Statika stavebních konstrukcí I

Téma 4Téma 4Příčně zatížený ráma rošt

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova p řednášky

� Základní vlastnosti příčně zatíženého rámu

� Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

� Základní vlastnosti roštu

� Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

� Využití symetrie roštu

2Osnova přednášky

Příčně zatížený rám

� Zvláštní případ prostorového rámu

� Střednice všech prutů a jedna z hlavních centrálních os setrvačnosti každého průřezu prutu leží v jedné rovině

� Zatížení působí kolmo na rovinu rámu a vyvolává prostorové namáhání prutů

� Uplatňují se jen vnější a vnitřní vazby působící kolmo k rovině rámu (kloubová připojení jen ta, jejichž funkční roviny jsou kolmé na střednicovou rovinu rámu)

� Příčné zatížení u rovinného rámu vyvozuje jen tři složky

3Základní vlastnosti příčně zatíženého rámu

� Příčné zatížení u rovinného rámu vyvozuje jen tři složky vnitřních sil:� posouvající síla V� ohybový moment M� kroutící moment T

Druhy p říčně zatížených rám ů

Příčně zatížený rám ve svislé a vodorovné roviněObr. 8.1. / str. 177

4Základní vlastnosti příčně zatíženého rámu

Uzavřený příčně zatížený rám umístěný ve vodorovné roviněObr. 8.2. / str. 177

Jednoduchý p říčně zatížený otev řený rám

5Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám, rozklad na dílčí stavyObr. 8.3. / str. 178

Příklad 4.1

( ) 4,212

2229,0m10733,04,02,0229,0

m10067,14,02,012

1

12

1

*

4333

4333

=+==

=⇐=⋅=⋅⋅==

⋅=⋅⋅==

−

−

νε

αα

E

b

hhbI

bhI

t

… pro železobetonový rám( ) 4,212* =+== νεG

E… pro železobetonový rám

6Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Zadání příkladu 4.1,vytvoření základního nosníku a označení staticky neurčitých reakcí

Obr. 8.4. / str. 180

Příklad 4.1

7Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Řešení příkladu 4.1, průběhy ohybových a kroutících momentů v dílčích stavechObr. 8.5. / str. 181

Příklad 4.1

Výpočet deformačních součinitelů:

+= ∑ ∫∑ ∫==

m

j

l

jkij

m

j

l

jkij

ki

jj

xTTIG

xMMIE 1 0,t1 0

, d11

d11δ

+= ∑ ∫∑ ∫

==

m

j

l

jkij

m

j

l

jkij

ki

jj

xTTI

xMMIE 1 0,t

*

1 0, d

1d

11 εδ

( )EE

4000004480

3

1

10067,1

1130,20,1 −=

⋅⋅−⋅⋅

== −δδ

8Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Příklad 4.1

Výpočet deformačních součinitelů:

( )

( )

EE

2495504,21111

74887422

10733,0

4,2222

3

1444

3

1

10067,1

11331,1

=

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

= −−δ

( )

( )( )EE

EE

84775442

10733,0

4,2444

3

1

10067,1

11

249550444

10733,0

4,2444

3

1444

3

1

10067,1

11

331,22,1

332,2

−=

⋅−⋅⋅

+

⋅⋅⋅⋅

==

=

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅

=

−−

−−

δδ

δ

9Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Příklad 4.1

Sestavení kanonických rovnic a jejich řešení:

0

0

22,211,20,2

22,111,10,1

=⋅+⋅+=⋅+⋅+

XX

XX

δδδδδδ

kN553,5

kN627,11

024955084775400000

08477574887400000

2

1

21

21

==

=⋅−⋅−−=⋅−⋅+−

X

X

XX

XX

10Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Příklad 4.1

11Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Příklad 4.1, vnější síly a průběhy vnitřních silObr. 8.6. / str. 182

Příklad 4.2

Balkónový nosník má rozměry a zatížení dle obr. 8.7(a).

