Upload
others
View
10
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 1
TỔNG HỢP 50 CÂU ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
ÔN THI HỌC KỲ II VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t t m / s 160 10 . Hỏi rằng trong
3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m.
Câu 2: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s )t
23
1 .Vận tốc ban đầu của vật là
6m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ?
A. m / s10 B. , m / s15 2 C. , m / s13 2 D. m / s12
Câu 3: Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc
a(t) t t(m / s ) 2 23 . Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu
tiên sau khi tăng tốc ?
A. 3200
3m/s B. 1500m/s C. 1200m/s D.
4300
3m/s.
Câu 4: Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là v t t t m / s 34 2 3 . Hỏi
xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu t 0 cho đến lúc t s 5 .
A. 365m B. 665m C. 625m D. 565m.
Câu 5: Vận tốc chuyển động của máy bay là v t t m / s 23 5 . Quãng đường máy bay
đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
A. 36m B. 252m C. 1134m D. 966m.
Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc t
v t , m / st
2 41 2
3. Quãng đường đi được
của vật đó trong 4s đầu tiên bằng bao nhiêu ?
A. 18,82m B. 11,81m C. 4,06m D. 7,28m.
Câu 7: Một vận động viên điền kinh xuất phát chạy với gia tốc a t t t m / s 3 2 21 5
24 16
. Hỏi vào thời điểm 5s sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu ?
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 2
A. 5,6m/s B. 6,51m/s C. 7,26m/s D. 6,8m/s
Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20m/s.
Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực.
Dùng dữ liệu này để trả lời câu 8 và 9.
Câu 8: Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến độ cao là bao nhiêu ?
A. 0,45m/s B. 0,4m/s C. 0,6m/s D. 0,8m/s
Câu 9: Độ cao lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là ?
A. 9000
49m B.
8598
49m C.
1000
49m D.
10000
49m.
Câu 10: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trong thành phố thì các xe khi dừng lại phải
cách nhau một khoảng tối thiểu là 1m. Một xe máy di chuyển trên đường thì gặp đèn
đỏ từ xa, người điều khiển xe máy đạp phanh và xe chuyển động chậm dần đều với vận
tốc v(t) t (m/s). 10 5 Hỏi để giữ khoảng cách an toàn, người điều khiển xe máy phải bắt
đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng bao xa, biết rằng
ngay lúc đạp phanh thì xe phía trước đang đứng yên ?
A. 9 m B. 10 m C. 11 m D. 12 m.
Câu 11: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là
F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh
nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F tt
1000
2 1
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị
bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân
thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?
A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được
C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được
Câu 12: Gọi h t (tính bằng cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t
giây. Biết rằng h t t 318
5 và lúc đầu bồn không chứa nước. Tìm mức nước ở bồn sau
khi bơm được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 3
A. 3,11cm B. 2,43cm C. 2,03 cm D. 2,66cm
Câu 13: Một quán café muốn lảm cái bảng hiệu là
một phần của Elip có kích thước, hình dạng
giống như hình vẽ và có chất lượng bằng gổ.
Diện tích gổ bề mặt bảng hiệu là (làm tròn đến
hàng phần chục)
A. 1,3 B. 1,4 C. 1,5 D. 1,6.
Câu 14: Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng
và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường
cong phía trên là một parabol. Giá m21 cửa rào sắt có
giá là 700000 đồng. Vậy anh An phải trả bao nhiêu
tiền để làm cài cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến
hàng nghìn)
A. 6417000 đồng. B. 6320000 đồng
C. 6520000 đồng. D. 6620000 đồng.
Câu 15: Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 500, số lượng này tăng lên
theo vận tốc , tv(t) e 1 1257450 vi khuẩn trong 1 giờ. Sẽ có bao nhiêu vi khuẩn trong buồng
cấy sau 3 giờ?
A. 11807. B. 21600. C. 15809. D. 31250.
Câu 16: Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc tv t .e m/ s 2 . Tính quãng đường nó đi được trong t giây đầu tiên ?
A. tS t e (t t) 3 22 2 . B. tS t e (t t ) 22 2 2 .
C. tS t e (t t ) 22 3 2 . D. tS t e ( t t ) 21 5 2 2 .
Câu 17: Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài
tuần, sản lượng đạt được q t( t)
2
104000 1
10 máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được
từ tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 4
A. 45000. B. 5235. C. 6333. D. 5315.
Câu 18: Người ta dự đoán rằng dân số thay đổi với tốc độ . te0 001 (tỷ người/năm) với t là
số năm tính từ năm 2003. Biết rằng năm 2009 dân số thế giới là 4,5 (tỷ người). Dân số
thế giới vào năm 2013 vào khoảng
A. 9,03 tỷ người. B. 8,65 tỷ người.
C. 8.53 tỷ người. D. 9.54 tỷ người.
Câu 19: Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng công
thức
f tt
2
120
5, với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với năm 1970).
Biết rằng số dân của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của thị trấn đó vào
năm 2008 ước tính là bao nhiêu ?
A. 32,1 nghìn người. B. 23,21 nghìn người.
C. 15,32 nghìn người. D. 20,41 nghìn người.
Câu 20: Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam
tổ chức, tối ngày 10/04/2010 chương trình “Góp sức vì người nghèo” đă được tổ chức tại
3 điểm cầu truyền hình tại 3 thành phố lớn của cả nước là: TP Hà Nội, TP Đà Nẵng, TP
Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên song VTV3 – Đài truyền hình Việt
Nam.Trong chương trình này, các cá nhân tổ chức trong và ngoài nước sẽ có dịp được
chung tay góp sức giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin hoặc quyên góp
tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình. Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp
thay đổi với tốc độ t300 , te0 1 (triệu đồng/giờ). Số tiền có được sau 5 giờ đầu tiên quyên
góp là :
A. 321 triệu đồng. B. 3209 triệu đồng.
C. 2706,12 triệu đồng. D. 9801 triệu đồng.
Câu 21: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc
kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó được
mô hình hoá bởi t
v(t) V sin
2
5 . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s.
A. 2,5V lít. B. 1,44V lít. C. 2V lít. D. 3,6V lít.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 5
Câu 22: Giả sử rằng sau t năm, vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận
với tốc độ P t t 2126 (triệu đồng/năm). Hỏi sau 10 năm đầu tiên thì doanh nghiệp
thu được lợi nhuận là bao nhiêu (đơn vị triệu đồng)?
A. 4780
3. B. 1235. C.
3257
3. D. 5020.
Câu 23: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t t m / s 150 10 . Hỏi rằng
trong 4s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. m15 . B. m520 . C. m80 . D. m125 .
Câu 24: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) (m / s )t
22
2 .Vận tốc ban đầu của vật là
7m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 5 bằng bao nhiêu ?
A. , m / s3 89 . B. , m / s9 51 . C. , m / s7 38 . D. , m / s10 89 .
Câu 25: Một học sinh tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là
30m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Độ cao
lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là ? (biết rằng gia tốc rơi tự do là g , m / s 29 8 )
A. 5250
49m. B.
52500
49m. C.
2250
49m. D.
22500
49m.
Câu 26: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là
F(t), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 5000 con thì bệnh
nhân sẽ được cứu chữa. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là
F tt
1000
1 và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 10 ngày bệnh nhân
phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày ( lấy xấp xỉ
hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?
A. 5433,99 và không cứu được. B. 5044,52 và không cứu được.
C. 4320,01 và cứu được D. 2397,89 và cứu được.
Câu 27: Một ô tô đang chuyển động với vận tốc m / s12 thì người lái xe bất ngờ tăng tốc
cho xe chạy nhanh dần đều , sau s15 thì xe đạt vận tốc m / s15 .Tính quãng đường xe
đi được sau s30 kể từ khi tăng tốc
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 6
A. 270 m. B. 450 m. C. 360 m. D. 540 m.
Câu 28: Một lực có độ lớn 40 N (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài
tự nhiên 10 cm lên 15 cm. Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một chiếc
lò xo bị kéo căng thêm x (đơn vị độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trì
lại (chống lại) với một lực cho bởi công thức f x kx N , trong đó k là hệ số đàn
hồi (hoặc độ cứng) của lò xo. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15 cm
đến 20 cm ? (kí hiệu J Jun là đơn vị của công)
A. , J3 00 . B. , J1 56 . C. , J2 56 . D. , J3 18 .
Câu 29: Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau
vài tuần, sản lượng đạt được
q tt
2
102000 1
10 máy/tuần. Tìm số máy sản xuất
được từ tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư.
A. 147 máy. B. 1523 máy. C. 1470 máy. D. 3166 máy.
Câu 30: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc
kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó
được mô hình hoá bởi t
v(t) V sin
3
5 . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s.
A. 0,02V (lít). B. 1,06V lít. C. 0,95V (lít). D. 3,12V (lít).
Câu 31: Một chiếc xe thể thao hiệu Lamborghini Aventador chạy trên một đường đua
thẳng có độ dài 4km. Xe tăng tốc từ 0km/h đến 100km/h trong 3 giây đầu tiên đi hết
260m và sau đó xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc m / s20 . Tính thời gian để
xe hoàn thành đường đua biết vận tốc của chuyển động nhanh dần đều có công thức
ov at v với oa,v là gia tốc và vận tốc đầu.
A. 18 s. B. 21 s. C. 11 s. D. 14 s.
Câu 32: Một vật đang chuyển động thẳng nhanh dần đều có vận tốc là km / h18 . Trong
giây thứ 5 mật đi được quãng đường là , m5 9 , tính quãng đường vật đi được sau
s10 kể từ lúc bắt đầu chuyển động
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 7
A. m132
5. B. , m103 6 . C. m60 . D. m
121
3.
Câu 33: Anh Phong muốn làm cửa rào sắt có hình
dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết
đường cong phía trên là một parabol. Giá m21 cửa
rào sắt có giá là 700.000 đồng. Vậy anh An phải trả
bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào sắt như vậy. (làm
tròn đến hàng chục nghìn) ?
A. 5.420.000 đồng. B. 5.520.000 đồng.
C. 5.500.000 đồng. D. 5.320.000 đồng.
Câu 34: Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian
e cos t V10 100 và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện
trở R 50 . Tính điện lượng chuyển qua điện trở trong thời gian từ t 0 đến
t s1
600 ?
A. , . C53 18 10 . B. , . C15 9 . C. , nC3 18 . D. , nC1 59 .
Câu 35: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo m / s2 ) là
a
t
2
20
2 1 với t tính bằng giây. Tìm hàm vận tốc v theo t , biết rằng t 0 thì
v m / s 40 .
A. v t m / st
1030
2 1. B. v t m / s
t
1020
2 1.
C. v t m / st
2030
2 1. D. v t m / s
t
3020
2 1.
Câu 36: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một
hàm số theo thời gian t là i t , , t mA 0 3 0 2 . Tổng điện tích đi qua một điểm trong
mạch trong giây 0,05s là bao nhiêu, biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích
chạy qua dây dẫn bằng 0 ?
A. , mC0 015 . B. , C0 015 . C. , C0 03 . D. , mC0 03 .
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 8
Câu 37: Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung C , nF 8 5 đặt trong mạch thu sóng
FM gần bằng 0. Nếu có cường độ dòng điện i , t mA 0 042 nạp vào tụ. Tìm hiệu điện
thế sau s2 , biết rằng hiệu điện thế tại thời điểm t được tính theo công thức q t
U tC
với q t là điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t .
A. , nV4 941 . B. , nV3 294 . C. , nV13 18 . D. , nV9 882 .
Câu 38: Một lực 12 N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên là 18 cm xuống còn 16 cm. Hỏi
công sinh ra là bao nhiêu nếu ta tiếp túc nén lò xo từ 16 cm xuống 14 cm ?
A. 3,6 N. B. 1,8 N. C. 0,9 N. D. 1,2 N.
Câu 39: Một người đi xe môtô với độ tăng vận tốc tại một thời điểm t (tính theo giây,
t 0 ) được cho bởi hàm số f t t t km / s 2 21 1
300 1350. Nếu bắt đầu tăng tốc tính từ
lúc khởi động máy (vận tốc bằng 0km/h), hỏi mất bao lâu thì người đó đạt đến tốc
độ 120 km/h?
A. 3 giây. B. 3,05 giây. C. 47,5 giây. D. 189,63 giây.
Câu 40: Hai người chạy đua xuất phát cùng lúc với vận tốc 0 m/s trên một đoạn đường
400m. Biết độ tăng vận tốc của 2 người lần lượt cho bởi hai hàm số
f t t m / s 23 1
100 10 và g t m / s 28
25 (t là thời gian, tính theo giây). Hỏi thời
gian về đích của hai người chênh lệch bao nhiêu giây?
A. 8 giây. B. 10 giây. C. 40 giây. D. 1090 giây.
Câu 41: Một xe máy đang chạy với vận tốc 8 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó,
xe máy chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t t m/s 4 8 , trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn, xe máy còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. 8 m. B. 10 m. C. 7 m. D. 6 m.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 9
Câu 42: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt
đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục
được biểu thị bằng đồ thị là đường cong
Parabol có hình bên. Biết rằng sau 10 s thì xe
đạt đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu
giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc
cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao
nhiêu mét ?
A. m1000
3. B. m
1100
3. C. m
1400
3. D. m300 .
Câu 43: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số
B t , t, t
2
10000
1 0 25, trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày
thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn
cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 4000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau
bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.
A. 23 ngày. B. 22 ngày. C. 24 ngày. D. 25 ngày.
Câu 44: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là
h cm1 300 . Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm
t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là h t t 313
500 và
lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau khoảng bao lâu thì nước bơm được 3
4 độ sâu
của hồ bơi?
A. 2 giờ 7 phút. B. 1 giờ 7 phút. C. 4 giờ 7 phút. D. 3 giờ 7 phút.
Câu 45: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện A đã xả lũ trong 30 phút với tốc độ lưu
lượng nước tại thời điểm t giây là v t t m / s 310 500 . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì
có hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ?
A. 17,1 triệu khối nước. B. 16,1 triệu khối nước.
C. 18,1 triệu khối nước. D. 19,1 triệu khối nước.
t(s)
v(m)
O 10
50
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 10
Câu 46: Sau t giờ làm việc một người thợ có thể sản xuất với tốc độ là , tq t e 0 5100
đơn vị sản phẩm trong 1 giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 7 giờ sáng. Hỏi
người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị sản phẩm giữa 8 giờ sáng và 11 giờ trưa ?
A. 401 đơn vị sản phẩm. B. 403 đơn vị sản phẩm.
C. 601 đơn vị sản phẩm. D. 501 đơn vị sản phẩm.
Câu 47: Một khối cầu có bán kính 5 dm, người ta cắt bỏ
2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kinh và cách
tâm 3 dm để làm một chiếc lu đựng (như hình vẽ). Thể
tích của cái lu là :
A. dm 3132 . B. dm 341 .
C. dm 3100
3. D. dm 343 .
Câu 48: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một khúc gỗ hình trụ có bán
kính bằng cm4 bởi hai mặt phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của
hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc theo một đường kính của hình
trụ và góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 030 . Tính thể tích cái nêm đó ?
A. cm364 3
9 . B. cm
3128 3
9. C. cm3128 3
9. D. cm
364 3
9.
Câu 49: Một cái nêm được tạo thành bằng cách cắt ra từ một
khúc gỗ hình trụ có bán kính bằng m1 bởi hai mặt
phẳng gồm mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của
hình trụ, mặt phẳng thứ hai cắt mặt phẳng thứ nhất dọc
theo một đường kính của hình trụ và góc giữa hai mặt
phẳng đó bằng 045 . Tính thể tích cái nêm đó.
A. m31
3 . B. m32
3. C. m31
4.
D. m31
2.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 11
Câu 50: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một
mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 045 để lấy một hình
nêm (xem hình minh họa dưới đây).
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (hình 2). Tính thể tích của V.
A. V cm 32250 . B. V cm
3225
4.
C. V cm 31250 . D. V cm 31350 .
ĐÁP ÁN
Câu 1: Đáp án D
Phân tích:
Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v t t m s 160 10 / . Ta
biết rằng quãng đường vật đi được s t chính là nguyên hàm của vận tốc v t
.
Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v t t t s 0 160 10 0 16 . Suy ra
sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì
dừng lại.
Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3s trước khi dừng hẳn chính là
tích phân của hàm v t t m s 160 10 / từ t 13s đến khi t 16s .
Hướng dẫn giải:
Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 12
v t t t s 0 160 10 0 16 .
Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là
S v t dt t dt m 16 16
13 13
160 10 45 .
Vậy chọn đáp án D.
Bình luận: Trong câu hỏi này, các em cần nhớ rằng: Đạo hàm của quãng đường đi được
s(t) chính là vận tốc v(t) của vật tại thời điểm t, và ngược lại, nguyên hàm của vận tốc v(t)
chính là quãng đường s(t). Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian nào bằng
tích phân của hàm vận tốc v(t) khi biến t chạy trong khoảng thời gian đó.
Câu 2: Đáp án A
Phân tích:
Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a t m st
23( ) ( / )
1.
Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc a t( ) .
Từ đó ta lập công thức tính v t a t dt ( ) , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu
v m s0
6 / .
Suy ra công thức tính vận tốc v t của vật tại thời điểm t và tính được v(10).
Hướng dẫn giải:
Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức
v t a t dt dt t Ct
3
( ) 3ln 11
.
Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v m s0
6 / nên
v C C v t t 0 3ln 0 1 6 6 3ln 1 6 .
Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là v m s 10 3ln 10 1 6 13,2 / .
Chọn đáp án C.
Bình luận : Trong câu này các em cần nhớ: Đạo hàm của vận tốc v(t) tại thời điểm t
chính là gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm đó.
Câu 3: Đáp án A
Phân tích và hướng dẫn giải:
Xe mô tô tăng tốc với gia tốc a t t t m s 2 2( ) 3 ( / ) . Vận tốc v t chính là nguyên hàm
của hàm số a t( ) .
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 13
t t
v t a t dt t t dt C 3 2
2( ) 3 33 2
.
Vận tốc ban đầu (tại thời điểm t 0
0 ) của xe là v m s0
10 / nên
t t
v C C v t 3 2 3 20 0
0 10 3 10 10 3 103 2 3 2
.
Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại
thời điểm t. Suy ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của
hàm v t khi biến t từ 0s đến 10s.
t t
S v t dt dt
10 10 3 2
0 0
43003 10
3 2 3(m).
Chọn đáp án D.
Bình luận (nếu có): v t a t dt dt t Ct
3
( ) 3ln 11
Câu 4: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Nguyên hàm của vận tốc v t chính là quãng đường đi được s t . Suy ra quãng
đường đi được trong khoảng thời gian từ 0t s đến 5st là:
5 5 5
3 4 2
00 0
4 2 3 3 665S v t dt t t dt t t t m.
Câu 5: Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của
hàm vận tốc v t khi 4st đến 10st .
10 10 10
2 3
44 4
3 5 5 966S v t dt t dt t t m .
Câu 6: Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Quãng đường đi được của vật trong 4 giây đầu tiên là
4 4 2
0 0
41,2 ... 11,81
3
tS v t dt dt m
t
.
Câu 7: Đáp án B
Phân tích và hướng dẫn giải
Vận tốc v t chính là nguyên hàm của gia tốc a t nên ta có:
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 14
3 2 4 31 5 1 5
24 16 96 48v t a t dt t t dt t t C
.
Tại thời điểm ban đầu 0st thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc
đó là 4 3
0
1 50 0 0 0 0 0 0
96 48v v C C .
Vậy công thức vận tốc là 4 31 5
96 48v t t t .
Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là 5 6,51 /v m s .
Câu 8: Đáp án B
Phân tích và hướng dẫn giải:
Xem như tại thời điểm 0
0t thì học sinh phóng tên lửa với vận tốc ban đầu 20m/s. Ta
có 0 0s và 0 20v .
Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là
29,8 /s t m s .
Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là
19,8 9,8v t dt t C
Do 0 20v nên 1 10 20 9,8.0 20 20 9,8 20v C C v t t .
Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là 2 9,8.2 20 0,4v (m/s).
Câu 9: Đáp án C
Phân tích và hướng dẫn giải
Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra
2
29,8 20 4,9 20s t v t dt t dt t t C
Vì 0 0s nên 2 2
2 20 4,9.0 20.0 0 0 4,9 20s C C s t t t .
Đồ thị của hàm số 24,9 20s t t t là đường cong Parabol có đỉnh 100 1000
;49 49
I
nên
tên lửa đạt độ cao lớn nhất là 1000
49(m) tại thời điểm
100
49t s .
Câu 10: Đáp án C
Phân tích và hướng dẫn giải
Kể từ lúc đạp phanh (t = 0) đến lúc xe dừng lại thì xe đi được một quãng đường là s.
Vì khoảng cách an toàn giữa 2 xe khi dừng lại tối thiểu là 1m nên người điều khiển
xe máy phải bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một
khoảng s + 1 (m).
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 15
Tại thời điểm 0t thì xe bắt đầu phanh, và xe dừng lại khi vận tốc bằng 0, khi đó
( ) 0 10 5 0 2v t t t .
Trong khoảng thời gian từ 0t s đến 2t s thì xe chạy thêm được quãng đường
2
0
10 5 10s t dt (m).
Vậy xe nên bắt đầu đạp phanh khi cách xe đang dừng phía trước tối thiểu một khoảng
11m để giữ khoảng cách an toàn.
Câu 11: Chọn đáp án D
Phân tích và hướng dẫn giải
Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là
1000
2 1F t
t. Suy ra số lượng vi
khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức
1000 1000ln 2 1 500ln 2 1
2 1 2F t F t dt dt t C t C
t.
Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên
0 2000 500ln 2.0 1 2000 2000F C C
500ln 2 1 2000F t t .
Số vi khuẩn sau 15 ngày là 15 500ln 2.15 1 2000 3716,99F con và bệnh nhân
cứu được.
Câu 12: Chọn đáp án D
Phân tích và hướng dẫn giải
Ta có h t là nguyên hàm của 318
5h t t , nên ta có
43 4
3 381 1 3
8 . 845 5 20
3
th t h t dt t dt C t C .
Lúc đầu bồn không chứa nước nên 4
33 12
0 0 0 8 020 5
h C C .
4
33 12
820 5
h t t .
Vậy lượng nước bơm được sau thời gian 6 giây là 4
33 12
6 6 8 2,6620 5
h cm.
Câu 13: Chọn đáp án B.
Phân tích bài toán:
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 16
y
xI(0;0,5)
CD
B(2,5;0)A(-2,5;0)
O
-1,5
Để tính diện tích của phần gỗ ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân.
Đầu tiên ta cần lập phương trình đường Elip biểu thị bảng gỗ. Chọn hệ trục tọa độ
Oxy sao cho bảng gỗ này đối xứng qua 2 trục Ox và Oy.
Theo số liệu đề cho ta có được các độ dài CD = 1m, MN = 1,5m, NP = 0,75m.
Đường Elip 22
2 21
yx
a b có trục nhỏ CD = 1m và đi qua điểm
3 3;
4 8N , ta có
2 22 2 2
2
2 2
2 1 17 1 723 3 4 1 1
9 9 2 94 81 7
bb
x y y x
aa b
Diện tích gỗ cần có được tính theo công thức
0,75 0,75
2 2
0,75 0,75
1 7 72 1 1 1,4
2 9 9x dx x dx m2.
Câu 14: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Ta mô hình hóa cánh cửa rào bằng hình thang cong
ADCB vuông tại C và D, cung AB như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho 2 điểm A, B nằm trên
trục Ox như hình vẽ.
Vậy diện tích cánh cửa sẽ bằng diện tích hình chữ nhật
ABCD cộng thêm diện tích miền cong AIB. Để tính diện tích miền cong AIB ta cần
dùng tích phân.
Đầu tiên ta tìm cách viết phương trình Parabol 2y ax bx c biểu thị cho đường
cong AIB. Parabol có đỉnh
10; ,
2I và cắt trục hoành tại 2 điểm
5 5;0 , ;0
2 2A B
y
x
D
C
N
PQ
M
A BO
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 17
2
2
2
1.0 .0 1
22
2 10 0
2a 25 22
5 525. . 0
2 2
a b cc
bb y x
aa b c
.
Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức
2,5
2
2,5
2 1 5
25 2 3x dx .
Suy ra diện tích cánh cửa là 25 551,5.5
3 6m .
Giá 1m2 cửa rào sắt giá 700.000. Vậy giá tiền cửa rào sắt là 6416666
Câu 15: Chọn đáp án A
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi S(t) là số lượng vi khuẩn trong buồng cấy sau t giờ. Ta có S(t) là nguyên hàm của hàm
vận tốc ( )v t
1,1257 1,12571( ) 450 450. .
1,1257
t tS t v t dt e dt e C .
Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con nên
1,1257.010 500 450. . 500 100,25
1,1257S e C C
1,12571450. . 100,25
1,1257
tS t e .
Số vi khuẩn trong buồng cấy sau 3 giờ
1,1257.313 450. . 100,25 11807
1,1257S e
Câu 16: Chọn đáp án B
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi S(t) là quãng đường chất điểm đi được sau t giây đầu tiên. Ta có S(t) là nguyên
hàm của vận tốc 2. /tv t t e m s
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 18
2. tS t v t dt t e dt
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần ta tính được
2 2. 2 ( 2 2)t tS t v t dt t e dt e t t .
Câu 17: Chọn đáp án C
Phân tích và hướng dẫn giải
Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là:
4
4 4
2 22
2
10 400004000 1 4000 6333
10 10dt t
t t
Câu 18: Chọn đáp án D
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi P t là dân số thế giới sau t năm tính từ 2003.
Khi ấy theo đề ra ta có 0.001tP t e . Suy ra
0.001 0.0011
' '0,001
t tP t P t dt P t e dt e C .
Dân số năm 2009 (ứng với t = ) là 4,5 tỷ người nên 6 4,5P
0.001.6 0.001.66 4,5 4,5 1000 4,5 1000P e C C e .
Do đó 0.001.t 0.001.614,5 1000
0,001P t e e .
Suy ra 0.001.11 0.001.6111 4,5 1000 9,54
0,001P e e .
Vậy dân số thế giới năm 2013 là 9,54 (tỷ người).
Câu 19: Chọn đáp án B
Phân tích và hướng dẫn giải
Tốc độ thay đổi số dân của thị trấn vào năm thứ t là
2
120
5f t
t
. Suy ra nguyên
hàm của f t là hàm số f t mô tả số dân của thị trấn vào năm thứ t. Ta có
2
120 120
55f t f t dt dt C
tt
.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 19
Số dân của thị trấn vào năm 1970 (ứng với t = 0) là
120
0 2 2 260 5
f C C
120
265
f tt
.
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2008 (ứng với t = 38) là
120
28 26 23,2138 5
f
ngàn người.
Câu 20: Chọn đáp án C
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi M(t) là số tiền có được sau t (giờ) thực hiện việc quyên góp.
Khi ấy theo đề ta có 0.1300 . tM t t e . Suy ra
0.1300 . tM t M t dt t e dt .
Đặt
0,10,1
300300
1
0,1tt
du dtu t
v edv e dt.
Suy ra 0,1 0.1 0,1 0,13000
3000 . 3000. 3000 . .0.1
t t t tM t t e e dt t e e C .
Lúc ban đầu (t = 0) thì số tiền quyên góp là
3000
0 0 00,1
M C 30000C .
Do đó 0,1 0,13000 . 30000. 30000t tM t t e e .
Sau 5 giờ số tiền quyên góp được là
0,1.5 0,1.55 30005. 30000. 30000 2706,12M e e triệu đồng.
Câu 21: Chọn đáp án B
Phân tích và hướng dẫn giải
Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức 2
( ) sin5
tv t V
. Suy ra lượng khí
hít vào sau 2 giây là :
2 2
0 0
2 5 2 .22 ( ) sin 1 cos 1,44
5 2 5
t VN v x dx V dt V
lít khí.
Câu 22: Chọn đáp án A.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 20
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi P t là lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm đầu tư. Ta có P t là nguyên hàm
của hàm tốc độ P t .
Lợi nhuận phát sinh sau 10 năm đầu tiên là
10 10
2
0 0
4780126
3P t dt t dt (triệu đồng).
Câu 23: Chọn đáp án C.
Phân tích:
Vật chuyển động chậm dần với vận tốc tại giây thứ t là v t t m s 150 10 / . Ta
biết rằng quãng đường vật đi được s t chính là nguyên hàm của vận tốc v t
.
Khi vật dừng hẳn là thời điểm t sao cho v t t t s 0 150 10 0 15 . Suy ra
sau khi bắt đầu chuyển động chậm dần thì vật đi thêm được trong thời gian 16s thì
dừng lại.
Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 4s trước khi dừng hẳn chính là
tích phân của hàm v t t m s 150 10 / từ t 11s đến khi t 15s .
Hướng dẫn giải:
Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì
v t t t s 0 150 10 0 15 .
Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là
S v t dt t dt m 15 15
11 11
150 10 80 .
Câu 24: Chọn đáp án B.
Phân tích:
Đề bài cho biểu thức gia tốc của vật chuyển động là a t m st
22( ) ( / )
2.
Ta biết rằng vận tốc chuyển động v(t) của vật chính là nguyên hàm của gia tốc a t( ) .
Từ đó ta lập công thức tính v t a t dt ( ) , kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu
v m s0
7 / .
Suy ra công thức tính vận tốc v t của vật tại thời điểm t và tính được v(5).
Hướng dẫn giải:
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 21
Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức
v t a t dt dt t Ct
2
( ) 2ln 22
.
Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v m s0
6 / nên
v C C v t t 0 2ln 0 2 7 7 2ln2 2ln 2 7 2ln2 .
Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 5 là
v m s 5 2ln 5 2 7 2ln2 9,51 / .
Câu 25: Chọn đáp án C.
Phân tích và hướng dẫn giải
Độ cao của tên lửa là nguyên hàm của vận tốc, suy ra
s t v t dt t dt t t C 2
29,8 30 4,9 30
Vì 0 0s nên s C C s t t t 2 2
2 20 4,9.0 30.0 0 0 4,9 30 .
Đồ thị của hàm số s t t t 24,9 30 là đường cong Parabol có đỉnh I
150 2250;
49 49
nên tên lửa đạt độ cao lớn nhất là 2250
49(m) tại thời điểm t s
150
49.
Câu 26: Chọn đáp án B.
Phân tích và hướng dẫn giải
Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F tt
1000
1. Suy ra số lượng vi
khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức
F t F t dt dt t C t Ct
10001000ln 1 1000ln 1
1.
Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên
F C C 0 2000 1000ln 2.0 1 2000 2000
F t t 1000ln 1 2000 .
Số vi khuẩn sau 10 ngày là F 10 1000ln 2.10 1 2000 5044,52 con và bệnh
nhân không cứu được.
Câu 27: Chọn đáp án B.
Phân tích và hướng dẫn giải
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 22
Ta có sau s15 thì xe đạt vận tốc m / s15 ( áp dụng v v at0 )
a. a . m / s2115 12 15 0 2
5
Vận tốc mà xe đạt sau 30s là v , t12 0 2
Vậy quãng đường xe đi được sau khi tăng tốc 30s là S . t dt m30
012 0 2 450 .
Câu 28: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Khi kéo lò xo từ 10 cm đến 15 cm nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m.
f , , k k 0 05 40 0 05 40 800 . Do đó f x x 800
Công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15 cm đến 20 cm là ,
,
W f x dx 0 1
0 05
,, ,
, , ,
xW f x dx x dx J
0 10 1 0 1 2
0 05 0 05 0 05
800 800 32
Câu 29: Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải
Số lượng máy tính từ đầu tuần thứ 3 đến hết tuần thứ 4 là:
4
2
3
102000 1 1523
10
dtt
Câu 30: Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải
Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức 3
( ) sin5
tv t V . Suy ra lượng khí
hít vào sau 2 giây là :
2 2
0 0
3 5 3 .22 ( ) sin 1 cos 1,06
5 3 5
t VN v x dx V dt V lít khí.
Câu 31: Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 23
Ta có: 250
100 / /9
km h m s , vận tốc nhanh dần đều là: 250
209
v t
Gọi ot là thời gian xe hoàn thành 4000 260 3740m còn lại.
Ta có 2 2
0
250 250 25020 10 10
9 9 90
ot
oo o
tS t dt t t t t
2
18250
10 3740 181879 ( )
9
o
o o o
o
t
t t t st l
Thời gian xe hoàn thành 4km đường đua là 3 18 21s .
Câu 32: Chọn đáp án C.
Hướng dẫn giải
Ta có 18
18 / 5 /3,6
km h m s .Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian
2
0:
2
att S v t vậy trong giây thứ 5 quãng đường nó đi được là
2 22.5 .4
5.5 5.4 5,9 0,2 /2 2
a aS a m s
Vậy quãng đường mà vật đi được sau 10s kể từ lúc bắt đầu chuyển động
10
05 0,2 60S t dt m
Câu 33: Chọn đáp án C.
Hướng dẫn giải
Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như
sau:
Khi đó S S S S . , S , 1 2 1 15 1 5 7 5
Để tính S1 ta vận dụng kiến thức diện tích hình
phẳng của tích phân.
Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB , OB Ox,OC Oy ,
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 24
Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử P : y ax bx c 2
Khi đó:
A ; P a b ca
B ; P a b c b P : y x
ccC , P
2
5 25 50 202 4 225
5 25 5 2 10 0 0
2 4 2 25 211120 22
Diện tích ,
S x dx m S m . . . .
2 52 2 2
2
0
2 1 10 55 552 600 000 5 500 000
25 2 6 6 6 đồng
Câu 34: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Ta có u
i tR
0,02cos 100 (A). Ta có i t q t '
Do đó t
t
q i t dt 2
1
. Xét điện lượng từ t 0 đến t s1
600
Ta có: q t dt C
1
6005
0
0,02 cos 100 3,18.10 .
Câu 35: Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải
Ta có
v a t dt dt Ctt
2
20 10
2 12 1
Khi t v C C
100 0 30 40 30
1 2.0
Do đó biểu thức vận tốc theo thời gian là
1020 /
2 1v t m s
t .
Câu 36: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 25
Ta biết rằng cường độ dòng diện là lượng điện tích đi qua tiết diện vật dẫn trong một
đơn vị thời gian. Nếu gọi hàm i t biểu thị cho cường độ dòng điện thì lượng điện
tích q t là nguyên hàm của i t .
Ta có biểu thức điện tích q t i t dt t dt t t C 20,3 0,2 0,3 0,1
Ta có khi q C 0 0 0 . Do đó tổng điện tích đi qua một điểm trong 0,05 s là:
q mC 2
0,05 0,3. 0,05 0,1. 0,05 0,015 .
Câu 37: Chọn đáp án D.
Hướng dẫn giải
Lưu ý nF F s s 9 61 10 , 1 10 .
Ta biết rằng điện tích q t là nguyên hàm của cường độ dòng điện i t
Ta có CU i t dt tdt t K
C
3 32
9
1 0,042.10 4,94.10
28,5.10
Theo giả thiết ta có U K 0 0 0
Do đó CU t t 3 22,47.10
Khi CU s nV
23 6 92 2,47.10 2.10 9,882.10 9,882 .
Câu 38: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Đầu tiên ta sẽ xác định hằng số lò xo (theo đơn vị m) Ta có F kx
k k N m 212 18 16 .10 600 /
Do đó ta có F x 600 . Nên công sinh ra được xác định A f x dx xdx 0,04 0,04
0,02 0,02
600
A x N 0,04
2
0,02300 3,6 .
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 26
Câu 39: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Gọi x là thời gian cần thiết để người đó đạt đến tốc độ 120km/h.
Ta nhận xét độ tăng vận tốc trong thời gian này cũng chính là tích phân của hàm f(t)
với t = 0 đến t = x. Như vậy ta xét phương trình sau :
xx
2 3 2 3 2
00
1 1 120 1 1 1 1 1 1t t dt t t x x x 3 s
300 1350 3600 900 2700 30 900 2700 30
Câu 40: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Ta nhận xét nguyên hàm của f(t) và g(t) chính là hàm vận tốc của hai người.
Hàm vận tốc của người thứ nhất: 21
3 1 3 1f t dt t dt t t C
100 10 200 10
(m/s).
Do vận tốc đầu của cả hai người đều là 0m/s nên 1C 0 , vậy hàm vận tốc của người thứ nhất
là: 21
3 1f t t t m / s
200 10 .
Tương tự, hàm vận tốc của người thứ hai : 1
8 8g t dt t m / s
25 25 .
Nguyên hàm của 1 1f t , g t là hàm quãng đường của 2 người.
Hàm quãng đường của người thứ nhất:
2 3 22 1
3 1 1 1f t f t dt t t dt t t m
200 10 200 20
Từ đây ta suy ra thời gian để người thứ nhất hoàn tất 400m là 40s.
Hàm quãng đường của người thứ hai: 22 2
8 4g t g t dt t dt t m
25 25
.
Thời gian để người thứ hai hoàn tất 400m là 50s.
Như vậy thời gian chênh lệch của 2 người là 10s. => đáp án B.
Câu 41: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm 0
t , xe máy có vận tốc 0
8 /v m s . Suy
ra 0 0 0
4 8 8 0v t t t .
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 27
Khi xe máy dừng lại tại thời điểm 1
t thì vận tốc 10 /v m s . Suy ra
1 1 1
4 8 0 2v t t t .
Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được S t và vận tốc
v t là: Nguyên hàm của vận tốc v t chính là quãng đường đi được S t . Suy ra quãng
đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm v t khi
thời gian t từ 0s đến 2s.
22 2 2
0 0 0
4 8 4 8 82
tv t dt t dt t m .
Câu 42: Chọn đáp án A.
Phân tích và hướng dẫn giải
Hàm vận tốc 2v t at bt c có dạng là đường Parabol có đỉnh 10; 50I , đồng
thời đi qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra
2
22
.0 .0 0 00
110 20a 0
2a 2.10 .10 0 50 10.10 .10 50
a b c cc
bb a
a b ba b c
2110
2v t t t .
Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc 0t và đạt vận tốc cao nhất lúc 10t s nên
quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất
1010 102 3 2
0 0 0
1 1 100010 5
2 6 3v t dt t t dt t t m .
Câu 43: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm
của B’(t).
2
2
1000 10001000 1 0, 25
0, 25 1 0, 251 0, 25B t dt t dt C
tt.
Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 600 con trên mỗi ml nước nên
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 28
10000 600 600 4600
0, 25 1 0, 25.0B C C .
Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là
10004600
0, 25 1 0, 25B t
t.
Số lượng vi khuẩn dưới 4000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và
người bơi không an toàn khi
10004000 4600 4000
0, 25 1 0, 25B t
t
1000 20 68600 1 0, 25 22,67
3 30, 25 1 0, 25t t
t.
Vậy sau ngày thứ 23 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 4000 con và hồ bơi bắt đầu cần thay
nước
Câu 44: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ
tăng h’(t) của chiều cao mực nước.
h t h t dt t dt t C 4
3 31 3
3 3500 2000
.
Lúc ban đầu (tại t 0 ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là
h t C C
74 33
3 30 0 3 0
2000 2000.
Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là
h t t
74 33
3 33
2000 2000.
Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng 3
4 độ sâu của hồ bơi nên ta có
74 33
1
3 3 3 33 .300 7619s
4 2000 2000 4h t h t t .
Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 7 phút thì bơm được 3
4 độ sâu của hồ bơi.
Câu 45: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 29
Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 30 phút (1800 giây) sẽ bằng
1800 1800 1800
2 6 3
00 0
10 500 5 500 17,1.10L v t dt t dt t t m .
Vậy trong khoảng thời gian 30 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 17,1 triệu khối,
tức là hồ chứa nước đã thoát đi 17,1 triệu khối nước.
Câu 46: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Gọi S t là số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất được sau t giờ tính từ lúc 7
giờ sáng. Ta có
0,5100 tS t q t e
Số đơn vị sản phẩm người đó sản xuất được từ 8 giờ sáng 1t đến 11 giờ trưa
5t là
5 5
0,5
1 1
100 401tq t dt e dt đơn vị sản phẩm.
Câu 47: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Xét đường cong cạnh bên của cái lu là
đường AC và chọn hệ trục tọa độ Oxy
như hình vẽ.
Khi đó ta có BC y x 2: 25 0
Khi đó thể tích của cái lu chính là
luV x dx dm
3 22 3
0
2 25 132
Câu 48: Chọn đáp án C.
Hướng dẫn giải
Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ
Ta có OB , AOB 04 30 . Nếu gọi S x là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x.
Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 30
Cụ thể S x là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx .
Do đó x
S x x x tan
2
2 2 01 1616 16 30
2 2 3
Khi đó thể tích của cái nêm bằng V S x dx x dx cm 4 4
2 3
0 0
1 128 32 16
93
Câu 49: Chọn đáp án B.
Hướng dẫn giải
Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ
Ta có OB , AOB 01 45 . Nếu gọi S x là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x.
Cụ thể S x là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx .
Do đó x
S x x x tan
2
2 2 01 11 1 45
2 2
Khi đó thể tích của cái nêm bằng V S x dx x dx m 1 1
2 3
0 0
22 1
3 .
Câu 50: Chọn đáp án A.
Hướng dẫn giải
Gắn mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt cắt vuông góc với hình trụ
Ta có OB , AOB 015 45 . Nếu gọi S x là diện tích thiết diện của cái nêm cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x.
Cụ thể S x là diện tích của các tam giác vuông tại đỉnh thuộc cung Bx .
Do đó x
S x x x tan
2 2
2 2 2 2 01 1515 15 45
2 2
Khi đó thể tích của cái nêm bằng V S x dx x dx cm 15 15
2 2 3
0 0
2 15 2250