194
APPROVED: Mariusz Urbanski, Major Professor Nicholas Alikakos, Committee Member Matthew Douglass, Committee Member Neal Brand, Chair of the Department of Mathematics Sandra L. Terrell, Dean of the Robert B. Toulouse School of Graduate Studies THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis Prepared for the Degree of MASTER OF ARTS UNIVERSITY OF NORTH TEXAS August 2004

THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

  • Upload
    others

  • View
    18

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

APPROVED: Mariusz Urbanski, Major Professor Nicholas Alikakos, Committee Member Matthew Douglass, Committee Member Neal Brand, Chair of the Department of Mathematics Sandra L. Terrell, Dean of the Robert B. Toulouse

School of Graduate Studies

THERMODYNAMICAL FORMALISM

Vasileios Chousionis

Thesis Prepared for the Degree of

MASTER OF ARTS

UNIVERSITY OF NORTH TEXAS

August 2004

Page 2: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics),

August 2004, 189 pp., references, 14 titles

Thermodynamical formalism is a relatively recent area of pure mathematics owing a lot

to some classical notions of thermodynamics. On this thesis we state and prove some of the

main results in the area of thermodynamical formalism. The first chapter is an introduction to

ergodic theory. Some of the main theorems are proved and there is also a quite thorough

study of the topology that arises in Borel probability measure spaces. In the second chapter

we introduce the notions of topological pressure and measure theoretic entropy and we state

and prove two very important theorems, Shannon-McMillan-Breiman theorem and the

Variational Principle. Distance expanding maps and their connection with the calculation of

topological pressure cover the third chapter. The fourth chapter introduces Gibbs states and

the very important Perron-Frobenius Operator. The fifth chapter establishes the connection

between pressure and geometry. Topological pressure is used in the calculation of Hausdorff

dimensions. Finally the sixth chapter introduces the notion of conformal measures.

Page 3: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

ii

ACKNOWLEDGEMENTS

I would like to thank my advisor for all his help and to acknowledge that through our

collaboration, I changed as a person and as a mathematician. I would also like to thank my

family, and my friends Gabi Atim, Stefan Bold, Antaris Duffey, Ahmed Rashed, and Susumu

Tajima. Finally, I would like to express my gratitude to John MacKendrick from MacKichen-

TCI software for helping me with the typesetting of this thesis.

Page 4: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������

�3��4���2������ ��

: ����� ����� ������ ��� ��2��� ������ :

:1: ������0���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :

:1' /��,��7;� ������0 ������. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <

:1= ���+�+����# �������� �� �����0 ���0�� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :>

:1( ��� 4��, �������# �� ��� ���0� �� �������� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 '$

' ������2�� ����� �� � ��� �� �������� ������� =(

'1: ��������0�� �������� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(

'1' �������� �� ��.��0� �����0 ���0�� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (?

'1= ������� ��������0 ������# 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (%

'1( ������# �� ����.������.� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ??

'1? �������9�0������9/���.�� ������. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >(

'1> ��� ����������� ����0���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <?

= ������ �!����2 ��� %>

=1: ������0���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 %>

=1' �����5��� �� ��������+��� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :$(

=1= �@����� ���������� ���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :$%

( ������������ ������ :'A

(1: ������0���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :'A

(1' ������9 ��+����� �������� ��� �� ���-����� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :=A

(1= �8�����0� �� 2�++� ������ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :?(

���

Page 5: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

? ����� �� �� ������� :>'

?1: 2��.����0 ������� �����# 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :>'

?1' ������.�� �8������� ��������� ��� ��.������ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :>>

> ����� ���� �� ��� ���� ��� ��� :<>

>1: ������0���� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :<>

>1' 2������ ������ �� �������0���� ������.�� �������� 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :<%

//��2���� :A%

�6

Page 6: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ :

����� ����� ������ ��� ��2��� ������

:1: ������0����

��������� � ��.��# � �� ��+���� �� � ��� ! �� ���� �� +� � � ������� �� )

:1 � � �

'1 � � � B� �� � �

=1 �������� � � B�

������� � �

� �� �����������5��� ���. ��� �+�6� ��C������ ���� � � � ��� � �� 0����� ����� 0�����+�� �������0�����

��� ��+����0����� �� ����1

��������� � ��� ���0���� �� � �� ������� � & ) � � D$E 5��� +� 0����� .������ �� ��� ��# 0�����+��

��+��.��# �������� �� � 0��������� �� .������# ���-���� ���� 5� ��6�

F�������G B

�����

F��G

��� � ��� ��.����� 0����H������ �� ���� ��C������ ���)

