thi vao 10 moi - Luyện thi vào lớp 10 · PDF fileĐây là bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 các ... Kể từ năm học 2006 – 2007 thì đề thi vào

TTBDKT Quang Minh Đề thi vào lớp 10

GV: Nguyễn Tăng Vũ www.truonglangtoi.wordpress.com

1

ĐỀ TOÁN THI VÀO LỚP 10 Mấy năm gần đây nhu cầu thi vào các lớp 10 chuyên của học sinh ngày càng nhiều. Điều các học sinh quan tâm là cách thức ra đề cũng như yêu cầu kiến thức của từng trường như thế nào. Để đáp ứng nhu cầu đó chúng tôi xin giới thiệu tập tài liệu tham khảo: Bộ đề thi tuyển sinh vào các lớp 10 trường chuyên trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh.

Đây là bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 các trường phổ thông trung học chuyên trên phạm vi thành phố. Trong đó chủ yếu là các đề thi vào các trường chuyên Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa, trường Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM và Lớp chuyên toán của trường Trung Học Thực Hành – ĐHSP TPHCM. Kể từ năm học 2006 – 2007 thì đề thi vào 10 lớp bình thường cũng như các lớp chuyên của trường LHP và TĐN là đề thi chung do thành phố ra, còn các trường THTH và PTNK vẫn tuyển riêng. Bộ đề này chỉ gồm các đề thi bắt đầu từ năm học 2001 – 2002 đến nay.

Hi vọng rằng đây là bộ tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh chuẩn bị thi vào các lớp 10 chuyên cũng như các thầy cô giáo quan tâm đến kì thi này.



2

1. Thi vào trường Lê Hồng Phong

Năm học 2001 – 2002 Đề thi chung

Bài 1: Cho phương trình

a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) với mọi

b)

c) với mọi a, b, c, d, e Bài 3: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực

tâm là H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC . a) Xác định vị trí điểm M sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành

b) Với M lấy bất kì thuộ cung nhỏ BC , gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng N, H, E thẳng hàng

c) Xác định vị trí của M thuộc cung nhỏ BC sao cho NE có độ dài lớn nhất Bài 5: Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua tâm O và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN.



3


Bài 1: Rút gọn các biểu:

a) b)

Bài 2: Cho phương trình: a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3:

a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng:

Bài 4: Giải các phương trình sau: a) b)

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn (O) tại hai

điểm A, B. Từ một điểm di động M trên đường thẳng (d) và ở ngoài (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi

M lưu động trên đường thẳng (d) c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình

vuông d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động trên

một đường cố định khi M lưu động trên (d)



4

Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10 5 1A x x= + + Bài 3: Giải các phương trình và hệ phương trình:

Bài 4:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có AB < AC. Lấy điểm M thuộc cuung BC không chứa điểm A của đường trònh (O). Vẽ MH vuông góc BC, MK vuông góc CA, MI vuông góc AB( H thuộc BC, K thuộc AC, I thuộc AB).

Chứng minh

Bài 6: Cho tam giác ABC, giả sử các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E và có AD = AE. Chứng minh rằng , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.



5


Bài 1: Cho phương trình: a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có

Bài 2: a) Cho và . Chứng minh:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) b)

Bài 4: Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau có

nghiệm: Bài 5:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là trung điểm cung AB , M là điểm lưu động trên cung nhỏ AK ( M khác A và K). Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho: BN = AM.

a) Chứng minh rằng b) Chứng minh tam giác MNK vuông cân c) Hai đường thẳng AM và Ok cắt nhau tại D. Chứng minh MK là đường phân

giác của góc d) Chứng minh đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố định

Bài 6: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp thoả mãn hệ thức . Hãy định dạng tam giác ABC.



6

Đề thi vào lớp chuyên toán

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) b)

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: .

Áp dụng giải phương trình

Bài 4: Cho hai phương trình:

Chứng minh rằng nếu ít nhất một phương trình trong hai phương trình trên vô

nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm: Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E ( D và E khác điểm A).

a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng b) Chứng minh và MA vuông góc với DE. c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm O. Tứ giác

AMOH là hình gì? d) Cho góc và AH = a. Tính diện tích tam giác AEC theo a.

Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng cạnh đáy lớn AB.

Gọi M là trung điểm của CD. Cho biết . Tính các góc của hình thang.



7


I. Phần tự chọn: Học sinh chọn một trong hai bài sau đây: Bài 1a:

Cho phương trình: ( )2 3 1 2 18 0x m x m− + + − = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 1 2 5x x− ≤

Bài 1b Rút gọn các biểu thức sau:

a) 2 2

11 1

x x x xA xx x x x

− += − + +

+ + − +

b) 2 2 112 1

x x x x x xBxx x x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + − −= −⎜ ⎟⎜ ⎟

−+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

I. Phần bắt buộc: Bài 2:

Giải các phương trình:

a) 23 4 2 2x x x+ − = − b) ( )

2

22 9

3 9 2

x xx

= +− +

Bài 3: a) Cho 1, 1x y≥ ≥ . Chứng minh rằng: 1 1x y y x xy− + − ≤ b) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 11 1Ax y

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Bài 4:

Tìm các số nguyên x, y thoả hệ: 2 1 0

2 1 1 0

y x x

y x

⎧ − − − ≥⎪⎨

− + + − ≤⎪⎩

Bài 5: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC,

MD với (O)( C, D là các tiếp điểm). Vẽ các tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACBcắt AB tại E.

a) Chứng minh MC = ME b) Chứng minh DE là phân giác góc ADB c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh 5 điểm O, I, C, M, D cùng

nằm trên một đường tròn d) Chứng minh IM là phân giác CID

Bài 6:



8

Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là BC và AD(BC > AD). Trên tia đối của của tia CA lấy một điểm P tuỳ ý. Đường thẳng qua P và trung điểm I của BC cắt AB tại M, đường thẳng qua P và trung điểm J của AD cắt CD tại N. Chứng minh MN song song AD.


Bài 1:

Giải hệ phương trình:

3 6 12

1 1 02

x y x y

x y x y

⎧ − = −⎪ − +⎪⎨⎪ − =⎪ − +⎩

Bài 2:

Cho x > 0 và thoả 22

1 7xx

+ = . Tính 55

1xx

+

Bài 3:

Giải phương trình 3 3 1 13 10

x xx

= + −+

Bài 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 25 9 12 24 48 82P x y xy x y= + − + − +

b) Tìm các số nguyên x, y thoả hệ 3 3 3

33

x y zx y z+ + =⎧

⎨+ + =⎩

Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O( AB < BC). Vẽ

đường tròn tâm I qua 2 điểm A và C cắt các đoạn AB, BC lần lượt tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J đi qua 3 điểm B, N, M cắt đường tròn (O) tại điểm H. Chứng minh rằng

a) OB vuông góc với MN b) IOBJ là hình bình hành c) BH vuông góc với IH



9

2. Thi vào trường Trần Đại Nghĩa

Năm học: 2001 – 2002 Bài 1:

Cho phương trình : ( )2 2 2 0mx m x m− + + = .

a) Định m để phương trình có nghiệm. b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.

Bài 2: Giải các phương trình:

a) 22 5 1 3 1x x x− + = −

b) 2 2 2x x− + = − . Bài 3:

Giải các hệ phương trình:

a) 3

3

22

x y xy x y

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

b) ( )( )3 3

1

54

x y y x xy

x y

⎧ − = − +⎪⎨⎪ + =⎩

.

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 1x y xy x y+ + ≥ + + .

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P thuộc (O). Từ P vẽ hai tia Px, Py lần lượt

cắt đường tròn (O) tại A và B. Cho góc xPy là góc nhọn. a) Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K là trực tâm của tam giác ABM. Chừng minh

rằng K thuộc (O). b) Gọi H là trực tâm của tam giác APC và I là trung điểm của đoạn AB. Chứng

minh H, I, K thẳng hàng.

c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định sao cho PX, Py vẩn cắt (O) và góc xPy không đổi thì H lưu động trên đường cố định nào?



10


Bài 1: Cho phương trình : 25 28 0x mx+ − = . Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2

thoả 1 25 2 1x x+ = .

Bài 2: Cho phương trình ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả 2

1 2x x= .

Chứng minh 3 2 2 3b a c ac abc+ + = . Bài 3:

Giải các phương trình và hệ phương trình:

a) 3 3 0x x− + + =

b) ( ) ( )( ) ( )

2

2

4 12

2 3

x y x y

x y x y

⎧ + − + =⎪⎨

− − − =⎪⎩

Bài 4:

Thu gọn biểu thức sau: 6 2 2 12 18 8 2A = − + + −

Bài 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó.

a) Chứng minh ( )( )( ) 18

p a p b p c abc− − − ≤ .

b) Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm:

( )2 2 2 2 2 2 0c x a b c x b+ − − + = .

Bài 6: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. (CD

không trùng AB). Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đường thẳng AC, AD cắt (d) lần lượt tại P và Q.

a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD. c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh E lưu động trên

một đường tròn cố định khi đường kính CD thay đổi.



11


Bài 1: Cho phương trình ( )2 2 3 3 0x m x m− + + − = .

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 1 2x x− đạt giá trị nhỏ

nhất. Tính giá trị nhỏ nhất ấy. Bài 2:

a) Cho x < 0, y < 0. Chứng minh: 2 2

x y x yxy xy x y+ +− + + = +

b) Cho 1 1 2 1x y a+ + + = + . Chứng minh 2x y a+ ≥ .

Bài 3: Giải các phương trình và hệ phương trình: a) 4 3 24 19 106 120 0x x x x− − + − =

b) 2 2

4 4 2 2

721

x y xyx y x y

⎧ + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩

Bài 4:

Chứng minh rằng phương trình 6 5 4 3 2 3 04

x x x x x x− + − + − + = vô nghiệm.

Bài 5: Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O)( AB không đi qua O) và có hai điểm C, D

lưu động trên cung lớn AB sao cho AD song song với BC ( C, D khác A, B và AD > BC)Gọi M là giao điểm của DB và AC. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I.

a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.

Bài 6: Cho tam giác ABC không phải là tam giác đều và có 3 góc nhọn. Đường cao AH,

đường trung tuyến BM, đường phân giác CE lần lượt cắt nhau và các giao điểm tạo thành tam giác PQR. Tam giác PQR có thể là tam giác đều không?



12



a) ( ) ( )( )26 7 3 4 1 0x x x+ + + =

b) ( )( )( )( ) 24 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + =

Bài 2:

Cho 0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥ thoả 4 2 43 6 2 6

x y zx y z+ + =⎧

⎨ + − =⎩

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 5x -6y + 7z. Bài 3:

Phân tích thành nhân tử: ( ) ( ) ( )5 5 5A x y y z z x= − + − + −

Bài 4: Cho phương trình: 2 0x px q+ + = . a) Chứng minh rằng nếu 22 9 0p q− = thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt và

nghiệm này gấp đối nghiệm kia. b) Cho p, q là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm hữu

tỉ thì nghiệm ấy phải là số nguyên. Bài 5:

Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lưu động trên hai đoạn AB và AC

sao cho 1AM ANMB NC

+ = . Đặt AM = x, AN = y.

a) Chứng minh rằng 2 2 2MN x y xy= + − . b) Chứng minh MN = a – x – y c) Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 6: Cho góc xOy cố định. Có hai điểm M, N lần lượt lưu động trên hai tia Ox, Oy sao

cho OM + ON = 2k.( k là hằng số dương). Trung điểm I của MN lưu động trên đường cố định nào?