3,2

m107331

m100671

*

43

43

=

⋅=⋅=

ε

-t

-

,I

,I

Stupeň statické neurčitosti ns = 3, při využití symetrie nss = 1

(viz. obr. 8.7(b)).

3,2* =ε

12Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Zadání příkladu 4.2, vytvoření základní soustavy a označení staticky neurčité interakceObr. 8.7. / str. 183

Příklad 4.2

( ) ( )

( )

EE

881456,168,72

4,26,1)68,7(2

11

134776,1112

10733,0

4,22,311

10067,1

11331,1

−= ⋅−⋅⋅+ ⋅−⋅⋅=

=

⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

= −−

δ

δ

Výpočet deformačních součinitelů:

( )EEE

881456,168,72

10733,0

4,2

3

6,1)68,7(2

10067,1

11330,1

−=

⋅−⋅⋅⋅

+

⋅−⋅⋅⋅⋅

= −−δ

13Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Řešení příkladu 4.2, průběhy ohybových a kroutících momentů v dílčích stavechObr. 8.8. / str. 184

Příklad 4.2

kNm540,613477

881450

11

1011,011,1 =−−=−=⇒=+⋅

δδδδ XX

Deformační podmínka:

1,14 1,14

6,54 1,14

1,14

6.54

14Jednoduchý příčně zatížený otevřený rám

Vnější síly, interakce a průběhy vnitřních sil v příkladu 4.2Obr. 8.9. / str. 185

Rošt

15Rošt

Roštové zastřešení přístupového prostoru k nástupištím,nádraží Ostrava - Svinov

Rošt

� Rovinná rámová soustava, určená převážně pro přenášení zatížení kolmého k rovině rámu

� Příčně zatížený rám s vodorovnou střednicovou rovinou

� Vytvořený zpravidla ze dvou pravidelných osnov prutů, které se � Vytvořený zpravidla ze dvou pravidelných osnov prutů, které se vzájemně kříží

� Pruty stejné osnovy jsou obvykle navzájem rovnoběžné (mohou být uspořádány i nepravidelně)

� V místech křížená osnov prutů vzájemně spojeny monoliticky

� Podepření obvykle podél obvodu nebo podél dvou protilehlých stran

16Základní vlastnosti roštu

� Zatížení vyvozuje v podporách silové a momentové složky reakcí (kolmé na rovinu roštu)

� Nejčastěji u mostních, stropních, základových konstrukcí

Rošt

Příklady pravoúhlého, kosoúhlého a kruhového roštuObr. 8.10. / str. 185

17Základní vlastnosti roštu

Příklady mostního a stropního roštuObr. 8.11. / str. 186

Přibližné řešení pravidelných stropních rošt ů

V prutech roštů obecně vznikají tři složky vnitřních sil:

a) posouvající síly V ≡ Vz

b) ohybové momenty M ≡ My(x) (pruty rovnoběžné s osou x(y))b) ohybové momenty M ≡ My(x) (pruty rovnoběžné s osou x(y))

c) kroutící momenty (pro přibližné řešení se zanedbávají)

Monolitické spojení prutů se v přibližném

řešení nahrazuje fiktivně kulovým kloubem

18Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Náhrada vnitřní vazby interakcí ve styčníku roštuObr. 8.12. / str. 187

nebo krátkým kyvným prutem (zajišťuje

shodný průhyb obou křížících se prutů).

Přibližné řešení pravidelných stropních rošt ů

19Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Zjednodušený výpočtový model roštu a vytvoření dílčích zatěžovacích stavůObr. 8.13. / str. 187

Příklad 4.3

Rošt má rozměry, vazby a zatížení dle obr. 8.14(a).

Pro prut délky 9 m je I = 0,004 m4.

Pro prut délky 6 m je I = 0,002 m4.Pro prut délky 6 m je I = 0,002 m.

Stupeň statické neurčitosti ns = 2

20Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Zadání příkladu 4.3 a základní staticky určitá soustavaObr. 8.14. / str. 188

Příklad 4.3, řešení

21Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Řešení příkladu 4.3, průběhy ohybových momentů v dílčích stavechObr. 8.15. / str. 189

Příklad 4.3, řešení

δ

,,E,E

δ

5400094500148500

3516

54362

0020

2162

6

7227232

6

72452

0040

110,1

−=+−=

⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅−=

Výpočet deformačních součinitelů:

E

,,

,,

,Eδ

EEδ

550062351

6

555875372

0020

21148500

5400094500148500

0,2

0,1

−=

⋅⋅+⋅⋅+−=

−=+−=

22Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Řešení příkladu 4.3, průběhy ohybových momentů v dílčích stavechObr. 8.15. / str. 189

Příklad 4.3, řešení

( )E

,,

,,Eδδ

262592211

5250

3

35151

0020

2

3

622

3

322

0040

112,21,1

⋅⋅

=

⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅⋅==

Výpočet deformačních součinitelů:

( )( )E,E

δδ2625

24442446

922

0040

11 21,22,1 =

−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

23Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Řešení příkladu 4.3, průběhy ohybových momentů v dílčích stavechObr. 8.15. / str. 189

Příklad 4.3, řešení

0

0

22,211,20,2

22,111,10,1

=⋅+⋅+=⋅+⋅+

XX

XX

δδδδδδ

Sestavení kanonických rovnic a jejich řešení:

kN857,5

kN357,7

05,5006252502625

00,5400026255250

0

2

1

21

21

22,211,20,2

==

=−⋅+⋅=−⋅+⋅

=⋅+⋅+

X

X

XX

XX

XX δδδ

24Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Poznámka:Deformační podmínky wi = δi = 0 (i = 1, 2, …, ns) vyjadřují nulové rozdíly průhybů dvou křížících se prutů ve styčníku i.

Příklad 4.3

25Přibližné řešení pravidelných stropních roštů

Výsledné reakce a průběhy vnitřních sil roštu z příkladu 4.3Obr. 8.16. / str. 190

Symetrie roštu

( ) ( ) ( )123

966

======

Ss

Ss

Ss

sss

nnn

ncnbna

Stupeň statické neurčitosti

sss

26Využití symetrie roštu

Jednoduchá, dvojnásobná a čtyřnásobná symetrie pravidelného stropního roštuObr. 8.17. / str. 191

Symetrie roštu

27Využití symetrie roštu

Využití symetrie pravidelného stropního roštuObr. 8.18. / str. 192

Příklad 4.4

Čtyřnásobně symetrický rošt dle obr. 8.17(c) má délku každého prutu l = 12 m. Zatížení l = 12 m. Zatížení odpovídá obr. 8.19.

1=Ssn

28Využití symetrie roštu

Řešení příkladu 4.4, průběhy ohyb. momentů v dílčích stavechObr. 8.19. / str. 193

Obr. 8.17(c) / str. 191

Příklad 4.4, řešení

( ) ( ),

EIEIδ

63811084813381254721

288

3

63324363

3

33322

11,1

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅

=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

Výpočet deformačních součinitelů:

( ) ( )

( ) ( )EI

,

EIδ

18636

6

310881224

6

6381108481

6

33812547222

10,1

−=⋅−⋅+⋅⋅⋅+

+

⋅⋅+⋅++⋅⋅+⋅⋅⋅=

00,111,1 δXδ =+⋅

Deformační podmínka a její řešení:

29Využití symetrie roštu

Řešení příkladu 4.4, průběhy ohybových momentů v dílčích stavechobr. 8.19. / str. 193

kN4696288

1863

0

1

0,111,1

,X

δXδ

=−=

=+⋅

Příklad 4.4

30Využití symetrie roštu

Výsledné reakce a průběhy vnitřních sil roštu z příkladu 4.4Obr. 8.20. / str. 195

Použitá literatura

[1] Benda Jiří, Stavební statika II, VŠB-TU Ostrava 2005

31