le seguenti affermazioni si riferiscono all’equazione ( ) ( ) ( )( )22 1 3 4 2 3 2 3x x x x− − + = − + .

Soltanto una di esse è falsa; quale?

a) è un’equazione di primo grado;

b) è un’equazione determinata;

c) non ha soluzioni in N;

d) ha una sola soluzione;

e) ha soluzioni in Q+.

37) Per quale valore del parametro m l’equazione ( )3 2 3a m am m+ − = + è indeterminata?

a) 0m = ; b) 32

m = − ; c) 23

m = ; d) 32

m = ; e) 23

m = −

38) Solo due, fra le seguenti equazioni, sono fra loro equivalenti. Quali?

a) 4 2 1 0a a+ + = ; b) 6 4 0h h+ = ; c) 6 3 0m m+ = ;

d) 5 3 0k k− = ; e) 4 3 0s + = .

39) Solo una delle seguenti equazioni non è equivalente alle altre, quale?

a) 4 2 0;k k− = b) 3 2 0h h− = ; c) 5 22 2 0s s− = ;

d) 2 0m m− = ; e) 7 4 0t t− = .

40) Per quale valore del parametro k le equazioni 2 5 1x x+ = − e ( )3 4 2 3x k x+ = +

sono equivalenti?

a) per nessun valore di k; b) 3k = ; c) 13

k = ; d) 3k = − ; e) 14

k = .

41) “Se si sottrae dalla quarta parte del successivo di un numero intero il doppio del precedente

del triplo del numero stesso, si ottiene 8”.

Quale, fra le seguenti equazioni, è la formalizzazione matematica della frase precedente?

a) ( )1 1 2 3 1 84

x x+ − − = ;

b) ( )1 2 3 1 84

x x+ − − = ;

c) ( ) ( )1 1 2 3 1 84

x x+ − ⋅ − = ;

d) 1 2 3 1 84

x x+ − ⋅ − = ;

e) ( ) ( )1 1 2 3 1 84

x x+ − − =

47

ESERCIZI

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono delle identità:

1) ( )2 2 2 24 2 2 2 1a b ab b a b b a+ − + = + − −

2) ( ) ( ) ( )2 22 1 4 1 4 1p p p− + − = −

3) ( )2 2 23 7 3 7s t s t s t s t+ − + = + − +

4) ( )( )3 3 2 25 5ab a b a b a ab b ab+ + = + − + +

5) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 2x y x y x y x y x y+ + + − = + + −

6) ( )( )( ) 3 3h m h m h m h m+ − + = −

7) ( )( )( ) ( )3f g f g f g f g+ + + = +

Riduci a forma normale le seguenti equazioni:

8) 2 3 42 5 6 5y y y y+ = − − ; 4 3 23 25 2 ;z z z z− − = + 2 412 3 8a a a− = −

9) ( ) ( )2 3 3 3m m q q q m mq+ + − = ; 21 3 2 2 ;3

t t t+ − =

4 312 2b b b− − =

Dopo averle ridotte a forma normale, determina il grado delle seguenti equazioni:

10) 4 34 4x x

x+ = ; ( ) ( ) ( )2 3 25 1 3 1 4 1 2a a a a a+ − − = +

11) 22 21 1

g gg g

+ −=− −

; ( ) ( ) ( )3 1 6 1 3 2m p p m m p+ − − = + (variabili m, p)

12) 1 2kk h

− = (variabili h, k); 1 2kk h

− = (variabile k)

Associa ad ogni equazione quella, fra quelle sottoelencate, ad essa equivalente indicando quale

principio di equivalenza è stato applicato:

13) 3 2 2x x− = +

a) 6 4 2 4x x− = + ; b) 12 6 3 28x x− = + ; c) 2 73 3 2

xx − = + .

14) 4 5 2x x− + = −

a) 2 4 10 2x x− + = − ; b) 4 2 5x x− = − ; c) 2 5 12x x+ = − .

15) 4 7 2x x− + = −

a) 4 7 2 2 2x x− + + = + − ; b) 8 7 2x x− + = − ; c) 4 7 1 2x x− + + = − .

16) 2 23 5 2 6x x x x− + = + −

a) 2 23 5 2 2 6 2x x x x− + − = + − − ; b) 3 2 6 1x x− + = − + ; c) 3 5 6x x− + = − .

48

A fianco di ciascuna equazione, scrivine una ad essa equivalente:

17) 12 7 2 3x x− = + ……………………………………….

18) 7 11 8 3y y− + = − + ……………………………………….

19) 3 1 2z z+ = ……………………………………….

20) ( ) ( )2 1 3 2 5p p p− = + + − ……………………………………….

21) 1 1 225 2 3

a⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

………………………………………..

22) ( ) ( ) ( )( )22 3 1 5 1b b b b− + − = + − ………………………………………..

Scrivi, per ciascuna delle seguenti equazioni, due equazioni ad essa equivalenti ottenute applicando

il primo principio di equivalenza:

23) 1 3 7 22

g g− = +

a) …………………………………………..; b) ……………………………..………

24) 2 25 3 2 5 2 3b b b b− + = + −

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

25) 4 2 4t t− = +

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

26) 32 5 12

x x− = −

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

Scrivi, per ciascuna delle seguenti equazioni, due equazioni ad essa equivalenti ottenute applicando

il secondo principio di equivalenza:

27) 73 12 2 2

y +− =

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

28) 3 15h− =

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

29) 3 2 4 1q q− = +

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

30) 6 4 3m m− = −

a) …………………………………………..; b) ……………………………………..

49

31) Per ciascuno degli insiemi { }1S 6= , { }2S 4= − , { }3S 10= , { }41S3

= − , { }52S7

= , { }6S 1,3= − ,

scrivi quattro equazioni di cui essi siano l’insieme soluzione.

32) Nelle seguenti tabelle sono risolte alcune equazioni. Giustifica, nella prima colonna, i

passaggi eseguiti indicando quale principio di equivalenza è stato applicato (come negli

esempi di pag. 17 e succ.):

EQUAZIONE 1 5 2 6 1x x− = +

5 6 2 6 1 6x x x x− − = + −

2 2 1 2x− − + = +

3x− =

3x = − ⇒ S = { }3−

EQUAZIONE 2 3 4 7x − =

3 4 4 7 4x − + = +

3 11x =

1 13 113 3

x⋅ = ⋅

113

x = ⇒ S = { }113

EQUAZIONE 3 2 2 53 3 2

x x− = +

2 4 4 156 6

x x− +=

2 4 4 156 66 6

x x− +⋅ = ⋅

2 4 4 4 15 4x x x x− − = + −

2 4 4 15 4x− − + = +

2 19x− =

( )1 12 192 2

x ⎛ ⎞− ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

192

x = − ⇒ S = { }192

−

50

33) Stabilisci, per ciascuna delle seguenti equazioni, se i numeri a fianco indicati ne sono

soluzione:

34) 6 2 3m m− = + 1;m = 2m = − ; 1m = − ; 2m = −

35) 23 11 6 0k k− + = 3k = − ; 23

k = ; 32

k = ; 13

k = −

36) ( ) ( )3 21 1t t+ = − 1t = − ; 0t = ; 12

t = − ; 1t =

37) 2 36 23 26 8 0z z z− + − = 2z = − ; 12

z = ; 1z = ; 34

z =

38) 3 1 1 12 1 14 3 4 3

x x x x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

12

x = ; 2x = ; 2x = − ; 12

x = −

Esempio

Determina per quale valore del parametro m l’equazione 22 3 3 0mz z m− + = ha per soluzione il

valore z = 3.

Poichè z = 3 è soluzione dell’equazione, il valore 3, sostituito alla variabile z, rende vera

l’uguaglianza.

Operiamo, dunque, la sostituzione; si ottiene:

( )22 3 3 3 3 0m m⋅ − ⋅ + = ⇒ 18 9 3 0m m− + = ⇒ 21 9 0m − =

Abbiamo, così, ottenuto una nuova equazione nella variabile m; risolviamo tale equazione:

21 9 0m − = ⇒ 21 9m = ⇒ 21m =7

9 373

=

Il valore 73

m = , così determinato, è la risposta al quesito proposto.

Determina per quale valore del parametro m le seguenti equazioni hanno come soluzione il valore

a fianco indicato:

39) 24 3 1 0t mt+ − = 12

t =

40) 3 21 23 5 03 3

mh h mh− + − = 1h =

41) ( )( ) 23 4s s m s m− + = − 2s =

42) ( )( )2 3 4 3 5 2 9a a m a m+ + = − + 3a = −

43) ( ) ( ) ( )22 2m m t m t t m t+ − − = + 1t = −

44) 22 3 125 2 5

my my m− + =

2y =

51

Equazioni numeriche intere

Risolvi, nell’insieme Q, le seguenti equazioni ed esegui la verifica:

45) ( )2 5 3 1 4x x x+ = − +

46) ( )7 2 1 3m m m− + = −

47) ( )( ) ( ) ( )22 3 2 2 1b b b b+ − − − = −

48) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 22 3 2 6 1y y y y y− − − = − + − +

49) ( ) ( ) ( )3 22 1 6 2 3 4 2 1 3t t t t t− + − = − +

50) 3 1 2 1 5 22 4 3

a a a− + −− =

51) 2 21 1 32

2 3 4z z z z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

52) ( )( ) ( ) ( )24 3 3 1 3t t t t− + − − = −

53) 3 1 3 5 124 12 8

s s s− + −+ = +

Risolvi, nell’insieme a fianco indicato, le seguenti equazioni:

54) ( ) ( )2 1 3 5 2m m m+ − = − (in Z)

55) 1 3 132 2 2t tt −⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (in N)

56) ( )( ) ( )23 1 1 5 3 2 8x x x x− + − = − − (in Z−)

57) ( ) ( ) ( ) ( )7 3 2 2 3 5 2 1b b b b− − + = − + − (in Q)

58) ( )( ) 22 1 3 2 6 5 2a a a a− + = − − (in Q+)

59) ( ) ( )3 4 2 9 3 6z z z+ + − = − (in N0)

60) ( )( ) ( ) ( )24 3 3 1 3s s s s+ + = + + − (in Z+)

61) ( ) ( ) ( )( )32 1 6 2 1 2 3 2 2 3 1w w w w w w− + − = − − − − (in Z − {0})

62)

1 2 1 1 13 2 2

m m m− ++ = +

(in A = { }/1 10a a∈ < ≤N )

63) ( ) ( )2 4 11 2 53 12 3

kk k k k+− + = +

{ }( )in / 0 1A a a = ∈ < <Q

64) ( ) ( )( ) ( )( )23 2 2 1 1 3 5y y y y y− − − + = − − { }( )in / 0A a a = ∈ −1 < <Z

65) ( )( ) ( )( )5 4 5 4 6 5 6 5 0a a a a+ − + − − − = { }( )in / 3A a a = ∈ − 5 < <Q

52

Risolvi, nell’insieme Q, le seguenti equazioni motivando ciascuno dei passaggi eseguiti:

66) 3 4 5t t− = − { }1S2

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

67) ( )( ) 22 2 7 1x x x x x− + + = − + { }5S8

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

68) 5 2 32 12 3 4

z z⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ { }8S

3⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

69) ( ) ( )3 2 1 10 3 25 2 6m m m− + − − = + { }32S7

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

70) ( ) ( )2 1 3 3 1 2 5x x x x− − = − + − [ ]S = Q

71) ( )4 6 2 2 3 4 3y y y y− + = − − { }S 2⎡ ⎤=⎣ ⎦

72) ( )( )25 2 3 5 2 3 4a a a a a− + = − + − { }S 11⎡ ⎤=⎣ ⎦

73) ( )1 32 5 15 2

x x− + = −

{ }7S16

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

74) 8 6 5 2( 5)s s s− = − − { }16S5

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

75) ( ) 24 3 4 5 2 0p p p p− − + − = { }2S7

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

76) ( ) ( )2 27 3 2 2 3t t t t t t− = − − + + { }7S

11⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

77) ( ) ( )( ) ( )3 1 3 1 2 4 2 1b b b b b+ = + − + + [ ]S = ∅


78) 3 2x x= + ; 4 3 3 5z z+ = − { } { }S 1 ; S 8⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

79) 7 4 23a a a+ = + ; ( )2 2 1x x x+ − = − + { } { }7 5S ; S26 4

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

80) ( )3 1 7 2m m+ = + ; ( )9 2 4 7 2y y y y− = − + − { } { }13S ; S 104

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦

81) 8 4 3 4 7 ;t t t+ + = + 5 3 6 2 11 5s s s− − = + − − { }11S ; S7

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦Q

82) 16 3 2 7b b b b+ − = − ; 34 57 2 65 17 72h h h+ = − + − + { } { }7 1S ; S12 4

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦

83) ( )( ) 23 2 1 3 5x x x+ − = −

{ }S 3⎡ ⎤=⎣ ⎦

53

84) ( ) ( )2 3 4 5 3 2x x+ = − ; 34 57 2 65 17 72p p p+ = − + − + { } { }1S 2 ; S4

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

85) ( )2 2 2x x x+ − = + ; ( )5 1 2 4 6 1k k k+ = − + − { } { }10S 3 ; S3

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

86) ( ) ( )2 3 4 5 3 2a a+ = − ; ( )( ) ( )1 3 2 6 4y y y y y+ − + = − − { } { }9S 2 ; S4

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

87) ( )1 3 3 23 4 2

w w− = + ; 2 4 55 15 3

z z z− +− =

{ } { }45 31S ; S14 18

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

88) ( )2 23 6 9x x x+ − = + [ ]S = Q

89) ( ) ( ) ( )2 21 2 4 2 2z z z z− + + − = + [ ]S = ∅

90) 3 2 1 1 42 22 5 10

q q qq− + −+ = − +

{ }6S7

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

91) ( ) ( ) ( )2

2 2 211 12 13 3 3

xx x x

++ − + = − +

{ }13S

8⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

92) ( ) ( )2 222 3 2 5m m m− + − = − − { }S 2⎡ ⎤=⎣ ⎦

93) ( ) ( ) ( )3 22 1 4 2 3 3 2 5y y y y− − − = − [ ]S = ∅

94) ( ) ( )23 2 3 2 3w w w w w− − = + − { }2S3

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

95) ( )( ) ( )( )3 1 2 2 412 4

k k k k+ + + −=

{ }S 2⎡ ⎤= −⎣ ⎦

96) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 3 1 1 2 3 5 2 1 2h h h h h h− + − + = − − − + [ ]S = Q

97) ( ) ( )22 4 33 2 2 6 13 1 4 1t t t t t t t− + = − + − + −

{ }5S3

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

98) ( ) ( ) ( )3 1 4 11 2 1 7 3 14 2 3 4

a a a a⎛ ⎞− + + = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]S = ∅

99) ( ) ( ) ( )2 2 22 4 2 32 5 4 2 1 2 2x x x x x x x− − = + − − − + −

{ }37S16

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

100) ( ) ( )2 22 23 2 3 12 4b b b b b− + + − = − − { }17S2

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

101) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 32 1 1 8 1 2 1 5 3 1 3z z z z z z z− + + + − = + + − − { }1S4

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

102) 3 2 2 14 5 10

k k k+ −− = { }12S5

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

54

103) 5 4 1 3 53 2 6

m m m− − −+ =

[ ]S = Q

104) 3 2 03 4

g g g− −− − =

{ }18S5

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

105) ( )2 28 3 13 64x x x x+ − = + + [ ]S = Q

106) ( ) ( )3 321 6 7 2 3h h h h− − + = − − { }33S26

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

107) ( ) ( ) ( )2 3 234 2 812 4 2 2 4

d d d dd− + −+ − = +

{ }19S

2⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

108) ( ) ( )22 2 24 3 5 4 7 2 6b b b b b⎡ ⎤+ − − + = − + +⎣ ⎦ [ ]S = ∅

109) 4 613 2 6z z z− −− = +

[ ]S = Q

110) 2 3 2 3 2 03 6 3 3

k k k k− − +− = − − =

{ }S 5⎡ ⎤=⎣ ⎦

111) ( )( ) ( ) 21 1 3 5 3 7 2 2s s s s s s⎡ ⎤− + − − + − + − = −⎣ ⎦ { }S 11⎡ ⎤= −⎣ ⎦

112) ( ) ( )22 24 2 3 5 6 0y y y y+ − + + + + = { }S 5⎡ ⎤= −⎣ ⎦

113) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 21 3 1 1 2 3 3 3t t t t t t t t⎡ ⎤− + − − + − + = − − −⎣ ⎦ { }5S6

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

114) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 1 2 2

23 3 3

d d d dd

− − − +− = + + { }7S

6⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

115) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 22 3 4 3 6 4 8 4 12 0x x x x x x x x⎡ ⎤− − − + + − + − + − + − =⎣ ⎦ { }15S17

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

116) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 224 31 3 4 8 5 2 6 15 3 2m m m m m m m m⎡ ⎤+ − + + − − − = − − + −⎣ ⎦ { }9S22

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

117) ( )2 22 1 1 2 31 3 3 3 1

5 2 2 5 10x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ { }49S

3⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

118) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 1 3 2 10 5 4y y y y y y y y y+ + − + − − = + + −

[ ]S = ∅

119) ( )( ) ( ) ( )2 22 7 92 1 5 53 2 18 4 6 24

ww w ww w ++ − +− + − = −

{ }1S2

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

120) ( ) ( )2

21 1 1 1 1 3 25 53 1 3 1 1 22 4 2 2 4 5 12 3

b b b b b b b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − − + − = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ]S = ∅

121) ( )( ) ( )( ) 22 5 3 1 44 1 5 39212 2 3 6 6 2 2

y y y yy y y y+ + + −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

[ ]S = Q

55

Equazioni numeriche fratte


122) 3 1 12 1a a a

+ =−

{ }7S5

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

123) 2 3 2 3 13 2 6 3

t tt t

+ ++ = +

{ }S 7⎡ ⎤= −⎣ ⎦

124) 1 42 1 2

m m mm m m− −− =

+

2S5

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

125) 3 4 1 52 2 4 2

x x xx x x

− +− =− + +

{ }6S5

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

126) 1 1 24 2 2 10

h hh h

− −= +− +

{ }2S13

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

127) 22 3 4 1 02 5 2 5

a aa a a a

+ −− − =− − { }21S

16⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

128) 3 3 32 1 2

kk k

− =+

[ ]S = ∅

129) ( )2

7 15 24 3 12

yy y y y

++ =

− + − − [ ]S D=

130) 2

29 13 3 59 1 1 3 1 3z zz z z

+ + =− − +

{ }S 1⎡ ⎤=⎣ ⎦

131) 23 2 35 6 3 2b b b b

= ++ + + +

[ ]S = ∅

132) 2 2 23 2 1 06 9 6 9 9x x x x x

− − =− + + + −

{ }3S5

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

133) 24 1 14 4 2 2w w w

w w w w− −= −

+ + − + { }2S

3⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

134) 1 1 1 1 02 2 2 2 1 2 2z z

z z z z+ −+ + + =

− − − + [ ]S = ∅

135) ( ) ( )( )2

2 1 2 2 2 32 3 6 2

k k k k kk kk k k k k

− − +− = +

− + + − − { }S 0⎡ ⎤=⎣ ⎦

136) ( ) ( ) ( )( )2 2

2

2 1 1 2 3 22 1 2 2 3 2d d d dd d d d

− + − +− =

− + + − [ ]S = ∅

137) ( )2

2 3 32 3 4 53 2 3 2 9 9

a aa aa a a a

− +− −− =− − − +

[ ]S D=

138) ( )( ) ( )2 3

3 1 1 3 9 3 21 3 03 1 9 3 1 27 1

s s s sss s s s

+ − +− − − =+ − + +

{ }S 0⎡ ⎤=⎣ ⎦

56

139) ( )( )2

3 2 5 22 5 15 2 10 11 6

m mmm m m

− −+ − =+ − −

{ }1S4

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

140) 23 3 4 3

2 4 2 4 2p p p p

p p⎛ ⎞ −− ⋅ =⎜ ⎟− +⎝ ⎠

[ ]S D=

141) 2 22 5 2 1

6 9 9b b

b b b− +=

− + − { }S 2⎡ ⎤=⎣ ⎦

142) 23 1 6

3 4 3 4 9 16t

t t t− =

− + − [ ]S = ∅

143) 1 4 3 2 1 5 3 12 2 4 1 4 4 1

x x xx x x x− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

{ }3S10

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

144) 2 23 1 2 3 10 3

2 7 3 1 4 14 6 2h h

h h h h h h+ +− + =

+ − + − { }3S

14⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

145) ( )( )2

5 4334 2 1 2 9 4

y yyy y y y

− +−+ =− − − +

[ ]S = ∅

146) 2

23 1 2 5 5 2:

5 2 3 2a a a a

a a a a a− − −+ =

− − − + { }8S3

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

147) ( )2 3 2

2 81 1 1 16 2 4 6 8 2 16 32

xx x x x x x x

−⎛ ⎞− + =⎜ ⎟− + − + − − +⎝ ⎠ [ ]S = ∅

148) ( )( )2

2 2 4 2

3 2 95 1 3 82 1 2 2 1 2 1

s ss ss s s s s s

− −− −− =+ + − + − +

{ }10S13

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

149) 23 36 3 03 9 3

b bb b b

+ −+ − =− − +

[ ]S = ∅

150) ( )( )3 2

3 5 2 3 42 2 1 1 1

m mm m m m m

+ −= −

+ − − + − { }11S7

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

151) 2 2 3 24 3 8 3 8 0

4 2 8 2 2 8z

z z z z z z z z++ + + =

+ + − − + − [ ]S D=

152) 2 2

2 22 5 4 12 8 4 2 7 6 02 3 3 1 4 12 9 9 6 1

w w w w w ww w w w w w

− + + − + +− − ⋅ =+ − + + − +

{ }3S8

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

153) 2

2 24 2 2 2 12 3 4 9

v v vv v v v− + −+ =

− − [ ]S = ∅

154) ( ) 2

2 3

2 3 13 4 242 3 4 6 9 8 27

t tt tt t t t

−− − =− + + −

{ }S 12⎡ ⎤= −⎣ ⎦

155) 2 3 28 1 1 1 403 2 1 3 2 1 3 4 5 2g g g g g g g

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟− + + − − − +⎝ ⎠

[ ]S = ∅

57

156) 2 1 8 2 141 12 12 2

a aaa a

− ++ = −++ −

{ }S 0⎡ ⎤=⎣ ⎦

157) ( )

1 3 134 2 3

ddd

d d

+ +−− =

− − [ ]S = ∅

158) 2

2

2

2 1 2 4 512 221

xxx

x x xx

− +−+ =

− −−−

{ }4S3

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

159) 41 244 4 414

rr rr

r rr

−++ + =+ +−−

[ ]S D=

Equazioni letterali intere

Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla variabile indicata:

160) ( ) ( )3 5 2 4l k l k k+ − − = (var. l) 47

l k⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

161) ( ) ( )3 5 2 4l k l k k+ − − = (var. k)

74

k l⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

162) 2 3bc c+ = (var. b)

{ } { } { }3 20 S ; 0 Scc cc

⎡ ⎤−∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦Q

163) 2 3bc c+ = (var. c)

{ } { } { }23 S ; 3 S3

b bb

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦Q

164) ( )1 2a h h+ = + (var. h)

{ } { } { }21 S ; 1 S1aa a

a⎡ ⎤−∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦

Q

165) ( )1 2a h h+ = + (var. a)

{ } { } { }21 S ; 1 S1

hh hh

⎡ ⎤+∈ − − ⇒ = ∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥+⎣ ⎦Q

166) ( )3 2 ( 3)k m m k+ = + (var. k) { } { } { }63 S ; 3 S3

mm mm

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦Q

167) ( )3 2 ( 3)k m m k+ = + (var. m) { } { } { }36 S ; 6 S6

kk kk

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = ∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥+⎣ ⎦Q

168) ( ) ( )2 3 1 2 3 2b s s b s− − + = − (var. b)

{ } { } { }1 1S 1 ; S2 2

s s⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦Q Q

169) ( ) ( )2 3 1 2 3 2b s s b s− − + = − (var. s)

{ } { } { }11 S ; 1 S2

b b⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦Q Q

58

170) 3shv =

(var. s)

{ } { } { }30 S ; 0 Svh h

h⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

171) 3shv =

(var. h)

{ } { } { }30 S ; 0 Svs s

s⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

172) 2

bhs =

(var. h) { } { } { }20 S ; 0 Ssb bb

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦Q

173) 2

bhs =

(var. b) { } { } { }20 S ; 0 Ssh hh

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦Q

174) ( )2

a b hs

+=

(var. a)

{ } { } { }20 S ; 0 Ssh b h

h⎡ ⎤∈ − ⇒ = − ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

175) ( )2

a b hs

+=

(var. b) { } { } { }20 S ; 0 Ssh a h

h⎡ ⎤∈ − ⇒ = − ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

176) ( )2

a b hs

+=

(var. h) { }2S ; Ssa b h a b

a b⎡ ⎤≠ − ⇒ = = − ⇒ = ∅⎢ ⎥+⎣ ⎦


177) ( ) ( )21 3k x kx x kx+ − = − { } { } { }2 S 0 ; 2 Sk k⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎣ ⎦Q Q

178) ( ) ( ) ( ) ( )5 3 2 1 7 4 2 1a y y a a a a+ − − = + + − { } { } { }2 S 2 ; 2 Sa a k⎡ ⎤∈ − − ⇒ = − ∈ − ⇒ =⎣ ⎦Q Q

179) ( ) ( )( )2 2 2 1 2 3 3 4b z z b b z− + − − = − −

{ } { }{ }{ }

25,1 S ;5

5 S ;

1 S

bbb

b

b

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥+⎢ ⎥∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥

⎢ ⎥∈ ⇒ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

Q

180) ( ) ( ) ( )21 3 2 6m x m x m x+ − − = − { } { } { }61 S ; 1 S1

mm mm

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥−⎣ ⎦Q Q

181) ( )( ) ( )( )2 2 3 2y c y c y c y− + = − + { } ( ) { }2 2 32 2S ; S3 3 2 3

c cc c

c⎡ ⎤⎧ ⎫−

∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦Q

182) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 4 3k x x k k a− − − = − { } { } { }1 1S ; S D2 2

k k k⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦Q

183) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 2a a z a z a z a z z− + + + − = + − { } { }

{ }

22 S 3 2 ;

2 S D

a a a

a

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = + − ⎢ ⎥⎢ ⎥∈ − ⇒ =⎣ ⎦

Q

59

184) ( ) ( ) ( )( )2 23 2 2 2 7 3 1 6x h h h x h h x− + + − = − − +

{ } { }{ }{ }

1 2 1,3 S ;4 4 1

1 S ;43 S

hhh

h

h

⎡ ⎤−∈ − ⇒ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

Q

185) 21 1

2z z

a a+ −=

{ } { }{ }{ }

1 1 20, S ;2 1 2

1 S ;20 l'equazione perde significato

aaa

a

a

⎡ ⎤+∈ − ⇒ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

186) ( ) ( ) ( )22 2 12 2 2 32

bx b b b b x b x x b⎛ ⎞− − + + + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

{ } { }{ }{ }

2 11,0,1 S ;2 1

1 S ;

1,0 S D

bbb

b

b

⎡ ⎤+∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥

⎢ ⎥∈ − ⇒ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

187) 3 22 3

z z zm m

− − =−

{ } { }{ }{ }

290, 2,3, 4 S ;

123, 4 S ;

0, 2 l'equazione perde significato

mmm m

m

m

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = − ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥

⎢ ⎥∈ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

188) ( ) ( )3 25 3 1 5c z c z a cz− − − = −

{ } ( )

{ }{ }

2

2

5 110, ,1 S ;2 2

10, S ;2

1 S D

c cc

c c

c

c

⎡ ⎤⎧ ⎫+ +⎪ ⎪⎢ ⎥∈ − ⇒ = ⎨ ⎬−⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

189) ( ) ( ) ( )( )k y b b k y k b k b+ − − = − + { }S ; S Dk b k b k b⎡ ⎤≠ − ⇒ = − = − ⇒ =⎣ ⎦

190) ( ) ( )2 1r x p x p r+ + − = + 2S ; Sp rr p r pp r

⎡ ⎤⎧ ⎫−≠ − ⇒ = = − ⇒ = ∅⎨ ⎬⎢ ⎥+⎩ ⎭⎣ ⎦

191) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 2 1 2 1 3 1 2 2ax ax ax a x x a− − + − = − − −

{ } { } { }2 2S 1 ; S D3 3

a a⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦Q

60

192) ( )( ) ( )( )2

3 2 2

1 2 1 1 2 1 41 2 1 1

x h h x hh h h h

− − + + −− =

+ − + −

{ } { }{ }{ }

11,0,1 S ;2

0 S ;

1,1 l'equazione perde significato

hh

h

h

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

193) ( ) ( ) ( )( )25 2 4 2 2 3 3 2z m m z m z z+ − + = + − { } { }

{ }5 15S ;

16 5 165 S

16

mmm

m

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

194) ( )( )2 2

1 33 3 y a by ya b a b a b

+ −−+ =− + −

( )2 2 35( ) S ;3 3 5

5 S ;3l'equazione perde significato

a ba b a b

a b

a b

a b

⎡ ⎤⎧ ⎫−≠ ± ∧ ≠ − ⇒ = ⎢ ⎥⎨ ⎬+⎢ ⎩ ⎭ ⎥

⎢ ⎥ = − ⇒ = ∅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ = ± ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

195) 2 2 02 4

z kzm k m k

− =+ −

{ }( 2 ) S 0 ;S D;

2 l'equazione perde significato

k m k mk mk m

⎡ ⎤≠ ± ∧ ≠ ⇒ = ⎢ ⎥

= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥= ± ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

196) 22 3

1 2 2x h h x xh h h h

+ −− =+ − − −

{ } ( )

{ }{ }

2 541,2, S ;3 3 4

4 S ;3

1,2 l'equazione perde significato

h hh

h

h

h

⎡ ⎤⎧ ⎫+∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎩ ⎭ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥∈ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

197) ( )3

11 1 4 3

y c y c y cc c c c yc c c

+ − +−⎛ ⎞+ ⋅ + = + +⎜ ⎟− +⎝ ⎠

{ } { }{ }{ }

41,0, S ;3 3 4

4 S ;31,0 l'equazione perde significato

ccc

c

c

⎡ ⎤∈ − ± − ⇒ = − ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥⎢ ⎥

∈ ± ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

198) 2

21 4 25 1

2 1 6 5 1 1 2 3 1z b b zb b b b b+ − −− = −− − + − −

{ } ( )( ){ }

{ }{ }

1 1 2, , S 5 2 3 1 ;3 2 5

2 S ;51 1, l'equazione perde significato3 2

b b b

b

b

⎡ ⎤∈ − ⇒ = + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

Q

61

199) 4 2 7

2 3 2 38 6 10 152 3

x k x kxk k

k kk

− −+− + =

− −+

{ } { }

{ }{ }

3 3 9, , S 5 ;2 4 22

9 S ;22

3 3, l'equazione perde significato2 4

k k

k

k

⎡ ⎤∈ − ± ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∈ ± ⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

Q

Equazioni letterali fratte


200) 2 13

sy y+ =

+ { } ( ) { }3 2

2, 1 S ; 2, 1 S1

ss s

s⎡ ⎤⎧ ⎫+

∈ − − − ⇒ = − ∈ − − ⇒ = ∅⎢ ⎥⎨ ⎬+⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦Q

201) ( )231 2

k xkxx x

−− =− +

{ } ( ) { }2 33 30, ,3 S ; 0, ,3 S5 5 3 5

kk k

k⎡ ⎤⎧ ⎫+

∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

Q

202) ( )4 1 2 11

z mz

+ = +−

{ } { } { }3 2 1 3S ; S2 2 3 2

mm mm

⎡ ⎤−∈ − − ⇒ = − ∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥+⎣ ⎦Q

203) 2

22 1 32 2 1

z z b bz z z z

− +− =− −

{ } { } { }1 1S 1 ; S D3 3

b b⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦Q

204) 2 33 3 2 5

1 1 1x k k

x x x x− +− =

+ − + + { } ( ) { }23,4 S ; 3,4 S

2 3kk k

k

⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪−∈ − ⇒ = − ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥⎨ ⎬−⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦Q

205) ( ) ( )2

2

2 122 3 4 9 2 3

m y y myy y y

+ −− =

− − + { } { } { }3 3 6 3 3, S ; , S

2 10 3 10 2 10mm m

m⎡ ⎤∈ − ± ⇒ = ∈ ± ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦

Q

206) ( )2 22

2

21 32 4 2 8

g z g zg g zz z z z

− ++ +− =− + + −

{ } ( ) { }2 3 21 11, , 4 S ; 1, , 4 S4 1 4

gg g

g⎡ ⎤⎧ ⎫+

∈ − − − ⇒ = ∈ − − ⇒ = ∅⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦Q

207) ( ) ( )( ) 2

2 2

1 3 2 1 3 3 11 2 2 1 1

a ax a x a x a xx x x x

− + − + − −+ = −− − + −

{ } { } { }17 9 3 8 17 91, , S ; 1, , S5 2 2 9 5 2

aa aa

⎡ ⎤−∈ − − ⇒ = ∈ − ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦Q

208) 2 13 3 3

z h hz h z h

+ = +− −

{ } { } { }0 S ; 0 Sh h h⎡ ⎤∈ − ⇒ = − ∈ ⇒ = ∅⎣ ⎦Q

209) 1 1 2 22 2x a a x a a

+ − =+ + + +

{ } ( ){ }

{ }2 S 2 1 ;


a a

a

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = − + ⎢ ⎥

∈ − ⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

62

210) ( )( )2 2

21 02

y y byb y y by b

+ −− − =+ + +

{ } { } { }3 30, , 2 S ; 0, , 2 S2 3 2 2

bb bb

⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦Q

211) 2

2 22 1

2 2h h

z h z h z hz h−− = −

+ − − − { } { } { }3 30, ,3,6 S ; 0, ,3,6 S

2 3 2hh h

h⎡ ⎤∈ − ⇒ = ∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥−⎣ ⎦

Q

212) ( )2

2 2 412 2 2 2

y y b by by b y y b y y y b b

⎛ ⎞⎛ ⎞− −− = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + + + +⎝ ⎠⎝ ⎠

{ } { }{ }{ }

1,0 S 1 ;

