- 1 -

P(B/A) = P(B) = P(B/Ā) (độc lập)

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)P(A.B) = P(A).P(B) (độc lập)

)(

).()/(

AP

BAPABP

P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)P(A1A2…An) = P(A1).P(A2) …P(An) (độc lập)

XS đầy đủ: )/(/)(...)/(/)()/(/)()( 2211 nn HAPHPHAPHPHAPHPAP

Định lý cộng XSP(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B)P(A+B) = P(A) + P(B) (xung khắc A.B=Ф)P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+ …+P(An) (xung khắc)

Bayes:)(

)/().()/(

AP

HAPHPAHP ii

i

De Morgan: BABA . ; BABA .

Hàm mật độ: f(x) = F’(x)

f(x) ≥ 0 x;

1)( dxxf

b

a

dxxfbxaP )()(

x

dxxfxF )()(

dxxfx )(.E(X) (liên tục)

dxxfx )(.)E(X 22(liên tục)

Hàm phân phối XS: 0 ≤ F(x) ≤ 1F( ) = 0; F( ) = 1;P(a<X<b) = F(b) – F(a)

Kỳ vọng E(X) = x1P1 + x2P2 +…+ xnPn

E(c) = cE(X+Y) = E(X) + E(Y)E(c.X) = c.E(X)E(X.Y) = E(X).E(Y)Phương saiV(X)=E(X

2)-(E(X))

2

V(c) = 0V(X±Y) = V(X) + V(Y) (độc lập)V(c.X) = c

2.V(X)

Độ lệch chuẩn )(XVx

Công thức Bernoulli:knkk

nn qpCkP ..)( ; q = 1 – p

Quy luật pp nhị thức Bernoulli:X ~ B(n ; p)E(X) = n.p ; V(X) = n.p.q ;

qpnx ..

Chú ý :X ~ B(n ; p) thoả mãn: n≥5 và

3,01

.1

1

np

p

p

p

thì X ~ N(μ=n.p, σ2=npq)

Quy luật pp chuẩn X ~ N(μ, σ2)

2

2

2

)(

2

1)(

x

exf

E(X) = μ; V(X) = σ2

)(XVx

Фo(-u) = - Фo(u)u≥5 Фo(u) = 0,5P(a<U<b) = Фo(a) - Фo(b)P(U<b) = 0,5 + Фo(b)P(U>a) = 0,5 - Фo(a)

Giá trị giới hạn chuẩn Uα

P(U>Uα) = α, 0≤α≤1

)()(b)XP(a oo

ab

)(5,0b)P(X o

b

)(,50X)P(a o

a

trung bình (μ)phương sai (σ

2)

độ lệch chuẩn (σ)tỷ lệ (p=M/N)

Tổng thể ng/cứu N, dấu hiệu ng/cứu X:Bảng phân phối tần số/ tần suất

X x1 x2 … xk

N N1 N2 … Nk

P p1 p2 … pk

Mẫu ngẫu nhiên:Bảng phân phối tần số/ tần suất

xi x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

fi f1 f2 … fkTrung bình mẫu

n

XXXX k

...21 ; i

k

ii nXX

1

22

Tổng bình phương các sai lệch

i

n

ii nXXSS .)( 2

1

Trung bình bình phương các sai lệch22 )(XXMS

Phương sai mẫu: MSn

nS

12

Độ lệch chuẩn 2SS

Chú ý: khi mẫu (X1, X2,…,Xk) nhận giá trị cụ thể

(x1, x2,…,xk), ta có giá trị cụ thể: x , s*2

, ss, ms, s2

x n x.n x2n

x1 n1 x1.n121x .n1

x2 n2 x2.n222x .n2

…… … …

xk nk xk.nk2kx .nk

Σ (tong1) (tong2) (tong3)

)1(

)2(

tong

tongx

)1(

)3(2

tong

tongx

)(2 xxms

msn

ns

12

(độc lập)

longtkt.tk

- 2 -

ƯỚC LƯỢNG : X ~ N(μ, σ2)

Khi biết σ2

Khi chưa biết σ2

ƯL trung bình tổng thể N(0,1)~)(

XU 1)-T(n~

)(

S

nXT

Khoảng tin cậy đối xứng22

U

nXU

nX )1(

2

)1(

2

nn tn

SXt

n

SX

Độ dài tin cậy2

U

n ; I = 2ε

)1(

2

ntn

S ; I = 2ε

Khoảng tin cậy tối đa

U

nX )1( nt

n

SX

Khoảng tin cậy tối thiểu U

nX )1( nt

n

SX

Kích thước mẫuε ≤ εo

oUn

2

22/ )

.('

o

Un

)1(

2

ntn

S ≤ εo

2)1(

2/ ).

('o

ntSn

Độ dài tin cậy đối xứng I ≤ Io

22/ ).2

('o

Un

2)1(

2/ ).2

('o

n

I

tSn

Khi đã biết μ Khi chưa biết μ

ƯL phương sai tổng thể σ2 )(2

2

2*2 ~ nnS

))1((2

2

22 ~

)1( nSn

Với độ tin cậy 1-α cho trcKhoảng tin cậy 2 phía

)(2

21

2*2

)(2

2

2*

nn

nSnS

)1(2

21

22

)1(2

2

2 )1()1(

nn

SnSn

Khoảng tin cậy tối đa)(2

1

2*2

n

nS

)1(2

1

22 )1(

n

Sn

Khoảng tin cậy tối thiểu)(2

2*2

n

nS

)1(2

22 )1(

n

Sn

Khoảng tin cậy tối đa: U)1(

n

fffp

Khoảng tin cậy tối thiểu: U)1(

n

fffp

Xác định kích thước mẫu

ƯL tỷ lệ tổng thể

N(0,1)~)1(

)(

ff

npfU

Khoảng tin cậy đối xứng

22

U)1(

U)1(

n

fffp

n

fff

2

U)1(

n

ff

Độ dài khoảng tin cậy đx:I = 2ε

ε ≤ εo2

0

2/.U)1('

ff

n

I ≤ Io 2

0

2/.U)1(2'

ff

n

Sai số của ước lượng

Sai số của ước lượng I

longtkt.tk

- 3 -

KIỂM ĐỊNH X ~ N(μ, σ2)

Khi đã biết σ2

Khi chưa biết σ2

Kiểm định trung bình (μ)Tiêu chuẩn KĐ: )( n

XU

)(

S

nXT

Ho: μ = μo

H1: μ ≠ μoWα = (-∞,-Uα/2) (Uα/2, +∞) ),(),( )1(

2/)1(

2/ nn ttW

Ho: μ = μo

H1: μ > μoWα = (Uα, +∞) ),( )1( ntW

Ho: μ = μo

H1: μ < μoWα = (-∞,-Uα) ),( )1( ntW

Kiểm định phương sai (σ2) Kiểm định tỷ lệ tổng thể

Tiêu chuẩn KĐ:2

22 )1(

o

Sn

Tiêu chuẩn KĐ: N(0,1)~

)1(

)( 0

oo pp

npfU

Ho:22o

H1:22o

),(),0( )1(2

2

)1(2

21

nnW Ho: p = po

H1: p ≠ po),(),( 2/2/ UUW

Ho:22o

H1:22o

),( )1(2 nW Ho: p = po

H1: p > po),( UW

Ho:22o

H1:22o

),0( )1(21

nW Ho: p = po

H1: p < po),( UW

Kiểm định 2 trung bình

X1 ~ N(μ1,21 ) ; X2 ~ N(μ2,

22 )

Kiểm định 2 tỷ lệ

X1 ~ N(μ1,21 ) ; X2 ~ N(μ2,

22 )

TCKĐ: N(0,1)~

2

22

1

21

21

n

S

n

S

XXU

TCKĐ:

)11

)(1(21

21

nnff

ffU

1

11

n

mf ;

2

22

n

mf ;

21

21

nn

mmf

Ho: μ1 = μ2

H1: μ1 ≠ μ2Wα = (-∞,-Uα/2) (Uα/2, +∞)

Ho: p1 = p2

H1: p1 ≠ p2),(),( 2/2/ UUW

Ho: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2Wα = (Uα, +∞)

Ho: p1 = p2

H1: p1 > p2),( UW

Ho: μ1 = μ2

H1: μ1 < μ2Wα = (-∞,-Uα)

Ho: p1 = p2

H1: p1 < p2),( UW

longtkt.tk

Kiểm định phương sai hai tổng thể X1 ~ N( 2

1 1, ) , X2 ~ N( 22 2, )

Kiểm định tính độc lập của 2 biến định tính

. .

1. .

: à ôc l â p

: à ph thu ô c

oH X v Y đ

H X v Y u

Tiêu chuẩn kiểm định:

2ij2

,

( 1)i j i j

nn

n m

2( 1).( 1)( ; )k hW

Tiêu chuẩn kiểm định: 2

122

SF

S

2 21 2

2 21 1 2

:

:

oH

H

1 2( 1; 1)( ; )n nW f

2 21 2

2 21 1 2

:

:

oH

H

1 2( 1; 1)

1(0; )n nW f

Kiểm định biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

, ?

, ?

1

: ó â ô i chu â n

: ô ó â ô i chu â n

oH X c ph n ph

H X kh ng c ph n ph

Tiêu chuẩn kiểm định:

2 23 4( 3)

[ ]6 24

a aJB n

3 4

3 43 4

( ) ( )1 1;i i i i

i i

x x n x x na a

n ns s

2(2)( ; )W

2 21 2

2 21 1 2

:

:

oH

H

1 2 1 2( 1; 1) ( 1; 1)

12 2

(0; ) ( ; )n n n nW f f