TITULILLO: MAPAS CONCEPTUALES EN LA … · TITULILLO: MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA Universidad Metropolitana Programa Graduado de Educación . Programa Doctoral . Efecto del

TITULILLO: MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA

Universidad Metropolitana

Programa Graduado de Educación

Programa Doctoral

Efecto del uso de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de

conceptos (conceptualización) y en el aprovechamiento en matemáticas del tema funciones en un

curso de Precálculo en una universidad privada: Estudio de métodos mixtos.

Sometido como requisito final para el grado doctoral en filosofía en Educación con especialidad

en Docencia por

Francisco Medina Rivera

Diciembre 2013

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA iii

Sumario

El objetivo de este estudio fue recopilar información para investigar, comprender y

explicar el efecto de la utilización de los mapas conceptuales en el desarrollo de conceptos

(conceptualización) y en el aprovechamiento en matemáticas en función de estudiantes

participantes versus la modalidad de la enseñanza tradicional. Es un estudio de métodos mixtos

en un diseño de triangulación. Se consideraron los datos cuantificables y las percepciones de los

participantes en igualdad de condiciones para efectos de la investigación.

La fase cuantitativa tuvo un diseño cuasi experimental debido a que la selección de los

grupos en su forma inicial fue de grupos intactos donde la muestra no se seleccionó en forma

aleatoria. En este estudio el diseño que se utilizó en la fase cuantitativa es de grupos no

equivalentes con preprueba y posprueba. En la fase cualitativa se aplicó un diseño básico para

poder determinar la percepción que tienen los participantes considerando técnicas tales como

entrevistas, grupos focales y observaciones del proceso empleado en el desarrollo de las

actividades de enseñanza y aprendizaje. Además, se consideró la percepción del estudiante sobre

el aprovechamiento mediante entrevistas y actividades de comprobación de conceptos teniendo

en cuenta ambas modalidades.

En los hallazgos de mayor destaque se encontró que existen diferencias estadísticamente

significativas a favor del grupo experimental sobre el desarrollo de conceptos en función de un

curso de Precálculo en una universidad privada en el área metropolitana. En términos del

aprovechamiento, ambas modalidades resultaron exitosas. En la fase cualitativa se desprendió

que el uso de los mapas conceptuales permite al estudiante el desarrollo de conceptos de forma

organizada, sistemática y lógica que facilita el aprendizaje.

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA iv

Agradecimiento

Le agradezco a Dios por permitirme soñar, trabajar y lograr finalizar un doctorado en el

campo de la educación que permitirá servir con mayor eficiencia en mi encomienda como

educador; a mi esposa por estar siempre a mi lado para apoyarme, ayudarme y motivarme a

continuar estudios graduados; además a mis tres hijos, nietos, hijos políticos y amigos por

regalarme parte de su tiempo ofreciendo apoyo de diferentes maneras en el logro de esta meta.

Le agradezco a mis compañeros de estudios por permitirme compartir y aprender de

ellos. En especial a dos compañeras, Mildred Arbona e Iris Parrilla, por las muchas horas

dedicadas a los estudios, compartiendo mediante una interacción en la cual el aprendizaje fue

tridimensional. Al reunirnos los tres, cada uno presentaba su librito, pero en la discusión y

clarificación de conceptos nos compenetrábamos muy bien al validar cada situación bajo estudio.

Durante este proceso de compartir surgieron nuevas ideas y proyectos que pudimos realizar en

distintas etapas de los estudios y comprendimos que el estudio en equipo expande grandemente

las dimensiones del conocimiento.

A todos mis profesores de la Escuela Graduada que contribuyeron a mi desarrollo

profesional y al logro de mi meta. Todos ellos aportaron la semilla del conocimiento que

germinaba en apoderarme de la competencia profesional requerida, ya sea en los fundamentos de

la educación, en currículo y enseñanza y en el proceso de investigación.

En esta última competencia le agradezco al doctor Omar Ponce por motivarme y lograr

que este servidor se enamorara de la investigación de métodos mixtos. En mi formación

profesional sentía una gran pasión por la investigación cuantitativa y al compartir con el doctor

Ponce otros puntos de vista en la investigación también logré ese apasionamiento por el aspecto

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA v

cualitativo que complementa o añaden otra dimensión a las investigaciones de métodos

combinados.

Mi agradecimiento a los dos asistentes de investigación, profesor Héctor Rodríguez y la

profesora Olga Jiménez, que día a día compartieron esta investigación en la sala de clases.

También a la doctora Mildred Arbona por participar y mostrar su gran compromiso como

asistente de investigación en las entrevistas de grupo focal.

Gracias a los miembros del comité, doctora Norma Rivera y doctora Janette Orengo, por

sus acertadas observaciones que me permitieron ampliar y enriquecer mis conocimientos. A los

lectores doctora Carmen Peraza y doctor Omar Ponce porque sus observaciones me permitieron

considerar otros puntos de vista que mejoraban grandemente el producto final de este trabajo.

Gracias a todos por su tiempo, dedicación y compromiso para con este servidor.

Mis gracias al doctor Quiñones, presidente del comité a nivel doctoral, con quién tengo

una deuda de agradecimiento por su estilo al compartir arduas y largas horas de trabajo en la

realización de este estudio. Percibí que el doctor Quiñones demostró y modeló ser un verdadero

exponente de la andragogía en el campo de la educación; evidenciado por sus recomendaciones,

intercambios de ideas y su enseñanza que en ocasiones fueron de aprendizaje bidireccional,

permitiendo un desarrollo profesional para ambos. Durante el caminar para realizar este trabajo

nunca olvidaré la frase del doctor Quiñones “anoche estuve pensando” y el resto del mensaje

llevaba la intención de mejorar, enriquecer, ampliar y profundizar en diferentes aspectos en este

estudio. Gracias por ser el compañero, amigo y colega que permitió en mí, un desarrollo

profesional de mayor conciencia. Gracias por ser maestro de maestros.

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA vi

Dedicatoria

Dedico este trabajo a mi esposa Myriam J. Miranda Soto por dedicarme su tiempo y

apoyarme constantemente para que se lograra esta meta. Al sentir su compañía en aquellos

momentos de arduo trabajo y por estar presente para repetirme que cada día faltaba menos en el

logro esta meta. Se convirtió en parte del timón que dirigió mi barco a puerto seguro con su

apoyo que fue lo suficiente fuerte y poderoso para el logro de esta aventura que comenzó como

sueño y hoy es una realidad.

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA vii

TABLA DE CONTENIDO

Página

SUMARIO .................................................................................................................................. iii

AGRADECIMIENTO ................................................................................................................ iv

DEDICATORIA ......................................................................................................................... vi

LISTA DE TABLAS .................................................................................................................. ix

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................. xi

LISTA DE APÉNIDCES ........................................................................................................... xii

CAPÍTULO I – INTRODUCCIÓN ..............................................................................................1

Exposición del problema.........................................................................................................2

Planteamiento del problema ....................................................................................................9

Propósito del estudio .............................................................................................................12

Preguntas de investigación ....................................................................................................13

Fase cuantitativa..............................................................................................................13

Fase cualitativa................................................................................................................14

Marco teórico ........................................................................................................................15

Definiciones de variables ......................................................................................................21

Importancia del estudio .........................................................................................................23

Limitaciones y delimitaciones ..............................................................................................25

CAPÍTULO II – REVISIÓN DE LITERATURA ......................................................................28

Teorías de aprendizaje congruentes en las Matemáticas ......................................................31

Estrategias de enseñanza en Congruencia con el aprendizaje en Matemáticas y el

uso de los mapas conceptuales ...........................................................................................38

Visión de la NCTM en la enseñanza y el aprendizaje en Matemáticas ................................41

Visión del Departamento de Educación en la enseñanza y el aprendizaje de la Materia .....43

Trasfondo teórico de los mapas conceptuales .......................................................................45

Utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en matemáticas .......49

Estudios sobre el concepto Función en Matemática a nivel universitario ............................49

Estudios sobre la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza

en matemáticas ...................................................................................................................54

Estudios del uso de mapas conceptuales y el tema de Función ............................................60

CAPÍTULO III – MÉTODO .......................................................................................................64

Diseño ...................................................................................................................................64

Descripción de la población ..................................................................................................67

Selección de la muestra .........................................................................................................69

Instrumentos de medición y validez: Preprueba y posprueba ...............................................69

Instrumento para medir el proceso de desarrollo de conceptos ............................................70

Guía de orientación para el(la) profesor(a) a cargo de cada grupo participante ...................71

Procedimiento de la fase cuantitativa ...................................................................................74

Análisis de datos cuantitativos ..............................................................................................76

Técnicas y estrategias de recopilación de datos de la fase cualitativa ..................................77

Procedimiento de la fase cualitativa .....................................................................................80

Credibilidad...........................................................................................................................82

Análisis de datos cualitativos ................................................................................................83

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA viii

Análisis de datos mixtos .......................................................................................................84

Aspectos del manejo ético de la investigación .....................................................................85

CAPÍTULO IV – HALLAZGOS................................................................................................88

Análisis de los resultados en la fase cuantitativa ..................................................................90

Resumen de los resultados encontrados ................................................................................93

Otros hallazgos en la fase cuantitativa ..................................................................................99

Análisis de la información obtenida en la fase cualitativa ..................................................101

CAPÍTULO V – DISCUSIÓN, CONCLUSIONES, IMPLICACIONES Y

RECOMENDACIONES ..............................................................................139

Discusión de la fase cuantitativa .........................................................................................140

Discusión de la fase cualitativa ...........................................................................................152

Análisis de convergencias y divergencias en los hallazgos cualitativos .............................166

Análisis combinado .............................................................................................................171

Conclusiones .......................................................................................................................177

Implicaciones educativas ....................................................................................................178

Recomendaciones ...............................................................................................................179

REFERENCIAS ........................................................................................................................181

APÉNDICES.............................................................................................................................190

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA ix

LISTA DE TABLAS

Tabla Página

Tabla 1 Resultados posprueba de aprovechamiento grupo experimental vs grupo de

comparación .............................................................................................................95

Tabla 2 Promedios y desviaciones estándar de los grupos experimental y de

comparación en las puntuaciones del boleto de salida correspondientes al

desarrollo de conceptos ............................................................................................97

Tabla 3 Promedio y desviación estándar del inventario de opinión en el grupo

experimental ..............................................................................................................98

Tabla 4 Resultados actividades para la construcción de mapas conceptuales grupo

experimental vs grupo comparación .......................................................................100

Tabla 5 Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Representación o ilustración y

provee organización Actividad de Práctica A .........................................................105

Tabla 6 Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Entendimiento del concepto y

aplicación Actividad de Práctica A .........................................................................106

Tabla 7 Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de conocimiento

Actividad de Práctica A ..........................................................................................107

Tabla 8 Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Ilustración y organización Actividad

de la Práctica B .......................................................................................................108


aplicación Actividad de Práctica B .........................................................................109

Tabla 10 Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de conocimiento

Actividad de Práctica B ..........................................................................................111


de la Práctica C .......................................................................................................112


aplicación Actividad de Práctica C .........................................................................113


de Práctica D ...........................................................................................................114

Tabla 14 Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Ilustración y

organización ............................................................................................................116

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA x

Tabla 15 Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Entendimiento del

concepto y aplicación ..............................................................................................117

Tabla 16 Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de

conocimiento ...........................................................................................................119

Tabla 17 Percepción sobre la experiencia de enseñanza y aprendizaje: Implantación,

administración y facilitador del proceso .................................................................122

Tabla 18 Percepción sobre la experiencia de enseñanza y aprendizaje: Actitud y

participación del estudiante .....................................................................................123

Tabla 19 Opiniones de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento en la

Actividad de Práctica A .........................................................................................125

Tabla 20 Opiniones de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento en la

Actividad de Práctica B ..........................................................................................126

Tabla 21 Opiniones de ambos grupos sobre la contribución a su aprovechamiento en la

Actividad de Práctica C ..........................................................................................127

Tabla 22 Opiniones de ambos grupos en la entrevista de Grupo Focal sobre la

contribución en su aprovechamiento ......................................................................128

Tabla 23 Opiniones de ambos grupos sobre el desarrollo de Actividades en la Práctica

A ..............................................................................................................................131


B ..............................................................................................................................132


C ..............................................................................................................................134

Tabla 26 Opiniones de ambos grupos en la entrevista de Grupo Focal sobre el

desarrollo de actividades .........................................................................................135

Tabla 27 Percepción de ambos profesores sobre la experiencia en el desarrollo de la

investigación ...........................................................................................................137

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA xi

LISTA DE FIGURAS

Página

Figura 1 – Diseño del estudio .....................................................................................................65

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA xii

LISTA DE APÉNDICES

Apéndice Página

A Modelo de Procedimiento ............................................................................................ 190

B Instrumento de Pre y Pos prueba y sus clave ............................................................... 192

C Validación de Contenido de la Pre y Pos prueba ......................................................... 207

D Instrumento Inventario de Opinión .............................................................................. 212

E Validación del Contenido del Inventario de Opinión .................................................. 218

F Manual del Facilitador del Grupo Experimental ......................................................... 224

G Manual del Facilitador del Grupo de Comparación ..................................................... 243

H Ejercicios de Práctica y sus Rúbricas ........................................................................... 262

I Guía para Entrevista de Grupos Focales ...................................................................... 289

J Hoja para Entrevista del Profesor(a) ............................................................................ 291

K Hoja de Observaciones de Actividades Relevantes ..................................................... 293

L Hoja de Observación en la Sala de Clases ................................................................... 295

M Instrumento de Boleto de Entrada y Salida.................................................................. 298

N Rúbrica de Boleto de Entrada y Salida ........................................................................ 303

O Instrumento de Validación de Boleto de Entrada y Salida .......................................... 312

P Instrumento de Validación de Actividades de Práctica ............................................... 316

Q Carta de Endoso y Apoyo del Vicerrector de Asuntos Académicos para realizar la

Investigación3 .............................................................................................................. 327

R Instrumentos a utilizarse en intervenciones dentro del salón de clase y su relación

con las preguntas de investigación ............................................................................... 329

S Técnicas cualitativas celebradas en las intervenciones fuera del salón de clases y

su relación con las preguntas de investigación ............................................................ 333

T Aprobación de la Junta de Protección de Seres Humanos en la Investigación ............ 335

U Hoja de consentimiento................................................................................................ 338

MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA 1

Capítulo I

Introducción

La inquietud de muchos educadores en el área de las matemáticas se centra en la

decadencia en el dominio de las destrezas presentadas por los estudiantes en los últimos años.

Esta situación preocupa a los profesores de matemáticas y es un reto que requiere reflexionar

sobre las alternativas que contribuyan al mejoramiento del aprovechamiento del estudiante.

Algunas alternativas que preocupan y ocupan al profesorado son la calidad de la enseñanza y las

formas o maneras que se están presentando las clases al estudiante.

Los profesores deben tener el compromiso de buscar alternativas que mejoren los

procesos de enseñar y aprender y se comience a impartir la enseñanza de tal forma que pueda

experimentar la posibilidad de un aumento en el dominio de las destrezas en matemáticas en los

estudiantes. A tales efectos, el propósito de este estudio es presentar una de estas alternativas de

estrategias de enseñanza mediante un contenido matemático en específico. El objetivo de este

estudio fue determinar el efecto que tiene el uso de mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza en el desarrollo del tema de funciones en el aprovechamiento de los estudiantes de un

curso de Precálculo en una universidad privada. Se pretendió auscultar la posibilidad de aplicar

una estrategia de enseñanza en Precálculo que contribuya a aumentar el aprovechamiento de los

estudiantes en esta materia.

Se utilizó la investigación de Métodos Mixtos en fases paralelas con un diseño de

triangulación por la complejidad que presenta el objetivo del estudio. Esta investigación

consistió en recopilar datos cualitativos y cuantitativos simultáneamente para analizar los puntos

de semejanzas y diferencias (Creswell & Plano, 2007, 2011). Los estudiantes del grupo

experimental estuvieron inmersos en actividades de construcción de mapas conceptuales.


Además, los estudiantes y el (la) profesor (a) estuvieron describiendo el proceso de desarrollo de

conceptos en el tema de función a través de la intervención y luego expresaron sus percepciones

al respecto.

Exposición del problema

En la era del conocimiento y de la comunicación que impera en este inicio del siglo XXI

existe la necesidad de transformar la educación. El uso de la tecnología y el acercamiento entre

los países mediantes las comunicaciones son factores de suma importancia para considerar el

desarrollo económico de los pueblos. En el año 2009 la National Council of Teachers of

Mathematics reconoció que la matemática juega un papel primario ya que fortalece en gran

medida el desarrollo económico y contribuye al fortalecimiento de la transformación que los

seres humanos necesitan para subsistir en la sociedad global de estos tiempos. Esta organización

estableció que la enseñanza de la matemática es de tanta importancia porque aporta a la

economía de los países, a la seguridad nacional del futuro y a las situaciones de la clase

trabajadora.

La United Nations Educational Scientific Cultural Organization (UNESCO, 1989) ha

destacado el aprendizaje de matemática como de gran importancia para el desarrollo de los

países, según manifestado ante la Asamblea General por el International Mathematics Union

(IMU), subcomisión de UNESCO, quienes han proclamado el aprendizaje de las matemáticas

como uno de los desafíos para el presente siglo. Esto requiere una enseñanza de mayor reto y

compromiso con la sociedad global que exige el desarrollo de competencias en matemática para

la supervivencia en un mundo competitivo (NCTM, 2000). Reconoce la NCTM que este cambio

de paradigma requiere nuevas incorporaciones en las estrategias de enseñanza, en el proceso de

conceptualización, aplicación, evaluación y avalúo de tal manera que propicie un cambio en las


destrezas cognitivas, sicomotoras y afectivas de los estudiantes. El Marco Curricular del

Programa de Matemática (2003) del Departamento de Educación de Puerto Rico presenta que las

estrategias mayormente recomendadas en la enseñanza de matemáticas son: enseñanza

cooperativa, (Kagany & Johnson, 1994; Johnson, R. & Johnson, E., 1999); exploración,

conceptualización y aplicación [ECA], (Villarini, 1988); enseñanza individualizada, (Jonassen &

Grabouski, 1993); enseñanza basada en problemas (Torp & Sage, 2002); técnica de laboratorio

como una estrategia de avalúo (Guskey, 2003) e incorporada como actividad de un proceso

continuo de la enseñanza presentada a través del mapa conceptual. La utilización de los mapas

conceptuales es una alternativa de excelencia para el logro de las competencias en la era de la

transformación del conocimiento porque desarrolla la comprensión a un nivel lógico-conceptual

y es una forma diferente de planificar la instrucción (Hernández, 2005).

El uso de mapas conceptuales se inició en la década de los años sesenta del siglo XX

(Hernández, 2005; Novak & Gowin, 1988) y es entre los años 2002 al 2006 que el mapa

conceptual se utilizó con mayor frecuencia y en diferentes áreas del conocimiento (Primera y

Segunda Conferencia Internacional sobre Mapas Conceptuales, 2004, 2006). La utilización de

los mapas conceptuales se reconoce como una de las estrategias de enseñanza efectivas en las

matemáticas por su apoyo a los altos niveles del pensamiento (Silva, 2006).

Varios educadores (Silva, 2006; Vázquez, Pérez, Ruiz, Miras, & Vicente, 2006; Vázquez,

2006) reconocen el uso de los mapas conceptuales como una estrategia de enseñanza y

aprendizaje en la adquisición del conocimiento. Otros expertos educativos definen el uso de los

mapas conceptuales como una técnica incorporada a las estrategias de enseñanza (Aguilar, 2006;

Dürsteler, 2004; Morales, 1998; Nieto & García, 2009; Novak & Gowin, 1988; Ontoria &

Molina, 1995). El mapa conceptual se ha definido como un diagrama o diseño que organiza en


gráficas la extensión y profundidad de un concepto (Dürsteler, 2004; Galán, Granell, & Huertas,

2002; Hernández, 2006; Marco Curricular del Programa de Matemáticas, 2003; Ontoria &

Molina, 1995; Rivas & Oquendo, 2007; Vázquez, 2006). El mapa conceptual se fundamenta en

el aprendizaje significativo y el resultado de la etapa de asimilación de Ausubel, (Ausubel, 1976;

Novak & Gowin, 1988). Otros educadores llaman a los mapas conceptuales esquemas o

representaciones visuales que ilustran la relación entre los conceptos (Aguilar, 2006; Ojeda,

Díaz, González, Pinedo, & Hernández, 2007; Ontoria & Molina, 1995). Por otro lado están los

educadores que clasifican el uso de los mapas conceptuales como herramientas o instrumentos

que contribuyen al aprendizaje de conceptos en el alumno (Caldwell, Rubace, & Lipkin, 2006;

Contreras, 1997; Hernández, 2006; Pérez, 2006).

El mapa conceptual es una herramienta que utiliza el estudiante para asistirse en la

construcción de un conocimiento matemático basándose en sus experiencias previas. (Flores,

2004; Oquendo & Rivas 2007; Vázquez, 2006). Los autores coinciden en que el concepto será

analizado de forma jerárquica y secuencial para un aprendizaje de mayor significado. Además,

permite que el estudiante desarrolle una estructura matemática que parta de lo general a lo

particular (método deductivo) que es tan importante en el desarrollo del pensamiento lógico de la

matemática y en el mundo de la globalización (Ontoria, Rubio, & Luque, 1996; Rivas &

Oquendo, 2007; Vázquez, 2006). Este recurso utilizado como estrategia de enseñanza permite

que el estudiante desarrolle destrezas de organización, reflexión y evaluación a niveles de

abstracción superior, permitiendo al estudiante generar nuevas ideas (Baeza, 2009; Hernández,

2005).

Construir los mapas conceptuales permite que el estudiante reflexione sobre lo aprendido,

lo que va a aprender, sus limitaciones y le ofrece la oportunidad de establecer un plan de acción


lógico, reflexivo y secuencial (Ontoria et. al., 1996). La construcción de mapas conceptuales se

considera buena estrategia para relacionar la teoría y la práctica, donde la evaluaciones

formativas y sumativas se convierten en un proceso continuo y desarrollan en el alumno el

interés de aprender a aprender (Novak & Gowin, 1988). La utilización de los mapas

conceptuales contribuye a un aprendizaje autodirigido conveniente para la subsistencia en la

sociedad del conocimiento.

Los mapas conceptuales favorecen en gran medida el desarrollo del aprendizaje

significativo mencionado por Ausubel (1976) quien sostiene que la estructura cognitiva de una

persona es la que contribuye a la relación con el material nuevo y a su adquisición y retención.

Según Ausubel, el estudiante aprende cuando hay buena relación entre el material nuevo y la

estructura cognitiva ya existente. Se consideran tres tipos de aprendizaje: aprendizaje de

representaciones (símbolos), aprendizaje de conceptos (objeto o eventos), y aprendizaje de

proposiciones (de significado). Estos tres tipos de aprendizaje se toman en consideración en la

construcción de los mapas de conceptuales (Ontoria et al., 1996).

La revisión de la literatura señala que el uso de los mapas conceptuales contribuye al

logro del desarrollo de conceptos, destrezas y competencias matemáticas requeridas para que el

estudiante compita en su entorno (Antomil, Parra, Bilbao, Pérez, & Rodríguez, 2004; Hernández,

2005; Ontoria et al., 1996). Además, permite el desarrollo de las destrezas de comunicación

requeridas en el lenguaje cuantitativo, en el tecnológico como instrumento de ayuda y en el

lenguaje integral de todo ser humano (Hernández, 2005; Norvak & Growin, 1988). También se

documenta su uso de avalar el aprendizaje utilizando los mapas conceptuales como técnicas de

avalúo que permiten conocer al estudiante en diferentes manifestaciones del aprendizaje (Galán,


Granell, & Huertas, 2002; Marco Curricular del Programa de Matemáticas, 2003; Obando &

Múnera, 2003; Silva, 2006).

Small (1999, citado por Craig en el 2000) expresa que la utilización de los mapas

conceptuales presupone un ajuste en el quehacer educativo donde los estudiantes se convierten

en aprendices; de la exploración, de mejorar la comunicación, de participar en grupos de trabajo,

en la creación de modelos de vida, en solucionar problemas y en la aplicación de una matemática

con sentido. La utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza aumenta las

posibilidades para que el aprendizaje del alumno sea duradero y transferible a nuevas situaciones

(Ontoria, Molina, & Luque, 1996; Silva, 2006).

De otra parte, informes presentados por diferentes organizaciones y agencias evaluadoras

(Informe del Programme for International Student Assessment, PISA, 2003; Informe Trends in

International Mathematics and Science Study, TIMSS, 2007; Informe de Resultados del College

Board, 2003; Informe de Ubicación UMET, 2005 & 2010; los Resultados de las Pruebas

Puertorriqueñas en Matemáticas para los años 2005 & 2009) establecen que en los últimos años

los estudiantes en Estados Unidos y Puerto Rico muestran en pruebas normalizadas la falta de

dominio en destrezas y conceptos adquiridos en sus cursos de matemática. Esta disminución en

el aprovechamiento en matemáticas en los estudiantes en los últimos años se debe a una

multiplicidad de factores. Uno de ellos que afecta día a día a los estudiantes son las estrategias

de enseñanza y aprendizaje que se están utilizando en la sala de clases (Baeza, 2009; De Simone,

2007).

En la literatura revisada se presentan diferentes estudios relacionados con el uso de los

mapas conceptuales en matemáticas, donde los estudiantes han logrado un aumento considerable

en el aprendizaje y en el aprovechamiento, y han contribuido al conocimiento de la materia.


(Baeza, 2009; Pérez, 2006; Roberts, 1999; Silva, 2006; Vidal, Vialart, & Ríos, 2007). Sin

embargo, autores como Baeza (2009), Capistran (2005), Galán, Granell, & Huertas (2002), Nieto

& García (2009), Ozdemir (2005), Pérez (2008), Pérez (2006), Vidal (2007), Williams (1994) y

Zulnaidi & Zakaria (2010) señalan que los diferentes estudios sobre el uso de los mapas

conceptuales manifiestan retos que todavía se encuentran en su implantación y sus proyecciones.

La utilización de los mapas conceptuales favorece el aprendizaje significativo que cada día es

más importante en la sociedad del conocimiento de hoy (Hernández, 2005). Sin embargo, hay

escasez de investigaciones al respecto, especialmente en el área de matemática (Baeza, 2009).

Pérez (2006) expone que en el terreno de las matemáticas se necesitan nuevas

investigaciones que contemplen retos en los procesos de enseñar y aprender. Añade que en la

actualidad, la utilización de los mapas conceptuales se considera como un elemento para la

investigación y la contribución al conocimiento pedagógico. Señala Pérez (2008) que para poder

construir un mapa conceptual es necesario una investigación que enriquezca el conocimiento

pedagógico tanto del estudiante y el profesor (a), como el contenido y la tecnología. Antes de

utilizar los mapas conceptuales, el profesor (a) debe asegurarse que los estudiantes los están

utilizando para su propio aprendizaje (Ozdemir, 2005). En esta era de la comunicación, el uso de

la tecnología y la rapidez con que surgen los cambios, el papel de los mapas conceptuales es

importante para atemperar la educación a esta nueva cultura. (Galán, Granell, & Huertas, 2002).

Uno de los hallazgos en el estudio realizado por Vidal (2007) fue que utilizar mapas

conceptuales como estrategia para el aprendizaje significativo constituyó un método eficaz para

el desarrollo de habilidades cognitivas y deductivas. El autor sugiere que en ocasiones futuras se

considere la aplicación de problemas reales. De esta manera, se puede llegar a conclusiones y

soluciones creativas y autónomas.


En Indonesia, Zulnaidi y Zukaria (2010) realizaron un estudio con el propósito de

determinar el efecto del uso del mapa conceptual como estrategia de enseñanza para relacionar el

conocimiento conceptual y el aprovechamiento de los estudiantes de nivel intermedio en un

curso de Matemática General. Encontraron que existe una relación estadísticamente significativa

entre el conocimiento conceptual y el aprovechamiento de los estudiantes. Sin embargo, las

autoras señalan que esto guarda una íntima relación con el secuencial que se estructure y de los

momentos en que se utilicen los materiales [Aplicados a niveles más avanzados en matemática,

se debe de disponer de variedad en la preparación de los materiales por la complejidad de

abstracción de los conceptos matemáticos.]

En conceptos específicos de cálculo, Capistran (2005) presenta el uso de mapas

conceptuales para desarrollar el concepto de la regla de la cadena. En el estudio se utilizaron

métodos cuantitativos y cualitativos aplicando triangulación de datos. Los hallazgos revelaron

que los estudiantes participantes en el estudio mostraron dominio al aplicar la regla de la cadena

a ejercicios. Por otro lado, los estudiantes mostraron debilidad al resolver ejercicios que

requerían planteamientos nuevos. Los autores ofrecen una serie de sugerencias que se pueden

incorporar en las clases para ampliar y enriquecer el concepto de la regla de la cadena en

presentaciones futuras. En 1994 Williams presentó un estudio sobre el uso de los mapas

conceptuales en álgebra e incorporó a expertos de la materia a diseñar los mapas de conceptos

conjuntamente con los alumnos. La experiencia fue exitosa y esta estrategia pone de manifiesto

que se puede aplicar en ocasiones futuras, especialmente en conceptos de matemáticas avanzadas

a un nivel de mayor abstracción.

Ante todo esto, el reto que aparece constantemente en la enseñanza de la matemática es

que el docente no debe pasar por alto que enseñar matemáticas a los alumnos requiere un


aprendizaje declarativo en la estructura del contenido y de procedimientos en sus aplicaciones y

estrategias de solución de problemas (Morales, 1998). Ontoria, Molina; & Luque (1996)

abundan al presentar que construir mapas conceptuales en matemáticas requiere que el maestro

establezca el balance entre el contenido, la estructura y el procedimiento de la materia.

Planteamiento del problema

La sociedad del siglo XXI requiere que cada día los seres humanos tengan una mayor

competencia en el área de la matemática (NCTM, 2000). En el mundo actual, el uso de la alta

tecnología requiere un mayor conocimiento de los números, sus principios y sus aplicaciones.

(NCTM, 2000). El cambio a este nivel es tan competitivo que exige un análisis en la enseñanza

de la matemática y un cambio en la ejecución de los alumnos para lograr el dominio de las

competencias exigidas por este entorno global (NCTM, 2000). Por otro lado, varios estudios

sobre aprovechamiento en el área de la matemática por agencias evaluadoras (PISA, 2003;

TIMSS, 2007; College Board, 2003) indican que a nivel mundial los estudiantes muestran un

marcado descenso en el dominio de las competencias en matemáticas. Además, las asociaciones

y las agencias educativas como College Board y National Report Card (2007) reconocen que

debe continuar un cambio radical en los procesos de enseñar las matemáticas con el propósito de

iniciar el quehacer educativo en matemáticas en forma diferenciada. Se incorporan sugerencias

en el currículo, el uso de la tecnología, las conexiones entre la matemática misma y la asociación

con otras materias, la evaluación como proceso continuo y la incorporación de estrategias de

avalúo, entre otras (NCTM, 2000).

Considerando los resultados de las Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento

Académico administradas por el Departamento de Educación de Puerto Rico para el año 2009 y

2010, los resultados en matemáticas mostraron una leve mejoría. En el área de las matemáticas a


nivel superior fue muy limitado, ya que en el grado 11 solamente el 2 % de los estudiantes

demostraron poseer dominio de las destrezas matemáticas para el año 2009 y en ese mismo

grado al año siguiente, los estudiantes reflejaron un dominio de un 4 %. En este nivel es que

preparan los estudiantes para entrar a las distintas universidades y hoy día la mayoría de los

estudiantes que ingresan a las instituciones post-secundaria muestran deficiencias en el dominio

de las destrezas básicas en las matemáticas. En estudio realizado en una universidad privada

sobre los resultados en matemáticas en la prueba de College Board para los años del 1994 al

2003, se comienza a reflejar esta decadencia en el dominio de conceptos y destrezas en esta

materia (UMET, 2005).

En otro estudio que realiza el College Board para los años 2006-2008 sobre los resultados

de las pruebas de evaluación y admisión universitaria a estudiantes del grado 12 del

Departamento de Educación de Puerto Rico, se destacaron los siguientes hallazgos:

Se observó que las desviaciones estándar para los examinados en 2008

fueron mayores, indicando que los grupos eran más heterogéneos. Al

añadir casos examinados bajo condiciones especiales (2,422) a los casos

examinados bajo condiciones regulares (26,761) los resultados de

ejecución promedio en matemática para la población total fueron de 438

puntos en razonamiento matemático y 439 en aprovechamiento en

matemática. Las puntaciones fluctuaban de 200 a 800 puntos. En las

puntuaciones parciales por sub-áreas, donde estas puntuaciones fluctúan

de 20 a 80 los resultados arrojan que: en aritmética obtuvieron una

puntuación promedio de 46, en Álgebra 41, en Geometría 46 y en


Estadísticas 42. Estas puntuaciones fluctúan en una ejecución porcentual

entre 35 % y 43 %. (College Board, 2009, p. 5)

En la universidad privada mencionada anteriormente, se les administró a los estudiantes

una prueba de ubicación en matemáticas. Los resultados reflejaron que de 737 estudiantes que

tomaron las pruebas, solamente un 19.8 % de los estudiantes mostraron dominio de las destrezas

fundamentales de matemáticas, el 62.8 % de los estudiantes fueron ubicados en cursos para

reforzar las destrezas de la aritmética, el 17.4 % en destrezas de Álgebra Elemental, 19.4 % en

Álgebra Intermedia. Solamente el 0.04 % (3 estudiantes) fueron ubicados en el curso de

Precálculo (UMET, 2010).

Esta disminución en el aprovechamiento en matemáticas y falta de dominio en las destrezas

básicas en matemáticas existente entre los estudiantes en los últimos años se puede deber a una

multiplicidad de factores. Uno de ellos que afecta día a día a los estudiantes son las estrategias

de enseñanza y aprendizaje que se están utilizando en la sala de clases (Baeza, 2007; De Simone,

2007).

Se estableció que el problema a investigar es la falta de dominio de las destrezas básicas

que muestran los estudiantes en sus cursos de matemáticas y especialmente en Precálculo. Por

tal razón, se consideró en este estudio investigar si el uso de los mapas conceptuales en

matemáticas como una estrategia de enseñanza podía facilitar en el alumno el desarrollo de

conceptos y el aumento en el aprovechamiento en su curso de Precálculo. Además, estas

competencias en matemática permiten que el ser humano mejore su aspecto personal y

económico para contribuir a mejorar la sociedad del conocimiento (Hernández, 2005). Es en la

universidad y en todos sus niveles de enseñanza que se administra el saber acumulado. Por lo


tanto, se tiene la responsabilidad de potenciar las habilidades superiores en el desarrollo de

destrezas de mayor complejidad (Urzúa & Vargas, 2004).

En este estudio se investigó el desarrollo de conceptos y el efecto en el aprovechamiento

en el tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. Se seleccionó el concepto

de función por su importancia como concepto generador en el desarrollo del curso de Precálculo

y en otras matemáticas de nivel superior. La National Council of Teachers of Mathematics

(NCTM, 2000) estableció también la importancia medular que posee el concepto de función en

el currículo de matemáticas. El programa de Matemáticas destacó el concepto de función, que se

inicia en los grados elementales con relaciones, para luego llegar al concepto de función que es

un tipo de relación con características particulares, (Estándares, 1996).

Propósito del estudio

El propósito de este estudio fue investigar el efecto que tiene el uso de mapas

conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) y

en el aprovechamiento en matemáticas en el tema de función en estudiantes matriculados en un

curso de Precálculo en una universidad privada. Se utilizó la investigación de métodos mixtos en

fases paralelas con un diseño de triangulación por la complejidad que presenta el propósito de

este estudio. El diseño de triangulación enfoca los métodos cualitativos y cuantitativos que se

utilizan de forma simultánea y con igualdad de pesos, proporciones o roles para investigar un

problema en todas sus dimensiones (Ponce, 2011). Al respecto, Ponce añade que para garantizar

la triangulación, el investigador considera todas las etapas que conlleva el estudio. Se estableció

la triangulación desde el inicio del estudio, durante el estudio y al finalizar la investigación.

Esta investigación consistió en recopilar datos cualitativos y cuantitativos

simultáneamente para analizar los puntos de semejanzas y diferencias en el proceso de desarrollo


de conceptos (conceptualización) y en el aprovechamiento en matemáticas del tema de función

de estudiantes en un curso de Precálculo a nivel universitario. Se aplicó la triangulación de datos

con el propósito de corroborar las congruencias entre los datos en ambas metodologías (Creswell

& Plano, 2007, 2011). En la fase cuantitativa se seleccionó un diseño cuasi-experimental para

determinar el efecto de la intervención en el aprovechamiento en el dominio del concepto de

función y de los mapas conceptuales. Este diseño se refiere a que los grupos seleccionados

estaban establecidos y son conocidos como grupos intactos, donde no se aplicó un muestreo

aleatorio o no se considera un muestreo probabilístico (Hernández, Fernández, & Baptista, 2006;

McMillan & Shumacher, 2008). En la fase cualitativa se aplicó un diseño básico considerando

técnicas tales como entrevistas, grupos focales y observaciones (Merriam, 2002). El propósito

del uso de estas técnicas fue para determinar la percepción que tienen los participantes del

proceso empleado en el desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje. También se

consideró la percepción del estudiante sobre el aprovechamiento mediante entrevistas y

actividades de comprobación de conceptos, teniendo en cuenta ambas modalidades para

corroborar las convergencias y divergencias de los hallazgos encontrados.

Preguntas de investigación

El propósito de este estudio fue guiado por la siguiente pregunta de investigación ¿Cuál

será el efecto de la utilización de los mapas conceptuales como una estrategia de enseñanza en el

desarrollo de los conceptos (conceptualización) y en el aprovechamiento en matemáticas en el

tema de función en estudiantes de nivel universitario que estén tomando el curso de Precálculo?

De esta pregunta se desprenden otras preguntas de mayor especificidad que contribuyen a

ampliar y enriquecer la contestación a la pregunta general del estudio.

La fase cuantitativa abordó las siguientes preguntas y las hipótesis nulas:


1. ¿Cuál es el efecto del uso de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en el

aprovechamiento en matemáticas en el concepto generador de función al comparar la

ejecución de los estudiantes del grupo experimental versus el grupo de comparación

en enseñanza tradicional en un curso de Precálculo a nivel universitario?

2. ¿Cuál es el efecto de la utilización de mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones

en estudiantes del grupo experimental versus el grupo de comparación en enseñanza

tradicional en un curso de Precálculo a nivel universitario?

1. Ho: No existe diferencia estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo

de comparación y los estudiantes del grupo experimental en la utilización de mapas

conceptuales versus la enseñanza tradicional en el aprovechamiento en matemáticas

en el tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel universitario

2. Ho: No existe diferencia estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo

de comparación y los estudiantes del grupo experimental en la utilización de mapas

de conceptuales versus la enseñanza tradicional en el desarrollo de conceptos

(conceptualización) en el tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel

universitario.

La fase cualitativa de la investigación abordó las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la percepción que tienen los estudiantes del grupo de comparación sobre su

experiencia en la enseñanza tradicional versus el grupo experimental sobre su

experiencia en la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en

el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones en el curso de

Precálculo a nivel universitario?


2. ¿Cuál es la percepción que tiene los estudiantes del grupo de comparación sobre su

experiencia en la enseñanza tradicional versus el grupo experimental sobre su

experiencia en la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza

impactando su aprovechamiento en matemáticas en el tema de función en el curso de

Precálculo a nivel universitario?

3. ¿Cuál es la experiencia del grupo de comparación versus el grupo experimental sobre

el proceso empleado en el desarrollo de las actividades de enseñanza utilizadas en el

tema de función en el curso de Precálculo a nivel universitario?

Marco teórico

El objetivo de este estudio fue investigar el efecto del uso de los mapas conceptuales

como estrategia de enseñanza en el desarrollo del tema de funciones en un curso de Precálculo en

una universidad privada. El segundo objetivo de este estudio fue auscultar la percepción del

grupo de estudiantes sobre la experiencia en el desarrollo de conceptos (conceptualización) y su

aprovechamiento en el tema de función como concepto generador. La investigación se

desarrolló mediante el uso de la metodología de Métodos Mixtos en fases paralelas. El diseño

fue de triangulación porque su naturaleza ofrece un mejor acercamiento al objetivo del problema.

Este diseño de triangulación permitió generar datos cuantitativos y cualitativos en análisis de

similitudes y diferencias para detectar las congruencias o convergencias en ambas modalidades

(Creswell & Plano, 2007, 2011).

El método de investigación combinado se fundamenta en la filosofía pragmática por

presentar el estudio del mundo que nos rodea a través de la experiencia y la experimentación

(Riestra, 1998). Según Riestra, la experiencia es el fundamento sobre el cual descansa todo el


sistema pragmático. Añaden Ozmon y Craver (2003) que el pragmatismo considera la

inducción, la importancia de la experiencia humana y la relación entre la ciencia y la cultura.

Esta investigación contempló como variable independiente el uso del Mapa Conceptual y

dos variables dependientes a saber el proceso de desarrollo de conceptos (conceptualización) y el

aprovechamiento en matemáticas. El concepto de función fue seleccionado por considerarse un

concepto medular en la enseñanza de Precálculo (NCTM, 1992). La investigación consideró los

siguientes aspectos teóricos: mapas conceptuales, aprendizaje, enseñanza (proceso de

conceptualización) y aprovechamiento.

A mediados del siglo XX, ya Sánchez Hidalgo (1963) expresaba que entre los

psicopedagogos y filósofos de la educación existía un consenso en que aprender era un proceso

de cambio dinámico mediante el cual la persona se esfuerza por adaptarse al ambiente cultural,

social y físico que le rodea. Por otro lado, aproximadamente 27 años más tarde, Woolfolk

(1990) afirma que el aprendizaje es el cambio relativamente permanente de un individuo como

resultado de la experiencia o práctica. Lo expresado por Woolfolk lo reafirma Feldman (1998) al

definir el aprendizaje como un cambio relevante en la conducta o comportamiento relativamente

permanente debido a la experiencia vital que incide en la adquisición del conocimiento.

Además, en las primicias del siglo XXI, Papalia, Wendkos, y Duskin, (2005) presentan el

aprendizaje como un cambio duradero en la conducta que se basa en las experiencias y los

ajustes del ser humano a su ambiente. Así que las teorías sobre el aprendizaje surgen del interés

y la necesidad del ser humano de descubrir cómo aprende. (Dunn, K. & Dunn, R., 1978).

Añaden Dunn y Dunn que uno de los elementos más importantes del aprendizaje es el proceso de

conceptualización.


Hernández (2006) define conceptualización como una relación de objetos, conceptos y

otras entidades que se conectan en forma relacionada. Añade Hernández que la

conceptualización es la perspectiva abstracta y simplificada del mundo que se desea representar.

Además, Ontoria et al., (1996) presentan el proceso de conceptualización describiendo tres

componentes básicos: primeramente la estrategia, que ayude a organizar los materiales; segundo,

la construcción de mapas conceptuales ayuda a los estudiantes y profesores a captar el material

que se va aprendiendo; y tercero, el recurso, que es esquemático para presentar conjuntos de

significados conceptuales. Según Novak y Gowin (1988), el punto de partida para iniciar el

desarrollo de construir un mapa conceptual es la exploración de parte del maestro para conocer

qué saben los alumnos sobre el tema. Luego identifican los conceptos claves para el diseño del

mapa y ayudan al estudiante a buscar en su esquema cognitivo conceptos relevantes que estén

relacionados con el tema. Finalmente, el maestro debe de ser un ente que facilita el aprendizaje

al estudiante mediante discusión socializada al establecer proposiciones y reconocer los objetos y

los acontecimientos relacionados con el tema bajo estudio.

Según la NCTM, (2000) los procesos de enseñar y aprender tienen que enmarcarse en las

teorías de aprendizaje. Una de estas teorías es el constructivismo individual de Piaget (1981) que

facilita la individualización de la enseñanza, como el constructivismo social de Vygotsky (1978)

que facilita la enseñanza cooperativa. El Programa de Matemáticas del Departamento de

Educación reconoce que el estudiante construye su conocimiento matemático a través de

experiencias que entrelazan relaciones significativas entre lo que aprende y lo que conoce. De

este modo se facilita la creación de estructuras mentales que dan lugar a la construcción de

nuevos conocimientos. (Marco Curricular, 2003). Araya, Alfaro, y Andonegui (2007)

reconocen a Piaget como el precursor de este movimiento educativo, al presentar al ser humano


actuando con la realidad y construyendo el conocimiento al mismo tiempo que lo estructura en

su mente.

Por otro lado, Miranda (2004) expresa que este es un movimiento de una educación

activa. Añaden Brook y Brook (1993) que la teoría de aprendizaje constructivista es un proceso

activo de creación a partir de experiencias propias y donde el (la) profesor(a) se convierte en un

guía. Por otra vertiente, se considera la importancia en la interacción social y Vygotsky (1978)

la considera como el constructivismo social. La teoría de Vygotsky estipula que todas las

funciones mentales superiores del individuo se originan en la vida social y se derivan de la

interacción social y la cultura del aprendiz. Jacobo y Hernández (2005) exponen que los

investigadores utilizan el constructivismo como el marco teórico que facilita el desarrollo de las

actividades instruccionales para que el alumno construya en forma progresiva los conceptos y

procedimientos matemáticos de mayor abstracción. El constructivismo requiere un estudiante

activo en los procesos de enseñar y aprender.

Por otro lado, el Marco Curricular (2003) del Programa de Matemáticas del

Departamento de Educación recomienda la estrategia de exploración, conceptualización y

aplicación (ECA), donde, al igual que en el constructivismo, se requiere un estudiante activo en

su decisión de aprender. Esta estrategia de enseñanza está acorde con el desarrollo de conceptos

y el diseño de un mapa conceptual para mostrar el aprendizaje significativo que adquieren los

estudiantes en el área de las matemáticas. La fase de inicio que se convierte en una exploración

que permite al estudiante y al maestro obtener información del conocimiento previo que

necesitan para desarrollar los conceptos adecuadamente y sobre los cuales construir su

conocimiento a partir del estudio contextual de la materia (Villarini, 1988). El autor presenta

que esta estrategia fomenta el desarrollo de un aprendizaje auténtico porque promueve plantear


problemas, determinar necesidades, y tomar decisiones de forma experimental, secuencial y

crítica (Villarini, 2003). En el desarrollo de conceptos se ofrece la oportunidad de que el

estudiante exprese externamente la estructura de su conocimiento de forma estructurada y

secuencial, construyendo el estudiante su propio conocimiento (Urzúa & Vargas, 2004).

Se le atribuyen los mapas conceptuales a Novak y un grupo de colaboradores. Los mapas

conceptuales se basan en el aprendizaje significativo de Ausubel y su etapa de asimilación. De

acuerdo a Novak y Gowin (1988), el mapa conceptual tiene como propósito la representación de

relaciones entre conceptos y su ilustración a través de la utilización de proposiciones, unidas

mediante el uso de las palabras de enlaces para clarificar su relación. El mapa conceptual ha sido

definido como un diagrama o diseño que organiza en gráficas la extensión y profundidad de un

concepto (Rivas y Oquendo, 2007). Al construir un mapa conceptual, se están presentando los

conceptos al nivel de abstracción requerido y la relación con los conceptos menores o

subordinados que lo amplían y lo enriquecen (Novak & Gowin, 1988). Un concepto medular en

la enseñanza de Precálculo es el de función por su trascendencia a través del curso y por su

amplitud y profundidad en cursos futuros en áreas de las matemáticas.

El concepto de función fue destacado por la NCTM (1992) como un concepto generador

en la enseñanza de las matemáticas para todos los niveles por su importancia a través del

contenido curricular. El Programa de Matemáticas en su documento Estándares (1996) presenta

el concepto de función a través de todo el contenido curricular desde el nivel elemental hasta los

cursos de escuela superior. Se inicia en el nivel elemental con el concepto de relaciones y

finaliza con el concepto de función en cursos avanzados en el nivel secundario. En 1998, la

NCTM planteó que el concepto de función es unificador y de gran importancia en las

matemáticas desde el nivel primario, iniciando su base de relación, al nivel secundario


profundizando el concepto de función hasta el nivel universitario en la proyección hacia las

matemáticas de nivel avanzado. En los libros de Precálculo se presenta con mayor formalidad la

definición de función y sus aplicaciones que conllevan un conocimiento de mayor profundidad y

abstracción (Larson, 2011; Sullivan, 2008; Stewart, Redlin, & Watson, 2012; Swokowski &

Cole, 2012).

La NCTM presenta el concepto como correspondencias especiales entre dos conjuntos y

están presentados a lo largo de todo el contenido curricular para todos los niveles de enseñanza.

La NCTM también reconoce que el concepto es importante porque constituye una relación

matemática de muchas situaciones de entradas y salidas que se presentan en el mundo real y han

resultado últimamente con los avances de la tecnología (NCTM, 2000).

En términos del contenido matemático, para este estudio, se adoptó la definición

presentada por Larson (2011) del concepto de función (f) como una relación de los elementos del

conjunto A con un conjunto B. Señalan los autores que es una regla que asigna a cada elemento

“x” de A exactamente un elemento en “y” en el conjunto B. Dicha definición armoniza con la

definición de función dada por Sullivan (2008); Stewart, Redlin, y Watson (2012); y por

Swokowski y Cole (2012).

Los conceptos aprendidos por los estudiantes tienen que de alguna manera ser medidos

para mostrar el dominio de estos. Existen diferentes instrumentos para evaluar el conocimiento.

Dentro de estos instrumentos se encuentran las pruebas de aprovechamiento preparadas por los

profesores y las pruebas estandarizadas (Papalia, Wendkos, & Duskin, (2005).

El aprovechamiento se define como el nivel de conocimiento de un estudiante medido a

través de una prueba de evaluación (Rodríguez, 2002). Coincide Feldman (1998) al expresar que

el aprovechamiento es el nivel de conocimiento de una persona en una materia determinada


mediante la utilización de una prueba preparada a tales fines. Papalia, Wendkos, y Duskin,

(2005) definen aprovechamiento como el nivel de desempeño que los estudiantes muestran al

someterse a una prueba preparada por el (la) profesor(a) o una prueba estandarizada de

aprovechamiento. Por otro lado, Ontoria et al. (1996) expresan que medir el aspecto conceptual

es fácil con la ayuda de los mapas conceptuales donde el estudiante mostrará claramente si ha

entendido y memorizado en forma comprensiva las relaciones conceptuales y sus significados

básicos que se le han presentado a través de la enseñanza.

Definiciones de variables

Este estudio presentó como variable independiente el uso del mapa conceptual y cómo

variables dependientes el proceso de la conceptualización y el aprovechamiento en matemáticas

en el concepto de función en un curso de Precálculo a estudiantes de nivel universitario. A

continuación se presentan las definiciones teóricas y operacionales de los conceptos medulares

del estudio.

Mapas conceptuales

Según Novak y Gowin (1988), los mapas conceptuales constituyen un método interactivo

entre el estudiante y el maestro con el propósito de presentar relaciones significativas entre

conceptos mediante la utilización de preposiciones. En este estudio, el mapa conceptual se

refirió a un instrumento eficaz para el desarrollo del pensamiento en forma jerárquica y

secuencial. Se utilizó como estrategia de enseñanza para asistir a los estudiantes en la

conceptualización del concepto de función y los conceptos menores que lo describen.

Hernández (2006) define conceptualización como una relación de objetos, conceptos y

otras entidades que se conectan a través de relaciones. Añade el autor que la conceptualización

es la perspectiva abstracta y simplificada del mundo que se desea representar. En este estudio se


definió conceptualización como el proceso por el cual el estudiante participa en el desarrollo

sistemático de conceptos, sus relaciones y su perspectiva abstracta en el concepto de función. Se

midió en el inventario de intereses en la fase cuantitativa y cualitativamente mediante la

actividad de grupo focal.