:1 F�G B $

'1 � �� � � ��� � � B� F�G � F�G

=1 � �������� � � �� ��0������� ���� F

�������G B ���F��G B ��.F��G

(1 � �������� � � �� ��0������� ���� F

�������G B ��� F��G B ��.F��G �� ���� �� F��G �

:

Page 7: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� � ��� ������ F�� G 5���� � �� � � � ������� ��� �� � .������ 5��� +� 0����� � ������

�����& �� F�G B : ��� ������ F�� G5��� +� 0����� � ����������� ������ �����1 ���0���� � ) � � � 5���

+� 0����� ��������� �� � � �����6�� ���F�G � � �

��� � � � ��� ���0���� ) � � D�E �����C�� F:G F'G ��� F=G �� ��C������ : 5��� +� 0����� ������

������ ��� ��� ��� �� ��� ������ .������� �� � ��� � 5��� +� ������� +# ���F�G�

�������� � �� B .�8F� $G �� B .�8F�� $G ��� �� �� 0���� ���� � B �� � ���

��������� � ���0���� � ) � � D�E �� 0����� �� ��� ���0���� �� ��� �.��� �� � �� 0�����+��1

��������� � � � �� � ���������6�& ��.���& � ��������� ���0���� 5� ��C��

��� B

������

�F���F�GG

��������� � � � �� ��.��� � ��������� ���0���� ��� ���������� � ��

�� � � & 5� 0��� � �

� ���������� ��.��� ���0���� ��� ��C����� )B

���� �

���������� �� � �� � � ���������� ��.���

���0���� ��� B

�������

�F������G

��������� �� ��� � ) � � D�E

� �

�� B ����

��� ) � �� � � ���������� �� ��� �������� ���� � � � ����

5��� +� 0����� ��� ����� ������� � ��

��

�� B ����

��� ) � �� � � ���������� �� ��� �������� ���� � � � ����

'

Page 8: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

5��� +� 0����� ��� �� ������� � ��

��������� �� � ��������� ���0���� � ) � � D�E �� 0����� � ���������� ����� � � ��

��������� �� /# ��F�� G 5� 5��� ������ ��� ��� �� ��� ���0����� ��0� ������� �� � ��

��� �� ��F�� G �H������ 5��� ��� ���. ���� B���� �� �

� �� +�0�.�� � ������ ������

4� ����� ����� ��� �����5��� ����� ������.� 5������ �����1�� �� ���. 0�� +� ����� 5��� ����� ������ ��

D:E1

������ �� ������ ���������� �������������� �� � �� � ��� �� �� ��0������� ��H���0� �� �������+��

���� 6����� ���0����� �� � ���+�+����# ���0� F�� G����� � B ��.���

�� �8���� �1� ���

��.���

���� B

���

������ �� ��������� ���������� �������������� ���� ������� �� � ��H���0� �� .������+�� ����

6����� ���0����� �� � ���+�+���# .������ ���0� F�� G ��� ���� � � � � � 5���� � �� �� �������+��

���0���� ��� �� � � �1� ���� � �� .������+�� ���

��.���

���� B

���

��������� �� � F�� G �� � .������ ���0� ��� � �� � .������ 5��� ��.��� � &5� 5��� ��# ���� � ��

���������� ���������� ���� ������� �� �� ��� ��# .������+�� ��� � ��0� ���� F�G B $ �� ���� ����� ����

�F�G B $�4� 5��� ������ ���� +# � � 1

������ �� ������������ ���������� F�� G +� � C���� .������ ���0� 5��� � C���� .������ ��

� �+�������# 0��������� 5��� �����0� �� ����� ����� �8���� � ���� 6����� .������+�� ���0���� � �� � ��0�

=

Page 9: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� .������+�� ��� � )

�F�G B

��

��

� � �� ������� ���0���� ��0� ���� �F�G B�� �� .������+�� ��� � ���� � B � �1� 5��� �����0� �� �4�

5��� ������ � +#��

���� 5� 5��� 0��� � ����9!�"��� ����6���6�1

��� �� ��� �����5��� ���������� �� �����9 ��,��#. ����6���6�� ��� H���� �����������5��� ���. ���

��C������)

:1 � � � ��� � �� � ���9������6� .������+�� ���0���� �������� B

�� D��

�E�

'1 D�F�� I ��G

�E B D

����E I D

����E 5����6�� �� � ��� �� � �

=1 D��

�#E B D

��

�ED�

�#E 5����6�� � � � #�

(1 D��

�E B D

��E��5����6�� � � ��� � ��

����������� �� ��� F�� G +� � .������ ���0� ��� ��� $ ) � � � +� ��� �������+�� ���0����&�� ��

�� �

��+9����+�� �� � ����� �8���� � ���H�� .��$ ���0���� F���H�� .��$ .���� ���� �� ����� �� ������� ���0����

� ������#��� ��� ��.� �������# ���� � B � �80��� �� � ��� �� .������ *���G������� +# �F$���

G ��� 0�����

�������� ���������� ��0� ���� �F$���

G �� ��

9.������+�� ���)

��

�F$���

G� B

��

$� � � ��

������ � �� 5��� ,��5� ���� �� F�� G �� � .������ ���0� ��� $ ) � � � �� ��������+��&��� ���

���0���� % ) � � D$E ��0� ���� �F�G B�� $� �� ���� � .������1� �� ���� ���� ���� � � D:E1��5

������0���� �� ��

��� ����#��� �����9��,��#. ������. &+�0���� � � ���� �� ��

5� 0�� C�� � � ���H��

.��$ ��

9.������+��&��������+�� ���0���� J B��

�) � � �� ��0� ����

��J� B �F�G B

��$� � � �

(

Page 10: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� �����5��� ������. 0��0������ 0���������� �8��0������� �� �� ���� ������ 5������ ����� �� 0�� +� �����

��� �8�.��� �� D'E1

������ �� ���������� ���������� F�� G +� � .������ ���0� ��� ������� �� ������ .�������

��0������� �� .������� ��0������� ��H���0� �� ������+��� 0�������� �� � &���� ��� �6��# $ � ��FG &: � � �

��.���

�F$���G B �F$���

G��� ��� �� ��FG

5���� ��

�� �H��� �� ������������� ��

������� �����0��6��#

��������� �� ��� F�� G ��� F���

G +� � .������ ���0�&� ��������.����� & ) � � � ��� ���� �� +�

��������� �� &��F�G � � � � ��

� .������+�� ��������.����� ��0� ���� F&��F�GG B �

F�G & � � ��

�� 0����� ������ ������%��� 1� F�� G B F���

G 5� 5��� 0��� � .������ ������6��� ��������.�����

& ) � � � � ������� ���������� ��������� ��� 5� 5��� 0��� & � ��%�������

������ �� F������� ���������� ���������� F�� G +� � ���+�+����# .������ ���0� ��� ��� & ) � �

� +� � .������ ������6��� ����.������. &���� .������+�� ��� �

F�' � � ) &�F'G � � ��� ��C�����# .��# ����G B F�G

������ ��� ! B !F&�G B �' � � ) &�F'G (� � � � :������)

! B �' � � ) &�F'G (� � � � :� B �' � � ) &�F'G � � �� � � :� B �' � � ) ' � &��F� ��G�

4� ����� C��� ���5 ���� F!G B $�� �� 0���� ���� )

! B � � F ����

&��F� ��GG

?

Page 11: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 �� ' � ! ���� � � : &�F'G (� ���� +�0���� ! � &�F'G (� ! � � : �� 5���&5��0� �.����� ���� ' (�

&��F!G � � :����0� ! � &��F!G B � � � :���� �� �� �� � � ��� �� � �� ���� &���F!G� &���F!G B

&���F!�&��������F!GG B ���������� ��� ��� �����5��� ����!&��F!G &��F!G ��� &��F!G ��� ��� .������#

���-����1��5 ����0� ���� +�0���� & �� .������ ������6��� &� �� ���� .������ ������6��� � � �1���� �����5�

�����# +�0����)

F&��F�GG B F&��F���F&��� �� ������

F�GG��G B F&������F�GG B ��� B F�G

���� +�0���� � �� � ���+�+����# ���0�)

: � F�����&��F�GG B

�����

F&��F�GG B

�����

F�G

�� ���� 0�����# �.����� ���� F�G B $+�� ! �����0� ���� F!G B $� �8 ��5 " � : ��� ���)

