Title ファブリペロー共振器の励振理論( Dissertation_全文 )

Author(s) 吉田 靖夫

Citation 京都大学

Issue Date 1970-11-24

URL httpsdoiorg1014989doctork1044

Right

Type Thesis or Dissertation

Textversion author

Kyoto University

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ファブリペロー共振器の励振理論

士に１

１９７０年２月

田靖 夫

ｆｎｔ―－ｍ＾＾

ｙrsquo～＾－

第１章

sect１１

sectｔ２

第ご２章

sectａ１

序論

目

ファブリペロー共振器研究の歴史

本論文の梗概

強制励振

序

sect２２基礎方程式

sect２３基礎方程式の解法および数値結果

（１）基礎方程式の近似解法

（２）励振パワー

（３）共振器内部の場の分布

sect

sect

２４簡略解

２５増幅および減衰helliphelliphelliphellip

第３章

sect８１

sect８２

sect３８

sect３Ｊ４

sect８５

sect３６

第４章

半透過鏡を通しての励振

序

基礎方程式

半透過鏡の境界条件

平面波の傾斜入射

自由振動

数値結果

sect４１序

次

rsquo か ー rArr

１

２

５

９

９

１０

１７

１７

２０

３１

４４

５２

５７

５７

５８

６３

６７

３

有孔鏡共振器の励振

sect４２基礎方程式

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

（２）共振器内部の場の分布

－

７２

９１

１２

９９

９７

９７

１０６ＤＯＣ

１９７０

３

電気系

Ｉ Ｗ ４ 丿 回 Ｉ － － ４ 二 ｀ や

ヽ rarr Ｗ hArr Ｗ － － ４ ｔ Ｗ ４ － ４ φ ６ hArr － ｌ ゜ ゛ ゛ ゛ ゜ Ｉ ゛ ゛ ゜ ゛ Ｉ ゛

Ｗ Ｉ Ｗ － 二 hArr Ｗ ニ － Ｗ Ｉ Ｗ Ｗ － ４ － － － Ｗ

４ ４ ４ φ ｆ ４ ∽ ４ 軸 ４ ｍ 一 丿 争 －

丿 丿 丿 － － ４ 丿 φ Ｐ Ｉ Ｉ 丿 絢 １ 軸 Ｉ Ｉ Ｉ ４ φ 輛 ９ ∽ － 争 争 － rArr Ｗ － ミ

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４ Ｗ ４ － 争 四 － － 丿 ４ － Ｗ φ 丿 φ Ｗ 丿 － ４ － －

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ｗ － － 岬 Ｉ 二 ４ ふ 二 － Ｗ － ４ 丿 ４ 二 φ larr － Ｗ － ４ 四 － － －

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丿 Ｉ 丿 Ｉ － Ｗ divide － －

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四丿－－－やＷ－ｂ－－ＷＷ－゛争ＷＷ－－四゜－－

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丿 － － Ｉ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｗ Ｗ － や 丿 丿 ｌ Ｗ

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－ ４ 紳 峠 － 丿 － 丿 ｍ ∽ ４ 丿 － ４ ４ ４ ｆ ～ ～ － Ｗ Ｗ ４ － Ｗ ｉ ｍ 四

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－ － ４ ４ － 丿 rArr para ９ 丿 － Ｉ 二 Ｉ ４ 二 ４ － Ｗ Ｓ ４ －

－－helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphellip－－－－helliphelliphellip－－－－－－－helliphellip７

（３）無限長矩形平行平板共振器

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

第５章sect５１

sect５２

sect５８

sect５４

sect５６

謝辞

付録１１

付録２１

付録２２

付録８１

付録８２

付録８８

付録８４

付録５１

両鏡傾斜共振器の自由振動モード

序

１１３

１１４

１２１

１２１

１２２

１２７

１３０

１３６

１３９

１４０

１４

４４

１１

１４９

１５０

１５２

ＣＯｈｔｔｐｗｗｗｉｒｔ

ｌＡｍ１０

１１１

１５９

１６Ｓ

々

－

ｉ

rsquo―

９Prime｀卜

基礎方程式

回折損失

第６章結論

ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

傾斜パラメータＫの意味－－helliphelliphelliphellip

参考文献

主要記号表

マイクロ波ミリ波におけるファブリペロー

共振器に関する実験

行列要素の計算

行列要素のベキ展開

誘電体多層膜鏡の基準面ｌ

積分１

積分８

積分４

積分２helliphelliphelliphelliphellip

Ｉ ４ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ para ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 丿 φ 峰 Ｉ － Ｗ 曝 ４

－ ｍ ４ 四

Ｉ ４ 争

か － － － Ｉ 丿 岬 －

｀ ｀ φ － Ｉ ｀ ｆ Ｉ Ｉ Ｗ － ｀

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争 丿 Ｉ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ ｀ para Ｉ Ｉ para ｀ rsquo

ｌ ｌ rsquo １ ゜ ゛ １ Ｉ ゝ Ｉ ｔ rsquo ゜ 丿 para Ｉ

Ｉ

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第１章 序 論

ファプリペロー共振器（Ｆａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔｒｅｓｏｎａｔｏｒ）は２枚の鏡を向い合

せてそれらの間で電磁波または超音波の共振を行わせるものである鏡以外

には共振器の仕切りはなく共振器内部と外部空間は連続しているために別

名ｏｐｅｎｒｅｓｏｎａｔｏｒとも呼ばれる元来ファブリペロー共振器は光学分野で

の高分解能のファブリペロー干渉計として用いられていてｊ無限の面積をも

つ鏡として幾何光学的な面からの解析が行われていたしかしファプリペ

ロー共振器の研究が飛躍的に発展したのはＳｃｈａｗｏｗＴｏｗｎＪＰｒｏｋｈｏｒｊ

によってレーザの可能性が提案されそのための共振器としてこれがとりあげ

られたことを契機としたものである従来干渉計としては２枚の鏡を接近させ

て用いていたがレー－ザ共振器としては２枚の鏡間にレ＝ザ物質を入れて十分の

利得が必要であることから鏡間隔を拡げて用いるようになったそのために

開口よりの回折効果が重要となり波動光学的解析が要求されることとなった

レーザ用の共振器として従来のマイクロ波空胴共振器と類似のものが用いられ

ない理由は空胴型ではＱ値が低いことに加えるに短波長のために波長程度の

大きさの共振器を製作できないことおよび製作可能な寸法の空胴共振器を用

いるとモード密度が高過ぎて低いＱ値と相まって共振の性質が失われること

であるそこでそれに代るものとして高いＱ値と低いモード密度をもつファ

プリペロー共振器が用いられることとなったレーザの発展とともにファ

プリペロー共振器の鏡の形状配置にも種々の変形が現れた平面鏡以外に

球面鏡を用いるものも多く特に両凹面鏡の焦点を一致させた配置は共焦点

配置といってもっとも回折損失の少いものとして注目されているファプリ

ペロー共振器はレーザ共振器用以外に周波数誘電率の測定プラズマ診断

等に利用されるレーザの発振モードを調べるための走査型干渉計もこめ共振

器の一変形であるレーザ共振器用としては主に共焦点配置に近いものが用い

られるがそれ以外の利用には平行平面配置もしぱしば用いられる広義には

ファブリペロー共振器は平面鏡球面鏡配置いずれをも合んでいるが狭義

には平行平面鏡配置のみを意味する特に最近では狭義の用法が多い

１

sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

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ふ

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Ｓｉ一 一 一 一

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一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

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Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

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木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

２Ｉ

Ｉ

１

ｈＩ

ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

ε０ｔ

０５

０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

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ｊ

ｌ

１

｜

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シーブ＿二

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ブドｊｙノレレダダ゛

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コolineolineoline

｜

二二

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－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

恥４

３０

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゛｀

ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

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－ｌ

ヤ

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＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

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－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

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｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

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卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

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＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

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－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

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（ヅ（φ３）Ｕ３）

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１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

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６ｊ

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３０

２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

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（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

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ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

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４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

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ｉｉＩ

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０４ 石

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rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

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rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

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１３ＳＶ工ｄ

６

４２

一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

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Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

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２６図ｅ鏡面トにおける場の分布

３ＳＶＨｄ

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hellip一ａｎｉｉｉｄｉ＾ｖ

１

今＝十〇０１５９

０２ ０４ ０６ ｏ政ＬＯ

２６図ｄ鏡面上における場の分布

≪supe rsquoヽ゛｀ブヽrdquo

コ２ｊ

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１１

９《ｆrdquo２７０

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２６図ｆ鏡面上における場の分布

－－－－－－Ｚｔrsquoｔ

０２

２６図ｇ鏡面上における場の分布

rdquo゛二へ゛olineacuteゝき

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ｉここ「＿」＿＿＿Ｌ

Ｃ＝Ｕｌ

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ヽヽ－ヽ｀へ

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２６図ｉ鏡面上における場の分布

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２６図ｈ鏡面上における場の分布

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２１６図ｋ鏡面上における場の分布

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２６図丿鏡面上における場の分布

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２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

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涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

魯

乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

０Ｚ

Ｔ＝Ｉ

７＝１０２５－rdquo

Ｊ

①０

２０鴎ノ

（ｉＬｘ－ｎ）

晶＿＿rarr

うrsquoｌdeg

－

］

ｉ｛Ｃｏｊ）－ｌｓ

］ム

＿

い川（０２）ｏ

｜

叫

口に

丿川

いいパドリハ

９卜川いＴレドcap

１ｎｌ

フス

｜

べｉ

１χ

１

χｌ

rsquo｀χ｜

helliphelliphellip

sup

ang

－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

之

３５図透過率とパワーの関係

７５

Ｊ

Ｔ９多

ｋＵ０ノｔ－ト気価ヽ門凧翼

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８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

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８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

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で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

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３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

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３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

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８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

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２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

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振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

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３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

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振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

８３

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振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

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８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

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振幅（立体図）

３９図ｇ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

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振幅（立体図）

３９図ｈ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

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８９図ｉ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

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振幅（立体図）

８９図丿傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５鴨ａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｋ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

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振幅（立体図）

３９図pound傾斜入射の場の分布

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振幅（立体図）

３９図ｍ傾斜入射の場の分布

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３９図ｎ傾斜入射の場の分布

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

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４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

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一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

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ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

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皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

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幅射科学研究会資料（１９６５年７月）

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１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

３５）ＧＫｏｐｐｅｌｍａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｚｕｎｄＥｉｇｅｎｗｅｌｌｅｎｉｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（Ｌ９６５）２２０

３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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にχ｝

ファブリペロー共振器の励振理論

士に１

１９７０年２月

田靖 夫

ｆｎｔ―－ｍ＾＾

ｙrsquo～＾－

第１章

sect１１

sectｔ２

第ご２章

sectａ１

序論

目

ファブリペロー共振器研究の歴史

本論文の梗概

強制励振

序

sect２２基礎方程式

sect２３基礎方程式の解法および数値結果

（１）基礎方程式の近似解法

（２）励振パワー

（３）共振器内部の場の分布

sect

sect

２４簡略解

２５増幅および減衰helliphelliphelliphellip

第３章

sect８１

sect８２

sect３８

sect３Ｊ４

sect８５

sect３６

第４章

半透過鏡を通しての励振

序

基礎方程式

半透過鏡の境界条件

平面波の傾斜入射

自由振動

数値結果

sect４１序

次

rsquo か ー rArr

１

２

５

９

９

１０

１７

１７

２０

３１

４４

５２

５７

５７

５８

６３

６７

３

有孔鏡共振器の励振

sect４２基礎方程式

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

（２）共振器内部の場の分布

－

７２

９１

１２

９９

９７

９７

１０６ＤＯＣ

１９７０

３

電気系

Ｉ Ｗ ４ 丿 回 Ｉ － － ４ 二 ｀ や

ヽ rarr Ｗ hArr Ｗ － － ４ ｔ Ｗ ４ － ４ φ ６ hArr － ｌ ゜ ゛ ゛ ゛ ゜ Ｉ ゛ ゛ ゜ ゛ Ｉ ゛

Ｗ Ｉ Ｗ － 二 hArr Ｗ ニ － Ｗ Ｉ Ｗ Ｗ － ４ － － － Ｗ

４ ４ ４ φ ｆ ４ ∽ ４ 軸 ４ ｍ 一 丿 争 －

丿 丿 丿 － － ４ 丿 φ Ｐ Ｉ Ｉ 丿 絢 １ 軸 Ｉ Ｉ Ｉ ４ φ 輛 ９ ∽ － 争 争 － rArr Ｗ － ミ

∽ ４ 二 ９ 如 丿 larr ４ － － 丿 － 丿 ４ － 軸 丿 ｔ －

rArr ミ ー １ ｀ ゜ ｀ ゜ ゛ ゜ １ ゜ rsquo － ゜ ゛ ｀ 丿 rsquo －

ｔ や － － 丿 ４ Ｉ － １ Ｉ Ｗ ４ － － － 四 － － －

４ Ｗ ４ － 争 四 － － 丿 ４ － Ｗ φ 丿 φ Ｗ 丿 － ４ － －

－ ｔ － Ｉ － Ｓ 丿 － larr －

ｗ － － 岬 Ｉ 二 ４ ふ 二 － Ｗ － ４ 丿 ４ 二 φ larr － Ｗ － ４ 四 － － －

－ － Ｗ ４ 丿 － － 一 条 ４ － Ｗ Ｗ 丿 ４ 丿 い Ｗ － － Ｗ

丿 Ｉ 丿 Ｉ － Ｗ divide － －

゜ ～ ４ １ ゝ Ｉ ｗ 丿 丿 － 二 － － ミ － 争 脚 丿 －

四丿－－－やＷ－ｂ－－ＷＷ－゛争ＷＷ－－四゜－－

４ ４ Ｉ ４ rsquo １ para φ や ｔ 丿 ４ － 丿 ４ Ｗ

ｄ － ｓ － ｉ － Ｉ － Ｗ ４ や

ｗ 』 － rarr 丿 － Ｗ － － － － － Ｗ

－ 丿 緬 larr Ｒ 峠 Ｉ ｊ 回 丿 ４ 丿 ｆ ４ － 粂 Ｗ ４ Ｗ Ｗ － － －

丿 － － Ｉ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｗ Ｗ － や 丿 丿 ｌ Ｗ

や ー － － 心 － を を 桐 Ｉ Ｉ ４ － 心 － Ｗ 争 ４ 争 四 Ｗ 丿 － － ミ － ４ ４

－ ４ 紳 峠 － 丿 － 丿 ｍ ∽ ４ 丿 － ４ ４ ４ ｆ ～ ～ － Ｗ Ｗ ４ － Ｗ ｉ ｍ 四

rdquo ＝ 一 － － ４ ｔ 丿 － Ｗ Ｗ －

－ － ４ ４ － 丿 rArr para ９ 丿 － Ｉ 二 Ｉ ４ 二 ４ － Ｗ Ｓ ４ －

－－helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphellip－－－－helliphelliphellip－－－－－－－helliphellip７

（３）無限長矩形平行平板共振器

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

第５章sect５１

sect５２

sect５８

sect５４

sect５６

謝辞

付録１１

付録２１

付録２２

付録８１

付録８２

付録８８

付録８４

付録５１

両鏡傾斜共振器の自由振動モード

序

１１３

１１４

１２１

１２１

１２２

１２７

１３０

１３６

１３９

１４０

１４

４４

１１

１４９

１５０

１５２

ＣＯｈｔｔｐｗｗｗｉｒｔ

ｌＡｍ１０

１１１

１５９

１６Ｓ

々

－

ｉ

rsquo―

９Prime｀卜

基礎方程式

回折損失

第６章結論

ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

傾斜パラメータＫの意味－－helliphelliphelliphellip

参考文献

主要記号表

マイクロ波ミリ波におけるファブリペロー

共振器に関する実験

行列要素の計算

行列要素のベキ展開

誘電体多層膜鏡の基準面ｌ

積分１

積分８

積分４

積分２helliphelliphelliphelliphellip

Ｉ ４ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ para ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 丿 φ 峰 Ｉ － Ｗ 曝 ４

－ ｍ ４ 四

Ｉ ４ 争

か － － － Ｉ 丿 岬 －

｀ ｀ φ － Ｉ ｀ ｆ Ｉ Ｉ Ｗ － ｀

゛ ｀ ～ ～ ＝ ｀ ９ ldquo を ゛ ４ ～ か Ｗ ゛ ＝ － rarr 』 － － rsquo １ ～ 丿 － ＝

丿 丿 ｒ Ｉ ｀ Ｗ － ゛

ｉ 丿 Ｉ Ｉ 丿 １ 丿 丿 Ｉ Ｉ 鼻 lsquo

Ｆ ｉ 丿 Ｗ 丿 － 丿 － Ｗ － ｍ

峙 Ｗ １ Ｉ Ｉ ｔ － 紳 － ゛ ｀

ｔ １ － ｆ ｌ Ｍ ６ ｍ ４ ４ １ 紳 か Ｗ 争 ゛ ゜

１ Ｉ １ Ｉ ｊ ｊ Ｊ Ｓ Ｉ － ｔ Ｗ Ｗ ４ ゛ ゜ ｀ ゜ － ゛ ゛ ゜ Ｉ Ｉ ldquo ldquo ゛ ゜

争 丿 Ｉ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ ｀ para Ｉ Ｉ para ｀ rsquo

ｌ ｌ rsquo １ ゜ ゛ １ Ｉ ゝ Ｉ ｔ rsquo ゜ 丿 para Ｉ

Ｉ

Ｉ divide ゜ １ １ ４ ｔ １ Ｉ や ゛

｀ ゜ ゜ ゛

φ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｀ ｌ ゜ か ゛ ゜ 丿 ゜

rsquo

Ｉ Ｉ Ｉ ゜

Ｉ Ｉ ｉ Ｉ 丿 Ｉ Ｉ ゜

－ ｀ Ｉ ゜ １ ゛ Ｉ ｌ ｉ

－ 丿 Ｉ

４ 二 １ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｉ

丿 ゜ －

－ １ Ｉ Ｉ Ｉ － Ｉ 丿 Ｉ ｌ ｌ 丿 丿 Ｍ － ｉ Ｗ ｀

丿 ｒ 丿 丿 Ｍ － ４ － Ｉ Ｉ ｉ 丿 Ｉ 丿 丿 Ｓ 二 ～ 昏 丿 － ｀ ゜ Ｗ 丿 ４ 丿

ａ

４

吻

μ゛

第１章 序 論

ファプリペロー共振器（Ｆａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔｒｅｓｏｎａｔｏｒ）は２枚の鏡を向い合

せてそれらの間で電磁波または超音波の共振を行わせるものである鏡以外

には共振器の仕切りはなく共振器内部と外部空間は連続しているために別

名ｏｐｅｎｒｅｓｏｎａｔｏｒとも呼ばれる元来ファブリペロー共振器は光学分野で

の高分解能のファブリペロー干渉計として用いられていてｊ無限の面積をも

つ鏡として幾何光学的な面からの解析が行われていたしかしファプリペ

ロー共振器の研究が飛躍的に発展したのはＳｃｈａｗｏｗＴｏｗｎＪＰｒｏｋｈｏｒｊ

によってレーザの可能性が提案されそのための共振器としてこれがとりあげ

られたことを契機としたものである従来干渉計としては２枚の鏡を接近させ

て用いていたがレー－ザ共振器としては２枚の鏡間にレ＝ザ物質を入れて十分の

利得が必要であることから鏡間隔を拡げて用いるようになったそのために

開口よりの回折効果が重要となり波動光学的解析が要求されることとなった

レーザ用の共振器として従来のマイクロ波空胴共振器と類似のものが用いられ

ない理由は空胴型ではＱ値が低いことに加えるに短波長のために波長程度の

大きさの共振器を製作できないことおよび製作可能な寸法の空胴共振器を用

いるとモード密度が高過ぎて低いＱ値と相まって共振の性質が失われること

であるそこでそれに代るものとして高いＱ値と低いモード密度をもつファ

プリペロー共振器が用いられることとなったレーザの発展とともにファ

プリペロー共振器の鏡の形状配置にも種々の変形が現れた平面鏡以外に

球面鏡を用いるものも多く特に両凹面鏡の焦点を一致させた配置は共焦点

配置といってもっとも回折損失の少いものとして注目されているファプリ

ペロー共振器はレーザ共振器用以外に周波数誘電率の測定プラズマ診断

等に利用されるレーザの発振モードを調べるための走査型干渉計もこめ共振

器の一変形であるレーザ共振器用としては主に共焦点配置に近いものが用い

られるがそれ以外の利用には平行平面配置もしぱしば用いられる広義には

ファブリペロー共振器は平面鏡球面鏡配置いずれをも合んでいるが狭義

には平行平面鏡配置のみを意味する特に最近では狭義の用法が多い

１

sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

－

ｆlsquo

ふ

rdquo

一鴫

叫

４rsquo

｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

２Ｉ

Ｉ

１

ｈＩ

ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

ε０ｔ

０５

０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

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ｌ

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一 一

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ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

』

－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

ル

クぐニニサ

りχ

９２

helliphellip

り

and

ニ

Λト

〉十

ヤ

χべ

rsquo仁ヽ

一一卜χ丿olineト｀ヽ

ｌlsquo

χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

ロ

＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

コ

（０）

ブ

ザーご１

ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

ヅ

へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

Ａ

｀ノノandand

ｘ

ゾ

１メ（２）ｉノ頒ン

ハへ斗

ノ

ノレoline卜玉

ノ

ダrsquo

犬柚バレ｀コり゛十

ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

｜べ

トuarr

゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

ｔ

６ｊ

５０

必

４０

ＫＳＩ

３０

２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

ＩＩ

rdquo － ＝

０

ｊｌ

（２０）

ＩＩ

１１

１

１１１１

１

１

卜

（０り

sect

ＩＩ

ＩＩ

ＩＩ

１

１ｊ

１

ｌ

（）

八

よ

ｏＯＳ

ｊ

７

ｊ

１

１

１

Λ

ｕｌ）

Ｖ

pound

一一

四rdquo

２０

ａ

一 －

（２）

～

Ｉ

Ｉ

ダｐｔ

１＝ part

ク」

（２

２）

acutelsquo｀ゝゝ

rsquo

へ

ゝ

χ

χ

（Ｑヽ３ｊ）

Ｘ

｀

１

－ larr

Ｗ － Φ

rsquo

χχχχ

（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

Ｏdeg

ｓｔ

｜

ｙ rdquo

１３ＳＶ工ｄ

６

４２

一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

４

－Ｚ＝Ｏ｀Ｎ

ｚ＝ｉ

ぺ｀゛rsquolsquorsquo゛゛Ｋ

ホス「１１

十〇１０１３２

」

｀χ

－Ｚ＝Ｏ

゛Ｑ゛Ｑ

olineolineolineolineｚdegＬぐ゛

Ｏ０２０４Ｑ６０８ｒえ１（

５０deg

Ｚ

２０deg

〆〆〆

９０deg－｀rsquo゛｀rsquo゜

８

５びヽ－rsquo

≫≫rdquo―〆゛＝

２０degrdquo

９

６

Ａ＝１０

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へ

心－

３ＳＶＨｄ

４

一（）ＤトコｄｌＮＶ

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Ｚ－０

一一一一一一－Ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ｎ＝

０６

１０

０８１０

２６図ｅ鏡面トにおける場の分布

３ＳＶＨｄ

４２一

hellip一ａｎｉｉｉｄｉ＾ｖ

１

今＝十〇０１５９

０２ ０４ ０６ ｏ政ＬＯ

２６図ｄ鏡面上における場の分布

≪supe rsquoヽ゛｀ブヽrdquo

コ２ｊ

１ＳdegＦＩｊ

Ｉ５ｔｆ

１１

１２ｆ

１１

９《ｆrdquo２７０

１ノ１

６０acute゛｀ヾ

し～ゝ一ヘノ

３０゛rsquoacute゛

＝

ｎ｀

ｌ８０rsquoｉ

１５δへrsquoPrime｀ヽ一ヘヘーノ

｀乙－lsquo

１２０

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６ｊ

一一一｀４工ｄ

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０６ ０８Ｉａ１０

３ＳＶ工ｄ

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hellip一Ｄｎｉｉｉｄｗｖ

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Ａ＝｜

ε＝０１

０６ ０８ＩＯ

一一一一Ｚ＝Ｌ

ｏ卜十立

２６図ｆ鏡面上における場の分布

－－－－－－Ｚｔrsquoｔ

０２

２６図ｇ鏡面上における場の分布

rdquo゛二へ゛olineacuteゝき

PrimePrimersquo｀゛｀ゝゝゝヾヽ

ｉここ「＿」＿＿＿Ｌ

Ｃ＝Ｕｌ

゛ｌｙ２rsquo＝ｚ７＋（λ０７０

ヽヽ－ヽ｀へ

rsquoゝ１－－－－＾

～

ｙrdquo〆rsquo゛oline゛｀－べ

８ｏdeg１

叫｜｜

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２迄ｊド｀rsquo

９ｏrsquo２７０deg

６（ｆ

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６１

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一hellip一ｓｖ工ｄ

３ａｎｉｎｄｗ

２０

１０

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０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

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４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

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rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

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９０deg゛ヽノPrime

２７０deg゛ノ

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６（アｚ

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１１

５０deg

２（ｙdeg

９

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］｀４エ｀

３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

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ｏ石 ｏａＩａ１０

２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

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二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

６べ

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－－－－－Ｚ乙２ム゛い゛ｋて１゜十〇０３６

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１

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一一一（）コにＬＨｄｎｖ

０

Ｚ＝０

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０４

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Ａ＝５

pound＝０１

警三９十〇０２５４

０６ ０８ｌｄ１０

ω１４エ｀

６４２０

］（一コトコｄｍ

Ｚ＝Ｏ

Ｚ＝pound

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Ａ＝２０

pound＝０｜

登＝７十〇１６４

０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

ゝき

へＷミ

ゝへ∽－－＝～～ゝ

４ゝゝ

へ～～－ミーぺ

ゝχ

５０゛－

２０rsquoぶ

～へ∽～ｊlsquo

９ｄrsquolsquorsquo

６ｄrsquo

Ａ＝５

１８０ｊｌ

ｊ

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２０

川｜

ノ

１ノ

９０２７０deg４５゛６３０deg

ダ｀ノＪｊ１７〆

６０ｙｌ

Ｉ

ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

魯

乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

０Ｚ

Ｔ＝Ｉ

７＝１０２５－rdquo

Ｊ

①０

２０鴎ノ

（ｉＬｘ－ｎ）

晶＿＿rarr

うrsquoｌdeg

－

］

ｉ｛Ｃｏｊ）－ｌｓ

］ム

＿

い川（０２）ｏ

｜

叫

口に

丿川

いいパドリハ

９卜川いＴレドcap

１ｎｌ

フス

｜

べｉ

１χ

１

χｌ

rsquo｀χ｜

helliphelliphellip

sup

ang

－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

之

３５図透過率とパワーの関係

７５

Ｊ

Ｔ９多

ｋＵ０ノｔ－ト気価ヽ門凧翼

べ

（乱）

－１０

－｜「

２０Ｉ

Ｖ３Ｍ０ｃｌ

－２５

－３０

（００）

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Ｑ

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１り

rsquo１１１１１ヽＩＩＩ

ｒ１１Ｆ

Ｉ１叫

para ９ Ｗ

（２０）

ｙuarrｔ八

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いい）

Ｉ八口同umlＡ

Ｘ

１１１１

丿

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ＩＩＩＳ

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ｊ

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Ｘ

Ｘ

andＸ

Ｘ

χ

χ

ｏｏｓヶ＿ＦＲＥＱｔ

｜ ｜ ｜

叫八－ｏ

叫λ一皿Ｉ

峠ごぺ牛こり

｀ｒ４１嘔

Ｎ￥助

（｜２＝）

へ

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ソコχ

Λ

之ムムご島

じゝ－－－Ｑ４ＳＩ

（０３）

（０２

（２０

ｙ Ｑ１

８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

rdquo

一一

ｄｂ

刈Ｏ

引５

０ＩＨｌＭＯｄ

７７

２Ｓ

－３０

（００）

ゝ

（｜０）

（２０）（０１）

χacute

ヽ－

ゝχ

ノ｀十ぺ

止＿二＿helliphellip－１＿

Ｓ

Ｔ＝２

Ｔ＝Ｉ

Ｔこ０５

Ｎ２０

ａφλＬ＝０３

よ

＿＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

００２ＦＲＥＱびＥか＾ｃｒ Ｑ呼２ムÅ一息二心part

８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

ミ

）ヽand

石

ヤ

〉

χ

－Ｔ＝０５χoline｜

Ｎ２０

ノト０３

（１よ）

rdquolsquo｀

Ｘ

ノ

レソ

ソ

ｚ

｀゛へヽ

＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

１

１

ｊ

１

｜

－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

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０２ ０４ ｏ６０８１０

３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

Ｌdarr」

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３ａｎトコ」｀lsquoく

‐４１１Ｉ‐ＩＦｓ

２４０６

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０６ ０ａ ＬＯ

３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

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＿＿」＿＿」二て」」に＿上＿に＿

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２Ｌ＿

Ｗoline馬

十〇０８９

０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

and］≪

呼６ａｌ０１Ｚ

rsquoｏ哨一

rsquoｏ訥一

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位

幅

゜ＣＯＭ１１ｙ

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七ヽご一rsquoldquo゛

相

ｌ

振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

２千ｇ

振

位

２吽Ｇｌ１０

幅

相

くｃてこここてニニニー

振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

Ｗ

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ｌ

ｊχＪ゛

－rsquo～＾ｊへ゛｀こ

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｜０１０ＩＳ－ＺＯａｏ

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位 相

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振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

８３

振

位

肪琵ｇ

幅

相

２ご七てニコつ

振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

ドー－ニこ

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ｙ

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ンノマ｀ヽへ≪でコロ

振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

８４

一づヽ

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２１１１３今Ｓ

振

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相

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振袖（立体図）

８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

ｙ

一一一一－－－奏蓼四

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振幅（立体図）

３９図ｇ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌpermilａ吻λ＝０１

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８５

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振幅（立体図）

３９図ｈ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

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振幅（立体凶）lsquo

８９図ｉ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０１Ｘ＾＝０５ａ吻λ＝０３

８６

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振幅（立体図）

８９図丿傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５鴨ａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｋ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

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振幅（立体図）

３９図pound傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

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振幅（立体図）

３９図ｍ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝１０Ｔ＝１permilａφｙλ＝０１

８８

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芦幅（立体図

３９図ｎ傾斜入射の場の分布

翫鵬二茫叩絲

四回三回

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

｀olineoline

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一一一－一一

〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

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１５９

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ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

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皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

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１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

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３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

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３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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ｆｎｔ―－ｍ＾＾

ｙrsquo～＾－

第１章

sect１１

sectｔ２

第ご２章

sectａ１

序論

目

ファブリペロー共振器研究の歴史

本論文の梗概

強制励振

序

sect２２基礎方程式

sect２３基礎方程式の解法および数値結果

（１）基礎方程式の近似解法

（２）励振パワー

（３）共振器内部の場の分布

sect

sect

２４簡略解

２５増幅および減衰helliphelliphelliphellip

第３章

sect８１

sect８２

sect３８

sect３Ｊ４

sect８５

sect３６

第４章

半透過鏡を通しての励振

序

基礎方程式

半透過鏡の境界条件

平面波の傾斜入射

自由振動

数値結果

sect４１序

次

rsquo か ー rArr

１

２

５

９

９

１０

１７

１７

２０

３１

４４

５２

５７

５７

５８

６３

６７

３

有孔鏡共振器の励振

sect４２基礎方程式

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

（２）共振器内部の場の分布

－

７２

９１

１２

９９

９７

９７

１０６ＤＯＣ

１９７０

３

電気系

Ｉ Ｗ ４ 丿 回 Ｉ － － ４ 二 ｀ や

ヽ rarr Ｗ hArr Ｗ － － ４ ｔ Ｗ ４ － ４ φ ６ hArr － ｌ ゜ ゛ ゛ ゛ ゜ Ｉ ゛ ゛ ゜ ゛ Ｉ ゛

Ｗ Ｉ Ｗ － 二 hArr Ｗ ニ － Ｗ Ｉ Ｗ Ｗ － ４ － － － Ｗ

４ ４ ４ φ ｆ ４ ∽ ４ 軸 ４ ｍ 一 丿 争 －

丿 丿 丿 － － ４ 丿 φ Ｐ Ｉ Ｉ 丿 絢 １ 軸 Ｉ Ｉ Ｉ ４ φ 輛 ９ ∽ － 争 争 － rArr Ｗ － ミ

∽ ４ 二 ９ 如 丿 larr ４ － － 丿 － 丿 ４ － 軸 丿 ｔ －

rArr ミ ー １ ｀ ゜ ｀ ゜ ゛ ゜ １ ゜ rsquo － ゜ ゛ ｀ 丿 rsquo －

ｔ や － － 丿 ４ Ｉ － １ Ｉ Ｗ ４ － － － 四 － － －

４ Ｗ ４ － 争 四 － － 丿 ４ － Ｗ φ 丿 φ Ｗ 丿 － ４ － －

－ ｔ － Ｉ － Ｓ 丿 － larr －

ｗ － － 岬 Ｉ 二 ４ ふ 二 － Ｗ － ４ 丿 ４ 二 φ larr － Ｗ － ４ 四 － － －

－ － Ｗ ４ 丿 － － 一 条 ４ － Ｗ Ｗ 丿 ４ 丿 い Ｗ － － Ｗ

丿 Ｉ 丿 Ｉ － Ｗ divide － －

゜ ～ ４ １ ゝ Ｉ ｗ 丿 丿 － 二 － － ミ － 争 脚 丿 －

四丿－－－やＷ－ｂ－－ＷＷ－゛争ＷＷ－－四゜－－

４ ４ Ｉ ４ rsquo １ para φ や ｔ 丿 ４ － 丿 ４ Ｗ

ｄ － ｓ － ｉ － Ｉ － Ｗ ４ や

ｗ 』 － rarr 丿 － Ｗ － － － － － Ｗ

－ 丿 緬 larr Ｒ 峠 Ｉ ｊ 回 丿 ４ 丿 ｆ ４ － 粂 Ｗ ４ Ｗ Ｗ － － －

丿 － － Ｉ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｗ Ｗ － や 丿 丿 ｌ Ｗ

や ー － － 心 － を を 桐 Ｉ Ｉ ４ － 心 － Ｗ 争 ４ 争 四 Ｗ 丿 － － ミ － ４ ４

－ ４ 紳 峠 － 丿 － 丿 ｍ ∽ ４ 丿 － ４ ４ ４ ｆ ～ ～ － Ｗ Ｗ ４ － Ｗ ｉ ｍ 四

rdquo ＝ 一 － － ４ ｔ 丿 － Ｗ Ｗ －

－ － ４ ４ － 丿 rArr para ９ 丿 － Ｉ 二 Ｉ ４ 二 ４ － Ｗ Ｓ ４ －

－－helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip－helliphelliphelliphelliphellip－－－－helliphelliphellip－－－－－－－helliphellip７

（３）無限長矩形平行平板共振器

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

第５章sect５１

sect５２

sect５８

sect５４

sect５６

謝辞

付録１１

付録２１

付録２２

付録８１

付録８２

付録８８

付録８４

付録５１

両鏡傾斜共振器の自由振動モード

序

１１３

１１４

１２１

１２１

１２２

１２７

１３０

１３６

１３９

１４０

１４

４４

１１

１４９

１５０

１５２

ＣＯｈｔｔｐｗｗｗｉｒｔ

ｌＡｍ１０

１１１

１５９

１６Ｓ

々

－

ｉ

rsquo―

９Prime｀卜

基礎方程式

回折損失

第６章結論

ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

傾斜パラメータＫの意味－－helliphelliphelliphellip

参考文献

主要記号表

マイクロ波ミリ波におけるファブリペロー

共振器に関する実験

行列要素の計算

行列要素のベキ展開

誘電体多層膜鏡の基準面ｌ

積分１

積分８

積分４

積分２helliphelliphelliphelliphellip

Ｉ ４ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ para ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 丿 φ 峰 Ｉ － Ｗ 曝 ４

－ ｍ ４ 四

Ｉ ４ 争

か － － － Ｉ 丿 岬 －

｀ ｀ φ － Ｉ ｀ ｆ Ｉ Ｉ Ｗ － ｀

゛ ｀ ～ ～ ＝ ｀ ９ ldquo を ゛ ４ ～ か Ｗ ゛ ＝ － rarr 』 － － rsquo １ ～ 丿 － ＝

丿 丿 ｒ Ｉ ｀ Ｗ － ゛

ｉ 丿 Ｉ Ｉ 丿 １ 丿 丿 Ｉ Ｉ 鼻 lsquo

Ｆ ｉ 丿 Ｗ 丿 － 丿 － Ｗ － ｍ

峙 Ｗ １ Ｉ Ｉ ｔ － 紳 － ゛ ｀

ｔ １ － ｆ ｌ Ｍ ６ ｍ ４ ４ １ 紳 か Ｗ 争 ゛ ゜

１ Ｉ １ Ｉ ｊ ｊ Ｊ Ｓ Ｉ － ｔ Ｗ Ｗ ４ ゛ ゜ ｀ ゜ － ゛ ゛ ゜ Ｉ Ｉ ldquo ldquo ゛ ゜

争 丿 Ｉ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ ｀ para Ｉ Ｉ para ｀ rsquo

ｌ ｌ rsquo １ ゜ ゛ １ Ｉ ゝ Ｉ ｔ rsquo ゜ 丿 para Ｉ

Ｉ

Ｉ divide ゜ １ １ ４ ｔ １ Ｉ や ゛

｀ ゜ ゜ ゛

φ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｀ ｌ ゜ か ゛ ゜ 丿 ゜

rsquo

Ｉ Ｉ Ｉ ゜

Ｉ Ｉ ｉ Ｉ 丿 Ｉ Ｉ ゜

－ ｀ Ｉ ゜ １ ゛ Ｉ ｌ ｉ

－ 丿 Ｉ

４ 二 １ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｉ

丿 ゜ －

－ １ Ｉ Ｉ Ｉ － Ｉ 丿 Ｉ ｌ ｌ 丿 丿 Ｍ － ｉ Ｗ ｀

丿 ｒ 丿 丿 Ｍ － ４ － Ｉ Ｉ ｉ 丿 Ｉ 丿 丿 Ｓ 二 ～ 昏 丿 － ｀ ゜ Ｗ 丿 ４ 丿

ａ

４

吻

μ゛

第１章 序 論

ファプリペロー共振器（Ｆａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔｒｅｓｏｎａｔｏｒ）は２枚の鏡を向い合

せてそれらの間で電磁波または超音波の共振を行わせるものである鏡以外

には共振器の仕切りはなく共振器内部と外部空間は連続しているために別

名ｏｐｅｎｒｅｓｏｎａｔｏｒとも呼ばれる元来ファブリペロー共振器は光学分野で

の高分解能のファブリペロー干渉計として用いられていてｊ無限の面積をも

つ鏡として幾何光学的な面からの解析が行われていたしかしファプリペ

ロー共振器の研究が飛躍的に発展したのはＳｃｈａｗｏｗＴｏｗｎＪＰｒｏｋｈｏｒｊ

によってレーザの可能性が提案されそのための共振器としてこれがとりあげ

られたことを契機としたものである従来干渉計としては２枚の鏡を接近させ

て用いていたがレー－ザ共振器としては２枚の鏡間にレ＝ザ物質を入れて十分の

利得が必要であることから鏡間隔を拡げて用いるようになったそのために

開口よりの回折効果が重要となり波動光学的解析が要求されることとなった

レーザ用の共振器として従来のマイクロ波空胴共振器と類似のものが用いられ

ない理由は空胴型ではＱ値が低いことに加えるに短波長のために波長程度の

大きさの共振器を製作できないことおよび製作可能な寸法の空胴共振器を用

いるとモード密度が高過ぎて低いＱ値と相まって共振の性質が失われること

であるそこでそれに代るものとして高いＱ値と低いモード密度をもつファ

プリペロー共振器が用いられることとなったレーザの発展とともにファ

プリペロー共振器の鏡の形状配置にも種々の変形が現れた平面鏡以外に

球面鏡を用いるものも多く特に両凹面鏡の焦点を一致させた配置は共焦点

配置といってもっとも回折損失の少いものとして注目されているファプリ

ペロー共振器はレーザ共振器用以外に周波数誘電率の測定プラズマ診断

等に利用されるレーザの発振モードを調べるための走査型干渉計もこめ共振

器の一変形であるレーザ共振器用としては主に共焦点配置に近いものが用い

られるがそれ以外の利用には平行平面配置もしぱしば用いられる広義には

ファブリペロー共振器は平面鏡球面鏡配置いずれをも合んでいるが狭義

には平行平面鏡配置のみを意味する特に最近では狭義の用法が多い

１

sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

－

ｆlsquo

ふ

rdquo

一鴫

叫

４rsquo

｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

２Ｉ

Ｉ

１

ｈＩ

ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

ε０ｔ

０５

０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

Ｓ

ｊ

ｌ

１

｜

り

八レ

シーブ＿二

言－ｊ

ｊhelliphellipcap

エレリ

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コolineolineoline

｜

二二

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＿ｊ」

－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

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２０

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゛｀

ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

』

－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

ル

クぐニニサ

りχ

９２

helliphellip

り

and

ニ

Λト

〉十

ヤ

χべ

rsquo仁ヽ

一一卜χ丿olineト｀ヽ

ｌlsquo

χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

ロ

＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

コ

（０）

ブ

ザーご１

ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

ヅ

へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

Ａ

｀ノノandand

ｘ

ゾ

１メ（２）ｉノ頒ン

ハへ斗

ノ

ノレoline卜玉

ノ

ダrsquo

犬柚バレ｀コり゛十

ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

｜べ

トuarr

゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

ｔ

６ｊ

５０

必

４０

ＫＳＩ

３０

２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

ＩＩ

rdquo － ＝

０

ｊｌ

（２０）

ＩＩ

１１

１

１１１１

１

１

卜

（０り

sect

ＩＩ

ＩＩ

ＩＩ

１

１ｊ

１

ｌ

（）

八

よ

ｏＯＳ

ｊ

７

ｊ

１

１

１

Λ

ｕｌ）

Ｖ

pound

一一

四rdquo

２０

ａ

一 －

（２）

～

Ｉ

Ｉ

ダｐｔ

１＝ part

ク」

（２

２）

acutelsquo｀ゝゝ

rsquo

へ

ゝ

χ

χ

（Ｑヽ３ｊ）

Ｘ

｀

１

－ larr

Ｗ － Φ

rsquo

χχχχ

（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

Ｏdeg

ｓｔ

｜

ｙ rdquo

１３ＳＶ工ｄ

６

４２

一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

４

－Ｚ＝Ｏ｀Ｎ

ｚ＝ｉ

ぺ｀゛rsquolsquorsquo゛゛Ｋ

ホス「１１

十〇１０１３２

」

｀χ

－Ｚ＝Ｏ

゛Ｑ゛Ｑ

olineolineolineolineｚdegＬぐ゛

Ｏ０２０４Ｑ６０８ｒえ１（

５０deg

Ｚ

２０deg

〆〆〆

９０deg－｀rsquo゛｀rsquo゜

８

５びヽ－rsquo

≫≫rdquo―〆゛＝

２０degrdquo

９

６

Ａ＝１０

３０deg＝０１

へ

心－

３ＳＶＨｄ

４

一（）ＤトコｄｌＮＶ

よ

Ｚ－０

一一一一一一－Ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ｎ＝

０６

１０

０８１０

２６図ｅ鏡面トにおける場の分布

３ＳＶＨｄ

４２一

hellip一ａｎｉｉｉｄｉ＾ｖ

１

今＝十〇０１５９

０２ ０４ ０６ ｏ政ＬＯ

２６図ｄ鏡面上における場の分布

≪supe rsquoヽ゛｀ブヽrdquo

コ２ｊ

１ＳdegＦＩｊ

Ｉ５ｔｆ

１１

１２ｆ

１１

９《ｆrdquo２７０

１ノ１

６０acute゛｀ヾ

し～ゝ一ヘノ

３０゛rsquoacute゛

＝

ｎ｀

ｌ８０rsquoｉ

１５δへrsquoPrime｀ヽ一ヘヘーノ

｀乙－lsquo

１２０

９０

６０

３０Ｖ＝ＩＯ

ｔ＝ｏｉｎ

－

６ｊ

一一一｀４工ｄ

４

３ａｎｉコ｀Σく

Ｚ＝０

０今

１

Ｖ＝ｉｏ

pound＝ｏ１

＾＝＋００８Ｏ

０６ ０８Ｉａ１０

３ＳＶ工ｄ

４２

hellip一Ｄｎｉｉｉｄｗｖ

Ｚ＝０

０４

ｔ

Ａ＝｜

ε＝０１

０６ ０８ＩＯ

一一一一Ｚ＝Ｌ

ｏ卜十立

２６図ｆ鏡面上における場の分布

－－－－－－Ｚｔrsquoｔ

０２

２６図ｇ鏡面上における場の分布

rdquo゛二へ゛olineacuteゝき

PrimePrimersquo｀゛｀ゝゝゝヾヽ

ｉここ「＿」＿＿＿Ｌ

Ｃ＝Ｕｌ

゛ｌｙ２rsquo＝ｚ７＋（λ０７０

ヽヽ－ヽ｀へ

rsquoゝ１－－－－＾

～

ｙrdquo〆rsquo゛oline゛｀－べ

８ｏdeg１

叫｜｜

２０deg゛

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９０Γ

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１８０－１

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－ヽψlsquo

～へ

２迄ｊド｀rsquo

９ｏrsquo２７０deg

６（ｆ

１１

叫目

１

｜ｒｌ゛Ｌ１１＿）

－

－

６１

１ａ

Ｉ

一hellip一ｓｖ工ｄ

３ａｎｉｎｄｗ

２０

１０

（１２ ０４

０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

１

八＝１０

pound＝０１

４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

χ＿

ゝ～～χ∽

rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

ｙ

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＋０００６

〕

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－－一一近姐式

卜

１８０deg１ｆ１

１５０

ｙｙ７１

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トuarrＺノ

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９０deg゛ヽノPrime

２７０deg゛ノ

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６（アｚ

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９

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］｀４エ｀

３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

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２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

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ｌ

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一 ０１

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二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

６べ

そニｒ゜十〇lsquo０８８

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－－－－－Ｚ乙２ム゛い゛ｋて１゜十〇０３６

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＾｀

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μ＝２ひ

ぴ１

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１

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一一一（）コにＬＨｄｎｖ

０

Ｚ＝０

Ｚ＝Ｌ

０４

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Ａ＝５

pound＝０１

警三９十〇０２５４

０６ ０８ｌｄ１０

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６４２０

］（一コトコｄｍ

Ｚ＝Ｏ

Ｚ＝pound

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Ａ＝２０

pound＝０｜

登＝７十〇１６４

０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

ゝき

へＷミ

ゝへ∽－－＝～～ゝ

４ゝゝ

へ～～－ミーぺ

ゝχ

５０゛－

２０rsquoぶ

～へ∽～ｊlsquo

９ｄrsquolsquorsquo

６ｄrsquo

Ａ＝５

１８０ｊｌ

ｊ

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２０

川｜

ノ

１ノ

９０２７０deg４５゛６３０deg

ダ｀ノＪｊ１７〆

６０ｙｌ

Ｉ

ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

魯

乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

０Ｚ

Ｔ＝Ｉ

７＝１０２５－rdquo

Ｊ

①０

２０鴎ノ

（ｉＬｘ－ｎ）

晶＿＿rarr

うrsquoｌdeg

－

］

ｉ｛Ｃｏｊ）－ｌｓ

］ム

＿

い川（０２）ｏ

｜

叫

口に

丿川

いいパドリハ

９卜川いＴレドcap

１ｎｌ

フス

｜

べｉ

１χ

１

χｌ

rsquo｀χ｜

helliphelliphellip

sup

ang

－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

之

３５図透過率とパワーの関係

７５

Ｊ

Ｔ９多

ｋＵ０ノｔ－ト気価ヽ門凧翼

べ

（乱）

－１０

－｜「

２０Ｉ

Ｖ３Ｍ０ｃｌ

－２５

－３０

（００）

‐Ｉ

Ｑ

（

１り

rsquo１１１１１ヽＩＩＩ

ｒ１１Ｆ

Ｉ１叫

para ９ Ｗ

（２０）

ｙuarrｔ八

ＩＩキ

いい）

Ｉ八口同umlＡ

Ｘ

１１１１

丿

Ｘ

り

ＣＩ０

ＩＩＩＳ

へ

７

ｊ

Ｘ

Ｘ

Ｘ

andＸ

Ｘ

χ

χ

ｏｏｓヶ＿ＦＲＥＱｔ

｜ ｜ ｜

叫八－ｏ

叫λ一皿Ｉ

峠ごぺ牛こり

｀ｒ４１嘔

Ｎ￥助

（｜２＝）

へ

＜

ソコχ

Λ

之ムムご島

じゝ－－－Ｑ４ＳＩ

（０３）

（０２

（２０

ｙ Ｑ１

８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

rdquo

一一

ｄｂ

刈Ｏ

引５

０ＩＨｌＭＯｄ

７７

２Ｓ

－３０

（００）

ゝ

（｜０）

（２０）（０１）

χacute

ヽ－

ゝχ

ノ｀十ぺ

止＿二＿helliphellip－１＿

Ｓ

Ｔ＝２

Ｔ＝Ｉ

Ｔこ０５

Ｎ２０

ａφλＬ＝０３

よ

＿＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

００２ＦＲＥＱびＥか＾ｃｒ Ｑ呼２ムÅ一息二心part

８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

ミ

）ヽand

石

ヤ

〉

χ

－Ｔ＝０５χoline｜

Ｎ２０

ノト０３

（１よ）

rdquolsquo｀

Ｘ

ノ

レソ

ソ

ｚ

｀゛へヽ

＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

１

１

ｊ

１

｜

－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

騨

１

rsquoｉ

Ｕ３

］切く工ｄ

２０

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］（一ｎｉｎｄｉ＾ｖ

０２ ０４ ｏ６０８１０

３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

Ｌdarr」

ａ

３ａｎトコ」｀lsquoく

‐４１１Ｉ‐ＩＦｓ

２４０６

２１０

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＿」＿＿」＿

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こ」＿ユ

０６ ０ａ ＬＯ

３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

１５Ｃ「

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Ｗ＝２０

２Ｌ＿

Ｗoline馬

十〇０８９

０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

and］≪

呼６ａｌ０１Ｚ

rsquoｏ哨一

rsquoｏ訥一

゜ｏｔ

位

幅

゜ＣＯＭ１１ｙ

－－－ａＳ－

七ヽご一rsquoldquo゛

相

ｌ

振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

２千ｇ

振

位

２吽Ｇｌ１０

幅

相

くｃてこここてニニニー

振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

Ｗ

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｀χ

ｌ

ｊχＪ゛

－rsquo～＾ｊへ゛｀こ

ンolineぺ川Ｘ≒へ

Ｗｔ｀rsquo２rsquorsquoｉ＝rsquolsquoｌｅlsquo１

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｜０１０ＩＳ－ＺＯａｏ

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振゛幅

位 相

Ｔｍ｝フ

振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

８３

振

位

肪琵ｇ

幅

相

２ご七てニコつ

振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

ドー－ニこ

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さ守こ三三三亨

ｙ

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振

ｌｌ゛

位

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幅

相

ンノマ｀ヽへ≪でコロ

振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

８４

一づヽ

ｉ＿へ

２１１１３今Ｓ

振

～～

位

幅

相

゛｀rsquoに二こ二つrsquo－

振袖（立体図）

８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

ｙ

一一一一－－－奏蓼四

万言言三ジ

ぶだ俗才

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位

幅

相

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振幅（立体図）

３９図ｇ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌpermilａ吻λ＝０１

１～

８５

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振

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幅

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ＩＷrsquolsquo～＿＿＿－

振幅（立体図）

３９図ｈ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

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振幅（立体凶）lsquo

８９図ｉ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０１Ｘ＾＝０５ａ吻λ＝０３

８６

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振

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uarrにて二二ぎ二ててフ～～゛～～－＝ミ゜゜rdquorsquo

振幅（立体図）

８９図丿傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５鴨ａ吻λ＝０３

Ｗ

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Ｅ二二大レ゛二二二万こミミ二二二丿

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振幅（立体図）

３９図ｋ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５ａｉ＾λ＝０３

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８７

ＯＩＳ ０２Ｓ

振

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幅

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相

４lsquo１ＳＭ３

rsquo゜ｂrsquoＳ

＝＝匹三equivΞ込

一一一一～一匹匹

振幅（立体図）

３９図pound傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５permil岫λ＝０３

こ二九よ三回三ヒolineoline辿号垂豆

－－ヽＺ陽ご奎示言

一＾rsquoldquorsquooline゛゛゛｀ヽヽＪレジレノ゛

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振幅（立体図）

３９図ｍ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝１０Ｔ＝１permilａφｙλ＝０１

８８

ｊ６－ニ

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芦幅（立体図

３９図ｎ傾斜入射の場の分布

翫鵬二茫叩絲

四回三回

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Ａχ＿～＿＿ノ～－－－ｉＦミペrsquo゛

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

｀olineoline

ノコユ

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ソト

一一一－一一

〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

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１５９

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ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

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皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

２３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＹＦｕｒｕｈａｍａＪ工ｋｅｎｏｕｅＳｌｉｇｈｔ

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｃａｌＰａｔｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ５（１９６６）２２５

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２８）ＷＨＷｅｌｌｓＭｏｄｅｓｏｆａＴｉｌｔｅｄ－ＭｒｒｏｒＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒｔｈｅ工ｎｆｒａｒｅｄＸ＜ＥＥ≪ＥＪｏｕｒｏｆｑＥ２（１９６６）９４

１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

３５）ＧＫｏｐｐｅｌｍａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｚｕｎｄＥｉｇｅｎｗｅｌｌｅｎｉｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（Ｌ９６５）２２０

３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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（３）無限長矩形平行平板共振器

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

第５章sect５１

sect５２

sect５８

sect５４

sect５６

謝辞

付録１１

付録２１

付録２２

付録８１

付録８２

付録８８

付録８４

付録５１

両鏡傾斜共振器の自由振動モード

序

１１３

１１４

１２１

１２１

１２２

１２７

１３０

１３６

１３９

１４０

１４

４４

１１

１４９

１５０

１５２

ＣＯｈｔｔｐｗｗｗｉｒｔ

ｌＡｍ１０

１１１

１５９

１６Ｓ

々

－

ｉ

rsquo―

９Prime｀卜

基礎方程式

回折損失

第６章結論

ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

傾斜パラメータＫの意味－－helliphelliphelliphellip

参考文献

主要記号表

マイクロ波ミリ波におけるファブリペロー

共振器に関する実験

行列要素の計算

行列要素のベキ展開

誘電体多層膜鏡の基準面ｌ

積分１

積分８

積分４

積分２helliphelliphelliphelliphellip

Ｉ ４ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ para ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ 丿 φ 峰 Ｉ － Ｗ 曝 ４

－ ｍ ４ 四

Ｉ ４ 争

か － － － Ｉ 丿 岬 －

｀ ｀ φ － Ｉ ｀ ｆ Ｉ Ｉ Ｗ － ｀

゛ ｀ ～ ～ ＝ ｀ ９ ldquo を ゛ ４ ～ か Ｗ ゛ ＝ － rarr 』 － － rsquo １ ～ 丿 － ＝

丿 丿 ｒ Ｉ ｀ Ｗ － ゛

ｉ 丿 Ｉ Ｉ 丿 １ 丿 丿 Ｉ Ｉ 鼻 lsquo

Ｆ ｉ 丿 Ｗ 丿 － 丿 － Ｗ － ｍ

峙 Ｗ １ Ｉ Ｉ ｔ － 紳 － ゛ ｀

ｔ １ － ｆ ｌ Ｍ ６ ｍ ４ ４ １ 紳 か Ｗ 争 ゛ ゜

１ Ｉ １ Ｉ ｊ ｊ Ｊ Ｓ Ｉ － ｔ Ｗ Ｗ ４ ゛ ゜ ｀ ゜ － ゛ ゛ ゜ Ｉ Ｉ ldquo ldquo ゛ ゜

争 丿 Ｉ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ ｀ para Ｉ Ｉ para ｀ rsquo

ｌ ｌ rsquo １ ゜ ゛ １ Ｉ ゝ Ｉ ｔ rsquo ゜ 丿 para Ｉ

Ｉ

Ｉ divide ゜ １ １ ４ ｔ １ Ｉ や ゛

｀ ゜ ゜ ゛

φ Ｉ Ｉ ｀ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｀ ｌ ゜ か ゛ ゜ 丿 ゜

rsquo

Ｉ Ｉ Ｉ ゜

Ｉ Ｉ ｉ Ｉ 丿 Ｉ Ｉ ゜

－ ｀ Ｉ ゜ １ ゛ Ｉ ｌ ｉ

－ 丿 Ｉ

４ 二 １ Ｉ Ｉ Ｗ － Ｉ

丿 ゜ －

－ １ Ｉ Ｉ Ｉ － Ｉ 丿 Ｉ ｌ ｌ 丿 丿 Ｍ － ｉ Ｗ ｀

丿 ｒ 丿 丿 Ｍ － ４ － Ｉ Ｉ ｉ 丿 Ｉ 丿 丿 Ｓ 二 ～ 昏 丿 － ｀ ゜ Ｗ 丿 ４ 丿

ａ

４

吻

μ゛

第１章 序 論

ファプリペロー共振器（Ｆａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔｒｅｓｏｎａｔｏｒ）は２枚の鏡を向い合

せてそれらの間で電磁波または超音波の共振を行わせるものである鏡以外

には共振器の仕切りはなく共振器内部と外部空間は連続しているために別

名ｏｐｅｎｒｅｓｏｎａｔｏｒとも呼ばれる元来ファブリペロー共振器は光学分野で

の高分解能のファブリペロー干渉計として用いられていてｊ無限の面積をも

つ鏡として幾何光学的な面からの解析が行われていたしかしファプリペ

ロー共振器の研究が飛躍的に発展したのはＳｃｈａｗｏｗＴｏｗｎＪＰｒｏｋｈｏｒｊ

によってレーザの可能性が提案されそのための共振器としてこれがとりあげ

られたことを契機としたものである従来干渉計としては２枚の鏡を接近させ

て用いていたがレー－ザ共振器としては２枚の鏡間にレ＝ザ物質を入れて十分の

利得が必要であることから鏡間隔を拡げて用いるようになったそのために

開口よりの回折効果が重要となり波動光学的解析が要求されることとなった

レーザ用の共振器として従来のマイクロ波空胴共振器と類似のものが用いられ

ない理由は空胴型ではＱ値が低いことに加えるに短波長のために波長程度の

大きさの共振器を製作できないことおよび製作可能な寸法の空胴共振器を用

いるとモード密度が高過ぎて低いＱ値と相まって共振の性質が失われること

であるそこでそれに代るものとして高いＱ値と低いモード密度をもつファ

プリペロー共振器が用いられることとなったレーザの発展とともにファ

プリペロー共振器の鏡の形状配置にも種々の変形が現れた平面鏡以外に

球面鏡を用いるものも多く特に両凹面鏡の焦点を一致させた配置は共焦点

配置といってもっとも回折損失の少いものとして注目されているファプリ

ペロー共振器はレーザ共振器用以外に周波数誘電率の測定プラズマ診断

等に利用されるレーザの発振モードを調べるための走査型干渉計もこめ共振

器の一変形であるレーザ共振器用としては主に共焦点配置に近いものが用い

られるがそれ以外の利用には平行平面配置もしぱしば用いられる広義には

ファブリペロー共振器は平面鏡球面鏡配置いずれをも合んでいるが狭義

には平行平面鏡配置のみを意味する特に最近では狭義の用法が多い

１

sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

－

ｆlsquo

ふ

rdquo

一鴫

叫

４rsquo

｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

２Ｉ

Ｉ

１

ｈＩ

ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

ε０ｔ

０５

０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

Ｓ

ｊ

ｌ

１

｜

り

八レ

シーブ＿二

言－ｊ

ｊhelliphellipcap

エレリ

ブドｊｙノレレダダ゛

｀

コolineolineoline

｜

二二

ニ上｜

＿ｊ」

－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

恥４

３０

＞ｉＢＭＡ

２０

１０

ＩＩlsquoこε

ｊ

ｌ－一一

バ

タ

Ｈフー－－rsquo－rsquo－゜ヤ

１［７χ

Ｎ゛２deg

ｙｎ

１ヽ１Ｘ

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ｊプいχにペ

ニ

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万万

ノ

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ヤ

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゛rsquoｈｔ

ｔｐ

ｗｗｗ

゛｀－－rsquo゛

゛｀

ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

』

－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

ル

クぐニニサ

りχ

９２

helliphellip

り

and

ニ

Λト

〉十

ヤ

χべ

rsquo仁ヽ

一一卜χ丿olineト｀ヽ

ｌlsquo

χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

ロ

＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

コ

（０）

ブ

ザーご１

ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

ヅ

へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

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｀ノノandand

ｘ

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１メ（２）ｉノ頒ン

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ノレoline卜玉

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ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

｜べ

トuarr

゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

ｔ

６ｊ

５０

必

４０

ＫＳＩ

３０

２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

ＩＩ

rdquo － ＝

０

ｊｌ

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１１

１

１１１１

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sect

ＩＩ

ＩＩ

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１

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１

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pound

一一

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２０

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１＝ part

ク」

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acutelsquo｀ゝゝ

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χ

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（Ｑヽ３ｊ）

Ｘ

｀

１

－ larr

Ｗ － Φ

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χχχχ

（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

Ｏdeg

ｓｔ

｜

ｙ rdquo

１３ＳＶ工ｄ

６

４２

一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

４

－Ｚ＝Ｏ｀Ｎ

ｚ＝ｉ

ぺ｀゛rsquolsquorsquo゛゛Ｋ

ホス「１１

十〇１０１３２

」

｀χ

－Ｚ＝Ｏ

゛Ｑ゛Ｑ

olineolineolineolineｚdegＬぐ゛

Ｏ０２０４Ｑ６０８ｒえ１（

５０deg

Ｚ

２０deg

〆〆〆

９０deg－｀rsquo゛｀rsquo゜

８

５びヽ－rsquo

≫≫rdquo―〆゛＝

２０degrdquo

９

６

Ａ＝１０

３０deg＝０１

へ

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３ＳＶＨｄ

４

一（）ＤトコｄｌＮＶ

よ

Ｚ－０

一一一一一一－Ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ｎ＝

０６

１０

０８１０

２６図ｅ鏡面トにおける場の分布

３ＳＶＨｄ

４２一

hellip一ａｎｉｉｉｄｉ＾ｖ

１

今＝十〇０１５９

０２ ０４ ０６ ｏ政ＬＯ

２６図ｄ鏡面上における場の分布

≪supe rsquoヽ゛｀ブヽrdquo

コ２ｊ

１ＳdegＦＩｊ

Ｉ５ｔｆ

１１

１２ｆ

１１

９《ｆrdquo２７０

１ノ１

６０acute゛｀ヾ

し～ゝ一ヘノ

３０゛rsquoacute゛

＝

ｎ｀

ｌ８０rsquoｉ

１５δへrsquoPrime｀ヽ一ヘヘーノ

｀乙－lsquo

１２０

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ｔ＝ｏｉｎ

－

６ｊ

一一一｀４工ｄ

４

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Ｚ＝０

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Ｖ＝ｉｏ

pound＝ｏ１

＾＝＋００８Ｏ

０６ ０８Ｉａ１０

３ＳＶ工ｄ

４２

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Ｚ＝０

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Ａ＝｜

ε＝０１

０６ ０８ＩＯ

一一一一Ｚ＝Ｌ

ｏ卜十立

２６図ｆ鏡面上における場の分布

－－－－－－Ｚｔrsquoｔ

０２

２６図ｇ鏡面上における場の分布

rdquo゛二へ゛olineacuteゝき

PrimePrimersquo｀゛｀ゝゝゝヾヽ

ｉここ「＿」＿＿＿Ｌ

Ｃ＝Ｕｌ

゛ｌｙ２rsquo＝ｚ７＋（λ０７０

ヽヽ－ヽ｀へ

rsquoゝ１－－－－＾

～

ｙrdquo〆rsquo゛oline゛｀－べ

８ｏdeg１

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２０deg゛

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２迄ｊド｀rsquo

９ｏrsquo２７０deg

６（ｆ

１１

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１

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－

６１

１ａ

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一hellip一ｓｖ工ｄ

３ａｎｉｎｄｗ

２０

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（１２ ０４

０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

１

八＝１０

pound＝０１

４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

χ＿

ゝ～～χ∽

rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

ｙ

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＋０００６

〕

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－－一一近姐式

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１８０deg１ｆ１

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ｙｙ７１

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９０deg゛ヽノPrime

２７０deg゛ノ

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５０deg

２（ｙdeg

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］｀４エ｀

３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

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pound＝０１

ｏ石 ｏａＩａ１０

２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

ｔ

０６

ｌ

一

一 ０１

ＯＢｒａ＞ｏ

二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

６べ

そニｒ゜十〇lsquo０８８

４rsquo゛

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－－－－－Ｚ乙２ム゛い゛ｋて１゜十〇０３６

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１

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０

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pound＝０１

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］（一コトコｄｍ

Ｚ＝Ｏ

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Ａ＝２０

pound＝０｜

登＝７十〇１６４

０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

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ゝへ∽－－＝～～ゝ

４ゝゝ

へ～～－ミーぺ

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～へ∽～ｊlsquo

９ｄrsquolsquorsquo

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９０２７０deg４５゛６３０deg

ダ｀ノＪｊ１７〆

６０ｙｌ

Ｉ

ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

魯

乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

０Ｚ

Ｔ＝Ｉ

７＝１０２５－rdquo

Ｊ

①０

２０鴎ノ

（ｉＬｘ－ｎ）

晶＿＿rarr

うrsquoｌdeg

－

］

ｉ｛Ｃｏｊ）－ｌｓ

］ム

＿

い川（０２）ｏ

｜

叫

口に

丿川

いいパドリハ

９卜川いＴレドcap

１ｎｌ

フス

｜

べｉ

１χ

１

χｌ

rsquo｀χ｜

helliphelliphellip

sup

ang

－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

之

３５図透過率とパワーの関係

７５

Ｊ

Ｔ９多

ｋＵ０ノｔ－ト気価ヽ門凧翼

べ

（乱）

－１０

－｜「

２０Ｉ

Ｖ３Ｍ０ｃｌ

－２５

－３０

（００）

‐Ｉ

Ｑ

（

１り

rsquo１１１１１ヽＩＩＩ

ｒ１１Ｆ

Ｉ１叫

para ９ Ｗ

（２０）

ｙuarrｔ八

ＩＩキ

いい）

Ｉ八口同umlＡ

Ｘ

１１１１

丿

Ｘ

り

ＣＩ０

ＩＩＩＳ

へ

７

ｊ

Ｘ

Ｘ

Ｘ

andＸ

Ｘ

χ

χ

ｏｏｓヶ＿ＦＲＥＱｔ

｜ ｜ ｜

叫八－ｏ

叫λ一皿Ｉ

峠ごぺ牛こり

｀ｒ４１嘔

Ｎ￥助

（｜２＝）

へ

＜

ソコχ

Λ

之ムムご島

じゝ－－－Ｑ４ＳＩ

（０３）

（０２

（２０

ｙ Ｑ１

８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

rdquo

一一

ｄｂ

刈Ｏ

引５

０ＩＨｌＭＯｄ

７７

２Ｓ

－３０

（００）

ゝ

（｜０）

（２０）（０１）

χacute

ヽ－

ゝχ

ノ｀十ぺ

止＿二＿helliphellip－１＿

Ｓ

Ｔ＝２

Ｔ＝Ｉ

Ｔこ０５

Ｎ２０

ａφλＬ＝０３

よ

＿＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

００２ＦＲＥＱびＥか＾ｃｒ Ｑ呼２ムÅ一息二心part

８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

ミ

）ヽand

石

ヤ

〉

χ

－Ｔ＝０５χoline｜

Ｎ２０

ノト０３

（１よ）

rdquolsquo｀

Ｘ

ノ

レソ

ソ

ｚ

｀゛へヽ

＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

１

１

ｊ

１

｜

－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

騨

１

rsquoｉ

Ｕ３

］切く工ｄ

２０

田

］（一ｎｉｎｄｉ＾ｖ

０２ ０４ ｏ６０８１０

３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

Ｌdarr」

ａ

３ａｎトコ」｀lsquoく

‐４１１Ｉ‐ＩＦｓ

２４０６

２１０

４

１８０

２

０２

＿」＿＿」＿

０４

こ」＿ユ

０６ ０ａ ＬＯ

３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

１５Ｃ「

１２０

９０｀

Ｖ＝２０

ゝゝ～｀ｘ

ｘ

－＾－７ｏ＋ＯＯＯＧ８

～゛

χ

一丁゛１｀

olineolineolineolineolineoline丁゛Ｏlsquo２５ｙ｀

ヽ

」ヒＬ－ＪＬ－＿

］ｊ

埜＝μ＋００３６

rarrrarrrarr

し一一一丁＝２oline

」

一一Ｔ＝Ｉ二｜ニス

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oline一一７＝０５

ぶ

゛へ

ｚ穿心こｊ沁がヽ

＿＿」＿＿」二て」」に＿上＿に＿

５０゛

２０rsquo

９０－一十う十゛－

１８０deg

９０

一hellip一哨くエー

ＣＮ―

一hellip一【】ｎヒｉｄｍ

０

ａ２ ０４０６

一一

一一一一－

Ｔ＝２rdquo６

１

０５

Ｗ＝２０

２Ｌ＿

Ｗoline馬

十〇０８９

０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

and］≪

呼６ａｌ０１Ｚ

rsquoｏ哨一

rsquoｏ訥一

゜ｏｔ

位

幅

゜ＣＯＭ１１ｙ

－－－ａＳ－

七ヽご一rsquoldquo゛

相

ｌ

振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

２千ｇ

振

位

２吽Ｇｌ１０

幅

相

くｃてこここてニニニー

振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

Ｗ

回千千

｀χ

ｌ

ｊχＪ゛

－rsquo～＾ｊへ゛｀こ

ンolineぺ川Ｘ≒へ

Ｗｔ｀rsquo２rsquorsquoｉ＝rsquolsquoｌｅlsquo１

１１１－－一一

sup ］ム

二＿上

コごＬ＿＿

ド

４

para

｜０１０ＩＳ－ＺＯａｏ

３Ｘ

振゛幅

位 相

Ｔｍ｝フ

振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

８３

振

位

肪琵ｇ

幅

相

２ご七てニコつ

振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

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振袖（立体図）

８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

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（２０）モード共振周波数

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振幅（立体図）

３９図ｈ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

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８９図ｉ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

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振幅（立体図）

８９図丿傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５鴨ａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｋ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５ａｉ＾λ＝０３

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３９図pound傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

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振幅（立体図）

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（００）モード共振周波数

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３９図ｎ傾斜入射の場の分布

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

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〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

参考 文献

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１５９

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２０）Ｇ０ｏｍｓＯｎｔｈｅＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃＴｈｅｏｒｉｅｏｆｔｈｅＭｏｄｅｓｏｆ

ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

２１） ＶＤＧｌｏｇｅＢｅｒｅｃｈｎｖｍｇｖｏｎＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｌａｓ≪ｒ－Ｒｅｓｏｎａｔｏｒｅｎ

皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

２３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＹＦｕｒｕｈａｍａＪ工ｋｅｎｏｕｅＳｌｉｇｈｔ

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｃａｌＰａｔｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ５（１９６６）２２５

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２６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪＤｃｅｎｏｕｅＴｈｅｏｒｙｏｆＸ）ｅｆｏｒｍｅｄ

ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６５）５９８

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２８）ＷＨＷｅｌｌｓＭｏｄｅｓｏｆａＴｉｌｔｅｄ－ＭｒｒｏｒＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒｔｈｅ工ｎｆｒａｒｅｄＸ＜ＥＥ≪ＥＪｏｕｒｏｆｑＥ２（１９６６）９４

１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

３５）ＧＫｏｐｐｅｌｍａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｚｕｎｄＥｉｇｅｎｗｅｌｌｅｎｉｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（Ｌ９６５）２２０

３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

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＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

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６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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ａ

４

吻

μ゛

第１章 序 論

ファプリペロー共振器（Ｆａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔｒｅｓｏｎａｔｏｒ）は２枚の鏡を向い合

せてそれらの間で電磁波または超音波の共振を行わせるものである鏡以外

には共振器の仕切りはなく共振器内部と外部空間は連続しているために別

名ｏｐｅｎｒｅｓｏｎａｔｏｒとも呼ばれる元来ファブリペロー共振器は光学分野で

の高分解能のファブリペロー干渉計として用いられていてｊ無限の面積をも

つ鏡として幾何光学的な面からの解析が行われていたしかしファプリペ

ロー共振器の研究が飛躍的に発展したのはＳｃｈａｗｏｗＴｏｗｎＪＰｒｏｋｈｏｒｊ

によってレーザの可能性が提案されそのための共振器としてこれがとりあげ

られたことを契機としたものである従来干渉計としては２枚の鏡を接近させ

て用いていたがレー－ザ共振器としては２枚の鏡間にレ＝ザ物質を入れて十分の

利得が必要であることから鏡間隔を拡げて用いるようになったそのために

開口よりの回折効果が重要となり波動光学的解析が要求されることとなった

レーザ用の共振器として従来のマイクロ波空胴共振器と類似のものが用いられ

ない理由は空胴型ではＱ値が低いことに加えるに短波長のために波長程度の

大きさの共振器を製作できないことおよび製作可能な寸法の空胴共振器を用

いるとモード密度が高過ぎて低いＱ値と相まって共振の性質が失われること

であるそこでそれに代るものとして高いＱ値と低いモード密度をもつファ

プリペロー共振器が用いられることとなったレーザの発展とともにファ

プリペロー共振器の鏡の形状配置にも種々の変形が現れた平面鏡以外に

球面鏡を用いるものも多く特に両凹面鏡の焦点を一致させた配置は共焦点

配置といってもっとも回折損失の少いものとして注目されているファプリ

ペロー共振器はレーザ共振器用以外に周波数誘電率の測定プラズマ診断

等に利用されるレーザの発振モードを調べるための走査型干渉計もこめ共振

器の一変形であるレーザ共振器用としては主に共焦点配置に近いものが用い

られるがそれ以外の利用には平行平面配置もしぱしば用いられる広義には

ファブリペロー共振器は平面鏡球面鏡配置いずれをも合んでいるが狭義

には平行平面鏡配置のみを意味する特に最近では狭義の用法が多い

１

sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

－

ｆlsquo

ふ

rdquo

一鴫

叫

４rsquo

｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

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Ｉ

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ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

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０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

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ｌ

１

｜

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｀

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｜

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－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

恥４

３０

＞ｉＢＭＡ

２０

１０

ＩＩlsquoこε

ｊ

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ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

』

－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

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χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

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＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

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ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

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へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

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｀ノノandand

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ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

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゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

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６ｊ

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２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

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１

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ＩＩ

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（Ｑヽ３ｊ）

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Ｗ － Φ

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（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

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ｓｔ

｜

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１３ＳＶ工ｄ

６

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一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

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ホス「１１

十〇１０１３２

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２６図ｄ鏡面上における場の分布

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一hellip一ｓｖ工ｄ

３ａｎｉｎｄｗ

２０

１０

（１２ ０４

０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

１

八＝１０

pound＝０１

４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

χ＿

ゝ～～χ∽

rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

ｙ

ズ

く］

＋０００６

〕

二

］

べ

ヽ

－－一一近姐式

卜

１８０deg１ｆ１

１５０

ｙｙ７１

１２（

トuarrＺノ

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９０deg゛ヽノPrime

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１１

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］｀４エ｀

３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ａ＝２０

pound＝０１

ｏ石 ｏａＩａ１０

２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

ｔ

０６

ｌ

一

一 ０１

ＯＢｒａ＞ｏ

二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

６べ

そニｒ゜十〇lsquo０８８

４rsquo゛

マ

ルク

－－－－－Ｚ乙２ム゛い゛ｋて１゜十〇０３６

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０

Ｚ＝０

Ｚ＝Ｌ

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pound＝０１

警三９十〇０２５４

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６４２０

］（一コトコｄｍ

Ｚ＝Ｏ

Ｚ＝pound

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Ａ＝２０

pound＝０｜

登＝７十〇１６４

０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

ゝき

へＷミ

ゝへ∽－－＝～～ゝ

４ゝゝ

へ～～－ミーぺ

ゝχ

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６ｄrsquo

Ａ＝５

１８０ｊｌ

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ｓｏrsquo１

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１ノ

９０２７０deg４５゛６３０deg

ダ｀ノＪｊ１７〆

６０ｙｌ

Ｉ

ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

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乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

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－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

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（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

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３５図透過率とパワーの関係

７５

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（０３）

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（２０

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８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

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７７

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８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

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－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

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３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

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２４０６

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３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

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０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

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振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

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振

位

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振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

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振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

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振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

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（００）モード共振周波数

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８４

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８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

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３９図ｇ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

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（０１）モード共振周波数

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芦幅（立体図

３９図ｎ傾斜入射の場の分布

翫鵬二茫叩絲

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

｀olineoline

ノコユ

町＿＿＿＿＿＿＿＿＿ユ

ソト

一一一－一一

〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

参考 文献

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７）ＧＤＢｏｙｄＪＰＧｏｒｄｏｎＣｏｎｆｏｃａｌＨｕｌｔｉｒａｏｄｅＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒｔｈｒｏｕｇｈ（ｐｔｉｃａｌＶａｖｅｌｅｎｇｔｈＩｆａｓｅｒｓＢｅｌＬｏｙｓｔＴｅｃｈＪ４０（１９６１）４８９

８）ＳＲＢａｒｏｎｅＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａＢｅｒＪＡｐｐｌＰｈｙｓ３４（１９６３）８３１

９）ＤＳｌｅｐｉａｎＰｒｏｌａｔｅＳｐｈｅｒｏｉｄａｌＷａｖｅＦｕｎｃｔｉｏｎｓＦｏｕｒｉｅｒＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ一エＶＢｅｌｌＳｙｓｔＴｅｃｈＪ３（１９６４）３００９

１０）ＷＳｔｒｅｉｆｅｒＨＧａｍｏＯｎｔｈｅＩＪｃｈｍｉｄｔＥｘｐａｎｓｉｏｎｆｏｒＯｐｔｉｃａｌ

ＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓrdquoＱｕａｓｉ－Ｏｐｔｉｃｓrdquoｓｙｍｐｏｓｉｕｍｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ＿１＾Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃｐｒｅｓｓ（１９６４）３５１

１１）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＨＳｃｈａｃｈｔｏｒＲｅｓｏｎａｎｔＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒＣａｖｉｔｉｅｓ工Ｐｌａｎｅ－ＰａｒａｌｌｅｌＥｎｄＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＪＯｐｔＳｏｃＡｍｅｒ２（１９６４）８８７

１２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＨＳｃｈａｃｈｔｅｒＲｅｓｏｎａｎｔＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃＯａｖｉｔｉｅｓｏｆＳｍａｌｌＦｒｅｓｎｅｌＮｕｍｂｅｒｓＪＯｐｔ３ｏｃ血ｅｒＺ（１９６５）１２２６

１３）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＥＭａｒｏｍＡｎｇｕｌａｒＳｐｅｃｔｒａｏｆＯｐｔｉｃＣａｖｉｔｉｅｓＪＯｐｔＳｏｃＡｍｅｒ５６（１９６６）１６

１４）ＧＧｏｕｂａｕＦＳｃｈｗｅｒｉｎｇＯｎｔｈｅＧｕｉｄｅｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎ昭ｎｅｔｉｃＷａｖｅＢｅａｍｓＩＲＥＴｒａｎｓrsquoＡＰ－９（ｌ９６ｌ）２４Ｓ

１５９

１５）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎ

－ＪＥＴＰ１７（１９６５）

ＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓ

７０９ｆｏｒＬａｓｅｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓｉｃｓ

１６）ＨＯｇｕｒｎＹＹｏｓｈｉｄａＣａｖｉｔｙＴｈｅｏｒｙｏｆＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒみｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓユ（１９６４）５４６

１７）池上小倉古田ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の空胴理論幅射科学研究

会資料（１９６４年５月）

１８）ＨＲｉｓｋｅｎＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆＬａｓｅｒＭｏｄｅｓｉｎａｎＡｃｔｉｖｅＰｅｒｏ七－Ｆａｂｒｙ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（１９６４）１５０

１９）Ｇ０ｏｍｓＴｈｅＭｏｄｅｓｏｆａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰ１皿ｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｒｒｏｒｓＡｐｐｌＳｃｉＲｅｓ（１９６８）１９８

２０）Ｇ０ｏｍｓＯｎｔｈｅＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃＴｈｅｏｒｉｅｏｆｔｈｅＭｏｄｅｓｏｆ

ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

２１） ＶＤＧｌｏｇｅＢｅｒｅｃｈｎｖｍｇｖｏｎＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｌａｓ≪ｒ－Ｒｅｓｏｎａｔｏｒｅｎ

皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

２３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＹＦｕｒｕｈａｍａＪ工ｋｅｎｏｕｅＳｌｉｇｈｔ

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｃａｌＰａｔｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ５（１９６６）２２５

２４）池上小倉古田古浜茜簾点ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の微小変形

幅射科学研究会資料（１９６５年７月）

２５）ＡＧＦｏｘＴＬｉＭｏｄｅｓｉｎａＭａｓｅｒでＩｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｗｉｔｈＣｕｒｖｅｄａｎｄＴｉｌｔｅｄＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃ工ＥＥＥ５１（１９６３）８０

２６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪＤｃｅｎｏｕｅＴｈｅｏｒｙｏｆＸ）ｅｆｏｒｍｅｄ

ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６５）５９８

２７）池上小倉吉田Ｓ変形したＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の理論幅射科学

研究会資料（１９６４年１１月）

２８）ＷＨＷｅｌｌｓＭｏｄｅｓｏｆａＴｉｌｔｅｄ－ＭｒｒｏｒＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒｔｈｅ工ｎｆｒａｒｅｄＸ＜ＥＥ≪ＥＪｏｕｒｏｆｑＥ２（１９６６）９４

１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

３５）ＧＫｏｐｐｅｌｍａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｚｕｎｄＥｉｇｅｎｗｅｌｌｅｎｉｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（Ｌ９６５）２２０

３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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sect１１ファブリペロー共振器研究の歴史

レーザ共振器として用いられるようになって以来ファブリペロー共振器

の理論的解析は主に波動光学的に行われそれに関する論文の数は現在までに

１００を越えているものと思われるここで簡単にファブリペロー共振器

研究の歴史を振り返ってみることとする１９６６年度前半までの研究に関し

ては小倉池ｊｌ２より詳しく紹介されているのでそれらに関してはそれ以後

の研究の基礎となっている主な論文いくつかについて触れるにとどめ１９６６

年度後半以後の研究特に本論文の主題である励振問題に関係する論文につい

て述べることとする

レーザ共振器として最初の解析はＦｏｘＬ）によって行われたものでこれは

一方の鏡面上の波動がホイゲンズの原理によって伝播して他方の鏡面上に同

じ分布の波動を再生するということを積分方程式の固有値問題として定式化

したものである固有値が伝播による振幅の減少と位相の偏移を表わすこれ

は多重反射の干渉計像をもとにしているので以下ではこれを干渉計理論と呼

ぶｏＦｏｘＬｉは矩形平面円形平面円形共焦点共振器の場合についてこ

の積分方程式を解くために電子計算機を使って平面波の初期分布を与えて次

第に収束するのを待つというシミュレーションを行なった以後平行平面あ

るいは共焦点配置の共振器に関してこの積分方程式の解を数値的でなく解

扮的に求める研究は数多く表われて汐

はビーム波伝送理論のために共焦点配置の場合と同じ積分方程式を解析し

ている

次に干渉計理論とはまったく別の立場からファブリペロー共振器を解析

している論文をとりあげるＶａｉｎｓｈｔｅｉｉ）は共振器の開口面を平行平面導波管

の開口端と見なして遮断周波数よりわずかに高い周波数の波動が導波管の

壁すなわち共振器の鏡に殆んど垂直に反射をくり返しつつその開口端より

わずかに幅射するという像をもとにして≪Ｗｉｅｎｅｒ―Ｈｏｐｆで法で共振器の自由振

動を解析している小倉吉田ｊぶ蛍路十平行平面フ７ブリペロー共振器の

モードのｏ次近似として閉じた空胴共振器のモードを採用し開口面からの帽

射の反作用を摂動と見なして回折損失を求めているＲｉｓｋｅｎは１１図に

示すように平行平面共振器を開口面Ｓｏで内外部に分けて外部を幅射場と

し内部の場を導波管モードで展開してＳｏ面上での場の連続条件より回折損

－２

ｊ－

－

ｆlsquo

ふ

rdquo

一鴫

叫

４rsquo

｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

Ｓ －

６

５８言

４

３

２Ｉ

Ｉ

１

ｈＩ

ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

ε０ｔ

０５

０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

Ｓ

ｊ

ｌ

１

｜

り

八レ

シーブ＿二

言－ｊ

ｊhelliphellipcap

エレリ

ブドｊｙノレレダダ゛

｀

コolineolineoline

｜

二二

ニ上｜

＿ｊ」

－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

恥４

３０

＞ｉＢＭＡ

２０

１０

ＩＩlsquoこε

ｊ

ｌ－一一

バ

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Ｈフー－－rsquo－rsquo－゜ヤ

１［７χ

Ｎ゛２deg

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゛｀－－rsquo゛

゛｀

ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

』

－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

helliphelliphellip

ル

クぐニニサ

りχ

９２

helliphellip

り

and

ニ

Λト

〉十

ヤ

χべ

rsquo仁ヽ

一一卜χ丿olineト｀ヽ

ｌlsquo

χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

ロ

＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

コ

（０）

ブ

ザーご１

ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

ヅ

へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

Ａ

｀ノノandand

ｘ

ゾ

１メ（２）ｉノ頒ン

ハへ斗

ノ

ノレoline卜玉

ノ

ダrsquo

犬柚バレ｀コり゛十

ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

｜べ

トuarr

゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

ｔ

６ｊ

５０

必

４０

ＫＳＩ

３０

２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

ＩＩ

rdquo － ＝

０

ｊｌ

（２０）

ＩＩ

１１

１

１１１１

１

１

卜

（０り

sect

ＩＩ

ＩＩ

ＩＩ

１

１ｊ

１

ｌ

（）

八

よ

ｏＯＳ

ｊ

７

ｊ

１

１

１

Λ

ｕｌ）

Ｖ

pound

一一

四rdquo

２０

ａ

一 －

（２）

～

Ｉ

Ｉ

ダｐｔ

１＝ part

ク」

（２

２）

acutelsquo｀ゝゝ

rsquo

へ

ゝ

χ

χ

（Ｑヽ３ｊ）

Ｘ

｀

１

－ larr

Ｗ － Φ

rsquo

χχχχ

（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

Ｏdeg

ｓｔ

｜

ｙ rdquo

１３ＳＶ工ｄ

６

４２

一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

４

－Ｚ＝Ｏ｀Ｎ

ｚ＝ｉ

ぺ｀゛rsquolsquorsquo゛゛Ｋ

ホス「１１

十〇１０１３２

」

｀χ

－Ｚ＝Ｏ

゛Ｑ゛Ｑ

olineolineolineolineｚdegＬぐ゛

Ｏ０２０４Ｑ６０８ｒえ１（

５０deg

Ｚ

２０deg

〆〆〆

９０deg－｀rsquo゛｀rsquo゜

８

５びヽ－rsquo

≫≫rdquo―〆゛＝

２０degrdquo

９

６

Ａ＝１０

３０deg＝０１

へ

心－

３ＳＶＨｄ

４

一（）ＤトコｄｌＮＶ

よ

Ｚ－０

一一一一一一－Ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ｎ＝

０６

１０

０８１０

２６図ｅ鏡面トにおける場の分布

３ＳＶＨｄ

４２一

hellip一ａｎｉｉｉｄｉ＾ｖ

１

今＝十〇０１５９

０２ ０４ ０６ ｏ政ＬＯ

２６図ｄ鏡面上における場の分布

≪supe rsquoヽ゛｀ブヽrdquo

コ２ｊ

１ＳdegＦＩｊ

Ｉ５ｔｆ

１１

１２ｆ

１１

９《ｆrdquo２７０

１ノ１

６０acute゛｀ヾ

し～ゝ一ヘノ

３０゛rsquoacute゛

＝

ｎ｀

ｌ８０rsquoｉ

１５δへrsquoPrime｀ヽ一ヘヘーノ

｀乙－lsquo

１２０

９０

６０

３０Ｖ＝ＩＯ

ｔ＝ｏｉｎ

－

６ｊ

一一一｀４工ｄ

４

３ａｎｉコ｀Σく

Ｚ＝０

０今

１

Ｖ＝ｉｏ

pound＝ｏ１

＾＝＋００８Ｏ

０６ ０８Ｉａ１０

３ＳＶ工ｄ

４２

hellip一Ｄｎｉｉｉｄｗｖ

Ｚ＝０

０４

ｔ

Ａ＝｜

ε＝０１

０６ ０８ＩＯ

一一一一Ｚ＝Ｌ

ｏ卜十立

２６図ｆ鏡面上における場の分布

－－－－－－Ｚｔrsquoｔ

０２

２６図ｇ鏡面上における場の分布

rdquo゛二へ゛olineacuteゝき

PrimePrimersquo｀゛｀ゝゝゝヾヽ

ｉここ「＿」＿＿＿Ｌ

Ｃ＝Ｕｌ

゛ｌｙ２rsquo＝ｚ７＋（λ０７０

ヽヽ－ヽ｀へ

rsquoゝ１－－－－＾

～

ｙrdquo〆rsquo゛oline゛｀－べ

８ｏdeg１

叫｜｜

２０deg゛

ツ

ｚ

９０Γ

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ｊ叫ロ

１８０－１

５０rsquo

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｀

－ヽψlsquo

～へ

２迄ｊド｀rsquo

９ｏrsquo２７０deg

６（ｆ

１１

叫目

１

｜ｒｌ゛Ｌ１１＿）

－

－

６１

１ａ

Ｉ

一hellip一ｓｖ工ｄ

３ａｎｉｎｄｗ

２０

１０

（１２ ０４

０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

１

八＝１０

pound＝０１

４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

χ＿

ゝ～～χ∽

rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

ｙ

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＋０００６

〕

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］

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ヽ

－－一一近姐式

卜

１８０deg１ｆ１

１５０

ｙｙ７１

１２（

トuarrＺノ

ダノＺ油

９０deg゛ヽノPrime

２７０deg゛ノ

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６（アｚ

ユ｜「Ｕ

１１

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２（ｙdeg

９

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］｀４エ｀

３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

Ａ＝２０

pound＝０１

ｏ石 ｏａＩａ１０

２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

ｔ

０６

ｌ

一

一 ０１

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二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

６べ

そニｒ゜十〇lsquo０８８

４rsquo゛

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－－－－－Ｚ乙２ム゛い゛ｋて１゜十〇０３６

Ｋタχ

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９０rdquorsquo゛２Ｔ０－らrsquo２lsquo

＾｀

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μ＝２ひ

ぴ１

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４

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１

吽２

一一一（）コにＬＨｄｎｖ

０

Ｚ＝０

Ｚ＝Ｌ

０４

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Ａ＝５

pound＝０１

警三９十〇０２５４

０６ ０８ｌｄ１０

ω１４エ｀

６４２０

］（一コトコｄｍ

Ｚ＝Ｏ

Ｚ＝pound

ａ４

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Ａ＝２０

pound＝０｜

登＝７十〇１６４

０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

ゝき

へＷミ

ゝへ∽－－＝～～ゝ

４ゝゝ

へ～～－ミーぺ

ゝχ

５０゛－

２０rsquoぶ

～へ∽～ｊlsquo

９ｄrsquolsquorsquo

６ｄrsquo

Ａ＝５

１８０ｊｌ

ｊ

ｓｏrsquo１

２０

川｜

ノ

１ノ

９０２７０deg４５゛６３０deg

ダ｀ノＪｊ１７〆

６０ｙｌ

Ｉ

ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

」

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

１

－

ｊ

ｊ

Ｗ

｜

魯

乱

１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

Ｎ兄

－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

０Ｚ

Ｔ＝Ｉ

７＝１０２５－rdquo

Ｊ

①０

２０鴎ノ

（ｉＬｘ－ｎ）

晶＿＿rarr

うrsquoｌdeg

－

］

ｉ｛Ｃｏｊ）－ｌｓ

］ム

＿

い川（０２）ｏ

｜

叫

口に

丿川

いいパドリハ

９卜川いＴレドcap

１ｎｌ

フス

｜

べｉ

１χ

１

χｌ

rsquo｀χ｜

helliphelliphellip

sup

ang

－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

之

３５図透過率とパワーの関係

７５

Ｊ

Ｔ９多

ｋＵ０ノｔ－ト気価ヽ門凧翼

べ

（乱）

－１０

－｜「

２０Ｉ

Ｖ３Ｍ０ｃｌ

－２５

－３０

（００）

‐Ｉ

Ｑ

（

１り

rsquo１１１１１ヽＩＩＩ

ｒ１１Ｆ

Ｉ１叫

para ９ Ｗ

（２０）

ｙuarrｔ八

ＩＩキ

いい）

Ｉ八口同umlＡ

Ｘ

１１１１

丿

Ｘ

り

ＣＩ０

ＩＩＩＳ

へ

７

ｊ

Ｘ

Ｘ

Ｘ

andＸ

Ｘ

χ

χ

ｏｏｓヶ＿ＦＲＥＱｔ

｜ ｜ ｜

叫八－ｏ

叫λ一皿Ｉ

峠ごぺ牛こり

｀ｒ４１嘔

Ｎ￥助

（｜２＝）

へ

＜

ソコχ

Λ

之ムムご島

じゝ－－－Ｑ４ＳＩ

（０３）

（０２

（２０

ｙ Ｑ１

８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

rdquo

一一

ｄｂ

刈Ｏ

引５

０ＩＨｌＭＯｄ

７７

２Ｓ

－３０

（００）

ゝ

（｜０）

（２０）（０１）

χacute

ヽ－

ゝχ

ノ｀十ぺ

止＿二＿helliphellip－１＿

Ｓ

Ｔ＝２

Ｔ＝Ｉ

Ｔこ０５

Ｎ２０

ａφλＬ＝０３

よ

＿＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

００２ＦＲＥＱびＥか＾ｃｒ Ｑ呼２ムÅ一息二心part

８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

ミ

）ヽand

石

ヤ

〉

χ

－Ｔ＝０５χoline｜

Ｎ２０

ノト０３

（１よ）

rdquolsquo｀

Ｘ

ノ

レソ

ソ

ｚ

｀゛へヽ

＿

ang

上＿＿＿＿－＿上＿

１

１

ｊ

１

｜

－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

騨

１

rsquoｉ

Ｕ３

］切く工ｄ

２０

田

］（一ｎｉｎｄｉ＾ｖ

０２ ０４ ｏ６０８１０

３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

Ｌdarr」

ａ

３ａｎトコ」｀lsquoく

‐４１１Ｉ‐ＩＦｓ

２４０６

２１０

４

１８０

２

０２

＿」＿＿」＿

０４

こ」＿ユ

０６ ０ａ ＬＯ

３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

１５Ｃ「

１２０

９０｀

Ｖ＝２０

ゝゝ～｀ｘ

ｘ

－＾－７ｏ＋ＯＯＯＧ８

～゛

χ

一丁゛１｀

olineolineolineolineolineoline丁゛Ｏlsquo２５ｙ｀

ヽ

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rarrrarrrarr

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５０゛

２０rsquo

９０－一十う十゛－

１８０deg

９０

一hellip一哨くエー

ＣＮ―

一hellip一【】ｎヒｉｄｍ

０

ａ２ ０４０６

一一

一一一一－

Ｔ＝２rdquo６

１

０５

Ｗ＝２０

２Ｌ＿

Ｗoline馬

十〇０８９

０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

and］≪

呼６ａｌ０１Ｚ

rsquoｏ哨一

rsquoｏ訥一

゜ｏｔ

位

幅

゜ＣＯＭ１１ｙ

－－－ａＳ－

七ヽご一rsquoldquo゛

相

ｌ

振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

２千ｇ

振

位

２吽Ｇｌ１０

幅

相

くｃてこここてニニニー

振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

Ｗ

回千千

｀χ

ｌ

ｊχＪ゛

－rsquo～＾ｊへ゛｀こ

ンolineぺ川Ｘ≒へ

Ｗｔ｀rsquo２rsquorsquoｉ＝rsquolsquoｌｅlsquo１

１１１－－一一

sup ］ム

二＿上

コごＬ＿＿

ド

４

para

｜０１０ＩＳ－ＺＯａｏ

３Ｘ

振゛幅

位 相

Ｔｍ｝フ

振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

８３

振

位

肪琵ｇ

幅

相

２ご七てニコつ

振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

ドー－ニこ

ここに｀

さ守こ三三三亨

ｙ

lsquo（ｉｉｉｙ４｀ＱＸ

〉

イし～゛二卜

ｌ

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Ｎlsquo゜１２０

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ｊｇ｀゜－ぼχ

－６゛ｏrsquoｔｏ

乏屋≒ｙ～pound一rsquoPrime

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づ

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０５－０５を１１１

ミフ馳

｀涜＿四苓

rsquo２レｏｙ｀

χＮ

２｛１０１牛

１００ paraｏ゛

振

ｌｌ゛

位

ｉＣ１２Ｊ４

幅

相

ンノマ｀ヽへ≪でコロ

振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

８４

一づヽ

ｉ＿へ

２１１１３今Ｓ

振

～～

位

幅

相

゛｀rsquoに二こ二つrsquo－

振袖（立体図）

８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

ｙ

一一一一－－－奏蓼四

万言言三ジ

ぶだ俗才

oline～゛｀－へ

｀゛

～χ

Ｎ

lsquo

へχ

χ

＿ｙ

ｙノ

ＺＺｌｊｘ７

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１１１ゝχ

１１１１１χ

ｉＪ４lsquo１２lsquoｋ

＿＿＿

ヘム

ソ］ｊ詣helliphelliphellip

helliphelliphelliphelliphellip９

rsquo

４ ｔ１ｇ

振

位

幅

相

Ｉｉ

ｌｏｄ

振幅（立体図）

３９図ｇ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌpermilａ吻λ＝０１

１～

８５

｀ｉｉｊ－－りり￥

振

１１

位

幅

担

ｑダてニこ７≒＝＝ごここヽ

てrsquoバ－rdquorsquolsquo゛oline｀rsquoヽヽ゛゛rsquoヽuarr２｀ぺ六－＜］）

ＩＷrsquolsquo～＿＿＿－

振幅（立体図）

３９図ｈ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ＾λ＝０１

乙子ノ二

uarr冪言言苓言

helliphellip戸oline゛｀ｙヽヽ

ジ｀゛

づ

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rdquooline｀へ

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ジズニ゛ごこどや｀

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χ

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４ｅ≫１０１２

振

０２１

ｆｉＳｌ

＜ｘ一 ９０rsquoＨ

位

幅

相

≪ｏ

手一一一～＞

～゛～～－－～｀

振幅（立体凶）lsquo

８９図ｉ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０１Ｘ＾＝０５ａ吻λ＝０３

８６

rdquo

ｄ

゛

ｇ千２２４Ｇ８

振

ダ

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χＩ

幅

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｀ｔこヽ

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位

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ヽ扮｀こヽ

ヽべヽ

レ汗三ミＦ湾言二

言supeブ遜ニ≒ニニ

uarrにて二二ぎ二ててフ～～゛～～－＝ミ゜゜rdquorsquo

振幅（立体図）

８９図丿傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５鴨ａ吻λ＝０３

Ｗ

ミ

ＩＦ

ｔ

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二

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仁二二万ブミ言

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lsquoｂlsquoｃヽ４

二丁－一一

ｊ

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振

位

１０１５２０

幅

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相

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－一デ≒ミ≧≦言ミブブ氷

－－－～－二二二一lsquo丿一一ヽ⑤ｌ二丿

Ｅ二二大レ゛二二二万こミミ二二二丿

uarr且三上二二づダ

振幅（立体図）

３９図ｋ傾斜入射の場の分布

（２０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５ａｉ＾λ＝０３

Ｓrsquo

８７

ＯＩＳ ０２Ｓ

振

位

幅

゛心｀１

相

４lsquo１ＳＭ３

rsquo゜ｂrsquoＳ

＝＝匹三equivΞ込

一一一一～一匹匹

振幅（立体図）

３９図pound傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝０５permil岫λ＝０３

こ二九よ三回三ヒolineoline辿号垂豆

－－ヽＺ陽ご奎示言

一＾rsquoldquorsquooline゛゛゛｀ヽヽＪレジレノ゛

｀へ

総

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］］レ］ズソ］

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１ヅノレロ゜゛ｌｉｙ

器天゛

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２４Ｇ８１０

振

rsquo句ｆ

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－

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位

幅

相

一 一 －

二三ブ

５｀（｀ヽ（二二Ｔ）ニレ

振幅（立体図）

３９図ｍ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝１０Ｔ＝１permilａφｙλ＝０１

８８

ｊ６－ニ

より叶

ニoline

振

rsquorsquo２１

ｓｉｌ

゛船ｉ

１７

鼎

幅

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－

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lsquoolinersquoolineoline～Ｗrsquooline一一oline～二二こここ匹二ここ≒rsquo

｀行三三三三三三こ゛lsquo

ｙ゛Ｑ二Ｉこ７二丁二つ７rdquorsquo

芦幅（立体図

３９図ｎ傾斜入射の場の分布

翫鵬二茫叩絲

四回三回

尚尚三子

Ａχ＿～＿＿ノ～－－－ｉＦミペrsquo゛

内水

＿－－－－

ノ－－ご｀

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capｌｊ上上白

土佐

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ス

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心゛｀～ミり－一一一一ｗrsquonot

～－

－－～こ～

３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

｀olineoline

ノコユ

町＿＿＿＿＿＿＿＿＿ユ

ソト

一一一－一一

〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

参考 文献

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１５９

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ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

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皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

２３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＹＦｕｒｕｈａｍａＪ工ｋｅｎｏｕｅＳｌｉｇｈｔ

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｃａｌＰａｔｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ５（１９６６）２２５

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１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

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３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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一鴫

叫

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｀Ｗ

Ｓｉ一 一 一 一

－一一一一－

Ｓｉ

ｆＬＬ止

Ｓｏ

一一－－－－－－

Ｓｏ

ユー１

Ｓｉ

Ｓｉ

一 一

１１図平行平面ファプジペロー共振器

失内部の場の分布を求めている彼はＳｏ面での境界値を１極類しか問題に

しないようにＳｏ面上で境界条件を満たすグリーン関数を使っているそのた

めに１１図のＳＩ面上において場の法線微係数がｏであるという仮定を用い

ざるを得なかったｏｏ驚ｙ平行平面共振器について波動方程式より出発して

任意の点での波動を鏡の表裏両面からの輸射として記述しこの点を鏡面上に

とると境界条件を満たさねぱならないことから鏡面上の波動の満たす斉次積

分方程式を得鏡面上の波動をルジャンドル関数を使って展開することにより

積分方程式を行列方程式に書き換えて回折損失を求めている９

以上は自由振動モードの解析を行った主要な論文であるこれらの応用の例

は枚挙にいとまがないがそのいくつかを述べる鏡の傾斜あるいは曲率の

微小変化の回折損失に及ぼす影響に関してはＧＩ詔よちｊり菖１摂動論を用いて共焦点配置の場合を扱いＦｏｘｄ小倉吉田諭１

ｗｅｌ認が平行平面配置の場合を扱っているまたＦｏｘＩはレーザ媒質の利

得飽和効果を考慮して発振モードを解析している彼はレーザ媒質が鏡の直前

に厚味のない薄層をなしているとみなして干渉計理論を用いて計算機による

シミュレーションを行っているその結果によると発振強度の一番大き宍いモー

ドは平行平面鏡配置では最低次モードであるが共焦点配置ではフレネル数

の増加とともに高次モードとなるＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉはＶａｉｎｓｈｔｅｉｎの理返）を基

礎にして一次元の矩形平行平面鏡に関して鏡のインピーダンスが場所的に異

なると弐およびｉ枚の完全反射鏡を平行に並べてできる２つの共振轜を回折

３

一 一 一 一 －

rdquo－－－－－や一一

解析遥

を行っているこの他共振器中に結晶媒質を挿為がある

最後に実際上の問題万として重要な励振問題を扱っている論文について述べ

るファブリペロー共振器を使って周波数等の測定あるいはレーザ増幅を

行う場合Ｒは外部よ）りｊ波を入射させて励振しなければμらないこめような

場合の励振特性等に関する解析は１９６０年代前半には殆んど行われていない

わずかにｉｙａｉｎｓｈｔ謐が散乱問題におけるＳ行列加論といわれるものを使らて

取扱ているしかし共振器の具体的なモデルをとりあげ七これを計算するこ

とは難しくレ

なされていない厳密な理論ではないがＫｏｐｐｅｌｍａｌｔは１次元

矩形平面鏡共振器の励振問題をとりあげて具体的に場の分布の数値結果を得て

マイクロ波を使うた実験結果と比較しかなりよい一致を示しているこれは

共振器内部の場を壁面で０となる導波管モードで近似展開してその伝播定数

の虚数部にＦｏｘＬの得た回折損失を考慮したものである波動方程式から出

ｙ発して初めて具体的に励振特性を求めたのは小倉吉田巌ぷｉ）～３９）上である

これは平行平面鏡共振器の＝方の鏡面上に強制励振源をおいたものであるこ

の理論の特徴は自由振動モードを求めずに直接励振問題を扱えるところにある

内容は次節で紹介するこの理論を基礎にして吉田小倉ｊ（ご６ま一方の

鏡が微小透過率を有するときに外部より平面波を入射させて励振する問題を

取扱っているまた特殊な場合として自ユ由振動モー＝ドの取扱いも可能であるこ

とを示している彼等はこれを普通の示祐丿平面ｆ）４３）４４）こ適用してにＦｏｘ

ＬＩトｖａｉｎｈｔｅ包と非匍こよく一致する回折損失場の分布を得るとともに

応用として平面鏡が平行の状態かーら少しぬの解析を行っているその後Ｆｏｘ

４６）超万よび鏡眼結合孔のある

計Ｔ環綸ｊで励振に関する問

題が取扱えることを示すとともに計算機に１あるシミュ１レーシヨニンぞ小倉吉

田ｉおｌｌｔ１ことよく一致す結果を得ｔＪケ田ト杉凰よ波動方聚式から出

発してＦｏｘＬｉの干渉計理論に厳密な根拠を与えるとども４こ干渉計理論ｌこでよ

る励振問題の基礎方程式を与えたノ古妬ま丿その基礎１４４呈式令共焦点４置の場

合に適用して鏡面上の場を一般偏平楕円関遮で展開してト平面波にＪよ４励振

入力共振器のＱ値を計算している山田川蔀ま同じｋサヽｌ山田杉尾の理論ｊを基礎として導波管と球面鏡共振器の結合問題をとりあげているノ榎戸ノ管

４

卜

卜－

戸

｀ｋ

蔀雌剔

Ｌ１９）ｙは干渉

ぺ

Ｗ

－゛

木rsquoは一次元の共焦点型共振器と方形導波管を結合させて導波管側より見た

入力アドミタンスを停留表示で求めて実験と比較している彼等はマイクロ

波回路の伝送線と空

用いている赤尾

合の理論に基礎をおいて共振器の近似固有関数を

共振器と導波管を結合させて入力インピーダンス

を求めている彼等は小ぬと同様に共振器開口面を仮想境界面として

グリーン関数表示した内外部の場を境界面で結合しているしかし彼等は

共振器の形を一般的なものとしてベクトル表現を用いているが実際の計算デ

ータを示していない特殊なものを除いて一般的形状の共振器でこの計算を実

行する際にはグリーン関数を得ることが困難であると思われる

これらの他にファプリペロー共振器のＱ値等の特性を実験的に研究して

いる論文も多数ある流体力学におけるレイノルズ数のようにファブリペ

ロー共振器ではフレネル数によってその特性が定まるしたがって光波を使

った実験では波長程度以下の鏡の微調整をすることは不可能であるがミリ波

程度の扱い易い波長を便って共振器を適当に大きくすることによって同じ特

性をもつ共振器の実験を行うことができるこれらの実験に関する論文の内容

は付録１１にまとめる

sect１２本論文の梗概

本論文は２枚の平行円板鏡をもつファブリペロー共振器の励振問題を波

動方程式から出発して厳密に解析するとともに具体的に励振特性を計算した研

究および種々のファプリペロー共振器すなわち共振器の一方の鏡力半透

過鏡の場合鏡の中心に結合孔のある場合および両鏡が異なる方向に傾斜し

た場合にその理論を応用した研究をまとめたものである

第２章には基本とぶぞｌａｉＳを示す厳密な理論から具体的に励振特性を得た

のはこの研究が最初であるand励振モデルとしてはもっとも簡単な一方の鏡面上

に強制励振源がある場合をとりあげるスカラー波に対するヘルムホルツ波動

方程式の境界値問題として取扱う鏡面上では励振源を除いて場はｏとなるも

のとする共振器開口面を仮想的境界面として空間を内外部の２領域に分け

各領域で適当なグリーン関数を用いて場を記述する境界面で両領域の場をな

めらかに接続し境界面上における２つの未知関数に対する連立積分方程式を

５

得るこれらの未知関数を固有関数で展開し展開係数に対する連立一次方程

式に帰着させるこれを電子計算機で解き励振特性ならびに共振器内部の場

の分布を得るさらにこの励振問題を近似解析して励振特性を簡単に求める

方法を示し｀またこの理論が共振器内外部の媒質が異なっていてもあ

るいは媒質の屈折率が複素数であっても適用できることを利用して内部媒質

に利得あるいは吸収のある場合を取扱う

第８章では共振器の一方の鏡が微小透過率を有する場合にこれを通して

外部より平面波を入射させて励振する４０）～４ｄ取扱うこれは実験的Ｒしばしば

行われる方法ではあるが簡単なぷなｉを除いて本研究以外には理論解析はなさ

れていない共振器内外部の場の取扱いは第２章と同様であるがこの両領

域以外に入射波の存在する鏡の外側の領域を別に考える微小透過率をもつ鏡

を誘電体鏡と考えこの鏡の両面上での場の関係を求めるこれにより共振器

内部の場を入射平面波を含ひ形で表わすそして第２章同様内外部の場を接

続する平面波が鏡に垂直にまたはわずかに傾斜して入射する場合について

励振特性および共振器内部の場の分布を示す特別の場合として入射平面波

の存在しない場合すなわち自由振動モードを解析する

第４章では共振器の円板鏡の中心に結合孔を有する場合について励振お

よび自由振動モードをとち６忿侈る両方の鏡に孔のある場合および一方の鏡に

のみ孔のある場合の両者を取扱う両鏡に孔のある場合の自由振動モードに関

してはＦｏｘＬｉの解絡哺るがに片鏡のみ孔のある場合の解析は他にはなされ

ていない全空間こを共賑器内外部と結合孔を含ひ領域の３部分に分け仮想

的境界面を２つ考える２つの境界面で第２章と同様に場をなめらかに接続し

連立一次方程式を得る少し面倒な評似谷ｉれば自由振動モードを齢くニことが

できてこの場合の回折薪失内部め場の分布を示す特殊な例としてこもっ

とも簡単なファブリペロＴ共振器どじてしばしば解析される一次元鏡の自由rsquorsquo゛１≒「

振動を取扱うこともできることを示す゛

第５章では一方の鏡が微小傾斜ｕぼ霜ぬを発展させ両鏡が互いにdivide－－

関連なくヽ任意の方向へ微小傾斜したと乱）自由振

μニ５集に平行平面

ファプリーペロー共振器においては傾斜の回折損失に及ぼす影響は大きく

レーザ発振器では鏡の調節は非常に難しいしたがって鏡が傾斜した場合の解

６

かー

Ｗ

へ

－ゝ

呵

Ｊ

析は重要な意味をもつがこれに関しては乖者等の銚診能恐怖押

Ｗｅｉｌ７）の電子計算機シミュレーションによるもののみであったまたそれ

らはいずれも片鏡のみ傾斜しているかまたは両鏡が同じ方向に同じ角度だけ対

称的に傾斜しているという特殊な場合であった両鏡が異なる方向へ異なる角

度だけ傾斜するという現実的問題をとりあげた論文は本研究以外には発表

されていない本研究では鏡の傾斜の及ぼす効果は第２章の強制励振源に相

当するものであることを示して励振理論の解析を利用する傾斜鏡の場合の

特徴として角度方向に関して異なる分布をもつモード間に結合が生じること

に注意して解析を行う

ヤ

－

琴

Ｗ

Ｊ

第２章 強制励振

sect２１序

本章では平行円板鏡ファプリペロー共振器の励振問題をスカラー波に

対するヘルムホルツ波動方程式の境界値問題としてとりあげるsect２２では

共振器の開口面に仮想的な境界面を考え全空間を共振器の内外部の２つの

領域に分ける共振器内部では導波管モードのグリーン関数で場を記述する

これは励振問題では自由振動と異なり任意の周波数を考慮しなければなら

ないために内部の場を導波管波で記述することが適当であることによる共

振器外部では自由空間の轜射場のグリーン関数を便い場を記述する励振に関

するもっとも簡単なモデルとして一方の鏡面上内部に強制励振源をおくこ

れは実験でよく行われているように半透過鏡を通して共振器中へ波を入射さ

せて励振するときに鏡の透過率がｏに近づいた極限の場合である次に共

振器内外部の場を境界面でなめらかに接続することにより境界面上におけ

る場め値とその法線微係数に対する連立積分方程式を得るこれら２つの未知

関数を固有関数で展開し連立積分方程式を展開係数に対する無限次元の連立

一次方程式に帰着させこれを基礎方程式と呼ぷsect１２で紹介した自由振

動を取扱ったＲｉｓｋｅｎの論タ１異なるところは次のところであるＲｉｓｋｅｎの

場合は境界面で１種類の境界値のみを問題とするように定式化したために

１１図のＳＩ上で場の法線微係数がＯとなる仮定が必要であったしかし本論文

では２種類の境界値を問題にすることによりその仮定の代りに鏡の外側の

面上で場の法線微係数がｏとなる仮定に変っているこれは共振弱寸法が波

長に比して十分大きいから鏡の褒面までまわりこむヽ場は十分小さいと考えた

ことによる山田ぶもの両者の仮定をＷｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法で評価し本論文の

仮定の方がよりよいことを証明している

sect２３ではsect２２で得た基礎方程式の特徴を利用した解法を述べる

この基礎方程式を解くことによって開口面より幅射されるパワーおよび共振

器内部の場の分布を求めることができるここでは電子計算機を便って求め

た励振周波数に対する幅射パワー場の分布の数値例を示す以上の結果は少

９

し面倒な計算プログラムを要するそこでsect２４は共振点付近の振舞ｌと

関しては簡略な近似式で十分良い解が得られることを示すこれは共振点

付近の周波数では１つの導波管モードのみが特に強く励振されることにより可

能であるsect２５では本理論は共振器内外部の媒質の誘電率が異なって

いても適用できることおよび複素誘電率でもよいことを利用して共振器内部

の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増幅および減衰のある場合の

励振特性を得るなお本章の解析は第８章以下の解析の基礎となるものであ

る

sect２２基礎方程式

共振器は２枚の半径ａの円板型鏡を間隔Ｌだけ離して平行に配置したものと

する鏡は完全反射鏡であるとし励振源は鏡面上に一定の強さで分布してい

るものとする共振器の内外部は自由空間とするこの励振問題をスカラー

波に対する境界値問題としてとりあげ次のように問題設定を行うヘルムホ

ルツ波動方程式

り（ｒ）十ｋり（rsquoｒ）＝Ｏ（２１）

を満たす波動関数９（ｒ）はｚ＝０およびｚ＝Ｌに位置する完全反射鏡の両面

上において次の条件を満たすものとする

（ｒ）＝Ｏｒ鏡面上（２２）

ただし励振源は鏡の内部面上の一部に分布するものとしそこでは次の条件を

満たすものとする

（ｒ）＝９（ｒ）ｒ鏡の内部面上の一部十（２８）

ますこ外部無限遠方では帽射条件を満すこすものとするなお鏡の厚さは無限に薄

いものとする

ｎ

Ｚ＝０

２１図

－－

Ｓ

ファブジペロー共振器

rsquo１０

Ｗ

ｙ ￥ 一

rsquoｙ

ふ

－－－一一－一一一一

一一一一一一一－

寸

－Ｚ一犬Ｌ

ang＿＿

－

－

゛

Ｗ

ぷ

前述の問題を解くために２１図に示すようにｒ＝ａの位置の仮想的円

筒面Ｓにおいて共振器を内外部の２領域に分け各領域の場を適当なグリー

ン関数で記述する内部の場の記述には次のグリーン関数Ｇ（ｌ１ｒrsquo）を用いる

ＧＣｂ－Ｉｐrsquo）は共振器内部において

２Ｇ（ｒｌｐrsquo）十ｋ２Ｇ（ｒｌｒrsquo）＝－５（Ｐ－ｒrsquo）

を満たし鏡面内部において場と同じ境界条件

Ｇ（ｒｌＰrsquo）＝Ｏｚまたはｚrsquo＝０またはＬ

（２４）

（２

を満たすただし８（Ｉ）はディラックのデルタ関数であるこのＧ（「

を用いると内部の場は

９ｉ（Ｉrdquo）＝一石が≒りざｊpartｎ

９ｂ（ｒrsquo）ｄ７

七ｉ〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）－≒ｊリpartｎ

partＧ（ｒ｜ｒrsquo）

partｎPrime

５）

ｒrsquo）

９（ｉｒrsquo）〕ｄＳrsquo

ＩＩ（２６）

と表わせるｊｎは２１図に示す法線方向であるｃｙは励振源を示すまた

ｄａrsquoｄＳrsquoのプライム（）はｌrsquoに関して積分することを示すグリーン関数

Ｇ（ｉ－｜ｉrdquorsquo）の具体的な形としては次の円筒座標表示形を用いる

Ｇ（ｒ１ｆrsquo）＝Ｖｘｓｉペ雫）ｓｉｎ（ブ）

χりＪｉ（ｊミ）Ｈｊｌrsquo（ｊご）ｃｏｓぞ（part一心

（ｒ＜ｒrsquo０≦ｚｚrsquo≦Ｌ）

ｒ＞ｒrsquoのときは（２７）でｒとｒrsquoを交換するただし

ぷ４（ｋａ）２－（旦昇）２

りー｛１ぞ＝０

２と≧１

（２７）

（２８）

（２９）

グリーンの公式

為（ｙぴｕ－ｕ２ｖ）ｄＶ＝ｓ（ｖ壮一ｕ殼）ｄＳ

においてｕ＝９ｖ＝Ｇとおいて（２２）～（２５）を用いると（２６）を得る

１１

－一一

であるＪＺ（ｘ）はベッセル関数でありｈrsquo（ｘ）は第１種ハンケル関数で今後

簡単化のため馬（ｘ）と略記する＝

外部の場は自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｒrsquo）を用いて記述するすなわち

Ｈ（ｒＩＩrsquo）＝轟ｊｒ－ｒrsquo上

を用いるこれはＧ（ｒ｜ｒrsquo）と同じく

２Ｈ（ｒｌrsquo）十ｋrsquoＨ（ｒｌｒrsquo）＝－δ（Ｉ―ｒrsquo）

を満たす具体的にはＨＣｐＩｒrsquo）の円筒座標表ぶきＷだもの

Ｈ（｜Ｉrsquo）＝長姦

Ｑｓ４ｃｏｓｆ（part－ｅrsquo）

（２１０）

（２１１）

゜゜Ｊｊ（oline巨二ｙｒ）Ｈど（－ｈ≫ｒrsquo）ｃｏｓｈ（ｚ一均ｄｈ

（ｒrsquo＞ｒ） （２１２）

を用いるただし（２１２）でｒ＞ｒrsquoのときはｒとｒrsquoを交換する励振は

共振器内部の鏡面で行っておりまた共振器寸法は波長λに比べて十分大きい

から内部の場は殆んどＺ方向に往復する定在波であって鏡の外面にまでま

わりこまないと考えられるそこで

part９（ｒ）＿

９ｎ－

と近似する゛

９（ｒ）

ｅＩ ｌ鏡の外面上

これにより外部の場は

＝一石ＣＨ（か１ｒrsquo）part９（ｒrsquo）

partぶ

（２１８）

partＨ（ｌｌｒrsquo）

－ ９〔約〕ｄＳrsquo （２１４）

と近似できる

開口面Ｓは実際には物体の存在しない仮想的な境界面であるからそこでは場

はなめらかにつながっているすなわち共振器内外部の場とその法線微係数

はＳ上（ｒ＝ａ）で等しい

〔９〕ｉａ－０〔〕ｉａ４０

〔答〕

ｒ一一０Ｔｒ＝≪＋０

〔２〕１５）

（２１６）

山晶Ｗｉｅｎｅｒ－Ｈｏｐｆ法を使って鏡の外面上でのpart男partｎと内面上でのそれとの比が

（ｋａ）鴫４の程度であることを示した

１２rsquo

Ｗ

７ －

甲rdquo

ふ

－ 一 一

Ｗ

－ｔ

－

ｊ

（２６）および（２１４）により上式を具体的に書くと次のようになる

２πpartＧ（ａpartｚｌｒrsquopartい））こぐ

partｇ９７（ｒりrsquo）ｒrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

刊rsquo〔Ｇ（ａpartｚｌａpartｚ）り（ダPrimeｙ）

－

partＧ（ａ―０（ｚ

partｒPrime

ａpartｙ）

Ｐ（ａ（rsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｌが゛（Ｈ（ａpart＞ｚｌａＩpartrsquo）part９（ノＵrsquo）

－

partＨ（ａ十〇ｅｚａｄrsquoｚrsquo）

partｒPrime９（ａpartｚ）〕ａｄpartrsquoｄｚrsquo

part２Ｇ（ａ－ｏpartｚ｜ｒrsquopartこ０）や

partｒpartが乳（ｒrsquopartPrime）ｒrsquoｄｒrsquoｄ『

十わ７〔partＧ（ａ二１７partｆｚｌａpartｚ）

－

part２Ｇ（ａ－０part

－partｒpartが

ａ８rsquoゞ）

part９＞（ａpartrsquoｚrsquo）

partｒPrime

ｃ（ａpartrsquoｚrsquo）〕ａｄpartｄｚ

＝－Ｊ７〔partＨ（ａ＋Ｏpartｆｚａｔpartrdquo２rsquo）part匹年rsquoや２rsquo）００partｒpartｒPrime

－

９rsquoＨ（ａ＋０partｆｚａpartｚ）

partｒpartｒPrime（ａpart－ｚ）〕ａｄpartPrimeｄｚrsquo

（２１７）

（２１８）

ａplusmn０はグリーン関数のｐ＝ｒrsquoにおける特異性を考慮してｒrarrａの極限の

とり方を示したものである

（２１７）および（２１８）の連続条件は開口面Ｓ上の関数および

即partｎを未知関数とする連立積分方程式であるこの２個の関数を求めれば

（２６）（２１４）によりrsquo共振器内外部の任意の場所における場を求

めることができるしかしこのままでは解き得ないため次のように無限次元

の連立一次方程式に書き換えるＳ上の未知関数を次に示すように完全直交系

で展開する

１３

９＞（ａ≫partｚ）一

一 ）｛フンり

列ドＪ＝１まぐ４＝ｉ（早）｛なり

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

ただしplusmnplusmnは未知の展開係数であり十－はそれぞれ｛

（２１９）

（２２０）

｝内のｃｏｓpoundＱ

ｓｉｎ＾partの項に対応する

（２１７）（２１８）の両辺に直交関取ｓｉｌｌ（警）｛７が｝をか

けてＳ面上で積分するその際（２７）（２１２）のグリーン関数およ

び（２１９）（２２０）の展開を代入して

がｙｓｉｎ（ぞ）ｓｉｎ（印）｛ゴにぶ］ｄ６ｄｚ＝ｄｎｔｔrsquoＳpoundpoundrsquo普（２－２１）

がでｓｉｎ（で）ｓｍ（――）ＣＯＳｈ（ｚ－ｚrsquo）ｄｚｄｚrsquo

＝（で）（や）讐ヒリ〔ｌ－（－ｌ）degｃｏｓｈＬ〕

〔ｇ－（でｊ２）リｈrsquonot（誓）ｌ〕

（２２２）

を用いると（２１７）（りリｌ）９連立積分方程式はａ４ｂＪに対

する次の無限次元の連立一次方程式になるこの方程式を基礎方程式と呼ぷ

Ｊ（ｊ）馬（ふ）４－ｊりＩ（み）屹（今）ｂ４

＋８゛ｑｌ（乱喘－Ｌｊ暗）＝－２り゛Ｈ（今）暗 （２２８）

ＡｕＪrsquo＾ｉＡ）Ｈ（ｊ）ａ４一一４rsquoＪ（ｊ）叫（ｚＳ）ｂ４

＋８Ｎ｛｜Ｍｉａ＾－ｉldquoｊ４｝＝－２りｈぢ（ム）心（２２４）

ただし

＿ａrsquoｎＮ－一一一入－２Ｖ

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

１４

（２２５）

－

゛

－

ふ

寸

申 lsquo

－

Ｊ

であるが実際に（２２３）（２２４）を解く際に問題となるｎは共

振器内でｚ方向に存在する波数（共振器長Ｌを半波長λ２でわったもの）に

ほ｀ゞ等しいところのみであるから

ｎ三２Ｌ２（２２６）

を（２－２５）に用いてｙ

Ｎ三良（２２７）

となるこれはフレネル数と呼ばれるものである（２２３）（２２４）

の右辺のψ４は

福三ふかｒＪｊ（ムdivide）｛７ンりら（り）ｒｄｒｄ（２２８）

で定義されるものでこれは励振の強度を表わす（２２８）（２２４）

の左辺の行列要素ＫpoundＬ１ＭpoundＮｊは

ＫｊΞぐｌｉpoundｉ＾）ｊpound（Ａ）ｌｎ（ｃ）ｄｉｃ（２２９）

ＩpoundヨぐＡＨpound（Ａ）］rsquo（ｉＡ）Ｉ（≪）ｄ≪（２８０）

ＭpoundＥでｌＨ＾（ｌ）Ｊ＾（ｌ）Ｉｎｍ（ｉＣ）ｄ≪（２８１）

Ｎpoundequivでｊrsquo吟（ｊ）Ｊ（ｊ）Ｉ（ｃ）ｄ≪（２３２）

で定義されるただし

ｊｌΞ（ｋａ）し冑１（２３８）

であるＩ（ｇ）はｎ－ｍが奇数のときは（２２２）によりｏであり偶数

のときは

ＩｎｎＣｉＣ）Ξ（ｋａ）―

１－（－１）rdquoＣＯＳ（ｇ昔）

Ｊ（ｎ―ｍ＝偶数）

であるファプリペロー共振器ではλ≪Ｌであるのでｎｍは非常に大き

い数例えばレーザ発振器では１０ｓ～１０７でありまた（２２８｝（２２４）

はＩｎ―ｍｌｎ≪１の範囲の項のみで近似よく解き得ることにより（２８４）

におけるｍｎはｔとおいてさしつかえない（２２３）（２２４）の

ＩＳ

－

基礎方程式はpart方向のモード番号ぶrsquoおよぴ十一に関して分離していることに

注目すべきである以下に示すように行列要素Ｋpound＞Ｌｎｍ＞ＭpoundおよびＮpound

はフレネル数Ｎと（２８）で定義されるｊｎの関数であるしたがって

基礎方程式（２２３）（２２４）もパラメータとしてフレネル数Ｎ

および周波数の関数であるｊａのみを含み共振器長Ｌおよび鏡の半径ａその

ものを直接パラメータとして含まない

（２２９）～（２８２）の行列要素の計算は付録２１にまわしここ

には最終結果のみを示すこととする

（Ｚ２－４πＮ

一一ｍ－

で定義されるαがα２≪１

はｎ―ｍが偶数のとき

Ｋｎｍ―

－

Ａｍ

１－－Ａｎrsquo

ｉ

ｊｊ一心２

（２３５）

の条件を満たすとき（２２９）～（２８２）

以下のようになる

〔｛ｓ（ｊｕ２）一Ｃ（Ａｎrsquo）｝－｛Ｓ（Ｉｍ）－Ｃ（Ｉｎｆ）｝〕

〔｛ｓ（ｊめ十ｃ（衣ｌ）ト｛Ｓ（Ａｍ）十ｃ（μ）０

Ｋ＝〔ｄ［ｓｒＡｎrsquo）十ｃ（ｊｊ）｝一｛ｓrsquo（ｊ２）ニｃrsquo（Ａrsquo）｝〕

十ｉｆａrsquoｉｓ（ｉ２）－ｃ（ｌｊ）｝十｛ｓrsquo（ｌｊ）十一Ｃrsquo（Ｉｎrsquo）｝〕

Ｌ－＝notｙＫｎｍ

Ｌｎｎ―１

－２

Ｍｎｉｎ＝Ｌｎｍｎキｍ

Ｍｎｎ＝Ｌｎｎ十ｉα２

Ｎｎｍ＝

１

ｊｌ－ｊｊrsquo

ｎ＝￥ｍ

ｎ吻ｍ

（２パ８６）

（２８７）

（２８８）

ぐ２８９）

（２ｔＯ）

（ａ４１）

〔ｊｎｌ｛Ｓ（１１２）－Ｃ（ｊｊ）｝－ｊｊ｛Ｓ（ｊｊ）一Ｃ（ｊｊ）｝〕

一匹〔Ａｕ｛ｓ（Ａａ）十Ｃ（Ｉｎ）｝―Ａｍ｛Ｓ（ｊ）十Ｃ（ぶ）｝〕≒ｍＡｍ―Ａ（２４２）

Ｎｎｎ＝〔（ｚ２ぷｌ｛ｓ（pound）十ｃ（え）｝－｛ｓ（八）－ｃ（池ｌ）トｊ２｛ｓrsquo（４）－ｃrsquo（略）ｌ〕

十ｉ〔（ｚＭ｛Ｓ（１）－Ｃ（Ｉrsquoｎ）｝十｛ｓ（丞）十ｃ（池）｝十ぶｉｌｓrsquo（ｉrsquoｎ）十（ダ（pound）｝〕

（２４３）１６

警

rsquo や ー

－

ふ

－

－

－

rdquo ｆ

Ｗ

pound

ｎ一ｍが奇数のときは上記行列要素はすべて０となるここでｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

は（Ａ２１０）（Ａ２１１）で定義される関数でありｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（ｔ）は

それぞれｓ（ｔ）ｃ（ｔ）のｔに関する微分を示すｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は回折問題

にしばしば現れるＦｒｅｓｎｅｌ積分

Ｓ（ｔ）ヨぷｓｉｎ（ブ）ｄｙ（２４４）

Ｃ（ｔ）＝ぶＣＯＳ（―）ｄｙ（２４５）

と次の関係がある

ｓ（ｔ） キｓ（ソ勺Ｅ（ｚ）

ｃ（ｔ）＝ホ＝臨りこ）

（２４６）

（２４７）

（２８６）～（２４３）の行列要素の記号ｘpound等の肩符ｊを省略して

Ｋ等と書いた理由は付録２１に述べたように（ｚ２≪１のときこれらの

行列要素がベッセル関数の次数ぶに依存しないためである

Ａrsquoｎ＜く１の場合には行列要素の対角要素（ｎ＝ｍ）は付録２２に示す

如くベキ展開可能であるこれらのベキ展開表示は簡略解を求める際に有用で

ある

sect２Ｓ基礎方程式の解法およぴ数値結果

本節では前節で得た基礎方程式の特徴を利用した近似解法を行う数値例と

しては鏡面の中心の一部分で平面波である強制励振を考える－これは回転対

称な励振であるからぞ＝Ｏのモードしか励振しない次にとキＯのモードを励

振するために源の強度をｃｏｓpound０（ｒａ）ぞとするここにおける強制励振は

次章の半透過鏡を通しての励振の場合の透過率ＴがＴrarrＯの極限になっている

したがって本節の例は透過率の小さい鏡に外部より波を入射させた場合の近

似となる

（１）基礎方程式の近似解法

１７

ここに前節の基礎方程式（２２３）（２２４）を再掲しその特徴を

述べる

Ｊ（ｊ）馬（４）ａ４－ｊＪ（ｉＡｎ）ＵrsquoＡＡｎ）ｈ＾

＋８Ｎ｛Ｋｎｍ３ＪolineＬ－ｂ４｝゛－２ＳｊＮＨＩ（ｊ）４

ｊ４（ｊ）Ｈ（１）ａぷ－ｊｔぢ（ｊ）叫（心）ｂ品

＋８Ｎ｛Ｍ－３ｊ－Ｎｌｂ４｝゛oline２りＮｊｎＨ（瓦）lsquoφ゛芯

（ｎ＝１２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（２４８）

この無限次元の連立方程式は角方向のモード番号poundおよび十一（ｃｏｓｓｉｎ）

に関して分離しておりそれぞれ別の連立方程式として解けばよいまた上

式はモード間の結合を表わすＫｎｍｆＬｎｍ＞Ｍｍｎｊ＾ｔ一がＩｎ―ｍが奇数のとき

は０であるから１ｎ＞ｍに関して偶数と奇数とに分離して解けばよい

実際にこの連立方程式を解くに際し次の物理的事情を考慮するすなわち

ｍｎは共振器の縦方向にのっている波の数を表わすしかるにファブリ

ぺｐ－共振器では波の存在形態は両鏡聞の往復運動であると見なせるから

ｍｎが共振器長Ｌを半波長λ２でわった商２Ｌλの付近の整数をとる

場合にのみ展開係数ａｂｊが大きくなることが容易に類推されるこれは

実際に計算を行って確かめることができるすなわち２Ｌλの整数部分を

ｎＱと定義する占１このｎの前後の数十項のａｍｂのみを考慮することにより

共振器入力パワーおよび共振器内部の場の分布が決定される特にフレネル数

ＮがＮ≫１のとき入力パワーおよび場の分布の概略値を得るためには＞ａｎ

ｂｌｌのみを考慮すればよい

基礎方程式（２４８）で源分布（ｒpart）が与えられると（２２８）

によりψ７が決定しａｂが求められるこの際パラメータとしてはフレ

ネル数Ｎと（２８）で定義される周波数の関数であるｊのみである行

列要素Ｋ等はこの両者の関数であるそしてまた心は次の如く書き換えら

基礎の連立方程式（２４８）はｊおよび＋－に関しては分離して１柘から今後特に

紛わしい場合を除いてａ４ｂ４ず芯をそれぞれａｂＶrsquoｎｍｍする

ｎ＝ｎｏに対して）Ａｕは正で最小の値となる

１８rsquo｀

－

lsquo ～

－

ふ

－

－ ｆ

－

ｉ

れる

ｊ２Ｅ（ｋａ）２－（警）２＝｛（ｋｉ）２－（阿２）２ト｛（平）２－（阿ダ

ｇポ１一旦Ｅぎぎ（ｎ－ｎ）＝屈－４π２Ｎくｎ―ｎｏ）

）２さ些ｙぎ（晋一ｎ）

－ｎ）

（２４９）

（２５０）

ただし（２４９）の近似式では鏡間隔が波長に比べて極端に大きい場合を

想定しＩＩｎ―ｎ１ｎ≪１としている実際のレーザ発振器ではｎは１０５～

１０゛であって計算においてｌｎ一ｎ｜は１０２までで十分収束するから上の

近似は成立する（２４９）（２５０）の結果は基礎方程式のパラメ

ータはフレネル数Ｎと周波数を示す２Ｌλ－ｎのみであることを示して

いるそしてこれらのパラメータの物理的意味は次の如くである２Ｌλが

丁度整数のときは平面波共振（面積が無限大の２枚の鏡間での共振）を意味す

るから２Ｌλ一ｎは平面波共振からのずれの周波数であるフレネル数Ｎ

とは（ａＬ）（λａ）のことであるａＬは一方の鏡から他方の鏡を

見込ひ角を表わしλａは半径ａの孔に光が入射したときの回折角の程度

を示すパラメータであるフレネル数はその両者の比として定義されており

一方の鏡が他方の鏡より受ける光量を表わすパラメータと考えられるフレネ

ル数の語源は一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含まれるフ

レネル帯の数の意味である

（２４８）の基礎方程式に対して以下のように近似解法を行うＫ（ｎ

キｍ）等の非対角行列要素がＫ等の対角行列要素に比して１次の微小量

と見なせるほど十分小さいことを利用するこれは（２７）で表わされる導

波管モードｓｉｎ（ｎＪＴｚＬ）lsquoｃｏｓとpartrsquoＪｊ（ｊrsquo１゛３）が開口面で反射される時

に異なるｎへのモード変換が小さいということである基礎方程式を次の形

に書き換える６

１９

｛Ｊ（Ｉｎ）ＨＺ（ｊｌ）＋８ＮＫ｝ａ－｛ｊＪど（ｊＪＩ４（ｊｕ）＋８ＮＬｎ｝ｂ

＝－２ｅＮＨど（ｊdeg）ちoline８ＮΞ｛Ｋ自３rsquoolineＬldquoｂ｝

｛ｊ４（ｊ）Ｈｊ（ｊｌｌ）＋８ＮＭ－｝３－｛丞Ｊ（４）馬（ｊｓ）＋８ＮＮ｝ｂｎ

゛oline２りＮ焉馬（ｊdeg）Ｖｎ－８ＮＳ｛Ｍdeg゜３deg―Ｎｎｍｂdeg｝

非対角要素は対角要素に比し１次の微小量と見なしてａｎ＞ｂｎ

ａｎ―ａｎ十辿）＋ａｌ）十helliphellip

ｂｎ＝吻十噌十ｂＳ）十helliphellip

ｙＬ＿ｙ卜丿

を

－

（２５ｔ）

（２５２）

の様に０次１次２次helliphellipの微小量による展開を行うとき（２５１）

の方程式は同じ次数の微小量に対する次の一連の方程式に帰着するrsquo

｛Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）＋８ＮＫ｝迎oline｛几Ｊｊ（ｊdeg）嗚（ｊdeg）＋８ＮＬuml｝ｂ９）

゛－２ＱＮ馬（臨）仇

（２５３）

｛ムＪ（）Ｈ（ｊ）＋８１ヽＪｙ｝ａＳＬ｛丞Ｊ沁｝馬沁）＋８やヽｉＲ｝虎

ス

゜oline２りＮｊdegＨ（４１）ψ

｛Ｊｊ（心）ｎＪＡｎ）＋８ＮＫｎｎ｝ａ（≪rsquo＾－｛Ｊ（Ａｎ）ｎＵＡｕ）＋８ＮＬｎｎ］ｈ［）

＝－８ＮΣ｛Ｋ－ａｙｌ｝－Ｌ一心－０｝ｍヤｎ

｛１４（ｊｌ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＭｎ｝ａ＜rsquo≫－｛ぶ４（心）Ｈ丿外）＋８ＮＮ｝ｂ（）

＝－８ＮΣ｛ＭａＳｓlsquo１｝－ＮｂＳlsquo１）｝

ｓ＝１２３hellipｒ

（２５４）

以上によって兇が与えられれぼ（２５８）をまず解いＴＣこの結果を（２

５４）右辺に代入してｓ＝１の場合を解き次にｓ＝２の場合を解くという

ように逐次近似を上げてゆくことができるなお数値計算の際に心が虚数の

ときはベッセル関数ハンケル関数は変形ベッセル関数となる

（２）励振パワー

単位面積当りの時間平均エネルギー采すなわち電力の流れは

２０

Ｗ

Ｉ

－

ｔ

－

ｓequivＲｅ（９rdquo（ｎｋ７゛（゛））（２５５）

で与えられｒ２印は複素共範を意味する波動方程式（２１）を用いると

Ｓ＝Ｒｅ｛（七１十）｝

＝Ｒｅ｛み（｜則２－ｋ２１９１２）｝＝Ｏ（２５６）

となり電力の流れＳは保存されることが判る（２５５）を共振器の内部

の領域Ｖで積分することにより次式が成立する

ＰequivとＩ（ひ詰ｄｙ）＝とＩｍ（ｇ９訂ｄｓ） （２５７）

これは励振入力であって鏡面（７を通って流入する電力と開口面ｓより流出

する電力が等しいことを示している（２５７）右辺のｓ上の積鼎１９）

（２２０）を用いて表わせば

十乖＋Ｉ）゛脊Ｉ（忌戸４戸と）（２５８）

となる

以下に周波数と励振パワーの関係を数値例により示す最初に半径ｅａ

の領域内で一定の強さの源分布である励振すなわち平面波による励振を考え

る

９（ｒpart）＝１

この励振は軸対称であるから

（２２８）より

二匹

ψｊolineｊ

ｒ≦ｅａ（２５９）

ぞ＝Ｏのモードのみを生じさせるすなわち

ＪＩ（ｓ心）１０ （２６０）

となるただしベッセル関数に関する次の積分を使った

μ゛トＪ＾（ｔｆｚ）ｄｚ＝―Ｊｊ＋１（心）（２deg６１）

２２図～２５図において横軸には周波数を（２５０）の申セ示された

２Ｌλ－ｎの単位で目盛るしたがって２Ｌλが１だけ変化すると全く

２１

く

ｔ

６Ｊ３Ｓ

Ｏ

Ｑ

ｉＯｄＮＩ

ａ３Ｍ０ｄ

トｎｄＺ一

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ａ）

ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ

２２図（ｂ）

２２

ゝ

１

暑

－ －

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６

５８言

４

３

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Ｉ

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ｈｔｔｐｗｗｗrsquo

１ＡＶ－５

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０Ｉ０２０６２poundλ－ｔｕ０１１（

rdquo

Ｗ

一

江］３０１

ｉＯｄＮＩ

３

ｉＪｋｔ｀

rsquoPrimersquoＦＲＥＱＵpoundｉヽＫＶ゛

（ｃ）

２２図励振特性ｚ＝Ｏの鏡中心の半径０１ａの面積内で一様分布した卵こよる励ｍ（ａ）Ｎ＝５（ｂ）Ｎ＝１０（ｃ）Ｎ＝２０

同じ図形が繰返される縦軸には入力パワーを示すただし（２５８）の係

数を除いて（）内だけを目盛る

２２図にフレネル数Ｎが５１０２０のときの励振特性を示す１周期

中に含まれる極大の数は次のようにして求められる（２５０）より判るよ

うに２Ｌλが１だけ増加する間にｊｌｏは２π＾Ｗだけ増加する瓦が０

次のベッセル関数の零点と一致する付近の周波数でパワーは極大となるから

フレネル数Ｎとといこ励振特性の１周期中に含まれる極大の数は増すｏ次の

ベッセル関数Ｊ（ｘ）のｎ番目の零点はｌｊいごＸ＝（ｎ－１１）πであるから１周

期中に含まれる極大の数ｎは

２Ｊｒ３ｒ』（１１－Ｏ゛（２６２）

で与えられるしたがって２２図に見られるように極大の数はＮ＝５では

４個Ｎ＝１０では６個Ｎ＝２０では９個である

励振特性の共振点を示す極大を同じ角モードぶに対しては左から順ｉこ（と

２３

Ｏ

ＣＶ－２０

０pound－ＯＩ

０－

１

０）ｉｅ１）ｉpound２）ｌdeg゜゜゛゜モードと名付ける（（２５９）の励

振ではぶ＝ｏである）この名称の由来はヽＦｏｘＬ）が初めてファブリペ

ロー共振器の自由振動モードを解析したときの命名法によるものであるすな

わぢ１番目の極大に相当する自由振動モードをＦｏdegｃＬｉがＴＥ馬一一１モード

と名付けたためであるｊなおｍ番目の極大における共振器内部のｚ＝ｃｏｎｓｔ

の面内の場の分布は近似的に円筒導波管のＴＭかモードの軸方向の電界

Ｅｚ＝Ｊ（ρ加１）ｃｏｉとpart（２６８）

と同形であるただしりはＪｊ（ｐ）゜ｏの１１１番目の根である円筒導波管の゛

－ドの名称はブアプリペロー共振器と比べてｍに関して１つずれている

２２図の共振点のパワーはフレネル数Ｎとともに増大するまたその半

値幅より求めたＱ値は自由振動の回折損とよく一致するこのように半値巾よ

り回折損を求める方法はファブリペロー共振器の実験で回折損を求めるた

めに採用される２２図の励振パワーの計算においてはｎに関しては２０

項程度で十分収束するＮが増大するとともにあるいは共振点の周波数に近

づくとともにｎ＝ｎの項の励振への寄与が他のｎの項の寄与に比べて

より大きくなるために収束するための項数はより少くてすひこの理由は

前者に関しては励振の強さを表わす（２６０）の中のＪ≪（ｅ心）ｊ（ｎヤ

ｎ）がＮとともに振動的に小さくな石からである後者の理由は

Ｊｉ（poundム）が大き＜なるためである特に励振パワーの計算においてはｔｎ＞ｎ

（流くＯ）の項は表面波であるからこれらの項からの寄与は極めて少い

次に励振源の半径Ｅａが変化すると励振特性がどのように影響を受けるか

ということを２８図に示すここでは計算を簡単にするためにｔｎ＝ｎ

の項のみによって励振パワーを求めるｎ＝ｎの項のみで近似計算を行うのは

次の２つの理由による前述した如く共振点に近い周波数では殆んどパワ

一はｎ＝ｎｏの項のみによって定まるまたこの方法は特性曲線の谷の付近

ＦｏｘＬｉはその後の論姿１１ＴＥＭＩｓ－１モードをＴＥＭ－ｈpoundモでドと名称を変更

しているがここでは一般に使用されている（ｍ－１）モードの名称を採用するな

おＦｏｘＩＬｉの使用したＴＥＭは厳密な意味では正しくないがほｒ平面波４こ近い波が

両鏡間を反射往復するために共振器内部の場は近似的にＴＥＭである

２４

－

Ｗ

ｂ

４１１

ａ －

４

ふー－＝一一一一一一一一

ＩＩｒＩＩ暑

＝ｏ

（λタ

０２

rarr para ａ － － － －

Ｖ＝２０

divideＩＩｉＩＩ４Ｉ

ｌ

一一一一一一寸

１

１

ｌ

－

１

－ 丿 －

ブ

helliphellip

寸寸

ｓ―

１１

晶

Ｊ心ωＩＯ瓦２０

ｔｓ９

９１

１１１１rsquo１１１１１－ｉ

Ｊ－Ｙrdquo－―――

Ｃ‐Ｉ

１０

０ＺＬＡ－ｎ０４ＲＥＱびpoundＡＣＹ０６

εをパラメータとする励振特性

Ｏ≦２Ｌλ－ｎｏ≦１

０Ｚ０

２ａ図ａ

０

－一一

Ｗ － － － － － －

para

１

１

１

１

１

１

ｌ

ｊ

ぐ

喘

ｌ

ｌ

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ｌ

１

｜

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｀

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｜

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－ － － － －

一 一

－－－一一一一一一一一

－ Ｗ Ｉ Ｗ － －

恥４

３０

＞ｉＢＭＡ

２０

１０

ＩＩlsquoこε

ｊ

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ldquorsquo｀心ｏ゛昨ＦＲＥＱＵ咄ＣＴｏ｀１

ｉ）ぽ４

２８図ｂｄ－Ｉ－｜－para

εをパラメータとずるｙ励Ｉ振特性

０≦２Ｌ＜ｌ－ｎｏ＾ＯＪ２

２６

０２

ふ

Ｗ

－

Ｗ

中

Ｗ

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－ｌ

ヤ

仰

＞３Ｍ０ｄ

３０

２０

１０

－一一Ｅ＝１０

ｌｎ一一ｏづｙ－一一≒０「

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χ

へ

ゝゝ

｀ヽｉｓ

０ ｏdeg１ｒ２Ｌ吹｀ｎ０００１゛

ＦｇＥＱＵＥＩｃｒ

２３図Ｃ ｅをノリメータとする励振特性

ＯＳ２Ｌλ－ｎｏ＜＞００１６

訂

ではｆｎ＝ｎの項からの寄与が小さくなって他のｎの項の寄与が相対的に大き

くなり近似が悪いが一般に興味のあるのは谷の部分ではなくて共振点

の付近であるフレネル数Ｎが大きいほどこの近似は良いので２８図で

はＮ＝２０とするちなみにこの近似方法でＮ＝２０のときの（００）モ

ードの共振点では励振パワーの誤差は２～３鴨であるなお２８図の励

振特性ではε≧０２としたために共振モードの違いによる励振パワーの差

が大きいので縦軸はｄｂ目盛で示す

２８図ａには全周波数範囲の励振特性を示すこの図では横軸のｏ～（１２

の範囲の共振曲線は鋭くて形が不明確であるので図ｂにその拡大部分を

示す（００）モードに関しては図ｃにさらにその拡大部分を示す図ａ

を見て判ることはｅ＝０ン２および０５では非常に励振され難いモードが存在

するごとであるしかしｅ＝１０ではすべてのモードが励振されているある

モードが励振される強さは源分布にそのモードの成分がどの程度合まれてい

るかということに大きく依存するこれを数式的に調べるｎ＝ｎの項のみで

近似しているから（２６０）を用いて基礎方程式（２４８）は次式とな

るぐ

〔Ｊ（ＤＨ（ｊ）＋８ＮＫ〕ａ－〔ｊＪ（ｊ）砥（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

＝－４ｙｌＮＨ｜（ｊ）ＪＩ（ｄｌ）

rsquoｊ二

〔ＡＪｏ（Ａ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＭ〕ａ－〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕ｂ

＝－

ｂ＝

ＡＨＵＡ）ｈＣｅＡ）

Ｊ（ｅｙ４）ｒ１Ｈ（１）｛Ｊ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＫ｝

２８

｜

１

（２６４）

（２６５）

啼－

｀

－

４ｒｅＮ

－ ｊ

ただし≫３ｎ＞ｂｎｉＫ－ｎｍＬｎｎ≫rdquoｌｎｎ＞Ｎｎｎにおいて脚符はいｎ＝ｎであるので

簡単化のため０と記した特にｊに関してはこれを１と略記した（２

６４）を解いて

rdquo１１

ａ

よぢＦｈｉｅＡ）〔ＡＲrsquoｏ（Ａ）［ＡＪｏ（Ａ）ｌｉＵＡ）＋Ｓｌヽ

ｉ

Ｌ｝

一Ｈ（ｊ）｛ＪＪ（１）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ｝〕

４ＪｒｅＮ

－ｊｊ

－

－

Ｗ

軸rsquo

－Ｈ（ｉＡ）｛ＡＪ（１）Ｈ（１）＋８ＮＭ｝〕Ｊ

となるただしｊは（２６４）の左辺の係数のつくる行列式である

ｊΞ（８Ｎ）２（ＫＮｏ－ＬＭ）＋８Ｎ｛Ｊ（１）Ｈ（１）Ｎ

－ｊＪｏ（１）Ｈ（ｊ）Ｌ－ｊＪ（ｉ）Ｈrsquoｏ（ｉ〉Ｍ十ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）Ｋ｝

（２－６６）

ｊは１のしたがって周波数の関数であるｊの１依存性に関しては次節で詳

説するこのｊの極小点が共振点になるしかし（２６５）の分子に

Ｊ（ｄ）を含んでいるためにＪＩ（ｄ）の零点がｊの極小点の近くになった場合

この共振点は表われないことになるｊを極小にするｊはほｙＪ（ｊ）の零点

付近にあるのでｅ＝１０のときは共振点が消えることはなくすべてのモー

ドが励振される走査型干渉ゴを使ってこのような平面波によって（００）

モードを励振して（０１）モードの励振を押えるときには例えば次のよ

うにすればよいＪの２番目の零点が５５２Ｊｉの１番目の零点が３８３であ

るからｅ＝３８３５５２＝０６９とすればよい

２８図ｃでは励振半径ｓａの増大とともに（００）モードめパワーは

大きくなりかつ共振曲線は頂点に対して左右非対称であるすなわち２Ｌ

λの増加とともに急激に立上り頂点を過ぎて緩かに下がるこの左右非対

称性は（２６６）のｊの振舞によって大体定まるのであるがさらに

（２lsquo６５）の分子のＪＩ（ｄ）がこれに影響を与え励振半径ｓａの違いによ

つて共振曲線の形に微妙な差を生じさせる

２４図にＳｃｈdarrｉ認の実験結果との比較を示すＳｃｈｅｉｂｅの実験は両平面

鏡の中心Ｒ孔をあけて同軸線で結合し一方より励振して他方で検波したもの

であるパラメータは波長λ＝３２ｃｍ鏡の半径ａ＝９４５ｃｍ鏡間距離Ｌ

＝３０３（ｓフレネル数Ｎ＝９４であって波長を変化させて励振曲線を得た

ものである々４図に示すようにこれを２２図のＮ＝１０の（００）

モードの曲線とその頂点を合せて重ねると大体一致している

走査型干渉計はファプジペロー共振器の一方の鏡を軸方向に走査させて半透過鏡

を通して入射したμ－ザ洸蘇に対する共振点を探すようにしたものである

Ｚ９

相対入力

ｄｂ

ｏ

－５

－１０

０００５

ラソacute｜

９３８４ｙｙ

９８８４８

００１

９３８５０

００１５

Ｓｃｈｅｉｂｅの実験

へ

９８８５２９３８５４

００２

ａｂｃｄ

２４図励振特性Ｓｃｈｅｉｂｅの実験との比較

（００）モードの共振周波数付近

へ

へ

００２５２Ｌｌ－ｎｏ

以上の２２２８図のグラフでは平面波による励振を取扱ったから

と＝ｏのモードしか励振できなかった次にと≒ｏのモードを励振するために

角度方向に分布をもっすこ次の励振源を考える

りＩrsquopart）゜Ｃｊrsquoｃｏｓ１part（１）ら１０≦ｒ＾ｅａ （２６７）

ここ７Ｃｊを比較に便宜なようにすべてのぞに関して励振叩の強さが一定と

なるように定めるすなわちぞ＝ｏを基準にとづて

darr

＝Ｑ

と定める（２

１

Ｔ匹了εと

２８）

ｅＩ

―

ぞ＝０

ぞ叫０

の火ｊはりrsquo６rsquo１）を使って

３０

（２６８）

larr

ヽ

卜 心

－

Ｗ

Ｗ

琴

＿゛へ百ｉ７こＦＴｉlsquoｅＪ≪Ｌ（ｅＡｎ）

嶮－Ａｎ（２６９）

となるこれを基礎方程式に入れて解くここではpound＝１２の場合にｎ

＝ｎの一項のみで近似した結果を２５図に示す比較のためと＝ｏの場合も

描く図ａはｅ＝０２図ｂはｅ＝１０である各頂点に対応するモード番号

を図申に（とｍ）で記すグラフより分ることはεが小さいとぶに関して

高次のモードは励振され芦いことであるこれは（２６９）のＪ糾１（ｓｊ）の

ためである特にｓを非常に小さくすると殆んどぞ＝ｏのモードしか励振さ

れない走査型干渉計で径の小さい絞りを入れて高次モードを消去するのは

この理由による２５図では横軸をｏ～０２の範囲内で示したがpound＝１

２のモードをＯ～１の範囲で示せば頂点の位置は異なるが２３図ａのグ

ラフと類似のものが得られる

（３）共振器内部の場の分布

源分布ｉ（ｒpart）が与えられるとｊ基礎方程式（２４８）を解いて４

ｂ４を得ることができるすなわち（（゜１９）（２deg２０）により境

界面Ｓ上の９および即partｎが知られたことになるこれを（２６）（２

１４）に用いれば共振器内外部の場の分布が決定できるここでは（２

６）により共振器内部の場を求めるその結果として次式を得る

９rsquoｉ（ｒpartｚ）＝蚕ふｓ戸ｓｉロ（警）｛７ンリ

times〔Ｈ（ｊそ）ふがＷを（ふづ）｛７ンrdquo図（６りｒrsquoｄrsquoび

い十万（ふこ）ふぐが馬（ｊご）｛こが阪（ｒrsquoかrsquoｄｒrsquoｄpartrsquo

゛１Ｊｆ（ｊそ）｛馬（ｊｌ）ａ４－ＡｎＵrsquoＪＡ）ｂＪ｝〕（２７０）

〔〕内の第１２項は源分布により直接作られた場であり第１項ぱ観測点

（ｒpart）の内側（ｒrsquo＜ｒ）の源分布による寄与で第２項は外側（ｒrsquo＞ｒ）

のそれによるものである第８項は開口面Ｓにより反射されてできた場である

３１

６Ｊ

ｔｏ

Ｊ必

２part

｀Ｓｌ

０

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＝－Ｊ－ミnot一一一一一一一

００）りＮ＝２０｜

－一一－トＱ

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ｔ－－～＝－－－１１１rsquolsquo２χｉト１

－－hellipトよー－－－一一万４helliphelliphellipト一二－一一χ１｛０２）sup１

ｊ＿ｌｆ

り０）

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へ

（ヅ（φ３）Ｕ３）

ｌ

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｀ノノandand

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ニ副上ang一上＿＿＿＿＿上＿＿＿＿＿lsquoレ

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゛ヽ一一ノダ｜

ヤ｜

１しｚに

Ｑ００５０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０１５

－ａ＝ＦＩＪｌａゝｒ２５図ａ｀回転非対称の励振源分布による励振特性

１ｉ

ｅ＝０２

１

part２ ２ＬＡ一良０２５

１

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６ｊ

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２０

（（｀ヽ０）

（ＡＣ）

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ＩＩ

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（Ｑヽ３ｊ）

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（ヽ３ｊ）

ａ２２pound八－ａ２Ｓ

nablaχPrimersquo

ｙ

ｙ

０ＦＲＥＱＵＥＮＣＹ０

２５図ｂ回転非対称の励振源分布による励侭持性ｅ＝１０

一 一 － 一 一 一 一

（Ｑ２）戸

こ

右

－

－

－

ここでは（２５９）の平面波による励振を考える鏡の中央部の半径６ａ

の円内に一様に分布した源の場合である当然このときはと＝Ｏのモードし

か励振されないこのとき（２７０）の鏡面上の積分は実行でき内部の場

の分布は次のように書ける

ゆに）＝ににに謡ヤｏrsquo２）ｒ≦ｅａ

Ｅａ≦ｒ≦ａ（２７１）

ただし

ｕ１（ｒｚ）＝ｙｔ

〔Ｈ（ム）ａ十１Ｈ（ム）ｂ〕Ｊ（烏寺）ｓｉｎ（丑芒）（２７２）

ｉ（ｒｚ）゜ｉ２９２゛多シよＯＩ（ｊそ）Ｊぷそ）一割ｊそ）Ｊｏりぞ））

Ｘｓｉｎ（―）゜ニー４゛λｓｉ回警）（２７８）

ｕｊ（ｒｚ）＝ｉ２２Ｎ弓えＨＩ（ｄ）Ｊ仇ミＴ）ｓｉｎ（べ三）（２７４）

Ｕ４（ｒｚ）＝ｉ２π２ＮＥpoundＪ（ｅ４ｎ）Ｈｏ（ｌｎ―）ｓｉｎ（――－）（２７５）

である（２７８）のｕ２の変形には次のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）－Ｊン（ｊ）Ｈｚ（１）゛皆（２－７６）

（２７８）～（２７５）のＵＵ３Ｕは源分布によって直接に励振さ

れた波を表している２－゛ＯのときＩ｀≦ｓ３において９lsquo＜ｐ＝ｌになること

は（２６）の第１項の積分におけるグリーン関数の特異性によって保証さ

れているこのことは（２７１）では次のようにして判Ｌる（２７３）

においてｎに対する近似を行わずに（２２５）によってＮをｎについての

和の中に戻しｎについて１からｏまでの和をとれば０くｚ＜２Ｌにおける

フーリエ展開を逆に使って

９２（「rsquo２」＝２２

＝（ぴ

ー（ｎそｙ－（１１ａ）２

ｓｉｎ（

３４

ｎπＺヱ）一

一

ｓｉｎｋ（Ｌ－ｚ）－

ｓｉｎｋＬ（２７７）

larr

Ｗ

－

０８ＩＯ

鏡面上における場の分布

３５

一嘩

－

となる２゛０では成立しないがｚ－＞０とすれば１１ｚ－゛９゜１となることが

わかるその他のＵｌ＞Ｕ３Ｕ４はＺrarrｏでｏを与える

次に鏡面上での場の分布を求めるｚ＝０Ｌの鏡面上では境界条件より９

こＯであるので実際の計算は鏡面より１４波長離れた位置での場の分布を

求めるノこれは鏡面上での６９９ｚに比例する以後簡単化のためこれら

を鏡面上での場の分布と呼ぶことにするｌｎ一ｎｏｌｎ≪１の範囲のｎで

場の分布の級数計算は十分よく収束するからｚ＝０Ｌの鏡面上での場の分

布はそれぞれ十

ｓｉｎ（－ｊ－）副（ソｌｒrsquoごｙｌ （２７８）

とおいたものを用いているｚ＝０とＬの面上で場の分布が異なるのは励振

がｚ軸に関して非対称に行われているためである

フレネル数Ｎ＝５１０２０に対して電子計算機ＫＤＣｎで数値計算し

た共振点およびその付近の周波数におけるｚ＝ＯおよびＬの鏡而上の場の分

布を振幅と位相の形で２６図ａ～ｍに示す実線はｚ＝０点線はｚ＝Ｌの

面上におけるー

分布である

ＩＩＦＩＩ

３ＳＶ工ａ

９

６

４

一hellip一【】ｎｉコｄＷＶ

２

Ｘ

＝｜

ｉｉＩ

０２

２６図ａ

０４ 石

pound＝０１

rdquo゛｀゛rsquo゛孕Ｔｏ＋００１１９

゛Ｎ

rsquoＺdegヽ

olineolineolineolineｚ＝Ｌ心

゜

゜

∽ｆ

－か４＾ｋ＾＾Ｋｖ４ｆ

Ｏdeg

ｓｔ

｜

ｙ rdquo

１３ＳＶ工ｄ

６

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一hellip一（）ｎｉｉｉｄｗｖ

｀２石

Ｔ ＝７ｏ十００１４６

Ｑ２０４０６

２６図Ｃ鏡面上における場の分布

撃

０８ｒａ１０

――

－

］のく工ａ一

８

６４

］（）コトーＪｄＷＶ

２

０８１０

２６図ｂ鏡面上における場の分布

uarr ＿ｋ

へ

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ホス「１１

十〇１０１３２

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２６図ｄ鏡面上における場の分布

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２０

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０６０８ｒａ１０

２６図ｉ鏡面上における場の分布

３ＳＶ工ｄ

３ａｎｉコｄＷＶ

Ｚ＝０

１

八＝１０

pound＝０１

４

０８ｒＬ１０

２６図ｈ鏡面上における場の分布

ｚ＝Ｌ与二乱

゛rdquo゛゛

χ＿

ゝ～～χ∽

rsquo０２０４０６０８ｒｒ｜pound

ｙ

ズ

く］

＋０００６

〕

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３ａｎｉｎｄｗｖ

Ｚ＝

一一－－一一－ｚ＝Ｌ

０２ ０４

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２１６図ｋ鏡面上における場の分布

］いくエー

ＯＣＯＵ＞＾Ｃｉｉ３

ａｎｉコ｀Σく

Ｚrsquo＝

０４

ｔ

０６

ｌ

一

一 ０１

ＯＢｒａ＞ｏ

二

０２

２６図丿鏡面上における場の分布

olineolineoline

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０６ ０８ｔｎ１０

－ 一 一 一 一

０２

２６図ｍ鏡面上における場の分布

－一一一一

Ｑ２

２６図ど鏡面上にねナる場の分布

－ヘー

χ

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ｌｌrsquo

涛１１１１

（１し１ｉｌ

－

－

励振半径はすべてε＝０－１であるｏ２６図ａ～ｈはrsquoＮ＝１０の場合を周波

図ｂｉｍの（００）モニ

ドのリップルは小倉吉田池ｒ

およびＦｏｘ

Ｌ）の自由振動モードのそれらとよく似た形であるリップルがＮに特有な理

由は先述した如くＮが一方の鏡の中心に光源をおいたときの他方の鏡に含

まれるフレネル帯の数であることによるしたがってこのリップルはＮの増加

とともに細かくなるｚ＝ｏとＬの鏡面上の場の分布の差はｎ－ｎ＝奇数の

ｎの項の影響であるＮが大きいほど両者の差は小さい励振源を含むｚ＝０

の面での場の分布のｎに関する収束は比較的に悪いが励振源のないｚ＝Ｌの

面でのそれは前者に比べてよい２６図のグラフから判るように共振点で

はすべて鏡の中心における位相はほｙ９０degであるこれはｚ＝Ｌの鏡からの

反射波と励振波が同位相で強めあっていることを示しているｚ＝ｏの面上の

４２

Ｓ

rdquo

－

－

振幅分布においてｒ≦Ｓａの鏡中心でおよそ１だけ盛り上った形は源分布に

よるものであるすなわち（２７３）のＵ２（２７４）のＵｓによる寄与で

ある共振点付近以外の周波数における場の分布は全体の振幅は小さく大

きな振動は殆んどなく小さいリップルの連続という形である重要でないと

考えられるので図示しない

角モード番号ぞがＯでない場合すなわち回転対称でない分布をもった励振

の場合の場の分布を考える分布の詳しい形は求めないが参考までに（２

６７）の源分布による励振の共振周波数における振幅分布の概略形を示

す２７図ａはpound＝ｌｂはぞ＝２の場合であるこれらの図は（２７０）

の〔〕内最後の項中のｎ＝ｎｏのみをとり出して得たものであるしたがって

ベッセル関数の形を適当に切ったものであるこれらがほ判

を示すことはpound＝ｏのときの２６図ｉでの鎖線と実線点線との比較で

明らかである

１ａａｎｘｉｕｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８

２７図ａ共振周波数における振幅分布の概略図

ど＝１

４３

１０

≒

－一一－－一一一一（１０）

一一一一（１１）

｀ang

ノoline゛｀

ａａｎｘｉｉｄｗｖ

０

０ ０２ ０４ ０６ ０８１ｊ）≒

２７図ｂ共振周波数における振幅分布の概略図

と＝２

sect２４簡略解

入力パワーと周波数の関係を示す励振特性において普通重要なのは共振

の位置大きさ半値幅等共振点付近の様子である前節において励振特性

は共振点付近でｎ＝ｎｏの項のみで近似よく解析できることを述べた本節では

さらにこれを検討し共振点付近での振舞を簡単な式の形に導くこの簡略解

はフレネル数が大きくなるとともに近似がよくなる

ｎ＝ｎｏの項のみで近似するから基礎方程式（２４８）よりｎの項のみを

とり出した

〔Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（ｊ）＋８ＮＫ〕３－〔ｊＪｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ〕ｂ

゛－２ＱＮＨ（ｊ）仇

〔ｊＪ（ｊ）Ｈｚ（ｊ）＋８ＮＭ〕３一〔ｊ２Ｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ〕

゛－２ＱＮｊＨ（ｊ）や

より出発しその解

４４

り心ｊ（２７９）

－

－－一一一一（２１）

戸入ｙダ

rsquo

and

and

レ

尚

ｔ

ａ゜２々Ｎlsquoφ（ｊＨ（ｊ）｛ｊＪＺ（ｊ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ｝

－Ｈｆ（ｊ）｛ｊ２４（ｊ）叫（ｊ）＋８ＮＮ｝〕ｊ

ｂ゜２りＮ呪〔ｊ叫（ｊ）｛Ｊｆ（ｊ）Ｈバ１）＋８ＮＫ｝

－ｎＡＡ）｛ＡＪrsquo（Ａ）Ｈ（Ｉ）＋８ＮＭ｝〕ｊ

１

（２８０）

を簡単化してゆくただしｊは（２７９）の左辺の係数のつくる行列式

ｊ゛（８Ｎ）２（Ｋdeg゜Ｎdeg゜olineＬｏdegＭdeg゜）＋８Ｎ｛を（ｊ）Ｈｊ（ｊ）Ｎdegｏ

olineｊＪ（１）Ｈ＾（１）Ｌdeg゜olineｊＪｊ（ｊ）Ｈン（Ａ）Ｍｏdeg十ｊ２Ｊン（ｊ）叫（Ａ）Ｋdeg゜｝（２lsquo８１）

である前節の（２６４）～（２６６）は上式の特殊な場合すなわち平

面波励振によってぶ＝ｏのモードのみを取扱ったものであるなお上式でも前

節と同じ略記号を用いているすなわち心では脚符ｎｏを省略してこれをｊと

記し他の記号では脚符ｎを単にＯと記す方程式の根ａｂの周波数依存性

したがってｊ依存性に関してもっとも支配的なのは（２８１）で与えられ

る分母のｊである以下ｊの１依存性を調べるそのために（２８１）の

右辺に含まれる行列要素ＫｏｏＩＬｈＭＮを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）

のベキ展開を用いて書直すここでの仮定はぱり２≪１であるαは（２

３５）より（ｚｚ＝１１πＮしたがってフレネル数Ｎを１０とすればポ≪１００

となるからベッセル関数の零点より判断して（００）（１０）

（２０）（０１）（１１）モードの共振点付近を解析できるＮが

大きくなると近似がよくなるのは上記の（Ｚり２≪１の条件を満たすとともに

ｎ＝ｎｏの項のみによる近似もよくなるためである（２８１）のｊをｊと（Ｚ

で表示すると次式となる

ｊ゛（まｉ）〔（ふ｀１｀公）゛４lsquoびｌニ

（１十ｉ）（pound３pound（ｊ）町（ｊ）〕（２８２）

上記の変形の際円筒関数に関する（２７６）のＬｏｍｍｅｌの公式を使った

ここで円筒関数の次の漸近形

Ｊｊ（１）～

Ｈｊ（ｊ）～ ズ

ＣＯＳ（Ａ―β）

ｉ（Ａ－ｊ３）

４５

（２８３）

（２８４）

ただし

ｙ＝

β 一

一

（ｘ－ＣＩ－

π

〔ｅ≪２（ｌ－β）＋１〕

４６

（２８５）

（２８６）

（２８７）

（２１８８）

（２８９）

（２９０）

（２９１）

ｆ ≒

２ぞ＋１

－

が円筒関数の変数がかなり小さいときでも概形を表示することを利用すると

（２８２）は

Ｊ＝Ｃｉ十Ｃ

となるただしｃ

（１十ｉ）－

２１

Ｃ２は次式で与えられる実数である

ｃｌ＝（ま７）（ふ十余）（ｚrsquo

ｃrsquo゛（み）八二ldquo

Ｊの実数部をｘ虚数部をｙとおくと（２８６）より

ｘ二ＣＩ十昌〔ＣＯＳ２（ｚｌ一β）＋１－ｓｉｎ２（ｊ－β）lsquo〕

良一〔ＣＯＳ２（Ａ―β）＋１十ｓｉｎ２（１－β）〕

となるここでｊの関数としてのｘｙの変化を考える上式中の三角関数の

部分はｊとともに急激に変化ずるがＶａの変化は緩かであるので上二式

より三角関数の部分のみを消去してｊ＝ｘ十ｉｙの軌跡を求める（２８９）

（２９０）より

Ｃ

２

－２１

）２十（ｙ一昔）２＝（ｊ≒）２

を得る上式で分母のｊが一定ならば１Ｘｙは円を表わすｊを考慮すると

ｊの増加とともに次第に半径が小さくなってゆく渦巻型であるＮ＝２０と

＝ｏの場合に（２８９）（２９０）を計算して複素平面上に描いたの

が２８図である２８図には（２８１）により正確に計算したｊも点線

で書き加えた両曲線の比較より（２８６）の近似のよいことがわかる図

申に記入した数字はｊの値である

－

－

－

ｓ ９

ｙ

２８図Ｎ＝２０と＝ｏのときのの軌跡

曲線中に記入した数字はｊの値

とこで共振点を与えるＩＪｌｌequivｘ２十ｙ２の極小値とその付近でのｊ依存性を

調べる１ｊは極小値の付近でほｙ一定と見なすα≪１であるからＣＩ≪

Ｃ２であるＧ＝ｏであれば（２９１）は中心が（Ｃ２２ふＣｚ２１）で

原点を通る円である（２９１）はこの円を微小距離ＣＩだけ右へ平行移動し

４７｀

ｙ

ｉ４０

１－－＜－rsquordquordquordquoヽ

｜

１｀ヽヽＱ

１｀

２０χ

χ

５Ｑ

χト

χ１

心χ１

ｏヽ６０ダ

３０１

゛４ｉぺ～～～～～～～－～～～

ｙ

２９図＝ｘ十ｌｙの軌跡

Ｃ（Ｑ十公ｊ７）

Ｘ

たものであるから（２９図）原点から円上への最短距離（ｘ２十ｙ２）ｉは

近似的に原点から円の中心までの距離と円の半径との差で与えられる

（｀２十ｙｌ）゜ｕ＝

（Ｃ十公）２十（公）１olineＪＴｊ≒ｉldquo三ｊＭｒ（２９２）

次にｘ２十ｙrsquoの極小値の付近でのｊに対する依存性を考える２９図におい

てpart≪１ｒ≪Ｒとすると

ｘ２十ｙ２＝ｒ２十（ｒ十Ｒ）２－２ｒ（ｒ十Ｒ）ｃｏｓpart竺Ｒ２十ｒ２part２（２９８）

となるここで

Ｒ＝ＣｉＴＩ（２９４）

ｒ＝０２ｓＹＡ（２９５）

であるまた三角関数消去の過程より分るように

十part゜２（ぶolineｊ）（２９６）

であるただし心は共振点を示すもので

ｊｉ＝ｊｊｍoline瓦心ｍ（２９７）

４８

Ｗ

ダジrsquo１

づ

づブ几｜

χ１

｜ｌ

７＝序１

卜

－

で与えられるＱＡpoundｍはpound次のベッセル関数のｍ＋１番目の零点であり最後の

項はＣＩヤＯであるための補正である（２９７）の導出は次のようにする

Ｎが無限大を意味するＣＩ＝ｏのときｘ２十ｙrsquoが極小になるのはふ＝心のと

きであるこれは円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角がπ４であることに対

応しているＣＩヤＯのときは２９図のように円が右へＣＩだけ平行移動して

いるから円の中心と原点を結ぶ直線の傾斜角は７Ｓ４－ＣｉｊＣとなるし

たがってｘ２十ｙ２を極小にするｊは（２９７）で与えられる

（２９４）～（２９６）により（２９３）は次のよう叱なる

１２Ξｘ２十ｙ２＝寧十椎（１－か）２

＝（づＳ）２〔｛（ふ十八）permillsquo十昌（ｚｌ－ｊ）rsquo〕（２９８）

次に（２８０）のａｏ＞ｂｏの訓り対する依存性を調べる（２７７）の

Ｌｏｍｍｅｌの式および（Ａ２２８）～（Ａ２８１）の行列要素のベキ展開

を使うとａｂｏは次式となる

ａｏ竺ｊＬＺかｖ万二１十ｉ）ＨバＡ）Ａ｀

｜

（２９９）

ｂdeg竺｝２９ｙＨｊ（ｊ）ｊ

したがって開口面より幅射されるパワーは次式で表わされる

Ｐ＝牛Ｉ（脂＝ 長手ド鵠器絆よ

エ二ＴとｊpoundpoundＡリ２（２１００）３２πｋ叫２π（ム＋１ｙｊ２α２十〔ｊ一小ｙ〕

最後の変形の際ハンケル関数には（２８４）の漸近形を用いた叱は例

えば（２６９）のように冽こ対して緩かに変化する関数であるここで

（２８）のｊの定義式によりｊを周波数に書き換える

４２５（ｋａ）２Ｔ（勺斗）２（２リ０１）

４９

１ｒに対する共振周波数ｎを次式で定義する

（２１０２）

ｎｉはｎａと異なり整数でないことＲ注意する（２１０１）（２１０２）を辺

々相減じてＡ－Ａｔ｜ふ≪１の条件を使うと

ｊ一山＝Ｅｊふ（苧－ｎ）ぐ２１０３）

となるこれを（２１００）に用いてｊの緩かに変化する部分をｊと書くと

励振入力は

ａＱＳＯ４

ｄ

Ｌ

四ｋ

５

ｅａｃｃＡ｜寫１rsquo

｛ソミシpound十divide｝ぬ群十（苧－０２（２lsquo１０４）

６

２１０図ａ簡略式で求めた励振特性

（００）モード

ｓｏ

８

２硲―ｎｏ

゛－３９times１０

－

ヂ ldquo

rdquo

ｂ

一｀１Ｎ＝２０（００）モード

pound＝０１丿ノ

３

Ｚ

｀Ｑ

not基礎方程式

九

oline

olineolineこ簡略式

）十＿rsquo＿＿

ａｓＡＶＯｄ

ｄｂ

１０

０

３０ ３４ ３８ ４２times１０oline２

２り－ｎ

２１０図ｂ簡略式で求めた励振特性（０１）モード

となり簡単な形で書き表せた上式は周波数２Ｌλに対してＬｏｒｅｎｔｚ型の

共振であるこれはピークに対して左右対称の共振である（２１０４）の近

似式と基礎方程式より直接に計算した正確な結果を２１０図で比較する図

ａは（００）ｂは（０１）モードの共振周波数付近である点線が（２

１０４）の近似計算であり実線が基礎方程式においてｎに関して１２項用い

て計算したものである近似式は共振点付近でよく成立していることがわかる

図示していないが（２１００）を用いれば（２１０４）より近似はよい

（２１００）はｊの緩かな変化をも考慮しているために左右非対称の共振を

示し２１０図の点線よりさらに実線に近くなる

（２１０４）より共振の半値幅ｊｎを求めると

ｊｎ＝２ミ「（長十手）αり１

ＳＩ

（２１０５）

（０１）モード

一一一一

χχ

Λχ

－一一基礎方程式

一一一簡略式

であるこれよりＱ値を求めることができるファブリペロー共振器の自由

振動の解析では損失を表わすパラメータとしてｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓすなわ

ち鏡間距離Ｌだけ進ひときの損失の割合partｄを用いているＱ値とpartｄの関係は

Ｑの定義より次式となる

ＱΞπｎｏｎｏ

＝－＝－partｄＪｎ

（２１０６）

（２１０８）

ヰ ｂ

戸

rdquo

響

一ト

したがって（２１０５）よりｏｎｅｔｒａｓｉｔｌｏｓｓは次のようになる

δｄdeg２ｙＴｉ（ｊＥ十〇α３ポ（２１０７）

これは文献４３）で求めた自由振動の結果と一致しているなお（２９７）

の第２項はＮが有限のために生じる共振周波数の偏移を示す項であるが

この結果も文献４８）と一致している

sect２５増幅およぴ減衰

本章の励振理論は共振器内部と外部の媒質が異なっていても適用できるま

た媒質が複素誘電率をもっていてもよいここではレーザ増幅器をモデルとし

てとりあげる共振器内部の媒質の誘電率に虚数部を考慮することにより増

幅（または減衰）のある場合の励振特性を得るこのとき共振器外部の媒質の

波数はｋ（実数）であるとするしたがってsect２２と同様外部の場を記述

する（２１４）では（２１２）のグリーン関数Ｈ（ｌ｜ｒrsquo）をそのまま

使用することができる内部の媒質中での波数ｋｉの実数部は外部と同じｋとし

虚数部のみを次のように付加する

ｋｉ＝ｋ－ｉＪｋ

ｊｋ＞０のとき増幅を意味する内部の場を記述する（２６）は使えるが

この式申に使われている（２７）で定義されるグリーン関数Ｇ（ｐＩｒrsquo）

中の瓦は次式で定義される几におきかえねばならない

以Ｅ（ｋｉａ）２－（そpound）２（２１０９）

sect２２の場合と同様に共振器内外部の場を境界面Ｓ上でなめらかに接続

｀５２

－

磯

－

すると（２２３）（２２４）に代る基礎方程式は

Ｊ（几）町（几）ａ４－ｊｊ（ｒｎ）Ｈ＾（几）ｂ４

＋８Ｎ蚕｛Ｋ－ａＪ－Ｌ皿ｂｊ｝゜－２ＳpoundＮＨ衣几）暗

ｆｎＪ（几）Ｈｊ（几）３ぶoline以Ｊン（几）Ｈ（ｒ）ｂ４

（２ＵＯ）

＋８Ｎ｛Ｍ－ａＪ－Ｎ－ｂＪ｝＝－２り｀ｉｒＨ（ｒ）ψ４（２Ｉｌｌ）

（ｎ＝ｌ２helliphellipぞら０１２helliphellip）

となるただしＫＬＭＮは（２３６）～（２４８）で与えら

れるもので几１ではなくて（２８）で定義されるふｎｍの関数である

また寫ｊＦは（２２８）でｊを几におきかえたものであるすなわち

ψrsquoぷ＝ふぐでＪ（几今｛７ンpart｝rsquoＰＸｒｄ）Ｔｄｒｄpart（２１１２）

簡単に励振特性を得るために＞ｎ＝ｎｏのみで近似するこのときｊｋｋ＜Ｋ１

の範囲をとりあげるから（２５０）と同様にして

呪ｇ４ｆＮ（苧－ｎ－ｉ八戸）（２１１３）

と近似できるｊｋＬはｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの増巾率を表わす回折損失より大き

なｊｋＬを与えると発振領域に入るのでその領域での解析は無意味となる発振

の解析を行うには非線型性を考慮せねばならない本節ではｊｋＬは十分小

さくて線型性の保たれる範囲内にあるものとする

次に数値例を示す（２１１２）で強制励振源をＳ（ｒpart）＝１とする几

は複素数であるが（２１１２）は積分できて（２６０）で１を几におき

かえたものとなる（２１１３）の虚数部ｊｋＬπをパラメータとして

２Ｌλ－ｎをｏから１まで変化させる２１１図ａＩｂｃにはＮ＝１０

でＪｋＬπ＝０００２０－０００１－０００２のときにそれぞれ（０

０）（０１）（０２）モードの共振点付近の励振特性を示す予想さ

れるように増巾のときはピークは高く半値巾は小さくなり減衰ではこの

逆となっているｊｋＬの違いによる共振周波数の差は殆んどないまた高次

のモードになるほど励振特性のｊｋＬによる差は小さい図は省略したが

５３

共振点付近以外ではこの程度のｊｋＬの値では殆んど無媒質のときと差のな

い曲線を示す

乱３０

叱］三乱

２０

｜

０りＯＳ

一 一

言

－０００シｙヽ

ｙｙ

ノレ

へ

－ ～

５４

へ

００｜＜ｆ

（００）ｌ斗

２Ｌ

一入 引ＸＯ

へχ

ＯｏｌＪ

hArr

一一一一－ｏＣ０１

－ 一 一 一 一

ｏ０１０

２１１図ａ増幅減衰のある場合の励振特性

（００）モードhelliphellip

rsquolsquo－－ｍ－一一－一一一丁－

淘芋rsquoへμ＝１

二

゛へ

rsquoノ－ 一 一 一 一 darr 一 一 一 一 － － － －

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＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ￥ 」 ＿

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－

ｊ

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１０

poundｍ一タＱｍ一

１０

００ｔ ００ｇ

い卜２Ｌソ父－ｎｏ

２１１図ｂ増幅減衰のある場合の励振特性

（０１）モード

５５

００

notnot－not

ノヘトヅ

レ（ｏｊ）ｔ十］

トソニ沁

ノダ｀ぐへ

ｊ沁

ｚ蛤Ｌ｀ＱＮ

゛マ

一一－一一一一ＯＯＯＺ

－０

一一一一一一一一一一一－ＯｏｏＩ

一一一一一一－０００Ｚ

」」＿＿＿＿＿

ｄｂ

０

pound］ま〇一

－１０

０１４ ０１６２Ｌ５ｃ｀ｎｏ０２００２２

２１１図ｃ増幅減衰のある場合の励振特性

（０２）モード

５６

Ｓ

レ

Ｎrsquo＝ｌｏ

angご（０２）ｔ－い

ダ

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－１

迅

－ＱＯＯＺ－

－０

一一一一一一－ＯｏｏＺレ

ユ＿エー－

１

４

１

第３章 半透過鏡を通しての励振

sect３１序

多くの人々によって現在までに行われてきたファブリペロー共振器の解析

はほとんどすべてが２枚の完全反射鏡より構成される共振器のみに関してで

あって外部との結合は論じられていないしかし実用される共振器は必ず外

部との結合を有する結合の方法としては反射鏡の中心付近にあけられた結

合孔によるものあるいはミリ波以上の波長に対しては反射鏡に孔をあけて導

波管を接続する方法等もあるがもっともよく用いられるのは微小透過率を有

する反射鏡を通して行う方法である片方あるいは両方の半透過鏡を通して

共振器内部で発振しているレーザ光を外部にとり出したりあるいは外部から

電磁波を入射させて内部で共振または増巾を行わせている

本章では一枚の完全反射鏡と一枚の半透過鏡より構成されるファブリペ

ロー共振器内へ半透過鏡を通して外部より平面波を入射させて共振器を励振

するモデルをとりあげる入射平面波の周波数（または共振器の鏡間隔）の変

化に対する共振状態の変化を共振器開口面からの帽射パワーおよび共振器内

部の場の分布の変化としてとりあげる解析は第２章の理論を発展させた形と

して行うsect３２では全空間を共振器の鏡面および開口面を境界として

８つの領域に分けるすなわち第２章で考慮した共振器内外部の両領域以

外に入射波の存在する領域を付加する次に鏡の透過率が小さいとして

鏡面における場を透過率のベキに展開してこれを第２章で用いた鏡面上での

強制励振源の代りに用いるこのことより第２章の理論は透過率の小さい極

限の場合であることが判るsect３３ではsect３２で用いた半透過鏡とし

ての誘電体鏡上における場の境界条件を証明するsect３４では入射波とし

て鏡に傾斜して入射する平面波をとりあげて幅射パワーおよび場の分布の計

算方法を示すsect８５では自由振動を解析するすなわち入射波の存在

しない無励振問題における複素周波数の解を求めるこの解の虚数部より求め

たｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの損失は回折損失プラス透過率の半分という予期され

る結果であるsect８６７では平面波の垂直入射並びに微小傾斜入射の場合に

Ｓ７

ついて電子計算機を使って求めた幅射パワーおよび場の分布の数値例を示す

半透過鏡を有する共振器の理論解析はsect２１でふれたＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

簡単なぬ以外には他には行われていないしかし実験的には上記のモデル

とよく似た方法がしばしば行われでぃる例えばＫｏ訟訟忿Ｗｅｓｔｅｒｍａｎｎ

ｊｌ諮１）にょって行われているミリ波を便ったファブリペロー共振器の研究

では透過鏡を通して励振することにより共振周波数回折損失場の分布

を求めているこの他にもミリ波用の高Ｑの共振器を得る目的あるいはビ

ーム導波系の基礎実験あるいは周波数誘電率の測定等のためにマイクロ

波から可視光にいたるまでの種々の波長の電磁波を使って本章の理論と関連

した半透過鏡をもつファブリペロー共振器の実験がなされているこれら

種々の実験の内容に関しては付録１１に示したこの他にレーザの発振

モードを調べろために用いられている走査型干渉計も本章の理論の実験化と考

えられる

sect３２基礎方程式

平行円板型ファブリペロー共振器の透過鏡を通して外部より波を入射さ

せて励振する問題をスカラー波の境界値問題として取扱う６－座標系としては

円筒座標系を用いる第８゛１図に示すように共振器の軸をｚ軸としｚ＝Ｌ

に完全反射鏡がありｚ＝０にパワー透過率がＴである鏡７があるものとする

鏡の半径はともにａとする共振器の内外部はともに損失のない同じ媒質で

満だされているものとする第２章と同様に共振器側面ｒ干ａand（Ｏ≦ｚ≦Ｌ）

１

Ｚ－０

ｎ

－ 一一－一一一一一一一一

－

Ｓ

ｚ＝Ｌ

芦

８１図ファブリペロー共振器

５８

一 一 一 一 一 一

千－uarrレ

四

に仮想的な境界面Ｓを考えるこれにより共振器を内外部に分けて共振器

内部の空間を領域１とし外部を領域ＩＩとする本章では境界面Ｓ以外に透

過鏡（７を通して共振器内外部が結合しているそのために入射波の存在

する透過鏡の外側すなわちｚくｏの空間を領域ｌｌとする領域Ｉとｌの間に

は明瞭な境界面を設けないこととするこれは共振器の寸法が入射波の波長

λに比べて十分大きいとして共振器から領域ＩおよびＩへ幅射した波釦

結合を無視したためである

ヘルムホルツ波動方程式

Ｖ（ｒ）十ｋ２９（ｒ）＝ｏ（３１）

の解を求める境界条件は完全反射鏡上では

９rsquo（ｉrsquo）＝０ｚ＝Ｌの鏡面上（３２）

である透過鏡（ｙの境界条件はパワー透過率ＴをＴ≪１として次式で与えられ

る

olineｒpart９ｉ（ｒpart）

９（ｒpart）＝一価

＜Ｐｉ（ｒpart）＝仁

partＺ

part９（ｒpart）

－partＺ

（３３）

（３４）

ただし永は波数であ名脚符ｅおよびｉはそれぞれ鏡（ｙの外側および内側の

面上を示す（３３）（３４）の証明は次節で行う

次に各領域の場を適当なグリーン関数を反って記述する領域Ｉｎの場を

第２章とまったく同じ形で与えるすなわち領域Ｉでは（２６）で与えられ

る

９（ｊ）ヨーぶpartＧＣｓ－ｌｐrsquo）

－ＩpartｎPrime

９７（ｒrsquo）ｄ７１

＋４〔Ｇ（ｒｌｒrsquo）ざムワ＝恒回斗permil（ｓrdquo）〕ｄＳrsquo（３５タ

ただしｊｎrsquoはご８１図に示されている境界面および鏡面への垂線である

積分変数の屏ｌこ（）のついている場合は（）のついている変数に関して積分する

ことを意味する後に現れる（りに関しても同様の取扱いを意味する

５９

－

グリーン関数Ｇ（ｒｌｒrsquo）は次の境界条件

Ｇ（ｐ｜ｒrsquo）＝Ｏｆまたは１rsquoが両鏡の内側の面上の点のとき（８６）

を満たすもので円筒座標表示では（２７）で与えられる領域皿では場

は（２１４）で与えられる

９（ｒ）＝べ〔Ｈ（ｒ｜ｉrsquo）勺り一悒応Ｌ （８７）

ただしＨ（ｇ｜ｒりは自由空間のグリーン関数であって円筒座標表示では

（２１２）で与えられる

領域ｌｌでは場は近似的に次式で与えられる

（ｒ）＝ｓ（「」十ぶμ１が」poundpermil（が）ｄａrsquo （８８）

ただし≪（＜）は鏡ｇｙが完全反射鏡であった場合に入射波とそれによる反

射波とでつくる定在波を意味するしたがって刄（ｆ）は次の境界条件を満たす

〔９rsquoｏ（rdquorsquo）〕＝０ （８９タ

グリーン関数Ｋ（｜ｒrsquo）は次の境界条件

ＫＣｐ｜ｒrsquo）＝ＯｒまたはＩrsquoが鏡（ｙの外側の面上の点のとき（８１０）

と無限遠における幅射条件を満たすものであるこのような条件を満たす

ＫＣｒＩｒＯは（２１２）で与えられる自由空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｒrsquo）をも

ととして鏡像の原理により次の形で与えられる

Ｋ（ｐ｜ｒり＝Ｈ（ｒpartｚｌｒrsquo６rsquoｚＯ－ｎ（Ｔｅｚｒrsquopartな－ｚ）

ことｌりrsquo０ＴｊＷrsquoバλΓ）与（λ１ldquo）ｃｏｓｊ（partolinepartrsquo）

べｃｘｐ（ｉｋこ７ｌｚ－ｚrsquo｜）－ｅｘｐ（ｉｙｉこｌｚ十ｚず））叫犬（３１１）

第２章と同様の過程をたどって境界面Ｓ上で場をなめらかにつなぐすな

わちＳ上で領域Ｉと皿の場とその法線微係数を等しいとおいてＳ上におけ

る未知関数９およびりpartｎに関する連立積分方程式を得暴次叫境界面Ｓ

簡単化のため記号の表示としてはrsquo鏡１の厚さを無視して鏡１の内面も外面もとも

lsquoにｚ＝０とするしかし次節で示すように実際には鏡は厚さをもつとして取扱りてい

る

６０

上における未知関数９とpart９partｎを次のように展開する

（゛（゛）λｙＪplusmnｂか≪ｎ（－Ｔ－）｛７とpart｝ （３１２）

〔希汗λご乱ｈ３Ｊｓｉdeg（于rsquoｓｍり（３－１３）

ただし十－はそれぞれｃｏｓｊpartｓｉｎｊpartに対応する（３１２）（３

１３）を用いて連立積分方程式を次に示す展開係数―ｕ―に対する

無限次元の非斉次一次方程式に書換える

Ｊ（ｊ）ｌｌ（ｊ）４－ふ４（ふ）叫（ｊ）ｌ４＋８Ｎ｛Ｋrsquoａ忠一Ｉrsquoｂｊｉ）

゛oline２りＨｊｊ）暗rsquo

ＡｎｆｉＡｎ）ｌｉＪＡ）４－ｊＪ（ｊ）ＨrsquoＣ１）弓－ト名Ｎ｛ｙａ忠一Ｎｂか（８deg１４）

゜－２々烏孵（几）ψ｀ぷ

（ｎ＝１２helliphellip＾＝０１２helliphellip）

ただし

り＝べ１ゴ

丞＝（ｋａ）２－（ｎπａ２ヱ）rsquo

辿＝ふｘ２ｓＪ（ｊこ）｛７ン町９ｉ（ｒpart）ｒｄｒｄrdquo

（３１５）

（３１６）

（３１７）

（３１８）

行列要素ＫｕＬＭ－Ｎｎは付録２１に与えられたようにｊｎと

フレネル数Ｎの関数である方程式（８１４）は異なるｎ間は結合してい

るがに異なるぞおよび十－に関しては分離している

以上は第２章とまったく同じ過程であるが（３１８）の被積分関数中の

９＞ｉ（ｒpart）が第２章では与えられていたのに対して本章ではこの９１（ｒpart）

を入射波Ｓ（ｒ）を使って表現する必要のあることに違いがある以下にこれを行

６１

う透過鏡の外面上における場の法線微係数は（８８）を微分することに

よって次式となる

左右ｄｚこり一石part２Ｋ（Ｓゾ云１ずぶ０）９（ｒりうｄ１rsquo（３１９）

partらpartｚは呪partｚの鏡の外面上での値を示す内面上における場の法線微

係数は（３５）を微分することによって次式となる

timesｄ＜ｐ（ａｅrsquo７ＯpartＧ（ｒpart０｜ａpart力

partｒrsquo partｒrsquo９〔ａＯrsquoＺり〕ｄぷ （８２０）

透過鏡の境界条件（３３）（３４）を便って（３１９）（３２０）

に逐次近似を行うpart９partｚのｏ次近似として（３１９）右辺の第１項をと

る

（鵠レ勺ｏ）＝為戸土 （３２１）

肩符（０）（１）helliphellip１ま０次１次hellip近似を意味するものとするこれを境界

条件（３４）の右辺に用いて９ｉ（ｒpart）のＯ次近似を得る

（９ｉ（ｒpart）うｏ）＿Ｔ当ｔＦいぜ２ （８２２）

これを（８２０）の右辺の積分申に用いてpart９７１βｚの１次近似を得る

診ｄ゛十poundがＧ詐づｙｇｉ）ｄＳrsquo（３２８）

これを境界条件（３８）の右辺に用いて９rsquoｅＣｒrsquopart）の１次近似を得る

〔ら（ｒpart）〕（リnotふ石ごｊシ等ｄ７rsquo

－ （８lsquoand２４）

これを（３１９）の積分申に用いて即ｅpartｚの１次近似を得る

〔聖雲rsquoPrime〕）（１し指十ＩＪｊぷ苫名ごとし霧ｄずｄ゛万partｚツpartｚ４ｋ２partｚpartが゜partがpartｚPrimepartｚPrime

６２

Ｓ

ｙ

一 一

十祐ぷ訟趾ぬ４〔Ｇ浴一添りｄＳPrimeｄ７rsquo（３２５）

これを境界条件（３４）により妙）に変換してそれを（３１８）の積分

申に用いるこの結果として（３１４）はａＪｂぷに関して解くことが

できる上述の逐次代入の過程をくり返すことによって順次高次の近似を得

ることができるしかしｎ次の近似式は（ｎ－１）次の近似式にパワー透

過率Ｔのｎ乗を係数にもつ項を付加するに過ぎないしたがってＴくＪ１のとき

は１次近似で十分である

Ｈ３半透過鏡の境界条件

本節では前節に用いた半透過鏡の境界条件（３３）（３４）を誘電体鏡を

モデルとして導く誘電体鏡は厚さ１４波長の高屈折率の材料と低屈折率の材

料を交互に重ね合せた誘電体多層膜である実際にレーザ共振器に使用されて

いる１００鴨に近い反射率の鏡は屈折率２２と１４程度の誘電体で十数層の多層

膜をなしている本節では誘電体鏡に平面波が垂直に入射する場合に最初

に厚さ１４波長の単一層について次に各層の厚さが同じ１４波長の

多層膜について（３３）（３４）の境界条件を導く最後に厚さが

１４波長よりずれたときに鏡面の座標のとり方をずらすことにより同じ

境界条件が成立することを証明する次節では平面波の傾斜入射について論

じるがその傾斜角は非常に小さいので平面波の垂直入射の場合の（３３）

（３４）をそのまま成立するとして使用するまた共振時に関しても

波動は平面波よりずれるが同様に（３３）（３４）を便用する

最初の例として単一層の誘電体に平面波が垂直に入射する場合を考える

誘電層の厚さをｄとし真空中と誘電層中の波数をそれぞれｋｏｋｌとする３

２図ａの如く誘電層に垂直にｚ軸を定めて境界面をｚ＝ｏおよびｚ＝ｄ

とする係数ＡＢを複素数として各々の領域で波を次のように表示する

９＝Ａｅｘｐ（ｉｋｏｚ）十ＢｅｘｐＣ一ｉｋｏｚ）ｚＳ０（３２６）

＝Ａｉｅｘｐ｛ｉｋｏＣｚ一ｄ）｝十Ｂｉｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ―ｄ）｝ｚ≧ｄ（３２７）

０＝Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｚ）十Ｂｄ（－ｉｋｌＺ）０≦ｚ≦ｄ（３２８）

６３

ｚ＝０

ｋ羞

（ａ）

Ｚ＝ｄ

３２図誘電体鏡

ｋｉ ｋ２ ｋｉ

（ｂ）

ｋ２ ｋｉ

境界面ｚ＝０ｄで場をなめらかに接続するすこめ９とpart９rsquopartｎを等しいとお

くと次式となる

Ａｅ十Ｂ＝Ａｄ十Ｂｄ（３２９）

ｋｏ（Ａｅ一Ｂｅ）＝ｋ（Ａｄ－Ｂｄ）（８３０）

Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）十Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉ（ｉ）＝Ａｉ十Ｂｉ（８８１）

ｋｉ｛Ａｄｅｘｐ（ｉｋｉｄ）一Ｂｄｅｘｐ（―ｉｋｉｄ）｝＝ｋｏ（Ａｉ一Ｂｉ）（８８２）

以上４個の式（３２９）～（８３２）よりＡｄＢｄを消去すると次式と

なる

ぐ Ａｅ十Ｂｅ

Ａｅ―Ｂｅ

じトＣＯＳｋｉｄ

ＣＯＳｋｉｄ

うＡＡぐ

＋Ｂｉ

－Ｂｉ

う

（３８３）

厚さｄが１４波長に等しいとき（３８８）の２times２行列の対角要素は消え

て

よく しＩ ０

Ｋ

－ｉＫ

ｏ

）にコ （３８４）

魯

rdquo

ｋｏ

ＡＡｄ

ＢｅＢｄ

ｋｏ

Ａｅ－

larrＢｅ

ｋ

Ａｉ

Ｂｉ

ｋｏ

Ａｉ

Ｂｉ

となるただし

ＫΞｋｋｌ（３３５）

である

次に３２図ｂのように厚さが１４波長の高屈折率と低屈折率の材料が

交互に重なって（２ｎ＋１）層をなしている多層膜を考えるｋｉｋをそ

れぞれ高低屈折率材料中の波数とすると（３３３）を求めたのと同様に

して次式を得る

Ａｅ＋Ｂ（

Ａ一Ｂ

rsquoＩい

＝

rsquoｃｃ

ただしこの場合

ｋｌ

ｌ

ｋｏ

）で（ｊ

ｉで）［レ

ｉｋ

ｙ

ｋｌolineｉｋソｋ］｝゜

≪

一

一

言に几）にて）

しこ勃（コ）

ＫＥ謡（一謡）

（３３６）

（３３７）

である（８８５）はｎ＝０の場合となっている（３３６）を場とその

微係数の関係に書き換えると次式となる

ブ≒丿けに

０ －Ｋ

１ｋｏ１一ｂ

ぐう ≒）（３３８）

Ｋとパワー透過率Ｔの関係を求めるために（３３６）でＢｉ＝Ｏとおいて

ＡｉＡを求めると

ＡｉＡ＝２ｉＫ（１－Ｋ２）

となるしたがってＴは次式で与えられる

ＴΞＩＡｉＡｅｌ２＝４Ｋ２（１－Ｋrsquo）２

Ｋ≪１の高反射率の場合

Ｔさ４ｌｅ

６５

（３３９）

（３ＪＯ）

（８４１）

となりこれを（８８ ８）に便うと次式となる

］んＩトＶ

－ｊシ

０

これは透過鏡の境界条件（３３）（３

Ａ｜

rarr｜

Ｉ

Ｂ１

larr４

ｋｏ ｋｉ

rsquoＬＬｙ

（Ｍ

ノノ

ゝ９１Ｎ

柏

ｋpartＺノ

４）に他ならない

ｋｏ

larrｆ一米－一一一一－ｄ－－－米一ｅ

３３図単一層誘電体の基準面

沁けトｙ｛１１

－゛

（８４２）

誘電体単一層の厚さが丁度１４波長になっていないときは３３図のよ

うに境界面よりぷぎはなれた面を基準面にとることにより（８８４）

のように対角項をＯとすることができるpoundpoundrsquoは以下のように定める左お

よび右の基準面を基準とする場をそれぞれ

Ｃ）＝Ａｅｅｘｐいｋｏ（ｚ－ぽ）｝十Ｂｅｘｐ｛―ｉｋｏ（ｚ十ぞ）｝（８４８）

９）＝Ａrsquoｉｅχｐ｛ｉｋ（ｚ－ｄ－が）｝十Ｂ４ｅｘｐトｉｋ）（ｚ一ｄ－が）｝（８４４）

とおくこれらと（３２６）（３２７）で表わされる場とは

χ十ＢＣＯＳｋｊ一ｉｓｉｎｋぞＡ十ＢＱＡ一Ｂ

り゜

（

－ｉｓｉｎｋとＣＯＳｋと

）（

Ａ－Ｂｅ

ｊ

へＡｉ十ＢｉＣＯＳｋｏが－ｉｓｉｎｋａど皿十麟（

Ａｉ一良

）で―ｉｓｉ１ぞトｋぞ

ラ（

ぷ一味

）

（８４５）

（８４６）

Prime

心

－

Ａｅ

Ｂｅ

larr

Ａｉrarr

Ｂｉ

（ム腎

４

－

の関係がある（３３３）にこれを用いて り憐ト＝潤

係を表わす行列の対角要素がｏとなるように＾ｅrsquoを定めるその結果は

ｔａｎｋｏ＾＝ｔａｎｋｏrsquo＝－か｛－（会十Ｋ）ｔａｎｋｉｄ

となるＫ＜ｇこ１のときは

ｔａｎｋｏｊ＝ｔａｎｋｏでrsquo竺ＫＣＯｔｋｊｄ

であるこれを使うと次式の関係を得る

貳十Ｂ

Ｋ－ＢrsquoＪ鯛０

－ｉｓｉｎｋｉｄＫ

一―一

｛｝

ＫＪｉｎｋｉｄ）Ａ４十Ｂ

Ａrsquoｉ－Ｂｉ

（３４８）

（３４９）

（３４９）は（３３４）と比較してＫがＫｓｉｎｋｉｄに代っただけである

したがって基準面を鏡面より微小距離ｊどだけずらすことにより（３

３）（３４）の境界条件を便うことができる多層膜誘電体鉛において

も各層が１４波長厚よりずれているときには同様に基準面を鏡面よりず

らすことにより同じ境界条件が便えるこれに関しては計算が繁雑であるの

で付録３１に示す

sect３４平面波の傾斜入射

本節では平面波が共振器軸に対してわずかに傾斜して入射する場合をとり

あげて（３２５）を具体的に計算する平面波の波動ベクトルは０＝０

の平面（ｘｚ面）内にあってｚ軸と角ずをなしているものとするこのとき

（３８）第１項の定在波乳（ｒ）は次のように表わされる

乳（ｒ）＝ｓｉｎ（ｋｚｃｏ呼）ｅｘｐ（ｉｋｓｉｎ￥ｒＣＯＳpart）ｚ＜ｏ（３５０）

（３５０）を用いて（３２５）を以下のように求めてゆくｋＬ≫ｌ

のときグリーン関数の微分は次のように近似される

part２Ｇ（ｒｌが）－

partｚpartｚｌ＝０

１１１１

迩応力ＣＯＳれpart－partrsquo）PrimeＬふ～Ｌｙ

ふ（ｊ４）馬（４

Ｈ１ｎ－ｊ）ＪＡ

―争や

入射波は鏡（ｙのみを照射す乙ものとしｒ＜ａにおいて（８５０

６７

ｒくｆ

ｒ＞が

を用いる

（３５１）

－ 一 一 － － 一 一 一 一

part２Ｋ（ｒｌｒrsquo）

－partＺpartが

＝認多ｙｓｅｉｏ－ｄPrime）でＪｒ（ｊdivide）Ｊ（く）ｊｄｊ（８５２）

ｘ＝ｚrsquo＝Ｏ

（８５１）を便って次の積分が計算できる

４昌皆ｄが＝ｉ２がｋ２ＮｃｏｓＳ々ｉｊｃｏｓ６６－Ｑpound（ｋａｓｉｎｉｉ＾Ａｎ含）（３rsquo５８）

ただし（を（（ｚβｘ）は次式で与えられる

Ｑμβｘ）ヅハ（βｘ）｛βＨ（β）４（（ｚ）－ldquo馬（β）Ｊ（ldquo）｝一誓Ｊｒ（ldquoｘ）〕（３deg５４）

（３５３）を得るときｒrsquoとpartrsquoの積分に関して付録８２の（Ａ８１０）

～（Ａ８１２）を使った（３５２）（３５８）により（３２５）

の第２項は

４ユ弔落等ｄａrdquoｄａrsquo

゜oline２肖３１｀Ｊｃ゜ｓψ｀みｓｃ゜ｓががｙｌrsquoｎ―（ｋａｓｉｎ＾）rdquo

times〔ＰＣ１ｊ）ト４蝿（４）ＪＥ（ｋａｓｉｎ吻十ｋａｓｉｎＶrsquo馬（４）４｛ｋａｓｉｎ砂｝二

十りり（ｊｋａｓｉｎや）〕ＡｄＡ（８５５）

となるただしり（（poundβ）は次式で定義され吊

を（（poundβ）＝り（β（Ｚ）＝ふがＪ（椅）ｙβを）ｒｄｉlsquo

＝ｉｊ７｛－α４（４））（め＋β与（α）Ｊ２（βリｙ８６６）

（３２５）の第８項はａＱｈａpoundを使って表わされるすなわち次式である

rsquordquoｄｚｄｚrsquo賃４（Ｇ器一器９５）ｄＳPrimeむぐ

゜oline

７え〔３゛馬（ｊdeg）olineｂ゛ｊ馬（ｊ）〕゛）ｓねhelliphelliphelliphellip

timesでＪｊ（ｊを）Ｐど（ｊＩｎ）ＡｄＡ万（３琵）

卜

rdquo

－

｜

ただしここでａｊｂでの肩符十を省略したこれは（３５０）の９７が十モ

ードすなわちＣＯＳμモードのみを励振するからである

（８５５）と（３５７）を（８２５）に代入して（part９partｚｊｌ）を得

てこれを（３４）により９ｉ（１）に変換するこの結果を（８１８）に用い

ると次式となる

Ｖrsquoｎ＾＝Ｘ＾ＴｔｙｒＣＯＳＶrsquoＰpound（ｊｋａｓｉｒｒｖ＾）紆μπ３ＮＴＭｃｏｓや

ｘｌ〔４－（ｉｊａｓｉｎψ｜）２〕〔Ｐ＾Ｃｌｎｌｍ）｛ｌｍＨ＾Ｃ４ｎ）を（ｋ３ｓｉｎＶrsquo）

－ｋａｓｉｎや馬（心）ｊ（ｋａｓｉｎや）｝－Ｖ９（４１ｋａｓｉｎｆ））

－こΞ〔ａｍ＾Ｈ＾（ｌｍ）―ｂ叱心Ｈ（今）〕９（ｊｊ）

ただし上式導出の過程で（Ａ３１６）を用いた

（３５８）

（３５８）を用いると基礎方程式（８１４）をａ４ｂがこ関して解くこ

とができるこのとき開口面Ｓより帽射されるパワーＰは（２５８）によ

り与えられるブ

Ｐ＝ＴｌｎＣｓぺこｄｓ）＝かｍＶＺ） （３５９）

基礎方程式（３１４）中の行列要素ＫＬ－Ｍ－Ｎ－はｎｍの偶奇

性が異なるとｏとなるものであるしかし同じ基礎方程式中に含まれる（３

５８）中のＱ（ｊｊ）のためにｎｍの偶奇性が異なっても＞Ａｎとノ１

の結合が生じるしたがって第２章と異なり基礎方程式はｎの偶奇により

分離しない

（３５８）においてＴrarrｏとすれば第１項のみを考慮すればよいこ

こで入射角やを中＝ｏとすれば

となりrsquoこれはε＝１のときの（２６０）すなわち

６９

（８６０）

剋ｏdeg２ｊ

゛ｌｔえ（８６１）

と係数を除いて一致するすなわち第２章における強制励振は共振器外部

より平面波が鏡に垂直に入射するモデルで鏡の透過率ＴがＴrarrＯの極限であ

る場合に相当している

共振器内部の場の分布は（８５）の第１項の積分申の９（ｒrsquo）に９ｉ（１）を用い

ることにより

９（「rsquorsquo２」ニｉがＮふりｓｉｎ（－ｊ―）ｃｏｓＣpart｛ｉＪＴrsquo２ＣＯＳｉｒ

ＸＱｋａｓｉｎＶ＾Ａａdivide）十ｉ７とてＵＡ今バ３degぞＨぞ（４１）olineｂ叱ｊldquoｈ（ａ）〕

oline

１ｉら２ＮＩＭｃｏｓ中Σ〔ぷー（ｋａｌｓｉｎｆｙ）rsquo（（４（４rsquoｊdegrsquoを）

times｛－ＩｍＨン（ｌｍ）Ｊ＾（ｋａｓｉｎや）十ｋ３ｓｉｎｉｒＲＪＡｍrsquo）Ｊ（ｋａｓｉｎＶrsquo）｝

十誓（り（ｋａｓｉｎＶ＾Ａ－Ｆ）〕

一足ΞＱＥ（４４１こ）〔≒町（心）一岫心吟（心）〕Ｃ３－６２）

となるこのとき（Ａ３１６）（Ａ３１８）を用いた数値結果については

sect８６に示す

sect３５自由振動

本節では前節の特別な例として自由振動すなわち励振源のrsquoないデときの

斉次方程式の複素周波数の解について述べる励振のないとき基礎方程式

（８１４）は次のような斉次方程式となる

ｌ（Ａｎrsquo）ｌＬ（Ａｎ）ａＤpound―Ａふ（４１）４（４）ｂｌぜ十Ξ〔８Ｎ｛Ｋｎｍａ叱－Ｌｂｍぞ｝

－１゛２ＴＮ｝を（ｌｎ）Ｐ（ｊＡｍ）｛Ｈ＾（ｌｍ）ａ叱一臨Ｈrsquo（ｌ）ｈβ〕＝０

４１ぶ（心）Ｈｒ（ｊｌｌ）３ｆ一poundぶ（Ａｕ）ｉｉ（Ａａ）ｈｎpound十Ξ〔８Ｎ｛Ｍａ叱一Ｎｂ叱｝

－１゛２ＴＮｊｌ（ｊＡｎ）ＰＭｎｌｍ）｛Ｉ＾Ｃｌｍ）ａ叱－ｊべＭ）ｂ叱｝〕＝０

７０

－

poundｊ３－６３）

１

會

ただしここで（３５８）を用いた斉次方程式（３６３）の解が半透過

鏡をもった共振器の自由振動を与えるＮ≫１ＴべＪＩの条件の下に回折損

失の近似値を得るために文献４３）と同様にｎの異なるモード間の結合を

無視する（３６８）の係数の作る行列式は

Ｊｆ（ｊ）馬（ｊ）Ｎ－ｌolineｊＪｊ（１）叫Ｃｌ）Ｍｎｎ－１Ｊ＾（ｉ）Ｈ（ｌ）Ｌ

十１２４（１）Ｈ（１）Ｋ＋８Ｎ｛ＫＩＮ－ＬｎｎＭ｝－｜－ＴＮＩ（ふｊ）

times〔｛Ｈど（ｊ）｝２Ｎ９１１－ｊｌ与（１）啼（１）｛Ｌ十Ｍ｝十日ｈrsquoＣ１）｝rsquoｋ〕＝Ｏ（３６４）

となるここで簡単化のためｊｎを単に１と記した（３６４）を複素数の

冽こ関して解くことが目的であるこの１より複素共振周波数が求まりその

実数部より共振周波数虚数部より共振器の損失が分る

Ｎ≫１Ｔ≪１の条件の下で（３６４）申のもっとも主要な項は

Ｈ（１）Ｎである（付録Ａ２１参照）それ故に１のｏ次近似は

セル関数の根であるそれをｊかと記すと

Ｊｆ（心）equiv０

ＪＥ（ｊ）

ベツ

＾ｍ＝０１２helliphellip （３６５）

である次にｊの近似をよくしていく（３６４）では第１項のベッセル

関数以外ではｊのところに心を使うこととする行列要素ＫｎｎＬＭＩ

Ｎｉｌを（Ａ２２８）～（Ａ２３１）により（ｚのベキで表わしたものを使う

ただし

α１三１（４ｇＮ）（３－６６）

であるその結果として（３６４）は次のように簡単化される

ｉ七（ｊ）馬（々）十Ｔ（沓十去）（１－ｉ）α

十｛゛１｀叫Ｊお１（々）自Ｎ（ｊ）｝permil０

ここで次の関係を便った

り（々゛几）ニ１｛Ｊど＋１（々－）｝２

（３rsquo６８）はpound（（poundβ）の（pound＝βのときの関係式

７１

（３６７）

（３６８）

り（αlsquorsquo＞＝ｉ〔｛Ｊ（α）｝rsquo十｛し１（ldquo）｝≒砂（lsquoｇ）ＪａＩ（lsquoｚ）〕（３６９）

４こおいて（８６５）を考慮したものである

（３６７）を解く際にｊを次のようにおいて

ｊ三ｌ＾ｒｎＣｌ十part）（δ≪１）

partに関して（８６７）を解くと

δ＝－

となるここで

た

Ｊが１（ｊぞ）Ｎｊｊか）゜２こ

partｄΞ１－ｌｅｉ｀Ｉ１２

を次のｊの近似式によって求める

ｊ２竺４πＮ（ｋＬ－ｎπ）

δｄ≪１のときは次のように簡単化される

δｄ三ｌｍ（２ｋＬ）三Ｉ（ｊ２２πＮ）

＝ご（ム＋１）弓Ｊlsquo゛＋ＴｊＦＴ

πＴＮ

（８７０）

（８７１）

（８７２）

（３７８）

（３７４）

（３７５）

２ら

Ｌｏｍｍｅｌの公式（２７６）より導いた次の関係を利用し

ここで光が鏡間距離Ｌだけ進んだときの損失ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ８ｉ

を（８１６）を媒介として求めるすなわち

（８７５）の第１１項は回折損失を表わし第２項は鏡による透過損失を表わ

す（３－７５）はこの共振器の損失が回折損失プラス半透過鏡の透過率

の≒であるという当然予想される結果を示している（８－７１）のδの実

数部中に透過率Ｔを含まないことは共振周波数は第１次近似としてＴ４こ影

響されないことを示す

３６数値結果

本節では電子計算機（ＫＤＣｆｌ東大大型計算機）を使って入射平面波の

周波数変化に対する共振器側面より帽射するパワーの変化および共振器内部

７２

－

における場の分布を数値計算した結果を示す平面波が鏡りこ対して垂直

に入射する場合とわずかに傾斜して入射する場合に分けて調べる垂直入射

の場合は波は回転対称であるからpound＝０の回転対称のモードのみを励振す

るそれに反して傾斜入射の場合は回転対称性が失われているのですべ

てのとのモードを励振する

３４図に平面波の垂直入射（ψ＝Ｏ）の場合に共振器側面より幅射する

パワーを入射平面波の周波数に対してプロットした横軸は周波数と称して

６るが正確には２Ｌλ－ｎのことであるｎは凪が正で最小であるｎの

こどであるつまり２Ｌλ一ｎは共振器の鏡間隔Ｌを半波長λ２でわっ

－まＩ

Ｃａｏ）

Ｃｏ３）

ｏｏｏＧ

－

０１

３４図垂直入射の励振特性

７３

一 一 一 一

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－

た商の小数部分のことである２ｈＸが１だけ増減する毎に全く同じ励振曲線

が繰り返される縦軸は共振器側面から幅射されるパワーを鏡全面に入射する

パワーを基準としてｄｂ目盛で示したものである透過率Ｔの値が１喘と１４喘の

ときの励振曲線を示すフレネル数Ｎは２０である図の共振点は左から順に

（００）（０１）（０２）helliphellipモードである本来横軸はＯ～１の範囲を示

すべきであるが図示していない横軸０３～１の範囲では幅射パワーは非常に小

さく－３５ｄｂ以下であるので省略した（００）の共振点では－７８ｄｂすな

わら鏡面に入射するパワーの約が共振器側面より幅射される入射平面波

が鏡全面を照射しているために（００）モードと比べると高次のモードの

パワーは小さいがこれは鏡の透過率により大きく異なる（００）モード

の共振点付近の拡大図を３４図右上隅に示すＴ＝ｌ１４＜７ｏに対する半

値巾より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ（（２１０６）参照）はそれぞれ０８５

弘０４４rsquo７ｏであるこれらの数値よりＮ＝２０のときの回折損失０３０を

引き去ると残りは０５５＜７ｏ０１４となりほｙｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの透過損

失天２に等しいなお計算に用いたｎに関する項数はｎ≦ｎの項が２０

項ｎ＞ｎの項が２項であるｎ＜ｎは丞＜Ｏに相当しパワーの計算に対

しては殆んど寄与しない３４図の励振曲線は上記の項数で十分良く収束し

ている特にＮが大きい場合およびＴが小さい場合には収束は良いまた

各モードの共振点付近の周波数においてはＩｎ―ｎｏの項から轜射パワーヘの寄

与が他のｎの項からの寄与に比べて圧倒的に大きいから収束は非常に良い

ただ共振と共振の間の周波数では収束は悪いしかし実際上興味のあるのは

収束の良い低次のモードの共振点付近と考えられるので実用上問題はないＮ

およびＴと励振曲線との関係を述べるＮは１例として２０としたが第２

章で述べた様にＮを増加すれば各共振点の間隔は狭くなるＴを増加する

と透過損が増加し共振の半値巾は増大するＴと共振点の高さとの関係を３

５図に示すすなわち３５図はＮ＝２０のときの（００）および（０

１）モードの共振周波数において透過率変化に対する幅射パワーの変化を示

したものである透過率をＯから次第に増加してゆくと帽射パワーが最大と

なる透過率があるＮ＝２０の（００）モードではその透過率は０５１喘

（０１）モードでは２１４であるｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの透過損失はそ

の半分すなわちそれぞれ０２６１０７であるＮ＝２０のときのこれら

７４

のモードのｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ当りの回折損失がそれぞれ０３０喘１５６９６で

あるから（００）モードではほｙ透過損失と回折損失が等しいところで幅

射パワーが最大となっているが（０１）モードではこのようになっていな

いしかし（０１）モードの場合３５図の（０１）に相当する曲線

は極大値付近の変化が非常に緩かであるためにＴが増加すると近似が悪く

なることを考慮すると余り確かなことはいえない

次に傾斜入射の場合の励振曲線を示す３６図は傾斜角ずをパラメータと

して示し３７図は透過率Ｔをパラメータとして示す横軸および縦軸は３

４図と同じものである共振の周波数に対応するモード名を記号（ごｍ）

－ぢ

ｄｂ

－｜

Ｉ

３Ｍ０ｄ

－２０

－２ぢ

（りμ－け振同波敗

（ｏ｜）ｌ斗rsquo共振用犠気

Ｍ－２０

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３５図透過率とパワーの関係

７５

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（０３）

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（２０

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８６Ｓ励振特性平面波の傾斜入射傾斜角をノｔラメータとする

一一一一一一

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７７

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８７図励振特性平面波の傾斜入射透過率をλラメータとする

－ － － 一 一 一 一 一 一

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－ 一 一

で図中に記入した平面波の鏡への入射角がψであるがここでは傾斜のパラ

メータとして帥｀λを選んだａψλの値は鏡の中心と鏡の縁端とで入射

平面波の位相が何波長ずれているかを示す傾斜入射の場合（ψ≒Ｏ）（３

５８）によりすべてのどのモードが励起される数値計算の際は比較的入

射角は小さいとしてｅに関してＯ～４を考慮したｎに関してはｎのみを考

慮したｎｏのみで近似した理由は励振曲線は共振点の付近の周波数では

ｎｏのみで十分良く近似できることおよび入射角を大きくしてゅくにつれて

ど＝ｏのモードの非共振周波数帯にど≒Ｏのモードの共振が生じてその付

近の周波数においてもｎｏのみで十分良く近似できることのためであるすな

わち傾斜入射の場合励振され得るモードが多くてそのためにｎｏのみで近似

して誤差の少い周波数範囲が広い３６図を見ると入射角が大きくなると

ともにぎに関して高次のモードが励振されやすくなる様子が分る（２ｍ）

モードと（Ｏｍ＋１）モードの共振周波数は比較的近いところにあるために

入射角が小さい場合は（Ｏｍ＋１）モードの共振がおこり入射角が大きく

なると（２ｍ）モードが主となるこの様子は後に示す場の分布を見ればよ

り判然とする３６図に示した小さな入射角ではｅ＝３以上のモードは励

振されていない入射角が大きくなるとともにぎに関する低次モードの励振

が押えられて高次のモードが励振されやすくなることはＫｏｐｐｅｌｍａｎｎの

実逗仙実証されているrsquo３７図を見ｉと共振の際には透過損失と回折損失

がほｙ等しいところで幅射パワーは最大となるため共振モードによって最大

パワーを幅射する透過率は異なっているしかし非共振の際には透過率の差

がそのまま幅射パワーの差になっているすなわちＴ＝２喘と１鴨の曲線の差

が３ｄｂ弱Ｔ＝ｌ＜１と０５喘のそれらの差も３ｄｂ弱となっている

３８図に垂直入射の際の共振器内部ｚ＝Ｌ７の鏡面上における場の分布

を振幅分布と位相分布とに分けてＴをパラメータとして示すフレネル数

Ｎは２０である平面波の垂直入射のため分布はと＝Ｏの回転対称性を有す

るのでに動径方向の分布のみを示す図ａｂ＞ｃの順に（００）（０

１）（０２）の共振点における周波数での分布である数値計算の際のｎ

境界条件から本来２＝Ｌでは場の値は０であるここでは第２章同様ｚ＝Ｌ一

仇における場の分布を簡単にｚ＝Ｌにおける場の分布と呼んでいる

７８

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３８図ａ垂直入射の場の分布（００）モード

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２４０６

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３８図ｂ垂直入射の場の分布（０１）モード

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０８ｒ＾Ｉ

８８図ｃ垂直入射の場の分布（０２）モード

に関する和についてはｎ＞ｎｏを２０項ｎ≦ｎを２０項の合計４０項を考慮

した特定の周波数透過率のパラメータに対してこの倍の合計８０項を用

いて計算し収束していることを確かめたｚ＝Ｏの鏡面上での場の分布は収

束が悪くて求めることができなかったこれに反してｚ＝Ｌの鏡面上では

ｎからの寄与とｎ＋１からの寄与がほｓご相殺してｎのみで大略の場の分布が

定まり収束がよいｎ≒ｎの項はフレネル数に特有の細かいリップル１と寄与

するものである８８図の振巾分布は第２章の強制励振の場合のそれら

（２９図）とよく似た曲線となっているが８８図ではリップルがかなり

滑らかになっているこれは第２章における鏡面の一部での励振と異なごり

本章では平面波が鏡全面に入射するためと考えられる図ａの振巾分布では

Ｔ＝０５の曲線を省略したがこの曲線はＴ＝１喘のそれと殆んど重なって

しまうただ鏡の端においてＴ＝ｉ＜ｙｏのそれの振巾が大きい図ａでは幅肘

８０

－２４０rsquo＿

２１０deg

１８（「

Ｉ１ＩＩ＿＿＿

パワーの場合と同様にほｙ回折損失と透過損失の等しくなるＴの値で鏡の

中心での振巾分布は最大となっている図ｂおよびｃではほｓご振巾分布の形

は相似であるがＴの順に振巾が大きくなっているＴの順になるのは図ｂ

ｃに示した（０１）（０２）モードでは図に示した場合の透過損失よ

りも回折損失が大きいためである

３８図の位相分布においては図ａ＞ｂ＞ｃともにＴが異なっても殆んど

同じ分布をしているのである特定のＴに対する分布曲線のみを示す鏡の端

での位相が中心に比べて遅れているのは２６図と同様であるが図ｂｃ

では振巾分布の谷に対応する位相分布が２６図とは異なるこれも励振面積

の差のためと思われるしかし振巾の小さいところでの位相は余り問題にはな

らない鏡の中心における位相が９０degであるのは共振状態を示している

図の番号

ノｔラメータａｂｃｄ

Ｎ２０２０２０２０

Ｔ１１１１嗚

３ψ゛λ０３０３０３０３

周波数（００）（１０）（２０）（０１）－一一－－一一一一一一一一一一一一 －

図の番号ｅｆｇｈ

ノｔラメータ

Ｎ２０２０２０２０

一一rsquoＩＴＩ嗚１嗚１嗚１

３φ゛λｏ１０１０１０ｔ

周波数（００）（１０）（２０）（０１）

一一－一一－一一一一－一一－一一図の番号

＝－１１Ｊｋとハフメー

Ｎ２０２９２０２０

Ｔ０５鴨０５０５０５

３ψλｏ３０３０３０８

周波数（００）（１０）（２０）（０１）＿＿＿＿＿

一図の番号

ｍｎノζラメー

Ｎ１０１０

ＴＩ嗚１

ａψ゛λ０１０１

周波数（００）（１０）

３１表３９図ａ～ｎのノリメータ

８１

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振幅（立体図）

３９図ａ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１嗚ａ吻λ＝０３

８２

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振

位

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振嘔（立体図）

３９図ｂ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａ吻λ＝Ｏｊ

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振幅（立体図）

３９図ｃ傾斜入射の場の分布詰芯昌雅ｏ

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振幅（立体図）

３９図ｄ傾斜入射の場の分布

（０１）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝１permilａ吻λ＝０３

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振幅（立体図）

３９図ｅ傾斜入射の場の分布

（００）モード共振周波数

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８４

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８９図ｆ傾斜入射の場の分布

（１０）モード共振周波数

Ｎ＝２０Ｔ＝ｌａｉ＾λ＝０１

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振幅（立体図）

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芦幅（立体図

３９図ｎ傾斜入射の場の分布

翫鵬二茫叩絲

四回三回

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３－９図に傾斜入射の場合の場の分布を示すこの場合入射波は回転対称