Función

El concepto de función fue destacado por la NCTM (2000) como un concepto generador

en la enseñanza de las matemáticas para todos los niveles por su importancia a través del

contenido curricular. Larson (2011) define el concepto de función (f) como una relación entre

los elementos (x) del conjunto A con un elemento (y) del conjunto B. Esta definición fue

adoptada para efectos de esta investigación por tratarse del contenido matemático fundamental.

Además, el concepto se delimitó a función algebraica solamente. Para efecto de esta

investigación, el concepto de función se midió a través de la construcción de los mapas

conceptuales en las cuatro actividades de práctica.

Aprovechamiento en el concepto de función

Según Feldman (1998) aprovechamiento es el nivel de conocimiento que tiene una

persona medida por una prueba de aprovechamiento de una materia determinada. De manera

particular, Clark y Wilson (1994) y la NCTM (1989), citados por Cavero (2006), expresan que el

aprovechamiento en funciones se refiere a la compresión de conceptos, la realización de

operaciones y la aplicación a situaciones matemáticas sobre funciones. En este estudio se refirió

al dominio y aplicación de las destrezas que tiene un estudiante del concepto de función una vez

sean explicados, discutidos y facilitados por un especialista o profesor(a). El aprendiz debe

poder explicar y aplicar dicho concepto a diversas situaciones sin necesidad de buscar en una

fuente de referencia. En este estudio el estudiante construyó el mapa conceptual y defendió su


posición por medio de argumentos que justificaron el diseño que presentó como resultado de

participar de las actividades de las experiencias de desarrollo de conceptos. Este dominio de los

conceptos en el tema de función, en la fase cuantitativa del estudio, se midió con una preprueba y

una posprueba que preparó el investigador y en la fase cualitativa se presentó en el boleto de

entrada y salida. Los instrumentos utilizados para recopilar los datos fueron validados con

anticipación en un estudio piloto. Luego de administrados, el investigador pasó a recogerlos para

su corrección, interpretación y análisis.

Importancia del estudio

Los cambios asociados a la sociedad del conocimiento requieren una modificación en las

estrategias de enseñanza con el fin de que el alumno muestre de diferentes maneras las

competencias adquiridas en determinado conocimiento en matemáticas. Así será un ser humano

ajustado al entorno que vive y estará capacitado para enfrentar al mundo competitivo de hoy. Al

desarrollar las destrezas matemáticas de forma jerárquica y secuencial con mayor abstracción, se

proyectará a la sociedad del conocimiento del siglo XXI. La importancia de este estudio es que

pretendió determinar la efectividad de una estrategia de enseñanza con miras a que contribuya al

desarrollo de un ser humano ajustado a la sociedad global de estos tiempos.

Hitt (2003) indica que la enseñanza de matemática, por su complejidad de adquisición de

conceptos matemáticos, su naturaleza abstracta y nivel de profundidad requerida, presenta en el

aprendiz dificultad en adquirirlos. Reafirma Salas (2006) que el uso de los mapas conceptuales

es una estrategia excelente que permite la integración constructivista, dándole mayor significado

a la experiencia. Añaden Novak y Gowin (1988) que los mapas conceptuales llaman la atención,

tanto del maestro como del estudiante, sobre el reducido número de ideas importantes que se


necesitan para expresar en forma esquemática las relaciones entre conceptos, creando un

aprendizaje significado para ambos.

En la sociedad del conocimiento y en los entornos en que se desarrolla el estudiante

existe un desfase entre lo enseñado y lo vivido. Esto puede crear falta de interés en los

estudiantes (Quintero, 2006). Añade la autora que los procesos educativos son dinámicos y

guardan estrecha relación con su entorno. Según Ausubel (1976), el aprendizaje significativo es

la explicación de la construcción del conocimiento al estudiante someterse a experiencias nuevas

de información y asociarlos con los conocimientos que posee el individuo de las experiencias

previas. Por otro lado, Hernández (2006) resume que el aprendizaje significativo de Ausubel se

refiere al momento que el estudiante trata de integrar el nuevo conocimiento en el conocimiento

existente. En la utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en

matemática se facilita el aprendizaje significativo de nuevos conocimientos que son asimilados

mediante un proceso activo en el cual el aprendiz utiliza sus conocimientos previos para negociar

el significado de los conceptos nuevos (Aguilar, 2006).

Se espera que los resultados obtenidos de dicha investigación permitan llegar a la toma de

decisiones sobre mejorar la enseñanza del tema de funciones con miras a lograr un aumento en el

aprovechamiento en matemáticas y en el proceso de conceptualización de los estudiantes tan

necesario en los cursos de Precálculo. Se obtuvieron datos cuantitativos que al ser interpretados

pueden arrojar evidencia empírica con relación al efecto de la utilización de los mapas

conceptuales en los cursos de Precálculo y el efecto de los mismos en el aprovechamiento en

matemáticas del estudiante. Además, consideró los datos cualitativos para explorar el sentir y la

percepción de los estudiantes sobre el proceso de conceptualización de forma descriptiva en los

cursos de Precálculo.


La importancia de este estudio para el estudiante es que pretendió estimular y motivar el

proceso de reflexión y de análisis. A través de esta investigación en fases paralelas de métodos

mixtos de triangulación, se reunió evidencia que contribuye a que los educadores

puertorriqueños en el área de Precálculo utilicen los mapas conceptuales como una estrategia de

enseñanza para impactar el aprovechamiento en matemáticas de sus estudiantes en los cursos de

Precálculo. Por tal razón se documentó si la utilización de esta estrategia de enseñanza puede ser

efectiva para aumentar el aprovechamiento en matemáticas. Se esperó, además, que los

estudiantes demostraran dominio de los conceptos fundamentales que describen el concepto

generador de función. De acuerdo a los hallazgos de este estudio en el desarrollo de conceptos

se preparará un cuaderno de trabajo para que los estudiantes desarrollen los conceptos que le

ofrecen significado al concepto generador de función y luego se considerará la posibilidad de

ampliarlo a otros conceptos generadores en la enseñanza de la matemática.

Delimitaciones y limitaciones

Este estudio se limitó al estudio de estudiantes de nivel universitario que cursan el primer

o el segundo año de estudios y están matriculados en un curso de Precálculo en la Escuela de

Ciencias y Tecnología de una universidad privada. Se delimitó a las funciones algebraicas

solamente por la amplitud y extensión del concepto de función como matriz en un curso de

Precálculo.

Uno de los aspectos de mayor importancia en este estudio fue considerar las amenazas a

la validez interna para control de la calidad de los resultados de la investigación (Hernández,

Fernández, &Baptista, 2006; McMillan & Schumacher, 2008; Wiersma & Jurs, 2005). Al

respecto se consideraron las siguientes amenazas a la validez interna de la investigación.


En relación a la amenaza de historia, se minimizaron los imprevistos porque el (la)

profesor(a) tuvo una guía donde se especificó el quehacer educativo diariamente mediante el

estudio del tema de funciones en el curso de Precálculo. Otra de las amenazas a la validez

interna de la investigación fue la maduración que se refiere a los procesos internos que ocurren

en los participantes como consecuencia del transcurrir del tiempo. En esta investigación se

controló porque el tiempo fue de solamente ochos semanas. La inestabilidad fue otro de los

aspectos que pudo amenazar la validez interna en esta investigación. Se minimizó con la

intervención del investigador y las orientaciones al profesor (a) sobre la administración de la pre

y pospruebas. Además, se consiguieron lugares adecuados para la creación del ambiente en las

diferentes mediciones y recopilaciones de datos. Las actividades se desarrollaron en salones

habilitados con aire acondicionado, sala de conferencia y oficina del investigador para

actividades individuales.

Otra amenaza a la validez interna de la investigación pudo ser la administración de la

preprueba y pospruebas que pudo invalidar el estudio, dependiendo del entorno en que se

administrara y la motivación de los estudiantes al tomar ambas pruebas. Para mayor control de

la administración de la preprueba y posprueba, las mismas se administraron en un salón

adecuado y con aire acondicionado en un segundo piso para minimizar el ruido externo.

También se mantuvo la misma rigurosidad al presentar las actividades de comprobación de

conceptos donde se recopilaron los datos cualitativos y cuantitativos.

El cambio en los instrumentos de medición y el proceso de observación pudo crear

variaciones en los resultados. En esta investigación no surgieron cambios y los instrumentos

permanecieron según diseñados para el estudio. Los instrumentos fueron evaluados por un panel

de expertos de acuerdo al objetivo y algunos se sometieron a pruebas estadísticas.


Se consideró un análisis de regresión estadística para minimizar aquellos valores

extremos que pudiesen afectar las variables bajo estudio.

Los participantes fueron seleccionados de secciones intactas matriculadas en el curso de

Precálculo con los requisitos previos establecidos según las normas de la institución.

La investigación se realizó en ocho semanas y no se perdieron participantes, controlando

la amenaza de mortalidad. Se pasó lista diariamente y los estudiantes que mostraron dos o más

ausencias fueron referidos a la orientadora académica para dialogar y establecer un plan de

estudio. Dicha gestión minimizó el efecto de mortalidad de sujetos.

En la difusión como amenaza a la validez interna del estudio se encuentra la divulgación

de información de las actividades entre los estudiantes de ambos grupos. Se orientó a los

estudiantes sobre la importancia de los tratamientos y se presentaron actividades para motivar a

ambos grupos participantes a que mantuvieran sus experiencias en confidencialidad para que su

aportación a la investigación fuera de mayor confiabilidad.

En cuanto al comportamiento del grupo de comparación, no mostraron actitudes

negativas hacia la investigación porque los participantes se trataron de la misma forma y en

ningún momento se mostró trato diferenciada y mucho menos un trato preferencial.

En este estudio, los resultados del aprovechamiento se compararon tanto

cuantitativamente como cualitativamente. De igual manera, el sentir o la percepción de los

estudiantes al pasar por las actividades de práctica que requirió el tratamiento se analizaron

utilizando ambos métodos. En la fase fenomenológica de percepción de los seres humanos se

consideró de gran importancia el desarrollo integral del individuo.


Capítulo II

Revisión de Literatura

El objetivo de este estudio fue determinar el efecto que tiene el uso de Mapas

Conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) y

en el aprovechamiento en matemáticas del tema de función en Precálculo en estudiantes de una

universidad privada. En este capítulo se presenta la literatura relacionada con el problema

planteado en el capítulo anterior. Además, se discute la importancia de las matemáticas en el

mundo actual; se exponen las teorías generales de aprendizaje congruentes con las teorías del

aprendizaje en matemáticas, las estrategias de enseñanza que aplican al uso de mapas

conceptuales y su relación con el proceso de desarrollo de conceptos (conceptualización) en su

aprendizaje. Además, se expone la visión que tiene PISA (2003) en relación al desarrollo de

competencias matemáticas. También se presenta la visión que tiene la National Council of

Teachers of Mathematics (NCTM, 2000, 2009) y el Departamento de Educación del Estado

Libre Asociado de Puerto Rico (2003) respecto a la enseñanza, las estrategias de enseñanza y el

aprendizaje recomendables para el desarrollo conceptual en la materia. De igual forma se

discuten los estudios más recientes sobre la visión que tienen estudiantes y educadores respecto

al uso del mapa conceptual como estrategia en la enseñanza de las matemáticas y en el desarrollo

de un aprendizaje significativo de la misma. Además, se presenta el marco metodológico

relacionado con investigaciones que atienden las variables consideradas en el presente estudio.

La necesidad de trasformar la educación es imperante para la era del conocimiento del

siglo XXI. El uso de la tecnología, la comunicación y el acercamiento entre los países es un

factor importante para considerar en el desarrollo económico de los pueblos. En el año 2009 la

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), reconoció que la matemática juega un


papel importante, ya que fortalece en gran medida el desarrollo económico y contribuye a

fortalecer la transformación que los seres humanos necesitan para subsistir en la sociedad global

de estos tiempos. Esta organización destaca que la enseñanza de la matemática resulta de mayor

importancia cada día por su aportación a la seguridad nacional, la economía entre los países y

por su impacto en el mundo laboral de hoy.

Desde el año 1989 la United Nations Educational Scientific Cultural Organization

(UNESCO) manifestó ante la Asamblea General por el International Mathematics Union (IMU

subcomisión de la UNESCO) que el aprendizaje de las matemáticas representa uno de los

grandes desafíos para el presente siglo. Esto requiere una enseñanza de mayor compromiso con

la sociedad global y exige el desarrollo de competencias en matemática para la supervivencia en

su mundo competitivo e hizo un llamado para la enseñanza de la matemática para el nuevo

milenio (NCTM, 2000). Los objetivos sociales de la educación exigen un personal con

educación matemática, un aprendizaje continuo, oportunidad para todos los seres humanos y un

ciudadano bien informado (NCTM, 1992). Añade esta organización magisterial en matemáticas

que estos objetivos van dirigidos a que el sistema escolar proporcione recursos para toda la vida

a todas las personas. Según PISA (2003, 2009), las competencias matemáticas se refieren a la

capacidad del individuo entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo. La

convención internacional de la NCTM de maestros de matemáticas para el nuevo milenio en el

año 2000 generó la participación de profesores a nivel mundial y se fundamentó en el giro

radical que requería la enseñanza de matemáticas en estos tiempos. Además se planteó que el

significado de aprender matemática adquiere mayor profundidad en las competencias del entorno

generado en el siglo XXI. Por otro lado, se expuso que las estrategias de enseñanza se


fundamentan en las estrategias de aprendizaje que se requieren para lograr las competencias en

matemática

La NCTM (2000) presenta los estándares como criterios de excelencia y clasifica el uso

de la tecnología a nivel de estándar. Además, presenta la aportación de las conexiones entre las

áreas de la matemática y las asociaciones con otras materias. (NCTM, 2000). También, este

organismo rector invita al maestro a la reflexión y el análisis del cambio de paradigma que

establece esta era del conocimiento y que invita al estudiante a construir estrategias eficientes

que puedan ser generalizadas. La época global y sus exigencias solicitan un estudiante más

activo en su proceso de aprender y construir su propio conocimiento en escenarios que permitan

el cambio de estrategias de enseñanza (NCTM, 2000).

La literatura señala que la utilización de los mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza es una alternativa de excelencia para lograr un aumento en las competencias de las

materias [matemáticas] basadas en un aprendizaje significativo (Baeza, 2009; Hernández, 2005;

Novak & Gowin, 1988; Ontoria, Molina, & de Luque, 1996). Entre los autores citados existe

esta idea central sobre los mapas conceptuales, pero cada uno mantiene aspectos individuales.

Hernández (2005) destaca el punto de vista didáctico. Señala que los mapas conceptuales

estimulan el aprendizaje significativo relacionando los conceptos y los datos necesarios. Por otro

lado, Ontoria, Molina, y de Luque (1996) valoran el mapa conceptual como un medio al que

pertenece la estructuración al compartir significados en un contexto dado. Novak y Gowin

(1998) presentan el uso de mapas conceptuales como una nueva estrategia de planificación de la

instrucción y los generaliza como estrategia de planificación del currículo.


Teorías de aprendizaje congruentes con el aprendizaje en matemáticas

A través de los años expertos en el campo de la psicología (Feldman, 1998; Papalia,

Wendkos, & Duskin, 2005; Sánchez Hidalgo, 1963; Schunk, 2000; Woolfolk, 1990) han

presentado distintas visiones y definiciones sobre el concepto de aprendizaje. Muchas de estas

definiciones comparten elementos comunes a la hora de expresar cómo se visualiza o se

operacionaliza el aprendizaje. Sin embargo, también existen variantes entre ellas. Feldman

(1998) define el aprendizaje como un cambio relevante en la conducta o comportamiento

relativamente permanente debido a la experiencia vital que incide en la adquisición del

conocimiento. Shuell (1986 citado por Schunk, 2000), define el aprendizaje como un cambio

duradero en la capacidad de comportarse de determinada manera como resultado de la práctica o

de enfrentar determinadas experiencias. Shunck afirma que el aprendizaje se verifica cuando las

personas realizan algo de manera diferente y que el mismo abarca el desarrollo de acciones

nuevas o modifica las existentes. En la década de los años 60 del siglo XX ya Sánchez Hidalgo

(1963) expresaba que entre los psicopedagogos y filósofos de la educación existía un consenso

de que aprender es un proceso de cambio y añadió que es un proceso dinámico mediante el cual

la persona se esfuerza por adaptarse al ambiente cultural, social y físico que le rodea. Por otro

lado, Woolfolk (1990) afirma que el aprendizaje es el cambio relativamente permanente de un

individuo como resultado de la experiencia o práctica. A comienzos del nuevo milenio (siglo

XXI), Papalia, Wendkos y Duskin, (2005) presentan el aprendizaje como un cambio duradero en

la conducta que se basa en las experiencias y los ajustes del ser humano a su ambiente.

Las definiciones de aprendizaje expuestas anteriormente sostienen que el cambio en

conducta es permanente o relativamente permanente. Coinciden en que el aprendizaje es el

producto o la conducta que muestra el ser humano luego de pasar por determinadas experiencias


prácticas mediadas por la influencia del entorno donde se adquiere. Estas definiciones recalcan

uno de los conceptos fundamentales en el aprendizaje de la matemática: la pertinencia o

relevancia que tiene para el aprendiz el concepto que se le presenta en determinado entorno o

circunstancia (Quintero, 2006).

Las teorías de aprendizaje surgen y responden a las necesidades y el nivel de desarrollo

del conocimiento en las diferentes épocas de la humanidad. Estas, de alguna manera, son y han

sido utilizadas por los profesores en la sala de clase. Los filósofos, (Ozmon & Craver, 2003); los

psicólogos (Feldman, 1998; Papalia, Wendkos, & Duskin, 2005; Sviniscky, 2004) y

recientemente los neurocientíficos (Colón, 2003; Salas, 2003) han desarrollado teorías y

principios de aprendizaje que señalan hacia una integración del conocimiento en el mundo físico,

biológico y social. Las teorías de aprendizaje del campo de la psicología que tienen mayor

tangencia en el aprendizaje de las matemáticas son el conductismo y el constructivismo como

parte de la teoría cognitiva (Marco Curricular, 2003; Schunk, 2000; Sviniscky, 2004).

El conductismo parte del supuesto de que el estudiante desconoce el tema y se

circunscribe solo a aprender la información y practicar el método hasta que el mismo se haya

incorporado al pensamiento (Cooper, 2003; Joyce, Weil, & Colhoun, 2002; Marco Curricular

2003). Esta teoría concibe el conocimiento fundamentalmente como una respuesta pasiva y

automática a factores de estímulos externos que se encuentran en el ambiente (Feldman, 1998).

Según el Marco Curricular del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de

Puerto Rico (1996, 2003) los cuatro exponentes máximos de este pensamiento son Pavlov

(1904), Thorndike (1898), Watson (1920) y Skinner (1974). Todos ellos presentan los elementos

comunes del conductismo al describir la conducta observable como una respuesta predecible ante

la experiencia (Feldman, 1998; Papalia, Wendkos, & Duskin, 2005; Sviniscky, 2004). Esta


teoría de aprendizaje es conveniente en la utilización de los mapas conceptuales en su etapa

inicial, donde algunos subgrupos aprenden mayormente de forma dirigida (Ontoria, Molina, &

de Luque, 1996).

Por otro lado, Hernández (2005) opina que para promover el desarrollo de conceptos, es

preferible crear una lista de conceptos y mediante una discusión socializada el maestro va

orientando a enseñar la creación de mapas conceptuales. En este momento, el maestro ofrece la

construcción del mapa conceptual como modelo de un contenido (contexto) estudiado durante la

clase de matemática. Luego permite que los estudiantes demuestren sus conocimientos

adquiridos mediante la práctica de la construcción de un mapa conceptual en un contexto

matemático dado. De esta manera, el maestro corrobora los niveles de aprendizaje en que se

encuentran los estudiantes mediante la construcción de un mapa conceptual.

El constructivismo es otra de las teorías del conocimiento que converge con el

aprendizaje de las matemáticas (Marco Curricular, 2003). Hernández (2005) también considera

el constructivismo como parte de la teoría cognitiva. Además, el autor cataloga el aprendizaje

como un proceso mental activo de construcción, desarrollo, adquisición y utilización del

conocimiento (Hernández, 2005). Sviniscky (2004) coincide en que el constructivismo percibe

un estudiante activo en el centro del proceso y lo ubica como el conductor que dirige su

aprendizaje. La autora añade que el mejor método instruccional del constructivismo se basa en

el descubrimiento del estudiante en su interacción activa con su entorno y con otros estudiantes

para construir su realidad y sus experiencias. En estas experiencias lo mejor es que el estudiante

cree sus propios modelos mediante ejemplos, estructuras y su propio conocimiento.

Por otro lado, Brooks y Brooks (1993) presentan la teoría constructivista como una donde

el estudiante es un miembro activo de creación donde toma en consideración sus experiencias


previas. Estos autores señalan que el constructivismo concibe el conocimiento como algo que se

construye, una elaboración que realiza el individuo enfrentado a su ambiente. Piaget (1981)

expone que la construcción del conocimiento se centra en la persona, en sus experiencias sobre

las cuales realiza nuevas construcciones mentales. Esta construcción se produce cuando el sujeto

interactúa con el objeto del conocimiento. Cárdenas (2004) apoya el papel activo del

constructivismo y añade que el conocimiento cultural está a la disposición de todos, pero cada

ser humano lo percibe de forma diferente y específica en su reconstrucción.

Según Gouveia (2000), el constructivismo piagetiano tiene la característica de que el

estudiante construye su propio conocimiento valorizando su autonomía intelectual. Piaget

(citado en Chadwick, 2001) plantea que para que el estudiante aprenda debe pasar por un estado

de desequilibrio, de cierto grado de ansiedad que le sirva de motivación para aprender. Por otro

lado, Ordóñez (2006) expone que el constructivismo ofrece mayor apoyo a las prácticas

pedagógicas activas y puede delinear el sendero a seguir en los cambios educativos. Destaca

Rodríguez (2003) que el alumno no solamente construye su propio conocimiento, sino que

también crea conciencia de cómo realizar su aprendizaje y reflexiona sobre los procesos internos

y externos que evolucionan en su aprendizaje. Añade el autor que el constructivismo toma en

consideración la pertinencia con la realidad social y con el compromiso de transformación del

aprendizaje que tiene el ser humano.

Entre sus exponentes, el constructivismo social incluye a Vygotsky (1978) quien además

de reconocer estos argumentos, expone y valora la importancia de la interacción social en el

aprendizaje y la relación activa entre los seres humanos y su ambiente (Papalia, Wendkos, &

Duskin, 2005; Svinicki, 2004). Según la teoría del constructivismo social de Vygotsky (1978

citado por Hernández, 2006) la cultura le ofrece al estudiante instrumentos necesarios para el


propio desarrollo. Añade el autor que los instrumentos dados a los seres humanos son la lengua,

la historia natural y el contexto social. Irene Chen (citada en Hernández, 2006) manifiesta que

en los tiempos de la era de la comunicación y la globalización se incluyen los modos electrónicos

de acceso a la información. Por otro lado, Cárdenas (2004) añade que el conocimiento cultural

está en la disposición de todos, pero cada ser humano lo percibe de forma diferente y específica

en su reconstrucción.

La NCTM (2000) presentó la enseñanza de la matemática para el nuevo milenio y

enfatizó el constructivismo como el proceso activo al que se deben exponer los alumnos en el

entorno del siglo XXI. Presentó a un estudiante activo, deseoso de aprender mediante su propia

investigación, y un (a) profesor(a) facilitando el proceso para que el estudiante logre sus metas.

La enseñanza de la matemática en la era de la sociedad del conocimiento requiere un estudiante

con una participación activa en la sala de clases que le permita explorar, experimentar, descubrir

y crear sus propias estrategias de aprendizaje para adaptarse a las exigencias del mundo

competitivo actual (NCTM, 2000)

La teoría de aprendizaje del constructivismo individual o grupal se presta en gran medida

para la construcción de mapas conceptuales por la naturaleza de la actividad, donde los

estudiantes relacionan los conceptos generadores con los conceptos menores que los amplían

(Hernández, 2006). El autor añade que en ocasiones es conveniente utilizar el constructivismo

social y que los subgrupos de pares se comuniquen, analicen y discutan las relaciones que se

establezcan entre el concepto generador y los conceptos menores. [En otras ocasiones es

conveniente que los estudiantes, en forma individual, descubran y construyan sus propios mapas

conceptuales].


Otra teoría que fundamenta la enseñanza es el aprendizaje significativo que explica la

construcción del conocimiento (Ausubel, 1976). Esta plantea que el conocimiento se construye a

partir de las experiencias y destrezas que ya posee el individuo. Además, señala que al

estudiante someterse a experiencias de una nueva información, utiliza los conocimientos que

posee o las experiencias previas para lograr la transformación del conocimiento. Por otro lado,

el autor puntualiza que el aprendizaje significativo requiere materiales potenciales e instrucción

donde el estudiante desarrolla cierta actitud favorable para aprender significativamente. La

asimilación conceptual que se refiere a la adquisición de conceptos por aprendizaje, por

recepción, no es simplemente un proceso de absorción pasiva. Ausubel señala que la asimilación

de conceptos se caracteriza por un activo de relación, diferenciación y reconciliación integradora

con los conceptos pertinentes que ya existen.

Añade Ausubel que existen tipos de aprendizaje significativo. Uno de estos tipos de

aprendizaje significativo es el aprendizaje de representaciones, que es hacer el significado de los

símbolos representados mayormente por palabras y compartidos socialmente. Este se refiere a

símbolos o palabras unitarias. El otro tipo de aprendizaje es el de proposiciones y se refiere al

conjunto de ideas expresadas por grupos de palabras. Las proposiciones combinan una palabra

con muchas palabras individuales donde cada una representa una unidad de referencia. Añade el

autor que las palabras individuales se combinan de tal manera que la proposición es la suma de

todas las palabras componentes. El otro tipo de aprendizaje significativo que destaca el autor es

el aprendizaje de conceptos partiendo de las ideas individuales o la combinación de estas para

formar frases o proposiciones. En este estudio se adoptará el tipo de aprendizaje de conceptos.

Aprendizaje significativo ocurre cuando intencionalmente el estudiante trata de integrar

nuevo conocimiento en el conocimiento existente (Ausubel, 1976). Añade el autor que un


estudiante que logra integrar nuevo conocimiento tendrá en su mente una red cognitiva más

extensa, y por ello dispondrá de más recorridos de recuperación. Según Ausubel, citado por

Novak y Cañas (2009), el aprendizaje de conceptos ocurre mediante la asimilación de nuevos

conceptos y proposiciones en los marcos conceptuales existentes en los seres humanos. Varios

educadores (Ojeda, Díaz, González, Pinedo, & Hernández, 2007; Novak & Gowin, 1988;

Ontoria, Molina, & de Luque, 1996) han presentado este concepto de Ausubel como el producto

que logra el estudiante en la transformación del conocimiento tomando como base los

conocimientos, las actitudes, las motivaciones, los intereses y las experiencias que posee y las

relaciona con el concepto nuevo.

En Puerto Rico, los procesos de enseñar y aprender matemáticas han reflejado muchas de

estas teorías de aprendizaje en el entorno escolar. De acuerdo al Marco Curricular de

Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico (1996, 2003), desde el 1900 al

1930, el énfasis en la enseñanza de matemáticas fue al desarrollo de conceptos y destrezas de

aritmética para el diario vivir. Luego, del 1930 al 1960, se enfatizó el área del aprendizaje

social, donde los textos para esa época eran conocidos como Aritmética Social. En la década de

los años 60 se presentó la enseñanza de las matemáticas con énfasis en la estructura y el

significado de la materia y fue conocida como la ‘matemática moderna’. El cambio radicó en el

enfoque y no en la estructura de la matemática como tal. En los años de 1970 al 1980 resurge un

movimiento en Estados Unidos de volver al desarrollo de las destrezas básicas y Puerto Rico

adopta y adapta la modalidad. Desde el 1980 hasta el momento de diseñar este estudio, la

enseñanza de las matemáticas se realiza a través de aplicaciones a situaciones encaminadas al

desarrollo del pensamiento reflexivo. Esta evolución histórica en Puerto Rico ha permitido que

los educadores en el área de matemáticas reflexionen sobre las distintas teorías de aprendizaje y


los estilos variados y complejos que tienen los estudiantes para aprender matemáticas (Marco

Curricular de Matemáticas, 1996, 2003).

Estrategias de enseñanza congruentes con las teorías de aprendizaje en matemáticas y el

uso de mapas conceptuales

De acuerdo a Joyce, Weil, y Colhoun (2002), el concepto de estrategia de enseñanza se le

debe a Hilda Taba quién lo diseñó y popularizó como un paradigma para mejorar la capacidad

del estudiante en el manejo de información. Añaden los autores que Taba construyó el concepto

de estrategia de enseñanza basado en tres supuestos: la formación de conceptos (estrategia básica

en la enseñanza), la interpretación de datos, y la aplicación de principios. La Enciclopedia de

Pedagogía Práctica (2005) expresa que las estrategias de enseñanza encaran las prácticas de la

sala de clases enfrentando sus problemas y buscando las mejores alternativas para resolverlos.

Según Ortiz (2009), la estrategia de enseñanza incluye en su definición todas las técnicas,

actividades, los procedimientos, los métodos y los recursos a los que se expone al estudiante

esperando que reciba, internalice, modifique, aplique y evalúe las experiencias de aprendizaje a

las cuales es sometido. Por otro lado, añade Barrell (1999) que una estrategia la constituye una

serie de episodios conectados de forma lógica que llevan al alumno a satisfacer una curiosidad o

la solución de una situación. El autor amplía el concepto al presentarlo como estrategia de

investigación donde su definición considera que es un conjunto de experiencias de aprendizaje

que invita al estudiante a indagar, investigar, analizar e informar los resultados. En general, el

profesor utiliza la estrategia de enseñanza para facilitar el proceso de enseñanza (Joyce, Weil, &

Colhoun, 2002).

Otra de las estrategias de enseñanza que considera el aprendizaje constructivista es

aquella que requiere que el maestro sea un facilitador del aprendizaje presentando situaciones


que el alumno investigue, cuestione, busque y descubra, construyendo así su propio

conocimiento (Schunk, 2000; Svinicki, 2004). Además, los autores expresan que estas

actividades pueden ser individuales o de subgrupos donde la socialización con los pares pueda

generar un sentido de solidaridad y en forma conjunta construir el conocimiento. Este

constructivismo social es recomendado para llevar a cabo el proceso de conceptualización en la

construcción de los mapas de conceptos (Hernández, 2005; Ontoria & Molina, 1995).

Otra estrategia de enseñanza recomendada para usarse en la enseñanza de matemáticas es

la enseñanza cooperativa donde se crea un ambiente de colaboración para el desarrollo del

aprendizaje cooperativo (Cooper, 2003; Joyce, Weil, & Calhoun, 2002; Marco Curricular de

matemáticas, 2003). La enseñanza cooperativa es una estrategia que requiere que los estudiantes

trabajen en pequeños grupos [sub-grupos] (Orlich et al., 2001). Trabajar en pequeños grupos

crea mayor solidaridad entre los pares que se unen para enfrentar la tarea como una unidad de

trabajo, con el fin común de resolver alguna situación o un problema (Cooper, 2003). Con la

utilización de la enseñanza cooperativa, los estudiantes se fortalecen unos a otros ya que las

habilidades son diversas. El aprendizaje cooperativo como una de las estrategias de enseñanza

ayuda a desarrollar el pensamiento matemático e invita a razonar reflexivamente, proveyendo el

desarrollo de destrezas en la solución de problemas Este tipo de enseñanza está relacionada con

la investigación grupal (Marco Curricular de Matemáticas, 2003; Svinicki, 2004).

La investigación grupal es otra de las estrategias que requiere una serie de actividades

para determinar un estudio de investigación (Joyce, Weil, & Calhoun 2002). En estas

investigaciones los alumnos se encuentran frente a un problema donde exploran las reacciones

ante la situación a investigar (Cooper, 2003). El maestro guía a los alumnos a notar las

diferentes percepciones que presenten ante el planteamiento de la situación, permitiendo que se


construya un esquema cognitivo del problema. Cada estudiante analiza qué se requiere, cómo se

organiza y luego comunica a los demás los resultados. El grupo en pleno evalúa dichos

resultados de acuerdo a la situación planteada (Marco Curricular de Matemáticas, 2003; Orlich et

al., 2001).

Otra estrategia de enseñanza que se recomienda en la utilización de los mapas

conceptuales es la de abstracción de modelos que permite al estudiante realizar una codificación

complementaria a la que presente el profesor o el libro de texto (Joyce, Weil, & Calhoun, 2002;

Marco Curricular, 2003; Planchart, 2005). Muchas veces, esta estrategia requiere ilustraciones,

construcciones algorítmicas, gráficas, tablas y otros recursos visuales que permiten el uso de

cuadros sinópticos, diagramas y mapas conceptuales. Los organizadores gráficos constituyen

otra estrategia que permite consolidar la estructura cognitiva y aumentar la nueva información

(Joyce, Weil, & Calhoun, 2002; Novak & Gowin, 1988; Ontoria, Molina, & de Luque, 1996).

Esta estrategia también se considera una técnica activa con el propósito de representar esquemas

visuales (Moncayo, 2010).

Las estrategias en la enseñanza no dirigida (Joyce, Weil, & Calhoun, 2002) son de mayor

utilidad en la sociedad del conocimiento del siglo XX1. En las mismas el maestro y el estudiante

comparten la responsabilidad de la discusión que puede ser iniciada tanto por el maestro como

por el estudiante (Hernández, 2005). La discusión socializada como estrategia contribuye

grandemente a la construcción de los mapas conceptuales, al maestro facilitar el establecimiento

de la organización esquemática mediante una discusión socializada con el estudiante. Esta

estrategia el aprendizaje es en ambas direcciones por entenderse que tanto aprende el estudiante

como el maestro.


La utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza permite que el

maestro identifique el desarrollo de conceptos. Según Hilda Taba (citada en Joyce et al., 2002)

existen tres tipos de estrategias básicas en la formación de conceptos. La primera estrategia se

refiere a la identificación y enumeración de los datos que contienen el tema o problema,

incluyendo los sub-temas o conceptos menores según sus atributos comunes y el establecimiento

de jerarquías entre los conceptos superiores y subordinados. La segunda estrategia presenta la de

interpretación, estableciendo inferencias y determinando generalizaciones. Esto permite

identificar relaciones convergentes y divergentes de acuerdo al marco de las experiencias

vividas. La tercera estrategia es el establecimiento de conjeturas, explicación de datos poco

conocidos y la formulación de hipótesis. Estas tres estrategias de alguna manera son

consideradas por educadores (Cooper, 2003; Hernández, 2005; Ontoria & Molina, 1995; Orlich,

et al., 2001). Esta secuencia de eventos constituye una estrategia de enseñanza y aprendizaje que

describe la trayectoria a seguir en la utilización de los mapas conceptuales. Ojeda, Díaz,

González, Pinedo y Hernández (2007) añaden que de esta manera se fundamenta la teoría

constructivista, en que lo que se aprende depende en gran medida de lo que se conoce y con ese

esquema en mente la relacionan con la nueva información (Orlich et al., 2001; Svinicki, 2004;

Schunk, 2000).

Visión de la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en la enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas

En el siglo XX la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1991) comenzó

el desarrollo de los estándares curriculares que responden a las respuestas de la comunidad

educativa como una reforma en la enseñanza y el aprendizaje en las matemáticas. Esta demanda

de cambio surge como un consenso de educadores de que todos los estudiantes tienen el deber de


aprender matemáticas con ‘cultura matemática’ en un mundo sustentado por calculadoras y

ordenadores y crear un conjunto de estándares para guiar el currículo de matemática y su

evaluación. La NCTM presentó cambios en el contenido de matemáticas y en los recursos

metodológicos. Entre las estrategias de enseñanza recomendadas por la NCTM para implantar

los cambios propuestos se encuentran las siguientes: uso de manipulativos, trabajo cooperativo,

pensamiento reflexivo, escribir sobre matemáticas, desarrollo de estructuras conceptuales,

participación activa del estudiante, uso de tecnología apropiada para los cálculos y la

exploración.

En el documento de los estándares del NCTM se concibe al maestro como facilitador del

aprendizaje, aplicando la evaluación como proceso continuo, estableciendo la interrelación entre

las matemáticas y la resolución de problemas. La NCTM (2000) recomendó menor énfasis en la

figura del profesor y el texto como las únicas fuentes del proceso de enseñar y aprender. De

igual forma rechazó, entre otras, la enseñanza de los cálculos fuera de contexto, hacer hincapié

solamente en la memorización, la repetición sobre algoritmos, la enseñanza de temas aislados y

la utilización de la evaluación con el único propósito de asignar notas.

El año 2000 fue considerado el año internacional de la matemática donde la NCTM

(2000) presentó los cambios de paradigma en la enseñanza de esta materia. Esta organización

profesional presenta en su obra Principle and Standards for School Mathematics (2000) los

indicadores de excelencia en la enseñanza de la matemática para el nuevo milenio. Dicho

documento presenta los estándares desde kindergarten hasta cuarto año de escuela superior

(Bachillerato en otros países) con el propósito de orientar el currículo, la enseñanza y la

evaluación durante el siglo XXI. Estos principios se basan en la igualdad que requiere niveles de

expectativas altas para todos los estudiantes. El currículo considera la relevancia de la


matemática y se presenta por niveles o grados en forma estructurada. Asume que el estudiante

construye activamente el nuevo conocimiento basado en las experiencias previas. La evaluación

se percibe como un proceso continuo de enseñar y aprender de manera cuantitativa y cualitativa.

Por otro lado, la incorporación de la tecnología ha provocado cambios en la matemática.

La tecnología no solamente facilita los cómputos y la construcción de gráficas, sino que ha

cambiado la enseñanza de la matemática y sus usos. Todos estos indicadores enmarcados en la

teoría del constructivismo se utilizan en diferentes estrategias de enseñanza a la luz de las

necesidades del alumno. Entre estas destaca la enseñanza con manipulativos, el uso de la

calculadora y el estudiante creando estrategias y métodos en la aplicación a situaciones (NCTM,

2000). La visión de la comunidad internacional sobre la educación en matemáticas de nivel

avanzado [Precálculo] está recopilada en los estándares de currículo y evaluación donde se

expone en que todos los estudiantes aprendan a valorar las matemáticas, ‘hagan matemáticas’ de

forma activa de forma segura, consideren que el contenido matemático sea potente y cambiante y

que las matemáticas sean para los alumnos una forma de pensar y de darle sentido a su entorno

(NCTM, 1991). A estos fines, la organización de educadores en matemáticas recomienda que el

maestro use estrategias de enseñanza que permitan la participación activa de los estudiantes,

permita el uso de la tecnología y que los estudiantes construyan su propio conocimiento (NCTM,

2000).

Visión del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico en la

enseñanza y aprendizaje de la materia

El Programa de Matemáticas del Departamento de Educación Pública de Puerto Rico

(Marco Curricular, 2003) considera en su diseño las teorías de aprendizaje expuestas

anteriormente por ser las de mayor congruencia con la materia. Además, adapta, adopta e


incorpora vivencias educativas del entorno puertorriqueño de acuerdo a las directrices que

sugiere la NCTM como organización internacional que ofrece los estándares como indicadores

de excelencia en la enseñanza de las matemáticas a nivel mundial. El Programa de Matemáticas

preparó su documento de Estándares (1996) con la colaboración de los trabajos realizados por la

Subcomisión y los Grupos de Trabajo de la Comisión General de Estándares del Proyecto Puerto

Rico Statewide Systemic Iniciative (PR-SSI) y el Consejo General de Educación.

El Marco Curricular de Matemáticas (2003), reconoce que los procesos de enseñanza y

aprendizaje se enmarcan en teorías del aprendizaje tales como la conductista, la constructivista o

cognoscitiva de Piaget (1981) e incluyen también a Vygotsky (1978) y su teoría de

constructivismo social. El Programa de Matemáticas (2003) considera la definición de estrategia

de enseñanza como el marco mayor para los procesos de enseñanza. Dentro de las estrategias

están los métodos (inductivo y deductivo) que representan el modo ordenado de proceder para

lograr el aprendizaje del estudiante. Los métodos y las técnicas representan los procedimientos

para lograr los objetivos específicos y son los medios para obtener un mejor aprovechamiento de

sus estudiantes. El programa reconoce que “el conocimiento lógico matemático no existe en los

objetos sino en la fuente del razonamiento que está en el sujeto y éste lo construye por

abstracción reflexiva mediante la interacción con los objetivos de la enseñanza” (pp. 46-47).

Añade que un estudiante aprende matemática cuando reflexiona sobre sus propios errores y sobre

sus razonamientos fallidos en el intento de solucionar algún problema.

El proceso global de aprendizaje matemático es otro principio que destaca la construcción

de un modelo lineal que parte de lo más sencillo y va construyendo conceptos más complejos.

Lakoff (1987), citado en el Marco Curricular 2003, plantea que la lógica del aprendizaje no es la

misma que la lógica de la disciplina bajo estudio. Su enseñanza está diseñada de varias formas


El Programa de Matemática de Puerto Rico recalca la estrategia de exploración,

conceptualización y aplicación. La fase de exploración permite al estudiante y al maestro

obtener información de los conocimientos previos que necesita para desarrollar los conceptos

adecuadamente y sobre los cuales construir su conocimiento a partir del estudio contextual de la

materia (Villarini, 1988).

El Programa de Matemáticas en el Marco Curricular (2003) toma en consideración las

inteligencias múltiples de Gardner (1995, 2006) para explicar que el aprendizaje matemático

ocurre a través de diversas rutas. Entre las estrategias que sugiere se encuentra “la

individualización de la enseñanza para atender a los estudiantes de acuerdo a su ritmo y estilo de

aprendizaje y los laboratorios de matemáticas que proveen al estudiante la oportunidad de

descubrir y comprender conceptos en un aprendizaje activo” (pp. 45-46). La utilización de los

mapas conceptuales constituye una estrategia que permite desarrollar un estudiante activo y en

constante búsqueda del conocimiento (Ontoria, Molina, & de Luque, 1996; Orlich et al., 2001).

Añaden Novak y Growin (1988) que a nivel universitario, el estudiante considere como su norte

el aprender a aprender, utilizando el método deductivo recomendado en la enseñanza a este nivel.

Trasfondo teórico de los mapas conceptuales

Los mapas conceptuales tienen su origen en la década de los años sesenta durante el siglo

pasado. Vidal (2007) describe el mapa conceptual como una herramienta de asociación,

interrelación, discriminación, descripción y ejemplificación de contenidos. Sus primeras

apariciones surgen de los trabajos de Novak como un proyecto de investigación en la

Universidad de Cornell en el 1972. Este proyecto enfocó el seguimiento a los estudiantes de

educación básica desde primer grado hasta el grado 11 en su curso de ciencia. El propósito del

estudio fue ofrecer seguimiento para ver cómo influían estos conceptos desarrollados a temprana


edad con el conocimiento posterior en cursos de esa materia. Además, un segundo propósito fue

comparar el conocimiento adquirido por los estudiantes que pasaron por esta instrucción

temprana versus los estudiantes que no pasaron por la experiencia (Psicólogos, 2007; Novak &

Gowin, 1988). Los mapas conceptuales en este inicio fueron utilizados como una estrategia para

promover el aprendizaje y para organizar materiales de aprendizaje con el enfoque y apoyo de la

teoría del aprendizaje significativo de Ausubel. Novak (1920) y su equipo de trabajo

recomiendan que los alumnos que están estudiando un tema trabajen en grupos pequeños para

construir mapas conceptuales en un aprendizaje cooperativo (EDUTEKA, 2006).

Según Novak y Gowin (1988), los mapas conceptuales tienen como propósito

fundamental la representación de relaciones entre conceptos y su ilustración a través de la

utilización de proposiciones unidas mediante el uso de la palabra para formar una unidad

semántica o por palabras enlaces. Añaden Novak y Gowin que esta manera de presentar los

conceptos produce un aprendizaje más significativo, ya que relaciona en término de categoría

conceptos menores (específicos) con conceptos de mayor amplitud (generales). La interacción

que ofrece la construcción de mapas conceptuales entre el maestro y estudiante debe ser un

proceso de enseñar y aprender en intercambio de ideas y argumentos que enriquecen el

aprendizaje de ambos. Esta manera de ver el aprendizaje significativo es la clave para el éxito de

la enseñanza encaminada a su logro en la construcción de los mapas conceptuales [matemáticas]

(Hernández, 2005; Novak & Gowin, 1988; Ontoria et al., 1996). Además, permite que el

estudiante desarrolle destrezas de subsistencia para la sociedad del conocimiento del siglo XXI.

Al construir un mapa conceptual en matemáticas se están presentando los conceptos al

nivel de abstracción requerido, permitiendo así la participación activa del estudiante donde éste

construya su conocimiento y llegue a sentir el “aprender a aprender” que tanto sugieren, Novak,


y Gowin (1988). Según Ausubel (1976) el aprendizaje de esta manera adquiere mayor

significado para el estudiante.

Varias de las estrategias de enseñanza citadas anteriormente son cónsonas con la

utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en un curso de Precálculo.

Sin embargo, es la enseñanza que considera la teoría de aprendizaje constructivista la que

mayormente se relaciona con la construcción de los mapas conceptuales porque el alumno,

basándose en un contexto, crea el mapa conceptual y construye su conocimiento de forma

jerárquica, utilizando el método deductivo para relacionar el concepto generador y los conceptos

menores o subordinados a este (Hernández, 2006). Esta estrategia de enseñanza del uso de los

mapas conceptuales y la teoría de aprendizaje es recomendada por educadores en matemáticas

(Marco Curricular, 2003; NCTM, 2000). En esta investigación se consideró esta estrategia y se

utilizó como énfasis en la aplicación de la construcción del conocimiento en forma tanto grupal

(constructivismo social) como individual. Por otro lado, se ofreció el énfasis necesario en la

investigación y en la aplicación de conceptos. Silva (2006) opina que el uso de los mapas

conceptuales es una estrategia excelente que permite la integración constructivista. Añade el

autor que la utilización de los mapas de conceptos permite al estudiante desarrollar el

pensamiento, el sentimiento y darle un significado a la experiencia.

En la década de los años 90 comienzan a evolucionar los mapas conceptuales y nace la

necesidad de capturar y representar el conocimiento de expertos como herramienta informática

durante un proyecto (EDUTEKA, 2006). Así que los mapas conceptuales generarondirectrices y

establecieron, en cierta manera, formas de navegar a través del sistema multimedia. A mediados

de la década de los años 90 surge el proyecto para desarrollar una herramienta para capturar el

conocimiento usando mapas conceptuales. Casañas (1990) inicia el desarrollo de un programa


que se conoce como CmapTools [programa que permite usuarios de distintas edades y

disciplinas construir y compartir sus mapas conceptuales]. Se añadieron a la cuarta versión del

programa herramientas complementarias que apoyan al usuario en la construcción y presentación

de los mapas (EDUTEKA, 2006)

Novak y Cañas (2009) platearon que por muchos años la construcción manual de mapas

conceptuales resultó engorrosa y de larga duración. El auge de la computadora trae un cambio al

panorama permitido el uso de los programas de software que facilitaron la construcción de los

mapas conceptuales. Además, añaden los autores que con la navegación a través del Internet, se

abrió un mundo nuevo de aplicaciones sofisticadas y de utilidad variada en la construcción de

mapas conceptuales

Chou, Chen, y Dwger (2011) presentaron un estudio sobre el uso de los mapas

conceptuales en curso diseñado en línea. El propósito del estudio era examinar la efectividad

instruccional del uso de los mapas conceptuales aplicando la tecnología en los cursos en línea.

Los hallazgos mostraron la visualización del uso de los mapas conceptuales como exitoso en los

cursos en línea.

Según Hernández (2006), en la era tecnológica, los mapas conceptuales y redes

semánticas son instrumentos de la informática que facilitan el desarrollo del aprendizaje.

Presenta el autor que la tecnología informática puede ser un excelente recurso para la

participación individual de los estudiantes. Añade que el uso de las computadoras ofrece a los

estudiantes la posibilidad de llegar a ser un investigador del conocimiento, explorando,

descubriendo y sobre todo, recuperando errores cómodamente. Por otro lado, Vidal (2007)

coincide al expresar que en la última década los mapas conceptuales han alcanzado gran


popularidad porque tienen convergencia con las tecnologías de la información, la era de las

comunicaciones y la exploración de conceptos utilizando el Internet.

Utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en matemáticas

En el área de matemática el mapa conceptual se ha utilizado a través de los distintos

niveles de enseñanza (Ontoria, Molina, & de Luque, 1996). Los autores señalan que en el nivel

primario se utilizan los mapas preconceptuales y en nivel elemental (cuarto a sexto grado)

presenta el mapa conceptual con mayor formalidad, en los que se hace uso de las pictografías y

frases que explican la relación jerárquica entre conceptos. (Ontoria, Molina, & de Luque, 1996).

Los autores señalan que es en el nivel secundario donde el estudiante se enfrenta la construcción

de mapas conceptuales con mayor intensidad y profundidad para que se establezca la jerarquía

entre los conceptos basados en proposiciones y palabras conectoras (Ontoria, Molina, & de

Luque, 1996). Entre el nivel secundario y el universitario se distinguen los organizadores

gráficos como una estrategia que se utiliza para elaborar secuencias, establecer relaciones,

identificar similitudes y diferencias, y organizar y relacionar conceptos (Larraz, 2010). A nivel

universitario se presentan los mapas conceptuales con una estructura jerárquica de mayor

abstracción y pensamiento lógico [matemático]. Educadores como Aguilar (2006), Carrulla, &

Gómez (1999), y Hernández (2005) llaman a los mapas conceptuales herramienta para la

construcción de modelos pedagógicos en matemáticas. Otros autores presentan los mapas

conceptuales como una técnica que se utiliza para representar visualmente la estructura de la

información (Carrulla & Gómez, 1999; Galán, Granel, & Huertas, 2002; Ontoria et al., 1996).

Estudios sobre el concepto de función en matemáticas a nivel universitario

Según Mead (1970 citado en Martínez, 2009) el concepto de función algebraica se

origina con Galileo (1564-1642) al este proponer un plan de estudio para investigar el


movimiento. Leinhardt, Zasvalavsky, y Stein (citados por Martínez, 2009) exponen que el

concepto de función algebraica es uno que presenta dificultad a los estudiantes. La NCTM

(1989) destacó el concepto de función como medular en el contenido curricular de matemáticas.

Planchart (2005) plantea que el concepto de función domina en gran parte el contenido de los

cursos de Precálculo, facilitando la simulación y modelación de situaciones. Hitt (2000)

coincide que el tema de funciones facilita la modelación de situaciones de la vida real.

Del Castillo (1996) seleccionó el concepto de función para construir con sus estudiantes

mapas conceptuales por considerar que los mapas son un gran recurso para relacionar conceptos.

Añade el autor que el mapa conceptual es conveniente para que el estudiante pueda relacionar el

concepto de función con otros conceptos como conjunto, dominio, recorrido, dependencia

funcional, variabilidad, límites de función en un punto, continuidad en intervalos y otros. Según

Del Castillo, el objetivo es que los estudiantes pueden presentar en sus mapas conceptuales el

concepto de función como medular.

