ºÆ ·¬

Qd¡T¥~ê QdÄ �¶¼

�lc kÆdn¼ Æ�l¼ dnÀc lÀcÆg l�y c Ãö �¾W dg d¼Ç½¡ O»À�Rg QdÄ �Tz¼ ~ê ÁSW¬  ÂÄd¼ QÇ}¸c

QdÄ �ºTÀdz¼ �Ç�l¼ Ãn}dÁQd¡T¥~ê ¾cÇÁ¡ dg dn¬ ¿Sc Ã� c lÀcÇmQ �Ãgc ¾d¼ dg dÄ �RSdvgdu ºÆ lÁ¼Ç¼ O °cÆ

QnÅg l}dÁ ¾cÇm �l¼ OdÄ �ºTÀdz¼ ¿Sc Qd¼W QdÄ �l!SÆ ¯T° l}dÁ dg �ÀÇ �l¼ lÀcÇm dn¬ ¿Sc Ãg vÁ¼ l¹n~¼ lzST¬

l! �¶Æ c Ámdh¡Qd¡T¥~ê«TÇmlÅu  l¬¢¼QdÄ �¶¼ ¿Sn½Å¼ ù½u c �lcQd¡T¥~ê ÁSW¬ c

QdÄÁSW¬ ù½u c Ã� (SBM)  dT±¼dg lÀcÆg l�y Æ lÆd! T¥ QÁSW¬ ¾cÇÁ¡ Ãg (CTRW ) ÃnÇTê ¾d¼

Ãg OQd¼W QdÄ �»nT QdÄ �l!SÆ Æ »TÄd¼ c l}g l¬¢¼ c ê ·¬ ¿Sc �lc Qd¡T¥ ~ê «TÇm lÆd!

�»Scê �l¼  � ¶¼ Æ Q �â¸d¼

Qd¡T¥~ê d¼W Ð�Ñ

QǸ  SÇm Ð�Ð�Ñ

¾ÇÀd° Æ ÂÇSǼ �ê¬ Ol¸ÇÀg ÃT° ÃvTnÀ Ç} Ã� lc Q�¼ y ÃT° ÇuÆ l¹¡ Ãg ¶d¼À  SÇm ldc lT½Äc

�À� ÇÅ Ãn¬dS »T½¢m ¶d¼À QdÄ � SÇm Æc c ¢g Æ l¬dS »T½¢m QǸ ¶Ædê Çm c¢g »TÄd¼ ¿Sc �lc Ð�g c¡c

l Ç�À! �QǸ Q �Ãn¬dS »T½¢m Q�¼ y ÃT° Æ QǸ QdÄ � SÇm Ǽ QnTg kdTau ¾cÇm �l¼ >ÖØêÖÖ@  uc¼

Ð 7KH /DZ RI /DUJH 1XPEHUV

ÓÑ

ÓÒ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

¡ OcË Æ cÊ lgdq Æ Qcc Ãg !c lcÐcSdê l¢SÇm F  SÇmwS O>ÖÖ@ QǸ Çm  ºdvÀc QdÄd� ¯h g �l¬dS

OS Ãgc X lT½� Ã� l½° Ãg dg Ãnc ÇuÆ clgdq lhr¼

cÊXÊ + cËXË = cX �Ð�Ñ�

lÀdTg Ãg �Á� QÆTê F  SÇm c O��iid� Àc l}cÇÁzS  SÇm Æ ÂÇg ·±n¼ Ã�� XË Æ XÊ l¬dm QdÄT¦n¼ ÁÀd½Ä

Oϕ(z) !c }S

ϕ(z) ≡〈

eiXz〉

=

∫ ∞

−∞eiXzdF (X), �Ñ�Ñ�

�dg c°g S Ãgc !c lc cSdê F kÇ ¿Sc Odg F  SÇm Ã~¼  gdm

ϕ(cÊz)ϕ(cËz) = ϕ(cz). �Ò�Ñ�

F �n¼  SÇm dg �iid� l¬dm QdÄT¦n¼ X,XÊ, XË, ..., Xn TÁ�¬ � Ãacc >ÑÐ@ ѹ¬ Çm m�¯T° «S¢m

�dg c°g S Ãgc Ã� QÇ �Ãg OÁdg Ãnc ÇuÆ γn Æ cn > Ó QdÄ �lgdq !c lc cSdê F kÇ ¿Sc �Ádg

Yn ≡ ΣiXi ↔ cnX + γn �Ó�Ñ�

¯h Ã~¼  gdm OlSdÅÀ �ÁÁ� �l¼ ¶dhÀ OF Oc lÀdzS  SÇm l½ Æ Ä l¬dm QdÄT¦n¼ Ã�ldÁ¢¼ ¿Sc Ãg Ã�

OÁ� �l¼ dc c S �l¢gdm Ãgc �Ò�Ñ� Ãgc

ϕn(z) = ϕ(cnz)eiγnz �Ô�Ñ�

Olc kÇ ¿Sc Ãg |dê Æ c ¯T° ·y Ã�

ψ(z) = log(ϕ(z)) = iγz − c|z|α{

Ê+ iβz

|z|ω(z, α)}

���

Ð 6WDEOH

Ñ )HOOHU

ÓÒ

ÓÓ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

�ÁnÄ c > Ó Æ−Ê < β ≤ Ê OÓ < α ≤ Ë Odg Ãnc l±T±y c±¼ Ä ÀcÇm�l¼ γ � ÁnÄ lgdq Sd±¼ α, β, γ, c Æ

Æ

ω(z, α) =

tan(παË), B7 α 6= Ê,

Ëπ log(|z|), B7 α = Ê.

���

Ãgc cn dvÁÅg fS Ã� c ¾dÀ ¾cÇm �l¼ �Õ�Ñ� Ãgc QT!d� �Ãg dg �c ºdÀ ÐQǸ Ã~¼ Qd½À dS}d α

�SW �l¼ l �Ãg Q�¼ y ÃT° c Ã� lÆd! ¶d¼À  SÇm dg lc ¶d¢¼ α = Ë Qy c±¼ �nÊ/α dg lc gcg �Ò�Ñ�

QdÄn¼cdê c Æ γ Æ ¿Sc c �lcX Qcg ldT±¼ fS c Æ Ä �l¼ ¶d±nÀc c  SÇm γ �lc ¾d±n¼  SÇm β = ÓQcc Ãg

OÁ� �l¼ dc c S Ãgc Ã~¼  gdm OdÄ �¾W c ¾� À �ª dg Æ ÁnTÀ ldc

|ϕ(z)| = e−|z|α α 6= Ê. �×�Ñ�

OlÇÀ ¾cÇm�l¼ ¿ScgdÁg

ψ = −|z|αexp{

iπβ

Ësign(z)

}

���

Odg�l¼ ÃTydÀ ¿Sc Ãg Æz¼ Ã� β l¹c n¼cdê dg

|β| ≤

α, B7 Ó < α < Ê,

Ë− α, B7 Ê < α < Ë.�ÐÙ�Ñ�

OÇ�l¼ «S¢m �Ø�Ñ� Ãgc ¯S c Æ ϕ(z) g ÃSǬ ·Shm ¶d½¡c dg Opdffα,β(x)

fα,β(x) =Ê

πRe

∫ ∞

Ó

exp

(

−ixz − zαexp{

iπβ

Ë

})

. �ÐÐ�Ñ�

Ð /H́Y\ ,QGH[ RU &KDUDFWHULVWLF ([SRQHQW

ÓÓ

ÓÔ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

OÆ ¿Sc c

fα,β(x) = fα,−β(−x) �ÐÑ�Ñ�

OÃvTnÀ Æ

fα,Ó(x) = fα,Ó(−x) �ÐÒ�Ñ�

�lc ¾d±n¼ x Ãg lhÀ

�Yn = Σni=ÊXi »Sc XÊ, XË, ... �iid� QdÄT¦n¼ Qcg »TÁ� �l¼ ¬ �Ç�À! �QǸ Ãn¬dS »T½¢m Q�¼ y ÃT°

ÀdScÆ !c ÂSÆ �Ãg �lc cSdê F OÇ c}½Ä F  SÇm wS Ãg n → ∞ y fdÁ¼ dvÁÅg dg Yn  SÇm !c

lÀcÇm ·z Ãg cSdê QǸ  SÇm RhÀdv¼ dn¬ �Á� �l¼ lT¢hm Q�¼ y ÃT° c Æ Çg ÄcÇ} lÆd! F Odg Æz¼

Olc Ç�¢¼

fα,β(x) ∼Aα,β|x|Ê+α , α < Ë. �ÐÓ�Ñ�

Olc!cÆ ÀdScÆ OÓ < α < Ë dg cSdê QdÄ �QǸ ºd½m Qcg

〈

xË〉

→ ∞. �ÐÔ�Ñ�

OÁnÄ lÄdÁn¼ Ó ≤ δ < α ≤ Ë Ä Qcc Ãg x ¯¹¼ Sd±¼ Qcg Q� QdÄ �lÁ¼Ç¼ O·gd±¼

〈

|x|δ〉

ÓÕ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

lnTSÇ!c Ñ�Ð�Ñ

�ÆW l�Ãg lÀd¼ Æ Q"ÁÄ fTmm �Ãg ¯S Æ c ¾cÇm �l¼ c �MSD� RSdvgdu  g¼ ¿T"ÀdT¼ ~ê ÁSW¬wS Qcg

〈

xË(t)〉

≡ ÊN∑N

i=Ê [xi(t)− xi(tÓ)]Ë

〈

δË(∆)〉

≡ ÊN∑N

i=Ê

{

Êt−∆

∫ t−∆Ó

[xi(t′ +∆)− xi(t′)]Ë dt′

}

. �ÐÖ�Ñ�

ÂÀcÇ}ÐwSÇ!c »nTwS OwSÇ!c �Ãh ÃT¬ ¯hg �Á� �l¼ dSc c t ÂÄd¼ ¾d¼±À∆QT}dm ¾d¼ OlÀd¼ ¿T"ÀdT¼

wSÇ!c QdÄ �»nT Qcg �g d¬ Qd¬ ñÀ Ä Ãg ÂcÇ~¸ Ç�Ãg ÀcÇng Æz¼ ¾d¼ QT¼ Ä !c Ç�l¼

�»Tdg Ãnc lÀ¬Ç QdÄ �¾d¼ Qcg Sdg O}S lmdh¡ Ãg OÁdg �l¼ }SzS ¶d¢¼ Q"ÁÄ Æ lÀd¼ QdÄ �¿T"ÀdT¼

〈

xË(∆)〉

∼〈

δË(∆)〉

. �Ð×�Ñ�

ln°Æ }S lÀdTg Ãg dS OÀT! ·z ¾d±m lz dg d¬ QdÄc! c ¢g ÁÀcÇm�l¼ OlnTSÇ!c lz Qcc RSdÄ �»nT

�� cÆ c ÒlnTSÇ!c «T¢ lz wc ÑdöÇg �T"À c° »nT dTn}c d¬ Qd¬ c RSdÄ �~g Ã�

g Qd¡T¥ ~ê dg QdÄ �»nT �Ç�l¼ ¿TT¢m OÂÀÇ c!cÆ lÀcÇm kÇ �Ãg �lÀd¼  SÇm  gdm Çm »nT wT¼dÁS

�ÁnÄ l ¿Sc c Qc�ÃÀǽÀ OÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ ¶¼ ¯h

lny OdÄSê�ÂÄd¼ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ Ã� lc ¿Sc OÇ�l¼ ÂÄd¼ «T¢ wSÇ!cT¥ QdÄÁSW¬ Ã� Q}S l!SÆ

c±¼ ¶Çy Ã� Çg ÄcÇ} kÆdn¼ }S Q �ÃÀǽÀ Ãg Qc�ÃÀǽÀ c Æ lc l¬dm lnT½� OÁ¹g dTg Q �ÂÄd¼ ¾d¼ Qcg

Æ Â ÂT¼dÀ EB lnTSÇ!c lz n¼cdê OÄ �l¼ ¾dÀ c dÄ �l!Á�cê ¿Sc Ã� QdT¢¼ �c T} Æ l¬c Ç} ¿T"ÀdT¼

