TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış

MEKANİK TİTREŞİMLERMEKANİK TİTREŞİMLER

• Titreşim nedir?

Bir sistemin denge konumu civarında yapmış olduğu l h k ti tit i d isalınım hareketine titreşim denir.

Eğer yapılan salınım hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa böyle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adını alır. p y

x(t)=x(t+nT)x=Yer değiştirme m, rad

İ İ İ

ğ ş ,t=Zaman sT=Peryod sn=Peryod sayısı adet

DAVULUN TİTREŞİMİ

Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler

ve sistemin bu dış kuvvetlere cevap ve sistemin bu dış kuvvetlere cevap verme özelliğinden kaynaklanır.

Dış Kuvvetler: Dış Kuvvetler: Sistemin bağlı olduğu temelden gelen

kuvvet kuvvet Dönen sistemlerde dengelenmemiş

kütleler,üt e e , Motorlarda gidip-gelen kütleler, Darbe deprem vb nedenlerle oluşan Darbe, deprem, vb. nedenlerle oluşan

herhangi bir kuvvet olabilir.

Titreşim kaynakları:Titreşim kaynakları: Her türlü

endüstriyel makine Karayolu ve raylı

l l ulaşım araçları, Binalarda

kullanılan makine kullanılan makine ve teçhizat, vb. hareketli sistemlertitreşim

kaynakları olarak görülmelidir görülmelidir.

Tit i l i Etkil iTitreşimlerin Etkileri: Gürültü

Yük k il l Yüksek gerilmeler Aşınma Malzeme yorulması gibi istenmeyen sonuçlara

neden olurlar.

M ki l d tit i l ld Makinalarda titreşim olması genelde istenmez. Çünkü titreşimler sırasında makina parçalarına uygulanan makina parçalarına uygulanan kuvvetler gürültü, yüksek gerilmeler, aşınma, malzeme yorulması gibi istenmeyen davranışlara sebep olur istenmeyen davranışlara sebep olur. Ancak titreşimden yarlanan bazı makinalar da vardır. Günlük hayatta ysık sık karşılaştığımız titreşimli yol silindirleri, titreşimli konveyörler, darbeli matkaplar masaj darbeli matkaplar, masaj makinaları,elektrikli traş makinaları bunlar arasındadır.

Titreşime maruz kalan insanlarda:Titreşime maruz kalan insanlarda:

Fi ik l ik l jik Fiziksel ve psikolojik rahatsızlıklar (yorgunluk, dikkat azalması dikkat azalması, ortopedik rahatsızlıklar, sakatlıklar, iş kazaları, , ş ,vb. )

Yaşam kalitesinde olumsuz etkiler

Çalışma performansının azalması

Tit i Si t l i i El lTitreşim Sistemlerinin Elemanları

Kütle x

Yay

Sönüm

Kuvvet x

S b tlik D iSerbestlik Derecesi

H k t h li d ki bi i t i l l d Hareket halindeki bir sistemin elemanlarının durum vekonumlarını belirleyen parametrelere koordinat denir.

Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamanda Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamandakonumlarının tamamen belirli olması için gereklibirbirinden bağımsız minimum koordinat sayısınaserbestlik derecesi denir.

T k S b tlik D li Si t lTek Serbestlik Dereceli Sistemler

x

x

x

İki S b tlik D li Si t lİki Serbestlik Dereceli Sistemlerx

1

x1

2

x2

1 2

Example of the modeling of a p gforging hammer:

13

A k Sü kli Si t lAyrık ve Sürekli Sistemler

S l d b tlik d li i t l k i t Sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistemdenir.

Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistem Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistemdenir.

Sürekli sistem

SI Birim SistemiSI Birim Sistemi

İİsim Birim SembolUzunluk Metre mKütle Kilogram kgKütle Kilogram kgZaman Saniye sKuvvet Newton N (kg.m/s2)Gerilme Pascal Pa (N/m2)Gerilme Pascal Pa (N/m )İş Joule J (N.m)Güç Watt W (J/s)Frekans Hertz Hz (1/s)e a s e t ( /s)Moment M N.mKütlesel Atalet Momenti J kg.m2

Kesit Atalet Momenti I m4

Titreşim Nedir?Titreşim Nedir?

Harmonik Hareket

t2sinAx

x=Yerdeğiştirme (m,rad)

A=Genlik (m,rad)

T2sin Ax

t=Zaman (s)

T=Peryot (s)

x

A

t

T

Titreşim genliği üç farklı biçimde ifade edilir.

k t k (P P)(İki t d ki kl k) Kütl i tit i peak to peak (P-P)(İki tepe arasındaki uzaklık): Kütlenin titreşim esnasında ulaştığı iki uç nokta arasındaki uzaklıktır. Değeri 2a'dır.

Zero to peak (0-P): Denge konumu ile tepe noktası arasındaki uzaklıktır. Değeri a'dır.

RMS (Root mean square)(Kareler toplamının karekökü): RMS (Root mean square)(Kareler toplamının karekökü): Titreşimin efektifdeğeridir. Elinizi titreşim yapan makina üzerine koyduğunuzda hissettiğiniz titreşim seviyesidir. Basit harmonik harekette 0-P değerinin 0.7071 katıdır.

Daire Üzerinde Hareketli Bir Noktanın H ik Gö t i iHarmonik Gösterimi

2

PA A

x

t

t sinA

O

2 2 fT

22

x Asin tx Acos t Asin t /2

2sin sin( )2x ‐ A t A t

Harmonik Harekette Yerdeğiştirme Hız İ V ktö l i i Gö t i ive İvme Vektörlerinin Gösterimi

2A x

x180

AA t x

t90

180

xx

Euler Denklemi Yardımı ile Döner Bi V ktö ü Gö t i iBir Vektörün Gösterimi

sin i cose iEuler Denklemi

eAeAz i t i yxA 22 t

iy xzt sin A i t cos Az

xytan

yxA

1

t

A t ie Az

Graphical representation of the ti f h i ill tmotion of a harmonic oscillator.

Yay ElemanlarıYay Elemanları

l l lHelisel Yaylar

Yaprak YaylarYaprak Yaylar

Y K kt i tikl iYay Karakteristikleri

F (N) F (N)

X (m) X (m)X (m) X (m)

Lineer (doğrusal) yay karakteristiği

Non-Lineer (doğrusal olmayan) yay karakteristiği

Y K tYay Katsayısı

Kuvvet

(N/m) Ftank ( )x

Yerdeğiştirme

Y K t T blYay Katsayısı TablosuIE

LIEk

AEkL

k

I Gk p

4d Gk

Lk

3R n64k

EI3k 3Lk

IE48

L/2

3LIE48k

3LIE192k

L/2

L

3L 7IE768k

L/2

a b

y 222x22 bxL

L I E 6xbPy

baLIE3k

x

EI L IE12k 3Lk

2

IE3k 2aaL

L a

IE24k a 8L3a

k 2

L a

Y l P l l B ğlYayların Paralel Bağlanması

m m xx

k1 k2 keş

n

kkkkkk

1i

nn321eş kk......kkkk

Y l S i B ğlYayların Seri Bağlanması

m xm x

k1keş

k2

n

111111

1i in321eş k

1k1.....

k1

k1

k1

k1

ÖRNEKÖRNEK:

k1 k2 ğk1 k2

m x

Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.

k3

k44

ÖRNEKÖRNEK:

kç1

ğk1kç2

Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.

k2

m x

ÖRNEKÖRNEK:

G3,Ip3,L33, p3, 3G1,Ip1,L1 G2,Ip2,L2

J

Yukarıdaki burulma sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.

Sö ü El lSönüm Elemanları

Viskoz sönüm Viskoz sönümDamping force is proportional to the

velocity of the vibrating body in a fluid velocity of the vibrating body in a fluid medium such as air, water, gas, and oil.

Coulumb (kuru sürtünme) sönümü Coulumb (kuru sürtünme) sönümüDamping force is constant in magnitude

but opposite in direction to that of the but opposite in direction to that of the motion of the vibrating body between dry surfacesdry surfaces

Malzeme (histeresiz) sönümEnergy is absorbed or dissipated by

l d d f dmaterial during deformation due to friction between internal planesEl k ik d Elekro-manyetik damper

Elektro-viskoz damper Piezo-elektrik damper

Kütl At l t El lKütle ve Atalet ElemanlarıBir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin Bir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin tanımı:

Ddm

2dmrJ

r

D

dönme ekseni

Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğunProblem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması

y

A

yx

xA

dxL/2

L

Çözüm:

dxAdV Elemanter hacim dxAdV dV dm

2dmrJ

Elemanter hacim

Elemanter kütle

Kütlesel atalet momentinin tanımından D

2L

2L

22 dxxA dxx A J

2L

2L-

32L

3

LA1xAJ bulunur

2L

LA123

A J

2Lm1JLAm

bulunur.

burada Lm12

J LAm burada,

Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentininProblem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin bulunması.

drd

r

dA

R

L

Çözüm:

Elemanter alan drdsinrdA Elemanter alan

Elemanter hacim

Elemanter kütle

dr.dsin.rdA

dr.d sin r.L.dA.LdV drdL r sindVdm Elemanter kütle dr .dL.r.sin.dV.dm

dr.d.Lr.dm bulunur. dd sin2 R

2

0

R

0

43

D

2 R..L.21dr.d.r.L.dmrJ

22 R.m21J L.R..V.m 2

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI Ü Ü Ğİ İ(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)

Titreşim problemleri, ötelemeler ve dönmelerin küçük olduğu kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.

Sö ü ü S b t Tit iSönümsüz Serbest TitreşimDüşey konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:ş y y y

x

t

L0

stk

kk

x

Statik denge konumu

k stk

Serbest cisim diyagramı

g.mG

St tik d k 0F kG Statik denge konumu: 0Fy 2n

st

st

gmk

.kg.mG

stn

gmk

Burada, n sistemin tabii frekansıdır.

Newton’un 2 kanunu uygularsak )x(k Newton un 2. kanunu uygularsak,

x

)x(k st

xm

GxkxmamF

g.mG

Gx-k xm a.mF st

st.kg.mG olduğundan,

0xk x m bulunur.

Yatay konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:y y y

x

k

x

x k

N ’ 2 k l k

m

xm

m

Newton’un 2. kanunu uygularsak,

a.mF

0xk x m x-k x m

b lbulunur.

Hareketin Diferansiyel Denkleminin Enerji Metodu ile Bulunması

Bu metoodun kullanılabilmesi için titreşim sisteminin;ç ş ;

• Sönümsüz

• Tek serbestlik dereceli olması gerekir.

sabitCEE pk pk

d 0EEdtd

pk

Sönümsüz Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması

0k 0xk x m Bu diferansiyel denklemin çözümünün

tsA tse Ax biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir Çözüm kabulünü türetirsek sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek,

ts2

ts

A

e A sx

ts2 e Asx Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine konursakonursa,

0eAksm st2 0eA k s m s

Burada, 0e ,A ts dır.,

0ks m 2

Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kökleri,

n2,1 imks

dir.

Bu durumda, hareket denklemi: ,

ti2

ti1

ts2

ts1

nn21 eAeAeAeA)t(x

A1 ve A2 başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.

t.sin.it.cose ti eşitliği kullanılırsa, ş ğ ,

tsin it cosAtsin it cosA)t(x nn2nn1 tsin AAitcosAA)t(x n21n21

AAB B A A i olmak üzere 211 AAB ve 2 1 2B A A i olmak üzere,

tsinBtcosB)t(x olurtsinBtcosB)t(x n2n1 olur.

B l tl

0xx(0)0t lBaşlangıç şartları

0x)0(x 0t

olsun.

Bu durumda, , xB 01

n

02

xB

bulunur.