0 S D;

1 S

b

b

b

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥

∈ ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥∈ − ⇒ = ∅⎣ ⎦

Q

213) 2 24 2 2 2

m mm x mx x x m

+ = −+ + + + +

{ } { }{ }{ }

2,0,1, 2 S ;1

0,1, 2 S ;


mmm

m

m

⎡ ⎤∈ − − ⇒ = ⎢ ⎥−⎢ ⎥∈ ⇒ = ∅⎢ ⎥

⎢ ⎥∈ − ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

Equazioni di grado superiore al primo


214) 25 2 0x x− = { }5S 0,2

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

215) 24 09

z− =

{ }2S3

⎡ ⎤= ±⎢ ⎥⎣ ⎦

216) 2 5 14 0a a+ − = { }S 7,2⎡ ⎤= −⎣ ⎦

217) 24 9 12 0k k+ − = { }3S2

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

218) 26 7 5 0t t+ − = { }5 1S ,3 2

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

219) 3 23 3 0h h h+ − − = { }S 1, 3⎡ ⎤= ± −⎣ ⎦

220) ( )( )2 1 2 2m m− − = { }5S 0,2

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

221) ( )( ) ( )7 5 2 9 1 2s s s− − = − [S = ∅]

222) ( )( )23 6 5 2 1 2c c c c− − = − − { }S 3⎡ ⎤= ±⎣ ⎦

223) 4 3 24 4 0m m m− + = { }S 0, 2⎡ ⎤=⎣ ⎦

224) ( ) ( )( ) ( )( )22 5 4 1 3 2 3 3 2 7y y y y y y+ − + + = + − + + { }S 3,2⎡ ⎤= −⎣ ⎦

63

225) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 5 2 3 4 4 2 3x x x x x+ + = + − − { }1S

2⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

226) 4 24 8 4 0z z− + = { }S 1⎡ ⎤= ±⎣ ⎦

227) 4 36 24 16 0t t t− + + = { }S 1,4⎡ ⎤= −⎣ ⎦

228) 22 3 17 30

1 1 1p pp p p

− ++ =+ − −

{ }2S 5,3

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

229) ( )( )2

2 35 2 14 2 8

r rr rr r r r

+ +− +− =− −

{ }2S 1,3

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Determina l’insieme soluzione delle seguenti equazioni (esempi pag. 35 – 36) :

230) 2 3 0 ;a + =

4 2 0b b+ = { }S ; S 0⎡ ⎤= ∅ =⎣ ⎦

231) 4 2 ;z y− − = 1 4 23 2 2 1m m+ + = [ ]S ; S= ∅ = ∅

232) 29 4 0 ;s + = 6 25 9 2t z+ = − [ ]S ; S= ∅ = ∅

233) ( )2 2 1 0 ;x x + = ( )2 2 3 2k k + = − { }S 0 ;S⎡ ⎤= = ∅⎣ ⎦

234) 4 2 5 0 ;t y+ + = 2 2

5 02

z k+ + =

[ ]S ; S= ∅ = ∅

235) 1 0 ;a + = 2 2 0h − + = [ ]S ; S= ∅ = ∅

236) 1 4 2 0 ;z z+ + − + = 2

23 01

yy

+ =+

[ ]S ; S= ∅ = ∅

237) 2

31;

aa−

= − 22 1 0k − = { }S ; S 1⎡ ⎤= ∅ = ±⎣ ⎦

238) 4 6

02 3

b a+ ++ = [S = ∅]

239) 4 2

02 3

b b+ −⋅ = { }S 4, 2⎡ ⎤= −⎣ ⎦

240) 4 23 4 0m m− − = { }S 2⎡ ⎤= ±⎣ ⎦

241) 4 3 22 2 2 1 0k k k k+ + + + = { }S 1⎡ ⎤= −⎣ ⎦

242) 5 42 16 32 0a a a− − + = { }S 2⎡ ⎤= ±⎣ ⎦

243) 3 22 10 7 35 0t t t− + − = { }S 5⎡ ⎤=⎣ ⎦

64

Problemi

Esempi

1) Due numeri dispari consecutivi sono tali che aggiungendo al maggiore il doppio del minore si

ottiene 107. Quali sono i due numeri?

Risolviamo il problema schematizzando i passaggi da seguire (teoria, pag. 38).

1. Individuare la richiesta del problema → Due numeri dispari consecutivi

2. Assegnare incognita → 1° numero dispari: 2n + 1

2° numero dispari: 2n + 3

3. Porre condizioni accettabilità → n ∈ N

4. Scrivere altri elementi in funzione di n → il doppio del minore: 2(2n + 1)


Somma del maggiore con il doppio del minore:

2n + 3 + 2(2n + 1)

Questa somma deve essere uguale a 107:

2n + 3 + 2(2n + 1) = 107

6. Risolvere l’equazione → 2 3 4 2 107n n+ + + = ⇒ 6 5 107n + = ⇒

⇒ 6 102n = ⇒ 1026

n = ⇒ 17n =

7. Controllare accettabilità della

soluzione → 17 ∈ N, quindi, la soluzione è accettabile

8. Scrivere insieme soluzione o risposta → 1° numero dispari: ⋅ = =2 17 +1 34 +1 35

2° numero dispari: ⋅ = =2 17 + 3 34 + 3 37

2) La somma di due numeri interi, tali che la metà del maggiore è uguale al triplo del minore, è 301.

Quali sono i due numeri?

Risolviamo il problema schematizzando i passaggi da seguire (teoria, pag. 38).

1. Individuare la richiesta del problema → Due numeri interi la cui somma è 301

2. Assegnare incognita → numero intero maggiore: a

3. Porre condizioni accettabilità → a ∈ Z

4. Scrivere altri elementi in funzione di a →

numero intero minore: 301 − a

metà del maggiore: 2a

triplo del minore: ( )3 301 a−

65

5. Impostare equazione risolvente → Metà del maggiore uguale triplo del minore:

( )= 3 3012a a−

6. Risolvere l’equazione → ( )6 301a a= − ⇒ 1806 6a a= − ⇒

⇒ 7 1806a = ⇒ 18067

a = ⇒ 258a =


soluzione → 258 ∈ Z, quindi, la soluzione è accettabile

8. Scrivere insieme soluzione o risposta → numero maggiore: 258

numero minore: 301 – 258 = 43

3) Un numero naturale di due cifre è tale che la cifra delle decine è la metà di quella delle unità; la

differenza fra il doppio del numero e quello che si ottiene scambiando fra loro le due cifre è 9.

Qual è il numero?

1. Individuare la richiesta del problema → Le cifre del numero naturale

2. Assegnare incognita → Cifra delle decine: d

Cifra delle unità: 2d

3. Porre condizioni accettabilità → d ∈ N ∧ 0 ≤ d ≤ 9

4. Scrivere altri elementi in funzione di n → Numero di due cifre: 10d + 2d

Numero con le cifre scambiate: 10 2d d⋅ +


Differenza fra il doppio del numero e quello

con le cifre scambiate:

2(10d + 2d) – (10 ⋅ 2d + d)

Questa differenza deve essere uguale a 9:

2(10d + 2d) – (10 ⋅ 2d + d) = 9

6. Risolvere l’equazione → 2(10d + 2d) – (10 ⋅ 2d + d) = 9 ⇒

⇒ 24d – 21d = 9 ⇒ 3d = 9 ⇒ d = 3


soluzione → 3 ∈ N , ∧ 0 ≤ d ≤ 9 quindi, la soluzione è

accettabile

8. Scrivere insieme soluzione o risposta → Cifra delle decine: 3; Cifra delle unità: 6; Il numero richiesto è 36.

66

Formalizza con i simboli della matematica i seguenti quesiti e, successivamente, determina la loro

soluzione:

244) Aggiungendo ad un numero 4 si ottiene 5. Qual è questo numero? [1]

245) Se da un numero si sottrae 21 si ottiene 11. Qual è il numero? [32]

246) La somma di due numeri consecutivi è 111; quali sono i due numeri? [55; 56]

247) La somma di due numeri naturali consecutivi pari è 298. Quali sono i due numeri? [148; 150]

248) Tre numeri naturali consecutivi sono tali che il triplo del minore è uguale alla somma degli altri due. Quali sono i tre numeri? [3; 4; 5]

249) La somma di quattro numeri dispari consecutivi è 56; quali sono i quattro numeri? [11; 13; 15; 17]

250) Se al doppio di un numero si aggiunge 5 si ottiene il triplo del numero stesso aumentato di 3.

Qual è il numero? [2]

251) Marta e Lucia vogliono fare un regalo a Valeria e mettono insieme i loro risparmi: 120 €.

Marta si accorge che la quarta parte dei suoi risparmi è uguale alla sesta parte dei risparmi di

Lucia. Qual è la parte messa da Lucia? [72]

252) Il triplo di un numero aumentato della sua quarta parte è uguale al numero stesso aumentato di

27. Qual è il numero? [12]

253) La somma di un numero con il suo quadruplo è 115. Qual è questo numero? [23]

254) Qual è quel numero che sommato alla sua metà ed alla sua terza parte dà 220? [ ]120

255) La differenza fra un numero e la terza parte del suo consecutivo è 7. Qual è il numero? [ ]11

256) Quattro numeri consecutivi sono tali che la somma fra il doppio del primo e il triplo del

secondo è uguale alla differenza fra il maggiore moltiplicato per 5 ed il triplo del terzo. Quali

sono i quattro numeri? [2; 3; 4; 5]

257) La somma dei 45

di un numero con i suoi 54

è 41. Qual è questo numero? [ ]20

258) La differenza fra due numeri è 12; la somma fra la terza parte del maggiore con la metà del

minore è uguale al numero più piccolo. Quali sono i due numeri? [ ]24; 36

67

259) La somma di due numeri interi, tali che il doppio di uno è uguale al triplo dell’altro, è 340.

Quali sono i due numeri? [136; 204]

260) Due urne contengono in tutto 4000 palline. Se si aggiunge alla seconda urna la sesta parte

delle palline della prima urna i due recipienti hanno lo stesso numero di palline. Come sono

distribuite, inizialmente, le palline nelle due urne? [2400; 1600]

261) Giulio, Teresa e Marco si dividono 200 € in modo che Giulio ne abbia il doppio di Teresa e

Teresa il triplo di Marco. Quanto riceverà ciascuno di loro? [ ]120;60;20

262) Nonna Ada regala ai suoi quattro nipotini, Clara, Marco, Giorgia e Luca, 120 caramelle

dividendole in modo che Clara ne riceva il triplo di Marco, Giorgia ne riceva 10 in più del

doppio di Clara e Luca ne riceva la stessa quantità di Marco. Quante caramelle riceve

ciascuno dei nipotini di nonna Ada? [ ]30;10; 70;10

263) Mario ha 41 anni e sua figlia Giulia ne ha 5. Fra quanti anni l’età di Mario sarà quattro volte

quella di Giulia? [ ]7

264) La somma di due segmenti misura 180 cm ed un segmento è i 37

dell’altro. Qual è la

lunghezza di ciascuno dei due segmenti? [54; 126]

265) In un parcheggio sono presenti 40 mezzi fra biciclette e automobili e, in totale, ci sono 136

ruote. Quante sono le biciclette e quante sono le automobili? [12; 28]

266) Un negoziante ha venduto 650 confezioni contenenti 12 oppure 16 bottiglie di birra. Sapendo

che le confezioni da 12 bottiglie vendute sono state il quadruplo di quelle da 16, quante

confezioni da 12 bottiglie sono state vendute? [520]

267) Due numeri interi sono uno i 45

dell’altro e la loro somma è 90; quali sono i due numeri?

[40; 50]

268) Luca vuol sistemare tutti i suoi libri sui tre ripiani della libreria. Riponendo i 38

dei libri sul

primo ripiano e i 512

sul secondo, ne rimangono 30 da sistemare sul terzo ripiano; se, invece,

ne ripone 14

sul primo ripiano e i 724

sul secondo, il terzo ripiano ne conterrà 66. Quanti sono

i libri di Luca? [ ]144

269) La differenza fra il doppio dei quadrati di due numeri naturali consecutivi è 70. Quali sono i

due numeri? [17; 18]

270) Due amici si dividono 117 figurine in modo che uno ne abbia gli 85

dell’altro. Quante figurine

ha ciascuno di essi? [45; 72]

68

271) Mat, Geo, Tecno sono tre squadre che partecipano al campionato di pallavolo. I punti totali, in

classifica, delle tre squadre sono 39, inoltre Geo ha il doppio dei punti di Mat e Tecno ha i 23

dei punti di Geo. Quanti punti ha, in classifica, ciascuna delle tre squadre ? [9; 18; 12]

272) Se si aggiunge 35 al quadrato del più piccolo di tre numeri consecutivi, si ottiene il prodotto

degli altri due. Quali sono i tre numeri? [11; 12; 13]

273) Un numero naturale di due cifre è tale che la cifra delle unità è la metà di quella delle decine;

se ad esso aggiungiamo il numero ottenuto scambiando fra loro le due cifre, si ottiene 132.

Qual è il numero? [84]

274) In un’aia ci sono galline e gatti per un totale di 29 teste e 76 zampe. Quante sono le galline e

quanti sono i gatti? [20; 9]

275) Nello scorso anno scolastico i 67

degli alunni della 2A sono stati promossi; la quarta parte dei

rimanenti alunni è stata bocciata, mentre 3 alunni hanno deciso di cambiare indirizzo di

studio. Da quanti alunni è formata quest’anno la 3A? [24]

276) La somma di due numeri naturali è 13 ed il loro prodotto è 40. Quali sono i due numeri?

[5; 8]

277) Un numero naturale di tre cifre è tale che la cifra delle centinaia è il triplo di quella delle

decine e quella delle decine è la metà di quella delle unità. La metà del numero che si ottiene

scambiando la cifra delle centinaia con quella delle decine è 213. Qual è il numero? [624]

278) Ad un corso di musica, ieri i presenti erano 45

degli iscritti ed oggi, presentandosi due

persone in più di ieri, sono presenti i 67

degli iscritti. Quanti sono gli iscritti al corso di

musica? [ ]35

279) Se al prodotto di due numeri dispari consecutivi si sottrae 27 si ottiene il quadrato del numero

che precede il più piccolo dei due numeri dispari. Quali sono i due numeri? [ ]7; 9

280) In una classe, il numero delle ragazze è il triplo di quello dei ragazzi. Se le ragazze fossero 20

di meno il loro numero sarebbe la metà di quello dei ragazzi. Qual è il numero delle ragazze?

[ ]24 281) La cifra delle unità di un numero naturale di due cifre è uguale a quella delle decine diminuita

di 2; inoltre questo numero è il triplo del numero che si ottiene sottraendo 32 al numero

ottenuto scambiando le due cifre. Qual è il numero? [75]

69

282) Su uno scuolabus ci sono ragazzi e ragazze ed il numero delle ragazze è doppio di quelle dei

ragazzi. Se ci fossero 10 ragazze in meno, il loro numero sarebbe la terza parte di quello dei

ragazzi. Qual è il numero dei ragazzi e quale quello delle ragazze? [6; 12]

283) Un gruppo di persone, prima di iniziare la giornata lavorativa, è solito ritrovarsi al bar per fare

colazione. Se il gruppo è al completo ciascuno spende 3€; se mancano 5 persone il contributo

di ciascuno viene aumentato del 20%. Quante sono le persone del gruppo? [30]

284) In un numero palindromo n di tre cifre, la somma delle due cifre distinte è 8. La differenza

fra il numero palindromo che si ottiene scambiando fra loro le cifre distinte e 33 è il

quadruplo del numero n. Qual è il numero n? (Un numero si dice palindromo se leggendolo

da sinistra verso destra e viceversa esso non cambia). [171]

285) Se si divide la somma fra il doppio di un numero e 5 per la differenza fra il numero stesso e

10 si ottiene una frazione equivalente a 35

. Qual è il numero? [1]

286) La somma di due numeri è 50 ed il loro rapporto è equivalente a 37

; quali sono i due numeri?

