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8/13/2019 Tippens Fisica 7e Diapositivas 14 - Movimiento Armonico Simple
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Captulo 14Movimientoarmnico simple
Presentacin PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Fsica
Southern Polytechnic State University
2007
8/13/2019 Tippens Fisica 7e Diapositivas 14 - Movimiento Armonico Simple
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Fotografa de Mark Tippens
UN TRAMPOLN ejerce una fuerza restauradora sobre elsaltador que es directamente proporcional a la fuerza promediorequerida para desplazar la colchoneta. Tales fuerzasrestauradoras proporcionan las fuerzas necesarias para que losobjetos oscilen con movimiento armnico simple.
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Objetivos: Despus de terminaresta unidad, deber:
Escribir y aplicar la ley de Hookepara objetosque se mueven con movimiento armnicosimple.
Describir el movimiento de pndulosy calcular la longitud requerida paraproducir una frecuenciadada.
Escribir y aplicar frmulas paraencontrar frecuencia f, periodo T,velocidad vo aceleracinaen trminosde desplazamientoxo tiempo t.
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Movimiento peridicoEl movimiento peridico simplees aquel movimiento en
el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija y regresa a cada posicin y velocidaddespus de un intervalo de tiempo definido.
AmplitudA
El periodo, T, es el tiempopara una oscilacin
completa. (segundos,s)
La frecuencia, f, es el
nmero de oscilaciones (
revoluciones ) completas
por cada segundo. Hertz (s-1)
1f
T
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Ejemplo 1: La masa suspendida realiza 30oscilaciones completas en 15 s. Cules son
el periodo y la frecuencia del movimiento?
x FPeriodo: T = 0.500 s
1 1
0.500 sf
T Frecuencia: f= 2.00 Hz
s0.50ciclos30
s15T
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Movimiento armnico simple, MAS
El movimiento armnico simplees movimiento
peridico en ausencia de friccin y producido por una
fuerza restauradora que es directamente proporcional
al desplazamiento y de direccin opuesta.
Una fuerza restauradora, F,
acta en la direccin
opuesta al desplazamientodel cuerpo en oscilacin.
F= -kxx F
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Ley de Hooke
Cuando un resorte se estira, hay una fuerzarestauradoraque es proporcional al
desplazamiento.
F = -kx
La constante de resorte k es unapropiedad del resorte dada por:
k =DF
Dx
F
x
m
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Trabajo realizado para estirar un resort
F
x
m
El trabajo realizado SOBREel resortees positivo; el trabajo DELresorte es
negativo.
De la ley de Hooke la fuerza F es:
F (x) = kx
x1
x2
FPara estirar el resorte de
x1a x2, el trabajo es:
(Review module on work)
2
1212
221 kxkxTrabajo
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Ejemplo 2: Una masa de 4 kg, suspendida deun resorte, produce un desplazamiento de 20cm. Cul es la constante de resorte?
F20 cm
m
La fuerza que estira es el peso(W = mg) de la masa de 4 kg:
F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N
Ahora, de la ley de Hooke, la
constante de fuerza k del resorte es:
k = =DF
D
x
39.2 N
0.2 m
k = 196 N/m
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Ejemplo 2 (cont.): La masa m ahora se estirauna distancia de 8 cm y se sostiene. Cul es la
energa potencial? (k = 196 N/m)
F8 cmm
U = 0.627 J
La energa potencial es igual altrabajo realizado para estirar el
resorte: 0
2 2 (196 N/m)(0.08 m)U kx
2
12
12
22
1 kxkxTrabajo
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Desplazamiento en MAS
m
x = 0 x = +Ax = -A
x
El desplazamiento espositivo cuando laposicin est a la derechade la posicin deequilibrio (x = 0) y negativocuando se ubica ala izquierda.
Al desplazamiento mximose le llama laamplitud A.
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Velocidad en MAS
m
x = 0 x = +Ax = -A
v (+)
La velocidad es positiva cuando se mueve ala derechay negativacuando se mueve a la
izquierda. Es ceroen los puntos finales y un mximoen
el punto medio en cualquier direccin (+ o -).
v (-)
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Aceleracin en MAS
m
x = 0 x = +Ax = -A
La aceleracin est en la direccin de la fuerzarestauradora. (aespositivacuando xesnegativa, y negativacuando x es positiva.)
La aceleracin es un mximoen los puntosfinales y es cero en el centro de oscilacin.
+x
-a
-x
+a
F ma kx
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Aceleracin contra desplazamient
m
x = 0 x = +Ax = -A
x v
a
Dados la constante de resorte, el desplazamientoy la masa, la aceleracinse puede encontrar de:
o
Nota: La aceleracin siempre es opuesta al
desplazamiento.
F ma kx kxam
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Ejemplo 3:Una masa de 2 kgcuelga en elextremo de un resorte cuya constante es k = 400N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm
y se libera. Cul es la aceleracin en el instantecuando el desplazamiento es x = +7 cm?
m
+x
(400 N/m)(+0.07 m)
2 kga
a= -14.0 m/s2 a
Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm(hacia abajo),la aceleracin es -14.0 m/s2(hacia arriba)
independiente de la direccin de movimiento.
kx
a m
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Ejemplo 4: Cul es la aceleracin mximapara la masa de 2 kgdel problema anterior?(A = 12 cm, k = 400 N/m)
m
+x
La aceleracin mxima ocurre cuandola fuerza restauradora es un mximo;es decir: cuando el alargamiento o
compresin del resorte es mayor.F = ma = -kx x
max= A
400 N( 0.12 m)
2 kg
kA
a m
amax= 24.0 m/s2
Mximaaceleracin:
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Conservacin de energaLa energa mecnica total (U + K)de unsistema en vibracin es constante; es decir: esla misma en cualquier punto en la trayectoria deoscilacin.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x v
a
Para cualesquier dos puntos A y B, se puede escribir:
mvA2+ kxA
2= mvB2+ kxB
2
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Energa de sistema en vibracin:
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
En cualquier otro punto: U + K = mv2+ kx2
U + K = kA2 x = A y v = 0.
En los puntos Ay B, la velocidad es cero y laaceleracin es un mximo. La energa total es:
A B
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Velocidad como funcin de la posicin.m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
kv A
m
vmax
cuandox = 0:
2 2kv A xm
2 2 21 1 12 2 2
mv kx kA
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Ejemplo 5:Una masa de 2 kgcuelga en el extremo dun resorte cuya constante es k = 800 N/m. La masa sdesplaza una distancia de 10 cmy se libera. Cul es lvelocidad en el instante cuando el desplazamiento es= +6 cm?
m+x
mv2+ kx 2= kA2
2 2kv A xm
2 2800 N/m
(0.1 m) (0.06 m)2 kgv
v = 1.60 m/s
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Ejemplo 5 (Cont.):Cul es la velocidadmxima para el problema anterior? (A = 10
cm, k = 800 N/m, m = 2 kg.)
m+x
mv2+ kx 2= kA2
800 N/m(0.1 m)
2 kg
kv A
m
v = 2.00 m/s
0La velocidad es mxima cuando x = 0:
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El crculo de referenciacompara
el movimiento circular de unobjeto con su proyeccin
horizontal.
w 2f
El crculo de referencia
cos(2 )x A ft
cosx A
t w
x = Desplazamiento horizontal.A = Amplitud (xmax).
= ngulo de referencia.
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Velocidad en MASLa velocidad(v) de un
cuerpo en oscilacin encualquier instante es elcomponente horizontal desu velocidad tangencial
(vT).vT= wR = wA; w 2f
v = -vTsen; = wt
v = -wA sen w t
v = -2f A sen 2ft
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La aceleracin(a)de un cuerpo
en oscilacin en cualquierinstante es el componentehorizontal de su aceleracincentrpeta (ac).
Aceleracin y crculo de referencia
a = -accos = -accos(wt)2 2 2
2;c cv R
a a RR R
ww
R = A
a = -w2
A cos(wt)2 24 cos(2 )a f A ft
2 2
4a f x
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El periodo y la frecuencia comofuncin de ay x.
Para cualquier cuerpo que experimentemovimiento armnico simple:Dado que a = -42f2x y T = 1/f
1
2
af
x
2
xT
a
La frecuenciay el periodose pueden encontrar sise conocen el desplazamientoy la aceleracin.Note que los signos de ay x siempre sernopuestos.
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Periodo y frecuencia como funcin dmasa y la constante de resorte.
Para un cuerpo en vibracin con una fuerzarestauradora elstica:
Recuerde que F = ma = -kx:
1
2
kf
m 2
mT
k
La frecuenciaf y el periodoTse puedenencontrar si se conocen la constante de resorte ky la masa mdel cuerpo en vibracin. Use
unidades SI consistentets.
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Ejemplo 6: El sistema sin friccin que se muestraabajo tiene una masa de 2 kgunida a un resorte(k = 400 N/m). La masa se desplaza una distanciade 20 cmhacia la derecha y se libera. Cul es lafrecuencia del movimiento?
m
x = 0 x = +0.2m
x va
x = -0.2m
1 1 400 N/m2 2 2 kg
kfm
f = 2.25 Hz
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Ejemplo 6 (Cont.): Suponga que la masa de2 kgdel problema anterior se desplaza 20
cmy se libera (k = 400 N/m). Cul es laaceleracin mxima? (f = 2.25 Hz)
mx = 0 x = +0.2m
x va
x = -0.2m
2 2 2 24 4 (2.25 Hz) ( 0.2 m)a f x
La aceleracin es un mximo cuando x = A
a= 40 m/s2
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Ejemplo 6: La masa de 2 kgdel problemaanterior se desplaza inicialmente a x = 20cmy se libera. Cul es la velocidad 2.69 s
despus de liberada? (Recuerde que f= 2.25Hz.)
m
x = 0 x = +0.2m
x va
x = -0.2m
v = -0.916 m/s
v = -2f A sen 2ft
(Nota: en rads) 2 (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324)v
El signo menos significaque se mueve hacia la
izquierda.
s2.69Hz2.252m0.2Hz2.252 senv
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Ejemplo 7: En qu tiempo la masa de 2 kgse ubicar 12 cm a la izquierda de x = 0?(A = 20 cm, f = 2.25 Hz)
m
x = 0 x = +0.2m
x va
x = -0.2m
t = 0.157 s
cos(2 )x A ft
-0.12 m
10.12 mcos(2 ) ; (2 ) cos ( 0.60)0.20 m
xft ft
A
2.214 rad2 2.214 rad;2 (2.25 Hz)
ft t
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El pndulo simple
El periodo de un pndulo
simpleest dado por:
mg
L
2 L
T
g
Para ngulos pequeos .
1
2
gfL
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Ejemplo 8. Cul debe ser la longitud de unpndulo simple para un reloj que tiene unperiodo de dos segundos (tic-toc)?
2 L
Tg
L
22 2
24 ; L =
4
L T gT
g
2 2
2
(2 s) (9.8 m/s )
4L
L = 0.993 m
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El pndulo de torsin
El periodo Tde unpndulo de torsinestdado por:
Donde k es una constante de torsin quedepende del material del que est hecho labarra; Ies la inercia rotacional del sistema envibracin.
2'
IT
k
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Ejemplo 9: Un disco slido de 160 gse uneal extremo de un alambre, luego gira 0.8 rady se libera. La constante de torsin k es
0.025 N m/rad. Encuentre el periodo.(Desprecie la torsin en el alambre)
Para disco: I = mR2
I = (0.16 kg)(0.12 m)2
= 0.00115 kg m2
20.00115 kg m2 2
' 0.025 N m/rad
IT
k T = 1.35 s
Nota: El periodo es independiente del
desplazamiento angular.
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ResumenEl movimiento armnico simple (MAS)es aquel movimientoen el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija, y regresa a cada posicin y velocidaddespus de un intervalo de tiempo definido.
1f
T
F
x
m
La frecuencia (rev/s) es elrecproco del periodo (tiempo
para una revolucin).
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Resumen (Cont.)
F
x
m
Ley de Hooke :En un resorte, hay una fuerzarestauradoraque es proporcional aldesplazamiento.
La constante de resorte k se define como:
Fk
x
D
D
F kx
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Resumen (MAS)
F ma kx kx
am
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
mvA2+ kxA
2= mvB2+ kxB
2
Conservacin de energa:
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Resumen (MAS)
2 2k
v A xm
2 2 21 1 12 2 2
mv kx kA
0
k
v Am
cos(2 )x A ft 2 24a f x
ftfAv 2sen2
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Resumen: Periodo y frecuenciapara resorte en vibracin.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
1
2
af
x
2
xT
a
2 m
Tk
1
2
kf
m
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Resumen: Pndulo simple y
pndulo de torsin2
LT
g
1
2
gf
L
L
2'
IT
k
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CONCLUSIN: Captulo 14
Movimiento armnico simple