Un estudio encontrado en la literatura que aporta al conocimiento del uso de los mapas

conceptuales es el presentado por Martínez (2009). Es un estudio referente al uso de pruebas

cortas y la re-enseñanza como estrategia para lograr la conceptualización de las funciones

algebraicas en un curso de Precálculo a nivel universitario. Este fue un estudio cuasi

experimental, donde se seleccionaron tres grupos, uno control y dos experimentales. La primera

metodología consistió en la enseñanza tradicional en el grupo control. La segunda, a otro grupo

(experimental-uno) se le ofrecieron las clases casi tradicional y se incluyó el uso de pruebas

cortas abiertas. Al tercer grupo (experimental-dos) se le ofreció la enseñanza tradicional y

pruebas cortas de preguntas abiertas, incluyendo la re-enseñanza en la sala de clases. Se

utilizaron los resultados de las Pruebas de Aprovechamiento Académico en Matemáticas


(APRM) de la Prueba de Evaluación y Admisión Universitaria (PEAU) del College Board, para

establecer que los grupos eran equivalentes. La prueba ANOVA mostró que no existía

diferencia estadísticamente significativa entre los grupos, estableciendo equidad estadística antes

de iniciar la investigación. El investigador estableció la dificultad teórica y la observada de las

pruebas cortas, los exámenes parciales y el examen final de los tres grupos de la investigación,

manteniendo el orden de dificultad de las preguntas en la escala promedio. De acuerdo al

análisis establecido, el investigador encontró que si los estudiantes son evaluados con frecuencia,

estos obtienen un mayor aprovechamiento académico. También se observó mediante un diálogo

que los estudiantes de los grupos experimentales entendieron y utilizaron con mayor fluidez el

vocabulario relacionado con las funciones algebraicas.

Cavero (2006), por su parte, investigó en un curso de Precálculo a nivel universitario el

efecto de la computadora integrada a un módulo instruccional sobre funciones. Además, la

autora consideró la actitud hacia las matemáticas y el aprovechamiento en el concepto de

función. El diseño del estudio fue uno cuasi-experimental con un grupo control no equivalente,

con preprueba y posprueba. Se seleccionaron 64 estudiantes pertenecientes a cuatro secciones de

Precálculo I, 32 en el grupo experimental y 32 en el grupo control. El grupo experimental utilizó

un módulo instruccional donde se sugería la integración de la computadora como parte del

desarrollo del tema de función y al grupo control se le presentó el tema en forma tradicional; esto

es, utilizando libro de texto, tiza o marcador mágico y pizarra. Los instrumentos de medida

usados fueron una preprueba y posprueba con una escala de actitud hacia las matemáticas de

Auzmendi (1992) y una prueba de funciones preparada por la investigadora y validada por un

grupo de expertos. Se utilizó un análisis de varianza (ANOVA) de dos vías y una prueba de t

para muestras independientes. Los resultados reflejaron que no hubo diferencias


estadísticamente significativas en la actitud hacia las matemáticas al comparar el grupo

experimental con el grupo control. En relación al aprovechamiento, se encontraron diferencias

estadísticamente significativas en términos del aprovechamiento en el tema de funciones a favor

del grupo experimental en comparación con el grupo control. La investigadora concluyó que el

uso de la tecnología integrada a un módulo instruccional de funciones usando la calculadora es

una herramienta efectiva para mejorar el aprovechamiento en el tema de funciones en el curso de

Precálculo a nivel universitario.

Un estudio de caso realizado por Collen (2007) presenta una descripción detallada sobre

la naturaleza del entendimiento de los estudiantes del concepto de función cuadrática. El tema

de función cuadrática se presentó en un curso de Precálculo a nivel subgraduado en un programa

de desarrollo en matemáticas. En este estudio, el autor presentó tres preguntas guías para su

implantación y desarrollo: a) ¿Cuál es la naturaleza del entendimiento de los estudiantes sobre el

álgebra y las representaciones gráficas de una función cuadrática? b) ¿Cuál es la naturaleza del

entendimiento de los estudiantes en relación a las conexiones entre las representaciones y las

soluciones de una función cuadrática? c) ¿Hasta dónde se extienden, si ocurren, las fuentes del

conocimiento previo y el entendimiento de funciones cuadráticas que influyen en su

comprensión? Se seleccionaron tres estudiantes y se utilizó la estrategia que establece el

protocolo de pensar en voz alta. Se administró una serie de tareas abiertas y se celebraron tres

entrevistas con los participantes. Además, se observaron los participantes repetidamente en

situaciones donde ellos pensaban sobre el concepto de función cuadrática y sus múltiples

representaciones.

En este estudio de Collen (2007), uno de los participantes realizó varios

procedimientos pero mostró limitaciones en el razonamiento para entender el concepto de


funciones cuadráticas. Los otros dos estudiantes mostraron ejecutar con mayor certeza los

procedimientos. Por otro lado, mostraron la falta de conexiones entre los conceptos. Ninguno de

estos dos participantes mostraron flexibilidad entre el movimiento de las representaciones y

mostraron dificultad en la comunicación. Las tareas utilizadas en este estudio mostraron ser

exitosas para la recopilación de datos y sirvieron como puente para el aprendizaje de los

participantes. Al constatar que esta forma contribuyó al entendimiento de los conceptos por

parte de los estudiantes, se recomendó para futuras investigaciones en vías de mejorar la

enseñanza de estos tópicos. Este estudio muestra el reto que tiene el maestro como facilitador

del aprendizaje el concepto de función.

Afamasaga (2004) presenta un estudio con una profesora de matemática en la

construcción de mapas conceptuales en el tema de función. Al inicio del proceso se preparó una

lista de 8 a 10 conceptos relevantes para presentarlos de lo general a lo particular estableciendo

un orden jerárquico. La maestra discutió el mapa conceptual de función y se permitió exponer la

utilización de interconexiones de los conceptos y la descripción de los enlaces. Se generó un

intercambio de relaciones de conceptos entre maestro–estudiante, estudiante-estudiante, y se

invitó a los estudiantes a construir lo mapas conceptuales individualmente, en parejas o en

pequeños grupos. Los hallazgos en el primer mapa conceptual fue la presentación de

proposiciones y 6 conexiones de conceptos relacionados con el concepto de función. Se discutió

con los estudiantes y la profesora, se realizó una revisión del mapa conceptual de inicio y se

presentó el segundo mapa conceptual con 30 proposiciones y 7 conexiones de conceptos

relacionados con el concepto de función. En la tercera y cuarta revisión se presentaron mapas

conceptuales con mayor número de proposiciones (de 28 a 39 y de 34 a 51) y de 6 a 7 enlaces.

El mapa conceptual final resultó más complejo, con mayor integración y diferenciación entre los


conceptos. Según la autora, otro elemento en el desarrollo del aprendizaje del estudiante era

establecer proposiciones que no eran del todo ciertas y permitirse la negociación mediante el

diálogo entre todos los participantes. Esta estrategia permitió guiar a los estudiantes a establecer

mayores conexiones y establecer una jerarquía integradora ofreciendo una multiplicidad de

interpretaciones como producto de la reflexión y el análisis. Este estudio la autora evidenció que

los mapas conceptuales pueden ser una alternativa de enseñanza en la sala de clases de un curso

de matemáticas para lograr el desarrollo en el proceso de conceptualización de forma

significativa. Se puede inferir una proyección futura sobre una investigación que se triangule

con el impacto en el aprovechamiento.

Estudios sobre la utilización de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en

matemática

Un estudio sobre el uso de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en

matemáticas fue realizado por Zulnaidi y Zakaria, (2010). El propósito del mismo fue

determinar el efecto de la información obtenida de los mapas conceptuales examinando la

relación entre el conocimiento conceptual y el aprovechamiento en matemáticas en estudiantes el

nivel intermedio en Indonesia. En este estudio se utilizó un diseño cuasi-experimental. La

población consistió en 132 estudiantes, distribuidos 66 en el grupo experimental y 66 en el grupo

control. Se les administró una preprueba para examinar la equivalencia entre los grupos. La

información sobre la estrategia de uso de mapas conceptuales le fue brindada al grupo con el

tratamiento y las estrategias tradicionales al grupo control. Se prepararon y validaron dos

pruebas, una para medir conceptos y la otra para medir aprovechamiento. Se aplicó una prueba

de t en la preprueba y la posprueba. El hallazgo en la preprueba fue que no existía diferencia


significativa entre el conocimiento conceptual entre el grupo experimental ( x = 7.53, DE = 2,67)

y el grupo de control ( x = 7,44, DE = 2.63). El resultado t = 0.197 y

p = 0.844 considera que ese valor no es significativo a un alfa de 0.05. Ambos grupos estaban al

mismo nivel conceptual al comenzar el tratamiento. En relación a la posprueba, se obtuvo en el

grupo experimental x = 22.21, DE = 4.14 y en el grupo de control x = 19.30, DE = 4.48. El

resultado de t = 3.873 y p = 0.000 considera que existe diferencia significativa a un nivel de alfa

de 0.05, entre el grupo experimental y el grupo de control. El hallazgo es que existe una

diferencia estadísticamente significativa en el conocimiento conceptual entre el grupo

experimental y el de control. La Correlación de Pearson (r=0.736, p< 0.05) se utilizó como

instrumento de análisis para determinar sí existía una relación estadísticamente significativa.

Los resultados reflejaron que al recibir información en la estrategia de mapas conceptuales, los

estudiantes del grupo experimental mostraron mayor conocimiento conceptual que los

estudiantes del grupo control. Este estudio evidenció que existe una relación significativa entre

el conocimiento conceptual de los estudiantes y el aprovechamiento académico.

Baeza (2009) presenta otro estudio sobre el uso de mapas conceptuales. Entre sus

objetivos se encontraba determinar si los alumnos que utilizan mapas conceptuales en la

asignatura de matemáticas logran un mayor rendimiento académico que aquellos que no lo

utilizan. Para la realización de este estudio se consideró un diseño experimental con muestras

independientes. La muestra consistió de 69 alumnos de primer año de educación media,

divididos en dos grupos, uno experimental y el otro control. Al inicio se administró una

preprueba de álgebra para mostrar que ambos grupos eran homogéneos. Luego se sometió el

grupo experimental a la elaboración de mapas conceptuales durante 10 sesiones de clase. La

próxima etapa fue la administración de una posprueba de contenido de álgebra a ambos grupos,


la cual fue validada por un grupo de expertos. Finalmente se aplicó una escala Likert de

apreciación al grupo experimental para medir el acuerdo de los estudiantes respecto a la

utilización de mapas conceptuales. Los resultados fueron los siguientes: la ejecución del grupo

experimental fue significativamente superior a la del grupo control. Sobre las escalas de

apreciación, los alumnos sintieron que la elaboración de mapas conceptuales tenía un efecto

positivo en el aprendizaje y por consiguiente en el aprovechamiento.

Lapp, Nyman, y Berry (2010) presentaron en una investigación cualitativa el estudio de

las conexiones de los conceptos en un curso de Álgebra Lineal de bachillerato. Este estudio se

fundamentó en la teoría de aprendizaje constructivista. El estudio duró 14 semanas de un

semestre en un colegio de Artes Liberales. Se seleccionó una muestra estratificada de 4

estudiantes de un grupo de 19. Los autores presentaron dos técnicas en la construcción de mapas

conceptuales. La primera fue la agrupación temporera de conceptos donde se midió la

profundidad de las conexiones mediante observación. La segunda fue la utilización de matrices

adyacentes en una representación gráfica indirecta de un mapa conceptual. Se midió la riqueza

de las conexiones entre los conceptos mediante la matriz adyacente del mapa conceptual. Entre

los hallazgos encontrados se desprende la similitud en la forma que los estudiante agruparon los

conceptos de Álgebra Lineal en su mapa conceptual. Por otro lado, los estudiantes mostraron

dificultad en el desarrollo del concepto autovalor y del concepto autovector ya que los

presentaron en forma desconectadas en los mapas conceptuales. Señalaron los autores que las

técnicas sugeridas para desarrollar la forma detallada de medir el conocimiento con un mapa

conceptual debe ser el comienzo para generar discusión en las comunidades de investigadores.

Además, expresaron los autores que esperan que este estudio genere directrices para estudios

futuros y de análisis en el diseño curricular.


Otra experiencia educativa a nivel universitario fue la investigación realizada con

estudiantes de bachillerato en ingeniería por Pérez (2008). Este estudio presentó una experiencia

educativa a la que se aplicó un estudio experimental y además se realizó un análisis cualitativo.

El estudio se hizo con estudiantes de primer año de un curso de Cálculo I. Se realizó la selección

de un grupo control y un grupo experimental con 30 estudiantes en cada grupo. El objetivo del

estudio fue el uso de los mapas conceptuales como estrategias de enseñanza en actividades

didácticas del docente durante un curso de Cálculo a nivel universitario que favorece el

desarrollo cognitivo del aprendizaje.

El grupo control tomó un curso de Cálculo I en forma tradicional y el grupo experimental

tomó el mismo curso pero apoyado con el uso de los mapas conceptuales. Ambos cursos tenían

una duración de tres meses. Se les administró una preprueba que midió el razonamiento

numérico, abstracto y de relaciones espaciales [Test de Aptitudes Diferenciales-Dat-5]. Antes de

iniciar el tratamiento se aplicaron a los grupos una prueba t y la Suma de Rangos de Wilcoxon

los cuales arrojaron que los grupos eran homogéneos. Luego del tratamiento, los resultados de la

posprueba reflejaron que el grupo experimental mostró un aumento estadísticamente

significativo en el razonamiento numérico, abstracto y espacial medido en la prueba (Dat-5). En

la fase cualitativa, cada estudiante utilizó un diario y el(la) profesor(a) también preparó uno.

Luego del análisis pertinente, los estudiantes clasificaron el proceder del (la) profesor(a)

apropiado. Las imágenes y representaciones gráficas sobre la información mediante el uso de

mapas conceptuales contribuyeron a la comprensión de los conceptos de mayor complejidad. La

actividad motivó a los estudiantes a construir sus propios mapas conceptuales y comprender la

teoría, utilizando el pensamiento inductivo y deductivo.


Entre las conclusiones de este estudio realizado por Pérez (2008) se destaca que los

mapas conceptuales representan una herramienta poderosa para desarrollar destrezas y

capacidades cognitivas y para el desarrollo del pensamiento reflexivo. Expresa el investigador

que la utilización de mapas conceptuales en el curso de Cálculo incorporó diferentes

componentes del razonamiento lógico y esto permitió el desarrollo de una mayor autoestima en

los alumnos. Además, se aplicaron estadísticas paramétricas, evidenciando las mismas que el

grupo experimental que utilizó los mapas de conceptos mostró mayor dominio de los conceptos

de cálculo que el grupo control.

Otro estudio de disertación relacionado con los mapas conceptuales fue el efectuado por

Capistran, (2005). Esta investigación abordó la utilización de mapas conceptuales para el

desarrollo de la conceptualización de la estructura de la regla de la cadena en un curso de

Cálculo. Los participantes fueron un grupo de estudiantes del primer curso de Cálculo, sus

instructores y un grupo de profesores, quienes presentaron sus estilos personales en la

construcción de los mapas conceptuales en el concepto de estructuración de la regla de la cadena.

Los mapas conceptuales fueron analizados para observar si los estudiantes mostraban dominio de

la conceptualización de la regla de la cadena. Los estudiantes contestaron una prueba corta que

contenía 6 ejercicios sobre la regla de la cadena y participaron de una entrevista de 30 minutos

con el propósito de ofrecer seguimiento a sus formas de pensamientos.

La investigación se realizó teniendo en cuenta tres vertientes de recopilación de datos:

diagnóstico en prueba corta, construcción de mapas conceptuales y la participación en una

entrevista. Se utilizó para este estudio una investigación de Métodos Mixtos de análisis de

triangulación. Sus hallazgos evidenciaron que los estudiantes mostraban poseer dominio de las

destrezas básicas al realizar los cómputos donde se aplicaba la regla de la cadena. Sin embargo,


estos alumnos mostraron dificultad al aplicar el concepto de la regla de la cadena a situaciones

nuevas, especialmente al utilizar la notación de Leibniz en ejercicios. Los instructores y

profesores participantes presentaron en sus mapas conceptuales de la regla de la cadena, los

conceptos de composición y diferenciación como conectores. Uno de los hallazgos en esta

investigación realizada por Capistran (2005) reflejó que los estudiantes no tomaron en

consideración estos conceptos menores mencionados anteriormente en la construcción de sus

mapas conceptuales. Basado en los hallazgos en ambas modalidades metodológicas y otros

estudios, se presentaron varias recomendaciones para la enseñanza de la regla de la cadena en un

curso de cálculo.

Otro estudio utilizando mapas conceptuales como herramienta instruccional en Cálculo fue

presentado por Sherhan y Syam, (2011). En la investigación se exploró la efectividad del uso de

los mapas conceptuales en el aprendizaje del estudiante sobre el concepto de derivada en un

punto. Participaron inicialmente 52 estudiantes que contestaron la preprueba y participaron del

tratamiento. Solamente contestaron la posprueba 49 de ellos. La duración del tratamiento fue de

10 semanas en el semestre, donde se examinó el efecto del uso de mapas conceptuales para que

los estudiantes desarrollaran la imagen de la derivada en un punto. El tratamiento consistió en

ofrecer por 30 minutos una explicación por parte de los investigadores sobre las reglas

conceptuales, presentaban ejemplos y ofrecían modelos sobre la escritura de las conexiones entre

conceptos. Luego los investigadores solicitaron a los estudiantes construir un mapa conceptual

con una serie de conceptos dados y relacionados con la derivada en un punto. Los investigadores

ofrecían asistencia en la clarificación de las diferentes conexiones. Se estableció un análisis

profundo a través de una comparación entre los resultados obtenidos por los participantes en la

preprueba y la posprueba. Este análisis fue presentado mediante la utilización de dos tablas y se


contrastaron los resultados. Los hallazgos en este estudio revelaron que al utilizar los mapas

conceptuales, los estudiantes describieron y utilizaron mejor los conceptos de imágenes de la

derivada en un punto. En este estudio se deja la proyección de que se pueden triangular los

hallazgos con el aprovechamiento de los alumnos en la aplicación del concepto de la derivada en

un punto.

Estudios sobre el uso de mapas conceptuales y el tema de función.

Mann (2000) efectuó un estudio cuyo objetivo era determinar el efecto del uso de mapas

conceptuales en el desarrollo del concepto de funciones. El diseño del estudio fue de Métodos

Mixtos y examinó un curso de Precálculo de la reforma con un enfoque innovador en la

enseñanza de la matemática. El curso era interdisciplinario de matemática y ciencia donde se

aplicó ADAGE (activity, data, analysis, generalization, extensions) como enfoque de enseñanza

y se utilizaron mapas conceptuales como herramienta de evaluación e instrumentos de

assessment de manera tradicional para comparar la comprensión de los estudiantes del concepto

de función. Se seleccionaron trece estudiantes del curso de la reforma y trece estudiantes del

curso tradicional y se les solicitó que diseñaran mapas conceptuales para el concepto de función.

Se preparó una rúbrica para su corrección. También se le administró a los dos grupos un

instrumento de assessment tradicional de los procedimientos y propiedades del concepto de

función. Los instrumentos utilizados en la fase cualitativa fueron observaciones formales e

informales, entrevistas grupales e individuales y encuestas. En la fase cuantitativa se utilizó una

prueba cuyos resultados reflejaron que los estudiantes que utilizaron el enfoque ADAGE y los

mapas conceptuales mostraron una diferencia significativa al compararse con el grupo

tradicional. Los resultados evidenciaron que los estudiantes con el enfoque ADAGE

desarrollaron un excelente entendimiento del concepto de función en comparación con los


compañeros del Precálculo tradicional. Además los estudiantes de ADAGE llevaron tareas del

procedimiento de funciones tan bueno como los de Precálculo tradicional, pero estos (ADAGE)

demostraron una mejoría significativa en sus actitudes y aptitudes personales hacia la

matemática.

Williams (1994) realizó un estudio en el que presentó el uso de mapas conceptuales como

estrategia de enseñanza aprendizaje. Esta investigación comparó el conocimiento del concepto

de función de los estudiantes de Cálculo de un colegio en la reforma basado en los principios y

estándares recomendados por la NCTM (1989) y las secciones de Cálculo tradicional de una

universidad de un estado grande. Se seleccionaron 28 estudiantes: 14 estudiantes de la reforma y

14 estudiantes regulares.

Los estudiantes realizaron dos tareas: construcción de un mapa conceptual de funciones y

completar un cuestionario que presentaban ejemplos y contraejemplos. Además, ocho profesores

con grado de Ph.D. en matemáticas, 4 que enseñaban en la reforma y 4 que enseñaban cursos

tradicionales, también completaron los mapas conceptuales de funciones. Se compararon los

mapas diseñados por los expertos con los realizados por los estudiantes y se aplicó un análisis

cuantitativo. Resultó que los mapas realizados por los estudiantes comparaban pobremente con

los construidos por los expertos en término de las estructuras. En relación a las tareas de

presentar ejemplos y contraejemplos, los estudiantes de la reforma reconocieron las funciones en

diferentes representaciones de forma más consistente que el grupo tradicional. Sin embargo, en

términos promedios, ambos grupos fueron equivalentes.

El análisis cualitativo sobre los conceptos y los mapas conceptuales en su totalidad

reflejaron diferencia entre los grupos de estudiantes. El grupo de la reforma utilizó terminología

común alineada al texto y el grupo tradicional mostró mayores referencias algorítmicas para el


manejo de gráficas. Los estudiantes de la reforma mostraron ser más cuidadosos en elaborar una

definición de función por su relación con otros conceptos. La participación de los expertos

permitió que los estudiantes comprendieran la elaboración de un mapa conceptual utilizando los

tópicos matemáticos, la integración y la diferencia del conocimiento en varios niveles.

En resumen, se puede concluir que la utilización de los primeros estudios en el nivel

secundario evidenció en los diferentes niveles de enseñanza de las matemáticas que la utilización

de los mapas conceptuales puede ser un recurso valioso para utilizarlo como estrategia de

enseñanza por su íntima relación de jerarquía que presenta la matemática en su estructura de lo

simple a lo complejo o viceversa. La construcción de los mapas conceptuales puede ayudar

grandemente a disciplinar el estudiante en la presentación sistemática y secuencial que necesita

la matemática en su aplicación del método deductivo. La utilización de los mapas conceptuales

en la clase de Cálculo a nivel universitario refleja la importancia de construir mapas conceptuales

para establecer relaciones entre conceptos de mayor complejidad matemática, de mayor nivel de

abstracción y para descubrir la relación entre el concepto primario y los conceptos secundarios.

Esta investigación sobre el uso de los mapas conceptuales utilizó métodos combinados o

mixtos en los que trabajó la fase cuantitativa y la fase cualitativa como corroboración de una fase

a la otra y viceversa. Los estudios discutidos y señalados como los más recientes en la literatura

sobre el tema, no utilizan la metodología que se propuso la presente investigación de Métodos

Mixtos en fases paralelas y con diseño de triangulación.

La metodología sugerida en esta investigación consideró la triangulación desde

comienzos del estudio, durante el proceso y el final. Comenzó con un boleto de entrada que

permitió recopilar datos cuantitativos y cualitativos y compararlos con los resultados de la

preprueba (fase cuantitativa) y así se desarrolló la investigación. Continuó con las cuatro


experiencias de práctica que combina ejercicios para la fase cuantitativa y preguntas de margen

abierto para la fase cualitativa y finalizó con una posprueba y un boleto de salida paralelos al

análisis de inicio. Los datos que surgen de las intervenciones descritas anteriormente se

recopilaron para contestar la pregunta de la investigación que se relaciona con el

aprovechamiento. Relacionado con el desarrollo de conceptos, consideró el inventario de

opinión en la fase cuantitativa y la entrevista del grupo focal y las observaciones de los(as)

profesores(as) en la fase cualitativa. La investigación permitió la triangulación en todo momento

de la investigación.

En los estudios presentados se puede inferir que no hay evidencia de investigaciones que

sus resultados sean no estadísticamente significativos. Sin embargo, Triola, (2008) alerta de que

existe la tendencia en revistas científicas a publicar estudios con resultados positivos con mayor

frecuencia que aquellos estudios que resultaron con un análisis estadístico no estadísticamente

significativo. Por otro lado, otros estudios revisados revelan la gran oportunidad de proyectar los

hallazgos mediante un estudio de métodos combinados donde se aplica la triangulación con el

aprovechamiento. También se desprende que ninguno de ellos enfoca la perspectiva del uso del

mapa conceptual como estrategia de enseñanza en el concepto de función en un estudio de

Métodos Combinados o Mixtos de diseño de triangulación, que permite su aplicación desde el

inicio hasta el final en un curso de Precálculo. La investigación para esta disertación propuso

combinar los datos cuantitativos y cualitativos para presentar un informe de los hallazgos en una

fase con hallazgos comunes con la otra. De surgir convergencias o divergencias entre los

resultados de ambos métodos se esperaba que estos sirviesen para ampliar, enriquecer y

fortalecer los hallazgos.


Capítulo III

Método

El objetivo de este estudio fue determinar el efecto que tiene el uso de Mapas

Conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización)

que describen el concepto generador de función y en el aprovechamiento en matemáticas el tema

de función en estudiantes de un curso de Precálculo en una universidad privada. En este capítulo

se presentan los siguientes temas que describen la metodología de la investigación: diseño de

investigación, descripción de la población, selección de la muestra, procedimientos, instrumentos

de medición y validez, preprueba y posprueba, guía de orientación para el (la) profesor(a),

procedimientos de la fase cuantitativa, análisis de datos, técnicas y estrategias de recopilación de

datos, procedimiento de la fase cualitativa, credibilidad, análisis de datos cualitativos, análisis de

datos mixtos y aspectos del manejo ético de la investigación.

Diseño

En la presente investigación, dada la complejidad del objetivo del estudio, se utilizó una

investigación de métodos mixtos con diseño de triangulación. Los estudios mixtos investigan el

problema desde las perspectivas cuantitativa y cualitativa. En este enfoque los diseños

cualitativos y cuantitativos se utilizan de forma simultánea y con igualdad de pesos, proporciones

o roles para investigar un problema en todas sus dimensiones (Ponce, 2011).

Creswell y Plano (2007, 2011) coinciden que en este diseño se recopilan de manera

simultánea dos conjuntos de datos, cualitativos y cuantitativos, donde los datos de la fase

cualitativa servirán para corroborar las preguntas de los datos cuantitativos. Por otro lado,

Wiersma y Jurs, (2005) presentan este diseño que utiliza la triangulación por considerarse en

forma de análisis cruzado a través de dos o más técnicas o recursos.


La fase cuantitativa tuvo un diseño cuasi experimental debido a que la selección de los

grupos en su forma inicial fueron grupos intactos donde la muestra no se seleccionó en forma

aleatoria (McMillan & Schumacher, 2007). En este estudio, el diseño que se utilizó en la fase

cuantitativa es el de grupos no equivalentes con preprueba y posprueba (McMillan &

Schumacher, 2007; Fraenkel & Wallen, 2006) y se presenta a continuación:

Grupos Preprueba Tratamiento Posprueba

A O1 X O2

B O3 ____ O4

Figura 1. Diseño del estudio

En el esquema anterior, la leyenda lee como sigue: A = grupo experimental, B = grupo

de comparación, O1 = preprueba del grupo experimental, X = Tratamiento del uso de mapas

conceptuales, O2 = posprueba del grupo experimental, O3 = preprueba del grupo de comparación,

O4 = posprueba del grupo de comparación.

En la fase cualitativa se aplicó un diseño básico para poder determinar la percepción que

tienen los participantes considerando técnicas tales como entrevistas, grupos focales y

observaciones (Merriam, 2002; Creswell & Plano, 2011) del proceso empleado en el desarrollo

de las actividades de enseñanza y aprendizaje. También se consideró la percepción del

estudiante sobre el aprovechamiento mediante entrevistas y actividades de comprobación de

conceptos teniendo en cuenta ambas modalidades para corroborar las convergencias y

divergencias de los hallazgos encontrados mediante la triangulación. Ponce añade que para

garantizar la triangulación en este diseño, el investigador consideró todas las etapas que conlleva

el estudio.

De acuerdo a Ponce (2011), la triangulación es una comparación de la información que

determina la corroboración. Además, Wiersma y Jurs (2005) añaden que la triangulación es


mayormente cualitativa a través de la validación cruzada. La alta evidencia de fuentes de datos

que estén acorde con la convergencia de múltiples recursos de datos o múltiples recopilaciones

de los datos es característica en la triangulación. En este estudio de convergencia de la

información, los hallazgos se convierten en conceptos comunes (Wiersma & Jurs, 2005).

Además, McMillan y Schumacher (2007) sintetizan la definición de triangulación como una

validación cruzada cualitativa entre múltiples fuentes de datos o estrategias de recopilación de

datos.

Arias (2009) clasifica la triangulación como un método de validez convergente. En la

investigación de Métodos Combinados se espera que se logre una visión más profunda del

problema por adquirir datos de índole cuantitativa, pero con el aspecto descriptivo que enriquece

y profundiza la realidad de la situación y la precisión del problema (Creswell & Plano, 2011).

Según Merriam (2002), es importante contestar cuán congruentes son los hallazgos con la

realidad.

En este estudio se contempló la triangulación en todas sus dimensiones, al considerar el

aspecto objetivo y subjetivo que conlleva el análisis de establecer congruencias. Se consideran

los datos cuantificables y en igualdad de condiciones se considera el aspecto fenomenológico

para descubrir las semejanzas y contrastes entre los hallazgos. En el caso de este estudio, las

técnicas son dos o más para cada pregunta de investigación.

A través de la fase cuantitativa se medió el efecto del uso de los mapas conceptuales

como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) y en el

aprovechamiento en matemáticas de estudiantes que estén trabajando el tema de función en un

curso de Precálculo a nivel universitario. A través de la fase cualitativa se auscultó la opinión

del grupo de estudiantes participantes sobre el desarrollo de conceptos (conceptualización) y el


aprovechamiento en matemáticas en el tema de función en un curso de Precálculo a nivel

universitario. En dicha fase, la recopilación de los datos se hizo en diferentes etapas del estudio.

Se consideró estas dos fases simultáneamente, permitiendo al investigador poder comparar y

contrastar los datos cuantitativos y cualitativos a medida que se fueron adquiriendo durante la

implantación del estudio.

Se recopilaron los datos en ambas fases de forma paralela y triangularon desde la

administración del boleto de entrada y la preprueba, de la intervención de las cuatro (4)

actividades que contienen preguntas cuantitativas en la construcción de mapas conceptuales, la

fase cualitativa con preguntas abiertas durante el proceso y finalizando con el boleto de salida y

la posprueba. Se recopilaron datos que corroboren su convergencia y divergencia. Se

corroboraron las intervenciones cuantitativas con análisis estadísticos, y en la fase cualitativa se

transcribió lo expuesto por los participantes en las actividades de experiencias de práctica y en

los grupos focales, donde se corroboraron los datos con los participantes para su credibilidad y

realidad.

Descripción de la población

La universidad donde se llevó a cabo la intervención ofrece entre su oferta educativa,

grados académicos en las áreas de Administración de Empresas, Ciencias y Tecnología, Ciencias

Sociales, Humanidades, Educación, Enfermería y Terapia Respiratoria a graduados de escuela

superior procedentes mayormente del noreste de Puerto Rico. La universidad cuenta con una

matrícula aproximada de 12,000 estudiantes y una facultad regular compuesta por aproximada

180 profesores. La distribución de estudiantes por género por sección es aproximadamente 60 %

mujeres y 40 % varones. El curso que consideró esta investigación es clasificado como medular

para cualquier bachillerato en Ciencias y Tecnología. Las concentraciones de los diferentes


bachilleratos son: Biología General, Biología Celular Molecular, Ciencias Ambientales, Ciencias

de Cómputos, Química y Bio-matemáticas. Todas las concentraciones requieren una buena base

en matemáticas y Precálculo se considera el curso que fortalece las competencias generales

aplicadas a las Ciencias Naturales. Además, este curso es requerido para que los estudiantes

tomen cursos de matemáticas de nivel más avanzado y de mayor profundidad en las aplicaciones

en el campo de las ciencias.

La población para este estudio fue de 90 estudiantes de primero y segundo año de

universidad matriculados en cuatro secciones del curso de Precálculo de la Escuela de Ciencias y

Tecnología de una universidad privada del área metropolitana de Puerto Rico. Las edades de los

estudiantes fluctuaron generalmente entre 18 y 22 años. Además, la mayoría de estos estudiantes

aprobaron en su semestre anterior un curso de Álgebra Intermedia II o fueron ubicados en el

curso de acuerdo a sus resultados en una prueba de ubicación de la institución y los resultados en

las partes de matemática de la prueba de admisiones a las universidades que administra el

College Board. Otros estudiantes fueron trasferencias de otras instituciones universitarias y por

su convalidación quedaron ubicados en el primer curso de Precálculo.

La participación de los estudiantes en el grupo focal fue de carácter voluntaria y en

aquellos casos de estudiantes menores de edad se aceptaron con la debida autorización de sus

tutores legales. Se seleccionaron dos grupos de estudiantes matriculados en un curso de

Precálculo de una universidad privada en el área metropolitana. Dicho estudio presentó como

objetivo recopilar información para investigar, comprender y explicar el efecto de la utilización

de los mapas conceptuales en el desarrollo de conceptos (conceptualización) y en el

aprovechamiento en matemáticas en el tema de función de estudiantes participantes versus la

modalidad de la enseñanza tradicional. Para lograr una mayor participación de estudiantes


voluntarios, se ofreció una orientación preliminar sobre los propósitos de la investigación a todos

los estudiantes matriculados en las diferentes secciones de Precálculo. No se descartó la

posibilidad de que los estudiantes que no deseaban participar de la investigación se cambiaran de

sección en el periodo que asignó la Vicerrectoría de asuntos estudiantiles.

Selección de la muestra

La muestra a participar del estudio constó de una selección aleatoria de dos de cuatro

secciones de grupos intactos que representan un 50 % de los grupos y 55 % de estudiantes

matriculados en un curso de Precálculo en la universidad privada que se llevó a cabo el estudio.

Cada sección constó de 25 estudiantes. Una sección se asignó de forma aleatoria al grupo

experimental y la otra al grupo de comparación. Para efectos de este estudio, los cuatro grupos

están matriculados por la institución (grupos intactos) y de esos grupos ya constituidos se

seleccionaron dos en forma aleatoria. Todos los estudiantes fueron invitados a participar de

forma voluntaria en las actividades que permitieron la recopilación de datos para el estudio. En

el Apéndice A se presenta un modelo sobre el procedimiento a seguir en la investigación.

Instrumentos de medición y validez: Preprueba y posprueba

En la fase cuantitativa de la investigación se utilizó como instrumento de medición una

preprueba y una posprueba y su propósito fue el de medir el aprovechamiento en el tema de

funciones antes y después del tratamiento. Cada prueba constó de 22 premisas de selección

múltiple. Su distribución fue de la siguiente manera: 1 premisa de definición, 3 de evaluación de

funciones, 3 de dominio, 5 de operaciones, 4 de gráficas, 1 de forma estándar de la función

cuadrática, 1 del círculo como ejemplo de no función y 4 de aplicaciones. La preprueba y la

posprueba fueron pruebas paralelas con una puntuación máxima de 44 puntos cada una y las

construyó el investigador. Se utilizó como fuente primaria para su construcción el prontuario


diseñado para el desarrollo del curso de Precálculo I que prepararon profesores de la Escuela de

Ciencias y Tecnología. Estas pruebas consideraron los conceptos menores que amplían y

enriquecen el concepto generador de función (ver Apéndice B). Con relación a la validez de

contenido de la preprueba y la posprueba, se sometieron a un comité de expertos de profesores

de la universidad donde se realizó el estudio. Se preparó una plantilla para que el comité de

expertos opinara sobre el contenido de la prueba, redacción, lenguaje adecuado para los

estudiantes y representatividad de los ejercicios (ver Apéndice C). Una vez validadas las

pruebas por los expertos, se ofreció una prueba piloto para determinar la validez de los análisis

estadísticos de la prueba. Se seleccionó en forma aleatoria uno de los cuatro grupos matriculados

en el curso de Precálculo y se implantó el plan piloto. Como validación matemática del

instrumento se utilizó el alfa de Cronbach para determinar la validez interna de las premisas de

cada prueba. Se utilizó el programa SPSS, versión 20.0 (2012). En este estudio se obtuvo un

coeficiente de .85 en la preprueba y .86 en la posprueba. Según Vogt, (2007), si la puntuación es

más de .70 en la prueba del alfa de Cronbach se considera que hay consistencia interna entre los

reactivos.

Instrumento para medir proceso de desarrollo de conceptos (Inventario de Opinión)

El investigador preparó un instrumento (Inventario de Opinión) para medir el proceso de

desarrollo de conceptos en el tema de función. Este instrumento constó de 20 premisas en una

escala Likert de 5 puntos donde 5 puntos = totalmente de acuerdo, 4 puntos = de acuerdo, 3

puntos = parcialmente de acuerdo, 2 puntos = en desacuerdo y un punto = total desacuerdo. Las

premisas se fundamentan básicamente en los principios de conceptualización mencionados

anteriormente y reseñados por Novak y Gowin (1988). El Inventario de Opiniones tuvo una

puntuación máxima de 100 puntos y una puntuación mínima de 25 puntos. El instrumento


constó de tres partes. La primera parte presentó una introducción y la invitación a la

participación voluntaria de los participantes. La segunda parte consistió de cuatro preguntas de

índole demográfica, y la tercera parte constó de 20 preguntas que se contestaron desde

totalmente de acuerdo hasta totalmente en desacuerdo sobre los principios que rigen el proceso

de conceptualización. Se esperaba que el estudiante seleccionara de acuerdo a su nivel de

percepción aquellas alternativas que más se parecieran a su experiencia durante el proceso (ver

Apéndice D). Se consideró validar el Instrumento Inventario de Opinión en el plan piloto por

entenderse que no existe un cuestionario de esta índole, debidamente validado para estudiantes

puertorriqueños que estudien el concepto de función en un curso de Precálculo. Este Inventario

de Opinión se sometió a un análisis de tres expertos y luego al análisis del alfa de Cronbach

como herramienta estadística para medir la consistencia interna de las premisas utilizadas en el

instrumento (ver Apéndice E). Luego de considerar las recomendaciones de los expertos, se

sometió a una prueba piloto con estudiantes que habían participado construyendo mapas

conceptuales en su curso de Precálculo. Al utilizarse en el programa SPSS 20.0 (2012) el alfa de

Cronbach, arrojó un coeficiente de .88, mostrando que hay consistencia interna entre los

reactivos del instrumento Inventario de Opinión.

Guía de orientación para el (la) profesor(a) a cargo de cada grupo participante

El investigador preparó una Guía de orientación para el profesor que atendió el grupo

experimental y otra para el que atendió al grupo de comparación. Cada guía conta de una

introducción donde presenta el propósito y el objetivo de la misma. Se presenta en cada una de

ella seis etapas o fases que orientan al profesor(a) en el desarrollo de las experiencias en la sala

de clases y las intervenciones en la investigación. Las etapas en que se dividen las guías son las

siguientes:


Boleto de entrada y Preprueba. El propósito del boleto de entrada y la

preprueba era diagnosticar el conocimiento que tienen los estudiantes del

contenido de los temas a discutirse en la investigación.

Actividades previas al desarrollo de conceptos. La presentación de una serie de

ejercicios para la construcción de mapas conceptuales y preguntas abiertas para

auscultar el aspecto fenomenológico en el grupo experimental. Las actividades

del grupo de comparación eran las que tradicionalmente utiliza el (la) profesor

(a). Se orientó al (la) profesor (a) que atendía al grupo de comparación que no

utilizara los mapas conceptuales como parte de sus estrategias de enseñanza.

Boleto de salida y posprueba. El propósito del boleto de salida y la posprueba

era determinar el conocimiento que tienen los estudiantes de los temas

discutidos pasado el tratamiento.

Grupo focal. Actividad para que los participantes expusieron su percepción en

relación al proceso empleado en la enseñanza de los conceptos en el tema de

función.

Criterios a considerar de los (las) profesores participantes:

Entrevista a los profesores. El investigador invitó a los (las) profesores (as) a

pasar por una entrevista cuando finalizó el estudio donde estos expresaron su

sentir de la investigación: considerando el manejo de la sala de clases y la

percepción de los estudiantes hacia la clase, su participación en la investigación

y la participación del (la) profesor (a).

Hoja de observaciones. En el caso de los (las) profesores (as) que faciliten el

curso se le solicitó al final de la experiencia que llenaran una hoja de


observaciones que preparó el investigador para exponer los aspectos relevantes

y pertinentes que ocurrieron mientras los estudiantes participaban de la

investigación.

Visita del investigador a la sala de clases. El propósito fue ofrecer seguimiento

a las orientaciones que recibieron los (las) profesores (as) participantes.

Los siguientes puntos bosquejan la experiencia de desarrollo de conceptos

o Tema(s)

o Objetivo(s)

o Conceptos

o Tiempo aproximado

Además, se incorporó una Guía temática de estudio según el prontuario del curso de

Precálculo I preparado por profesores de la Escuela de Ciencias y Tecnología de la institución y

atemperada con la intervención de la investigación (ver Apéndice F)

El grupo de comparación tuvo la misma Guía de estudio que el grupo experimental. La

diferencia en metodología fue que el grupo experimental participó de la incorporación del uso de

mapas conceptuales en el desarrollo de sus clases, y el grupo de comparación no incorporó la

utilización de los mapas conceptuales (ver Apéndice G). Esta guía de orientación a los

profesores permitió que se tuviera mayor control de los temas y subtemas a enseñarse con

relación al tema generador de función, tales como definición, operaciones, gráficas y

aplicaciones en ambos grupos. Además, estableció los procedimientos a seguir por los

profesores, y ayudó a minimizar el efecto de la amenaza de administración del tratamiento. En la

Guía para los profesores se indicaron los momentos de administración de la preprueba y la


posprueba, los ejercicios de comprobación de conceptos del inicio y de cierre (Boleto de entrada

y Boleto de salida) y las actividades de práctica durante el proceso.

Procedimientos de la fase cuantitativa

En la fase cuantitativa se llevaron a cabo los procedimientos según la siguiente secuencia:

Se seleccionó de forma aleatoria dos secciones de las cuatro (4) secciones donde

los estudiantes estaban matriculados en la universidad que se implantó el estudio.

o El grupo experimental utilizó mapas conceptuales para desarrollar el

concepto generador de función.

o El grupo de comparación que se le presentó el concepto medular de función

en forma tradicional.

El investigador preparó y ofreció una orientación a los profesores asignados a los

grupos: experimental y de comparación. Los temas que se trataron en dicha

orientación fueron: el uso de la Guía de orientación del contenido y de los

ejercicios mínimos requeridos para que cada profesor facilite el curso de

Precálculo

o En el documento se indicaron las instancias en que se efectuarían las

intervenciones de la preprueba, ejercicios de comprobación de conceptos,

la posprueba y actividades de práctica en ambos grupos.

o Permitió que se tuviera mayor control al enseñarse el concepto generador

de función y los conceptos menores a que los amplían y los enriquecen.

Esto minimizó las amenazas de instrumentación y de administración de los

tratamientos.


El investigador ofreció a los estudiantes participantes una orientación general del

estudio de investigación y sus propósitos antes de comenzar a administrar la

preprueba.

Se administró a ambos grupos una preprueba antes del inicio del tratamiento.

o Para mayor control en la administración de la preprueba el investigador y

los maestros participantes la administraron como equipo.

o Se controló presentando por escrito la forma de impartir las instrucciones

en la administración de la pruebas.

o Se solicitó y se asignó un salón adecuado con aire acondicionado

preferiblemente para minimizar el ruido externo y crear un ambiente

adecuado para la administración de las pruebas.

● Se preparó un instrumento (Inventario de Opinión) para medir el proceso de

conceptualización de forma cuantitativa en el grupo experimental.

o El Inventario de Opinión se administró en la sexta semana antes de

finalizar el tratamiento y del estudiante tomar la posprueba. La

administración del instrumento (Inventario de Opinión) la efectuó el

investigador y un asistente de investigación. Se solicitó y se asignó un

lugar adecuado para tales fines.

Se administró una posprueba finalizada la fase de intervención.

o Se siguió el procedimiento sugerido en la administración de la preprueba.

La intervención de esta investigación tuvo una duración de ocho semanas.


Análisis de datos cuantitativos

Al comenzar el análisis se consideró que la variable independiente es el uso del mapa

conceptual y las variables dependientes son el proceso del desarrollo de conceptos y el

aprovechamiento en matemáticas en el tema de función. Se esperaba que el estudio cuentase con

por lo menos 25 estudiantes matriculados en cada grupo.

En relación a los resultados de las puntuaciones de la preprueba, se efectuó un análisis de

prueba de t para muestras independientes. Además, se aplicó la prueba de Levene para

determinar la homogeneidad de la varianza entre los grupos. El propósito de dicha prueba fue

determinar la equivalencia pre experimental de los grupos. Se utilizó un nivel de significación

de .05 (α=.05) para todas las pruebas estadísticas a efectuarse.

A la posprueba se le aplicó otro análisis de la prueba t para muestras independientes y se

determinó si hay diferencias estadísticamente significativas del aprovechamiento entre el grupo

experimental versus el grupo control. Se usó un alpha de .05 para dicho análisis. En el análisis

de los datos recopilados en el instrumento para medir el proceso de conceptualización, se

determinaron los promedios por cada premisa y luego se interpretaron a la luz de las preguntas

de investigación. En relación a los ejercicios de práctica de conceptos, se analizó teniendo en

cuenta una rúbrica que se preparó para esos fines, ya que contienen datos cuantitativos y

cualitativos (ver Apéndice H). Se contrastaron y compararon los datos recopilados tan pronto

finalizó cada actividad. El investigador comenzó a analizar las similitudes y diferencias entre los

datos e inició la posibilidad de descubrir datos convergentes en el estudio a temprana

intervención al realizar triangulación de datos.


Técnicas y estrategias de recopilación de datos de la fase cualitativa

Una técnica que se utilizó para recopilar los datos cualitativos fue la de grupos focales

con la participación de los estudiantes. Los grupos focales fueron conducidos con entrevistas

guías a una muestra seleccionada de forma voluntaria de 11 estudiantes participantes voluntarios

en al grupo experimental y 8 en el grupo de comparación. El investigador lo anunció por los

salones e informó a los estudiantes de la importancia de su participación por el beneficio que

representaba que sus observaciones servirían para enriquecer la enseñanza de Precálculo.

Ambos grupos se reunieron en un salón de conferencias con aire acondicionado, sillas

acomodadas en un semicírculo y en dos horarios diferentes durante un mismo día, de 7:00AM a

8:30 AM el grupo de comparación y de 8:30AM a 10AM el grupo experimental. Se orientó a los

participantes que todo lo expuesto en la entrevista de grupo focal sería tratado de forma

confidencial. Se redactaron preguntas guías dirigidas a que los estudiantes expressaen sus

percepciones sobre el proceso de conceptualización y la estrategia de enseñanza utilizada (ver

Apéndice I). Las reacciones de los estudiantes se grabaron con la debida autorización de los

participantes y se transcribió lo expuesto en los dos subgrupos focales. Al finalizar la actividad,

las grabaciones y los documentos con información confidencial fueron guardadas dentro de un

archivo con llave al que solamente el investigador tiene acceso y estos se destruirán al cabo de

cinco (5) años.

Otra técnica fue la de entrevistar a profesores (as). El investigador invitó a los (las)

profesores(as) a pasar por una entrevista al finalizar el estudio donde estos expusieron su sentir

de la investigación considerando la administración en la sala de clases y la percepción de los

estudiantes hacia la clase, la investigación y el (la) profesor(a) (ver Apéndice J). Se orientó al

profesor que lo expresado en esta entrevista sería tratado en forma confidencial .Se grabaron y se


tomaron apuntes con la debida autorización de los (las) profesores(as). Luego se transcribió lo

expuesto por los (las) profesores(as) durante la entrevista y se discutieron para constatar su

veracidad. Estos documentos se guardarán por cinco (5) años en un archivo con llave al que

solamente el investigador tiene acceso.

Una Hoja de observaciones fue otra técnica utilizada para la recopilación de datos. En el

caso de los (las) profesor(as) que facilitaron el curso, se solicitó que llenaran al finalizar el

estudio una hoja de observaciones que preparó el investigador para exponer los aspectos

relevantes y pertinentes que ocurrieron mientras los estudiantes participaron de la investigación.

Esta hoja constó de un encabezamiento identificando la sección experimental o de comparación

y la información fue presentada mediante una tabla que indica lo siguiente: un código para

identificar al estudiante, fecha, tema en la clase, aspectos relevantes y observaciones para ser

cumplimentado por el maestro (ver Apéndice K). El investigadorpreparó un resumen de los

aspectos relevantes que ocurrieron durante la intervención según la percepción del (la)

profesor(a). Esta hoja fue puramente descriptiva y se preparó una matriz descriptiva que se

trianguló con las percepciones que presentaron los estudiantes. Esta evidencia permitió

determinar aquellos datos de convergencia entre la opinión de los estudiantes y la opinión de los

(las) profesores (as). Esta hoja fue evaluada por un comité de tres (3) expertos.

Otro recurso para la recopilación de datos fue una Hoja de observación de visita a la sala

de clases, El investigador preparó una hoja de observación de visita a la sala de clases para dar

seguimiento a las orientaciones ofrecidas a los(as) profesores(as) participantes de ambos grupos

(Ver Apéndice L). También se hicieron ejercicios de comprobación de conceptos de inicio y de

cierre. El investigador preparó un ejercicio de comprobación de conceptos que se llamó boleto

de entrada para auscultar el conocimiento que los participantes tienen sobre el dominio del


concepto generador de función y los conceptos menores que los componen antes de iniciar el

tratamiento de la investigación. El propósito de este ejercicio fue determinar de forma

cualitativa el conocimiento que traen los estudiantes sobre funciones. Además, los hallazgos en

la fase cualitativa se compararon con la evidencia que arrojó la preprueba en la fase cuantitativa.

Esto permitió al investigador identificar las congruencias mediante la triangulación. Este

ejercicio constó de una pregunta abierta que se pudo contestar en el grupo experimental con la

construcción de un mapa conceptual y en el grupo de comparación lo pudo contestar mediante

párrafos, ensayo, modelos, esquemas, diagramas, visuales, mapas conceptuales, organigrama o

aquel recurso que considere pertinente. El ejercicio de cierre llamado boleto de salida fue

paralelo al ejercicio de inicio y reflejó el cambio en conocimiento sobre el concepto generador de

función y sus conceptos menores (Ver Apéndice M). Se preparó una rúbrica para su corrección

(ver Apéndice N) y fueron validados por un comité de tres (3) expertos (ver Apéndice O).

Se utilizaron ejercicios de actividades de práctica durante el proceso para ambos grupos.

El investigador preparó cuatro actividades de práctica de conceptos que se llamaron experiencias

de desarrollo de conceptos para recopilar datos cuantitativos y cualitativos durante el proceso

que se llevó a cabo mediante la investigación y comprender el aprendizaje de los estudiantes.

Además, en cada uno de los temas definición, operaciones, gráficas y sus respectivas

aplicaciones de las funciones se consideraron preguntas de índole cuantitativa y cualitativa. En

la fase cuantitativa del grupo experimental se consideraron los conceptos generadores y menores

en la construcción de un mapa de conceptos. En el grupo de comparación se organizaron los

conceptos de diferentes formas tales como visuales, esquemas, párrafos y otros que el estudiante

considere pertinente. En el nivel de percepción de los estudiantes relacionado con la estrategia


de enseñanza en ambos grupos permitió la riqueza descriptiva de la fase cualitativa. Estas

actividades fueron validadas por un comité de tres (3) expertos (ver Apéndice P).

Procedimiento de la fase cualitativa

Se preparó un instrumento de comprobación de conceptos de inicio (boleto de entrada) y

otro instrumento de cierre (boleto de salida) para auscultar la percepción que tiene el estudiante

del dominio de los conceptos menores que definen el concepto generador de función. Esta se

contestó utilizando diferentes medios: en forma descriptiva, mediante dibujos, la presentación de

diagramas, la construcción de mapas conceptuales, en forma esquemática, en forma de bosquejo

o cualquier otro recurso que el estudiante considere pertinente. Se recopiló y se inició el análisis

los datos para la búsqueda de congruencias en el estudio.

Durante el desarrollo del estudio se presentaron cuatro actividades de experiencias de

desarrollo de conceptos al conjunto de actividades presentadas por el (la) profesor (a) para que el

estudiante mostrara dominio del concepto de función y pudiera construir un mapa conceptual

sobre el concepto de función. Estas experiencias fueron presentadas por definición, operaciones,

gráficas y aplicaciones como conceptos menores que describían el concepto generador de

función. Se presentaron en ambos grupos y se recopiló información sobre el dominio de los

conceptos básicos en los siguientes temas: definición, operaciones, gráficas y sus respectivas

aplicaciones. Estas actividades formaron parte de la evaluación formativa donde el estudiante

gradualmente presentó su percepción sobre los temas y la adquisición del conocimiento en el

concepto generador de función. Los instrumentos de actividades de práctica fueron

administrados por el (la) profesor (a) que ofreció el curso. La orientación y momento de

administrarse este instrumento estuvo contenida en la guía de orientación de los (las)

profesores(as) para implantar las actividades de práctica. El investigador pasó por los salones


para recoger los instrumentos cumplimentados por los estudiantes de ambos grupos en cada una

de las actividades de práctica.

Finalizada la intervención, los estudiantes de ambos grupos fueron invitados mediante

anuncios por los salones a participar de la entrevista de grupos focales que presidió el

investigador. Hubo un asistente de investigación que fue debidamente orientado sobre la

confidencialidad del proceso y del producto de la entrevista. Esta comunicación señaló la

importancia de la opinión y la percepción de los estudiantes en esta actividad y los exhortó a

participar. Los datos informados por los estudiantes se transcribieron y se analizaron por el

investigador a la luz del proceso de desarrollo de conceptos, la presentación del tema de función

y su aprendizaje. De esta manera el investigador analizó las congruencias y diferencias entre los

estudiantes que pasaron por la experiencia del uso de los mapas conceptuales y los estudiantes

del grupo de comparación. Además, el investigador analizó las posibles congruencias con los

hallazgos de lo escrito en el instrumento Inventario de Opinión de la fase cuantitativa.

La entrevista a los (las) profesores(as) tuvo el propósito de conocer la percepción de la

facultad de los cambios de actitud de los estudiantes al inicio y al final del tratamiento. También

el investigador preparó una hoja de observación para que el (la) profesor(a) anotase cualquier

aspecto relevante que ocurriese mientras los estudiantes participaban de la experiencia. La

comunicación de los maestros y el investigador fue a través del correo electrónico y reuniones

cortas que facilitó conocer la percepción de los estudiantes y las situaciones de mayor pertinencia

durante las clases. Estos datos fueron tratados con mucha confidencialidad. Los datos

recopilados de la entrevista a los (las) profesores(as) unidos a los que se obtuvieron en los grupos

focales permitieron al investigador triangularlos desde diferentes perspectivas y así lograr una

mayor validez en los hallazgos (Wiersma & Jurs, 2005).


El cierre de la investigación referente a la fase cualitativa que utilizó el boleto de salida

como estrategia de comprobación de conceptos aportó al estudio datos que se triangularon con

los hallazgos de la posprueba (cuantitativa). Se realizó un análisis de similitudes y diferencias

entre los datos de ambas fases y se determinaron las convergencias para profundizar en la etapa

final de la investigación. La finalidad de esta actividad de cierre fue determinar aquellos datos

de convergencia que tienen ambas fases, cualitativa y cuantitativa, que permitieron una mayor

validez de los hallazgos encontrados. La intervención tuvo una duración de ocho (8) semanas.

Credibilidad

La evaluación de los ejercicios del boleto de entrada y boleto de salida y los datos

obtenidos mediante las actividades de práctica fueron analizados utilizando una rúbrica

preparada al respecto. Relacionado con los hallazgos obtenidos en el grupo focal, el investigador

preparó un informe preliminar que permitió corroborar la certeza de la opinión que presentaron

los estudiantes. Todos los participantes leyeron el documento para corroborar si lo escrito en el

informe era veraz con sus argumentos. Esto trajo como consecuencia una interacción entre el

investigador y los participantes en la búsqueda de la verdad para corroborar sus argumentos que

permitió enriquecer en gran medida el estudio y ofreció la oportunidad de traer unos hallazgos de

mayor realidad. (Creswell & Plano, 2011).

En relación a la entrevista con los (las) profesores(as), se corroboraron los datos mediante

una reunión en la oficina del investigador, donde se consideró lo expuesto por ellos sobre la

percepción de los estudiantes y los cambios en el aprovechamiento de los alumnos al pasar por el

tratamiento. En relación a los aspectos relevantes escritos en las hojas de observaciones que

preparó el (la) profesor (a), se envió un informe y se corroboraron los hallazgos con los


compañeros de facultad. Al finalizar la investigación se envió a cada maestro una tarjeta donde

se expresó el agradecimiento por colaborar para el éxito de la investigación.

Las revisiones que realizaron los (las) profesores(as) y los estudiantes de lo expresado en

la entrevista y en el grupo focal sirvieron para que los datos tuvieran mayor confiabilidad. El

resumen de las actividades de práctica facilitadas por el (la) profesor(a) y recogidas el mismo día

por el investigador, permitió llevar a cabo un análisis formativo de los estudiantes.

Análisis de datos cualitativos

El investigador analizó las respuestas del boleto de entrada y de salida mediante la

utilización de una rúbrica tanto cualitativamente como cuantitativamente, que permitió la

integración de los hallazgos desde el inicio del estudio hasta su culminación. En estas etapas del

estudio se pudieron analizar los datos con mayor profundidad y en forma comparable entre los

estudiantes antes y después del tratamiento de forma numérica pero con las explicaciones

descriptivas que pudiesen aportar los estudiantes para crear un cuadro analítico más completo

(Ponce, 2011).

El modelo de triangulación permitió al investigador relacionarse desde el inicio del

estudio con las diferencias y similitudes entre los datos de ambas fases. Además, se analizaron

las actividades de práctica mediante rúbricas preparadas para cada intervención y así

gradualmente se recopilaron datos cualitativos y cuantitativos a través de las actividades

encaminadas a desarrollar el concepto de función como concepto generador en un curso de

Precálculo I. La ventaja de este proceso fue la riqueza de datos que día a día fue recopilando el

investigador permitiendo crear un estudio de mayor profundidad y fortaleza (Creswell & Plano,

2007, 2011).


Al transcribir las respuestas de los participantes durante la entrevista del grupo focal y

preparar un resumen preliminar, el investigador tuvo otra oportunidad de ampliar, enriquecer y

profundizar datos del proceso. Además, las entrevistas con los (las) profesores(as) le ofrecieron

al investigador la oportunidad de visualizar diferentes vertientes en el análisis del problema y la

integración de diferentes datos. A estos fines, el investigador comparó todos los datos

cualitativos, procedió a clasificarlos, codificarlos y categorizarlos en diferentes tablas analíticas

donde se reflejaron las congruencias entre los datos analizados. Durante el proceso que se

realizó el análisis cualitativo, se compararon las contestaciones de los participantes y se

establecieron categorías en correspondencia con el propósito de la investigación mediante

triangulación. Además, se consideró si son posibles las similitudes y las diferencias en el logro

de una mayor convergencia.

Análisis de datos mixtos

Desde el inicio, durante el proceso y al finalizar la experiencia, se llevó a cabo la

triangulación y se comenzó a analizar para hallar las posibles convergencias entre los datos que

arrojaron ambas fases según establecidas en el procedimiento. La triangulación aplicable a este

estudio adopta y adapta la aportación a la definición de Denzin (1970, 1975, 1989), Morse

(1991), Cowman (1993) o Creswell (1994,2002) citado por Rodríguez, Pozo y Gutiérrez (2006).

Concuerdan al describir la triangulación en el campo de la educación como una estrategia

metodológica de investigación que estudia un mismo objeto desde diferentes perspectivas de

contraste en diversos momentos de intervención en el estudio.

Los datos de la fase cuantitativa se compararon y contrastaron con los datos en la fase

cualitativa en los siguientes puntos: 1) en el inicio del estudio [la preprueba y el de boleto de

entrada #1] para buscar convergencias entre el aprendizaje del tema de función y los sub-temas


que lo componen; 2) en la fase de desarrollo [los ejercicios de práctica de conceptos (dela #2 a la

#5] para entender la percepción que tiene el estudiante de su aprendizaje y el aprovechamiento

de los estudiantes; 3) la fase de cierre [la posprueba y el boleto de salida] como comprobación

del concepto función en su categoría medular o generador; 4) el ejercicio #6 para la búsqueda de

las convergencias cualitativas y cuantitativas en el aprovechamiento de los estudiantes de ambos

grupos; o sea, el experimental y el de comparación. El análisis de esta investigación consistió en

determinar el efecto del tratamiento, buscando las convergencias de los datos cuantitativos y

cualitativos aplicando triangulación (Creswell & Plano, 2007, 2011). También es de suma

importancia analizar los datos con la congruencia que tienen con la realidad (Merriam, 2002).

El análisis estas convergencias de los datos de ambas modalidades se representó en tablas

comparativas donde se destacaron las congruencias y similitudes de los hallazgos del estudio. Se

preparó un solo desglose combinado de análisis como resultado de llevar a cabo una

investigación en diseño mixto de triangulación en fases paralelas.

Aspectos del manejo ético de la investigación

Esta investigación comenzó cuando se obtuvo la aprobación del protocolo de la Junta de

Protección de los Seres Humanos (IRB) de la Universidad Metropolitana. El estudio comenzó

coordinando con la decana de Ciencias y Tecnología la posibilidad de implantar en la

universidad la investigación y se obtuvo el consentimiento para poder administrar la prueba

piloto (Preprueba y Posprueba) y realizar la validación del instrumento Inventario de Opinión en

un grupo de Precálculo, luego de pasada la experiencia de estudiar el tema de función (Ver

Apéndice Q).

El investigador presentó el estudio de investigación a los estudiantes prospectos en forma

detallada en un salón de conferencias dentro del horario regular de clases. El investigador


presentó la hoja del consentimiento informado, el título de la investigación, el propósito, los

procedimientos, riesgos o incomodidad, beneficios, incentivos, privacidad y confidencialidad,

compensación por daños, participación voluntaria y las personas contacto para solicitar

información a los participantes. Además, en la orientación se enfatizó que la participación de los

estudiantes era libre y voluntaria. También se consideró la información presentada de forma

confidencial y que se protegería su identidad, asignando códigos numéricos a los instrumentos y

a los estudiantes participantes. Los resultados obtenidos se transfirieron a una base de datos que

permanecerá en la computadora del investigador. El acceso a la base de datos la tendrá el

investigador utilizando una contraseña de acceso para mayor protección.

En la implantación de la investigación, el investigador presentó el estudio a los

participantes en forma detallada en un salón de conferencias dentro del horario regular de clases.

Este presentó la hoja del concentimiento informado, el propósito, los procedimientos, riesgos o

incomodidad, beneficios, incentivos, privacidad y confidencialidad, compensación por daños,

participación voluntaria y las personas contacto para solicitar información a los participantes de

la investigación. Se ofreció una explicación sobre la participación de estos estudiantes a

contestar preguntas de la preprueba, posprueba, Boleto de entrada, Boleto de salida, instrumento

Inventario de Opinión, construcción de mapas conceptuales y preguntas de margen abierto para

la fase cualitativa. Además, en la orientación a los estudiantes se les indicó que la participación

era libre y voluntaria. También se informó que toda información sería tratada de forma

confidencial y se protegería su identidad, asignando códigos numéricos a los instrumentos y a los

estudiantes participantes.

En la entrevista de grupos focales que fueron los mismos estudiantes participantes en la

investigación solamente se seleccionaron los que desearon participar, tanto del grupo


experimental como del grupo de comparación. Se ofreció un repaso de la investigación y la hoja

de consentimiento, destacando el propósito, los procedimientos, riesgos o incomodidad,

beneficios, incentivos, privacidad y confidencialidad, compensación por daños, participación

voluntaria y las personas contacto para solicitar información a los participantes de la

investigación. La entrevista de grupo focal fue grabada en grabadora digital de audio y

participaron de la entrevista el investigador y un asistente de investigación. El propósito de la

utilización de la grabadora digital de audio fue solamente para la recopilación de la información,

la corroboración de las contestaciones y su análisis escuchándolas más de una vez. La

información almacenada en la grabadora digital de audio fue grabada en un CD y luego

permanacerá en un archivo bajo llave que tiene el investigador en su oficina. También se

consideró el punto de que toda información sería tratada de forma confidencial y se protegería su

identidad, asignando códigos numéricos a los instrumentos y a los estudiantes.

Se invitaron a los (las) profesores (as) a una entrevista al finalizar el estudio donde estos

expresaron su sentir de la investigación. Los (las) profesores (as) llenaron al final del

tratamiento una hoja de observaciones expresando los aspectos generales relevantes que

ocurrieron mientras los estudiantes participaban de la investigación. El investigador principal

realizó visitas a la sala de clases con el propósito de ofrecer seguimiento a las orientaciones que

recibieron los (las) profesores (as) participantes (Lista de cotejo sobre la orientación recibida).

En general los instrumentos y documentos impresos o digitales que se utilizaron en la

implantación de esta investigación serán custodiados por el investigador principal de este

estudio. Serán guardados en un archivo bajo llave en la oficina del investigador. La llave solo

será controlada por el investigador. Los instrumentos y documentos serán guardados por cinco

años y luego se procederá a decomisarlos en una trituradora de papel.


Capítulo IV

Hallazgos

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos de esta investigación. El estudio

tuvo como propósito investigar el efecto en estudiantes matriculados en un curso de Precálculo

en una universidad privada, que tiene el uso de mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza en el aprovechamiento en matemáticas en el tema de función y en el desarrollo de

conceptos (conceptualización) del tema de funciones y conceptos relacionados. Se planteó

determinar si existían diferencias estadísticamente significativas en el aprovechamiento en

matemáticas en el tema de funciones de los estudiantes que utilizaron la estrategia de

construcción de mapas conceptuales y los estudiantes que le presentaron el tema de funciones en

forma tradicional. Es fundamental señalar que la administración de los tratamientos fue similar

para ambos grupos, excepto que el grupo experimental utilizó la estrategia de la construcción de

mapas conceptuales y el grupo de comparación se le presentó el concepto de función en forma

tradicional.

En esta investigación se recopilaron simultáneamente datos cuantitativos y cualitativos

para analizar los puntos de semejanzas y diferencias en el en el aprovechamiento en matemáticas

y en el proceso de desarrollo de conceptos (conceptualización) del tema de función en

estudiantes de un curso de Precálculo a nivel universitario. En la fase cuantitativa se utilizó un

diseño cuasiexperimental dado que la selección de los grupos en su forma inicial fueron grupos

intactos donde la muestra no se seleccionó en forma aleatoria (McMillan & Schumacher, 2007;

Fraenkel & Wallen, 2006). En este estudio, el diseño que se utilizó en la fase cuantitativa es el

de grupos no equivalentes con preprueba y posprueba. En la fase cualitativa se aplicó un diseño

básico para poder determinar la percepción que tienen los participantes usando técnicas tales


como entrevistas, grupos focales y observaciones del proceso empleadas en el desarrollo de las

actividades de enseñanza y aprendizaje (Merriam, 2002; Creswell & Plano, 2011). También se

consideró la percepción del estudiante sobre el aprovechamiento mediante entrevistas y

actividades de comprobación de conceptos teniendo en cuenta ambas modalidades para

corroborar las convergencias y divergencias de los hallazgos encontrados mediante la

triangulación. Ponce (2011) añade que para garantizar la triangulación en este diseño, el

investigador considere todas las etapas que conlleva el estudio. Se aplicó la triangulación de

datos con el propósito de corroborar las congruencias entre los datos y la información en ambas

metodologías (Creswell & Plano, 2007, 2011). Según Wiersma y Jurs, (2005), la triangulación

es mayormente cualitativa a través de la validación cruzada. La alta evidencia de fuentes de datos

que estén acorde con la convergencia de múltiples recursos de datos o múltiples recopilación de

los datos es característica en la triangulación.

Al ser este estudio de métodos mixtos, en la fase de triangulación fue conveniente

presentar los hallazgos desde tres perspectivas: la cuantitativa, la cualitativa y la consideración

de ambas modalidades para corroborar las convergencias y las divergencias de los resultados

encontrados según se desprenden de las dos fases ejecutadas. También se consideró la

percepción del estudiante sobre el aprovechamiento. Esto se hizo mediante entrevistas y

actividades de comprobación de conceptos considerando ambas modalidades [cuantitativa y

cualitativa] para continuar corroborando las convergencias y las divergencias de los hallazgos

encontrados.

En la fase cuantitativa se recopilaron datos a través de instrumentos utilizados en la sala

de clases como preprueba y posprueba, boleto de entrada y salida y ejercicios cuantitativos en las

actividades de Práctica A, B, C y D. Se recopiló información cualitativa en los instrumentos de


las actividades A, B, C y D con preguntas abiertas como parte de los ejercicios. Las actividades

presentaron una combinación de preguntas para ambas fases. Además, para recopilar

información puramente cualitativa se utilizó la técnica de Grupo Focal fuera del horario de clases

con una muestra de participantes voluntarios del grupo experimental. Otra técnica cualitativa

utilizada fue la entrevista a los maestros que ofrecieron los cursos para ambos grupos. El primer

análisis que estableció el investigador fue asociar los instrumentos cuantitativos y cualitativos y

las técnicas cualitativas para ver a qué pregunta(s) de investigación correspondía. (Ver

apéndices R y S).

Análisis de los resultados en la fase cuantitativa

En esta fase se realizaron las siguientes pruebas estadísticas utilizando el siguiente

procedimiento:

Se comenzó con efectuar el análisis de normalidad de la distribución de los datos. Se

utilizó la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS) para dicho propósito. Esta prueba permite

explorar la forma de la distribución de las puntuaciones en la pre y en la posprueba, boleto de

entrada y salida, y las actividades de práctica, para determinar el principio de normalidad. Es

necesario corroborar dicho principio para determinar si las estadísticas inferenciales a usar son

paramétricas o no paramétricas.

Los instrumentos correspondientes a la preprueba y la posprueba constaron de 22

preguntas de selección múltiple: una premisa de definición, 3 de evaluación de funciones, 3 de

dominio, 5 de operaciones, 4 de gráficas, 1 de forma estándar de la función cuadrática, 1 del

círculo como ejemplo de no función y 4 de aplicaciones. Con relación a la validez de contenido

de las pre y pospruebas, ambas fueron validadas por un comité de tres (3) expertos compuesto

por dos doctores en matemáticas y un doctor en educación con subespecialidad en matemáticas.


Una vez validadas las pruebas en términos de contenido, se efectuó una prueba piloto de los

instrumentos para determinar la validez estadística de los mismos. Como validación de los

instrumento se utilizó el coeficiente alfa de Cronbach para determinar la validez interna de las

premisas de cada prueba. Se utilizó el programa SPSS, versión 20.0 (2012). En este análisis se

obtuvo un coeficiente de .85 en la preprueba y .86 en la posprueba. Según Vogt (2007), si la

puntuación obtenida es más de .70 en la prueba del alfa de Cronbach, se considera que hay

consistencia interna entre los reactivos. Al obtener estas puntuaciones se evidencia que existe

una buena consistencia interna entre los reactivos de las preprueba y de la posprueba. Los

resultados del coeficiente del alfa de Cronbach reflejan que los reactivos de ambas pruebas

responden a un mismo constructo: funciones.

Una vez validadas la pre y la pos prueba, se comenzó el estudio administrando la

preprueba a ambos grupos participantes antes de iniciar el tratamiento. Una vez corregida la

preprueba de cada grupo, se realizó una prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov (KS)

para determinar el tipo de análisis estadístico requerido. De acuerdo al resultado, se determinó si

el análisis requería el uso de pruebas paramétricas o no paramétricas.

Finalizadas las cuatro actividades de práctica, cada grupo participante fue sometido a una

posprueba de los temas cubiertos en las actividades de prácticas. Una vez corregida la posprueba

de cada grupo, se realizó una prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov (KS) para

determinar el tipo de análisis requerido. Según los resultados se compararon los promedios

obtenidos en las pospruebas de los grupos de comparación y experimental mediante el uso de la

prueba de t para muestras independientes. El propósito fue determinar si hubo diferencias

estadísticamente significativas entre los promedios de las pospruebas de ambos grupos.


De igual manera se hizo con los resultados del boleto de salida para determinar la prueba

recomendable y realizar el análisis estadístico pertinente. El resultado de la prueba de

normalidad (KS) reflejó que la distribución no era normal. De acuerdo a los resultados, se aplicó

la prueba no paramétrica U de Mann-Withney para muestras independientes y se compararon los

rangos obtenidos en las puntuaciones en los instrumentos llamados boletos de salida en el grupo

experimental y en el grupo de comparación. El propósito fue determinar si hubo diferencias

estadísticamente significativas entre los rangos obtenidos en las puntuaciones de los boletos de

salida de ambos grupos.

Se administró el instrumento Inventario de Opinión para medir los principios aplicables

en el proceso de conceptualización en la construcción de mapas conceptuales. Este instrumento

constó de 20 premisas en una escala Likert de 5 puntos donde 5 puntos = totalmente de acuerdo,

4 puntos = de acuerdo, 3 puntos = parcialmente de acuerdo, 2 puntos = en desacuerdo y un punto

= total desacuerdo. La puntuación máxima a obtener era de 100 puntos y la mínima de 20

puntos. El instrumento constó tres partes. La primera parte presentó una introducción y la

invitación a la participación voluntaria de los participantes. La segunda parte constó de cuatro

preguntas de índole demográfica y la tercera parte constó de 20 preguntas aplicables a la escala.

Se validó el instrumento Inventario de Opinión en términos de contenido por un grupo de

expertos y se utilizó en el programa SPSS 20.0 (2012) el análisis del alfa de Cronbach que arrojó

un coeficiente de .88 mostrando que hay buena consistencia interna entre los reactivos del

instrumento Inventario de Opinión (Vogt, 2007).

Se sometió a una prueba piloto y a los resultados se aplicó análisis estadístico. Se analizó

en términos de promedio y desviación estándar los datos recopilados en el instrumento


Inventario de Opinión y se establecieron las proporciones entre la puntuación cruda y la escala

Likert.

En otros hallazgos, se analizó la comparación entre los ejercicios individuales que

efectuaron los participantes en el proceso de formación en las actividades de práctica. El

propósito fue ir corroborando el aprendizaje según se presentaban los conceptos en las cuatro

etapas fundamentales. En este análisis se vuelven a utilizar los resultados de la prueba de

normalidad (KS) para la preprueba y boleto de entrada mencionada anteriormente.

Resumen de los resultados encontrados

En estos análisis se utilizó el programa de computadoras SPSS, versión 20.0 (2012), para

realizar los análisis estadísticos. El nivel de significación usado para todas las pruebas

estadísticas fue un alfa de 0.05 )05.( .

Al llevar a cabo la prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov, se determinó que las

puntuaciones obtenidas en la preprueba no estaban distribuidas normalmente. En la preprueba se

obtuvieron los siguientes resultados: para el grupo experimental p = .04 y para el grupo de

comparación p = .016. Estos resultados reflejan que las distribuciones de las puntuaciones en la

preprueba para ambos grupos no están distribuidas normalmente porque las puntuaciones

obtenidas (p = .04 y p = .016) son menores que el nivel de significación establecido (*p < 0.05).

Esto permite concluir que la distribución de las puntuaciones de los grupos no eran normales

antes del tratamiento en términos de su aprovechamiento. Se aplicó la prueba no paramétrica U

de Mann-Withney para muestras independientes y se compararon estadísticamente los promedios

obtenidos en las puntuaciones de las preprueba. Esto se hizo con el propósito de determinar la

equivalencia pre-experimental de los grupos en cuanto a su aprovechamiento en funciones. Al

aplicar la prueba no paramétrica U de Mann-Withney para muestras independientes, se obtuvo


p =.777. De acuerdo al resultado, la puntuación obtenida es mayor que el nivel de significación

establecido (p > 0.05). Esto implica que se retiene la hipótesis nula de que no existen diferencias

estadísticamente significativas entre el aprovechamiento de ambos grupos en los resultados de

sus prepruebas. Se concluye que los grupos eran equivalentes en cuanto al aprovechamiento en

el concepto de función antes de comenzar el tratamiento.

Por otro lado, al comparar las puntuaciones del boleto de entrada, se obtuvieron

resultados que reflejaron que los grupos no son normales al aplicar la prueba de normalidad

(KS). En los resultados del boleto de entrada se obtuvo para el grupo experimental p = .025 y

para el de comparación p = .001. De los resultados se desprende que las puntuaciones obtenidas

(p = .025 y p = .001) son menores que el nivel de significación establecido (*p < 0.05). Esto

refleja que la distribución de las puntuaciones en el boleto de entrada de los grupos no estaban

distribuidas normalmente antes del tratamiento en términos de su desarrollo de conceptos. De

acuerdo a estos resultados, se establece que se requiere un análisis de pruebas no paramétricas.

Se aplicó la prueba no paramétrica U de Mann-Withney para muestras independientes y se

compararon estadísticamente los promedios obtenidos en las puntuaciones de los boletos de

entrada de ambos grupos. Esto se hizo con el propósito de determinar la equivalencia pre-

experimental de los grupos en cuanto a su desarrollo del concepto de función previo a iniciar el

tratamiento. Al aplicar la prueba no paramétrica U de Mann-Withney para muestras

independientes se obtuvo p =.154. De acuerdo al resultado, la puntuación obtenida es mayor que

el nivel de significación establecido (p > 0.05). Esto implica que se retiene la hipótesis nula de

que no existen diferencias estadísticamente significativas entre el desarrollo de conceptos de

ambos grupos previo a iniciar la intervención. Se concluye que los grupos eran equivalentes en


cuanto al desarrollo de concepto en el concepto generador de función antes de comenzar el

tratamiento.

A continuación se presentan los resultados para la primera hipótesis nula planteada en

este estudio, que establecía que:

Ho: No existe diferencia estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo de

comparación y los estudiantes del grupo experimental en la utilización de mapas conceptuales

versus la enseñanza tradicional en el aprovechamiento en matemáticas en el tema de funciones

en un curso de Precálculo a nivel universitario.

Los resultados de la prueba de normalidad para la posprueba fueron p = .200 en el grupo

experimental y p = .200 en el grupo de comparación. Como las puntuaciones observadas son

mayores que el nivel de significación establecido (p > 0.05), de los resultados se determina que

el análisis estadístico a usar para comparar los promedios de las pospruebas de ambos grupos es

una prueba paramétrica. Se aplicó un análisis de t para muestras independientes para determinar

si existen diferencias estadísticamente significativas entre las puntuaciones de los promedios en

la posprueba de aprovechamiento correspondiente a los estudiantes del grupo experimental al ser

comparados con los del grupo de comparación. La tabla 1 presenta los resultados de la prueba de

t para muestras independientes.

Tabla 1

Resultados pospruebas de aprovechamiento grupo experimental vs grupo de comparación

Grupo n M (DE) T (df) p 95 % IC

de la diferencia

Experimental 25 34.12 (5.54) .72 (48) .472 [-2.13,4.53]

Control 25 32.92 (6.15)


Los resultados de la prueba de t para muestras independientes reflejaron que no existe

diferencia estadísticamente significativa entre las puntuaciones de las pospruebas del grupo

experimental y el grupo de comparación (p>.05). Según este hallazgo, se retiene la hipótesis

nula. Se infiere que ambos tratamientos fueron igualmente efectivos en términos de promover el

aprovechamiento de los estudiantes de ambos grupos en el tema de funciones.

La segunda hipótesis nula planteada en este estudio fue:

Ho: No existe diferencia estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo de

comparación y los estudiantes del grupo experimental en la utilización de mapas de conceptuales

versus la enseñanza tradicional en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de

funciones en un curso de Precálculo a nivel universitario.

El análisis se repitió con la comparación de las puntuaciones del boleto de salida que

medía el desarrollo de conceptos tanto en el grupo experimental como en el grupo de

comparación para obtener información que sirva de base para someter a prueba la segunda

hipótesis que plantea este estudio. Primero se determinó si la distribución de las puntuaciones

era normal para ambos grupos para el boleto de salida y luego se investigó el impacto del

tratamiento en cada grupo y compararlos a ambos.

El análisis de la prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov (KS) arrojó los

siguientes resultados: el grupo experimental obtuvo un p = .002 y el de comparación p = .006.

Como el p obtenido es menor que el nivel de significación establecido (*p < .05), esto establece

que las distribuciones de las puntuaciones de los grupos no estaban distribuidas normalmente.

De acuerdo a estos resultados, se establece que se requiere un análisis de pruebas no

paramétricas. Se aplicó la prueba no paramétrica U de Mann-Withney para muestras

independientes y se compararon los promedios obtenidos en las puntuaciones de los boletos de


salida de ambos grupos. La tabla 2 muestra los promedios y las desviaciones estándar de los

grupos experimental y de comparación en la variable correspondiente al desarrollo de conceptos

(conceptualización).

Tabla 2

Promedios y desviaciones estándar de los grupos experimental y de comparación en las

puntuaciones del boleto de salida correspondientes al desarrollo de conceptos

Grupo n M (DE)

Experimental 25 12.00 (3.65)

Control 25 6.16 (3.00)

El objetivo de esta hipótesis fue determinar si había diferencia estadísticamente

significativa en los promedios de las puntuaciones obtenidas por los estudiantes de ambos grupos

en el boleto de salida en el área relacionada con el desarrollo conceptual luego de pasar por el

tratamiento sugerido. El hallazgo encontrado al aplicar la prueba no paramétrica U de Mann-

Withney fue de p = .000. Esto significa que se rechaza la hipótesis nula y se obtiene evidencia a

favor de la hipótesis alterna: existe diferencia estadísticamente significativa entre los promedios

del boleto de salida correspondientes al grupo experimental y al grupo de comparación. Esto

implica que los estudiantes del grupo experimental adquirieron un aumento estadísticamente

significativo en el desarrollo de conceptos sobre el tema de función como concepto generador

luego de haber pasado por la intervención en comparación al grupo de comparación. Se

desprende de los resultados de ambas pruebas que el grupo experimental aventaja al grupo de

comparación en una ganancia estadísticamente significativa en el desarrollo de conceptos en el

tema de funciones. Este resultado requiere que se realice el cómputo del ‘tamaño de efecto’

[effect size] para corroborar la magnitud del efecto del tratamiento. Hinkle, Wiersma, y Jurs

(2003) definen el tamaño del efecto como el grado en el que se manifiesta el fenómeno; en este


caso, el impacto de la estrategia del uso de mapas conceptuales en el desarrollo del concepto de

función. El resultado del cómputo del tamaño del efecto fue Cohen´s d = 1.7457. Este resultado

según la escala presentada por Hinkle et al. se clasifica como alto. Esto implica que la ganancia

porcentual del grupo experimental el en desarrollo conceptual fue significativamente mayor a la

obtenida por el grupo de comparación [1.74 desviaciones estándar del promedio].

El investigador preparó un instrumento (Inventario de Opinión) para determinar la

opinión de los participantes del grupo experimental respecto a cómo les ayudó el uso de mapas

de conceptos en el proceso de desarrollo de conceptos en el tema de función. Este instrumento

constó de 20 premisas en una escala Likert de 5 puntos donde 5 puntos = totalmente de acuerdo,

4 puntos = de acuerdo, 3 puntos = parcialmente de acuerdo, 2 puntos = en desacuerdo y un punto

= total desacuerdo. Las premisas fueron fundamentadas básicamente en los principios de

conceptualización reseñados por Novak y Gowin, (1988). Los resultados obtenidos se analizaron

en términos de su promedio y desviación estándar y se muestran en la tabla 3.

Tabla 3

Promedio y desviación estándar del Inventario de Opinión en el grupo experimental

Medida N M SD Mínimo Máximo

Desarrollo de conceptos 25 86.36 6.981 74 98

De la tabla 3 se desprende que en este instrumento se obtuvo un promedio de 86.36 que

es equivalente a 4.32 en la escala Likert. (Véase apéndice E, para la especificidad de la

evaluación). Se infiere de este promedio que la evaluación de los participantes del grupo

experimental está entre 4 y 5 en la escala Likert que significa que se está totalmente de acuerdo y

de acuerdo. Este resultado refleja que los estudiantes del grupo experimental, al haber pasado

por la construcción de mapas conceptuales, consideran que les ayudó grandemente en el proceso

de conceptualización en el tema de función. Este instrumento se fundamenta en los principios


señalados por Novak y Gowin (1988) sobre la construcción de mapas conceptuales y el aprender

a aprender. Estos resultados apoyan a los obtenidos al someter a prueba la segunda hipótesis

cuantitativa de investigación.

Otros hallazgos en la fase cuantitativa

Las actividades previas al desarrollo del concepto fueron una serie de actividades para la

construcción de mapas conceptuales y preguntas abiertas para auscultar el aspecto

fenomenológico en el grupo experimental. Las actividades del grupo de comparación fueron las

que tradicionalmente utiliza el (la) profesor (a). Se orientó al (la) profesor(a) que atendió al

grupo de comparación que no utilizara los mapas conceptuales como parte de sus estrategias de

enseñanza. El conjunto de actividades presentadas por el (la) profesor(a) para que el estudiante

demostrara dominio del concepto generador de función en la construcción de un mapa

conceptual sobre el tema se llamó ‘experiencias de desarrollo de conceptos’. Estas actividades

fueron presentadas por partes según los conceptos menores que amplían el concepto generador

de función. La primera parte (Actividades de Práctica A) presentó la definición de función y su

notación. La segunda parte (Actividades de Práctica B) se dedicó a la representación gráfica de

las funciones. La tercera parte (Actividades de Práctica C) consistió de las combinaciones con

funciones y la cuarta parte (Actividades de Práctica D) integró las tres partes mencionadas

anteriormente. En cada una de estas actividades el estudiante contestó una serie de ejercicios

individuales como parte del proceso de ejecución formativa y los hallazgos se presentan a

continuación.

Al aplicar al promedio de las actividades de práctica de cada grupo la prueba de

Kolmogorov-Smirnov (KS) para determinar la normalidad, se obtuvo un p =.003 en el grupo

experimental y un p = .200 en el grupo de comparación. Debido a que los resultados difieren en


términos de la forma de la distribución de las puntuaciones de las actividades para ambos grupos,

el investigador decidió usar pruebas paramétricas para comparar los promedios correspondientes.

El investigador basa su decisión en lo señalado en la literatura, que indica que, si el tamaño de la

muestra es igual para ambos grupos (n1= n2), se puede obviar el supuesto de normalidad, sin

afectar la robustez de la prueba (Hinlke, Weirma, & Jurs, 2003). Por lo tanto, para comparar los

promedios totales de las actividades de práctica correspondientes a ambos grupos, se usó la

prueba de t para muestras independientes. La tabla 4 presenta los resultados de la prueba de t

para muestras independientes.

Tabla 4

Resultados actividades para la construcción de mapas conceptuales grupo experimental vs

grupo comparación

Grupo n M (DE) t p 95 % IC

de la diferencia

Experimental 25 54.16 (9.96) 3.79(48) .000*

[5.32,17.31]

Control 25 42.84 (11.09)

*p<.05

Los resultados de la prueba t para muestras independientes reflejan que existe diferencia

estadísticamente significativa entre las puntuaciones de las prácticas individuales como parte del

proceso formativo al implantarse las actividades para el desarrollo de conceptos del grupo

experimental versus el grupo de comparación. Debido a que los resultados de la prueba fueron

estadísticamente significativos, se procedió a determinar la magnitud del efecto del tratamiento.

El resultado del cómputo fue Cohen´s d = 0 1.0734. Este resultado, según la escala presentada

por Hinkle, Wiersma, y Jurs (2003), se clasifica como alto. Esto coloca al investigador en la

posición de establecer como exitosa la ejecución formativa en el desarrollo del concepto

generador de función.


Análisis de la información obtenida en la fase cualitativa

A través de la fase cualitativa se auscultó la opinión del grupo de estudiantes participantes

sobre el aprovechamiento y el desarrollo de conceptos (conceptualización) en matemáticas en el

tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. En dicha fase, la recopilación de

la información se realizó de la misma forma que en la fase cuantitativa, en diferentes eventos del

estudio. Las tablas presentadas en la fase cualitativa del estudio son descriptivas y se presentan

en diferentes categorías según la técnica cualitativa utilizada, las cuatro actividades de práctica

(A, B, C y D), el grupo focal, la entrevista a los profesores y los hallazgos encontrados. El

propósito de esta fase fue conservar la riqueza del dato cualitativo obtenido y alinear las

opiniones de los participantes con las preguntas de investigación para facilitar las convergencias

y divergencias observadas en el estudio. La información recopilada respondió a las tres (3)

preguntas cualitativas que se plantearon en esta investigación. Estas preguntas de investigación

se contestaron en la medida que las técnicas cualitativas como las preguntas descriptivas en las

Actividades de Práctica (A, B, C, y D), grupo focal y entrevista a maestros llegaron a su

culminación y se obtuvieron las respuestas de los participantes.

La primera pregunta cualitativa de investigación de este estudio expone lo siguiente:

¿Cuál es la percepción que tienen los estudiantes del grupo de comparación sobre su experiencia

en la enseñanza tradicional versus el grupo experimental sobre su experiencia en la utilización de

mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos

(conceptualización) en el tema de funciones en el curso de Precálculo a nivel universitario?

El investigador usó las expresiones manifestadas por los estudiantes de ambos grupos al

finalizar cada una de las actividades de práctica [A, B, C y D] para obtener la información para

contestar la pregunta de investigación. La implantación de las actividades sugeridas consistió en


cuatro intervenciones que se identificaron como Actividad de Práctica A la cual presentó el

concepto de función y su definición, la Actividad de Práctica B que consideró las funciones

básicas y sus gráficas, la Actividad de Práctica C que consistió en presentar las operaciones y la

composición de funciones y la Actividad Práctica D que conllevó la integración de las primeras

tres (3) partes mencionadas anteriormente. Las actividades presentaban preguntas cuantitativas

en la solución de ejercicios y cualitativas en preguntas abiertas para contestarlas en forma

descriptivas. El grupo de comparación efectúo las actividades de forma tradicional, mientras que

el grupo experimental utilizó mapas de conceptos para completar las mismas.

Estas actividades formaron parte de la evaluación formativa donde el estudiante presentó

su percepción sobre la presentación de los temas y la adquisición del conocimiento en el

concepto generador de función. (Ver apéndice H) Las actividades de práctica fueron

administradas por el (la) profesor(a) que ofreció el curso. El investigador ofreció orientación a

los profesores al momento de administrarse este instrumento que también estaba contenido en la

guía de orientación de los (las) profesores(as) para implantar las actividades de práctica.

Además, pasó por los salones para recoger las actividades cumplimentadas por los estudiantes de

ambos grupos en cada una de sesiones de práctica [Una por cada actividad].

De acuerdo con la información obtenida de los participantes en las cuatro actividades

sugeridas en el tratamiento (Actividades de Práctica A, B, C y D) y su relación con la primera

pregunta de investigación de este estudio, surgió la categoría Desarrollo de Conceptual y las

siguientes cinco (5) subcategorías, a saber: Representación o Ilustración del concepto (función,

gráficas de funciones, operaciones y composición de funciones), Entendimiento del concepto,

Aplicación, Provee organización y Búsqueda del Conocimiento. Estas subcategorías se

presentan en tres tablas para para facilitar la explicación de los hallazgos. Las subcategorías


relacionadas con Entendimiento del concepto y la de Aplicación se integraron en la tabla 6. Las

sub categorías Representación o Ilustración del concepto y la de Proveer organización se

integraron en la tabla 7.

El procedimiento para establecer las categorías antes descritas se inició con el diseñó de

una matriz descriptiva donde se resumió, se analizó y se agrupó la información manifestada por

los participantes en las distintas actividades de prácticas. Según las contestaciones de los

participantes a las preguntas en cada actividad de práctica, se establecieron categorías de

aquellos argumentos que se repetían de manera similar estableciendo patrones. La categoría

sobre el desarrollo conceptual surge de las contestaciones de los estudiantes participantes que

utilizaron frases como: “me enseñaron con muchos ejemplos”, “nos enseñaron de forma concreta

y al grano”, “me presentaron los concepto en forma visual” y “se presentaron los conceptos en

análisis entre el profesor y los estudiantes”. Luego de establecer la categoría, el investigador

analizó que dentro de la categoría habían subdivisiones que podían clasificarse como

subcategorías: “se ilustran los conceptos mediante los mapas conceptuales”, “se explicaron los

conceptos mediante dibujos”, “explicando mediante métodos gráficos “entre otros. De esta

manera surge la subcategoría Ilustración de conceptos. Las otras subcategorías se desprenden de

un análisis similar realizado por el investigador y buscando los elementos similares en la

argumentación de los participantes. La subcategoría Provee organización se fundamenta en los

siguientes argumentos: “abarcamos los temas en forma organizada”, “se explicó con todos los

pasos y ejemplos”, “el mapa de conceptos me ayudó a organizarme y tener en cuenta todos los

conceptos bajo estudio”, entre otros. La subcategoría Entendimientos surge de las opiniones que

los participantes expresaron sobre cómo perciben que entendieron los conceptos. Ejemplos de

esto son las aseveraciones; “fue fácil de entenderlo, se llevó la definición mediante un análisis a


través de ejemplos”, “todo se discute en clase y es efectivo para captar el conocimiento” y “se

presentó en forma visual y se entiende mucho mejor.” Otro de los aspectos que señalaron ambos

grupos participantes fue el de las aplicaciones de los conceptos en el diario vivir que permite al

estudiante reconocer la importancia o relevancia en su entorno. El investigador lo presenta en el

análisis como la subcategoría Aplicación por los siguientes argumentos de los participantes: “se

presentó un análisis a través de nuestra vida cotidiana”, “ayudó a entender porque lo vimos en la

vida real”, y otros presentaron “en la era de las comunicaciones nos informa usando gráficas”.

La última subcategoría, y no menos importante, fue la de Búsqueda del conocimiento que

presentaron los participantes como producto del enfoque de las clases. Esta se fundamenta, entre

otros, en los siguientes argumentos: “invitaba a la búsqueda de temas futuros”, “buscar tutorías

en otros lugares” y “usar mapas de conceptos te llevaba a seguir buscando y buscando”.

El establecimiento de la categoría y las subcategorías se basaron en los argumentos

presentados por los participantes durante el desarrollo de las actividades de práctica A, B, C y D.

Las categorías establecidas para los argumentos presentados en el grupo focal fueron similares a

los argumentos mencionados en las actividades de práctica. Por tal razón, en el aspecto de

desarrollo de conceptos fueron las mismas categorías y subcategorías.

A continuación se presentan las tablas correspondientes a los hallazgos de la categoría de

desarrollo de conceptos y las sub categorías establecidas. Las opiniones de los participantes

sobre desarrollo conceptual para la Actividad de Práctica A fueron sintetizadas y se presentan en

la tablas 5, 6 y 7.


Tabla 5

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Representación o ilustración y Provee organización

-Actividad de Práctica A

Citas de los participantes

Categoría Subcategorías Experimental Comparación

Desarrollo

conceptual

Ilustración del

concepto función

“Una de las formas que representa el

concepto función fue correspondencia

entre dos conjuntos…mediante

discusión”.

“El profesor preguntó…determinamos

una definición”.

“Me lo enseñaron con muchos

ejemplos y muchas preguntas,

bastante bueno”.

“… con preguntas…ilustrándolo en

un mapa de conceptos para que lo

pudiéramos entender”.

“Primero la profesora habló

de los conceptos de función,

relación y correspondencia”.

“La profesora explicó por

medio de dibujos de

conjuntos y valores”.

“La profesora discutió las

definiciones y los

procedimientos de cómo

saber que es una función”.

Provee

organización

“Abarcamos el tema discutiendo y

practicando… en forma organizada”.

“El mapa de concepto está todo más

organizado y se puede asociar los

conceptos y su relación y nos ayuda a

recordar”.

“Presentando varios

ejemplos y explicar

detalladamente la definición

de función”.

“La profesora explicó con

todos los pasos y con

ejemplos”.

En la tabla 5 se desprende que en el grupo experimental el concepto de función fue

presentado estableciendo relaciones entre los elementos de dos conjuntos. Los estudiantes

argumentan que la forma de presentación mediante discusión socializada entre estudiante y

profesor fue acertada. Durante la presentación del concepto se ilustraron muchos ejemplos que

fueron discutidos mediante preguntas y respuestas. También argumentaron los participantes que

los temas discutidos fueron presentados en forma organizada, y al utilizar mapas de conceptos se

pudo recordar con mayor facilidad el asociar los conceptos y su relación entre ellos. Por otro

lado, el grupo de comparación manifestó que se le habló sobre los conceptos de función, relación

y correspondencia. La profesora comenzó la clase definiendo los términos, luego explicó los


ejercicios y ofreció ejemplos. También se utilizaron dibujos para ilustrar el concepto durante el

desarrollo de la clase.

Tabla 6

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Entendimiento del concepto y aplicación

Actividad de Práctica A



Desarrollo

Conceptual

Entendimiento del

concepto

Para mí fue bien fácil entenderlo…se

nos llevó a la definición mediante un

análisis a través de ejemplos …”

“Presentaron el concepto de función

de una manera muy simple de

entender y sacándole información al

estudiante.”.

“La función nos la presentaron con

una pareja… y nos dieron la

demostración de dominio y campo de

valores”.

“Nos presentaron el concepto,

hicimos un mapa de concepto… se

retiene información y salió la

definición”.

“…constantemente llevar análisis que

se basen en relaciones… para

entender de una mejor forma”.

“…un conversatorio, donde nos

hicieron preguntas donde poco a poco

fuimos definiendo y entendiendo el

concepto nosotros mismos”.

“Todo se discute en clase…

y es efectivo en cosas de

captar el conocimiento”.

“La profesora comenzaba la

clase definiendo los

términos, explicando

ejercicios y ejemplos para

tener un mejor

conocimiento”.

“Las explicaciones y

ejercicios ayudan a los

estudiantes y… aprendiendo

los conceptos de manera

satisfactoria”.

“Pienso que la actividad de

práctica se explicó bastante

clara… y trato de visualizar

el tema”. [Explicado por la

profesora]

Aplicación del

concepto

“Se nos llevó a la definición mediante

un análisis a través de ejemplos de

nuestra vida cotidiana”.

“El mapa de concepto y las

comparaciones…con la vida diaria...”

“La presentación con varios

ejemplos del diario vivir y

expresar la definición del

término función”.

“En general las prácticas nos

ayudaron a entender porque

lo vimos en la vida real”.

La tabla 6 presenta la opinión de los participantes del grupo experimental de que la

presentación del concepto a través de muchos ejemplos resultó fácil de entender. Además, la

discusión socializada entre el profesor y los estudiantes para presentar el concepto de función


simplificó poderlo entender. Al construir mapas de conceptos, se retiene la información y se

facilita el entendimiento para definirlo y determinar las relaciones entre los conceptos. Tener un

conversatorio en la sala de clases permite que el estudiante pueda establecer las definiciones de

los conceptos en sus propias palabras y apoderarse del conocimiento. Por otro lado, los

participantes del grupo de comparación expresaron que el material era presentado definiendo

términos, explicando ejemplos y solucionando ejercicios en clase. Esto facilitaba aprender los

conceptos de manera satisfactoria. También se deriva que aplicar el concepto a un análisis con la

vida cotidiana permitió que los estudiantes formularan el concepto de función con mayor

facilidad. La comparación del concepto con la vida diaria añadió mayor profundidad al

concepto. Por otro lado, los estudiantes del grupo de comparación añadieron que presentarle la

aplicación con la vida real y ponerlas en práctica les ayudó a entender mejor los conceptos.

Tabla 7

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de conocimiento-Actividad de Práctica A



Desarrollo

Conceptual

Búsqueda del

conocimiento

“En los mapas de conceptos se

preguntan cosas que nos hace pensar

más y buscarle la lógica a lo

aprendido”.

“…..varios ejercicios…para

nuestros hogares. “…buscar

tutorías en otros lugares”.

En la tabla 7 se desprende que otro de los argumentos expuestos por los estudiantes fue

que en los mapas de conceptos se presentaron detalles que permitieron a estos buscar la lógica de

lo aprendido. Analizar el concepto permite pensar sobre este y buscar más información que la

discutida en clases. Añadieron que para el entendimiento de algunos de los conceptos recurrían a

las tutorías.

A continuación se presentan las tablas correspondientes a los hallazgos de la Actividad de

Práctica B para la categoría de desarrollo de conceptos y las sub categorías establecidas. Estas


categorías fueron similares a las descritas para la actividad de práctica A. Las opiniones de los

participantes sobre desarrollo conceptual fueron sintetizadas y se presentan en las tablas 8, 9 y

10.

Tabla 8

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: ilustración y organización-Actividad de la Práctica B



Desarrollo

conceptual

Representación o

Ilustración de

gráficas de

funciones

“El tema de gráfica de función

comenzó las funciones básicas y se

nos ilustraron sus gráficas… para

hacer traslaciones de funciones…

explicarnos las funciones crecientes,

decrecientes y constante”.

“De una forma muy concreta al grano

con explicación profunda y general

con muchos ejemplos y explicaciones

de cómo se hacía una gráfica”.

“Me enseñaron utilizando ejemplos

del libro de texto y discutiendo las

dudas en la clase”.

“Explicando mediante ejemplos

gráficos matemáticos”.

“Usamos las gráficas para poder

observar y reconocer una ecuación…

estudiar su comportamiento y con

mucha práctica…”

“Se definió gráfica como la

representación visual del

comportamiento de una

función”.

“El tema de la gráfica de

funciones la

enseñaron…tenía una

ecuación y lo identificaba en

gráfica o lo contrario”.

“…fue despacio y se explicó

con muchos detalles sobre

los temas de función”.

“Se nos demostró mediante

dibujos las gráficas más

populares”.

“La profesora utilizó

métodos visuales (plano

cartesiano y gráficas para

cada ejercicio) y explicaba

temas futuros para mejor

comprensión”.

Provee

organización

“Usar mapas de conceptos ayuda a

organizar las ideas y nos permite

mostrar los conceptos más claros”.

“La profesora fue despacio y

explicó con muchos detalles

sobre el tema de gráfica de

funciones”.

En la tabla 8 se presenta el argumento del grupo experimental sobre el tema de gráfica de

función que comenzó con la presentación de las funciones básicas y sus gráficas. Añadieron los

participantes del grupo experimental que la presentación del tema fue concreta y al grano con

explicación profunda y general, con muchos ejemplos y explicaciones. También se presentaban


los conceptos mediante discusión de ejemplos del libro de texto y clarificaron dudas en la sala de

clases. Además, añadieron que el uso de mapas de conceptos ayuda a organizar las ideas y

permitió presentar los conceptos con mayor claridad. Por otro lado, el grupo de comparación

argumentó que se presentó el tema de gráficas dando una ecuación y la identificaba en gráfica o

lo contrario. En el aspecto gráfico se utilizaron recursos visuales en la enseñanza. También

manifestaron los estudiantes del grupo de comparación que la profesora fue despacio y explicó

con mucho detalle s el tema de gráficas de funciones.

Tabla 9


Actividad de Práctica B



Desarrollo

Conceptual

Entendimiento del

concepto

“Me enseñaron mediante un mapa

conceptual… partiendo de lo que

nosotros sabemos”.

“Descubriendo las funciones y luego

aplicando el previo conocimiento.”

“El concepto de función fácil de

entender y se puede relacionar…

facilitando el entendimiento”.

“…y usando mapas de conceptos es la

mejor forma de aprender”.

“El mapa de conceptos te ayuda a

mantener pensando y analizando”.

“El mapa de conceptos nos permite

trabajar productivamente”.

Rápidamente comenzaron

con definiciones para poder

relacionarlas con el tema, en

ecuaciones… identificarlas e

interpretarlas”.

“La profesora lo demostró en

forma visual y… se aprende

mucho mejor”.

“La profesora nos brinda

muchos ejemplos de

diferentes situaciones… paso

por paso y así entender

mejor”.

(Tabla continúa)


Tabla 9 (continuación)



Aplicación del

concepto

“El profesor nos demostró las familias

de gráficas y las explicación en

aplicaciones.”

“Por ejemplo hoy día se utiliza mucho

las gráficas en los periódicos,

noticias, internet, revistas… para

explicar mejor los resultados de

eventos o sucesos.”.

“… ya que estas gráficas muestran

puntos máximos y mínimos… y esto

nos puede mostrar las altas y bajas en

las comunicaciones durante este

siglo…”

“La era de las

comunicaciones

constantemente nos

informa… que las gráficas

son importantes en este siglo

porque te muestran

visualmente el

comportamiento de algo y lo

que está pasando”.

“Hoy día existen hasta

programas que nos pueden

facilitar la tarea y realizar las

gráficas en computadoras”.

“Las gráficas facilita la

recopilación de

datos...comprensión en el

diario vivir”.

La tabla 9 presenta el argumento de los participantes del grupo experimental que

mediante un mapa de conceptos y partiendo de lo que conocían, descubrieron las funciones y sus

gráficas facilitando entender por qué se podían relacionar muchos aspectos del concepto en

estudio facilitando el entendimiento. Además, este grupo añadió que el uso del mapa de

conceptos ayuda al estudiante mantenerse pensando sobre y analizando el concepto bajo estudio.

En relación a los estudiantes del grupo de comparación, estos expresaron que demostrar el

concepto en forma visual es más eficaz. Al continuar sus argumentos, añadieron que al presentar

muchos ejemplos paso a paso se aprende con facilidad y se entendía mejor. Se presenta la

opinión de los estudiante el grupo experimental que uno de los aspectos que facilitó entender el

concepto de gráfica de funciones fueron las aplicaciones de hoy día, donde se evidenció que se

utilizan mucho las gráficas en los periódicos y noticias para explicar mejor los resultados de

eventos o sucesos. También añadieron que las gráficas muestran puntos máximos y mínimos y


esto nos puede mostrar las altas y bajas de las comunicaciones durante este siglo. Los

estudiantes del grupo de comparación expresaron que las gráficas son importantes en este siglo

porque muestran visualmente el comportamiento de algo y lo que está pasando en el diario vivir.

Tabla 10

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de conocimiento-Actividad de Práctica B



Desarrollo

Conceptual

Búsqueda del

conocimiento

“Me la enseñaron mediante gráficas…

se asociaban de alguna manera al

tema que se iba a discutir [se invitaba

a la búsqueda de temas futuros]…se

adelantaban de los temas principales a

discutirse en las clases.”

Se solicitaron tutorías

fuera de la sala de clase.

En la tabla 10 los participantes del grupo experimental exponen que la enseñanza

mediante gráficas se representaba o se asociaba de alguna manera al tema que se iba a discutir.

La preparación para la próxima clase le requería estudiar el concepto con mayor profundidad.

Los temas principales a discutirse requerían estudio que profundizara el conocimiento de estos

antes de la presentaran en clase. [Búsqueda del conocimiento]


Práctica C para la categoría de desarrollo de conceptos y las sub categorías establecidas. Estas

categorías fueron similares a las descritas para la actividad de práctica A, excepto por la

subcategoría de Búsqueda del conocimiento debido a que las expresiones de los estudiantes de

ambos grupos no la manifestaron en esta actividad. Por tal razón no se presenta una tabla

correspondiente a dicha subcategoría. Las opiniones de los participantes sobre el desarrollo

conceptual fueron sintetizadas y se presentan en las tablas 11 y 12.


Tabla 11

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Ilustración y organización-Actividad de la Práctica C



Desarrollo

conceptual

Representación o

Ilustración del

concepto de

operaciones y

composición de

funciones

“Me lo han enseñado explicando a

través de un mapa conceptual”.

“La forma que nos enseñaron este

tema fue a través de discusiones en la

clase y mucha práctica”.

“Me enseñaron [la profesora]

las operaciones con

funciones como un problema

que hay que resolver con una

serie de pasos o fórmulas”.

“Me enseñaron este tema

con la explicación…,

ejemplos y ejercicios de

operaciones con funciones en

clase y de asignación”.

Provee

organización

“El mapa conceptual… hace que

veamos las cosas más organizadas”.

“Haciendo todo por paso y

en su orden, aclarando

dudas y enseñando

diferentes métodos de llegar

al resultado”

En la tabla 11 los participantes del grupo experimental describen que el concepto de

operaciones con funciones fue explicando a través de un mapa conceptual, mediante discusiones

en la clase y mucha práctica. Añadieron que usando el mapa de conceptos les ayudó a repasar

los conceptos aprendidos en forma organizada El grupo de comparación por otro lado manifestó

que el tema de operaciones lo enseñaron como un problema que hay que resolver son una serie

de pasos o fórmulas, le ofrecieron ejemplos de las operaciones con funciones y resolvían

ejercicios.


Tabla 12


Actividad de Práctica C



Desarrollo

Conceptual

Entendimiento del

concepto

“La forma enseñada de operaciones

fue clara… explicaba cada proceso de

los ejercicios…pude entenderlo”.

“El mapa de conceptos sirve para

ayudar a repasar los conceptos

aprendidos”.

“Nos enseñaron primero la teoría y

luego poder enseñarnos como utilizar

los ejercicios”.

“Nos enseñaron las

operaciones con funciones

de forma factible y fácil de

comprender”.

“Las actividades fueron

buenas… porque no todos

somos iguales…pero no

todos aprenden igual”.

Aplicación del

concepto

“Para mí las funciones son la forma

lógica de ver la vida, el lado analítico

de ellas”.

“Lo explicaron con ejemplos visuales

y cotidianos”. [del diario vivir]

“Ejemplos de la vida

cotidiana”.

En la tabla 12 los participantes del grupo experimental describen que el instructor

explicaba cada proceso de los ejercicios de tal manera que podían entenderlo. Añadieron que la

presentación en los mapas de conceptos permite que se vean las cosas más organizadas. Los

participantes del grupo de comparación opinaron que las operaciones con funciones se las

enseñaron de forma factible y fácil de comprender. Este grupo argumentó que las explicaciones

paso a paso y en determinado orden, aclarando dudas y enseñando de diferente formas, les

permitía llegar a los resultados. El grupo experimental manifestó que la aplicación a la vida

diaria la percibieron de forma lógica. En el grupo de comparación manifestó que se ofrecieron

ejemplos de vida cotidiana.


Práctica D para la categoría de desarrollo de conceptos y las sub categorías establecidas. Se


dedicó la Práctica D a la construcción de un mapa de conceptos y la opinión de los estudiantes

del grupo experimental sobre el uso de los mapas conceptuales. En el grupo de comparación

presentaron diferentes formas para definir el concepto generador de función en diagramas,

dibujos, párrafos, esquemas y otros recursos que el estudiante seleccionara. Por tal razón, no

aparecen respuestas correspondientes al grupo de comparación. Las opiniones de los

participantes del grupo experimental sobre el desarrollo conceptual fueron sintetizadas y se

presentan en la tablas 13.

Tabla 13

Opiniones sobre el desarrollo conceptual: Ilustración y organización-Actividad de la Práctica D



Desarrollo

conceptual

Entendimiento del

concepto generador

de función

“El uso de mapa conceptual te ayuda a

comprender…estudiar y ayuda a practicar el

material”.

“El uso de mapas conceptuales en las

matemáticas…ayuda a repasar los temas

aprendidos de una manera más simple”.

“El mapa conceptual nos ayuda a visualizar

mejor…ya que somos una generación visual y

al ver las cosas de esa manera las aprendemos

más rápido”.

“El uso de mapas conceptuales lo encuentro

simple. Se utiliza para ver cómo los temas se

relacionan unos con otros y así ayudar al

estudiante en el proceso de aprendizaje”.

“Pienso que el mapa conceptual es

bueno…ayuda a memorizar los temas…

mucho mejor y más rápido”.

Nota:

En esta actividad solo

un estudiante cumplió

con la expectativa del

ejercicio, el resto dejó

el ejercicio de forma

incompleta.

Provee organización

“En el mapa de conceptos se puede observar

mejor el orden… una mejor familiarización”.

“El mapa de conceptos ayuda a tener de una

manera más recogida los temas…mejor

conocimiento”.

“El mapa de conceptos me ayudó a

organizarme y tener en cuenta todos los

conceptos que debo practicar”.

Provee organización


En la tabla 13 los participantes del grupo experimental describieron que el uso de mapa

conceptual les ayuda a comprender mejor el material, les ayuda a estudiar y les ayuda a practicar

el material. También el mapa conceptual los ayuda a visualizar mejor lo dado en clase ya que

esta generación se considera visual y al ver las cosas las aprenden más rápido. Los participantes

añadieron que un mapa de conceptos ayuda a los estudiantes a adquirir una idea más clara del

material discutido en clase. El grupo experimental encontró que el uso de mapas conceptuales se

presenta en una forma simple y se utiliza para ver cómo los temas se relacionan unos con otros

para ayudar al estudiante en el proceso de aprendizaje. Otro aspecto que presentaron los

estudiantes del grupo experimental es que en el mapa de conceptos se puede observar mejor el

orden de los conceptos, permitiendo una mejor familiarización y síntesis con estos.

Otra de las técnicas utilizadas en la fase cualitativa fue una entrevista de grupo focal

dividida en dos secciones, una para los participantes del grupo experimental y otra para los

estudiantes del grupo de comparación. La información expuesta por los estudiantes se le

presentó a cada uno de los participantes y estos corroboraron las contestaciones. La

participación fue voluntaria en estos grupos y quedaron constituidos por once estudiantes en el

grupo experimental y ocho en el grupo de comparación. Se procedió a clasificar y codificar la

información obtenida para facilitar la agrupación de respuestas convergentes o divergentes. La

pregunta formulada a los participantes del grupo experimental en la técnica de grupo focal que

estaba alineada a la primera pregunta de investigación fue: Explica cómo te ayudó (si consideras

que te ayudó) el uso de los mapas conceptuales a comprender los conceptos de función en tu

clase de Precálculo. La pregunta formulada al grupo de comparación fue: Explica cómo te

ayudó la discusión socializada (si consideras que te ayudó) a comprender los conceptos de

función en tu clase de Precálculo.


Las respuestas de los participantes permitieron establecer nuevamente la categoría de

desarrollo conceptual y para ampliarla se consideraron las cinco (5) subcategorías siguientes:

Representación o Ilustración del concepto (función, gráficas de funciones, operaciones con

funciones y composición de funciones), Entendimiento del concepto, Provee organización y

Búsqueda del Conocimiento. Según los argumentos presentados por los participantes, la

categoría y las cinco subcategorías coincidieron con las establecidas en las actividades de

práctica. Las opiniones de los participantes de ambos grupos sobre desarrollo conceptual en las

distintas subcategorías fueron sintetizadas y se presentan en la tablas 14, 15 y 16 que aparece a

continuación.

Tabla 14

Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Ilustración y organización



Desarrollo

conceptual

Representación o

Ilustración del

concepto

generador de

función

“Se presentaban de diferentes

maneras…se presenta la definición

del tema función como concepto

generador…después ejemplos y nos

hacían practicar”.

“La profesora explicó de

diferentes formas… poco a

poco…los estudiantes vieran

relaciones”.

Provee

organización

“…hacer un mapa de conceptos y eso

fue una labor indelegable que me

ayudaba a estudiar y organizarme”.

“Se organizaban las ideas con los

mapas de conceptos”.

“La manera de explicar los temas

llevan un cierto orden… y después tu

tenías que ver con que tema iba cada

concepto”.

“Las explicaciones fueron

mucho mejor porque fueron

despacio”.

“Como hubo un paso lento…

la dinámica fue bien buena”.

“La profesora explicó paso a

paso y diferentes maneras de

cómo hacer los ejercicios”.

“…íbamos parte por

parte…cada uno se paraba en

la pizarra… manera buena de

aprender…”

En la tabla 14, los participantes del grupo experimental exponen que los conceptos se

presentan en forma diferente, mediante la definición, ejemplos y práctica. Además, expusieron


que cuando está un concepto menor de ese concepto, salen diferentes conceptos y se añaden al

concepto principal. Otro argumento que presentaron estos participantes fue que en el uso de los

mapas conceptuales se tiene que ser organizado.

El grupo de comparación destacó que la profesora explicó poco a poco y de diferentes

maneras para que los estudiantes vieran el tema de relaciones. Añadieron que preferían el tipo

de clase de ir paso a paso porque le ayudaba a captar esos conceptos que en materias anteriores

no se habían dado.

Tabla 15

Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Entendimiento del concepto aplicación



Desarrollo

Conceptual

Entendimiento del

concepto

“Nos daban ejercicios para practicar

el tema…era bien activo…había que

razonarlo… hacerlo y se

preguntaba…salía y se entendía el

tema”.

“En todos los temas teníamos que

hacer un mapa de conceptos y esa fue

una labor indelegable que ayudaba

mucho a estudiar”.

“Encuentro que había como una

familiarización entre los conceptos y

una relación que había entre ellos

mismos… más fácil de ver…”

“Después pareció genial que

al final [actividades de

integración, mediante

discusión socializada]

íbamos parte por parte y cada

uno se paraba en la pizarra

que es una manera buena de

aprender…y hablar con tus

compañeros”.

“La presentación de que

mediante una gráfica uno

puede visualizarlo…”

“…los mapas de conceptos es una

forma resumida para estudiar y

aprender”.

“Los mapas de conceptos me

ayudaron a comprender el material al

añadir los conceptos menores al

concepto principal”.

“El mapa de concepto te ayuda para

saber por dónde empezar a

estudiar…”

“De verdad quisiera tener

este tipo de clase porque…y

el ir paso por paso…nos

ayuda a poder captar

materias anteriores no nos

habían dado”.

“…la matemática se aprende

por práctica”.

“Lo visual me gusta

mucho,…las gráficas y

crearlas”.

(Tabla continúa)





“…hace mapas de

conceptos…aprende las

definiciones…más fácil

relacionarlos”.

“…me parece bien productivo y

práctico porque visualmente es más

fácil acordarse del mapa de

conceptos…”

“Usando los mapas conceptuales te

das cuenta rápido en donde están los

errores y te ayuda a corregirlos en

menor tiempo”.

“También la creatividad nos ayudó

mucho porque… visualizaba mejor el

tema…”[presentaba el tema a su

estilo]

“Me han gustado las gráficas

porque lo estoy viendo…lo

veo y se lo que ocurre”.

“…al hacer la tarea…acordarse

visualmente del mapa conceptual es

mejor que…recordar toda la clase”.

“En el mapa de concepto todo tiene

una lógica así poder verlo…

ejercicios…y tú vas buscando en tu

mente que es lo que aplica…”

Aplicación del

concepto

“La forma…varios ejemplos y

relacionándolo con cosas de la vida

real ayudaba a ver y entender un poco

mejor…como al principio de

funciones nos daban ejemplos de

relaciones”.

“Pienso que se puede aplicar a otras

materias…porque te ayuda a asociar

una cosa con la otra y a aprender”.

“Que hace énfasis en la

comunidad o en el mundo

laboral…”

“En la discusión de modelos

matemáticos…”

[Situaciones de aplicación]

En la tabla 15 los participantes del grupo experimental expusieron que el desarrollo de las

actividades fue bien dinámico. Añaden los estudiantes que el concepto había que “razonarlo,

preguntarnos, hacerlo y así entendíamos el tema”. Otro aspecto que señalan los participantes

entre los conceptos y las relaciones existentes entre ellos es que se hacía también más fácil ver y


entender su funcionamiento. Otro aspecto presentado fue que el uso de los mapas conceptuales

les permite darte cuenta de sus errores y les ayuda a corregirlos en menor tiempo. Los

participantes argumentaron la generalización de que en todos los temas los estudiantes tenían que

hacer un mapa de conceptos como labor indelegable que ayudó mucho a estudiar. Lo

consideraron bien productivo, lógico y creativo. También argumentaron que en los mapas de

conceptos el tema se presentaba en una forma más resumida para poder estudiar y era más fácil

de aprender. Además, destacaron que los mapas de conceptos se pueden aplicar a otras materias

ya que les ayuda a tu aprender a asociar.

Por otro lado, los estudiantes del grupo de comparación destacaron de forma preferencial

en la actividad de integración de conceptos que les pareció genial que al final de las actividades

de integración, mediante discusión socializada “íbamos parte por parte y cada uno se paraba en la

pizarra que es una manera buena de aprender y de hablar con tus compañeros en una dinámica de

compartir”. Además, añadieron que la matemática se aprende con mucha práctica y la

representación visual. Los participantes de ambos grupos presentaron que las aplicaciones de la

vida real les facilitaron entender los conceptos.

Tabla 16

Entrevista de grupo focal sobre el desarrollo conceptual: Búsqueda de conocimiento



Desarrollo

Conceptual

Búsqueda del

conocimiento

“…cuando nosotros pensamos en

matemática es como tu tener todos los

pensamientos regados… usar mapas

de conceptos ayuda a relacionar las

cosas…y te lleva a seguir buscando y

buscando”.

“…pero también tu

aprendes cuando recibes

ayuda de alguien que tú

piensas que esa persona es

igual que tú, que está en lo

mismo que tú y entiendes

mejor…”

“…hacer los ejercicios de

la guía de estudio que tiene

todo, temas, ejercicios y

páginas. Eso tenía que

retarte a hacerlos”.


La tabla 16 presenta la opinión de los participantes del grupo experimental que presentar

los conceptos en clase ayuda a continuar buscando sobre el tema. Los estudiantes puntualizan

que los mapas de conceptos ayudan a relacionar las cosas y que tienen que buscar información

para hacerlo. Por otro lado, los estudiantes del grupo de comparación manifestaron que la

búsqueda de compañeros para clarificar los conceptos es fundamental. Añadieron que la

búsqueda de ejercicios en la guía de estudio facilita entender lo discutido en clase.

Otra de las técnicas en la fase cualitativa fue la entrevista a los profesores participantes de

la investigación. La entrevista a los (las) profesores(as) tuvo el propósito de conocer la

percepción de la facultad de los cambios de actitud de los estudiantes al inicio y al final del

tratamiento. Se realizó en la oficina del investigador y en forma individual. Se procedió a

clasificar y codificar la información obtenida para facilitar la agrupación de respuestas

convergentes o divergentes. La pregunta formulada a ambos profesores (as) participantes en la

técnica de entrevista que estaba alineada a la primera pregunta de investigación fue: Exprese su

sentir sobre la investigación considerando los siguientes aspectos: la implantación y la

administración en la sala de clases, la percepción que usted tiene en torno al sentir del estudiante

sobre la clase, el (la) profesor(a) como facilitador durante el proceso de enseñanza y la

participación de los estudiantes durante la clase.

Se analizó la información recopilada en la entrevista a maestros y los resultados fueron

resumidos en una matriz descriptiva. Se agruparon los argumentos similares y se estableció la

categoría de Proceso de enseñanza-aprendizaje y cuatro (4) subcategorías relacionadas que

fueron: Implantación y administración en la sala de clases, actitud de los estudiantes durante la

clase, facilitador del proceso y participación de estudiantes. El argumento presentado por los

profesores que permitió establecer la categoría fue el siguiente: “me sentí cómodo durante el


proceso de enseñar al grupo” que fue expresado por ambos profesores. Sin embargo, el profesor

a cargo del grupo experimental añadió que el uso de los mapas de conceptos ofrece mejor

organización y estructura para dar la clase.

Por otro lado, la profesora que atendió el grupo de comparación manifestó que el orden

de desarrollar sus clases fue de acuerdo al grupo, donde presentaba la fase abstracta y luego las

demostraciones sugeridas. De acuerdo a estos argumentos, se estableció la subcategoría de

implantación y administración en la sala de clases. También, los profesores expresaron la actitud

de los estudiantes en la sala de clases. El profesor a cargo del grupo experimental expresó que

“tenía un estudiante enfocado que sabe lo que quiere hacer.” En el caso del grupo de

comparación, la profesora manifestó que “los estudiantes mostraban más interés en la clase.” En

este contexto se estableció la subcategoría de actitud del estudiante en la sala de clases. La

subcategoría de facilitador del proceso enseñanza-aprendizaje surgió como resultado de los

siguientes argumentos: El profesor a cargo del grupo experimental expresó que como facilitador,

el proceso enseñanza-aprendizaje fue una experiencia innovadora que permitió que las clases

fueran más efectivas. En cambio, la profesora a cargo del grupo de comparación utilizó la

presentación de los temas en conferencia y desarrolló la actividad de práctica D (actividad de

integración de conceptos) la mediante discusión socializada. Otro aspecto considerado por

ambos profesores fue la participación de los estudiantes que también se clasificó como una

subcategoría. Según el profesor del grupo experimental, fue una participación totalmente activa.

Sin embargo, en el grupo de comparación fue una combinación de pasiva y más activa en la

actividad de práctica de integración de conceptos. La diferencia de la participación activa entre

ambos grupos estriba en que en el grupo experimental buscaba información adicional a la


presentada en clase para generar discusión entre todos. En el grupo de comparación fue mediante

la técnica de preguntas y respuestas sobre el contenido discutido en clase.

Una vez establecidas las categorías y sus subcategorías sobre la percepción de la facultad,

fueron resumidas en las tablas 17 y 18 que aparece a continuación.

Tabla 17

Percepción sobre la experiencia de enseñanza y aprendizaje: Implantación, administración y

facilitador del proceso.

Percepción de los profesores

Categoría Subcategoría Experimental Comparación

Proceso de

enseñanza-

aprendizaje

Implantación y

Administración en

la sala de clases

“Me sentí más cómodo en llevar el

proceso de enseñanza-aprendizaje

con el grupo”.

“Ofrece mayor organización y

estructura tanto al (la) profesor(a)

como al estudiante”.

“Es mejor estructura porque todo

estaba organizado”.

“Se estructuró una guía que se le

ofreció al profesor una mejor

orientación para la implantación del

tema de función como concepto

generador. Todo el material estaba

explicado en la guía”.

“Me sentí muy cómoda con

los estudiantes”.

“El material se cubrió en el

orden adecuado al grupo”.

“El consumir menos tiempo

no fue un factor

determinante en el proceso

de enseñanza-aprendizaje”.

“Se dio primero el

conocimiento abstracto y

luego demostrado”.

“Se sometió al grupo a

práctica”.

Facilitador del

proceso.

“Como facilitador del proceso

enseñanza-aprendizaje fue una

experiencia totalmente innovadora”.

“Al principio me dio un poco de

trabajo adaptarme a este proceso,

pero al pasar los días me di cuenta

que este proceso me ayuda a

implantar mis clases con mayor

facilidad”.

“Las clases fueron más efectivas,

obteniendo mejores resultados en el

desempeño de los estudiantes”.

“El proceso es muy bueno, pero

requiere tiempo”.

“Los temas se presentaron

en forma de conferencia y

luego se combinó con

discusión socializada”.

“Se ofreció ayuda

individual a aquellos

estudiantes que mostraban

deficiencias”.

“La profesora ofreció ayuda

individual a los estudiantes

en la clarificación de los

conceptos durante el

proceso de enseñanza”.


En la tabla 17 se describe la percepción del profesor del grupo experimental sobre el

desarrollo de las clases y manifestó que se le hizo fácil porque se estructuró una guía para el

profesor que explicaba todos los pasos a seguir en la implantación de la investigación y la

manera de presentar las clases. Además, el profesor manifestó que percibía que sus estudiantes

estaban más enfocados y tenían bien definido su norte para lo que querían hacer. También

argumenta el profesor que los estudiantes fueron bien impactados por el uso de los mapas

conceptuales por ser un recurso que se fundamenta en la organización de los conceptos. En

relación al recurso humano como guía, manifestó el profesor que gradualmente percibía que el

uso de mapas conceptuales le facilitaba el proceso y que la interacción con los estudiantes fue de

mayor efectividad.

Por otro lado la profesora que facilitó la clase al grupo de comparación describe que las

clases fueron desarrolladas mediante conferencias y presentando la teoría en forma abstracta.

Luego se presentaban demostraciones a los estudiantes, seguidas por la práctica de ejercicios.

Luego se realizaron en las clases conferencias y discusión socializada.

Tabla 18

Percepción sobre la experiencia de enseñanza y aprendizaje: Actitud y participación del

estudiante.

Percepción de los profesores


Proceso de

enseñanza-

aprendizaje

Actitud del

estudiantes durante

las clases

“Se tenía el estudiante enfocado y

este sabe lo que quiere hacer.”

“Impactó al estudiante porque tiene

mejor estructura en términos de

estudios”.

“Hay casos particulares que se

sentían incómodos porque no

querían construir mapas

conceptuales porque no querían

estudiar”.

“Los estudiantes mostraron

mucho interés”.

“El grupo fue participante”.

“Hay casos particulares que

creyeron entender, pero no

lo demostraron en la

práctica individual”.

(Tabla continúa)





Participación de los

estudiantes.

“El mapa conceptual ayuda al

estudiante a tener una mejor

organización en sus estudios”.

“La participación de los estudiantes

fue totalmente activa”.

“Los estudiantes fueron activos

tanto en la construcción de los

mapas conceptuales como

contestando preguntas en la sala de

clases”.

“La interacción entre el emisor

(profesor) y receptor (estudiante) fue

efectivo durante todo el proceso”.

“La participación de los

estudiantes fue excelente”.

“La mayoría del grupo

participó haciendo

preguntas o contestando

preguntas”.

La tabla 18 presenta la percepción del profesor al manifestar que la participación de los

estudiantes fue totalmente activa y consideraba que las clases fueron más efectivas en lograr

mejores resultados en el desempeño de los estudiantes. Luego añade que el uso de mapas de

conceptos logró una mayor participación de los estudiantes. Por otro lado, la profesora del grupo

de comparación manifestó que la participación pasiva o activa de los estudiantes en clase fue

excelente. Sin embargo, señala la profesora que durante la clase algunos estudiantes

aparentemente mostraban que entendían el material y al llegar la evaluación no lo demostraban.

La segunda pregunta cualitativa de investigación presentada en este estudio es la

siguiente: ¿Cuál es la percepción que tiene los estudiantes del grupo de comparación sobre su

experiencia en la enseñanza tradicional versus el grupo experimental sobre sobre su experiencia

en la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza impactando su

aprovechamiento en matemáticas en el tema de función en el curso de Precálculo a nivel

universitario?


Esta pregunta, al igual que la primera, se contestó en la medida que los argumentos de las

técnicas cualitativas de las Actividades de Práctica (A, B, C, y D), Grupo Focal y Entrevista a

maestros se recopilaron y se encontraron los hallazgos. Al igual que en la primera pregunta, se

consideraron las tres técnicas cualitativas de Actividades de Práctica, Grupo Focal y entrevista a

maestros. De acuerdo con la información obtenida de las cuatro actividades sugeridas en el

tratamiento (Actividades de Práctica A, B, C y D) y su relación con la segunda pregunta de

investigación de este estudio, se estableció la categoría Contribución a su Aprovechamiento por

ser información común entre los participantes y los profesores de los cursos. Las opiniones

vertidas por los participantes de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento en

las Actividades de Práctica A, B y C y los resultados se presentan a continuación en las tablas 19,

20 y 21.

Tabla 19

Opiniones de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento en la Actividad de

Práctica A


Categoría Experimental Comparación

Contribución en su

aprovechamiento

“Opino que el mapa de conceptos…y sirve

como guía para el examen”.

“Me ayuda a estar seguro en el examen”.

“…la práctica del uso de mapas

conceptuales…y obtener una mejor

calificación para nuestro bien”.

“…tenernos a prueba lo que sabemos,

contestamos en nuestras propias palabras y

estamos más relajados para el examen”.

“Esta práctica nos ayuda a repasar, despejar

la mente antes del examen y a estar seguro

de lo que va a hacer en el examen”.

“La clase es de mi interés, llama mi

atención y hasta ahora me va bien”.

“Creo que es una oportunidad para

aprender y mejorar el método de evaluar a

los estudiantes”.


Según se desprende de la tabla 19, los participantes opinaron sobre la contribución en

aprovechamiento que el uso de los mapas de conceptos sirve como guía para el examen, despeja

la mente y les permite estar más seguros de lo que van a hacer en el examen.. Añadieron que

esta práctica les ayuda a obtener una mejor calificación. Además, argumentaron que tenerlos a

prueba de lo que saben y contestar en sus propias palabras les permite estar más relajados para el

examen.

Por otro lado, en el grupo de comparación presentaron que el interés en la clase ayuda a

salir bien en los exámenes. Además, consideraron que la participación en la investigación es una

oportunidad para aprender y mejorar el método de evaluar a los estudiantes.

Tabla 20

Opiniones de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento en la Actividad de

Práctica B



Contribución a su

aprovechamiento

“El mapa de concepto me sugiere la

manera de cómo es el examen”.

“Con el mapa de conceptos ponemos

a prueba lo que sabemos…estamos

más relajados para el examen”.

“En los exámenes se nos preguntaba

como lo enseñaron usando mapas

conceptuales”.

“Todos pudieron aclarar sus dudas y eso te

prepara mejor para las pruebas y los

exámenes”.

“Las gráficas de funciones ayudaron a

prepararnos mejor para el examen porque son

fáciles de trabajar”.

“…al explicar paso por paso nos ayudó a

reforzar destrezas para el examen”.

En la tabla 20 se presenta la opinión que tienen los participantes del grupo experimental

sobre la contribución en su aprovechamiento y manifestaron que el uso del mapa de concepto

sugiere la manera de cómo es el examen. Por otro lado, el grupo de comparación presentó que si

se explica paso por paso y aclaran sus dudas, se preparan mejor para las pruebas y los exámenes.


Tabla 21

Opiniones de ambos grupos sobre la contribución a su aprovechamiento en la Actividad de

Práctica C



Contribución a su

aprovechamiento

“Me gustó porque me ayudó a repasar

antes del examen”.

“Estamos más relajados para el

examen”.

“Haciendo ejercicios de práctica para

perfeccionar destrezas antes del

examen”.

“…usar mapas de conceptos porque

puedo demostrar lo aprendido en clase”.

[en exámenes]

“Los ejercicios de práctica ayudaron mucho porque

te exponían a cualquier situación antes del examen”.

“Luego de explicar…ejemplos…práctica…se

facilitaba para el examen”.

De la tabla 21 se desprende que en esta actividad de práctica C el grupo experimental

reafirma que el uso de los mapas conceptuales les ayuda a reforzar las destrezas, repasar antes de

un examen y les permite estar más relajados a la hora de contestarlo. Por otro lado, el grupo de

comparación manifestó que dar explicaciones, ofrecer ejemplos y resolver ejercicios de práctica

facilitaba contestar el examen.

En la Actividad de Práctica D, los participantes del grupo experimental no destacaron sus

opiniones sobre la contribución de la actividad en su aprovechamiento porque se dedicaron a la

construcción de un mapa de conceptos. En el grupo de comparación destacaron diferentes

formas visuales o descriptivas para definir el concepto ‘generador de función’. Mayormente

opinaron sobre esta categoría en la técnica del grupo focal donde destacaron el desarrollo de la

actividad en la discusión entre maestro y estudiante [Discusión socializada]. Sin embargo, en el

grupo experimental opinaron sobre la contribución de su aprovechamiento al expresar que “un

mapa de conceptos permite comprender el contenido de forma más sencilla y como recurso

visual contribuye a adquirir un mejor resultado en los exámenes”. Además, añadieron que ”el


mapa de conceptos ayuda a tener de una manera más recogida los temas para así tener un mejor

conocimiento de lo que viene en los exámenes”.

La pregunta formulada a los participantes del grupo experimental en la técnica de grupo

focal que estaba alineada a la segunda pregunta de investigación fue: ¿Consideras que las

actividades que se presentaban en clase sobre el concepto generador de función fueron de ayuda

en tu aprovechamiento? Explica. En el grupo de comparación la pregunta formulada al grupo de

comparación fue: ¿Consideras que las actividades que se presentaban en clase sobre el tema de

función fueron de ayuda en tu aprovechamiento? Explica. Las respuestas de los participantes

permitieron establecer nuevamente la categoría contribución en su aprovechamiento. Las

opiniones de los participantes de ambos grupos sobre la contribución en su aprovechamiento

fueron sintetizadas y se presentan en la tabla 22 que aparece a continuación.

Tabla 22

Opiniones de ambos grupos en la entrevista de Grupo Focal sobre la contribución en su

aprovechamiento



Contribución en su

aprovechamiento

“Esto impacta bastante en el aprovechamiento

porque tendríamos mejores resultados en

exámenes…”

“Al tener esta herramienta han mejorado las

pruebas cortas y los exámenes”.

“A veces te pedían los mapas de conceptos antes

de coger la prueba corta o el examen…te ayudaba

a recordar los temas que ya cogiste antes de

empezar el examen y ya iba con idea bien clara

de más o menos de todo los temas”.

“Si las actividades fueran más

dinámicas el aprovechamiento

fuese mejor”.

“Visualizar lo que aprendiste y lo que sabe al

momento de coger el examen…relacionar de

antemano…por decir de todo lo que habías

cogido. Al momento del examen lo hacía más

rápido y en términos de resultaron buenísimos”.


En la Tabla 22 se presenta la opinión de los participantes del grupo experimental sobre la

contribución en su aprovechamiento. Manifestaron que en el uso del mapa de conceptos impacta

bastante en el aprovechamiento porque tendrían mejores resultados en las pruebas cortas y en los

exámenes. Añadieron que al preparar los mapas de conceptos antes de coger la prueba corta o el

examen les ayudaba a recordar los temas que ya trabajaron antes de empezar el examen. Esto

permitía presentarse al examen con una idea bien clara de los temas [relacionado con el concepto

función] y al momento del examen lo hacían más rápido. En términos de los resultados, estos

fueron buenísimos. El grupo de comparación presentó que si las actividades fueran más

dinámicas, el aprovechamiento fuese mejor [se referían a las actividades de práctica A, B y C].

La pregunta relacionada con el aprovechamiento de los alumnos en la entrevista a

maestros fue: Exprese su opinión sobre el aprovechamiento en matemáticas sobre el tema de

función de los estudiantes durante la investigación. Respondieron lo siguiente: “de acuerdo a los

resultados de las actividades de práctica de día a día los estudiantes reflejan un crecimiento

significativo, en el desarrollo de las destrezas básicas del concepto generador función”. Añadió

el profesor que “utilizará en sus clases futuras la construcción de mapas conceptuales porque los

estudiantes de hoy día son más visuales”. Por otro lado, la profesora del grupo de comparación

manifestó que “El aprovechamiento fue excelente según demostrado en la ejecución durante el

repaso de la actividad de integración” (Repaso).

La tercera pregunta cualitativa de investigación fue: ¿Cuál es la experiencia del grupo de

comparación versus el grupo experimental sobre el proceso empleado en el desarrollo de las

actividades de enseñanza utilizadas en el tema de función en el curso de Precálculo a nivel

universitario?


Al igual que las dos (2) preguntas anteriores de investigación, se consideraron las tres

técnicas cualitativas de Actividades de Práctica, Grupo Focal y Entrevista a profesores para

contestar la tercera pregunta. De acuerdo con la información obtenida de las cuatro actividades

sugeridas en el tratamiento (Actividades de Práctica A, B, C y D) y su relación con la tercera

pregunta de investigación de este estudio, se estableció la categoría de Desarrollo de las

Actividades y como subcategorías: Presentación de las actividades, actividades de preferencias y

dinámica de las actividades.

Al analizar la información sobre cada actividad, se procedió a resumirlas mediante tablas

descriptivas. Se establecieron categorías de aquellos argumentos que se repetían de manera

similar, estableciendo patrones. La categoría sobre el desarrollo de actividades surge de las

contestaciones de los estudiantes participantes que utilizan frases, tales como, “se iniciaban

presentando el concepto con preguntas”, “se presentaron ejemplos”, “se practicaban ejercicios” y

“se desarrollaban los conceptos en análisis entre el profesor y los estudiantes”. Luego de

establecer la categoría, el investigador analizó que dentro de la categoría habían subdivisiones

que podían clasificarse como subcategorías y de acuerdo a los argumentos tales como tales: “se

presentaron ejemplos con muchas explicaciones”, “los temas los presentaron en forma muy

directa” y “haciendo mapas de conceptos y contestando preguntas”, surgió la subcategoría de

presentación de las actividades. Otra subcategoría establecida fue la de actividades de

preferencias. Los participantes mostraron preferencias por actividades desarrolladas tales como:

“me gustaron las preguntas que se hacían”, “me gustó mucho las actividades de práctica porque

pude entender mejor”, “me gustó lo fácil que se hacía el entender usando los mapas de

conceptos” y “el tema que más me gustó fue las operaciones con funciones.” De forma similar,

el investigador pudo establecer la categoría de dinámica de las actividades porque los


participantes presentaron argumentos tales como: “discusión dinámica con el profesor”, “la

dinámica me gustó bien interactiva” y “en cuestión de las actividades hubo algunas un poco

dinámica”.

Las opiniones de los participantes para esta categoría y sus subcategorías fueron

resumidas y se presentan en las tablas 23, 24 y 25.

Tabla 23

Opiniones de ambos grupos sobre el desarrollo de Actividades en la Práctica A



Desarrollo

de

actividades

Presentación

de las

actividades

“Nos presentaron el concepto

preguntándonos qué nosotros entendíamos

por función. Hicimos un mapa de

concepto de nuestras ideas y nosotros

contestamos”.

“No se explicaron en palabras sino

haciendo ejercicios”.

“Una forma de presentar el concepto

función en clase fue como

correspondencia entre los elementos de

dos conjuntos”.

“El tema se presentó por parte de

la profesora de forma rápida con

explicaciones, muchos ejemplos y

ejercicios”.

“El tema me lo presentaron de una

forma muy directa. Explicó todo

perfectamente con todos los pasos

y con ejemplos reales”.

“La profesora comenzaba la clase

definiendo los términos para luego

comenzar con los ejercicios y

claro no dejando atrás ejemplos”.

Actividades de

preferencias

“Hacer un mapa de conceptos porque nos

ayudan a recordar lo básico”.

“Me gustaron las preguntas hechas y la

manera de analizar y explicar las cosas”.

“Me pareció muy buena, pero

prefiero…trabajos con ejercicios

matemáticos que teóricos”.

“Me gustó tenernos a prueba lo que en

verdad sabemos, contestamos en nuestras

propias palabras…”

“Me gustó mucho la actividad de

práctica porque pude entender…

el concepto de función”.

“Primero que nada me gusta…va

a un ritmo bueno y no rápido. Si

tengo alguna duda… siempre la

contesta…”

“Me gustó la manera en que se

comenzaba la clase definiendo los

términos… con los ejercicios

y...ejemplos”.

Dinámica de

las

Actividades

“La explicación fue precisa para el

estudiante ya que la enseñanza fue de una

manera dinámica y entretenida”.

“La dinámica fue excelente ya

que mientras definía términos

daba ejemplos y ejercicios”.


La tabla 23 presenta la opinión del grupo experimental sobre el desarrollo de las

actividades y manifiestan que la presentación del concepto fue “preguntándonos qué nosotros

entendíamos por función e hicimos un mapa de concepto de nuestras ideas y nosotros

contestamos haciendo ejercicios”. Añadieron que se “representó el concepto como

correspondencia entre los elementos de dos conjuntos”. Con relación a la preferencia de las

actividades, expresaron que les gustó hacer un mapa de conceptos porque les ayudaba a recordar

lo básico. Además, argumentaron que les gustaron las preguntas hechas y “la manera de analizar

y explicar las cosas, ya que se las contestaciones eran en nuestras propias palabras”. Otro

aspecto relevante fue que la explicación fue precisa para el estudiante, ya que la enseñanza fue

de una manera dinámica y entretenida.

En el grupo de comparación se argumentó que el tema se presentó por parte de la

profesora de forma rápida, con explicaciones, muchos ejemplos y ejercicios, explicando todos

los pasos y con ejemplos reales. Otro aspecto que le gustó al grupo de comparación fue “el de

práctica y a un ritmo bueno y no rápido mediante una dinámica excelente”.

Tabla 24

Opiniones de ambos grupos sobre el desarrollo de Actividades en la Práctica B



Desarrollo de

actividades

Presentación de

las actividades

“Me enseñaron las familias de funciones

y cada una de sus gráficas, su dominio y

campo de valores. Luego las

transformaciones de funciones y

traslaciones. También cómo saber si son

par, impar y su reflexión”.

“De una forma muy concreta al grano

con explicación profunda y general con

muchos ejemplos y explicaciones y

permitiendo nuestra participación”.

“Me enseñaron el tema de

gráfica mediante definición y

ejercicios de gráficas más

conocidos. Luego se

realizaban ejercicios de

práctica en el salón y se

practicaban en la casa con las

asignaciones”.

“El concepto de gráfica me

mostró la importancia de las

funciones”.

(Tabla continúa)





Actividades de

preferencias

“La forma de aprendizaje me gustó, ya

que conlleva mucha práctica y

considero que es la mejor forma de

aprender”.

“Me gustó la forma del maestro

presentar”.

“Hacer mapas conceptuales”.

“La manera de explicar las cosas”.

“Describir la enseñanza del tema”.

“Lo fácil que se me hizo entender el

tema con el mapa de conceptos”.

“Me gustó el concepto de

gráfica porque me mostraron la

importancia de las funciones”.

“Me gustó la elaboración de

gráficas mediante la solución de

ejercicios de matemáticas”.

“Me gustó el explicar paso por

paso”.

Dinámica de las

actividades

“Ir más suave con en la explicación de

los temas”.

“…por discusión con el profesor…”

[activa]

“Que no era tan dinámico”.

“La clase era suave y despacio”.

En la tabla 24 se presenta la opinión de los participantes del grupo experimental sobre el

desarrollo de las actividades“que se las enseñaron con las familias de funciones y cada una de

sus gráficas, su dominio y campo de valores. Luego las transformaciones de funciones y

traslaciones”. Además, argumentaron que fue presentada de una forma muy “concreta, al grano

con explicación profunda y en general con muchos ejemplos y explicaciones y permitiendo

nuestra participación”. Sobre las actividades de preferencia, el grupo manifestó que hacer mucha

práctica, hacer mapas de conceptos, la manera de explicar y la discusión activa con el profesor

fue de beneficio. Por otro lado, el grupo de comparación manifestó que les enseñaron el tema de

gráfica mediante definición y ejercicios de gráficas más conocidos. Añadieron que se realizaban

ejercicios de práctica en el salón y se practicaban en la casa con las asignaciones. En cuanto a

las actividades de preferencia, puntualizaron sobre la elaboración de gráficas mediante la


solución de ejercicios de matemáticas y las explicaciones paso por paso. También manifestaron

que la presentación de la clase era suave y despacio, resultando poco dinámica.

Tabla 25

Opiniones de ambos grupos sobre el desarrollo de Actividades en la Práctica C



Desarrollo de

actividades

Presentación de

las actividades

“Primero discutimos el tema de

operaciones con funciones haciendo

ejercicios y practicando en el salón. Al

final del día (como por costumbre)

salimos con tareas relacionadas al tema

para que al otro día discutiéramos las

dudas”.

“Me lo enseñaron de la manera correcta,

pero el profesor tiene bastante dinámica

para mantener el grupo atento”.

“La enseñaron de una manera

clara y específica. El método

que me enseñaron operaciones

con funciones fue bajo

explicación paso por paso.

También los ejercicios de

práctica ayudaron mucho

debido a que te exponían a

cualquier situación que podía

surgir”.

Actividades de

preferencias

“Hacer mapas de conceptos.”

“Lo más que me gustó fue las operaciones

con funciones y la composición”.

“Todo lo relacionado con

operaciones con funciones”.

Dinámica de las

actividades

“…en la discusión dinámica con el

profesor”.

La tabla 25 presenta la opinión que tiene el grupo experimental sobre el desarrollo de las

actividades en las Prácticas C y expresaron que el tema de operaciones con funciones en

discusión con el profesor fue en forma dinámica, haciendo ejercicios, practicando en el salón y

con tareas relacionadas al tema para que al otro día se discutieran las dudas. En relación a las

actividades de preferencia, manifestaron que hacer mapas de conceptos, trabajar con las

operaciones y la composición de funciones fue de provecho. Por otro lado, en el grupo de

comparación expresaron que “el método que me enseñaron operaciones con funciones fue bajo

explicación paso por paso y haciendo ejercicios de práctica”. La preferencia en la actividad para

este grupo fue lo relacionado a operaciones con funciones.

Las opiniones de los participantes para la categoría y sus subcategorías sobre desarrollo

de actividades para la Actividad de Práctica D no fueron evidenciadas por la naturaleza de la


actividad. Solamente el grupo experimental expresó que “el hacer mapas conceptuales es una

buena dinámica para entender los conceptos”.

Las preguntas formuladas a los participantes del grupo experimental en la técnica de grupo

focal que estaba alineada a la tercera pregunta de investigación fueron: ¿Cómo describes el

desarrollo de las actividades en las clases sobre el tema de función en tu curso de Precálculo?

¿Qué actividades ofrecidas en clase te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? Explica por

qué y ofrece sugerencias.

En el grupo de comparación, las preguntas formuladas fueron: ¿Cómo describes el

desarrollo de las actividades en las clases sobre el tema de función en tu curso de Precálculo?

¿Qué actividades te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? Explica por qué y ofrece

sugerencias. Las respuestas de los participantes permitieron establecer la misma categoría y

subcategoría para el desarrollo de actividades. Las opiniones de los participantes de ambos

grupos sobre el desarrollo de las actividades fueron sintetizadas y se presentan en la tabla 26 que

aparece a continuación.

Tabla 26

Opiniones de ambos grupos en la entrevista de Grupo Focal sobre el desarrollo de actividades



Desarrollo

de

actividades

Presentación de

las actividades

“Nos daban ejercicios para practicar

el tema que nos estaban dando, era

bien activo”.

“…y me pareció bien interesante

como el profesor llevaba ciertos

temas y en la medida que los

presentaba”.

“Se tratan de explicar los temas

básicos…todos al mismo nivel y logró

llevar al grupo completo junto”.

“Al inicio la parte monótona era

porque ella daba y daba información,

daba información y daba información.

Pero pocas veces nosotros hicimos

práctica…”

“Lo que es un profesor parado al

frente dando su clase…me hubiese

gustado que fueran un poco más

dinámicas”.

(Tabla continúa)





Actividades de

preferencias

“A mí me gustó fue la composición

de funciones porque eso para mí era

divertido…empezar a sumar y hacer

los problemas…”

“A mí me gustaron todas las

actividades”.

“Lo más que me gustó fue construir

mapas de conceptos por su parecido

con las gráficas”.

“Las de organizar ideas con mapas

de conceptos”.

“Las operaciones con funciones

porque me retaron y me mantenían

haciendo ejercicios”.

“Las gráficas porque lo puedes

visualizar todo”.

“Me gustó mucho el ir paso por paso

en las explicaciones”.

“…la parte de los círculos, porque me

gusta mucho la geometría y me

pude enfocar”.

Dinámica de las

actividades

“La dinámica me gustó bien

interactiva y…se daba mucha

práctica”.

“En cuestión de las actividades hubo

unas que fueron un poco dinámicas,

como hubo otras que fueron un poco

monótonas”.

“Nunca en la clase nos daban una

dinámica de compartir…hasta la

integración de conceptos”.

En la tabla 26 el grupo experimental afirma que el desarrollo de las actividades era bien

activo, dando ejercicios para practicar el tema. Añadieron que la dinámica les gustaba por ser

bien interactiva y les gustaban todas las actividades. Los del grupo de comparación expresaron

que a ellos se les explicaban los temas básicos a todos los estudiantes al mismo nivel para así

llevar al grupo completo al mismo paso. Añadieron que al inicio la clase era monótona porque la

profesora daba toda la información pero que la practicaba poco. Relacionado con las

actividades, expresaron que unas fueron un poco dinámicas y otras un poco monótonas por la

poca oportunidad de compartir hasta llegar a la integración de conceptos.

La pregunta formulada a ambos profesores (as) participantes en la técnica de entrevista

que estaba alineada a la tercera pregunta de investigación fue: ¿Cómo usted describiría la

experiencia derivada en este estudio? Se estableció la categoría Experiencias según las


expresiones de cada uno de los profesores sobre el desarrollo de la investigación porque los

argumentos así lo describen. En el caso del profesor a cargo del grupo experimental, él comenzó

su exposición con “En esta experiencia entendí que existen diferentes maneras de llevar el

proceso enseñanza-aprendizaje”. La profesora del grupo de comparación expresó que “fue una

experiencia nueva”. Las opiniones del profesorado sobre el desarrollo de la investigación fueron

sintetizadas y se presentan en la tabla 27.

Tabla 27

Percepción de ambos profesores sobre la experiencia en el desarrollo de la investigación.

Citas de los Profesores participantes


Experiencia “En esta experiencia entendí que existen

diferentes maneras de llevar el proceso

enseñanza-aprendizaje”.

“Fue una manera más efectiva para lograr

una mejor ejecución del estudiante en su

labor diaria”.

“Fue una experiencia nueva la de

participar en una investigación

educativa”.

“Fue parecido en términos procesales”.

“El ritmo fue un poquito más lento”.

En la tabla 27 se desprende que la experiencia fue diferente para el profesor que facilitaba

el curso de grupo experimental y que percibió una mejor ejecución en el estudiante en su labor

de día a día. Por otro lado, la profesora que facilitaba el curso para el grupo de comparación

expresó que la experiencia de participar en una investigación fue nueva y que en términos de

proceso, fue muy parecido a la forma acostumbrada de enseñarlo. Además, se señaló que el

tiempo fue un poco más extenso para estos estudiantes.

El investigador visitó la sala de clases para dar seguimiento a las orientaciones ofrecidas

a los (las) profesores(as) participantes de ambos grupos y según lo establece la guía de

orientación. (Ver apéndice L) De acuerdo a la guía de orientación para cada profesor (a), se

recomendaba el desarrollo de los cursos comenzando por exploración, luego conceptualización y

finalmente aplicación (Villarini, 1988, 2003). La diferencia entre el grupo experimental y el


grupo de comparación fue que en el grupo experimental se construía un mapa conceptual y en el

grupo de comparación se podía resumir en forma descriptiva, en diagramas, modelos, esquemas,

organigramas u otros recursos visuales que estimaran conveniente. Los hallazgos del desarrollo

de la experiencia durante la visita a la sala de clases fueron los siguientes:

En el grupo experimental, la clase se condujo mayormente en forma activa, donde la

interacción entre el profesor y el estudiante fue para viabilizar la construcción de mapas

conceptuales. Además, se permitió que los estudiantes presentaran sus mapas conceptuales, los

discutieran y justificaran la forma de construirlo. También, los estudiantes presentaban ejemplos

donde se aplicaba el concepto función a la vida diaria.

En el grupo de comparación, las clases se desarrollaron utilizando la conferencia

combinada con la discusión socializada como estrategias de enseñanza, permitiendo la

participación tanto pasiva como activa de los estudiantes. Además, se clarificaron dudas, y la

profesora ofreció ayuda individual a los casos que lo ameritaban. Según las visitas realizadas, se

constató que los (as) profesores (as) siguieron las sugerencias de la guía al ofrecer las

experiencias requeridas en la investigación.