[15, 35] 287) La somma fra il numeratore e il denominatore di una frazione è 15. Se al numeratore si

aggiunge 3 e al denominatore si sottrae 4 la frazione è equivalente ad 1. Quali sono il

numeratore e il denominatore della frazione? [4, 11]

288) Se al numeratore e al denominatore della frazione 2641

si sottrae uno stesso numero, la

frazione che si ottiene è equivalente a 47

; qual è questo numero? [6]

289) La differenza fra il numeratore e il denominatore di una frazione è 11. La frazione che si

ottiene sottraendo 10 dal triplo del numeratore e aggiungendo 3 al denominatore è equivalente

ad 1. Quali sono il numeratore ed il denominatore della frazione? [12, 23]

290) Un numero naturale di due cifre è tale che la cifra delle decine è uguale al doppio della cifra

delle unità diminuito di 3 ed il rapporto con il numero che si ottiene scambiando le due cifre è

equivalente a 65

. Qual è il numero? [54]

291) Il presidente di un’associazione è stato scelto fra due candidati A e B. Il candidato A ha

ottenuto il doppio dei voti di B. Tre membri dell’associazione hanno votato scheda bianca,

mentre ciascuno degli altri ha votato o solo per A o solo per B. In questo modo A ha ottenuto

il 64% dei voti possibili. Da quanti membri è composta l’associazione? [75]

[Kangourou, 2010]

70

292) Pietro e Paolo festeggiano il loro onomastico in pizzeria con i loro amici. Alla fine della cena

il conto viene diviso in parti uguali tra tutti i presenti e ciascuno dovrebbe pagare 12 Euro.

Con grande generosità però, gli amici decidono di offrire la cena a Pietro e a Paolo; il conto

viene nuovamente diviso in parti uguali tra gli amici di Pietro e Paolo (cioè tutti i presenti

esclusi Pietro e Paolo), e ciascuno di loro paga 16 Euro. Quanti sono gli amici di Pietro e

Paolo?

a) 6, b) 8, c) 10, d) 12, e) 16

[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2008]

293) Un giornale costa 0,90 Euro; a chi lo acquista viene offerto un supplemento facoltativo del

costo di 1,50 Euro. A fine giornata sono state vendute 333 copie del giornale e l’incasso

complessivo della vendita del giornale e dei relativi supplementi è stato di 539,70 Euro.

Quanti supplementi sono stati acquistati?

a) meno di 66, b) più di 67 e meno di 132, c) più di 133 e meno di 200,

d) più di 201 e meno di 266, e) più di 266.


294) Un secchio pieno di sabbia pesa complessivamente 9 kg, riempito per metà di sabbia pesa 5

kg. Quanto pesa il secchio vuoto?

a) 0,5 kg b) 1 kg c) 2 kg

d) 2,5 kg e) il peso del secchio non può essere determinato.


295) Carlo e Dario si sono sottoposti ad uno stesso test; Carlo ha totalizzato l’85% dei punti

disponibili, Dario il 90%. In questo modo Carlo ha totalizzato un punto in meno di Dario.

Quanti erano i punti disponibili?

a) 20; b) 18; c) 17; d) 5; e) 25

[Kangourou, 2010]

296) I quattro cavalieri dell’Apocalisse, Carestia, Guerra, Morte e Inquinamento, stanno per

mangiare insieme quando Morte si accorge di non avere soldi. Gli altri decidono di dargli

ciascuno la stessa somma di denaro. Carestia dà, così, 15

di quello che aveva in tasca, Guerra

gli dà 14

del denaro che ha in tasca e Inquinamento gli dà 13

di quanto ne aveva lui. Dopo

aver pagato ciascuno il proprio pasto si accorgono di essere stati fortunati perché sono rimasti

tutti senza soldi. Quello che ha pagato di meno tra i quattro ha pagato € 6.80. Quanto è costato

il pasto più caro? [€ 13.60]

[Coppa Fermat 2008]

71

297) Paolo ha acquistato un oggetto ottenendo lo sconto del 15% sul prezzo originale e lo ha

pagato € 106,25. Qual era il prezzo originale?

a) meno di €123; b) € 124; c) € 125; d) € 127; e) meno di € 128


Problemi di geometria

298) Due segmenti AB e CD sono tale che AB = 45

CD e la somma delle loro lunghezze è 18 cm.

Qual è la lunghezza di ciascuno dei due segmenti? [ ]8 cm; 10 cm

299) Due segmenti ST e MP sono tale che ST = 34

MP e la differenza fra le loro lunghezze è 8 cm.

Qual è la lunghezza di ciascuno dei due segmenti? [ ]24 cm; cm 32

300) Due segmenti DE e FH sono tale che DE = 85

FH e la differenza fra le loro lunghezze è 39 cm.


301) Due segmenti FG e KM sono tale che FG = 83

KM e la somma delle loro lunghezze è 22 cm.


302) Uno steccato è formato da cinque tratti rettilinei; il secondo tratto è i 23

del primo, il terzo

tratto è i 34

del primo, il quarto tratto è 16

del primo e il quinto tratto è 13

del primo. Se la

lunghezza totale dello steccato misura 35 cm, quanto misura il primo tratto? [ ]12 cm

303) Il perimetro di un rettangolo misura 20 cm ed una dimensione è i 23

dell’altra. Qual è l’area

del rettangolo? [24 cm2]

304) Un quadrato è equivalente ad un rettangolo il cui perimetro misura 98 cm ed una dimensione

è i 43

dell’altra. Qual è l’area del quadrato? [588 cm2]

305) L’area di un rettangolo misura 60 cm2 ed una dimensione è i 35

dell’altra; qual è il suo

perimetro? [ ]32 cm

306) Due angoli complementari sono tali che il triplo di uno diminuito di 10° è il doppio dell’altro.

Qual è l’ampiezza di ciascuno dei due angoli? [38° ; 52°]

72

307) La somma di tre angoli è congruente ad un angolo piatto; il primo angolo è triplo del secondo

ed il terzo è la metà del secondo. Qual è l’ampiezza di ciascuno dei tre angoli?

[120°; 40°; 20°]

308) L’angolo al vertice di un triangolo isoscele è il triplo di ciascuno degli angoli alla base.

Qual è l’ ampiezza di ciascuno degli angoli del triangolo? [108° ; 36°]

309) Uno degli angoli interni di un triangolo è i 1317

dell’angolo esterno adiacente ad esso; gli altri

due angoli sono tali che se si aggiungono 18° alla terza parte di uno si ottiene l’ampiezza

dell’altro angolo. Quali sono le ampiezze degli angoli del triangolo? [ ]78 ; 63 ; 39° ° °

310) Due dei quattro angoli interni di un quadrilatero sono uno i 57

dell’altro; gli altri due angoli

interni, congruenti fra loro, sono i 1033

del più piccolo degli altri due angoli. Qual è l’ampiezza

del maggiore degli angoli del quadrilatero? [132°]

311) La somma delle lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo misura 144 cm ed uno è i 75

dell’altro. Qual è l’area del triangolo rettangolo? 22520 cm⎡ ⎤ ⎣ ⎦

312) Il lato obliquo e l’altezza di un trapezio isoscele misurano, rispettivamente, 13 cm e 12 cm e

la base minore è i 23

della base maggiore. Sapendo che il rapporto fra il perimetro e l’area del

trapezio è 1975

, determina il perimetro del trapezio. [56 cm]

313) Le dimensioni di un rettangolo sono una i 45

dell’altra e la differenza fra i 37

del lato

maggiore e la quarta parte del lato minore misura 8 dm. Qual è la misura dell’area del

rettangolo? [980 dm2]

314) Il perimetro di un parallelogramma misura 240 cm e la somma fra i 34

del lato maggiore e

con i 58

del lato minore misura 832 cm. Qual è la misura dei lati del parallelogramma?

[64 cm; 56 cm]

315) L’area del rettangolo FGKL misura 2100 cm2 e il lato FG è i 73

del lato GK. Determina la

posizione, sul lato FG, del punto P tale che il rapporto fra le aree del triangolo FML e del

trapezio MGKL sia 325

. FM 15cm⎡ ⎤=⎣ ⎦

73

316) Il raggio di una circonferenza è uguale al più piccolo dei due numeri tali che la loro somma è

20 cm ed uno è 19

dell’altro. Qual è la lunghezza della circonferenza? [4π cm]

Per risolvere i seguenti problemi è necessario utilizzare il Teorema di Pitagora.

317) Determina il perimetro di un trapezio isoscele sapendo che l’altezza misura 12 cm, la somma

delle basi misura 30 cm e la base minore è metà della base maggiore. [ ]56 cm

318) Determina il perimetro di un trapezio rettangolo sapendo che l’altezza misura 3 cm, la somma

delle basi misura 12 cm e la base minore è metà della base maggiore. [ ]20 cm

319) Determina il perimetro di un trapezio isoscele sapendo che l’altezza misura 12 cm, la somma

delle basi misura 30 cm e la base minore è 14

della base maggiore. [ ]60 cm

320) Il lato di un quadrato è congruente alla diagonale di un rettangolo il cui perimetro misura 98

cm ed una dimensione è i 940

dell’altra. Quanto misura il perimetro del quadrato? [164 cm]

321) Le diagonali di un rombo sono una i 73

dell’altra e la loro somma misura 60 cm. Quanto

misura il suo perimetro? (Approssima il risultato alla prima cifra decimale) [ ]cm91,2

322) L’altezza di un trapezio rettangolo misura 60 cm , la base minore è i 23

della base maggiore e

la loro somma misura 55 cm. Quanto misura il perimetro del trapezio? [ ]176 cm

323) I cateti di un triangolo rettangolo sono uno i 1663

dell’altro e la loro somma misura 79 cm.

Quanto misura il perimetro del quadrato costruito sull’ipotenusa del triangolo rettangolo?

[ ]260 cm

324) La differenza fra i due cateti di un triangolo rettangolo misura 3 cm; il cateto maggiore è i 45

dell’ipotenusa e la loro somma misura 27 cm. Qual è la misura dell’area del triangolo e quella

del cateto minore? Qual è la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa?

2cm ; 9 cm; 7, 2 cm⎡ ⎤54 ⎣ ⎦

325) Le diagonali di un rombo sono una i 34

dell’altra e la somma fra i 47

della diagonale minore

con i 914

della diagonale maggiore misura 120 cm. Qual è la misura del perimetro del rombo?

[280 cm]

74

CAPITOLO 10

DISEQUAZIONI

10.1 Disequazioni

Ricordiamo che:

• si chiama disuguaglianza una scrittura nella quale, fra due espressioni numeriche, compare il

simbolo “ ≠ ” oppure i simboli “>”, “<”, “≥”, “≤”.

Oppure, nel linguaggio della Logica:

• si chiama disuguaglianza una proposizione nella quale il predicato è “essere diverso”,

oppure “essere maggiore”, “essere minore”, “essere maggiore o uguale”, “essere minore

o uguale”. Consideriamo, adesso, le seguenti proposizioni:

a) Se si aggiunge 4 al triplo di un numero si ottiene un numero maggiore di 25.

b) Il quadrato di un numero è minore di 9.

c) Il quadrato di un numero è maggiore di −2.

d) Il prodotto di due numeri è maggiore o uguale alla loro differenza.

Formalizziamo, con i simboli della Matematica, le proposizioni proposte.

a) Indicato con x il numero da determinare (ovviamente può essere usata una qualsiasi lettera

dell’alfabeto), il suo triplo è 3x; si ottiene:

3 4 25x + > , x ∈ Q.

b) Indicato con x il numero da determinare, il suo quadrato è x2; si ottiene:

x2 < 9, x ∈ Q.

c) Indicato con x il numero da determinare, il suo quadrato è x2; si ottiene:

x2 > −2, x ∈ Q.

d) Indicati con x e y i numeri da determinare, il loro prodotto è xy e la loro differenza è x – y;

si ottiene:

xy ≥ x – y, (x, y) ∈ Q2.

Nella formalizzazione delle precedenti proposizioni sono stati utilizzati i simboli “>”, “<” e “≥”;

però almeno una delle espressioni che compare prima o dopo il segno di “>” o “<” o “≥” è

un’espressione letterale: esse prendono il nome di disequazioni.

Le espressioni che precedono e seguono i simboli di disuguaglianza si chiamano, rispettivamente,

primo e secondo membro della disequazione.

75

Proviamo a dare una risposta ai problemi proposti.

a) 3 4 25x + > , x ∈ Q

Assegniamo ad x alcuni valori e stabiliamo se la disuguaglianza ottenuta è vera o falsa:

• x = −2 ⇒ ( )3 2 4 25⋅ − + > ⇒ −2 > 25 FALSA

• x = 3 ⇒ 3 3 4 25⋅ + > ⇒ 13 > 25 FALSA

• x = 7 ⇒ 3 7 4 25⋅ + > ⇒ 25 > 25 FALSA

• x = 8 ⇒ 3 8 4 25⋅ + > ⇒ 28 > 25 VERA

• x = 10 ⇒ 3 10 4 25⋅ + > ⇒ 34 > 25 VERA

• x = 12 ⇒ 3 12 4 25⋅ + > ⇒ 40 > 25 VERA

E’ facile, a questo punto, capire che qualsiasi valore > 7 rende vera la disuguaglianza.

La proposizione, dunque, per alcuni valori di x (tutti i valori ≤ 7) è falsa e per altri (tutti i

valori > 7) è vera.

Il problema non ha una sola soluzione, ma ha infinite soluzioni.

b) x2 < 9, x ∈ Q

Assegniamo ad x alcuni valori e stabiliamo se la disuguaglianza ottenuta è vera o falsa:

• x = −4 ⇒ ( )24 9− < ⇒ 16 < 9 FALSA

• x = −3 ⇒ ( )23 9− < ⇒ 9 < 9 FALSA

• x = 94

− ⇒ 29 9

4⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 81 916

< VERA

• x = 1 ⇒ 21 9< ⇒ 1 < 9 VERA

• x = 2 ⇒ 22 9< ⇒ 4 < 9 VERA

• x = 3 ⇒ 23 9< ⇒ 9 < 9 FALSA

• x = 72

⇒ 27 9

2⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 49 94

< FALSA

Con qualche altro tentativo, “ti accorgerai” che si ottiene una disuguaglianza vera se attribuiamo

ad x valori compresi fra −3 e 3. Esistono, dunque, dei numeri razionali per i quali la

disuguaglianza è vera ed altri per i quali è falsa. Anche questo problema non ha una sola

soluzione, ma ha infinite soluzioni.

c) x2 > −2, x ∈ Q

Poiché qualsiasi potenza con esponente pari è un numero maggiore o uguale a zero,

qualunque numero rende vera la disuguaglianza. Quindi, qualsiasi numero razionale è

soluzione del problema.

76

d) xy ≥ x – y, (x, y) ∈ Q2

Anche per questo problema, esistono delle coppie (x, y) che rendono vera la disuguaglianza ed

altre coppie (x, y) che la rendono falsa.

Ad esempio: [COMPLETA, come negli esempi a) e b)]

( ) ( ), 1, 2x y = − − ⇒ ( ) ( )1 2 1 2− ⋅ − ≥ − − − ⇒ ……… ≥ …… ………

( ) 1, , 12

x y ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ ................ .................≥ ⇒ ……… ≥ …… ………

( ) 1, 1,2

x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ ................ .................≥ ⇒ ……… ≥ …… ………

Per questo problema, non è semplice determinare tutte le soluzioni. Alla luce degli esempi appena fatti, possiamo dare le seguenti definizioni:

Si chiama disequazione una “disuguaglianza” fra due espressioni letterali in una o più

variabili.

I valori che sostituiti alle variabili rendono vera la disuguaglianza si chiamano

soluzioni della disequazione.

Risolvere una disequazione significa determinare tutte le sue soluzioni.

Si chiama insieme soluzione della disequazione l’insieme formato da tutte le sue

soluzioni e, in generale, si indica con la lettera S. Oppure, con il linguaggio della Logica:

Si chiama disequazione una proposizione aperta (di dominio D) nella quale il

predicato è “essere maggiore”, oppure “essere minore”, ”essere maggiore o uguale”,

“essere minore o uguale”.

Si chiama soluzione di una disequazione quell’elemento del dominio che rende vera la

proposizione aperta.

Si chiama insieme soluzione della disequazione l’insieme di verità della proposizione

aperta e, in generale, si indica con la lettera S.

Come per le equazioni, anche per le disequazioni le variabili o incognite sono, generalmente,

indicate con le lettere x, y, z; tuttavia è possibile usare qualsiasi altra lettera dell’alfabeto.

Se non è esplicitamente indicato, si conviene che le variabili della disequazione appartengano

all’insieme “più ampio” che conosciamo.

77

Come per le equazioni, si hanno le seguenti definizioni che consentono di classificare le

disequazioni:

Se, nelle espressioni letterali, compaiono solamente le operazioni di somma algebrica,

moltiplicazione, divisione oppure estrazione di radice, la disequazione è detta

disequazione algebrica.

Se, nelle espressioni letterali, la variabile non compare mai sotto il segno di radice, la

disequazione algebrica è detta disequazione razionale.

Se, nelle espressioni letterali, la variabile è presente sotto il segno di radice, la

disequazione algebrica è detta disequazione irrazionale.

Sintetizziamo, nello schema seguente, quanto appena detto:

Disequazioni razionali

Disequazioni algebriche

Disequazioni Disequazioni irrazionali

Disequazioni trascendenti

Come per le equazioni, possiamo classificare le disequazioni nel modo seguente:

una disequazione si dice numerica se, oltre alle variabili, non contiene altre lettere.

una disequazione si dice intera se la variabile non compare al denominatore della

disequazione;

una disequazione si dice frazionaria o fratta se la variabile compare in uno o più

denominatori;

una disequazione si dice letterale se, oltre all’incognita, contiene altre lettere.

Lo schema seguente riassume le precedenti definizioni:

Disequazioni intere

Disequazioni numeriche

Disequazioni fratte

Disequazioni Disequazioni intere

Disequazioni letterali

Disequazioni fratte

78

Esempi

Le disequazioni

a) 1 12

yy y−

>+

; b) 24 3 5 6a a− < +

sono disequazioni algebriche razionali perché in esse sono presenti solo le operazioni di somma

algebrica, moltiplicazione, divisione; inoltre la disequazione a) è una disequazione numerica

fratta, perché non sono presenti altre lettere oltre alla variabile ed essa compare al denominatore

delle frazioni; la disequazione b) è una disequazione numerica intera, perché non sono presenti

altre lettere oltre alla variabile ed essa non è presente al denominatore.

La disequazione 2 3x x> − è una disequazione algebrica irrazionale, perché la variabile è

presente sotto il segno di radice.

La disequazione 2 15 5 23

ax x a− + < + è una disequazione letterale intera perché, oltre alla

variabile x, è presente un’altra lettera (a); inoltre la variabile non è presente al denominatore di

alcuna frazione.

In una disequazione razionale intera in una variabile, il grado della disequazione è uguale al

massimo esponente della variabile.

Esempi

La disequazione 2 33 2 2x x x− > + è di terzo grado perché il massimo esponente della variabile è 3.

La disequazione 25 4 0b y − > (variabile y) è di primo grado perché il massimo esponente della

variabile è 1.

In questo capitolo ci occuperemo solo di disequazioni razionali numeriche in una variabile; in

particolare di disequazioni numeriche intere di primo grado o, in qualche modo, ad esse

riconducibili. PROVA TU 1) Classifica le seguenti disequazioni:

a) 2 6 3 15

y y+ > − ; 5 2 23

a aa+

≤

b) 1 3x x+ − < ; 2 2 51

x xb

+ > +−

2) Determina il grado delle seguenti disequazioni:

3 1 4z z− ≤ + ; 25 3mx x m− > + (variabile x)

79

10.2 Rappresentazione dell’insieme soluzione di una disequazione

Consideriamo le disequazioni

3 4 25x + > e x2 < 9

già viste nel precedente paragrafo e indichiamo con Sa e Sb, rispettivamente, gli insiemi soluzione

delle due disequazioni.

a) 3 4 25x + >

L’insieme Sa ha infiniti elementi; la rappresentazione più opportuna, dunque, è quella per

caratteristica: Sa = { }/ 7x x∈ >Q .

L’insieme Sa, dunque, è un sottoinsieme di Q formato da tutti i numeri che seguono un numero

fissato (il numero 7); alcuni autori, per comodità, lo indicano semplicemente con x > 7.

In realtà, x > 7 è ancora una disequazione ……….. di immediata soluzione.

b) x2 < 9

L’insieme Sb della disequazione ha infiniti elementi; la rappresentazione più opportuna, dunque,

è quella per caratteristica: Sb = { }/ 3 3x x∈ − < <Q .

L’insieme Sb è, dunque, un sottoinsieme di Q formato da tutti i numeri che sono compresi fra due

numeri fissati (i numeri −3 e 3) e, come osservato in precedenza, l’insieme soluzione è, talvolta,

indicato con −3 < x < 3.

In generale, l’insieme soluzione S di una disequazione è formato da:

• tutti i numeri che seguono un numero a;

• tutti i numeri che precedono un numero a;

• tutti i numeri che sono compresi fra due numeri a e b.

Se nella disequazione sono presenti i simboli “≥” o “≤”, anche i numeri a o b sono soluzione della

disequazione stessa.

L’insieme soluzione S di una disequazione può essere rappresentato anche in altri modi.

Rappresentazione grafica

Rappresentiamo graficamente Sa = { }/ 7x x∈ >Q :

riportiamo sulla retta orientata il numero 7;

a partire dal punto della retta orientata coincidente con il numero 7, tracciamo un piccolo

segmento perpendicolare alla retta orientata stessa;

poiché i numeri maggiori di 7 sono situati alla sua destra, a partire dall’estremo “libero” del

segmento disegniamo una linea “rossa” verso destra con tratto continuo;

poiché i numeri a sinistra di 7 non sono soluzioni della disequazione, a partire dall’estremo

“libero” del segmento disegniamo una linea verso sinistra con tratto tratteggiato.

80

L’insieme Sa è rappresentato nella seguente figura:

Rappresentiamo graficamente Sb = { }/ 3 3x x∈ − < <Q :

riportiamo sulla retta orientata i numeri −3 e 3;

a partire dai punti appartenenti alla retta orientata coincidenti con i numeri −3 e 3, tracciamo

due piccoli segmenti (uguali) perpendicolari alla retta orientata;

poiché le soluzioni della disequazione sono compresi fra −3 e 3, uniamo gli estremi “liberi”

dei due segmenti con una linea “rossa” con tratto continuo;

poiché i numeri a sinistra di −3 e a destra di 3 non sono soluzioni della disequazione,

tracciamo, a sinistra e a destra della linea continua, una linea tratteggiata.

L’insieme Sb è rappresentato nella seguente figura:

Come sicuramente hai notato, nella rappresentazione dei numeri sulla retta orientata non abbiamo

riportato né lo 0 né l’unità di misura, ma, dove necessario, è stato rispettato soltanto l’ordinamento

dei numeri stessi.

Per la rappresentazione degli insiemi soluzione di disequazioni, la rappresentazione dello 0 e l’unità

di misura sono elementi trascurabili (a meno che 0 non sia “interessato” come soluzione); è

fondamentale, invece, in ogni caso, rispettare l’ordinamento dei numeri.

Riepilogando: nella rappresentazione grafica dell’insieme soluzione di una disequazione

la linea continua indica gli elementi che sono soluzione della disequazione;

la linea tratteggiata indica gli elementi che non sono soluzione della disequazione.

Talvolta non è necessario evidenziare l’insieme che non è soluzione della disequazione e si omette

di tracciare la linea tratteggiata.

Ipotizzando che S = { }/ 2x Q x∈ ≤ sia l’insieme soluzione di una disequazione, la sua

rappresentazione grafica è la seguente:

dove il simbolo “•” in corrispondenza del numero 2 indica che esso è una delle soluzioni della

disequazioni.

7

Sa

Sb

−3 3

2

x ≤ 2 •

81

10.3 Intervalli numerici

Gli insiemi numerici formati da tutti i numeri maggiori o minori di un certo numero a (x > a o

x < a) e gli insiemi numerici formati da tutti i numeri compresi fra due numeri a e b (a < x < b)

sono chiamati intervalli numerici; i numeri a e b sono chiamati estremi dell’intervallo.

Gli estremi di un intervallo numerico appartengono allo stesso se compaiono i simboli “≥”, “≤”.

L’insieme soluzione di una disequazione è, in generale, un intervallo numerico e, quindi, viene

anche chiamato intervallo delle soluzioni.

Gli intervalli numerici possono essere rappresentati anche nel seguente modo:

• Se l’intervallo considerato è formato da tutti i numeri compresi fra a e b, si scrivono gli

estremi a e b in ordine crescente, separati da una virgola e racchiusi fra parentesi

quadre rivolte verso l’esterno oppure verso l’interno;

• se le parentesi quadre sono rivolte verso l’esterno, gli estremi dell’intervallo non sono

inclusi nell’intervallo stesso; se le parentesi quadre sono rivolte verso l’interno gli

estremi dell’intervallo sono inclusi nell’intervallo stesso.

♦ Se l’intervallo numerico considerato è formato da tutti i numeri maggiori di un certo numero

a, il secondo estremo viene indicato con il simbolo “ +∞ ” (si legge “più infinito”).

♦ Se l’intervallo numerico considerato è formato da tutti i numeri minori di un certo numero a,

il primo estremo viene indicato con il simbolo “ −∞ ” (si legge “meno infinito”).

I simboli +∞ e −∞ non sono numeri ma indicano soltanto che l’intervallo numerico considerato

non ha “limite”, rispettivamente, a destra e a sinistra; sono, perciò, sempre esclusi dall’intervallo.

In tabella abbiamo rappresentato, nei diversi modi, alcuni intervalli numerici.

Intervallo Rappresentazione Rappresentazione grafica

x > 3 ] [3, + ∞

x < −2 ] [, 2−∞ −

−4 < x < 2 ] [4, 2−

5x ≥ [ [5, + ∞

0x ≤ ] ], 0−∞

2 7x≤ ≤ [ ]2, 7

1 3x− ≤ < [ [1, 3−

5 8x< ≤ ] ]5, 8

3

−2

0

•

2−4

8 5

•

5

•

•

72

•3−1

•

82

OSSERVAZIONE

Sappiamo che ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta, ma ad ogni punto della

retta non corrisponde un numero razionale. Non è, quindi, del tutto lecito rappresentare l’insieme

soluzione di una disequazione di dominio Q con una linea continua (a tale linea appartengono anche

punti in corrispondenza biunivoca con numeri non razionali). Per comodità, tuttavia,

rappresenteremo con una linea continua l’insieme soluzione della disequazione.

ATTENZIONE

In generale, l’insieme soluzione di una disequazione è rappresentato da un intervallo, ma, come

spesso si verifica, esistono dei casi particolari.

Determiniamo l’insieme soluzione della disequazione ( )42 3 0x + < .

Il primo membro della disequazione è una potenza con esponente pari; per le proprietà delle

potenze, dunque, esso, qualunque sia il valore attribuito alla variabile, è un numero non negativo.

Non esiste, allora, alcun numero razionale che rende vera la proposizione; dunque S = ∅.

Determiniamo l’insieme soluzione della disequazione ( )22 0.x − ≤

Essa, dal punto di vista logico, è una proposizione molecolare; infatti:

( )22 0x − ≤ ⇔ ( ) ( )2 22 0 2 0x x− < ∨ − =

L’insieme soluzione S è, perciò, dato dall’unione degli insiemi soluzione di ciascuna delle due

proposizioni che la compongono:

( ) ( )( ) { }

{ }2

11 2 22

2

2 0 SS S S

perchèS S 2

2

?

0 S 2

x

x

− < ⇒ = ∅ ⇒ = ∪ = ⇒ =

− = ⇒ =

In questo caso, dunque, l’insieme soluzione della disequazione non è un intervallo, ma è formato

da un solo elemento. PROVA TU

1) Rappresenta, nei diversi modi possibili, i seguenti intervalli numerici:

a) 6x ≥ − ; 5 0x− ≤ <

b) 8x < ; 3 10x≤ ≤

2) Determina l’insieme soluzione delle seguenti disequazioni:

a) ( )24 0x + ≤ ; ( )45 2 0x − <

b) 23 0x ≤ ; ( )34 1 0x + <

83

10.4 Principi di equivalenza

Ancora in analogia con quanto detto per le equazioni, si ha la seguente definizione:

Due disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.

Consideriamo le due disequazioni:

a) x > 3 e b) 1 + 2x > x + 4

E’ immediato determinare l’insieme soluzione della disequazione a); infatti sostituendo ad x

qualsiasi numero maggiore di 3 si ottiene una disuguaglianza vera. Si ha, quindi, S = ] [3,+∞ .

Non altrettanto si può dire dell’insieme soluzione della disequazione b).

E’ possibile, come per le equazioni, “trasformare” una disequazione in una ad essa equivalente

simile alla disequazione a)?

La risposta è affermativa ed anche questa volta è sufficiente seguire due semplici “regole”chiamate,

ancora una volta, principi di equivalenza.

Prima di enunciare i principi di equivalenza per le disequazioni, verifica, con qualche esempio, che

per le disuguaglianze numeriche valgono le seguenti proprietà:

• ∀ a, b, c ∈ Q : a < b ⇒ a + c < b + c;

• ∀ a, b ∈ Q, ∀ c ∈ Q+ : a < b ⇒ a c b c⋅ < ⋅

• ∀ a, b ∈ Q, ∀ c ∈ Q− : a < b ⇒ a c b c⋅ > ⋅

• ∀ a, b ∈ Q − {0} : a < b ⇒ 1 1a b

>

I principi di equivalenza si basano su queste proprietà:

Primo principio di equivalenza

Se si aggiunge o si sottrae ad ambo i membri di una disequazione, di dominio D, uno stesso

numero o una stessa espressione algebrica, avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione

equivalente a quella data.

Secondo principio di equivalenza

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disequazione per uno stesso

numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disequazione per uno stesso

numero negativo e si cambia il verso della disequazione, si ottiene una disequazione

equivalente a quella data.

Osserva che “cambiare” il verso di una disequazione significa che il simbolo “>” diventa “<”, il

simbolo “<” diventa “>”, il simbolo “≥” diventa “≤”, il simbolo “≤” diventa “≥”.

84

Vediamo, adesso, come i principi di equivalenza ci aiutano a “trasformare” la disequazione b) in

una disequazione dello stesso tipo della disequazione a). ESEMPIO 1 Disequazione iniziale: 1 + 2x > x + 4

Applichiamo primo principio → Aggiungiamo −1 ai due membri 1 + 2x − 1 > x + 4 – 1

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 2x > x + 3

Applichiamo primo principio → Sottraiamo x ai due membri 2x – x > x + 3 – x

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente x > 3

L’insieme soluzione è S = { }/ 3x x∈ >Q oppure S = ] [3, .+∞

La disequazione b) e la disequazione a) hanno lo stesso insieme soluzione e, quindi, sono

equivalenti.

Rappresentiamo graficamente l’insieme S.

“Interpretiamo” la rappresentazione grafica dell’insieme S.

• Nell’intervallo ] [, 3−∞ è riportata la linea tratteggiata; questo vuol dire che gli elementi di

tale intervallo non sono soluzioni della disequazione. In tale intervallo, dunque,

l’espressione 1 + 2x non è maggiore dell’espressione x + 4 ; quindi, 1 + 2x < x + 4.

• Nell’intervallo ] [3, +∞ è riportata la linea continua; gli elementi di tale intervallo, dunque,

sono soluzioni della disequazione. In tale intervallo risulta, allora, che 1 + 2x > x + 4.

Come puoi notare, riflettendo sui passaggi eseguiti per “trasformare” la disequazione assegnata in

una ad essa equivalente di immediata soluzione, una conseguenza del primo principio di

equivalenza è del tutto analoga alla regola del trasporto già vista per le equazioni, quindi:

In una disequazione, se si “trasportano” dei termini da un membro all’altro cambiando loro il

segno, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

In modo analogo vale la regola di cancellazione:

In una disequazione, se si semplificano termini uguali che si trovano in entrambi i membri della

disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

3

S

85

Ancora qualche esempio:

ESEMPIO 2 Disequazione iniziale: 3 1 9a a− < +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo −1 e a 3 9 1a a− < +

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 2 10a <

Applichiamo secondo principio →

Dividiamo entrambi i membri per il

coefficiente di a cioè 2 (> 0, il

verso non cambia)

2 102 2a

<

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 1

1 2 102

a<

1

5

2 ⇒ 5a <

L’insieme soluzione è S = { }/ 5a a∈ <Q oppure S = ] [,5 .−∞ Rappresentiamo graficamente l’insieme S.

Completa:

Nell’intervallo ] [,5−∞ è riportata la linea ………………………….. ; in tale intervallo risulta

3 1 ...... 9 ;a a− +

Nell’intervallo ] [5,+∞ è riportata la linea ………………………….. ; in tale intervallo risulta

3 1 ...... 9 ;a a− + ESEMPIO 3 Disequazione iniziale: 8 4 0x− ≤

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 8 4 8x− ≤ −

Disequazione equivalente 4 8x− ≤ −


Dividiamo entrambi i membri

per il coefficiente di x cioè −4

(< 0, il verso cambia)

4 84 4x− −

≥− −

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 1 4−

4x

− 1

8−≥

2

4− 1 ⇒ 2x ≥

L’insieme soluzione è S = { }/ 2x x∈ ≥Q oppure S = [ [2, .+∞ Rappresentiamo l’insieme S.

5

S

2

S •

86

Completa

Nell’intervallo ] [, 2−∞ è riportata la linea ………………………………; in tale intervallo

risulta 8 4 ..... 0 ;x−

nell’intervallo ] [2,+∞ è riportata la linea ………………………………... ; in tale intervallo

risulta 8 4 ..... 0x− ;

8 4 0x− = se x = ……

ESEMPIO 4 Disequazione iniziale: ( )2 3 5 1x x+ > −

(Svolgiamo i calcoli →) 2 3 5 5x x+ > −

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 3 e 5x 2 5 3 5x x− > − −

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 3 8x− > −

Applichiamo secondo principio → Moltiplichiamo per −1(<0, il

verso cambia) ( ) ( )3 1 8 1x− ⋅ − < − ⋅ −

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 3 8x <



per il coefficiente di x cioè 3

(> 0, il verso non cambia)

3 83 3x

<

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 1

1 3 83 3

x< ⇒

83

x <

L’insieme soluzione è S = 8/3

x x⎧ ⎫∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭

Q oppure S = 8, .3

⎤ ⎡−∞⎥ ⎢⎦ ⎣

Rappresentiamo l’insieme S.