!� B �' � � ) &�F'G (� � � � "�

��0��� ���� !F& � �G B �' � � ) F& �G�F'G (� � � � :� ���0� !� !F& � �G���5 +�0���� & � �� .������

������6��� ����#��� ��� ������ 5� �������# ���6�� 5� ��� ���� F!F& � �GGG B $ ��� +�0���� !� !F& � �G

5� ��6� ���� F!�G B $�����0� ���� ����)

) B �' � � ) &�F'G � � ��� ���# C�����# .��# �;�� B ����!�

/�0���� )

' � ) B� &�F'G � � ��� ���# �������� .��# �;�

B� �"� � � ��0� ���� � � "� &�F'G (� � ���� ' � !��

B� ' � ����!� 5��0� .���� ���� ) �

���!��

>

Page 12: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �� ���� �����������5��� ���� !� ) " � :���0� ������ ) B ����!���� ���� �.����� ����)

F)G B F�' � � ) &�F'G � � ��� ���# C�����# .��# �;��G � F ����!�G �

�����

F!�G B $�

���0�)

F�' � � ) &�F'G � � ��� ���������� ��� ����G � F�' � � ) &�F'G � � ��� ��� ��� �������� ���

����G B F� � �' � � ) &�F'G � � �� �� ������ ���� � ��G B

F�G� F�' � � ) &�F'G � � �� �� ������ ���� � ��G B F�G� F)G B F�G�����)

F�G � F�' � � ) &�F'G � �������������� �������G� F�G B�

F�G B F�' � � ) &�F'G � �������������� �������G

�� ���� 0��0����� ��� �����

:1' /��,��7;� ������0 ������.

��������� �� .������+�� ��������.����� & ) � � � �� � .������ ���0� F�� G �� ���� �� +� �������

�� ��� ��# .������+�� ��� � )

F&��F�G��G B $ B� F�G B $��F� ��G B $

��0��� ���� � �* B F� � *G � F* ��G�

����������� �� � F�� G �� � ���+�+����# ���0� ��� & ) � � � �� .������ ������6��� ���� �� & �� ������0

5����6�� � �� .������+�� ��� F� Æ & GF'G B �F'G ��� � �� 0������� �1�

<

Page 13: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ��� & +� ������0 ��� ������� � �� .������+�� ��� F� Æ & GF'G B �F'G ������C��)

�F" �G B �' � � )"

'�� �F'G �

" I :

'�� B ���FD

"

'�" I :

'�GG

����0� ����&��F�F" �GG��F" �G �' ) F�Æ& GF'G �B �F'G����� �����5� +�0���� ' � &��F�F" �GG��F" �GG

�.����� ����)

' � &��F�F" �GG ��F" �G �� ' � �F" �G � &��F�F" �GG

� ' � &��F�F" �G � �F" �GG � & F'G � �F" �G ��� ' (� �F" �G���5 & F'G � �F" �G �.����� ����

"

'�� �F& F'GG �

" I :

'���� ' (� �F" �G �.����� ���� �F'G �

" I :

'��� �F'G �

"

'����� 5� ����0� ����

F� Æ & GF'G �B �F'G�� ' � �F" �G � &��F�F" �GG ��� �����.��� �� ������0��1���0�

F&��F�F" �GG��F" �GGG � F�' ) F� Æ & GF'G �B �F'G�G

��� +�0���� F�' ) F� Æ & GF'G �B �F'G�G B $ �� ���� ����� ���� F&��F�F" �GG��F" �GGG B $���������� +#

������0��# �� & &

F�F" �GG B $ �� F�F" �GG B :

����0� ���� ���� ��� �6��# C8�� �

�����F" �G B �

���� ����� +�0���� ' � � �"� � � ��0� ����"�'�� �F'G �

"� I :

'�5��0� �.����� ���� ' � �F"� �G ����

�����F" �G � ��� �� ���� ���� ���� ��� C8�� ��� " �B � " � � � �

����F" �G B � �� � ���-���� �����1����

�.����� ����)

: B F�G B F �����F" �GG B

����

F�F" �GG

A

Page 14: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� +�0���� " � � F�F" �GG � �$ :�F������0��#G ����� �8���� �8�0��# ��� "� ��0� ���� F�F"� �GG B

:���5 0������� ��� ���)

+ B������F"� �G

����)

