Tolerancement Inertiel - Maurice Pillet

7/23/2019 Tolerancement Inertiel - Maurice Pillet

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Maurice Pillet

Amliorer la productivit

Dploiement industrieldu tolrancement inertiel

Groupe Eyrolles, 2010

ISBN : 978-2-212-54754-2


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roupeEyrolles

Sommaire

Remerciements ............................................................................... V

Introduction De linterchangeabilit Six Sigma ........................... 1

CHAPITRE 1 Du tolrancement traditionnelau tolrancement inertiel.............................. 9

1. Les trois incohrences du tolrancement traditionnel ................ 91.1. Incohrence fonctionnelle ....................................................... 91.1.1. Incohrence de lapproche au pire des cas .......................... 13

1.2. Incohrence de conformit ..................................................... 151.3. Incohrence conomique ........................................................ 171.4. Le cot de ces trois incohrences ........................................... 212. De la ncessit de dfinir autrement la conformit .................... 222.1. Dfinition de linertie............................................................... 222.2. Le tolrancement inertiel et les trois incohrences ................. 262.2.1. Incohrence fonctionnelle ................................................... 262.2.2. Incohrence de conformit ................................................. 32

2.2.3. Incohrence conomique .................................................... 343. Les implications culturelles du tolrancement inertiel ................ 353.1. Avoir une vision chane logistique plutt que de se focaliser

sur chaque caractristique ....................................................... 363.2. Avoir une vision statistique du processus de production ......... 373.3. Limiter la variabilit, ce nest pas automatiquement accepter

une excursion de la moyenne autour de la cible ...................... 373.4. Changer de paradigme............................................................. 38

CHAPITRE 2 Le tolrancement inertiel, une autre visionde la conformit ............................................... 45

1. Le tolrancement inertiel dans le cas bilatral ............................ 451.1. Rappel de la dfinition du tolrancement inertiel .................... 46
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VIII Amliorer la productivit

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1.2. Reprsentation graphique du tolrancement inertiel ............... 481.2.1. Reprsentation graphique de la conformit associe

un histogramme ................................................................ 481.2.2. Cas extrmes ...................................................................... 501.2.3. Reprsentation graphique de la conformit

dans un graphe | .............................................................. 511.2.4. Dclaration de conformit dun lot, dune pice.................. 521.2.5. Utilisation du graphe |2 .................................................... 532. Les indicateurs de capabilit en tolrancement inertiel .............. 552.1. Dfinition ................................................................................ 55

2.2. Exemple de calcul .................................................................... 562.3. Interprtation de ces indicateurs de capabilit ........................ 583. Le cas des limites unilatrales ..................................................... 593.1. Cas des caractristiques unilatrales limite suprieure ......... 593.2. Cas des caractristiques unilatrales limite infrieure ........... 61

CHAPITRE 3 Comment calculer une tolrance inertielle 63

1. Calcul standard dune tolrance inertielle................................... 631.1. Dfinition de lobjectif sur lexigence fonctionnelle.................. 641.2. Calcul des cibles ...................................................................... 661.3. Calcul de linertie rpartition uniforme des tolrances ......... 671.4. Calcul de linertie rpartition non uniforme des tolrances .. 681.5. Calcul de linertie cas de tolrances figes............................ 702. Garantir un taux de non-conformit sur lexigence fonctionnelle 712.1. Situation dassemblage la plus dfavorable ............................... 712.2. Calculer linertie pour garantir un Ppk sur lexigence fonctionnelle 723. Garantir une inertie sur lexigence fonctionnelle ........................ 743.1. Combinaison des inerties ........................................................ 753.2. Hypothse 1 : distribution alatoire des moyennes,

dcentrage moyen nul ............................................................. 773.3. Hypothse 2 : Pire des cas, dcentrage maximal ..................... 773.4. Hypothse 3 : dcentrage dune valeur k de tous

les composants ........................................................................ 783.5. Hypothse 4 : dcentrage de m caractristiques sur n ............ 79

4. Exemple de calcul de rpartition de tolrances inertielles .......... 794.1. Calcul des cibles ...................................................................... 804.2. Dtermination des pondrations de faisabilit ......................... 804.3. Calcul en tolrancement traditionnel dans lhypothse

pire des cas ............................................................................. 80
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Sommaire IX

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4.4. Calcul en tolrancement traditionnel dans lhypothsestatistique quadratique ............................................................ 81

4.5. Calcul en tolrancement inertiel ............................................. 834.6. Calcul en tolrancement inertiel pour garantir un Ppk............ 844.7. Rcapitulatif des diffrents calculs ........................................... 85

CHAPITRE 4 Matrise Inertielle de Processus ................... 87

1. De la MSP la MIP ..................................................................... 872. Les outils traditionnels de la MSP ............................................... 88

2.1. Utilisation des cartes de Shewhart .......................................... 892.1.1. Le principe de Shewhart ...................................................... 892.1.2. La carte de contrle des moyennes ..................................... 902.1.3. La carte de contrle des tendues ...................................... 912.1.4. Exemple de suivi par cartes de contrle moyennes/tendues 912.1.5. Autres cartes utilisables....................................................... 922.2. Cartes de Shewhart limites largies ...................................... 932.3. Exemple de calculs de limites de contrle avec les cartes

de type Shewhart .................................................................... 952.4. Condition dexistence dune limite largie ............................... 963. La carte de contrle inertielle .................................................... 973.1. Loi de distribution des inerties de Scheff ............................... 973.2. Carte de contrle inertielle ..................................................... 983.2.1. Inertie historique court terme............................................. 993.2.2. Zone verte .......................................................................... 993.2.3. Zone orange........................................................................ 1003.2.4. Zone rouge ......................................................................... 1013.2.5. Zone noire .......................................................................... 1013.3. Reprsentation locale de lchantillon ..................................... 1023.4. Carte en tunnel ....................................................................... 1033.5. Condition dexistence des diffrentes zones............................ 1033.6. Exemple de carte de contrle inertielle................................... 1053.6.1. Prsentation de lexemple ................................................... 1053.6.2. Calcul de la carte de contrle des inerties .......................... 1064. Autres cartes de contrle inertielles .......................................... 109

4.1. Carte une inertie ................................................................. 1094.2. Carte inertielle sans drive...................................................... 1124.3. Choix entre la carte de contrle ............................................. 1135. Conclusion ................................................................................. 115


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X Amliorer la productivit

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CHAPITRE 5 Pilotage inertiel multicritre ......................... 117

1. Le problme multicritre ........................................................... 1172. Principe du pilotage inertiel multicritre..................................... 1192.1. Solution du problme de pilotage inertiel multicritre ............ 1202.2. Exemple de pilotage inertiel multicritre ................................. 1212.3. Prise en compte des cartes inertielles ..................................... 1233. Pilotage inertiel pondr par la svrit relative des cotes ......... 1264. Pilotage inertiel multicritres dans le cas dune presse injecter 1294.1. Dtermination de la matrice dincidence et de la matrice

de pilotage inertielle ................................................................ 130

4.2. Exemple de pilotage ................................................................ 1335. Conclusion ................................................................................. 134

CHAPITRE 6 Tolrancement inertiel total......................... 137

1. Faire voluer le tolrancement gomtrique .............................. 1392. tablir la conformit par linertie totale ...................................... 1412.1. Dfinition de linertie totale .................................................... 141

2.1.1. Inertie dune surface ............................................................ 1422.1.2. Inertie dun ensemble de surfaces........................................ 1422.2. Spcifier une pice en inertie totale ........................................ 1432.2.1. Cas o il y a plusieurs rfrences ........................................ 1452.2.2. Rfrence avec une direction privilgie ............................. 1452.3. Intrt dune spcification en inertie totale ............................. 1473. Piloter une production en inertiel total ...................................... 1483.1. Lapproche pilotage inertiel total ............................................. 148

3.2. Exemple de pilotage en inertie totale ...................................... 1503.2.1. Lexemple ............................................................................ 1503.2.2. Dtermination de la matrice dincidence A.......................... 1513.2.3. Calcul de la matrice de pilotage inertielle ............................ 1533.2.4. Calcul de la correction ........................................................ 1543.2.5. Hirarchisation des corrections .......................................... 1553.3. Intrt du pilotage en inertie totale ......................................... 1563.4. Calcul de la matrice dincidence dans diffrents cas ................. 1573.5. Pondration en fonction de linertie maximale ........................ 157

3.5.1. Le problme ........................................................................ 1573.5.2. Pilotage inertiel total pondr ............................................. 1604. Pilotage par carte inertielle......................................................... 1625. Conclusion ................................................................................. 163


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Sommaire XI

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CHAPITRE 7 Rception de lots en tolrancement inertiel 165

1. Rgle de prlvement et dacceptation Mthode ,cart-type connu ........................................................................ 1671.1. Le problme ............................................................................ 1671.2. Dtermination du plan de contrle ......................................... 1681.3. Carte de contrle rception avec sigma connu ....................... 1692. Rgle de prlvement et dacceptation Cas sigma inconnu

mthode S .................................................................................. 1712.1. Loi de distribution des inerties ................................................ 1712.2. Calcul de la taille des chantillons............................................ 171

2.3. Calcul de linertie maximale admissible .................................... 1722.4. Approche pragmatique ............................................................ 1732.5. Exemple dapplication .............................................................. 1742.5.1. Calcul partir des risques ................................................... 1742.5.2. Calcul partir de la taille dchantillon ................................ 1763. Dfinition des limites de tri dans le cas du refus dun lot............ 1773.1. Cas de la loi uniforme ............................................................. 1773.1.1. Cas dune distribution centre autour de la cible ................ 177

3.1.2. Cas dune distribution dcentre autour de la cible ............ 1793.2. Cas de la loi normale............................................................... 1803.3. Cas dune loi non spcifie ...................................................... 1833.4. Exemple de tri en contrle de rception................................. 1833.4.1. Calcul des limites de tri ....................................................... 1843.4.2. Rsum des calculs .............................................................. 185

CHAPITRE 8 Validation dun processus de mesureen inertiel........................................................... 187

1. Justesse et Dispersion ................................................................ 1872. Capabilit des processus de contrle inertielle CpcI .................. 1892.1. Estimation de la dispersion de mesure .................................... 1902.2. Estimation du biais................................................................... 1932.3. Estimation du CpcI .................................................................. 1953. Calcul du ndcI, nombre de catgories distinctes inertiel ............. 196

ANNEXE Tables et rsums .................................................. 201

Bibliographie.................................................................................... 215

Index ............................................................................................... 218
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Chapitre 1

Du tolrancement traditionnel

au tolrancement inertiel

1. LESTROISINCOHRENCESDUTOLRANCEMENTTRADITIONNEL

Nous utilisons le systme de tolrancement par intervalle depuis tantde temps que nous nous sommes habitus vivre avec un certainnombre dincohrences. Celles-ci sont si importantes quon peut sedemander pourquoi elles ne sont pas plus dnonces. Nous avonsidentifi trois incohrences majeures :

une incohrence fonctionnelle ;

une incohrence de conformit ;

une incohrence conomique.

Une fois ces incohrences rvles, le systme de tolrancementclassique montre ses limites. Cest parce que le systme actuel estincohrent quil faut le faire voluer !

1.1. Incohrence fonctionnelle

Dans le cas gnral du tolrancement dun assemblage, le problmeconsiste dterminer les tolrances sur les caractristiques lmen-taires Xi pour obtenir une caractristique finale Y satisfaisant lebesoin des clients. Les deux approches les plus classiques actuellessont les approches au pire des cas (tolrancement arithmtique) etstatistique (tolrancement statistique quadratique). Le lecteur qui

dsire en connatre davantage sur ces tolrancements peut se repor-ter aux encadrs 1 et 2 que lon trouvera respectivement en milieu eten fin de ce chapitre et qui dcrivent ces deux approches tradition-nelles du tolrancement dune chane fonctionnelle. La norme XP E04 008-2009 dfinit ces modes de tolrancement.


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10 Amliorer la productivit

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Rappelons simplement les principaux rsultats pour une chane decote telle que : Y= A + B Co on souhaite calculer les tolrancessur A, B, C (ITA, ITB, ITC) pour obtenir une tolrance sur Y (ITY).

Avec le tolrancement au pire des cas, on veut garantir dans toutesles situations possibles la tolrance sur Y. Ainsi, on divise la tol-rance sur Y par le nombre de composants (ici 3) et il vient : ITA= ITB= ITC= ITY/3.

Avec le tolrancement statistique, on considre que la probabilitdavoir en mme temps les trois caractristiques A, B, C aux extrmes

est faible, et on veut garantir statistiquement la tolrance sur Y. Alors,on divise la tolrance sur Y par la racine carre du nombre de com-posants (ici 3) et il vient : ITA= ITB= ITC=

Le tolrancement au pire des cas est trs svre et le tolrancementstatistique permet dlargir les tolrances dun facteur ce quiest trs important. Une pratique largement rpandue dans le milieude la mcanique consiste utiliser lune ou lautre pratique sans

jamais prciser sur les plans quelle a t la mthode de calcul destolrances.

Dautres pratiques intermdiaires ont t proposes telles que letolrancement statistique pondr (Nigam 1995), le tolrancementprobabiliste (Anselmetti 2000), le tolrancement semi-quadratique(Anselmetti 2007), et aboutissent des compromis plus ou moinsbons entre lapproche statistique et pire des cas, mais toujours avecun objectif de fournir un intervalle [min max]. Adragna (Adragna

2007) et Denimal (Denimal 2009) ont propos des tudes comparati-ves intressantes entre les diffrentes approches dans leurs travauxde doctorat.

Toutes ces mthodes conduisent une incohrence fonctionnellegrave que nous allons illustrer dans les configurations pire des cas etstatistique. cet effet, utilisons lassemblage dune roue dhorlogerieentre une platine et un pont. Le jeu fonctionnel ncessaire est connude faon exprimentale, et doit tre de 0,02 0,015. La Figure 1dcrit le principe de cet assemblage.

Le tolrancement au pire des cas consiste fixer les limites de tol-rances de telle sorte que dans tous les cas de figure le jeu fonctionnelsoit satisfait. Les deux conditions extrmes sont lorsque la cote de

ITY/ .3

n,


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Du tolrancement traditionnel au tolrancement inertiel 11

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longueur de la roue c est maxi alors que les cotes de positionnementdes pierres a et bsont mini et inversement.

Le tolrancement statistique part du principe quil est peu probableque sur le mme assemblage on trouve, la fois, la caractristique cau mini et les caractristiques a et bau maxi. Il faut tenir compte deslois statistiques daddition des variabilits qui peuvent se rsumer dela faon suivante : lorsquon additionne ou quon soustrait des varia-bles alatoires,

la moyenne de la rsultante est gale la somme (ou la soustrac-tion) des moyennes ;

la variance (carr de lcart-type) de la somme est gale lasomme des variances.

Comme indiqu dans lencadr 2, le tolrancement statistique quadrati-que conduit, dans une chane de cotes, augmenter les tolrances dunfacteur racine (n) ; n tant le nombre de maillons de la chane de cote.

Ce mode de tolrancement est donc extrmement intressant. Cestpourquoi, ds que lon aboutit par lapproche au pire des cas destolrances trop serres, les concepteurs ont lhabitude de vite passer autolrancement statistique. Le problme est que ce tolrancement faitlhypothse que les productions seront centres sur la cible. Or, aucunenorme jusqu la toute dernire norme AFNORXP E 04-008 (2009) nepermet de prciser comment indiquer sur le plan si une caractristiqueest tolrance de faon statistique ou arithmtique. De mme, aucune

norme ne prcise la faon dont il faut valider lhypothse de centrage.En revenant notre exemple, la relation linaire entre le jeu et lescaractristiques fonctionnelles lmentaires est la suivante :

Jeu=a+bc

Figure 1 Exemple dassemblage


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Dans cet exemple, on considre que lon souhaite une rpartitionuniforme des tolrances. On fixe ainsi toutes les pondrations de fai-sabilit 1.

En appliquant les relations de lencadr 1, rsumes en annexe decet ouvrage, on trouve les cotes et les tolrances par lapprochearithmtique :

De mme, en appliquant les relations de lencadr 2 on trouve lestolrances suivantes sur les caractristiques a, b, c :

On constate que le calcul statistique donne des tolrances 1,732 foissuprieure au calcul au pire des cas.

Tableau 1 Calcul des tolrances en arithmtique (pire des cas)

Y 0,02 0,003

Caractristique CibleCoefficientdinfluence

Pondrationde faisabilit

Tolrances

a 0,74 1 1 3

b 1,38 1 1 3

c 2,10 1 1 3

Tableau 2 Calcul des tolrances en statistique quadratique

Y 0,02 0,003

Caractristique CibleCoefficientdinfluence

Pondrationde faisabilit

Tolrances

a 0,74 1 1 3

b 1,38 1 1 3

c 2,10 1 1 3

a bj j. ba b

j

j j

ITY

.

0 03 3 0 01, / ,=

0 03 3 0 01, / ,=

0 03 3 0 01, / ,=

a bj j2 2. ba b

j

j j

ITY

2 2.

0 03 3 0 017, / ,=

0 03 3 0 017, / ,=

0 03 3 0 017, / ,=


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1.1.1. Incohrence de lapproche au pire des cas

Si le concepteur retient le tolrancement au pire des cas, et que les

productions sont centres sur la cible (Figure 2) deux cas peu-vent se produire :

soit la production sur les caractristiques lmentaires semblejuste adapte (on dfinit traditionnellement le Ppk = 1), mais onobtient alors une caractristique fonctionnelle trs au-del de cequi est requis ;

soit la production sur les caractristiques lmentaires est jugenon conforme (ici Ppk < 1) alors que la caractristique fonction-

nelle la seule qui intresse le client est conforme.

Le tolrancement au pire des cas est donc un tolrancement extr-mement svre, qui juge non conformes des pices lmentaires quipourtant pourraient donner des caractristiques fonctionnelles par-

Cas#1 Les caractristiques fonctionnelles lmentaires sont juste capables,pourtant la rsultante fonctionnelle est parfaitement conforme

Cas#2 Les caractristiques fonctionnelles lmentaires sont non capables,pourtant la rsultante fonctionnelle est conforme

Figure 2 Incohrence du tolrancement au pire des cas


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faitement adaptes. Cette mauvaise cohrence entre la conformit dela caractristique fonctionnelle et la conformit des caractristiqueslmentaires fait perdre beaucoup dargent nos industriels. Cest unnorme gaspillage soit de pices dclares non conformes alorsquelles pourraient ltre sans pnaliser le client, soit de moyens deproduction surdimensionns par rapport la capabilit juste nces-saire. Combien dentreprises ont livr pendant des annes des picesqui nont pos aucun problme sur le produit final et qui, tout duncoup, deviennent non conformes simplement parce quun nouveaucontrleur plus pointilleux est arriv chez le client ?

