Upload
le-duc-duan-toi
View
225
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Â
Citation preview
BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK
---------------------------------------------------------------------------------------------------
TOAÙN 1GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN
• BAØI 7: KYÕ NAÊNG KHAI TRIEÅN TAYLOR
• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (12/2007)
KHAI TRIEÅN CÔ BAÛN: MUÕ, LGIAÙC, HYPERBOLIC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Töø khai trieån haøm y = ex Khai trieån sinx,
cosx, sinhx, coshx
0,3
tg 43
xxoxxx Chuù yù phaàn dö cosx, sinx, chx, shx: o nhoû cuûa soá haïng bò trieät tieâu!
0,)!2(
1...!4!2
1cos 12242
xxonxxxx nnn
0,)!12(
1...!3
sin 22123
xxonxxxx nnn
...!2
12
xxex
chaün Muõ
leû Muõ
12
2222
123
)!2(...
!21ch,
!12...
!3sh
nn
nn
xonxxxxo
nxxxx
xxxx ch,shcos,sin daáu ñan khoângnhöng nhötöï Töông
KHAI TRIEÅN CÔ BAÛN: LUYÕ THÖØA, 1/(1 x), LN(1 + x)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Haøm nghòch ñaûo – inverse function
(Toång caáp soá nhaân): nnnnn xoxxxx
xoxxx
111
1,11
1 2
Toång quaùt: Haøm luyõ thöøa (1 + x) Nhò thöùc Newton (1 + x)n nn xox
nnxxx
!1
!2111 2
VD: Khai trieån MacLaurint haøm
3 caáp ñeán3 1 xxf
Giaûi:
0,!3
2311
31
31
!21
31
31
311 3
32
31
xxoxxxx
nnn
xoxn
xxxx 132 )1(
321ln
ln(1 + x): 1/(1+x) xn/n, ñan daáu
BAÛNG KHAI TRIEÅN CAÙC HAØM CÔ BAÛN: 7 HAØM
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Haøm Khai trieån Phaàn dö
Lagrange
x11
!!3!21
32
nxxxxn
1
!1
n
c
xne
nn
n xnxxx 2
242
!21
!4!21
22
!22sincos
nx
nc
121253
!121
!5!3
n
nn xnxxxx
32
!32sincos
nx
nc
nn xxxx 11 32
x11
xe
xcos
xsin
x1
x1ln
12
1
111
n
nn x
cnxxxx 321
nxnnxx
!1
!211 2
nxxxxxn
n 1432
1432
PPHAÙP KHTRIEÅN MACLAURINT: TOÅNG, HIEÄU, TÍCH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai trieån ML ñeán caáp 3:
xx
exf x
1ln51
2
Giaûi:
32
22
...2
5...12...2
1 xoxxxxxxxf
VD: Khai trieån MacLaurint ñeán caáp 3:
xxxf coshcos
Ñöa haøm caàn khai trieån veà daïng toång, hieäu, tích (ñhaøm, tphaân) caùc haøm cô baûn. Aùp duïng kh/tr MacLaurint cô baûn
Giaûi:
0,1!2
1!2
1 332
32
xxoxoxxoxxf
Chuù yù: Coù theå söû duïng caû ñaïo haøm, tích phaân (coi chöøng C!) VD: Khai trieån ML ñeán caáp 2:
11ln 2 xxxf
KHTRIEÅN MACLAURINT HAØM THÖÔNG: DUØNG 1/(1 x)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai trieån MacLaurint
3 caáp2 caáp ,cos
1b/ ,2
/xx
eax
Vôùi thöông (tyû soá, phaân soá) 2 haøm soá: Duøng Chuù yù: ÔÛ maãu soá baét buoäc phaûi xuaát hieän soá 1!
x11
Giaûi:
2
22
2
421
!21
21
211
21/ xoxxxoxx
xea x
...22
1!211
cos1b/
23
23
2
32
xoxxox
xoxx
VD: Khai trieån MacLaurint ñeán caáp 2
34
12
xx
xf
Giaûi:
xxxxxxxf
11
311
31
21
31
11
21
311
KHAI TRIEÅN MACLAURINT VÔÙI HAØM HÔÏP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
VD: Khai trieån MacLaurint
4 caáp ñeánxbxa cos/sin/ 2
Haøm hôïp f(u(x)): Khai trieån laàn löôït töøng böôùc. Ñaàu tieân khai trieån MacLaurint u(x), sau ñoù khai trieån f(u) & caét ñeán luyõ thöøa ñöôïc yeâu caàu (Coù theå ñoåi thöù töï). Chuù yù quan troïng: Luoân kieåm tra ñieàu kieän u(0) = 0!
Giaûi:
423
2 ...!3
sin00&/ xoxuuuuxua
...211
2421
2421/
21
442
442
uxoxxxoxxb
u
VD (caûnh giaùc!): Khtrieån MacLaurint y = ln(2 + x) ñeán caáp 2
KHAI TRIEÅN TAYLOR QUANH x – x0: ÑÖA VEÀ KTR ML
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Khai trieån Taylor haøm
3 caáp ñeán 2quanh 10 x
xxf
Khai trieån Taylor f(x) quanh x = x0: Ñoåi bieán t = x – x0 vaø söû duïng khai trieån Mac Laurint cho haøm f(t) Caùch 2: Bieán ñoåi ñeå (x – x0) xuaát hieän tröïc tieáp trong haøm soá!
Giaûi: Caùch 1: t = x – 2
21
21
211
21
211 t
ttxxf
Caùch 2: Taïo (x – 2) trong haøm
221
121
221
xxxf
VD: Khai trieån Taylor haøm
2 caáp ñeán 8quanh 03 xxxf
Giaûi:
...
82
3112
821282
313 xxx
ÖÙNG DUÏNG KT TAYLOR. TÌM GIÔÙI HAÏN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------
Tìm lim: Khai trieån ML vôùi phaàn dö Peano + Ngaét boû VCB
VD: Tìm
xe
xxxxx sin1
1ln3sin43sinlim3
0
xxx
x
11lnlim 2(SGK/80)
3
43
03
43
0
6lim6
limx
xox
x
xoxxx
xx
20
1ln33sinlimx
xxx
xx
xxxx
1
1ln1lim 20
xxxx
xxxx
x 11ln
11lnlim 220
VD: Tính
30
sinlimx
xxx
VD: Tìm
20
1ln11lim
xx
xxx
ÖÙNG DUÏNG KT TAYLOR. TÍNH GAÀN ÑUÙNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------
Tính gaàn ñuùng & öôùc löôïng sai soá: phaàn dö Lagrange
xxcxxn
cfRxx
kxfxf n
n
n
n
k
kk
,,)!1(
,!
)( 01
0
1
00
0
VD: Goùc x naøo cho pheùp xaáp xæ sinx x vôùi ñoä chính xaùc 10-4
Töông töï: Caàn choïn bao nhieâu soá haïng trong khai trieån haøm y = ex ñeå coù theå xaáp xæ e vôùi ñoä chính xaùc 10-4
VD: Tính gaàn ñuùng giaù trò soá e vôùi ñoä chính xaùc 10-4 (SGK/79)Giaûi:
!13,1,0,
!1!1
!21
!111
nSec
ne
ne
c
S
VI PHAÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------
Haøm khaû vi taïi x0 y = Ax + o(x), x 0 : Soá gia haøm soá bieåu dieãn tuyeán tính theo x vaø voâ cuøng beù baäc cao cuûa x Vi phaân: dy = Ax =
f’(x)dx Nhaän xeùt: Haøm coù ñaïo haøm Coù vi phaân: Haøm khaû vi
x
y
O
xfyC :
0x
0xf
xx 0
xxf 0
x
y
xxf 0'1/ C: haèng soá dC = 0 & d(Cy) = Cdy 2/ Vi phaân toång, hieäu, tích, thöông:
udvvduuvd
dvduvud
2vudvvdu
vud
VI PHAÂN HAØM HÔÏP ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------
VD: Tính dy cuûa a/ y = sinx b/ y = sinx, x = costGiaûi:
dytytdtxxdxdyb cossinsincoscos/ hoaëc
VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sintÑS:
2
22
2
12/ dxxxyda
2
222
1sin''/ dtxtdxyydb
Vi phaân caáp 1:
dxydytxxxfy
xxfy'
:,:,
hôïphaøm
laäp ñoäc bieán
Vi phaân caáp 1: baát bieán!
yddxfydx 322 ,'': laäp ñoäc Bieán 22222 ''''', dtxxdxdfdxfydtxxxfy
Vi phaân caáp cao: