Tóm tắt lí thuyết và phương pháp giải toán 12 Tác giả: Nguyễn Thanh Nhàn Nguồn gốc: Trường THPT Ngô Gia Tự

8/13/2019 Tóm tắt lí thuyết và phương pháp giải toán 12 Tác giả: Nguyễn Thanh Nhàn Nguồn gốc: Trường THPT Ngô Gia Tự

http://slidepdf.com/reader/full/tom-tat-li-thuyet-va-phuong-phap-giai-toan-12-tac-gia-nguyen 1/104



T ÓM T ẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

NGUY ỄN THANH NHÀN :[email protected] . :0987.503.911 2

MỤC LỤC

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1. S ự đồng biến - nghịch biến của hàm số ............................................. 42. C ực trị của hàm số ..................................................................................................... 63. GTNN - GTLN c ủa hàm số ............................................................................ 12

4. Ti ệm cận ............................................................................................................................. 13

5. Khảo sát hàm số ........................................................................................................ 14

6. M ột số bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị ....................... 17

Chương II: HÀM SỐ MŨ LŨY THỪA LÔGARIT 1. M ũ, lũy thừa và lôgarit...................................................................................... 29

2. Phương tr ình m ũ....................................................................................................... 33

3. Phương tr ình lôgarit ............................................................................................. 35

4. Bất phương tr ình m ũ, lôgarit ....................................................................36

Chương III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

1. Nguyên hàm .................................................................................................................... 372. Tích phân ........................................................................................................................... 41

3.Ứng dụng h ình h ọc của tích phân ....................................................... 45

Chương IV: SỐ PHỨC .............................................................................................................. 47

Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHỐI TRÒN

XOAY .......................................................................................................................................... 49

Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN1. H ệ tọa độ trong không gian ......................................................................... 51

2. Phương tr ình mặt cầu .........................................................................................55

3. Phương tr ình mặt phẳng.................................................................................60

4. Phương tr ình đường thẳng .......................................................................... 66

5. Vị trí tương đối ........................................................................................................... 73

6. Khoảng cách và góc................................................................................................ 757. Tìm m ột số điểm đặc biệt .............................................................................. 77





Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG

1. Tam th ức bậc hai, PT, BPT bậc hai ...................................................79

2. Xét dấu biểu thức ................................................................................................... 84

3. Gi ới hạn vô cực và tại vô cực của hàm số .................................. 89 4. Đạo hàm .............................................................................................................................. 92

5. Công th ức lượng giác và phương tr ình l ượng giác ........... 95

PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm bài thi môn Toán .................................... 102

Trên con đường thành công không có dấu châncủa kẻ lười biếng.





Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGH ỊCH BIẾN CỦA H ÀM SỐ

* Định nghĩa: - y f x đồng biến tr ên K

1 2 1 2 1 2 x ,x K : x x f x f x

- y f x nghịch biến tr ên K

1 2 1 2 1 2 x ,x K : x x f x f x * Dạng toán: Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của h àm số

1. Tìm miền xác định.2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tớ i hạn.3. Xét dấu đạo hàm4. K ết luận:

a) Nếu 0f ' x vớ i mọi x a; b thì hàm số f x đồng biến trên khoảng a; b

b) Nếu 0f ' x vớ i mọi x a; b thì hàm số f x nghịch

biến trên khoảng a; b

Chú ý: 0f ' x chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng

a; b thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.

Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f x g x , x a; b ta qua các bướ c sau:

1. Biến đổi:

0 f x g x , x a,b f x g x , x a,b

2. Đặt h x f x g x

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM





3. Tính h' x và lậ p bảng biến thiên của h x . Từ đó suy ra kết quả.

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y f x luôn luôn tăng (hoặ c

luôn luôn giả m) trên miền xác đị nh

- Các hàm số 3 2 0 y ax bx cx d a và

2

0

ax bx cy a

Ax Bluôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm)

trên miền xác định của nó khi và chỉ khi 0y' (hoặc 0y' ) x D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm tr ườ ng hợ p a=0

(đối vớ i hàm bậc 3) 0 0 y '

a (hoặc 0 0 y '

a )

- Hàm số

ax by

cx dluôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên

miến xác định của nó khi và chỉ khi 0y' (hoặc 0y' ) x D





Bài 2: C ỰC TRỊ CỦA H ÀM SỐ

Bài toán 1: Áp d ụng quy tắc 1 t ìm cực trị của h àm số 1. Tìm miền xác định

2. Tìm f ' x

3. Tìm các điểm tại đó 0f ' x hoặc f ' x không xác định (gọi

chung là điểm tớ i hạn).4. Sắ p xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lậ p bảng xét dấu

đạo hàm.5. Nêu k ết luận về cực tr ị.

Bảng tóm tắt:

CĐ

-+

xo ba

f(x)

f'(x)

x

CT

+-

xo ba

f(x)

f'(x)

x

Bài toán 2: Áp d ụng quy tắc 2 t ìm cực trị của h àm số 1. Tính f ' x . Giải phương tr ình 0f ' x .

Gọi 1 2i

x i , ,... là các nghiệm của phương tr ình.

2. Tính f " x và if " x

3. Dựa vào dấu của if " x suy ra k ết luận về cực tr ị của điểm

ix theo định lí sau:Định lí:





Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấ p hai trên khoảng a; b

chứa điểmo

x và 0o

f ' x . Khi đó:

a) Nếu 0of " x thì ox là điểm cực tiểu. b) Nếu 0

of " x thì

ox là điểm cực đại.

Bài toán 3: Tìm điều kiệ n của m để hàm số đạ t cự c tr ị tại một điể mcho trướ c. Áp d ụng định lí Fec-ma:

Giả sử y f x có đạo hàm tại điểm o

x x .

Khi đó nếu y f x đạt cực tr ị tại điểm ox x thì 0of ' x .

Chú ý: Nếu 0o

f ' x thì chưa chắc hàm số đạt cực tr ị tại điểm

o

x x . Do đó khi tìm đượ c m thì phải thử lại.

Bài toán 4: Tìm điều kiện để h àm số có cực đại v à cực tiểu

Các hàm số 2

3 2

ax bx cy ax bx cx d vaøy

Ax B

có một cực đại

và một cực tiểu khi và chỉ khi phương tr ình 0y' có hai nghiệm phân biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàmhữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu. Bài toán 5: Viết phươ ng trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1. Cho hàm số 2

ax bx cy C

Ax B

- Nếu (C) có hai điểm cực tr ị - Thì phương tr ình đườ ng thẳng qua hai điểm cực tr ị đó là

2

ax bx c 'y

Ax B 'hay

2

a by x

A A

2. Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d C

- Nếu (C) có hai điểm cực tr ị và chia y cho y’ ta đượ c

y y' .A x x





- Thì phương tr ình đườ ng thẳng qua hai điểm cực tr ị đó là y x

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạ t cự c tr ị tại0

x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặ c

0

0

0

ñoåi daáu khi qua

y' x

y' x )

Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạ t cực đại tại 0x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặ c 0

0

0

ñoåi daáu töø+ sang khi qua

y' x

y' x )

Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạ t cự c tiể u tại 0x :

0

0

0

0

y' x

y" x(hoặ c

0

0

0

ñoåi daáu töø sang khi qua

y' x

y' x )

Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ,CT tại 1 2x , x thỏ a

1 2 Ax Bx C :

1 2

1 2

1 2

0

y'

Ax Bx C

bx x

a

cx xa

vớ i 1 2x , x là nghiệ m củ a 0y'

Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cự c tr ị cùng d ấ u:

Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là0

0

y '

a





Gọi 1 1 2 2A x ; y ,B x ; y là hai điểm cực tr ị. Ta có

1 2 0y x .y x (trườ ng hợ p trái dấu thì ngượ c lại)

Chú ý: Hàm số viết thành: y P x .y' mx n (lấy hàm số chia

cho đạo hàm)

1 1

2 2

y x mx n

y x mx n

Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằ m về hai phía đố ivớ i trụ c tung: Điều kiện để ycbt đượ c thỏa mãn là 0y' có hai nghiệm

trái dấu. Khi đó 0 c

P a

Bài toán 12: Cách tính nhanh giá tr ị cự c tr ị củ a hàm hữ u tỉ 2

ax bx cy

mx n

Tìm các điểm cực tr ị của hàm số (nghiệm của phương tr ìnhy’=0)

2cöïctrò

ñaïo haøm cuûaTSñaïo haøm cuûaM S

ax bym

r ồi thay x cực tr ị vào phân

số này ta có cöïctròy tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho

hàm hữu tỉ

Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương 4 2 y ax bx c có 3 điể m cự c tr ị l ậ p thành một tam giác đều:

TXĐ: D=R Tính 3 24 2 2 2 y' ax bx x ax b ,

22

000

0 12 02

xx

y' bx a ( )ax b

a





Ycbt tương đương phương tr ình (1) có hai nghiệm phân biệt

khác 0. Khi đó 02

b

a

Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y f x C đạ t cự c tr ị bằ ng tại

x là

0

0

; C

y'

y''

Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điể m cự c tr ị l ậ p thành mộ t tam

giác. Tính diện tích tam giác đó: Tính y' , tìm 3 điểm tớ i hạn, suy ra 3 điểm cực tr ị A, B, C. Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:

12

S | xy' x' y | vớ i

AB x; y

AC x'; y'

Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điể m cự c tr ị l ậ p thành một tam giác đều:

TXĐ: D=R Tính

3

2

04 2 0

2 0

xy' ax bx; y'

ax b

2

0

0 12

x

bx a ( )

a

Điều kiện để ycbt đượ c thỏa là phương tr ình (1) có hai nghiệm

phân biệt khác 0. Khi đó: 02

b

*a





Với điều kiện (*), giải phương tr ình

0

02

2

x y c A

by' x y ? Ba

bx y ? C

a

. Tìm được 3 điểm cực tr ị

A, B, C. Do tam giác ABC đều nên2 2

2 2

AB AC

AB BC

, từ đó tìm

đượ c m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).





Bài 3: GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT – GIÁ TR Ị LỚN NHẤTC ỦA H ÀM SỐ

* Định nghĩa:

- 0 0K

f x m, x K min y m x K : m f x

-

0 0K

f x M , x K max y M

x K : M f x

* Dạng toán: Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của h àm số tr ên một khoảng

Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y f x trên khảng a; b ta lậ p

bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a; b r ồi dựa vào đó mà kết

luận. Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của h àm số li ên tục tr ên một đoạn

a; b

Cách 1: Có thể lậ p bảng biến thiên r ồi dựa vào đó mà kết luận.Cách 2: Qua 3 bướ c:

1. Tìm các điểm 1 2 nx ,x ,...,x trên a; b mà tại đó 0f ' x hoặc

f ' x không xác định.

2. Tính 1 2 nf a , f b , f x , f x ,..., f x .

3. Tìm số lớ n nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:

a ; b a ; b

M max f x ,m mi n f x

Bài toán 3: Tìm m để phươ ng trình f x m có nghiệm tr ên D:

Xét hàm số y f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tậ p giá

tr ị của y từ đó kết luận đượ c m.





Bài 4: TI ỆM CẬN 1. Cách tìm tiệm cận:

Nếu0

x xl im y ( ) thì đườ ng thẳng 0x x là tiệm cận đứng.

Nếu 0

xl i m y y thì đườ ng thẳng 0y y là tiệm cận ngang.

Nếu hàm số viết thànhSoádö

thöôngM aãuso

y ax b (chia đa thức)

mà 0Soádö

M aãusoá

xl i m thì đườ ng thẳng y ax b là tiệm cận xiên.

* Đườ ng thẳng y ax b gọi là TCX của hàm số

x

x

f xa l im

y f x x

b l im f ( x) ax

2. Các đường tiệm cận của đồ thị h àm số

ax by

cx dlà :

TCÑ

TCN

d: x

c

a: y

c

3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm tr ên (C) đến 2 tiệm cận:

Gọi 0 0 M x ; f x C . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)

d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.