Buradan başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki şekilde bulunur.

tix

t)t( 0

tsintcosx)t(x nn

0n0

Problem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız TabiiProblem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız. Tabii frekansını ve periyodunu hesaplayınız.

L uzunluğunda ağırlıksız bir ipin ucuna m kütlesi asılmıştır.

Çözüm:

L J

gm

Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton un 2. kanunu uygulanırsa,

TopJM

sin g.L -m J 2LJ i02L mJ sin 0 alınabilir.

0g0LgmLm 2 buradan0L

0LgmL m buradan,

gk rad/s

12T

sLmn rad/s

nn fT

s

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız.

Lm,L

M

k

Çözüm:

Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve oluşan kuvvetleri gösterelim.

k

mJ

x.kg.m

MJg.M

M

Newton’un 2 kanunu uygulanırsa

TopJMNewton un 2. kanunu uygulanırsa,

L cos x.Lk - sin g.L M- sin

2Lg. mJJ Mm

1i0 1cos sin 0 alınabilir.

Yaydaki sıkışma miktarı Lsin.Lx

0 Lk g.L Mg.L m21 L ML m

31 222

23

LMJL1J 22 di LMJ ,L m3

J 2M

2m dir.

sadeleştirme yapılırsa,

0 Lk g Mg m21 L M m

31

23

Lk g Mg m21

k

LMm31

2mk

n

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız

m,L M x

k

Çözüm:

xM

xmJ

xM

M

xkm,L

Newton’un 2 kanunu uygulanırsa

TopJMNewton un 2. kanunu uygulanırsa,

x.L-k .Lx MJ m

1i0 1cos sin 0 alınabilir.

Yaydaki sıkışma miktarı L sin.Lx

2m L m

31J

Lx Lx

3

Yukarıdaki denklemi düzenleyelim.Yukarıdaki denklemi düzenleyelim.

0 Lk L ML m31 222

3

sadeleştirme yapılırsa,

0k M m31

bulunur.

M3m k3

1k

mk

n rad/s

M 3mMm31m


m,r

k

M x

Çözüm:

J

mJ

xkM xM

xM


TopJM1

x.r-k .rx MJ m

1i0

2m rm

21J

r sin.rx

1cos sin 0

rx rx yazılabilir.

düzenleme yapılırsadüzenleme yapılırsa,

x.r-k .rx M rm21 2

2

0k r rM rm21 222

0k Mm21

M2m k2

M1k

mk

n

rad/s

M 2mMm2

m


x

km rm,r

Çözüm:

xxm

xkJ

mJ

T

r


2m rm

21J a mF , JM Top

rJ T r

T= /

m x k x T m x k x /

m

m

J T

J r

J r

m

m x -k x-T m x -k x- /

Jm x k x 0

mJ r

r

r

rx r sin.rx

yazılabilir.

rx

rx

m

2 2 2

J m r k r r = 0

1 r r k r 02

m m

n

2

3 2 k k 0 2 3 m

kmm

rad/s


x

k kM

m,r m,r

y

Çözüm:

x

M

y

y2x ry r2x y2x

ry

ry

r2x r 2xr 2x

0EEdtd

pk r 2x

222k

1111

J21 2y m

21 2x M

21E

22

222222k

3

rm21

21 2 rm

21 2 r4 M

21E

22k rm

23M 2E

k1112k k

k1

k1

k1

eşeş

k11 22222eşp rk r4

2k

21xk

21E

3d

0EEdtd

pk

0rk2rm3M4

r kr m 23M 2

dtd

22

2222

0 olmalı,

0rk 2rm 3M4

0k23M4

k2k

0k 2m 3M4

m 34Mk2

mk

n


x2

x1

k2 k3

m2

2h

k1

m1

2

h

Çözüm:

x2

x1

122 xxk

m2

23xk 122 xxk

22xm

m1

m2

2h

11xk11xm

h


JM Top

hxxkhxk2

h2.xxkh.xkh2.xmh.xm 12212211

h.xxkh.xk2 12223

koordinatları1x ve 2x genelleştirilmiş Koordinatı cinsinden

hx

hx

1

1

h2x

h2x

2

2yazılırsa,

hx1 h2x2

hkhm4hm 222

hhh2khk4hhh2k2

hkhm4hm

22

32

121

0 k4kk m4m 32121

k4kkk

21

321n m4m

k4kkmk

rad/s

d

22 11

0EEdtd

pk

222

222

211k

xk1xxk1xk1E

xm21xm

21E

2312211p xk2

xxk2

xk2

E

koordinatları1x ve 2x genelleştirilmiş koordinatı cinsinden

hx

hx

1

1

h2x

h2x

2

2yazılırsa,

hx1 h2x2

2222 h4m1hm1E

222

222

221k

hm2hm1E

h4m2

hm2

E

223

222222

221p

21k

h4k1hh2k1hk1E

hm2hm2

E

22

32

22

1p

321p

hk2hk21hk

21E

222

p 22

d 0EEdtd

pk

111d 2222222

0hk2hk

21hk

21hm2hm

21

dtd 22

32

22

122

22

1

hkhkhkhh 22222 0hk4hkhkhm4hm 23

22

21

22

21

0 olmalı, bu durumda parantez içi sıfıra eşit olmalıdır.

0 k4kk m4m 32121


k

M

yr

x m

Çözüm:

xxx

k r y r yx

2y

2y

2y

M 2r

x 2rx

2rx

yr

x m

J1yM1xm1E 222k

x M163m

21

r4x rM

21

21

4xM

21x m

21E

J2

yM2

x m2

E

22

22

22

k

k

x k81

4x k

21 yk

21E

162r422422

22

2p

13

0x k81x M

163m

21

dtd 0EE

dtd 22

pk

kk0xkxM34m

0x 0xxk41xM

83m

M234mm

0xk xM2

4m n

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,

x

1T

m 1-Tx m a mF 1

x m

k yk

J21 TT-k yy M a mF 2

1, 2 ’nin içine konursa,

yM

2Tx mk yy M 3

rTrTJJM 41T 2T

y M rTrTJ JM 21T 4

1 ve 3, 4 ‘ün içine konursa,, ç ,

rxmxkxM-rxmxrM1 rx mk yy M- rx -m J

2

x m-x k21-x M

21-x mx M

41

rxm2

k2

Mrxmr2

rM2

0x k21x M

43m 2

224

M34

kmk 0xk x M

23m 4 n

M23m4m2

Problem:Aşağıdaki titreşim sisteminin üzerine m kütlesi hyüksekliğinden düşüp yapışıyor M kütlesinin hareket denkleminiyüksekliğinden düşüp yapışıyor. M kütlesinin hareket denkleminiyazınız.

m

h

M xM

k

x

k

Çözüm:

m

gh2m

x mM

h

M xm

gh2V mMgh2m

Vx 00

M

k

x

k

M x

kmgx0

k kk

kx

m kütlesi ile M’nin çarpıştığı andaki momentumunu yazalım m kütlesi ile M nin çarpıştığı andaki momentumunu yazalım.

mMgh2m

x V VmM2gh m Vm)(M Vm 0000

m kütlesinden dolayı k yayı bir miktar sıkışır.

mg

kgx0st

Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton’un 2. kanunu uygulanırsa,

0xk x mM x-k x mM a mF

Sistemin tabii frekansı.Sistemin tabii frekansı.

mMk

mk

n

mMm

Sönümsüz serbest titreşim hareketinin başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki gibiydi:

t sinx

t cosx)t(x nn

0n0

d ğ l i k ldeğerler yerine konulura;

t

Mksin

Mkgh2mt

Mkcos

kmgtx

mMmMkmMk

2cos sin mg k gh kx t t m t

k M m k M m M m

2cos sin mg k gh kx t t m tk M m k M m M m

k M m k M m M m

0.01

0.015

0.01

0.015

k M m k M m M m

0 005

0

0.005

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.005

0

0.005

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-0.015

-0.01

-0.005

-0.015

-0.01

0.005

Documents

TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış