Embed Size (px)
Citation preview
Titulo : “Simulacion Dinamica de los Trasformadores”
Autor : Dianelis Aberu Almeida
Tutor: Ing . Arian Ramos Martinez
Santa Clara
2010
“Ano 52 de al Revolucion ”
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Electroenergética
TRABAJO DE DIPLOMA
Título: Simulacion Dinamica de Transformadores
Autor: Dianelis Abreu Alemida
E-mail: [email protected]
Tutor: Ing .Arian Ramos Martinez
E-mail: [email protected]
Dpto. de Eléctroenergética
Facultad de Ing. Eléctrica. UCLV.
Santa Clara
2010 "Año 52 de la Revolución"
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Eléctrica autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.
__________________
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
_____________________ _____________________ Firma del Tutor Firma del Jefe de Dpto
donde se defiende el trabajo
_____________________ Firma del Responsable de
Información Científico-Técnica
Pensamiento
“Nuestra recompensa se encuentra en el esfuerzo y no en el resultado .Un esfuerzo total es una victoria completa.”
Mahatma Gandhi
Dedicatoria
Este Trabajo de diploma pone fin a seis años de estudio y sacrificio en la especilidad Ingenieria Electrica y va dedicado especilmente a mis padres , por el
amor y apoyo que siempre me han brindado
Agradecimiento
A mis padre y familia , a mi tutor por su apoyo incondicional en la elaboracion del trabajo, a todos los profesores por ensennarme de una forma a ser un buen
profesional , al Cento de Capacitacion de Etecsa , a todos mis amigos que de una forma u otra han colaborado , a todos ustedes
Muchas Gracias
Tarea Técnica.
Trabajo de diploma: Título a desarrollar por el diplomante: “Simulación
dinámica de transformadores”.
1. Búsqueda, organización y análisis de la información sobre modelos
dinámicos con énfasis en transformadores.
2. Implementación de modelos dinámicos de transformadores, para
diferentes estados de operación, empleando las herramientas
disponibles en el Simulink del Matlab.
3. Búsqueda de parámetros reales de diferentes transformadores y
efectuar simulaciones de los ficheros confeccionados con dichos
parámetros.
4. Escritura del Trabajo.
Resumen
Este trabajo aborda la teoría y aspectos generales de los transformadores. Su
objetivo general es la confección e implementación de diferentes modelos
dinámicos en el Simulink, que no es más que un paquete de programas, para
realizar análisis virtuales en MATLAB, capaces de simular los diferentes estados
de operación de los transformadores, para contribuir a ampliar el material docente
e investigativo utilizado por los estudiantes de 3er año de la carrera de Ingeniería
Eléctrica y como apoyo a la disciplina de Máquinas Eléctricas en el nuevo plan de
estudio.
Indice .
Introducción...........................................................................................................
Capitulo 1. Transformadores
Monofásicos…………………………………………………..
I.1Introducción……………………………………………………………………………
1.2. Constitución y clasificación………………………………………………………..
1.3. El transformador ideal……………………………………………………………..
1.4. El transformador real………………………………………………………………
1.4.1 La relación de tensión a través de un transformador………………………...
1.4.2 Corriente de magnetización…………………………………………………….
1.5. Circuitos equivalentes………………………………………………………………
1.6. Transformadores trifásicos……………………………………………………….
1.6.1 Introducción………………………………………………………………………
1.6.2 Constitución………………………………………………………………………
1.6.3 Grupos de conexión…………………………………………………………….
1.6.4 Trabajo en paralelo…………………………………………………………….
1.6.5 Transformadores de protección, de medida y autotransformadores………
Capitulo 2………………………………………………………………………………..
2.1. Introducción………………………………………………………………………..
2.2. Transformador ideal………………………………………………………………
2.3. Modelo de un transformador de dos devanados……………………………….
2.3.1 Ecuaciones del flujo magnético…………………………………………………..
2.4. Modelo del transformador de dos devanados……………………………………
2.5. Ecuación de voltaje………………………………………………………………….
2.6. Representación del cirquito equivalente…………………………………………
2.7. Simulación de un transformador de dos devanados……………………………
2.8. Condiciones terminales…………………………………………………………….
2.9. Representación del cirquito equivalente………………………………………….
2.10. Simulación de un transformador de dos devanados…………………………...
2.11. Condiciones terminales……………………………………………………………
2.12. Incorporación de la saturación magnética en la simulación…………………..
2.13. Conexiones trifásicas……………………………………………………………...
2.13.1. Conexión estrella – estrella…………………………………………………….
2.13.2. Conexión delta - estrella………………………………………………………..
Introducción
Con los cambios de planes de estudios, los hoars clases presenciales en la ahora
llamada signatura transformadores se reducen, dando al estudiante más horas de
estudio individual. En la actualidad la disciplina de Máquinas Eléctricas cuenta con
muy poco material docente para realizar análisis virtuales en MATLAB, es por esto
que desde el curso pasado se viene trabajando en la confección de modelos
dinámico de las diferentes máquinas eléctricas. Por estas razones nos planteamos
la siguiente situación problémica: ¿Cómo contribuir a ampliar el material docente
utilizado por los estudiantes de 3er año de la carrera de Ingeniería Eléctrica en los
temas de transformadores con la confección de diferentes modelos dinámicos en
MATLAB?
Para dar respuesta a este problema de investigación se lleva a cabo este trabajo
de diploma que tiene como objetivo general el siguiente:
Confeccionar en MATLAB diferentes modelos dinámicos capaces de simular los
diferentes estados de operación de transformadores.
Para cumplir dicho objetivo general se definió un conjunto de objetivos específicos,
estos son:
1. Búsqueda, organización y análisis de la información sobre modelos
dinámicos con énfasis en los transformadores.
2. Autopreparación en MATLAB y en especial el SimPower System Tool Box
del Simulink.
3. Implementación de modelos dinámicos de transformadores, para diferentes
estados de operación, empleando las herramientas disponibles en el
MATLAB Simulink.
4. Búsqueda de parámetros reales de diferentes tipos de transformadores y
efectuar simulaciones de los ficheros confeccionados con dichos
parámetros.
5. Escritura del Trabajo.
En general el trabajo consistió en confeccionar en MATLAB de cuatro proyectos,
los cuales brindan la posibilidad de hacer un análisis dinámico de los
transformadores, bajo diferentes estados de operación. El proyecto uno permite el
análisis de las condiciones de operación de un transformador monofásico en
cortocircuito, circuito abierto y con carga RL conectada; el segundo permite
realizar un análisis utilizando la transformada de Fourier de la corriente de
arranque (Inrush Current), el tercero la operación de los autotransformadores y el
cuarto la operación de los transformadores trifásicos.
La estructura establecida para este informe de trabajo de diploma consta de tres
secciones fundamentales: la introducción, el cuerpo del trabajo y la conclusiva.
La sección introductoria abarca la terea técnica, el resumen y la introducción del
trabajo.
El cuerpo del trabajo se dividió en tres capítulos que dan respuesta a los objetivos
específicos el capítulo una aborda los aspectos teóricos fundamentales de
transformadores, sus características constructivas y ecuaciones fundamentales.
En el capítulo dos se da una descripción del procedimiento seguido para la
confección de los proyectos y de las características de éstos, también se brinda
una guía de cómo trabajar con los proyectos y los resultados que se pueden
obtener. El capítulo tres muestra diferentes resultados obtenidos de las
simulaciones realizadas con uno de los proyectos, se presentan las principales
características que brinda y otras que pueden ser obtenidas si se desean.
La sección conclusiva contiene las conclusiones, recomendaciones y la
bibliografía.
Para analizar las temáticas abordadas en este trabajo se consultaron diferentes
fuentes documentales lo que posibilitó una mejor comprensión de la temática y
con ello un esclarecimiento de la estrategia a seguir. El análisis teórico de los
transformadores y su operación en diferentes estados de trabajo se desarrollo
tomando como referencia los textos: An Introduction To Electrical Machines ans
Transformers de George McPherson y Direct-current Machinery de Charles S.
Siskind. La confección de los programas en MATLAB y de los ficheros en Simulink
se efectúa a partir de lo planteado en Dinamic Simulation of Electric Machinery de
Chee-Mun Ong. Otros aspectos se toman de diversos artículos y textos que
aparecen referenciados en el cuerpo del trabajo.
Capítulo 1. Revisión bibliográfica
1. Transformadores Monofásicos
I.1Introducción
Los transformadores son dispositivos que se encarga de transformar la tensión de
corriente alterna que tiene a la entrada en otra diferente a la salida.
Este dispositivo se compone de un núcleo de material ferromagnético sobre el cual
se han arrollado varias espiras (vueltas) de alambre conductor. Este conjunto de
vueltas se llaman bobinas y se denominarán: primario a la que recibe la tensión de
entrada y secundario a aquella que dona la tensión transformada.
Figura 1.1.Estructura de un transformador
El devanado primario recibe una tensión alterna que hará circular, por ella, una
corriente alterna. Esta corriente tiene asociado a ella un flujo magnético el cual
cierra sus líneas a través del núcleo ferromagnético. Como el devanado
secundario está arrollado sobre el mismo núcleo, el flujo magnético circulará a
través de las espiras de éste. Al haber un flujo magnético que atraviesa las espiras
del secundario se inducirá en él una tensión. Habría corriente si hubiera una carga
(si el secundario estuviera conectado a una resistencia, por ejemplo). La razón de
la transformación de tensión entre el devanado primario y el secundario depende
del número de vueltas que tenga cada uno.
La relación de transformación es de la forma:
2
1
2
1
VV
NN
= [1.1]
Donde:
N1: Número de vueltas del devanado primario.
N2: Número de vueltas del devanado secundario.
V1: Voltaje nominal del devanado primario.
V2: Voltaje nominal del devanado
Entonces:
1
212 N
NVV ⋅= [1.2]
Un transformador puede ser elevador o reductor, dependiendo del número de
vueltas de cada devanado.