F� � + G B F� �������F"� �GG B F

������ ��F"� �GG �

�����

F� ��F"� �GG

B

�����

FF�G� F�F"� �GGG B $

���� F+ G B :� �����# ��� ' � � + ��� ������� ���� �F'G �B �F�G���� �.����� ���� ����� �8���� � � �� ��0�

���� ��F'G� �F�G� B �������� �� � � ��0� ����:

'��� ��/�0���� ' � �

������F"� �G &' � � �F"�� ��G B�

��F'G� �F�G� �:

'����� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����1��� �+�6� �����.��� ���5� ���� � �� 0������� ��

+���� � �� 0������� ��� +�0���� F+ G B :

��� �� ��� F�� G +� � ���+�+����# .������ ���0�&��� & +� � .������ ������6��� ����.������. ���

��� � B�� � � ) F&��F�G��G B $� ���� �6��# , ) � � � .������+�� 5��� �����0� �� � �� & � ��%������

.��$&5��0� .���� ���� , Æ & B , ����

������ ��� � B �' � � ) , Æ & F'G �B ,F'G����� )

� B � ���' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - ��

��5 ������� ���� F�G - $ ����)

F � ���' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - ��G �

� ��

F�' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - ��G

%

Page 15: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� ��

F�' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - ��G - $ 5��0� �.����� ���� ��� ��.� � � � )

F�' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - ��G - $

��� �� B �' � � ) ,F'G � � ��� , Æ & F'G - �� �� �� B F,��F �GG � F, Æ & G��F�GG ���� +�0���� ,

�� �9 ��������� �� � �1���� �.����� ���� F&��F��G � ��G B $�����0� ���� &��F��G � �� B ���������

���� �' � &��F��G � �� ���� �.����� ���� & F'G � �� ��� ' � ��+�� & F'G � �� B� , Æ & F'G � � ���

' � �� B� , Æ & F'G - �&���� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����1��5 +�0���� &��F��G��� B � �� �� ���� ����

����)

&��F��G��� B F&��F��G ���G � F�� � &

��F��GG B &��F��G � ��

/�� +�0���� F&��F��G � ��G B $&F��G B $���� 5� ��6� ���0��� ������� 0�������0����1

������ �� �!����" � ������ �������

:1 � & ) � � � �� � .������ ������6��� ����.������. �� � ���+�+����# ���0� F�� G ��� . ) � � �

�� �� �������+�� ���0���� ����)

��.���

:

�/�$F'G B �F$��G ��� ' ���

'1 � .����6�� & �� ������0 ���� )

��.���

:

�/�$F'G B

�$� ��� ���

������ ��� � � ��FG ��� ��� )

0�F'G B .�8��������

� Æ & �F'G ) : � " � �� ��� � � �

:$

Page 16: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� ��� �6��# ' � � 0���F'G � 0�F& F'GG B �F'G�.��F$ 0�F& F'GG����� �����5� +�0����)

0�F& F'GG B .�8��������

� Æ & �F& F'GG ) : � " � �� B .�8������

� Æ & �F'G ) : � " � ��

B .�8��F& F'GG I �F& �F'GG ��� �F& F'GG I ��I �F&�F'GG�

� ��� C8�� ' 5� ��� �� B �F&�F'GG ���� )

0�F& F'GG B .�8������ I �� ���� �� I �� I ���I ���

���)

0���F'G B .�8��������

� Æ & �F'G ) : � " � �I :�

B .�8��F'G �F'G I �F& F'GG I �F& �F'GG ��� �F'G I �F& F'GG I ��I �F&�F'GG�

����)

0���F'G B .�8��F'G I ����F'G I �� I �� ���� �F'G I �� I �� I ���I ���

����0� ���� �� 0�F& F'GG � $ 0���F'G B �F'G ���� 0���F'G � 0�F& F'GG B �F'G � 0�F& F'G�� 0�F& F'GG � $

��# �� I �� I ���I �� ��� : � � � � ���� 0�����# 0���F'G B �F'G I �� I �� I ���I �� ����)

0���F'G � 0�F& F'GG B �F'G I �� I �� I ���I �� � F�� I �� I ���I �� G B �F'G

��������� ' � � )0���F'G�0�F& F'GG B �F'G�.��F$ 0�F& F'GG � �F'G ��� +�0���� 0�F& F'GG �� .�������

��0������� 0���F'G� 0�F& F'GG �� .������� ��0�������1��5 ��C��)