Bài 5: KH ẢO SÁT H ÀM SỐ

1. Sơ đồ khảo sát: 1. Tập xác định: D

2. Sự biến thiên:a) Xét chiều biến thiên của hàm số:

- Tìm đạo hàm- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.- Xét dấu đạo hàm, suy ra chiều biến thiên của hàm số.

b) Tìm cực tr ị.c) Tìm các giớ i hạn và tìm tiệm cận (nếu có)

d)

Lậ p bảng biến thiên.* Chú ý: K ế t luận về tính đồng biế n, nghịch biế n phải ở trướ c BBT3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ

thị. Chú ý:- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm,

đặc biệt cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị vớ i các tr ục tọađộ.

- Cần lưu ý các tính chất đối xứng tr ục, đối xứng tâm. 2. Các d ạng đồ thị:

1. Hàm số bậc ba: 3 2 0 y ax bx cx d a





Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2. Hàm số trùng phương: 4 2 0 y ax bx c a





Đồ thị nhận tr ục Oy làm tr ục đối xứng.

3. Đồ thị hàm số 0 0

ax by c ; ad bc

cx d

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.* Chú ý: 0 0 0 0 M x ; y C : y f x y f x





Bài 6: M ỘT SỐ B ÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN H ÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ th ị (bằng phương tr ình hoànhđộ giao điể m)

Cho hai đườ ng cong 1 2 C : y f x , C : y g x .

Để xét sự tương giao giữa 1 2C , C ta lập phương tr ình hoành

độ giao điểm f x g x (1)

1. 1C không có điểm chung vớ i 2C pt (1) vô nghiệm.

2.

1C cắt 2C t

ại n điểm phân bi

ệt pt (1) có n nghi

ệm phân biệt. Đồng thờ i nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của

1C và 2C .

Chú ý: Nếu phương tr ình hoành độ giao điểm có dạng

2 0 Ax Bx C .Ta biện luận theo A và . Tức là:- Nếu A=0. Ta có k ết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2).- Nếu A 0. Tính

+ 0 : không có giao điểm.+ 0 : Có 1 giao điểm.+ 0 : có hai giao điểm.

Nếu phương tr ình hoành độ giao điểm có dạng3 2 0 ax bx cx d . Đưa phương tr ình này về dạng:

2

0 x Ax Bx C (Chia Horner, 0a )

2 0 1

x

Ax Bx C

Biện luận theo phương tr ình (1) ta suy ra đượ c số giao điểm. Bài toán 2: Dựa vào đồ th ị biệ n luậ n số nghiệ m của phương tr ình

0F x , m (1)

1. Biến đổi 0F x , m về dạng f x g m .





2. Số nghiệm của phương tr ình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm

số y f x và đườ ng thẳng y g m

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trườ ng hợ p.

Chú ý: y g m là đườ ng thẳng song song vớ i tr ục Ox và cắt

tr ục Oy tại điểm có tung độ bẳng g m

xO

y=g(m)

y=f(x)

g(m)

1

Bài toán 3: Phươ ng trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc Dạng 1: Phương tr ình tiế p tuyế n tại điể m thuộc đồ th ị :

Phương trình tiế p tuyến của (C):

y f x tại điểm

o o

M x ; y C là:

0 0 0 y y f ' x x x

Trong đó: + 0 0M x ; y gọi là tiếp điểm.

+ 0k f ' x là hệ số góc của tiếp tuyến.

Dạng 2: Phương tr ình tiế p tuyế n biế t hệ số góc k:- Nếu tiế p tuyến song song với đườ ng thẳng y ax b thì k a

- Nếu tiế p tuyến vuông góc đườ ng thẳng y ax b thì1

ka

- Tiế p tuyến hợ p vớ i chiều dươ ng của tr ục hoành một góc thì k tan

1. Giải phương tr ình

f ' x k tìm

0

x là hoành độ tiếp điểm.

2. Tính 0 0y f x .





3. Phương tr ình tiế p tuyến là 0 0 y k x x y

Dạ ng 3: Tiế p tuyến đi qua điể m A AA x ; y

1. Gọi k là hệ số góc của tiế p tuyến (d). Khi đó phương tr ình của

(d) có dạng A A

y k x x y .

2. (d) tiế p xúc vớ i (C) thi và chỉ khi hệ

A A

f ' x k

f x k x x ycó

nghiệm (hệ có n nghiệm thì có n phương tr ình tiế p tuyến)

3. Giải hệ tìm được hoành độ tiếp điểm là 0x và hệ số góc k.

4. Thay vào phương tr ình của (d) ta đượ c tiế p tuyến cần tìm. Dạ ng 4: Viết phương tr ình tiế p tuyế n (d) biế t tiế p tuyế n tạ o vớ i

đườ ng thẳ ng ( ): y=ax+b mộ t góc bằ ng ( 0 90 ): 1. Gọi , lần lượ t là góc hợ p bở i tiế p tuyến (d), đườ ng thẳng ( )vớ i chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiế p tuyến, khiđó ta có: suy ra:

11 1tan tan k atan tan tan ( )

tan tan ak

2. Giải phương tr ình (1) tìm đượ c hệ số góc k của tiế p tuyến.3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương tr ình tiế p tuyến.

Bài toán 4: Điều kiện để h àm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt : Phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và tr ục hoành là:

3 2 20 0 ax bx cx d x Ax Bx C (chia

Horner) 2 0 1

x

Ax Bx C (đặt 2 g x Ax Bx C )

Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt

khác . Khi đó

10

0

g





Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương 4 2 y ax bx c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt: * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

24 2

200

0 1

t xax bx cat bt c ( )

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

biệt. Khi đó

0

0

0

P

S

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập th ành CSC:* Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

24 2

2

00

0 1

t xax bx c

at bt c ( )

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

biệt. Khi đó

00

0

P

S

(*)

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC

nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa 2 19t t (2).

Theo định lí Viét1 2

1 2

3

4

bt t ( )a

ct .t ( )

a

* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điềukiện (*). Bài toán 7: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho AB=l:





* Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1)

* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 1

0

0

( )

A*

* Gọi 1 2A x ; m ,B x ; m là hai giao điểm của (C) và d; 1 2x , x là

nghiệm của (1). Ta có:

2

2 1 1 2 2 1

2

'AB x x | x x | | x x | l

| a | | a |. Từ đó tìm

được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*). Bài toán 8: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao choAB có độ d ài ngắn nhất: * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương


* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là1

0

0

( )

A(*)


nghiệm của (1). Ta có

2

2 1 1 2 2 1

2

'AB x x | x x | | x x |

| a | | a |. Từ đó tìm

điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*). Bài toán 9: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho OA OB với O l à gốc tọa độ: * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương


* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là1

0

0

( )

A(*)






nghiệm của (1). Ta có OA OB nên ta có 0 OA.OB . Từ đây tìm

được m, chỉ nhận những m thỏa (*).

Bài toán 10: Tìm m để d: y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng một nhánh của (C): * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1).

* Điều kiện ycbt được thỏa là

1

0

0

0

A

A.g

với là nghiệm của mẫu

số. Bài toán 11: Tìm m để d: y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng hai nhánh khác nhau của (C) * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1).

* Điều kiện ycbt được thỏa là

1

0

0

0

A

A.g

với là nghiệm của mẫu

số.

Bài toán 12: Tìm những điểm tr ên (C): y f x mà tại đó tiếp tuyếnvuông góc với đường thẳng y ax b .

* Gọi 0 0 0 M x ; y C . Hệ số góc của tiếp tuyến tại 0M là 0f ' x .

Giải phương tr ình 0 1 f ' x .a . Từ đây tìm được 0x và có được 0M .

Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y f x đều không qua

giao điểm hai tiệm cận:







* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C)

0

1

f x k x a y( )

f ' x k.

Muốn từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm. Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có diện tích không đổi:

* Gọi 0 0 M x ; f x C . Phương tr ình tiếp tuyến tại M là

0 0 0 0 0 0 y y f ' x x x y f ' x x x y .

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận. * Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứngminh.

* Tính vectơ I A , I B . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một

hằng số. Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ l à các số nguyên:

* Hàm số viết thành SoádöThöông+ M aãusoy (chia đa thức)

* Do x, y nguyên nên Mẫu số = ước của Số dư. Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ: * Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ

phương tr ình

y f x

y xhoặc

y f x

y x

Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi 0 0 0 0 A x ; y ,B x ; y là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa

độ. * Thay tọa độ A, B vào phương tr ình của hàm số ta được hệ phươngtrình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm. Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị h àm nhất biến sao cho tổng

khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:





* Gọi 0 0 M x ; f x C . Tìm TCĐ, TCN.

* Tính 2M ,TCÑ M ,TCN M ,TCÑ M,TCN

d d d d .d A . Vậy

mind=A. Khi đó TCÑ ,TCN M , Md d . Từ đó tìm được M Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y ax b

* Gọi d . Vậy phương tr ình1

: y x ma

. Tìm tọa độ giao

điểm I của d và * Lập phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và . Biến đổi phương

trình này về dạng 2 0 Ax Bx C (1).* Gọi 1 1 2 2A x ; y ,B x ; y là hai giao điểm của và (C). ta có I là

trung điểm AB. Vậy 1 2 2 I

x x x . Từ đây tìm được m. Thay vào (1)

tìm A và B. Bài toán 23: Tìm những điểm tr ên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k lần khoảng cách từ đó đến Oy:

* Gọi 0 0 M x ; f x C . Tính M ,Ox M ,Oyd ,d

* Giải phương tr ình:

M ,OX M ,Oy

d k.d

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm 0 0I x ; y làm tâm đối xứng:

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơOI với 0 0I x ; y , hệ trục Oxy thành

hệ trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 0 0

0 0

X x x x X x

Y y y y Y y (1)

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X . Kiểm chứng F X là

hàm lẻ. Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng 0x x làm trục đối

xứng:





* Bằng phép tịnh tiến theo vectơOI với 0 0I x ; , hệ trục Oxy thành hệ

tr ục IXY. Ta có công thức đổi trục: 0 0

0

X x x x X x

Y y y Y

(1)

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y F X . Kiểm chứng F X là

hàm chẵn. Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

* Tìm tọa độ điểm M x; y theo một tham số

x g m

y h m

* Khử m từ hệ trên ta được phương tr ình 0F x; y .

* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử mđể tìm điều kiện của x hoặc y. K ết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương tr ình

0F x; y thỏa điều kiện ở bước 3.

Bài toán 27: Tìm điểm cố định m à họ mC

luôn đi qua:

* Biến đổi phương tr ình y f x ,m về dạng 0 Am B (hay

2 0 Am Bm C (ẩn m)). * Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương tr ình

00

0

0 0

AA

(hay B )

B C

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1 (tứ c là trong biểu thức không chứa m 2 , m 3 ) Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của

phương tr ình f x g x (1)

Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1)

có dạng bậc nhất (tức là trong (1) không chứa 2 3m ,m ,... ), khi đó:





* Biến đổi (1) về dạng F x m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân

thức.

* Lập bảng biến thiên của hàm số y F x

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suyra k ết luận đối với (1). Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m đểnghiệm của phương tr ình, hệ phương tr ình,... thỏa điều kiện cho trướcnào đó và một số bài toán khác về t ìm m.

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:

* T ừ đồ thị hàm số y f x C suy ra đồ thị hàm số y f x C' 1. Vẽ (C) 2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía tr ên tr ục hoành; lấy đối xứngcủa phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua tr ục hoành.3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là(C’)

x

y

1

Đồ thị hàm số y f x (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

* T ừ đồ thị hàm số y f x C suy ra đồ thị hàm số

y f x

1. Vẽ (C)





2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái tr ục Oy và chừa lại phần đồ thịnằm bên phải. 3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta cóđược đồ thị (C’).

x

y

1

Đồ thị hàm số y f x (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)





M Ũ, LŨY THỪA V À LÔGARIT1. Lũy thừa, căn bậc n: a) Đị nh nghĩa:

* . ....... , *thöøa soá

n

n

a a a a a n * 0 11; n

na a

a

b) Tính chấ t:Vớ i , *; ,a b m n ta có:

* m n m na a a *m

m n

n

aa

a

* n n nab a b *

n n

n

a a

b b

* nm mna a

* Nếu: 0 a b thì: , 0n na b n

, 0n na b n

* Nếu 1a và m n thì: m na a * Nếu 0 1a và m n thì: m na a

c) Các tính chấ t của căn bậ c n:Giả sử các biểu thức dưới đây đều có ngh ĩa. Khi đó:

* .n n na b ab * n nn

a abb

* m

mnn a a *,

| |,

khi n leû

khi n chaünnn a

aa

* n m mna a

* Lũy thừa vớ i số mũ hữu tỷ:

m

mnna a

H ÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT





2. Lôgarit:a)Đị nh nghĩa: log c

a b c b a 0 1, 0a b

b) Tính chấ t:

Cho a,b>0, 1a . Các tính chất sau đượ c suy tr ực tiế p từ địnhngh ĩa: * log 1 0a * log 1a a

* loga ba b * log k a a k k

c) So sánh logarit:Cho a,b,c>0, 1c . Ta có:

*log log* 1 log log

* 0 1 log log

Neáu thì:

Neáu thì:

c c

c c

c c

a b a bc a b a b

c a b a b

d) Các quy tắ c tính logarit: Logarit của một tích:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Ta có: 1 2 1 2log log loga a a x x x x

Logarit của một thương:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Ta có: 11 2

2

log log loga a a

x x x

x

Logarit của một lũy thừa:

Cho , 0, 1a b a . Ta có: log logk a ab k b k

Đổi cơ số: logloglog

ca

c

bba

Đặc biệt:

1*log 1

log

1*log .log 0

*log log .log 0 1

k

ab

aa

a a c

b ba

b b k k

b c b c





Logarit thậ p phân:- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thậ p phân- 10log a thường đượ c viết là lga hoặc loga

Logarit tự nhiên:- Logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên. 2,71828...e

- loge a thường đượ c viết là lna

Bảng đạ o hàm củ a hàm số l ũy thừ a, hàm số mũ v à hàm số logarit:

Hàm cơ bản Hàm hợp

1/

/ 1. x x

2//

2

1 1

x x

3/ / 1

2 x

x

/ 1. 'u u u

/

2

1 'u

u u

/ '

2

uu

u

4/ / x xe e

5/ /

.ln x xa a a

/

'.u ue u e

/

' lnu ua u a a

6/ / 1

ln x x

7/ / 1

ln x x

8/ / 1loglna x x a

9/ / 1

loglna x

x a

/ '

lnu

uu

/ '

lnu

uu

/ 'loglnauu

u a

/ '

loglna

uu

u a





PHƯƠ NG TRÌNH M Ũ 1. Phương pháp đư a về cùng cơ số:

Vớ i 0 1 a ,a . Ta có:

f x g x

a a f x g x 2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạ ng 1:

2

3 2

0

0

x x

x x x

A.a B.a C

A.a B.a C .a D

.............................................

Đặt 0 x

a t t Dạ ng 2:

2 2

2

0

0

xx x

x x

A.a B ab C .b

a aA B C

b b

Đặt: 0

x

a t tb

Dạ ng 3: 0 x xA.a B.b C vớ i 1x xa .b

Đặt: 0 xa t t . Khi đó:1

xbt

3. Phươ ng pháp logarit hóa: Với 0 0 1 M , a . Ta có:

f xa

a M f x l og M

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục:

Cho y f x tăng và y g x giảm. Khi đó phương tr ình

f x g x nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.





Cho y f x là hàm tăng (hoặc giảm). Khi đó phương tr ình

f x k nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

x

y a tăng nếu 1a và giảm nếu 0 1 a





PHƯƠ NG TRÌNH LOGARIT

1. Phương pháp đư a về cùng cơ số: Vớ i 0 1 a . Ta có:

0 0hoaëc

a a

f x g xl og f x l og g x

f x g x

Chú ý: M

alog f x M f x a (không cần đặt điều kiện của

f(x))

2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1: 2 0 0 1 a a

A.l og x B.l og x C a ,a

Đặt: a

l og x t

Dạng 2: 0 0 1 a x

A.l og x B.l og a C a ,a

Đặt: a

l og x t .Khi đó 1

0 1 x

log a x ,xt

3. Phươ ng pháp mũ hóa:

M

al og f x M f x a

4. Phương pháp dùng tính đơn điệu: Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất.

Vớ i 0 1 a thì hàm số a

y l og x làm hàm giảm

Vớ i 1a thì hàm số a

y l og x làm hàm tăng





B ẤT PHƯƠ NG TRÌNH M Ũ, LÔGARIT

Khi giải bất phương tr ình mũ và bất phương tr ình lôgarit thì cần chú ý:1. Điều cần xác định của bất phương tr ình.

2. Cơ số của lũy thừa hoặc cơ số của logarit, nếu cơ số lớn hơn 1thì hàm số đồng biến, cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì hàm số nghịch biến.

1 f x g xa : a a f x g x

0 1 f x g xa : a a f x g x

1

0

a a

f x g xa : l og f x l og g x

f x

0 1

0

a a

f x g xa : log f x l og g x

g x

Trong quá trình giải bất phương tr ình có thể dùng phương pháp đặtẩ n phụ , logarit hóa hoặc mũ hóa. Nế u có ẩ n ở mẫ u số thì quy đồngnhưng không đượ c bỏ mẫ u.





NGUYÊN HÀM

1. Đị nh nghĩa:

Hàm số F x đượ c gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

a; b nếu vớ i mọi x thuộc a; b , ta có: F ' x f x

2. Đị nh lí: Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng a; b thì:

a) Vớ i mọi hằng số C, F x C cũng là một nguyên hàm của hàm

số f x trên khoảng đó.

b) Ngượ c lại, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng

a; b đều có thể viết dướ i dạng F x C vớ i C là một hằngsố.

Ngườ i ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x là

f x dx . Như vậy:

f x dx F x C F ' x f x

3. Các tính chấ t củ a nguyên hàm:* f x dx F x C F ' x f x

* /

f x dx f x và /

f x dx f x C

* 0 af x dx a f x dx a

* f x g x f x dx g x dx

NGUYÊN H ÀM – TÍ CH P H ÂN





4. Bả ng các nguyên hàm:

Nguyên hàm các hàm số sơ cấpthường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp

(dưới đây

t t x )

* dx x C

* 1

11

x

x dx C

* 0 dx

l n x C xx

*2

1 dx

Cxx

* x xe dx e C

* 0 1 x

x aa dx C a

l n a

* cos xdx si n x C * si n xdx cos x C

*2

dx

tan x Ccos x

*2

dx

cot x Cs i n x

* dt t C

* 1

11

t

t dt C

* 0 dt

l n t C tt

*2

1 dt

Ctt

* t te dt e C

* 0 1 t

t aa dt C a

l n a

* costdt si n t C * si n tdt cost C

*2

dt

tan t Ccos t

*2

dt

cot t Csin t

*

1

1

ax bax b dx C

a

*1

dxl n ax b C

ax b a

* 2

1

dx

Ca ax bax b

*

1

1

at bat b dt C

a

*1

dtl n at b C

at b a

* 2

1

dt

Ca at bat b





*1 ax b ax be dx e Ca

*

1

cos ax b dx sin ax b Ca

* 1

sin ax b dx cos ax b Ca

*1 at b at be dt e Ca

*

1

cos at b dt sin at b Ca

* 1

sin at b dt cos at b Ca

5. Các phương pháp t ìm nguyên hàm Đổi biến:

Nếu f t dt F t C và t x có đạo hàm liên tục thì:

f x . ' x dx F x C

Chú ý:

- t x dt ' x dx

- g t x g' t dt ' x dx

Nguyên hàm từ ng phầ n:

Nếu hai hàm số u x và v x có đạo hàm liên tục trên một khoảng haymột đoạn nào đó, thì trên khoảng hay đoạn đó:

u x v' x dx u x v x u' x v x dx

Hay: udv uv vdu

Chú ý:

* Đặt:

du f ' x dxu f x

dv g x dx v g x dx G x C

Ta thườ ng chọn 0 C v G x

Các dạng cơ bản: Cho P x là một đa thức.





- Dạng 1: P x sin ax b dx . Đặt:

u P x

dv sin ax b dx

- Dạng 2: P x cos ax b dx . Đặt:

u P x

dv cos ax b dx

- Dạng 3: ax bP x e dx . Dặt:

ax b

u P x

dv e

- Dạng 4: P x ln ax b dx . Đặt:

u l n ax b

dv P x dx

Dạng 5: ax be si n a' x b' dx hoặc

ax be cos a' x b' dx .

Dùng nguyên hàm từng phần hai lần vớ i ax bu e Nguyên hàm củ a hàm số hữ u t ỷ: ta có thể dùng các phép biến đổi

lượ ng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm về dạng đơngiản, dễ tìm

Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng

P x

Q x.

- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì chia đa thứcđể phân tích thành tổng, hiệu các nguyên hàm đơn giản hơn để tính.

- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) và Q(x)=0 có nghiệm thìdùng phương pháp hệ số bất định như sau:

+

P x P x A B

ax b mx nQ x ax b mx n. Quy đồng mẫu ở

vế cuối cùng, đồng nhất hệ số vớ i P(x) ta tìm đượ c A,B.





+

2 2

P x P x A B C

ax b mx nQ x ax b mx n mx n. Quy

đồng mẫu ở vế cuối cùng, đồng nhất hệ số vớ i P(x) ta tìm đượ c A,B,C.Từ đó biến đổi được bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn để tính.* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức

f x g x f x g x

h x h x h x

để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.





TÍCH PHÂN

1. Đị nh nghĩa: b

b

aa

f x dx F x F b F a

2. Các tính chấ t củ a tích phân:

1. 0a

a

f x dx

2. b a

a b

f x dx f x dx

3. b b

a a

kf x dx k f x dx k

4. b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5. b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6. 0f x trên đoạn a; b 0 b

a

f x dx

7. f x g x trên đoạn a; b b b

a a

f x dx g x dx

8.

m f x M trên đoạn a; b

b

a

m b a f x dx M b a

3. Các phươ ng pháp tính tích phân Phương pháp tích phân từng phần:





Nếu u u x và v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

a; b thì b b

a a

budv uv vdu

a

Chú ý: Phương pháp đặt u, dv cũng giống như nguyên hàm từng phần. Phương pháp đổi biến loại 1:

Tính tích phân có dạng: b

a

I g x x dx

Đặt:

x t . Khi đó:

bb

a a

I g x ' x dx g t dt

Chú ý:

- t t dt ' x dx

- g t x g' t dt ' x dx

Phương pháp đổi biến loại 2:

Tính b

a

I f x dx

Đặt: x t . Vớ i là hàm số có đạo hàm liên tục tr6n đoạn

; trong đó: a ,b .

Khi đó:

b

a

I f x dx f t ' t dt

Các d ạng cơ bản (với k>0)

a) Dạ ng 1: 21b

a

x dx . Đặt:2 2

x si n t ,t ;

M ở r ộng: 2 2b

a

k x dx . Đặt:2 2

x k si n t ,t ;





b) Dạ ng 2: 21

b

a

dx

x. Đặt:

2 2

x si n t ,t ;

M ở r ộng: 2 2

b

a

dx

k x. Đặt: 2 2

x k si n t ,t ;

c) Dạ ng 3:2 1

b

a

dx

x . Đặ t:

2 2

x tan t ,t ;

M ở r ộng:

2 2

b

a

dx

x k. Đặt:

2 2

x k tan t ,t ;

2 2 b

a

dx

ax b k. Đặt:

2 2

ax b k tan t ,t ;

2 2

b

a

f ' xdx

f x k. Đặt:

2 2

f x k tan t ,t ;

(Các phương pháp tính tích phân hoàn toàn giống như các phương pháp t ìm nguyên hàm)





ỨNG DỤNG H ÌNH H ỌC CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bởi 1 đườ ng cong và trụ c hoành:

Cho hàm số y f x (C)

liên tục trên đoạn a; b . Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi (C),tr ục hoành và hai đường thẳng

x a,x b được tính bởi côngthức:

b

a

S f x dx

2. Diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bởi hai đườ ng cong:

Cho hai hàm số y f x

(C) và y g x (C’) liên tục tr ên

đoạn a; b . Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi (C), (C’) vàhai đường thẳng x a,x b ,được tính bởi công thức:

b

aS f x g x dx

Chú ý:- Trong trườ ng hợp chưa cho cận a,b thì phải giải phương tr ình

hoành độ giao điểm để tìm cận. Nghiệm nhỏ nhất là cận dướ i a,nghiệm lớ n nhất là cận trên b.