OÇ �l¼ «S¢m kÇ ¿Sc Ãg

(%(∆) =

〈

(

δË(∆))Ë

〉

−〈

δË(∆)〉Ë

〈

δË(∆)〉Ë

=〈

ξË(∆)〉

− Ê. �ÐØ�Ñ�

Ð (UJRGLF

Ñ %RXFKDXG

Ò :HDN (UJRGLFLW\ %UHDNLQJ

ÓÕ

ÓÖ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

Ãg∆/t dg l} kÇ �Ãg lT½� ¿Sc∆/t→ Ó y lÀÆcg l�y Qcg �lc〈

ξË(∆)〉

= δË(∆)

〈

δË(∆)〉 Ãgc ¿Sc Ã�

O>×Ð O×Ù@ Á� �l¼ ·T¼

(%%0(∆) = Í∆/(Ìt). �ÑÙ�Ñ�

Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ Ò�Ð�Ñ

Ãg »nT Qd¼W kd¡c ln°Æ � >ÑÐ@ lc ~ê ÂSê »Å¼ Qd¼W QdÄ �l!SÆ Ã¹½u c �FPT� ÐÇh¡ ¿T¸Æc ¾d¼

ÁSW¬ ÇÀ ¿TT¢m Qcg Ã� lc RSdÄ �lT½� ù½u c OÇh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ Qd¼W l!SÆ lg Odg dTn}c l¬d� ÂcÀc

l¬dm l�y �~ê ÁSW¬  Ã� Ç�l¼ Ãn! Ta ¾d¼ Ãg Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼  °cÆ �Ç�l¼ ºdvÀc Qd¡T¥~ê

Olc l¬dm ÁSW¬ Ã� dvÀW c �g ad} c±¼ dS ñÀwS Ãg � c±¼ c �l�y c ¢g dg ¿T¸ÆcQcg �Ç}

ÂSÆ �Ãg dg ~ê ÁSW¬ ÇÀ T~m »Å¼ Ã}dwS ÀcÇm�l¼ Æ T! �l¼ c° lg Ǽ Ta ¶d½nyc l¸d}ö ·c

kÇ �Ãg c Ta ¾cÇm �l¼ lnyc Ãg OÒQc� �m RgdS QdÄ �Sd¼W �d} ·TÀdnê wS Ãg ÑT±¼ QdÄ �»nT Qcg

Ã� Ç �¾d½Ä �� QT! �ÂcÀc OÁ� �l¼ l c n�y Æ Ã±À c ¿T¢¼ ùd¬wS  Ã� ln°Æ OlÀd¼ QdÄ �lÁ¼Ç¼

Qd¼W c�m c Ã� ch¼ c ùd¬ Ãg lhÀ ¿T"ÀdT¼ Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ Qcg QÁg�dT±¼ Olc  Âc ¾dÀ >×Ñ@  u¼

�lc Çg¼ ~ê ÁSW¬ kd~¼ c lzS Olc ¼W l�Ãg lSd¼W ¿TÁö

edmdg ·c Æ Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼

d� Ã� c ¾dÀ OÂd ùTy wS dg ÓÂÀW Ð××Ö d¼c Odg ·z¼ À Ãg ¾W ¶d½nyc l¸d}ö dS Ta ¿n¬dS lc ¿z½¼

¯S c Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼  SÇm Ãg ¾T m �¶Æcn¼ Æ ÁöÄ �Ç�l¼ ÂT¼dÀ edmdg ·c ùTy ¿Sc �lTÀ ln~

�>×Ò@ Ç�l¼ ºdvÀc�Àê ��Ǭ ød¢¼

��Ð�Ñ� SÇm Á� �l¼ Çh¡ a c±¼ c dg ¿T¸Æc Qcg τ ¾d¼ Ã� »ST! �l¼ À c ÁSÆ ÁSW¬ wS O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg

Ð )LUVW 3DVVDJH 7LPH

Ñ &RQILQHG 6\VWHPV

Ò 6LQJOH 3DUWLFOH 7UDFNLQJ ([SHULPHQWV

Ó '� $QGUH́

ÓÖ

Ó× Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

TÀ Q}S T¼ ¿TÁ÷½Ä � �l¼ a c±¼ Ãg dg ¿T¸Æc Qcg t = τ ¾d¼ Ã� ÁSÆ ÁSW¬ Qcg ÃÀǽÀ T¼ �Ð�Ñ ·z¯¬c Çz¼ Ãg lhÀ l¸Æc T¼ edmdg ücc Æ Olc ¶Æc T¼ ÁÀd¼ d±T° �l¼ a Ãg ln°Æ dm Ã�lc  Âc ¾dÀ

�lc a ñ
¾d¼ dm TÀ ºÆ T¼ �l¬dS Q}S T¼ Oa dmc ¯¬c } Ãg lhÀ T¼ ¿Sc edmdg dg Oa c ¾W Çh¡ c ¢g ¾cÇm �l¼

du�¾W c O¶dy �lc  Âc ¾dÀ ¿Tö �} kÇ �Ãg ·z Ã� Á� �l¼ TT¦m ¾d¼ ¿Sc ¢g d¼c Olc l¸Æc ÁÀd½Ä τ

¿Sc �lc ¾dzS T¼ Æ Ä ¶d½nyc O�¿n¬ ¿TSdê Ã� lc ·½nz¼ ÂcÀc ¾d½Ä ¿n¬ ¬dg � lc ¾d±n¼ ÁSÆ ÁSW¬ Ã�

ºÆ T¼ O»TÁ��¢Á¼ Qc�ñÀ Ä c c ¾d±n¼ l¬dm ÁSW¬wS T¼ !c Ã� Á� �l¼ ¾dTg Æ lc edmdg ·c ¾d½Ä

�c c l¸Æc Ç°Æ ¶d½nyc ¾d½Ä d±T° TÀ

Ã� ST}g À c QÁSÆ ÁSW¬ �»TgdTg c Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ Qcg ¶d½nyc l¸d}ö dm »TÁ� �l¼ Âdnc c ·c ¿Sc ¶dy

Ãg ÂǽÀ l Ã� QT¼ Ãg Ãng ¾d¼ k¼ ¿Sc �lc Ãnc ¾dSu T k¼ Qcg Æ Æ Ó c±¼ c t = Ó ¾d¼

O�Ð�Ñ� SÇm lg dg �dg a QÆd¼ dS m ��gMT Ã� »TÁ� �l¼ Ãhdz¼ c l¸d½nyc ¶dy � �l¼MT Q �ÃÁTTgwS

m ��g c �RSdÅÀ c±¼ Ã� ÃÀǽÀ T¼ Ä Qcg ¿ScgdÁg �lc a QÆd¼ dS m ��g ÁSW¬ Æ Ä ÃÁTTg Ã� Ç�l¼ ÂÄd¼

OÃ�l¬! ÃvTnÀ ¾cÇm �l¼ Æ ¿Sc c �MT ≥ a ¾W Qcg Ã� c ÇuÆ T¼ Æ Olc a c

Prob(MT ≥ a) = Ë× Prob(W (T ) ≥ a). �ÑÐ�Ñ�

O¿ScgdÁg �»TÀc �l¼ cW (T ) Qcg ¶d½nyc l¸d}ö Ã�cö Olc Âd dg a c m ��gW (T ) Ã� �¿Sc ¶d½nyc Ãhdz¼ ¶dy

Prob(MT ≥ a) = Ë× Prob(W (T ) ≥ a) =Ë√ËπT

∫ ∞

a

e−xË/(ËT )dx. �ÑÑ�Ñ�

�lc Ãhdz¼ ·gd° Q¡ QdÄ �Æ c Âdnc dg d¢° d¼c cÀ l¹T¹zm ecÇu ¶c"nÀc ¿Sc

Ó×

ÓØ Qd¡T¥ ~ê d¼W �Ð�Ñ

¾d¼ Ã� »TÀcg lc dTÀ d¬ ÇÁ¼ ¿Sc Ãg �l¬dS c a c Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ ¶d½nyc l¸d}ö ¾cÇm �l¼ O¬dg tSdnÀ Ãg ÃuÇm dg

MT lÁ¢S T ¾d¼ ÁSÆ ÁSW¬ ÃÁTTg !c dÅÁm Æ !c lc T QÆd¼ dS n½� Og a Ãg ÀcÇng Ã� ÁSÆ ÁSW¬ Qcg º¬

OÃvTnÀ �dg a c m ��g

Prob(Ta ≤ T ) = Prob(MT ≥ a) =Ë√ËπT

∫ ∞

a

e−xË/(ËT )dx. �ÑÒ�Ñ�

Olc f(T ) OTa Qcg ¶d½nyc l¸d}ö Æ Olc Ta Qcg F (T )  SÇm  gdm Ta ≤ T ¶d½nyc O¿ScgdÁg

f(T ) =dF (T )

dT=

d

dT

[√

Ë

πT

∫ ∞

a

e−xË/(ËT )dx

]

. �ÑÓ�Ñ�

�»Scê �l¼ dÄ �¾W Ãg nTg ücc Ã� Qd¡T¥ ~ê QdÄÁSW¬ Ǽ Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ ¿n¬dS Qcg lc�ÃSdê Æ ¿Sc Æ

Ãn!k¬Çzm qc Ó�Ð�Ñ

dg �>×Ó@ »TÁ� �l¼ ÂÄd¼ ¾W Ǽd} Æ ÇÀ ·T!l¸dy ¿Tg c lgdm Ðl¼ÇnÀcÇ� ñÀ�mwS ¾w½ö Ã� TÁ�¬

RSdÄ �Ǽd} Æ ¿Æ ¾cÇm �l¼ OÄ�l¼ ¾dÀ c Ǽd} Æ ¿Æ QdÄ �l¸dy ¾dT¼  S QdÄc!Sd¼W ¿Sc Ã� �¿Sc ÇuÆ

t dg dÄc} ¿Sc ÂÆ Ot Á¹g l¬d� ÂcÀc Ãg Q �ÂÄd¼ ¾d¼ l! c ¢g �ǽÀ ÂÄd¼ TÀ Á¹g dTg QdÄ �¾d¼ dg

ÇÀ dS >×Ô@ ÑÂÀ QdÄ �¶Ç¹ Qd½ê QdÄd¥ »Tdnê QdÄ �Ãzh l�y lÅgd¼ ®dmc �>×Ó@ gdS �l¼ Sc¬c

�mÁ¹g Æ Á¹g ¾Çz QdÄ �ÂÆ �Ç�l¼ ÂS >×Õ@ ÒÃngcÆ ·gd±n¼ ¿Tn�c ¼ lÀÆzT¼S QdÄ �edS

d¼c �f(|tÊ − tË|) ldÄ �¾W ·dm c l¢gdm t = tË Æ t = tÊ ¾d¼ Æ ¾dT¼ lÀd¼ l"nh½Ä OdSdê QdÄ �»nT

¿Sc �>×Ö@ dg f(tË/tÊ) kÇ Ãg ÀcÇm�l¼ r¼ Oc m�ÂT÷Tê l¹z lÀd¼ l"ngcÆ ¿Sc OdSdêT¥ QdÄ �»nT

cÇ}g RS¬dg lT½Äc c »nT Ãn! Odu�¿Sc ��ed~nÀc ÂcÇ~¸ kÇ Ãg c lÀd¼ ch¼ ¾cÇm �l½À OdSdêT¥ Sc

Æ Ãz¸ Æ »nT Qd �Âd¼W ÃT¸Æc Q �Ãz¸ ¿Tg ta �lÀd¼ Âdg Ãg xS l"ngcÆ lzST¬ QdÄSê�ÂÄd¼ Ã� cö Tlc

ÄcÇ} kÆdn¼ dTg [Ó, t] lÀd¼ Âdg QÆ g »nT Qcg ~¼ lT½�wS QT! �ÂcÀc OÃvTnÀ �Àc dÄ�Âc lhq

Ð 4XDQWXP 'RW

Ñ 3RWDVVLXP &KDQQHOV LQ WKH 3ODVPD 0HPEUDQH RI /LYLQJ &HOOV

Ò 6XEPLFURQ 7UDFHUV LQ D &URVV�/LQNHG $FWLQ 0HVK

ÓØ

ÔÙ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

ÄcÇ} l¬¢¼ ücc Ã� l~êS Q �ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ wS O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg �[ta, t + ta] Âdg Qcg ÃvTnÀ dg Çg