Completa

Nell’intervallo 8,3

⎤ ⎡−∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea …………………………….. ; in tale intervallo

risulta ( )2 3 ..... 5 1 ;x x+ −

nell’intervallo 8 ,3

⎤ ⎡+∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea …………………………….. ; in tale intervallo

risulta ( )2 3 ..... 5 1x x+ − .

S

83

87

Osservando i passaggi eseguiti nell’esempio 4, deduciamo una conseguenza del secondo principio

di equivalenza; precisamente:

Se, in una disequazione, si cambia il verso ed il segno di tutti i termini , si ottiene una

disequazione equivalente a quella data. Negli esempi precedenti, abbiamo risolto disequazioni intere di primo grado a coefficienti interi.

Se fra i coefficienti di una disequazione ce n’è almeno uno che non è intero, si procede come già

visto per le equazioni. Osserva, dunque, attentamente, l’esempio seguente:

ESEMPIO 5 Disequazione iniziale: 1 222 3

y y− ≥ +

Riduciamo allo stesso denominatore 3 12 6 4

6 6y y− +

≥

Applichiamo secondo principio → Moltiplichiamo ambo i membri

per 6 ( > 0, il verso non cambia ) 3 12 6 46 6

6 6y y− +

⋅ ≥ ⋅

(Svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 3 12 6 4y y− ≥ +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo 12 e 6y 3 6 12 4y y− ≥ +

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente 3 16y− ≥


Dividiamo entrambi i membri per

il coefficiente di y cioè −3 (< 0, il

verso cambia)

3 163 3y−

≤− −

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente

1 3−3

y− 1

163

≤ − ⇒

163

y ≤ −

L’insieme soluzione è S = 16/3

y y⎧ ⎫∈ ≤ −⎨ ⎬⎩ ⎭

Q oppure S = 16, .3

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣

Rappresentiamo l’insieme S.

S

163

−

•

88

Completa

Nell’intervallo 16,3

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea ………………………………. ; in tale

intervallo risulta 1 22 ..... ;2 3

y y− +

nell’intervallo 16 ,3

⎤ ⎡− +∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea ……………………………… ; in tale

intervallo risulta 1 22 ..... ;2 3

y y− +

1 222 3

y y− = + se y = ……

Osservando gli esempi svolti, possiamo affermare che, applicando i principi di equivalenza, una

disequazione numerica intera di primo grado, nella variabile x, può essere sempre scritta nella

forma ax b.

PROVA TU

1) Completa come negli esempi precedenti:

Disequazione iniziale: 3 5 7 2x x− > +

Applichiamo primo principio → Trasportiamo …. e ….


Applichiamo secondo principio → Moltiplichiamo per −1 (< 0, il

verso ………..)




per il coefficiente di x cioè ……

(…. 0, il verso ….. cambia)

(svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente L’insieme soluzione è S = ……….. oppure S = ……….. Rappresenta graficamente l’insieme S e completa

Nell’intervallo ...,...

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea ………………………………. ; in tale intervallo

risulta 3 5 ..... 7 2 ;x x− +

nell’intervallo ... ,...

⎤ ⎡− +∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea ………………………………. ; in tale

intervallo risulta 3 5 ..... 7 2x x− + .

><

89

Disequazione iniziale: 2 1 43b

− >

Riduciamo allo stesso denominatore


Moltiplichiamo ambo i

membri per …. ( > 0, il verso

non cambia ) ed elimino il

denominatore

(Svolgiamo i calcoli →) Disequazione equivalente

Applichiamo primo principio → Trasportiamo …..



Dividiamo entrambi i

membri per il coefficiente di

b cioè ….. (…. 0, il verso

……….)


L’insieme soluzione è S = ……….. oppure S = ……….. Rappresenta graficamente l’insieme S e completa

Nell’intervallo ...,...

⎤ ⎡−∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea …………………………………; in tale intervallo

risulta 2 ..... 4 ;3b

−1

nell’intervallo ... ,...

⎤ ⎡+∞⎥ ⎢⎦ ⎣ è riportata la linea …………………………………; in tale

intervallo risulta 2 ..... 43b

−1 .

2) Dopo aver determinato l’insieme soluzione delle seguenti disequazioni, rappresentalo in tutti i

modi possibili:

a) ( )2 1 3 4z z− ≥ −

b) 2 14 2

y y+ + ≤

90

10.5 Disequazioni numeriche intere di primo grado

Schematizziamo, ora, i passaggi necessari,in generale, per risolvere una disequazione numerica

intera di primo grado (per opportunità, la variabile è stata indicata con x):

Se a = 0 la disequazione è della forma 0x b di immediata soluzione.

NO

SI Riduciamo allo stesso

denominatore ambo i membri

Applichiamo 2° principio e semplifico denominatore comune

Disequazione iniziale

Sviluppiamo i calcoli indicati

Applichiamo 1° principio e trasportiamo i termini con variabile al

primo membro, termini noti al

Riduciamo nella forma ax b

x ba

(il verso non cambia)

><

Disequazione con

coefficienti

a > 0?

SI

><

NO a < 0?

SI

x ba

(il verso cambia)

<>

><

91

ATTENZIONE

Come detto in precedenza, non sempre è necessario seguire schemi e procedimenti generali per

risolvere una disequazione; esistono “casi particolari”.

Risolviamo le seguenti disequazioni:

a) 5 0x > ; b) 3 0x− <

a) Il prodotto fra due numeri è positivo se i due numeri sono concordi.

Poiché 5 > 0, affinchè 5x sia maggiore di zero deve essere x > 0.

In simboli ] [5 0 0 S 0,x x> ⇒ > ⇒ = +∞

b) Il prodotto fra due numeri è negativo se i due numeri sono discordi.

Poiché −3 < 0, affinchè −3x sia minore di zero deve essere x > 0.

In simboli ] [3 0 0 S 0,x x− < ⇒ > ⇒ = +∞

PROVA TU Risolvi le seguenti disequazioni come negli esempi precedenti:

a) 2 0y > ; 1 03

z <

b) 4 0x− > ; 6 0a− <

10.6 Disequazioni frazionarie o fratte

Riscriviamo con i simboli della Matematica la seguente proposizione:

“Se ad un numero razionale si aggiunge 2 e si divide la somma ottenuta per il triplo del

numero stesso si ottiene un numero positivo”.

Indicato con x il numero non noto, la precedente proposizione, in simboli, diventa:

2 03

xx

+>

In questa disequazione, la variabile è presente al denominatore della frazione; si tratta, dunque, di

una disequazione fratta.

Come procedere per determinarne l’insieme soluzione?

A tal proposito, ricordiamo che:

• una frazione è positiva se numeratore e denominatore sono concordi;

• una frazione è negativa se numeratore e denominatore sono discordi.

92

L’insieme soluzione della disequazione è, dunque, formato da tutti quei numeri per i quali

numeratore e denominatore della frazione sono concordi.

Numeratore e denominatore devono, allora, essere entrambi positivi oppure entrambi negativi.

Studiamo, allora, il segno di numeratore e denominatore.

Poniamo sia il numeratore (x + 2) che il denominatore (3x) della frazione maggiori di zero:

] [12 0 2 S 2,x x+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

] [23 0 0 S 0,x x> ⇒ > ⇒ = +∞

Rappresentiamo nello stesso grafico gli insiemi S1 e S2:

Ricordiamo che la linea continua indica l’intervallo in cui la disequazione è verificata; la linea

tratteggiata indica l’intervallo in cui la disequazione non è verificata.

La “retta dei numeri” rimane divisa in tre intervalli: ] [, 2−∞ − ; ] [2,0− ; ] [0,+∞ .

Esaminiamo il segno di numeratore e denominatore della frazione in ciascuno di tali intervalli:

] [, 2−∞ − : la disequazione x + 2 > 0 non è verificata (linea tratteggiata) , quindi x + 2 < 0;

la disequazione 3x > 0 non è verificata (linea tratteggiata) , quindi 3x < 0.

Numeratore e denominatore sono concordi (entrambi negativi), quindi 2 03

xx

+ > .

Gli elementi di questo intervallo sono soluzioni della disequazione 2 03

xx

+ > .

] [2,0− : la disequazione x + 2 > 0 è verificata (linea continua); quindi x + 2 > 0;

la disequazione 3x > 0 non è verificata (linea tratteggiata) , quindi 3x < 0.

Numeratore e denominatore sono discordi (il primo positivo ed il secondo negativo),

quindi 2 03

xx

+ < .

Gli elementi di questo intervallo non sono soluzioni della disequazione 2 03

xx

+ > .

] [0,+∞ : la disequazione x + 2 > 0 è verificata (linea continua); quindi x + 2 > 0;

la disequazione 3x > 0 è verificata (linea continua) , quindi 3x > 0.

Numeratore e denominatore sono concordi (entrambi positivi), quindi 2 03

xx

+ > .

Gli elementi di questo intervallo sono soluzioni della disequazione 2 03

xx

+ > .

0

3x > 0

−2x + 2 > 0

93

L’insieme soluzione della disequazione 2 03

xx

+ > è, allora, S = ] [ ] [, 2 0,−∞ − ∪ +∞ .

Si è soliti indicare il segno di una frazione algebrica nello stesso grafico come si può vedere di

seguito:

Osserviamo che, procedendo nel modo appena descritto, non solo risolviamo la disequazione

proposta, ma siamo in grado di stabilire per quali valori la frazione algebrica è positiva e per quali

valori la stessa frazione risulta negativa.

In definitiva determiniamo le soluzioni di entrambe le disequazioni:

2 03

xx

+ >

2 03

xx

+ <

e, quindi, quello che, comunemente, viene chiamato segno della frazione.

Osserva gli esempi seguenti:

ESEMPIO 2 Disequazione iniziale:

2 1 04

xx

− <+

Numeratore > 0

Denominatore > 0

2x – 1 > 0

x + 4 > 0

Risolviamo le due disequazioni 1

1 12 1 0 S ,2 2

x x ⎤ ⎡− > ⇒ > ⇒ = +∞⎥ ⎢⎦ ⎣

] [24 0 4 S 4,x x+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

Rappresentiamo graficamente S1

e S2 (nello stesso grafico)

Verso disequazione iniziale < 0

Intervallo nel quale numeratore e

denominatore sono discordi 14,2

⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

Insieme soluzione S = 14,2

⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

0

3x > 0

−2x + 2 > 0

+ − +

S2

S1

+ −+

12

−4

94

ESEMPIO 3 Disequazione iniziale:

5 10 02x

x+ ≤−

Numeratore ≥ 0 Denominatore > 0 (il denominatore deve essere ≠ 0)

5x + 10 ≥ 0 2 – x > 0

Risolviamo le due disequazioni [ [15 10 0 2 S 2,x x+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = − +∞

] [22 0 2 S ,2x x− > ⇒ < ⇒ = −∞

Rappresentiamo graficamente S1 e

S2 (nello stesso grafico)

Verso disequazione iniziale ≤ 0

Intervalli nei quali numeratore e denominatore sono discordi

] [, 2−∞ − ; ] [2,+∞

Valore di x per il quale 5 10 02x

x+ =−

x = −2

Insieme soluzione ] ] ] [S , 2 2,= −∞ − ∪ +∞

ESEMPIO 4 Studio del segno della frazione:

12

xx

−

Numeratore > 0 Denominatore > 0

1 – x > 0 2x > 0

Risolviamo le due disequazioni ] [11 0 1 S ,1x x− > ⇒ < ⇒ = −∞

] [22 0 0 S 0,x x> ⇒ > ⇒ = +∞

Rappresentiamo graficamente S1 e S2 (nello stesso grafico)

Segno della frazione

] [ ] [ 1,0 1, 02

xxx

−∈ −∞ ∪ +∞ ⇒ <

] [ 10,1 02

xxx

−∈ ⇒ >

11 02

xxx

−= ⇒ =

−− +

2 −2

•S1 S2

S2

S1

−+−

1 0

95

PROVA TU

1) Risolvi le seguenti disequazioni:

3 2 04 6

yy

+ >−

; 3 6 0 ;4

zz

− <

3 04

zz

− ≤ ; 2 5 05a

a+ ≥

2) Determina il segno delle seguenti frazioni:

7 12

yy

−+

; 5 14z

z−

Se sei un attento osservatore, ti sarai accorto che le disequazioni fratte appena risolte hanno una

caratteristica comune: il secondo membro è sempre “0”.

E se il secondo membro è un’espressione algebrica diversa da zero?

Il problema si risolve facilmente: è sufficiente applicare il primo principio di equivalenza e

“trasportare” tutti i termini dal secondo al primo membro della disequazione.

ESEMPIO 5 Disequazione iniziale: 2 4 3 12 2 2

y y yy

+ − > ++

Trasportiamo 2y e 1 al primo membro

2 4 3 1 02 2 2

y y yy

+ − − − >+

Riduciamo allo stesso denominatore ( ) ( )

( )

2 4 3 1 2 10

2 1y y y y y

y+ − − + − +

>+

Svolgiamo i calcoli ( ) ( )2 24 3 2 2 50 0

2 1 2 1y y y y y y

y y+ − − − − − −> ⇒ >

+ +

(il secondo membro è “0”)

Disequazione equivalente ( )5 0

2 1yy− >+


y – 5 > 0 2(y + 1) > 0

Risolviamo le due disequazioni ] [15 0 5 S 5,y y− > ⇒ > ⇒ = +∞

( ) ] [22 1 0 1 0 1 S 1,y y y+ > ⇒ + > ⇒ > − ⇒ = − +∞


Verso disequazione equivalente > 0

Intervalli nei quali numeratore e denominatore sono concordi

] [, 1−∞ − ; ] [5,+∞

Insieme soluzione ] [ ] [S , 1 5,= −∞ − ∪ +∞

− ++S2

S1

5 −1

96

ESEMPIO 6 Disequazione iniziale: 22 1 2 1

3 1 3z zz

+ +<+

Trasportiamo 2 13

z + al primo membro 22 1 2 1 0

3 1 3z zz

+ +− <+

Riduciamo allo stesso denominatore ( ) ( )( )

( )

23 2 1 3 1 2 10

3 3 1

z z z

z

+ − + +<

+

Svolgiamo i calcoli

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

6 3 6 3 2 10

3 3 1

6 3 6 5 1 5 20 03 3 1 3 3 1

z z z z

z

z z z zz z

+ − + + +< ⇒

+

+ − − − − +< ⇒ <+ +


Disequazione equivalente ( )5 2 0

3 3 1zz

− + <+


−5z + 2 > 0 3(3z + 1) > 0


5 2 0 22 2S ,5 5

z z

z

− + > ⇒ − 5 > − ⇒

⎤ ⎡⇒ < ⇒ = −∞⎥ ⎢⎦ ⎣

( )

2

3 3 1 0 1 0 1

1 1S ,3 3

z z z

z

+ > ⇒ 3 + > ⇒ 3 > − ⇒

⎤ ⎡⇒ > − ⇒ = − +∞⎥ ⎢⎦ ⎣


Verso disequazione equivalente < 0

Intervalli nei quali numeratore e denominatore sono discordi

1,3

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣; 2 ,

5⎤ ⎡+∞⎥ ⎢⎦ ⎣

Insieme soluzione 1,3

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣; 2 ,

5⎤ ⎡+∞⎥ ⎢⎦ ⎣

ATTENZIONE

Per determinare le soluzioni di disequazioni del tipo ( )( )

A0

Bxx

> oppure ( )( )

A0

Bxx

< potremmo porre

numeratore e denominatore entrambi minori di zero e determinare gli intervalli in cui essi sono

concordi o discordi.

E’ per comodità e consuetudine che li poniamo entrambi maggiori di zero.

−+−S2

S1

25

13

−

97

PROVA TU

Risolvi le seguenti disequazioni:

a) 2 1 2 ;3

xx− > b)

2 1 12 1 2

x x xx+ + +<

+

10.7 Disequazioni numeriche intere di grado superiore al primo

Riscriviamo, nel linguaggio matematico, la seguente proposizione:

“Se ad un numero razionale aggiungiamo 6 e moltiplichiamo la somma ottenuta per il triplo del

numero stesso, otteniamo un numero positivo”.

Indicato con b il numero non noto, la formalizzazione della proposizione è la seguente:

(b + 6) 3b > 0

che, per consuetudine, riscriviamo nella forma 3b (b + 6) > 0

Quali numeri razionali rendono vera la proposizione?

Dobbiamo, dunque, risolvere una disequazione.

A tal proposito, ricordiamo che:

• il prodotto di due numeri è positivo se i due numeri sono concordi;

• il prodotto di due numeri è negativo se i due numeri sono discordi. Dobbiamo, quindi, stabilire per quali valori attribuiti alla variabile i due fattori sono concordi. E’

necessario, dunque, studiare il segno di ciascuno dei due fattori.