13

Năm học: 2004 – 2005 Đề thi chung

Bài 1: Cho phương trình: ( ) ( )( )4 23 14 4 12 2 0x m x m m− + + + − = .

a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. b) Định m sao cho tích 4 nghiệm của phương trình trên có giá trị lớn nhất.


a) 2 22 1 1 2x x x+ + − = −

b) 2

12 82 4 2 29 16

xx xx−

+ − − =+

Bài 3: Cho x, y là các số thực khác 0. Chứng minh:

2 2

2 2 3x y x yy x y x

⎛ ⎞+ ≥ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình: 2 2 2 2x xy y x y+ + = .

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O;R). Vẽ tam giác

đềuACD ( D và B khác phía đối với đường thẳng AC). Gọi E là giao điểm của BD với đường tròn (O), gọi M là giao điểm của BD với đường cao AH của tam giác ABC. a) Chứng minh MADC là tứ giác nội tiếp b) Tính DE theo R. Bài 6:

Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C. Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC.



14


Bài 1: Cho phương trình: : 2 1 0x px+ + = có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình

2 1 0x qx+ + = có hai nghiệm b1, b2. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) 2 2

1 2 2 1 1 2 2aa b a b a b a b q p− − + + = − . Bài 2:

Cho các số a, b, c, x, y, z thoả , ,x by cz y ax cz z ax by= + = + = + , và , , 0x y z ≠ .

Chứng minh rằng: 1 1 1 21 1 1a b c+ + =

+ + +.

Bài 3: a) Tìm x, y thoả 2 25 5 8 2 2 2 0x y xy x y+ + + − + = b) Cho các số dương x, y, z thoả: 3 3 3 1x y z+ + = .

Chứng minh: 2 2 2

2 2 22

1 1 1x y z

x y z+ + ≥

− − −.

Bài 4: Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả phương trình

3 3 1993x y− = Bài 5:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) ( AB < AC). Đường tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M, tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O).

a) Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC b) Tia phân giác MX của góc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng 4 điểm M, I, K, C

cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA.

Bài 6: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD

= a và CD = b.( a> b). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b.



15

3. Thi vào lớp chuyên toán trườngTrung Học Thực Hành ĐHSP TPHCM

Năm học: 2005 – 2006 Vòng 1

Bài 1: Cho phương trình: ( ) 21 2 2 0m x mx m+ − + − = .

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép này. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biện x1, x2 thoả mãn:

2 21 2 1 2 1x x x x+ = + + .

Bài 2: Tính ( )( )11 2 30 8 4 3 5 2A = + − − − .

Bài 3:

a) Giải hệ phương trình: ( )( )

( )( )

1 12 3 502 21 12 2 322 2

x y xy

x y xy

⎧ + + = +⎪⎪⎨⎪ − − = −⎪⎩

.

b) Giải phương trình: 23 6 4 1 2x x x− + = − .

c) Giải phương trình: ( ) ( )4 22 22 3 2 4 0x x x x+ + + − = .

Bài 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi I là điểm đối

xứng của A qua O. Trên cạnh BA lấy điểm M và trên đường kéo dài của cạnh AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM =CN. Hai đường thẳng MN và BC cắt nhai tại K. Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác IBM và ICN bằng nhau. b) Tứ giác AMIN nội tiếp trong một đường tròn. c) K là trung điểm của đoạn MN.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Trên đoạn AC lấy điểm M. Gọi E và F lần lượt là hình

chiếu vuông góc của M lên BA và BC. a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC. b) Xác định vị trí M để diện tích tam giác DEF là nhỏ nhất.



16

Vòng 2 Bài 1:

a) Không dùng máy tính, hãy so sánh: 4 7 4 7x = + − − và

2 3 2 3y = + − − .

b) Giải phương trình: 1 2 1x x− − + = . Bài 2:

Cho phương trình ( )2 22 4 8 0x m x m− + + − = .

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Hãy lập một hệ thức liên hệ giữa x1 và

x2 không phụ thuộc vào m. c) Với giá trị nào của m, biểu thức 2 2

1 2 1 2A x x x x= − − đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị

lớn nhất đó. Bài 3:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có giá trị cùa biểu thức E = n3 + 5n luôn là bội của 6. Bài 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) . Đường tròn tâm O, đường kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AC cắt nhau tại A và D.

a) Chứng minh rằng 3 điểm B, C, D thẳng hàng. b) Gọi M’ là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. AM cắt BC tại E và cắt đường tròn

tâm O tại N. Chứng minh tam giác ABE cân. c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh Ok vuông góc với O’K. d) Đặt BC = a, AB = b, AC = b. Điểm P di động trên nửa đường tròn đường kính

BC không chứa A ( P khác B và C). Gọi Q, R, S lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC, CA, AB. Đặt PQ = x, PR = y, PS = z. Xác định vị trí

của P sao cho biểu thức a b cx y z

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5:

Cho a, b, là các số dương thoả mãn: 2 2

1 1 12a b

+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức K = a + b.



17

Năm học: 2006 – 2007 Vòng 1

Bài 1: a) Giải phương trình: 2 3 1 2 0x x x− − − + = .

b) Giả sử các phương trình: 2 0ax bx c+ + = và 2 0cy dy a+ + = ( a và c khác 0) có các nghiệm tương ứng là x1, x2 và y1, y2. Chứng minh rằng:

2 2 2 21 2 1 2 4x x y y+ + + ≥ .

Bài 2: a) Với mỗi số tự nhiên 1k ≥ , chứng minh rằng:

( )1 1 1

1 1 1k k k k k k= −

+ + + +.

Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1...

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100+ + +

+ + +.

b) Xác định m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất.

1

1

x y m

y x m

⎧ − + =⎪⎨

− + =⎪⎩

Bài 3:

Giải hệ phương trình: ( )( )( )( )( )( )

8

16

32

x y x z

y x y z

z x z y

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩

Bài 4: Gọi AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC ( D thuộc cạnh BC).

Trên AD lấy hai điểm M, N sao cho: ABN CBM= . BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ hai F.

a) Chứng minh rằng BECF là tứ giác nội tiếp. b) Áp dụng câu a) chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng BCF ACM= . Từ đó suy ra: ACN BCM= .



18

Vòng 2 Bài 1:

Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau: 2006 2006

2006 2006x x

x m x m+ −

=+ − − +

Bài 2:

Giải hệ phương trình: 3 2

3 2

2 22 2

x y yy x x

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 6 2006 12033 0xy x y+ + + =

Bài 4: Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tữ nhiên N có không quá 2007 chữ số sao

cho các chữ số của N chỉ là 9 hoặc 0 và N chia hết 10030. Bài 5:

Cho hai điểm phân biệt A, B. Hai đường tròn thay đổi lần lượt tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, B và tiếp xúc ngoài với nhau tại C. Tìm quĩ tích điểm C. Bài 6:

Cho đường tròn tâm O và điểm A ở ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt đường tròn tại B, C phân biệt. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn tại E, F( E thuộc đoạn DF). Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh rằng:

a) Ngũ giác AEMOF nội tiếp một đường tròn nào đó. b) AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (O).



19

Năm học: 2007 – 2008 Bài 1:

a) Giải phương trình: ( ) 2 23 5 2 7 3x x x x− + = − + − .

b) Cho phương trình ( ) ( ) ( )21 1 3 0 1m x m x m+ − − + + = . Tìm tất cả các số nguyên m

sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1. x2 và 2 21 2 1 2x x x x+ là một số nguyên.

Bài 2: Cho a > b > c > 0. Chứng minh rằng:

3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3a b b c c a a b b c c a+ + > + + . Bài 3:

Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho

( )( )( )

1

1

1

xy z

xz y

yz x

⎧ +⎪

+⎨⎪ +⎩

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi (O’) là đường tròn bất kì tiếp

xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không chứa A. Các đường thẳng AD, BD, CD cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’.

a) Chứng minh: AA BB CCAD BD CD

′ ′ ′= = .

b) Chứng minh: . . .AD BC AC BD AB CD= + . c) Gọi A1, B1, C1 là các tiếp tuyến của (O’) vẽ từ A, B, C. Chứng minh rằng

1 1 1. . .AA BC BB AC CC AB= + .

Bài 5: Chứng minh rằng nếu ABCD là tứ giác lồi và không phải là tứ giác nội tiếp thì: . . .AB CD AD BC AC BD+ > .



20

4. Thi vào Phổ Thông Năng Khiếu – ĐHQG TPHCM

Năm học: 2001 – 2002 Đề toán chung cho các khối C và D

Bài 1: Cho parabol (P): 2 2y x mx= − + . a) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x – m tiếp xúc với (P). b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 2 0x mx− + =

Tính 2 21 2A x x= +


a) ( )3 2 2x x x+ = − +

b) 3 12 13 1

x xx x−

= +−

.

Bài 3:

a) Giải hệ phương trình: 2 2

2 2 2

2 23 28

x yx y x

⎧ − = −⎪⎨

− =⎪⎩.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2

2

22

xyx x

+=

+ +.

Bài 4:

Tứ giác ABCD có AB = BD = DA = a và góc 60oACD = . a) Tính góc ACB. b) Cho CB = CD. Tính theo a khoảng cách giữa các trực tâm H của tam giác CBD

và trực tâm K của tam giác ABD. Bài 5: Một hồ nước được cung cấp bởi 3 vòi nước. Biết rằng nếu từng vòi nước cung cấp nước chi hổ thì vòi thức nhất sẽ làm đầy hồ nhan hơn vòi nước thứ hai là 5 giờ, vòi nước thừ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ nhất là 4 giờ; còn nếu vòi nước thừ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho hồ thì thời gian chúng làm đầy hồ bằng với thời gian vòi nước thứ ba làm đầy hồ. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước thì hồ sẽ đầy trong bao lâu?



21

Đề toán chung cho các khối A và B Bài 1:

a) Giải bất phương trình 1 2 1x x+ > −

b) Giải hệ phương trình:

1 72

1 73

xy

yx

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình: 2 1 0x ax+ + = và

2 0x bx c+ + = có nghiệm chung đồng thời các phương trình 2 0x x a+ + = và 2 0x cx b+ + = cũng có nghiệm chung.

Hãy tìm tổng a + b + c. Bài 3:

a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M, N sao

cho 3

ABAM CN= = . Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng trực

tâm của tam giác ADK nằm trên BC. b) Cho hình vuông ABCD với giao điểm của hai đường chéo là O. Một đường

thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên d. Chứng minh rằng ( )AC SBD⊥ và ( ) ( )SAC SBD⊥ .

Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và AB = 2. BC =13, CD = 8, DA = 5.

a) Đường thẳng BA cắt DC tại E. Tính AE. b) Tính diện tích của tứ giác ABCD.

Bài 5: Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thằng được 1 điểm, hoà được 0.5 điểm, thua được 0 điểm. Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả 8 kì thủ nhận được số điểm khác nhau và kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng số điềm của 4 kì thủ xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thứ 5 kết thúc với kết quả như thế nào.



22

Đề thi vào chuyên toán Bài 1:

a) Tìm số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho a chia hết cho 6 và 2000a là số chính phương.

b) Tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho (b – 1 ) không là bội của 9, b là bội của bốn nguyên tố liên tiếp và 2002b là số chính phương.

Bài 2:

Cho x, y là số thực sao cho 1xy

+ và 1yx

+ đều là các số nguyên.

a) Chứng 2 22 2

1x yx y

+ là số nguyên.

b) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho 1n nn nx y

x y+ là số nguyên.

Bài 3: a) Cho a, b là các số dương thoả ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )( )2 2 41A a b a ba b

= + + + ++

.

b) Cho m, n là các số nguyên thoả 1 1 12 3m n

+ = . Tìm giá trị lớn nhất của B = m.n

Bài 4: Cho hai đường tròn C1( O1, R1) và C2(O2, R2) tiếp xúc ngoài với tại điểm A. Hai

điểm B, C lần lượt di động trên C1, C2 sao cho góc 90oBAC = . a) Chứng minh rằng trung điểm M của BC luôn thuộc một đường cố định. b) Hạ AH vuông góc với BC, tìm tập hợp các điểm H. Chứng minh rằng độ dài AH

không lớn hơn 1 2

1 2

2R RR R+

.

c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự câu a) và câu b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong tại A.

Bài 5: Giải hệ phương trình :

2 2

1 3 5 1 3 5

80

x x x y y y

x y x y

⎧ + + + + + = − + − + −⎪⎨

+ + + =⎪⎩



23


Bài 1: a) Tìm m để Parabol (P): 2 y mx= tiếp xúc với đường thẳng

( ) 2: 2 2d y mx m= − + −

b) Tìm các giá trị của x để: 2 3 1 4 7x x x+ + > + . Bài 2:

a) Viết đa thức sau dưới dạng bình phương hay lập phương của một đa thức

khác: 4 2 3 3 2 4 2 4 5 62 2 3 2 3 3A x y x y x y x y xy y= + + + + + . b) Giải hệ phương trình:

2

4 2 1 42 1 4

7

x yy x

x y

⎧ + − ++ =⎪ − + +⎨

⎪ − =⎩

Bài 3:

Cho biểu thức: 2 1 13.3 2 5 6

x x xQx x x x+ + −

= − −− − − +

.

a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị x để Q < -1. Tìm các giác trị nguyên của x sao cho 2Q cũng là

số nguyên. Bài 4: Cho hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ với AB // A’B’, BC < B’C’, các đường chéo AB, BD, A’C’, B’D’ cùng cắt nhau tại O. Gọi M là điểm di động trên các cạnh của ABCD, M’ là điểm di động trên các cạnh của A’B’C’D’. Khoảng cách lớn nhất giữa M

và M’ là 14 2 cm , khoảng cách bé nhất giữa chúng là 2 cm.

a) Tính diện tích hình vuông ABCD. b) Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, ta lấy điểm M

sao cho 8 2AM cm= . Tính diện tích tam giác OBM. Bài 5: Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó là 9 và tổng lập phương của hai chữ số đó là 189.



24

Đề toán chung cho các khối A và B Bài 1:

Cho phương trình 22 1 6 11 0x x m m+ − − + − = a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

Bài 2:

Cho hệ phương trình: ( )32 2 22 2 1

6

x y m x x y xy y m

x y

⎧ + + + + + = −⎪⎨

= −⎪⎩.

a) Giải hệ khi m = 0. b) Giải hệ phương trình khi m = 1.

Bài 3: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD của hình chữ nhật ABCD. Biết

rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có đường kính bằng 8 2 3+ và tồn tại

điểm I thuộc MN sao cho 45oDAI = và 30oIDA = . a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD b) Gọi K, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác AID và BIC. Tính diện tích tam

giác NKH. Bài 4: Tam giác ABC có góc ABC bằng 30o và góc ACB bằng 150. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, OC.

a) Tính góc PON. Chứng minh rằng A, M, I thẳng hàng. b) Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.

Bài 5: a) Tìm tất cả các số thực a, b, sao cho 2 5x a bx x+ = + ∀ ∈

b) Cho a, b, c , d, e, f là các số thực thoả điểu kiện: ax b cx d ex f+ = + = + với

mọi số thực x. Biết a, c, e khác không. Chứng minh rằng ad = bc.



25


Cho phương trình: 1x x m− + = (1) trong đó m là tham số. a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn: 2 2 2x y z+ = .

a) Chứng minh rằng trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3. b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.

Bài 3: Cho đường tròn (C ) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (C ) ( A không trùng B và C). Đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC cắt đường tròn ( C) tại điểm K ( khác A). Hạ AH vuông góc với BC.

a) Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng 2 2AH HK+ a luôn luôn là một đại lượng không đổi.

c) Tính góc B của tam giác ABC biết rằng 35

ANHK

= .

Bài 4:

Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện 1 1 1a b cb c a

+ = + = + .

a) Cho a = 1, hãy tìm b, c. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đôi một khác nhau thì 2 2 2 1a b c = . c) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c.

Bài 5: Trong một giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt ( hai đội bất kì sẽ gặp nhau một lần). Sau mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua không được điểm nào, nếu trận đấu kết thúc với tỉ số hoà thì mỗi đội được 1 điểm. Các đội được xếp hạng dựa trên tổng số điểm. Trong trường hợp một số đội có tổng điểm bằng nhau thì các đội này sẽ được xếp hạng theo chỉ số phụ. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà; các đội xếp nhất nhì ba có



26

tổng điểm lần lượt là 15, 12, 12 và tất cả các đội xếp tiếp theo có tổng điểm đội một khác nhau.

a) Chứng minh rằng 7N ≥ . b) Tìm N và tổng điểm của mỗi đội tham gia giải.

Năm học: 2003 – 2004

Đề toán chung cho các khối C và D Bài 1:

a) Vẽ Parabol 22y x= . Tìm các giá trị cùa x để 22 3 5 17x x x− + > − + .

b) Cho ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 28 4 9 13 2 3 8f x m x m m x m m= − − − − + − + − .

Tìm m < 0 để (1) 0f = . Lúc đó tìm g(x) để ( ) ( ) ( ) 1 .f x x g x= − và tìm các

nghiệm còn lại, nếu có của phương trình ( ) 0f x = .

Bài 2: a) Giải phương trình: 22 5 3 1x x x+ = + − .

b) Rút gọn biểu thức:

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −+

+ + − −

Bài 3:


9

1

x y

x y

− = −⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ với 3 3,x y là các số nguyên.

b) Tìm k để phương trình ( ) ( )2 12 5 4 1 0kx k x k− − − + = có tổng bình phương các

nghiệm là 13 Bài 4: Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh CE.CB = CF. CA b) AE kéo dài cắt đường tròn tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC,

xác định quĩ tích của H. Bài 5: Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thên 12 ngày nữa thì hoàn



27

thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội 3 là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II; và nếu mỗi đội làm một mình một phần 3 công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày mới xong công việc trên.



28

Đề toán chung cho các khối A và B Bài 1: Cho phương trình: ( )2 22 3 3 0 1mx mx m m+ + + − = .

a) Định m để phương trình vô nghiệm. b) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả 1 2 1x x− = .

Bài 2:

a) Giải phương trình ( ) ( ) ( )2 5 3x x x x x x+ + − = + .

b) Giải hệ phương trình: ( )( )2 2 2 2

2 2 2 2

144x y x y

x y x y y

⎧ + − =⎪⎨⎪ + − − =⎩

Bài 3:

Cho tam giác ABC có 45oBAC = .Gọi M và N lần lượt là chần đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.

a) Tính tỉ số MNBC

.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng OA MN⊥

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều; mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính diện tích tamg giác SIJ theo a. b) Họi H là chân đường cao kẻ từ S của tam giác SIJ. Chứng minh SH vuông góc

với AC. Bài 5: Lớp 9A có 28 học sinh đăng kí dự thi vào các lớp chuyên Toán, Lý, Hoá của trường Phổ Thông Năng Khiếu. Trong đó: không có học sinh nào chỉ chọn thi vào lớp Lý hoặc chỉ chọn thi vào lớp Hoá; Có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ thi vào lớp Toán; Có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý và lớp Hoá gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý, Hoá. Hỏi số học sinh thi vào từng lớp là bao nhiêu.



29


a) Chứng minh rằng phương trình:

( ) ( )2 2 2 3 3 4 42 0a b x a b x a b− − − + − = có nghiệm với mọi a, b.

b) Giải hệ phương trình ( ) ( )3 3

5

1 1 35

x y xy

x y

+ + =⎧⎪⎨

+ + + =⎪⎩.

Bài 2: a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt: 2 1 1 2 1 12 2 1; 2 2 1n n n n

n na b+ + + += − + = + + .

Chứng minh rằng với mọi n có n na b chia hết cho 5 và n na b+ không chia hết cho 5.

b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc AB, A1K vuông góc AC. Đặt A1B = x, A1C = y.

a) Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và tam giác AHK

tương ứng. Hãy tính tỉ số rr′ theo x và y. Suy ra giá trị lớn nhất của tỉ số đó

b) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x và y.

Bài 4: a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một

đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.

b) Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên (d). Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5: a) Cho một mảnh vuông 4 x 4. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta

ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tuỳ ý( mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên hàng hoặc cột được chọn đổi đồng thời các số 0 thành 1, các số 1 thành 0. Chứng minh rằng sau một số



30

hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về toàn các số 0.

b) Ở vương quốc “ Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ: 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ gặp nhau thì màu tóc của họ sẽ đổi sang màu tóc thứ ba ( ví dụ nếu hiệp sĩ tóc xanh gặp hiệp sĩ tóc vàng thì màu tóc của họ sẽ thành màu đỏ). Hỏi sau một hữu hạn lần gặp nhau thì ở “Sắc màu kì ảo” tất cả các hiệp sĩ có cùng màu tóc được không?



31


Bài 1: a) Tìm m để Parabol (P): 2 2 2y x mx m= + − + tiếp xúc với đường thẳng (d):

y x m= + .

b) Giả sử phương trình ( )2 22 1 1 0mx m x m+ + + − = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 .

Hãy tính tổng S và tích P của các nghiệm. Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với m.

Bài 2:


121

x yx y+ = −⎧

⎨+ = −⎩

b) Giải phương trình: 20 3 2 2 3x x− − = −

Bài 3: a) Tìm k để đa thức ( ) 4 222 51 2f x x x x k= − + + chia hết cho đa thức

( ) 2 3 2g x x x= − + ( Nghĩa là có đa thức h(x) sao cho ( ) ( ) ( ).f x g x h x= ). Giải

phương trình ( ) 0f x = với k vừa tìm được.

b) Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2

2 2 2 2

3 2 3 4:2 3 2a ab b a ab bRa ab b a ab b− − − +

=+ − + −

.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc ABC bằng 75o. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P.

a) Tính ANNC

.

b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BN và PC. So sánh MA và MI. c) Lấy điểm Q trên đường thằng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B sao cho

BQ = BI, hạn QJ vuông góc xuống PC, J nằm nằm trên PC. Tính QJAB

Bài 5: Hai thành phố A và B cách nhau 48km, gió thổi từ A đến B với vận tốc không đổi 6km/h. Lúc 8 giờ, một người đi mô tô từ A đến B, nghỉ ngơi 30 phút rồi trở về A, anh về đến A lúc 10 giờ 50 phút. Vận tốc mô tô được cộng thêm hoặc trừ bởi vận tốc gió,



32

tuý theo mô tô chạy xuôi hay ngược gió. Hãy tính vận tốc riêng của mô tô ( tốc độ mô tô khi vận tốt gió bằng 0)

Đề toán chung cho các khối A và B

Bài 1:

a) Giải phương trình: 4 3 2x x− − = .

b) Định m để phương trình ( )2 1 2 0x m x m− + + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2

sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh của góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2a b c a b b c c a+ + = − + − + − .

a) tính a + b + c biết rằng 9ab ac bc+ + = . b) Chứng minh rằng nếu ,c a c b≥ ≥ thì c a b≥ + .

Bài 3 Cùng một thời điểm , một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về thành phố B và một chiết xe khác XB xuất phát từ thành phố B về thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốt riêng không đổi và gặp nhau lần thứ nhất tại một điểm cách A 20 km. Cả hai chiếc xe, sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Tìm vận tốt của từng chiếc ô tô. Bài 4: Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C ) tại K ( K khác A) và J là điểm đối xứng của I và O qua BC.

a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông. b) Tính góc BAC nếu Q thuộc ( C). c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C ) thì P cũng thuộc (C ).

Bài 5: Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tuỳ ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác.



33



5 1

x y

y x

⎧ + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩

b) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện 1, 1x y< < . Chứng minh rằng:

1x yx y

xy+

+ ≥+

.

c) Tìm tất cả các số nguyên 0m ≥ sao cho phương trình: ( )22 1 0x m x m− − + = có

các nghiệm đều nguyên. Bài 2:

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức: 3 1 2 1n nx x+ + + chia hết cho đa thức 2 1x x+ + .

b) Tìm số dư trong phép chia 8 6 20043 3 3A = + + cho 91. Bài 3: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác A1B1C1 là tam giác cân. Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C ) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.

a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định. b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK. Bài 5:

a) Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt ( 2 đội bất kì đấu với nhau một trận). Đội bóng nào thắng được 3 điểm, hoà được 1 điểm, thua không có điểm nào. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hoà và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thoã mãn đúng hai trong 4 tính chất sau:

i) A là bội số của 5. ii) A là bội số của 21.



34

iii) A + 7 là số chính phương iv) A – 20 là số chính phương.

Năm học 2005 – 2006

Đề toán chung cho các khối C và D Bài 1:

a) Gọi (d) là đường thẳng qua hai điểm A(0; -1) và M(1; -m -1). Tìm m để Parabol (P): 2 4y mx mx= + − tiếp xúc với đường thẳng (d).

b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 2 3 0mx mx+ − = . Tính 2 21 2A x x= +

theo m. Bài 2:

a) Với điều kiện xy < 0, giải hệ phương trình: 2 2

2 2

3 4 0,112 3 0,22x yx y

⎧ − =⎪⎨

− =⎪⎩.

b) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5

2 3 5 2 3 5R + −= +

+ + − −.

Bài 3:

a) Giải phương trình 2 2 154 4 6 92

x x x x x− + + + + = .

b) Tìm 7 số nguyên liên tiếp sao cho tổng bình phương bốn số đầu bằng tổng bình phương của ba số sau.

Bài 4:

Cho tam giác ABC có 45 , 2oACB ACB BAC ABC= + = . Đường trung trực của AB

cắt BC tại M.

a) Tính MAC . b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. Chứng minh rằng tức giác

ABCI là tứ giác nội tiếp. Bài 5: Một cuộc đua thuyền được tổ chức trên tuyến đường hình tam giác đều ABC ( chạy từ A đến B, từ B đến C và từ C về A). Chiếc thuyền “Bảy cây sứ trắng” tham dự

cuộc đua và được ghi nhận các thông tin như sau: thuyển chạy từ 23

đoạn đường AB

cho đến đích mất 3 giờ 15 phút; thuyền vượt đoạn BC nhanh hơn khi vượt đoạn CA



35

25 phút; thuyền chạy từ A đến 14

đoạn CA hết 2h 40 phút. Giả sử rằng khi di chuyển

trên mỗi cạnh tốc độ của thuyền là không đổi và thuyền đi rất thẳng; ngoài ra, thời gia để thuyến đổi hướng là không đáng kể. Tính thời gian thuyền vượt toàn bộ quãng đường.

Đề toán chung cho các khối A và B

Bài 1:

Cho phương trình ( ) ( )21 2 2 3 0x x mx m x m⎡ ⎤+ + + + + =⎣ ⎦ .

a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình trên không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 2:

a) Giải hệ phương trình 5

2 1 2 2

x y

x y

− =⎧⎪⎨

+ − − =⎪⎩

b) Giải hệ phương trình 49

xy zyz xzx y

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

.

Bài 3:

a) Giải phương trình 6 3 1 2 0x x x x+ + − − + − − = . b) Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh

rằng: 2 3 0ab bc ca+ + ≤ . Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là điểm thuộc cạnh AB sao cho:

PMB NMC= . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Bài 5: Trong một kì thi học sinh giỏi của trường , nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 học sinh thì còn chứa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho



36

mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kì thi, biết rằng mổi phòng không thể chứa quá 40 học sinh.

Đề thi vào chuyên toán

Bài 1: a) Cho , 0, 0a b c> ≠ . Chứng minh rằng:

1 1 1 0 a b a c b ca b c+ + = ⇔ + + + + + .

b) Giải hệ phương trình : 2 2

2 2

1 1 1

1 1 2

x y

x y xy

⎧ + =⎪⎨⎪ − + − = +⎩

Bài 2: a) Cho 5p ≥ là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh

rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p2 + 1 không phải là số nguyên tố. b) Tìm tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong đó cách viết thập phân

của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5. c) Cho tam thức bậc hai ( ) ( )2 0P x ax bx c a= + + ≠ thoả mãn điều kiện:

( ) ( )2 22 2P x P x− = − . Chứng minh rằng ( ) ( )P x P x= − với mọi x.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi qua một điểm cố định khác A.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí của điểm D trên BC sao cho IO là nhỏ nhất.

Bài 4: a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kì nằm trong hình

vuông. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2MA MB MC MD+ + + ≥ . b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kì thuộc đoạn [ 0; 1]. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2x y y z z t t x− + − + − + − ≤ .

Bài 5:



37

Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi k = 1, 2, …, 9 trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp có đúng k chữ số.


Bài 1: a) Với điều kiện x > 0, y > 0, giải hệ phương trình:

2 2

2 2 2

4 22 3 2,25

x yx y x

⎧ − = −⎪⎨

+ =⎪⎩.

b) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: ( )2 2 1 14 0x x x+ + + − = .

Bài 2: Xét biểu thức:

1 3 51 2 2

x x xPx x x x− + +

= − −+ − − −

.

Rút gọn P. Tìm các giá trị của x để P > -1. Tìm các giá trị nguyên của x sao cho P cũng là số nguyên. Bài 3:

Cho một phân số. Nếu thêm 5 vào tử và mẫu thì phân số tăng 542

. Nếu giảm 1 ở

tử và mẫu thì phân số giảm 121

. Tìm phân số đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt

AC và AB tại M và N, 120oNHM = ,

a) Chứng minh AMN ABC= . Tính MNBC

.

b) Tính AHBC

.

Bài 5:



38

Trong một cuộc đua mô tô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ nhì trong mỗi giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 10km và nhanh hơn xe thứ ba 5km, đến đích trễ hơn xe thứ nhất 10 phút, sớm hơn xe thứ ba 6 phút. Tính vận tốc mỗi xe và chiều dài quãng đường.

Đề toán chung cho các khối A và B Bài 1 Cho phương trình: ( )23 10 4 7 0 1x x m− + − =

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

b) Tìm tấc cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2

a) Giải phương trình 4 2 6 1x x+ − − =

b) Giải hệ phương trình : 2 2

2

2 62 3x yxy y

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩

Bài 3 a) Cho a, b, c thoả 0 và 0abc ab bc ca≠ + + = .

Tính ( )( )( )a b b c c aP

abc+ + +

= .

b) Cho a, b, c thoả ( )( )( ) 0a b b c c a+ + + ≠ và 2 2 2 2 2 2a b c a b c

a b b c c a b c c a a b+ + = + +

+ + + + + +. Chứng minh rằng a = b= c.

Bài 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trình tâm O, có AC BD⊥ và AC cắt BD tại I. Biết rằng IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính độ dài đoạn MN. c) Gọi P là giao điểm của IO và MN. Tính độ dài đoạn MN.

Bài 5



39

Để tặng thưởng cho các học sinh đạt thành tích cao trong một kì thi Olympic toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 10.00 đồng. Biết rằng có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao. Hỏi ban tổ chức trao bao nhiêu giải nhất, bao nhiêu giải nhì và khuyến khích.


Bài 1:

a) Giải hệ phương trình: 2

2

2 12 1

x xyy xy

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩

b) Giải bất phương trình: 23 5 5 2x x x− ≤ − c) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện 2x y+ = . Chứng minh rằng

( )2 2 2xy x y+ ≤ .

Bài 2:

Cho phương trình ( ) ( ) ( )2 2 33 2 3 12 0 1m x m m x m+ − + + + = với m là tham số.

a) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Ký hiệu x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho 2 2

1 2x x+

là một số nguyên. Bài 3: Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến BC, AC và AB.

a) Biết rằng x =1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC. b) Tìm quĩ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z.. Từ đó suy ra tập

hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.

Bài 4: Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C). Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích



40

AP.Q không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B. Bài 5:

a) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt( trong một trận, đội thắng được 1 điểm, đội thua 0 điểm, và đội hoà được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại đượt bao nhiêu điểm và giải thích tại sao?.

b) Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện là tổng của 6 số bất kì trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đều dương.

Năm học: 2007 – 2008 Đề toán chung cho các khối A và B

Bài 1:

Cho phương trình ( )2 2 2 1 3

01

x x m m m

x

− + + −=

−

a) Tìm m để x = -1 là nghiệm của phương trình b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 2: a) Giải bất phương trình ( )( ) 23 1 2 1 7x x x x+ − − − < −

b) Giải hệ phương trình 2 3 2 1

2 3 2 1

x y y x x x

y x x y y y

⎧ + = −⎪⎨

+ = −⎪⎩

Bài 3: a) Cho a, b, là hai số thoả mãn điều kiện

2 2 2 23 2 2 5 7 0a ab b a a ab b a b− + + = − + − + = Chứng tỏ rằng 12 15 0ab a b− + =

b) Cho ( )( )( )

( )2 24 2 1 4 2 2 1

1

x x x x x xA

x x x

+ − + + + + − +=

−

Bài 4:

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và 060BAC = . Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm BC.



