Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/sbs_tema2.pdf · 1 = Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoňo dva řády. Pro

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia

Téma 2Simulační metody typu Monte Carlo

• Princip simulačních metod typu Monte Carlo• Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)• Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech

2 / 42Princip simulačních metod typu Monte Carlo

Historie metody Monte Carlo

Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském

matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi, který se pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova čísla π

náhodným vrháním jehly na linkovaný papír.

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707-1788)

π2

=p

Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi linkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek, je rovna:



Pravděpodobně první systematické využití metody Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku 1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově objevené částice – neutronu.

Enrico Fermi(1901-1954)

Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam, John von Neumann,

Nicholas Metropolis nebo již zmíněný Enrico Fermi.Pojmenována podle známého kasina v Monaku (Ulamův

strýc zde sázel). Dříve se používala pod označením „statistical sampling“ – statistický výběr.

Stanislaw Ulam(1909-1984)



Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý generátor náhodných čísel).

Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích, kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený americký vývoj

atomové bomby za 2. světové války).

Metoda je využívána pro výpočet integrálů hustot pravděpodobnostíspojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných, kde běžnémetody nejsou efektivní.

Je založena na provádění náhodných experimentů s modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu.


Metoda Monte Carlo

kde N je počet náhodných experimentů

Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malápřesnost.

Nerr 1

=

Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoň o dva řády. Pro zisk výsledku s přesností na 6 desetinných míst, což odpovídá přesnosti jiných metod, je tedy potřeba zpracovat 1012 historií.


Zákon velkých čísel

Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotěpravděpodobnosti.

( )NN XXN

X ++= ...11

Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny:

kde X1, X2, ..., XN představuje nekonečnou posloupnost vzájemněnezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou . Se zvyšujícím se počtem historií bude střední hodnota vygenerované posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě , což lze demonstrovat na jednoduchém příkladu s hrací kostkou.

∞<μ∞→N

μ→nX



V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu čísel na jednotlivých stranách roven:

5,3621

6654321

==+++++

=μ

Střední hodnota vržených čísel

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Počet hodů

Stře

dní h

odno

ta

Vývoj vypočtenéstřední hodnoty 20000 vržených čísel



Počty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech kostkou

8206 8385 8223 8383 8458 8345

0

2000

4000

6000

8000

10000

1 2 3 4 5 6

Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou



Procentuální zastoupení vržených čísel(celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel)

12

3

4

5

6

10100

100010000

5000065528

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

Proc

entu

ální

zas

toup

ení

Číslo

Celkový počet hodů

Procentuální zastoupení jednotlivých čísel


Generátory náhodných čísel

( ) MCUAU nn mod1 +×=+


Kongruenční generátory náhodných čísel

Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu:


kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru(žádoucí nesoudělnost A a M).

Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvézavedené americkým matematikem Lehmerem v roce 1948. Slouží pro generování posloupností náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením.

Derrick Henry Lehmer(1905-1991)

12 / 42

0

1

2

3

4

5

6

7

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80Princip simulačních metod typu Monte Carlo

Vliv vstupních konstant na vygenerovaná čísla

7M

3C

1A

1x0


Vstupní údaje



23M

3C

7A

1x0


Vstupní údaje

0

5

10

15

20

25

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80



1011M

10C

7A

1x0


Vstupní údaje

0

200

400

600

800

1000

1200

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

15 / 42

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

Princip simulačních metod typu Monte Carlo


1M

0,333C

758A

0,5x0


Vstupní údaje

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

Setříděno


Integrace metodou Monte Carlo

Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných integrálů.

( ) ( )∫∫∫ ==V

y

y

x

x

yxyxfyxyxfIh

d

h

d

...dd,...,...dd,...,

Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrovanéoblasti V .

( ) ∑−

=≈N

iifN

VfVNfI1

..;

fkde představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných bodech.


Integrace metodou Monte Carlo 3D Graf vygenerovaných bodů a hodnot funkce f(x,y)

( ) 222, yxryxf −−=

Např. objem polokoule.

Ukázkový výpočet byl proveden pro 1000

vygenerovaných pseudonáhodných čísel. Poloměr polokoule r se

rovná 1 m

Výsledná hodnota odhadu integrálu

I=2,17707 (přesnáhodnota 2,09440).

Směrodatná odchylka odhadu integrálu

σ=0,04347.


Integrace metodou Monte Carlo

Náhodná proměnná 2D

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20x

y

Tisíc vygenerovaných pseudonáhodných dvojic čísel pro výpočet objemu polokoule, zobrazených jako graf 2D náhodné proměnné

(vstupní parametry: x0=0,5; A=758; C=0,333 a M=1; y0=0,5; A=239; C=0,666 a M=1)

19 / 42


Generování omezených rozdělení a transformace na požadovanérozdělení



20 / 42

• Např. Marek a kol.CRC Press, 1995.

• Vstupní proměnnécharakterizují useknuténeparametrické histogramy.

• Analýza funkce spolehlivosti metodou Monte Carlo.

• Spolehlivost je vyjádřena jako Pf < Pd, kde Pf je pravděpodobnost poruchy, a Pd je v normová návrhovápravděpodobnost poruchy.

Pf = Σ / Σ < Pd

Metody pro určení pravděpodobnosti poruchy

Účinek zatížení S

Odo

lnos

t R

R - S = 0

Posudek spolehlivosti metodou SBRA

21 / 42

Náhodné veličiny

Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky

Dlouhodobé nahodilé hL1

Dlouhodobé nahodilé hL2Stálé hD Sníh hSn

Krátkodobé nahodilé hS Vítr hS

Napětí na mezi kluzu fy

Reprezentace náhodně proměnných veličin neparametrickými omezenými rozděleními

22 / 42

Výpočet metodou SBRA, program AntHill

Pf = 0,0000039 < Pd = 0,0000080táhlo vyhoví – úroveň spolehlivosti zvýšená


23 / 42

Koncepty posudku spolehlivosti

Koncept „Design Pointu“ (PFD) Pravděpodobnostní alternativa

S

R

Rd > Sd

Rd

Sd

Pf = (modré)/(zelené) body


24 / 42

Podstata metody, závěry


• Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými histogramy (neparametrickými omezenými rozděleními).

• Pravděpodobnost poruchy Pf je získána analýzou funkce spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function)s využitím simulační techniky Monte Carlo.

• Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti Pf < Pd , kde Pd je návrhová pravděpodobnost daná normou,např. ČSN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí

• Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet simulačních kroků, jejichž počet je závislý zejména na počtu náhodných veličin

• Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní

25 / 42

Kombinace zatížení

Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech

26 / 42

Kombinace zatížení


27 / 42Ukázky posudku spolehlivosti na vybraných příkladech

Příklad 1

WIN=70kN

D=80kN

L=293,5kN

S=80kN

SN=40kN

Funkce spolehlivosti

Účinek zatížení

Odolnost konstrukce

S = NSd =80.DL + 293,5.LL ++ 80.SL + 70.WIN + 40.SN

R = NRd = Anom . Avar . fy

Statické schéma táhla

RF = ( R – S ) Ocelovýprofil IPE

28 / 42

Výpočet metodou SBRA, program AntHill

Pf = 0,0000039 < Pd = 0,0000080táhlo vyhoví – úroveň spolehlivosti zvýšená



Příklad 2 – Mezní stav únosnosti

S =45kN2S =45kN1

L =75kN1

D=5kN/m'

Funkce spolehlivosti : RF = ( R – S )

S ... účinek zatížení (ohybový moment)R ... odolnost konstrukceS = D.DL.L2/8 + L1.LL.L/4 + S1.SL.L/3R = Wnom . Wvar . fy


Příklad 3 – Mezní stav použitelnosti

S =45kN2S =45kN1

L =75kN1

D=5kN/m'

S ... účinek zatížení (průhyb)R ... odolnost konstrukceS = (5.D.DL.L4/384 + L1.LL. L3/48 +

+ 0.0355.S1.SL.L3)/(210000. Inom.Ivar)

R = L / 350

Funkce spolehlivosti : RF = ( R – S )


Posouzení spolehlivosti konstrukce

AN

±=σ

AfNN yRdSd .=≤



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±±±=

z

z

y

y

WM

WM

ANσ







var,var,var zz

z

yy

y

hWWM

hWWM

hAANS

∗±

∗±

∗=

N = - ( 1,35.D.hD + 1,5.( L1.hL1 + SN.hSn + WINx.hW + Sx.hS + L2x.hL2 )) [kN]

My = b . 1,5 . ( Sz.hS - L2z.hL2 + WINz.hW ) [kNm]

Mz = b . 1,5 . ( Sy.hS - L2y.hL2 ) [kNm]

Funkce spolehlivosti : RF = ( R - S )

S ... účinek zatížení

kde

36 / 42

S(t)

R(t)

čas t

Závislost R a S na čase t


Posouzení životnosti konstrukce


Výpočet doby bezpečného provozu nosníku

38 / 42

RF = {MR(t) – MS(t)} kdeMS (t) = = 1/8×(DL×DLvar)×L2 + 1/4×(LL×LLvar)×L + 1/3×(SL×SLvar)×L

a MR(t) = (As×As,var) × fy × z [kN.m]:


Křivky trvání účinků zatížení

39 / 42

MS(t) [kN.m] 0 až 50 let


Účinek zatížení


Odolnost konstrukce

MR(t) [kN.m] 0 až 50 let

41 / 42

0,0

Bezpečné

Porucha


MR(t) [kN.m] 0 až 50 let


42 / 42

Pravděpodobnost Pf = 0,00005 , t = 30 let

M R- M S

= 0



Documents

Téma 2 - vsb.czfast10.vsb.cz/krejsa/studium/sbs_tema2.pdf · 1 = Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoňo dva řády. Pro