Procediamo come già fatto per le disequazioni fratte:

ESEMPIO 1 Disequazione iniziale: 3b(b + 6) >0

Ciascun fattore >0 3b > 0 ; b + 6 > 0

Risolviamo le due disequazioni ] [13 0 0 S 0,b b> ⇒ > ⇒ = +∞

] [26 0 6 S 6,b b+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

Rappresentiamo graficamente S1

e S2 (nello stesso grafico)

Verso disequazione iniziale > 0

Intervalli nei quali i fattori sono

concordi ] [ ] [6 ; 0,−∞ − +∞

Insieme soluzione ] [ ] [S 6 0,= −∞ − ∪ +∞

S2 + −+

S1

−6 0

98

ESEMPIO 2 Disequazione iniziale: 22 3 2 0z z+ − <

Scomponiamo in fattori il primo membro ( )( )2 1 2 0z z− + <

Ciascun fattore > 0 2z – 1 > 0 z + 2 > 0


1 12 1 0 S ,2 2

z z ⎤ ⎡− > ⇒ > ⇒ = +∞⎥ ⎢⎦ ⎣

] [22 0 2 S 2,z z+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

Rappresentiamo graficamente S1 e S2

(nello stesso grafico)

Verso disequazione iniziale < 0

Intervalli nel quale i fattori sono discordi 12,2

⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣

Insieme soluzione 1S 2,2

⎤ ⎡= −⎥ ⎢⎦ ⎣

ESEMPIO 3 Disequazione iniziale: 3 23 3 1 0y y y+ − − ≥

Scomponiamo in fattori il primo membro ( )( )( )1 1 3 1 0y y y− + + ≥

Ciascun fattore ≥ 0 1 0 ;y − ≥ 1 0 ;y + ≥ 3 1 0y + ≥

Risolviamo le disequazioni

[ [11 0 1 S 1,y y− ≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞ [ [21 0 1 S 1,y y+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = − +∞

31 13 1 0 S ,3 3

y y ⎡ ⎡+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = − +∞⎢ ⎢⎣ ⎣

Rappresentiamo graficamente S1, S2 e S3


Verso disequazione iniziale ≥ 0

Intervalli con il segno “+” 11, ;3

⎤ ⎡− − ⎥ ⎢⎦ ⎣ ] [1, +∞

Valori di y per i quali 3 23 3 1 0y y y+ − − = { }11, ,13

y ∈ − −

Insieme soluzione [ [1S 1, 1,3

⎡ ⎤= − − ∪ +∞⎢ ⎥⎣ ⎦

2z – 1 > 0

z + 2 > 0 + −+

12

−2

y – 1 ≥ 0

+ − +−•

• 3y + 1 ≥ 0

y + 1 ≥ 0

13

− −1 1

•

99

OSSERVAZIONE

Qualsiasi disequazione numerica intera, applicando i principi di equivalenza, può essere messa nella

forma A(x) > 0 oppure A(x) < 0, dove A(x) è un polinomio a coefficienti interi.

Se A(x) è un polinomio riducibile, si procede come descritto negli esempi precedenti.

ESEMPIO 4 Disequazione

iniziale: ( ) ( ) ( )3 2 2 1 3 2x x x x x− > − + −

Svolgiamo i calcoli 2 23 6 2 2 6 3x x x x x− > − + − ⇒

⇒ 2 23 6 2 5 6x x x x− > − +

Trasportiamo tutti i termini dal secondo

al primo membro

2 23 6 2 5 6 0x x x x− − + − > ⇒

⇒ 2 6 0x x− − >


Scomponiamo in fattori il primo membro ( )( )2 3 0x x+ − >

Ciascun fattore > 0 x + 2 > 0

x – 3 > 0

Risolviamo le due disequazioni ] [12 0 S 2,x x+ > ⇒ > − 2 ⇒ = − +∞

] [23 0 3 S 3,x x− > ⇒ > ⇒ = +∞

Rappresentiamo graficamente S1 e S2



Intervalli nel quale i fattori sono concordi ] [, 2 ;−∞ −

] [3,+∞

Soluzione disequazione ] [ ] [, 2 3,−∞ − ∪ +∞

PROVA TU

Risolvi le seguenti disequazioni:

5 (3 4) 0a a − < ; 2 2 8 0z z− − > ;

3 22 2 4 0x x x− − ≤ ;

( )( ) ( )4 1 2 3 5b b b b− + < − + ;

x − 3 > 0

x + 2 > 0

+ −+

−2 3

100

10.8 Esempi di riepilogo

Osserva con molta attenzione i seguenti esempi:

ESEMPIO 1

Disequazione iniziale: 22 6 0

1x xx

− >+

Scomponiamo in fattori il numeratore

della frazione ( )2 3

01

x xx

−>

+

Ciascun fattore del numeratore > 0

Denominatore > 0

2 0x > 3 0x − > 1 0x + >


] [12 0 0 S 0,x x> ⇒ > ⇒ = +∞

] [23 0 3 S 3,x x− > ⇒ > ⇒ = +∞

] [31 0 1 S 1,x x+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞




Intervalli con il segno “+” ] [1,0 ;− ] [3,+∞

Insieme soluzione ] [ ] [S 1,0 3,= − ∪ +∞

ESEMPIO 2 Disequazione iniziale: 1 1 01x x

+ ≤−

Riduciamo allo stesso denominatore e svolgiamo i calcoli: ( ) ( )

1 2 10 01 1

x x xx x x x

− + −≤ ⇒ ≤− −

Numeratore ≥ 0 Ciascun fattore del denominatore > 0

2 1 0x − ≥ ; 0 ;x > 1 0x − >


11 12 1 0 S ,2 2

x x ⎡ ⎡− ≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞⎢ ⎢⎣ ⎣

] [20 S 0,x > ⇒ = +∞ ] [31 0 1 S 1,x x− > ⇒ > ⇒ = +∞

+ − +−

2x > 0

x – 3 > 0

x + 1 > 0

−1 3 0

101



Verso disequazione iniziale ≤ 0

Intervalli con il segno “−” 1, ;2

⎤ ⎡−∞ ⎥ ⎢⎦ ⎣ ] [0,1

Valore di x per il quale 1 1 01x x

+ =−

12

x =

Insieme soluzione ] [1S , 0,12

⎤ ⎤= −∞ ∪⎥ ⎥⎦ ⎦

ESEMPIO 3 Studio del segno della frazione: 2

24

2 15x

x x−

− −

Scomponiamo in fattori numeratore e

denominatore della frazione

( )( )( )( )2 2

3 5x x

x x+ −+ −

Ciascun fattore del numeratore ≥ 0 Ciascun fattore del denominatore > 0

2 0 ;x+ ≥ 2 0 ;x− ≥ 3 0x + > ; 5 0x − >


[ [12 0 2 S 2,x x+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = − +∞ ] ]22 0 2 S ,2x x− ≥ ⇒ ≤ ⇒ = −∞

] [33 0 3 S 3,x x+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

] [45 0 5 S 5,x x− > ⇒ > ⇒ = +∞

Rappresentiamo graficamente S1, S2, S3 e

S4 (nello stesso grafico)

Segno della frazione

] [ ] [ ] [2

24, 3 2,2 5, 0

2 15xx

x x−∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ ⇒ <

− −

] [ ] [2

243, 2 2,5 0

2 15xx

x x−∈ − − ∪ ⇒ >

− −

{ }2

242,2 0

2 15xx

x x−∈ − ⇒ =

− −

•

+ − +−x − 1 > 0

2x − 1 ≥ 0

x > 0

12

1 0

+ − + − −

x + 3 > 0

2 − x ≥ 0

2 + x ≥ 0

−3 2 −2 5

••

x − 5 > 0

102

ESEMPIO 4

Disequazione iniziale:

23 2 1

2 1 2y y y y+ <

+ − + −

Applichiamo il 1° principio e “trasportiamo”

il termine 21

2y y+ − al primo membro 2

3 2 1 02 1 2y y y y

+ − <+ − + −

Riduciamo allo stesso denominatore e

svolgiamo i calcoli

( ) ( )( )( )

3 1 2 2 10

2 1y y

y y− + + −

< ⇒+ −

( )( )3 3 2 4 1 0

2 1y y

y y− + + −⇒ < ⇒

+ −

( )( )5 0

2 1y

y y⇒ <

+ −

Disequazione equivalente ( )( )5 0

2 1y

y y<

+ −

Numeratore > 0

Ciascun fattore del denominatore > 0

5 0y > 2 0y + > 1 0y − >


] [15 0 0 S 0,y y> ⇒ > ⇒ = +∞

] [22 0 2 S 2,y y+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

] [31 0 1 S 1,y y− > ⇒ > ⇒ = +∞



Verso disequazione equivalente < 0

Intervalli con il segno “−” ] [, 2 ;−∞ − ] [0,1

Insieme soluzione ] [ ] [S , 2 0,1= −∞ − ∪

y + 2 > 0

+ − +−

5y > 0

y − 1 > 0

−2 1 0

103

ESEMPIO 5 Disequazione iniziale: 2

42 1 0

3k

k+ >

+

Numeratore > 0

Denominatore > 0

( )21 per2 1 0 S chè?k + > ⇒ = Q

( )423 0 S perchè?k + > ⇒ = Q

(numeratore e denominatore sono sempre

positivi e, quindi, sempre concordi)

Insieme soluzione S = Q

ESEMPIO 6 Disequazione iniziale: 2 2 1 0

2y y

y+ + >

+

Scomponiamo in fattori il numeratore ( )210

2yy

+>

+


( ) { } ( )21 perch0 1 ?1 S èy + > ⇒ = − − Q

] [22 0 2 S 2,y y+ > ⇒ > − ⇒ = − +∞

Rappresentiamo graficamente S1 e S2 (nello stesso grafico) (Il simbolo “×” in corrispondenza di −1 indica che tale valore non è soluzione della disequazione)

Intervalli con il segno “+” ] [ ] [2, 1 ; 1,− − − +∞

Insieme soluzione ] [ ] [ ] [ { }S 2, 1 1, 2, 1= − − ∪ − +∞ = − +∞ − −

PROVA TU

1) Risolvi le seguenti disequazioni come negli esempi precedenti: 23 2 0

2x x

x+ − < ;

2

23 5 0

1bb

+ >+

3 1 02 1 1x x

+ ≥− −

; 2 4 4 0

3h h

h− + >

+

2) Determina il segno delle seguenti frazioni:

a) 2

26 2

4a aa

+ −−

; b) 23

12b

b b+ −

y + 2 > 0 + − +

(y + 1)2 > 0

−2 −1

×

104

ESERCIZI CAPITOLO 10

Disequazioni


1) Dai la definizione di disequazione in tutti i modi che conosci.

2) Quale, fra le seguenti, non è una disequazione algebrica razionale intera?

a) 31 2 32

z z+ > ; b) 2 2 0y y+ < ; c) 3 4 01

tt

− ≥+

; d) 3 2 05

h − <

3) Vero o falso.

a) La disequazione 3 0t t− ≤ è una disequazione algebrica. V F

b) La disequazione 25 0ab b− < è di secondo grado. V F

c) La disequazione 24 1 0

2m hm

m− + ≥ può essere intera. V F

d) La disequazione 24 1 0

2m hm

m− + ≥ può essere numerica. V F

4) Che cosa si intende per soluzione di una disequazione?

5) Che cos’è l’insieme soluzione di una disequazione?

6) Una sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?

a) Una disequazione ha sempre un numero finito di soluzioni;

b) Una disequazione di primo grado ha una sola soluzione;

c) Una disequazione ha sempre un numero infinito di soluzioni;

d) Una disequazione può avere un numero finito di soluzioni;

e) Se una disequazione ha almeno una soluzione, allora ne ha infinite.

7) Che cosa si intende per intervallo numerico?

8) Come puoi rappresentare un intervallo numerico?

9) Rappresenta graficamente l’insieme A = { }/ 2 5x x∈ − ≤ <Q

10) Con quale delle seguenti scritture puoi indicare l’intervallo −3 ≤ x < 5?

a) [−3, 5]; b) ]−3, 5]; c) ]−3, 5[; d) [−3, 5[; e) (−3, 5).

11) Con quale delle seguenti scritture puoi indicare l’intervallo y < 9?

a) [ [,9−∞ ; b) [ ],9−∞ ; c) ] [9,+∞ ; d) ] ],9−∞ ; e) ] [,9−∞

12) Con quale delle seguenti scritture puoi indicare l’intervallo t > −1?

a) ] ]1, ;− +∞ b) [ ]1,− +∞ ; c) [ [1,− +∞ ; d) ] [,1+∞ ; e) ] [1,− +∞

105

13) Quale intervallo è rappresentato nella seguente figura?

a) [ [1,5− ; b) ] [1,5− ; c) ] ]1,5− ; d) [ ]1,5− ; e) ] [, 1−∞ −

14) Quale intervallo è rappresentato nella seguente figura?

a) [ ]3,7 ; b) ] ]3,7 c) [ [3,7 ; d) [ [7,+∞ ; e) ] [3,7

15) Quale, fra le seguenti figure, è la rappresentazione dell’intervallo 8x ≤ ?

a)

b)

c)

d)

e)

16) Quando, due disequazioni si dicono equivalenti?

17) Che cosa afferma il primo principio di equivalenza delle disequazioni? E il secondo?

18) Quale delle seguenti proposizioni è falsa?

a) Se, ad ambo i membri di una disequazione, si aggiunge un numero negativo, si ottiene

una disequazione equivalente a quella data.

b) Se si moltiplicano ambo i membri di una disequazione per un numero positivo, si ottiene

una disequazione equivalente a quella data.

c) Se si dividono ambo i membri di una disequazione per un numero negativo e si cambia

il verso della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

d) Se si moltiplicano ambo i membri di una disequazione per un numero non negativo, si

ottiene una disequazione equivalente a quella data.

19) Quale, fra le seguenti disequazioni, non è equivalente alla disequazione 2 3 5x x− < − ?

a) 3 3 5x − < ; b) 4 6 10x x− < − ; c) 3 5 2x x− < − ;

d) 9 6 15 3x x− < − ; e) 8 2x x− < − .

−1 5

8

8

8

73

8

8

106

20) Q è l’insieme soluzione di una sola delle seguenti disequazioni; quale?

a) ( ) 6 13 22

xx −+ > ;

b) ( ) 6 123 22

xx ++ > ;

c) ( ) 6 13 22

xx −− > ;

d) ( )3 2 3 6x x+ > − − ;

e) ( ) 3 13 22

xx −+ >

21) L’insieme soluzione di una sola delle seguenti disequazioni è un insieme finito. Quale?

a) ( )21 0x + ≥ ;

b) ( )31 0a + > ;

c) ( )21 1 0z − + > ;

d) ( )21 0t + > ;

e) ( )21 0m + ≤ .

22) L’insieme vuoto non è soluzione di una sola delle seguenti disequazioni; quale?

a) ( ) ( )22 1 4 1 ;a a a+ < +

b) 2 1 0 ;h− − ≥

c) ( )( ) ( ) ( )4 1 2 2 2 1 2 4 ;x x x x x+ − < − − +

d) ( ) ( )3 31 1 3 1 ;b b b b+ < + + +

e) ( ) ( )22 1 2 2m m m− > −

23) Una sola delle seguenti disequazioni è equivalente alla disequazione 4 3 0 ;x − > quale?

a) ( )( )2 4 3 0 ;x x− − > b) ( )( )2 4 3 0 ;x x− − <

c) ( )4 3 4 0 ;x− > d) ( )24 3 0 ;

1x

x− >

− e) 2

3 4 0 .1x

x− <

+

24) L’intervallo ] ] ] [, 5 3,−∞ − ∪ +∞ è l’insieme soluzione di:

a) ( )( )3 5 0 ;s s− + ≥ b) 5 0 ;3

mm

+ ≤ −

c) ( )( )5 3 0 ;a a+ − >

d) 5 0 ;3

hh

+ ≥ −

e) 3 05

zz

− ≥ .+

107

ESERCIZI

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere di primo grado:

1) 2 5 0 ;x − > 9 3 0b− < ] [5S , ; S 3,2

⎡ ⎤⎤ ⎡= +∞ = +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

2) 5 10 0 ;a− > 2 3 1m + < ] [1S , ; S , 12

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ = −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

3) 3 0 ;y > 6 5t t+ ≥ ] [ [ [S 0, ; S 1,⎡ ⎤= +∞ = − +∞⎣ ⎦

4) 4 1 2 ;3

z − < 5 0s− ≥ ] ]9S , ; S ,04

⎡ ⎤⎤ ⎡= +∞ = −∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

5) 3 7 5 1;a a− ≤ + ( )2 1 0m + < ] [1S , ; S , 16

⎡ ⎤⎡ ⎡= +∞ = −∞ −⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

6) 3 2 1;k k− ≤ +

( )5 1 3 2v v+ ≥ +

3 5S , ; S ,2 2

⎡ ⎤⎤ ⎤ ⎡ ⎡= −∞ = +∞⎢ ⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎦ ⎦ ⎣ ⎣⎣ ⎦