Si se supone que el transformador es ideal (la potencia que se le entrega es igual
a la que se obtiene de él, se desprecian las pérdidas por calor y otras), entonces:
Potencia de entrada (P1) = Potencia de salida (P2).
P1 = P2
Aplicando este concepto al transformador y se deduce que la única manera de
mantener la misma potencia en los dos devanados es que cuando la tensión se
eleve la intensidad disminuya en la misma proporción y viceversa. Entonces:
1
2
2
1
II
NN
= [1.3]
Siendo:
I1: Corriente por el devanado primario.
I2: Corriente por el devanado secundario.
Así, para conocer la corriente en el secundario cuando se conocen: la corriente
por primario, se puede utilizar la fórmula siguiente:
2
112 N
INI ⋅= [1.4]
1.2. Constitución y clasificación
Durante el transporte de la energía eléctrica se originan pérdidas que dependen
de su intensidad. Para reducir estas pérdidas se utilizan tensiones elevadas, con
las que, para la misma potencia, resultan menores intensidades. Por otra parte es
necesario que en el lugar donde se aplica la energía eléctrica, la distribución se
efectúe a tensiones más bajas y además se adapten las tensiones de distribución
a los diversos casos de aplicación.
La ventaja que tiene la corriente alterna frente a la continua radica en que la
corriente alterna se puede transformar con facilidad. La utilización de corriente
continua queda limitada a ciertas aplicaciones, por ejemplo, para la regulación de
motores. Sin embargo, la corriente continua adquiere en los últimos tiempos una
significación creciente, por ejemplo para el transporte de energía a tensiones muy
altas.
Para transportar energía eléctrica de sistemas que trabajan a una tensión dada a
sistemas que lo hacen a una tensión deseada se utilizan los transformadores. A
este proceso de cambio de tensión se le llama transformación.
El transformador es un dispositivo que convierte energía eléctrica de un cierto
nivel de voltaje, en energía eléctrica de otro nivel de voltaje, por medio de la
acción de un campo magnético. Esta constituido por dos o más bobinas de
alambre, aisladas entre si eléctricamente por lo general y arrolladas alrededor de
un mismo núcleo de material ferromagnético. El devanado que recibe la energía
eléctrica se denomina devanado primario, con independencia si se trata de mayor
tensión (alta tensión) o menor tensión (baja tensión). El devanado del que se toma
la energía eléctrica a la tensión transformada se denomina devanado secundario.
En concordancia con ello, los lados del transformador se denominan lado de
entrada y lado de salida.
Los devanados primario y secundario se envuelven la misma columna del núcleo
ferromagnético. El núcleo se construye de de material ferromagnético porque tiene
una gran permeabilidad, o sea, conduce muy bien el flujo magnético.
En un transformador, el núcleo tiene dos misiones fundamentales:
• Desde el punto de vista eléctrico, y esta es su misión principal, es la vía por
que discurre el flujo magnético. A través de las partes de la culata conduce
el flujo magnético siguiendo un circuito prescrito, de una columna a otra.
• Desde el punto de vista mecánico es el soporte de los devanados que en él
se apoyan.
Para generar el flujo magnético, es decir, para magnetizar el núcleo de hierro hay
que gastar energía eléctrica. Dicha energía eléctrica se toma del devanado
primario.
El constante cambio de magnetización del núcleo de hierro origina pérdidas. Estas
pérdidas pueden minimizarse eligiendo tipos de chapa con un bajo coeficiente de
pérdidas.
Además, como el campo magnético varía respecto al tiempo, en el hierro se
originan tensiones que dan origen a corrientes parásitas, también llamadas de
Foucault. Estas corrientes, asociadas a la resistencia óhmica del hierro, motivan
pérdidas que pueden reducirse empleando chapas especialmente finas aisladas
entre sí (apiladas).
El factor de apilamiento se halla comprendido entre 0,95 y 0,9 para espesores de
láminas comprendidos 0,63 a 0,35 mm. Para láminas más delgadas, de entre
0,025 a 0,12 mm de espesor, debido a la mayor dificultad existente de sujetar
láminas y reducir las rebabas ya que la capa aislante es proporcionalmente más
gruesa, el factor de apilamiento se halla comprendido entre 0,4 y 0,75, pudiendo
mejorarse mediante procedimiento de fabricación especiales.
En cambio, en un núcleo de hierro macizo se producirían pérdidas por corrientes
parásitas excesivamente grandes que motivarían altas temperaturas.
Los transformadores pueden ser clasificados de diferentes formas, una muestra de
ello puede verse en la tabla siguiente:
Tabla I.1 Clasificación de transformadores
Según funcionalidad Transformadores de potencia
Transformadores de comunicaciones
Transformadores de medida
Por los sistemas de tensiones
Monofásicos
Trifásicos
Trifásicos-exafásicos
Trifásicos-dodecafásicos
Trifásicos-monofásicos
Según tensión secundario Elevadores
Reductores
Según medio Interior
Intemperie
Según elemento refrigerante En seco
En baño de aceite
Con pyraleno
Según refrigeración Natural
Forzada
1.3. El transformador ideal
Un transformador ideal es una
máquina sin pérdidas, con una
bobina de entrada y una bobina
de salida. Las relaciones entre
las tensiones de entrada y de
salida, y entre la intensidad de
entrada y de salida, se establece
mediante dos ecuaciones
sencillas. La figura I.2 muestra un
transformador ideal.
El transformador tiene N1 vueltas de alambre sobre su lado primario y N2 de
vueltas de alambre en su lado secundario. La relación entre voltaje primario V1
aplicada al lado primario del transformador y el voltaje V2 inducido sobre su lado
secundario es:
aNN
VV
==2
1
2
1 [1.5]
En donde a se define como la relación de transformación del transformador.
La relación entre la corriente que fluye en el lado primario del transformador y la
corriente que fluye hacia fuera del lado secundario del transformador es:
2211 ININ ⋅=⋅ [1.6]
aII 1
2
1 =
Figura I.2. Esquema de un transformador ideal
El ángulo de fase del voltaje de alimentación es el mismo que el ángulo del voltaje
de salida y el ángulo de fase de la corriente que consume el transformador es el
mismo que el ángulo de fase de la corriente por secundario. La relación de espiras
del transformador ideal afecta las magnitudes de las tensiones e intensidades,
pero no sus ángulos.
Las ecuaciones anteriores describen la relación entre las magnitudes y los ángulos
de las tensiones y las intensidades sobre los lados primarios y secundarios del
transformador, pero dejan una pregunta sin respuesta: dado que la tensión del
circuito primario es positiva en un extremo específico de la espira, ¿cuál sería la
polaridad de la tensión del circuito secundario? En los transformadores reales
sería posible decir la polaridad secundaria, solo si el transformador estuviera
abierto y sus bobinas examinadas. Para evitar esto, los transformadores usan la
convección de puntos. Los puntos que aparecen en un extremo de cada bobina
muestran la polaridad de la tensión y la corriente sobre el lado secundario del
transformador. La relación es como sigue:
Si la tensión primaria es positiva en el extremo punteado de la bobina con
respecto al extremo no punteado, entonces el voltaje secundario será también
positivo en el extremo punteado. Las polaridades de tensión son las mismas con
respecto al punteado en cada lado del núcleo. Si la intensidad primaria del
transformador fluye hacia dentro del extremo punteado de la bobina primaria, la
corriente secundaria fluirá hacia fuera del extremo punteado de la bobina
secundaria.
La potencia suministrada al transformador por el circuito primario se expresa por
medio de la ecuación
Pent = V1 * I1 * cos ϕ [1.7]
La potencia que el circuito secundario suministra a sus cargas se establece por la
ecuación:
Psal = V2 * I2 * cos ϕ [1.8]
Puesto que los ángulos entre la tensión y la intensidad no se afectan en un
transformador ideal, las bobinas primaria y secundaria de un transformador ideal
tienen el mismo factor de potencia.
La potencia de salida de un transformador ideal es igual a su potencia de entrada.
La misma relación se aplica a la potencia reactiva y la potencia aparente S
Qent = V1 *I1 *sen ϕ = V2 *I2 *sen ϕ = Qsal [1.9]
Sent = V1 *I1 = V1 *I1 = Ssal [1.10]
La impedancia de un elemento se define como la relación fasorial entre la tensión
y la intensidad que lo atraviesan:
ZL = VL / IL [1.11]
Una de las propiedades interesantes de un transformador es que puesto que
cambia los niveles de tensión o intensidad, también cambia la relación entre la
tensión y la intensidad y, por consiguiente, la impedancia aparente de un
elemento.
1.4. El transformador real
Para entender el funcionamiento de un transformador real, refirámonos a la
figura (I.4.) Esta nos muestra un transformador que consiste en dos bobinas
de alambre enrolladas alrededor de un núcleo del transformador. La bobina
primaria del transformador está conectada a una fuente de tensión de
corriente alterna y la bobina secundaria está en circuito abierto. Figura I.3.
Transformador ideal
Figura I.4. Circuito del transformador ideal
La base del funcionamiento del transformador se puede derivar de la ley de
Faraday:
dtde φ
= [1.12]
En donde φ es el flujo magnético ligado de la bobina, a través de la cual se induce
la tensión. El flujo ligado total es la suma de los flujos que pasan por cada vuelta
de la bobina, sumando tantas veces cuantas vueltas tenga dicha bobina.
El flujo magnético total que pasa por entre una bobina no es sólo Nf , en donde N
es el número de espiras en la bobina, puesto que el flujo que pasa por entre cada
espira es ligeramente diferente del flujo en las otras vueltas, y depende de la
posición de cada una de ellas en la bobina.