En este capítulo se consideró el análisis estadístico de los hallazgos de los datos

cuantitativos y los argumentos de los participantes en la fase cualitativa. Se consideraron los

datos cuantificables y en igualdad de condiciones el aspecto fenomenológico para descubrir las

semejanzas y contrastes entre los hallazgos. En el análisis mixto se contempló la triangulación

en todas sus dimensiones, al considerar el aspecto objetivo y subjetivo que conlleva el análisis de

establecer congruencias (Ponce, 2011). Estos hallazgos serán discutidos en el próximo capítulo

y comparados con los de la literatura revisada.


Capítulo V

Discusión, Conclusiones, Implicaciones y Recomendaciones

En este capítulo se discuten los hallazgos de mayor impacto en la investigación,

considerando las hipótesis establecidas en la fase cuantitativa y las preguntas presentadas en la

fase cualitativa. Estos hallazgos se compararon y contrastaron para descubrir las semejanzas y

diferencias de los datos al utilizar la triangulación como recurso de análisis. Además, se

compararon y contrastaron los hallazgos con aquellos aspectos sobresalientes reseñados en la

literatura revisada y que tienen tangencia con los descubrimientos en esta investigación. El

análisis en la fase cuantitativa fue en términos de conclusiones según los análisis estadísticos

empleados. Las categorías establecidas en la fase cualitativa se hicieron considerando las

percepciones y opiniones que presentaron los participantes. Esta investigación de metodología

mixta y diseño de triangulación en fases paralelas presentó y consideró tanto la fase cuantitativa

como la cualitativa al mismo nivel de profundidad. En este enfoque, los diseños cualitativos y

cuantitativos se utilizaron de forma simultánea y con igualdad de peso, proporciones o roles para

investigar un problema en todas sus dimensiones (Ponce, 2011). El capítulo finaliza presentando

las implicaciones educativas y recomendaciones que puedan considerarse para futuros estudios.

El objetivo principal de este estudio fue determinar el efecto que tiene el uso de mapas

conceptuales como estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) que

describen el concepto generador de función y en el aprovechamiento en matemáticas sobre el

tema de función en estudiantes de un curso de Precálculo en una universidad privada. Lo

complejo del objetivo llevó a considerar una investigación de métodos combinados, con diseño

de triangulación y en fases paralelas. Los aspectos de mayor relevancia en la investigación

fueron en lo cognitivo, reflejados en términos del aprovechamiento y del desarrollo de conceptos


por un lado; y por otro lado en la percepción de los participantes del proceso empleado para

lograr el desarrollo de conceptos y el impacto en el aprendizaje. Se analizaron y se presentaron

los datos de la fase cuantitativa, luego los argumentos presentados en la fase cualitativa,

finalizando con la combinación de métodos mediante la triangulación para la determinación de

congruencias y divergencias en los hallazgos.

Discusión de la fase cuantitativa

En la primera prueba de hipótesis de este estudio, que establece que no existe diferencia

estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo de comparación y los estudiantes

del grupo experimental en la utilización de mapas conceptuales versus la enseñanza tradicional

en el aprovechamiento en matemáticas en el tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel

universitario, se aplicó una prueba t para muestras independientes (t =.724; df = 48; p = .472;

p > 0.05). En la primera prueba de hipótesis para grupos independientes se encontró que no

existe diferencia estadísticamente significativa entre las puntuaciones de las pospruebas del

grupo experimental y el grupo de comparación. Los resultados reflejan que las diferencias

observadas en las ganancias en aprovechamiento obtenidas por ambos grupos se deben al azar; o

sea, que ambos grupos reflejaron el mismo aumento en aprovechamiento. Tanto el grupo

experimental como el grupo de comparación mostraron un aumento similar en el

aprovechamiento sobre el tema de función luego de pasar por el tratamiento.

Del análisis estadístico se infiere que en términos del aprovechamiento, los participantes

de ambos grupos (experimental y de comparación) incrementaron su aprovechamiento sobre el

tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. Se concluye en este estudio que

ambas estrategias de enseñanza permitieron que los dos grupos mejoraran es su aprovechamiento

en el tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. Según este hallazgo,


también se puede inferir que el uso de los mapas conceptuales contribuyó a mejorar el

aprovechamiento en los participantes del grupo experimental.

Un estudio que tiene similitud con el realizado en esta investigación es el de Williams

(1994). Este autor realizó un estudio sobre el uso de mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza-aprendizaje en un curso de Cálculo. Se seleccionaron 28 estudiantes, 14 estudiantes

de la reforma (aplicaron los estándares del NCTM, 1989) y 14 estudiantes regulares en una

sección tradicional de Cálculo de una universidad de un estado grande en Estados Unidos. La

investigación comparó el conocimiento de ambos grupos en el concepto de función. Los

estudiantes realizaron dos tareas: construcción de un mapa conceptual de funciones y

completaron un cuestionario que presentaban ejemplos y contraejemplos del tema. Además,

ocho profesores de matemáticas con grado de PhD en la materia, 4 que enseñaban en la reforma

[experimental] y 4 que enseñaban cursos tradicionales, también construyeron los mapas

conceptuales de funciones. Se compararon los mapas diseñados por los expertos con los

realizados por los estudiantes. Se aplicó un análisis cuantitativo y resultó que los mapas

realizados por los estudiantes comparaban pobremente con los construidos por los expertos en

término de las estructuras.

En las tareas de presentar ejemplos y contraejemplos, los estudiantes de la reforma

reconocieron las funciones en diferentes representaciones de forma más consistente que el grupo

tradicional. Sin embargo, en términos promedios, ambos grupos fueron equivalentes. El análisis

cualitativo del grupo de la reforma utilizó terminología común alineada al texto, y el grupo

tradicional mostró mayores referencias algorítmicas para el manejo de gráficas. Los estudiantes

de la reforma [experimental] mostraron ser más cuidadosos en elaborar una definición de función

por su relación con otros conceptos.


Los resultados del estudio de Williams (1994) concuerdan con los resultados de esta

investigación en que en la primera pregunta de la fase cuantitativa, el resultado no es

estadísticamente significativo en el aprovechamiento comparando ambos grupos. El de Williams

señala que en términos promedios ambos grupos fueron equivalentes. Sin embargo, hay

diferencias que aventajan el grupo experimental versus el grupo de control en la elaboración de

definiciones.

En la segunda prueba de hipótesis que establecía que no existe diferencia


del grupo experimental en la utilización de mapas de conceptuales versus la enseñanza

tradicional en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones en un curso

de Precálculo a nivel universitario, se aplicó una prueba para muestras independientes en un

análisis estadístico de pruebas no paramétricas de U de Mann-Withney y el resultado arrojó

p= .000; *p <0.05. El hallazgo encontrado al aplicar dicha prueba fue que existe diferencia


del grupo experimental en la utilización de mapas de conceptuales versus la enseñanza

tradicional en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones en un curso

de Precálculo a nivel universitario. Esto significa que existen diferencias estadísticamente

significativas entre las puntuaciones del boleto de salida en el grupo experimental y el de

comparación. Según este hallazgo, se establece que los estudiantes del grupo experimental

adquirieron un aumento significativo en el desarrollo de conceptos sobre el tema de función

como concepto generador luego de haber pasado por la intervención en comparación al grupo de

comparación. Se desprende de los resultados de ambos boletos de salida que el grupo

experimental aventaja al grupo de comparación en una ganancia estadísticamente significativa en


el desarrollo de conceptos en el tema de funciones. Al obtener este resultado, se aplicó la prueba

del tamaño del efecto para corroborar la magnitud del efecto del tratamiento, el effect size

Cohen´s d= 1.7457 y se considera alto según Hinkle, Wiersma, y Jurs (2003). Los autores

definen el tamaño del efecto como el grado en el que se manifiesta el fenómeno; en este caso, el

impacto de la estrategia del uso de mapas conceptuales en el desarrollo del concepto generador

de función. Esto coloca al investigador en la posición de considerar este tratamiento como

exitoso en el desarrollo del concepto generador de función.

Del análisis estadístico sobre el desarrollo de conceptos (conceptualización) se desprende

que los estudiantes del grupo experimental adquirieron un aumento significativamente mayor en

el desarrollo de conceptos en comparación a los estudiantes del grupo de comparación. Se

evidenció que la utilización del mapa conceptual fue más eficaz que la presentación tradicional

de conceptos en la ganancia del desarrollo de conceptos sobre el tema de función en un curso de

Precálculo a nivel universitario. Según el impacto de este nivel significativo, la prueba del

tamaño del efecto permite establecer que es lo suficientemente grande como para recomendar

esta estrategia en la enseñanza de matemática en general. Además, el estudiante desarrolla en

términos conceptuales los temas matemáticos y con sus definiciones puede comprender la parte

procesal de los ejercicios, problemas y aplicaciones.

Un estudio que concuerda con parte de esta investigación es el de Afamasaga (2004) que

presenta una investigación en la construcción de mapas conceptuales en el tema de función. Se

preparó una lista de 8 a 10 conceptos relevantes al tema para presentarse en forma jerárquica de

lo general a lo particular. La maestra discutió el mapa conceptual de función y permitió a los

estudiantes exponer el uso de las interconexiones de los conceptos y la descripción de los

enlaces. Esto creó un intercambio de relaciones de conceptos entre maestro–estudiante,


estudiante-estudiante, lo cual contribuyó a invitar a los estudiantes a construir lo mapas

conceptuales individualmente, en parejas o en pequeños grupos.

Los estudiantes presentaron en cuatro ocasiones sus mapas de conceptos. En cada

ocasión se discutieron los mapas conceptuales preparados por los estudiantes y se incorporaron

las recomendaciones que resultaron como producto de la discusión entre todos. El hallazgo fue

que el mapa conceptual final producido por los estudiantes resultó ser más complejo, con mayor

integración y diferenciación entre los conceptos. Además, puntualiza la autora que otro

elemento en el desarrollo del aprendizaje del estudiante fue de establecer proposiciones que no

eran del todo ciertas y permitió la negociación mediante el diálogo entre todos los participantes.

También, esta estrategia contribuyó a que los estudiantes establecieran mayores conexiones y

establecieran una jerarquía integradora, ofreciendo una diversidad de interpretaciones como

producto de la reflexión y el análisis.

El estudio de Afamasaga evidenció que los mapas conceptuales pueden ser una

alternativa de enseñanza en la sala de clases de un curso de matemáticas para lograr el desarrollo

en el proceso de conceptualización de forma significativa. Esta evidencia se presenta en la fase

cuantitativa de este estudio con los hallazgos en la pregunta dos sobre el desarrollo conceptual, y

se confirma con la pregunta uno de la fase cualitativa. Además, la forma de presentarlo a los

participantes fue similar a la evidencia obtenida en este estudio mediante la participación de los

estudiantes en las clases observadas.

Otro estudio que respalda y apoya los resultados de esta investigación fue el de Zulnaidi y

Zakaria, (2010). El propósito del mismo fue determinar el efecto de la información obtenida de

los mapas conceptuales examinando la relación entre el conocimiento conceptual y el

aprovechamiento en matemáticas en estudiantes el nivel intermedio en un curso de matemática


general en Indonesia. Además, buscaba corroborar la si existía relación entre los estudiantes que

mostraron conocimiento conceptual y el aprovechamiento en matemáticas. Se utilizó un diseño

cuasi-experimental y se seleccionaron ciento treinta y dos (132) participante, sesenta y seis (66)

del grupo experimental y sesenta y seis (66) del grupo control de nivel intermedio en Indonesia.

Se les administró una preprueba para examinar la equivalencia entre los grupos. Se le ofreció al

grupo experimental el uso de mapas conceptuales. En el grupo control se utilizó la enseñanza

tradicional. Se prepararon y validaron dos pruebas, una para medir el aprovechamiento y la otra

para medir conceptos.

Se aplicó una prueba de t en la preprueba y la posprueba. El hallazgo en la preprueba fue

que no existía diferencias significativas entre el conocimiento conceptual entre el grupo

experimental ( x = 7.53, DE = 2,67) y el grupo de control ( x = 7,44, DE = 2.63). El resultado

t = 0.197 y p = 0.844 considera que ese valor no es significativo a un alfa de 0.05. Ambos

grupos estaban al mismo nivel conceptual al comenzar el tratamiento. En relación a la

posprueba, se obtuvo en el grupo experimental ( x = 22.21, DE = 4.14) y en el grupo de control

( x = 19.30, DE = 4.48). El resultado de t = 3.873 y p = 0.000 considera que existe diferencia

significativa a un nivel de alfa de 0.05, entre el grupo experimental y el grupo de control. El

hallazgo es que existe una diferencia estadísticamente significativa en el conocimiento

conceptual entre el grupo experimental y el de control.

Los resultados reflejaron que los estudiantes, al recibir información en la estrategia de

mapas conceptuales, mostraron mayor conocimiento conceptual que los estudiantes del grupo

control. Luego se aplicó como instrumento de análisis la Correlación de Pearson (r = 0.736,

p< 0.05) para observar la relación entre el conocimiento conceptual y el aprovechamientos en

matemáticas de los estudiantes. Los resultados mostraron que hay relación entre el conocimiento


conceptual y el aprovechamiento en matemáticas de los estudiantes. A mayor conocimiento

conceptual del estudiante, resulta mayor el nivel de aprovechamiento y viceversa.

En esta investigación sobre el uso de los mapas conceptuales en el tema de función a

nivel universitario se descubrió que el uso de los mapas conceptuales permitió un aumento en el

desarrollo de conceptos de función estadísticamente significativo comparado con el grupo de

comparación, y que al determinar el tamaño del efecto fue lo suficientemente alto. En ambos

estudios, el de Zulnaidi y Zakaria (2010) y en esta investigación, se evidenció que el uso de los

mapas de conceptos desarrolla significativamente los conceptos, logrando un apoderamiento de

estos en los estudiantes y difieren en que el estudio Zulnaidi y Zakaria (2010) es de correlación.

Además, en esta investigación se realizó un estudio piloto. También se puede añadir que el nivel

de desarrollo de este estudio citado es de nivel intermedio en matemática general y que este

requiere una menor abstracción en la conceptualización comparada con el nivel de profundidad

en el concepto función como concepto generador en un curso de Precálculo a nivel universitario.

Otro estudio a nivel universitario que concuerda con esta investigación fue realizado por

Pérez (2008) con estudiantes de bachillerato en ingeniería. Este estudio fue de métodos mixtos

porque se aplicó un estudio experimental y además se realizó un análisis cualitativo. El estudio

se realizó con estudiantes de primer año en un curso de Cálculo I. Se seleccionó un grupo

control y un grupo experimental con 30 estudiantes en cada grupo, donde el grupo control tomó

un curso de Cálculo I en forma tradicional y el grupo experimental tomó el mismo curso pero

con el uso de los mapas conceptuales, con una duración de tres meses. El objetivo del estudio

fue el uso de los mapas conceptuales como estrategias de enseñanza en actividades didácticas del

docente durante un curso de Cálculo a nivel universitario que favorece el desarrollo cognitivo del

aprendizaje. Se les administró una preprueba que midió el razonamiento numérico, abstracto y


de relaciones espaciales [Test de Aptitudes Diferenciales-Dat-5]. Se aplicó a los grupos una

prueba t y la Suma de Rangos de Wilcoxon, arrojando que los grupos eran homogéneos antes de

iniciar el tratamiento. Luego del tratamiento, se administró una posprueba y los resultados

reflejaron que el grupo experimental mostró un aumento estadísticamente significativo en el

razonamiento numérico, abstracto y espacial medido en la prueba (Dat-5). En la fase cualitativa,

cada estudiante utilizó un diario y el (la) profesor(a) también preparó uno. Las imágenes y

representaciones gráficas sobre la información obtenida en el uso de mapas conceptuales

contribuyeron a la comprensión de los conceptos de mayor complejidad. La actividad motivó a

los estudiantes a construir sus propios mapas conceptuales y comprender la teoría, utilizando el

pensamiento inductivo y deductivo.

Entre las conclusiones del estudio de Pérez (2008) se destaca que los mapas conceptuales

son una herramienta poderosa para desarrollar destrezas, capacidades cognitivas y para el

desarrollo del pensamiento reflexivo. Añade el investigador que la utilización de mapas

conceptuales en el curso de Cálculo ayudó a incorporar diferentes componentes del razonamiento

lógico y a desarrollar una mayor autoestima en los alumnos. El estudio de Pérez respalda a esta

investigación en cuanto a que el uso de mapas conceptuales promueve el desarrollo de una

conceptualización con mayor profundidad y de mayor reflexión analítica. El estudio citado es

cónsono con el presente estudio en su propósito de utilizar el mapa de conceptos como

estrategias de enseñanza. Los hallazgos de ambas investigaciones convergen en que evidencian

el mayor dominio de conceptos (conceptualización) de los participantes del grupo experimental.

La diferencia principal estriba en la selección de la muestra para la fase cuantitativa. En el

estudio citado es experimental y esta investigación es cuasi-experimental.


Otro estudio de disertación que concuerda en gran parte de esta investigación fue el de

Capistran (2005). Esta investigación trató sobre el uso de mapas conceptuales para el desarrollo

de conceptos de la estructura de la regla de la cadena en un curso de Cálculo. Los participantes

fueron un grupo de estudiantes del primer curso de Cálculo, sus instructores y un grupo de

profesores, quienes presentaron la construcción de los mapas conceptuales en la estructuración

de la regla de la cadena. Los estudiantes contestaron una prueba corta que constaba de 6

ejercicios sobre la estructuración de la regla de la cadena. Además, participaron de una

entrevista de 30 minutos con el propósito de conocer sus formas de pensamientos sobre el tema.

La investigación se realizó teniendo en cuenta tres vertientes de recopilación de datos:

prueba corta, construcción de mapas conceptuales y los hallazgos en una entrevista. Se utilizó

para este estudio una investigación de Métodos Mixtos de análisis de triangulación. Sus

hallazgos evidenciaron que los estudiantes mostraban poseer dominio de las destrezas básicas al

realizar los cómputos donde se aplicaba la regla de la cadena. Sin embargo, estos alumnos

mostraron dificultad al aplicar el concepto de la regla de la cadena a situaciones nuevas. Uno de

los hallazgos en esta investigación realizada por Capistran (2005) reflejó que los estudiantes no

tomaron en consideración estos conceptos menores de composición y diferenciación en la

construcción de sus mapas conceptuales. Basado en los hallazgos en ambas modalidades

metodológicas y otros estudios, se presentaron varias recomendaciones para la enseñanza de la

regla de la cadena en un curso de cálculo.

Este estudio concuerda con esta investigación en la utilización de métodos mixtos en la

fase de triangulación. La diferencia entre ambos estudios es que esta investigación sobre el uso

de mapas de conceptos en el tema de función utilizó más técnicas cualitativas de recopilación de

información. Además, las pruebas cortas se ofrecieron como parte de las actividades de práctica.


La construcción de mapas conceptuales y los hallazgos en una entrevista se presentaron en forma

similar. La diferencia estriba en que en esta investigación se utilizaron entrevistas de grupo

focal, entrevista a los profesores, la administración del boleto de entrada, de salida, una

preprueba y una posprueba para recopilar datos e información estadística y descriptiva. Otro

aspecto es que esta investigación tomó en consideración a percepción de los participantes. Al

respecto, los estudiantes del grupo experimental expresaron de forma positiva el uso de los

mapas de conceptos y su contribución al desarrollo de conceptos de función en el curso de

Precálculo. También es importante reconocer que el nivel de dificultad entre la regla de la

cadena en Cálculo y el concepto de función en Precálculo es su profundidad conceptual.

También es diferente su nivel de abstracción.

Otro estudio utilizando mapas conceptuales como herramienta instruccional en Cálculo

fue presentado por Sherhan y Syam (2011) y sustenta en gran medida esta investigación. La

investigación de estos autores explora la efectividad del uso de los mapas conceptuales en el

aprendizaje del estudiante sobre el concepto de derivada en un punto. Inicialmente participaron

52 estudiantes del tratamiento y contestaron la preprueba. La posprueba la contestaron 49 de

ellos. El tratamiento duró 10 semanas en el semestre y se fueron examinando el efecto del uso

de mapas conceptuales para que los estudiantes mostraran el desarrollaran de la imagen de la

derivada en un punto. El tratamiento consistió en los investigadores ofrecer por 30 minutos una

explicación sobre las reglas conceptuales, presentar ejemplos y ofrecer modelos sobre las

conexiones entre conceptos. Luego los investigadores ofrecían una serie de conceptos dados y

relacionados con la derivada en un punto. Los investigadores solicitaron a los estudiantes

construir un mapa conceptual y ofrecían asistencia en la clarificación de las diferentes

conexiones. Se estableció una comparación entre los resultados obtenidos por los participantes


en la preprueba y la posprueba. Los hallazgos en este estudio revelaron que los estudiantes, al

utilizar los mapas conceptuales, describieron y utilizaron mejor los conceptos de imágenes de la

derivada en un punto. En este estudio los autores presentan la utilización de la preprueba y la

posprueba cónsona con la investigación presentada sobre el uso de mapas de conceptos. En la

fase cualitativa en esta investigación y la citada hay diferencia especialmente en la presentación

de multiplicidad de intervenciones en la fase cualitativa. En ambos estudios hay convergencia en

que los estudiantes presentaron y describieron mejor el concepto de función (conceptualización).

Este estudio citado desarrolla su investigación del concepto de derivada en un punto en un curso

de Cálculo que requiere mayor profundidad conceptual que el concepto de función en un curso

de Precálculo.

Otro hallazgo de importancia encontrado en la fase cuantitativa fue el comportamiento de

los grupos en la fase formativa del estudio. Esta consistió de una serie de actividades de práctica

(A, B, C y D) que presentaban preguntas para el aspecto cuantitativo y preguntas abiertas en la

cualitativa. Se realizó una prueba paramétrica porque la literatura señala que cuando la muestra

es mayor de 20 se puede utilizar (en esta investigación la muestra fue de 25) y añade que no

afecta la robustez de los hallazgos. Al aplicar la prueba t para muestras independientes t

(t =3.795; df = 48; p = .000; *p < 0.05) se encontró que existe diferencia estadísticamente

significativa entre los estudiantes del grupo experimental y los estudiantes del grupo de

comparación en la utilización de mapas conceptuales versus la enseñanza tradicional en el

desarrollo conceptual como resultado de las prácticas individuales durante el proceso formativo

en el tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel universitario. Se infiere que el grupo

experimental aventaja al grupo de comparación en una ganancia estadísticamente significativa en

las puntuaciones de las prácticas individuales como parte del desarrollo de conceptos en el


proceso formativo en el tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel universitario. Al

obtener este resultado se aplicó la prueba del tamaño del efecto effect size Cohen´s d = 0 1.0734

y el resultado según la escala presentada por Hinkle, Wiersma, y Jurs (2003) la clasifican como

alto. Los autores definen el tamaño del efecto como el grado en el que se manifiesta el

fenómeno; en este caso, el impacto de la estrategia del uso de mapas conceptuales en el

desarrollo del concepto generador de función. Se reafirma que esta intervención es exitosa en el

desarrollo de conceptos desde su proceso formativo en un Precálculo a nivel universitario. El

tamaño del efecto en el desarrollo formativo fue lo suficientemente alto para poder recomendar

la estrategia de enseñanza a cualquier nivel matemático.

Uno de los estudios que presenta una gran similitud al presentado en esta investigación es

el de Mann (2000). El autor efectuó un estudio cuyo objetivo era determinar el efecto del uso de

mapas conceptuales en el desarrollo del concepto de funciones. El diseño del estudio fue de

Métodos Mixtos y examinó un curso de Precálculo. El curso era interdisciplinario de

matemática y ciencia donde se aplicó ADAGE (activity, data, analysis, generalization,

extensions) como enfoque de enseñanza. Se utilizaron mapas conceptuales como herramienta de

evaluación e instrumentos de assessment de manera tradicional para comparar la comprensión de

los estudiantes del concepto de función. Se seleccionaron trece estudiantes del curso de la

reforma [experimental] y trece estudiantes del curso tradicional y se les solicitó que diseñaran

mapas conceptuales para el concepto de función los cuales fueron calificados mediante una

rúbrica. También se le administró a los dos grupos un instrumento de assessment tradicional de

los procedimientos y propiedades del concepto de función.

Las técnicas utilizadas en la fase cualitativa fueron observaciones formales e informales,

entrevistas grupales e individuales y encuestas. En la fase cuantitativa se utilizó una prueba


cuyos resultados reflejaron que los estudiantes de ADAGE y utilizando mapas conceptuales

mostraron una diferencia significativa al compararse con el grupo tradicional. Los hallazgos

evidenciaron que los estudiantes con el enfoque ADAGE desarrollaron un excelente

entendimiento del concepto de función en comparación con los participantes del Precálculo

tradicional. Además, los estudiantes de ADAGE demostraron una mejoría significativa en sus

actitudes y aptitudes personales hacia la matemática.

Este estudio de Mann (2000) presenta grandes similitudes con la investigación presentada

en este trabajo y algunos aspectos de diferencia. El objetivo de este estudio citado esta cónsono

con la pregunta cuantitativa dos (desarrollo de conceptos) de esta investigación. También este

autor citado utilizó técnicas de assessment y en esta investigación del uso de los mapas

conceptuales se utilizaron el boleto de entrada y salida y las cuatro actividades de práctica que

medía aspectos cuantitativos y cualitativos. El enfoque ADAGE es cónsono con la forma de

construir mapas conceptuales y la presentación de las clases en forma de con el enfoque de

exploración, conceptualización y aplicación (Villarini et al., 1988, 2003). La diferencia básica

entre estos dos estudios, que en esta investigación se limitó al curso de Precálculo y el

presentado por Mann, fue en un curso interdisciplinario de matemática y ciencia con destrezas y

conceptos de Precálculo.

Discusión de la fase cualitativa

En esta fase se consideraron las siguientes técnicas cualitativas: la cuatro actividades de

prácticas (A, B, C y D), grupo focal y entrevista a profesores. En la participación fueron

considerados los grupos de los veinticinco (25) estudiantes cada uno en la técnica de las cuatro

(4) prácticas, se seleccionó una muestra voluntaria de cada grupo [experimental y de

comparación] para la participación del grupo focal y se consideraron los dos profesores


participantes para realizar las entrevistas. En la discusión de la fase cualitativa se presentará el

análisis de los principales hallazgos de acuerdo a las convergencias y divergencias encontradas

en las opiniones que expresaron los participantes para cada pregunta de investigación.

La primera pregunta cualitativa del estudio va dirigida a determinar la percepción de los

participantes sobre su experiencia en la enseñanza tradicional versus el grupo experimental sobre

su experiencia en la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en el

desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones en el curso de Precálculo a

nivel universitario.

De los resultados obtenidos del grupo focal se desprende que la percepción de los

participantes está encaminada al desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de

función de acuerdo al tratamiento recibido. De las respuestas dadas por los participantes del

grupo experimental, relacionadas con las actividades de práctica individual se infiere que la

utilización de mapas conceptuales fue una experiencia positiva. Los estudiantes del grupo

experimental manifestaron que el uso de los mapas conceptuales fue presentado en forma

dinámica y activa que contribuyó a la comprensión y al desarrollo de conceptos. Además,

añadieron que la utilización de mapas conceptuales les ayudó a comprender los conceptos con

mayor profundidad y lógica porque se presentaban en una forma secuencial y organizada. Los

estudiantes del grupo experimental manifestaron que el proceso de construir mapas conceptuales

les permitió aprender el tema de función con mayor sentido y significado. En cambio, el grupo

de comparación manifestó que el desarrollo de conceptos se presentaba mayormente en una

forma pasiva y que la comprensión de conceptos se desarrollaba con la práctica de ejercicios y

problemas. Otro aspecto destacado por los participantes del grupo experimental es que los

mapas conceptuales se presentan en forma visual que atrae a los estudiantes de hoy día, porque la


generación es mayormente visual y esto contribuye a mejorar las puntuaciones en los exámenes.

Por considerarse el mapa conceptual como un recurso visual, los estudiantes opinan que les

resulta más fácil entender y por ser tan dinámico les ayuda a que se aprendan los conceptos con

mayor dominio.

Por otro lado, los participantes del grupo de comparación manifestaron que se sentían

más seguros al resolver los ejercicios paso por paso o aplicando fórmulas. Todos los

participantes de ambos grupos coincidieron que aplicar los conceptos a la vida diaria les permitía

facilitar su aprendizaje y le encontraban mayor importancia. Otros participantes del grupo

experimental opinaron que construir mapas conceptuales los tranquilizaban para contestar los

exámenes por sentirse más relajados con la adquisición de conceptos y tener mayor seguridad.

Además, prefieren los ejercicios de práctica y en interacción con el profesor y compañeros de

clase y determinar los aspectos teóricos conceptuales.

En la actividad de integración de conceptos (Actividad D), los participantes del grupo

experimental percibieron que el desarrollo de los mapas conceptuales ayudó a comprender y

practicar el material bajo estudio. Otros opinaron que el orden al construir los mapas

conceptuales fue fundamental para familiarizarse con el contenido y ver la relación entre

conceptos. También el uso de mapas conceptuales contribuyó a repasar lo aprendido de manera

más organizada y adquirir un mayor conocimiento para contestar los exámenes. El grupo de

comparación se limitó a contestar la integración de conceptos del tema de función mediante

diagramas o dibujos o simplemente en forma descriptiva. Sin embargo, la actividad de

integración se desarrolló en el grupo de comparación como una combinación entre la conferencia

y discusión socializada. La participación de los estudiantes del grupo de comparación la

clasificaron como genial y estaban muy motivados para contestar la posprueba. Esta motivación


de los estudiantes fue ratificada por la profesora al expresar en la entrevista que la participación

de los estudiantes fue excelente en la integración de conceptos.

Los participantes del grupo experimental refirieron que la comprensión de conceptos se

facilita cuando el análisis es relacionar los conceptos menores y con el concepto generador.

Además, expresaron que la utilización de mapas conceptuales permite clarificar el punto de

partida del análisis y expresarlo con mayor claridad permitiendo la búsqueda de la información

como producto de la lógica matemática. Otros participantes expresaron la opinión que prefieren

el uso de los mapas conceptuales por su forma organizada de estudiar, las relaciones entre los

conceptos y para repasar los conceptos aprendidos. Estos argumentos que expusieron los

participantes del grupo experimental concuerdan en muchos aspectos con la teoría de la

construcción de mapas conceptuales

Muchos de estos argumentos presentados por el grupo experimental fueron avalados por

la percepción que manifestó el facilitador del curso. El facilitador del grupo experimental opinó

que el uso de mapas conceptuales reflejó en los estudiantes un crecimiento significativo en el

desarrollo de las destrezas del concepto generador de función, como resultado de las actividades

de práctica de día a día. Además, al usar los mapas conceptuales, los estudiantes lograron estar

más enfocados y tenían bien definido su norte en lo que deseaban realizar. La participación de

los estudiantes fue activa y consideró que las clases fueron más efectivas en lograr mejores

resultados en el desempeño de los estudiantes. E facilitador del curso del grupo experimental

expresó que los estudiantes fueron bien impactados con el uso de los mapas conceptuales por su

organización entre los conceptos. Por otro lado, la profesora del curso de comparación avaló a

las opiniones de los estudiantes en la presentación en conferencia y luego en la integración se

utilizó discusión socializada y los estudiantes practicaban en ejercicios y situaciones.


La opinión de los estudiantes del grupo experimental sobre la conveniencia de la

utilización de los mapas de conceptos para el desarrollo significativo de conceptos es avalado por

teóricos de la literatura. La construcción de los mapas de conceptos, según Novak y Gowin

(1988), es la manera de presentar los conceptos produce un aprendizaje más significativo, ya que

relaciona conceptos menores con los conceptos generales (generadores). Esta manera de ver el

aprendizaje significativo es la clave para el éxito de la enseñanza y la construcción de los mapas

conceptuales [matemáticas] (Hernández, 2005; Novak & Gowin, 1988; Ontoria et al., 1996).

Aprendizaje significativo ocurre cuando el estudiante trata intencionalmente de integrar nuevo

conocimiento en el conocimiento existente y así tender en su mente una red cognitiva más

extensa. Por ello dispondrá de más recorridos de recuperación (Ausubel, 1976). Según Ausubel,

el aprendizaje significativo es la explicación de la construcción del conocimiento al estudiante

someterse a experiencias nuevas de información y asociarlos con los conocimientos que posee el

individuo de las experiencias previas. Por otro lado, Hernández (2006) resume que el

aprendizaje significativo de Ausubel se refiere al momento que el estudiante trata de integrar el

nuevo conocimiento en el conocimiento existente.

Además, Ontoria et al. (1996) presentan el proceso de conceptualización describiendo

tres componentes básicos: primeramente la estrategia lo que ayude a organizar los materiales;

segundo, la construcción de mapas conceptuales lo que ayuda a los estudiantes y profesores a

captar el material que se va aprendiendo; y tercero, el recurso, el cual es esquemático para

presentar conjuntos de significados conceptuales.

De acuerdo a los hallazgos en la primera pregunta cualitativa de investigación de este

estudio, se puede asociar con muchas de las partes de las investigaciones realizadas por los

autores citados en los estudios que se compararon en la fase cuantitativa, tales como Pérez


(2008), que presentó un estudio mixto sobre el uso de mapas de conceptos en un curso de

Cálculo I, y Mann (2000), que presentó un estudio mixto sobre el uso de mapas conceptuales en

el concepto de función en un curso de Precálculo, entre otros. La mayoría de estos estudios

presentado son de una metodología mixta y presentan en la fase cualitativa muchos aspectos que

coinciden o difieren con esta investigación. Además, se considera la fase cualitativa desde la

perspectiva de la metodología mixta que presentan argumentos convergentes o divergentes con

las de este estudio.

Williams (1994) investigó sobre el uso de mapas de conceptos como estrategia de

enseñanza en un curso de Cálculo. Los resultados de su estudio coincide con esta investigación

en la fase cualitativa de la pregunta uno. Según Williams, uno de los hallazgos fue que los

estudiantes que participaron en el grupo experimental mostraron mayor utilización de la

terminología y el grupo de control mayor referencia algorítmica. En esta investigación los

estudiantes del grupo experimental expresaron que el uso de mapas conceptuales les permitió

comprender los conceptos con mayor profundidad, mientras que los estudiantes del grupo de

comparación manifestaron que desarrollaban los conceptos mediante la práctica de ejercicios.

La investigación realizada por Pérez (2008) en un curso de Cálculo I con estudiantes de

bachillerato en ingeniería presentó en la fase cualitativa algunos hallazgos que coinciden con este

estudio. Uno de estos hallazgos es que el uso de los mapas de conceptos contribuyó a la

comprensión de los conceptos de mayor complejidad. En esta investigación los estudiantes del

grupo experimental expresaron que los mapas de conceptos les ayudaron a comprender los

conceptos con mucha profundidad y lógica. Además, añadieron que los mapas de conceptos les

ayudaron a aprender el tema de función con mayor sentido y significado, permitiendo relacionar


los conceptos menores con el concepto generador. Por otro lado, esta investigación difiere con el

estudio de Pérez en que utilizó el diario reflexivo como técnica cualitativa.

La investigación realizada por Mann (2000) sobre el uso de los mapas conceptuales en el

tema de función concuerda con la estrategia y el tema de esta investigación. La diferencia

estriba en que el curso de esta investigación era Precálculo y el de Mann era interdisciplinario

(Ciencia y Matemática). Las técnicas cualitativas fueron similares, excepto las entrevistas

individuales que contempló Mann. Esta investigación no las utilizó ya que esta recopilación de

información fue a través de un grupo focal. El hallazgo fundamental del estudio de Mann fue

que los estudiantes demostraron mejoría en la las actitudes hacia las matemáticas. Esto coincide

con esta investigación en que los estudiantes del grupo experimental manifestaron y mostraron

una actitud positiva hacia el uso de los mapas conceptuales y la matemática.

La segunda pregunta cualitativa de esta investigación se relaciona con la contribución del

uso del mapa de conceptos al aprovechamiento en el concepto generador de función. Resultó

que los participantes del grupo experimental expresaron una mayor contribución en el

aprovechamiento al utilizar mapas de conceptos porque sirven de guía para el examen, despejan

la mente y permiten mayor seguridad en el examen. Añadieron que esta práctica de construir

mapas de conceptos les ayudó a obtener una mejor calificación. Otro argumento de peso fue que

ponerlos a prueba de lo que saben y contestar en sus propias palabras les permite estar más

relajados y confiados para el examen. Añaden los estudiantes del grupo experimental que el uso

de los mapas conceptuales les ayuda a reforzar las destrezas, repasar antes de un examen y les

permitió estar más seguros a la hora de contestarlo. Otra opinión que expresaron los estudiantes

participantes del grupo experimental fue que “un mapa de conceptos permite comprender el

contenido de forma más sencilla, y como recurso visual contribuye a adquirir un mejor resultado


en los exámenes”. Además, añadieron que “el mapa de conceptos ayuda a tener de una manera

más recogida los temas para así tener un mejor conocimiento de lo que viene en los exámenes”.

Por otro lado, en el grupo de comparación expresaron que el interés en la clase ayuda a

salir bien en los exámenes. Además, consideraron que la participación en la investigación es una

oportunidad para aprender y mejorar el método de evaluar a los estudiantes. Además, en el

grupo de comparación se presentó la versión de que si se explica paso por paso y aclaran las

dudas, se preparan mejor para las pruebas y los exámenes. Otro argumento presentado por el

grupo de comparación fue que las explicaciones, ofrecer ejemplos y resolver ejercicios de

práctica facilitaban para contestar el examen. En la entrevista de grupo focal, la opinión de los

participantes del grupo experimental sobre la contribución en su aprovechamiento es que el uso

del mapa de conceptos impacta bastante en el aprovechamiento porque tendrían mejores

resultados en las pruebas cortas y en los exámenes. Añadieron que al preparar los mapas de

conceptos antes de la prueba corta o el examen les ayudó a recordar los temas discutidos antes de

empezar el examen. Esto les permitía presentarse al examen con una idea bien clara de los temas

relacionados con el concepto función y al momento del examen lo hacían con mayor rapidez y

los resultados eran buenísimos. Por otro lado, el grupo de comparación presentó que si las

actividades fueran más dinámicas el aprovechamiento fuese mejor. Se referían a las actividades

de práctica A, B y C, donde la profesora explicaba todo el material. El profesor que facilitaba el

curso del grupo experimental manifestó que de acuerdo a los resultados de las actividades de

práctica de día a día, los estudiantes reflejaban un crecimiento significativo en el desarrollo de

las destrezas básicas del concepto generador función. Añadió el profesor que “utilizará en sus

clases futuras la construcción de mapas conceptuales porque los estudiantes de hoy día son más

visuales”. Por otro lado, la profesora del grupo de comparación manifestó que “El


aprovechamiento fue excelente según demostrado en la ejecución durante el repaso de la

actividad de integración” (Actividad de Práctica D).

Del análisis presentado para esta segunda pregunta cualitativa se infiere que la percepción

obtenida por los participantes en términos del aprovechamiento, los participantes de ambos

grupos (experimental y de comparación) mejoraron su aprovechamiento sobre el tema de función

en un curso de Precálculo a nivel universitario. Se concluye en este estudio que ambas

estrategias de enseñanza permitieron que los dos grupos mejoraran es su aprovechamiento en el

tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. Según este hallazgo, también se

puede inferir que el uso de los mapas conceptuales contribuyó a mejorar el aprovechamiento en

los participantes del grupo experimental.

En este contexto, el estudio experimental con muestras independientes presentado por

Baeza (2009) concuerda en parte del aspecto cualitativo de esta investigación. El objetivo de

este estudio citado fue determinar si los alumnos que utilizan mapas conceptuales en la

asignatura de matemáticas logran un mayor rendimiento académico que aquellos que no lo

utilizan. La muestra seleccionada consistió de 69 alumnos de primer año de educación media,

divididos en dos grupos, uno experimental y el otro control. En su etapa inicial se administró

una preprueba de álgebra la cual mostró que ambos grupos eran homogéneos. Luego se le

solicitó al grupo experimental la elaboración de mapas conceptuales durante 10 sesiones de

clase. En su etapa final se sometieron ambos grupos a contestar una posprueba de contenido de

álgebra. Esta posprueba fue validada por un grupo de expertos. Además, se aplicó una escala

Likert de apreciación del grupo experimental. Esta tenía el propósito conocer el sentir de los

estudiantes sobre la utilización de los mapas conceptuales.


Los resultados fueron los siguientes: La ejecución mostrada por el grupo experimental fue

significativamente superior al grupo de control. Este hallazgo difiere con el resultado de esta

investigación en la fase cuantitativa, ya que los resultados de una prueba t para muestras

independientes realizado en esta investigación evidenció que no existían diferencias

estadísticamente significativas en términos de aprovechamiento. En relación a la apreciación, los

alumnos del grupo experimental expresaron que la elaboración de mapas conceptuales tenía un

efecto positivo en el aprendizaje y por consiguiente en el aprovechamiento. El estudio de Baeza

(2009) es similar en uno de los propósitos de esta investigación y en considerar los niveles de

percepción de los participantes. La diferencia estriba en que en esta investigación se utilizaron

más estrategias cualitativas y cuantitativas en la recopilación de la información. La

manifestación de los participantes en el estudio de Baeza sobre el efecto positivo del uso de los

mapas conceptuales en el aprendizaje es cónsona con los participantes del grupo experimental en

esta investigación. Es posible de que en esta investigación, al efectuarse a un nivel universitario,

se requiere mayor profundidad conceptual.

La tercera pregunta cualitativa se relacionaba con el proceso empleado por el (la)

profesor(a) en el desarrollo de las actividades de enseñanza utilizadas en el tema de función en el

curso de Precálculo a nivel universitario. De acuerdo con las versiones presentadas por los

participantes del grupo experimental, estos manifestaron que la presentación del concepto fue

“una interacción entre profesor y estudiante realizando ejercicios y luego construir un mapa de

conceptos”. Añadieron que se representó el concepto como correspondencia entre los elementos

de dos conjuntos y se aplicó a situaciones de vida cotidiana. Con relación a la preferencia de las

actividades, expresaron que les gustó hacer un mapa de conceptos porque les ayudaba a recordar

lo básico y por la manera de analizar y explicar las cosas en las propias palabras de los


estudiantes. Otro aspecto relevante fue que la explicación fue precisa para el estudiante, ya que

la enseñanza fue de una manera dinámica y entretenida. Por otro lado, en el grupo de

comparación se argumentó que la profesora presentó el tema con explicaciones, muchos

ejemplos y ejercicios, explicado todos los pasos y con ejemplos reales. Otro aspecto que le gustó

al grupo de comparación fue “el de práctica y a un ritmo bueno mediante una buena dinámica de

realizar la tarea”.

Los participantes del grupo experimental añadieron que el tema de gráficas de funciones

se presentó en forma concreta y al grano con explicación profunda y en general con muchos

ejemplos y explicaciones, lo que permitió la participación de los estudiantes. Sobre las

actividades de preferencia, el grupo experimental manifestó que hacer mucha práctica, hacer

mapas de conceptos, la manera de explicar y la discusión activa con el profesor facilitó el

aprendizaje. Por otro lado el, grupo de comparación manifestó que les enseñaron el tema de

gráfica mediante definición y ejercicios de gráficas más conocidos. Añadieron que se realizaban

ejercicios de práctica en el salón y se practicaban en la casa con las asignaciones. En cuanto a

las actividades de preferencia, puntualizaron que favorecían la elaboración de gráficas mediante

la solución de ejercicios de matemáticas y que se explicara el proceso paso por paso. También

manifestaron que la presentación de la clase era suave y despacio, resultando poco dinámica.

Relacionado a las operaciones y composición de funciones, los participantes del grupo

experimental expresaron que el tema de operaciones con funciones se presentó en discusión con

el profesor en forma dinámica, haciendo ejercicios, practicando en el salón y con tareas

relacionadas al tema para que al otro día se discutieran las dudas.

En relación a las actividades de preferencia, este grupo experimental expresó que

construir mapas de conceptos con el tema de las operaciones y composición de funciones fue de


beneficio. Por otro lado, en el grupo de comparación expresaron que “el método que me

enseñaron operaciones con funciones fue bajo explicación paso por paso y haciendo ejercicios de

práctica”. La preferencia en la actividad para este grupo fue lo relacionado a operaciones con

funciones.

Añadió el grupo experimental que el desarrollo de las actividades era bien activo ya que

se deban ejercicios para practicar el tema. Otro subgrupo de estudiantes del grupo experimental

opinó que perciben la dinámica de las clases como activa, dinámica y entretenida porque estaban

discutiendo y evaluando los conceptos básicos. Añadieron que la dinámica les gustaba por ser

bien interactiva y les gustaban todas las actividades. Los participantes del grupo de comparación

expresaron que a ellos se les explicaban los temas básicos a todos los estudiantes al mismo nivel

y así se llevaba al grupo completo al mismo ritmo. Añadieron que al inicio la clase era

monótona porque la profesora daba toda la información y las prácticas las consideraban mínimas.

Relacionado con las actividades, expresaron que unas fueron un poco dinámicas y otras un poco

monótonas por la poca oportunidad de compartir hasta llegar a la integración de conceptos. El

profesor del grupo experimental avaló loas opiniones de sus estudiantes al manifestar que

percibió una mejor ejecución en el estudiante en su labor de día a día. Por otro lado, según la

profesora que facilitaba el curso para el grupo de comparación, esta expresó que la experiencia

de participar en una investigación fue nueva y que en términos de proceso fue muy parecido a la

forma acostumbrada de enseñarlo. Además, señaló que para estos estudiantes el tiempo fue un

poco más extenso.

En las visitas realizadas a la sala de clases se pudo constatar que el desarrollo de ambas

clases fue utilizando los pasos de exploración, conceptualización y aplicación. En el grupo

experimental la clase se condujo mayormente en forma activa, donde la interacción entre el


profesor y el estudiante fue para viabilizar la construcción de mapas conceptuales. Además, se

permitió que los estudiantes presentaran sus mapas conceptuales, lo discutieran y justificaran la

forma de construirlo. También, los estudiantes presentaban ejemplos donde se aplicaba el

concepto función a la vida diaria.

En el grupo de comparación se utilizó la conferencia combinada con la discusión

socializada como estrategias de enseñanza, permitiendo la participación tanto pasiva como activa

de los estudiantes. Además, se clarificaron dudas y la profesora ofreció ayuda individual a los

casos que lo ameritaban. Según las visitas realizadas, se constató que los (as) profesores (as)

siguieron las sugerencias de la guía al ofrecer las experiencias requeridas en la investigación.

Estos argumentos presentados por los estudiantes del grupo experimental están en

acuerdo con los señalamientos en la literatura. Según Small (1999 citado por Craig, 2000), la

utilización de los mapas conceptuales presupone un ajuste en el quehacer educativo donde los

estudiantes se convierten en aprendices de la exploración, de mejorar la comunicación, de

participar en grupos de trabajo, en la creación de modelos de vida, en solucionar problemas y en

la aplicación de una matemática con sentido. Con la utilización de los mapas conceptuales como

estrategia de enseñanza, se aumentan las posibilidades para que el aprendizaje del alumno sea

duradero y transferible a nuevas situaciones (Ontoria, Molina; & Luque, 1996; Silva, 2006).

En esta investigación se utilizó la exploración, conceptualización y aplicación (Villarini,

1988, 2003) que conllevaba la aplicación del constructivismo por entenderse que el estudiante

construía el mapa de concepto, pero también construía su propio conocimiento. La estrategia de

enseñanza que considera el aprendizaje constructivista es aquella que requiere que el maestro sea

un facilitador del aprendizaje presentando situaciones para que el alumno investigue, cuestione,

busque y descubra, construyendo así su propio conocimiento (Schunk, 2000; Svinicki, 2004).


Además, reafirma Salas (2006) que el uso de los mapas conceptuales es una estrategia

excelente que permite la integración constructivista dándole mayor significado a la experiencia.

Añaden Novak y Gowin (1988) que los mapas conceptuales llaman la atención tanto del maestro

como del estudiante, sobre el reducido número de ideas importantes que se necesitan para

expresar en forma esquemática las relaciones entre conceptos, creando un aprendizaje

significado para ambos.

Otro argumento a favor de la utilización de los mapas conceptuales como estrategia de

enseñanza en matemática lo trae Aguilar (2005) al expresar que facilita el aprendizaje

significativo de nuevos conocimientos que sean asimilados mediante un proceso activo en el cual

el aprendiz utiliza sus conocimientos previos para negociar el significado de los conceptos

nuevos.

Según los estudios presentados para las dos preguntas cuantitativas de este estudio, se

destacaron los análisis estadísticos. En esta tercera pregunta cualitativa se resaltan dos hallazgos

cualitativos de importancia. La investigación realizada por Afamasaga (2004) sobre el uso de

mapas conceptuales en el tema de función coincide con esta investigación en la estrategia de

enseñanza y el tema. En relación a la presentación de las actividades, ambas investigaciones

coinciden en que fueron presentadas en forma activa, donde la interacción entre estudiante y

maestro fue de intercambio cognitivo.

La investigación de Mann (2000) sobre el uso de mapas conceptuales en el tema de

función coincide con esta investigación en la estrategia de enseñanza (construcción de mapas

conceptuales) y el tema de función. En relación a la interacción entre maestro y estudiante

creando una participación activa entre ellos, hay similitud en ambas investigaciones. Además, en


ambas investigaciones los participantes mostraron una actitud positiva en cuanto al uso de los

mapas conceptuales en la clase de matemáticas.

Análisis de convergencias y divergencias en los hallazgos cualitativos

En este estudio se utilizó la investigación de Métodos Mixtos en fases paralelas con un

diseño de triangulación por la complejidad que presenta el objetivo del estudio. Esta

investigación consistió en recopilar datos cualitativos y cuantitativos simultáneamente para

analizar los puntos de convergencias y divergencias (Creswell & Plano, 2007, 2011). Los

estudiantes del grupo experimental estuvieron inmersos en actividades de construcción de mapas

conceptuales. El grupo de comparación realizaron las mismas actividades pero utilizando el

método tradicional de la enseñanza. Además, los estudiantes de ambos grupos y los profesores, a

través de la intervención, estuvieron describiendo el proceso de desarrollo de conceptos en el

tema de función y luego expresaron sus percepciones al respecto.

En esta investigación se aplicó la triangulación durante todo el proceso de la intervención.

Los hallazgos primordiales encontrados sobre la percepción de los estudiantes en aspectos

convergentes o divergentes se presentan a continuación. Antes, el investigador desea hacer claro

que algunas divergencias son establecidas en la intervención por las diferencias en el tratamiento,

al utilizar el grupo experimental la construcción de mapas de conceptos y el grupo de

comparación la enseñanza tradicional.

Las convergencias y divergencias entre el grupo experimental y el grupo de comparación

para la primera pregunta cualitativa de esta investigación relacionada con la percepción de los

participantes sobre el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de función de

acuerdo al tratamiento se presentan a continuación.


El investigador analizó la información presentada por ambos grupos en relación a la

primera pregunta cualitativa. El análisis de los datos recopilados reflejó que uno de los aspectos

comunes que contribuyeron al desarrollo de conceptos fueron las tareas de práctica y los métodos

visuales utilizados en las presentaciones de los conceptos (conjuntos, gráficas, relaciones y

operaciones con funciones). Otro aspecto común en ambos grupos fue la aplicación del tema de

función como concepto generador y su relación con situaciones de la vida cotidiana. Además, en

ambos grupos los estudiantes aplicaron las gráficas como medio de comunicación en el entorno.

Otro aspecto común sobresaliente de ambos grupos fue que mostraron interés en la clase que se

presenta en forma diferenciada. En el grupo experimental, la construcción de mapas

conceptuales en una forma activa generó interés en la clase, provocando la búsqueda del

conocimiento fuera de la sala de clases. En el grupo de comparación se logró el interés en la

clase en forma diferente, porque se presentó en un ritmo lento, con explicaciones detalladas y

clarificando las dudas que presentaban los estudiantes. Además, al celebrar la actividad de

práctica D (integración de conceptos) en discusión socializada, se generó mayor interés por parte

del grupo de comparación por su participación contestando preguntas y aclarando dudas. Con

relación a las divergencias, el grupo experimental señaló que perciben como una actividad

positiva el uso de los mapas de conceptos y se construyen en una interacción entre profesor y

estudiante y estudiante con estudiante. Otra divergencia fue que los estudiantes del grupo

experimental, mediante conversatorio con el profesor, llegaron a formular las definiciones de los

conceptos menores y generadores, partiendo de sus conocimientos previos. La divergencia que

persiste en el grupo experimental a través de las cuatro actividades de práctica es la organización

que presenta la construcción de los mapas conceptuales en la jerarquía a establecer entre los

conceptos establecidos y la secuencia que conllevan estos. El grupo experimental destacó que la


construcción de mapas conceptuales les permitió ser creativos y buscar información adicional a

lo discutido en clase. Por otro lado, el grupo de comparación difiere del experimental porque

mayormente las primeras tres actividades de práctica (A, B y C) fueron llevadas en conferencias

donde la participación fue en forma pasiva con práctica asignada. Otro aspecto destacado por

este grupo de comparación fue que la profesora explicaba los conceptos, ofrecía los ejemplos y

modelaba los ejercicios paso a paso con uso de fórmulas que también requería una participación

pasiva. Añaden que las presentaciones de la profesora fueron a un ritmo lento y detallado, lo que

le llamó la atención a muchos.

La participación sumamente activa de los estudiantes del grupo experimental permitió

una mayor motivación cada día y una buena motivación por aprender. La integración de todos

los participantes en el desarrollo de conceptos permitió una mejor comprensión y un mayor

compromiso. Buscar diferentes recursos fuera de la sala de clases permitió que el grupo

experimental obtuviera mayor seguridad en el desarrollo del concepto función como concepto

generador. Esto fue avalado por el profesor al expresar que el estudiante estaba más enfocado en

la clase y que mostraba mayor seguridad en lo que tenía que hacer.

Las convergencias y divergencias entre ambos grupos para la segunda pregunta

cualitativa de esta investigación que se relaciona con la contribución al aprovechamiento en el

concepto generador de función se presentan a continuación.

Los aspectos de coincidencia en las percepciones de ambos grupos sobre las cosas que

contribuyeron a mejorar el aprovechamiento fueron: las tareas de práctica porque contribuyeron

a preparase para los exámenes. Otro aspecto convergente en ambos grupos fue el interés en la

clase porque les ayudó a tener un mejor rendimiento en matemáticas. Con relación a aquellos

aspectos divergentes, en el grupo experimental, utilizar los mapas de conceptos les sirvió de guía


para los exámenes para obtener mejores calificaciones. Añaden que al construir mapas de

conceptos demuestran lo aprendido y por su profundidad de análisis, ofrece mayor seguridad al

contestar el examen. Por otro lado, el grupo de comparación manifestó que explicar la definición

de conceptos, ver los ejemplos y practicar los ejercicios les facilitaba para el examen. Además,

añadieron que al explicar paso a paso los conceptos y ejemplos se refuerzan las destrezas y los

prepara mejor para los exámenes. Ambos profesores confirmaron que los enfoques presentados

en clase permitieron un buen rendimiento académico.

La tercera pregunta cualitativa está relacionada con el proceso empleado en el desarrollo

de las actividades de enseñanza utilizadas en el tema de función en el curso de Precálculo a nivel

universitario. Las semejanzas y diferencias entre ambos grupos para esta tercera pregunta

cualitativa de esta investigación se presentan a continuación.

Los aspectos convergentes que coinciden en ambos grupos sobre la tercera pregunta

cualitativa son las aplicaciones a la vida cotidiana, las tareas de práctica y las asignaciones. La

preferencia por la discusión socializada en la actividad de práctica de integración de conceptos

fue señalada por ambos grupos de participantes. Otras actividades de preferencia común fueron

las gráficas [por ser un contenido visual] y las operaciones con funciones. Con relación a las

actividades que divergen en su desarrollo, para el grupo experimental está la de que la clase era

precisa para el estudiante, ya que fue dinámica y entretenida. La clase era interactiva y con

mucha práctica. La construcción de los mapas de conceptos ayudaba a los estudiantes a recordar

lo básico y a organizar las ideas. Con relación a la clase, se presentaban ejercicios y a través de

la discusión de los mismos, se construían las definiciones conceptuales. El grupo experimental

coincide con el grupo de comparación en las preferencias con las operaciones con funciones,

pero el grupo experimental añade la preferencia por la composición de funciones. En las


versiones vertidas por el grupo de comparación se destacan las explicaciones por parte de la

profesora de incluir todos los pasos necesarios, los ejemplos y los ejercicios de práctica en forma

detallada y a un ritmo despacio. Los participantes del grupo de comparación expresaron otra

diferencia y fue que la profesora estaba al frente ofreciendo la clase y llevaba al grupo al mismo

ritmo y en el mismo nivel.

El desarrollo de las actividades fue creando en los estudiantes del grupo experimental un

mayor compromiso de los estudiantes con el proceso de aprender que se va adquiriendo día a día.

Durante la fase formativa, los estudiantes del grupo experimental mostraban mayor seguridad en

el desarrollo de los conceptos en la medida que construían sus mapas de conceptos. Además,

este grupo, al discutir sus mapas de conceptos, fue mejorando su análisis al justificar las

relaciones entre los conceptos menores y el concepto generador por tener mayor significado para

ellos.

Este análisis de hallazgos de convergencias entre los participantes de ambos grupos

(experimental y de comparación) permite establecer generalizaciones. Estas generalizaciones

aplican a estudiantes con características similares a los participantes; o sea, estudiantes

matriculados en un curso de Precálculo en una universidad privada. De los hallazgos

convergentes en las tres preguntas cualitativas se derivan las siguientes generalizaciones:

1. La preferencia de los estudiantes son las clases activas en lugar de pasivas.

2. La participación de los estudiantes, como miembro activo en la sala de clase, es vital

en el proceso de enseñar y aprender.

3. La presentación de recursos visuales en los cursos de matemáticas es sumamente

importante para los estudiantes de hoy día porque estos participantes se reconocen

como una generación visual.


4. En el desarrollo de conceptos matemáticos es imperante practicar ejercicios y

problemas que amplíen y enriquezcan el proceso conceptual.

5. El estudiante considera de gran valor significativo que los conceptos se apliquen a la

vida cotidiana para comprender lo relevante del tema.

6. El éxito de los estudiantes está en la manera en que se logre interesarlos y

comprometerlos con aprender el contenido de los cursos para apoderarse del

conocimiento.

Análisis combinado

Esta investigación de Métodos Mixtos en fases paralelas con un diseño de triangulación

recopiló datos cuantitativos e información cualitativa a la vez que se destacaron los puntos de

semejanzas y diferencias (Creswell & Plano, 2007, 2011). Arias (2009) clasifica la triangulación

como un método de validez convergente. Los estudiantes del grupo experimental estuvieron

inmersos en actividades de construcción de mapas conceptuales sobre el tema de función como

concepto generador. Además, los estudiantes y el profesor, a través de la intervención,

describieron el proceso de desarrollo de conceptos en el tema de función para luego expresar sus

percepciones al respecto. Inicialmente se presentaron los hallazgos cuantitativos y luego los

resultados de las técnicas cualitativas utilizadas durante la intervención. Esta información se

trianguló desde el inicio hasta el final del tratamiento.

El análisis combinado presentado es el producto de combinar los hallazgos de la fase

cuantitativa y la fase cualitativa para obtener los resultados de este estudio. Estos hallazgos se

compararon y contrastaron para descubrir las congruencias y divergencias de los datos y la

información cualitativa, aplicándole como recurso de análisis la triangulación. El análisis de


métodos combinados está presentado alrededor de las preguntas de investigación que ofrecen

dirección a este estudio.

Al analizar el hallazgo en la primera pregunta cuantitativa de investigación se desprende

que no existe diferencia estadísticamente significativa entre las puntuaciones de las pospruebas

del grupo experimental y el grupo de comparación. De este hallazgo se desprende que tanto el

grupo experimental como el grupo de comparación mostraron un aumento significativo en el

aprovechamiento sobre el tema de función luego de pasar por el tratamiento. Se concluye en este

estudio que ambas estrategias de enseñanza permitieron que los dos grupos mejoraran de forma

similar en su aprovechamiento en el tema de función en un curso de Precálculo a nivel

universitario. Según este hallazgo, también se puede inferir que el uso de los mapas

conceptuales contribuyó a mejorar el aprovechamiento en los participantes del grupo

experimental. Al respecto, los estudiantes argumentaron que la construcción de los mapas

conceptuales les permitió organizar los conceptos, relacionar ideas básicas y sintetizar

información, lo que contribuyó a obtener mejores calificaciones. En el caso de los participantes

del grupo experimental, el hallazgo encontrado en la fase cuantitativa [la estrategia fue exitosa]

es cónsono con la percepción que tienen los estudiantes en la fase cualitativa. Además, el

profesor del curso del grupo experimental coincide con el grupo en que se percibían más

enfocados y más seguros de lo que querían. Hay convergencia entre lo expuesto por el profesor

y los estudiantes en que el uso de los mapas de conceptos como estrategia de enseñanza permite

una mejor organización, tanto para el profesor como para el estudiante, para enseñar y aprender

los conceptos bajo estudio. También, el profesor y los estudiantes convergen en que la

participación de los estudiantes al construir mapas de conceptos es activa. Por otro lado, el

grupo de comparación comenzó la presentación en clase de los conceptos en forma de


conferencia y manifestaron que no era del agrado de la mayoría del grupo. Sin embargo,

implantar la actividad de integración de conceptos mediante discusión socializada fue de gran

impacto positivo para los estudiantes de ese grupo por su participación más activa. La profesora

expresó que en esta actividad de integración los estudiantes participaron de forma excelente. En

general, se puede argumentar que la participación activa de los estudiantes es un aspecto

fundamental en la enseñanza de la matemática.

En cuanto a la segunda pregunta cuantitativa de esta investigación, se encontró que existe

diferencia estadísticamente significativa entre los estudiantes del grupo de comparación y los

estudiantes del grupo experimental en la utilización de mapas de conceptuales versus la

enseñanza tradicional en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones

en un curso de Precálculo a nivel universitario. Del análisis estadístico sobre el desarrollo de

conceptos (conceptualización) se concluye que los estudiantes del grupo experimental

adquirieron un aumento significativamente mayor en el desarrollo de conceptos en comparación

a los estudiantes del grupo de comparación. Se evidenció que la utilización del mapa conceptual

fue más eficaz que la presentación tradicional de conceptos en la ganancia del desarrollo de

conceptos sobre el tema de función en un curso de Precálculo a nivel universitario. Según el

impacto de este nivel significativo, la prueba del tamaño del efecto, según la escala de Cohen,

fue clasificada como alta y lo suficientemente grande que permite recomendar esta estrategia en

la enseñanza de matemática para un curso de Precálculo. Este hallazgo es convergente con las

percepciones que expresaron los estudiantes del grupo experimental de que la construcción de

mapas de conceptos ayudó a los estudiantes a relacionar los conceptos menores con los

conceptos generadores con mayor sentido y profundidad, lo que ofrece mayor seguridad en los

exámenes. Además, la motivación de los estudiantes del grupo experimental a buscar


información adicional del concepto bajo estudio permitió mayor dominio de estos y los capacitó

para el establecer el orden jerárquico entre el concepto generador y los conceptos menores que lo

amplían y lo enriquecen. Además, los estudiantes del grupo experimental percibieron que esta

forma de construir mapas de conceptos les ayudaba a repasar, a sentirse más relajados antes de

contestar los exámenes y sobre todo estar más seguros del dominio de los conceptos. En

convergencia con este hallazgo del aumento estadísticamente significativo del desarrollo de

conceptos, el profesor manifestó que la construcción de mapas de conceptos impactó

positivamente al estudiante porque tenía mejor estructura y organización en término de sus

estudios. Añade el profesor que las clases fueron más efectivas, obteniendo mejores resultados

en el desempeño conceptual de los estudiantes.

Tanto los resultado de la parte cuantitativa como los de la parte cualitativa de este

estudio, apoyan la conclusión de que la estrategia de utilizar los mapas de conceptos como una

estrategia de enseñanza en el desarrollo del concepto de función en un curso de Precálculo es

altamente exitosa. Los resultados reflejan que el uso de mapas conceptuales logra llevar al

estudiante al desarrollo de conceptos de forma significativa que le permite apoderarse de los

conceptos de funciones y obtener un aprendizaje más duradero. Según el resultado de la prueba,

del tamaño del efecto, que es suficientemente alto, se puede inferir que esta estrategia se puede

aplicar para desarrollar los temas de un curso de Precálculo a nivel universitario. Además, los

participantes del grupo experimental expresaron que lo utilizaban para organizarse y estudiar en

otros cursos de educación general.

La primera pregunta cualitativa de esta investigación corrobora en parte el hallazgo de la

segunda pregunta, que es cuantitativa. Los estudiantes del grupo experimental expresaron que

construir los mapas conceptuales desarrolla una buena organización para aprender y continuar


aprendiendo, lo que convierte al estudiante en un investigador del conocimiento en todo

momento. Esta aseveración tiene gran similitud con el hallazgo estadísticamente significativo de

la segunda pregunta cuantitativa que trata sobre el desarrollo conceptual altamente significativo.

Expresa el sentir de que el estudiante construye su conocimiento y se apodera de este. Esta

aseveración converge con la percepción del profesor que cuando el estudiante construye un mapa

de concepto la actividad le ofrece mayor seguridad de lo que va a realizar para el desarrollo de

conceptos. Se concluye que el uso de mapas de conceptos es altamente exitoso y aplicable a la

enseñanza, en especial a los principios del modelo constructivista que postulan que el estudiante

construye su propio conocimiento.

La segunda pregunta cualitativa corrobora la primera pregunta cuantitativa sobre el efecto

en el aprovechamiento. Los estudiantes del grupo experimental expusieron que el interés que

genera el construir un mapa de conceptos es fundamental en el aprendizaje del estudiante.

Añaden los estudiantes del grupo experimental que el mapa de conceptos es una guía que asiste

en el proceso de desarrollo de conceptos. Este señalamiento es convergente con el hallazgo

estadístico de la primera pregunta cuantitativa sobre el aumento en el aprovechamiento.

Además, añaden los estudiantes de este grupo que esta estrategia contribuye a que se sientan más

seguros al contestar sus exámenes. Por otro lado, los estudiantes del grupo de comparación

consideraron que participar activamente en las clases los prepara mejor para contestar las

pruebas o los exámenes. La percepción de los participantes de ambos grupos permite reflexionar

que la participación activa en las clases es fundamental. La diferencia al utilizar los mapas de

conceptos como una estrategia de enseñanza es que la motivación de buscar información sobre

los conceptos bajo estudio permitió a los estudiantes del grupo experimental desarrollar un


aprendizaje conceptual y procesal más profundo, mientras que en el grupo de comparación fue

mayormente procesal.

La tercera pregunta cualitativa sobre el desarrollo de las actividades muestra una gran

concordancia con la ejecución formativa de los estudiantes. En otros hallazgos de este estudio,

se encontró que existe diferencia estadísticamente significativa entre las puntuaciones de las

prácticas individuales como parte del proceso formativo al implantarse las actividades para el

desarrollo de conceptos del grupo experimental versus el grupo de comparación. El resultado del

cómputo (Cohen´s d= 0 1.0734) de la magnitud del efecto del tratamiento fue alto. Esto coloca

al investigador en la posición de recomendar este tratamiento como exitoso en la ejecución

formativa en el desarrollo del concepto generador de función. Además, este resultado es

convergente con el manifestado por el profesor de que el uso de los mapas de conceptos fue una

manera más efectiva para lograr una mejor ejecución del estudiante en su labor diaria y en el

desarrollo de conceptos de función. Los hallazgos encontrados en el desarrollo de las

actividades concuerdan con el hallazgo cuantitativo en la segunda pregunta, porque los

participantes manifestaron que construir mapas de conceptos va desarrollando en el estudiante la

capacidad de dirigir su propio conocimiento y su compromiso de aprender. Lo importante de

este hallazgo es que si el compromiso del estudiante con el aprendizaje comienza a sentirse

desde los inicios del tratamiento, esto es un factor exitoso que se manifiesta a través de toda la

intervención. La utilización del uso de mapas de conceptos como estrategia de enseñanza

permite al estudiante adquirir el conocimiento conceptual y procesal desde la fase formativa

hasta la fase terminal en el proceso de conceptualización.


Conclusiones

A continuación se presentan las conclusiones que se desprenden de los diferentes análisis

realizados en esta investigación. Las conclusiones aplican a estudiantes con características

similares a los participantes matriculados en un curso de Precálculo en una universidad privada.

De esta investigación se desprenden las siguientes conclusiones:

1. El uso de los mapas conceptuales contribuyó a mejorar el aprovechamiento de los

participantes del grupo experimental. De acuerdo a los resultados obtenidos, el uso

de mapas conceptuales mostró ser tan eficaz como el método tradicional de enseñanza

en promover el aprovechamiento en los estudiantes de un curso de Precálculo. Sin

embargo, la construcción de los mapas conceptuales les permitió a los estudiantes del

grupo experimental ser más organizados al estudiar los conceptos, al relacionarlos

con ideas fundamentales y al sintetizar información que contribuyó en mejorar

aprovechamiento en el concepto de función como concepto generador.

2. Se evidenció estadísticamente que el uso de mapas de conceptos fue más efectivo que

el método tradicional en promover el desarrollo de conceptos en el tema de función

en un curso de Precálculo a nivel universitario. El estudiante adquiere el

conocimiento con mayor significado y se apodera de su conocimiento.

3. El uso del mapa de conceptos convierte gradualmente al estudiante en un investigador

del conocimiento.

4. A medida que se usa el mapa de conceptos en el proceso formativo del aprendizaje, el

estudiante conceptualiza los conceptos del curso con mayor significado.


5. El uso de los mapas de conceptos es una herramienta que sintetiza información y

recopila su contenido en una forma visual, organizada y secuencial según esta

muestra.

6. Los estudiantes mostraron una actitud positiva al uso de los mapas conceptuales y lo

favorecieron en la sala de clases.

7. En síntesis, el éxito de utilizar los mapas de conceptos como estrategia de enseñanza

estriba en buscar maneras de lograr en los estudiantes, interés y compromiso con el

aprendizaje de conceptos matemáticos.

Implicaciones educativas

En la siguiente sección se presentan las implicaciones educativas que se desprenden de la

presente investigación. Es fundamental para los educadores buscar estrategias innovadoras para

atemperar la enseñanza a los cambios del entorno educativo de los tiempos actuales. De la

realización del estudio se desprenden las siguientes implicaciones educativas:

1. La estrategia de enseñanza del uso de los mapas conceptuales permite un aprendizaje

de mayor profundidad en el desarrollo de conceptos y luego se aplica en ejercicios y

problemas de manera procesal.

2. El uso de mapas conceptuales le ofrece al estudiante convertirse en un investigador

del conocimiento.

3. Utilizar las fórmulas para seguir paso por paso el desarrollo procesal puede dominarse

y aún los estudiantes tener la necesidad de crear el sentido, la teoría o definición del

concepto bajo estudio.

4. El uso de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza ofrece al estudiante una

serie de oportunidades en el aprendizaje para presentar en forma jerárquica la


estructura conceptual entre la relación de conceptos menores y el concepto generador

bajo estudio creando mayor significado en el aprendizaje.

5. El mapa conceptual es una herramienta que contribuye a que el estudiante

universitario pueda comprobar su ritmo de aprendizaje y permite promover destrezas

de reflexión y análisis en el desarrollo de su propio conocimiento.

Recomendaciones

Según los hallazgos y el análisis de este estudio, el investigador ofrece las siguientes

recomendaciones:

1. La mayoría de los estudios consultados en la literatura utilizaron lápiz y papel en la

construcción de los mapas conceptuales. Una de las recomendaciones de esta

investigación es ampliar y enriquecer las estrategias del uso de mapas conceptuales

como estrategia de enseñanza en matemáticas al uso de la tecnología (programados)

para la construcción de los mismos.

2. Ofrecer capacitación a profesores sobre la preparación de mapas conceptuales como

una forma de planificar sus clases de manera organizada, secuencial y lógica al

relacionar los conceptos menores que amplían y enriquecen el concepto generador

bajo estudio en el nivel universitario.

3. Ofrecer capacitación a profesores sobre la aplicación del método deductivo y el uso

de la tecnología al construir mapas conceptuales en los cursos de matemáticas.

4. Realizar estudios sobre el uso de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza

en diferentes áreas del contenido matemático donde se requiera una mayor

profundidad del concepto matemático estudiado en el nivel universitario.


5. Replicar este estudio para cursos de nivel avanzado a nivel universitario tales como:

Cálculo, Ecuaciones diferenciales, Teoría de números, Algebra lineal, Álgebra

abstracta y otros que requieren un análisis de profundidad en la adquisición del

conocimiento.

6. Replicar este estudio en la enseñanza de matemáticas básicas. La utilización de los

mapas conceptuales es una de las estrategias de enseñanza que desarrolla un

aprendizaje significativo.

7. Determinar si se implanta el uso de mapas conceptuales, en el inicio, a mediados o al

final de programa de estudio para descubrir y constatar si el estudiante adquiere valor

a través de esta estrategia de enseñanza.

Esta investigación surgió de la necesidad de buscar estrategias de enseñanza

diferenciadas (uso de mapas conceptuales) para mejorar el proceso de conceptualización y el

aprovechamiento en matemáticas en los estudiantes a nivel universitario. De la implantación del

tratamiento sugerido se desprende como hallazgo que la estrategia es exitosa, específicamente

para el desarrollo de conceptos [proceso de conceptualización]. Además, en la fase formativa el

estudiante desarrolla en forma sistemática y gradual un aprendizaje con significado. El aspecto

de percepción es acogida positivamente por los estudiantes. Le permite al profesorado planificar

sus clases de forma organizada y secuencial. En la interacción de estudiante y profesor (a) crea

un ambiente de compartir el conocimiento y permite al estudiante a investigar en diferentes

medios sobre el conocimiento.


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Apéndice A

Modelo de Procedimiento



Apéndice B

Instrumento de Pre y Post Prueba y sus claves



Escuela de Ciencias y Tecnología

Recinto de Cupey, San Juan, P. R.

Núm. estudiante__________________________ fecha_______________________

Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Pre-prueba

1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representan una función?

a) , , 0 , , 0 , c) 2 , 0, 1 , 0, 0 , 0

b) 4 , 0, 2 , 0, 0 , 0 d) , , ,, 0 ,

2. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

a) c)

b) d)

`


3. Dada x

xxxf

32

, evalúa en 1f

a) 1 c) 1

b) 5 d) 5

4. Si 3025 xxf , determina 3f

a. 1

b. 355

c. 1

d. 355

5. Determina el dominio de la función: 1

72x

xxf

a. 7 ,lR / xxx

b. 1 ,lR / xxx

c. 1 ,lR / xxx

d. 7 ,lR / xxx

6. Determina el dominio de la función: 102xxf

a. 0 ,lR / xxx

b. 0 ,lR / xxx

c. 5 ,lR / xxx

d. 5 ,lR / xxx

7. Sea 1 si ,2

1 si ,2

xx

xxxf , evalúa 3f

a. 9

b. 0

c. 3

d. 9


8. Selecciona la gráfica que representa la función: 322

xxf

a. c)

b. d)

9. La forma estándar de la función 342 xxxf es:

a. 112

x

b. 212

x

c. 122

x

d. 222

x

10. Sea 232y 35 xxgxxf , determina xgf

a. 2351 xx

b. 2355 xx

c. 2333 xx

d. 2851 xx


11. Sea xxgxxf 5y 92 , determine xgf

a. 952

x

b. 952

x

c. 952

x

d. 952

x

12. Sea 2y 12 xxgxxf , determine 0gf

a. 5

b. 3

c. 2

d. 0

13. Sea 1y 322 xxgxxxf , determine xg

f, donde 1x

a. 32x

b. 3x

c. 6

d. 6

14. Sea 5y 3 xxgxxf , determine xgf

a. 822 xx

b. 822 xx

c. 1522 xx

d. 1522 xx


15. La gráfica que representa la función 84xxf es:

a. c)

b. d)

16. Utiliza la gráfica para seleccionar su ecuación.

a. 9xy

b. 3xy

c. 93xy

d. 93xy


17. Determina el centro y el radio del círculo cuya ecuación es 92 22yx

a. 3 ;0,2 rC

b. 3 ;0,2 rC

c. 9 ;0,2 rC

d. 9 ;0,2 rC

18. Determina el dominio de la función 4

22xx

xf

a. 2 ,0 ,lR / xxxx

b. 4 ,0 ,lR / xxxx

c. 2 ,1 ,lR / xxxx

d. 4 ,1 ,lR / xxxx

19. Determina el (los) valor(es) de x , para )()( xgxf , si 152)( xxf y 2)( xxg

a. 5 ó 3 xx c. 5 ó 3 xx

b. 5 ó 3 xx d. 5 ó 3 xx

20. Determina todos los valores de x tal que 0)(xf , si 5

4)(

2xxf

a. 2x c. 2x

b. 4x d. 4x

21. La suma de dos números es 55. Si x representa uno de los números, expresa el otro

número en término de x.

a. x55 c. x55

b. x55 d. x

55

22. Una caja abierta (sin tapa) tiene una base cuadrada de lado x centímetros. Si el material

que está hecha la caja es de 300 centímetros cuadrados. Expresa el volumen de la caja en

término de x.

a. 4

300 3xx c.

4

300 2xx

b. x

xx

4

300 3

d. x

xx

4

300 2




Recinto de Cupey, San Juan, P. R.

Núm. estudiante____________________________ fecha______________________

Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Pos prueba

1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares de ordenados representan una función?

a) 0 , 0 , 3 , 1, 2 , 2, 2 , 1 b) 0 , 0 , 4 , 1, 2 , 2, 3 , 1

c) 0 , 0 , 3 , 1, )1,(2 ,2 , 1 d) 5 (4, , 4 , 3, 3 , 2, 2 , 1

2. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

a) c)

b) d)


3. Dada x

xxxf

632

, evalúa en 3f

c. 8 c) 2

d. 2 d) 8

4. Si 20152 xxf , determina 3f

a. 3

b. 22

c. 3

d. 22

5. Determina el dominio de la función: 4

32x

xxf

a. 3 ,lR / xxx

b. 2 ,lR / xxx

c. 2 ,lR / xxx

d. 3 ,lR / xxx

6. Determina el dominio de la función: 62xxf

a. 0 ,lR / xxx

b. 0 ,lR / xxx

c. 3 ,lR / xxx

d. 3 ,lR / xxx

7. Sea 1 si 3

1 si ,2

xx

xxxf , evalúa 2f

a. 4

b. 1

c. 1

d. 4


8. Selecciona la gráfica que representa la función: 212

xxf

a. c)

b. d)

9. La forma estándar de la función 262 xxxf es:

a. 422

x

b. 932

x

c. 732

x

d. 622

x

10. Sea 223y 26 xxgxxf , determina xgf

a. 562 2 xx

b. 162 2 xx

c. 292 2 xx

d. 562 2 xx

11. Sea xxgxxf 3y 42 , determine xgf


a. 432

x

b. 432

x

c. 432

x

d. 432

x

12. Sea 1y 22 xxgxxf , determine 0gf

a. 5

b. 3

c. 2

d. 0

13. Sea 3y 322 xxgxxxf , determine xg

f, donde 3x

a. 3x

b. 1x

c. 6

d. 6

14. Sea 4y 2 xxgxxf , determine xgf

a. 622 xx

b. 622 xx

c. 822 xx

d. 822 xx

15. La gráfica que representa la función 63xxf es:

a. c)


b. d)

16. Utiliza la gráfica para seleccionar su ecuación.

a. 8xy

b. 2xy

c. 84xy

d. 84xy


17. Determina el centro y el radio del círculo cuya ecuación es 163 22yx

a. 4 ; 0,3 rC

b. 4 ;0,3 rC

c. 16 ;0,3 rC

d. 16 ;0,3 rC

18. Determina el dominio de la función 9

52xx

xf

a. 3 ,0 ,lR / xxxx

b. 9 ,0 ,lR / xxxx

c. 3 ,1 ,lR / xxxx

d. 9 ,1 ,lR / xxxx

19. Determina el (los) valor(es) de )()( cgxf , si 12)( xxf y 2)( xxg

a. 4 ó 3 xx c. 4 ó 3 xx

b. 4 ó 3 xx d. 4 ó 3 xx

20. Determina todos los valores de x tal que 0)(xf , si 5

9)(

2xxf

a. 3x c. 3x

b. 9x d. 9x

21. La suma de dos números es 160. Si x representa uno de los números, expresa el otro

número en término de x.

a. x2160 c. x160

b. x160 d. x2

160

22. Una caja abierta (sin tapa) tiene una base cuadrada de lado x centímetros. Si el material

que está hecha la caja es de 278 centímetros cuadrados. Expresa el volumen de la caja en

término de x.

a. 4

278 3xxxf c.

4

278 2xxxf

b. x

xxxf

4

278 3

d. x

xxxf

4

278 2


Planilla de especificaciones

Pre y Post- prueba

Destrezas Ejercicio(s) Memoria Comprensión Aplicación

1. Determinar en un conjunto de

pares ordenados si representa una

función

#1 1

2. Identificar la gráfica que

representa una función dada

#2 1

3. Evaluar funciones #3, 4, 7 3

4. Determinar el dominio de una

función

#5, 6, 18 3

5. Determinar la gráfica de una

función dada

#8, 15 2

6. Determinar la función de una

gráfica dada

#16 1

7. Expresar en forma estándar

una cuadrática

#9 1

8. Operaciones con funciones #10,11,

12 ,13, 14

5

9. Identificar el centro y el radio

de un círculo dada la ecuación en

su forma estándar

#17 1

10. Resolver equivalencias entre

funciones

#19 1

11Resolver f(x)=0- #20 1

12 Aplicación #21, 22 2


Clave

Pre-prueba Post-prueba

1 a 1 d

2 b 2 c

3 d 3 b

4 a 4 a

5 c 5 c

6 c 6 c

7 d 7 d

8 a 8 a

9 c 9 c

10 b 10 a

11 a 11 a

12 b 12 b

13 b 13 b

14 c 14 c

15 a 15 c

16 d 16 c

17 a 17 a

18 a 18 a

19 a 19 a

20 c 20 c

21 b 21 b

22 a 22 a


Apéndice C

Validación de Contenido de la Pre y Post-prueba


UNIVERSIDAD METROPOLITANA

ESCUELA DE EDUCACIÓN

PROGAMA DOCTORAL

20 de julio de 2011.

Estimado(a) colega:

Soy Francisco Medina Rivera, estudiante del programa doctoral en Educación de la

Universidad Metropolitana. Me encuentro en la etapa de redacción de mi propuesta doctoral

titulada: Efectos del uso de los Mapas Conceptuales como estrategia de enseñanza en el

desarrollo de conceptos y en el aprovechamiento académico en el tema de función en un curso de

Precálculo en una universidad privada. El diseño de esta propuesta es de métodos combinados y

se utilizarán varios instrumentos para la recopilación de datos. En esta ocasión le estoy

solicitando colabore con este servidor en calidad de experto para validar el contenido y la

redacción de los mismos.

Agradeceré su contribución a la mejoría de los instrumentos dedicando tiempo y

ofreciendo la evaluación de cada documento solicitado. De ser posible respetuosamente le

solicito recibir el insumo de sus recomendaciones lo antes posible para poder incorporar sus

observaciones y presentar el instrumento en la defensa debidamente validado por expertos.

Atentamente,

Francisco Medina Rivera PhD(c)

Estudiante nivel doctoral:


A continuación se presenta un esquema para facilitar el análisis de la pre y posprueba.

Haga una marca de cotejo en la columna correspondiente para indicar si el ítem corresponde o

no corresponde a la destreza a medirse en la prueba. Además, se provee una columna para que

exprese, de ser necesario, alguna recomendación en cuanto a la redacción o contenido del ítem.

Es un requisito para este servidor que se entregue por escrito sus observaciones al instrumento

junto a un resumé donde indique su preparación, experiencia y especialidad. Posterior al

esquema para facilitar el análisis encontrará el instrumento.


PLANILLA PARA FACILITAR EL ANÁLISIS

TEMA: FUNCIÓN

La siguiente planilla de análisis presenta los temas o destrezas relacionadas con el concepto

de función y los ítemes relacionados. Haga una marca de cotejo en la columna correspondiente

para indicar si el ítem corresponde o no corresponde al tema o destreza a medirse. Además, se

provee una columna para que exprese, de considerarlo necesario, alguna recomendación en

cuanto a la redacción, contenido del ítem o la certeza de su medición.

Tema o destreza Items Corresponde No corresponde Observaciones y

recomendaciones

Determinar en

un conjunto de

pares

ordenados

representa una

función

1

Identificar la

gráfica que

representa una

función dada.

2

Evaluar

funciones

3

4

7

Determinar el

dominio de una

función

5

6

18

Determinar la

gráfica de una

función dada

8

15

Determinar la

función de una

gráfica dada

16

Expresar en

forma estándar

una cuadrática

9

Operaciones

con funciones

10

11

12

13

14

Identificar el


centro y el radio

de un círculo

dada la

ecuación en su

forma estándar

17

Resolver

equivalencias

entre funciones

19

Resolver f(x)=0 20

Aplicación 21

22

Sugerencias y recomendaciones adicionales

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Nombre del (la) evaluador(a)____________________________________________

Firma______________________________________________________________

Fecha:______________________________________________________________


Apéndice D

Instrumento Inventario de Opinión




Área de Matemáticas

Número de estudiante______________________ Fecha_____________________

Math. 151 Sección___________________

Inventario de Opinión

Sobre enseñanza de conceptos

El siguiente inventario tiene el propósito de conocer tu opinión sobre la enseñanza del tema

de función en tu curso de Precálculo. Las respuestas que ofrezcas, me servirán para

incorporar cambios en la administración del curso en futuras ocasiones, de manera que

facilite un mejor entendimiento de los temas a desarrollarse. Por lo tanto, agradeceré que

seas lo más honesto (a) en tus respuestas, ya que serán tratadas de forma confidencial.

I. En las preguntas del 1 al 3 traza un cerco alrededor de la alternativa que mejor

representa tus datos personales o situación:

1. Edad:

A) menos de 16 años

B) 16 – 20 años

C) 21 – 25 años

D) 26 – 30 años

E) más de 30 años

2. Años de estudio en la universidad:

A) primero

B) segundo

C) tercero

D) cuarto quinto

E) otro

3. Concentración:

A) Biología

B) Biología Celular Molecular

C) Ciencias Ambientales

D) Ciencias de Cómputos

E) Biomatemática

F) Química

G) Ventas y Distribución de productos farmacéuticos

H) Otras


II. Selecciona en la siguiente escala la premisa que de acuerdo a tu apreciación describe

la forma o manera que te enseñaron el tema de función en tu curso de Precálculo. Si

consideras que alguna premisa NO aplica, te agradeceré la dejes en blanco.

Premisa Totalment

e de

acuerdo

(5)

De acuerdo

(4)

Indeciso

(3)

En

desacuerdo

(2)

En total

desacuerdo

(1)

1. Se creó un

ambiente en

el salón de

clases que

invitó al

aprendizaje.

2. El

vocabulario

que usó el (la)

profesor(a)

facilita la

comprensión

del concepto

bajo estudio.

3. Se presentó el

concepto

generador en

forma clara.

4. Se entendían

las

explicaciones

del (la)

profesor (a) al

presentar el

concepto de

función

5. Se permitió la

participación

de los

estudiantes en

su proceso de

aprender un

concepto.


6. Se estimuló a

los

estudiantes a

la exploración

de conceptos.

7. Se invitó a los

estudiantes a

que

explorarán

sobre los

conceptos

relacionados

con los

conceptos

menores en el

tema de

función

presentada en

clase.

8. Se aclararon

las dudas de

los

estudiantes

durante la

clase.

9. Se fomentó

que el

estudiante

ofreciera sus

opiniones en

la clase.

10. Se respetaban

las opiniones

de los

estudiantes.

11. Se ofreció

tiempo para

la

clasificación

de los

conceptos.

12. Se permitió

que los

estudiantes

justificaran


sus

clasificaciones

de los

conceptos

bajo estudio.

13. Se

clasificaron

los conceptos

de lo general

a lo

específico.

(Método

deductivo)

14. Se permitió a

los

estudiantes

presentar los

conceptos de

mayor

importancia a

los de menor

importancia.

15. El profesor

modeló el

proceso de

construcción

de un mapa

conceptual.

16. Se invitó a los

estudiantes a

preparar un

mapa

conceptual

según sus

experiencias

de

aprendizaje.

17. Se ofreció la

oportunidad

de que los

estudiantes

presentaran y

justificaran

sus mapas


conceptuales.

18. Se presentó la

integración de

conceptos

mediante

discusión en

las clases.

19. Se invitó al

estudiante a

preparar lista

de conceptos

relacionados

con el

concepto

generador.

20. Se invitó al

estudiante a

utilizar un

material

impreso para

preparar los

mapas

conceptuales.


Apéndice E

Validación del Contenido del Inventario de Opinión




PROGAMA DOCTORAL


Estimado(a) colega:

Soy Francisco Medina Rivera, estudiante del programa doctoral en educación de la








Agradeceré su contribución en la revisión de los instrumentos dedicando tiempo y

ofreciendo las recomendaciones que considere pertinente, y una evaluación de cada documento

incluido. De ser posible, respetuosamente le solicito recibir su insumo lo antes posible para

poder incorporar sus observaciones y presentar el instrumento en la defensa debidamente

validado por expertos.

Atentamente,


Estudiante doctoral:


A continuación se presenta un esquema para facilitar el análisis del instrumento de

Inventario de Opinión. Haga una marca de cotejo en la columna correspondiente para indicar si

las premisas corresponden o no corresponden a la premisa que representa la posible opinión

del estudiante. Además, se provee una columna para que exprese, de ser necesario, alguna

recomendación en cuanto a la redacción o contenido de las premisas. Esto es un requisito para

este servidor que se entregue por escrito sus observaciones al instrumento junto a un resumé

donde indique su preparación, experiencia y especialidad. Posterior al esquema para facilitar el

análisis encontrará el instrumento.


PLANILLA PARA FACILITAR EL ANÁLISIS

TEMA: FUNCIÓN

La siguiente planilla de análisis presenta las premisas a las posibles opiniones de los

estudiantes sobre el proceso de conceptualización. Haga una marca de cotejo en la columna

correspondiente para indicar si la premisa corresponde o no corresponde a una posible opinión

del estudiante sobre las presentaciones en clases sobre los conceptos que amplían el tema de

función. Además, se provee una columna para que exprese, de considerarlo necesario, alguna

recomendación en cuanto a la redacción, contenido de la premisa o la certeza de su medición.

Premisa

Corresponde

No

corresponde

Observaciones y

recomendaciones

1. Se creó un ambiente en

el salón de clases que

invitó al aprendizaje.

2. El vocabulario que usó

el (la) profesor(a)

facilita la comprensión

del concepto bajo

estudio.

3. Se presentó el concepto

generador en forma

clara.

4. Se entendían las

explicaciones del (la)

profesor (a). al

presentar el concepto

de función

5. Se permitió la

participación de los

estudiantes en su

proceso de aprender un

concepto.

6. Se estimuló a los

estudiantes a la

exploración de

conceptos.

7. Se invitó a los

estudiantes a que

explorarán sobre los

conceptos menores en

el tema de función

presentada en clase.


8. Se aclararon las dudas

de los estudiantes

durante la clase.

9. Se fomentó que el

estudiante ofreciera

sus opiniones en la

clase.

10. Se respetaban las

opiniones de los

estudiantes.

11. Se ofreció tiempo para

la clasificación de los

conceptos.

12. Se permitió que los

estudiantes justificaran

sus clasificaciones de

los conceptos bajo

estudio.

13. Se clasificaron los

conceptos de lo general

a lo específico.

(Método deductivo)

14. Se permitió a los

estudiantes presentar

los conceptos de mayor

importancia a los de

menor importancia.

15. El profesor modeló el

proceso de

construcción de un

mapa conceptual.

16. Se invitó a los

estudiantes a preparar

un mapa conceptual

según sus experiencias

de aprendizaje.

17. Se ofreció la

oportunidad de que los

estudiantes

presentaran y

justificaran sus mapas


conceptuales.

18. Se presentó la

integración de

conceptos mediante

discusión en las clases.

19. Se invitó al estudiante

a preparar lista de

conceptos relacionados

con el concepto

generador.

20. Se invitó al estudiante

a utilizar un material

impreso para preparar

los mapas

conceptuales.

Recomendaciones adicionales:____________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Firma del experto________________________________ fecha:_______________


Apéndice F

Manual del Facilitador del Grupo Experimental





Guía del (la) profesor(a) a cargo del grupo experimental

Preparado por

Francisco Medina Rivera, PhD (c)

Fecha: 20 de julio de 2011


GUÍA DEL (LA) PROFESOR(A) PARA ATENDER EL GRUPO EXPERIMENTAL EN

EL DESARROLLO DEL ESTUDIO

Introducción

El propósito de esta guía es describirle al (la) profesor (a) los procedimientos que se van a

utilizar con los estudiantes que participarán en el grupo experimental. Este grupo recibirá el

tratamiento de la incorporación del uso de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza

para la enseñanza del tema de funciones en un curso de Precálculo a nivel universitario. La guía

específica el tema, los objetivos, conceptos, tiempo y el procedimiento que requiere el desarrollar

cada actividad en el transcurso de la investigación. La clasificación de los conceptos en esta guía

serán presentados como concepto generador para referirse a la idea central de un contexto

matemático de función y conceptos menores a aquellos que están subordinados a la idea central,

permitiendo ampliar y enriquecer el concepto generador. La intervención tendrá una duración de

ocho (8) semanas aproximadamente. A nivel institucional se estableció permitir el uso de la

calculadora científica en los cursos de Precálculo. Previo al inicio de la intervención, el (la)

profesor (a) recibirá de parte del investigador una orientación sobre la construcción de mapas

conceptuales, la presentación en el desarrollo de cada clase y la discusión socializada en los

repasos.

Objetivo del Estudio

El objetivo de este estudio es investigar el efecto del uso de los mapas conceptuales como

estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos de función y en el aprovechamiento

académico en el tema de función en estudiantes de un curso de Precálculo en una universidad

privada. Se utilizará la investigación de Métodos Mixtos en fases paralelas con un diseño de

triangulación por la complejidad que presenta el objetivo del estudio. Esta investigación consiste


en recopilar datos cualitativos y cuantitativos simultáneamente para analizar los puntos de

semejanzas y diferencias. (Creswell y Plano, 2007, 2011). Los estudiantes del grupo

experimental estarán inmersos en actividades de construcción de mapas conceptuales. Además

los estudiantes y el (la) profesor (a), a través de la intervención, estarán describiendo el proceso

de conceptualización para luego expresar sus percepciones al respecto.

Fases o etapas de desarrollo de la investigación.

Este estudio constará de seis (6) etapas o fases. A continuación se describen los

elementos incluidos en cada una de ellas.

Fase I: Boleto de entrada y Pre-prueba

El (la) profesor(a) del curso administrará el boleto de entrada durante la primera clase. El

propósito del boleto es diagnosticar el conocimiento que tienen los estudiantes del contenido de

los temas a discutirse. Este se administrará en la primera clase y tendrá una duración de 60

minutos. En el segundo día el (la) profesor(a) del curso administrará la preprueba de selección

múltiple que tendrá 60 minutos de duración. Ambos instrumentos utilizados serán validados con

anticipación en un estudio piloto. Luego de administrados el investigador pasará a recogerlos

para su corrección, interpretación y análisis.

Fase II: Experiencias de desarrollo de conceptos:

Se llamará experiencias de desarrollo de conceptos al conjunto de actividades presentadas

por el (la) profesor(a) para que el estudiante domine el concepto de función y pueda construir un

mapa conceptual sobre el concepto de función. Estas experiencias serán presentadas por partes

según los conceptos menores que amplían el concepto generador de función. La primera parte

(forma A) presentará la definición de función y su notación. La segunda parte (forma B) se

dedicará a la representación gráfica de las funciones. La tercera parte (forma C) considerará las


combinaciones con funciones y la cuarta parte (forma D) se integrará las tres partes mencionadas

anteriormente. Se utilizará el siguiente modelo para la presentación de cada actividad de las

experiencias de desarrollo de conceptos.

A. Exploración

1. Inicia la clase con la discusión de la asignación del día anterior. (conexiones)

2. Mediante un conversatorio se solicita al estudiante a describir los conceptos previos y

los conceptos que están relacionados con el tema del día.

B. Conceptualización

1. Mediante discusión socializada entre el estudiante y el (la) profesor(a) se presentarán

los conceptos a desarrollarse en la clase del día.

2. Luego de clarificados los conceptos menores se invitará al estudiante a presentar la

relación entre los conceptos.

3. Continúa el análisis de los conceptos al estudiante presentar el orden jerárquico que

representará en el mapa conceptual. El (la) profesor(a) facilitará o guiará al alumno a

este establecimiento de conceptos generadores y menores, según sea cada caso.

4. La aplicación de estos conceptos están en la guía temática en la columna de ejercicios

sugeridos. El propósito es que el estudiante muestre dominio de los ejercicios y

problemas presentados en la guía temática. Este documento se le entrega a cada

estudiante y aparece al final de esta guía.

C. Aplicación: El estudiante construirá el mapa conceptual y defenderá su posición por

medio de argumentos que justifiquen el diseño que presenta como resultado del

desarrollo de las actividades de las experiencias de desarrollo de conceptos.


Finalizada cada una de las cuatro (4) experiencias de desarrollo de conceptos, el (la)

profesor (a) administrará a los estudiantes la actividad de práctica correspondiente a cada tema.

Luego el investigador pasará a recopilar las respuestas de los estudiantes a las actividades de

práctica para realizar el análisis pertinente mediante el uso de una rúbrica producida por el

investigador y validada por un grupo de expertos.

El investigador estará a cargo de la supervisión del proceso de la administración del

tratamiento. El investigador se reunirá por lo menos una vez a la semana con el (la) profesor(a)

que administre el tratamiento para dialogar sobre cualquier duda que tenga sobre el desarrollo de

la intervención.

Fase III Boleto de salida y Post Prueba

El (la) profesor(a) del curso administrará el boleto de salida durante la penúltima clase.

Esta actividad tendrá una duración de 60 minutos. Al otro día el (la) profesor(a) del curso

administrará la post-prueba. Esta actividad tendrá una duración de 60 minutos. Los

instrumentos utilizados serán validados con anticipación en un estudio piloto. Luego de

administrados, el investigador pasará a recogerlos para su corrección, interpretación y análisis.

Fase IV Inventario de Opinión

El jueves de la sexta semana de tratamiento el investigador administrará un instrumento

conocido como el Inventario de Opinión. En este instrumento los estudiantes del grupo

experimental ofrecerán su opinión sobre su proceso de conceptualización como consecuencia de

haber pasado por las experiencias de desarrollo de conceptos.

Fase V Grupo focal

El jueves de la séptima semana de administrarse el tratamiento se celebrará con los

estudiantes dos entrevistas de grupo focal el mismo día, una con el grupo experimental y la otra


con el grupo de comparación. En esta actividad se solicitará a los estudiantes que expresen su

percepción del desarrollo de los procesos de enseñanza en los que participaron. Esta actividad

será facilitada por el investigador y un asistente de investigación en ambos grupos y tendrá una

duración aproximada de 90 minutos. Un grupo será citado en la mañana y el otro en la tarde.

Fase VI. Criterios a considerar de los (las) profesores (as) participantes en el estudio

entrevistas a los (las) profesores (as)

El investigador invitará a los (las) profesores(as) a pasar por una entrevista al finalizar el

estudio donde estos expresen su sentir de la investigación: considerando el manejo en la sala de

clases y la percepción de los estudiantes hacia la clase, su participación, la investigación y la

participación del (la) profesor (a).

● hoja de observaciones

En el caso de los (las) profesores(as) que facilitan el curso se solicitará al finalizar el

estudio que llenen una hoja de observaciones preparada por el investigador para exponer los

aspectos relevantes y pertinentes que ocurran mientras los estudiantes participan de la

investigación

Se ofrecerán visitas de seguimiento realizadas por el investigador para ofrecer

seguimiento a las orientaciones ofrecidas a los profesores participantes.

Tablas para realizar las experiencias de desarrollo de conceptos (Tablas 1-4)

En esta Tablas se presentará el tema, el objetivo, los conceptos y el tiempo que se

requiere para realizar las experiencias de desarrollo de conceptos. La finalidad de cada una de

estas experiencias es la construcción de un mapa conceptual. Toda construcción de un mapa

conceptual se basa en un contexto. En este estudio se seleccionó el concepto generador de


función en matemática y se utilizará como fuente primaria el libro de Larson (2011),

Precalculus, Eighth Edition.

Tabla 1

La definición del concepto de función

Primera experiencia del desarrollo de conceptos

Tema(s) Objetivo(s) Conceptos Tiempo

Funciones Determinar si la

relación entre dos

variables son

funciones

función, dominio o

campo de valores,

variable

independiente,

variable

dependiente

60 minutos

(una clase)

Utilizar la notación

de funciones

Entrada (x), salida

f(x)

30 minutos

(media clase)

Evaluar funciones Verbal, numérica,

gráfica, algebraica,

cociente diferencial

90 minutos

(clase y media)

Determinar el

dominio de una

función dada

Dominio implícito

o restricciones del

dominio

60 minutos

(una clase)

Resolver problemas

del diario vivir

aplicación 180 minutos

(tres clases)

Ejercicios de

práctica A,

Forma E

Evaluar el dominio

de conceptos,

mediante el uso de

mapas conceptuales

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos

(una clase)


Tabla 2

Gráficas de funciones

Segunda experiencia de desarrollo de conceptos


Gráficas de

funciones

Determinar el

dominio y alcance

en una gráfica de

una función

Función. Dominio,

alcance o campo de

valores, gráfica

90 minutos

(clase y media)

Utilizar la prueba

de la recta vertical

para determinar si

es la gráfica de una

función

Prueba de la recta

vertical

30 minutos

(media clase)

Determinar los

ceros de una

función

Ceros de la función 90 minutos

(clase y media)

Determinar si la

gráfica de una

función es

constante, creciente

o decreciente

Gráfica constante,

creciente,

decreciente

90 minutos

( clase y media)

Determinar los

puntos máximos

relativos y mínimos

relativos en una

gráfica de una

función

Máximo relativo,

mínimo relativo

90 minutos

(clase y media)

Determinar si una

función es par,

impar o ninguna

Función par,

función impar

30 minutos

(media clase)

Transformaciones

de funciones

Utilizar las

transformaciones de

gráficas

Trasformaciones,

reflejo, traslado

180 minutos

(tres clases)

Ejercicios de

práctica B,

Forma E

Evaluar el dominio

de conceptos,

mediante el uso de

una mapa

conceptual

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos de una

clase


Tabla 3

Combinaciones con funciones

Tercera experiencia de desarrollo de conceptos


Combinaciones con

funciones

Dado dos funciones

definidas se

efectuará las

combinaciones

entre ellas

combinación 60 minutos

(una clase)

Sumar funciones suma 60 minutos

(una clase)

Restar funciones diferencia 60 minutos

(una clase)

Multiplicar

funciones

multiplicación 60 minutos

(una clase)

Dividir funciones división 60 minutos

(una clase)

Composición de

funciones

Composición de

(f о g) =f(g )

30 minutos

(media clase)

Composición de

funciones

(g о f) = g(f ) 30 minutos

(media clase)

Ejercicios de

práctica C,

Forma E

Evaluar el dominio

de conceptos,

mediante el uso de

un mapa conceptual

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos

(una clase)


Tabla 4

Integración de conceptos (aplicaciones)

Cuarta experiencia de desarrollo de conceptos


Funciones Determinar la

relación y orden de

jerarquía entre

funciones y gráficas

y combinaciones de

ellas

Todos los

conceptos

expuestos en la

primera experiencia

30 minutos

(media clase)

Gráficas de

funciones

Determinar la


jerarquía entre

gráficas de

funciones,

funciones y

combinaciones de

ellas

Todos los

conceptos

expuestos en la

segunda

experiencia

30 minutos

(media clase)

Combinaciones con

funciones

Determinar la


jerarquía entre

combinaciones de

funciones,

funciones y sus

gráficas

Todos los

conceptos

expuestos en la

tercera experiencia

30 minutos

(media clase)

Funciones, Gráficas

de funciones,

Combinaciones con

funciones

Determinar la


jerarquía entre los

tres conceptos

expuestos

anteriormente y su

relación con el

concepto generador

de función

La integración con

todo el contenido

de lo expuesto en

las tres experiencias

anteriores

60 minutos

(media clase)

Ejercicios de

práctica D,

Forma E

Evaluar el dominio

de conceptos

integrados,

mediante el uso de

un mapa conceptual

Todos los

expuestos

anteriormente

90 minutos de una

clase



Departamento de Ciencias y Tecnología


Guía Temática de Estudio

El tema de función se ubica después que los estudiantes pasan por la experiencia del tema:

Los números reales y sus propiedades.

Luego se desarrolla el concepto generador de función. A continuación se presenta una tabla

donde se expresa la temática a considerar en el desarrollo del concepto de función. Esta Tabla

está alineada a la guía de estudio del curso de Math 151 y a la guía de estudio del curso.

Curso: Math 151 Precálculo

Texto: Precalculus, (2011) –Eighth Edition – Brooks/Cole

Autores: Ron Larson

Preparado por: Prof. Francisco Medina Rivera Primer Semestre 2012-01

Tabla #5

Guía de estudio (adaptada)

Sección Temas Explicación Ejercicios

Boleto de Entrada

Pre-prueba

Páginas Páginas / Ejercicios

T= todos I= impares

1.4 Función 39-47 48 / 1-14 T

49 / 25-36 T, 37-55 I

50 / 56-70 T, 71-82 T,

53/ 103-110 T,

50/ 87-89 T,

51/91,

52 / 101

Introducción 39

Definición 39-41

Notación 41-42

Evaluación 42-43

Dominio 44

Aplicación 45

Ej. 8 45

Ej. 9 45

Cociente diferencial 46-47

Repaso – Discusión Socializada en el grupo de comparación. Construcción de un

mapa conceptual en el grupo experimental (Actividad A)

1.5 Analizando gráficas de función 54-60 61 / 1-8T,9-12 I, 9-

19 I,

62 / 21-45 I, 47-55

I,

63 / 39-48 I, 83-90

T.

Gráfica de función 54

Determinando el dominio y el

campo de valores de una función

54

Prueba de la recta vertical para

determinar si es función

55

Ceros de la función

Funciones crecientes ,decrecientes

y constantes

56

57


Máximo y mínimo relativo 58

Funciones pares o impares 60

1.2 Incorporar el círculo 19 22 / 69-81 I

Repaso – Discusión socializada en el grupo de comparación. Construcción de un

mapa conceptual en el grupo experimental

(Actividad B)

1.6 Familias de funciones básicas 66-70 71 / 1-10 T, 11-18

T, 43-49 I,

57-61 T

72 / 62-64 T

Función

Lineal 66

Cuadrática 67

Cúbica 68

Con radicales 68

Con expresión racional (recíprocas) 68

Por parte o a pedazo 69

1.7 Transformaciones de funciones

(gráficas)

73-77 78 / 1-6 T

79 / 15-19 T

80 / 21-24 T, 25-53

I, 63-66 T. Traslado 73-74

Reflejo 75-77

La sección 1.6 y la 1.7 presentan

(temas íntimamente relacionados)

Repaso - Discusión socializada en el grupo de comparación. Construcción de un

mapa conceptual en el grupo experimental.

(Actividad C)

Unión 1.6 y 1.7 1.8 Combinaciones aritméticas de

funciones y composición de

funciones

83-87 88/ 1-4 T, 9-27 I,

29-32 T,

37-40 T, 41 y 42 T,

89/ 43-48 T,

90 / 70

91 / 73,75

Combinaciones aritméticas de

funciones

83

Suma de dos funciones 83

Diferencia entre dos funciones 84

Producto de dos funciones 84

Cociente entre dos funciones 84

Composición de funciones 85,86

Aplicación 87



(Actividad D)

Boleto de Salida y Post Prueba


Boleto de Entrada

Pre-prueba


T= todos I= impares

1.4 Función 39-47 48 / 1-14 T

49 / 25-36 T, 37-55 I Introducción 39


Definición 39-41 50 / 56-70 T, 71-82 T,

53/ 103-110 T,

50/ 87-89 T,

51/91,

52 / 101

Notación 41-42

Evaluación 42-43

Dominio 44

Aplicación 45

Ej. 8 45

Ej. 9 45





19 I,

62 / 21-45 I, 47-55

I,

63 / 39-48 I, 83-90

T.




54



55



y constantes

56

57






(Actividad B)


T, 43-49 I,

57-61 T

72 / 62-64 T

Función

Lineal 66

Cuadrática 67

Cúbica 68

Con radicales 68




(gráficas)

73-77 78 / 1-6 T

79 / 15-19 T

80 / 21-24 T, 25-53

I, 63-66 T. Traslado 73-74

Reflejo 75-77





(Actividad C) Unión 1.6 y 1.7

1.8 Combinaciones aritméticas de 83-87 88/ 1-4 T, 9-27 I,



funciones

29-32 T,

37-40 T, 41 y 42 T,

89/ 43-48 T,

90 / 70

91 / 73,75


funciones

83






Aplicación 87



(Actividad D)

Boleto de Salida y Pos Prueba





Núm estudiante__________________________ fecha_______________________

Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte A)

I. Determina si es o no función y explique por qué.

1) , , 0 , , 0 , A ______B= 0 , 0 , 3 , 1, 2 , 2, 2 , 1 _______

II. Determine el dominio de:

1) 6

)(2 xx

xxh 2) 37xy 3) 63xxf

III. Evalúa cada función según solicitado:

1) f(x) = 3

2

x , f(8) y f(-1)

2) Sea f(x) = 5x – 3, x ≥ 1

6x2 – 1, x < 1

a) f(0) b) f(2) c) f(½)






Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte B)

I. Utiliza la prueba de las rectas verticales para determinar si la gráfica representa una función o

no.

II. Determina la ecuación estándar de un círculo cuyos puntos extremos del diámetro son (-4, -

1) y (4, 1).

III. Traza la gráfica de: (Utilizando papel cuadriculado).

1) 2)1( 3xy 2) xxg 1)(

3) 4)3()( 2xxh 4) )(xf ,1

,73

2x

x

3

3

x

x






Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte C)

Efectúa la operación indicada y luego determina el dominio de la nueva función.

Sea ,3)( 2xxf3

1

xxg y 7xxh , determina

1) 2gf 2) xfg

3) xfg 4) xf

xh

5) xgf 6) xhg


Nota:

Los 600 minutos restantes para cumplir con las 8 semanas

aproximadas están distribuidas de la siguiente manera:

Actividad Descripción o

propósito

Tiempo aproximado

Boleto de entrada Pre-prueba

(cualitativa)

60 minutos

Pre-prueba Pre-prueba

(cuantitativa)

60 minutos

Repaso actividad

A

Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica A

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad

B

Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica B

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad

C

Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica C

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad

D

Discusión

socializada

90 minutos

Boleto de salida Pos prueba

(cualitativa)

60 minutos

Pos prueba Pos prueba

(cuantitativa)

60 minutos

Total 600minutos

* Se administrará después de cada actividad de repaso (Discusión

socializada) y antes del estudiante pasar a las actividades de práctica A,

B y C. Los resultados de estos ejercicios de práctica se a administrarse

por 30 minutos añadirán al análisis cuantitativo.


Apéndice G

Manual del Facilitador del Grupo de Comparación





Guía del (la) profesor(a) a cargo del grupo de comparación

Preparado por

Francisco Medina Rivera, PhD, (c)


Fecha: 20 de julio de 2011

GUÍA DEL (LA) PROFESOR(A) PARA ATENDER EL GRUPO DE COMPARACIÓN

EN EL DESARROLLO DEL ESTUDIO

Introducción

El propósito de esta guía es describirle al (la) profesor (a) los procedimientos que se van a

utilizar con los estudiantes que participarán en el grupo de comparación en el desarrollo de este

estudio. Este grupo recibirá el tratamiento de las estrategias de enseñanza tradicional en un curso

de Precálculo a nivel universitario. Entiéndase por tradicional el uso del libro de texto, marcador

mágico o tiza, borrador, calculadora científica y pizarra. La guía especifica los temas, objetivos,

conceptos y el tiempo que requiere el desarrollar cada actividad con el grupo de comparación en

el transcurso de la investigación. La intervención tendrá una duración de ocho (8) semanas

aproximadamente. A nivel institucional se estableció permitir el uso de la calculadora científica

en los cursos de Precálculo. Previo al inicio de la intervención, el (la) profesor (a) recibirá de

parte del investigador una orientación sobre la presentación en el desarrollo de cada clase y la

discusión socializada de los repasos.

Objetivo

El objetivo de esta guía es el de ofrecer al (la) profesor (a) una orientación para el

desarrollo de las actividades de experiencias de aprendizaje en la sala de clase en un curso de

Precálculo en una universidad privada para el grupo de comparación.

Fases o etapas de desarrollo de las experiencias en la sala de clase del curso de Precálculo.

Esta guía consta de seis (6) etapas o fases. A continuación se describen los elementos

incluidos en cada una de ellas.


Fase I: Boleto de entrada y Pre-prueba

El (la) profesor(a) del curso administrará el boleto de entrada durante la primera clase. El

propósito del boleto es diagnosticar el conocimiento que tienen los estudiantes del contenido de

los temas a discutirse. Este se administrará en la primera clase y tendrá una duración de 60

minutos. En el segundo día el (la) profesor(a) del curso administrará la preprueba de selección

múltiple que tendrá 60 minutos de duración. Ambos instrumentos utilizados serán validados con

anticipación en un estudio piloto. Luego de administrados el investigador pasará a recogerlos

para su corrección, interpretación y análisis.

Fase II: Experiencias de desarrollo de conceptos:

Se llamará experiencias de desarrollo de conceptos al conjunto de actividades presentadas

por el (la) profesor(a) para que el estudiante domine el concepto de función y pueda construir un

mapa conceptual sobre el concepto de función. Estas experiencias serán presentadas por partes

según los conceptos menores que amplían el concepto generador de función. La primera parte

(forma A) presentará la definición de función y su notación. La segunda parte (forma B) se

dedicará a la representación gráfica de las funciones. La tercera parte (forma C) considerará las

combinaciones con funciones y la cuarta parte (forma D) se integrará las tres partes mencionadas

anteriormente. Se utilizará el siguiente modelo para la presentación de cada actividad de las

experiencias de desarrollo de conceptos.

A. Exploración

1. Inicia la clase con la discusión de la asignación del día anterior. (conexiones)


2. Mediante un conversatorio el (la) profesor(a) y los estudiantes clarificarán el

vocabulario (conceptos) presentado en esta sección y asociarán las ideas

fundamentales con las ideas que enriquecen estas medulares.

B. Conceptualización

1. Mediante discusión socializada entre el estudiante y el (la) profesor(a) se presentarán

los temas (conceptos) a desarrollarse en la clase del día

2. El maestro presentará situaciones de ejercicios concretos y abstractos donde se

relacionen las ideas fundamentales bajo estudio (conceptos) y los estudiantes

reaccionen críticamente a las mismas.

3. El (la) profesor(a) en su papel de guía o facilitador presentará en forma gradual y

sistemática la relación de los diferentes temas (conceptos) utilizando el método

deductivo y el estudiante expresará la jerarquía entre los temas (conceptos) primarios

y secundarios.

4. La aplicación de estos temas (conceptos) están en la guía temática en la columna de

ejercicios sugeridos. Este documento se le entrega a cada estudiante y aparece al

final de esta guía.

C. Aplicación

El estudiante presentará un trabajo visual, esquemático, descriptivo o con el recurso

que estime pertinente relacionando las ideas principales (concepto generador) y las

ideas secundarias (conceptos menores) en las conexiones con el tema medular de

función y defenderá su posición por medio de argumentos que justifican el diseño que

presenta.


Finalizada cada una de las cuatro (4) experiencias de desarrollo de temas (conceptos), el

(la) profesor (a) administrará a los estudiantes la actividad de práctica correspondiente a cada

tema. Luego el investigador pasará a recopilar las actividades de práctica para realizar el análisis

pertinente mediante el uso de una rúbrica producida por el investigador y validada por un grupo

de expertos.

El investigador estará a cargo de la supervisión del proceso de la administración del

tratamiento. El investigador se reunirá por lo menos una vez a la semana con el (la) profesor(a)

que administre el tratamiento para dialogar sobre cualquier duda que tenga sobre el desarrollo de

la intervención.

Fase III: Boleto de salida y Pos Prueba

El (la) profesor(a) del curso administrará el boleto de salida durante la penúltima clase.

Esta actividad tendrá una duración de 60 minutos. Al otro día el (la) profesor(a) del curso

administrará la post-prueba. Esta actividad tendrá una duración de 60 minutos. Los

instrumentos utilizados serán validados con anticipación en un estudio piloto. Luego de

administrados, el investigador pasará a recogerlos para su corrección, interpretación y análisis.

Fase IV: Grupo focal

El jueves de la séptima semana de administrarse el tratamiento se celebrará con los

estudiantes dos entrevistas de grupo focal el mismo día, una con el grupo experimental y la otra

con el grupo de comparación. En esta actividad se solicitará a los estudiantes que expresen su

percepción del desarrollo de los procesos de enseñanza en los que participaron. Esta actividad

será facilitada por el investigador y un asistente de investigación y tendrá una duración

aproximada de 90 minutos en ambos grupos. Un grupo será citado en la mañana y el otro en la

tarde.


Fase V: Criterios a considerar de los profesores participantes

entrevistas a profesores(as)

El investigador invitará a los (las) profesores(as) a pasar por una entrevista al finalizar el

estudio donde estos expresen su sentir de la experiencia: considerando el manejo en la sala de

clases y la percepción de los estudiantes hacia la clase, su participación y la participación del (de

la) profesor (a).

● hoja de observaciones

En el caso de los (las) profesores(as) que facilitan el curso se solicitará al finalizar el

estudio que llenen una hoja de observaciones preparada por el investigador para exponer los

aspectos relevantes y pertinentes que ocurran mientras los estudiantes participan de la

experiencia.

Se realizarán visitas a la sala de clases para ofrecer seguimiento a las orientaciones

ofrecidas a los profesores participantes. Tablas para realizar las experiencias de desarrollo de los

temas (conceptos) - (Tablas1-4).

En esta tabla se presentará el tema, el objetivo, los conceptos y el tiempo que se requiere

para realizar las experiencias de desarrollo de conceptos. La finalidad de cada una de estas

experiencias es la elaboración de una definición amplia que presente el Tema (concepto) de

función como generador y los temas subordinados (conceptos menores). Se utilizará como texto

el libro de Larson (2008), Precalculus, Seventh Edition.


Tabla 1

La definición del concepto de funciones

Primera experiencia de desarrollo de conceptos


Funciones Determinar si la

relación entre dos

variables son

funciones

función, dominio o

campo de valores,

variable

independiente,

variable

dependiente

60 minutos

(una clase)

Utilizar la notación

de funciones

Entrada (x), salida

f(x)

30 minutos

(media clase)

Evaluar funciones Verbal, numérica,

gráfica, algebraica,

cociente diferencial

90 minutos

(clase y media)

Determinar el

dominio de una

función dada

Dominio implícito

o restricciones del

dominio

60 minutos

(una clase)

Resolver problemas

del diario vivir

aplicación 180 minutos

(tres clases)

Ejercicios de

práctica A,

Forma C

Evaluar el dominio

de conceptos en

forma descriptiva o

esquemática

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos

(una clase)


Tabla 2

Gráficas de funciones

Segunda experiencia de desarrollo de conceptos


Gráficas de

funciones

Determinar el

dominio y alcance

en una gráfica de

una función

Función. Dominio,

alcance o campo de

valores, gráfica

90 minutos

(clase y media)

Utilizar la prueba

de la recta vertical

para determinar si

es la gráfica de una

función

Prueba de la recta

vertical

30 minutos

(media clase)

Determinar los

ceros de una

función

Ceros de la función 90 minutos

(clase y media)

Determinar si la

gráfica de una

función es

constante, creciente

o decreciente

Gráfica constante,

creciente,

decreciente

90 minutos

(clase y media)

Determinar los

puntos máximos y

mínimos en una

gráfica de una

función

Máximo relativo,

mínimo relativo

90 minutos

(clase y media)

Determinar si una

función es par,

impar o ninguna

Función par,

función impar

30 minutos

(media clase)

Transformaciones

de funciones

Utilizar las

transformaciones de

gráficas

Trasformaciones,

reflejo, traslado

180 minutos

(tres clases)

Ejercicios de

práctica B,

Forma C

Evaluar el dominio

de conceptos en

forma descriptiva o

esquemática

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos de una

clase


Tabla 3

Combinaciones con funciones

Tercera experiencia de desarrollo de conceptos


Combinaciones con

funciones

Dado dos funciones

definidas se

efectuará las

combinaciones

entre ellas

combinación 60 minutos

(una clase)

Sumar funciones suma 60 minutos

(una clase)

Restar funciones diferencia 60 minutos

(una clase)

Multiplicar

funciones

multiplicación 60 minutos

(una clase)

Dividir funciones división 60 minutos

(una clase)

Composición de

funciones

Composición de

(f о g) =f(g )

30 minutos

(media clase)

Composición de

funciones

(g о f) = g(f ) 30 minutos

(media clase)

Ejercicios de

práctica C,

Forma C

Evaluar el dominio

de conceptos en

forma descriptiva o

esquemática

Todos los

expuestos

anteriormente

60 minutos de una

clase


Tabla 4

Integración de conceptos (aplicaciones)

Cuarta experiencia de desarrollo de conceptos


Funciones Determinar la relación

y orden de jerarquía

entre funciones y

gráficas y

combinaciones de

ellas

Todas las ideas

fundamentales o el

vocabulario expuesto

en la primera

experiencia

30 minutos

(media clase)

Gráficas de funciones Determinar la relación


entre gráficas de

funciones, funciones

y combinaciones de

ellas

Todas las ideas

fundamentales o el


en la primera

experiencia

30 minutos

(media clase)

Combinaciones con

funciones

Determinar la relación


entre combinaciones

de funciones,

funciones y sus

gráficas

Todas las ideas

fundamentales o el


en la primera

experiencia

30 minutos

(media clase)

Funciones, Gráficas

de funciones,

Combinaciones con

funciones

Determinar la relación


entre los tres

conceptos expuestos

anteriormente y su

relación con el

concepto generador

de función

La integración con

todo el contenido de

lo expuesto en las tres

experiencias

anteriores

60 minutos

(media clase)

Ejercicios de práctica

D,

Forma C

Evaluar el dominio de

los conceptos

integrados en forma

descriptiva o

esquemática

Todos los expuestos

anteriormente

90 minutos

(clase y media)



Departamento de Ciencias y Tecnología


Guía Temática de Estudio

El tema de función se ubica después que los estudiantes pasan por la experiencia del tema:

Los números reales y sus propiedades.

Luego se desarrollan el concepto generador de función. A continuación se presenta una tabla

donde se expresa la temática a considerar en el desarrollo del concepto de función. Esta Tabla

está alineada a la guía de estudio del curso de Math 151 y a la guía de estudio del curso.

Curso: Math 151 Precálculo

Texto: Precalculus, (2011) –Eighth Edition – Brooks/Cole

Autores: Ron Larson

Preparado por: Prof. Francisco Medina Rivera Primer Semestre 2012-01

Tabla # 5

Guía de estudio (adaptada)


Boleto de Entrada

Pre-prueba


T= todos I= impares

1.4 Función 39-47 48 / 1-14 T

49 / 25-36 T, 37-55 I

50 / 56-70 T, 71-82 T,

53/ 103-110 T,

50/ 87-89 T,

51/91,

52 / 101

Introducción 39

Definición 39-41

Notación 41-42

Evaluación 42-43

Dominio 44

Aplicación 45

Ej. 8 45

Ej. 9 45





19 I,

62 / 21-45 I, 47-55

I,

63 / 39-48 I, 83-90

T.




54



55



y constantes

56

57







(Actividad B)


T, 43-49 I,

57-61 T

72 / 62-64 T

Función

Lineal 66

Cuadrática 67

Cúbica 68

Con radicales 68




(gráficas)

73-77 78 / 1-6 T

79 / 15-19 T

80 / 21-24 T, 25-53

I, 63-66 T. Traslado 73-74

Reflejo 75-77





(Actividad C)

Unión 1.6 y 1.7 1.8 Combinaciones aritméticas de


funciones

83-87 88/ 1-4 T, 9-27 I,

29-32 T,

37-40 T, 41 y 42 T,

89/ 43-48 T,

90 / 70

91 / 73,75


funciones

83






Aplicación 87



(Actividad D)



Boleto de Entrada

Pre-prueba


T= todos I= impares

1.4 Función 39-47 48 / 1-14 T

49 / 25-36 T, 37-55 I

50 / 56-70 T, 71-82 T,

53/ 103-110 T,

Introducción 39

Definición 39-41

Notación 41-42


Evaluación 42-43 50/ 87-89 T,

51/91,

52 / 101 Dominio 44

Aplicación 45

Ej. 8 45

Ej. 9 45





19 I,

62 / 21-45 I, 47-55

I,

63 / 39-48 I, 83-90

T.




54



55



y constantes

56

57






(Actividad B) 1.6 Familias de funciones básicas 66-70 71 / 1-10 T, 11-18

T, 43-49 I,

57-61 T

72 / 62-64 T

Función

Lineal 66

Cuadrática 67

Cúbica 68

Con radicales 68




(gráficas)

73-77 78 / 1-6 T

79 / 15-19 T

80 / 21-24 T, 25-53

I, 63-66 T. Traslado 73-74

Reflejo 75-77





(Actividad C) Unión 1.6 y 1.7

1.8 Combinaciones aritméticas de


funciones

83-87 88/ 1-4 T, 9-27 I,

29-32 T,

37-40 T, 41 y 42 T,

89/ 43-48 T,

90 / 70 Combinaciones aritméticas de

funciones

83


Suma de dos funciones 83 91 / 73,75





Aplicación 87



(Actividad D)






Núm estudiante__________________________ Fecha_______________________

Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte A)

I. Determina si es o no función y explique por qué.

1) , , 0 , , 0 , A _____ B= 0 , 0 , 3 , 1, 2 , 2, 2 , 1 _______

II. Determine el dominio de:

1) 6

)(2 xx

xxh 2) 37xy 3) 63xxf

III. Evalúa cada función según solicitado:

1) f(x) = 3

2

x , f(8) y f(-1)

2) Sea f(x) = 5x – 3, x ≥ 1

6x2 – 1, x < 1

a) f(0) b) f(2) c) f(½)






Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte B)

I. Utiliza la prueba de las rectas verticales para determinar si la gráfica representa una función o

no.

II. Determina la ecuación estándar de un círculo cuyos puntos extremos del diámetro son ( -4, -

1) y (4, 1).

III. Traza la gráfica de: (Utilizando papel cuadriculado).

1) 2)1( 3xy 2) xxg 1)(

3) 4)3()( 2xxh 4) )(xf ,1

,73

2x

x

3

3

x

x






Math 151_______________________________ Prof. _______________________

Ejercicios de práctica (Parte C)

Efectúa la operación indicada y luego determina el dominio de la nueva función.

Sea ,3)( 2xxf 3

1

xxg y 7xxh , determina

1) 2gf 2) xfg

3) xfg 4) xf

xh

5) xgf 6) xhg


Nota:

Los 600 minutos restantes para cumplir con las 8 semanas

aproximadas están distribuidas de la siguiente manera:

Actividad Descripción o

propósito

Tiempo aproximado

Boleto de entrada Pre-prueba

(cualitativa)

60 minutos

Pre-prueba Pre-prueba

(cuantitativa)

60 minutos

Repaso actividad A Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica A

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad B Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica B

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad C Discusión

socializada

60 minutos

*Ejercicios de

práctica C

Ejercicios o

problemas

30 minutos

Repaso actividad D Discusión

socializada

90 minutos

Boleto de salida Pos prueba

(cualitativa)

60 minutos

Pos prueba Pos prueba

(cuantitativa)

60 minutos

Total 600minutos

* Se administrará después de cada actividad de repaso (Discusión

socializada) y antes del estudiante pasar a las actividades de práctica A,

B y C. Los resultados de estos ejercicios de práctica se añadirán al

análisis cuantitativo.


Apéndice H

Actividades de Práctica y sus Rúbricas

Nota:

-Las actividades rotuladas con “Forma E” serán administradas a los estudiantes del

grupo experimental.

-Las actividades rotuladas con “Forma C” serán administradas a los estudiantes del

grupo de comparación.





Número de estudiante:____________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:_____________________


Forma E

Contesta la información solicitada:

1. Diagrama la definición de función mediante un mapa conceptual. Ofrece ejemplos que

lo ilustren.

2. Describe la forma en que te presentaron el concepto de función en clases.

3. Describe cómo el concepto de función se aplica en tu vida diaria.

Presenta ejemplos

4. Ofrece tu opinión sobre esta actividad de práctica.






Forma E

Rúbrica

Pregunta # 1

Elementos a considerarse Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Se identifica el concepto función como

generador

Se utilizan flechas para indicar las

relaciones entre conceptos

Se utilizan palabras conectoras como

medio de expresar relación

Conceptos identificados

dominio

alcance o campo de valores

variable independiente

variable dependiente

representación verbal

representación numérica

representación gráfica

representación algebraica

entrada x

salida f(x)

evaluación en forma verbal

evaluación en forma numérica

evaluación en forma gráfica

evaluación en forma algebraica

Total por columna

Puntuación total_____

Nota: Si el estudiante presenta contestaciones que ameriten un análisis descriptivo se considerará

en una matriz descriptiva que el investigador preparará para este tipo de argumento, mediante la

clasificación, categorización y la codificación de las respuestas.


Pregunta # 2

De acuerdo a las diferentes contestaciones de los participantes, el investigador preparará

una matriz descriptiva mediante clasificación, categorización y codificación de las respuestas.

Pregunta # 3

1. Relacionar en la vida diaria

Asociar el concepto de función con situaciones que presenten parejas, hermanos,

discípulos, compañeros de trabajo y otros. Se debe ilustrar por lo menos un ejemplo de las 4

relaciones básicas: de uno a uno, de muchos a uno, de uno a muchos y de muchos a muchos.

Elementos a considerarse en las

relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

de uno a uno

de uno a muchos

de muchos a uno

de muchos a muchos

Total por columna





Pregunta # 4

De acuerdo a las diferentes opiniones de los participantes, el investigador preparará una

matriz descriptiva mediante clasificación, categorización y codificación de las respuestas.





Número de estudiante:______________________ Fecha:_____________________

Math. 151 Sección:__________________


Forma C


1. Explica la definición de función. Ofrece ejemplos e ilústralos.

2. Describe la forma en que te presentaron el tema de función en clases.

3. Describe cómo el tema de función se aplica en tu vida diaria.

Presenta ejemplos

4. Ofrece tu opinión sobre esta actividad de práctica.






Forma C

Rúbrica

Pregunta # 1

Se permiten diferentes maneras visuales y descriptivas de presentar la respuesta siempre

y cuando contenga como ideas fundamentales, temas o vocabulario sobre: función, dominio,

campo de valores, variable dependiente e independiente, formas o maneras de representar las

funciones tales como numérica, verbal, gráfica o algebraica, notación y evaluación de

funciones.


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Se identifica la idea fundamental de

función como la de mayor importancia.

Se utilizan expresiones para ilustrar

descriptivamente o visualmente

relaciones entre las ideas o vocabulario

de función

Se utilizan ideas claras para

interrelacionar el vocabulario de

función.

Ideas fundamentales o vocabulario

identificados

dominio








entrada x

salida f(x)





Total por columna


Puntuación total____




Pregunta # 2


una matriz descriptiva mediante clasificación, categorización y codificación de las respuestas.

Pregunta # 3

El estudiante puede presentar diferentes relaciones de la vida diaria y asociar algunas con

el significado de función. Se pueden presentar situaciones de parejas, hermanos, discípulos,

compañeros de trabajo y otros. Se debe ilustrar por lo menos un ejemplo de las 4 relaciones

básicas: de uno a uno, de muchos a uno, de uno a muchos y de muchos a muchos.


relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

de uno a uno

de uno a muchos

de muchos a uno

de muchos a muchos

Total por columna


Nota: Si el estudiante presenta contestaciones que ameriten un análisis descriptivo se

considerará en una matriz descriptiva que el investigador preparará para este tipo de argumento,

mediante la clasificación, categorización y la codificación de las respuestas.

Pregunta # 4

De acuerdo a las diferentes opiniones de los participantes, el investigador preparará una

matriz descriptiva mediante la clasificación, categorización y la codificación de las respuestas.






Math. 151 Sección:____________________


Forma E


1. Diagrama y explica mediante un mapa conceptual qué familias de gráficas fueron

demostradas en clases.

2. Describe la forma en que te enseñaron el tema de gráfica de función.

3. De acuerdo a lo discutido en clase menciona y explica la aplicación del concepto de

gráfica en el siglo XXI y su relación con la era de las comunicaciones.

4. Menciona lo que más te gustó de esta actividad y lo que menos te gustó. Luego explica

el por qué y ofrece sugerencias para mejorarlas si lo encuentras necesario. Utiliza la tabla

para expresar tu contestación.


Opinión Razones Sugerencias

Lo que más me gustó fue:

Lo que menos me gustó fue:






Math. 151 Sección:____________________


Forma E

Rúbrica

Pregunta # 1


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Se identifica el concepto de gráfica

como generador.


relaciones entre conceptos.


medio de expresar relación.

conceptos identificados

dominio


prueba de la recta vertical

cero de la función e intercepto en x

función constante usando la gráfica

función creciente usando la gráfica

función decreciente usando la gráfica

máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

transformaciones

reflejo

traslado

Total por columna






Pregunta # 2


una matriz descriptiva mediante la clasificación, categorización y la codificación de las

respuestas.

Pregunta # 3


Asociar el concepto de gráfica con situaciones del diario vivir.


relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Relaciones entre funciones y su gráfica

Relaciones de situaciones de la vida

diaria y el uso de la gráfica como

recurso visual



medio de sintetizar información

Total por columna





Pregunta # 4 De acuerdo a las respuestas de los participantes sobre la actividad, el investigador

preparará una matriz descriptiva mediante la clasificación, categorización y la codificación de

las respuestas.






Math. 151 Sección:____________________


Forma C


1. Menciona y explica qué familias de gráficas fueron demostradas en clases.

2. Describe la forma en que te enseñaron el tema de gráfica de función.

3. De acuerdo a lo discutido en clase menciona y explica la aplicación del concepto de

gráfica en el siglo XXI y su relación con la era de las comunicaciones.

4. Menciona lo que más te gustó de esta actividad y lo que menos te gustó. Luego explica

el por qué y ofrece sugerencias para mejorarlas si lo encuentras necesario. Utiliza la tabla

para expresar tu contestación.

Opinión Razones Sugerencias


Lo que más me gustó fue:

Lo que menos me gustó fue:





Número de estudiante:______________________ Fecha:________________

Math. 151 Sección:________________


Forma C / Rúbrica

Pregunta # 1 Se permiten diferentes maneras visuales y descriptivas de presentar la respuesta siempre




funciones.


(3)

Se observa

parcialmente (2)

No se

observa (1)


gráfica.



relaciones entre las ideas o

vocabulario de gráfica.



gráfica.


identificados.

gráfica

dominio







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

transformaciones

reflejo

traslado

Total por columna





mediante la clasificación, categorización y la codificación de las respuestas

Pregunta # 2



respuestas

Pregunta # 3


Asociar el concepto de gráfica con situaciones del diario vivir.


relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Relaciones entre funciones y sus

gráficas



recurso visual


diaria y el uso de la gráfica como medio

de sintetizar información

Total por columna





Pregunta # 4 De acuerdo a los diferentes gustos que tienen de los participantes sobre la actividad, el

investigador preparará una matriz descriptiva mediante la clasificación, categorización y la

codificación de las respuestas.





Número de estudiante:_____________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:_____________________


Forma E


1. Describe y explica las operaciones con funciones y construye un mapa conceptual.

Ofrece ejemplos de cada una de ellas.

2. Describe la forma en que te enseñaron las operaciones con funciones en el transcurso de

la unidad.

3. Describe por lo menos tres (3) ejemplos sobre el tema de operación en tu ambiente de

vida.

4. Describe la actividad que más te llamó la atención y la que menos te llamó la atención.

Si consideras que debe existir algún cambio en la actividad, por favor exprésalo.





Número de estudiante:____________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:______________________


Forma E

Rúbrica

Pregunta # 1


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Se identifica en el mapa conceptual el

concepto combinaciones con funciones

como generador


relaciones entre conceptos


medio de expresar relación

Conceptos identificados

combinación

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna






Pregunta # 2



respuestas.

Pregunta # 3


Asociar el concepto de combinaciones con funciones con situaciones del diario vivir puede

presentar tres (3) ejemplos entre los cuales se puede ilustrar de los siguientes:


relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Relaciones con suma

Relaciones con resta

Relaciones con multiplicación

Relaciones con división

Relaciones con composición

Total por columna





Pregunta # 4

De acuerdo a los diferentes criterios que tienen de los participantes sobre el llamarle la

atención de la actividad, el investigador preparará una matriz descriptiva mediante la

clasificación, categorización y la codificación de las respuestas






Math. 151 Sección:____________________


Forma C


1. Describe y explica las operaciones con funciones y ofrece ejemplos de cada una de ellas.

2. Describe la forma en que te enseñaron las operaciones con funciones en el transcurso de

la unidad.

3. Ilustra por lo menos tres (3) ejemplos sobre el tema de operación en tu ambiente de vida.

4. Describe la actividad que más te llamó la atención y la que menos te llamó la atención.

Si consideras que debe de existir algún cambio en las actividades, por favor exprésalo.






Math. 151 Sección:____________________


Forma C

Rúbrica

Pregunta # 1





funciones.


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)


combinaciones con función como la de

mayor importancia.




de combinaciones con función.



combinaciones con función.


identificados.

combinación

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna






Pregunta # 2



respuestas.

Pregunta # 3


Asociar el concepto de combinaciones con funciones con situaciones del diario

vivir. El estudiante puede presentar 3 ejemplos entre los cuales puede ilustrar uno o más de los

siguientes


relaciones

Se observa

(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Relaciones con suma

Relaciones con resta

Relaciones con multiplicación

Relaciones con división

Relaciones con composición

Total por columna





Pregunta # 4

De acuerdo a los diferentes criterios que tienen de los participantes sobre el llamarle la

atención de la actividad, el investigador preparará una matriz descriptiva mediante

clasificación, categorización y codificación de las respuestas.





Número de estudiante:______________________ Fecha:______________________

Math. 151 Sección:____________________

Actividad de Práctica D

Integración

Forma E


1. Describe y explica el concepto de función como concepto generador que integra los

conceptos de definición de función, sus gráficas y las combinaciones de funciones mediante

la construcción de un mapa conceptual.

2. Explica cómo consideras el uso de los mapas conceptuales en la enseñanza de

matemática.





Número de estudiante:______________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:______________________


Integración

Forma E

Rúbrica

Pregunta # 1


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)


concepto generador o matriz.

Se identifican los conceptos

secundarios como gráfica, combinación

y aplicación.





Conceptos identificados con función.

dominio








entrada x

salida f(x)





Conceptos identificados con gráfica







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

transformaciones

reflejo

traslado

Conceptos identificados con

combinaciones

combinación

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna





Pregunta # 2



respuestas.






Math. 151 Sección:______________________


Integración

Forma C


1. Describe y explica el concepto de función como concepto generador que integra los

conceptos de definición de función, sus gráficas y las combinaciones de funciones. Se

puede presentar el trabajo en una ilustración visual o en forma descriptiva.

2. Describe e ilustra por lo menos tres (3) ejemplos sobre el tema de función en tu ambiente

de vida.





Número de estudiante:_____________________ Fecha:______________________

Math. 151 Sección:______________________


Integración

Forma C

Rúbrica

Pregunta # 1





funciones.


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)



Se identifican las ideas secundarias

como gráfica, combinación y aplicación




de función



función.


identificados con función

dominio








entrada x


salida f(x)






identificados con gráficas

dominio







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

Transformaciones

reflejo

traslado


identificados con combinaciones

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna





Pregunta # 2 De acuerdo a las diferentes contestaciones de los participantes, el investigador preparará


respuestas.

.


Apéndice I

Preguntas Guía (semiestructuradas) para Entrevista de Grupos Focales


Curso: Matemática 151 Grupo:__________________

Sección:____________ Prof (a):_________________

Preguntas guías para la entrevista con los grupos focales

Las preguntas pares son para los estudiantes del grupo experimental y las impares del grupo de

comparación.

1. ¿Cómo describes el desarrollo de las actividades en las clases sobre el tema de función en tu

curso de Precálculo?

2. ¿Cómo describes el desarrollo de las actividades en las clases sobre el tema de función en tu

curso de Precálculo?

3. Explica cómo te ayudó la discusión socializada a comprender los conceptos de función en tu

clase de Precálculo.

4. Explica cómo te ayudó (si consideras que te ayudó) el uso de los mapas conceptuales a

comprender los conceptos de función en tu clase de Precálculo.

5. ¿Consideras que las actividades que se presentaban en clase sobre el tema de función fueron

de ayuda en tu aprovechamiento? Explica.

6. ¿Qué actividades ofrecidas en clase te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? Explica por

qué y ofrece sugerencias.

7. ¿Qué actividades te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? Explica por qué y ofrece

sugerencias.

8. Otras


Apéndice J

Hoja para entrevista del (la) Profesor (a)


Curso: Matemática 151 Grupo:__________________

Sección:____________ Prof (a):_________________

Preguntas guías para la entrevista con los (las) profesores (as)

1. ¿Cómo se sintió usted durante la implantación de la investigación?

2. Exprese su sentir sobre la investigación considerando los siguientes aspectos:

a. la administración de la sala de clases

b. la percepción que usted tiene en torno al sentir del estudiante sobre la

clase.

c. El (la) profesor(a) como facilitador durante el proceso.

d. La participación de los estudiantes durante la clase.

3. ¿Cómo usted describiría la experiencia derivada en este estudio?

4. Exprese su opinión sobre el aprovechamiento en matemáticas sobre el tema de

función de los estudiantes durante la investigación.

5. Otras que se presenten en el desarrollo de la entrevista.

Nota: El la profesor(a) que facilitó la experiencia en el grupo experimental se dará énfasis al uso

de los mapas conceptuales como estrategia de enseñanza.


Apéndice K

Hoja de Observaciones de actividades Relevantes


Matemática 151 Grupo:_______________

Sección: ___________ Prof(a)_______________

Hoja de observación

Número de

estudiante Fecha

Tema de la

clase

Aspectos

relevantes Observación

Certifico Correcto.

Firma del (la) Profesor (a) _____________________ Fecha _______________________


Apéndice L

Hojas de observaciones a la sala de clases





Hoja de observaciones a la sala de clases

Fecha:___________________

Grupo Experimental _______ Grupo de Comparación______

Criterios a considerarse Si No En

parte

Observaciones

1. Se creó un ambiente en el salón de

clases que invitó al aprendizaje.

2. El vocabulario que usó el (la)

profesor(a) facilita la comprensión del

concepto bajo estudio.

3.Se presentó el concepto generador en

forma clara.

4. Se entendían las explicaciones del (la)

profesor (a). al presentar el concepto de

función

5. Se permitió la participación de los

estudiantes en su proceso de aprender un

concepto

6. Se estimuló a los estudiantes a la

exploración de conceptos

7. Se invitó a los estudiantes a que

explorarán sobre los conceptos menores

en el tema de función presentados en

clase.

8. Se aclararon las dudas de los

estudiantes durante la clase.

9. Se fomentó que el estudiante ofreciera

sus opiniones en la clase.

10. Se respetaban las opiniones de los

estudiantes.

11. Se ofreció tiempo para la clasificación

de los conceptos.

12. Se permitió que los estudiantes


justificaran sus clasificaciones de los

conceptos bajo estudio.

13. Se clasificaron los conceptos de lo

general a lo específico. (Método

deductivo)

14. Se permitió a los estudiantes

presentar los conceptos de mayor

importancia a los de menor importancia.

15. El profesor modeló el proceso de

construcción de un mapa conceptual.

16. Se invitó a los estudiantes a preparar

un mapa conceptual según sus

experiencias de aprendizaje.

17. Se ofreció la oportunidad de que los

estudiantes presentaran y justificaran sus

mapas conceptuales.

18. Se presentó la integración de

conceptos mediante discusión en las

clases.

19. Se invitó al estudiante a preparar

lista de conceptos relacionados con el

concepto generador.

20. Se invitó al estudiante a utilizar un

material impreso para preparar los

mapas conceptuales.

21. Otro. Especifique:

Comentarios:__________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

________________________________________________

________________________________ _____________________________

Firma del (la) profesor(a) Firma del Observador

(Investigador)


Apéndice M

Instrumento de Boleto de Entrada y Salida





Número de estudiante:_____________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:______________________

Boleto de Entrada

Forma E

Contesta la siguiente pregunta:

¿Qué entiendes por el concepto de función, sus operaciones, sus gráficas y aplicaciones?

Expresa tu contestación utilizando un mapa conceptual.






Math. 151 Sección:____________________

Boleto de Entrada

Forma C


¿Qué entiendes por función, sus operaciones, sus gráficas y aplicaciones? Ofrece

ejemplos como medio de clarificar tus argumentos. Además puedes presentar tu trabajo

utilizando párrafos, ensayo, modelos, esquemas, diagramas, visuales, mapas de conceptos,

organigramas o aquel recurso que creas pertinente. También puedes hacer combinaciones de

algunos de estos.






Math. 151 Sección:____________________

Boleto de Salida

Forma E


¿Qué entiendes por el concepto de función, sus operaciones, sus gráficas y aplicaciones?

Expresa tu contestación utilizando un mapa conceptual.






Math. 151 Sección:____________________

Boleto de Salida

Forma C


¿Qué entiendes por función, sus operaciones, sus gráficas y aplicaciones? Ofrece

ejemplos como medio de clarificar tus argumentos. Además puedes presentar tu trabajo

utilizando párrafos, ensayo, modelos, esquemas, diagramas, visuales, mapas de conceptos,

organigramas o aquel recurso que creas pertinente. También puedes hacer combinaciones de

algunos de estos.


Apéndice N

Rúbrica de Boleto de Entrada y Salida





Número de estudiante:__________________ Fecha:_______________________

Math. 151 Sección:______________________

Boleto de Entrada

Forma E

Rúbrica


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)


concepto generador o matriz.


secundarios como gráfica, combinación

y aplicación.





Conceptos identificados con función

dominio








entrada x

salida f(x)





conceptos identificados con gráfica







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

transformaciones

reflejo

traslado


combinaciones

combinación

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna

Puntuación total________









Math. 151 Sección:______________________

Boleto de Entrada

Forma C

Rúbrica

Se permiten diferentes maneras visuales y descriptivas de presentar la respuesta siempre y

cuando contenga como ideas fundamentales, temas o vocabulario sobre: función, gráfica,

combinaciones y aplicaciones


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)




como gráfica, combinación y aplicación




de función.



función.


identificados con función.

dominio








entrada x

salida f(x)







identificados con gráficas

dominio


Prueba de la recta vertical





máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

Transformaciones

reflejo

traslado



suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna

Puntuación total______









Math. 151 Sección:______________________

Boleto de Salida

Forma E

Rúbrica


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)

Se identifica el concepto función

como concepto generador o matriz.


secundarios como gráfica,

combinación y aplicación.





Conceptos identificados con función.

dominio








entrada x

salida f(x)





Conceptos identificados con gráfica







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

Transformaciones

reflejo

traslado


combinaciones

combinación

suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna










Math. 151 Sección:______________________

Boleto de Salida

Forma C

Rúbrica

Se permiten diferentes maneras visuales y descriptivas de presentar la respuesta siempre y

cuando contenga como ideas fundamentales, temas o vocabulario sobre: función, gráfica,

combinaciones y aplicaciones


(3)

Se observa

parcialmente

(2)

No se

observa

(1)


función como la de mayor

importancia.


como gráfica, combinación y

aplicación



relaciones entre las ideas o

vocabulario de función.



función.


identificados con función.

dominio









entrada x

salida f(x)






identificados con gráficas.

dominio







máximo relativo

mínimo relativo

función par

función impar

Transformaciones

reflejo

traslado



suma

resta

multiplicación

división

composición

(f о g)

(g о f)

Total por columna






Apéndice O

Instrumento de validación del Boleto de Entrada y Salida




PROGAMA DOCTORAL


Estimado(a) colega:










ofreciendo una evaluación de cada documento solicitado. De ser posible respetuosamente le



Atentamente,


Estudiante nivel doctoral


A continuación se presenta un esquema para facilitar el análisis del instrumento de Boleto de

entrada y boleto de salida. Es un requisito para este servidor que se entregue por escrito sus

observaciones al instrumento junto a un resumé donde indique su preparación, experiencia y

especialidad.

ESQUEMA

Boleto de entrada y boleto de salida (Parte E)

Observaciones:

Recomendaciones:


ESQUEMA

Boleto de entrada y boleto de salida (Parte C)

Observaciones:

Recomendaciones:


Apéndice P

Instrumento de validación de Actividades de Práctica




PROGAMA DOCTORAL


Estimado(a) colega:










ofreciendo una evaluación de cada documento solicitado. De ser posible respetuosamente le



Atentamente,


Estudiante nivel doctoral


A continuación se presenta un esquema para facilitar el análisis del instrumento de

Actividades de Práctica de Conceptos A, B, C y D. Es un requisito para este servidor que se

entregue por escrito sus observaciones al instrumento junto a un resumé donde indique su

preparación, experiencia y especialidad.

ESQUEMA

Parte E

Actividades de práctica A

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica B

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica C

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica D

Observaciones:

Recomendaciones:


ESQUEMA

Parte C

Actividades de práctica A

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica B

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica C

Observaciones:

Recomendaciones:


Actividades de práctica D

Observaciones:

Recomendaciones:


Este espacio se provee para aquellos comentarios y sugerencias generales que el experto

considere necesarios añadir. Gracias.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

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______________________________________________________

Firma del experto________________________________ fecha:_______________


Apéndice Q

Carta de Endoso y Apoyo del Vicerrector de Asuntos Académicos

para realizar la Investigación



Apéndice R

Matriz analítica sobre instrumentos a utilizarse en intervenciones dentro del salón de clases y su

relación con la pregunta de investigación


Instrumentos a utilizarse en intervenciones dentro del salón de clase y su relación con las preguntas de investigación.

Preguntas de

Investigación

Fases Etapas de Desarrollo

Pre

Prueba

Boleto

de

Entrada

Actividad Practica Boleto de

Salida

Pos Prueba

A B C D

¿Cuál es el efecto del

uso de mapas

conceptuales como

estrategia de

enseñanza en el

aprovechamiento en

matemáticas en el

concepto generador

de función al

comparar la

ejecución de los

estudiantes del grupo

experimental versus

el grupo de

comparación en

enseñanza tradicional

en un curso de

Precálculo a nivel

universitario?

Cuantitativa

X

X

X

X

X

¿Cuál es el efecto de

la utilización de

mapas conceptuales

como estrategia de

enseñanza en el

desarrollo de

conceptos

Cuantitativa

X

X

X

X

X

X


(conceptualización)

en el tema de

funciones en

estudiantes del grupo

experimental versus

el grupo de

comparación en


en un curso de

Precálculo a nivel

universitario?

¿Cuál es la

percepción que

tienen los estudiantes

del grupo de

comparación en


versus el grupo

experimental sobre la

utilización de mapas

conceptuales como

estrategia de

enseñanza en el

desarrollo de

conceptos

(conceptualización)

en el tema de

funciones en el curso

de Precálculo a nivel

universitario?

Cualitativa

X

X

X

X

¿Cuál es la

percepción que tiene

los estudiantes del

Cualitativa

X

X

X

X


grupo de

comparación en


versus el grupo

experimental sobre la

utilización de mapas

conceptuales como

estrategia de

enseñanza

impactando su

aprovechamiento en

matemáticas en el

tema de función en el

curso de Precálculo a

nivel universitario?

¿Cuál es la

experiencia del grupo

de comparación

versus el grupo

experimental sobre el

proceso empleado en

el desarrollo de las

actividades de

enseñanza utilizadas

en el tema de función

en el curso de

Precálculo a nivel

universitario?

Cualitativa

X

X

X

X


Apéndice S

Técnicas cualitativas celebradas en las intervenciones fuera del salón de clases y su relación con

las preguntas de investigación


Técnicas cualitativas celebradas en las intervenciones fuera del salón de clases y su relación con las preguntas de Investigación

Preguntas de Investigación Fases Etapas de Desarrollo

Grupo

Focal

Entrevista

Prof. (a).

¿Cuál es el efecto del uso de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en el

aprovechamiento en matemáticas en el concepto generador de función al comparar la

ejecución de los estudiantes del grupo experimental versus el grupo de comparación en

enseñanza tradicional en un curso de Precálculo a nivel universitario?

Cuantitativ

a

¿Cuál es el efecto de la utilización de mapas conceptuales como estrategia de enseñanza en

el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de funciones en estudiantes del

grupo experimental versus el grupo de comparación en enseñanza tradicional en un curso

de Precálculo a nivel universitario?

Cuantitativ

a

¿Cuál es la percepción que tienen los estudiantes del grupo de comparación en enseñanza

tradicional versus el grupo experimental sobre la utilización de mapas conceptuales como

estrategia de enseñanza en el desarrollo de conceptos (conceptualización) en el tema de

funciones en el curso de Precálculo a nivel universitario?

Cualitativa

X

X

¿Cuál es la percepción que tienen los estudiantes del grupo de comparación en enseñanza

tradicional versus el grupo experimental sobre la utilización de mapas conceptuales como

estrategia de enseñanza impactando su aprovechamiento en matemáticas en el tema de

función en el curso de Precálculo a nivel universitario?

Cualitativa

X

X

¿Cuál es la experiencia del grupo de comparación versus el grupo experimental sobre el

proceso empleado en el desarrollo de las actividades de enseñanza utilizadas en el tema de

función en el curso de Precálculo a nivel universitario?

Cualitativa

X

X


Apéndice T

Aprobación de la Junta de Protección de Seres Humanos en la Investigación




Apéndice U

Hoja de consentimiento






Documents

TITULILLO: MAPAS CONCEPTUALES EN LA … · TITULILLO: MAPAS CONCEPTUALES EN LA ENSEÑANZA Universidad Metropolitana Programa Graduado de Educación . Programa Doctoral . Efecto del