TODA MEDIÇÃO ESTÁ SUJEITA A ERROS, DEVIDO À RAZÕES DE ORDEM PRÁTICA E TEÓRICA.

A origem dos erros podem estar na modelagem, nas circunstâncias e métodos de medida, nas propriedades dos dispositivos de medição e nas perturbações externas.

Será abordada a seguir a primeira, das 4 etapas envolvidas no processo de medição:1. A definição do que vai ser medido (mensurando)

ETAPAS DA MEDIÇÃO

A tarefa do engenheiro numa medição, não se resume a apenas etapa de ler a indicação do instrumento de medida.

Nesta etapa a tarefa é elaborar o modelo (?) do mensurando. As demais já foram abordadas anteriormente :

2. A definição do critério para realizar a medição (escolha da escala).

3. A leitura do valor indicado (valor de posição na escala).

4. A interpretação do resultado.

DEFINIÇÃO DO MENSURANDO Medições podem ser adequadamente realizadas e interpretadas

somente quando o mensurando, for exatamente definido. Definição consiste em uma cuidadosa descrição das propriedades

características essenciais do fenômeno em teste e na seleção dos parâmetros de interesse.

A escolha das propriedades características e dos parâmetros e a descrição dos mesmos com um certo formalismo é a denominado de “modelagem”.

NÃO EXISTE MEDIÇÃO SEM MODELAGEM

A PREPARAÇÃO DA MEDIÇÃO PRESSUPÕE A EXISTÊNCIA DE UM

MODELO PRELIMINAR DO FENÔMENO

MODELOS Existem três tipos principais de modelos :

Modelo conceitual;Modelo físico;Modelo matemático.

Na engenharia os modelos matemáticos são os mais importante.

o nível de nosso conhecimento, relacionado ao fenômeno real, é claramente declarado e expresso.

Um resistor é modelado como uma resistência, sendo enfatizado o fato de a corrente elétrica fluir através dele irá

provocar uma queda de tensão, proporcional à corrente,. desprezados o ruído térmico produzido, a indutância própria

e a capacitância parasita e a variação da resistência com a temperatura.

USO DO MODELO

Componente real

Modelo conceitual (simplificado)

resistor Pelo uso do modelo parte da realidade pode ser descrita, enfatizando os

aspectos de maior interesse. o fenômeno pode ser simplificado, sem afetar a sua

essência, para possibilitar uma análise quantitativa mais simples.

Modelo matemático

I

VR

RESULTADO DA MEDIÇÃO

O resultado de uma medição é um valor estimado do mensurando. ele somente é completo quando vêm acompanhado da incerteza

associada (ISO: International Organization for Standardization).

resultado (*valor estimado, incerteza)

yu)Y(y

*A média é a melhor estimativa do mensurando

RESULTADO DA MEDIÇÃO

O resultado da medição depende de: Erros de medição ,

causados pelas incertezas de medição e, causados pelas inexatidão na avaliação e processamento dos dados

de medição. Erros de modelagem

devido à dedução incorreta e/ou inexata dos parâmetros obtidos a-priori,

devido à simplificação do fenômeno a ser medido.– O erro de modelagem é, em muitos casos, o fator limitante para que se estabeleça

a exatidão da medição.

Seria incongruente determinar com alta exatidão os parâmetros de um modelo mal elaborado ou muito simples.

É determinado com base em observações obtidas sob condições de repetitividade. variações no valor indicado no instrumento são causados pela inconstância das

grandezas influenciantes. Grandezas influenciantes são variáveis aleatórias

– variável que assume valores numéricos associados com resultados aleatórios de um experimento, onde um (e somente um) valor numérico é atribuído para cada ponto amostral

RESULTADO DA MEDIÇÃO

o modelo matemático que transforma o conjunto de observações repetidas no resultado da medição, tem extrema importância

Deveria incluir grandezas que exercem influencia e que, porém não são exatamente conhecidas.

essa falta de conhecimento também contribui para a incerteza da medição.

MODELO MATEMÁTICO Em muitos casos, o mensurando Y não é medido

diretamente, mas é determinado somente a partir de outras grandezas X1, X2, X3, …,XN, através da relação:

Y=f(X1, X2,…., XN)

A função f expressa, não simplesmente uma lei física mas um processo de medição e, em particular, ela deve conter todas as grandezas que contribuem de maneira significativa para a incerteza do resultado da medição.

Se os dados indicam que a função f (X1,…XN) não modelam o mensurando no grau de exatidão requerido, grandezas adicionais devem ser incluídas.

O conjunto das grandezas X1, X2,…,XN, pode ser categorizado como aquelas cujos valores e incertezas são: diretamente determinados na medição corrente.

obtidos de uma única observação, observações repetidas, julgamentos baseados na experiência, etc.

obtidos a-priori de fontes externas, tais como as associadas a padrões de medição calibrados, dados de livros, etc.

MODELO MATEMÁTICO

MODELO MATEMÁTICO Um valor esperado do mensurando Y, representado por

y, é obtido da equação anterior usando valores esperados x1, x2, …,xN respectivamente para as grandezas de entrada X1, X2, X3, …,XN.

O valor esperado – (Y) - é dado por:

y= (Y) = (X1, X2, …,XN) =f(x1, x2, …., xN)

Não é possível obter o valor (verdadeiro) de Y porque não é possível realizar uma medição perfeita.

O desvio-padrão associado ao resultado da medição é denominado “incerteza-padrão” e representada por up(y).

Média de amostra (x) É a soma dos valores que a variável aleatória apresenta,

dividido pelo tamanho da amostra (N).

VALOR ESPERADO E MÉDIA

1 1 N Nm x .... m xx

N

Valor Esperado (x}) ou média de população ()

xpxn

1

ii

Para N → n,Fi→ pi, onde n é o tamanho da população e pi é a probabilidade de ocorrência do valor xi.

Ni

i

1

mx x

N

i-

x p f (x) dx

Variáveisdiscretas

Variáveiscontínuas

CASO EXEMPLO -1 A altura de uma pessoa foi determinada e o valor indicado no

medidor com as características dadas abaixo foi de Lm. Escreva o modelo matemático para a medição. Dados:

Comprimento total da escala do medidor = Lp

Resolução da escala = Lr , Correção do valor indicado = Ls

Resolução do problema: Escala do medidor

Existem duas grandezas envolvidas na medição: Medição é a ação de atribuir um valor do padrão ao valor da grandeza que está sendo medida (mensurando).

??? ???

• A grandeza a ser medida (mensurando)

• A grandeza com a qual fazer comparação (padrão - aqui representado pelo medidor)

mx LL

CASO EXEMPLO -1 Julgamento sobre a qualidade da ação (atribuição do valor do padrão ao mensurando)

– Comparação (adequação do medidor para realizar a medição):

• Sempre irá permanecer alguma incerteza acerca da igualdade do valor a ser medido com o valor indicado na escala do medidor (incerteza de comparação)

rimx LLL

mmim LLL

• Lx – grandeza que está sendo medida

• Lim – valor da grandeza indicado na escala do medidor

• Lr – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na comparação.

– Calibração (comparação com o padrão da unidade de medida):

• Sempre irá haver alguma incerteza sobre o quanto o valor indicado na escala de um medidor específico representa o padrão da unidade de medida utilizada - em relação às unidades do

• Lim – valor da grandeza indicado na escala do medidor• Lm – valor ideal da grandeza para a qual a indicação na escala é relacionada.• Lm – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na

calibração escala do medidor.

CASO EXEMPLO - 1

Resposta: Modelo da avaliação:

mrmx LLLL

Comentários adicionais Em função do grau de exatidão requerido para a medida, um outro medidor,

i.e. – de maior classe de exatidão - poderia ter de ser utilizado. Conseqüentemente, a contribuição de outras grandezas de entrada -por

exemplo, temperatura - poderia ter de ser considerada, tornando o modelo mais complexo.

T1LLLL prpx

MODELO MATEMÁTICO

Cada valor esperado E(Xi)=xi e sua incerteza associada u(xi) são obtidas de uma distribuição de valores possíveis das grandezas de entrada Xi.

incertezas padrão do tipo-A (upA(xi)obtidas com base em leis de distribuição estatística.

incertezas padrão do tipo-B (upB(xi)encontradas em leis de distribuição a-priori.

Deve ser reconhecido que em ambos os casos as distribuições são modelos que são usados para representar o estado do conhecimento.

ERRO OU INCERTEZA??!!!!

CASO EXEMPLO - 2

Faça uma análise do problema proposto no “Caso Exemplo-1” e classifique os componentes de incertezas decorrentes do modelo matemático encontrado.

Resolução do problema: mrmx LLLL Lm – média dos valores obtidos por medição da altura da pessoa. A

incerteza pode ser obtida por processos estatísticos. u(x1=Lm) = uA

Lr - desvio causado pela resolução finita da escala do medidor. Como a resolução já é previamente conhecida, deve-se utilizar uma lei de distribuição também conhecida a priori. u(x2=Lr) = uBr

Lm - desvio obtido na calibração do medidor, Portanto, também já conhecida a-priori. u(x3=Lm) = uBm

QUESTÕES DE CONTROLE1. Considere um caso de uma medição realizada nos terminais de uma tomada de

uma residência, visando determinar a tensão da rede elétrica no local. Para essa medição empregou-se um voltímetro digital de 3½ dígitos e classe de exatidão de ±(0,25% leitura+2D).

2. Quem é o mensurando, neste caso?3. Qual seria o modelo conceitual deste mensurando?4. Qual o modelo matemático mais simples possível para o mensurando?5. Escreva um modelo matemático compatível com os dados disponíveis.6. Com base apenas nos dados da questão-1, responda qual a natureza dos

componentes de incerteza. Tipo-A ou Tipo-B?7. Na forma mostrada na questão-1, a classe de exatidão é composta de dois

fatores. Explique o significado de ambos.8. Se a tensão da rede fosse da ordem de 120 volts, haveria alguma diferença de

resultado em termos da incerteza da medição utilizar a escala de 200V ou a de 750 volts CA?

FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (V.A.)

• ω

Ω

x(ω )

Uma variável aleatória x é uma função que associa a cada ponto da amostra um número (geralmente real)

x

x: Ω

ω x(ω) Domínio

Contra-domínio

A V.A. x mapeia os pontos de Ω em .

Em particular, o espaço de amostras Ωx ={x(ω): ω Ω}

é a imagem do espaço de amostras Ω

V.A. E FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Ω EVENTO A

ω 1

ω 2

P(A)=p1

0 1

A={ ω:x(ω)=X }

X

x(ω1)

x(ω2)

P(A)=P({ ω:x(ω)=X })

De um modo geral, pode-se interpretar p como a probabilidade da V.A. x assumir o valor X.

A relação entre uma V.A.. x e sua função de probabilidade P é dada por:

EXERCÍCIO-1 – V.A. Seja Ω ={ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 }, com as seguintes probabilidades

p1=P( {ω 1} ), p2=P( {ω 2} ),..., p5=( P{ω 5} ), sendo

Define-se a V.A. x por:

x(ω 1)=x(ω 3)=0

x(ω 2)=x(ω 4)=1

x(ω 5) =2

1ip

Determine os eventos relacionados à V.A. x e as suas probabilidades

ΩA1

ω 2

ω 4

p= p1+p31

0 1

x(ω2 )

x(ω4)

P(Ao)=P({ω1 , ω3 })

ω 5

ω 1

ω 3

Ao

A20 1 2

Ao={ω:x(ω)=0 }={ω1 , ω3}

A1={ω:x(ω)=1 }={ω2 , ω4}

A2={ω:x(ω)=2 }={ ω5}

P(Ao)=P({ω1 , ω3} )=p1+p3

p(A1)=P({ω2 , ω4})= p2+p4

P(A2)=P({ ω5})= p5

x(ω5 )

x(ω1 )x(ω3 )

EXERCÍCIO-1 – V.A.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Relacionada a F(x) existe a função f(x). A relação entre F(x) e f(x) é dada por:

dx

dP

dx

dFf

)xX()x()x(

f(x) é a função “distribuição de probabilidade” ou função “densidade de probabilidade”.

As funções de distribuição normal e a uniforme são muito utilizadas na metrologia.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS A figura ao lado mostra as funções

de distribuição cumulativa para distribuição normal (esquerda) e uniforme (direita) de variáveis contínuas.

Figura-1

Figura-2

Em metrologia variáveis discretas são bastante comuns.

A figura ao lado mostra as respectivas densidades de probabilidades

ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas da tendência-central são tentativas de obter o

valor do centro das população e amostras. Incluem: a média, a mediana e a moda.

Medidas da dispersão dão idéias da variabilidade, ou espalhamento, dos valores dentro da população (ou amostra). Incluem: a variância, desvio-padrão, faixa (limite superior menos limite inferior) , erro-padrão da média ou desvio-padrão da média.

Existe uma nomenclatura para população e outra, distinta, para amostras.

Amostra

Média= x

Variância= s2

Desvio-padrão= s

SIMBOLOGIA

População

Média=

Variância= 2

Desvio-padrão=

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU) Uma distribuição é denominada uniforme ou retangular se no

intervalo a que pertence todos os valores possíveis da variável aleatória, a função de distribuição tem valor constante apenas os limites inferiores e superiores do mensurando são conhecidos; a variável de entrada X só existe no intervalo [aXb];

Quando os dados disponíveis são obtidos da experiência ou de outras informações, a lei de distribuição mais usada para descrever o fenômeno é a uniforme ou retangular;

Assim

ab

1C1Cdx1dx)x(f

b

a

b

a

Exemplos de distribuição uniforme na metrologia: - classe de exatidão de instrumentos;

b

b xpara 0

xa para a-b

1a xpara 0

xf

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU)

A expressão analítica para a distribuição uniforme é:

E graficamente...

a b x

f(x)

ab

1

Tolerância limite superior

Tolerância limite inferior

Da definição de variância tem-se:

VARIÂNCIA – Distr. Uniforme

)x(E)x(E 22)x(

2 Quando a distribuição é uniforme 2S2. Então:

O primeiro termo da expressão acima fornece:

O segundo termo é o quadrado da valor esperado

3

ab*abdxx

ab

1dxxp)x(E

22b

a

2

b

a

2)x(

2

4

ab)x(E

22

Assim, o valor estimado da variância é : 12

abS

22

Para este caso particular 2=S2.

INCERTEZA - Distr. Uniforme Da expressão da variância, pode ser obtido o desvio-padrão.

Us(x) – está normalmente associado às incertezas obtidas por avaliações do tipo-B

De acordo com a nomenclatura do Guia para Expressão da Incerteza de Medições, a incerteza-padrão é numericamente igual ao valor estimado desvio-padrão;

Para uma distribuição uniforme, a incerteza-padrão (us) pode ser determinada por:

HISTOGRAMAS E DISTRIBUIÇÃO LIMITE

Dados obtidos por medição são, muitas vezes, apresentados na forma de histogramas (fig.a);

Quando o número de medições aumenta, o histograma tende para a distribuição-limite (fig.b) Uma possibilidade é que a população (o universo de todos os

dados) apresente uma distribuição normal.

a) b)

f(x)

x

O gráfico abaixo mostra a densidade de probabilidade para uma distribuição normal.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

222/Xxe

2

1)x(f

representa o valor esperado; é o desvio-padrão f(x) indica a ocorrência de qualquer valor de x; A área abaixo da curva no intervalo - x indica a

probabilidade de uma medida, sem efeitos sistemáticos, apresentar um valor nessa faixa (distribuição cumulativa).

DISTRIBUIÇÃO NORMAL O gráfico abaixo mostra a distribuição-cumulativa

a área sob a curva fornece a probabilidade F(x) de uma medida de x cair entre t desvios-padrão do valor estimado.

x2/Xx dxe

2

1)x(F

22

Nível de confiança

Intervalo de confiança

A variância de uma variável aleatória é a esperança de seu desvio quadrático em relação a sua esperança.

VARIÂNCIA DE POPULAÇÃO

dx)x(fxXEXE 2z

22

A expressão acima fornece o valor da variância de população `Para uma população com n membros a variância é dada por:

A expressão anterior da variância não é apropriada quando os dados disponíveis são restritos;

Nesses casos, para que se conheça o grau de dispersão (ou variabilidade) dos dados, utiliza-se o valor estimado da variância ou a variância de amostra.

VARIÂNCIA DE AMOSTRA

1N

xx)x(s

N

1i

2i

2

Em geral S2. Para N n, os resultados das 2 expressões convergem.

DESVIO-PADRÃO

desvio-padrão é uma outra forma de determinar o grau de dispersão (ou variabilidade) de um conjunto de dados;

O valor estimado do desvio-padrão ou desvio-padrão de amostra é numericamente igual a raiz quadrada da variância.

INCERTEZA-PADRÃO O desvio-padrão da média (ou erro-padrão), representado por x

fornece uma medida de quanto a média (x) de uma amostra representa bem a média da população ();

Para a distribuição normal, o erro-padrão é denominado “INCERTEZA PADRÃO” do tipo-A..

Assim, o valor de um componente de incerteza do tipo-A é dado pela expressão:

O desvio-padrão da população () é, em muitos casos, desconhecido. Nestes casos deve-se usar s(x), o valor estimado do desvio-padrão.

SOMA COM CONSTANTE Soma de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de

medição (com incerteza) com uma constante:

Auu 1c

Deslocamento no eixo-q (da variável aleatória).

PRODUTO DE CONSTANTE Produto de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de medição

por uma constante:

1c Buu

Aumento da variabilidade (desvio-padrão) da distribuição.

SOMA DE VALORES A soma (ou diferença) é também normalmente distribuída:

2s

2sc

21uuu

médiauc – incerteza combinada

us – incerteza padrão

INCERTEZA COMBINADA - uc

A incerteza padrão do valor estimado do mensurando, uc(y), denominada incerteza combinada, é obtida pela combinação apropriada das incertezas do valor estimado das grandezas de entrada;

Se todas as grandezas de entrada forem independentes, uc(y) será dada por:

N

1i

)x(2

s2

i

N

1i

)x(2

s

2

i)y(c ii ucu

x

fu

uc – incerteza combinada

usi – incerteza padrão associada ao fator i.

Componentes de incerteza originários de efeitos aleatórios e de correções de efeitos sistemáticos, isto é, incertezas do tipo-A e do tipo-B, devem ser tratados da mesma maneira para cômputo de uc(y). (Teorema do Limite-Central)

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Um grande número de amostras de tamanho n, tiradas de uma população cuja média é e o desvio-padrão é , então a população das médias X’s, serão aproximadamente distribuída, tendo média e desvio-padrão (n). Quanto maior o número de amostras melhor será a aproximação.

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Independente do tipo de variável aleatória considerada aumentando o tamanho da amostraO histograma das médias

amostrais se aproxima da distribuição normal.

A variabilidade da distribuição diminui.

INCERTEZA EXPANDIDA - U Se a incerteza combinada uc(y) não é dominada por um

componente de incerteza obtida por avaliação do tipo-A baseada em apenas poucas observações, ou por componente obtido de avaliação do tipo-B, baseada em suposta distribuição retangular, um valor aproximado para a incerteza expandida – U – será :

Kp – obtido da distribuição normal, proporciona um intervalo com nível de confiança p.

INCERTEZA EXPANDIDA - U

Se o mensurando - Y - é uma grandeza única X, que apresenta distribuição normal, tal que Y=X, sendo X estimado pela média aritmética X de n observações repetidas e independentes Xk de X, com desvio padrão da média s(X), pode ser dito que:

tp() – é um valor de t para um dado valor do parâmetro – número de graus de liberdade, tal que a fração p da distribuição t-Student esteja incluída no intervalo –tp() a + tp().

A figura ao lado mostra que a distribuição t-Student tem muitas propriedades que a diferenciam da distribuição normal ou distribuição-z

A distribuição possui o mesmo formato de sino, mas reflete a maior variabilidade devido ao menor número de amostras;

A forma da curva para a distribuição t-Student é dependente do número de amostras n

(n-1) é o número de graus de liberdade.

O desvio-padrão é maior do que 1; O aumento do número de amostras

faz com que a forma das duas curvas se aproxime .

DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT

A distribuição-normal da figura, indica a freqüência y de ocorrência de qualquer valor da média (x) de uma população onde o desvio-padrão é conhecido.

DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT

A tabela ao lado mostra os valores para o termo t na expressão para o cálculo da incerteza-padrão, em função do número de graus de liberdade (N-1) e do nível de confiança requerido.

1N

GRAUS DE LIBERDADE EFETIVOS - eff

Se uc(y) é a soma de dois ou mais componentes estimados, a distribuição t-Student não descreve bem a variável aleatória.

Porém, a distribuição dessa variável pode ser aproximada por uma distribuição t-Student, com graus de liberdade efetivos eff, dados por:

N

1i i

y4i

y4c

effu

uui - incerteza padrão.

i - no. de graus de liberdade.

uc- incerteza combinada.

INCERTEZA EXPANDIDA - U

Da mesma forma que no caso da distribuição t-Student clássica, a incerteza expandida pode ser calculada tomando-se o parâmetro t para eff graus de liberdade efetivos, calculados com base na expressão anterior

Em todos os casos de determinação da incerteza expandida (UP) o Guia (ISO/GUM) sugere Up=U95%.

EXPRESSÃO FINAL DO RESULTADO DA MEDIÇÃO

O resultado de um valor obtido através de um processo de medição deve ser expresso da seguinte forma:

unidades Uyy expandidaincerteza - U

grandezada médio valor - y

U% yy unidades ppmunidades U yy

Na forma de expressar o resultado final da medição, especial atenção deve ser dada ao número de algarismos significativos.

São também plenamente válidas as formas:

U – incerteza-expandida deve ser relatada com no máximo dois algarismos significativos.