ÂÄd¼ dg �Çg ÄcÇ} ÆgÆ Qm ��g Æ�g QdÄdnÀc ¾d¼ dg OSu ºd!wS ¿ncg Qcg  O¾d¼ l! dg O

»nT g »�dy d¼W OkÇ ¿Sc �lc Âdn¬c ºc Ãg l!g QdÄ �ºc Á¹g dTg QdÄ �¾d¼ Ã� S »TÄcÇ} OÂ

QdÄ �l!SÆ c lzS ¾cÇÁ¡ Ãg ÂSê ¿Sc dg ¿T¸Æc �Ç À �ª Âdg ¿Sc ÂwT¼dÁS c Ã�lc ln¸dy dg kÆdn¼ ¼d�

l�y ¾d¼QT! �ÂcÀc �ÁÀd¼ � »TÁm c ta ¾cÇm �l¼ dÄ �Sd¼W l¢g � w¼ >××@ ÐQc�ÃTQdÄ �»nT ldc

d¥W dÄ �·¼dy Ãg QÇÀ ¸dê Çm Qc�Ãg ¾� cÆ dg »nTwT¼dÁS du�¾W Ã� Q½T¹ê QdÄdÀd �»TÀ dg QdÄ �·¼dy

Ãg ¾cÇm �l½À ÃT½Ä lnS QdÄ �¶Ç¹ dÄ �edS l�y OÃÀǽÀ Qcg TcÀ ÇuÆ ¾dz¼c ¿Sc ÂcÇ½Ä d¼c �>×Ø@ Ç�l¼

�»TÀcg c ta qc �l¢gdm º¬ Ã�lc »Å¼ dTg l¸dy ¿Sc �ǽÀ ¿TT¢m c ta l°

ÂdT±¼dg lÀcÆg l�y Ñ�Ñ

Ã�lc Ãn¬!kÇ Qd¡T¥~ê ¾� ¶¼ Qcg QdS QdÄ �m O~ê Ãn¬dS »T½¢m k¬d¢¼ c Âdnc dg ¾ÇÁ�dm

� Á¼dTÀ ¾dÁ÷½Ä O dÅÁT꫹n~¼QdÄ �¶¼ »¥ �l¹¡ �ÀÆW »Äc¬ Çg¼ ÁSW¬Qcg lmdTdS lTÇm Àc �ÃnÀcÇm

OÀÇ�l¼ ~¼ ¿SÆÀ¬ ød¢¼ Ãg ÃuÇm dg Ã� OlÆd! QdÄ �¶¼ ¾dT¼ ¿Sc �»TnÄ dÄ �¾W ÂÁÁ� dvSc ºTÀdz¼ m �¯T½¡

�FBM� ÑÀ ¾Æ �kÆh¸Á¼ Q� lÀcÆg l�y Où½u c �ÁÁ� �l¼ dSc RScg ±À Qd¡T¥ ~ê ·T¹zm

ÀdScÆÇ� dg lc Q� lÆd! ìÇÀ ÂÁÄ ¾dÀ ζfgn(t) TÁ� �l¼ QÆTê ẋ = ζfgn(t) ¿SÆÀ¬ ød¢¼ c Ã� lc

¾dÀ lhr¼ Æ lÁ¼ g Á¹g l"nh½Ä O~êc¬ Æ S fTmm Ãg Qcg Ã� 〈ζfgn(tÊ)ζfgn(tË)〉 ≃ α(α−Ê)|tÊ− tË|α−Ë

ÒwTn¬c ÇzSÆ QdÄ �Tz¼ l�y ød¼ lg lÅu O¾W ÃngcÆ Q� ¿SÆÀ¬ ød¢¼ l�y Æ FBM �Ä �l¼

�>ØÙ@ ÀÆ �l¼ d� �Ãg

dT±¼dg lÀcÆg l�y ¶¼ O»Sc ÃuÇm ¾W g nTg ~g ¿Sc Ã� Qd¡T¥~ê Qcg lÆd! QdÄ �¶¼ c ºÆ ÇÀ d¼c

OSW �l¼ l �Ãg x(t) lÀcÆg l�y ¾d¼ ¾�dT±¼dg dg l!d�Ãg ¶¼ ¿Sc �>ØÓêØÐ@lc �SBM� ÓÂ

t→ t∗ = tα, Ó < α < Ë. �ÑÔ�Ñ�

Ð *ODVV\ 6\VWHPV

Ñ 0DQGHOEURW±YDQ 1HVV )UDFWLRQDO %URZQLDQPRWLRQ

Ò 9LVFRHODVWLF

Ó 6FDOHG %URZQLDQ 0RWLRQ

ÔÙ

ÔÐ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

Ol"nh½Ä  gdm Æ ¿T"ÀdT¼ dg lÆd! QÁSW¬ Ox∗(t) ≡ x(t∗) lÀcÆg  dT±¼dg l�y

〈x(t∗)x(s∗)〉 = t∗ ∧ s∗ = tα ∧ sα = 〈x∗(t)x∗(s)〉 �ÑÕ�Ñ�

�Ç�l¼ «S¢m TÀ η(t) T ìÇÀ c Âdnc dg X∗(t) �dg �l¼ c±¼ Æ ¾dT¼ ÃÁT½� ÂÁÄ ¾dÀ ∧ Tlc

x∗(t) =

∫ t

Ó

√

ËK(u)η(u)du, �ÑÖ�Ñ�

�Á� �l¼ dc c 〈η(t)η(s)〉 = δ(t− s) Ãgc η(t) Æ lc ¾d¼ Ãg ÃngcÆ fS K(t) = αK∗αt(α−Ê) Ãgc ¿Sc

Olc kÇ ¿Sc Ãg �ÑÖ�Ñ� Ãg Çg¼ ·TÀcS ød¢¼ º¬

dx∗(t)

dt=

√

ËK(t)η(t). �Ñ×�Ñ�

�Á� �l¼ dc c �ÑÕ�Ð� Ãgc x∗(t)ÀdScÆ Ã� c ¾dÀ ¾cÇm�l¼

ЪÇ�d¼ lÆd! ÁSW¬ wS OlÀcÆg l�y ÁÀd¼ l �SBM� �lcc c lÀcÆg l�y ldc cÇ} �SBM�

�Á� �l¼ y c l¬Ç�d¼ l¹} ÃvTnÀ Æ lÀd¼ fTmm Oα > Ó dg t → tα ¾�dT±¼dg t > Ó Qcg Ã�cö lc

c �SBM� ¾Çg ªÇ�d¼ ¾cÇm �l¼ OÇg¼ ªÆ!ǽ¸Ç� �¿½êdö ød¢¼ lg dg Æ ¶d½nyc  SÇm  gdm c Âdnc dg TÀ

O»Sc b > Ó Qcg �lc α/Ë ldT±¼ Qd½À dg Ãgdn¼Ç} QÁSW¬ �SBM� �ǽÀ ¯T±zm

〈x∗(bt)x∗(bs)〉 = 〈x([bt]α)x([bs]α)〉 = bα 〈x∗(t)x∗(s)〉 , �ÑØ�Ñ�

¾dÀ ¾cÇm �l¼ Ç �¿T½Ä �lc  Âdnc x(bt) = bÊ/Ëx(t) lÀcÆg l�y lÅgdn¼Ç} l!SÆ c Ãgc ¿Sc Ã�

QdÄT¼ �ÁnÄ »Ä c ·±n¼ l¸Ç½¢¼ lÀcÆg l�y ÁÀd½Ä O¾dÇë½ÄdÀ QdÄ �Âdg QÆ g �SBM� QdÄǽÀ Ã� c

l�y x∗(t) OH = ÓÕ ÐÎ Qcg �Ç�l¼ ÂS �Ñ�Ñ� SÇm O dT±¼dg lÀcÆg l�y Q �ÃÀǽÀ  Qd �ÃTh

�Ä �l¼ ¾dÀ c  Á�l�y H = ÓÕ ËÎ Qcg Æ lÀcÆg Q �  Sm

Ð 0DUNRY

ÔÐ

ÔÑ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

�>ØÐ@ H = ÓÕ ËÎ Æ H = ÓÕ ÐÎ Qd½À Æ Qcg  dT±¼ dg lÀcÆg l�y T¼ �Ñ�Ñ ·z

Olc kÇ ¿Sc Ãg  dT±¼dg lÀcÆg l�y g »�dy ~ê ød¢¼

∂P∗(x, t)

∂t= αK∗αt

(α−Ê) ∂ËP∗(x, t)

∂xË= K(t)

∂ËP∗(x, t)

∂xË�ÒÙ�Ñ�

O|dê Qcc P∗(x, Ó) = δ(x)�cS Qdn¸  gdm ÃT¸Æc lzm ød¢¼ ¿Sc

P (x, t∗) =Ê

√

ÍK∗απt∗exp

[

− xË

ÍK∗αt∗

]

=Ê

√

ÍK∗απtαexp

[ −xËÍK∗αt

α

]

≡ P∗(x, t). �ÒÐ�Ñ�

O¿ScgdÁg Olc Ãgdn¼Ç} x→ bα/Ëx Æ t→ bt ldT±¼dg Ãgc lzm �ÒÐ�Ñ� Ãgc pdf �lc

P∗(bα/Ëx, bt) = bα/ËP∗(x, t). �ÒÑ�Ñ�

�c lÅgd¼ pdf TÀ FBM Ã� c ¾dÀ ¾cÇm�l¼

ÔÑ

ÔÒ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

α = H+Ê »Sc ÂdT±¼dg lÀcÆg l�y Qcg Ã� Of(t) ∼ t−α Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼  SÇm α Qd½À ¿T½~m �Ò�Ñ ·z�>ØÐ@

SBM ~ê ÁSW¬ FPT dn¬

Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ ¿TT¢m l¬dm QdÄÁSW¬ ÃuÇm Ǽ QdÄ �ød¼ c lzS O ¾dTg �Ò�Ð�Ñ�~g h° Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä

dÅÁm �lc kÆdn¼ ÁSW¬wS«¹n~¼ QdÄǽÀ Qcg Æ lc l¬dm lT½�wS FPT �lc ¿T¢¼ c±¼wS c dÄ �¾W

Ǽ pzg Ãg ~g ¿Sc �� ¿TT¢m l° Ãg lÀcÆg l�y ù½u c dÄÁSW¬ c QÆ¢¼ c¢m Qcg c FPT ¾cÇm �l¼

�»Scê �l¼  dT±¼dg lÀcÆg l�y Qcg FPT

Qcg Ta ¾d¼ �»TÁ� �l¼ cTê c FPT Qcg  SÇm  gdm O�Ò�Ð�Ñ�~g  ¾dTg Æ QT!d� �Ãg dg OSBM Ǽ

c a c±¼ ·°cy ¾d¼ ¿Sc M(t) = maxÓ≤s≤tx∗(s) !c Çg ÄcÇ} t gcg a c±¼ Ãg x∗(t) ¾T dg ¿T¸Æc

Ot > Ó Qcg Æ ¿Sc c �dg Ãnc

P {M(t) ≥ a} = P {Ta ≤ t} = ËP {X∗(t) ≥ a}

=Ê

√

K∗απt∗

∫ ∞

a

exp

[

− xË

Ít∗

]

dx

=Ê

√

K∗απ

∫ ∞

a/√t∗

exp

[

−yË

Í

]

dy. �ÒÒ�Ñ�

OSW�l¼ l �Ãg Çh¡ ¿T¸Æc ¾d¼ Qcg  SÇm  gdm Os = aËt∗/xË T¦n¼ TT¦m dg

F (t) = P {Ta ≤ t} =a

Ë√

K∗απ

∫ t∗

Ó

s−Ì/Ëexp

[

−aË

Ís

]

ds. �ÒÓ�Ñ�

ÔÒ

ÔÓ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

Olc »TÄcÇ} c Ta Qcg f(t)  SÇm l¸d}ö OfTmm ¿Sg

f(t) =dF (t)

dt=

Ha√

K∗απtH+Ê

exp

[

− aË

ÍtËH

]

. �ÒÔ�Ñ�

kÇ �Ãg f(t) Ot → ∞ ¾� ·T¼ dg �¼W ÄcÇ} l�Ãg l¸Ç½¢¼ lÀcÆg l�y Ãg Çg¼ ÃvTnÀ OH = Ê/Ë Qcg

ÃÀǽÀ ÐÙÙÙ Qcg FPT ·dy tSdnÀ SÇm ¿Sc �Ç�l¼ ÂS �Ò�Ñ� SÇm dn¬ ¿Sc �Á� �l¼ l¬c t−(H+Ê)

RgÇ} ¯¬cÇm dÄ �ÃÀǽÀ »� c¢m ÇuÆ dgH = ÓÕ Í±ÓÕ ÊË lÁT½~m c±¼ �Ä �l¼ ¾dÀ cH = ÓÕ Í Qcg  Qd �ÃTh

�c  Ãhdz¼ c±¼ dg

SBM ~ê ÁSW¬ lnTSÇ!c

·TÀcS ød¢¼ c OS ¾cÇm �l¼ Ã� QÇ�Ãg �c ÇuÆ wSÇ!c T¥ dn¬ dnÀc OSBM ¾Çg dSdêT¥ Ãg ÃuÇm dg

OSW �l¼ l �Ãg Q"ÁÄ ¿T"ÀdT¼ c kÆdn¼ kÇ ¿Sc ÃgMSD Qcg lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ �ÐÖ�Ñ� ¯hg �Ñ×�Ñ�

〈

δË(∆)〉

=ËK∗αt

α+Ê

(α+ Ê)×

[

Ê−(

∆t

)Ê+α −(

Ê− ∆t)Ê+α

]

t−∆ �ÒÕ�Ñ�

O»SÆW �l¼ l �Ãg c S l} dn¬ Ot≫ ∆ y Ã�

〈

δË(∆)〉

∼ ËK∗α∆

tÊ−α. �ÒÖ�Ñ�

O ¾dTg �>×Ù@ �  u¼ Ã� Ä �l¼ ¾dÀ c ÁSW¬ ¾ÇgwSÇ!cT¥ OÃvTnÀ ¿Sc

〈

δË(∆)〉

6= 〈xË(∆)〉. �Ò×�Ñ�

Ãgc Qy kÇ Qcg ∆t ≃ Ê+ ε g c Âdnc dg OÁ� �l¼ ·T¼ t ÂÄd¼ ¾d¼ dS QT! �ÂcÀc ¾d¼ l½ Ãg∆ ln°Æ

O»T �l¼ S ÃvTnÀ Ãg O¬dg

〈

δË(∆)〉

∼ ËK∗αtα −αK∗αtÊ−α

(t−∆) + α(α− Ê)K∗α

ÌtË−α(t−∆)Ë �ÒØ�Ñ�

ÔÓ

ÔÔ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

Qd �ÃTh c ·dy �lc� α = Ì/Ë Æ �éö� α = Ê/Ë QcgMSD Q"ÁÄ Æ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ ÃSd±¼ �Ó�Ñ ·z�lc  » TÀ «¹n~¼ T¼ ¿SÁö QcgMSD �>ØÓ@ l¹T¹zm ÃvTnÀ Æ

~êc¬ Æ �α = Ê/Ë� ~êS l¸dy Æ Qcg SBM «¹n~¼ QdÄT¼ Qcg Qd �ÃTh tSdnÀ �Ó�Ñ� ·z

«T¢ dTg l!Á�cê du�¿Sc }S Ãn�À �Àc l¹T¹zm ÃvTnÀ dg RgÇ} dTg ¯¬cÇm Ã� Ç�l¼ ÂS �α = Ì/Ë�

TT½m Qcg Ã� lc lT½Äc dg l!SÆwS ¿Sc �lc ¿T"ÀdT¼ T¼ Ãg lhÀ ÃvTnÀ Æ }SzS Ãg lhÀ cv¼ QdÄT¼

�>ØÖ OØÕ@ CTRW c FBM T~m Qcg O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg TÆ�l¼ d� �Ãg dÄÁSW¬ ¾c

Qcg MSD lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ O ¾dTg �Ñ�Ð�Ñ� ~g Ã� Ç�¾d½Ä SBM Qcg lnTSÇ!c lz n¼cdê

·dy QdÄ �ÃÀǽÀ Qcg kd¬czÀc ¿Sc �Ó�Ñ� ·z �Àc kÆdm ¿T"ÀdT¼ c±¼ dg Æ }SzS dg «¹n~¼ QdÄT¼

«¹n~¼ QdÄ �¶¼ l}dÁ lnTSÇ!c lz n¼cdê Qd¼W kd¡c �ÀÇ �l¼ ÂÄd¼ SBM Qcg Qd �ÃTh c

y lÀcÆg l�y ÁÀd½Ä TÀ SBM Qcg n¼cdê ¿Sc CTRW ª}g �lc lÀcÆc¬ lT½Äc Qcc Qd¡T¥ ~ê

O δË(∆)〈δË(∆)

〉 Oc dÄ �¾W ¿T"ÀdT¼ c±¼ Ãg lÀd¼QdÄ �¿T"ÀdT¼ lhÀ Ãg Çg¼  SÇm �Ò�Ó� ·z �Á� �l¼ ·T¼ Ãg∆/t→ Ó

QdÄ �∆ Qcc�Ãg c lÆd! ¬dy Ãg lhÀ ¾d±m ¾Ç} »Äg Æ nTg l!�¿Åê ¾cÇm �l¼ �Ä �l¼ ¾dÀ SBM ÁSW¬ Qcg

�ǽÀ ÂÄd¼ m��g

O»TnÄ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ ºdÅö lÁ¼Ç¼ ¿n¬dS Á¼dTÀ Ãgc kÇ SBM Qcg lnTSÇ!c lz n¼cdê Q �Ãhdz¼

〈

(

δË(∆))Ë

〉

=Ê

t−∆

t−∆∫

Ó

dtÊ

t−∆∫

Ó

dtË

〈

(xË(tÊ +∆)− x(tÊ))Ë(xË(tË +∆)− x(tË))Ë〉

. �ÓÙ�Ñ�

ÔÔ

ÔÕ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

φ(ξ)

ξ

∆ = 10 , 102, 103

α = 0

0

4

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

φ(ξ)

ξ

∆ = 10 , 102, 103

α = 1

0

4

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

φ(ξ)

ξ

∆ = 10 , 102, 103

α = 2

0

4

8

0.5 1 2

φ(ξ)

ξ

α = 0 , 1 , 2∆ = 10

m �¿Åê  SÇm m ��g QdÄ �∆ Qcg Ã� ǽÀ ÂÄd¼ ¾cÇm�l¼ �«¹n~¼ QdÄd½À Qcg δË(∆)〈δË(∆)

〉 Qcg φ(ξ)  SÇm �Ô�Ñ ·z

ÂÄd¼  SÇm ¾d±m º¡ ¾dÁ÷½Ä d¼c gdS �l¼ Äd�  SÇm QdÁÅê�g QdÄα Qcg �Æ�l¼ ¿Tg c  SÇm ¿Sc ¾d±m Æ Â�>ØÔ@lc N = ÊÓÌ QT! �¿T"ÀdT¼ Qcg Ãn¬ dzg QdÄ �ÃÀǽÀ c¢m Æ t = ÊÓÍ ·z ¿Sc ÂÄd¼ ¾d¼ �Ç�l¼

ÔÕ

ÔÖ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

OkÇ Ãg ¾cÇm�l¼ c �ÓÙ�Ñ�  �¶c"nÀc >Ø×@ ÐwSÆ ÃT° ¾g d� �Ãg dg

〈

(x(tÊ +∆)− x(tÊ))Ë(x(tË +∆)− x(tË))Ë〉

=

〈

(x(tÊ +∆)− x(tÊ))Ë〉〈

(x(tË +∆)− x(tË))Ë〉

+ Ë 〈(x(tÊ +∆)− x(tÊ))(x(tË +∆)− x(tË))〉Ë .

�ÓÐ�Ñ�

EB Ãg Çg¼ kdh¡ kÇ Qcg S Q �Ãgc Ãg ÃvTnÀ T〈

δË(∆)〉Ë

dg lc ¶d¢¼ kdh¡ ¿Sc ¶Æc ù½u �lÇÀ

O»T �l¼ N lÁ¢S �ÐØ�Ñ�

N (∆) =〈

(

δË(∆))Ë

〉

−〈

δË(∆)〉Ë

=Ë

(t−∆)Ë∫ t−∆

Ó

dtÊ

∫ t−∆

Ó

dtË 〈(x(tÊ +∆)− x(tÊ))(x(tË +∆)− x(tË))〉Ë . �ÓÑ�Ñ�

Olc »TÄcÇ} 〈x(tÊ)x(tË)〉 =〈

x(PLQ[tÊ, tË])Ë〉

lÁ¢S OSBM Qcg ÀdScÆÇ� Ãgc c Âdnc dg Æ

N (∆) =〈

(

δË(∆))Ë

〉

−〈

δË(∆)〉Ë

=Í

(t−∆)Ë∫ t−∆

Ó

dtÊ

∫ t−∆

tÊ

dtË 〈(x(tÊ +∆)− x(tÊ))(x(tË +∆)− x(tË))〉Ë . �ÓÒ�Ñ�

Olc »TÄcÇ} tÊ < tË ¬ ¿TÁ÷½Ä Æ SBM Qcg ÀdScÆÇ�kdh¡ c Âdnc dg ÂdgÆ

N (∆) = Í(t−∆)Ë

∫ t−∆

Ó

dtÊ

∫ t−∆

tÊ

dtË

[〈

(xË(tÊ +∆)〉

− 〈x(tÊ +∆)x(tË)〉]Ë

. �ÓÓ�Ñ�

OT »TÄcÇ} N Qcg kdh¡ ¿Sc Ãg Oτ ′ = tË − tÊ T¦n¼ TT¦m ¶d½¡c dg

N (∆) = Í(t−∆)Ë

∫ t−∆

Ó

dtÊ

∫ t−∆−tÊ

Ó

dτ ′[〈

(xË(tÊ +∆)〉

− 〈x(tÊ +∆)x(tÊ + τ ′)〉]Ë

. �ÓÔ�Ñ�

Ð :LFN�,VVHUOLV 7KHRUHP

ÔÖ

Ô× Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

Olc »TÄcÇ} ÀdScÆÇ� Ãgc dc g Æ »TÁ� �l¼ dvgdu c ¶c"nÀc Æ fTmm ùy¼ ¿Sc

N (∆) = Í(t−∆)Ë

∫ ∆

Ó

dτ ′∫ t−∆−τ ′

Ó

dtÊ

[〈

xË(tÊ +∆)〉

−〈

xË(tÊ + τ′)〉]Ë

. �ÓÕ�Ñ�

¿T"ÀdT¼ Q �Ãgc c ¾cÇm �l¼ ¶c"nÀc ·}c c±¼ Qcg �»TÁ� �l¼ l¬¢¼ c y′ = τ ′/∆ Æ x′ = tÊ/∆ Su QdÄT¦n¼ ¶dy

Olc »TÄcÇ} fTmm ¿Sg �� Âdnc〈

xË(t)〉

= ËKαtα lÁ¢S SBM Qcg Q"ÁÄ

N (∆) = ÊÏKËα∆

Ëα+Ë

(t−∆)Ë∫ Ê

Ó

dy′∫ t/∆−Ê−y′

Ó

dx′[

(x′ + Ê)Ëα − Ë(x′ + Ê)α(x′ + y′)α + (x′ + y′)Ëα]

.

�ÓÖ�Ñ�

O»TÁ� �l¼ »T±m cv¼ Q �ÃTydÀ Æ Ãg c x′ T¦n¼ QÆ g QT! �¶c"nÀc Q �ÃTydÀ O¶c"nÀc Q �Ãhdz¼ lÅu

∫ Ê

Ó

dy′∫ t/∆−Ë

Ó

dx′ +

∫ Ê

Ó

dy′∫ t/∆−Ê−y′

t/∆−Ëdx′ =

∫ t/∆−Ë

Ó

dx′∫ Ê

Ó

dy′ +

∫ t/∆−Ê

t/∆−Ëdx′

∫ t/∆−Ê−x′

Ó

dy′.

�Ó×�Ñ�

OÇ �l¼ ·dy kÇ ¿Sc Ãg �ÐØ�Ñ� Q �Ãgc EB kÇ ÇuǼ kdh¡ dnSdÅÀ Æ

N (∆, τ) = ÊÏKËα∆

Ëα+Ë

(t−∆)Ë[

(τ − Ê)Ëα+ÊËα+ Ê

+(Ìα+ Ê)(τ − Ê)Ëα+ËË(α+ Ê)Ë(Ëα+ Ê)

− Ëτα+Ê(τ − Ê)α+Ê(α+ Ê)Ë

�ÓØ�Ñ�

+τËα+Ë

Ë(α+ Ê)(Ëα+ Ê)− (Ëα

Ë + α+ Ê)

Ë(α+ Ê)Ë(Ëα+ Ê)+

Ë

α+ Ê

∫ τ−Ê

Ó

dx′ (x′)α+Ê(x′ + Ê)α]

,

.

OǽÀ ¾dTg ·¼d�dÀ Qdng  gdm fyg ¾cÇm �l¼ c kdh¡ ¿Sc ÂÀd¼�l° �dg ¶c"nÀc

IÊ(τ) =

∫ τ−Ê

Ó

dx′ (x′)α+Ê(x′ + Ê)α = (−Ê)−αB[−τ + Ê, Ë+ α, Ê+ α]. �ÔÙ�Ñ�

� l¬¢¼ �ÐÖ�Ñ� Q �Ãgc Ã� lc lÀd¼ ¿T"ÀdT¼  g¼  °cÆ �ÐØ�Ñ� Q �Ãgc s~¼ ÇuǼ kdh¡ ¿TÁ÷½Ä

OÇg ÄcÇ} kÇ ¿Sc Ãg ÃvTnÀ Ã�lc Ãhdz¼ ·gd° l!d�Ãg Æ ¿Sc c

D(∆, τ) =[

ËKα∆α+Ê

(α+ Ê)(t−∆)(τα+Ê − Ê− (τ − Ê)α+Ê)

]Ë

�ÔÐ�Ñ�

Ô×

ÔØ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

lg Ǽ kÆdn¼ QdÄd½À Qcc Ãg «¹n~¼ Qy k¬dy c lnTSÇ!c lz n¼cdê Qcg ·dy kdh¡ ¾ÇÁ�c

lÀcÆg l�y Ãg Çg¼ kdh¡ l½ Ãg ∆/t ≪ Ê Qcg Æ α = Ê Qcc Ãg EB OǼ ¿T¸Æc ¾cÇÁ¡ Ãg �»TÄ �l¼ c°

�lcwSÇ!c y ¿Sc lÀcÆg l�y ¾Ç÷½Ä SBM Ã� Ä �l¼ ¾dÀ Æ Á� �l¼ ·T¼ �ÑÙ�Ñ�

O>ØØ@ S g c Âdnc dg OÂdg ¿Sc ÃvTnÀ Ó < α < Ê/Ë Âdg

∫

xp(x+ Ê)qdx =xp+Ê(x+ Ê)q

p+ q + Ê+

q

p+ q + Ê

∫

xp(x+ Ê)q−Êdx, �ÔÑ�Ñ�

c �ÔÙ�Ñ � ¶c"nÀc g kdh¡ ¿Sc ¶d½¡c Ãhm¼ à dg �SW�l¼ l �Ãg EB Qcg ·dy l¹�kdh¡ �ÔÙ�Ñ� Q �Ãgc c

O»T �l¼ S ¯T° kdh¡ Ãg ÃvTnÀ �Ç�l¼ c}½Ä ¶c"nÀc τ → ∞ y Æ Ç�l¼ Ãnd� Â�¶c"nÀc ¾cÇm

IÊ(τ) =(τ − Ê)α+ËταË(α+ Ê)

+α(τ − Ê)α+Ëτα−ÊË(α+ Ê)(Ëα+ Ê)

+α(α− Ê)(τ − Ê)α+Ëτα−Ë

Íα(α+ Ê)(Ëα+ Ê)

+α(α− Ê)(α− Ë)Íα(α+ Ê)(Ëα+ Ê)

∫ τ−Ê

Ó

(x′)α+Ê(x′ + Ê)α−Ìdx′. �ÔÒ�Ñ�

c ÂÀd¼�l°dg ¶c"nÀc Æ O(τ − Ê) → ∞ Oc ·T¼ lSdÅÀ�Rg l½ Ãg c ¶c"nÀc Q¬dg y ¾cÇm �l¼ O∆/t ≪ Ê y

OǽÀ ¾dTg ·¼d� Qdng  gdm fyg

∫ ∞

Ó

(x′)α+Ê(x′ + Ê)α−Ìdx′ = B(α+ Ë, Ê− Ëα).

OlnTSÇ!c lz n¼cdê Qcg ldT±¼ Q �ÃgcwS Ãg ¯S ¿Sg �

(%(α,∆) ≈ ÍC(α)(∆/t)Ëα, �ÔÓ�Ñ�

OfS dg

C(α) =(Ê− α)(Ë− α)B(α+ Ë, Ê− Ëα)− (ËαË + α+ Ê)

Ë(α+ Ê)Ë(Ëα+ Ê). �ÔÔ�Ñ�

Ã� �Õ�Ñ� ·z ¯h �lc c°g α 6= Ó, Ê/Ë Sd±¼ Æ wSÀ QdÄ (∆/t) Qcg ldT±¼ Q �Ãgc ¿Sc �»T �l¼

n¼cdê Ó < αÊ/Ë Q �Âdg Ã� S ¾cÇm �l¼ OÄ �l¼ ¾dÀ lnTSÇ!c lz n¼cdê Qcg c Qd �ÃTh Æ QÇbm tSdnÀ

ÔØ

ÕÙ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

æ

æææææææ

æ

æ

æ

æ

æ

ææææææææ

æ

æææ æ æ

ææ

æ ææ ææ

æ

æ æ ææææ ææ ææ æ

ààààà

à

à

àààààààà

àà

à àà à à

ààà à à à

ààà àà àà à à

à àà à

ìììì

ìì

ìììììììììììììììììììììììììììì

ììì

ìììì

D=100,10

1,10

2

A

-1 0 1 2

102

101

100

Α-1

EBHDL

EB

BMHDL

B

D=100,10

1,10

2

-1 0 1 2

102

101

100

Β=Α-1

EBHDL

EB

BMHDL

¾dÀ d±À Çm Qd �ÃTh c ·dy tSdnÀ �α fy g SBM Qcg lnSÇ!c lz n¼cdê �éö �Õ�Ñ ·zQcg «¹n~¼ QdÄ � À �ÁnÄ �ÔÐ�Ñ� Æ �ÓØ�Ñ�k¬d¢¼ c ·dy l¹T¹zm ÃvTnÀ l"À ·¼d� Ç} �lc  Âc¾dÀ m��g À ÂdT ScÆ dg α = Ê/Ë Æα = Ó l¸dy �∆ = ÊÓÓ, ÊÓÊ, ÊÓË Àc �Ãn¬ dzg «¹n~¼ QdÄ �∆ Sd½ÀtSdnÀ �lc �lcN = ÊÓÌ d½À Ä Qcg Ãn¬ dzg Q �ÃÀǽÀ QdÄT¼ c¢m Æ t = ÊÓÍ ÂÄd¼ lÀd¼ Âdg �Àc � Âc ¿Tö �} �ÁnÄ �ÓØ�Ñ� Ãgc ¯T° ·y Q �ÂÁÄ ¾dÀ À RgW Æ h O¼° QdÄ �lÁzÁ¼ �EB Qy Æ ¯T° l¹T¹zm�>ØÒ@ �  u¼ c ·dy tSdnÀ Ó < α < Ê/Ë ÃTydÀ ¿Tö �} lÁzÁ¼ Æ �ÔÕ�Ñ� ÃvTnÀ dg lc ¶d¢¼ α < Ê/Ë ÃTydÀlz¼ d±À �Àc � » lgdq QT}dm ¾d¼ Qcg �ÔÓ�Ñ� Ãgc ¯h Ó < α < Ê/Ë Âdg À Ág Ç} �ÁnÄ

�>ØÔ@lc  ·dy OdzTn½n¼ c Âdnc dg �ÓØ�Ñ� Ãgc ¶c"nÀc Ãhdz¼ c O�g

ÇuÆ EB Qcg∆/t ÁÀd¼ l¸Ç½ �¾dÅudT±¼ du�¿Sc OlÀcÆg l�y ª}g Æ �lc∆ Ãg lhÀ ldy  gdm EB

�cÀ

lc »TÄcÇ} �ÔÐ�Ñ� EB s~¼ Ãg Çg¼ kdh¡ Qcg OwöÇ� QdÄ �∆/t y Æ Âdg ¿Sc α > Ê/Ë Âdg

¢g Æ �ÔÒ�Ñ� �ÔÑ�Ñ� Q �Ãgc Ãhm¼ Æ ¶d½¡c dg O�g τ y OkÇ Ãg Çg¼ kdh¡ ÃzT¸dy TD(τ) ∼ ÍτËα

O»Sc EB Qcg lSdÅÀ �N (τ) ∼ ÊÏαËτËα−Ê/[Ì(Ëα− Ê)] SW�l¼ l �Ãg ù½u à ¿T¸Æc ¾ ªy c

lim∆/t→Ó

(%(∆) ≈ ÍÌ

αË

Ëα− Ê∆

t. �ÔÕ�Ñ�

Ãgc �Ç ¶d½¡c τ ≫ Ê y ë T! ºdvÀc α ¶Çy g Sdg cngc O� ·½¡ dTnyc dg Sdg α = Ê/Ë wSÀ

α Qd½À Ãg ÃngcÆ RhS dg d¼c lc l} ∆/T Ãg lhÀ lÀcÆg l�y Ǽ ÁÀd½Ä SBM Ã� Ä �l¼ ¾dÀ �ÔÕ�Ñ�

�αË/(Ëα− Ê)kÇ �Ãg

ÕÙ

ÕÐ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

Ð ñÃnÄW k �Ãg Q � dT±¼dg lÀcÆg l�yñ ¾cÇÁ¡ Ãg Ã� α = Ó Qd½À EB n¼cdê lg lÅu α = Ó Âdg

�»TÄ �l¼ gwöÇ� QdÄ �α Qcg xα = eαlog(x) w½� dg c �ÔÐ�Ñ� Æ �ÓØ�Ñ� QdÄ �Ãgc O>ÐÙÙ@ Ç�l¼ Ãn}dÁ

Âc g α QdÄ �¾cÇm dcg c  �¶c"nÀc cngc Olc  Âc ¾dÀ �ÔÙ�Ñ� Ã� Ãgc ¿Sc ÇuǼ ¶c"nÀc Ǽ

Âd α Q �Ãhm¼ c ù½u Æ ¿T¸Æc OÃvTnÀ �»TÁ� �l¼ Ãhdz¼∫ t−∆Ó

dt Q �Âdg c ·dy  gdm QÆ g ¶c"nÀc ë

∆/t≪ ÊwöÇ� QdÄ �∆ ·dy Q �ÃvTnÀ g Æ s~¼ Æ kÇ αË Q �Ãhm¼ dg k½u ¾� »T±m dg �ÀÇ �l¼

OT »TÄcÇ} S kdh¡ Ãg

lim∆/t→Ó

(%86%0(∆) ≈Í(πË/Ï− Ê)

(log[t/∆] + Ê)Ë. �ÔÖ�Ñ�

lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ ÆMSD ldT±¼ l"ng c ldÀ Ã� c ∆/t Ãg l½nSd}¸ l"ng EB Ǽ ¿Sc Ã� Ç�l¼ ÂÄd¼