41

a) Chứng minh rằng tam giác INP đều. b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E,

K cùng thuộc một đường tròn.

c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo góc BCP Bài 5: Một công ti may giao cho tổ máy A may 16.800 sản phẩm, tổ B may 16.500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B. Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân ngay từ đầu thì sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ, mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm.


Bài 1:

a) Giải hệ phương trình: 2

2

6 69 2

x y xy xy

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩.

b) Cho 11 6 2 , 11 6 2a b= + = − . Chứng minh rằng a, b, là hai nghiệm của

một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên.

c) Cho 3 36 3 10, 6 3 10c d= + = − . Chứng tỏ rằng c2, d2 là hai nghiệm của một

phương trình bậc 2 với hệ số nguyên. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC.

a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3:

a) Cho a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: ab = cd =1. Chứng minh bất đẳng thức: ( )( ) ( )4 2a b c d a b c d+ + + ≥ + + + .

b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd = 1. Chứng minh rằng bất đẳng thức: ( )( ) ( )( )ac bd ad bc a b c d+ + ≥ + + .

Bài 4:



42

Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang. Bài 5:

a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình 2 2 22 0, 2 0, 2 0x ax b x bx c x cx a− + = − + = − + = có ít nhất

một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm.

b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính phương( ví dụ S = {5, 20, 44}). Chứng minh rằng trong tập S có không quá một số lẻ.



43

5. Tuyển sinh vào lớp 10 – TP.HCM Năm học 2005 – 2006

Đề thi chung vào các trường chuyên Bài 1: Cho phương trình: ( )2 24 2 3 2 3 2 0x m x m m+ − + − + =

b) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m c) Tìm m để tích 2 nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

c) ( )2 2 26

x y x yx y

⎧ + = +⎪⎨

+ =⎪⎩

d) ( )

22

225 11

5xx

x+ =

+

Bài 3: a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤

b) Cho a, b > 0. Chứng minh 2 ab aba b

≤+

Bài 4: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng khi tăng thêm mỗi chứ số một đơn vị thì số mới tạo thành cũng là một số chính phương Bài 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R), góc C bằng 45o. Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh MN vuông góc với OC

b) Chứng minh 2

ABMN =

Bài 6: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC( H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng b) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK đạt giá trị lớn nhất.



44

Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1:

a) Định m để hai phương trình 2 0x x m+ + = và 2 1 0x mx+ + = có ít nhất một nghiệm chung.

d) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình

( )2 2 2 2 2 2 0b x b c a x c+ + − + = vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình

a) ( )3 3 31

x y x yx y

⎧ − = −⎪⎨

+ =⎪⎩

b) 2 2

2 13 63 5 2 3 2

x xx x x x

+ =− + + +

Bài 3:

a) Chứng minh rằng ( )4 4 3 3 2 22 2a b ab a b a b+ ≥ + + với mọi a, b

b) Chứng minh 2 2 22a b ab b a− + − > với mọi a > b > 0. Bài 4: Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB < AD. Tia phân giác của góc

BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N. Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN. a) Chứng minh rằng DN = BC và CK MN⊥ b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp. Bài 6:

Cho tam giác ABC có 2A B= . Chứng minh rằng 2 2 .BC AC AB AC= +



45

Năm học: 2006 – 2007 Đề thi chung vào các trường chuyên

Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 3 2 15 3 4x yx y+ =⎧

⎨ + = −⎩

b) 22 2 3 3 0x x+ − = c) 4 29 8 1 0x x+ − =

Bài 2: Thu gọn các biểu thức sau:

a) 15 12 15 2 2 3

A −= −

− −.

b) 2 2 4.2 2

a a aa a a

⎛ ⎞− + ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ với 0, 4a a> ≠

Bài 3: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chu vi của mảnh đất ban đầu. Bài 4:

a) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tai điểm có tung độ bằng 4.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 4 và 2

2xy = − trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ

độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cát cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D.

a) Chứng minh AD. AC = AE.AB. b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng

minh AH vuông góc với BC. c) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm.

Chứng minh ANM AKN= . d) Chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng.



46

Đề thi chung vào các trường chuyên Bài 1:

Thu gọn các biểu thức sau:

a) ( )2 4 6 2 5.. 10 2A = + − − .

b) 21 1 2. 1

11 1a aB

aa a⎛ ⎞− + ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟++ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

Bài 2:

Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): 3 22

y x m= − + cắt Parabol (P):

234

y x= − tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: Giải các phương trình và hệ phương trìn: a) 25 1x x− = − .

b)

3 4 2

4 5 3

x y

x y

⎧ − =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

c) 2 24 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = + . Bài 4:

a) Cho hai số dương x, y thoả 3x y xy+ = . Tính xy

.

b) Tìm các số nguyên dương thoả 1 1 12x y

+ =

Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là trung điểm cùa AB và AC.

a) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

b) Gọi F là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH và CEH. Chừng minh HF đi qua trung điểm của DE.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm F.



47

Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1: Tìm các giá trị của m để phương trình : 2 22 3 0x mx m m− + − − = có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2 2

1 2 6x x+ = .

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2 2

3 2 25 4x x x x+ = −

+ − + −.

b) 5 5 61 1x xx x

x x− −⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Bài 3: Cho hai số dương x, y thoả 3 3x y x y+ = − .

Chứng minh rằng 2 2 1x y+ < . Bài 4: Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất thoả cả hai tính chất sau:

a) Chữ số cuối cùng là 6. b) Nếu bỏ chữ số 6 cuối ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số

mới nhận được gấp 4 lần số ban đầu. Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB không qua tâm O. Điểm C thuộc cung lớn AB. Vẽ đường tròn (O1) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A. Vẽ đường tròn (O2) qua C và tiếp xúc với AB tại B. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thức hai E. Gọi F là giao điểm của CE và đường tròn (O)( khác điểm C).

a) Tứ giác AEBF là hình gì? b) Khi C lưu động trên cung lớn AB thì E di chuyển trên đường cố định nào?

Bài 6: Cho tam giác ABC không có góc tù, có hai đường cao AH và BK. Cho biết AH BC≥ và BK AC≥ . Hãy tính các góc của tam giác ABC.



48

Năm học 2007 – 2008 Bắt đầu từ năm học 2007 – 2008 thì thành phố chỉ tổ chức một kì thi tuyển sinh vào lớp 10 bao gồm cả vào trường chuyên. Đề thi môn toán gồm hai đề: một đề thi chung cho toàn thành phố, một đề thi vào các lớp chuyên toán.

Đề thi chung trên toàn thành phố Bài 1: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2 2 5 4 0x x− + = .

b) 4 229 100 0x x− + = .

c)5 6 179 7x yx y+ =⎧

⎨ − =⎩

Bài 2: Thu gọn các biểu thức sau:

a) 4 2 36 2

A −=

−

b) ( )3 2 6 6 3 3B = + −

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng 120m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Bài 4: Cho phương trình: 2 22 1 0x mx m m− + − + = với m là tham số, x là ẩn.

a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x1, x2. c) Với điều kiện câu b, hãy tìm m để biểu thức 1 2 1 2A x x x x= − − đạt giá trị nhỏ

nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh rằng tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE. AB = AF. AC



49

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.

Tính tỉ số OKBC

khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.



50

Đề thi vào lớp chuyên toán Bài 1:

a) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: ( )2 2 2 2x y z t x y z t+ + + ≥ + +

Đẳng thức xảy ra khi nào? b) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b khác không ta luôn có bất đẳng

thức sau: 2 2

2 2 3a b a bb a b a

⎛ ⎞+ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 6 5 8x xy x y− = − − .

Bài 3:

Cho hệ phương trình: ( )( )

2 2 2 2 112 2

x y x yxy x y m

⎧ + + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩

a) Giải hệ phương trình khi m = 24 b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Câu 4:

Cho ( )( )2 22007 2007 2007x x y y+ + + + =

Tính S x y= + . Bài 5:

Cho a, b là các số nguyên sao cho 1 1a ba b+ +

+ cũng là số nguyên. Gọi d là ước số

chung của a và b. Chứng minh rằngd a b≤ + Bài 6:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) ( AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P.

a) Cho biết 2 2

1 1 116OB NC

+ = , tính độ dài đoạn BC.

b) Chứng BP CPAC AB

− .

c) Chứng minh BC, ON và AP đồng qui.



51

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN NGUYỄN TĂNG VŨ

1. Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ tia Ax sao cho

xAB ACB= (Ax khác phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O). Chứng minh:

x

t

O

A

BC

Vẽ tia tiếp tuyến At của đường tròn (O) sao cho At và Ax cùng phía đối với AB.

Khi đó ta có tAB ACB xAB= = , suy ra tia At trùng với tia Ax. Do đó Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O). Từ bài toán trên cho ta một phương pháp chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. 2. Các ví dụ áp dụng Bài toán 2: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Ta lấy điểm E trên cung nhỏ AB và gọi M là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MEB và AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC. Lời giải:



52

Ta có: ( )1 12

ABE sd AE=

Và

( )

1 12 21 1 1 22 2 2

AMB sd AC sd AM

sd AB sd AM sd AE

= −

= − =

Từ (1) và (2) ta có MBE ABE= , do đó theo bài toán 1 thì BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEB. Chứng minh tương tự ta cũng có CA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC. Bài toán 3: Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. M là một điểm thuộc bán kính OA. Kẻ dây DE qua M, Tiếp tuyến tại E cắt AB tại F, FD cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN. Lời giải:

Ta có:

1 12 21 12 212

FME AME sd BD sd AE

sd AD sd AE

sd ED FEM

= = +

= +

= =

Suy ra tam giác FME cân tại F, suy ra: FE = FM. Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được: FN. FD = FE2 = FM2. Từ đó hai tam giác

FMN và FDM đồng dạng (cgc). Suy ra FMN MDF MDN= = , theo bài toán 1 thì FM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDN, hay AB là tiếp tuyến của đường tròn trên. Bài toán 4: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Cát tuyến thay đổi qua A cắt (O1) tại C, (O2) tại D. Tiếp tuyến của (O1) tại C, của (O2) tại D cắt nhau tại P. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên PC và PD. Chứng minh rằng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi cát quay quanh A. Lời giải:

A

N

F

E

D

OB

C

M

M C

O

A

B

E



53

I

F

E B

P

DA

O1 O2C

Vì PC, PD là tiếp tuyến của (O1) và (O2) nên ta có: PCA CBA= và PDA DBA= .

Suy ra: 180oCPD CBA DBA CPD PCA PDA+ + = + + = hay 180oCPD CBD+ = , do đó tứ giác PCBD là tứ giác nội tiếp.

Gọi I là hình chiếu của B trên CD, khi đó ta chứng minh được E, I, F thẳng hàng ( đường thẳng Simson). Ta thấy I là giao điểm của EF và đường tròn đường kính AB, ta chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn đường kính AB tại I.

Thật vậy, ta có tứ giác CEBI nội tiếp, suy ra: ECB EIB= . Hơn nữa CE là tiếp

tuyến của (O1) nên ECB CAB IAB= = . Từ đó: EIB IAB= , theo bài toán 1 thì EI chính là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB, hay EF tiếp xúc với đường tròn đường kính AB cố định. 3. Một số tài tập làm thêm. Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường chéo AC tại M( M thuộc đoạn AC). Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB và AMB.

Bài toán 6: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại D. Gọi R là giao điểm của AP và BD.

a) Chứng minh ABRQ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh BP, BR tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR.



54

Bài toán 7: Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến qua A cắt hai đường tròn tại C, D. Tiếp tuyến của hai đường tròn tại C và D cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường trung trực của PB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi cát tuyến quay quanh A. (HD: Goi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PCBD; O, O’ lần lượt là tâm hai đường tròn đã cho. Chứng minh đường trung trực BP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBO’I) Bài toán 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn sao cho CB < CA. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại P. Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB; H là hình chiếu của C trên AD và M là trung điểm của CH. AM cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ. (HD: Gọi C’ là điểm đối xứng của B qua O, Chứng minh C’, Q, P thẳng hàng)



55

NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bài

toán hình luôn là bài toán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất. Để làm một bài toán hình đôi khi phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt. Ngoài ra, học sinh còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các bài toán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp học sinh có một sự liên kết tốt hơn.

PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu 60oBAC = thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC= + − . b) Nếu 120oBAC = thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC= + +

Qua cách chứng minh bài toán 1, ta có nhận xét sau: 1) Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của

góc đó theo hai cạnh còn lại. Chúng ta có các công thức cụ thể đối với các trường hợp đặc biệt như đề bài. Công thức tổng quát sẽ được chứng minh ở các lớp trên.

2) Ngược lại, nếu ta biết ba cạnh của một tam giác ta có thể tính số đo của một góc bất kì.

II. Hướng dẫn giải:

a) Vẽ ( )BD AC D AC⊥ ∈ thì D thuộc đoạn AC.

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )22 2 2 2

2 2 22. .

CB DC BD AC AD BD

AC AC AD AD BD

= + = − +

= − + +

Trong tam giác vuông ABD ta có: 2 2 2

1 1sin sin 602 2

o

AD BD ABAD BAD AD ABAB

+ =

= = = ⇒ =

Do đó: 2 2 2 2 22 .2

BC AC AC AB AB AC AC AB AB1= − + = − + . @

D

A

B C



56

b) Vẽ ( )BD AC D AC⊥ ∈ thì A thuộc đoạn DC.

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )22 2 2 2

2 2 22. .

CB DC BD AC AD BD

AC AC AD AD BD

= + = + +

= + + +

Trong tam giác vuông ABD ta có: 2 2 2

1 1sin sin 602 2

o

AD BD ABAD BAD AD ABAB

+ =

= = = ⇒ =

Do đó: 2 2 2 2 22 .

2BC AC AC AB AB AC AC AB AB1

= − + = + +

. @ Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận xét 1 và 2. Ví dụ 1:

a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc 45oBAC = . Tính cạnh BC. b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và 21BC = . Tính góc số đo góc A.

Sử dụng bài toán trên giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F. Tính các cạnh của tam giác AEF.

III. Hướng dẫn giải

Đặt AF = x. Khi đó FD = AF = x và CF = a – x. Vì

1 22 , ,3 3

BD CD DB CD BC a CD a BD a= + = = ⇒ = = .

Trong tam giác CDF có 60oDCF = nên theo bài toán trên

D

A

BC

a

3

a - x

x

EFH

A

B CD



57

Ta có: ( ) ( )

222 2 2 2

2

1.9 2

11 3 11 11018 2 27 27

aDF CD CD CF CF x a a x a x

a ax x a AF a

= − + ⇔ = − − + −

⇔ − = ⇔ = ⇒ =

Tương tự ta cũng có: 2136

AE a=

Tam giác AEF có 60oEAF = nên ta có: 2 2 2.EF AE AE AF AF= − + Từ đó tính ra được EF. @

Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm trên cung nhỏ BC.

a) Chứng minh rằng MA = MB + MC. b) Chứng minh rằng tổng 2 2 2MA MB MC+ + không phụ thuộc vào vị trí của M trên

cung BC. Tính giá trị đó theo R. Bài 3: Cho tam giác ABC có 60oBAC = . BD và CE là hai đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng BDC BEC ABCS S S+ ≥ .

Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AC. Chứng minh các điều sau là tương đương.

1) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 2) AM + AN + MN = a.

3) 1AM ANBM CN

+ =

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hãy tính cạnh BC trong các trường hợp sau:

a) 90oBAC = . b) 60oBAC = . c) 45oBAC = . d) 30oBAC = .

IV. Hướng dẫn giải

a) Với 90oBAC = thì BC là đường kính của (O) suy ra BC = 2R.

b) Trường hợp 60oBAC = . Vẽ đường kính BC, khi đó ta có 90oBCD = .

Và BAC BDC= (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) 60o=

D

O

B C

A



58

Trong tam giác vuông DBC ta có 3 3sin sin 60 32 2

oBC BDC BC BD RBD

= = = ⇒ = =

c) Tương tự ta cũng có 2BC R= . d) BC R= Qua bài 2 ta có các nhận xét sau: 1. Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công

thức sau: 2sinBC R

A= ( Nếu A nhọn). Tương tự ta cũng có 2

sin sin sinAB AC BC R

C B A= = = .

(*) ( Nếu tam giác ABC nhọn)

2. Nếu góc A tù thì ta lấy A’ thuộc cung lớn BC khi đó 2sinBC R

A=′

3. Từ công thức (*) thì ta sẽ tính dễ dàng một yếu tố trong (*) nếu biết hai yếu tố còn

lại. 4. Khi người ta cho độ dài cạnh theo R, ta nên tính góc đối diện cạnh đó để có thể suy

ra tính đặc biệt của bài toán.

5. Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích: 4ABCabcS

R= (**) . Với a, b,

c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC.

V. Hướng dẫn

Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử là góc A. Vẽ đường cao AH. Khi đó ta có

1 .2ABCS AH AC=

Mà sinAH AB BAC= suy ra 1 . .sin2ABCS AB AC BAC=

H

O

B C

A

A'

O

B

A

C



59

Theo bài toán 2 nhận xét 1 ta có: sin2BCBAC

R= .

Do đó . .4ABC

AB AC BCSR

=4abc

R=

Bài toán 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H, M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O).

b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và BAD JAC= c) Chứng minh rằng AH = 2OM. d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH =

2GO.

VI. Hướng dẫn giải

a)

+ Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên: ,BH BI HI BC= ⊥ . HD BC⊥ ⇒ D là trung

điểm HI. Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường

cao nên cũng là phân giác, suy DBI DBH=

Mà DBH DAC= (Cùng phụ với ACB )

Nên DAI DAC= ⇒ từ giác ABIC nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau).

Suy ra I thuộc (O) + Ta có tứ giác BHCJ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), suy ra CJ // BH và BJ// CH .

Mà ,BH AC CH AB⊥ ⊥ ( H là trực tâm) nên , 90oCJ AC BJ AB ACJ ABJ⊥ ⊥ ⇒ = =

Tứ giác ABJC có 90 90 180o o oABJ ACJ+ = + = nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn (O)

b)Ta có 90oACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng. c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên

OM là đường trung bình, do đó AH = 2OM. d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG. Xét AHGΔ và MOGΔ có:

D

E

G

M

H

JI

O

A

B C



60

+ HAG MOG=

+ ( )2AH AGOM MG

= =

~AHG MOG AGH OGM⇒ Δ Δ ⇒ = , suy ra H, G , O thẳng hàng.

Và 2 2GH AH GH GOGO OM

= = ⇒ = @

VII. Qua bài toán 2 ta có các nhận xét sau: 1) Kết quả vẩn còn đúng trong trường ABC không phải là tam giác nhọn. 2) Vì 3 cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên kết quả của các câu a, b, c vẫn đúng

đối nếu ta thay BC bằng AB hay AC.

3) Từ câu c ta có mối liên hệ giữa AH và 2

2

4BCOM R= − , nên ta có thể tính được

AH trong những trường hợp cụ thể. Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi.

4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G thẳng hàng và GH = 2GO. Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường thẳng Euler.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh OA EF⊥ . c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh OA PQ⊥ d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Hướng dẩn giải

a) Ta có ( )90oBFC BEC= = nên tứ

giác BFEC nội tiếp. b) Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Khi đó ta có: xAB ACB= (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó). Mặt khác AFE ACB= (BEDC nội tiếp)

F

P

Q

D

E

HO

A

B C



61

Do đó xAB AFE= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//FE. Hơn nữa OA Ax⊥ (Ax là tiếp tuyến của (O)) Suy ra OA FE⊥

c) Ta có FH// DP nên AF AHAP AD

= (dl Thalet)

Và HE // DQ nên AE AHAQ AD

= (đl Thalet)

Suy ra AF AEAP AQ

= theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA EF OA PQ⊥ ⇒ ⊥

Hoặc ta chứng minh không cần dựa vào câu a, ta cần chứng minh APQ ACB= Trong tam giác vuông ADB có DP là đường cao nên ta có 2.AP AB AD= Tương tự ta cũng có: 2.AQ AC AD=

Suy ra . . ~AP AQAP AB AQ AC APQ ACB APQ ACBAC AB

= ⇒ = ⇒ Δ Δ ⇒ = ( Tới đây thì

làm giống câu b ta cũng có điều cần chứng minh) d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: HFE HBC= Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có HFD HBC= Suy ra HFE HFD= , do đó FH là tia phân giác của góc EFD . Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc FED .

Qua bài 3 ta có nhận xét sau: 1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau:

,OB DF OC DE⊥ ⊥ . Đây là một bài toán rất quen thuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh các bài toán khác.

2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H.

VIII. Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau:

Bài 5: (LHP 2001 – 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H.

Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua

AB, AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng. c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.



62

Bài 6: (NK 2003 – 2004 CD) Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai

đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác

định quĩ tích của H.

Bài 7: (NK 2005 – 2006 AB) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ

từ A của tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho

PMB NMC= . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng. c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều.

Bài 8: (NK 2006 – 2007 CD) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC,

AB tại M và N, 120oNHM = .

a) Chứng minh AMN ABC= . Tính MNBC

b) Tính AHBC

.

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF,

cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q. a) Chứng minh PQ//EF. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có độ dài không đổi

khi A di chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O). c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N. Chứng minh rằng:

9AD BE CFDN EP FQ

+ + ≥ .

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF cắt

nhau tại H. Gọi M và N là trung điểm của BC và EF. Gọi I là điểm đối xứng của H qua M.

a) Chứng minh MN // OA. b) Chứng minh OA. AN = AM. OM



63

c) Đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm PQ.

Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn

đường kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui.

Bài 12: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung

lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.

Đôi khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ

có thêm nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế.

Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có 3BC R= . Gọi H, I lần lượt là trực

tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. a) Tính góc BAC. b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh ( ),I O O′ ′∈ . d) Tính AH. Suy ra tam giác AOH cân.

Bài 14:

Cho tam giác ABC nhọn có 60oBAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?

Bài 15:(NK 2004 – 2005 AB) Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.

Gọi P, Q là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O).



64

Bài 16:

Cho tam giác ABC nhọn có 45oBAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH.

a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tính BC theo R. c) Tứ giác BFOE là hình gì? d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui.

Bài 17*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường

tròn ngoại tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng OA B C′ ′⊥ .

b) Chứng minh 4AA BB CCAD BE CF

′ ′ ′+ + = .

c) Thử chứng minh điều sau đây 2 2 2 29ABC A B CS S AB BC AC R′ ′ ′≥ ⇔ + + ≤ . d) Chứng minh ABC A B CS S ′ ′ ′≥ . e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và

diện tích lớn nhất

Bài toán 5:

Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn tại A và B.

a) Chứng minh rằng IA.IB = R2 – OI2. b) Kết quả của câu a sẽ như thế nào nếu I nằm ngoài đường tròn. Hướng dẫn giải

a) Vẽ đường kình MN của (O) qua I.

Ta có: MAI BNI= ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra:

( )

( )( ) ( )( ) 2 2

~ . . .MI AIMAI BNI g g AI BI MI NIBI NI

OM OI ON OI R OI R OI R OI

Δ Δ ⇒ = ⇒ =

= − + = − + = −

I

N

OA

BM



65

b) Tương tự như trên ta có 2 2.IA IB OI R= −

Nhận xét: 1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA. IB luôn không đổi và

2 2.IA IB R IO= − . Tính chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng.

2) Ta thấy nếu I, A cố định và 2 2R OI− không đổi thì suy ra B cũng cố định. Kết quả này cho ta ý tưởng để chứng minh các bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định.

3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O). Khi đó ta có IA.IB = IP2.

Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC

kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD

Hướng dẫn giải

IX. Chiều )⇒ chúng ta đã chứng minh ở bài toán 5, giờ ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại.

X. Xét tam giác

XI. + AIB CID= (đối đỉnh)

+ ( ). .IA IB IA IC IB IDID IC

= =

Suy ra ( )~ . .AIB CID c g c BAI DCI⇒ Δ Δ ⇒ = , suy ra tứ giác ABCD nội tiếp(hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai

góc bằng nhau)

XII. b) Chứng minh tương tự câu a.

XIII. Nhận xét: 1) Chiều suy ra thực chất là kết quả của bài 5. 2) Bài 6 cho ta một ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực ra đó là một

cách để chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng trong trình bày chúng ta không được sử dụng. Nếu ta chỉ nghĩ tới việc chứng minh các góc bằng nhau thì sẽ rất khó khăn và hạn chế về ý tưởng, nhưng khi ta nghĩ tới việc chứng minh các hệ thức về độ dài thì sẽ có nhiều hướng hơn để chứng minh.

Sử dụng các bài toán trên chứng minh các bài toán sau:

I

DA

C

B



66

Bài 18: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và CD. a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Đường tròn (H; HA) cắt AB và AC tại P, Q. Chứng minh PBCQ nội tiếp. c) Chứng minh OA PQ⊥ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 19: Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. M là một điểm

thuộc bán kính OA. Kẻ dây DE qua M, tiếp tuyến tại E cắt AB tại F, FD cắt (O) tại N. a) Chứng minh tứ giác FEMN nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác FCON nội tiếp.

Bài 20: (NK 2003 – 2004 CT) c) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một

đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.

d) Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên (d). Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 21: (NK 2006 – 2007 CT) Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C) và I là trung điểm của

AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B. Bài 22: ( HSG Quận Tân Bình 2005 – 2006 )

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC (B, C thuộc (O) ). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 23:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến AP, và H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

Bài toán 7: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Dây Một đường thẳng d thay đổi

qua S cắt đường tròn tại A và B(A nằm giữa S và B). Tiếp tuyển của (O) tại A và B cắt nhau tại D. Vẽ ( )DE OS E OS⊥ ∈ . Vẽ tiếp tuyến SP, SQ với (O) (P, Q là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tích OE.OS không đổi. Từ đó suy ra E là điểm cố định khi d thay đổi và D luôn thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi.



67

b) Chứng minh tứ giác ABEO nội tiếp. e) Chứng minh D, P, Q thẳng hàng. f) Tìm vị trí của d để tứ giác EASQ nội tiếp. Khi đó chứng minh SPA ASO= . Hướng dẫn giải:

a) Gọi I là giao điểm của OD và AB. Khi đó ta có OD vuông góc AB tại I và I là trung điểm của AB. Xét tam giác OED và tam giác OIS có: + SOD chung + ( )90oOED OIS= = Suy ra

.~ OE OD OD OIOED OIS OEOI OS OS

Δ Δ ⇒ = ⇒ =

Trong tam giác vuông OBD có BI là đường cao nên: 2 2.OI OD OB R= =

Do đó 2ROE

OS= không đổi. Suy ra E là

điểm cố định. Từ đó suy ra D luôn thuộc đường

thẳng qua E và vuông góc với OS. b) Ta chứng minh được 2 2.SA SB OS R= − Mà 2 2 2 2. . .R OE OS OS R OS OE OS OS SE= ⇒ − = − = . .SA SB SE SO⇒ = Từ đó ta có tứ giác AEOB nội tiếp. c) Gọi E’ là giao điểm của PQ và OS. Trong tam giác vuông OPS có PE’ là đường

cao nên ta có: 2 2.OE OS OP R′ = =

Suy ra . .OE OS OE OS E E′ ′= ⇒ ≡ Khi đó QP và DE cùng vuông góc với OS tại E nên D, P, Q thẳng hàng. d) Ta có tứ giác SAEQ nội tiếp thì khi và chỉ khi 90oSAQ SEQ= = ⇔ BQ là đường

kính của (O). Khi tứ giác SAEB nội tiếp ta có: ASE AQE= mà AQE SPA= nên suy ra ASE SPA= .

XIV. Nhận xét: a. Bài toán này là một bài toán khó, cho ta nhiều kết quả thú vị. Khi S cố định ta

có P, Q cố định. Khi đó nếu d thay đổi thì D luôn thuộc đường thẳng PQ. Vậy liệu ngược lại, nếu d cố định và S thay đổi thì có điều này không? Tại sao?

b. Tứ giác ABEO luôn là tứ giác nội tiếp. Đây là một tính chất khá hay và nhờ tính chất này chúng ta có thể chứng minh nhiều bài toán khác.

E

A

B

Q

S O

P

D



68

H

I

M

E

D

C

B

S O

A

F

c. Câu d là một trường hợp đặc biệt, khi QB là đường kính thì ta có EASQ nội tiếp. SPA ASO= ta có thể chứng minh được OS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADS.

Bài toán 8: Cho đường tròn (O; R). DC là một dây cung cố định của (O). S là một điểm thay đổi

Trên tia đối của tia DC. Qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của OS và AB.

a) Chứng minh góc CED có số đo không đổi. b) AB luôn đi qua một điểm cố định F. c) Gọi M là giao điểm của AB và CD. Chứng minh OM vuông góc với SF. Hướng dẫn giải

a) Ta có 2. .SD SC SA SE SO= = ⇒ tứ giác DEOC nội tiếp, suy ra DEC DOC= không đổi.

b) Đường thằng qua O vuông góc với CD cắt AB tại F và CD tại H. Khi đó ta có

22. . ROH OF OE OS R OF

OH= = ⇒ =

không đổi, suy ra F cố định. c) Trong tam giác OSF có FE và SH

là đường cao và cắt nhau tại M nên M là trực tâm. Suy ra OM SF⊥

XV.

XVI.

XVII. Nhận xét: 1) Câu a thực ra là áp dụng câu b của bài toán 7. 2) Nếu hiểu rõ bài toán 7 ta có thể chứng minh được AB luôn đi qua điểm F, với

F là giao điểm hai tiếp tuyến tại C và tại D của (O). 3) Bài toán 7 và bài toán 8 cho ta một tính chất rất hay về tiếp tuyến của đường

tròn. Đó là tính chất về tính thẳng hàng của F, A, B. Và tính chất nội tiếp được của tứ giác OECD.

4) Từ câu c ta thấy nếu M là một điểm trong đường tròn, AB và CD là hai dây cung đi qua M. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại S. Khi đó OM vuông góc với SF. Hãy chứng minh khẳng định này.



69

XVIII. Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau:

Bài 24: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ

hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp. b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B).

Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm AC.

c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA. d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh HB là phân giác của góc EHD. e) Tính diện tích tam giác BDC theo R

Bài 25: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B

là hai tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD và OI.

a) Chứng minh 2 . .R OE OM OI OK= = b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. c) Khi CAD nhỏ hơn CBD , chứng minh 2DEC DBC= .

Bài 26: Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB thay đổi qua I và

không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh P luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 27: (THTT 8/2007)

Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB và CD thay đổi qua I và không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Chứng minh OI vuông góc với PQ. Bài 28:

Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn ( E, F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A, B ( A nằm giữa P và B ) cắt EF tại Q.

a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh PA QAPB QB

= (1)

b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó.

Bài 29 ( THTT 12/2007) Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn

với A, B là hai tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M



70

(CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ lớn của góc OPQ. Bài 30*:

Cho tam giác ABC cân tại A. Bên trong tam giác lấy điểm P sao cho: ABP PCB= . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 180oBPM APC+ = . Bài 31:

Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). PO cắt (O) tại I và K ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O).

a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp. b) Chứng minh AC CH⊥ . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. AM cắt IB tại K. Chứng minh

M là trung điểm AK.

Bài 32: Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB,

KD ( B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C). a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng. b) Chứng minh AB. CD = AD. BC c) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh AN đi qua trung điểm BD.

Bài toán 9: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC tại D, E, F. BI cắt

DE tại K. a) Chứng minh tứ giác IEKC nội tiếp, suy ra CK BK⊥ . b) Chứng minh K, M, N thẳng hàng. Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC

và AC.

XIX. Hướng dẫn giải

a) Ta có 1802

o BACKEC AED −= = (tam giác

ADE cân tại A). Và

1 1 1802 2 2

o BACKIC IBC ICB ABC ACB −= + = + =

Do đó KEC KIC= ⇒ tứ giác IEKC nội tiếp. Suy ra 90oIKC IEC= = .

XX. b) Ta có MN là đường trung bình của tam

N

M

K

DE

F

I

A

B C



71

giác ABC nên MN//AB. Trong tam giác vuông BKC có KM là đường trung tuyến nên KM = MB, suy ra tam giác MKB cân tại M. Khi đó ta có 2MKC KBM BKM KBM ABC= + = = suy ra KM // AB. Vậy M, N, K thẳng hàng.

XXI. Nhận xét: 1) Bài toán trên cho ta một tính chất đó là các đường thẳng DE, BI và MN đồng

qui tại một điểm. Vì thế đề bài có thể yêu cầu chứng minh giao điểm của hai đường thuộc đường thẳng còn lại.

2) Vì CK IK⊥ nên nếu gọi K là hình chiếu của C trên BI, ta có K thuộc đường thẳng MN và DE. Hơn thế nếu gọi J là giao điểm của CI và DE ta cũng có BJ CJ⊥ , suy ra tứ giác BHKC nội tiếp.

3) Hãy thử chứng minh các nhận xét trên.

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A có A, B cố định C thay đổi. Đường tròn nội tiếp tam

giác ABC tiếp xúc AC, BC tại D và E. Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 34:

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E là tiếp điểm của (I) với AB và AC. BI, CI cắt DE tại H, K. Chứng minh BI. BH + CI. CH = BC2.



72

Bài toán 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi

H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng:H, I, K thẳng hàng. b) Tìm vị trí của M sao cho IK có độ dài lớn nhất.

XXII. Hướng dẫn giải a) Ta có tứ giác KBHM, HMCI nội tiếp nên: KHM KBM=

XXIII. và 180oHMI ACM+ =

Mà 180oKBM ACM KHM IHM= ⇒ + = ⇒ K, H, I thẳng hàng.

XXIV. b)Ta có

( )~ . 1KI MKMKI MBC g g KI BCBC MB

Δ ⇒ = ≤ ⇒ ≤

XXV. Dấu “=” xảy ra khi K B MB AB≡ ⇔ ⊥ tức AM là đường kính của (O). Vậy KI đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi M là điểm đối xứng của A qua O.

XXVI. Nhận xét: 1) Kết quả vẫn trên vẫn còn đúng nếu M thuộc cung AB, AC. 2) Đường thẳng đi qua 3 điểm H, I, K được gọi là đường thẳng Simson. Đây là

một bài toán khá đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng thú vị.

Cùng làm các bài toán sau:

Bài 35: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi D,

E, F lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M

thay đổi trên cung nhỏ AC.

Bài 36: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi I,

K là hình chiếu của M trên AB và BC. Gọi P, Q là trung điểm của IK và AB. Chứng minh MP PQ⊥

Bài 37: (NK 2004 – 2005 CT) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay

đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.

I

H

K

O

A

BC

M



73

a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định. b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác

ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm HK.

Bài 38: (NK 2007 – 2008 CT) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm trên cung BC không chứa

A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức AM. PB + AN. PC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 39: ( 10 chuyên HCM 2005 – 2006 ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên

cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng. b) Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhất.

Bài 40: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên đổi d, kẻ

các tiếp tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H là các tiếp điểm. Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d và E, F là hình chiếu của A trên Mt, MH. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định.

Bài 41: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, AC. Chứng

minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng. Bài 42: (LHP 2002 – 2003)

Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC.

d) Chứng minh DE đi qua trực tâm H của tam giác ABC. e) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất.



74

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài toán 1: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB. Tìm vị trí của M để MA + MB đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải Trên tia đối của tia MA ta lấy điểm D sao cho MD = MB. Khi đó tam giác MBD cân tại M, suy ra MBD MDB= . Từ đó:

12.2

AMB MBD MDB MDB MDB AMB= + = ⇒ =

không đổi. Suy ra khi M di chuyển trên cung lớn AB thì D

di chuyển trên cung tròn (C) chứa góc 12

AMB

dựng trên đoạn AB. Ta có MA + MB = MA + MD = AD và D thuộc (C)

Do đó AD đạt giá trị lớn nhất khi AD là đường kính của (C), khi đó M trùng với M’ là điểm chính giữa cung AB của (O). Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB. Từ bài toán trên ta có nhận xét:

1. Bài toán vẫn đúng trong trướng hợp M thuộc cung nhỏ AB. 2. Chu vi tam giác MAB lớn nhất khi M là điểm chính giữa cung AB.

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Tìm điểm M trên cung lớn AB sao cho khoảng cách từ M đến AB là lớn nhất.

Hướng dẫn giải Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của M và O trên AB. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến AB. Ta có MH MI OM OI R OI≤ ≤ + = + không đổi. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : H I≡ và M, O, I thằng hàng. Khi đó M trùng với M’ là điểm chính giữa cung lớn AB. Vậy MH đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung lớn AB.

M'

IH

O

A B

M

M'

D'

D

OA B

M



75

Từ bài toán trên ta có nhận xét:

1. Bài toán vẫn đúng trong trướng hợp M thuộc cung nhỏ AB. 2. Diện tích tam giác MAB lớn nhất khi M là điểm chính giữa cung AB.

Bài toán 3: Cho đường tròn (O) là đường thẳng (d) không cắt đường tròn. Tìm điểm M trên (O) sao cho khoảng cách từ M đền (d) là nhỏ nhất, lớn nhất.

Hướng dẫn giải Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của M và O trên

(d). OI cắt đường tròn tại M’ và M’’ (M’ nằm giữa O và I). MH chính là khoảng cách từ M đến (d). + Ta có MH OH OM OM OM OI R≥ − ≥ − = − không đổi. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M M ′≡ . Vậy MH đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M M ′≡ + Ta có: MK MI OI OM OI R≤ ≤ + = + Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi M M ′′≡ . Vậy khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M M ′′≡ .

II. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. Một điểm M thuộc cung lớn AB sao cho tam giác MAB nhọn. Gọi H là trực tâm tam giác MAB. Tìm vị trí của H để chu vi tam giác HAB lớn nhất.

Hướng dẫn giải Ta có:

( )0

360

360

360 180 180

180

o

o o o

o

EHD AMB ADB AEC

EHD ADB AEC AMB

AMB AMB

AHB EHD AMB const

+ + + =

⇒ = − + −

= − − = −

⇒ = = − =

H

M'

I

M''

A

M

H

D

E

C

A B

M



76

Đo đó khi M di chuyển trên cung lớn AB (tam giác ABC nhọn thì H di chuyển trên cung chứa góc 180o AMB− (ta đặt là cung tròn (c)). Vậy chu vi tam giác HAB lớn nhất khi và chỉ khi H là điểm chính giữa cung (c), khi đó tam giác HAB cân, suy ra tam giác MAB cân, tức là M là điểm chính giữa cung AB của (O). Vậy khi M là điểm chính giữa cung AB thì chu vi tam giác HAB đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 2:

Chứng minh rằng trong tất cả các tứ giác nội tiếp đường tròn thì hình vuông có chu vi lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa các cung ABC và ADC . Khi đó ta có AB CB MA MC+ ≤ + và AD CD AP CP+ ≤ +

ABCD AMCPP P⇒ ≤ (1) Gọi P và Q lần lượt là điểm chính giữa các cung MCP và MAP . Khi đó ta có: MC PC MN PN+ ≤ + và MA PA MQ PQ+ ≤ +

AMCP MNPQP P⇒ ≤ . (2) Từ (1) và (2) ta có ABCD MNPQP P≤ mà MNPQ chính là hình vuông nội tiếp đường tròn (O). Vậy trong tất cả các tứ giác nội tiếp thì hình vuông có chu vi lớn nhất.

Ví dụ 3:

Trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi lớn nhất.

Hướng dẫn giải Tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn, ta giả sử đó là góc A. Gọi M là trung điểm cung BC, khi đó ta có:

ABC MBCP P≤ .

C

A

Q P

M

O

N

B

D

H

M

O

A

BC



77

MO cắt BC tại H và MH BC⊥ và H là trung điểm của BC. Đặt OH x= . Ta có 2 2 2 22 2BC BH OB OH R x= = − = − .

Và ( ) ( )22 2 2 2 22 2BM BM MH R x R x R Rx= + = − + + = + . Khi đó :

( )2 2 22 2 2 2 2

2 2MBCP MB BC R x R Rx

R x R x R

= + = − + +

= + − +.

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có :

( )( )2 1 2 6 3R x R R x R R x− + ≤ + − + = − Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

( )2 12 6 3 3 3 6 3 3 3 6 3 3 33 3

R x R x R x R x R x R x R+ − = + − ≤ + + − =

Do đó ( )2 2 3 3R x R x R R+ + + ≤ .

Vậy 3 3ABC MBCP P R≤ ≤ . Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Vậy trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi lớn nhất. Ví dụ 4:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đền (O) (B, C là hai tiếp điểm). Tìm vị trí M trên cung nhỏ BC sao cho tổng khoảng cách từ M đến AB, AC là nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải Gọi H và K là hình chiếu của M trên AB và AC. Ta tìm vị trí của M để tồng MH + MK đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có :

1 1. .2 2ABC AMB AMC BMC MBCS S S S MH AB MK AC S= + + = + +

( )12ABC MBCS S AB MH MK⇒ − = + ( vì AB =

AC)

Suy ra ( )2 ABC MBCS SMH MK

AB−

+ =

Vì SABC, AB là không đổi nên MH + MK đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi SMBC đạt giá trị lớn nhất. Theo bài toán 2 M là điểm chính giữa cung nhỏ BC.

K

H

C

B

A O

M



78

III. BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định. Trên cung lớn AB ta lấy điểm M. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm vị trí của M để:

a) Chu vi tam giác IAB lớn nhất. b) Diện tích tam giác IAB lớn nhất c) Tính các giá trị lớn nhất của chu vi, diện tích của tam giác IAB khi

3AB R= Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. P là một điểm thay đổi trên cung BC không

chứa A. Tìm vị trí của P để 1 1 1PA PB PC

+ + đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Trong các tam giác nội tiếp đường tròn tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài 4: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định, M là 1 điểm di động trên cung lớn AB sao cho tam giác AMB nhọn. Các đường cao của tam giác lần lượt là AD, BE và CE. Tìm vị trí M để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó khi 3AB R= . Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là 1 điểm thay đổi trên cạnh BC. Đường tròn (I) qua M tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (J) tiếp xúc với AC tại C cắt nhau tại P. Tìm vị trí M để chu vi tam giác ABP lớn nhất. Bài 6: Cho đường tròn (O) nằm trong góc xOy. Tìm vị trí của M trên đường tròn để tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là:

a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất.

Bài 7: A và B là 2 điểm nằm ngoài đường tròn (O) sao cho đoạn AB không cắt (O). Tìm trên (O) điểm M sao cho diện tích tam giác MAB là: a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất. Bài 8: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M trên (O) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác ABC là:

a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất.

Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung 3BC R= . A là một điểm thuộc đường

tròn đường kính BC (A ở ngoài (O)). AB, AC cắt (O) tại D và E. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác ADE là lớn nhất. Bài 10:



79

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm thay đổi trên cung BC (không chứa A). Gọi H, K là hình chiếu của A trên PB, PC. Tìm vị trí của P để AH. PB + AK.CP đạt giá trị lớn nhất.

Documents

thi vao 10 moi - Luyện thi vào lớp 10 · PDF fileĐây là bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào lớp 10 các ... Kể từ năm học 2006 – 2007 thì đề thi vào