- Để tích tích phân có chứa dấu giá tr ị tuyệt đối có 2 cách:





+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dướ i dấu tích phân để bỏ dấu giá tr ị

tuyệt đối theo tính chất0

0

neáu

neáu

A, AA

A, A

Cách 2: Nếu f x không đổi dấu trên a; b (tức là

0f x không có nghiện thuộc a; b ) thì ta có

b b

a a

f x dx f x dx . Cách thứ 2 này giúp giải toán

nhanh hơn.

3. Tính thể tích vậ t thể tròn xoay trụ c Ox:Cho hàm số y f x (C) liên tục trên đoạn a; b . Nếu hình phẳng

giớ i hạn bởi các đườ ng (C), x=a, x=b, tr ục Ox quay quanh tr ục Ox thìthể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra đượ c tính theo công thức:

2 b

a

V y dx

Hay: 2 b

a

V f x dx

4. Thể tích vậ t thể tròn xoay trụ c Oy:

Cho hàm số x g x (C) liên tục trên đoạn c; d . Nếu hình phẳng

giớ i hạn bởi các đườ ng (C), y=c, y=d, tr ục Oy quay quanh tr ục Oy thìthể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra đượ c tính theo công thức:

2 d

c

V x dy

Hay: 2 d

c

V g y dy





1. Số i: 2 1 i

2. Đị nh nghĩa: - Số phức z là biểu thức có dạng: 2 1 z a bi , a,b ,i

a gọi là phần thực. b gọi là phần ảo. i gọi là đơn vị ảo.

- Tập hợ p số phứ c kí hiệu là . Vậy 3. Số phứ c bằ ng nhau:

Cho hai số phứ c z a bi ,z' a' b' i ,

a a'z z'

b b'

4. Biể u diễ n hình họ c củ a số phứ c:

Cho số phức z a bi , điểm M a ; b trong mặt phẳng tọa độ Oxy

gọi là điểm biểu diễn cho số phức z

Giả sử số phức z a bi đượ c biểu diễn bởi điểm M a ; b . Độ

dài của vectơ OM gọi là môđun của số phức z, kí hiệu: z . Vậy:

2 2

z OM a b

5. Số phứ c liên hợ p:

- Số phức z a bi gọi là số phức liên hợ p của số phức z a bi

- Ta có: z z; z z 6. C ộ ng, trừ , nhân hai số phứ c:

SỐ PHỨC





Cho hai số phức z a bi ; z' a' b' i . Ta có;

z z' a a' b b' i

z z' a a' b b' i

z.z' aa' bb' a' b ba' i

7. Số phứ c ngh ịch đả o, chia hai số phứ c:- Số phức nghịch đảo của số phức z a bi là một số phức, kí hiệu là:

12 2 2

1 1

zz z

z z a b

Chia hai số phức:2z z.z'

z' z' (nhân tử và mẫu cho z' )

8. Phươ ng trình bậ c hai hệ số thự c trên tậ p :

Cho phương tr ình 2 0 0 ax bx c a ; a,b,c . Gọi

2 4 b ac :

+ Nếu 0 phương tr ình có hai nghiệm thực:2 bx

a

+ Nếu 0 phương tr ình có một nghiệm thực:2

b

xa

+ Nếu 0 phương tr ình có hai nghiệm phức:2 2

bx i

a a





I. Thể tích khối đa diện:

1. Thể tích khối lập phương cạnh a: 3V a (đvtt) 2. Thể tích khối hộ p chữ nhật có ba kích thướ c a,b,c là V a.b.c

(đvtt) 3. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao là h là;

V B.h (đvtt)

4. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h là:13

V Bh

(đvtt) 5. Thể tích khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’, chiều cao h

là:

1

3

V B B' BB' h (đvtt)

6. Một số tính chất: Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ

số đồng dạng Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượ t

lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó:

S.A' B' C'

S.ABC

V SA' SB' SC '. .

V SA SB SC

II. Thể tích khối tròn xoay:1. Mặt nón tròn xoay:

Cho hình nón N có chiều cao là h, đườ ng sinh l , bán kính đáy R

- Diện tích xung quanh của hình nón: xq

S Rl (đvdt)

- Diện tích toàn phần: 2ñaùy

tp xqS S S Rl R

TH Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐITR ÒN XOAY





- Thể tích khối nón: 213

V R h (đvtt)

2. Mặt tr ụ tròn xoay:Cho hình tr ụ T có chiều cao h và bán kính đáy R.

- Diện tích xung quanh hình tr ụ: 2 xq

S Rh (đvdt)

- Thể tích khối tr ụ: 2 V R h (đvtt) 3. Mặt cầu:

- Diện tích mặt cầu (S) bán kính R là: 24 S R (đvdt)

- Thể tích khối cầu (S) bán kính R là: 343

V R (đvtt)





H Ệ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. H ệ trụ c tọa độ trong không gian:

O

k

ji

x

y

z

z

x

M ( x;y;z)

H

2. T ọa độ của điể m và củ a vectơ :

-

M x; y; z OM xi y j zk

- u x; y; z u xi y j zk

* Tính chấ t: Cho 1 2 3 1 2 3 a a ; a ; a ; b b ; b ; b

-1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

- 1 1 2 2 3 3

a b a b ; a b ; a b

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘTR ONG K H ÔNG GI AN





- 1 2 3

ka ka ; ka ; ka

3. Liên hệ giữ a tọa độ vectơ và tọa độ hai điể m mút:

Cho ba điểm A A A B B C C C CA x ; y ; z ,B x ; y ; z ,C x ; y ; z . Khi đó:

B A B A B AAB x x ; y y ; z z

Chia đoạn thẳng theo tỉ số k: M chia AB theo tỉ số k

M A k M B

Khi đó:

1

1

1

A BM

A BM

A BM

x kxx

k

y kyyk

z kzz

k

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB

2

2

2

A B

M

A BM

A BM

x x

xy y

y

z zz

Công thức tính tọa độ tr ọng tâm tam giác:

G là tr ọng tâm tam giác ABC

3

3

3

A B CG

A B CG

A B C

G

x x xx

y y yy

z z zz

Khoảng cách giữa hai điểm:





2 2 2

B A B A B A

AB x x y y z z

4. Biể u thứ c tọa độ củ a tích vô hướ ng:

Cho 1 2 3 1 2 3

a a ; a ; a ; b b ; b ; b .- 1 1 2 2 3 3

a.b a b a b a b

- 22 2 21 2 3

a a a a

- 2 2 21 2 3

a a a a

-

1 1 2 2 3 30

a b a.b a b a b a b 5. Góc giữ a hai vectơ :

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

a b a b a ba.b

cos a,ba . b a a a b b b

6. Tích có hướ ng củ a hai vectơ và ứ ng d ụ ng:a) Định nghĩa:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa,b ; ;b b b b b b

Chú ý: a b

ad bcc d

b) Tính chất:

- Nếu

c a,b thì:

c ac b

- a,b cùng phương 0

a,b

- a,b,c đồng phẳng 0

a,b .c

-

a,b a . b si n a,b c) Diện tích tam giác:





Cho tam giác ABC có diện tích là S. Khi đó:12

S AB, AC (đvdt)

d) Thể tích khối hộp:

Cho khối hộ p ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Khi đó:

V AB , AD .AA' (đvtt)

e) Thể tích khối tứ diện: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Khi đó:

16

V AB, AC .AD (đvtt)





PHƯƠNG TR ÌNH M Ặ T C Ầ U

1. Phương tr ình chính tắ c:

Phương tr ình mặt cầu tâm I a; b; c bán kính R:

2 2 2 2 x a y b z c R

2. Phương tr ình tổ ng quát:Trong không gian Oxyz, phương tr ình :2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d vớ i 2 2 2 0 a b c d

là phương tr ình mặt cầu tâm I a ; b ; c , bán kính

2 2 2 R a b c d Chú ý: N ếu phương tr ình cho d ướ i d ạng2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d vớ i 2 2 2 0 a b c d

thì mặt cầu có tâm I a; b; c , bán kính 2 2 2 R a b c d

3. V ị trí tương đố i giữ a mặ t cầu (S) và mặ t phẳ ng :

* Nếu

I ,

d R : mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung

* Nếu

I ,

d R : mặt phẳng tiế p xúc mặt cầu (S), khi đó gọi

là tiế p diện của mặt cầu (S).

Điều kiện để mặt phẳng tiế p xúc mặt cầu là

I ;

d R

* Nếu I ,d R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo 1 đườ ng tròn có phương

trình

ptmc S

ptmp (C). (C) gọi là đườ ng tròn giao tuyến trong không

gian.





4. Cách xác đị nh tâm của đườ ng tròn giao tuyến có phương tr ình

ptmc S

ptmp trong không gian:

* Gọi H là tâm đườ ng tròn (C). Lậ p

phương tr ình IH (IH qua I và nhận

n làm

VTPT)

* Tọa độ H là nghiệm của hệ

pt

ptmp

I H

4. Cách tính bán kính đườ ng tròn trong không gian có phương tr ình

ptmc S

ptmp

Áp dụng 2 2 2

I ,r R I H R d , vớ i I là tâm mặt cầu.

5. M ặ t cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồ ng phẳ ng (ngoại tiế p tứ diệ n ABCD):

- Gọi phương mặt cầu (S) cần tìm có phương tr ình là:2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d (1)

- Do A,B,C ,D S nên thay tọa độ của A,B,C,D vào phương

trình (1) ta đượ c hệ 4 phương tr ình 4 ẩn a,b,c,d.- Giải hệ tìm đượ c a,b,c,d từ đó có được phương tr ình mặt cầu (S)

cần tìm.6. Viết phương tr ình mặ t cầu tiế p xúc mặ t phẳ ng :

Do mặt cầu (S) tiế p xúc mặt phẳng nên

I ,

R d vớ i I là tâm của

mặt cầu.

7. Viết phương tr ình mặ t cầu (S) tiếp xúc đườ ng thẳ ng d:





Do mặt cầu (S) tiếp xúc đườ ng thẳng d nên

I , d

R d vớ i I là tâm của

mặt cầu.8. Viết phương tr ình mặ t phẳ ng chứa đườ ng thẳ ng d và tiế p xúc

mặ t cầu (S):* Gọi là mặt phẳng chứa d. Lập phương tr ình mặt phẳng dướ i dạngchùm mặt phẳng.* Do tiế p xúc mặt cầu (S) nên

I ,R d . Từ đây chọn và tìm .

9. Viết phương tr ình mặ t cầu (S) qua A, B, C và có tâm nằ m trên mặ t phẳ ng

* Gọi 2 2 2

2 2 2 0 S : x y z ax by cz d * Thay tọa độ điểm A, B, C vào phương tr ình trên và tâm I a ; b ; c vào

phương tr ình r ồi giải hệ tìm đượ c a,b,c,d.10. Viết phương tr ình mặ t phẳ ng tiế p xúc mặ t cầu (S) tại H:Mặt phẳng tiế p xúc mặt cầu (S) tại H là mặt phẳng đi qua H và có

vectơ pháp tuyến làI H (I là tâm mặt cầu)

11. Lập phương tr ình tiế p diệ n củ a mặ t cầu (S) biế t nó song song1 2d ,d :

* Tìm VTCP của 1d là 1

u , VTCP của 2d là 2

u . Tính

1 2

n u ,u A,B ,C

* Gọi là mặt phẳng song song 1 2d ,d nên có VTPT là

1 2

n u ,u A; B; C và có phương tr ình là 0 Ax By Cz m

* Điều kiện để là tiế p diện của (S) là

I ,

d R. Từ điều kiện này

tìm m và có được phương tr ình tiế p diện (I là tâm mặt cầu (S))12. Tìm tọa độ tiếp điể m H củ a mặ t cầu (S) và mặ t phẳ ng :

* Gọi H là tiếp điểm. Lập phương tr ình IH (H qua I và nhận

n làm

VTPT)





* Tọa độ của H là nghiệm của hệ

pt

ptmp

I H

13. Tìm tọa độ tiếp điể m H củ a mặ t cầu (S) và đườ ng thẳ ng d:

* Gọi là mặt phẳng qua I và vuông góc vớ i d. Lập phương tr ình mặt

phẳng ( qua I và nhận

du làm VTPT)

* Tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đườ ng thẳng d là nghiệm của

hệ

ptmp

ptñt

d

14. Viết phương tr ình mặ t cầu (S) tâm I và cắ t d tại 2 điể m A, B sao cho AB=L:

Áp dụng 2

2

2

LR d I ,(d )

15. Viết phương tr ình mặ t phẳ ng qua M (M nằ m trong mặ t cầu

(S)) và cắ t mặ t cầu (S) theo một đườ ng tròn có bán kính nhỏ nhấ t: * Ta có 2 2 r R I H , r nhỏ nhất IH lớ n nhất. Mặt khác

I H IM , nên IH lớ n nhất khi IH=IM, khi đó H M , do đó

I M .