�lc l~ê Æ QT}dm ¾d¼ ÃgMSD

lzSÀ c �ÔÐ�Ñ� Æ �ÓØ�Ñ� kcdh¡ Oα = Ó l¸dy ÁÀd½Ä �»Scê �l¼ α = Ê/Ë Ç¼ Ãg ¶dy α = Ê/Ë Âdg

 gdm ¶c"nÀc ë OÂc g (α − Ê/Ë) QdÄ �¾cÇm dc g c Â�¶c"nÀc cngc ÇÁ¼ ¿Sg �»TÄ �l¼ g α = Ê/Ë

∆/t→ Ó y (α−Ê/Ë)Ó Q �Ãhm¼ c s~¼ Æ kÇf¸d¥ k½u �»TSd½À�l¼ � Ãhdz¼ [Ó, t−∆]Q �Âdg g c ·dy

OQ �ÃvTnÀ

lim∆/t→Ó

(%α=Ê/Ë(∆) =∆

Ìt[log(T/∆) + Ë log(Ë)− Î/Ï]. �Ô×�Ñ�

ÃuÇm dg �Ç�l¼ Äd EB Qcg∆/t Ãg l½nSd}¸ l"ngcÆ OlÀcÆg l�y dg ÃSd±¼ Ã� Ç�l¼ ÂÄd¼ �Àcg c

d±À� ÁnÄ wSÀ �ÓØ�Ñ� Ãgc c ·dy Sd±¼ Ãg dTg �Ô×�Ñ� Q �ÃvTnÀ Ã� S ¾cÇm �l¼ O�Õ�Ñ� «¸c ·z Ãg

dSc QmT}½ö ±À �Ô×�Ñ� Q �ÃvTnÀ ÇuǼ lgdq k½u∆/t lÀdT¼ Sd±¼ Qcg ��α = Ê/Ë À ÂdT�g

�Ç�l¼ ÂÄd¼ �Õ�Ñ� «¸c ·z Ã� ÁÁ� �l¼

kÇ �Ãg Ó < α < Ê/Ë QdÄd½À Qcg ÂÄd¼ ¾d¼ Ãg lhÀ c EB Qd �ÃTh c ·dy ldT±¼ dn¬ �Ö�Ñ� ·z

�ÔÕ�Ñ� Æ �ÔÓ�Ñ� QÇbm c ·dy tSdnÀ À ÂdT Ç} �Ä �l¼ ¾dÀ Ê/tkÇ �Ãg α < Ê/Ë QdÄd½À Qcg ÆÊ/tËα

�ÁnÄ

Ð 8OWUDVORZ 6FDOHG %URZQLDQ 0RWLRQ

ÕÐ

ÕÑ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

103

104

105

106

EB

(∆)

t

∆=10

α = 0.01 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.5 2

tSdnÀ d±À Æ �ÓØ�Ñ� Q �ød¢¼ l¹T¹zm tSdnÀ ·¼d� Ç} �t ÂÄd¼ ¾d¼ fyg SBM Qcg EB n¼cdê �Ö�Ñ ·z�>ØÔ@ N = ÊÓÌ Æ ∆ = ÊÓ �dÄn¼cdê�ÁÄ�l¼ Sd½À c Qd �ÃTh

T±¼ ÂdT±¼dg lÀcÆg l�y

l�y O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg �lc RSd¬ QdÄT° dS lud} QdÄÆTÀ Ãg ¾W |dê Ol¬dm ÁSW¬wS »Å¼ lzST¬ QdÄ �l!SÆ c

¿Sc OÇ �l¼ RgdS QÇÀ QdÄ ��hÀcw½� dg kc l�y ln°Æ dS Àc RSd¬ lSÆz¼ Ã� dÄ �¶Ç¹ ÃÀg QÆ g kc

ÃÀǽÀwS ¾cÇÁ¡ Ãg wTÀǼdÄ ·TÀdnê qc lg Ãg du �¿Sc �Á� �l¼ cÆ kc Ãg Ðl�ÇÄ ÂÁÀc!dg QÆTÀ wS �hÀc

T±¼ SBM dn¬ g »�dy l¬dm ·TÀcS ød¢¼ �»Scê �l¼ �lgdq k dg� V (x) ∝ ÊËkxË Qgd� Æ »Å¼

dx(t)

dt= −kx(t) +

√

ËαK∗αtα−Ê × η(t) �ÔØ�Ñ�

¬ dg T±¼ l¸dy ¿Sc ÀdScÆÇ� �Ä �l¼ ¾dÀ c ¿T"ÀdT¼ dg lÆd! T ìÇÀ η(t) TÀ du ¿Sc �lc

OSW�l¼ l �Ãg ¼Ç�  gdm fyg tÊ < tË

〈x(tÊ)x(tË)〉 = ËK∗αtαÊ e−k(tÊ+tË)M(α, α+ Ê, ËktÊ). �ÕÙ�Ñ�

OSW�l¼ l �Ãg T±¼ l¸dy QcgMSD Q"ÁÄ ¿T"ÀdT¼ OtSdnÀ ¿Sc dc g

〈

xË(t)〉

= ËK∗αtαe−ËktM(α, α+ Ê, Ëkt). �ÕÐ�Ñ�

Ð +RRNHDQ 5HVWRULQJ )RUFH

ÕÑ

ÕÒ Â dT±¼dg lÀcÆg l�y �Ñ�Ñ

ÃvTnÀ Æ Qd �ÃTh ·dy �lc� α = Ì/Ë Æ �éö� α = Ê/Ë Qcg MSD Q"ÁÄ Æ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ �×�Ñ ·z�>ØÓ@ k lgdq c «¹n~¼ k Æ QcgwTÀǼdÄ ·TÀdnê lzm T±¼ SBM Qcg l¹T¹zm

OldT±¼ Ãgc Á¹g QdÄ �¾d¼ Qcg Æ Ä �l¼ ¾dÀ c cW  l~êS dn¬ t≪ Ê/kwöÇ� lÀd¼ QdÄ �Âdg ¯h Ã�

〈

xË(t)〉

∼ αK∗αk−Êtα−Ê �ÕÑ�Ñ�

~êc¬Qcg ÃzT¸dy OÁ� �l¼ ·T¼ Ãg lÀcÇm kÇ �ÃgMSD O�Ó < α < Ê�~êS l¸dyQcg �Ç�l¼ ·dy

�Á� �l¼ Æz¼dÀ kÇ �Ãg �Ê < α < Ë�

OÇg ÄcÇ} kÇ ¿Sc Ãg ¼Ç�  gcÇm dc g T±¼ l¸dy SBM QcgMSD lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ d¼c

< δË(∆) > =ËKα

(Ê+ α)(t−∆)αe−Ëk(t−∆) ×M(α+ Ê, α+ Ë, Ëk(t−∆))

+ËKα

(Ê+ α)(t−∆)[

tÊ+αe−ËktM(α+ Ê, α+ Ë, Ëkt)

−∆Ê+αe−Ëk∆M(α+ Ê, α+ Ë, Ëk∆)]

− ÍKα(Ê+ α)

(t−∆)αe−Ëkt+k∆ ×M(α+ Ê, α+ Ë, Ëk(t−∆)) �ÕÒ�Ñ�

O�g Sd±¼ Qcg ¼Ç�  gdm g c Âdnc dg

M(α, α+ Ê, z) ∼ αexp(z)z

, �ÕÓ�Ñ�

ÕÒ

ÕÓ ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ �Ò�Ñ

OÆW »TÄcÇ} l Ãg c �>ØÓ@ �  u¼ ÃvTnÀ t≫ ∆ y Qcg

< δË(∆) >∼ Kαk

[

tα −∆αt−∆ + (t−∆)

α−Ê(Ê− Ëe−k∆)]

. �ÕÔ�Ñ�

MSD lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ ÃzT¸dy OT±¼ l¸dy SBM ÁSW¬ Ã� Ç�l¼ ÂÄd¼ �Ä �l¼ ¾dÀ c l~m ÃTydÀwS Ã�

QdÄ �¿T"ÀdT¼ �×�Ñ� ·z �lcwSÇ!cT¥QÁSW¬ ÃvTnÀ Æ �l¼ dhc l¸dy ÃgQ"ÁÄ ¿T"ÀdT¼ Oc lÀcÇm dn¬

�Ä �l¼ ¾dÀ c Qd �ÃTh TÀ Æ QÇbm tSdnÀ c ·dyMSD lÀd¼ Æ Q"ÁÄ

ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ Ò�Ñ

lT¢°Ç¼ �Ç�l¼ «S¢m wTêÇzÆzT¼ l! �¶Æ ÂSc QdÁh¼ g OlcTê ¾W ºdÀ c Ã� Ç�¾d½Ä ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ

δXn = Àc �  SÇm }SzS c ·±n¼ Æ l}cÇÁzSkÇ �Ãg Ã� lc l¬dm QdÄ �ºd! ¶Ç ǽv¼ X(n)  lÀdz¼

OldT±¼ y â¸d¼ »Å¼ Ãn�À �lc λ(δx) dÄ �ºd! ¶Ç ¾dT¼�n¼ ¶d½nyc l¸d}ö  gdm �n ≥ ÊOX(n)−X(n−Ê)

�Ç δXn Ãhm¼ c ìÇÀ qc dm lc dTÀ Ǽ ¾d¼ ÂÁÄ ¾dÀ ¿Sc Æ Olc τ wTêÇzÆzT¼ lÀd¼ dT±¼ wS l¬¢¼

¶y QdÄ �¶Çz¹¼ dg Ç}g ¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg � Ç�l½À cÆ lÁT¢m Æ lgdq {ÀwS dg ìÇÀ kcqc dÄ �»nT c QdTg d¼c

��l¬dm  SÇm Qcc Q �ÂÁÁ�cê d±À dg  nÁ¼ scǼc Ç}g dS

l¬dm ¶Ç Ol! �¶Æ ºd! Ä �lc  lyc lÀd¼ dT±¼ ¿Sc ¾Çg l¬dm xTÇm Qcg d~¼ CTRW

c Ã� Àc l¹±n¼ Æ l}cÇÁzS  SÇm Ç} l¬dm QdÄ �¾d¼ ¿Sc �c Âc½Ä Ãg δTn l¬dm dnÀc ¾d¼wS δXj ºd!

lÁT¢m Ãgc ¯S c lÀd¼ Ãn~¼ Ol¸Ç½¢¼ QdÄ �l! �¶Æ Qcg �ÁSW�l¼ ¾ÆTg ψ(δt)�n¼ ¶d½nyc l¸d}ö  gdmwS ¶

Ã� Âd}Sd¼W ÂÄd¼ ¾d¼ ¾d½Ä dS l¢°cÆ ¾d¼ CTRW Qcg O·gd±¼ �lc dhmc dÄ �ºd! c¢m dg t = nτ

ldc Sd½m Ã� lÀc Sdg �lc T (n) = ∑nj=Ê δTj l¬dm QdÄdnÀc ¾d¼ ǽv¼ OÇ�l¼ lhq }d¼W Çm

�c ÇuÆ OÇ �l¼ Ãn}dÁ TÀ l¬dm ÁSW¬ lÀÆ ¾d¼ ºdÀ dg Ã� X(n) dÄ �ºd! c¢m Æ OT (n) ¾d¼ ¿Sc ¾dT¼

ÃTuÇm c l! �¶Æ l¬dTÄ c Âdnc cǼ QdTg OìÇÀ lÀd¼ dT±¼ ¾Çg l¬dm BSu ºÇż ¿Sc Ã� �l¸dy

Ç �Ãg �ÃÀ dS lc Á½c Âd!S wS ¿Sc dSW Ã� lc ¿Sc ¶cÇ ¾ÇÁ�c �Á� �l¼ ÂT÷Tê c ød¼ ·T¹zm d¼c OSd½À�l¼

lT½Äc �Rg ¿T"ÀdT¼ ¶Çy QdÄT} Æ l¬c O〈δTj〉 ¿T"ÀdT¼ dnÀc ¾d¼ QÁ¹g Ãg RSdÄ �¾d¼ Ã�lc ¿Sc g dnÀc OQÇÅ

�lc τ = 〈δTj〉lgdq dT±¼ dg l¸Ç½¢¼ l! �¶Æ y ¶d¢¼ CTRW Qy ÃvTnÀ O}S lmdh¡ Ãg �Ádg

QdÄ �l!T÷Tê ÇuÆ dg UÇ lSdÅÀ �Rg 〈δTj〉 !c Ç�l¼ Ãö Ã�lc ¿Sc OÇ�l¼ w¼ ¾c �Qd¼WwS Qcg Ã� l¸cÇ d¼c

ÕÓ

ÕÔ ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ �Ò�Ñ

dS Odg Ãnc ÇuÆ ¹ÄcÆ QdÄ �¾d¼ dT±¼ Qcg RS¬dg y Ã� lTÀ ~¼ Ol¡ÇÀ Qc�ìÇÀ »nT wS ÇuǼ

B¶d½nyc l¸d}ö �dgwöÇ� ÂÄd¼dT±¼ dg ùgd±¼ dT±¼ ¿Sc !c lny �«S¢m ¿T"ÀdT¼dT±¼wS ¾cÇng Ã� �¿Sc

Oδt≫ τ Qcg S RhÀdv¼ dn¬ dg ÁnÄ Ð¿Åê QdÅnÀc dg  gcÇm OlSdÅÀ�Rg ¿T"ÀdT¼ dnÀc ¾d¼ â¸d¼ Qcg OdnÀc ¾d¼

ψ(δt) ∼ Bατα(δt)−Ê−α, Ó < α < Ê. �ÕÕ�Ñ�

dg 〈(δTj)q〉 QdÄ �¾d½¼ ºd½m �lc l¡ÇÀ wTêÇzÆzT¼ lÀd¼ dT±¼ τ ¿n¼ l°dg Æ Bα = Ê/|Γ(−α)| ¾W Ã�

Æ CTRW QdÄÁSW¬ c Ãn ¿Sc lg Ãg ücc �Ç�l¼ TÀ ¿T"ÀdT¼ c±¼ ·¼d ¿Sc Ã� ÀÇ �l¼ c!cÆ q ≥ α

�»Scê �l¼ T! ldT±¼ QdÄy

¾d¼ cÆê Ð�Ò�Ñ

Qcc lÀd¼ QdÄ �dT±¼ ÂÁÁ� dvSc ºTÀdz¼ Ã� �¿Sc Qcg �»Scê �l¼ CTRW ln}dÁ �ÂSê ÃhÁu Ãg cn~¼~g ¿Sc

¿Sc T¥ Ǽ Ãg cngc lc nÅg »TgdS ln �Ãg OÇ�l¼ fuǼ c ªd¢n¼ l}¸Æ dn¬ c ªczÀc Ã� c ¿Åê  SÇm

�»TÁ� ÃuÇm l¸dy

Ã� »ST! �l¼ À ·±n¼ Æ l}cÇÁzS  SÇm dg δTj dnÀc QdÄ �¾d¼ ¶d½nyc l¸d}ö c ψ(δt) OÂd ¶dr¼ wS ¾cÇÁ¡ Ãg

Ãn! ÁÀcÇm�l¼ dnÀc QdÄ �¾d¼ �ÁnÄ lÄdÁn¼ ω =〈

(δTj)Ë〉

− τË ÀdScÆ Æ τ = 〈δTj〉 ¿T"ÀdT¼ c±¼ Æ Ä

 SÇm dg δTj l¬dm QdÄT¦n¼ ǽv¼ T (n) Âd}Sd¼W ÂÄd¼ ¾d¼ Ã� du�¾W c �lÀÇWÇê dS Odg l¬dmT¥ Æ

�Çg ÄcÇ} lÆd! T (n)  SÇm �g QdÄ n Qcg ¿ScgdÁg �lc c°g Q�¼ y ÃT° Olc ·±n¼ Æ l}cÇÁzS

Æv¼ ÃS kÇ �Ãg O¿T"ÀdT¼ ¶Çy dÄT} Æ l¬c d¼c �〈δT (n)〉 = τn OgdS �l¼ Sc¬c n dg l} kÇ �Ãg ¿T"ÀdT¼

Æ dg �l¼ qc �Rg �g n Qcg dÄT} Æ l¬c OǼ ¿Sc  °cÆ �gdS �l¼ Sc¬c√

〈

T Ë(n)〉

− τËnË = ω√n ¾d¼

�� Âdnc δTj = τ dS T (n) = τnfS±m c ¾cÇm �l¼

dhn¡c ÂÆz¼ c sd} Ã� �ÕÕ�Ñ� ·z Ãg Àc ¿Åê QdÅnÀc Ã� l¢SÇm dg RSdÄdnÀc ¾d¼ lg Ãg »S! �l¼g ¶dy

¾d¼ �lc l¡ÇÀ lÀd¼ dT±¼ wS d¬ τ Æ Ç �l¼ c!cÆ dÄ �¾W ¿T"ÀdT¼ c±¼ Æ Çn¼ cS �lc Q�¼ y ÃT°

wS c dS ¼d� dÄ �¾W Ãg Çg¼  SÇm TÀ Æ l¬dm QdÄT¦n¼ ¿TÁö �Ádg lhr¼ Sd±¼ Ãg Æz¼ Sdg δTj QdÄdnÀc

Ð +HDY\�7DLOHG

ÕÔ

ÕÕ ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

c RSdÄ �ÂÆ Qcg O¾dz¼ Qd¬ �ÃnÇTê l�y �CTRW ÃnÇTê ¾d¼ l! �¶Æ kc l�y T¼ �Ø�Ñ ·zm �ÃnÄW lÀcÆg  l¸dy Ãg lhÀ c l�y OSc ¿Sc �Ç�l¼ «°Çn¼ OÁÁ� �l¼ QÆTê dT±¼ �Rg  SÇm c Ã� ¾d¼Æ �ÃgÆ d¼c TÀÇ�l¼ Äd lÀd¼ QdÄ �dT±¼ Ã½Ä ¿ScgdÁg OÀc ¿Åê QdÅnÀc Ã� l¢SÇm dg dnÀc QdÄ �¾d¼ �Á� �l¼

�ÁnÄ ·±n¼

�Án}cê ¿Åê  SÇm dg skewed− l¬dm QdÄT¦n¼ lg Ãg >ÖØ@ªÆ!ǽ¸Ç� Æ ÑÇ�ÀÁ! �ÁnÄ Ð skewedlÅu

Ã� ~¼ �Ç�l¼ l¬¢¼ Qy l¸dy T (s) ÁSW¬ Qcg l¹}c ¾d¼ vÁ lÅu s = nτ ÃnÇTê �Ãh n¼cdê

kdTau dg QǸ QdÄcÆê ücc �T (s) = L+α (s) Olc α QdSdê ÃnÅu wS QǸ l�y wS O Äd ldT±¼ y

�lhr¼ Qdnc lc QǸ cÆê CTRW ÁSW¬ ÂÄd¼ ¾d¼ O}S lmdh¡ Ãg dS � �ÁÄcÇ} l¬¢¼ nTg

�Ø�Ñ� ·z c Ã� Ç �¾d½Ä �Àc ¾d±n¼ Ǽ dg QdS QdÄ ��cnc OÁÄ�l¼ { du �¿Sc Ã� Qc�ÃnÅu wS QdÄcÆê

~¼ lÀ¬Ç QdÄdnÀc ¾d¼ dg CTRW QdÄT¼ Olc Á¹g QdÄ �RSdvgdu Qcc QǸ QdÄcÆê Ã� �l¸dy TlcTê

�ÀÇ �l¼

ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ Ó�Ñ

OCTRW l½S°QdÄ �¶¼ ·gd±¼ �lc »Á¼ l¬dm l}¸Æ »T½¢m OCTRW ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ ¶¼

�Á� �l¼ QÆTê ψ(x, t) ¶d½nyc  SÇm  gdm c Æ ÂÇg ·±n¼ }SzS c º° Ä Qcg t dnÀc QdÄ �¾d¼ Æ x dÄ �º° ¶Ç

T¥ Æ ψ(x, t) = λ(x)w(t) �Ç�l¼ cu kÇ ¿Sc Ãg ψ Ádg }SzS c ·±n¼ dnÀc ¾d¼ Æ dÄ �º° ¶Ç Ã� ln¸dy

¾d¼ Ãg dTÀ O~¼ ¶Ç dg l¼° ¿ncg Ã� dÁ¢¼ ¿Sc Ãg Tψ(x, t) = p(x|t)w(t) = p(t|x)λ(x) »Sc kÇ ¿Sc

¶Ç ÀdScÆ Æ T ¿T"ÀdT¼ dnÀc ¾d¼ Q �Ã~¼ lT½� Æ dc g CTRW «¹n~¼ QdÄ �»S� �c lÁT¢¼ dnÀc

Ð RQH�VLGHG RU WRWDOO\ VNHZHG

Ñ *QHGHQNR

ÕÕ

ÕÖ ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

�ÀÇ �l¼ «S¢m kÇ ¿Sc Ãg lT½� Æ ¿Sc �ÀÇ �l¼ ¿TT¢m∑Ë dÄ �º°

λ(x) =∫∞Ódtψ(x, t)

w(t) =∫∞−∞ dxψ(x, t).

�ÕÖ�Ñ�

Qd¡ ~ê ÃvTnÀ Æ lc c°g Q�¼ y ÃT° OlÀ¬Ç ¾d¼ y OÃ~¼ lT½� Æ ¿Sc Æz¼ Sd±¼ Qcg

ÁSW¬ �� »TÄcÇ} lg c dÄ �º° ¶Ç ÀdScÆ Æ dnÀc Ã~¼ ¾d¼ Qcg «¹n~¼ ¾dz¼c Áö ücc �»Sc

O>ÐÙÓ@ �«TÇm S Q �ød¢¼ Âd ¯S c ¾cÇm �l¼ c CTRW

η(x, t) =

∫ ∞

−∞dx′

∫ ∞

Ó

dt′η′(x′, t′)ψ(x− x′, t− t′) + δ(x)δ(t). �Õ×�Ñ�

Ot′ ¾d¼ x′ ¾dz¼ Ãg ¾T ¶d½nyc Ãg c Oη(x, t) O t ¾d¼ x ¾dz¼ Ãg ¾T pdf ¶d½nyc l¸d}ö  gdm Ãgc ¿Sc

W (x, t) ¶d½nyc l¸d}ö  gdm ÃvTnÀ �lc ÃT¸Æc Sc ÂÁÄ ¾dÀ kdh¡ ¿Sc ºÆ ù½u �Ä �l¼ dhmc Oη′(x′, t′)

�Çg ÄcÇ} kÇ ¿Sc Ãg t ¾d¼ r ¾dz¼ ¾Çg Qcg

W (r, t) =

∫ t

Ó

dt′η′(x, t′)Ψ(t− t′) �ÕØ�Ñ�

�du�¿Sc Ã� �¢g Ãg ¾W c ¾�À l�y Æ t′ ¾d¼ x Ãg ¾T ¶d½nyc Olmdh¡ Ãg dS

Ψ(t) = Ê−∫ t

Ó

dt′w(t′) �ÖÙ�Ñ�

QÆTê SQhu Ãgc cW (x, t)Qcg pdf OÃSǬ �ê¬ Qd¬ �lc (Ó, t) lÀd¼Q �Âdg ¿ncÀg ºd! ¶d½nyc

O>ÐÙÓ@ Á� �l¼

W (k, u) =Ê− w(u)

u

WÓ(k)

Ê− ψ(k, u) �ÖÐ�Ñ�

�lc ÃT¸Æc ¾dz¼ ÃSǬ ·ShmWÓ(k) Ã�

ÕÖ

Õ× ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

lÀ¬Ç QdÄ �lycnc Ð�Ó�Ñ

Æz¼ dÄ�ºd! ¶Ç ÀdScÆ d¼c Oc!cÆ T dnÀc Ã~¼ ¾d¼ !c Á� �l¼ «TÇm c ~êS Ã� Q�~ê ød¢¼ �

»T½¢m ~ê fSÐlÀ¬Ç QdÄ �lycnc ¾cÇÁ¡ dg Ã� Ç�l¼ ÂÀcÇ} Q� ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Çg¼ ÁSW¬ OÇ

Ãng º¬ �lc [Kα] = cmËs−α ¢g Qcc Ã� Kα ≡ σË/τα Ç�l¼ «S¢m kÇ ¿Sc Ãg du�¿Sc Kα Ãn¬dS