性を失っているのですべてのどのモードを励振する３９図の数値計算の

際には入射角が比較的小さい場合をとりあげて励振曲線の計算のときと同

様にとは０～４を考慮したまたｎはｎのみを考慮した先述した如くｚ

＝Ｌの鏡面上での場の分布はｎキｎのｎの偶奇からの寄与がほ１ご相殺して

殆んどｎ＝ｎからの寄与のみで定まるしたがって３９図はｚ＝Ｌの鏡面

上での場の分布とみなしてよいが細かいリップルは現われない各図は上

より順に等高線方式で示した振幅分布と位相分布および一番下に振巾分布

の立体図である上下対称であるので等高線方式で示した図は下半面を省略

した図ａ～ｎはフレネル数Ｎ透過率Ｔ入射角ｆおよび周波数を種々の

値に選んだときの場の分布である対応するパラメータを３１表に示す

表中の周波数の欄に記入した（とｍ）は（ｅrsquoｍ）モードの共振周波数の

意味であるここに示した共振周波数は（００）（１０）（２０）

（０１）モードの場合である（００）および（１０）モードの共振周

波数は他の共振周波数から十分離れているために図ａｂｅｆｉｊ

ｍｎに見る如くそれらのモードは判然としているただ平面波は図に対

する鉛直線からやだけ左側へ傾斜した方向から入射するためにモードの中心

が右側にあって左右非対称となっている励振曲線のところでも述べたように

（２０）（０１）モードの共振周波数は近いためにそれらの共振周波

数では入射角が小さいときは（０１）モードが主となり入射角の大きい

ときは（２０）モードが主となるすなわち３やλ＝０３の図ｃｄを比

較すると図ｃは（２０）モードであることがはっきりしているが図ｄは

（２０）と（０１）モードが混合しているしかし入射角の小さい

（３ψ｀λ＝０１）図ｇを見ると（２０）モードの共振周波数であるにもか

かわらず（０１）モードの分布をしている同じ周波数で透過率の異なる

図同志すなわち図ａｂｃｄと図ｉｊＩｋpoundを比較してみると透

過率の大小の場の分布に及ぼす影響は振巾の大きさ以外には殆んどない

振巾の極大値の付近では対応する位相はほｙ一定であり極小値の付近に対

応する位相は急激に変化するまた隣り合った極大値に対応する位相は１８０deg

の位相差を有するしかし後者に関しては（２０）（０１）モード

８９

の混合した図ｄでは判然としていない

９０

－

－

第４章 有孔鏡共振器の励振

５４１序

レーザ共振器として用いられるファブリペロー共振器においては通常透

過鏡を通して出力を取り出すのであるが近年注目されている炭酸ガスレー

ザでは大出力かつ遠赤外域のために適当な透過鏡の製作が困難であること

などによりその出力を鏡の中心にある孔を通して取り出しているまた受

動的なファブリペロー共振器の励振方法としても鏡の孔を通して波を入射

させることが考えられる本章ではこのように鏡に同心の円孔を有する平行

円板型ファブリペロー共振器を解析する

現在までに発表されている有孔鏡共振器の解析としては平行円板型の場合

にはＬｉＺｕｃｋｅ８ｋ）論文がゐりまたＭＣＣｕｍｂｅ）は共焦点型をとりあげて

他はｆＶａｉｎｓｔｅｉｌ５）の方法をこの場合に拡張したものであるＭｃＣｕｍｂｅｒ

の論文は孔のない共振器の干渉計理論による解析の結果に孔が小さいとし

て摂動理論を適用したものであるなお文献７８）７９）はいずれも両鏡

に同じ大きさの孔があるとして解析したものである

ここで有孔鏡共振器の実用上の問題点を述べると共焦点配置ではエネルギ

ーが鏡の中心に集中するから中心に孔をもつ鏡では損失が非常に大きくて実

用化はされ難いひしろ平行平面配置またはそれに近い配置すなわち鏡間

距離が鏡の曲率半径に比べて十分小さい配置の方が実際上有用である

本章では第２章の理論を発展させた形で平行円板鏡の中心に円孔を有す

るファブリペロー共振器を取り扱う第２章では共振器を含ひ全空間を共

振器内外部の２領域に分けて適当なグリーン関数で各領域内の場を記述し

仮想的に設けた境界面で両領域の場を接続するという方法を用いたsect４２

では共振器の中心に孔があるため上述の２領域の他にこの孔を含ひ領域

を別に考えるこの第３の領域は孔の外の共振器外部を含ひからここでは自

由空間のグリーン関数を便って場を記述するそしてこの領域の場と２枚の

９１

平行平面鏡にはさまれた共振器内部の領域の場を第２章と同じようＲ仮想

的な境界面で接続する問題設定は外部より平面波が孔のところに入射する励

振問題としてそれに対する有孔鏡共振器の基礎方程式を与えるsect４８で

は励振源のない場合の解すなわち自由振動をとりあげてその回折損失

共振周波数共振器内部の場の分布を示すところでもっとも簡単な平行平

面ファブリペロー共振器の解析として一次元の鏡すなわち有限の幅をも

ち無限に長い矩形鏡がとりあげられることが多いここでは孔のある共振器の

鏡の半径と孔の半径の差を一定に保ちつつ両者を無限大に近づけることによ

りこのような特殊な鏡の共振器の解析も行うsect４２sect４３の解析は

両方の鏡に孔のある場合であるがsect４４では一方の鏡にのみ孔のある場

合についてその自由振動を調べる一方の鏡にのみ孔のある場合の解析は

他には行われていないsect４３sect４４の解析の結果として孔のある共

振器では角モード番号ｎこ関して異なるモードが殆んど縮退状態にあること

がわかるすなわちこれらのモードの共振周波数回折損失はほｓご等しい

sect４２基礎方程式

中心に半径ｂの同心の孔を有する２枚の半径ａの平面円板鏡を間隔Ｌを

へだてて平行に配置した共振器を考える（４－１図）外部よりこの共振

一』１－１

－ＩＩ［レレ］

Ｚoline

｀olineoline

ノコユ

町＿＿＿＿＿＿＿＿＿ユ

ソト

一一一－一一

〇

４１図有孔ファプジペロー共振器

９２

１１１Ｚ一犬Ｌ

官

一 一 一 一 一 一一 一

＜ｐｉｒrsquo）〕ｄＳ（４３）

以下第２章と同様にして境界面で場をなめらかに接続して境界面上の未

知関数に対する連立積分方程式を得るこれを解くために境界面上の場とそ

の法線微係数を直交関数系で展開して積分方程式をその展開係数に対する連

立無限次元の一次方程式に帰着させる第２章では境界面は１個であったが

本章では２個であるので連立方程式の数は第２章に比べて２倍になるまず

境界面上で両領域の場の値とその法線微係数を等置するｒ＝ａのＳ上に

９３

器の孔を通して波が入射するものとする共振器の開口面に仮想的な境界面を

考えて全空間を３つの領域に分けるすなわち４１図に示すようにｒ＝

ａおよびｒ＝ｂに境界面ＳおよびＳｈを考えて共振器内部の空間を領域Ｉ

ｒ＝ａより外側の空間を領域ｆｌｒ＝ｂより内側すなわち孔の存在する空間を

領域Ｕと名付ける領域ａは共振器の外側をも含んでいて領域１と接してい

るわけであるがｃｃでは鏡の寸法は波長に比べて十分大きいと考えて領域

Ｉとｎの境界を定義せずそこにおける場の結合を考慮しないこととする

第２章と同様に共振器内部の鏡面上で場がＯとなるＤｉｒｉｃｈｌｅｔ境界条件を

満たすＨｅｌｍｈｏｌｔｚ波動方程式の解を求める領域Ｉでは（２７）で定義さ

れる鏡面上でＯとなる境界条件を満たすグリーン関数Ｇ（ｒｉ゛）を用い領

域Ｂとｎでは有限の距離のところに境界条件が存在しないから（２１２）

で定義される自由空間のグリーン関数Ｈ（ｐＩｐrsquo）を用いて場を記述するすな

わち領域１では境界面がＳとＳｈと２つあるから場は

９rsquoｒ（≫rsquo）゜な〔Ｇ（゛ｌ゛rsquo）旦ツシリー但ヤヨｊり９（゛rsquo）〕ｄＳ

－４ｈ（６（ｒｌｌ｀rsquo）≒首し但公芦ひ９（゛）〕lsquoｉＳ（４１）

と表わせる領域ＩＩでは第２章とまったく同様にして

り（ｒＯpartＨ（ｒｌｒＯ９１１（ｒ）゜一亀〔Ｈ（゛１゛rsquo）ご公Ｆ－｀弓１７＜Ｐ｛Ｔrsquo）〕ｄＳ （４２）

と表わせる領域Ｕには入射波ｅrdquordquordquoｕ（ｒpart）が存在するとして場を次の

ように表わす

part９（ｒrsquo）

９Ⅲ（ｒ）゜ｅｉldquo１１（「rsquopart」十亀〔Ｈ（゛｜゛り弓ジpartＨ（ｒｌｒrsquo）

partど

－ 一 一

おいては

９rsquo（ａ―０）゜９rsquoｎ（ａ十〇）

part９≫ｌ（ａ－０）一partＱ（３十〇）

－一一－

partｒ

とおきｒ＝ｂのＳｂ上においては次式のようにおく

９１（ｂ十〇）ニ９厘（ｂ－ｏ）

哨（゛ヤ白浪旦二旦

（４４）

（４５）

（４６）

（４７）

（４１）～（４３）の各領域における場を（４４）～（４７）に用い

るとＳＳｂ上における場とその法線微係数の合計４個の未知関数に関する

積分方程式となるここで４個の未知関数を次のように完全直交系で展開す

るＳ上での展開は

〔胞５孔弓rsquoｓｉdeg（７）｛フンり

〔慧じａａpoundplusmnrdquoｔldquo（警）｛ごPrime｝

としＳｂ上での展開は

〔ｒ＝ｂｎpoundplusmnかｓｉlsquoｌ（７）｛７ンり

〔毘ひＬ孔か白ｌ（警）｛ぶPrime｝

（４８）

（４９）

（４１０）

（４１１）

とする３ＪｂＪｃＪｄＪは未知の展開係数であり十および一はそれぞ

れ｛｝内のＣＯＳＣpartおよびｓｉｎｆpartに対応する

（４８）～（４１１）の展開と（２７）（２ＪＬ２ｊ）の円筒座標表

示のグリーン関数を用いると（４４）～（４７）の積分方程式は次の連

立無限次元の一次方程式に帰着する

Ｊｊ（４）馬（ふ）ａＪ－４Ｊｊ（ｊ）Ｈ（ｊ）ｂＪ＿＿＿

一々（瓦）馬（ｊ）ｃＪ４lsquo几Ｊ（ｊ）Ｈ（Å）ｄＪ

＋８Ｎ｛ＫχｌｍＺａｆｉ－ＬｎｍｂＪ｝＝０

９４

（４１２）

Ｗ

rsquo

ｊＪ（ｊ）Ｈ（１）ａＪ一疋Ｊ（ｊ）叫（ふ）ｂＪ

－ふＩＪｆ（尻）Ｈ（ｊ）ｃ４十瓦瓦Ｊ（瓦）馬（ｊ）ｄＪ

＋８Ｎｉ｛ＭｎＣｅ－＾ｎｍｂＪ｝＝０

Ｊ（励ｙｊ）４－ｊＪ（凪）馬（心）ｂＪ

－Ｊ（尻）Ｈｊ（凪）Ｊ＋瓦Ｊ（瓦）Ｈ（瓦）ｄ品

－８瓦から４一飛ｄＪ｝＝暗

－８瓦忌｛已－ｃ｝一瓦ｄＪ｝＝ちｉヽ

（４１３）

（４１４）

（４１５）

－（４１２）～（４１５）を第４章の基礎方程式と呼ぶただしＡｎｉＡｎは

丞圭（ｋａ）２－（旦芋）rsquo（４１６）

ｊ三（ｋｂ）２－（ 守）２＝（心争２ （４１７）

－で与えられるものでありＮＮはそれぞれ鏡および孔のフレネル数すなわ

ち

Ｎ＝器竺ｉ１５（４１８）

瓦＝俗三谷（４１９）

である行列要素Ｋ－Ｌ－ＭＮ一は（２２９）～（２３２）で定義

－－－－されるものでその詳細は付録２１にあるＫｍＬｎｍＭＮはそれ

ぞれＫＬｎｍＭｎｍＮの定義式（２２９）～（２３２）において

鏡の半径ａの代りに孔の半径ｂを用いたものであるすなわちＩＫｎｍＬｎｍ

ＭｎｍＮｎｍは最終的には鏡のフレネル数Ｎとｊｌｍの関数であるがこれを

明示して

Ｋ一三Ｋｎｍ（ｌｎＡＮ）｀｜

９５

凪Ｊ（瓦）馬（心）弓－ム凪Ｊ（凪）Ｈ（Å）ｂＪ

一気Ｊバ瓦）馬（気）Ｊ＋ｊrsquo≒涵）巧（７ｉ）ｄＪ

Ｌｎｍ―ＬｎｍＣ１ＡｍＮ）

Ｍｎｍ＝Ｍｎｎｉ（ｌｎＡｍＮ）

Ｎｎｍ＝Ｎｎｍ（４ｎ＾ｍＮ）

－－－－と表わすとＫＬＭＮは次式を意味する

－－ＫｎｍΞＫｎｍ（Ａｄ

－－ＬｎｍΞＬｎｍ（Ｉ

－－ＭｎｍequivＭｎｍ（ｙｉ

ｎ

ｎ

－－ＮｎｍΞＮｎｍ（ｊｎ

－一臨Ｎ）

－－ｊＮ）

－一心Ｎ）

－一臨Ｎ）

トｙトトトλ

｜

（４２０）

（４２１）

（４１４）および（４１５）の右辺の励振を表わす項はそれぞれ

畷゜ふ右ぐｒｓｉｎ（で）｛フンpart｝ｅｉldquoｕ（ａＪ）ｂｄａｄｚ

～４（ｅ｀Ｉ）い゛（牛oline１１）oline１〕

゜寂ｉ（苧－ｎ）

へ

一一

４

石ｒ３

〔ｅｘｐ｛ｉπ（Ｔ－ｎ）｝－１〕

（苧－Ｉ）

ぐ｛７ンりｕ（ａ＞りｄｄ（４２２）

ｂｄpartｄｚ

ぐ｛７ンり包ルヂり（４２８）

であるところで（４１２）～（４１５）の基礎方程式はどおよび十

－に関して分離していることに注目したいすなわち基礎方程式は異なるどお

よび十－に関して独立に解けばよいまた行列要素Ｋｎｍ等はｎ―ｍが奇

数のときはＯであるからｎｍの偶奇によっても方程式は分離している

最後に数値計算例を示す（４３）の右辺第１項のｕ（ｒpart）が

ｕ（ｒ（９）＝１（４－２４）

の場合すなわち入射波が平面波ｅｉｋｌの場合について励振特性を求める

このときｕ（ｒpart）は回転対称であるからＺ＝ｏのモードのみを励振する

（４２２）（４２３）は

〔ｅｘｐ｛ｉπ（孚－ｎ）｝－１〕

畷＝添－２Ｌrsquoり

（Ｔolineldquo

９

２（４２５）

ｙ

Ｗ

（４２８）

奮

－＝０ （４２６）

となる開口面Ｓより相射するパワーは（２５８）で与えられており

Ｉ）＝かべ首ｄＳ＝白べ乱ギ） （４２７）

である第２章と同様に沢を正でかつ最小とするｎをｎとするとき瓦が

適当に大きい場合ｎ＝ｎの項のみによって鰯射パワーの概略が与えられる

その概略のパワーの計算結果すなわちＩ（ａｌｌｂｌｏ）を４２図に示すこ

のときのパラメータはＮ＝２０Ｖａ＝０５である図中で（０ｍ）で示

された各モードを比較すると幅射パワーは同じ程度であるが低次モードほ

どピークは鋭く半値巾は小さいすなわち低次モードほど回折損失の小さい

ことを示している

sect４３自由振動モード

（１）回折損失

本節では前節の特殊な場合として無励振問題をとりあげて自由振動モー

ドを求める自由振動モードは複素周波数平面での展開係数の極として定義さ

れるすなわち前節の基礎方程式において励振源を表わす右辺を０とおい

た斉次方程式を解くＯでない解が存在するために左辺の係数のつくる行列式

をＯとおいてその根として定義される自由振動の複素周波数を求めるこの

実数部より共振周波数虚数部より回折損失が求まるこの解を孔のある共

振器を自由振動モードで解析していlsquoるＬｉＺｕｃｋｅｒの結果と比較する

基礎方程式（４１２）～（４１５）において右辺をＯとおいた斉次方程

－一式を解くＫ－Ｋ－（ｎヤｍ）等の非対角要素の値はＫｎＫｎｎ等の対角要

素の値に比して十分小さいから基礎方程式においてｍヤｎなるｍの項を無視

するこのとき（４１２）（４１３）を行列形で書くと

ぐ 与（ｊｌｌ）Ｈど（心）＋８ＮＫ１１degｊrdquoし（心）叫（心）＋８ＮＬuml３pound（ｊdegｍＡＡdegＪ＋８｀ｉＫdeg゜ｊrdquoＪｊ（ｊdeg丿吻１ヽ゛１り＋８１｀lsquo１rsquordquo３１１

ｊノＪ（ム）馬（ｊ）＋８１ヽＪＭ凪ぢ（幻Ｈ（ｊ）＋８ＮＮ

二）し

ｂ

）

＝（言器いｊ４（１ｎ）Ｈ（Ｉｎ）

ＩｎＩｎｊ（ｌｎ）Ｉ＾（ｌｎ）

９７

丿Ｃｄしう

ｌＯ

Ｏ

ＩＳｏｔ

こレ

（００）

－ミ

（０ １）

Ｑ４

（０２）

ｌ ヽ

Ａ＝２０

１＝０

Ｃ０３）

゜゛嶮６ｉ叱ずーrdquo

４２図有孔共振器の励振特性

葦

ｂａ＝０５

４

ａｊ恥入う参多＝ ＵＰ

となり（４１４）（４１５）は

Ｊ

－Ａｎ

一－一一（ｌｎ）Ｈど（心）＋８ＮＫ

一一一一Ｊｊ（ふ１）叫（几）＋８ＮＬ

－－－－一犬岫簾鸞）働

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（心）几Ｊ＾（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）ａｎ

゛ぽぢ（λ）Ｈｊ（ｊ）ごｊべ（Ａｎ）ｌｌrsquo（ｉＡｎ））

しご）（４２９）

となるここでａｎ＞ｂｎはplusmn１plusmnを略記したものであるこの略記法を採用

したのは基礎方程式がｆおよび十一に関して分離しているので混乱が生

じるおそれがないためである（４２９）より（ぷ）を解いて（４－２８）

の右辺に代入すると次式を得る

Ｊｊ（ｊ）Ｈｇ（ｊ）十゛８ＮＫ｜

ＩｎＪrsquo（Ｉｎ）Ｈ（Ｉｎ）ナ８ＮＭ

与ｊ＝

｛Ｈ（ｊ）｝２（

几馬（心）Ｈ（ｊｎ）

ただし

ー一一７Ξ８Ｎ（｛を（ｊ）｝２Ｎ１１－

十｛ｉｊ（ｌ）｝rsquoＫｎ）

Ａｎ

２ｎｊ

心（ｊｌｌ）Ｈ（ｊ）＋８ＮＬ

ｊrsquo（ｌｎ）Ｈrsquo（ｌｎ）＋８ＮＮ

ｉｎＨ（Ｉｎ）叫（ｊ）

０Ｈ（１）｝２

う如６

一

ぐう

うｎｎａｂしク

Ａｎ］ＡＡｎ）］ＵＡｎ）｛Ｌｎ十Ｍ１１｝

（４３０）

（４３１）－

でありｊは（４２８）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち次式

で定義される－

angｊ一－－－－－一一－

゜（８Ｎ）２lsquo（ＫｎＮｎｎ―ＬｎdegＭ）＋８Ｎ〔Ｊど（心）町（今）ＮＩ

一一一一－－一一－ＡｎｊrsquoＡｎ）Ｂ＾（＾ｎ）Ｌｎｎ―ふＩＪｊ（ｊり）Ｈrsquo（＾ｎ）Ｍｎｎ

－２－－－

＋にＪ（勾Ｈ（飛）瓦〕

（４リ

旦＿三μｉ

となるただし

μΞ８Ｎ〔｛馬（ふ１）ｊrsquoＮｎｎ－ｊ馬（１ｎ）Ｈ＾（ｌｎ）｛Ｌｎ十Ｍ｝

９９

（４３２）

（４３３）

十｛ＡｎＵrsquoｄＡｎ））rdquoＫ〕 （４８４）

でありｊは（４８０）の左辺の２times２行列の行列式であるすなわち

ｊ三（８Ｎ）２（ＫｎｎdegＷｎｎ―ＬｎｎＭｎｎ）＋８Ｎ〔Ｊｊ（ｊ）Ｈと（恚）Ｎり

一心Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ（ｌｎ）Ｌｎｎ－ｌｎＪｊ（心）巧（心）Ｍ

十滋Ｊ（志）巧（心）Ｋ〕 （４３５）

－であるＮＮ≫１（４π）のとき行列要素Ｋｎｎ等のベキ展開式（Ａ２２８）

～（Ａ２３１）および円筒関数のＬｏｍｍｅｌの公式（２７６）により

ｊ＿Ｊバ烏）（ｌｎ）十（１－ｉ）ａμ

ｊ

一一μ

田バ志）｝－

（志）Ｈ－－

（心）十（１－ｉ）叔一

一

となる（４３６）

簡単化される

－｛Ｊバ心｝｝

（４８６）

（４８７）

（４３７）を用いると（４３３）は次式のように

一一－を（山）拘（恚）〔を（ｌｎ）Ｈバ几卜を（心）Ｈｊ（ふ１）〕

－十０１－ｉ）ｆ〔αを（心）Ｈバ几）十（ｚＪｊ（瓦）Ｈバ迅）〕＝０

－ただしｅａαは次のよう呼定義されるものである

ご毛こ（ふ十―）＝０３６９

１

ずＥム＝（ぞ）２

（４ミ３８）

（４３９）

（４４０）

（４４１）

（４８８）の第２項は第１項に比して（ｚに関して１次だけ高次である

αくＫＬであるから第２項を補正項と考えてまず第１項だけで（ｔ３８）

を几に関して解くこの解をｊかとするすなわち々Ｊま次式を満たす

ＪＥ（々－）Ｈ（－ご々）not毎（予ｊ）Ｈ（１）＝０（４４２）

ｍは上式の（ｍ＋１）番目の根を意味するこれは最低次の揖をｍ＝Ｑとす

るためである（４４２）は同軸線のＴｊＭモードのしや断波長を求りる瑞と

１００

一一

｀Ｗ

－

同じであるこれは孔のあいた共振器の開口面ＳａおよびＳｂを閉じたときに

共振器が同軸線型になっているためである特にフレネル数が大きくなると

次第に閉じた共振器のモードに近づくつまり々は１のよい近似値にな

る

（４３８）の第２項を補正項とみなしてそこではふの代りに０次近似の

々を用いると（４３８）は次式となる

〔Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバご１）一Ｊバ晋ｊ）ＨバＡｎ）〕

４rsquo（１olineｉ）ツ（そ゛ぐ回でで石十土万

ヤぷブ）

゜ｏ

（４４３）の第１項にテイラー展開を反って解を求めるここで

ム〔Ｊｊ（ｊ）１１ｊ（シ）心（シ）恥（ｊ）乙ぷこ（゛紆）

ただし

ｎＥ亙り色し

行者々ｎ）

であることを用いると求める解は

Ａｎ＝Ａpoundｍ〔１－（１十ｉ）ξπ（ｚ１十そＲ２

２゜

Ｕ

lsquoｌｚ

〕

１－Ｒ２

（４４３）

（４４４）

（４４５）

（４４６）

で与えられる（４４６）と（４１６）より波数ｋが求まりその虚数部

より光が鏡間距離Ｌだけ進行するときの回折損失すなわちｏｎｅｔｒａｎｓｉｔ

ｌｏｓｓｄｉが次式で求まる

δｄΞ１－ｌｅｉ｀り２（４４７）

δｄくぶニ１のときは（４４７）を展開して波数ｋと心の関係式（２５０）

すなわち

モード番号ｉこ関しては同軸線ではｍ＝１からはじめるがファプＩＪペロー共振器で

は慣用にしたがってｍ＝０からはじめる

１０１

－

ポ竺４ｒ＾Ｎ（―一ｎ）

を用いて次の近似式が成立する

ｆｆｄ＝－２ＬＩ（ｋ）＝２ぐπ４

－darr－一一へ７ｒ（

である（４４６）申

ｆｒrsquo２＝０５８０

１＋抑２

徊２

）

（４４８）

（４４９）

（４５０）

（４５２）

－

－

１－Ｒ２

１＋ひrsquo

ふ十占）ｆＭ４≒ムゴｉｙ

回折損失がＮoline晩に比例するのは平行平面鏡ファブリペロー共振器の特徴

である（４４６）の実数部から共振周波数を求めると

晋一ｎ＝詣〔１－radicＦ（ｉと＋１）Ｎoline１rsquo４

１＋

１－Ｒ２

となる〔〕内の第１項は側面の閉じた同軸型共振器の共振周波数であり

第２項は側面が開口であるための補正である

ここでＬｉＺｕｃｋｅｌ８）がＶａｉｎｓｔｅｉ匹理論を発展させて得た結果と比較

する（４４６）に相当する彼等の結果をここで使用している記号に書き

換えると

１十豆Ｒ２

ｊ＝々ｍ〔１十〇５８１（１十ｉ）α≒ミニ苓Ｌ〕（４５１）

であることから両者は分母と分子の違い以外は係数まで７致しているし

かも著者もＬｉＺｕｃｋｅｒもこれらの結果を出すためにぽ≪１としてティラ一

一展開を使っていることを考えるならば両者はまったく一致しているといえ

る一

次に回折損失の数値例を示す４８図は孔のフレネル数Ｎに対するｏｎｅ

ｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓＳｉを示す図ａは（ど０）モード図ｂは（ど１）豪－

ドである当然のことながら孔が大きくなるほど損失は増加するモーＪドこ番

１０２

－

rdquo

一 －

口

Ｑ

８ｄ

０１

００１

＝３０

（００）

－－－－－－（｜０）

－－一一Ｃ２０）

４３図ａ有孔共振器の回折損失

１０

８ｄ

０１

００１

４３図ｂ有ｌｔ共振器の回折損失

１０－

and

１Ｔrdquo～not

ブブ１０ヤ２ｏ

サ

ソ」

｜｜

レ

ノ

］

ダ」

丿り

rsquo－４ｉ

－一一一一一一（ｏ｜）

｜

―０Ｉ）１

ニー－１－一一一一Ｔ一一ｒnot一一

「Ｎ＝０Ａ＝２０

ト

じ～

１

｜

にレ

｜

ダグrsquo（（ｙrsquo＿＿＿＿＿＿

ｇダrsquo（

ま夕not゜oline（

＿二八＿）』二＿＿＿

－

口

－

rsquoｕ－Ｖｓ

０１

００１

４４図有ＩＬ共振器の共振周波数

１０ Ａ

Ｓ４

ｏ１

ｏ刈而rsquoｌｏ

４５図回折損失ＬｉｆＺｕｃｋｅｒとの比較

Ｎ＝９

４

－－一一一一（Ｕ）

一一一一一一一二（〇radicＯ

－－－一一－（｜０）つ

ー－一一一一一一（００）

Ａ＝２０

卜３０

andノ

and

ノ

ニ

（ニ

ｏ

－rsquoノ゛rsquo７ｊ

一一一一

ノ

ノ

ノノ

丿

二

小川

and

Primeacute

ノ

－一一－一一（０り

ー－－－－－－－（１０）

｝

（耳４５－

ダ（００）ＩＬｉ

－一一一一００）ＪＺｔｔｃｋｅｒ

号（どｍ）のｍが同じモードの損失はほ１ご等しいという結果になっている

これは数式的には（４４９）の々およびＲのどによる差が殆んどなー

いためである４４図は孔のフレネル数Ｎに対する共振周波数の変化を示

すここでも４３図と同様にやはり（どｍ）のｍが同じモードの共振周一

波数はほｙ等しい（対数グラフにプツトしたためＮの小さいところで曲

線の差が目立っているが差の絶対値は小さい）このことから有孔鏡の共

振器では（どｍ）のｍの同じモードはほｓご縮退状態にあるといえる中心

に孔があるため本来中心で振巾最大となるど＝ｏのモードの損失が孔のな

い鏡に比ぺて著しく増加してこのような結果になっているこのことは後

に示す様にそれらのモードの場の分布が角度方向の分布を除いて動径方

向には殆んど同じ分布をしていることと符合している損失に関するこの結果

は平行平面鏡配置に近い状態（鏡間距離が鏡の曲率半径に比べてかなり小さ

い鏡配置）の共振器を用いた炭酸ガスレーザの実験においてｅ＝ｏのモー

ドよりもｅ＝ｉ２のモードの方が発振しやすいという事実と一致すると考え

られるそのわけは完全に両鏡が平行の場合にpound＝０１２のモードが殆

んど同じ回折損失ならば実験の際には両鏡が完全平行状態から多少ともずれ

てお互いに傾斜しているからｅ＝ｉ２のモードの方がど＝Ｏのモードより

も損失は小さくなって発振しやすくなるからである鏡が平行状態からずれ

るとｅ＝ｉ２に比べてど＝Ｏのモードの損失が特に増加することについて

は第５章で孔のない共振器に関して述べる

４５図にはＬｉＺｕｃｋＪ）が計算機によるシミュレーションで求めた回折

損失との比較を示す（００）モードより（１０）モードの方がわずかに

損失の少い点および曲線の傾向は一致しているが値には数十パーセントの

差があるこれは（４４６）の几を求めたときにテイラー展開による近

似を行ったためである鏡のフレネル数Ｎがもっと大きくて損失の少いところ

では両者の一致はもっとよくなるはずであるしかしＬｉとＺｕｃｋｅｒのシミ

ュレーションの方法はＮが大きくなると収束が悪くなりそのために行われ

ていない

１０５

（２）共振器内部の場の分布

共振器内部の場の分布は（４１）に（４８）～（４１１）の直交関

数展開を用いて

９（ｒ）＝＝

ｉπ

－２Σｎ

ｓｉｎ（平）｛ヅり

times〔Ｊ（ｊひ｛Ｈ（ｊ）ａＪ－ｌｎＨＫｌｎ）ｂ）

－Ｈバｊdivide）｛Ｊｊ（ｊ）ｃＪ一瓦京瓦）ｄＪ｝〕 （４５８）

と表わせるここで基礎方程式（４１２）～（４１５）は角モードｆお

よび十－に関して分離しているので和はｎに関してのみとった以下では

本節の最初で行ったようにｎに関して一項のみで近似する（４５８）の

〔〕内の第２項を（４２９）によりｃｄを消去してａｎｂで表

わすと

ー

を（ｉ）Ｊ石毎（ｉ）ｄ芸｛Ｈぞ（几）ａ－ｚｌ叫（ｌｎ）ｂｎ｝（４５４）

ｊ

となるこれを（４５３）に用いると動径方向の場の分布は次式に比例す

る

－９（ｒ）こな（心シー晋Ｈバ心今）

゜ｃ〔Ｈｊ（ｙｉ）Ｊlsquorsquo（ｊシーｊpound＜ｉＡｎ）ｌり（慨Ｔｙ）〕十りうｔもとヂrsquoＪＥ（ｊ－１）

（４５５）

数値計算の際には（４５５）の第１項では４１として（４４６）を用い

ーる第２項では第１項に比べてαに関して一次高次であるかちｊとして０

次近似の（４４２）で定義されるｙ１poundｍを用いる（４＝５ト５）の第１項だけ

lsquoをとり出してＡｎ＝々とおくと同軸線のＴＭモードのＥ成分を表わす

式となる

場の分布を求める際に（４５４）（４５５）のようにまずＣｎｄ

を消去する代りにＩ３ｎｂｎを先に消去してもよいすなわち（４２８）

１０６

感

参

寸

Ｒより（４５３）の〔〕内第１項を書き換えると

Ｈｊ（ム）ａ一心Ｈ２（ｊ）ｂ＝ＩＦ｛Ｊｆ（ジｉ）ｃごｊＪ（ヌ）ｄ｝（４５６）

となるこれを用いて（４５５）と同様にして共振器内勤径方向の場の

分布を求めると

＜ｐ｛ｒ）ｏｃ今Ｊど（瓦今－Ｈpound（１シ

〔３ａ〕Ｈ

ズよ

ｉ）ａ（４５７）

－－である（４５５）と（４５７）の場の分布はＮＮrarr（ｑｃｆrarrｏ）

－の極限においては一致するがＮＮが有限の場合には両者は少しずれている

数値計算の結果では両者の振巾分布に大差はないが位相分布は鏡の端（ｒ＝

ａｂ）の付近においてかなり差があるしかし鏡の端では振巾は小さくて

ここでの位相は余り問題にならない両者の不一致の原因は（４４６）で

求めた心が近似解であるためである低次モードに関するほどふの近似が良

いため両者の場の分布もよく一致している

次に４６図にＮ＝４０１１＝０５の場合について（４５５）で求

めた共振器内部の動径方向の場の分布を示す図はａｂＩｃＩｄＩｅの順に

それぞれ（００）（０１）（０２）（１０）（２０）モー

ドであるｉｅｍ）モードのどは角方向にＣＯＳどpartで分布することを示し

ｍは動径方向（ｒ＝ｂからａ）にｍ＋１個の振巾の極大値をもつ分布である

ことを示す各モードの振巾分布は最高点の高さが１となるように規格化さ

れているまた位相分布は振巾分布の最高点で０となるように定められてい

る（４５５）で求めた４６図と（４５７）で求めた結果を比べてみ

ると振巾分布では両者の差は殆んど見分けられない４６図ではｎに関

しては１項のみをとりあげて計算したため曲線はなめらかであるが他のｎ

の項を考慮すればこの曲線を概略形としてその上にフレネル数に特有の細

かいリップルが生じた曲線となるであろうこのような他のｎを考慮する定式

化に関しては後に述べるフレネル数が増すほどリップルは小さくなりｎ

１０７

０３１０

の一項のみで場の分布の概略形はより正しくダｔ）される４６図を見て分る

ことは（００）（１０）（２０）モードの場の分布は殆んどー致

していることである一般に（どｍ）モードのｍめ同じモードは動径方向

の分布がほｙ等しい動径方向の分布に関してはどの異なるモードは本来中

心付近の分布が異なることが特徴であるが中心に孔があるためこのような結

果となっている先述したようにｍの同じモードに関しては固有値である

ｊもほ１ｒ等しいしたがってそれらのモードの違いは角方向の場の分布だけ

である

が

２０

ｏ゛

｜０

０８

０６

０４

０２

０

０５

Ｗ

０６ ０７ ０８

４６図ａ有孔共振器の場の分布

（００）モード

１０８

］

Ａ＝４０

＝０５

卜 －

ｇ Ｄ

４ ａ

１０

ａ８

ａ６

Ｑ４

ａ２

０５ ｏpound０７

ｌ

０８

４６図ｂ有子Ｌ共振器の場の分布

（０１）モード

－１４０deg

－ＩＧＯ

－１８０deg

０９１乙１０

１ががび

｜０

０８

０６

０

０５ ｏpound ０Ｔ

櫛

０８

がぱ

｀ｏ゛

０９

１０

４６図ｃ有孔共振器の場の分布

（０２）モード

ＩＶｒミ

妬４５

しノ

ここ

白土

卜 － ４

卜

－

１０

明

ａ６

ａ４

０２

０５ ０６ ０７ ０８ ０９１０

４６図ｄ有孔共振器の場の分布

（１０）キード

φ

４０rsquo

２００

｜０

０８

０６

０４

０２

０５ ０６ ０了 ０８ ０９１０

４６図ｅ有孔共振器の場の分布

（２０）モード

コ

Ａ＝４０

拓＝０５

亀

こ４０

ｙ≪＝０５

４０

２０rsquo

ｏrsquo

Ｉｌｌ

１０

０８

０６

０４

０２

０

０５１０６ ０７

０８ ａ９０

４７図ａ有子Ｌ共振器の場の分布

（００）モード

１０

ＯＢ

Ｑ６

Ｑ４

０２

０

Ｑ５ （Ｘ６ Ｑ７

岬

Ｖ 一

一 ８０

０８０９ｆａ１０

４７図ｂ有孔共振器の場の分布

（０１）モード

汐一一一一―Ａ＝２０ｊｊ屍４５ダ

Ｘandｙ

χ

oline１

ぶｊpermil

゛８ｏ

Ｖ

一一一一Ａ＝２０

rsquoａ＝０５

一一

９り

２０Ｐ

べ｀lsquoぶ

ぶ

し

～－－

場の分布のフレネル数による違いを（００）（０１）モードについ

て４７図ａｂに示すＶａ＝０５のときのＮ＝２０と８０の比較である

フレネル数Ｎによる大差はないがＮrarrｏｏとともに鏡の端（ｒ＝ａｂ）での

振巾が０に近づきやがて閉じた共振器のようになる

最後にｎに関して多くの項を考慮した場合の定式化を示すこれは孔のない４４）

共振器の自由振動の定式化と同様に行つ本節の（１）でｎに関する行列Ｋ一等

の非対角要素を無視して固有値ｊを求めたこのときのｎをｎと記して

（４２８）および（４２９）の斉次方程式を解いてａｂｏｃｄｏを

求める（斉次式であるから例えばａｏ＝１と定める）ｎヤｎｏのａｎｂｎＣ

ｄｌｌを求めるために非対角要素を考慮するすなわち（４１２）～（４１５）の

右辺をＯとおいた斉次方程式でａｎｏｂｃｄｌを既知としてＫｏ等の非対

角要素を考慮する既知の項を右辺にまわすと

を（心）Ｈバ心）ａ‐心な（心）Ｈｉ（ん）ｂ

－－－一々（為１）Ｈｊ（Å）ｃ十心京心）Ｈバｌｎ）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｋｎｎａχ１－Ｌｎｎｏｂｎｏ）

Ａｕ］poundｉＡｎ）Ｂバ瓦）ａ一Ａｉ］ｋ心）叫（志）ｂ

―几Ｊpound（ジｉぶ）叫（瓦）ｃ十志lsquoｊＪｉ（ｊｌｌ）叫（几）ｄ

＝－８Ｎ｛Ｍｎｎｏａｎ―Ｎｎｎｏｂｎｏ１≫

一々（うｉ）ＨバＡｕ）ａ十ふＩＪｆ（ｊ）Ｈ１（ｊ）ｂ

一一－－－＋を（ｊｎ）町（ｊ）ｃ一山ｊrsquoｅｉＡｎ）Ｂバｊ）ｄ

一一－＝－８Ｎ｛ＫｎｎｏＣｎ―Ｍｎｎ｛ｎ｝ｙ

＿＿＿＿

一Ａｎｊpound（Ａｎ）ｉｉｅ（ｉＡ）ａ＋山志Ｊ１（瓦）ＨバＡｎ）ｈPrimelsquo

＋瓦分（フｉ）Ｈン（ヌ）ｃ－ズＪ（ジｉ）叫（ｊ）ｄ

＿＿＿

＝－８Ｎ｛しｎｎＣｎｏ－Ｉ＾ｎｎｏｄｎｏ）

（４５８）

（４５９）

（４６０）

（４６１）

となる以上４式をａｂｃｄｎに関する４元連立一次方程式として解け

ばよいこれらを共振器内部の領域の場の分布を表わす（４５３）に用いれ

ばフレネル数に特有の細かいリップルをもった場の分布が生じる

１１２

Ｗ

Ｑ

｛３１無限長矩形平行平板共振器

ファブリペロー共振器の解析の際にしばしばとりあげられるのはもっと

も解析の容易な有限の幅をもち無限の長さをもった一次元鏡で構成される共

振器であるここでは孔のある共振器の極限の場合としてこれをとりあげ

るすなわち鏡の半径ａと孔の半径ｂの差を一定に保つたままａｂrarrｏｏ

とすると幅が（ａ一ｂ）の無限長矩形平行平板共振器となるこの解析は

烏を求める式（４べ

の漸近形を用いる漸近形を用いることは以下に示すように几rarrであ

ることから正当化される（４３８）の第１項をＯとおいた解すなわち

（４４２）の々は現在の場合には

＾poundｍａｒｎπ

一一ａ－ｂ

ｍ＝ｌ２３helliphellip （４６２）

となるこの解はぶrsquoに依存しない（４４５）のＲにはハンケル関数の漸

近形（２８４）を用いて

Ｒ三

）

一

一 （－１）rsquo

となるから心の解を表わす（４４６）はこの場合

さ哭ＭＩＣ１－（１十ｉ）ぐπ

３ｄ＝０１２９１ＮolineＭ

ａ―ｂ

具ぐ）２

－

〕

（４６３）

（４６４）

（４６６）

（４６７）

ａα

－ａ－ｂ

と書けるこれより（４１６）を使って複素周波数が求まる計算の結果と

して損失の小さいときｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδＪま

５ｄ＝０１２８４Ｎ｀ヤ（４６５）

となるこれはフレネル数の大きい場合のＶａｉｎｓｔｅｉｎの結ぜ

とよく一致しているただしこのときのＮは矩形鏡に対するフレネル数であ

って

で定義されるものである（４６５）のｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓ５ｄをフレネ

１１３

－

ル数Ｎに対して目盛ったのが４８図である

６４

０１

４８図無限長矩形平行平板共振器の回折損失

sect４４一方の鏡のみ有孔の共振器

炭酸ガスレーザ等に便われるファプリペロー共振器は通常一方の鏡

にのみ出力孔をもつ本節ではそのような一方の鏡にのみ孔のある共振器の

自由振動モードの回折損失共振周波数場の分布を求める４９図に示す

ようにｚ＝０の位置にある鏡には孔がなくｚ＝Ｌの鏡には半氏ｂの孔があ

るものとするsect４２と同じように空間を３つの領域に分けｌる領域darr

ｎはsect４２と全く同じであるが領域Ⅲがｚ＝Ｏの鏡に遮られているとシころ

１１４

１

Ｗ

－一一ｂ

ｍ＝ｏ

rsquo

へ

rsquorsquouml゛lsquorsquo９rdquooline紬へ１１０１

Ｓａ ｎ

一一

Ｉ

－

Ｉ

一 一

「１１‐‐ＩＪ‐‐

－－not十一rarrｌ

二二ｚ＝Ｏｎｚ＝Ｌ

４９図片鏡有孔ファブリペロー共振器

Ｚ

が異なるしたがって領域Ｉａの場はsect４２と同じ表現（４１）（４

２）を用いるが領域皿では第３章で用いたｚ＝０の位置にある孔のな

い鏡上でＯとなる境界条件

Ｋ（ｒ｜ｒrsquo）＝０ｚ又はが＝０（４６８）

を満たすグリーン関数Ｋ（｜ｒりを用いて

９rsquoＩ（ｒ）゜亀〔Ｋ（ｒｌｌrsquo）勺りり一匹拝旦し（ｒrsquo）〕ｄＳ（４６９）

と表わすただしsect４２におけるのと同じように領域１と皿の結合を無

視したＫ（ｒｌｒＯの具体的な形は（８１１）で与えられるすなわち自由

空間のグリーン関数Ｈ（ｒｌｗrsquo）から鏡像の方法で作られた次式で表わされるも

のである

Ｋ（ｒpartｚｘrsquoｄrsquoｚ）＝Ｈ（ｒ（ｚｌｒrsquoがｚrsquo）－Ｈ（ｒpartｚぼpartrsquo一心（４７０）

以下sect４２と同じように境界ＳとＳＩで場をなめらかに接続するすな

わち（４４）～（４７）のようにおくここではsect４２とは異なり

最初から自由減衰振動モードすなわち無励振問題を取扱うとして定式化する

したがって方程式は斉次式となるここで境界面上における直交関数系巌開

（４８）～（４１１）を用いるただし展開係数ａＪ等は本節におい

てもａ等と略記するこれは次に示すように方程式が角モードどおよび

１１５

－

＋一に関して分離しているためである境界面Ｓ上で領域Ｉｌの場の値

が等しいことすなわち（４４）より

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈバｊ）ａ－ｊＪｊ（ｊ）Ｈ２（１）ｂ－－－

－Ｊｆ（ｊ）Ｈバｊ）ｃ十志Ｊ１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）ｄ

＋８ＮΣＩｘＶｎｍＢｍＬ－ｂ｝＝０ （４７１）

を得るまた境界面Ｓで領域１１の場の法線微係数が等しいことすなわ

ち（４５）より

Ａｎ］rsquopound（Ａｎ）ｌｌpound（Ａ）ａ一ＡｉｊｋＡロ）Ｈｉ（１）ｂ

－ｊＪｊくフｉ）Ｈ１（ｊ）ｃ十心つｉｊｋＡ）Ｈ１（几）ｄ

＋８ＮΣ｛Ｍｎｍ３ｉｎＮｎｍｂｍ）＝０ （４７２）

を得る同様に境界面Ｓｂ上で領域０１１の場の値が等しいことすなわち

（４６）よりー－

一々（ｌｎ）ＨバＡｎ）ａ十九Ｊpound（九）叫（心）ｂ

一一－－一十な（心）ＨバＡｎ）ｃ＝几外（ｊ）Ｈバｌｎ）ｄ一

＋８ＮΣＩＰｎｍＣｍ―Ｑｎｄｍ｝＝０ （４７８）

を得るまた境界面Ｓｂ上で領域０Ｉの場の法線微係数が等しいことすな

わち（４７）より

－ｊＪ１（ジｉ）Ｈバｊ）ａ十ｊｊＪｉ（ｊ）Ｈ＾（１ｎ）ｂ

－一一－２－一十心な（臨）Ｈｉ（烏）ｃａ－４１（ｊ）Ｈ１（臨）ｄ

＋８ＮΣＩＲｎｍＣｍ―ｏｎｉｎｄｍ｝＝０ （４７４）

を得る（４７１）～（４７４）の基礎方程式を両鏡有孔の共振器の基礎

－－－一方程式（４１２）～（４１５）と比べるとＫらＬｇＭＮＩＩＩの代り

にそれぞれＰＱＲ－Ｓにおき代っていると宍ころだけが異なるここ

でＰｎｍＱｎｉｎ＾ｎｍ＾ｎｍは次式で定義されるものである－－

Ｐ－ΞｒＪｊ（ｊ）恥（１）Ｆ－（ｇ）ｄｇ

Ｑ一三Ｘdeg゜ｊＪｊ（ｉ）Ｈｉａ）Ｆ（Ｏｄｉｅ

Ｒ≒ｌdegぷ（rsquo゜ｊ心（ジｉ）Ｈｊ（１）Ｆ（ｃ）ｄｃ

ｓequivｒＡ＾Ｊrsquoｅ（ｙｊ）喝（ｖ１）Ｆｎｎ＞（≪）ｄＣ

ただし

ｊΞ（ｋｂ）２－Ａ２

１１６

（４－７５）

（４７６）

て４７７）

し（４－７８）

－

薦

Ｆ（ｇ）－

一

一

（－１）１１４１１｀ｓｉｎ＾ｋＬ

〔（１と）２－ａ２〕〔（で）２－ｘ２〕

三（oline１）rdquooline゛（ｋｂ）（

４Ξｓ

）

（言

）（４７９）

であるＰｍＱｎｍＲｎｍＳｎｍの行列要素はＫｎｍＬＭｍＮｎｍの行列要

素とよく似ているが大きな違いは（ｎ一ｍ）が奇数の場合にＫ一等は０と

なるのに反しＰＩＩＩ等はＯでないことであるつまり両鏡有孔の共振器では

ｎに関して偶奇性の異なる結合はないのに反し片鏡有孔の共振器では共振

一一器に対称性がないために偶奇性の異なるｎ間に結合があるＰ等はＡｎ＾ｍ

－Ｎの関数であってＫ一等と次の関係があるこれは（２３４）と（４７９）

を比較すれば容易に見出される（４２０）のようにＫ等がＡｎＡｍＮ

の関数であることを明示した表現を使うと

Ｐ－＝｝（－１）゜oline゜Ｋ－（ｊ１一瓦｝（４８０）

Ｑ－＝―（―１）Ｍｎｍ（λλ４一石）（４－８１）

Ｒ－＝今（－１）ldquoolineｌ゛い１｛ワｉｊ－｝瓦）（４８２）

ｓ自＝士（－１）１１oline１１１Ｎ（つｉｌｊ｛瓦｝（４８３）

であるｎ一一ｒｎが奇数のときは右辺のＫ一等は０となるので（４８０）

～（４８３）は成立しないがこの場合には付録２１で計算されたｎ一

ｍ＝偶数の場合我Ｋ一等がｎ―ｍ＝奇数の場合にも成立すると拡張して

（４８０）～（４ヽ８３）の右辺に用いるものとする

sect４３と同様にしてｎに関して一項のみで計算を近似する（４７１）

（４７２）をまとめて次の行列形で示す

Ｊど（ンｉｎ）ｌｌｐ｛Ａ）＋８ＮＫｌｎｊ＾（ンｌｎ）Ｈｋｌ）＋８Ｎ

ＡｎｊｋＡｎ）ｎpoundｉＡ）＋８ＮＭＩｎｊｋ心）Ｈ（ｊ）＋８Ｎ

１１７

う

｀ｈ

１７

｝Ｚ

８ｊ

０１

００１

４１０図ａ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｓ４

０１

００１ －１０Ａ

４１０図ｂ片鏡有孔共振器の回折損失

Ｎdeg２０Ａ＝３０ト

゛゛olineoline（Ｏメ）｝

タolineolineolineoline（脇）

ｌ１０可

＝２０

χ＝３０ノ

ダ

一一（０Ｌ）

－－一一一いよ）

－

匂

一

一

Ｊ＾（ｌｎ）Ｈ＾（１ｎ）こｉＪｉ（うｉ）ｌｉＡＡ）Ｃｎ（ご

Ｊ（ｊｊ｀）Ｈ＾（ｌｎ）ＡｎＡｎｊpound｛λ）叫（ふｏ

）（レ

ｄ

ｙ）

（４７３）（４７４）を次の形にまとめる

（４８４）

一－－－－－－（帽雪が二いぶｊおここに）に）

を（ワｉ）Ｈバｊ）ｊｊpoundｉＡｎ）ＵrsquopoundＣＡ）ａｎ

゛（

瓦Ｊ節ｉ）Ｈバｊ）ｊｊＪ（フｉ）叫（Å）

）（レ

ｂ

ｙ）（４８５）

Ｐ一等の行列要素とＫ等の行列要素間に（４８０）～（４８３）の関係

のあることを考慮すれば（４８４）（４８５）を両鏡に孔のある場

合に対応するsect４３の（４２８）（４２９）と比較して次のこと

がわかる一方の鏡にのみ孔のある場合の計算は両鏡に孔のある場合と比べ

ー－－てＡｎＡｎＮは不変としてたｙ孔のフレネル数Ｎの代りに１Ｎを用いれ

ばよいこれは物理的には他方の鏡に孔がないため領域皿では鏡間距離が

実質的に２倍になっていることを意味する（４８４）（４８５）をsect

４３と同様にして同じ記号を使って４に関して解くと次の結果を得る

４ぶ１か１〔１－（１十ｉ）ξπ（Ｚ

２

１＋ｖ＾ＴａＲ２

〕 （４８６）ｂ

１－Ｒ２

（４８６）を両鏡有孔の（４４６）と比較すると（４４６）の〔〕

内のぐ陥）Ｒ２が（４８６）では７倍されていることであるしたが

って一方の鏡にのみ孔のある共振器では出力口は少いのに損失は少し増

加するという結果となる（４８６）より計算したｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａ

を４１０図に示す図には鏡のフレネル数Ｎをパラメータとして孔のフ

ーレネル数Ｎに対する（ｙａの変化を示した４１０図ａは（００）（１０）

モードであり図ｂは（０１）（１１）モードである曲線の傾向は両

鏡有孔の場合の４３図と全く同じであるが損失が４３図の約１２倍とな

っている

１１９

rdquo

ｊ

にに項欠

第５章 両鏡傾斜共振器の自由振動モード

sect５１序

平行平面ファプリペロー共振器ではわずかな鏡の傾斜が回折損失を急増

加させる特に波長が短かくなればなるほど鏡の微調整は難しくなる赤色

光のＨＮガスレーザ発振器として用いた場合は鏡の縁端での変位を波長程

度以内におさえないとレーザ発振が困難だといわれているこのように赤

外および光波帯においては鏡の傾斜の影咎は避けがたいしたがって傾斜変

形に対する解析は重要な意味をもつしかし現在までに傾斜変形をとりあげ

た論文はＩ数少い平行平面型共振器に限ってみればＦｏｘＬＩＷｅｌｌｌ８）およ

びＯｇｕｒａＹｏｓｈｉｄａｌｋｅｎｏｕＳ６）rsquo４灸よる論文のみである文献２５）２８）

はいずれも干渉計理論による積分方程式の核に傾斜変形をとりいれて電子計

算機によるシし

に４３）は励振理論に基くものである以上の文献は両方の鏡が対称的に

同形に傾斜したものかあるいは一方の鏡のみ傾斜したものであるしかし現

実には両鏡は互いに無関係に傾斜する一般に両鏡の傾斜の方向は一致しない

しまた傾斜角の大きさも両鏡で異なる本章ではそのような一般的な場合

をとりあげてその自由振動モードを解析するこの解析は片鉛傾斜の場合

の自由振動を取扱った文献４３）を基礎として両鏡傾斜を取扱うしたがっ

てそこに出てくる表面積分はそのまま利用できる（付録５１）

本章の解析は次の順序で行うｉ５２では微小な傾斜変形として基礎

方程式をたてるこのとき変形項は等価励振源となる他章とは異なり傾斜

のため異なる角モード間の結合が生じるさらに次のような面倒な事情がある

文献４３）ではモード軸を傾斜方向と一致させることによってＣＯＳｇｅモ

一ドとｓｉｎどpartモードを分離できたこれに反し本章七は両鏡が異なる方向

に傾斜しているために＞ＣＯＳｊpartｓｉｎがモードを簡単に分離させることが

できないsect５８では両モードを分離させるためにはモード軸をどの方

向に選べばよいかを考えるまたモード柏をそのように定めたとき傾斜に関

しては一つの両鏡傾斜パラメータＫのみですべてが表わされることを示す

１２１

この結果として得られた斉次方程式は文献４３）の方程式で片鏡傾斜パラメ

ータを新しい両鏡傾斜パラメータＫにおきかえたものであlsquoるsect５４では

この特性行列式を解いて複素周波数を求めその虚数部より回折損失をＫ２の項

まで得る傾斜のために（００）モードの損失が特に増加し傾斜角の増加

とともにそれは（０１）（１０）モードの損失と比較的近い値となる

sect５５では両鏡傾斜パラメータＫが一方の鏡を変形していない基準系と

みなしたときの他方の鏡の変形を示すものであることおよびsect５８で得

たモード軸はその基準系よりみた最大傾斜方向を示すことを証明する

sect５２基礎方程式

本節では最終的にはファブリペロー共振器の両方の平面円板鏡が平行

状態から傾斜した場合についての自由振動の基礎方程式を得る解析は最初

は傾斜変形に限定せず鏡の一般的な変形として取り扱う本来ｚ＝Ｏおよび

Ｌの位置にある鏡をそれぞれ鏡１および２と呼ぶことにする５１図のよ

うに鏡１２は本来の位置（ｙからそれぞれａ０２の位置に変形したものと

する第２章と同様の考え方で出発する本章では自由振動を考えているので

励振源はないがそれに代って鏡面変形による項が等価励振源となって付加す

る犬

ｓごＬ

犬上

５１図変形した鏡をもつファブリペロー共振器

変形した鏡面Ｏｉ０２上で場の境界条件は

ｚ＝Ｌ

９（ＩＩ）＝０ｒlsquo７１ｆｆ上

であるとする第２章同様にｒ＝ａの仮想面Ｓで共振器を内

（５）

外副咄ける－

共振器外部の場は（２１４）で表わされるが内部の場は鏡面変心

にＪよ宍る項

ｙＩ

１２２

］レ

｀

を含ひ（２７）で与えられる変形しない面馬上で境界値０をとるグリー

ン関数ＧＣｐＩｐＯを用いると内部の場は次式で与えられる

９rsquoｉｃ〉゜石Ｇ（ｒｌｒつぢざλｄ４＋恥Ｇ（ｒｌｌ｀つｊヅシりｄ司

宍ぶ〔ＧＣｐＩｋrsquo）きｊダｊ）一怨言堺≒（ｒrsquo）〕ｄｓrsquo（５２）

｀ただし変形による境界面Ｓの変化は小さいとして無視する（５２）を第２

章の内部の場を表わす（２rsquo６）と比＾゛ると励振源による一石ｏsectsect＜Ｐｄｃｒ

の代りに石ｉＧ詰ｄdegｉ（ｉニ１２ぐ）があらわれて゛るし記がって後者は等

価励振源となる

次に境界面Ｓ上で内外部の場とそれらの法線微係数を等しいとおいて

それらを固有関数展開することにより展開係数に対する無限次元の連立一次

方程式を得る第２章と異なるところは固有関数展開の際に角方向の基準を

θ＝０にとらないで次のようにこれと角ηをなす方向にとることである

９（ａｌpartｚ） ＝＝Σｂ

叱士

part＜ｐ（ａpartｚ）１

Ｊｉ（警）｛７ンリー川 （５－３）

ぞふ３Ｊｓｉuml（）｛７ン（Prime－rdquo）｝（５４）

（５５）

partｒ

片鏡傾斜のときは傾斜の方向と角方向の基準軸を一致させればｃｏｓモードと

ｓｉｎモードをｊ離させることができたが今の場合は両鏡が傾斜しているた

めに一般的にフ７を導入する後に＞ＣＯＳＩｓｉｎモードが分離するようにη

を定めるここで

対三ふ＝紅ぷ弓詰ｄ－ｔ－ｄａら〕

ただし

ｕＪ（ｒａｚ）equivＪ（ｊシｓｉｌ（警）｛フンりーり））（５６）

のようにおくとＳ面上での連続条件より得られる方程式は（２２３）

（２２４）とまったく同形の次式となる

１２３

一一

２りＮＨｊ（ｊｌ）暗十Ｊｊ（ｊ）Ｈｊ（１）ａＪ一ｊｊpoundｉＡｎ）Ｅｉ（ｊ）ｂＪ

deg８Ｎ｛－５Ｋldquo＋十弓Ｌ９）壽｝十rsquo （５７）

２りＮ４１叫（ｊ）暗十ｊＪｉ（４）Ｈｊ（ｊ）ａ４－゛１Ｊｉ（ｊ）雌（ｊ）６４

＝８Ｎ｛－弓Ｍ－rsquoａゐ十弓Ｎrsquo＾ｎrsquopound｝

（ｎ＝ｌ２helliphellippound＝０１２helliphellip）

（５８）

上式では（５３）（５rsquo４）（５rsquo５）で４えられるｂＪ３４暗

以外はすべて第２章の記号を用いている（５５）の積分申の〔part９１partｎ〕（ｙｉ

（ｉ＝１２）は未知関数であるが次の一致条件でこれを求める（５２）

で表わされる共振器内部の場の法線微分を鏡面上で行って〔part９partｎ〕を求め

るとそれは右辺の積分中の〔part９partｎ〕と一致しなければならない

このー（ｙｉ

致条件は一一

（１に）戸rsquorsquordquoｄｎ上分rsquoなど９ｄdegrdquo２ｄｎ丿悒rsquo９ｎ

lsquo゛十ぶ怒謡吐号゛ペツ２一白洽Ｍ抑ヅ（ｓrsquo）ｄぎ（５lsquo９）

（ｉ＝１２）

である（５９）の第８項の積Ｓ中でＳ上の卵partｒ９を（５３）（５

４）の展開形に書換え更にＧ（ｒ｜ｐＯの表現式（２７）を用いて積９を行

うとrsquo第３項は＋plusmnで表わすことができるすなわち（５lsquo９）は

〔１に〕ｉrsquordquoＩｄｎ

ｐ〔－Ｉｄ１十石ブｌｊｄタ〔諮〕ｄ４

十２ｎｔ

となる以上により解くべき問題は（５７）（５８）（５１０）

を連立方程式とみなして〔part９partｎｋ〔part９partｎ〕４－＝万々４を決定する

ことである

以下に近似解法を試みる鏡の変形が波長に比して小さいノレたがって変形

１２４

４

｀

の効果が小さいと考えられるときには方程式は逐次近似法によって解くこと

ができる回折損失を求める際には異なるｎ間の結合は無視してよいと考え

られるからrsquo以下では特別の「ｌのみに注目しrsquo３ぷｂぷリ品叱ぷから「１の

記号を省略して－ｆ－＋４匈ニと記す今回折損失を求めようとしている

モードの角モード番号をｆとし一般のモードの角モード番号をｋと記すこ

のとき４ｂｉを変形のＯ次の微小量であるとしｋヤどの４ｂｔを１次の

微小量であると考える〔part９degpartｎ〕をあらわす（５１０）において１次

の項までを問題にするならば第１項第２項は１次第３項はＯ次プラス１

次の形であるしたがって第１２項の積ｇにおける〔partｇpartｎ〕として

第３項におけるＯ次の項ｋ＝どを代入するその結果として（５１０）は

次のように４ｂｔのみで表わされる

〔ｇｌλ＝等Ｊｊ恥（心－ｊ雌（ｊ）弓｝〔諮λｉ

＋等烏ミ＿皿Ｃｌ）ａｔ－ｌＨｋ（ｌ）ｂ［）〔僣≒

＋ｙよ＿｛ＨＺ（ｊ）４－ｊＨｉ（ｊ）ｂ｝

times｛石パ可ｎ幡 ｄdeg１十ゐ怒もにり恕

（ｉ＝１２） （５１１）

ただし２次以上の高次の項は無視した（５１１）の第１項は変形について

ｏ次第２３項は１次の項である（５１１）を（５５）に代入して吋

を求めるその結果を（５deg７）（５８）に用いれば４ｂｔＦに関する

連立一次方程式となる

ここで鏡の変形は両平面鏡が傾斜したものとするこの傾斜変形を円筒座標

系を用いて記述する鏡１の最大傾斜の方向はpart＝β１の方向とし鏡２のそれ

はpart＝βの方向とする鏡の中心を基準としての鏡の端における最大の変位の

波長λに対する比を各鏡の傾斜パラメータと呼ぷことにするＭｌ２の傾

斜パラメータをそれぞれＫｉＫ＞と記すすなわち鏡１は

ｚ（ｒrsquopart）゜ＫＩλをｃｏｓ（０－β１）rsquoｌ｀≦３

１２５

（５１２）

の位置にあり鏡２は

ｚ（ｒpart）＝Ｌ十Ｋλdivideｃｏｓ（part一凡）ｒ≦１１十（５１３）

の位置にある

（５１２）（５－１３）のように両鏡の傾斜の状態を与えて（５１１）

を（５５）に代入すると２つの型の積分が生じるこれらの積分の動径方向

に関する部９は片鏡傾斜の場数愉じである異なるところは前者では少し

複雑な両鏡の傾斜角を含ひ因子の組合せが生じることである積友）の詳細は付

録５１に示してここでは結果のみをとりだす

石ｉ吠盤４degｉ゛へ塵rsquo略゛ｉ

ご一

一

２ｎπ＾ａrsquoＫｉ

助助００

応レソ

Ｄｉｉｌ（ｉ＝ｌ２ρｒ＝十－）

ぷ聊脳脳

一β｀一β｀一ρ｀一β｀

紅叫吸伍

＋ｊｆｆ＋ｊdarrぞ

紅斑町取

１２６

陥弓ｉｙ

（芯｀叫ｉ

弓ｉ１７１

（石坂ｉ７

一β｀lsquoとＩ～一ぞ

れ斑町『

う

ｉ－Ｍ＋ＭＪ４－Ｉｔ

丿けトし

う

ハ八列丿

ａｂａｂ

rdquoし

う

（５１４）

（５１５）

（５１６）

ｋ＝＝ｅplusmn１（５－１７）

傅 Ｉ

Ｌ

石ｉ心（゜ｉ）石丿些器ｊタバ回よい（ｌdegｉ（呵

竺（－１）ldquoｊ竺ぺｙとＳ（ＩＦ）２ｊｉμ

（ｉｊ＝１２ρｒ＝＋－）

ただしＤｉｉｌはｋrsquo＝ｋplusmn１の時以外はＯとなりまたｊｉμはｋrsquo＝ｋｋplusmn２

の時以外はｏとなるものでその定義はそれぞれ（Ａ５６）ＣＡ５１４）

で示される

ぢを表わす（５５）の積分中に（５１１）の〔part９partｎ〕ｔｙを用いると

（５７）（５８）の基礎方程式は次の行列形に書き換えられる

４ｋ＋ｋ＋ｋ＋ｋ

騰望permil

ふ

う心弓一竺厦

Λにレレしヘ

いり叫

００匈Ｑ

００４ｃｊ

ＭＱ００

んＱ００

１ ＯａｔＥを

０

ム

心＿叫

Ｂ

うシソ

畷

Ｄｋ

し

ｂｌＧｋ＾

－

｀ｔ

會

ただし

Ξ

ｙ４

ＢＤ

ＡＣ

ぐ

ｒｆ

Ｃｌ～々

ＦＨ

ＥＧ

rsquo－

Ｊｋ（ｉ）Ｈｋ（ｌ）＋８ＮＫｊＪｋ（ｊ）Ｈ１（ｊ）＋８ＮＬＧ

ＪＩ（ｊ）Ｈｋ（１）＋８ＮＭ１２Ｊ１（１）Ｈ１（１）＋８ＮＮ

（５－１８）

ｋ＝ｅｅplusmn１

Ξ４゛lsquoＮ２り｛ＫｊｌｌｇolineＫＩＫ２（ｊｌｌｇ十ｊ２１Ｓ）十ＫｌＪａpoundｊＰ｝

｛Ｈバ１｝｝２ＡＨpoundｉＡ）ｎrsquoｉ（ｊ）times（

ｊ町（ｊ）Ｈ１（ｊ）｛ｊ叫（ｊ）｝２

）

μみｊＦ

ＨＥＧ

ぐ

几Ξｉ２がＮ り（ＫＤぶ－ＫＤrsquoμ）

（５１９）

Ｈ＾（ｌ）Ｈｋ（ｌ）

ｌＨＸｌ）Ｈｋ（ｌ）

ＩＨバＡｍrsquoｉｃｉＡ）

ＡrsquoＵpound（Ａ）ＥｉＵ

）（５deg２ｏ）

（ｋ＝どplusmn１）

（５１８）～（５２０）の左辺において簡単化のため本来各行列要素

に付すべき肩符脚符を（）の外に付した

sect５３ｃｏｓ＞ｓｉｎモードの分離

（５１６）（５１７）の４χ４の行列方程式の左辺は十－が分離

して２つの２times２行列になっているここで右辺の行列においても同様に

十一を夕）離できて２times２行列にできれば方程式は非常に簡単化される

以下に角方向の基準軸のとり方によってこの分離が可能になることを示す

これを示すために（５１９）（５２０）の右辺を具体的な形で書く

計算の便宜のため鏡１２の傾斜方向を示すβいβを

凡＝β

β＝－β

ブ（５２１）

のように選ぶこのように座標を選んでも一般性は失われない（５１９）

右辺の｛｝内はρｒの組合せにより４種類の因子となるこれらを（Ａ５

１４）を用いて書くと

Ｋｌ＾ｉpoundpound―Ｋ１Ｋ２（＾ＡｉｉｆＷ十山ｌ公）十ｋｊ２

゜ぞｓpound－ＩＩなーぽ（１）〔（１＋４１）Ｋ２＋２り｛Ｋrsquoｃｏｓ２（β一η）

１２７

－２ＫｉＫ２Ｃｏｓ２７７十Ｋｌｃｏｓ２（β十η）ｌ〕Ｈ

Ｋし１１７－ＫＩＫ（ｊｌｉ７十血石）十Ｋｌｊ万

￥ＩＩpoundひ１pound（ｊ）゛（１十partβ））ＩＫ２rsquo

（５２２）

゜７り－Ｉｌｙｆ－ｌｆ（ｊ）〔（１十り１）Ｋ２＋２４１１｛Ｋｌｃｏｓ２（β－η）

－２ＫｉＫｊｃｏｓ２Ｖ十Ｋ｜ｃｏｓ２（β十Prime）｝〕十ぞpermil１permil

（５

２３）

Ｋｊｌｌｉ－ＫＫ（ｊｌぷ十ｊ姦）十Ｋｊぶ

゛Ｋは１尨－ＫＩＫ（も尨＋４ぶ）十Ｋrsquoｊ芯

＝π２１poundｊ－ば（ｊ）partpound１〔Ｋｉｓｉｎ（β－η）十Ｋ２ｓｉｎ（β十η）〕

times〔Ｋｃｏｓ（β－η）一Ｋｃｏｓ（β十η））（５２４）

となるただしＫは両鏡傾斜パラメータで次式で定義される

Ｋ２equivＫｔ－２ＫＫ２Ｃｏｓ２β十Ｋrsquo（５２５）

り｀はグネッカーの記号である々は（２９）で与えられるようにｆ

＝Ｏのとき１ど≧１のとき２であるが本節ではこの他に便宜上ど≦－１の

とき０となることを付加する

２ど≧１

り゜

ｔ

ｌど゜０（５lsquo２６）

ｏど≦－１

（５２０）の右辺の（）内はｋρｒの組合せにより１８種類の因子とな

るこれらに（Ａ５６）を用いると（５２７）～（５い３４）のように

なる

ＫｉＤrsquoン－１－ＫＪ）劫－１＝ご（１十δｆｌ）ｌａ＿（ｌ）｛Ｋｉｃｏｓ（β一η）notＫｅｏｓ（β十η）｝４

（５２７）

ＫｉＤｉpound＾＋―ＫｉＤ≫poundpound＋ｉ＝―（１十をｏ）Ｗ１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－η）－Ｋｃｏｓ（βナη）｝