* Vậy mặt phẳng cần tìm cính là mặt phẳng qua M và nhậnI M làm

VTPT.16. Viết phương tr ình mặ t cầu (S’) đố i xứ ng vớ i mặ t cầu (S) qua mặ t

phẳ ng :

* Tìm I’ đối xứng vớ i tâm I của mặt cầu (S) qua mặt phẳng

* Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu(S)). Từ đó lập được phương tr ình (S’).17. Viết phương tr ình mặ t cầu (S’) đố i xứ ng vớ i mặ t cầu (S) qua

đườ ng thẳ ng :* Tìm I’ đối xứng vớ i tâm I của mặt cầu (S) qua đườ ng thẳng .





* Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu(S)). Từ đó lập được phương tr ình (S’).18. Tìm điể m trên mặ t cầu (S) sao cho khoả ng cách từ đó đế n mặ t

phẳ ng

đạ t GTLN (GTNN):

* Tìm tâm I của mặt cầu (S).

* Lập phương tr ình đườ ng thẳng d qua I và vuông góc dướ i dạng

tham số (d qua I và có VTCP là

n )

* Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ

ptñt

ptmc

d

S

(tìm đượ c

M và N)

* Tính M , N ,

d ,d . So sánh hai khoảng cách trên, số lớ n là GTLN,

số nhỏ là GTNN. Từ đó chọn M, N thích hợ p.





PHƯƠNG TR ÌNH M Ặ T PH Ẳ NG

1. Vectơ pháp tuyế n củ a mặ t phẳ ng:

n là VTPT của mặt

phẳng giá củan vuông góc với mặt

phẳng

n

α

2. Phương tr ình tổ ng quát củ a mặ t phẳ ng:

- Mặt phẳng đi qua 0 0 0M x ; y ; z và nhận

n A; B; C thì

phương tr ình mp là:

0 0 0 0 A x x B y y C z z

- Mỗi phương tr ình dạng

2 2 20 0 Ax By Cz D A B C đều là phương tr ình

của một mặt phẳng xác định, và n A; B; C là một VTPT của

mặt phẳng đó.

- Mặt phẳng cắt các tr ục Ox,Oy,Oz theo các giao điểm

0 0 0 0 0 0A a; ; ,B ; b; ,C ; ; c thì phương tr ình của mặt

phẳng

là: 1

x y z

a b c (phương tr ình theo đoạn chắn.

Các dạng toán viết phương tr ình mặt phẳng:

Dạ ng 1: mp là mặ t phẳ ng trung trực đoạ n thẳ ng AB





α M

A

B

hương pháp:- Tìm tọa độ trung điểm M của AB

- Tìm tọa độ vectơAB

- là mặt phẳng qua M và cóVTPT là

AB

Dạ ng 2: mp là mặ t phẳng đi qua 3 điể m A, B, C

α

n =[AB,AC]

A

C

B

Phương pháp:

- Tìm:

AB,AC - Tìm:

n AB, AC

- mp là mặt phẳng qua A và có

VTPT làn

Dạ ng 3: mp là mặ t phẳ ng qua A và chứa đườ ng thẳ ng (d)

ud

n B

Phương pháp: - Chọn B thuộc (d)

- mp là mặt phẳng qua A và

có VTPT là

d n AB,u

Dạ ng 4: mp qua điể m 0 0 0M x ; y ; z và song song mặ t phẳ ng

0 : Ax By Cz D

n =(A;B;C)

β

α M

Phương pháp:

- n A; B; C là VTPT của

mp

- Do / / nênn cũng là

VTPT của mp





- mp là mặt phẳng qua M và

có VTPT làn

Dạ ng 5: mp qua hai điể m M,N và vuông góc mặ t phẳ ng

0 : Ax By Cz D

nβ

α

β M

N

Phương pháp:

- TìmM N ;

n A; B; C là

VTPT của .

- Tìm

n M N ,n .


có VTPT làn

Dạ ng 6: mp chứa đườ ng thẳ ng (d) và vuông góc

0 : Ax By Cz D

d u

nR

α

R

M

Phương pháp:

- Chọn M d

- Tìmu là VTCP của (d),

u là VTCP

của (d),

n là VTPT của

- Tìm

n u,n .

- mp là mặt phẳng qua M và có

VTPT làn

Dạ ng 7: mp đi qua M và vuông góc hai mặ t phẳ ng (P), (Q) cho

trướ c





nQnP

(α)

(Q)

(P)

M

Phương pháp:

- Tìm:

Pn là VTPT của (P);

Qn là

VTPT của (Q).

- Tìm

P Qn n ,n .


nhậnn làm VTPT.

Dạ ng 8: mp tiế p xúc vớ i mặ t cầu (S) tâm I tại điể m M S

I

M

Phương pháp: - Tìm tâm I của mặt cầu (S).

- TìmI M

- mp là mặt phẳng đi qua M

và có VTPT là

I M

Dạ ng 9: mp đi qua M và vuông góc đườ ng thẳng (d) cho trướ c

a

(α) M

Phương pháp:

- Tìma là VTCP của đường

thẳng (d). - Do mp song song với (d)

nêna cũng là VTPT của mp .





Dạ ng 10: mp qua M và song song với hai đườ ng thẳ ng 1 2d , d

cho trướ c

a2

a1

d2

d1

(α) M

Phương pháp:

- Tìm: 1

a là VTCP của 1d ;

2

a là VTCP của 2d

- Tìm 1 2

n a ,a


có VTPT là

n Dạ ng 11: mp là mặ t phẳ ng chứa đườ ng thẳ ng 1d và song song

đườ ng thẳ ng 2d

a2

a1

d2

d1 (α)

M

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc 1d

- là mặt phẳng qua M và cóVTPT là 1 2

n a ,a

Dạ ng 12: mp chứa hai đườ ng thẳ ng cắ t nhau 1 2d , d

a2

a1d2

d1 (α) M

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc

1

d

hoặc 2d .

- VTPT của là

1 2

n a ,a

Dạ ng 13: mp chứa hai đườ ng thẳ ng 1 2d / / d Phương pháp:





u1 d 2d 1

A B

- Chọn 1A d , 2B d

- mp là mặt phẳng qua 3

điểm A và có VTPT là

1

n AB,u

Dạ ng 14: mp chứ a giao tuyế n củ a hai mặ t phẳ ng (P) và (Q),

đồ ng thờ i vuông góc mặ t phẳ ng (R)

nR

α

R

M

N

Phương pháp:

- Chọn M,N thuộc P Q

(bằng cách cho x=0, x=1,…và

thay vào hệ

ptmp P

ptmp Q tìm y,z)

- mp là mặt phẳng qua M,N

và vuông góc (R) (dạng 4)

Dạng 15: Viết phương tr ình mặt phẳng qua 0 0 0M x ; y ; z , song

song d và vuông góc mặt phẳng :

Khi đó mặt phẳng :

0 0 0

d

qua M x ; y ; z

VTPT n u ,n

Dạng 16: Viết phương tr ình mặt phẳng theo đoạn chắn: cắt Ox tại

0 0A a; ; , cắt Oy tại 0 0B ; b; , cắt Oz tại 0 0C ; ; c :

Khi đó phương tr ình mặt phẳng (ABC) là 1 x y z

a b c





PHƯƠNG TR ÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phươ ng của đườ ng thẳng:

Vectơ

a gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đườ ng thẳng (d) giácủa

a song song hoặc trùng (d).

2. Các d ạ ng phươ ng trình đườ ng thẳ ng:

Cho điểm 0 0 0M x ; y ; z và vectơ u a; b; c

Đườ ng thẳng (d) qua M và nhậnu làm VTCP có phương tr ình

tham số là

0

0

0

x x at

y y bt t

z z ct

Đườ ng thẳng (d) qua M và nhậnu làm VTCP có phương tr ình

chính tắc là 0 0 0 0

x x y y z z

a,b,ca b c

3. Các d ạ ng toán viế t phươ ng trình đườ ng thẳ ng: Dạ ng 1: Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) qua 2 điể m ABPhươ ng pháp:

- TìmAB

- (d) là đườ ng thẳng qua A và có VTCP làAB

Dạ ng 2: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) qua A và song song

đườ ng thẳ ng

Phươ ng pháp:

- Tìm vectơu là VTCP của

- (d) là đườ ng thẳng qua A và có VTCP làu .

Dạ ng 3: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) qua A và vuông góc mặ t

phẳ ng

Phươ ng pháp:





- Tìmn là VTPT của mặt phẳng .

- (d) là đườ ng thẳng qua A và có VTCP làn

Dạ ng 4:Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) là giao tuyế n củ a 2 mặ t phẳ ng (P) và (Q)Phươ ng pháp:

- Tìm

Pn là VTPT của mp(P),

Qn là VTPT của mp(Q).

- Tìm

P Qu n ,n

- Chọn điểm M thuộc giao tuyến bằng cách cho 1 ẩn bằng 0 thay

vào pt (P) và mp(Q) giải hệ tìm đượ c 2 ẩn còn lại.- (d) là đườ ng thẳng qua M và nhậnu làm VTCP

Dạ ng 5: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) qua A và song song 2 mặ t phẳ ng (P) và (Q) (hoặ c song song vớ i giao tuyế n củ a hai mặ t phẳ ng(P) và (Q))Phươ ng pháp:

- Tìm

Pn là VTPT của mp(P),

Qn là VTPT của mp(Q)

- Tìm

P Q

u n ,n

- (d) là đườ ng thẳng qua A và có VTCP làu

Dạ ng 6: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) là hình chiế u của đườ ng

thẳ ng lên mặ t phẳ ng (P)

Phươ ng pháp

- Viết phương tr ình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc mặt phẳng (P) (xem d ạng 5 của phương tr ình mặt phẳ ng)

- Chọn N P Q bằng cách cho 1 ẩn bằng 0, thay vào pt (P)

và pt (Q), giải hệ tìm đượ c 2 ẩn còn lại.

- Tìm

P Qu n ,n

- (d) là đườ ng thẳng qua N và có VTCP làu





Dạ ng 7:Viết phương tr ình đườ ng thẳng (d) là đườ ng cao kẻ từ A củ a tam giác ABCPhươ ng pháp:

-

Tìm

AC ,BC ,n AC ,BC - Tìm

u n ,BC

- (d) là đườ ng thẳng qua A và có VTCP làu

Dạ ng 8: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) là đườ ng trung trự c củ a cạ nh BC củ a tam giác ABCPhươ ng pháp:

- Tìm AC ,BC ,n AC ,BC

- Tìm

u n,BC

- Tìm M là trung điểm của BC

- (d) là đườ ng thẳng qua M và có VTCP làu

Dạ ng 9: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) là đườ ng vuông góc

chung của 2 đườ ng thẳ ng chéo nhau 1 2d , d Phươ ng pháp:

- Viết phương tr ình mặt phẳng (P) chứa 2d và song song

1d (d ạng 11 phương tr ình mặt phẳ ng)

- Viết phương tr ình mặt phẳng (Q) chứa 1d và vuông góc mặt

phẳng (P) (d ạng 6 phương tr ình mặt phẳ ng)- Tìm giao điểm M của đườ ng thẳng 2d và mặt phẳng (Q).

- (d) là đườ ng thẳng qua M và vuông góc vớ i mặt phẳng (P) (d ạng3 phương tr ình đườ ng thẳ ng)

Cách khác:- Chuyển phương tr ình 1 2d ,d dướ i dạng tham số.

- Gọi1

M d dướ i dạng chứa tham số 1t và

2 N d dướ i dạng

chứa tham số 2t . Tính vectơ MN

.





- Do 1

2

MN u

MN u

. Từ đây tìm đượ c 1 2t ,t và có M,N

-

Đườ ng vuông góc chung qua M và nhận MN

làm VTCP. Dạ ng 10: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng (d) qua A và cắt hai đườ ng thẳ ng d 1 , d 2 cho trướ c:

d2

d1

d

M

N

A

C1:* Chuyển d1,d2 về phương tr ình tham số * Gọi 1 2 M d ,N d (tọa độ M,N chứa

1 2t ,t ). Tính AM ,AN

.

* Do AM

cùng phương AN

nên từ đkcùng phương tìm đượ c 1 2t ,t và có đượ c M,N.* Đườ ng thẳng cần tìm qua A và có VTCP

AM

Cách khác:* Viết phương tr ình mặt phẳng (P) qua A và

chứa 1d ( xem d ạng 3 của phương tr ìnhmặt phẳ ng)* Tìm giao điểm M của mặt phẳng (P) và

2d

* d là đườ ng thẳng qua 2 điểm A,M

(d ạng 1)

Dạng 11: Viết phương tr ình đường hẳng (d) qua A, vuông góc v à cắtđường thẳng :





u

A

M

* Tìm VTCP của là u

* Gọi M (tọa độ M chứa tham số t).

Tính AM

* AM u

. Từ đây tìm t và có M.Đường thẳng cần tìm qua M và nhận

AM

làm VTCP

α H A

Cách khác:* Gọi là mặt phẳng qua A và vuông

góc . Lập phương tr ình mặt phẳng

(qua A và nhận u làm VTPT)

* Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng

và là nghiệm của hệ

ptmp

pt

.

.* Đường thẳng cần tìm qua A và nhận

AH

làm VTCP.

Dạng 12: Viết phương tr ình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng

và cắt 2 đường thẳng d 1 ,d 2:

d2d1

α

A B

* Tìm giao điểm A của 1d và mp :

Giải hệ:

1 pt d

ptmp

* Tìm giao điểm B của 2d và mp :

Giải hệ:

2 pt d

ptmp

* Đường thẳng d chính là đường thẳng qua

A và nhận AB

làm VVTCP.





Dạng 13: Viết phương tr ình đường thẳng (d) song song và cắt 2đường thẳng 1 2d ,d :

u

d

d2

d1 M

* Chuyển phương tr ình 1 2d ,d dưới dạng

tham số chứa 1 2t ,t .* Gọi 1 2 M d ,N d (tọa độ M, N chứa

1 2t ,t ). Tính MN

* MN

cùng phương u

, từ đây tìm 1 2t ,t

và có M,N.

* Đường thẳng cần tìm qua M và nhận u

làm VTCP Dạng 14: Viết phương tr ình đường thẳng (d) qua giao điểm của

và , nằm trong và vuông góc :

[nα,u ]

nα

dα A

* Tìm giao điểm A của và : giải hệ

ptmp

ptdt

* Dường thẳng d qua A và có VTCP là

u n ,u

Dạ ng 15: Viết phương tr ình đườ ng thẳ ng d qua M vuông góc d 1 và cắ t d 2:

d

ud1d1

d2

M N

* Chuyển phương tr ình d2 về dạng tham

số. Gọi N thuộc d2 (tọa độ N chứa thamsố t). Tính vectơ MN

* Do1d MN u

, từ phương tr ình này ta

tìm được tham số t, từ đó tìm được N. Đường thẳng d qua M và có VTCP là

MN

Dạng 16: Viết phương tr ình đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng d 1 , d 2:





dd2

d1

α

M

N

* Chuyển phương tr ình d1, d2 về dạngtham số. * Gọi M thuộc d1 dưới dạng chứa tham sốt1, N thuộc d2 dưới dạng chứa tham số t2.

Tính vectơ MN .

* Do MN

cùng phương n

, từ đó tìm

được tham số 1 2t ,t ta tìm được M,N * Đường thẳng cần tìm qua M và nhận

MN

làm VTCP Dạng 17: Viết phương tr ình đường thẳng (d) qua M v à vuông góc hai

đường thẳng 1 2d ,d :

Khi đó (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là1 2d d u u ,u

Dạng 18: Viết phương tr ình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng và vuông góc đường thẳng :

u

nα

d

α

M

* Đường thẳng (d):QuaM

VTCPu n ,u

Dạng 19: Viết phương tr ình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng và cắt đường thẳng :

nα

d

α

N M

* Chuyển phương tr ình thành phươngtrình tham số. * Gọi N thuộc (tọa độ N chứa tham

số t). Tính MN

* Do MN u

nên từ đây tìm được t, từ

đó có N. * Đường thẳng d cần tìm qua M và nhận

vectơ MN

làm VTCP





V Ị TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1. CM cắt : Ta chứng minh A : B : C A' : B' : C'

2. CM : Ta chứng minh A B C D

A' B' C' D'

3. CM // : Ta chứng minh A B C D

A' B' C' D'

4. CM d,d' đồng phẳng: Ta chứng minh 0u,u' .MM '

với

M d ,M ' d ' 5. CM d,d' cắt nhau: 0u,u' .MM '

và a : b : c a' : b' : c'

6. CM d // d’: Ta chứng minh

0 0 0 0 0 0a : b : c a' : b' : c' x' x : y' y : z' z

7. CM d d’: Ta chứng minh

0 0 0 0 0 0a : b : c a' : b' : c' x' x : y' y : z' z

8. CM d và d’ chéo nhau: ta chứng minh 0u,u' .MM ' với

M d ,M ' d ' 9. CM d cắt : Ta chứng minh: 0aA bB cC

10. CM d// : Ta chứng minh 0 0

0aA bB cC

M d M

11. CM d : Ta chứng minh 0 0

0aA bB cC

M d M

Chú ý: * CM ' ta chứng minh 0 AA' BB' CC'

* CM d d' ta chứng minh 0u.u'

* CM d ta chứng minh a : b : c A : B : C .





* Chứng minh A A A B B C A x ; y ; z ,B x ; y ; z nằm về 2 phía đối với

0: Ax By Cz D , ta chứng minh:

0 A A A B B B Ax By Cz D Ax By Cz D





KHO ẢNG CÁCH V À GÓC

1. Khoả ng cách từ điểm M đế n mặ t phẳ ng

0 P : Ax By Cz D

2 2 2

M M M

M , P

A.x B.y C .z Dd

A b C

2. Khoả ng cách giữ a hai mặ t phẳ ng song song (P)//(Q):

P , Q A , Qd d , A P

3. Khoả ng cách giữa đườ ng thẳ ng (d) và mặ t phẳ ng (P), vớ i (d)//(P):

d , P A , P

d d , A d

4. Khoả ng cách từ điểm A đến đườ ng thẳ ng (d): (không có công thứ ctính trong chươ ng trình chuẩ n, như ng có thể tính theo các bướ c sauđây) Viết phương tr ình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc đườ ng thẳng

(d).

Tìm giao điểm H của (d) và (P)- Khi đó

A , d

d AH

5. Khoả ng cách giữa hai đườ ng thẳ ng song song 1d // 2d :

1 2 2

1

d ; d A , dd d , A d

6. Tính khoả ng cách giữa hai đườ ng thẳ ng chéo nhau 1 2d , d :

Viết phương tr ình mặt phẳng (P) chứa 2d và song song 1d .

Tìm M thuộc 1d .

- Khi đó 1 2

d , d M , Pd d

7. Góc giữ a hai mp (P): A1 x+B1 y+C 1 z+D1 = 0và mp(Q): A2x+B2y+C2z+D2 = 0





thì2

1 2

n1os =

.n

c

n . n

= 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

1

A B B C C

A B C . A B C

Với

( )(mp(Q),mp(P)

8. Góc giữa đườ ng thẳ ng (d):0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và mặ t phẳ ng (P):

Ax+By+Cz+D = 0 là

nPsin =

d

.u

n . uP

d = 2 2 2 2 2 2

a

bB cC

A B C . b ca

vớ i (( D ),mp(P ))

9. Góc giữa hai đườ ng thẳ ng (D1 ) :

1

1

1

0

0

0

x a t

y y b t

z z c t

và (D 2 ):

0 2

0 2

0 2

/ /

/ /

/ /

x x a t

y y b t

z z c t

thì2

1 2

1os =

.

c.

u u

u u = 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a a b b c c

a b c a b c vớ i

1 2

( ( D ), ( D ) )





TÌM M ỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

1. Tìm giao điể m M của đườ ng thẳ ng (d):0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

và mặ t phẳ ng

(P): 0 Ax By Cz D Phươ ng pháp:

- M d nên 0 0 0 M x at ; y bt ; z ct (1)

- M P nên tọa độ M phải thỏa mãn phương tr ình của (P). Thay tọa

độ của M vào phương tr ình (P) giải tìm đượ c t. - Thay t vừa tìm vào (1) ta tìm đượ c tọa độ của M. 2. Tìm hình chiế u vuông góc H củ a M lên mặ t phẳ ng (P):

(P)

M

H

Phương pháp: - Viết phương tr ình đường thẳng (d)qua M và vuông góc với mặt phẳng(P).- Tìm giao điểm H của đường thẳng

(d) và mặt phẳng (P). - H chính là hình chiếu cần tìm.

3. Tìm M’ đố i xứng điể m M qua mặ t phẳ ng (P):

(P)

M'

M

H

Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M

lên mặt phẳng (P) - M’ đối xứng với M qua mp(P) H là trung điểm của MM’. - Áp dụng công thức trung điểm tatìm được tọa độ M’

4. Tìm hình chiế u vuông góc H của M lên đườ ng thẳ ng (d):





d

(P) M H

Phương pháp: - Viết phương tr ình mặt phẳng (P)qua M và vuông góc đường thẳng(d).

- Tìm giao điểm H của đường thẳng(d) và mặt phẳng (P). - H là hình chiếu cần tìm

Cách khác: - Chuyển phương tr ình của (d) về

dạng tham số, suy ra VTCP u

.

- H thuộc (d) nên tọa độ H chứa t.Tính MH

.

- Do MH u

nên từ đây tìm được tvà có H.

5. Tìm điểm M’ đố i xứ ng với M qua đườ ng thẳ ng (d)

d

(P)

M' M H

Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M

lên đường thẳng (d). - M’ đối xứng m qua (d) H làtrung điểm MM’. - Áp dụng công thức trung điểm tatìm được tọa độ điểm M.

6. Tìm chân đườ ng cao H kẻ từ A củ a tứ diệ n ABCD A

B

C

D

Phương pháp:

- Gọi H x; y ; z

- Tọa độ của H là nghiệm của hệ

phương tr ình:

0

0

0

AH .BC

AH .BD

BC ,BD .BH





M ỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG

CHỦ ĐỀ 1: TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TR ÌNH,

B ẤT PHƯƠNG TR ÌNH B ẬC 2 I. Tam thức bậc hai: 1. ĐN: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng: 2ax bx c , trong đó xlà biến số; a, b, c là các số thực 0a .Chú ý: + Ta thường đặt 2 f x ax bx c .

+ Nếu 0b thì ta có tam thức bậc hai dạng 2 f x ax c

+ Nếu 0c thì ta có tam thức bậc hai dạng

2 f x ax bx

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

2 0 f x ax bx c a . Gọi 2 4b ac . Khi đó:

- Nếu 0 thì . 0a f x , R (tức là f x cùng dấu với

a).Bảng xét dấu:

a>0

x f(x) +

a<0x

f(x) -

- Nếu 0 thì . 0,a f x x R (tức là f x cùng dấu với a

với mọi2

b xa

, 02

b f x xa

)

Bảng xét dấu: a>0

X 2b

a

f(x) + 0 +





a<0

x 2b

a

f(x)

- 0 -- Nếu 0 thì f x có hai ngiệm phân biệt 1 2 1 2, x x x x và:

+ 1 2. 0, ; ;a f x x x x

+ 1 2. 0, ;a f x x x x .

Bảng xét dấu: a>0x 1 x 2

f(x) + 0 - 0 +a<0

X 1 x 2

f(x) - 0 + 0 -II. Phương tr ình bậc hai:

1. ĐN: Phương tr ình bậc hai là mệnh đề chứa biến có dạng 2 0 0ax bx c a . Trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã

biết. 2. Cách giải:

Gọi 2 4b ac . Khi đó: - Nếu 0 : phương tr ình vô nghiệm.