�>ÐÐÔ@ Ç�l¼ Âc ¾dÀ �d¬  gcÇm ¯S c �UU� ød¢¼ QdÄ �ecÇu

W (x, t) =Ê√

ÍπKαtαHË,Ó

Ê,Ë

[

xË

ÍKαtα|(Ê−α/Ë,α)(Ó,Ê),( Ê

Ë,Ê)

]

�×Ô�Ñ�

¶d½nyc dg OÇ} T¼  Ã� »TÁTg �l¼ ê �Ç�l¼ cT¼ Qd¡ ~ê l¸dy c mÁ� O gdm ¿Sc lÀ¬Ç QdÄ �¾d¼ y

Æz¼ lÀd¼ Âdg ÂÄd¼ ÁSW¬ Qcg ¼c ¿Sc �� ÄcÇ} Ãgvm c lÀ¬Ç dTg QdÄdnÀc ¾d¼ OT¥

Ãg ·Sd½m l}¸Æ kc c Q"ÁÄ ¿ScgdÁg �n¬c ºc Ãg ld±À l¹½¡ dz¸ c  Ã� Á� �l¼ edvSc OdÄ�Qd �ÃTh

dnScT¥ CTRW OldS ¾dTg Ãg �Àc c° ¾Çz ¶dy dÄ �¾W QdS kc Ã� Àc Q½vÁ¼ QdÄ �l¸dy

«T¢ lz CTRW �c l"ng ¾W ºdvÀc ¾d¼ Ãg QT! �ÂcÀcwS ÃvTnÀ  °cÆ OÄ �l¼ ¾dÀ QTê ÁSW¬ Æ c

Æg lmÆdn¼ dn¬ RSdvgdu  g¼ ÁÀd½Ä dÄ�lT½� Q"ÁÄ Æ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ Ã� dÁ¢¼ ¿Sc Ãg �Ä �l¼ ¾dÀ c lnTSÇ!c

dÄ �ºd! ¶Ç ÀdScÆ lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ Ã� »TgdS �l¼ OT! c° lg Ǽ CTRW QdÄT¼ c Qc�áǽv¼ !c �ÁÄ�l¼

~ê fS �c ¾d¼ dg l}T¥ ldT±¼ dn¬ ¾W Q"ÁÄ ¿T"ÀdT¼ Ã� lmÇ Á� �l¼ TT¦m l}kÇ �Ãg ¾d¼ dg

«T¢ lz Qcc QdÄ �»nT Ol¹�l¸dy �lc l¬dm QT¦n¼ OdÄT¼ "ÁÄ ¾dT¼ O¶Æc Ǽ c ·dy

�ÁÄ�l¼ ¾dÀ dÄ �¾W Q"ÁÄ ¿T"ÀdT¼ ¶Çy c lÁÅê  SÇm dÄ �lT½� lÀd¼ ¿T"ÀdT¼ OlnTSÇ!c

QǸ QdÄcÆê �Á¹g QdÄ �º° Ñ�Ó�Ñ

Á� �l¼ QÆTê lÀÇcÇê  SÇm c Ã� dg �l¼ Æz¼ T dnÀc Ã~¼ ¾d¼ Ã� c ÇuÆ lSc Ol¹h° l¸dy ·gd±¼

dS OÑÇ�l¼ Ãn}dÁ QǸ QdÄcÆê ¾cÇÁ¡ dg ÆÇ �l¼ ¶¼ QǸ  SÇm c Âdnc dg Ã� Ç�l¼ c!cÆ dÄ �º° ¶Ç ÀdScÆ Æ

�lmdh¡ Ãg

λ(k) = exp (−σµ|k|µ) ∼ Ê− σµ|k|µ. �×Õ�Ñ�

Ñ /¶HY\ )OLJKWV

Õ×

ÕØ ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

À c T¼ Æ Ä Ã� l¸dy �µ = ÊÕ Î}d dg QǸ l! Æ �éö� lÀÆcg l�y T¼ ÃSd±¼ �ÐÙ�Ñ ·zÇm c ÂdmÇ� QdÄ �ºd! dg Ãn¬! ·z QdÄ �ÃÇ} Olc l¸dn�c¬ ¢g Qcc QǸ l! T¼ OÁnÄ Ãgdn¼ Ç} Qd¼W

�Á� �l¼ ·n¼ }SzS Ãg Á¹g QdÄ �º°

kÇ ¿Sc Ãg RhÀdv¼ dn¬ |x| ≫ σ y OÊ < µ < Ë Qcg

λ(x) = Aµσ−µ|x|−Ê−µ. �×Ö�Ñ�

ê¬ Qd¬ !dnÀc O�ÖÐ�Ñ� �×Õ�Ñ� ¾c c° dg �lc l¬Ç�d¼ ÁSW¬ OT ¾Çg Æz¼ ·T¸ Ãg �Ä �l¼ ¾dÀ

�Ç�l¼ ·dy S Q� ·TÀcS ød¢¼ OÃgc ¿Sc ÃSǬ Æ ê¬ ·Shm �¡ ¶d½¡c dg Ã� SW�l¼ l �Ãg ÃSǬ

∂W

∂t= Kµ−∞D

µxW (x, t) �××�Ñ�

�dg lc gcg Ǽ ¿Sc Ãn¬dS »T½¢m ~ê lgdq �Ç�l¼ l¬¢¼ ¢g ·¬ −∞Dµx ·ScÆ Q� ¯n¼ }¹½¡

�»SÆW �l¼ l �Ãg c !dnÀc OÃSǬ ·Shm dg �c [Kα] = cmαs−Ê ¢g Ã� Kµ ≡ σµ/τ

W (k, t) = exp (−Kµt|k|µ) �×Ø�Ñ�

·z �Æ�l¼ d� �Ãg QǸ QdÄcÆê ¾� ¶¼ Qcg Æ lc QǸ Q�¼ Æ ¾d±n¼  SÇm Ã~¼  gdm O·dy ÃvTnÀ

¾dÀ ºd! c¢m ¾d½Ä dgQǸ cÆê dg ÃSd±¼ Æz¼QdÄ �ºd! dg �éöl½� l¬dml}¸Æ ÂwS T¼ �Ñ�Ó�Ñ�

¶d½nyc dg ÁÀcÇm �l¼ Á¹g QdÄ �ºd! OdÄ�º° ¶Ç ¶d½nyc  SÇm  gdm RhÀdv¼ l¹} ·T¸ Ãg OQǸ cÆê �lc  Âc

p¡dg OÇ�l¼ ÂS �×Ö�Ñ� Ã� OdÄ�º° ¶Ç pdf ldT±¼ l¹} �ÁÄ { lÆd!  SÇm  gdm l¸dy Ãg lhÀ QnTg

ÕØ

ÖÙ ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

l¸Ç QdÄ �dT±¼ Ã½Ä dg Á¹g QdÄ �ºd! Çm l¢Ç¼ QdÄ �l�y }S lmdh¡ Ãg �Ç�l¼ QǸ cÆê Ðl}Ç} l!SÆ

T¼ ·gd±¼ �c lhÀ >ÐÐÖ OÐÐÕ@ df = µ l¸dn�c¬ ¢g QǸ QdÄcÆê T¼ Ãg ¾cÇm �l¼ l±T±y TÀÇ�l¼  °

�Àc c° Ãhm¼wS dhS±m dÄ �ºd! Ã½Ä Æ Á� �l¼ ê ¼d� c Q¢g Æ Qd¬ ºd½m O∑Ë ÐÐØ

W (x, t) =Ê

µ|x|HÊ,ÊË,Ë

[ |x|(Kµt)Ê/µ

|(Ê,Ê/µ),(Ê,ÊË)

(Ê,Ê),(Ê, ÊË)

]

�ØÙ�Ñ�

c Ã� Ç �¾d½Ä �Ç�l¼ ·dy lÆd!wT� QdÄ �|dê µ→ Ë y Æ lc QǸ cSdê ¾ÇÀd° Sd½À Ãng º¬ ¿Sc

�>ÐÑÐ OÐÑÙ@ Ç�l¼ dhÁnc QǸ QdÄcÆê l¡ÇÀ lÀcÇm RhÀdv¼ dn¬ OÆ�l¼ dnÀc �ØÙ�Ñ�

W (r, t) ∼ Kµt

|x|Ê+µ , µ < Ë �ØÐ�Ñ�

�Ç�l¼ c!cÆ dÄ �RSdvgdu  g¼ ¿T"ÀdT¼ Ol!SÆ ¿Sc ÇuÆ ·T¸ �Ãg

〈

xË(t)〉

→ ∞. �ØÑ�Ñ�

dnÀc l¡ kc ¿Sc Qcg Ã�cö Olc d ·z¼ OÁnÄ c �ºu kc Ã� lzST¬ QdÄ �»nT Qcg ÃvTnÀ ¿Sc

�d �l¼ ¿z½¼T¥ c lÀW lÄdÁn¼dÀ QdÄ �ºd! Ã� c ÇuÆ QÆz¼

Ð &OXVWHULQJ 1DWXUH

ÖÙ

ÖÐ ÃnÇTê ¾d¼ l¬dm l}¸Æ Qcg ~ê ød¢¼ �Ó�Ñ

Á¹g QdÄ �ºd! Æ lÀ¬Ç QdÄ �lycnc ¾dT¼ lgd° Ò�Ó�Ñ

ød¼ ¿Sc dg Ç}g ÂcwS �»S ÃucǼ dÄ�º° ¶Ç ÀdScÆ ¾ c!cÆ ·z¼ dg l¹h° Ǽ O Âdc Ã� Ç �¾d½Ä

�>ÐÑÐ@lc «S¢m ¿Sc c Âdnc }S zSÆ Tlc ¾W ÀdScÆ Qdu�ÃgW (x, t) Qcg pdf QdÁÅê Ãhdz¼

〈

xË(t)〉

L∼

∫ LËtÊ/µ

LÊtÊ/µdxxËW (x, t) ∼ tË/µ �ØÒ�Ñ�

�Ç�l¼ ∼ tË/µ dn¬ Ãg vÁ¼ ¿Sc Æ Ç�l¼ Ãn¬! À n! ¶dy l¬ Ãh¢u wS  ¾W ¯h g Ã�

Q �Âdg Ãh¢u QdÄ �ÂcÇS �ÁnÄ ¾d¼ Ãg ÃngcÆ ¶c"nÀc ÐQdÄ � ° �ØÒ�Ñ�

∆(t) = (LÊ − LË)Ê/µ �ØÓ�Ñ�

¾cÇm �l¼¬ ¿Sc dg �lc Ãn¬! c° ÃTydÀ ¿Sc ¶d½nyc c QÆz¼ c±¼ �gdS �l¼ Sc¬c ¾d¼ dg Ã� ÁÄ�l¼ Çê c

c!cÆ Æ Ä∑Ë Æ T Æ ÁÁ� �l¼ QÆTê g Á¹g QdÄ � SÇm  gdm c ¾W QdÄ �º° ¶Ç Æ dnÀc ¾d¼ Ã� � Çm c ln}¸Æ

�»T �l¼ S Q� ·TÀcS ød¢¼ Ãg Æ ÀÇ�l¼

∂W

∂t=Ó D

Ê−αt K

µα∇µW (x, t). �ØÔ�Ñ�

c〈

xË(t)〉

LlT½� dg ¿Sc �Ç�l¼ l¬¢¼ Ã�lc TS Q� }¹½¡∇µ Ãgc ¿Sc �Kµα ≡ σµ/τα ~ê lgdq dg

�Ä �l¼ ¾dÀ lÀd¼ dn¬ ÃÀÇ! �¿Sc Æ Ç�l¼ ÂT¼dÀ Qdv¼ RSdvgdu  g¼ ¿T"ÀdT¼ Ã� »TÁ� �l¼ «S¢m

〈

xË(t)〉

L∼ tËα/µ �ØÕ�Ñ�

�Ä �l¼ { ~êc¬ dS~êS µ Æ α Sd±¼ Ãg ÃuÇm dg Ã�

Ð &XW�2IIV

ÖÐ