Sin embargo, es posible definir un flujo promedio por espira en la bobina. Si el flujo
magnético total de todas las espiras es l y si hay N espiras, entonces el flujo
promedio por espira se establece por
f = l / N
Figura I.5 Curva de histéresis del transformador
1.4.1 La relación de tensión a través de un transformador
Si la tensión de la fuente es alterna, entonces esa tensión se aplica directamente a
través de las espiras de la bobina primaria del transformador. ¿Cómo reaccionará
el transformador a la aplicación de esta tensión? La ley de Faraday nos explica
que es lo que pasará. Cuando la ecuación anterior se resuelve para el flujo
promedio presente en la bobina primaria del transformador, el resultado es:
f = (1/N1) ò v1(t) dt
Esta ecuación establece que el flujo promedio en la bobina es proporcional a la
integral de la tensión aplicada a la bobina y la constante de proporcionalidad es la
recíproca del número de espiras en la bobina primaria 1/NP.
Este flujo está presente en la bobina primaria del transformador. ¿Qué efecto tiene
este flujo sobre la bobina secundaria? El efecto depende de cuánto del flujo
alcanza a la bobina secundaria; algunas de las líneas del flujo dejan el hierro del
núcleo y más bien pasan a través del aire. La porción del flujo que va a través de
una de las bobinas, pero no de la otra se llama flujo de dispersión. El flujo en la
bobina primaria del transformador, puede así, dividirse en dos componentes: un
flujo mutuo, que permanece en el núcleo y conecta las dos bobinas y un pequeño
flujo de dispersión, que pasa a través de la bobina primaria pero regresa a través
del aire, desviándose de la bobina secundaria.
11 dispM φφφ += [1.13]
donde:
Φ1: Flujo promedio total del primario.
ΦM: Componente del flujo que concatena con las bobinas primaria y secundaria.
Φdisp2: Flujo de dispersión del devanado primario
Hay una división similar del flujo en la bobina secundaria entre el flujo mutuo y el
flujo de dispersión que pasa a través de la bobina secundaria pero regresa a
través del aire, desviándose de la bobina primaria:
22 dispM φφφ += [1.14]
donde:
Φ2: Flujo promedio total del devanado secundario.
ΦM: Componente del flujo que concatena con las bobinas primaria y secundaria.
Φdisp2: Flujo de dispersión del secundario.
Con la división del flujo primario promedio entre los componentes mutuos y de
dispersión, la ley de Faraday para el circuito primario puede ser reformulada como:
dtd
Ndt
dNdtdNtV dispM 1
111
11 )(φφφ
+== [1.15]
El primer término de esta expresión puede denominarse e1(t) y el segundo edisp1(t).
Si esto se hace, entonces la ecuación anterior se puede escribir así:
vP (t) = eP (t) + eLP (t)
La tensión sobre la bobina secundaria del transformador, puede expresarse
también en términos de la ley de Faraday como:
dtd
Ndt
dNdt
dNtV dispM 222
222 )(
φφφ+== [1.16]
La tensión primaria, debido al flujo mutuo, se establece por:
dtd
Nte Mφ11 )( = [1.17]
y la secundaria debido al flujo mutuo por:
dtdNte Mφ
22 )( = [1.18]
Obsérvese de estas dos relaciones que:
2
2
1
1 )()(N
tedt
dN
te M ==φ [1.19]
Por consiguiente,
aNN
tete
==2
1
2
1
)()( [1.20]
Esta ecuación significa que la relación entre la tensión primaria, causada por el
flujo mutuo, y la tensión secundaria, causada también por el flujo mutuo, es igual a
la relación de espiras del transformador. Puesto que en un transformador bien
diseñado ΦM » Φdisp, la relación de tensión total en el primario y la tensión total en
el secundario es aproximadamente:
aNN
tVtV
=≈2
1
2
1
)()( [1.21]
Cuanto más pequeños son los flujos dispersos del transformador, tanto más se
aproxima la relación de su tensión total al transformador ideal.
1.4.2 Corriente de magnetización
Cuando una fuente de potencia de corriente alterna se conecta a un transformador
fluye una corriente en su circuito primario, aun cuando su circuito secundario esté
en circuito abierto. Esta corriente es la corriente necesaria para producir un flujo
en el núcleo ferromagnético real y consta de dos componentes:
1. La corriente de magnetización IΦ, que es la corriente necesaria para
producir el flujo en el núcleo del transformador.
2. La corriente de pérdidas en el núcleo Ih+e, que es la corriente necesaria para
compensar las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas.
La corriente de magnetización en el transformador no es sinusoidal. Los
componentes de más alta frecuencia en la corriente de magnetización se deben a
la saturación magnética en el núcleo del transformador.
Una vez que la intensidad máxima de flujo alcanza el punto de saturación en el
núcleo, un pequeño aumento en la intensidad pico de flujo requiere un aumento
muy grande en la corriente de magnetización máxima.
La componente fundamental de la corriente de magnetización retrasa la tensión
aplicada al núcleo en 90°.
Los componentes de más alta frecuencia en la corriente de magnetización pueden
ser más bien grandes, comparados con la componente fundamental. En general,
cuanto más se impulse un núcleo de transformador hacia la saturación, tanto más
grandes se volverán los componentes armónicos.
La otra componente de la corriente en vacío en el transformador es la corriente
necesaria para producir la potencia que compense las pérdidas por histéresis y
corrientes parásitas en el núcleo. Esta es la corriente de pérdidas en el núcleo.
Supongamos que el flujo en el núcleo es sinusoidal. Puesto que las corrientes
parásitas en el núcleo son proporcionales a dΦ /dt, las corrientes parásitas son las
más grandes cuando el flujo en el núcleo está pasando a través de 0 Wb. La
pérdida por histéresis es no lineal en alto grado, pero también es la más grande
mientras el flujo en el núcleo pasa por 0.
La corriente total en vacío, en el núcleo, se llama la corriente de excitación del
transformador. Es, simplemente, la suma de la corriente de magnetización y la
corriente por pérdidas en el núcleo.
Iexc = IΦ + Ih+e [1.22]
1.5. Circuitos equivalentes
Las pérdidas que ocurren en los transformadores reales tienen que explicarse en
cualquier modelo fiable de comportamiento de transformadores:
1. Pérdidas en el cobre. Las pérdidas en el cobre son pérdidas en las
resistencias de los devanados primario y secundario del transformador. Son
proporcionales al cuadrado de la corriente que circula por dichos
devanados.
2. Pérdidas debido a la circulación de corrientes parásitas. Las pérdidas por
corrientes parásitas son pérdidas por resistencia en el núcleo del
transformador. Son proporcionales al cuadrado de la tensión aplicada al
transformador.
3. Pérdidas por histéresis. Las pérdidas por histéresis están asociadas a los
reacomodamientos de los dominios magnéticos en el núcleo durante cada
medio ciclo. Ellos son una función compleja, no lineal, de la tensión
aplicada al transformador.
Es posible construir un circuito equivalente que tenga en cuenta todas las
imperfecciones principales de los transformadores reales. Cada imperfección
principal se considera a su turno y su efecto se incluye en el modelo del
transformador.
Aunque es posible construir un modelo exacto de un transformador, no es de
mucha utilidad. Para analizar circuitos prácticos que contengan transformadores,
normalmente es necesario convertir el circuito entero en un circuito equivalente,
con un nivel de tensión único. Por tanto, el circuito equivalente se debe referir,
bien a su lado primario o bien al secundario en la solución de problemas. La figura
(I.6.) muestra el circuito equivalente del transformador referido a su lado primario.
Figura I.6. Circuito Equivalente referido a primario
Los modelos de transformadores, a menudo, son más complejos de lo necesario
con el objeto de lograr buenos resultados en aplicaciones prácticas de ingeniería.
Una de las principales quejas sobre ellos es que la rama de magnetización de los
modelos añade otro nodo al circuito que se esté analizando, haciendo la solución
del circuito más compleja de lo necesario. La rama de magnetización tiene muy
poca corriente en comparación con la corriente de carga de los transformadores.
De hecho, es tan pequeña que bajo circunstancias normales causa una caída
completamente desechable de tensión en RC y Xm.
Como esto es cierto, se puede confeccionar un circuito equivalente simplificado y
funciona casi tan bien como el modelo original. La rama de magnetización
simplemente se mueve hacia la entrada del transformador y las impedancias
primaria y secundaria se dejan en serie entre sí. Estas impedancias se adicionan,
creando los circuitos equivalentes aproximados, como se ve en las siguientes
figuras (I.7.) (a) y (b).
En algunas aplicaciones, la rama de excitación puede desecharse totalmente sin
causar ningún error serio. En estos casos, el circuito equivalente del transformador
se reduce a los circuitos sencillos de las figuras (I.8.) (c) y (d)
Figura I.7 Circuitos Equivalentes aproximados
Figura I.8 Circuito equivalente simplificados
1.6. Transformadores trifásicos
1.6.1. Introducción
Casi todos los sistemas importantes de generación y distribución de potencia del
mundo son, hoy en día, sistemas de corriente alterna trifásicos. Puesto que los
sistemas trifásicos desempeñan un papel tan importante en la vida moderna, es
necesario entender la forma como los transformadores se utilizan en ella.
Los transformadores para circuitos trifásicos pueden construirse de dos maneras.
Estas son:
• Tomando tres transformadores monofásicos y conectándolos en un grupo
trifásico.
• Haciendo un transformador trifásico que consiste en tres juegos de
devanados enrollados sobre un núcleo común
Para el análisis de su circuito equivalente, conviene representar cada uno de los
transformadores monofásicos que componen un banco trifásico por un circuito
equivalente. Como los efectos de las capacidades de los devanados y de los
armónicos de las corrientes de excitación suelen ser despreciables, podrá
utilizarse cualquiera de los circuitos equivalentes deducidos para el caso de los
monofásicos.
En ellos, el transformador esta representado, como en el teorema de Thévenin,
por su impedancia en cortocircuito en serie con su tensión en circuito abierto; la
razón de las tensiones en circuito abierto está representada por un transformador
ideal; y las características de excitación están representadas por la admitancia en
circuito abierto.
Los valores de los parámetros pueden obtenerse a partir de los datos de diseño o
ensayos en circuito abierto o en cortocircuito tomados a uno u otro lado del
transformador, y estos valores se pueden emplear, sin modificación, o en el
circuito equivalente de la figura (I.9.) a (en el cual se coloca la admitancia de
excitación en el lado primario) o en el circuito equivalente de la figura (I.9.) b (en el
cual se coloca la admitancia de excitación en el lado del secundario) En muchos
problemas, los efectos de la corriente de excitación son tan pequeños que puede
despreciarse por completo la corriente de excitación y representarse el
transformador por su impedancia equivalente en serie con un transformador ideal.
Si se quiere, las impedancias equivalentes y admitancias de excitación se puede
referir al otro lado del transformador multiplicando o dividiendo, según sea el caso,
por el cuadrado de la razón de transformación.
El circuito equivalente de un banco trifásico de transformadores puede trazarse
conectando los circuitos equivalentes de las unidades de acuerdo con las
conexiones del banco. Por ejemplo, en la figura a puede verse el circuito
equivalente de un banco estrella-estrella y en la figura b un circuito equivalente de
un banco triángulo. Las Y representan las admitancias en circuito abierto o de
excitación y las Z las impedancias en cortocircuitos o equivalentes.
Figura I.9 Circuitos Equivalentes de un banco trifásico
1.6.2 Constitución Al tratar del transformador trifásico suponemos que sus devanados, tanto de alta
como de baja tensión, se hallan conectados en estrella. Según la aplicación a que
se destine un transformador, deben considerarse las posibilidades de establecer
otras conexiones distintas, las cuales ofrecen sobre todo especial interés desde el
punto de vista del acoplamiento en paralelo con otros transformadores.
1.6.3 Grupos de conexión Las combinaciones básicas que han de ser tenidas en cuenta por lo que se refiere
a sus particularidades para los acoplamientos en paralelo, forman esencialmente
cuatro grupos. Cada grupo se caracteriza en particular por el desfase que el
método de conexión introduce entre la f.e.m. primaria y las homólogas
secundarias.
Tabla 2. Grupos de conexiones normalizados para transformadores de potencia
trifásicos
Nº Grupo Símbolo Conexionado
Primario Secundario Primario Secundario
0
Dd0
Yy0
Dz0
5
Dy5
Yd5
Yz5
6 Dd6
Yy6
Dz6
11
Dy11
Yd11
Yz11
En la tabla se detallan los grupos de conexiones normalizados para
transformadores de potencia trifásicos. Debe tenerse en cuenta que el esquema
de conexionado es válido solamente en el caso que los devanados tengan el
mismo sentido de arrollamiento.
1.6.4 Trabajo en paralelo El funcionamiento en paralelo de dos o más transformadores se produce cuando
ambos se hallan unidos por sus devanados primarios y por los secundarios.
Prácticamente, es necesario distinguir el caso de que esta unión sea
inmediatamente directa sobre unas mismas barras ómnibus o bien que se efectúe
a través de largas líneas en la red de distribución: la condición sobre la igualdad
de las tensiones de cortocircuito tiene importancia solamente en el primer caso, ya
que los conductores intermedios existentes en el caso de una red tienden a
regularizar la distribución de la carga de los transformadores.
Los transformadores pueden acoplarse en paralelo por sus secundarios, por los
primarios o bien por los primarios y secundarios a la vez. Cuando la instalación lo
permita, en las centrales por ejemplo, es preferible adoptar la primera solución,
que añade la impedancia interna de los transformadores la de los generadores,
siempre considerable, y la repartición de la carga en proporción debida entre los
distintos grupos es más fácil de obtener. La teoría de la marcha en paralelo forma
parte en este caso, del estudio de conjunto de las centrales eléctricas, por lo que
nos ceñiremos a considerar el acoplamiento de los transformadores realizados
simultáneamente por ambos lados de la conexión primario y secundario. Es claro
que la frecuencia, una de las características esenciales de la instalación, será con
ello sin más, rigurosamente la misma para todos los transformadores acoplados.
Las restantes condiciones que han de cumplirse para que el funcionamiento sea
posible y se realice de modo práctico, son las siguientes:
1.-Los desfases secundarios respecto al primario han de ser iguales para los
transformadores que hayan de acoplarse en paralelo.
2.- El sentido de rotación de las fases secundarias ha de ser el mismo en todos
ellos.
3.- Las relaciones entre las tensiones de líneas han de ser idénticas.
4.- Las caídas de impedancia para las tensiones de cortocircuito, deben tener los
mismos valores relativos para todos los transformadores, siendo preferible
además que esta igualdad se cumpla por separado para las caídas óhmicas y las
f.e.m.s. de reactancia.
Las dos primeras condiciones son eliminatorias, de no satisfacerse, el
acoplamiento es imposible. Las dos últimas son necesarias para la buena marcha
de la instalación.
1.6.5 Transformadores de protección, de medida y autotransformadores
Los transformadores de medida, tan ampliamente empleados en la técnica de las
medidas eléctricas, satisfacen la necesidad primordial de aislar de los circuitos de
alta tensión los aparatos o instrumentos de trabajo, que así podrán funcionar
únicamente a tensiones reducidas. Los transformadores de tensión convierten
generalmente el voltaje de alta a 100 V en el secundario (algunas veces, a 110).
Los de intensidad separan también el circuito de medida del de alta tensión. Al
mismo tiempo, estos últimos transformadores reducen la corriente del circuito
primario al valor normal de 5 A, raras veces a 1 A, en el circuito secundario, lo que
viene a darles importancia incluso en las instalaciones de baja tensión,
particularmente cuando no es posible colocar el amperímetro en el lugar por
donde pasan los conductores principales, sino que ha de situarse a distancia de
ellos. También permiten los transformadores de intensidad hacer uso de un mismo
aparato de medida en circuitos distintos, como sucede especialmente en los
laboratorios.
En cuanto a la construcción, los transformadores de medida constituyen un
conjunto especialmente sencillo y compacto, estando montados los bobinados
sobre una sola columna - primario y secundario juntos. En los de intensidad, las
chapas se cortan a menudo de una sola pieza, sin ninguna junta magnética (a fin
de reducir la corriente de excitación, causa de error en las mediciones), y las
bobinas se enrollan entonces con el auxilio de máquinas especiales.
Los autotransformadores se usan normalmente para conectar dos sistemas de
transmisión de tensiones diferentes, frecuentemente con un devanado terciario en
triángulo. De manera parecida, los autotransformadores son adecuados como
transformadores elevadores de centrales cuando sé desea alimentar dos sistemas
de transporte diferentes. En este caso el devanado terciario en triángulo es un
devanado de plena capacidad conectado al generador y los dos sistemas de
transporte se conectan al devanado, autotransformador. El autotransformador no
sólo presenta menores pérdidas que el transformador normal, sino que su menor
tamaño y peso permiten el transporte de potencias superiores.
Capítulo 2. Materiales y métodos
2.1. Introducción
Los usos principales de los transformadores eléctricos son: cambiar de la
magnitud de un voltaje de corriente alterna a otro valor de corriente alterna y
proporcionar aislamiento eléctrico entre la carga y la fuente de alimentación. Están
formados por dos o más devanados estacionarios que están magnéticamente
acoplados, a menudo pero no necesariamente, con un núcleo de alta
permeabilidad para maximizar el acoplamiento magnético. Por convención, el
devanado que se conecta a la fuente de alimentación de CA se denomina
generalmente como devanado primario y el devanado al cual se conecta la carga
se denomina devanado secundario.
Los transformadores de potencia que trabajan a bajas frecuencias, entre 25 a 400
Hz, por lo general tener núcleos de hierro para concentrar el camino del flujo que
une las bobinas; los de alta frecuencia presentan un núcleos de ferrita o aire para
evitar pérdidas excesivas núcleo. Las pérdidas por corrientes parásitas en un
núcleo de hierro se pueden reducir mediante el uso de una construcción laminada.
Para los transformadores que trabajan a 60 Hz, las láminas del núcleo tienen
típicamente un grosor de 0,014 pulgadas (0,35 mm).
2.2. Transformador ideal
Empezaremos por considerar las relaciones entre los voltajes primario y
secundario y las corrientes de un transformador ideal, el cual no tiene pérdidas de
cobre, pérdidas de núcleo y flujos de dispersión. La circulación de las corrientes en
los dos devanados produce fuerzas magneto-motrices (FMM), que a su vez
establecen los flujos que circulan por el núcleo del transformador. Si se desprecia
la reluctancia del núcleo, la fmm resultante necesaria para magnetizar el núcleo es
cero, es decir:
[2.1]
Donde:
N1: Vueltas del devanado primario.
N2: Vueltas del devanado secundario.
I1: Corriente por el devanado primario.
I2: Corriente por el devanado secundario.
Por la tanto se puede decir que:
1
2
2
1
NN
II
−= [2.2]
La relación entre las fem inducidas en los devanados primarios y secundarios es la
siguiente:
aNN
dtdNdtdN
ee
===2
1
2
1
2
1
)/()/(
φφ [2.3]
Donde:
e1: Fem inducida en el devanado primario.
e2: Fem inducida en el devanado secundario.
Φ: Flujo magnético en el núcleo del transformador.
a: Relación de transformación del transformador.
Al despreciar todas las pérdidas del transformador, se puede decir que las
pérdidas de potencia activa en el transformador ideal es cero, por lo tanto se
puede expresar lo siguiente:
221
22
2
2111 ie
NiN
NeNie −=
−= [2.4]
Para las simulaciones y los análisis de este trabajo, las variables y elementos de
unos de los lados del transformador ideal se puede referir al otro lado del
transformador para facilitar el cálculo y para obtener un circuito equivalente más
simple.
2.3. Modelo de un transformador de dos devanados
En esta sección comenzaremos derivando las ecuaciones del voltaje en los
terminales del transformador y del flujo magnético en el núcleo del transformador
de dos devanados, considerando las resistencias y los flujos de dispersión de
ambos devanados, y las pérdidas de núcleo. Más adelante, utilizaremos estas
ecuaciones para desarrollar una representación del circuito equivalente para el
transformador.
2.3.1 Ecuaciones del flujo magnético
Cuando los flujos de dispersión son considerados, el flujo total que concatena con
ambos devanados se puede dividir en dos componentes: el flujo mutuo, que es el
que concatena con ambos devanados, y el flujo de dispersión que concatena
solamente con uno de los dos devanados. En términos de estos componentes del
flujo, el flujo total que concatena con cada uno de los devanados se puede
expresar como:
11 lm Φ+Φ=Φ [2.5]
22 lm Φ+Φ=Φ [2.6]
Donde:
Φm: Flujo mutuo, es el flujo magnético que concatena con ambos devanado.
Φl1: Flujo de dispersión del devanado primario.
Φl2: Flujo de dispersión del devanado secundario.
Como en un transformador ideal, el flux mutuo es establecido por la fmm
resultante de los dos devanados, los cuales están enrollados en el mismo núcleo y
por lo tanto tienen el mismo camino magnético. Asumiendo que todas als vueltas
del devanado primario son cortadas por el flujo mutuo y por el flujo de dispersión
del devanado primario, las concatenaciones de flujo total del devanado primario
pueden ser expresadas de la manera siguiente:
)( 11111 mLNN Φ+Φ=Φ=λ [2.7]
La parte derecha de la ecuación 2.7 se pueden expresar en términos de corrientes
reemplazando el flujo mutuo y el de dispersión por sus fmms y permeancias
respectivos. El flujo de dispersión del devanado primario es creado por el propio
devanado debido a una permeancia efectiva. Y el flux mutuo es creado por la
combinación de las fmms de los devanados primario y secundario. Substituyendo
los flujos mutuos y de dispersión de la ecuación 2.7:
2211211
21221111111
12111
)())()( iPNNiPNPNPiNiNPiNNL
m
L
mlml
ml
43421444 3444 2144 344 2143421++=++=
ΦΦ
λ [2.8]
De forma similar, las concatenaciones de flujo del devanado secundario se pueden
expresar de la forma siguiente:
(22 N=λ ))(() 221122222 mlml PiNiNPiNN ++=Φ+Φ
= 1
21
212
22
222
22 )( iPNNiPNPN
L
m
L
ml 4342144 344 21++ [2.9]
Las ecuaciones de las concatenaciones de flujo resultantes para el acoplamiento
magnético de ambos devanados, expresados en términos de inductancias del
devanado se pueden expresar de la manera siguiente:
2121111 iLiL +=λ [2.10]
2221212 iLiL +=λ [2.11]
Donde:
L11: Autoinductacia del devanado primario.
L22: Autoinductacia del devanado secundario.
L12 y L21: inductancia mutua entre los devanados primario y secundario.
La autoinducción del devanado primario puede ser considerada como la suma del
flujo disperso del devanado primario y la componente de magnetización de su
propia corriente. Asumiendo el transformador en vacío, para el devanado primario
tenemos que:
mlmli PNPN
iN
iL 2
1121
1
111
1
211
)(01+=
Φ+Φ=
==λ [2.12]
Igualmente, para el devanando secundario tenemos:
mlmli PNPN
iN
iL 2
2222
2
222
2
122
)(02+=
Φ+Φ=
==λ [2.13]
En general, la saturación del núcleo afecta a los valores de las inductancias de los
devanados.
2.4. Modelo del transformador de dos devanados
El flujo mutuo total que concatena con cada devanado se puede expresar en
términos de su propia inductancia de magnetización del devanado. Por ejemplo, el
flujo total que concatena con el devanado primario, expresado en términos de su
propia inductancia de magnetización es:
)()( 2
21
2112111
2
iNNiLNN
referidai
mmmm +=Φ+Φ=Φ [2.14]
Se desprende de la expresión anterior que la corriente de magnetización
equivalente es vista desde el devanado primario, y es la suma de las corrientes de
ambos devanados.
2.5. Ecuación de voltaje
El voltaje inducido en cada devanado es igual a la velocidad de variación del flujo
que concatena con dicho. Por lo tanto, utilizando la expresión del flujo que
concatena con el devanado dada en la ecuación. 2.10, el voltaje inducido en el
devanado primario está dada por:
dcdi
Ldtdi
Ldt
de 2
121
111
1 +==λ [2.15]
El voltaje inducido en el devanado primario puede ser expresado también de la
forma siguiente:
dtiNN
Ldt
idLe m
l ))/(( 2121111+
= [2.16]
Ya sea sólo para facilitar el cálculo o por necesidad, como cuando los parámetros
del transformador sólo son medidos desde un devanado, a menudo los
parámetros del otro devanado son referidos a la parte que tiene la información
disponible. Este proceso de referir es equivalente a la ampliación del número de
vueltas de una bobina a ser la misma que las del devanado al cual se quiere
referir, cuyos parámetros se deberán mantener en forma explícita. De esta forma
la ecuación 2.16 puede ser escrita de la forma siguiente:
)( 2111
111 iidtdL
dtdi
Le m ′++= [2.17]
De igual forma, la fem inducida en el devanado secundario puede ser escrita de la
forma siguiente;
)( 212
12
2122 ii
NN
dtdL
dtdiLe m ++= [2.18]
La fem inducida en el devanado secundario puede ser referida al devanado
primario, igualando, de forma ficticia, su número de vueltas al del devanado
primario, utilizando la relación dada en la ecuación 2.2. La ecuación 2.18 puede
ser rescrita de la forma siguiente:
)( 2112
122 iidtdL
dtidLe m ′++′
′=′ [2.19]
El voltaje en los terminales del devanado es la suma de la fem inducida en él y la
caída de voltaje en la resistencia del devanado. Para el devanado primario
tenemos lo siguiente:
)( 2111
11111111 iidtdLm
dtdi
Lrieriv ′+++++= [2.20]
En lugar de escribir la ecuación de voltaje del devanado secundario igual que la
del devanado primario, se escribirá referida al devanado primario s, quedando de
la forma siguiente:
22
2
2
12
2
12
2
12 er
NN
iNN
vNN
v ′+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==′
43421
)( 2212
1222 iidtdLm
dtid
Lri ′++′
′+′′= [2.21]
Las ecuaciones 2.20 y 2.21 fueros escritas con la corriente y la fem inducida en el
devanado secundario referidas al devanado primario.
2.6. Representación del cirquito equivalente
La forma de las ecuaciones 2.20 y 2.21 sugieren la utilización de un circuito T-
equivalente mostrado en la figura 1.1 para el transformador de dos devanados. En
La figura. 4.3los parámetros del devanado secundario están referidos al devanado
primario, esto se denota a través de un subíndice. Por ejemplo, I´2 es la corriente
que circula por el devanado secundario referida al devanado primario.
Figura 2.1 Circuito equivalente del transformador de dos devanados.
Los valores de los parámetros del circuito del devanado secundario, referidos al
devanado primario se determinan por la relación dada por la ecuación. 2.2, es
decir:
22
2
12 r
NN
r ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′ [2.22]
12
2
2
112 L
NNL ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′ [2.23]
Si tuviéramos que incluir las pérdidas en el núcleo mediante la aproximación de
ellas como proporcional a las pérdidas el cuadrado de la densidad de flujo en el
núcleo o el cuadrado del voltaje aplicado, una resistencia podría estar conectada a
través de la fem inducida en devanado primario, en paralelo con la inductancia de
magnetización.
2.7. Simulación de un transformador de dos devanados
En esta sección, describiremos los arreglos necesarios para las cual las
ecuaciones de de voltaje y las concatenaciones de flujo de un transformador del
dos devanados para poder llevar a cabo las simulaciones en el Simulink de
Matlab.
Hay, por supuesto, más de una forma para implementar simulaciones de
transformadores de dos devanados aun cuando estamos utilizando el mismo
modelo matemático. Por ejemplo, al usar el modelo simple descrito en la sección
anterior, podríamos llevar a cabo una simulación usando el flujo o las corrientes
como variables estáticas. Observe que la representación del circuito equivalente
tiene tres inductores. Puesto que sus corrientes obedecen la ley actual de
Kirchhoff en el nodo común, las tres corrientes no pueden ser independientes. La
corriente de la rama de magnetización se puede expresar en términos de
corrientes de los devanados.
En nuestro caso, las reactancias de dispersión de ambos devanados serán
consideradas como una constante. Asumiendo esto las ecuaciones de los voltajes
inducidos en ambos devanados pueden ser escritas de la manera siguiente:
dtwbd
riv/
1 1111
ψ+= [2.24]
dtwb
driv
/1
1 2222
ψ ′+′′=′ [2.25]
Las ecuaciones de las concatenaciones de flujo en cada uno de los devanados
pueden ser escritas de la forma siguiente:
mixwb ψλψ +== 11111 [2.26]
mixwb ψλψ +′′=′= 212221 [2.27]
)()( 211211 iiXiiwbL mmm ′+=′+=ψ [2.28]
Nótese que mψ está asociada a la inductancia de magnetización referida al
devanado primario.
La corriente por el devanado primario puede ser expresada en términos de Ψ1 y
Ψm a través de la ecuación 2.26. De manera similar la corriente por el devanado
secundario referida al devanado primario puede escribirse en función de Ψ2 y Ψm
usando la ecuación 2.27.
1
11
l
m
xi
ψψ −= [2.29]
2
22
l
m
xi
′−′
=′ψψ [2.30]
Sustituyendo las ecuaciones 2.29 y 2.30 en la 2.28 obtendremos lo siguiente:
12
2
1
1
XXlXm
L
m
m
m
′−′
+−
=ψψψψψ [2.31]
Agrupando hacia la derecha Ψm:
2
2
1
1
21
)111(lllLM
m XXXX ψψψ
ψ′′
+=′
++ [2.32]
Luego:
211
1111
llmM XXXX ′++= [2.33]
La ecuación 2.33 puede ser reducida a una forma más compacta de la manera
siguiente:
)(2
2
1
1
llMm XX
X′′
+=ψψ
ψ [2.34]
Utilizando las ecuaciones 2.29 y 2.30 para reemplazar las ecuaciones de corriente
2.24 y 2.25 pueden ser expresadas como ecuaciones integrales de las
concatenaciones de flujo total de ambos devanados de la forma siguiente:
dtX
wbrwbvl
m )(1
1111
ψψψ
−−= ∫ [2.35]
dtX
rwbvwbl
m )(2
2222 ′
−′′−′=′ ∫ψψ
ψ [2.36]
Las ecuaciones 2.29, 2.30, 2.34, 2.35, y 2.36 forman el modelo dinámico básico
de un transformador de dos devanados al cual la saturación magnética y las
pérdidas de núcleo pueden ser agregadas. En este modelo, las concatenaciones
de flujo son variables internas, los voltajes terminales son las entradas requeridas,
y las corrientes de los devanados son las respuestas principales. La figura 2.2
(4.4) muestra el organigrama de una simulación de un transformador de dos
devanados, el cual requiere el valor instantáneo de los voltajes terminales de
ambos devanados como entrada de información a la simulación. La figura 2.3
muestra el diagrama de bloques confeccionado en SIMULINK.
Figura 2.2. Diagrama de flujo para la simulación de un transformador de dos
devanados
Figura 2.3. Diagrama de bloques en el Simulink para la simulación de un
transformador de dos devanados
2.8. Condiciones terminales
Como se muestra en la figura 2.3, la simulación desarrollada de un transformador
de dos devanados utiliza los voltajes terminales de los dos devanados como
entradas de información a la simulación y devuelve las corrientes de los
devanados como respuesta. El conjunto entrada-salida de un subsistema en una
simulación no necesita ser igual que el del subsistema físico mientras los
requisitos de la entrada-salida de todos los subsistemas en la simulación se
puedan corresponder correctamente con los de subsistemas conectados,
incluyendo las entradas y las respuestas reales del sistema entero.
Las ecuaciones escritas anteriormente, las cuales se introducirán en la simulación,
los formularios para evitar son ésos con los derivados o los bucles algebraicos.
Mientras que el formulario derivado es obvio, la presencia de un bucle algebraico
es menos tan. Los bucles algebraicos ocurren al poner ecuaciones en ejecución
algebraicas simultáneas donde hay realimentación directa de sus entradas de
información a partir de un bloque a otro alrededor de un bucle que no implica un
integrador.
Volvamos al problema de completar los requisitos de entrada para la simulación
del transformador de dos devanados, específicamente el de la determinación del
voltaje secundario; de la simulación de la carga. Las técnicas que se presentan
son útiles, no sólo para combinar el transformador por encima de simulación con
los de otros elementos de red, pero son también aplicables a otros dispositivos
electromagnéticos, tales como las simulaciones máquinas rotativas. El voltaje de
entrada al devanado primario, o es un valor constante de alimentación de corriente
alterna o puede obtenerse de la simulación de otros componentes a los cuales el
devanado principal se conecta. Esa tensión de la entrada principal también puede
ser derivada de otra parte de la simulación y se pondrá de manifiesto después de
la discusión que sigue sobre la manera de obtener las condiciones de voltaje del
secundario.
La condición de un cortocircuito en las terminales del secundario es fácil de
simular, solo hay que establecer que el voltaje en los terminales del secundario es
cero en la simulación. La simulación de la condición de circuito abierto en los
terminales del secundario es no tan sencilla como para la condición de corto-
circuito. La condición de circuito abierto en los terminales del secundario tiene un
valor de corriente igual a cero, que cuando se sustituyen en las ecuaciones 2.25 y
2.27, los rendimientos v´2oc = dΨm/dt. Para evitar la derivación en el tiempo de en
la simulación, este valor de tensión de entrada del devanado secundario se deriva
del valor de dΨ1/dt justo antes del integrador de Ψ1. Las relaciones que se utilizan
son las relaciones entre Ψ1 y Ψm en las ecuaciones. 2.25. 2.27 y 2.28 para la
condición Corriente cero por el secundario.
wbrivXX
Xdt
dXX
Xdt
dv
ml
m
ml
mmoc )( 111
11
11
11
12 −
+=
+==′ ψψ [2.37]
El caso de carga finita en los terminal del devanado secundario es más fácil
cuando la carga se representada por una impedancia o admitancia equivalente.
Por ejemplo, una carga especificada SL a voltaje nominal puede convertirse en
una admitancia de carga equivalente referida al devanado primario.
*
222
2
11 )()(L
ractedLL S
VNN
BjG =′+′ − [2.38]
Figura 2.4. (4.6) Circuito equivalente para la carga.
La conductancia y la susceptancia de la ecuación. 2.38 puede ser modelado por
cualquiera de las dos representaciones equivalentes circuito de la figura. 4.6. Las
ecuaciones de estos circuitos equivalente paralelos de carga se puede expresar
en forma integral con el voltaje como salida y la corriente como para
complementar las condiciones terminales del devanado secundario. Para cargas
con factor de potencia en atraso, la combinación en paralelo R-L de la figura 2.4
es la utilizada. Los requerimientos de voltaje secundario necesarios de la
simulación de la carga se obtienen de la relación de voltaje y corriente del
elemento resistivo, es decir:
LLLR RiiRiv ′′+′−=′′=′ )( 2 [2.39]
Donde:
I´2: Es la corriente del devanado secundario como respuesta de la simulación.
I´L es obtenida de la ecuación integral de voltaje a través de la impedancia de
carga equivalente de la forma siguiente:
dtvBwbdtvL
i LL
L ∫∫ ′′=′′
=′ 221 [2.40]
La combinación R-C en paralelo de la figura. 4.6 se va a utilizar para cargas con
factor de potencia en adelanto. Sin embargo, el voltaje por secundario requerido
para la simulación de cargas R-C se obtiene de la relación voltaje corriente del
condensador, que es:
dtRv
iBwbdtiC
vL
LCL
∫∫ ′′
−′−′=′′
=′ 222
1 [2.41]
Nótese cómo la tensión de unión común entre la carga y los terminales del
devanado secundario del transformador se puede desarrollar en estas dos
situaciones diferentes, es decir el uso de la resistencia de carga en la ecuación
2.39 y el uso de la ecuación del condensador. 2.41. Es evidente que la tensión
común de la unión debe ser definido por uno solo de los componentes cuando hay
dos o más de componentes conectados a esa unión.
A veces la naturaleza de los elementos interrelacionados que no se prestan a la
combinación de esas acciones de entrada / salida de los requisitos en todos los
cruces. Esta situación no es poco común en una simulación de un sistema
complejo que se construye con módulos estándar de componentes o plantillas.
Hay una ventaja en ser capaz de utilizar bien establecida plantillas, módulos
especialmente grandes y complicados. La comodidad de no tener que puede
reformular, en algunas situaciones, justificar el gasto de pequeña inexactitud
causada por el introducción de un condensador ya sea muy pequeño o una
resistencia muy grande a través de un cruce de desarrollar la tensión de la unión
comunes exigidas por módulos conectados cuya entrada / salida los requisitos son
todos del tipo de entrada de voltaje de salida actual. Mientras que elige un muy
pequeño condensador o una resistencia muy grande no minimizar las
imprecisiones causadas por la introducción de tales elementos no relacionados
físicamente, demasiado extrema puede dar lugar a un valor en el sistema de
ecuaciones que son demasiado rígidas para el procedimiento de solución que se
utilice. En la práctica, la más pequeño condensador o una resistencia más grande
que uno puede usar para este tipo de aproximación se limitada por la inestabilidad
numérica.
Figura 2.5. Uso de un resistor ficticio para el desarrollo del voltaje secundario.
Como un ejemplo sencillo del uso de tales aproximaciones, tenga en cuenta el
sub-circuito mostrado en la figura. 2.5, en el que el voltaje primario es la entrada
deseada tanto para la simulación del transformador como para otro módulo.
Agregar una resistencia ficticia que es mucho más grande que la impedancia de
los elementos del circuito real, nos permitirá desarrollar el voltaje en el secundario
sin introducir inexactitudes a la solución simulada. La entrada de tensión necesaria
para los módulos conectados viene dada por la ecuación de tensión de la
resistencia ficticia, es decir:
HH RiiiHRv )( 22 +′−==′ [2.42]
Por otra parte, un pequeño condensador se puede utilizar en lugar de la
resistencia, para desarrollar el voltaje secundario, es decir:
dtiiC
vL
)(12 +′−=′ ∫ [2.43]
Aunque usando el condensador su voltaje no amplifica los ruidos en las
corrientes, en algunas situaciones, puede dar lugar a una aproximación más
tolerable que el derecho a una velocidad aceptable de la simulación.
2.9. Incorporación de la saturación magnética en la simulación
La saturación del núcleo afecta principalmente el valor de la inductancia mutua
que es mucho menor que las inductancias medidas de fuga, aunque es pequeño,
los efectos de la saturación de las fugas de las reactancias son bastante
complejas y se necesitan los detalles de la construcción del transformador que
generalmente no están disponibles.
En muchas simulaciones dinámicas, el efecto de saturación del núcleo se puede
suponer que limite a la trayectoria del flujo mutuo, el comportamiento básico de la
saturación puede ser determinante a partir de la curva de magnetización de
circuito abierto del transformador. Como se representa en la figura 2.6
obteniéndose generalmente mediante los valores medidos del valor efectivo de la
tensión en los bornes contra la corriente en vacío del devanado primario, cuando
el devanado secundario está en circuito abierto.
(a) Curva a circuito abierto. (b) Características saturada frente a no saturada de
magnetización.
Figura 2.6. Características de saturación.
Cuando se desprecian las pérdidas de núcleo la corriente en vacío es solamente
la corriente de magnetización. Por otra parte, cuando circula solamente la
corriente de vacío por el devanado primario, la caída de voltaje en la impedancia
serie normalmente es insignificante en comparación con la caída de voltaje a
través de la reactancia de magnetización. Cuando el secundario está en circuito
abierto, i’2 será cero, entonces V1rms ≈ ImrmsXm1. En la región no saturada, la
proporción de V1rms/Imrms es constante, pero como el nivel de voltaje se eleva por
encima de la rodilla de la curva circuito abierto y se convierte en una relación cada
vez más pequeña.
Algunos de los métodos que se han utilizado para incorporar los efectos de la
saturación magnética en una simulación dinámica son:
1. Utilizar el valor apropiado para la reactancia mutua saturada, en cada paso de
tiempo de la simulación.
2. Aproximar la corriente de magnetización a través de una función analítica.
3. Usar la relación entre saturados e insaturados para valores del flujo mutuo
vínculo.
En el método 1, el valor de saturación de la inductancia de magnetización, Xm1sat
se puede actualizar en la simulación donde el producto del valor no saturado, de la
inductancia de magnetización Xm1unsat es Ks veces la saturación de los factores y
se puede determinar a partir del circuito abierto. En condiciones de circuito abierto,
la pequeña caída de voltaje a través de la r1+jXl1 pueden ser despreciados.
Cuando el flujo de excitación es sinusoidal, puede verse en las ecuaciones. 2.24
y 2.28 y el eje de la curva de voltaje de circuito abierto en la figura.2.6(a) también
puede leerse como que, para las concatenaciones de flujo mrmsψ la pendiente de la
línea de espacio de aire, se muestra como una línea discontinua en la
figura.2.4(a), es igual al valor de magnetización no saturada unsatmX 1 .La reactancia
de magnetización saturada satmX 1 en cualquier voltaje de circuito abierto, la curva es
igual a la pendiente de una línea que une el punto de la curva en el origen. El
grado de saturación puede ser expresado por un factor de saturación que se
define como:
satmrms
unsatmrms
unsatmrms
satmrms
s II
OrKψψ
= 1≤sK [2.37]
Si la reactancia de magnetización saturada se define como la relación entre satmrms
satmrms I/ψ entonces:
unsatm
satm
unsatmrms
satmrms
satmrms
satmrms
S XXI
IK
1
1==ψ
ψ [2.38]
En ciertos métodos de simulación, por ejemplo en la simulación analógica, es
generalmente más fácil manejar una constante que una reactancia de
magnetización. Generalmente en tales simulaciones el valor actual será
determinado por el valor no saturado del flujo mutuo.
Para trazar la curva mostrada en el figura 2.6 (b) se utiliza el método 2, donde la
relación entre el valor máximo de las concatenaciones de flujo y el pico de la
corriente de magnetización deben ser establecidos. Puesto que la prueba de
circuito abierto es realizada generalmente aplicando un voltaje de entrada de
sinusoidal, y no haciendo caso de la caída de voltaje. El flujo que circula por el
núcleo se puede asumir también variable el tiempo, pero la corriente de
magnetización no será sinusoidal, cuando se trabaja por encima de la rodilla de
saturación. La conversión de los valores rms del voltaje de alimentación y de la
corriente de magnetización a valores instantáneos cuando la corriente de
magnetización es no sinusoidal, ni es sencilla.
El método 3 utiliza el lazo entre los valores saturados y no saturados del flujo
mutuo. Siendo semejante al método 2, donde no se requiere de un lazo explícito
entre el flujo mutuo y la corriente de magnetización. Cuando el flujo mutuo se toma
como la variable de estado, se prefiere la utilización de este método.
Describiremos después las modificaciones necesitadas para incluir la saturación
magnética en el método 3. Para mayor claridad, los exponentes adicionales se
introducen en esta sección para distinguir entre los valores no saturados y
saturados del flujo mutuo. Los valores no saturados y saturados de las corrientes
de los devanados y del flujo mutuo están implicados por su relación con el flujo
mutuo. Describiéndose en la ecuación 2.28.
)()( 211211 iiXiiLW unsatm
unsatmb
unsatm +=′+=ψ [2.39]
De manera similar, en términos de la saturación del flujo mutuo, los valores
saturados de las corrientes por los devanados se pueden expresar de la manera
siguiente:
1
11
l
satm
Xi
ψψ −= [2.40]
2
22
l
satm
Xi
′−′
=′ψψ [2.41]
Sustituyendo las ecuaciones 2.40 y 2.41 en la ecuación 2.39 obtenemos
2
2
1
1
1 l
satm
l
satm
unsatm
satm
XXX ′−′
+−
=ψψψψψ [2.42]
Los valores de 1ψ y 2ψ ′ en las ecuaciones 2.41 y 2.42 son valores saturados. Sustituyendo ψm
unsat por ψmsat + ∆ψ y despejando ψm
sat obtendremos:
)(12
2
1
1unsatmLl
Msatm XXX
X ψψψψ ∆
−′′
+= [2.43]
Una comparación de las expresiones antes dichas, para la condición de saturación, junto con las expresiones correspondientes para el caso no saturado o lineal, explica la saturación del flujo mutuo que se necesita para poder determinar el valor demostrándose en la ecuación 2.43. La modificación que explicará la saturación de flujo mutuo se muestra en la figura 2.7 se puede comparar con la figura 2.2.
Figura 2.7 Simulación del flujo mutuo variable
2.10. Conexiones trifásicas.
Por lo general la distribución de energía eléctrica de corriente alterna son en su
mayoría en tres fases. Cuando el sistema de tres fases se encuentra operando
bajo condiciones de equilibrio, se puede representar para realizar estudios una
representación equivalente de una sola fase con la que se experimenta grandes
ahorros en el esfuerzo computacional. Para condiciones de funcionamiento
desequilibrados, el sistema de tres fases tienen que estar representado por una
combinación de redes de secuencia, en esta sección, vamos a examinar los
métodos que se pueden utilizar para simular algunas de las conexiones trifásicas
más comunes en el transformador.
En general, la característica de funcionamiento de un transformador trifásico no
dependerá sólo de la conexión de sus devanados, sino también del circuito
magnético de su núcleo. Cuando los devanados de las distintas fases comparten
un núcleo común que proporciona una ruta magnética al flujo mutuo, habrá
acoplamiento mutuo entre ellos.
Figura 2.8. Diagrama de bloques para la simulación y comparación de
transformadores.
Las dos conexiones más utilizadas en circuitos trifásicos son la conexión en
estrella y la conexión en delta. Una conexión en estrella es más ventajosa que una
conexión en delta debido a que maneja niveles de voltaje más alto, pero una
conexión en delta puede ser ventajosa en cuando a los niveles altos de corriente.
Otros factores normalmente de conexión son los a tierra desde el punto de vista
de seguridad y protección, y caminos para las corrientes armónicas y flujos para
minimizar la distorsión de la onda de voltaje.
2.10.1. Conexión estrella – estrella
Vamos a empezar por considerar el caso en que los devanados primario y
secundario de las tres fases del transformador están conectados en estrella como
se muestra en la figura.2.9(a) donde el neutro de los devanado primario se
encuentra a través de una resistencia a tierra, RN, y los de la fuente de suministro
y devanados secundarios están solidamente aterrados. Cuando el neutro de los
primarios no está sólidamente conectado a tierra, su potencial será flotante con
respecto a la tierra del sistema. Dependiendo de si la condición de operación es
balanceada o no, los voltajes de fase a neutro a través de los devanados primario
del transformador no podrá ser la misma como las tensiones de fase
correspondiente a neutro de la fuente. La figura 2.9 b, muestra la representación
equivalente circuital de una fase de un sistema trifásico en el que el transformador
ha estado representado por la representación del circuito equivalente.
Recordemos que la simulación de dos devanados del transformador desarrollado
anteriormente requiere como entrada los voltajes por primario y secundario y
devuelve los valores de corriente por ambos devanados. El voltaje, VNG, se `puede
determinar de la manera siguiente:
NCBANG Riiiv )( ++= [2.44]
Figura 2.9. Conexión estrella – estrella de un transformador trifásico.
RN podría ser una gran resistencia ficticia en el caso de que el punto neutro, N,
esté sin conexión a tierra.
La figura 2.10 muestra el diagrama de bloques confeccionado en SIMULINK para
la conexión del transformador trifásico.
Figura 2.10 Diagrama de bloques para la simulación de un transformador trifásico
con conexión estrella – estrella.
2.10.2. Conexión delta - estrella.
La figura 2.11 muestra un transformador con conexión delta - estrella, donde el
punto neutro del secundario, n, es aterrado a través de un resistor R. Cuando los
devanados están conectados como se muestra en dicha figura, la relación de
transformación entre los valores de los devanados primarios y secundarios es
12 /3 NN y los favores de voltaje en el secundario están desfasados 30º con
respecto al primario.
Figura 2.11. Transformador con conexión delta – estrella.
Una simulación en Simulink del sistema se muestra en la figura 2.11 se da en la
figura 2.12. Una vez más, por simplicidad, hemos supuesto que el transformador
con conexión delta - estrella está formado por tres unidades monofásicas.
Figura 2.12.Diagrama de bloques en Simulink para la conexión delta – estrella.
Capítulo 3. Análisis y resultados
3.1 Introducción
Para la cmprobación de los proyectos confeccionados se probaron con datos
reales de transformadores. Se utlizó un transformador monofásico de 1.5 kVA,
120/240 V con núcleo tipo columna, los datos de su circuito equivalente son los
siguientes:
R1 = 0.25 Ω R´2 = 0.134 Ω
X1 = 0.056 Ω X´2 = 0.056 Ω
Xm = 708.8 Ω
Todos los parámetros se encuentran referidos al lado de alto voltaje.
La figura 3.1 muestra la característica de magnetización del material
ferromagnético del núcleo del transformador.
Figura 3.1. Característica de magnetización.
3.2. Operación del transformador en corto circircuito y con carga RL
Los objetivos de este proyecto es implementar en el Simulink del Matlab la
simulación de un transformador de dos devanados para el estudio de als
condiciones de operación siguiente:
1. El transformador con sus terminales secundario corto circuitazo.
2. El transformador trabajando con carga RL.
Para esto utilizamos el modelo para la simulación de un transformador de dos
devanados descrito en el capítulo dos. La saturación del núcleo magnético puede
ser introducida en la simulación utilizando una aproximación analñítica de la curva
de magnetización, tal como se muestra en la figura 3.2. Este fichero, llamado S1b,
es uan modificación del visto en el capítulo anterior, en este caso tiene incluido la
saturación magnética del núcleo del transformador.
Figura 3.2. Fichero S1b confeccionado en el Simulink del Matlab para la
simulación de un transformador de dos devanados incluyendo la saturación
magnética.
El fichero m1.m es un programa confeccionado en Matlab, el cual se encarga de
establecer los datos necesarios para le ejecución de este proyecto. El
tarsnformador fue alimentado con un voltaje de )120(31201 θπ += tsenv y se
ejecutaron las siguientes corridas:
1. Con el devanado secundario cortocircuitado, V´2 = 0, y sin flujo remanente,
se energizó el transformador cuando la onda de voltaje de alimentación
pasaba por los siguientes puntos:
2. Con una carga de 1.5 kVA y factor depotencia de 0.8 en atraso conectada
al secunadario del transformador, alimentando a al transformador con su
voltaje nominal.
a. Por el punto máximo del voltaje de alimentación, 2πθ = .
b. Cuando la onda de voltaje de alimentación es cero, 0=θ .
Las respuestas, para la variante 1, del voltaje de alimentación, V1; Corriente por
primario, I1; Flujo magnético en el núcleo del transformador, Φm; Voltaje en el
secunadario referidoa primario, V´2 y la corriente por secundario referida al
devanado primario, I´2 se muestran en las figuras siguientes.
Figura 3.3. Característica de corriente por primario para el transformador en
cortocircuito.
Figura 3.4. Característica de corriente por secundario referida al devanado
primario para el transformador en cortocircuito.
En estos primeros gráficos se puede ver que la onda de corriente por ambos devanados es sinusoidal, comenzando por cero y alcanzando valores de 400 A aproximadamente durante todo el tiempo. Ambas tienen valores simultáneamente altos porque el transformador esta cortocircuitado.
Figura 3.5. Característica de voltaje de alimentación del transformador en
cortocircuito.
En este grafico el voltaje por primario también esta representado mediante una onda sinusoidal alcanzando valores hasta 175V aproximadamente siendo también esta onda sinusoidal. Si embargo por secundario se mantiene en cero durante todo el grafico, ya que el transformador esta cortocircuitado.
Figura 3.6. Característica de voltaje por secundario del transformador en
cortocircuito.
Figura 3.7. Característica del flujo magnético en el núcleo del transformador.
Para la variante 1.a, las gráficas son las siguientes.
Figura 3.8. Característica de la corriente por primario.
En este grafico se obtiene una onda distorsionada siendo los picos de corrientes en los primeros intervalos de tiempo sumamente altos, hasta que se estabiliza.
Figura 3.9. Característica de la corriente por secundario referida a primario.
Figura 3.10. Característica del voltaje por secundario referido a primario.
Figura 3.11. Característica del flujo magnético ene. Núcleo del transformador.
Para el caso 2.b las características quedan de la manera siguiente.
Figura 3.12. Característica de la corriente por primario.
Figura 3.13. Característica de la corriente por secundario referida a primario.
Figura 3.14. Característica del flujo magnético ene. Núcleo del transformador.
Conclusiones
En el desarrollo de este trabajo se confeccionaron en el Simulink del MATLAB
cuatro proyectos, los cuales brindan la posibilidad de hacer un análisis dinámico
de transformadores.
Como resultado de la búsqueda bibliográfica se confeccionó un material docente
que recoge los aspectos teóricos fundamentales de transformadores.
Los proyectos confeccionados son capaces de modelar satisfactoriamente los
diferentes estados de operación de transformadores empleando las herramientas
disponibles en el Simulink del MATLAB, así como también devuelven gráficas de
gran utilidad que reflejan el comportamiento de las principales variables en el
tiempo.
De las simulaciones realizadas se obtuvieron resultados satisfactorios expuestos
en el capítulo tres, los cuales se alcanzaron a partir de parámetros reales de
transformadores diferentes capacidades.
Recomendaciones
Como recomendaciones o vías de continuidad al trabajo se proponen las
siguientes:
1. Extender las simulaciones dinámicas a las máquinas sincrónicas y
asincrónicas, para realizar análisis virtuales en Matlab, y así enriquecer la
bibliografía de la disciplina de Máquinas Eléctricas.
2. Aplicar los resultados de este trabajo de diploma en la asignatura de
Transformadores, para ampliar y mejorar con la ayuda del Matlab los
materiales docentes e investigativos para la implementación del nuevo plan
de estudios a partir del próximo curso escolar.
Bibliografía
1. Allessi Trollip, Stephen M, Stanley R. Computer Based Instruction. Methods
and Development. Second Edition. Editora Prentice Hall. New Jersey,
(1991): 512 pp.
2. Banks Jerry, Gibson Randall. Selecting Simulation Software. IIE Solutions.
(mayo 1997): pp.
3. Blázquez Miriam. Investigación sobre Medios Computacionales para apoyar el
aprendizaje en la disciplina Máquinas Eléctricas. Tesis de Maestría. UCLV.
Cuba, (1996): 90 pp.
4. Chee-Mun Ong, Dinamic Simulation of Electric Machinery, School of Electrical
& Computer Engineering, Purdue Univefsitv West Lafayette, Indiana (1997).
5. De Marcos J., Fernández A., Alonso C. Modelado y Simulación del Control
Electrónico de Motores con PSPICE. II Congreso de Tecnologías Aplicadas
a la Enseñanza de la Electrónica, TAEE 96, Universidad de Sevilla. Vol. 1,
(1996): 134 – 138 pp.
6. Delgado Ramón. Diseño de motores de Corriente Directa. Trabajo de Diploma.
Dpto. de Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica, UCLV, Cuba, (1993): 62 pp.
7. Díaz Milagros. Programa para determinar características de motores eléctricos.
Trabajo de Diploma. Dpto. de Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica, UCLV,
Cuba, (1990): 66 pp.
8. Eirin Melvin. Programa para el análisis transitorio de los motores compuestos y
serie de C. D. Trabajo de Diploma. Dpto. de Electroenergética, Fac. Ing.
Eléctrica, UCLV, Cuba, (1994): 46 pp.
9. Espinosa Francisco, et al. Modelado de un motor de DC. Diseño, simulación y
construcción del sistema de control de velocidad. II Congreso de
Tecnologías Aplicadas a la Enseñanza de la Electrónica, TAEE 96,
Universidad de Sevilla, España, Vol. 3, (1996): 108-113 pp.
10. González F. y Novak, J. Aprendizaje significativo. Técnicas y aplicaciones.
Serie Educación y Futuro, Editorial Cincel. (1993): 263 pp.
11. Hernández Alicia. Proyecto de Investigación: Desarrollo de Medios de
Enseñanza Asistida por Computadoras para las Máquinas Eléctricas. Dpto.
Electroenergética, UCLV, Cuba, (1997): 12 pp.
12. Hernández Susana. Programa para el análisis del estado transitorio, en los
motores en derivación de C.D. Trabajo de Diploma. Dpto. de
Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica, UCLV, Cuba, (1988): 36 pp.
13. Ivanov - Smolenski, A. V. Máquinas Eléctricas. En 3 tomos. Editorial MIR
Moscú, (1984): 1200 pp.
14. Kloeffler Royce, Kerchner Russell, Brennman Jesse. Direct-Current
Machinery. The Macmillan Company, New York. (1957): 395 pp.
15. Kostenko M., Piotrovsky L. Máquinas Eléctricas. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana, (1968): 713 pp.
16. Langsdorf Alexander. Principios de las Máquinas de Corriente Continua.
Sexta edición. Ediciones del Castillo S.A. España, (1968): 371 pp.
17. Lorenzo Daniel. Algoritmo computacional de diseño de motores de Corriente
Directa. Trabajo de Diploma. Dpto. de Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica,
UCLV, Cuba, (1996): 47 pp.
18. Mandariote Walker. Software para el Recálculo de Motores de C.D. Trabajo
de Diploma. Dpto. de Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica, UCLV, Cuba,
(1997): 32 pp.
19. Mazo M., et al. Equipo didáctico para el control de motores DC, brushless y
paso – paso. II Congreso de Tecnologías Aplicadas a la Enseñanza de la
Electrónica, TAEE 96, Universidad de Sevilla. Vol. 2, (1996): 183 – 197 pp.
20. McPherson George, Laramore Robert D. An Introduction to Electrical
Machines and Transformers. Second Edition. Reimpreso en Cuba. 571 pp.
21. Ordoñez José, Reyes Arístides. Aplicación de la computación a la
enseñanza de la asignatura Máquinas Eléctricas de C.D. Revista Cubana de
Educación Superior. Vol.VII (2), (1988): 19-25 pp.
22. Siskind Charles. Direct - Current Machinery. First Edition. Editora McGraw-
Hill. USA. (1952): 319 pp.
23. Slemon G., Straughen A. Electric Machines. Addison-Wesley Publishing Co.
Canadá, (1982): 575 pp.
24. Syed A. Nasar. Teoría y Problemas de Máquinas Eléctricas. Serie de
Compendios SCHAUM. McGraw-Hill, México, (1987): 208 pp.
25. Toscano Vivían. Sistema computacional para el análisis de los estados
transitorios en el motor de Corriente Directa. Trabajo de Diploma. Dpto. de
Electroenergética, Fac. Ing. Eléctrica, UCLV, Cuba, (1995): 35pp.
26. The Matlab Curriculum Series. The Student Edition of Matlab. The Math
Works Inc. Prentice Hall, New York. (1992): 494 pp.
27. Voldek A. I. Máquinas Eléctricas. En 2 tomos. Editorial Pueblo y Educación,
La Habana, (1985): 431 pp.
28. Zerquera Mariano, et al. Programas para la Simulación de las Máquinas
Eléctricas. Taller Iberoamericano sobre la Enseñanza de la Ing. Eléctrica.
CIPEL: Ciudad de la Habana, Cuba, (1996).