- Nếu 0 : phương tr ình có nghiệp kép1 2 2

b x x

a

- Nếu 0 : phương tr ình có hai nghiệm phân biệt

1 2,2 2

b b x x

a a

.

* Chú ý:- Nếu hệ số b của phương tr ình là số chẵn, ta có công thứcnghiệm thu gọn như sau:

Gọi 2' 'b ac (trong đó '2bb ). Khi đó:





+ Nếu ' 0 : phương tr ình vô nghiệm.

+ Nếu ' 0 : phương tr ình có nghiệp kép 1 2

'b x x

a

+ Nếu 0 : phương tr ình có hai nghiệm phân biệt

1 2

' ' ' ',

b b x x

a a

.

- Nếu hai hệ số a và c có dấu trái ngược nhau thì phương tr ình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Nếu hệ số b=0, phương tr ình có dạng: 2 0ax c 2 c x

a

+ Nếu a, c trái dấu nhau thì phương tr ình có hai nghiệmlà 1,2

c x

a

+ Nếu a, c cùng dấu nhau thì phương tr ình vô nghiệm. - Nếu hệ số c=0, phương tr ình có dạng

1

2

2

00 0

xax bx x ax b b

xa

3. Định lí Viét: * Nếu phương tr ình bậc hai 2 0ax bx c có hai nghiệm phân biệt 1 2, x thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:

1 2

1 2

bS x x

a

cP x x a

- Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số thực đó lànghiệm của phương tr ình 2 0 x Sx P .* Chú ý:- Nếu tam thức bậc hai 2 f x ax bx c có hai nghiệm 1 2, x

thì có thể viết lại thành 1 2 f x a x x x x .





- Nếu phương tr ình bậc hai 2 0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa

0a b c thì phương tr ình có hai nghiệm là: 1 21,c

x xa

- Nếu phương tr ình bậc hai2

0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa0a b c thì phương tr ình có hai nghiệm là: 1 21,

c x x

a

4*. Xác định dấu các nghiệm số của phương tr ình bậc 2:2 0ax bx c :

- Phương tr ình có hai nghiệm tr ái dấu 0ac

- Phương tr ình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

0

0ca

- Phương tr ình có hai nghiệm cùng dương

0

0

0

b

ac

a

- Phương tr ình có hai nghiệm cùng âm

0

0

0

b

ac

a

III. Bất phương tr ình bậc hai:1. ĐN: Bất phương tr ình bậc hai là mệnh đề chứa biến thuộc 1 trong 4dạng sau:

2 2 2 20; 0; 0; 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c ,trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết. 2. Cách giải:

- Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái (dựa vào định lí về dấu củatam thức bậc hai để lập bảng xét dấu)





- Dựa vào bảng xét dấu để chọn các khoảng chứa x mà làm chovế trái thỏa mãn dấu của bất phương tr ình (nếu bất phương tr ình cho >0thì lấy phần dấu “+”, <0 thì lấy phần dấu “ – ”, còn nếu có dấu “=” thìlấy luôn nghiệm của tam thức)

* Chú ý: Nguyên tắc chung để giải các bất phương tr ình là:- Chuyển tất cả về bên trái của dấu bất đẳng thức, còn vế

phải phải là số 0. Nếu có ẩn số ở mẫu số thì khi quy đồng không đượcbỏ mẫu.

- Phải xét dấu biểu thức ở vế trái. - Dựa vào bảng xét dấu để chọn tập nghiệm cho phù hợp

vớ i chiều bất phương tr ình.





CHỦ ĐỀ 2: XÉT DẤU BIỂU THỨC

Xét d ấu biểu thức l à một bài toán trung gian để giải nhiều bài

toán, đặc biệt là để giải các bài toán bất phương tr ình, hệ bất phươngtrình. Ngoài phương pháp đ ã học ở chương tr ình Đại số 10, ta có thể sửd ụng phương pháp giải nhanh được tr ình bày sau đây để rút ngắn thờigian làm bài. Vì đây là bài toán trung gian nên cách giải sẽ không đượctrình bày trong bài toán, do đó ta không cần quan tâm đến cách chứngminh phương pháp xét dấu này (nhưng có t hể d ùng kiến thức về giớihạn để chứng minh dễ d àng)

I. PHƯƠNG PHÁP: 1. Khái niệm n ghiệm bội của phương tr ình: Số thực 0 được gọi là

một nghiệm bội k của phương tr ình 0 f x nếu như nghiệm 0 được

lặp lại k lần.Ví dụ:

VD1. Phương tr ình

22

11 0

1 6 5 0 16 5 05

x x

x x x x x x x

. Khi đó số 1 gọi là

một nghiệm bội 2 của phương tr ình (còn gọi là nghiệm kép)

VD2. Phương tr ình 3 2

1

1 4 3 0 1

3

x

x x x x

x

. Trong

đó số 1 là nghiệm bội 3 của phương tr ình, vì

3

1

1 0 1 1 1 0 1

1

x

x x x x x

x

2. Xét d ấu biểu thức f x là một đa thức có dạng:

11 1 0...n n

n nP x a x a x a x a 0na (các số hạng của P x

được sắp xếp theo thứ tự giảm dần theo số mũ của x)





- Tìm các nghiệm của P x , giả sử các nghiệm đó là

1 2, ,..., n x x x và 1 2 ... n x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm

bội chỉ viết 1 lần)

- Lập bảng xét dấu: + Là bảng gồm 2 dòng và 2 cột, + Điền các giá tr ị của x là các nghiệm của P x vừa tìm

được ở tr ên và các kí hiệu , vào bảng theo thứ tự từ nhỏđến lớn.

+ Điền dấu của P x vào bảng theo quy tắc:

* Trong khoảng cuối cùng bên phải củan

(nghiệm

lớn nhất) thì P x cùng dấu với hệ số của x mang mũ cao nhất trong

biểu thức P x (tức là cùng dấu với na )

* Xen k ẻ dấu của P x về bên trái khi đi qua các

nghiệm của P x nếu nghiệm đó là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu

khi đi qua nghiệm bội chẵn của P x .

Bảng xét dấu: 0na , giả sử P x có nghiệm bội chẵn là 1n x

x …1 …

2n x 1n n

P x … 0 … + 0 - 0 - 0 +

0na , giả sử P x có nghiệm bội chẵn là 1n x

x

… 1 x … 2n 1n n x P x … 0 … - 0 + 0 + 0 -

3. Xét d ấu biểu thức dạng tích của các đa thức:

1 11 0 1 0. ... ...n n m m

n n m mP x f x g x a x a x a b x b x b

- Tìm nghiệm của các đa thức , f x g x , giả sử các nghiệm

đó là 1 2, ,..., n x x và 1 2 ... n x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn,nghiệm bội chỉ viết 1 lần)





- Lập bảng xét dấu như trên và điền dấu của P x theo nguyên

tắc: + Trong khoảng cuối cùng bên phải của n x (nghiệm lớn

nhất) thì P x cùng dấu với tích của hệ số của x có mũ cao nhất trongmỗi đa thức , f x g x (tức là cùng dấu với tích .n ma b )

+ Xen k ẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của

P x nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua nghiệm bội

chẵn của P x

4. Xét d ấu của biểu thức dạng hữu tỷ: (có biến số ở mẫu số)

1 1

1 0 1 0

11 0

... ....

...

n n m mn n m m

k k k k

a x a x a b x b x b f x g xP x

h x c x c x c

(trong đó , , f x g x h x là các đa thức theo biến số x, được xếp theo

thứ tự giảm dần số mũ của x) - Tìm nghiệm của các đa thức , , f x g x h x , giả sử các

nghiệm đó là1 2

, ,..., n x x và1 2

... n x x (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến

lớn, nghiệm bội chỉ viết 1 lần và tính luôn nghiệm của h x )

- Lập bảng xét dấu như trên, nếu là nghiệm mẫu thì ở hàng dấucủa P x là dấu ||. Điền dấu theo nguyên tắc:

+ Trong khoảng cuối cùng bên phải của n x (nghiệm lớn

nhất) thì P x cùng dấu với tích của hệ số của x có mũ cao nhất trong

mỗi đa thức , , f x g x h x (tức là cùng dấu với tích . .n m k a b c )+ Xen k ẻ dấu về bên trái khi x đi qua nghiệm của

P x nếu là nghiệm bội lẻ, và giữ nguyên dấu nếu x đi qua nghiệm bội

chẵn của P x (tính luôn cả nghiệm của h x )

Bảng xét dấu: . . 0n m k a b c , giả sử có nghiệm bội chẵn là 1n , P x không xác

định tại n (tức n x là nghiệm của mẫu)





x …1 …

2n x 1n n

P x … 0 … + 0 - 0 - || +

. . 0n m k a b c , giả sử có nghiệm bội chẵn là 1n , P x không xác

định tại n (tức n x là nghiệm của mẫu)

x …1 x …

2n 1n n x

P x … 0 … - 0 + 0 + || -

II. CÁC VÍ DỤ:

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a. 3 8 f x x b. 2 23 2 6 5 f x x x x x

c. 3 22 2 3 2 f x x x x x d.

2

2 2

2 3 1

4 5 6

x x f x

x x x

Giải:

a. Ta có 3 28 0 2 2 4 0 2 f x x x x x x

Bảng xét dấu: (hệ số của 3 là 1>0)

2

f x - 0 +

b.

22 2

2

1

3 2 0 2

3 2 6 5 0 16 5 05

x

x x x

f x x x x x x x x

x

(x=1 là nghiệm bội 2) Bảng xét dấu:(Tích các hệ số của x có mũ cao nhất của hai tam thức l à 1.1>0)

x 1 2 5

f x + 0 + 0 - 0 +





3 2

3 2

2

2 0. 2 2 3 2 0

2 3 2

2 2

1 2 0 1

xc f x x x x x

x x x

x x

x x x x

Bảng xét dấu: (Tích các hệ số của x có mũ cao nhất l à -1.1<0)

1 2

f x - 0 + 0 -

d.

2

2 2

2 3 1

4 5 6

x x

f x x x x

Ta có:

2

1*2 3 1 0 1

2

x x x

x

2 2

* 4 0 2

x

x x

2 2* 5 6 0

3

x x x

x

Bảng xét dấu: (x=2 là nghiệm bội 2, f x không xác định tại

x=-2;2;3, tích các hệ số của x mũ cao nhất l à 2.1.1>0) x -2 1/2 1 2 3

f x + || - 0 + 0 - || - || +





CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN VÔ CỰC V À GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰCCỦA H ÀM SỐ

1. M ột vài qui tắc t ìm giới hạn vô cực:

Các giới hạn sau đây được xét khi 0 0 0, , , x x x x x x x x Qui t ắc nhân

lim f x lim g x L lim f x g x

0 L 0 L

Qui t ắc chia

lim f x lim g x L

lim

f x

g x

L 0

lim f x L lim g x Dấu của g x

lim

f x

g x 0 L 0 0 L 0

0 L 0

0 L 0

2. M ột số giới hạn cơ bản:

a)0

0lim x x

x x

;0

0lim x x

x ;

0

0lim x x

x

b)0

0lim x x

c x

;0

0lim x x

c x

0

0lim x x

c x

c) lim x

x

d) lim x

c c

e) lim 0 x

c

x

f) lim x

x

; 3lim x

x

g) lim k

x x

; 2lim k

x x

; 2 1lim k

x x k





3. M ột số lưu ý khi tìm giới hạn: a) Phương pháp xác định dấu của g x khi tìm giới hạn dạng

0

lim x x

f x

g x

:

Khi tính giới hạn của hàm số có dạng

f x y

g x khi 0 x x với

0 x là nghiệm của đa thức f x thì ta cần xác định f x dần tới 0 hay

0 . Có thể làm như sau: - Lập bảng xét dấu của f x (làm ở ngoài nháp), giả sử ta có

bảng sau: x … 0 …

f x … + 0 - …

- Xác định dấu của f x :

+ 0 0 x x x x thì dấu của f x là dấu ở phía bên

phải số 0 nằm dưới 0 x (theo bảng tr ên là dấu “-” do đó 0 f x

)+ 0 0 x x x x thì dấu của f x là dấu ở phía bên

phải số 0 nằm dưới 0 (theo bảng tr ên là dấu “+” do đó

0 f x )

b) Phương pháp t ìm nhanh giới hạn dạng

11 1 0

11 1 0

...lim lim

...

m mm m

n n x x n n

f x a x a x a x a

g x b x b x b x b

(trong đó , f x g x là

các đa thức có bậc lần lượt l à m và n):

- Nếu m n : thì

lim 0

x

f x

g x

- Nếu m n : thì

lim m

xn

f x a

g x b





- Nếu m n : thì

lim

x

f x

g x hoặc

lim

x

f x

g x tùy

theo bài toán ( xác định d ấu d ựa vào qui t ắc ở mục 1).





CHỦ ĐỀ 4: ĐẠO H ÀM1. Định nghĩa:

Đạo hàm hàm số y f x tại điểm 0 kí hiệu là 0' f x và

được định nghĩa 0 00 0 0

' lim lim x x

f x x f x y f x x

Số 0 x x được gọi là số gia của biến số tại điểm 0 ; số

0 0 y f x x f x gọi là số gia của hàm số ứng với số gia tại

điểm 0 x . Ngoài ra người ta còn định nghĩa theo công thức sau:

0

00

0' lim x x f x f x f x x x .

2. Ý nghĩa hình học của đạo h àm:- Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm 0 là hệ số góc của

tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 0 0 0; M x y .

- Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm 0 x thì tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 0; M x y có phương tr ình là: 0 0 0' y y f x x x

3. Đạo h àm của h àm số tr ên một khoảng: Hàm số f gọi là có đạo hàm trên khoảng I nếu nó có đạo hàm

' f x tại mọi điểm x I .

4. Quy tắc tính đạo h àm:

* Các công thức: 1) 1'n n x nx , 1n n

2) ' 0c (c là hằng số)

3) ' 1 x ; 2

1 1'

x

4)

1

' 02

x x

x





5) Giả sử ,u u x v v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm

x thuộc khoảng xác định, ta có:

2

2

' ' '

' ' '. ' ' '

' ''

. ' . '

1 '' 0

u v u v

u v u v

u v u v uv

u u v uv

v v

k u k u

v v v xv v

6) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại

x là ' xu và hàm số y f u có đạo hàm tại u là 'u y thì hàm hợp

y f g x có đạo hàm tại x là: ' ' . ' x u x y y u

7) Đạo hàm của hàm số lượng giác:

Bảng tóm tắt:

2

2

sin ' cos

cos ' sin

1tan '

cos1

cot '

sin

x x

x x

x x

x

x

2

2

sin ' '.cos

cos ' '.sin

'tan '

cos'

cot '

sin

u u u

u u u

uu

uu

u

u

8) Một số công thức khác:

2

22

2

'

2

'

ax b ad bc y y

cx d cx d

b camx anx

m nax bx c y y

mx n mx n





2

2

22 2

2' ' ' ' ' '

'' ' ' ' ' '

a b a c b c x x

a b a c b cax bx c y y

a x b x c a x b x c

5. Đạo h àm cấp 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm là ' f x , khi đó đạo hàm

cấp hai của hàm số kí hiệu là " ' ' y f x





CHỦ ĐỀ 5:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀPHƯƠNG TR ÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Công thức lược giác: 1. T ỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

06

4

3

2

23

34

56

sin 012

2

2

3

2 1

3

2

2

2

12

0

cos 1 32

22

12

0 – 12

– 22

– 32

1

tan 01

3

1 3 || 3

1 – 1

3 0

cot

|| 3

1

1

3 0

1

3

1 – 3 || * Công thức lượng giác cơ bản: 2 2sin cos 1 x x tan .cot 1 x x

22

11 tan

cos x

x 2

2

11 cot

sin x

x

sintan

cos

x x

x

cos

cot

sin

x x

x

2. Công thức biến đổi tích th ành tổng: 1

cos .cos [cos( ) cos( )]2

1sin .sin [cos( ) cos( )]

21

sin .cos [sin( ) sin( )]2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b





3. Công thức biến đổi tổng th ành tích:

cos cos 2cos .cos

2 2cos cos 2sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos2 2

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

4.Công thức nhân đôi: 2 2 2 2

2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

sin 2 2sin cos

2tantan 2 ( , , )

1 tan 2 2 2

a a a a a

a a a

aa a k a k k

a

5. Công thức nhân ba: 3

3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

6. Công thức hạ bậc:





2

2

2

3

3

cos 2 1cos

21 cos 2

sin2

1 cos 2tan

1 cos 23sin sin 3

sin4

3cos cos3cos

4

aa

aa

aa

aa a

a

a aa

7. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện: tan tan

tan( ) (*)1 tan .tantan tan

tan( ) (**)1 tan .tan

a ba b

a ba b

a ba b

(*) có điều kiện: , ,2 2 2a k b k a b k

(**) có điều kiện: , ,2 2 2

a k b k a b k

8. Công thức tính tana, cosa, sina theo tan2a

t :





2

2

2

2

2sin

1

1

cos 12

tan ,1 2

t a

t

t

a t t

a a k t

9. Công thức li ên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn

kém nhau 1 góc hoặc

2

:

9.1. Hai góc bù nhau:sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

9.2. Hai góc phụ nhau: sin( ) cos

2

cos( ) sin2

tan( ) cot2

cot( ) tan2

a a

a a

a a

a a

9.3. Hai góc đối nhau:sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tancot( ) cot

a a

a a

a aa a







2

2

2

2

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

u v k * u v

u v k

* u v u v k

* u v u v k u k

* u v u v k u k

2. Phương tr ình đẳng cấp đối với sinx v à cosx:Các phương tr ình lượng giác * asin2 x + bsinx.cosx + c.cos2 x +d= 0 (1)* 3 2 2 3 0asin x bsin xcos x csinxcos x dcos x msinx ncos x (2)* asin4 x + bsin3 x.cosx + csin2 x.cos2 x + dsinx.cos3 x + ecos4 x = 0 (3)gọi là phương tr ình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx.- Kiểm tra cosx=0 có là nghiệm không? - Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tựcho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương tr ình đã cho về phương tr ình mới

với ẩn t=tanx và ta dễ dàng giải các phương tr ình này.

3. Phương tr ình bậc nhất đối với sinx v à cosx:* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệma2 + b2 - c2 ≥ 0Có ba cách giải loại phương tr ình này :Cách 1: Giả sử a ≠ 0

(1) sin cos 0b c x xa a (2)

Cách 2: Đặt : tanb

a

(2) sin tan cos 0c

x xa

sin( ) cosc

xa

Ta dễ dàng giải phương tr ình này.

- Đặt :





tan2 x

t

2

2 2

2 1(1) 0

1 1

t t a b c

t t

Giải phương tr ình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương tr ình (1).

Cách 3: Do 2 2 0a b , chia hai vế của phương tr ình cho 2 2a b :

2 2 2 2 2 2(1) sin cos

a b c x x

a b a b a b

Đặt :

2 2

2 2

sin

cos

aa b

b

a b

2 2(1) sin( )

c x

a b

(đây là phương tr ình cơ bản).

Chú ý : Ta luôn có :2 2| sin sin |a x b x a b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1. 4. Phương tr ình đối xứng đối với sinx v à cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số) Giải phương tr ình (1) bằng cách đặt :

sinx + cosx = t , | | 2t

Đưa (1) về phương tr ình2 2 ( 2 ) 0bt at b c . Giải phương tr ình (2) với | | 2t .

5. Phương tr ình l ượng giác sử dụng nhiều đến phép biến đổi lượng giác:

Đây là dạng toán chủ yếu trong các k ì thi ĐH-CĐ, cách giải chủyếu là sử dụng các phép biến đổi lượng giác thông dụng để đưa phươngtrình về một trong các dạng tr ên hoặc dạng phương tr ình tích mà mỗi

thừa số là một phương tr ình cơ bản để giải để giải.





Trong quá trình biến đổi cần chú ý tránh sử dụng hai phép biếnđổi trái ngược nhau, và chú ý quan sát để rút ngắn thời gian và các bướcgiải, muốn thế cần nắm thật vững các công thức lượng giác, nhất lànhững công thức đặc biệt thường hay dùng.







thức mà ta nhớ không chắc chắn. Cần đảm bảo có sức khoẻ tốt nhấttrước khi dự thi. Cần tập thức dậy sớm vào buổi sáng (tự thức dậy sẽsảng khoái và có tr ạng thái tâm lý tốt hơn bị gọi dậy).

Khi nhận được đề thi cần đọc thật kỹ để phân định đâu là cáccâu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện (ưu tiên giải trước), còn các câu hỏikhó sẽ giải quyết sau. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả năng giảiquyết của thí sinh, không nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong đề bài. Có thểđánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làmmới thấy khó thì nên dứt khoát chuyển qua câu khác giải được dễ dàng,sau đó còn thời gian thì quay lại giải tiếp câu khó ấy. Trong khi thi

không nên làm quá vội vã câu dễ (để rồi có sai sót đáng tiếc) và đừngsớm chịu thua câu khó. Hãy tận dụng thời gian thi dò lại các câu đã làmmột cách cẩn thận và tập trung cao độ để tìm ra cách giải các câu khócòn lại.

(TS Nguyễn Cam, khoa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP.HCM)

Để làm bài thi ĐH đạt điểm cao

Thực hiện nguyên lý “3 Đ” Nguyên lý này được cô đọng và theo thứ tự: "Đúng - Đủ - Đẹp".

Đúng chiến lược l àm bài: Thực hiện theo chiến thuật: "Hết nạcvạc đến xương", tức là câu quen thuộc hoặc dễ làm trước, câu khó làmsau. Nếu câu khó thì bỏ qua, không làm ra hoặc làm sai thì nguy cơtrượt ĐH không lớn (bạn chỉ thua rất ít người làm được câu khó), nhưngnếu câu dễ mà không giải được, làm sai, làm không đến nơi đến chốnthì bạn rất dễ trượt (vì bạn sẽ thua hàng vạn người làm được câu dễ).Đúng đáp số: Nếu bài làm có đáp số đúng, bố cục ổn thì giáo viên chấmlần 1 có thể cho điểm tối đa và đánh k ý hiệu để dễ thống nhất điểm vớigiáo viên chấm lần 2. Nếu đáp số sai thì thường giáo viên sẽ tìm điểmsai gần nhất để chấm cho nhanh. Vì vậy đúng đáp số là r ất quan trọng,thậm chí có nhiều người lập luận chưa chính xác nhưng vẫn được điểmtối đa. Đúng chương tr ình SGK: Làm đúng đáp số nhưng bạn phải dùng

kiến thức đã học trong chương tr ình SGK. Đúng thời gian: Có nhiều TSkhông biết phân bố thời gian, tr ình bày quá cẩn thận dẫn đến có câu đã




giải xong tr ên giấy nháp nhưng hết thời gian để viết vào bài thi. Cũngcó nhiều TS làm bài nhanh nhưng không xem lại bài k ỹ nên bị mất điểmđáng tiếc.

Đủ các câu hỏi: TS cần điều tiết thời gian để làm hết các câuhỏi theo tr ình tự từ dễ đến khó, tránh tốn quá nhiều thời gian cho mộtcâu hỏi để không còn giờ suy nghĩ câu khác. Tr ình bày đầy đủ: Dothang điểm chi tiết đến 0,25 nên những bài có lập luận đầy đủ sẽ dễ đạtđiểm tối đa.

Tìm l ời giải đẹp: Khi gặp một bài toán, bạn cần ưu tiên cách giải

cơ bản để xử lý nhanh mà không nên loay hoay mất thời gian tìm cáchgiải đẹp. Tuy nhiên ở một số bài toán đẳng cấp lại cần đến lối giải thôngminh, ngắn gọn. Tr ình bày đẹp: Mặc dù trong môn Toán yếu tố đẹp bịxem nhẹ hơn rất nhiều so với yếu tố đúng, nhưng nếu 2 bài thi có nộidung tương tự nhau thì bài trình bày đẹp dễ được điểm cao hơn từ 0,5đến 1 điểm.

(Tr ần Phương Giảng viên môn Toán, Trung tâm H ỗ trợ phát triển t ài

năng, Liên hiệp Các hội khoa học - k ỹ thuật Việt Nam)

Documents

Tóm tắt lí thuyết và phương pháp giải toán 12 Tác giả: Nguyễn Thanh Nhàn Nguồn gốc: Trường THPT Ngô Gia Tự