４（５２８）

ＫＩＤ公一１－ＫＪ）拓－１＝ご（７１＋６pound）Ｗ＿（ｌ）ｌＫｉｓｉｎＣβ－η）十ＫｚｓｉｎＣβ十η）｝

４（５２９）

１２８

｀－

￥

寸

ＫＩＤＩを４１olineＫＪ）２公゛１degぞ（１十δβ））Ｉpound１゛（ｌ）｛ＫｓｉｎＣβ一刀）十Ｋｊｓｉｎ（βより１

０）

ＫＩＤＩ励oline１olineＫ２Ｄ励oline１゛ぞ（１十々１）Ｉが＿（ｉ）｜Ｋｓｉｎｆβ－７１）十Ｋ２ｓｉｎ（βＪａｈｌ）

ＫＤＩＴｉを１－ＫＤ４１degぶ（７１十りrsquoｏ）ｌａ４１（ｊ）｛Ｋｌｓｉｎ（β一〇十Ｋ２ｓｉｎ（β大７７）

（５３２）

ＫｉＤｉ＾＿「ＫｚＤｚｆｆ－degで（１olineり０－ｉ「」）（ＫｉＣｏｓ（β一刀）olineＫ２ｃｏｓ（βＪａη１３）

ＫＩＤＩＴｉ１－ＫｚＤ２ｊｆｌ＝ぞ（１oline々ｏ）ｌａrsquo゛１（ｊ）｛Ｋｌｃｏｓ（β－７１）olineＫ２ｃｏｓ（β

（５３４）

（５２７）～（５３４）の左辺ＫＤぶ－ｘＩ）ぶｅ（）と（）を入

れ換えたものは等しい（ｋ＝ど士ｌＰｒ＝十－）

（５１９）（５２０）でρとｒが異符号の行列要素は（５２４）

（５２９）～（５８２）でわかるようにすべて〔Ｋｉｓｉｎ（β一フ７）十Ｋｉｓｉｎ

（β十フフ）〕の因子を含んでいるしたがってこの因子がＯとなるように角

モードの基準座標軸７７を

ＫＩ＋Ｋ２ｔａｎ７７＝pound二瓦７ｔａｎβ （５３５）

と選ぶことにするその結果はＣＯＳモードとｓｉｎモードが９離して４χ４

の行列形で表わされている基礎方程式（５１６）（５１７）は次のよう

に２times２行列形に簡約される

勺Ｂ皿

）

Ａｔ

Ｃｋ

こ）

－じ片ふにに）（ご）

こぐ尽力によ

（５３６）

ｋ＝ｆplusmn１ （５３７）

ただし＞ＣＯＳモードとｓｉｎモードに関して（５３６）（５３７）はま

ったく同形に書けるので肩符ρを省略したなお（５３５）のように７７

を選ぷと（５２２）（５２３）に含まれるＫｉＩＫ２に関する因子は

１２９

Ｋｊｃｏｓ２（β一７）―２ＫｉＫｊｃｏｓ２η十Ｋｃｏｓ２（β十η）＝Ｋ２（５３８）

となり（５２７）（５２８）（５３３）（５８４）に含まれ

る同様の因子は

｛ＫＣＯＳ（β－η）－Ｋ２ｃｏｓ（β十η）｝２＝Ｋ２ Ｎ（５８９）

となって（５３８）（５３９）はともＲ両鏡傾斜パラメータＫのみの

関数であるこの結果として（５３６）（５３７）の連立方程式は

次の唯一の点を除いて片鏡傾斜の式とまったく同じものであることがわかる

片鏡傾斜では傾斜パラメータとしてＫＩのみがあらわれていたが（Ｋ２＝０）

本章ではそのＫＩの代りにＫがおきかわっているつまり本章のＫは両鏡傾斜

の唯一の傾斜に関するパラメータとなっているご勿論Ｋ２＝ＯとすればＫ＝

ＫＩとなって片鏡傾斜の場合を含む｀

sect５４回折損失

（５３６）（５３７）に対しては片鏡傾斜の場合と同じ４３）４４）行う

のでこれについてはごく簡単に述べるにとどめる（５３７）を（５３６）

に代入してその結果が斉次式であることから係数のつくる行列式をｏとお

いてそれを整理すると次のようになる

をＨｊ＋８ＮＫｊＪｊＨ１＋８ＮＬｊ白Ｇ

Ｊ１叫＋８１ヽＪ仙ｊ涛叫＋８Ｈ

ミ）十（μＰ～ｖＰ）

（ρ＝十－）

妨にｏ

（５４０）

ただし簡単化のために円筒関数Ｊｋ（１）Ｈｋ（１）の引数１を省略したまた

μＰｖＰは次のように定義されるものである

μ士戸８π６Ｎ３Ｋ２り〔器｛Ｎｌｌ（Ｈか１）２－（Ｌ十Ｍ）ｊＨｆ－ＩＨｙｌ十Ｋ（ｊＨpound－１）２｝

timesｉｉpoundpound－ｘｕ）ｎｉ士秘１）２十包Ｓ｛Ｎ１１１吸４１｝≒Ｌ十Ｍｎ）ｌＨ＾＋ｌＨpound＋Ｉ十Ｋ（ＩＨｆ＋１）２｝

仏１

Ｘ｛Ｉが４１（ｊ）｝２（１士をｏ）２〕（複号同順）（５ム４１）

このことは最後に回折損失を求める際にＫｉＫについて自乗の頌までを考慮する

場合のことであってさらに高次のＫＩＧを考慮すればＫが唯一のパラメータではあ

りえないであろう

１３０

－

ｙ

－

Ｗ

μ＝πＩＮ２Ｋ２Ｑ〔Ｓpound－ｌｉpoundpound－rsquoｌpoundＣＡＸｌ士り１）ｌ十印１１ｌ屁キ１pound（ｊ）（１士lsquoをｏ）２〕

（複号同順）

ただし

angｊｋΞＪｋＨｗ＋８ＮＫｎｎＡｈｌｉＬ＋８ＮＬｎｎ

ｌＪｋＨｋ＋８ＮＭｙｉ＾ＪｋＨｔ－ｆ８ＮＮ

（５４２）

（５４３）

である（５４０）は次のように簡単になる

ｊ＝々十（μPrime－μ））８ＮｒＮ（Ｈパー（Ｍ十Ｌ回）ｊＨｊ叫十Ｋ（ｊ叫）２）＝ｏ（５４４）

Ｋ＝Ｏのときは第Ｌ項だけとなって鏡の傾斜のないときの回折損失を求める

文献４３）の（３１）と一致する

（ＫＮ）２の項まで正しく得られるように（５４４）の根ｊを求めるフ

レネル数Ｎが１より大であるとして（Ａ２２８）～（Ａ２３１）のＫ

ＬＭｎ＾ｎｎのベキ展開表示を用いると

れる

なり）Ｈｊ（ｊ）十ひラ＝｝び一十（μＰ―ｖＰ）｛吸（ｊ）｝

ここでξは次式で定義されるものである

にＴｙ（ふ十去）竺０３６９

２＝０ （５４５）

（５４６）

今Ｎ＞１ＫＷ＜ｇ１と考えているから（５４５）では第１項がもっとも

主要な項であるよってｊの根はベッセル関数の根１かに近い値をとるここ

で

Ａ＝ＡpoundｎＣｌ十part）（５４７）

とおいてδを求めると終局的に

part竺二号〔レ宍ぱ＝Ｍ一一ｉ（μＰ―ｖＰ）｛Ｎｊ（々）１２

Ｔマｙ｀Primeｆ＿ｌPrimersquoｊｌ゛八々゜ｎｕ－ｉど丿゛ｉ｀゛々１１１lsquo１ε゛ｌｔ々rsquoμなマμｌ

を得るｊを周波数に変換してその虚数部よりｏｎｅｔｒａｎｓｉｔｌｏｓｓδａを

求めることができるpartａとｊの関係は（３７３）に示すように

part４こoline≒Ｓｊｌｙ（５４９）

１３１

｜ ｜

で与えられる（５４８）の〔〕内の第１項は鏡が傾斜していない時の回

折損失に寄与し第２８項はＫ２Ｎ２の因子を含むことから鏡が傾斜した

時の付加の回折損失に寄与するｖＰに含まれる一部の積分を数値計算してモ

ード毎の回折損失を

δｄ＝Ａか ＋ＢｊｍＫ２Ｎ１ （５５０）

の形で与えるとＡｊＢかは第５１表のようになるｊ≒１のモードでは

ｃｏｓモードとｓｉｎモードは縮退していてｅ＝ｉのモードのみｃｏｓモードと

ｓｉｎモードが異なる損失を有するｓｉｎモードは最大傾斜の方向に節線をもち

ｃｏｓモードはこれに垂直な方向に節線をもつものである

ｍＺ０１２８

０３０１０７６４１３７２１２０４１６３１７５９９７８９９８８

１５９２５６３６９４９６１０８３００９５６１７９２７０４１５

３９０５２９７０２８８６

２０３５１０４７８０８６１１４１２３１

７２３９２３１１４１３７３０１９２０２６６０４９４０８６７１４９

５１表ＡｐｍＢかの数値

上段Ａ加下段Ｂpoundｍpound＝１では左下がｓｉｎpartモnotド

右下がＣＯＳpartモード

５２図にＫをパラメータとしてＮとpartａの関係を示す１が大きいときには

傾斜の影響をうけやすい５３図ａにはＮ＝ｌ０のときのｂにはＮ＝１００

のときのＫとδａの関係を示すＫＮの積が１に近づくと余り信頼できない

が５３図より傾斜角の増大とともに（００）モードの損失は急激に

増加して（１０）（０１）モードのそれらと比較的近い値となること

がわかる

ここで（５２５）で与えられる傾斜パラメータＫの意味を考える次節で

証明するようにＫは一方の鏡を変形していないものとしてこれを基準系に

とったときの他方の鏡の最大傾斜を与えるパラメータであるまたＣＯＳｓｉｎ

モーｙドを分離する（５８５）で与えられるモード軸はその基準系で見た

１３２

Ｗ

ヽ

口

－

最大傾斜の方向を与えるものである

言］心ｊｉ１０ １０２ Ｎ

５２図Ｋをノｔラメータとした両鏡傾斜の回折損失

（１０）モードに対しては実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

１３３

－１いＯrsquo

ＳｊいがＣＯＩ）

心

ヘ

ッ心

Ｃ００１ヽ尺゜レ５０

（ｙ２

十permil

permil

ヘ

ベ

上Ｋぺ２００

（ｙ３

ムフレｋ＝０

helliphellip５１

｛望

１０

Ｓｉ

』rsquo

一〇い

‐

｀１０

３

Ｋ

６８図ｂ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝１００

ど＝１のモードに対しては

曳線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

ｔφ

ミｔ０rsquo

５８図ａ両鏡傾斜の回折損失Ｎ＝＝１０

ど＝１のモードに対しては

実線はｓｉｎモード破線はｃｏｓモード

命

１cap

一二７oline「oline

－Ｉ（０２）

（１１）olineoline７notつノ

ｆＯＩ）ツづhelliphellip＿

（ヰ））

（１０）之

芦（ｏｏ）

Ｎ＝０

こ－２ｊｉＩ－

Ｃ０２）

（１りhelliphelliphelliphelliphellip

ＣＯりrsquo

ノ四）

り９ｊづrsquooline

づら９）

べ＝１００

ヽ

Ｗ

レト～

Ｗ－

rarr

－

Ｌ

（ａ）

－－

－ＩＩＩ』１Ｉ

ノ

－－－－

（ｂ）

５４図鏡か平行傾斜したファブリペロー共振器

この結果は５４図ａのように両鏡が同じ方向に同じ角度だけ傾斜した

場合は（ＫＩ＝Ｋ２β＝β）Ｋ＝０となって損失は増加しないことを意味する

しかしこのとき両鏡の平行性は不変であるが相向い合った両鏡の面積は減

少しているから当然回折損失は増加するものと思われるしかしこの損失

増加分は相対的に非常に小さいことを次に示す共振器として有効な鏡の面積

が両鏡の相向い合っている部分のみと考えるとこの面積は５４図ｂに示

すようにおよそπａからπａ（ａ―Ｌｒｉ）に減少するただしｒ≪ｒ２は鏡１２

rsquoの傾斜角であって現在の場合平行傾斜であるから両者は等しく

ｒｉ＝ｒ２＝Ｋｉλａ＝Ｋλａ（５５１）

の関係があるしたがってフレネル数Ｎは実質的にａ２Ｌλからａ（ａ―Ｌｒｉ）

Ｌλになったとして（５５０）の第１項は次のように変化する

δｄ＝々バａ（ａ－Ｌｒ１）Ｌλ｝oline≒

さ４１１（ａ２Ｌλ）olineＭ（１十旦随一）２ａ

＝ｊかＮlsquoＭ（１十晋ｊＰ）

ここで（５５１）を考慮した本章ではＫＮぐ（１

１３５

（５５２）

の条件は十pound満たされ

rsquooline゛へ戸上

やａrarrニノ

獄し

ているとしているからＣ５５２）の（）内の第２項で表わされる両鏡

の相向いあった面積の減少による付加損失は無視してよいこれに反してご

（５５０）の第２項の傾斜変形による付加損失ＢかＫ２Ｎolineり１は５２図５

８図に示したように第１項ＡかＮoline呪に比べて無視しえない値をとる

（５５０）ではＫよＫの自乗の項までを考慮したものであるその結果

として（５５０）はＫという単一のパラメータのみで表わされまたど

＝１のモードのみＣＯＳｆｓｉｎモードの縮退がとれたもしＫｉＫの４乗の項

までを考慮するならばｅ＝２のモードについてもＣＯＳｓｉｎモードの縮退が

とれるであろうまたパ陪メータＫ以外に鏡１２の傾斜方向を示すβ１

β２に依存する回折損失を示すかもしれないし

sect５５傾斜パラメータＫの意味

（１）Ｋは一方の鏡を基準にしたときの他方の鏡の最大変形であることの証明

次の８つの座標系を考える変形しない共振器の軸をｚ軸としてこの共振

器に固定した座標系を（ｘｙｚ）とする鏡１の鏡軸（鏡に垂直で鏡の中

心を通る線）をｚｌ軸として鏡１に固定した座標系を（ｘｈｙ≪rsquoｚｘ）とする

同様に鏡２の鏡軸をｚ軸として鏡２に固定した座標系を（ｘｙｚ）と

する鏡１の変形はその鏡軸を（ｘｙｚ）系に対して天頂角ｒｌ方

位角β１の方向やヽ回転したものとするこのとき両座標系の間には次の関係があ

るrsquo

ドトレｙ

＝

う｀ｐａ

トｙ

ＣＯＳｎｃｏｓβｌＣＯＳｒｔｓｉｎβ１

―ｓｉｎβｌｃｏｓβｌ

ｓｉｎｎｃｏｓβｌｓｉｎｒｉｓｉｎβ１

―ｓｉｎｒｉ

０

ＣＯＳｎ

うｘｙｚ

じ

う

（５５８）

同様に鏡２の変形はその鏡軸を天頂角Ｔ２ヽ方位角βの方巾｝へ回転したもの

とするこのとき両座標系の間には（５５８）で脚符１を２におきかえた

関係が成立するこの関係を逆に書くと次のようになる

＝

ｖｖＩＪノ

ｘｙｚ

Ｌドレしχ

玉単谷ミヨ）（Ｅ）１３６

争

－

Ｗ

寸

（５５４）を（５５３）に代入してｚｘを（ｘｉｙｊＺ２）系－か表わすと

ｚｉ＝（ｓｉｎｒｉＣＯＳｒｊｃｏｓ（β１－β２）－ｃｏｓＴｉｓｉｎｒ２｝ｘ２

十ｓｉｎｎｓｉｎ（βχ－β２）ｙｚ

十｛ｓｉｎＴｘｓｉｎｒｔＣＯＳ（β１－βｚ）十ＣＯＳｎＣＯＳｒ｝ｚ２（５５５）

となる（５５５）のｚの係数が鏡２を基準系とした鏡１の傾斜角の余弦

を示すこの傾斜角をｒであらわしてγ≪１と仮定する

ＣＯＳｒ＝ｓｉｎｒｉｓｉｎＴｉｃｏｓ（β１－βｚ）十ＣＯＳｒｉＣＯＳγ２（５５６）

より

戸＝ｒrsquo―２ｎｒＣＯＳ（瓦－β）十な（５５７）

を得るここで次式で

ＫΞａｒλ

ＫＩΞａγ１λ

Ｋ２Ξａγ２λ

Ｖトしuarrト丿

（５５８）

（５５７）の傾斜角を傾斜パラメータに変換すると次式を得る

Ｋ２＝Ｋ－２ＫｉＫｃｏｓ（凡－β）十Ｋ（５５９）

これは（５２５）とまったく同じ式であるしたがってＫは一方の鏡を

基準にしたときの他方の鏡の最大変形である

（２）（５３５）で与えられるモード軸は一方の鏡を基準としたときの他

方の鏡の最大傾斜方向に一致することの証明

ｚｌは鏡１の鏡軸を示す鏡２に固定した座標系（ｘ２ｙ２ｚ２）による鏡１

の鏡軸の方位角ボの正接を求めるこのがは最大傾斜方向の方位角と一致する

（５５５）のｘ２ｙの係数の比より

ｔａｎηacute＝

ｓｉｎｒ≫ＣＯＳＴｉＣＯＳ２β―ＣＯＳｎｓｉｎｒｚ（５６０）

を得るただし（５２１）のようにβ＝ββ＝－βとおいたｒｉ＜Ｔ尽て１

として（５５８）を用いると（５６０）は次式となる

rsquo―Ｋｉｓｉｎ２（５６１）

一方（５８５）で表わされるモード軸ηは（ｘｙｉｚＯの座標系で

rsquo｀１３「

ｓｉｎｎｓｉｎ２β

みると方位角βだけ回転するしたがって正接の和の公式と（５３５）を

使って鏡２を基準系としてみたモード軸の方位角の正接は

ｔａｎＣフフ十β）＝匹（５６２）

となるこれは最大傾斜方向を示す（５６１）と一致する

１３８

ｉ≫≫

争

Ｗ

鵜

para

第６章 結 論

本論文では平行円型平面鏡をもつファプリペロー共振器の励振問題を

波動方程式の境界値問題として解析したまたこれを基礎にして鏡が微小

透過率を有する場合結合孔をもつ場合両鏡が傾斜した場合の共振器の励振

問題あるいは自由振動モードを解析した以下に各章で得た成果を要約する

第２章では完全反射鏡よりなる共振器の強制励振を解析したこれは以後

の各章の解析の基礎となるものである強制励振源は一方の鏡の中心部にある

ものとした共振器を内外部にｊ３け両領域で場を適当なグリーン関数を僥

って表わした境界面で両領域の場をなめらかにつなぐことにより連立積分方

程式を得てこれを無限次元の連立一次方程式に帰着させた電子計算機を便

ってこれを解いて励振特性すなわち励振源の周波数の変化に対する開口面よ

り帽射されるパワーの変化を求めたまた共振器内部の場の分布を振幅分布

と位相分布の形で示した次に近似解析により共振曲線の形を簡単な数式

で示した最後に共振器内部の媒質の屈折率に虚数部を考えることにより

減衰および増幅のある場合の励振特性を得た

第３章では一方の鏡が微小透過率をもっているとしてこれを通して外部

より平面波を入射させて励振する問題をとりあげた第２章と同様に共振器を

内外部に分けるとともに入射波の存在する領域を別に考えた透過鏡を通

しての境界条件を考えて共振器内部の場を入射波を用いて表わした以後は

第２章と同様に境界面で場を接続して解を求めた平面波が鏡に垂直および

微小傾斜して入射する場合を取扱い励振特性および内部の場のｊＥ）布を計算し

た傾斜入射の場合は回転対称性が失われて角方向に異なる種々のモード

が励振される透過率あるいは傾斜角と励振特性の関係および場のｊ布との関

係を図示した特別の場合として励振源のない自由振動モードを取扱い共

振器の損失が回折損失と透過損失の和となる結果を得てこの理論の定式化の

正しさを確認した

第４章では片方あるいは両方の鏡の中心に結合孔を有する場合の励振問題

および自由振動問題を解析した結合孔を合ひ部１）に第３の領域を考えた共

１３９

振器内外部の場の連続性と同時に第８の領域と共振器内部の領域の場の

連続性から第２章の２倍の要素をもった無限次元の連立一次方程式を得た

この自由振動モードを求めて孔による回折損失の増加および内部の場の１）布

を計算した鏡の中心に孔を有するために角方向の分布の異なるモードが殆

んど縮退状態に近いこと力咄った

第５章では両方の円板鏡が異なる方向へ異なる角度だけ傾斜した共振器の

自由振動モードの回折損失を求めた傾斜の効果は等価的に励振源とおきかえ

ることができた傾斜の２次の項までを問題にしたとき傾斜による回折損失

の増加は１つの傾斜パラメータで議論できること力扮ったこのパラメータは

一方の鏡を傾斜していないと考えて基準にとったときの他方の鏡の傾斜の度

合を示すものであった平行鏡に比べての回折損失のｔ励口分はこの傾斜パラ

メータの自乗とフレネル数の平方根の積に比例する結果を得た

謝辞

本研究は京都大学工学部池上淳一教授の御指導の下に行なったものである

終始適切な御指導御鞭捷を下ぎった池上教授に厚く御礼申し上げますまた終

始懇切な御指導御討論を頂いた小倉講師に心から感謝致しますまた本学大学

院在学中第２章の研究に協力して頂いた巌本巌氏に御礼申し上げますさらに

研究に際し色々御助力下さった池上研究室関係者一同に御礼申し上げます

１４０

輿

蒙

Ｗ

参

古

冒

付録１１ マイクロ波ミリ波における

ファブリペロー共振器に関する実験

ミリ波を中心とする波長領域でのファプリーペロー共振器の実験が多くの研

究者により行３５）５４）６１）～７５）れら種々の実験の目的は色々あり列挙すると

ミリ波に対する高いＱの共振器を得ることレーザ共振器のモデル実験を取扱

い易い波長帯で行うことビーム導波系の基礎実験を行うこと周波数誘砲

率ガス密度プラズマ密度の測定を行うこと等である

次にこれらの実験の共振器の構造材料等について述べるミリ波領域では

球面鏡の製作が困難であることもあって平面鏡の使用が多い鏡の機能から分

けると透過性のあるものとないものになる透過性を有しないものはアルミ

板および真ちゅう板にアルミメッキまたは銀メッキしたものが使われる透過

性を有すものは大きく分けて２種類ある一つは誘電体を使うものつまり高い

誘電率の誘電体と空気を４波長厚毎に重ね合せたものである他は金属に多くの

孔をあけた板を数枚重ねたものあるいは金属棒を規則正しく並べたもので

誘導性または容量性の性質をもつ材料はアルミ仮を用いたり石英仮にアル

ミをｐｈｏｔｏｅｔｃｈしたものを用いる

反射鏡の寸法は使用波長によって色々であるが最大２ｍ程度である反射鏡

が大きくなると円型より正方形のものが多くなる反射鏡の間隔も色々である

がフレネル数は１～１００程度である少くとも一方の反射鏡は可動になっ

ている球面鏡を使用する場合でも一方の鏡は平面鏡のことが多い

゛゛ふ

半ｓＪび

赫

材料他幣雪祭足目的その他

竺竺６Ｓ）１４平面誘電体８３ホ－ソご曲線を７て瓦

Ｃｕｌｓｈａｗ６６）８７

５平面１ツｔ板rsquo６ deg３ホolineｙ１２７

Ｓｃｈｅｉｂｅ５９）９５角３００平面３２同軸線９４Ｓｔｌｔて励

Ｚｉｍｍｅｒｅｒ６８）５｀１０｀平rsquo｀olineｎ｀ちゅう４rsquoヽ召導波管間隔を変えてＱを

１０１００球（５０）一石英rsquo測定

Ｋｏｐｐｅｌdeg叩

５６１６ａ）３０角平面゛電体３２ホーフ０゛にヨ欠合讃ゐ雰鸞箔

１４１

研究者半径間隔

占

材料他幣回ぬ詰劉目的その他

ａ半径３一

Ｗｅｓｔｅ冒盾平球孔アキ銅箔４～Ｓ放物面１７０Ｑ測定

Ｐｒｉｍｉｃｈ他７１）１２１２アルミ板４ホーツ導波管罪仁尚

Ｗｅｌｌｉｎｇ他７０）１７｀平面アルミ４８７を変えてＱを

｜滝岫７２）こｏ雪な７Prime６４尚ｏこ ５

回詰鵬ｏ

ＩＣｈｅｃｃｌｌｊか７５角３００平面アルミ板８０鏡中心にアンテナ６２５７のは屋根型

rarrｒ四皿サｙＥｊ５４）１４３２４球一次元鏡３２導波管反射係数測定

１１表ファブリペロー共振器の実験関係の研究

励振方法は大別して２種類ある一つは透過性を有する反射鏡の場合でホ

ーンから出た波を一方の透過鏡を通して入射させ他方の透過鏡を通してホー

ンで出力を検知するホーンと鏡の聞にレンズを入れるものもあるホーンの

代りに放物面をおき焦点にアンテナをおくものもあるもう一つの励振方法は

鏡に孔をあけて導波管と結合するものである通常は一方の鏡を入力側として

他方の鏡を出力側とするが出力側の導波管のないものもある後者の場合入

力倶」に方向性結合器を入れて反射波を検出するまた一方の鏡に入力と出力の

両方の結合孔が存在する実験もある波長は大体２～８０聊でクラrsquoイストロン

を使うことが多い

振幅分布の測定法として次の３種類がある１つは透過鏡の場合で出力３５）６１）６２）

側の鏡の裏で測定する方法である２番目は共振器に小さな吸収体を入れて

出力の変動を測定する万ｋであるこの場合吸収体は波長より小さくまた回

折損失等に比して損失が小さいことが要求される３番目は出力側の鏡に小

さな孔をあけてその鏡を横方向に移動させて測定する刄ｋであるこの孔は

場の分布を乱さないように波長に比して小さくなければならないＱの測定

は周波数を変化させて共振の半値幅を求めて計算する

位相分布の測定はファブリペロー共振器に関してはなされていないようで＝７６）７７）

あるがマイクロ波レンズの収差測定に関してなされたものがあるこれはレ

１４２

尋

￥

４

會

para

曹

ンズを通して得た出力を入力の一部を直接とり出した基準位相と比較したも

のであるこれを用いれば共振器の鏡裏で位相分布の測定が可能と思われる

最後にファブリペロー共振器の実験に関する主な研究者とその研究内容

実験装置等を１１表に示す

１４３

付録２１ 行列要素の計算

（２３４）で定義されたＩ（ｇ）は（２８）（２３３）のｊｊ（再掲）

心＝（ｋａ）２－（旦芋）２（Ａ２１）

ｊ２＝（ｋａ）２－ａ２（Ａ２２）

を使って次のように書換えられるここで瓦２ｊ２は正のみならず負にも

なることに注意する

Ｉ（ｇ） －not－ｋａ

１ＣＯＳ（ａｎπ）

－

〔（旦芒）乙心〕〔（眉）２－ｆ〕

ただしここで次の変形を使った

砥７ｊ２＝（＝＋１４ド）（ｇ一司戸）

１－ＣＯＳ（ベヅｉぐ）

＾ｋａ－７－２－ｊ２）（ｌｊ一丿）

（Ａ２８）

ニ三４Ｎ（ｘ＝こ－ｎｒ）（Ａ３４）

上式ではｍｎは十分大きい整数でかつｍｎこ１であごるとして行列要素の

積分（２２９）～（２lsquo８２ｙに寄与するのは（Ａ２８）のｊｌｍ（ｇ）の分母が０

の付近であることを利用して近似を行ったこれはまたｘＳｋａしたがって

ｌｊ２（ｋａ）２１べ１の付近のみ積分変数に寄与していることを意味する

次に（Ａ２２）により積分変数をｇから剥こ変換する積分領域はｇとｋａの

大小関係によって２部分に分れるｃ＞ｋａの領域ではｚｌの偏角をπ２だけ変

化させると

ＡｄＡＶ（ｋａ）二

一ｙ

ｉＣ＜ｋａ

１４４

Ｙトトトしｒｉ（Ａ２５）

ゝ

１

－

｜

ｄａＡｄＡ

oline伐百脳―

ｃ＞ｋａ

］

である積分領域は前者では（Ｏｋａ）後者では（０＝）となる先述の如

くｊ２尽（ｋａ）２のみ積分に寄与するから（ｍ戸てolineｊ｀ｉΞｋａと近似でき

ｇくｋａのときの積分範囲（Ｏｋａ）は（０）としてよい（２２９）～（３３２）

の行列要素の積分申１２べ（ｋａ）２において円筒関数は（Ａ２３）で与えられる

Ｉｎｍ（≪）に比べて１に関してはるかに急激に変化するので円筒関数として

は漸次展開を用いてその振動部分を平均値におきかえてさしつかえないこ

の近似が成立するのは（Ａ２８）のｃｏｓ中に含まれる４πＮが

２１（Ｚ－＝－－一一

oline４πＮくＫ１ （Ａ２６）

の条件を満たすときであるこの結果（２２９）～（２３２）は次のようになる

Ｋｎｍ＝打謡モ＝ツ聡み－

rsquo－rsquoｎｍ

－ｒ心

ｄＡ

轟で岸回贈づ悦１

－１

Ｍrdquoニolineｉ

ＡｄＡ

１１－ＣＯＳ（ｌｊ＋ｊ２）１

フズｉ（μ＋ｐ）（記＋１２）（ｊoline百）ｄｊ

汀⑤万能十ｉ

１ｏｏｌ－ＣＯＳ｛ｌｊ｀ｊ２

７｝（池１－ｊ）（ｊ－１）

ＡｄＡ

（ｊべ）ｄｊ

１４５

（Ａ２７）

（Ａ２－８）

（Ａ２９）

ｉrsquoｎｍ―ヤ（前ず添夕ＡrsquoｄＡ

Ａ＾ｄＡ （Ａ２１０）

円筒関数は漸近展開を用いたので行列要素は次数引こ無関係であるそのた

めに行列要素Ｋpound等をＫ等と肩符どを省いて記す

ここで行列要素の計算結果の表示を簡単化するためにradic次の関数を定義する

ｓ（ｔ）

ｃ（ｔ）

－

一

一 ム ｊｓｉｎ（ｔｘりｄ｀

Ξヰｏpermilｏｓ（ｔｙ）ｄ｀

｜

（Ａ２１１）

ただしｓ（ｔ）ｃ（ｔ）はパラメータ（Ｚの関数であるが後め便宜のためにパ

ラメータｔのみを変数として示し叫まあらわに書かないでおくｓ（ｔ）ｃ（ｔ）

の微分形は次式で示される

ｓrsquo（ｔ）Ξｄｓ＿Ｔlsquopound

ｃrsquo（ｔ）三次ニｘｊＪrsquoぶｙ

ｓｉｎｔ（Ｚ２一台ｓ（ｔ）

ＣＯＳｔα２－ｊｉｃ（ｔ）

｜

（Ａ２１２）

上式の結果は部分積分によって得られる定義から明らかなようにｓ（ｔ）ｃrsquo（ｔ）

は奇関数ｃ（ｔ）ｓrsquo（ｔ）は偶関数である

ｓ（－ｔ）＝－ｓ（ｔ）ｃ（－ｔ）＝ｃ（ｔ）（Ａ２－１３）

ｓrsquo（－ｔ）＝ｓrsquo（ｔ）ｃrsquo（－ｔ）＝－ｃべｔ）（Ａ２１４）

次に（Ａ２７）～（Ａ２１０）の行列要素中に含まれる積分をｓ（ｔ）ｃ（ｔ）を用

いて表現する

ほレ次の公式が成立する

－｝４deg゜１olineｃｌｌギタｊrsquoｊ２）ｄ１ニｓ（ｉｎrsquo）－Ｃ（Ａ）叫１darr５）

１４６

ｔ

卜

會

証明次の積分公式

回二白 一斗ｊ

を用いると次の両式が成立する

（Ａ２１７）

ｏｏ｀２（ｊｊolineｊ２）ｄふぺ｝ｊ７ｊンリoline

Λ

゜２ｘrsquo（Ａ２lsquo１８）

（Ａ２１９）

両辺をｘ２に関して（０ＣＣ２）で積分すると（Ａ２１５）（Ａ２１６）を得る

（２）ｎ≒ｍのとき次の公式が成立する

１

－π

１

－π

ぷ白眉特記会＝粛と冠｛Ｄｊりゐ｝い（Ａ＾）－ｃ（ｉＡ＾）｝〕

゛（Ａ２２０）

証明ｆ（ｊｊ－μ）＝２π（ｍ－ｎ）であることを用いて左辺を部分分数

に分解し（Ａ２１５）を用いる

（３）（Ａ２２０）の左辺でｎ＝ｍのとき次の公式が成立する

ｏｏｌ－ＣＯＳ（Ｚ２几一一二爾二

ｉＡ ニldquo２｛Ｓ（μ）４lsquoＣ（心）卜｛Ｓrsquo（ン４Ｊ）－Ｃrsquo（ポ）｝

証明（Ａ２１５）の両辺をがで微分して

（４）次の公式が成立する

（Ａ２２１）

（Λ２１６）を用いる

乱ミ沢ズ冷≒河ｊ２ｄｊ＝乙≒汐rsquo昂（ぷ）－）ト荊（４）－呻｝〕

（Ａ２２２）

乱上畿当牛公

゜ldquo２ポい（ン１）＋Ｃ（ンｊ）卜い吠）－Ｃ吠）トぶ｛Ｓ（ンrsquoｌｎrsquo）－ＣＣｊ）｝

（Ａ２２３）

証明１２＝ポー（ンｊｊ－ｊ２）と書いて（Ａ２１５）（Ａ２２０）（Ａ２２１）

を用いれば得られる

１４７

１－ＣＯＳα２＾２－ｊ２）

一一（万一ぷ）２

（５）次の公式が成立する（ただしこれはフレネル積分とは関係がない）

オ皆皆欧尽ｊｄｊ十

一

一

（Ｚ２

－２

一９

Ｉタ

０

ｎｇ二ｍ

ｎ斗ｍ

１－ＣＯＳ（Ｚ２ ｉ十ｊ

ＡｄＡ

（Ａ２２４）

証明次の公式を利用するｊ

ござ旦びｙ

ｉドリ竺ツか二旦ｄｘ＝ムｓｉｎβ（ａ－ｂ）Ｃβ≧０）（Ａ２２５）

ここで（ン４１一臨）＝２π（ｍ－ｎ）であることを考慮する

以上の公式（Ａ２２０）～（Ａ２２４）を用いて（Ａ２７）～（Ａ２１０）の

行列要素rdquoｎｍ＞rsquo－rsquoロＭロＮ－を（２８６）～（２４３）のように書くことがで

きる

１４８

４

ゝ

－ －

ｉ「

申

付録２２行列要素のベキ展開

α２ｔ≪１に対してはｓ（ｔ）ｃ（ｔ）は次のように展開されるこれは定義

式（Ａ２１１）で被積分関数をベキ展開してそれを項別積分して求めら

れる

ｓ（ｔ）＝

ｃ（ｔ）＝

言贈一器づ響ｉolinehelliphellip｝

ｖ万叫１一息十拡－helliphellip｝

（Ａ２２６）

（Ａ２２７）

（ｚ２ぶ≪１の場合にrsquo上式を使って行列要素の対角要素を展開式で表わすと

Ｌｎｎ――Ｋｎｎ―ｉく

「

Ｎ＝万叫（１十ｉ）十｛ぷ（１－ｉ）十helliphellip｝

となる

１４９

（Ａ２２９）

（Ａ２３０）

（Ａ２３１）

付録３１誘電体多層膜鏡の基準面

多層膜の両端面での場とその法線微係数を脚符ｅｉをつけて表わすと－

股に

お一

一

ａ

Ｃ

１一ｂ

ドｂｄ

９ｉ

part９ｉ

゛oline瓦ｓ

と書き表わせる媒質が無損失の場合にはａ

ａｄ―ｂｃ＝１

）

ｂ

（Ａ８１）

ｃｄは実数で

（Ａ３２）

の関係があるここで対角要素が０となるように両端面をそれぞれ右へど

どだけ移動した位置に基準面をとりそこでの場を（べ）をつけて表わすそ

μｃｏｓβｓｉｎβａｂＣＯＳｒ―ｓｉｎｒ叫しし）く

ー一

糾

）（

白－

ブｙｊ）

であるただし

βΞｋｏＰ

７Ξｋｏど

（Ａ３４）

とおいすこ（Ａ８８）の右辺の行列の対角要素が０となるようにβｒを

定めることができるかどうかを調べる（１１）要素と（２２）要素をヒ

り出してそれらをＯとおくと

ａＣＯＳβＣＯＳｒ十ｂｃｏｓβｓｉｎｒ十ｃｓｉｎβＣＯＳｒ十ｄｓｉｎβｓｉｎｒ＝Ｏ（Ａ３５）

ａｓｉｎβｓｉｎｒ―ｂｓｉｎβＣＯＳｒ一ＣＣＯＳβｓｉｎｒ十ｄＣＯｓβＣＯＳｒ＝０（Ａ８６）

である両式よりｔａｎｒを消去すると次のｔ芦ｎβを決定する式となる

（ａｃ十ｂｄ）ｔａｎrsquoβ十（ａ十ｂ２－ｃ２－ｄ２）ｔａｎβ一（ａｃ十ｂｄ）＝０（Ａ８７）

この式の判別式はｏまたは正であるからｔａｎβは必ず実根を有する同様に

してｔａｎｒを決定する式は

１５０

rsquoＩ

４

４

寸

ｔrsquo

（ａｂ十ｃｄ）ｔａｎ２ｒ十（ａｌ一ｂ２十ｃ２－ｄ２）ｔａｎｒ一（ａｂ十ｃｄ）＝０（Ａ３８）

でありｔａｎｒは常に実根を有するまた逆にＣＡ３７）（Ａ３８）

を満たすｔａｎβｔａｎｒの適当な組合せは（Ａ３５）（Ａ３６）を満た

すことは容易に判るから対角要素をＯとするように基準面を定めることは常

に可能であるすなわち常に

しぐ

＝

Ｏｂ

－１ｂ０

う良Ｎrsquo

－rsquoＵ

～

（Ａ３９）

を成立させることができるここで無損失条件（Ａ３２）を用いたしたが

って（３３）（３４）の透過鏡の境界条件は鏡面を少し仮想的にず

らした位置を基準とすることにより常に成立している

１５１

付録３２積分１

が゛ｅ｛ｐ（ｉｚＣＯＳpart）ＣＯＳＩ０ｄpart＝２πｉｊＪｊ（ｚ）（Ａ３１０）

イ２゛ｅｘｐ（ｉｚｃｏｓpart）ｓｉｎｆpartｄpart＝０（Ａ３１１）

Ｑバ（ｚβdivide）

苧ふ複（βdivide）がＪバβ昔）Ｊバｃｇ万一）ｒrsquoｄｒrsquo

ナふＪｆ（βdivide）ぷＨＩ（β万）を（（ｚ子）ｆｄｒrsquo

ニｉノフ〔divideβＪｊ（そ）｛ＨＥ（βdivide）Ｊ（βシーな（βdivide）叫（βご）｝

十な（βdivide）｛β叫（β）を（α）－α叫（β）Ｊｉ（α）｝）

゛とし（Ｊバβdivide）｛β琲（β）Ｊ゛（（りＴ（゛叫（β）が）｝oline琴を（（ｇdivide）〕

（Ａ８１２）

ただし２行目から３行目の変形の際に次の不定積分を便った

｀を（（ｚｘ）Ｈpound（βｘ）ｘｄｘ

ニ訊き〔ｊＪａｌ（αｘ）Ｈバβｘ）－βＪｊ（（ｚｘ）恥４（βｘ）〕（Ａ８１３）

１５２

rsquo－夕

－４

Ｗ

曹

ら

Ｗ

曹

付録３３－積分２

り（（Ｚβ）の定義式（３５６）にしたがって次の積分を書換える

Ｉequivぷ゜Ｐぞ（（ｚヽβ）Ｐバａｒ｝ｃｃｄａ

＝かＪｌ（α゛）Ｊｊ（β功ｘｄdegｃが与（（ｚｙ）与（ｒｙ）ｙｄｙｏｃｄｃｃ（Ａ３１４）

ここで積分の順序を変更して次の関係を利用すると

ぐ゜を（（ＺＸ）を（ｏＣｙ）ｏＣｄｏｆ＝―しこ二幻

次の結果を得る

Ｉ＝Ｐｊ（βＴ）

１５３

（Ａ３１５）

（Ａ３１６）

付録３４積分３

ＩΞｙ７Ｐｊ（ｃｃｒ）Ｑｊ（（Ｚヽβヽｚ）ａｄｏｊ （Ａ３１７）

言言にごごにごニダrsquo２イ゛ldquo９定ldquo（８５６）

Ｉ゛ぐrsquoｊ＾（ｏｆｘ）Ｊ＾（ｒｘ）ｘｄｘでなじｌｔｌ路｝二Ｊｊ（ldquoｙ）ｙ（ｌｙdegｏＣｄｃＣ

＝か回喘仁政に卜

ΞＱｅ＜＜Ｔり）（Ａ３１８）

ただし上式の変形において積分の順序を変更して（Ａ３１５）を利用

した

１５４

４

－

ｆ

Ｈｊ

ｌ

付録５１ 積分４

山（５１４）の積分の証明

鏡の変形が波長に比べて小さいとき（５６）で定義されるｕに関して

次の近似式が成立する

〔プ〕＝－〔プ〕（Ａ５１）

〔ｕｊｌ〕＝Ｚｉ（ｒＩ）〔早〕（７１ partＺ－rsquoｚコ０

（Ａ５２）

ｚｊ（ｒpart）は（５１２）で与えられる鏡１の傾斜変形を表わす式である

（Ａ５１）（Ａ５２）を使うと求める積分は

づ〕二〔崇ご２１（６Prime）「ｄｒｄＯ（Ａ５３）

となる同様にして鏡２の変形による積分は鏡２の傾斜を表わす（５１３）

を含ひ次の形に書ける

４ｕＣ壁ｄｉ＝（－１Ｊ旦宍戸ｈ

と書ける卜だし

ＤｉＳdegpartsect（βｉ）Ｉｋｋ（ｊ）

partこ（βｉ）Ξ

Ｄ忍（ｉ一

一 １２）（Ａ５５）

（Ａ５６）

ぐ｛ｉｎにり）｝｛７ン（ｈり）｝ｃｏｓ（rdquo－βｉ）ｄlsquorsquo（Ａ５７）

（Ａ５７）でρ＝十ますこは一はそれぞれ積分申の最初の【ｌ内のＣＯＳ

またはｓｉｎを採用することに対応しｉは同様に最後の１】内のそれらに対

１５５

応する（Ａ５７）の具体的な形は

partご（βｉ）＝divideＣＯＳ（β－７）｛５ｋ＿ｋrsquo十partし１－１十５ｋ４ｋい｝

part（βｉ）＝号ｃｏｓ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｔ１十δｌ＿１－１―５ｋ＋ｋい｝

（Ａ５８）

part乱（βｉ）＝号ｓｉｎ（βｉ－η）｛５ｋ＿ｋ１－partｋ一町－１十partｂｋい｝

partご（βｉ）＝divideｓｉｎ（βｉ－η）｛一気－ｙ丿十気二Ｆ１十Ｓｋ＋ｋrsquoｉ）

であるpartｋｙはクロネッカーの記号であるｋrsquo叫ｋplusmn１ならば（Ａ５８）

はすべて０であるまた

ｌｋｋ（１）＝ｌｋｋ（ｊ）ΞぶＪｋ（ｌｘ）Ｊｋ（ｌｘ）ｘ２ｄｘ（Ａ５９）

であってど＝ｋ＋１のときこれは次のように積分できる

ｌｋｋ１（ｊ）＝ム（ｋ｛Ｊｋ（ｊ）｝２一（ｋ＋１）Ｊｋ－１（り）Ｊｌｎ（ｊ））（Ａ５１０）

（２）（５１５）の積分の証明

（Ａ５１）（Ａ５２）の近似式およびグリーン関数に関する次の近似

式

partＧ（ら１吋）

partｎ

rdquo－一

一

part２Ｇ（（７１４）

partＺｚ（ｒrsquopartrsquo）

を用いると与えられた積分は次のように変形できる

ｄｃｉｄ吋

０

（Ａ５１１）

ｚｉ（ｒりrsquo）ぶｄｇ（Ａ５べ１２）

同様にｙの面上における積分はＺ２（ｒpart）を用いて変形できｊるこれらの

積分は計算の結果次のようになる

１５６

Ｊ

ｆ

－－

ｔ

ｆ

ゐｉｌｊｆ（lsquorsquo１）ゐｊＪべこ上poundｊ）＿ｄｕじ鉛

（ｌdegｉ祠

＝（－１）ldquoｊpoundそＫｉＫｊｎｊ１ＰＴＣｉｊ＝ｌ２）ＣＡ５lsquo１３）

ただし

ｊｉぶ＝２poundｋ〔part以（βｉ）゛ベン（βｊ）十な（βｉ）rsquoPrimeふ（βｊ）〕ｌｊｋざ（ｊ）（Ａ５deg１４）

partμ（β）は（Ａ５８）で与えられるものでｋヤｆplusmn１のときはｏであるか

ら（Ａ５１４）はど＝poundｆplusmn２のときのみＯでない値をとる角モード

番号が２以上異なるものは考慮しないからpoundrsquo＝ｉのみを考えればよい

ｌｊｋざ（ｊ）は次式で定義される

Ｉ～（ｊ）べ１｀ｙＪ゛（ldquo）疆Ｚ閤ぶ副うバ゛）゛（ｌイご

１５）

ど＝ざのとき上の積分の実数部は（Ａ５９）のｊpoundｋＵ）を使って

Ｒ〔ｌpoundｋpound（ｊ）〕ニ｛ｌｊｋ（１）｝２（Ａ５１６）

となる虚数部は次のように書換えられる

ｌｉ１（ｌｊｋバｊ）〕＝Ｊぞｋ（１）

Ξ２ぶｘ＾ｄｘＪｊ（ｌｘ）Ｎ１（ｊｘ）がＪｋ（＾ｙ）ｊpound（Ａｙ）ｙＭｙ（Ａ５１７）

ｋ＝ごplusmn１のみを考慮すればよいこのとき次のように一重積分となる

ＪがＵ）＝ｉ－イ１｛Ｊｊ（ｊ｀）｝３Ｎか（Ａｘ）ｘｄｘ

－

（ど＋１）でＪか１（ｊｘ）を（ｊｘ）ＪかＩ（ｌｘ）Ｎ＾＋ｉ（ｌｘ）ｘlsquoｄｘＣＡ５１８）

（Ａ５１９）

１

ｉｅｅ－（）＝―ヅ之ｊ｛Ｊぞ－１（ｊｘ）｝２Ｊｆ（ｊｘ）Ｎかｉ（ｌｘ）ｘｄｘ

－ｌｊＩＪか２（ｊｘ）｛Ｊｊ（ｊｘ）｝rsquoＮｆ－１（ｊｘ）ｘlsquoｄｘ

－

（Ａ５１８）ＣＡＲ１９）の積分は必要なｊの値に対して数値積分

を行って求めた

１Ｓ８

Ｊ

ｆ

ｔ

奮

参考 文献

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７）ＧＤＢｏｙｄＪＰＧｏｒｄｏｎＣｏｎｆｏｃａｌＨｕｌｔｉｒａｏｄｅＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒｔｈｒｏｕｇｈ（ｐｔｉｃａｌＶａｖｅｌｅｎｇｔｈＩｆａｓｅｒｓＢｅｌＬｏｙｓｔＴｅｃｈＪ４０（１９６１）４８９

８）ＳＲＢａｒｏｎｅＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａＢｅｒＪＡｐｐｌＰｈｙｓ３４（１９６３）８３１

９）ＤＳｌｅｐｉａｎＰｒｏｌａｔｅＳｐｈｅｒｏｉｄａｌＷａｖｅＦｕｎｃｔｉｏｎｓＦｏｕｒｉｅｒＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＵｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ一エＶＢｅｌｌＳｙｓｔＴｅｃｈＪ３（１９６４）３００９

１０）ＷＳｔｒｅｉｆｅｒＨＧａｍｏＯｎｔｈｅＩＪｃｈｍｉｄｔＥｘｐａｎｓｉｏｎｆｏｒＯｐｔｉｃａｌ

ＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓrdquoＱｕａｓｉ－Ｏｐｔｉｃｓrdquoｓｙｍｐｏｓｉｕｍｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ＿１＾Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃｐｒｅｓｓ（１９６４）３５１

１１）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＨＳｃｈａｃｈｔｏｒＲｅｓｏｎａｎｔＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒＣａｖｉｔｉｅｓ工Ｐｌａｎｅ－ＰａｒａｌｌｅｌＥｎｄＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＪＯｐｔＳｏｃＡｍｅｒ２（１９６４）８８７

１２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＨＳｃｈａｃｈｔｅｒＲｅｓｏｎａｎｔＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃＯａｖｉｔｉｅｓｏｆＳｍａｌｌＦｒｅｓｎｅｌＮｕｍｂｅｒｓＪＯｐｔ３ｏｃ血ｅｒＺ（１９６５）１２２６

１３）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＥＭａｒｏｍＡｎｇｕｌａｒＳｐｅｃｔｒａｏｆＯｐｔｉｃＣａｖｉｔｉｅｓＪＯｐｔＳｏｃＡｍｅｒ５６（１９６６）１６

１４）ＧＧｏｕｂａｕＦＳｃｈｗｅｒｉｎｇＯｎｔｈｅＧｕｉｄｅｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎ昭ｎｅｔｉｃＷａｖｅＢｅａｍｓＩＲＥＴｒａｎｓrsquoＡＰ－９（ｌ９６ｌ）２４Ｓ

１５９

１５）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎ

－ＪＥＴＰ１７（１９６５）

ＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓ

７０９ｆｏｒＬａｓｅｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓｉｃｓ

１６）ＨＯｇｕｒｎＹＹｏｓｈｉｄａＣａｖｉｔｙＴｈｅｏｒｙｏｆＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒみｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓユ（１９６４）５４６

１７）池上小倉古田ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の空胴理論幅射科学研究

会資料（１９６４年５月）

１８）ＨＲｉｓｋｅｎＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆＬａｓｅｒＭｏｄｅｓｉｎａｎＡｃｔｉｖｅＰｅｒｏ七－Ｆａｂｒｙ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（１９６４）１５０

１９）Ｇ０ｏｍｓＴｈｅＭｏｄｅｓｏｆａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰ１皿ｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｒｒｏｒｓＡｐｐｌＳｃｉＲｅｓ（１９６８）１９８

２０）Ｇ０ｏｍｓＯｎｔｈｅＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃＴｈｅｏｒｉｅｏｆｔｈｅＭｏｄｅｓｏｆ

ａｎＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＰｌａｎｅＣｉｒｃｕｌａｒＭｉｒｒｏｒｓＯｐｔＬｋ２ヱ（１９６８）４２６

２１） ＶＤＧｌｏｇｅＢｅｒｅｃｈｎｖｍｇｖｏｎＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｌａｓ≪ｒ－Ｒｅｓｏｎａｔｏｒｅｎ

皿ｉｔＳｔｒｅｕｍａｔｒｉｚｅｎＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒａｇｕｎｇ１８（１９６４）１９７oline

２２）ｙＤＧｌｏｇｅＥｉｎａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓＶｅｒｆａｈｒｅｎｚｕｒＢｅｒｅｃｈｎｕｎｇ町）ｔｉｓｃｈｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｅｎｕｎｄｐｅｒｉｏｄｉｓｃｈｅｒＬｉｎｓｅｓｙｓｔｅｍｅＡｒｃｈｉｖｄｅｒＥｌｅｋｔｒｉｓｃｈｅｎＵｂｅｒｔｒ昭ｕｎｇ２２（１９６５）１３

２３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＹＦｕｒｕｈａｍａＪ工ｋｅｎｏｕｅＳｌｉｇｈｔ

ＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｃａｌＰａｔｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ５（１９６６）２２５

２４）池上小倉古田古浜茜簾点ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の微小変形

幅射科学研究会資料（１９６５年７月）

２５）ＡＧＦｏｘＴＬｉＭｏｄｅｓｉｎａＭａｓｅｒでＩｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｗｉｔｈＣｕｒｖｅｄａｎｄＴｉｌｔｅｄＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃ工ＥＥＥ５１（１９６３）８０

２６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪＤｃｅｎｏｕｅＴｈｅｏｒｙｏｆＸ）ｅｆｏｒｍｅｄ

ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６５）５９８

２７）池上小倉吉田Ｓ変形したＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の理論幅射科学

研究会資料（１９６４年１１月）

２８）ＷＨＷｅｌｌｓＭｏｄｅｓｏｆａＴｉｌｔｅｄ－ＭｒｒｏｒＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｆｏｒｔｈｅ工ｎｆｒａｒｅｄＸ＜ＥＥ≪ＥＪｏｕｒｏｆｑＥ２（１９６６）９４

１６０

Ｊ

rsquo －

φ

Ｓ

１

２９）ＡＧＰｏｘ「ｒＬｉＥｆｆｅｃｔｏｆＧａｉｎＳａｔｕｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅＯｓｉｌｌａｔｉｎｇ

ＭｏｄｅｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＭａｓｅｒｓ工Ｂ≪poundｉＥ＞ＪｏｕｒｏｆＱＥＺ（１９６６）７７４

３０）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｂｙＰｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｗｉｔｈ工ｍｐｅｄａｎｃｅＤｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｔｔｈｅＥｄｇｅｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（ｌ９６６）８０７

３１）ＡＴＦｉａｌｋｏｖｓｋｉｉＣｏｕｐｌｅｄＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ－ＣｏｕｐｌｅｄＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｗｉｔｈＦｌａｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ１１（１９６６）８１３

３２）ＬＢｅｒｇｓｔｅｉｎＴＨＺａｃｈｏｓＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｓｉｎＵｎｉａχｉａｌｌｙＡｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃＭｅｄｉａＩＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ２（１９６６）印１oline

３３）末松一軸性結晶を含ひファブリペロー共振器電子通信学会量子

エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６９年１０月）

３４）ＬＡＶａｉｎｓｈｔｅｉｎＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＳｏｖｉｅｔＰｈｙｓ－ＴｅｃｈＰｈｙｓ９（１９６５）１１９７

３５）ＧＫｏｐｐｅｌｍａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｚｕｎｄＥｉｇｅｎｗｅｌｌｅｎｉｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＺＰｈｙｓユ（Ｌ９６５）２２０

３６）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＩ工ｗａｍｏｔｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工ＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２２（１９６７）１４２１

３７）池上小倉吉田巌本ＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の励振理論－Ｉ轜

射科学研究会資料（１９６６年５月）

３８）池上小倉吉田巌本＝ファブリペロー共振器の励振理論電気

通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年７月）

３９）池上小倉吉田巌本ｔファブリペロー共振器の励振理論昭４１

電気通信学会全国大会Ｎａ５１１

４０）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒ工工工Ｗａｖｅ工ｎｃｉｄｅｎｃｅｔｈｒｏｕｇｈＳｅｎｉｉ－Ｔｒａｎｓｐａｒｅｎｔ

ＭｉｒｒｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）１５１３

４１）古田小倉池上ファブリペロー共振器の励振理趣３）一半透鏡

を通しての外部励振電子通信学会量子エレクトロニクス研究会資料Ｃ１９６８年２月）

１６１

４２）吉田小倉池上＝半透反射鏡を通してのファブリペロー共振器

励振昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２９

４３）ＨＯｇｕｒａＹＹｏｓｈｉｄａＪ工ｋｅｎｏｕｅＥχｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＰａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩ工ＦｒｅｅＯｓｃｉｌｌａｔｉｏｎＪＰｈｙｓＳｏｃＪａｐａｎ２旦（１９６７）１４３４

４４）池上小倉吉田ファブリペロー共振器の励振理論（２）自由振鄙

電気通信学会量子エレクトロニクス研究会資料（１９６６年９月）

４５）ＹＹｏｓｈｉｄａＨＯｇｕｒａｒ

ＳｌｉｇｈｔｌｙＴｉｌｔｅｄＭｒｒｏｒｓ工ｋｅｎｏｕｅＦａｂｉｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）２８５

４６）吉田小倉池上変形したファブリペロー共振器（有孔鏡の場合

と両鏡傾斜の場合）幅射料学研究会資料（１９６８年９月）

４７）吉田小倉池上両鏡の傾斜したファブリペロー共振器の回折損

失昭４３電子通信学会全国大会ｉ包５５０

４８）吉田小倉池上二孔のあいたファブリペロー共振器昭４３電気

四学会連合大会Ｎａ１３６０

４９）ＡＧＦｏχＴＬｉＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒＭｏｄｅｓ

ｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＲｅｓｏｎａｎｃｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎ工ＥＥＥＪｏｕｒｏｆＱＥ４（１９６８）４６０

５０）ＲＹａｍａｄａＹＳｕｇｉｏｚＴｈｅＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆＦａｂｒｙ－］ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓヱ（１９６８）３０４

５１）古浜Ｚ共焦点ファブリペロー共振器の励振理論（平面波による強

制励振の場合電子通信学会マイクロ波研究会資料（１９６８年１１月）

５２）やｍａｄａＭＫａｗａｎｏＥｘｃｉｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｐｈｅｒｉｃａｌＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＪ町）ａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓ旦（１９６９）６５０

５３）榎戸鈴木Ｓ異方性媒質を満たしたＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器電子通

信学会マイクロ波研究会資料（１９６７年９月）

５４）榎戸鈴木松本上村＝無限長だ円筒状反射鏡よりなるファブリ

＾゛ロー共振器の入力アドミタンス電子通信学会萌文誌ご旦一Ｂ（１９６８）９５

１６２

rdquoｆ

｀噛

あｌｙ

５５）赤尾宮崎＝開放型共振器の導波管の結合理論（入力イッピーダ

ンスについて）昭４２電子通信学会全国大会Ｎａ５２８

５６）宮崎赤尾曲面からなるＦａｂｒｙＰｅｒｏｔ共振器の固有電磁界と励

振特性昭４４電気四学会全国大会Ｎａ１５１５

５７）ＲＹａｍａｄａＯｎｔｈｅＰｌａｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏ七工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＪａｐａｎＪＡｐｐｌＰｈｙｓｉ（１９６７）９０４

５８）ＨＬｅｖｉｎｅＪＳｃｈｗｉｎｇｅｒＯｎｔｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｂｙ

ａｎＡｐｅｒｔｕｒｅｉｎａｎ工ｎｆｉｎｉｔｅＰｌａｎｅＳｃｒｅｅｎ工ＰｈｙｓＲｅｖヱ１（１９４Ｓ）９５８

５９）ＥＨＳｃｈｅｉｂｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓｏｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＦｏｒｍｅｄｆｒｏｍ

ＣｉｒｃｕＬａｒＰｌａｎｅａｎｄＣｏｎｆｏｃａｌＰａｒａｂｏｌｏｉｄａｌＭｉｒｒｏｒｓＰｒｏｃエＲＥ４９（１９６１）１０７９

６０）森口宇田川一松数学公式１岩波書店（１９５３）

６ｌ）ＧＫｏＴ）ｐｅｌｍａｎｎＥｉｎＩＧ－ｋｒｏｗｅｌｌｅｎ－Ｐｅｒｏｔ－Ｆａｂｒｊ－丿一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ａｌｓＭｏｄｅｌｌｆ迂ｒｄｅｎＬａｓｅｒ－ＲｅｓｏｎａｔｏｒＺＰｈｙｓユヱｌ（１９６３）２４１

６２）ＧＫｏｐｐｅｌｒａａｎｎＭｅｈｒｓｔｒａｈｌｉｎｔｅｒｆｅｒｅｚｕｎｄＢｅｕｇｕｎｇｉｎ

ａｂｇｅｂｌｅｎｄｅｔｅｎＰａｒａｌｌｅｌｓｐｉｅｇｅｌ－エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｍＺＰｈｙｓ２（１９６６）４４

６３）ＦＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦｎｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ一エｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｉｍＭｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅｔ工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒｄｅｎ

ＶｏｒａｕｓｓｅｔｚｕｎｇｅｎｄｅｒＯｐｔｉｋＺＰｈｙｓユヱｉ（１９６４）２４４

６４）ｐＷｅｓｔｅｒｍａｎｎＭａｉｅｒＤａｓＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ－Ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ

ｉｍＭｉｋｒｏｗｅｌｌｅｎｇｅｂｉｅ七工工ＥｉｎｅＤｉｓｋｕｓｓｉｏｎｕｎｔｅｒＢｅｒｕｃｋ－ｓｉｃｈｔｉｇｕｎｇｖｏｎＢｅｕｆｆｉｕｉｆｆｓｅｆｆｅｃｔｅｎＺＰｈｙｓユヱ１（１９６４）５０７

６５）ＷＣｕｌｓｈａｗＲｅｆｌｅｃｔｏｒｓｆｏｒａＭｉｃｒｏｗａｖｅＦａｂｒ３rsquorsquo－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒ－ｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工Ｋpound］Ｔｒａｎｓ町Ｔヱ（９６０）２２１

６６）ＷＣｕｌｓｈａｗＨｉｇｈＲｅｓｏｌｕｔｉｏｎＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒＷａｖｅＰａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｈｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒ工ＲＥトＴｒａｓＩ－ＩＴＴ旦（１９６１）１８２

６７）ＲＵｌｒｉｃｈＫＦＲｅｎｋＬＧｅｎｚｅｌＴｉｍａｂｌｅＳｕｂｎｉｌｌｉｍｅｔｅｒ

工ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅＦａｂｒｙＰｅｒｏｔＴｙｐｅ工ＥＥＳＴｒａｎｓＭＴＴ１１（１９６４）３６３

１６３

６８）ＲＺｉｍｍｅｒｅｒrdquoＳｐｈｅｒｉｃａｌｒ－ＩｉｒｒｏｒＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒＩＥＥＥＴｒ皿ｓＭＴＴ１１（１９６４）３７１

６９）ＭＬｉｃｈｔｅｎｓｔｅｉｎＪＪＧａｌｌａｇｈｅｒＲＥＣｕｐｐＭｌｌｉｒａｅｔｅｒＳｐｅｃｔｒｏｍｅｔｅｒＵｓｉｎａＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ工ｎｔｅｒｆｅｒｏｎｅｔｅｒＲｅｖＳｃｉエｎｓｔｒ趾（１９６３

ｙ８４３

７０）ＨＷｅｌｌｉｎｇＨ（ＩＡｎｄｒｅｓｅｎＤｅｓｉｇｎＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ

ｏｆＭｉｌｌｉｍｅｔｅｒ－ＷａｖｅＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｆｌｅｃｔｏｒＰｌａｔｅｓ工Ｅｉａｒ］ｔＫＴｒａｎｓ回Ｔ１２（１９６５）２４９

７１）Ｒ工ＰｒｉｍｉｃｈＲＡＨａｙａｍｉＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＦｏｃｕｓｓｅｄ

Ｆａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＲｅｓｏｎａｔｏｒｔｏＰｌａｓｍａＤｉａｇｎｏｓｔｉｃｓ工ＺｌｍｈｉｍＳｈｍＴｒａｎｓＭＴＴ２２（１９６５）５３

７２）滝山繁沢５０Ｇｃ帯共焦点共振器内の電磁界分布の測定幅射科

学研究会資料（１９６５年５月）

７５）Ｊ≪ＷＤｅｅｓＡＰＳｈｅｐｐａΓｄＦａｂｒｙ－Ｐｅｒｏｔ］ｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓ

ａｔ１６８Ｇｃｓ工Ｅ＞Ｅ＞ＥａＴｒａｎｓ工Ｍユ（１９６５）５２

７４）ＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＰｐＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｉｃｒｏｗａｖｅＭｏｄｅｌｓｏｆＯｐｔｉｃａｌＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ１（９６５）１５２９

７５）ＰＦＣｈｅｃｃａｃｃｉＡＣｏｎｓｏｒｔｉｎｉＡＭＳｃｈｅｇｇｉＭｏｄｅｓＰｈａｓｅＳｈｉｆｔｓａｎｄＬｏｓｓｅｓｏｆＰｌａｔ－ＲｏｏｆＯｐｅｎＲｅｓｏｎａｔｏｒｓＡｐｐｌ０ｐｔ５（１９６６）１５６７

７６）ＧＷＰａｍｅｌｌＣａｎＪＰｈｙｓ（ｌ９５８）９３５

７７）ＹＦＬｕｍＴＪＦＰａｖｌａｓｅｋＴｈｅＩｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆＡｂｅｒｒａｔｉｏｎｓａｎｄＡｐｅｒｔｕｒｅＩｎｃｌｉｎａｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅＰｈａｓｅａｎｄ工ｎｔｅｎｓｉｔｙｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｎｔｈｅ工ｍａｇｅＲｅｇｉｏｎｏｆａＬｅｎｓ工ＥＥＥparaＰｒａｎｓＡＰ（１９６４）７１７ぶ

７８） paraｒＬｉＨＺｕｃｋｅｒＭｏｄｅｓｏｆａＦａｂｒｙ－ＰｅｒｏｔＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｈＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｘｉｇＡｐｅｒ七ｕｒｅｓＪＯｐｔＳｏｃ八ｍｅｒ＾５７（１９６７）９８４

７９）ＤＥＭｃＣｕｍｂｅｒＥｉｇｅｎｍｏｄｅｓｏｆａＳｙｍｍｅｔｒｉｃＣｙ］ＬｉｎｄｒｉｃａｌＣｏｎ－ｆｏｃａｌＬａｓｅｒＲｅｓｏｎａｔｏｒａｎｄＴｈｅｉｒＰｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｉ＾ｙンＯｕｔｐｕｔ－ＣｏｕｐｌｉｎｇＡｐｅｒｔｕｒｅｓＢｅｌｌＳｙｓｔ－ＴｅｃｈＪ趾（１９６５）３３３

１６４

轟いｆ

｀１

φ

をＪ

ｉlsquo

記号

ａ

ａＪａrdquoとａｎ

ｂ品

ｂrdquoぞｂrdquo

Ｃ（ｔ）

ｃ（ｔ）

ｄｎｄｎ

ＧＣｐＩｐrsquo）

Ｈｄｉ－ｌｐrsquo）

主要記号表

説明

鏡の半径

開口面境界値part９ンpartｎの展開係数

開口面境界値ｒの展開係数

フ１ネノレ積分

フレネル積分の一変形

有孔鎧共振器内側開口面の境界値part９ンｌｎの

展開係数

傾斜鏡共振器における積分

有孔鏡共振器内側開口面の境界値の展開係

数

平行平面導波管のグリーｙ関数

自由空間のグリーｙ関数

Ｈ２１（ｊ）Ｈｊ（ｊ）第１種ノヽンヶル関数

Ｉロ（ｇ）

秘（ｊ）

Ｋ（｜｜が）

ＫｉＫ２Ｋ

Ｋｎｌ

ＫＩrdquo１

ｋＬ

ＬｉＬｎdeg

ど

ＭｎｌＭ１１rdquo１

ｍ

Ｎ

モード変換行夕｜犯）積分にあらわれる関数

ベッセル関数

ｚ＝０で境界条件を満たすグジーン関数

鏡の傾斜パラメータ

モード変換行列要素

波数

共振器軸長

モード変換行列要素

角方向モード番号

モード変換行列要素

導波管モードのｚ方向のモード番号

または円筒導波管同軸線モードの番号

フｙネノレ数

１６５

定義個所

２１図３１図４１図

（２２０）（４９）（５４）

（２１９）（４８）（５３）

（２４５）

（２４７）

（４１１）

（５１４）

（４１０）

（２４）（２５）（２７）

（２１０）

（２３４）

（３１１）

（５１２）（５１３）（５２５）

（２２９）

２１図

（２３０）

（２７）

（２３１）

（２３４）

（３６３）（４４２）

（２２５）（２２７）

－Ｎ

ＮｎｌＮdeg゜

ｎ

Ｉｌｌｎｏ

Ｐ

＾ｎｍ

Ｐバαβ）

Ｑ

Ｑｎｍ

有孔鏡共振器の孔のフレネル数

モード変換行列要素

法線方向ペクトノレ

導波管モードのｚ方向のモード番号

ノｔワー

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

積分

共振器のＱ

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

Ｑｊ（ぽβｘ）積分

Ｒ

ｉ＾ｎｍ

「

ｒＳ

Ｓａ

Ｓｎｍ

Ｓ

Ｓｂ

（ｔ）

３ぐＳＳＴ

弓

ｕ（ｒ

ＺＮ≪

part）

－α

β１１β２β

ベッセル関数の比

有孔尨共振器のモード変換行列要素

円筒座標変数

空間座標を示す三次元ベクトル

共振器開口面

有孔鏡共振器の外側および内側開口面

有孔鏡共振器のモード変換行列要素

フレネノレ積分

フレネル積分の゛変形

電力の流れ

パワー透過率

一つの導波管モードの定在波

有孔鏡共振器への入射平面波の横方向分布

円筒座標変数共振器の軸方向を示す

傾斜鏡のｚ座標の位置を示す

フレネル数の平方根の逆数に比例するノζラメ

ータ

孔のフレネル数の平方根の逆数に比例するノｉ

ラメータ

鏡の傾斜方向を示す方位角

１６６

（４１９）

（２８２）

２１図

（２７）（２２６）

（２５７）

（４７５）

（３５６）

（２１０６）

（４７６）

（８る４）

（４４５）

（４７７）

２１図

４１図

（４７８）

（２４４）

（２４６）

（２５５）

（３４０）

（５６）

（４３）

２１図

（５１２）（５１Ｓ）

ｙ（２４５）

（４－４１）

（５２）（５１３）（５２１）

φｔｗ

ｉ

φ

卜にＩ

ｙrdquo参

几

ｎrsquo７rsquo２「

ｊ

ぞｊ

ｋｎ

ｊｊ

－＾ｉｊ＾rsquo

partｄ

δ（ｒ－ｒrsquo）

Ｊ

ＥＱηθｇｊｊ心一ふ

ら

rsquolsquo＾μ一μ≪ｏＱｔｏ

内部媒質が複素屈折率をぞｊするときの

゛｀゛rsquoプセル関数の変数

鏡の傾斜角

強制励振における行列式

または有孔鏡共振器における行列式

または傾斜鏡共振器における行列式

行列式

共振の半値幅

傾斜鏡共振器における積分

ｏｎｅｔｒａｎｓｉｔの回折損失

ディラックのデルタ関数

クロネプカーのデルタ記号

強制励振源の半径を表わすパラメータ

１または２の数値

傾斜鏡共振器において座標軸とモード軸のな

す角

円筒座標変数

積分変数

積分変数

またはｌｎの略記（sect２４sect３５第５章）

モードに対応するー゛プセル関数の変数

有孔鏡共振器の４プセル関数の変数

ベッセμ関数の根

自由空間波長

ハｙケル関数を含む式

ペブセノ関数を含む式

定数

十またはーを表わす

鏡面上の強制励振源または透過鏡

１６７

（２１０９）

（５５１）（５５６）

（２６６）

（４３５）

（５４０）

（５４３）

（２１０５）

（５１５）

（２１０７）

（２４）

（２２１）

（２５９）

（２９）

（５３）（５４）

（２ ２９）（２３２）

（２３３）

（２８）

（４１７）

（２９７）

（４３４）

（４３１）

（４３９）

（５１４）

２１図８１図

（７０

（ｙ１ＣＴｚ

「

（ｒ）

９（ｒ）

ｙ）ｉ（ｌ）

９（ｒ）

＜ｐｉ（ｒpart）

９rsquoｅ（ｒpart）

ｙｌ（゜｀）

７１１（ｒ）

rsquoｊｊ（ｌｆrsquo）

や

暗声

＋－

傾斜鏡共振器において傾斜していない鏡の位

置

傾斜鏡共振器こおいて傾斜している鏡の位置

十またはーを表わす

波動関数

強制励振源

または共振器外部からの励振波

共振器内部の波動関数

共振器外部の波動関数

透過鏡の共振器内部面上の波動関数

透過鏡の共振器外部面上の波動関数

有子Ｌ鏡共振器内部の波動関数

ｚ外部

ｚ外部で入射波の存在する領域

での波動関数

平面波の入射角

励振強度

ＣＯＳｒpartｓｉｎpoundrdquopartに対応するもの

１６８

５１図

５１図

（５１４）

（２１）

（２３）

（８８）

（２６）

（２１４）

（３４）

（３８）

（４１）

（４２）

（４３）

（８５０）

（２２８）（３１８）（５５）

（２１９）（２２０）

ｔ

４

－ ９ ４

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