Incohrence de lapproche statistique quadratique

Pour viter ce gaspillage, le tolrancement statistique quadratiquepourrait sembler tre la solution.

Pourtant (Figure 3), si dans le cas dun centrage parfait, il y a biencohrence entre la conformit de la caractristique fonctionnelle (lejeu) et la conformit des caractristiques lmentaires, ce nest plusle cas ds que lon est en prsence de situations non centres. Laseconde illustration de la Figure 3 montre que lon peut avoir prs de100 % dassemblage non conforme avec des capabilits Ppk > 1.33 norme gnralement admise sur chacune des caractristiqueslmentaires. Des caractristiques lmentaires conformes assem-bles entre elles peuvent donner des assemblages non conformes !

La Figure 2 et la Figure 3 illustrent bien ce que nous appelons linco-hrence fonctionnelle des systmes traditionnels de tolrancement.

Voila deux sicles que lon ne sait pas dfinir quelles sont les bonnestolrances sur les caractristiques lmentaires pour satisfaire unecaractristique rsultante, mais pourtant on reste persuad que lesystme que nous utilisons est lunique possible.

Le tolrancement inertiel sait rsoudre cette incohrence. Nous verronsplus loin dans ce chapitre que le tolrancement inertiel permet davoirune approche statistique de la rpartition des tolrances et donc uneplus grande variabilit , tout en garantissant la conformit de lassem-

blage. Ce compromis permis par le tolrancement inertiel nest paspossible avec une tolrance exprime sous la forme dun intervalle !


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1.2. Incohrence de conformit

Si lon veut tre cohrent au niveau de la conformit, il faut que lemlange de pices conformes donne forcment un lot conforme. Par

exemple, un donneur dordre qui accepte dix lots qui ont chacun tjugs conformes mais qui sont ensuite mlangs devrait retrouver unlot global conforme. Ce nest pas le cas avec les approches de tol-rancement et de capabilit actuellement utilises. La Figure 4 illustrece point. Le lecteur qui ne connat pas les notions de capabilitpourra se rapporter lencadr 3 sur les capabilits situ en fin de cechapitre.

Prenons lexemple dans linjection plastique dun moule multi-

empreintes huit empreintes. On fait une tude de capabilit surtoutes les empreintes (Figure 4) qui sont chacune suprieures auminimum exig (Ppk > 1.33). Les pices sont donc acceptes etmlanges dans un seul contenant pour tre utilises par prlve-ments alatoires.

Cas#3 Les caractristiques fonctionnelles lmentaires sont juste capables,la rsultante fonctionnelle est juste conforme

Cas#4 Les caractristiques fonctionnelles lmentaires sont capables,mais dcentres. La rsultante fonctionnelle est hors spcification

Figure 3 Incohrence du tolrancement statistique


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Si on refait une capabilit partir de ce contenant unique, par exem-ple en prlevant 40 pices (soit 5 pices de chaque empreinte), ontrouve le rsultat fourni en Figure 5 avec un Ppk de 0.98 (soit trsinfrieur 1.33) pour un chantillon dont on ne peut refuser lhypo-thse de normalit.

Un mlange de lots dont le Ppk est conforme pour chacun des lotsdonne un lot global qui est non conforme ! Voil un point qui est unpeu surprenant mais qui ntonne personne, voire mme est par-fois dfendu !

Cest la seconde incohrence majeure du systme actuel detolrancement : le mlange de lots conformes peut donner un lotnon conforme. Cette incohrence finit par coter cher dans les rela-tions client-fournisseur. Par exemple, il est coutumier pour les entre-prises dinjection plastique de valider une production en ralisantune capabilit sur chacune des empreintes pour chacune descaractristiques, ce qui est extrmement coteux.

Si le systme de dclaration de conformit tait adapt, une capabi-lit sur lensemble des empreintes devrait donner des rsultats coh-rents avec lacceptation de chacune des empreintes. Le bon sensvoudrait quun systme correct de capabilit dclare conforme un lot

Empreintes 1 2 3 4 5 6 7 8

Moyenne 18,8 18,0 18,9 19,9 21,0 22,1 22,4 22,2

cart-type 1,14 0,97 1,07 1,15 0,85 0,95 0,81 0,91Ppk 1,41 1,39 1,53 1,73 1,94 1,36 1,50 1,40

Figure 4 Cas des mlanges de lots


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sil provient du mlange de plusieurs lots eux-mmes dclarsconformes !

L encore, nous verrons que le tolrancement inertiel corrige cetteincohrence. Linertie dun mlange de lots est forcment accepte sichacune des empreintes a une inertie qui est conforme.

1.3. Incohrence conomique

La troisime incohrence est lie directement au cot de non-qualitqui est accept avec le tolrancement traditionnel par zone. Une foisque lon a dcid quelle est la cote cible que lon doit viser, toutevariabilit autour de cette cible est une non-qualit. Cest la raisonpour laquelle on limite cette variabilit par une tolrance. Dans leraisonnement traditionnel, on considre que lorsque la pice est

conforme, le cot de non-qualit est nul. Lorsque la pice est lextrieur des tolrances, le cot de non-qualit est gal au prix dela pice. Cette faon de voir les choses, illustre par la Figure 6,conduit la troisime incohrence.

Dans la vision classique des tolrances [Min ; Max], un lot tel quecelui de la Figure 6 tant dans la tolrance ne gnre pas de non-qualit car toutes les valeurs sont conformes. Il ny a pas de diff-rence dun point de vue cot avec un lot de mme cart-type, mais

qui serait centr sur la cible ! Cependant Genichi Taguchi (Taguchi1987) a dmontr que la perte financire pour un produit tait pro-portionnelle au carr de lcart qui spare la valeur de la cible.

Figure 5 Capabilit partir du mlange des huit empreintes

L K X Cible= -( )2


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Avec,

K : un coefficient de proportionnalit

X Cible : cart la cible

Dans le cas dun lot de moyenne et dcart-type , la pertemoyenne par produit est de :

avecLencadr 4 donne la dmonstration de ces deux relations avec leshypothses de Taguchi, mais le simple bon sens lui donne raison. Il esttrs clair que le cot de la non-qualit augmente selon une fonctioncontinue, et quil ny a pas de discontinuit dans la fonction commecest le cas pour la Figure 6. Par ailleurs, on imagine bien que, dans unexemple mcanique, le premier micron dcart va gnrer un cot denon-qualit trs faible, mais plus ce micron dcart sera loign de la

cible plus lincidence de ce micron supplmentaire sera critique. Cestce bon sens qui est modlis dans la fonction perte de Taguchi.

Dans le cas de la fonction perte de Taguchi (Figure 7) le lot a uneperte non nulle. On peut calculer la perte moyenne par pice partirde la fonction perte :

avec

Le cot de la non-qualit imputable au dcentrage est gal K2.

Pour calculer le coefficient K, il suffit de prendre la limite pourlaquelle individuellement on prfre mettre le produit la poubelle par exemple la limite du calcul en tolrancement statistique ouinertiel comme nous apprendrons le faire par la suite.

Figure 6 Fonction perte de la qualit traditionnelle

m s

L K= +( )s d2 2

d m= - Cible

L K K= +s d2 2 d = -X Cible


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Supposons que cette limite soit 24.

Dans ce cas, un produit suprieur 24 est refus, entranant uneperte financire gale au prix de la pice.

Dans le cas dun produit infrieur 24, on accepte le produitmme si celui-ci nest pas parfaitement sur la cible mais la pertefinancire tant infrieure au prix de la pice, on a intrt laconserver.

Le cas dun produit gal 24 est donc le point dquilibre entre lecot de la pice (P) et la perte financire, on a donc :

do

Dans le cas dun produit dune valeur de 1 euro, avec une moyenne 22, une cible 20 et un cart-type de 0,5 (correspondant la

Figure 7), le coefficient K est donc gal et la pertemoyenne slve Ce qui esttrs significativement diffrent de zro comme dans le cas du tol-rancement traditionnel.

Prenons maintenant deux lots (Figure 8) dont la dcision de confor-mit est diffrente. Le premier lot est centr sur la cible mais avecune dispersion importante qui gnre 2 700 pices par million horstolrances et un Ppk de 1 : le lot est rejet. Le second a une disper-sion plus faible mais il est dcentr. Son Ppk est de 1,5 ce qui corres-pond 3,4 pices par million hors tolrance ! Ce lot est accept.

Comparons le cot de non-qualit avec les deux approches. Aveclapproche traditionnelle, le cot de non-qualit est nul lintrieur

Figure 7 Fonction perte de Taguchi

P K= -( )24 20 2 KP

=-( )24 20 2

1 16 0 0625/ ,=0 0625 0 5 0 0625 2 0 2652 2, , , , .x x+ =


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de la tolrance et constant lextrieur ; il est donc proportionnel aunombre de pices hors tolrance. De ce point de vue, il y a unecohrence. Le cot de non-qualit est suprieur pour le lot 1.

Prenons dsormais le cot dune non-qualit avec la fonction perte

de Taguchi, qui est un modle beaucoup plus raliste.Lot 1 :

Lot 2 :

Encadr 1 Fonction perte de Taguchi et calcul

de la perte dans le cas dun lotOrigine de la fonction perte L (Loss Function)

On considre que la perte est une fonction continue au voisinage de lacible. Comme on ne la connat pas, on peut lapproximer par un dve-loppement de Taylor en liminant les termes dordre suprieur 3 et enconsidrant les hypothses suivantes :

la perte est nulle pourX= Cible soit L(Cible) = 0 ;

la perte est minimale pourX= Cible (la drive est nulle) soitL(Cible) = 0Le dveloppement limit de la fonction perte au voisinage de la ciblescrit :

Nous obtenons L(X) = soit L(X) = K(X Cible)2

Fonction perte moyenne dans le cas dun chantillon de moyenne etdcart-type

Pour chaque pice la perte scrit L(Xi) = K(Xi Cible)2.

La perte moyenne est donc :

Soit .

L X L Cible X Cible L CibleX Cible

( ) ( ) ( ) '( )( )

= + - +- 2

22!"( )L Cible + e

= 0 = 0

L CibleX Cible

''( )!

( )2

2-

Ln

K X CibleK

nX Cible

K

nX

i i

i

= - = - + -

= -

1 2 2( ) ( )

(

m m

mm m m m) ( ) ( )( )

(

2 2 2+ - + - -

=-

Cible X Cible

L KX C

i

i iible

nCible

)( )

22 + -

m = 0

L K= +( )s d2 2

L = =0 0625 1 33 0 112, ( , ) ,

L = + =0 0625 0 444 2 0 262 2, ( , ) ,


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Dans ce cas, le cot de non-qualit pour le premier lot est 2,4 fois inf-rieur au second lot. Ce cot de non-qualit est, en effet, directementli limpact sur lassemblage final. On a vu prcdemment quundcentrage avait un impact trs important sur lassemblage final.Daprs la fonction perte de Taguchi, le lot 1 qui a t refus donnerait

pourtant un cot de non-qualit trs infrieur au lot qui a t accept.En fin de compte, ce sera le client final qui sera pnalis par cettetroisime incohrence. Le systme actuel privilgie des lots qui co-tent finalement plus cher lentreprise que des lots quelle refuse !

Nous reviendrons par la suite sur ce point, mais posons-nous dj laquestion suivante : quest-ce qui est important : garantir un niveaude ppm (pices par million) sur le produit fini ou sur chacune des

caractristiques ?

1.4. Le cot de ces trois incohrences

Au final, les trois incohrences finissent par coter trs cher auxentreprises :

on privilgie un tolrancement au pire des cas cause des risquesdu tolrancement statistique, mais on augmente incroyablement

les cots de production ; on fait du tolrancement statistique mais, comme on ne lindique

pas sur les plans, on interprte une tolrance statistique de lamme faon quune tolrance au pire des cas et la qualit duproduit est dramatique ;

Figure 8 Deux lots dont la dcision de conformit est diffrente


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on utilise des procdures de dclaration de conformit qui nesont pas cohrentes, cela entrane des surcots de contrle et denombreux litiges inutiles entre client et fournisseurs ;

force de privilgier les ppm sur chacune des caractristiqueslmentaires alors que la seule exigence conomiquement ralisteest de garantir le ppm sur le produit final, on a enclench unemachine gnrer des cots colossaux ;

on travaille sur des tolrances trs serres qui cotent trs chermais comme on ne privilgie pas le respect de la cible, ce surcot

ne se traduit mme pas par une amlioration de la qualit du pro-duit vendu au client ; au contraire, cest un vrai gaspillage !

Tout cela, ne loublions pas, se rpte tous les jours sur toutes lescaractristiques des produits. Si on prend une montre mcanique quicomporte plusieurs centaines de pices, chaque pice comportant aumoins une dizaine de caractristiques, on a l une vritable passoire cots quil serait temps de boucher si on veut encore avoir uneindustrie en Europe. Si nous prenons lindustrie automobile, avec le

nombre de caractristiques lmentaires qui contribuent la satisfac-tion du client final, lenjeu est encore plus important. Cest lenjeu dutolrancement inertiel : innover dans les approches pour une ma-trise de la qualit au cot juste ncessaire.

2. DELANCESSITDEDFINIRAUTREMENTLACONFORMIT

2.1. Dfinition de linertie

Si le tolrancement par intervalle pose autant de problmes, il estncessaire de trouver dautres solutions. Alors, quelle pourrait tre, sice nest LA solution, en tout cas une solution de meilleure qualit ?

Lobjectif du tolrancement est de limiter la variabilit autour de lacible. Comme tout systme de production cre une variabilit, il fauttre capable daccepter des carts par rapport une situation idale,mais en tenant compte de laspect statistique de la reprsentation decette variabilit. En effet, ce qui nous intresse, cest de garantir laqualit du produit fini, qui est le rsultat de la combinaison de plu-sieurs caractristiques lmentaires.

En reprenant la reprsentation de Taguchi, qui est galementconforme au bon sens, on dfinit que la perte financire subie,


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cause dun cart par rapport la cible, est proportionnelle au carr

de cet cart. Si on a plusieurs produits, la perte moyenne sera gale la moyenne des carrs des carts.

Si lobjectif est daccepter une variabilit tout en limitant la pertefinancire cause par cette variabilit, ce quil faut limiter ce ne sontpas les carts, mais la moyenne des carrs des carts. Dans lexemplede la Figure 9, si on imagine chaque pice comme une boule duncertain poids, cette moyenne du carr des carts peut tre assimile linertie mcanique. Si les boules sont trs resserres autour de lacible (#1), linertie de rotation autour de la cible sera faible. Si lesboules sont trs disperses (#2) ou pire si les boules ne sont pascentres sur la cible (#3), linertie sera importante. Do la dfinitiondu tolrancement inertiel.

Dfinition

Dans le cas o on dispose des valeurs individuelles dune popula-tion, linertie de cet chantillon est calcule par la relation :

On prend la racine carre de la moyenne des carts pour se ramenerdans la dimension de la grandeur mesure.

Dans le cas o on ne connat pas lensemble des valeurs de la popu-lation, mais que lon dispose dun chantillon reprsentatif, linertieest estime par la relation :

Figure 9 Inertie dun lot

I

x Cible

n

ii

n

=-

= ( )2

1

I cible S X cible= + - + -s m2 2 2 2( ) ( )


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Le tolrancement inertiel consiste tolrancer linertie maximale quelon admet sur la caractristique, et donc tolrancer la variabilitmaximale admise autour de la cible. Si on revient la fonction pertede Taguchi, on peut dfinir linertie comme la racine carre de lapartie variable de la fonction perte de Taguchi.

Ainsi, dans le tolrancement inertiel, une tolrance ne sexprime plus

par lexpression dun intervalleX X, mais par une tolranceX(IX).IX reprsente linertie maximale que lon accepte sur la variable X.Cette nouvelle faon de dterminer les tolrances possde les pro-prits dadditivit dans le cas de relation linaire entre les Xet les Yqui permettent de rpondre de faon trs intressante au difficile

Dmonstration

Le troisime terme tant gal zro il vient :

Lorsque lesprance mathmatique nest pas connue (ce qui est quasi-ment toujours le cas), on estime linertie par la relation :

Avec respectivement lestimateur de lcart-type et de la moyenne,calculs par les relations :

I

x Cible

n

x Cible

n

ii

n

ii

n

=

-

=

- + -= =

( ) ( )21

2

1

m m

I

x Cible x Cible

n

i ii

n

=

- + - + - -=( ) ( ) ( )( )m m m m2 2

1

2

I xn

Ciblen

Ciblei

i

n

i

n

= - + - + -( )= =

( ) ( )m m m21

2

1

2 (( )xn

i

i

n

-= m

1

Ix

nCible Ciblei

i

n

=-

+ - = + -= ( ) ( ) ( )m m s m

2

1

2 2 2

I Cible S X Cible= + - @ + -s m2 2 2 2( ) ( )

S Xet

Xx

nS

x X

ni

i

ni

i

= =--=

1

2

1

( )

==

1

n


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compromis entre le tolrancement au pire des cas et le tolrance-ment statistique.

La Figure 10 montre bien lvolution culturelle induite par le tolran-cement inertiel. Dans le tolrancement traditionnel, on met laccentsur les tolrances ; dans le tolrancement inertiel, laccent est mis sur

la cible. Dans le tolrancement traditionnel, la conformit est visuel-lement donne par le fait que les valeurs mesures sont dans lestolrances ; dans le tolrancement inertiel, la conformit est visuelle-ment donne par le fait que la moyenne reste lintrieur de la barredexcursion maximale autour de la cible.

Nous reviendrons en dtail sur la reprsentation graphique en tol-rancement inertiel dans le chapitre 2. Pour dclarer la conformit

dun lot, on calcule linertie du lot (I = 2 dans la figure). Si cette iner-tie est infrieure linertie maximale (Imax = 2,5 dans la figure), lelot est accept.

Exemple de calcul dune inertie

Considrons une caractristique dont la cible est gale 5. On sup-pose que le concepteur a fix 0,03 linertie maximale sur une carac-tristique (nous verrons au chapitre 3 comment dterminer cettevaleur en fonction de conditions fonctionnelles). On a mesur unchantillon de 10 pices :

Figure 10 Le tolrancement inertiel versus la tolrancement traditionnel

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valeurs 5,02 4,99 5,00 5,02 4,99 5,03 5,00 5,01 5,00 4,98


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Dans ce cas, comme on connat un chantillon de la population, onprend la formule destimation de linertie :

Les estimateurs de la moyenne et de lcart-type sont respectivement :

Moyenne : cart-type S = 0,01578

On en dduit linertie :

2.2. Le tolrancement inertiel et les trois incohrences

2.2.1. Incohrence fonctionnelle

Nous avons dfini lincohrence fonctionnelle par linadaptation desmthodes traditionnelles de tolrancement (mthode arithmtiqueau pire des cas et mthode statistique quadratique) modliser cor-rectement le comportement statistique dun assemblage de picesmcaniques, ou plus gnralement dune fonction linaire de carac-tristiques lmentaires. En reprenant lexemple de la Figure 1, pourgarantir un Ppk de 1 sur le jeu final (0,02 0,015) partir des troiscaractristiques lmentaires, il faut une inertie de 0,003 sur chacunedes trois caractristiques lmentaires. Nous verrons dans les chapi-tres suivants comment on calcule cette inertie.

Comparons le tolrancement inertiel avec le tolrancement au piredes cas.

La Figure 11 se place dans une situation o les productions dechaque composant sont centres, avec une dispersion telle quelassemblage soit conforme (avec un Ppk de 1). Les graphiques desdistributions sont dans lordre suivant : distribution du jeu, distribu-tion de laxe (c), du pont (a) et de la roue (b).

Cette situation est refuse tort au pire des cas ; le Ppk surchacun des composants est de 0,58 (8,4 % de produits non

conformes) alors que lassemblage est acceptable (si on accepteun Ppk de 1).

Cette situation est accepte juste titre en tolrancement inertiel ;linertie est gale linertie maximale, le Ppi est 1 donc en limitedacceptation.

I S= +2 2d

X= 5 004,

I S X cible= + - =2 2 0 01627( ) , .


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On note que linertie permet daccepter des composants qui sontrefuss dans le cas du tolrancement au pire des cas, mais qui pour-tant donnent satisfaction au niveau de lassemblage.

Comparons le tolrancement inertiel avec le tolrancement statisti-que quadratique. Dans lexemple de la Figure 12, o les composantssont dcentrs par rapport la cible de faon importante, ils sontnanmoins accepts tort en tolrancement statistique quadratique.En effet, bien que la conformit de chacun des composants soit

Indice de capabilitassemblage

Indice de capabilit des composants

Pp Ppk Ppm Pp Ppk Ppm TncMin TncMax

1,00 1,00 1,00 c 2,1 0,003 0,58 0,58 0,58 4,2 % 4,2 %

TNC Max (ppm) 1 350 a 0,74 0,003 0,58 0,58 0,58 4,2 % 4,2 %

TNC Min (ppm) 1 350 b 1,38 0,003 0,58 0,58 0,58 4,2 % 4,2 %

Situation centre avec un tolrancement au pire des cas

Indice de capabilit assemblage Indice de capabilit des composants

Pp Ppk Ppm Inertie Pp Ppi

1,00 1,00 1,00 c 2,1 0,003 0,003 1 1

TNC Max (ppm) 1 350 a 0,74 0,003 0,003 1 1

TNC Min (ppm) 1 350 b 1,38 0,003 0,003 1 1

Situation centre avec un tolrancement inertiel

Figure 11 Comparaison inertiel versus pire des cas

X

X


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acceptable, le rsultat sur le jeu est absolument catastrophique avec34 % dassemblages non conformes.

On note que, dans cette configuration, le tolrancement inertiel nelaisse pas passer une telle situation. Tous les lots ont une inertiesuprieure linertie maximale (0,003), ils sont tous refuss.

Ainsi, on voit bien que le tolrancement inertiel permet dlargir ladispersion possible par rapport un tolrancement au pire des cas,




2,59 0,14 0,27 c 2,0945 0,001 3,57 1,29 0,52 0,00 % 0,00 %

TNC Max (ppm) 34 024 a 0,7438 0,002 1,85 1,04 0,70 0,00 % 0,09 %

TNC Min (ppm) 0 b 1,3848 0,001 3,57 1,57 0,59 0,00 % 0,00 %

Situation dcentre avec un tolrancement statistique quadratique



2,59 0,14 0,27 c 2,0945 0,001 0,006 3,57 0,52

TNC Max (ppm) 34 024 a 0,7438 0,002 0,004 1,85 0,70

TNC Min (ppm) 0 b 1,3848 0,001 0,005 3,57 0,59

Situation dcentre avec un tolrancement inertiel

Figure 12 Comparaison inertiel versus statistique quadratique

X

X


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mais sans mettre en pril la fonctionnalit du produit comme le faitle tolrancement statistique quadratique.

La Figure 13 illustre une situation limite en tolrancement inertiel,qui est pourtant juge largement acceptable en tolrancement statis-tique. Ces trois exemples montrent bien la cohrence quil y a entrela conformit des caractristiques lmentaires et la conformit desconditions fonctionnelles dans le tolrancement inertiel.



2,78 1,43 0,27 c 2,098 0,001 0,006 2,78 1,09TNC Max (ppm) 9 a 0,742 0,001 0,004 2,78 1,09

TNC Min (ppm) 0 b 1,382 0,001 0,005 2,78 1,09

Situation limite en tolrancement inertiel




2,78 1,43 0,27 c 2,098 0,001 2,78 2,00 1,09 0,00 % 0,00 %

TNC Max (ppm) 9 a 0,742 0,001 2,78 2,00 1,09 0,00 % 0,09 %

TNC Min (ppm) 0 b 1,382 0,001 2,78 2,00 1,09 0,00 % 0,00 %

Situation limite en tolrancement statistique quadratique

Figure 13 Situation limite non dtecte en tolrancement statistique

X

X


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Cas le plus dfavorable dun assemblage

On montrera dans la suite de cet ouvrage que lassemblage le plusdfavorable correspond un assemblage o tous les lments sontdcentrs du ct dfavorable de la valeur (pour un Cpivis de 1 et pour une influence uniforme des composants).

Dans notre exemple, ce dcalage serait donc gal (Jeu final)/18 soit. La Figure 14 illustre cette situation. Cela conduit

un Ppk = 0,83 sur le jeu lorsque linertie est en limite.

Il est tout fait possible, pour viter cette situation particulire trsimprobable, dutiliser linertie corrige propose par P. A. Adragna(Adragna 2007) qui consiste calculer linertie maximale ncessairepour garantir dans tous les cas de figure un Ppk souhait sur lacaractristique fonctionnelle (nous reviendrons sur ce point auchapitre 3).

On calcule cette inertie par la relation :

Avec,

PpkCF: Le Ppk vis sur la caractristique fonctionnelle (par exempleici Ppk = 1)



1,22 0,83 0,31 c 2,0984 0,002 0,003 1,22 1,00

TNC Max (ppm) 6 427 a 0,7416 0,002 0,003 1,22 1,00

TNC Min (ppm) 0 b 1,3816 0,002 0,003 1,22 1,00

Figure 14 Cas le plus dfavorable

ITCF/18

0 03 18 0 016, / ,=

X

II

Ppk

nMaximal

CF

=

+

=

+

=2

9

0 003

1

3

9

0 0026,

,


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n : Nombre de composants dans la relation (ici 3)

I: Inertie calcule par la mthode classique (ici 0,003)La Figure 15 illustre cette situation. Si on garantit une inertie inf-rieure cette limite de 0,0026, dans TOUTES les situations dassem-blage, le Ppk sur la condition fonctionnelle sera garanti, tout endonnant des liberts de production beaucoup plus larges que le tra-ditionnel tolrancement au pire des cas.

La figure 16 donne la mme configuration critique dans un tolrance-

ment au pire des cas qui devrait tre refus puisquil a un Ppk trs


Pp Ppk Ppm Inertie Pp Ppi1,22 1,00 0,30 c 2,0984 0,002 0,0025 1,52 1,16

TNC Max (ppm) 1 350 a 0,7416 0,002 0,0025 1,52 1,16

TNC Min (ppm) 0 b 1,3816 0,002 0,002 1,52 1,16

Figure 15 Garantir dans tous les cas un Ppk sur la condition fonctionnelle




1,22 1,00 0,30 c 2,0984 0,002 0,87 0,59 0,67 3,72 % 0,03 %TNC Max (ppm) 1 350 a 0,7416 0,002 0,87 0,59 0,67 0,03 % 3,72 %

TNC Min (ppm) 0 b 1,3816 0,002 0,87 0,59 0,67 0,03 % 3,72 %

Figure 16 Situation critique au pire des cas

X

X


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mauvais de 0,59, soit 4 % de non conformes, alors que cette situationest satisfaisante avec un Ppk sur la condition fonctionnelle sup-rieure 1.

Comme nous venons de le voir, le tolrancement inertiel permet degarantir le Ppk vis sur la caractristique rsultante en donnant le plusde libert possible la production. Il vite lincohrence fonctionnelledes deux mthodes classiques de tolrancement qui ne savent pasbien modliser le comportement statistique dun assemblage.

Tolrancer un produit en inertiel, cest assurer la cohrence fonctionnelle

entre ce que lon souhaite sur le produit fini et ce que lon demande auxproducteurs. Le tolrancement inertiel, cest le juste ncessaire.

2.2.2. Incohrence de conformit

Nous avons dfini lincohrence de conformit dans le cas dunmlange de lots. Dans le tolrancement traditionnel, le mlange de lotsindividuellement conformes donne un lot non conforme. Ce point quipourrait sembler rdhibitoire pour un novice du tolrancement ne sem-ble pas choquer le monde industriel, cest assez surprenant. Nous allonsmontrer que cette incohrence nexiste pas en tolrancement inertiel.

Prenons lexemple de la Figure 4 qui reprsente un mlange de lots.

En supposant que la tolrance inertielle soit de 2,6, on vrifie quepour lensemble des lots linertie est infrieure linertie maximale.Chaque lot est donc accept. Si on calcule linertie sur le mlangedes lots partir de lcart-type et de la moyenne de lensemble des

pices, on trouve : Moyenne : 20,4433

cart-type : 1,88612

Inertie :

Empreintes 1 2 3 4 5 6 7 8

Moyenne 18,8 18,0 18,9 19,9 21,0 22,1 22,4 22,2

cart-type 1,14 0,97 1,07 1,15 0,85 0,95 0,81 0,91

Inertie 1,62 2,20 1,53 1,15 1,35 2,32 2,51 2,35

Dcision Accept Accept Accept Accept Accept Accept Accept Accept

( , ) , ,20 4433 20 1 88612 1 942 2- + =


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Cette inertie tant infrieure linertie maximale, le mlange des lotsest accept. En fait, on dmontre facilement que linertie calcule surle mlange de plusieurs lots de taille identique est telle que linertiecarre sur le lot mlang est gale la moyenne des inerties carresde chacun des lots :

Linertie calcule sur le mlange de plusieurs lots conformes est donc

forcment infrieure linertie maximale calcule sur chacun deslots. Elle sera donc conforme.

En revanche, un lot qui individuellement est jug non conforme peutfinalement tre accept sil est mlang un ensemble de lots cen-trs sur la cible. En effet, si le lot est assembl seul, cent pour centdes assemblages seront confronts ce lot non conforme. Sil estmlang dautres lots, la probabilit quune pice de ce lot tombe

avec dautres pices de lassemblage chute normment.Il va de soi que le calcul de linertie dun lot doit tre compatibleavec lutilisation qui est faite de ce lot. Ainsi, avec une presse injec-ter pour laquelle toutes les empreintes tombent dans le mme car-ton, il faut calculer linertie sur lensemble des empreintes. Enrevanche, si chaque empreinte fait lobjet dun emballage diffrent, lecalcul de linertie sur le mlange des empreintes na pas de sens.

Ce qui est vrai pour un mlange de lots est galement vrai pour unmlange de pices. Prenons lexemple de la Figure 17. Linertiemaximale est suppose gale 1.

On produit une pice carte de la cible de 1,2. Linertie sur unepice est gale lcart entre cette pice et la cible. En effet, la

Dmonstration

I

I

k

ki

k

lot mlang

2

2

1= =

I

x Cible

kn

I

k

ijj

n

i

k

ki

k

2

2

11

2

1=

-

=== = ( )


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moyenne sur une pice est gale sa valeur et lcart-type sur unepice est gal 0. Linertie est donc gale :

Linertie de la pice tant suprieure linertie maximale, elle estrefuse. En revanche, si on prend le lot constitu de cinq pices res-pectivement loignes de la cible de 1,2 0,0 0,3 0,8 0,1. Oncalcule :

Moyenne = 0,48

cart-type = 0,51

Inertie = 0,70

Le lot est accept bien quil contienne une valeur qui, individuelle-ment, a une inertie suprieure linertie maximale admise.

Ainsi, le tolrancement inertiel correspond au bon sens. Le mlangede lots dont linertie est acceptable donne forcment un lot dinertieacceptable.

2.2.3. Incohrence conomique

Nous avons dfini lincohrence conomique en calculant le cot dela non-qualit induite par diffrents lots. Nous avons montr que leprincipe de la relation fournisseur fond sur des tolrances par inter-valle associes un critre de capabilit Ppk conduisait refuser deslots ayant pourtant un cot de non-qualit trs infrieur au cotdautres lots accepts.

Si nous reprenons la Figure 8, linertie du premier lot centr sur la ciblede moyenne 20 et dcart-type 1,33 est gale .

Linertie du second lot dcentr par rapport la cible, de moyenne22 et dcart-type 0,444 est gale .

Figure 17 Mlange de plusieurs pices

I S X cible= + - = + =2 2 20 1 2 1 2( ) , ,

I = + =0 1 33 1 332 2, ,

I = - + =( ) , ,22 20 0 444 2 042 2


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Nous avons calcul le cot de non-qualit par la fonction perte deTaguchi, soit respectivement 0,11 pour le premier et 0,26 pour lesecond. Nous retrouvons naturellement la mme relation dordre quedonnait linertie. Cest, en effet, vident puisque linertie reprsentela racine carre de la partie variable de la fonction perte de Taguchi.

Il y a donc bien cohrence entre la perte de qualit entrane par lavariabilit et la dfinition de la conformit si on utilise le tolrance-ment inertiel.

En fait, derrire cette cohrence se cache un point fondamental dutolrancement inertiel. Le tolrancement traditionnel fixe par deslimites lcart maximal que lon ne doit pas dpasser pour chacunedes caractristiques lmentaires. On concentre lattention des pro-ducteurs sur le respect de cet intervalle et le nombre de ppm endehors de cet intervalle. force de se concentrer sur le respect decet intervalle, les producteurs oublient parfois la fonction de la pice.Pourvu que la caractristique soit conforme aux tolrances, le contrat

est rempli.Pourtant, on a montr dans ce chapitre que ce qui fait la qualit duproduit fini cest la variabilit autour de la cible. En utilisant le tolran-cement inertiel, on focalise lattention des producteurs sur le centragedes processus sur la cible. On ne sintresse pas aux ppm en dehorsdun intervalle mal dfini, mais ce que statistiquement le lot vagnrer comme non-qualit sur le produit final. La non-qualit servle sur le produit final, tout au long de la chane logistique, il faut

orienter les efforts vers la satisfaction du client final. Cest bien lespritdu tolrancement inertiel : arrter de regarder chacun de son ct sonpetit optimum local, et diriger tous les efforts vers un but unique : lafabrication des produits de grande qualit au moindre cot.

3. LESIMPLICATIONSCULTURELLES

DUTOLRANCEMENTINERTIEL

Bien au-del du simple changement calculatoire, passer du tolran-cement traditionnel au tolrancement inertiel implique un certainnombre de changements culturels quil nous semble intressant dediscuter ds ce premier chapitre.


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3.1. Avoir une vision chane logistique plutt que de se focalisersur chaque caractristique

Fabriquer un produit pour un client, cest mettre en musique touteune chane logistique qui a pour but de satisfaire le client final quiutilisera le produit. Au fond, quimporte la caractristique lmen-taire, la seule caractristique qui compte est celle vue par le client.

Dans cette chane logistique, chaque branche apporte sa contribu-tion la variabilit. La caractristique finale traduit en quelque sortele rsultat de lensemble de cette variabilit.

Le tolrancement traditionnel part du principe que lon peut dcom-poser ce problme en sous-problmes pour que chacun puisse satis-faire son petit optimum local, afin que globalement loptimum pourle client final soit atteint.

Le tolrancement inertiel renverse cette vision des choses, lobjectifde la qualit finale du produit prend le pas sur loptimisation locale.

Dans cette logique, tout cart la cible pnalise la satisfaction duclient final. En aucun cas il ny a de relation qui permette de relier lenombre de non-conformits sur chacune des caractristiques l-mentaires la qualit du produit fini. En revanche, on sait mettre unerelation qui lie les moyennes individuelles de chaque caractristiqueet les variances cette qualit finale. Cest donc l-dessus que londoit se concentrer. Cest lobjectif du tolrancement inertiel : matriserla variabilit autour de la cible !

Figure 18 La chane des variabilits


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3.2. Avoir une vision statistique du processus de production

Linertie privilgie le lot sur la valeur individuelle. Un lot est acceptsi son inertie est infrieure linertie maximale admise. Pour lavaleur individuelle, la norme AFNOR XP E 04-008 (2009) a prvunanmoins une limite pour les valeurs individuelles qui ne peuventexcder un cart la cible suprieur quatre inerties. Mais ce quiimporte, cest linertie du lot.

Dans le tolrancement traditionnel, la pice est bonne si elle est dansles tolrances ! la priorit nest pas la statistique, mais la valeur indi-

viduelle.

Ce changement de priorit est fondamental. Il force dfinir un nou-veau paradigme du tolrancement. Dans un management o lonapplique le tolrancement inertiel, la matrise inertielle des processusdevient naturelle puisque le raisonnement de conformit est parnature statistique.

Avec le tolrancement inertiel, il y a une cohrence entre lobjectif

(avoir une inertie conforme) et les moyens (la matrise inertielle deprocessus) qui nexiste pas dans le tolrancement traditionnel.Lchec relatif de lapplication de la MSP (matrise statistique de pro-cessus) dans les entreprises vient sans doute en partie de l. Com-ment expliquer quil est ncessaire dagir sur un processus quifabrique des produits conformes ? On parle alors de sur-qualit alorsquon devrait parler de matrise de la variabilit. Toute variabilit dunprocessus de la chane logistique se retrouve dans le produit final !

3.3. Limiter la variabilit, ce nest pas automatiquement

accepter une excursion de la moyenne autour de la cible

En fait, si on rflchit au besoin initial du concepteur qui indique destolrances, quel est son objectif ? Il fixe des limites parce quil sait quunprocessus a de la variabilit. Il faut donc que cette variabilit puissesexprimer gnralement sous la forme dune courbe de Gauss.

Les limites de tolrance traditionnelles sont donc initialement pr-vues pour quune dispersion autour de la cible puisse tre accepte.Mais, bien sr, le concepteur imagine que la moyenne de la produc-tion restera centre sur la cible. Cest dailleurs dans ces conditionsquil fait souvent ses simulations.


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Cependant, une fois en production, un produit dans lintervalle estdclar conforme quelle que soit lorigine de lcart : un dcentrageou une dispersion. Les tolrances dans les ateliers de productionsont dailleurs souvent interprtes comme un droit laisser driverle processus ! Mais la consquence dun dcentrage ou dune variabi-lit autour de la cible nest pas la mme, comme nous lavons montrdans ce chapitre. Ds lors, comment dissocier, avec un simple inter-valle, ces deux sources de variabilit ?

L encore, le tolrancement inertiel apporte une cohrence entre la

volont du concepteur et la ralisation en production. En tolrance-ment inertiel, lexcursion de la moyenne est au maximum gale une inertie alors que les produits individuels peuvent avoir unevaleur qui scarte de quatre inerties. En tolrancement inertiel, il y abien dissociation entre variabilit sur les produits individuels etlexcursion de la moyenne autorise.

3.4. Changer de paradigme

Le plus gros changement est le changement de paradigme. Voil dsor-mais plusieurs annes que jai acquis la conviction profonde que lonavait atteint les limites de la complexit avec le tolrancement tradition-nel. Les normes actuelles du tolrancement GPS et leurs complexitssont telles que lorsquon prsente un plan plusieurs spcialistes, ils nesont jamais daccord entre eux sur la qualit de la spcification. Cemode de tolrancement dfinit la conformit, parfois avec ambigut, etdevient un casse-tte pour les ateliers de production tant ce mode de

dfinition de la conformit est loign de leurs pratiques.

Nous verrons, dans le chapitre sur le tolrancement inertiel total,quun changement de paradigme permet de reconsidrer lensembledu mode de pense du tolrancement pour arriver nouveau deschoses simples, cohrentes et comprhensibles chacun, donc utiles tous.

Imaginez que nous puissions dfinir la conformit autrement que par

un intervalle un monde nouveau soffre nous. Linertiel mriterasans doute encore bien des amliorations, voire de nouvelles proposi-tions. Cependant, jai lintime conviction que le tolrancement parzone nous a permis de passer de la lime la machine-outil, mais quilnest plus adapt pour le monde numrique vers lequel nous allons.


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Encadr 2 Tolrancement arithmtique (au pire des cas)

Soit une exigence fonctionnelle Y(par exemple un jeu) dont lintervallede tolrance est dfini par la valeur ITY.

On suppose tre capable de relier lexigence fonctionnelle (Y) aux carac-tristiques fonctionnelles lmentaires (Xj) par une relation linaire :

avec i le coefficient dinfluence (ou de sensibilit).

Ainsi, dans lexemple de la Figure 1 on a la relation : Jeu= a + b c, lescoefficients sont respectivement de + 1, + 1 et 1.

La mthode arithmtique consiste dfinir les tolrances sur les carac-tristiques Xj de telle sorte que dans tous les cas de figure la combinai-son des Xj donne systmatiquement un Y lintrieur des tolrances.On a donc la relation :

La tolrance sur la caractristique rsultante est gale la somme destolrances. On calcule les tolrances sur chaque Xj par la relationsuivante :

avec i, la pondration de faisabilit, valeur positive associe la caract-ristique fonctionnelle lmentaire et proportionnelle sa dispersion defabrication prvisionnelle comparativement aux autres caractristiques.

Si toutes les caractristiques sont quivalentes en termes de difficult deproduction, on prendra les coefficients i identiques. Si une des caract-ristiques est suppose avoir une dispersion deux fois plus importanteque les autres du fait des processus de production diffrents, on prendraun coefficient j gal 2 sur cette caractristique et de 1 sur les autrescaractristiques. Dans les cas simples, avec les coefficients gaux 1et en prenant des pondrations toutes gales 1, on a la relation :

Un exemple de calcul au pire des cas est donn au paragraphe 1.1.

Y Xj

j n

j j==

=

1

a

IT IT Yj

j n

j X j==

=

1

a

ITIT

X jY

j j

j=

b

a b.

ITIT

nombre de caractristiquesX

Yj

=


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Encadr 3 Tolrancement statistique quadratique

Soit une exigence fonctionnelle Y(par exemple un jeu) dont lintervallede tolrance est dfini par la valeur ITYrelieaux caractristiques fonc-tionnelles lmentaires (Xj) par une relation linaire :

Si on suppose que les caractristiques sont indpendantes, on a les rela-tions statistiques suivantes :

La moyenne de la rsultante est gale la somme algbrique desmoyennes

La variance (carr de lcart-type) est gale la somme des variances

La mthode statistique quadratique consiste dfinir les tolrances surles caractristiques Xj de telle sorte que dans tous les cas de figure lacombinaison des Xj donne systmatiquement un Y lintrieur destolrances. Si on suppose que lintervalle de tolrance que lon peutaccepter est proportionnel lcart-type, on peut crire :

La tolrance au carr sur la caractristique rsultante est gale lasomme des tolrances au carr. On calcule les tolrances sur chaque Xjpar la relation suivante :

Dans les cas simples avec les coefficients gaux 1 et en prenant despondrations toutes gales 1, on a la relation :

Y Xj

j n

j j==

=

1

a

m a m( ) ( )Yj

j n

j Xj=

=

=

1

s a s2

1

2 2( ) ( )Y

j

j n

j Xj=

=

=

IT IT Y

j

j n

j Xj2

1

2 2( ) ( )=

=

=

a

ITIT

X jY

j j

j=

b

a b2 2.

ITIT

nombre de caractristiquesX

Yj

=


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Le calcul statistique quadratique augmente donc les tolrances

dun facteur ce qui est considrable.Cependant, cette augmentation nest pas sans risque.

Un exemple de calcul statistique est donn au paragraphe 1.1.

Encadr 4 Calcul des capabilits

La capabilit mesure laptitude dun processus raliser une caractris-

tique par rapport son cahier des charges. Nous dissocierons deuxtypes dindicateurs de capabilit :

Les indicateurs long terme qui traduisent la ralit des produitslivrs. On parlera alors de performance du processus.

Les indicateurs court terme qui traduisent la dispersion sur untemps trs court. On parlera alors de capabilit du processus.

Dans le suivi dun processus on dissocie deux types de dispersion :

la dispersion court terme qui, par dfinition, est gale six foislcart-type court terme ;

la dispersion long terme qui, par dfinition, est gale six fois lcart-type long terme.

Les indicateurs Pp et Ppk dans le cas dun tolrancement traditionnel

Lindicateur Pp calcule le ratio entre la tolrance (LSS (Limite Suprieurede Spcification) LIS (Limite Infrieure de Spcification)) et la disper-sion long terme du processus (six carts-types). On a donc la relation :

Figure 19 Long terme et court terme

nombre de caractristiques,

PpLSS LIS

LT

=-

6s


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Lindicateur Pp ne prend pas en compte le dcentrage, il donne simple-

ment ladquation de la dispersion par rapport la tolrance. Lindica-teur Ppk a pour but de garantir la conformit. cet effet, il calcule ladistance entre la moyenne et la limite de spcification la plus prochequil compare la demi-dispersion. On a donc la relation :

Les indicateurs Cp et Cpk dans le cas dun tolrancement traditionnel

Les relations qui permettent de calculer Cp et Cpk sont les mmes res-

pectivement que celles qui permettent de calculer Pp et Ppk. Cepen-dant, au lieu de prlever un chantillon long terme, on utilise unchantillonnage donnant la possibilit de calculer lcart-type courtterme. On prend soit un chantillon de taille suffisante ralis en untemps trs court, soit plusieurs petits chantillons chacun raliss dansun temps trs court.

Les indicateurs Cpm et Ppm

Ces indicateurs sont trs proches du tolrancement inertiel. Ils ont t

introduits par Chan (Chan 1988) en se fondant sur la fonction perte deTaguchi. Cpm est calcul pour la dispersion court terme, Ppm sur la dis-persion long terme.

On calcule le Ppm par la relation :

Le Cpm est calcul par la mme relation partir de la dispersion courtterme.

Figure 20 Illustration Pp, Ppk, Ppm

PpkMin LSS LIS

LT

=- -[( ) ; ( )]m m

s3

PpmLSS LIS

cible LT

=-

- +6 2 2( )m s


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Comment calculer une tolrance inertielle 75

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Nous avons donc un tolrancement par intervalle sur les exigencesfonctionnelles et un tolrancement inertiel sur les caractristiquesfonctionnelles lmentaires.

Cependant, dans des mcanismes complexes, il arrive parfois quelexigence fonctionnelle soit elle-mme une caractristique lmen-taire fonctionnelle dune exigence fonctionnelle dun niveau sup-rieur. Il y a donc une combinaison statistique de cette exigencefonctionnelle lmentaire, et on peut dcider de mettre une tol-rance inertielle sur cette exigence.

Ds lors, lobjectif ne sera plus de respecter un Ppk sur une exigencefonctionnelle tolrance par intervalle, mais un Ppi sur une exigencefonctionnelle tolrance en inertiel.

3.1. Combinaison des inerties

Nous prendrons lhypothse que lexigence fonctionnelle Y peutscrire en fonction de caractristiques fonctionnelles lmentaires(X) sous la forme dune relation linaire telle que :

Sous lhypothse dune rpartition uniforme des tolrances et dind-pendance sur les composants, on peut calculer la moyenne et lcart-type sur Y en fonction des moyennes et des carts-types sur chaquecaractristique X. On trouve :

et

Linertie de la caractristique rsultante Y est dfinie par la relation :

Si lon dveloppe la relation prcdente, on trouve la relation quirelie linertie sur Y en fonction des inerties de chaque composant etde leurs dcalages :

Y Xi iin= = a1

s a sY i Xiin

= = 2 21 d a dY i iin

= = 1

IY Y Y= +s d2 2

I IYi

n

i Xii j

i j i j = +=

1

2 2 2a a a d d


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La premire partie de lquation correspond laddition du carr desdiffrentes inerties. Le double produit des dcalages correspond aucas o tous les dcalages se trouvent du ct dfavorable.

Si les productions sont centres, ce double produit est videmmentnul. Il est galement nul si les dcalages sont alatoirement rpartis.Il y a donc diffrentes hypothses que lon peut faire pour traitercette situation. Nous avons imagin quatre hypothses de calcul :

Hypothse 1 : la distribution des moyennes est alatoire, enmoyenne les dcentrages sont nuls.

Hypothse 2 : tous les dcentrages sont au pire des cas, ce quimaximise le dcentrage sur lexigence fonctionnelle Y.

Hypothse 3 : les dcentrages sont dfavorables, mais dunevaleur limite k.

Hypothse 4 : le dcentrage dfavorable est craindre sur mcaractristiques parmi les n de la relation linaire.

Suivant ces hypothses, le calcul de linertie des caractristiques

fonctionnelles lmentaires diffre. Le Tableau 8 rcapitule les diff-rentes hypothses.

Tableau 8 Rcapitulatif des diffrents calculs

Hypothse Formulation Remarque

Dcentrage moyen nul La rpartition sur Ysera centre.

Dcentrage maximal Dcentrages dansle sens et la positionles plus dfavorables.

Dcentrage dfavorabledune valeur k. de tous lescomposants

La formule nest valableque pour les cas oles i = 1 et i = 1.

Dcentrage dfavorabledune valeur k. de mcaractristiques sur n (n-mcaractristiques centres)

II

Xi iY

i

n

i i

MAX=

=

b

a b12 2

II

Xi iY

i

n

i i

MAX=

=b

a b1

II

nnk

k

XiY

MAX=

++

2

2

1

1

II

n k mk m

k

XiY

MAX=

+ + -+

( ) ( )2 2

2

1 1

1


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3.2. Hypothse 1 : distribution alatoire des moyennes,dcentrage moyen nul

Cette hypothse est proche de la considration faite pour le cas dutolrancement statistique traditionnel. Dans ce cas, le double produit

est nul. Linertie sur lexigence fonctionnelle Y scrit :

La rpartition des tolrances se fait dans la position centre. Dans lecas gnral de rpartition non uniforme o on considre ,on obtient :

Do la relation :

Dans le cas o lesi= 1 et les i= 1, la relation prcdente se sim-plifie et on obtient alors :

3.3. Hypothse 2 : Pire des cas, dcentrage maximal

Cette hypothse de composants au pire des cas est faite en considrantque linertie des composants est seulement due au dcalage de lamoyenne par rapport la cible, , linertie scrit alors :

Si on introduit un coefficient de proportionnalit i entre les inertiesIXi on obtient :

i ji j i j a a d d

I IYi

n

i Xi==

1

2 2a

IXi i= b s

IYi

n

i i==

1

2 2 2a b s

I

IXi i

Y

i

ni i

MAX ==b a b1 2 2

II

nXi

YMAX

=

IXi Xi Xi= =d d2

IYi

n

i Xii j

i j i j = +=

1

2 2 2a d a a d d

IYi

n

i ii j

i j i j = +=

1

2 2 2 22a b d d a a b b


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Do la relation :

Il vient la relation permettant de calculer les :

Dans le cas o lesi= 1 et les i= 1, la relation prcdente se sim-plifie et on obtient alors :

3.4. Hypothse 3 : dcentrage dune valeur kde tous les composants

Cette hypothse considre que tous les composants ont un dcalagesystmatique limit . Dans ce cas, linertie dun composantvaut :

Soit :

et

Linertie sur lexigence fonctionnelle Y scrit alors :

Dans le cas o les , avec une rpartition uniforme des tol-rances inertielles, on obtient alors au pire des cas :

da b a a b b

=+=

IY

i

ni i i j i j i j 12 2 2

IXiMAX

II

Xi iY

i

ni i

MAX=

=b

a b1

II

nXi

YMAX

=

d s= k.

I kX X X= +s s2 2 2

sX XI

k= +1 2 dX XI k= - +1

1

1 2

I Ik

I IYi

n

i Xii j

i j Xi X = + - +

=

1

2 22

2 11

1a a a jj

ai = 1

I nI n nk

IY Xi Xi = + - - +

22

21 11

1.( )


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Soit :

3.5. Hypothse 4 : dcentrage de m caractristiques sur n

Dans cette hypothse, le concepteur dtermine le nombre de carac-tristiques susceptibles davoir un dcalage systmatique. Sous cesconditions, le double produit est rduit. Dans le cas o , avec

une rpartition uniforme des tolrances inertielle, on obtient alors :

Soit :

4. EXEMPLEDECALCULDERPARTITION

DETOLRANCESINERTIELLES

Lexemple didactique ci-dessous servira dapplication pour comparerles diffrents types de tolrancement. Il comporte deux exigencesfonctionnelles J1 et J2 qui sont traduites par des tolrances sur cha-

cune de ces exigences, et dune relation linaire qui relie les exigen-ces fonctionnelles aux conditions fonctionnelles lmentaires X1X6.

Figure 3 Exemple dapplication

I

I

nnk

k

Xi

YMAX = +

+

2

2

1

1

ai = 1

I nI m mk

IY Xi Xi = + - - +

22

21 11

1.( )

II

n k mk m

k

XiY

MAX=

+ + -

+

( ) ( )2 2

2

1 1

1


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4.1. Calcul des cibles

La premire tche effectuer consiste calculer les cibles pour satis-faire les deux exigences fonctionnelles J1 et J2. Une infinit de solu-tions existent. Nous choisissons :

On vrifie que lon a bien :

4.2. Dtermination des pondrations de faisabilit

Les pices 2, 3, 4, 5 et 6 sont dcolletes. La pice 1 est plie, on

souhaite lui donner des tolrances deux fois plus larges que les pi-ces usines. On choisit donc :

4.3. Calcul en tolrancement traditionnel

dans lhypothse pire des casLorsquil y a plusieurs chanes de cotes, on doit utiliser une approcheitrative. On commence par rechercher la chane de cote la plus res-trictive pour les cotes. cet effet, on calcule la valeur

.

On a donc pour la chane 1 : et .

R1 tant plus faible que R2, on commence par calculer les tolrances

sur lensemble des cotes de la premire relation linaire aveclquation :

Caractristiques X1 X2 X3 X4 X5 X6

Cibles 25,3 5 15 4 1 25,1


Pondrations 2 1 1 1 1 1

J X X X X X1 1 2 3 4 5 0 3= - - - - = ,

J X X2 1 6 0 2= - = ,

R ITEF i= / bR1 0 5 6 0 083= =, / , R2 0 3 3 0 1= =, / ,

ITIT

i iEF

i i i

=

ba b.


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Ce pas de calcul tant fait, on calcule les cotes restantes en figeant

les rtolrances dj calcules avec la relation :

Lapplication numrique tant :

4.4. Calcul en tolrancement traditionnel dans lhypothsestatistique quadratique

Comme prcdemment, on doit utiliser une approche itrative. Pourcela, on calcule la valeur .

On a donc pour la chane 1 : et.

R2 tant plus faible que R1, on commence par calculer les tolrancessur lensemble des cotes de la seconde relation linaire avec lquation :

Exigence fonctionnelle J1 = 0,30 0,25


Tolrances figes

Coefficients 1 1 1 1 1

Pondrations 2 1 1 1 1

Tolrances calcules 0,17 0,08 0,08 0,08 0,08

Exigence fonctionnelle J2 = 0,20 0,15


Tolrances figes 0,17 0,08 0,08 0,08 0,08

Coefficients 1 1

Pondrations 2 1

Tolrances calcules 0,13

ITIT IT

i iEF i

ri i

i r

ni i

=- =

= +

ba

a b1

1

.

.

IT6 1 0 3 0 171

0 13= - =, , ,

R ITEF i= 2 2/ bR1 0 5 8 0 0312= =, / ,

R2 0 3 5 0 0182= =, / ,


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Comme on peut le voir, en tolrancement statistique, les plus fortescontraintes ne sont pas forcment sur les mmes caractristiques quedans la situation au pire des cas.

Lapplication numrique est :

Ce pas de calcul tant fait, on calcule les cotes restantes en figeantles rtolrances dj calcules avec la relation :

Lappl

Documents

Tolerancement Inertiel - Maurice Pillet