7) ( )( ) ( )1 1 4b b b b− + ≤ − 1S ,4

⎡ ⎤⎤ ⎤= −∞⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

8) ( )3 2 2 1 5h h h− > + + + [ ]S = ∅

9) 2 1 113 4 3

z z− > +

16S ,5

⎡ ⎤⎤ ⎡= +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

10) ( )4 2 2 4 6x x x+ − − > +

] [S 4,⎡ ⎤= − +∞⎣ ⎦

11) 2 7 3 15 3 5 3

k k⎛ ⎞− > −⎜ ⎟⎝ ⎠

32S ,3

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

12) ( ) ( )( )22 1 4 3 4y y y+ ≥ − + [ ]S = Q

13) 2 5 5 23 9 6

z z− ≥ −

26S ,3

⎡ ⎤⎤ ⎤= −∞⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

14) ( )8 1 519 3 6

a a a+ − ≤ 6S ,7

⎡ ⎤⎤ ⎤= −∞⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

15) ( )( ) ( ) 23 1 2 4 4 2 9t t t t t t t− + − < − − + [ ]S = Q

16) 3 8 14 2

m − < 10S ,3

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

17) 29 6s s s−− > 6S ,

13⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

18) 3 7 5 412 9h h− −> 5S ,

11⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

108

19) 1 2 1 2 5 42 3 6 3

p p p p− + − ++ < − 12S ,7

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

20) 5 7 11 63 4 2

r r r+ +> + 5S ,4

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

21) 2 1 1 91

2 2 2 4 8t t t⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [ ]S = ∅

22) 3 4 7 95 2 4

h h h− − ++ ≥ ] ]S ,3⎡ ⎤= −∞⎣ ⎦

23) ( )7 4 1 5 82 36 3 6 5

w w w− ⎛ ⎞− + ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠

] ]S ,0⎡ ⎤= −∞⎣ ⎦

24) ( ) ( )3 3 21 2 3 7y y y y y+ − + > + + ] [S , 2⎡ ⎤= −∞ −⎣ ⎦

25) ( ) ( )224 23 5 312 8 3 4 6

b b bb b b− ++ ++ − > − 7S ,9

⎡ ⎤⎤ ⎡= − +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

26) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 22 3 2 4 1 2 2 4 6 2h h h h h h h h− − + + + ≤ − + + + −

] ]S , 2⎡ ⎤= −∞⎣ ⎦

27) ( ) ( )( ) ( )( )23 2 1 1 7 2 34 2 4

s s s s s− + − + −− ≤ 48S ,

5⎡ ⎤⎡ ⎡= +∞⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

28) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 37 8 512 6 6

z zz

+ −− + > 17S ,

24⎡ ⎤⎤ ⎡= +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

29) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 22 4 2 2 4 8 3 16z z z z z z+ − − ≥ + − − + + + [ [S 2,⎡ ⎤= − +∞⎣ ⎦

30) ( ) ( )1 4 1 3 53 13 2 2 6

kk k k−− + < − + [ ]S = ∅

31) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 222 2 2 1 1 2 2 2 4 2 3m m m m m m m− − + − < − + + + + [ ]S = Q

32) ( ) ( ) ( )2 3

24 3 5 1 1 2 323 2 24 3 2

v v v vv− − + +⎛ ⎞+ + + < ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ] [S , 2⎡ ⎤= −∞ −⎣ ⎦

33) 2 2 2 23 5 1 3 2 12 1

5 4 2 2 2 2 5x x x x x xx+ − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − < + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ] [S , 7⎡ ⎤= −∞ −⎣ ⎦

34) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 321 1 7 2 1 4 2 4 3a a a a a a a a+ − − − + − + < − + − 7S ,

15⎡ ⎤⎤ ⎡= − +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

35) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )332 3 3 2 3 5 3 3 )3 1 2

3 2 4 2y y y y y y

y− − − + −

− > − + [S = ∅]

36) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 28 11 2 2 1 3 2 3 5 83 3

d d d d d− − − − + ≤ + − + 4S ,3

⎡ ⎤⎡ ⎡= − +∞⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

109

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche frazionarie:

37) 3 0 ;2

aa

− > 7 9 02

mm

+ ≤−

] [ 9S 0,3 ; S , 27

⎡ ⎤⎡ ⎡= = −⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

38) 3 5 0 ;6 2

hh

+ < −

3 8 05k

k− ≥ ] [ ] [5 8S , 3, ; S ,0 ,

3 3⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎡ ⎡= −∞ − ∪ +∞ = −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎦ ⎣ ⎣ ⎣⎣ ⎦

39) 8 3 ;5 10 2x x

− > − −

4 06 5v

≤+

] [ 5S 2, ; S ,6

⎡ ⎤⎤ ⎡= +∞ = −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

40) 2 5 0 ;4 2

tt

+ ≤ +

16 8 03 9

vv− ≥+

] ]5S ,3 ; S 3, 22

⎡ ⎤⎡ ⎡= − = −⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

41) 7 3;6 4b

≥ +

1 04c

<+

] [2 5S , ; S , 43 18

⎡ ⎤⎤ ⎤= − − = −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

42) 3 2 1;ss+ < 8 5 3

2tt

− >−

] [ ] [ [ [S 1,0 ; S ,1 2,⎡ ⎤= − = −∞ ∪ +∞⎣ ⎦

43) 7 5 ;3 2 2z

≥ −

4 04 5c

− ≥+

2 8 4S , ; S ,3 5 5

⎡ ⎤⎤ ⎤ ⎤ ⎡= = −∞⎢ ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎢⎦ ⎦ ⎦ ⎣⎣ ⎦

44) 32 0 ;1w

+ > +

2 1 2

1y yy

+ > +−

] [ ] [5S , 1, ; S 1,32

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ − ∪ − +∞ =⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

45) 8 3 2 ;2 5

kk− > −

− 3 5

4 6 3 2x x>

− − ] [ 5 3S , 2 , ; S ,

2 2⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎤ ⎡= −∞ ∪ +∞ = +∞⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

46) 2 3 1;3 4

zz

+ < −

2 5

1x x x

x+ <−

] [ ] [1S , 3, ; S 0,13

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ ∪ +∞ =⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

47) ( ) ( )22 4

2 37p

pp

−≤ −

− [ [S 11,7⎡ ⎤= −⎣ ⎦

48) 9 5 3 74 2 2s s s

s+ + −− < ] [ 5S ,0 ,

11⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

49) 4 1 4 05 2 2 5

y yy y

− ++ ≥− −

2 5S , ,5 3

⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎡ ⎡= −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎦ ⎣ ⎣ ⎣⎣ ⎦

50) 3 1 3 1 31 3 9

m m mm

− − −− <+

1S 1,8

⎡ ⎤⎤ ⎡= −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

51) 4 3 4 15 4 3

aa

−+ >+

] [ 8S , 4 ,13

⎡ ⎤⎡ ⎡= −∞ − ∪ +∞⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

52) ( )2 217 5 1 2 33 2 6 12 2

bb b b bb b++ − +− + ≤+ +

3S 2,4

⎡ ⎤⎤ ⎤= −⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

53) ( )( ) 22 25 3 4 26 6 6 1 3 3

x x x xxx x x

− + −− > +− − −

14S ,119

⎡ ⎤⎤ ⎡=⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

110

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche di grado superiore al primo:

54) ( )1 0 ;b b + > ( )( )3 2 0s s− + < ] [ ] [ ] [S , 1 0, ;S 2,3⎡ ⎤= −∞ − ∪ +∞ = −⎣ ⎦

55) ( )22 1 0 ;t − < ( )35 0h− > ] [S ;S ,5⎡ ⎤= ∅ = −∞⎣ ⎦

56) 21 0 ;4

r r+ − > 43 1 0

2 4m⎛ ⎞+ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠ { }1S ;S =

2⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Q Q

57) 215 2 0 ;x x+ − < 2 1 0t − ≤ ] [ [ ]5S , 3, ;S 1,12

⎡ ⎤⎤ ⎡= −∞ − ∪ +∞ = −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

58) 29 4 12 0 ;z z+ + ≤ 242 18 0y y− > { }2 7S ;S 0,3 3

⎡ ⎤⎤ ⎡= − =⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

59) 4 24 1 0 ;v v+ + < 23 8 0s + ≥ [ ]S ;S == ∅ Q

60) 327 8 ;w− ≥ 0 264 25 0a− < 2 8 8S = , ;S , ,3 5 5

⎡ ⎤⎤ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡−∞ = −∞ − ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎦ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

61) ( ) ( )21 2 5 0p p− + > { }5S , 12

⎡ ⎤⎤ ⎡= − +∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

62) 3 26 4 2k k k+ > ] [ 1S 1,0 ,3

⎡ ⎤⎤ ⎡= − ∪ +∞ ⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

63) 3 225 30 9 0a a a− + ≥ [ [S 0,⎡ ⎤= +∞⎣ ⎦

64) 213 21 2b b− ≤ ] ] 7S ,3 ,2

⎡ ⎤⎡ ⎡= −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎢ ⎢⎣ ⎣⎣ ⎦

65) 29 1 3 0s s+ − > [ ]S = Q

66) 3 22 7 6w w w− > − [ [3S , 1 2,2

⎡ ⎤⎤ ⎡= − − ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

67) ( )2 42 1 4 0z z− + − > [ ]S = ∅

68) 2

25 139 4

y y⎛ ⎞− ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]S = Q

69) 4 24 1 1 09 4 3

m m+ − ≤ [ ]S = ∅

70) 3 21 3 8 04 2

x x+ − < ] [ { }S , 2 4⎡ ⎤= −∞ − −⎣ ⎦

71) 2 29 4 4 325 9 5 5

h h h+ + ≥ − [ ]S = Q

72) 3 25 8 48 0z z z− − + > ] [ { }S 3, 4⎡ ⎤= − +∞ −⎣ ⎦

111

Studia il segno delle seguenti frazioni:

73) 2

22 3 ;

4m m

m− −

−

2

29 6 1 ;

15 8 1a aa a

− + − +

25 7t

t−

74) ( )2

2

5;

2 3pp−

+

6

23 2 ;

1yy

+ −

3 2

23 3 1

1v v v

v+ + +

−

75) 4 2

25 ;1

k kk

+ +

2

4 23 ;

5ss s

+ + +

2

212 3

1z

z−

+

76) 23 5 2 ;

5w w

w+ −

+

2

26 2 ;

16d dd

− −

3 23 12 12

5 10x x x

x+ +

−

Risolvi le seguenti disequazioni di vario tipo

77) 3 22 5 2 0x x x+ − + ≥ [ [1S 2, 1,2

⎡ ⎤⎤ ⎡= − ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

78) 5 2 13 12 4 2b

b b− + ≥− −

] [2S , 2,5

⎡ ⎤⎤ ⎤= −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

79) 2 3 2 1 1:1 1 1

kk k k k k

+⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ] [ { }S 1, 0⎡ ⎤= − +∞ −⎣ ⎦

80) ( )2

2

2 2 8 04 2 3

s ss s

+ −− + ≥− +

] ] ] ] ] [S , 4 2,1 2,⎡ ⎤= −∞ − ∪ − ∪ +∞⎣ ⎦

81) 2 62 03

aaa

−+ + >−

] [S 4,⎡ ⎤= − +∞⎣ ⎦

82) 3 22 5 12 0t t t− − ≤ [ ]3S , 0, 42

⎡ ⎤⎤ ⎤= −∞ − ∪⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

83) 4 3 26 10 6 9 0z z z z− + − + ≤ { }S 3⎡ ⎤=⎣ ⎦

84) 4 27 3 0w w+ > { }S = 0⎡ ⎤−⎣ ⎦Q

85) 2

23 2 1 03 4 1c cc c

− − <+ +

] [S 1,1⎡ ⎤= −⎣ ⎦

86) 2

22 1 0

3y

y+ >

+ [ ]S = Q

87) 5 4 3 23 12 6 0h h h h+ + + ≤ { }1S , 02

⎡ ⎤⎤ ⎡= − +∞ −⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

88) ( )2 2

45 4 2 1v v

v+ > − − { }S = 0⎡ ⎤−⎣ ⎦Q

89) ( )2 44 5 7 5 0x x+ + + < [ ]S = ∅

90) 4 1 2 03

ss s s

−+ − ≥−

[ ] [ [S 1,3 3,0⎡ ⎤= ∪ −⎣ ⎦

112

Quesiti vari

Formalizza con una disequazione e, successivamente, risolvi i seguenti problemi:

91) Marta decide di partecipare ad un corso di cucina che prevede, al massimo, 10 lezioni. Le

vengono fatte due proposte di pagamento:

proposta A: al termine di ciascuna lezione Marta pagherà € 9.50;

proposta B: Marta pagherà anticipatamente € 55 più una tassa di € 5 per le 10 lezioni.

Dopo una breve riflessione, Marta opta per la proposta B

Qual è il numero minimo di lezioni alle quali dovrà partecipare Marta affinchè la proposta B

risulti, economicamente, più conveniente? [7]

92) Un’azienda vinicola immette sul mercato una nuova qualità di vino al prezzo di € 1.50 al litro.

La produzione del vino ha un costo fisso di € 9500 al quale è necessario aggiungere il 5% del

costo fisso per il lancio pubblicitario ed il 3%, sempre del costo fisso, quale contributo per le

spese di spedizione verso i diversi rivenditori; l’azienda prevede di guadagnare, da questo

nuovo prodotto, almeno € 7000. Quanti litri di vino, al minimo, dovrà immettere sul mercato?

[11507] 93) Roberta si reca al bar per la solita colazione: un caffè, al costo di € 0.80, e un cornetto, al

costo di € 1.30. Mentre consuma la sua colazione, Roberta vede sul bancone del bar un

contenitore di cioccolatini che costano € 0.12 l’uno e non sa resistere alla tentazione di

acquistarne qualcuno; nel suo borsellino, Roberta ha soltanto € 3.47. Quanti cioccolatini, al

massimo, potrà acquistare? [11] 94) Il flacone da 3 l del detersivo usato da Paola per il suo bucato costa € 4.10. Lo stesso

detersivo, al centro commerciale, è in offerta con uno sconto del 20%. Paola calcola che, per

raggiungere il centro commerciale distante da casa sua km 7, occorrono 0.7 l di benzina che

costa € 1.47 al litro. Se Paola vuole risparmiare almeno 5 €, quanti flaconi di detersivo, al

minimo, deve acquistare? [5]

95) Un’azienda produce delle viti speciali per alcuni macchinari che vende al prezzo di € 0.75

l’uno. La produzione di queste viti comporta un costo fisso di € 2780 e di € 0.35 per ogni vite

prodotta. Qual è il numero minimo di viti che l’azienda deve produrre per rimanere in attivo?

[6951] 96) Il commesso di un negozio di abbigliamento guadagna € 35 al giorno e, in più, € 0.80 per ogni

capo venduto. Quanti capi di abbigliamento, al minimo, deve vendere in un giorno se vuole

guadagnare almeno € 70 in un giorno? [44]

113

97) La differenza di due numeri naturali è 6 e la metà della loro somma è minore di 5. Quali

possono essere i due numeri? [0 e 6; 1 e 7]

98) In una frazione numeratore e denominatore sono interi positivi e la loro differenza è 15; se si

dimezza il numeratore e si triplica il denominatore si ottiene una frazione minore di 2. Qual è

il più piccolo valore che può assumere il numeratore della frazione? [17]

99) Date le equazioni:

( ) ( )1 2 2 3b x x b− − − = e ( ) ( )4 3 5 7x b b x− − + =

Per quali valori di b la somma delle loro soluzioni è minore di 4? ] [ 23, 4 ,5

b⎡ ⎤⎤ ⎡∈ −∞ ∪ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

100) Considera la proposizione:

“La somma di due numeri naturali è 10 e la differenza dei loro quadrati è minori di 50”.

Quanti sono gli elementi del suo insieme di verità? [8]

101) Sia P(a) = 4 3 25 10a ha a− − − un polinomio. Quali valori può assumere la lettera h affinchè

P(3) sia maggiore di 3? 2 ,9

h⎡ ⎤⎤ ⎡∈ +∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

102) Per quali valori di a la soluzione dell’equazione ( ) ( )1 2 5a z z− = + è negativa? ] [10, 2a⎡ ⎤∈ −⎣ ⎦

103) Per quali valori di k il resto della divisione ( )3 2 13 5 1 :2

b kb b b⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

è maggiore di 3?

7,2

k⎡ ⎤⎤ ⎡∈ −∞⎢ ⎥⎥ ⎢⎦ ⎣⎣ ⎦

104) Per quali valori di m la soluzione dell’equazione ( ) ( )2 1 3 4m y m y m m+ − − = + è un numero

non positivo? ] ] { }, 2 2m⎡ ⎤∈ −∞ − −⎣ ⎦

105) Per quali valori di b il resto della divisione ( )3 2 38 5 3 2 :4

z z bz z⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

è un numero non

negativo? 41,36

b⎡ ⎤⎤ ⎤∈ −∞ −⎢ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦⎣ ⎦

106) Qual è il più grande degli interi positivi n tali che la media aritmetica dei numeri da 1 a n sia

minore di 2003?

a) 2002; b) 2003; c) 4003; d) 4004; e) 4005


114

IL PRESENTE FASCICOLO E’ STATO REALIZZATO DA:

Prof.ssa Rescio Anna Maria

Prof.ssa Stefanazzi Rita

Prof. Tiralongo Salvatore

Prof.ssa Torchia Meri

Prof.ssa Torchia Rina

Prof. Vadacca Antonio

Documents

Tomo 2 algebra - Istituto Tecnico Industriale Statale ... 2... · BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 2 ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto