Téma 6 Staticky neurčitý rovinný obloukfast10.vsb.cz/konecny/files/sskI_pr/ssk1-tema-06.pdf · Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku 3 / 40 Podepření

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí I., 2.ročník bakalářského studia

Téma 6Staticky neurčitý rovinný oblouk

• Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku• Dvojkloubový oblouk• Dvojkloubový oblouk s táhlem• Vetknuté oblouky• Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

2 / 40Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

Popis střednice rovinného obloukuObr. 6.1. / str. 140

Podrobnější popis střednice oblouku

[ ]

Ψ≤Φ

⋅=Φ=Φ

středniceSklon 2,0oblouky Ploché

),max(2/ nebo ,/ vzepětíPoměrnébodu) opodporovéh nižšího odt vrcholu vzdálenos(svislá oblouku Vzepětí

bodů)h podporovýct vzdálenos(vodorovná oblouku Rozpětí

oblouku) bod (nejvyšší oblouku Vrchol c:pojmyZákladní

ba xxflffl

22

2222

22

22

2

rx tg

22

rrz kružnice b)

2

paraboly a):rovniceje vrcholu počátek ve Pro c

xzzr

zzrr

x

xkdxdztg

xz

xzk

xkz

a

aa

b

bb

b

b

a

a

−=

⋅+=

⋅+=

−−=

⋅⋅====

⋅=

ψ

ψ

3 / 40Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku

Podepření obloukůObr. 6.2. / str. 141

Třídění oblouků podle způsobů podepření

2n oblouk vetknutýněJednostran (d)3n oblouk vetknutýěOboustrann (c)1n táhlemsoblouk výDvojkloubo (b)1n oblouk výDvojkloubo (a)

s

s

s

s

====

4 / 40Dvojkloubový oblouk

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, silové zatížení

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ⋅

⋅⋅

+∫ ⋅⋅

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫ ⋅⋅

+∫ ⋅⋅

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ⋅

⋅+∫ ⋅

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫ ⋅+∫ ⋅⋅=

==+⋅

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

ss

x

x

x

x

ss

ab

dxA

NNdx

IMM

Eds

ANN

dsIMM

E

dxA

Ndx

IM

Eds

AN

dsI

ME

HXX

ψψδ

ψψδ

δδ

coscos11

coscos11

:deformacíVýpočet ,0 :podmínka Deformační

1111

1111

00

0

0

0

0

10

22

0

2

0

2

11

,110111


Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového obloukuObr. 6.3. / str. 143

Dvojkloubový oblouk, zatížení změnou teploty

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ⋅

⋅⋅Δ+∫ ⋅⋅Δ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫ ⋅⋅Δ+∫ ⋅⋅Δ⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ⋅

⋅+∫ ⋅

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫ ⋅+∫ ⋅⋅=

==+⋅

b

a

b

a

b

a

b

a

x

x

x

xt

ss

t

x

x

x

x

ss

ab

dxh

MtdxNtdsh

MtdsNt

dxA

Ndx

IM

Eds

AN

dsI

ME

HXX

ψψααδ

ψψδ

δδ

coscos

coscos11

:deformacíVýpočet ,0 :podmínka Deformační

11

10

0

11

01010

22

0

2

0

2

11

,110111

1111

6 / 40

K výpočtu popuštění podpor u dvojkloubového obloukuObr. 6.4. / str. 144

Dvojkloubový oblouk, zatížení popuštěním podpor

)()1()(

síly) álnísměr virtu než opačný (směr coscos

11

:podmínka Deformační),(w),(w),(u),(u :podpor Popuštění

*

10

1

22

0

2

0

2

11

110111

baba

1111

baabaab

bb

x

x

x

x

ss

wwlvuw

lvw

lvuRu

uud

dxA

Ndx

IM

Eds

AN

dsI

ME

dXb

a

b

a

−⋅+−=⋅+⋅−⋅∑ −=⋅−==

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ⋅

⋅+∫ ⋅

⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫ ⋅+∫ ⋅⋅=

=+⋅↓↓→→

δδ

ψψδ

δδ

Dvojkloubový oblouk

11

1

)(

δ

baba wwlvuu

X−⋅−−

=

7 / 40

Obr. 6.5. / str. 145


Příklad 6.1, zadání a zobrazení 0. a 1. stavu

ψ

ψ

ψ

α

δδ

cos ,1 ,0 ,08,02)2(1obr., vizreakce

sin ,0 pro 5,11S ,0 pro )5(65,26 0 pro )5(5,11 ,0 pro )5(6)5(5,26obr., vizreakce ,

x)arctg(0,16 ,0,08xz ,08,0252 ,24,0,0072,0

: výpočet)(přípravný zatížení Silové

10 ,104,2E obr., vizgeometrie a zatížení oblouk, ýParabolick

111

2

1

0000

00

224

157

stav, 1.

stav 0.0 1 10111

−=−==+−=−⋅−=

⋅=≥−=≤+⋅−=≥−⋅=≤+⋅−+⋅=

⋅======

=⋅=

=+⋅=

−−

NHSxzM

SNxxxSxxMxxxM

kmAmI

KkPa

Xsn

t

8 / 40

Příklad 6.1, výpočet deformačních součinitelů

i x z ψ Δx Δz Δs Μ1 Μ1∗Μ1∗Δs N1 Ν1∗Ν1∗Δs Mo Μο∗Μ1∗Δs No Ν1∗Νο∗Δs 1 -4.5 1.62 -0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 12.5 -5.8531 -13.7312 13.7312 2 -3.5 0.98 -0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 33 -38.5785 -8.5506 8.5506 3 -2.5 0.5 -0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 47.5 -76.7386 -4.2710 4.2710 4 -1.5 0.18 -0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 56 -104.8142 -1.2836 1.2836 5 -0.5 0.02 -0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 58.5 -116.2001 0.0399 -0.0399 6 0.5 0.02 0.0798 1 0.08 1.0032 -1.98 3.9329 -0.9968 0.9968 51.75 -102.7924 -0.5183 0.5183 7 1.5 0.18 0.2355 1 0.24 1.0284 -1.82 3.4065 -0.9724 0.9724 40.25 -75.3352 -2.9172 2.9172 8 2.5 0.5 0.3805 1 0.4 1.0770 -1.5 2.4233 -0.9285 0.9285 28.75 -46.4470 -6.8707 6.8707 9 3.5 0.98 0.5105 1 0.56 1.1461 -1.02 1.1924 -0.8725 0.8725 17.25 -20.1661 -11.9708 11.9708 10 4.5 1.62 0.6240 1 0.72 1.2322 -0.38 0.1779 -0.8115 0.8115 5.75 -2.6924 -17.8213 17.8213 22.2661 9.1634 -589.6176 67.8947

,

,

:metodouou obdélníkovintegrace Numerická

1101

004

1101

003

1111

012

1111

011

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

sNNdsNNSsMMdsMMS

sNNdsNNSsMMdsMMS

Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=

Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=

==

==

Dvojkloubový obloukEEAE

SIE

SEEAE

SIE

S kNX

4,81608)24,0895,67

0072,0618,589(1

7,3130)24,0

1634,90072,02661,22(1

4310

11

102111 067,261

−=+−=⋅

+⋅

=

=−==+=⋅

+⋅

=

δ

δδδ

9 / 40

Obr. 6.5. / str. 145

Příklad 6.1, zatížení změnou teploty


ψ

αααδ

α

δδ

cos ,1 ,0 ,08,02)2(1obr. vizreakce

nulové reakce ,

10 ,104,2E obr., vizgeometrie a zatížení oblouk, ýParabolick

111

2

1

501

1010

0

)(

10

157

stav, 1.

stav 0. 0 1 )(

10

)(111

−=−==+−=−⋅−=

⋅Δ⋅=∑ Δ⋅⋅Δ⋅≅⋅⋅∫ Δ⋅=

+⋅

=⋅=

=

−−

==

NHSxzM

StsNtdsNt

KkPa

t

n

iiit

S

t

tep

t

teptepXsn

10 / 40

Příklad 6.1, zatížení změnou teploty

:metodouou obdélníkovintegraceNumerická

11

015 i

n

ii

S

sNdsNS Δ∑ ⋅≅⋅∫==

kNX

X E

StEAE

SIE

S

t

50,117,3130

104,2105,17,3130

105,1

105,1)10(1510

7,3130

73

1

3

11

10

35

5010

2111

1

=⋅⋅⋅=

=⋅⋅=−=

⋅−=−⋅⋅=⋅Δ⋅=

=⋅

+⋅

=

−

−

−−

δδ

αδ

δi Δs N1 Ν1∗Δs


1 1.2322 -0.8115 -1 2 1.1461 -0.8725 -1 3 1.0770 -0.9285 -1 4 1.0284 -0.9724 -1 5 1.0032 -0.9968 -1 6 1.0032 -0.9968 -1 7 1.0284 -0.9724 -1 8 1.0770 -0.9285 -1 9 1.1461 -0.8725 -1

10 1.2322 -0.8115 -1 -10

11 / 40

Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 6.1Obr. 6.6. / str. 146


Příklad 6.1, vnitřní síly

1

)()(

1

)()(

1

)()(

110

)(

110

)(

110

)(

1

1

1

VXVNXNMXM

VXVVNXNNMXMM

teptep

teptep

teptep

sil

sil

sil

⋅=

⋅=

⋅=

⋅+=⋅+=⋅+=

12 / 40

Obr. 6.7. / str. 149

obr.vizPříklad 6.2, zadání a zobrazení 0. a 1. stavu

geometrieazatíženístřednicí,u kružnicovo sOblouk

124,00072,0

104,2

2

4

7

===

⋅=

snmA

mIkPaE


ψψ

ψ

sin22991,0cos ),6,3(1)6(22991,0 obr., vizreakce ,

)délce celé v(97954,1S ,2 pro 0H ,2 pro 6H ,2 pro )4(97954,12 pro )6,3(6)6(97954,1 obr., vizreakce zatížení, silové ,

6,8xtg

8,68,6

8,66,32

)6,3(6r

:výpočetPřípravný

11

0000

0

22

22

22

1.stav

stav 0.

⋅+−=−⋅−+⋅=

−=−≥=−≤=−≥−⋅=−≤−⋅++⋅−=

−=

−−=

=⋅+=

NzxM

xxxxMxzxM

x

xz

m

13 / 40

Příklad 6.2, výpočet deformačních součinitelů

i x z ψ Δx Δz Δs Μ1 Μ1∗Μ1∗Δs N1 Ν1∗Ν1∗Δs Mo Μο∗Μ1∗Δs No Ν1∗Νο∗Δs 1 -5.5 2.8 -0.9421 1 -1.41 1.7275 -0.68 0.8078 -0.7740 1.0350 3.803 -4.4921 5.1294 -6.8587 2 -4.5 1.7 -0.7232 1 -0.89 1.3390 -1.55 3.2300 -0.9019 1.0890 8.419 -17.5083 5.8083 -7.0138 3 -3.5 0.97 -0.5407 1 -0.6 1.1679 -2.06 4.9337 -0.9757 1.1119 10.83 -26.0011 6.1631 -7.0231 4 -2.5 0.48 -0.3765 1 -0.4 1.0758 -2.32 5.7860 -1.0145 1.1072 11.81 -29.4759 6.3076 -6.8843 5 -1.5 0.17 -0.2224 1 -0.23 1.0254 -2.4 5.8960 -1.0261 1.0796 10.89 -26.7703 0.4367 -0.4594 6 -0.5 0.02 -0.0736 1 -0.07 1.0027 -2.32 5.3835 -1.0142 1.0314 8.908 -20.6968 0.1456 -0.1480 7 0.5 0.02 0.0736 1 0.07 1.0027 -2.09 4.3682 -0.9804 0.9638 6.928 -14.5002 -0.1456 0.1431 8 1.5 0.17 0.2224 1 0.23 1.0254 -1.71 2.9920 -0.9247 0.8767 4.949 -8.6682 -0.4367 0.4140 9 2.5 0.48 0.3765 1 0.4 1.0758 -1.17 1.4715 -0.8454 0.7690 2.969 -3.7361 -0.7278 0.6619 10 3.5 0.97 0.5407 1 0.6 1.1679 -0.45 0.2323 -0.7390 0.6379 0.99 -0.5155 -1.0189 0.8794 35.1010 9.7014 -152.3646 -26.2888

,

,

:metodouou obdélníkovintegrace Numerická

1101

004

1101

003

1111

012

1111

011

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

i

n

iii

S

sNNdsNNSsMMdsMMS

sNNdsNNSsMMdsMMS

Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=

Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=Δ∑ ⋅⋅≅⋅∫ ⋅=

==

==


EEAES

IES

EEAES

IES kNX

129,2127)24,02888,26

0072,03646,152(1

33,4 56,4915)24,0

7014,90072,01010,35(1

4310

11

102111 1

−=−+−=⋅

+⋅

=

=−==+=⋅

+⋅

=

δ

δδδ

14 / 40

Obr. 6.7. / str. 149

Příklad 6.2, pokračování, pokles podpor

)(015,0

)(0012,00

:podporPokles

↓=

→===

mw

muwu

b

b

aa


kNEdX

Rumud

dX

poppop

b

pop

b

poppop

98,1056,4915

6,5396756,4915

))00344865,0(0012,0(00344865,0)015,022991,0()(

)(12,0 než opačnýsměr b podpoře vmá 1 velikostio síla , 0012,0zatížení silové viz výpočet,

:podmínka Deformační

11

)(

101)(

1

*)(

10

1

11

1

)(

10

)(

111

==⋅−−−=−=

−=⋅−=∑ ⋅−=−=→=−=

=+⋅

δδ

δδ

δδδ


Průběhy vnitřních sil v dílčích stavech a výsledné průběhy příkladu 6.2Obr. 6.8. / str. 152

Příklad 6.2, vnitřní síly

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

10

)(

1

)(

10

)(

1

)(

10

)(

:sílyVnitřní

VXVNXNMXM

VXVVNXNNMXMM

poppop

poppop

poppop

silsil

silsil

silsil

⋅=⋅=⋅=

⋅+=⋅+=⋅+=

16 / 40

Dvojkloubový oblouk s táhlemObr. 6.9. / str. 153

Dvojkloubový oblouk s táhlem


110111 :podmínka Deformační

vazbynéjednostrancharakter má Táhlo1 :ineurčitost statickéStupeň

dX

ns

=+⋅

=

δδ

17 / 40

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153

Dvojkloubový oblouk s táhlem, silové zatížení

TT

TT

TT

T

AElNX

dAElXd

dX

⋅+

−==

⋅⋅−=

=+⋅

11

101

11

1

110111

:dosazení Po

síla) virtuálnínežsměr opačný má táhla(protažení


δ

δ

δδ


18 / 40

Rozklad na 0. stav a 1. stav u dvojkloubového oblouku s táhlemObr. 6.10. / str. 153

Dvojkloubový oblouk s táhlem, změna teploty

TT

T

TtTT

x

x

x

xt

t

AEl

lΔtαNX

dxh

MtdxNt

dl ΔtαAElXd

dX

b

a

b

a

⋅+

⋅⋅+−==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅∫ ⋅Δ+⋅∫Δ⋅=

⋅⋅−⋅⋅−=

=+⋅

11

0101

11

1010

101

1

110111

:dosazení Po

coscos

síla) virtuálnínežsměr opačný má (


δ

δψψ

αδ

δδ


19 / 40

Zadání příkladu 6.3Obr. 6.11. / str. 155


Příklad 6.3

kN

EAl

tlX

XXd

tlXEA

ld

dsNt

EAl

XXXEA

ld

EE

kPaEm

TT

T

TtTT

teptep

tepteptep

TtTT

tep

TT

Ttep

S

t

tep

TT

T

sil

silsilsil

TT

T

sil

T

tepteptep

sil

silsils

dX

kNX

dXn

58,41097,310304,1

102,7105,1102,710968,3)6(102,11010968,3

105,1

1097,3 101,3041040,3

1096825,3101,20012,0

10

1040034,34,81608 101,30446 7,3130 :

.101,2,0012,0A má táhlo 6.1,příkladu vjako stejné i vlastnostmáoblouk

obr.6.11, dlezatížen je táhlemsOblouk :

54

43

11

0

)(

10)(

1

4)(

1

55)(

1

5)(

1

0

)(

1

)(

1

3

010

)(

10

54-

3

11

)(

10

)(

1

5)(

18

)(

11

3)(

10

4-

11

8

T

)(

1

)(10

)(111

)(

1

1)(

10)(

111

:lotyzměnou tep zatížení pro podmínka Deformační

99,19

zatížení silovépro podmínka deformační ,1

Zadání

2

=⋅+⋅

⋅−⋅=

⋅+

Δ⋅⋅−−=

⋅+⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅−=

Δ⋅⋅+⋅⋅

−=

⋅−=∫ ⋅⋅Δ⋅=

=⋅+⋅

⋅−−=

⋅+

−=

⋅⋅−=⋅⋅⋅

−=⋅⋅

−=

⋅−=−=⋅==

⋅==

−−

−−

−−−−

−

−

−

−

−

=+⋅

=+⋅=

δ

αδ

α

αδ

δ

δ

δδ

δδ

δδ

20 / 40

Výsledné průběhy ohybových momentů v příkladu 6.3Obr. 6.12. / str. 156

Příklad 6.3


21 / 40

Oboustranně vetknutý obloukObr. 6.13. / str. 156

Vetknuté oblouky

Vetknuté oblouky

330333232131

220323222121

110313212111

30333232131

20323222121

10313212111

s

:podpor popuštěním zatížení propodmínky Přetvárné000

:lotyzměnou tep a silové zatížení propodmínky Přetvárné3nineurčitost statickéStupeň

dXXXdXXXdXXX

XXXXXXXXX

=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅

=

δδδδδδδδδδδδ

δδδδδδδδδδδδ

22 / 40

Rozklad na 0. stav a tři jednotkové stavy oboustranně vetknutého obloukuObr. 6.14. / str. 157

Vetknuté oblouky

Vetknuté oblouky

0H )( 1R )( 1R:3.stav pro Reakce

0H )(1R )( 1R:2.stav pro Reakce

)(1H )(R )( R:1.stav pro Reakce

ab3ba3ab3

ab1ba2ab2

ab1ba1ab1

321

=↑=↓=

=↑=↓=

→=↓=↑=

===

ll

ll

lv

lv

MXMXHX baabab

23 / 40

Vetknuté oblouky, popuštění podpor

Vetknuté obloukyl

wwl

wl

wl

wwl

wl

w

wwlvu

lvw

lvwu

ddud

Hlv

l

Hlv

l

Hlv

lv

MXMX)(HX

ww

abba

abba

baabaa

bab

ab

ab

ab

baab

b

baba

−=⋅−⋅−=−=⋅−⋅−=

−⋅+−=⋅+⋅−⋅−=

==−=

=↑=↓=

=↑=↓=

→=↓=↑=

====←==↓→

)11( )11(

)()1(

0),(R),(1R stav 3.

0),(R),(1R stav 2.

)(1),(R),(R stav 1.:Reakce

)doprava(1 stav 3. ),doprava(1 stav 2.,1 stav 1. :stavy Virtuální

doprava)(,),(,),(u,u :podpor Popuštění

3020

10

321

3ba3ab3

2ba2ab2

1ba1ab1

3322

11

ba

δδ

δ

ϕϕ

ϕϕ

24 / 40

Tabulka 6.7

Přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

Vzorce pro přibližný výpočet plochých parabolických oblouků

25 / 40

Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, Queen Street Station, Glasgow, Skotsko

Ukázky dvojkloubového oblouku s táhlem


26 / 40

Detail napojení táhla na oblouk střešní konstrukce, Queen Street Station, Glasgow, Skotsko



27 / 40

Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava



28 / 40




29 / 40




30 / 40




31 / 40

Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, Pavilon G1, Brněnské výstaviště



32 / 40


Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, Pavilon G1, Brněnské výstaviště


33 / 40

Kloubové připojení táhla k tuhému oblouku, Pavilon G1, Brněnské výstaviště



34 / 40

Celkový pohled na konstrukci, Pavilon výstaviště Černá louka, Ostrava



35 / 40

Střešní konstrukce se soustavou oblouků s táhly, Pavilon výstaviště Černá louka, Ostrava



36 / 40

Detail uchycení táhla ke střešní konstrukci, Pavilon výstaviště Černá louka, Ostrava



37 / 40

Detail uchycení táhla ke střešní konstrukci, Pavilon výstaviště Černá louka, Ostrava



38 / 40

Střešní konstrukce dřevěných oblouků s ocelovými táhly, pivnice na Poděbradově ulici, Ostrava



39 / 40

Detail dřevěného oblouku a ocelového táhla, pivnice na Poděbradově ulici, Ostrava



40 / 40

Ukázka konstrukce s dvojicí vetknutých oblouků

Dvojice vetknutých oblouků

Stanice Střížkov, metro trasa C, Praha - Prosek

Documents

Téma 6 Staticky neurčitý rovinný obloukfast10.vsb.cz/konecny/files/sskI_pr/ssk1-tema-06.pdf · Základní vlastnosti staticky neurčitého rovinného oblouku 3 / 40 Podepření