� )B �' � � ) ��. ����

�����

� Æ & �F'G B�

::

Page 17: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �� 0���� ���� � � � ���0� � ��� & ��� .������+�� ��������.������14� 0�� ���� ���5 ���� &��F�G B �����

' � � ����)

��. ����

�����

� Æ & �F'G B� ��. ����

�������

� Æ & �F'G B� ��. ����

�����

� Æ & �F& F'GG B� & F'G � �

�� ��� �������� ����0���� ��� ' � &��F�G����)

& F'G � �� ��. ����

�����

�Æ& �F& F'GG B� ��. ����

�����

�Æ& ���F'G B� ��. ����

�����

�Æ& �F'G B B� ' � �

��� ���� ���5� ���� &��F�G �� ��. ��� �+�6� �+���6������ �� �� 0���� ���� � � �1��� �� ' � �0�F'G�

���� 0�F& F'GG � 5��0� .���� ���� ��� ��.� ! � � �� � - ! 0�F& F'GG - $����� �.����� ����

0���F'G � 0�F& F'GG B �F'G � - ! ���0� �� ' � � 0���F'G � 0�F& F'GG .����������# ��0������ �� �F'G

5��� ������������ ��� ��.������ 0��6�����0� ������. �.����� ����

��

F0��� � 0� Æ & G��

��

��

��� +�0���� 0� �� ��0������� ' � � 0���F'G � 0�F'G � $ ' � � ����0���F'G� 0 F'G� � $ ���)

��

0��� � 0�� B

��

0�����

��

0�� B

��

0��� �

�������

0�� B

��

0�����

��

0� Æ &�F Æ &��G

+�� +�0���� �� & 9 ��6������ Æ &�� B �� � ���0�)

��

0� Æ &�F Æ &��G B

��

0� Æ �

��������� ��

0��� �

�0� Æ &� � $ F:G

:'

Page 18: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

4��� ' (� � ��. ����

������� Æ & �F'G � & ���� �1� 0������� ��0� ����)

��. ����

�������

� Æ & �F'G �1� � ��. ����

���:

����

� Æ & �F'G � ��.�

1�

���0� ��� ' (� �)

��. ����

:

����

� Æ & �F'G � $ F'G

��������� �� ��� 0���������� �8��0������ �� �� � �� ������6� �9�1��� �6��# * � � ��0� ���� F*G - $ 5� ��6�

����) ��

�� B

��

��� �

/�� +# F:G�� �� � $ ��� +�0���� 5� ��6� ���6�� ���� � � � ���� �.����� ���� F�G B $����� F'G �����

��.��� �6��#5����1 �8 2 - $&��� � B $� $� � 2���� � � � )

��

�� B

��

$��

��

$���

��

2� B� �� B �2

���� ��� 0���������� �8��0������ �� �� � �� ������6� �1�1 5��0� .���� ���� F'G ����� �1�1/# ��C������ $�

�� ��.������+��&���0� +# ��..��� :1:% $� Æ & B $� 1 ���� �.����� ���� " � � $� Æ &� B $� +�0����)

$� Æ & Æ &��� Æ &� �� �� ���

B $� Æ & Æ F& Æ ��� Æ & G� �� �������

B ����� B $�

���������)

:

�������

� Æ & � B:

�������

F$� $� � 2G Æ &� B

:

�������

F$ Æ & � � $� Æ &� � 2G

B:

�������

$ Æ & � �:

�������

$� �:

�������

2 B F:

�������

$ Æ & �G� $� � 2

:=

Page 19: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� +�0���� �1�)

��. ������

:

�������

� Æ & � � $

� ���� ����� ����)

��. ������

F:

�������

$ Æ & �G� $� � 2 � $

����)

��. ������

F:

�������

$ Æ & �G � $� I 2 ���� F=G

��5 ��� ���B$� �$� 2�� �� 0���� ����� ���� ��� B �2 ���� ������6� ��� ���� .���� ���� F'G ����� �1�1����

����� ��� ��0� ���� $� Æ &� B $� " � � 5� ���)

:

�������

� � Æ & � B:

�������

F$� � $� 2G Æ &� B

:

�������

$� Æ &� �

:

�������

$ Æ & � ��2

B $� � 2�:

�������

$ Æ & �

��� +�0���� F'G ����� �1�1��� � �)

��. ������

:

�������

� � Æ & � � $� ��. ������

F$� � 2�:

�������

$ Æ & �G � $�

$� � 2� ��. ������

:

�������

$ Æ & � � $� ��. ������

:

�������

$ Æ & � � $� � 2 ����F(G

���� +�0���� 2 5�� ��+����6��# 0�����)

$� � 2 � ��. ������

:

�������

$ Æ & � � ��. ������

:

�������

$ Æ & � � $� I 2

:(

Page 20: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

5��0� �.����� ����)

��.���

:

�������

$ Æ & � B $�����

F'G� & �� ������0 ����� ����������� '( +�0���� $� Æ & B $� ��� +# ��.��, '? $� �� 0������� �1�1����

��.���

:

������

$ Æ & � �� 0������� ��.��� �6��#5����1 ���� ��� �1�1 ' � � )

��

��.���

:

�������

$ Æ & �� B

��

$�� B� ��.���

:

�������

$ Æ & �F'G B

��

$�

�� ���� 0��0����� ��� �����

��������� �� �5� ���+�+����# .������� � ��� � �� � ������+��� ��� 0����� ������� ��������& � � �

�� ����� �8��� ���-���� ���� �� �� � � ��0� ���� �F��G B : ��� �F��G B :�

������ �� � & ) � � � �� � .������+�� .�� 5��� �����0� �� � �����#�� � ��� �� � ��� � ��� �5�

��7����� & � ��%������ ���+�+����# ������0 .������� �� � ���� � ��� � ��� ��������1

������ ���0� � ��� � ��� ��7����� ����� �8���� � .������+�� ��� � ��0� ���� �F�G �B �F�G�/�0����

�& � ��� ������0 F& �� ������0 ��� ���� �G ��� ��0��� ���� �� /��,��7;� ������0 ������. �.����� ���� �

���� �� �� 5��� �F��G B : ��� �F��G B : ��0� ����

��.���

:

�/���F'G B

��

���� B �F�G ' � ��

��.���

:

�/���F'G B

��

���� B �F�G ' � ��

���� +�0���� �F�G �B �F�G �� � �� B �&�����5��� ����� 5���� ��6� +��� ��.� '� � � ��0� ����

'� � �� � �� ��� ���� �.����� ���� ��.���

:

�/���F'�G B �F�G ��� ��.

���

:

�/���F'�G B �F�G ��� ���� ��6��

���� �F�G B �F�G 5��0� �� � 0�������0����

������ �� � & ) � � � �� � .������ ������6��� �.��.������. �� � ���+�+����# ���0� F�� &�G����

:?

Page 21: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �� ������0 �� ��� ���# �� ����� �� �� & � ��%������ ���+�+����# .������ �� � �+�������# 0��������� 5���

�����0� �� � ��� ��7����� ���. ��

������ ������� ���� � �� ������0 ��� �� � & � ��%������ ���+�+����# .������ �� � 5��� � ������

�� ���� ������0 +�0���� �� ��� ����� 5���� �8��� ��.� ��� � ��0� ���� &��F�G B � +�� F�G - $ ���

F� � �G - $�/�0���� � � &�F�G - $ ��� �F� � �G - $ F�����5��� �F�G B $ 5���� �.��# ���� F�G B $

��� �F� ��G B $ B� F� ��G B $G +�� ����� �5� 0��������� ���5 ���� � �� ��� ������0 ��� 5� ��6� ���0���

� 0�������0���� ���� �� ���� ������01��5 +# ������. 'A B ��/�0���� �� �B � +# 'A � � 5��0� �.�����

���� ����� 5���� �8��� ���-���� ���� �� �� ��0� ���� F��G B : ��� �F��G B :�/�� �� � �� B � �.�����

���� �� � ��� �� F��G � F� ���G�/�� F��G B : ���� F� ���G B :���� �F��G B : �.����� ����

�F� ���G B $��� ��5 5� ��6� ���0��� � 0�������0���� +�0���� � ��

������� �� ���� ���� � �� ��� ������0 ��� ��� � � � +� � & � ��%������ ��� ��0� ���� $ � �F�G � :1����

��� 0���������� .������ �� � �1�

F�G B

���F3���G��

�F�G

�� ���� & � ��%������ +�� ��.����������# �� ������0� ���. � ��� �+�������# 0��������� 5��� �����0� �� �

:1= ���+�+����# �������� �� �����0 ���0��

��������� �� ��� � +� � ��������0�� ���0�&��� ����� �9���#�� �� � �� ��� �.������ �9���#�� 0���������

��� ��� ���� ��+���� �� � 14� 5��� 0��� �6��# ���+�+����# .������ �� ��� ����� �9���#�� �� � � �����

���+�+����# .������ �� � 14� 5��� ������ ��� ��� �� ��� ����� .������� +# 1F�G�

��������� �� 4� 5��� ������ +# *F�G ��� ���0� �� ��� ���� +������ 0��������� ���0����� �� ��*F�G

+�0�.�� � /���0� ���0� 5��� �H������ 5��� ��� �����.�. ���. �.� )B ������

�.F'G� �

��������� �� 4� 5��� ������ +# *F�G���� ���0� �� ��� 0��������� ������ ���0������� �� *F�G5���� �

������ ���0������ � �� *F�G �� � .�� �� *F�G ���� ��� ���� ���� ��0� ���� ��� ��# �5� 0�������� � ��� �

:>

Page 22: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��# �5� ���.���� � � � *F�G �F�� I ��G B ��F�G I ��F�G���� ���0������ � 5��� +� 0����� ������6� ��

� � $ �F�G � $�

��� �� 2�6�� ��# ���+�+����# .������ �� � ��� ���0������ �� ) � ���� �� �����# ���� �� +� �

������6� ������ ���0������ �� *F�G 5��� ��F�G B :�

��������� �� ��� +� � .������ �� ��� .����0 ���0� � 1 ����� ��+��� �� � �� � �� ���� �� +� �������

��)

F�G B ����F*G ) * � �*������� B ����F4G ) � � 44�����

� �6��# ����� ��+��� �� � �� ������� 5� 5��� ��# ���� �� �������1

��� �� � ���# �� ���5 ���� � ��� � � �� �� ������� �7 2 - $ � �� ���� ��� 4� ��� � 0����� ��� *�

��0� ���� *� � 4� ��� F4� � *�G � 2� .������ 5��� +� 0����� ������� �� ��� �+�6� 0�������� �����

� � �� �

������ �� ��� � +� � .����0 ���0� ��� ��# /���� ���+�+����# .������ �� ����� �� �������1

������ ��� � +� ��� 0���� �� ��� /���� ��+���� �� � 5��0� ��� �������1������# � � �14� 5��� �� ���5

���� � �� � �9���#���

:1 � � � �/�0���� � ��� � ��� ���� ��� 0����� ���� ���6����# � � � �1

'1 � � � B�� � � � ���� 2 - $ &�� � � � �4 ���� ��� * 0����� ��0� ���� * � � � 4 ���

F4 �*G B F4G�F*G � 2�/�0���� * � � � 4 �� ���� ����� ���� � �4 � � �� � � �* ���� � �4

�� ���� ��� � � * �� 0�����1 �����#)

FF� � *G � F� � 4GG B F� � *G� F� � 4G B F�G� F*G � FF�G� F4GG B F4G� F*G � 2

���0� � �� � �1

:<

Page 23: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

=1 � ������� � � ���� ������ � ���� 2 - $&���0� �� � � ����� �8��� 4��� ���� ��� *��� 0�����

��0� ���� *��� � �� � 4��� ��� F4�� � *��� G �2

=����� 4� B

�����4��� ��� * B

�����*��� �������#

* �������� � 4��4� 0�� ���� 0����� " �� ����� ��0� ���� F* �

�����*��� G �

2

' ��� ��� *� B

�����*��� ��

���� 0��� *� �� 0����� ��� *� �������� � 4�� �����# +�0���� *� � * � 4�

F4� � *�G B F4� � *G I F* �*�G � F�����4��� �

�����*��� G I

2

'

B F�����

F4��� � *��� GG I2

'�

�����

F4��� � *��� G I2

'

������

2

=�I2

'B2

'I2

'B 2

���0� ����

�� � �1

��. ��� ��� �+�6� � �� � �9���#���� 5� ���� ���5 ���� � 0������� ��� ��� 0����� ��+���� �� � ���

����� 5��� +� 0�.����� +�0���� 5� 5���� ��6� ���5� ���� � � � ��� 0�.+���� 5��� � � �&� B �1� ����

����0���� ��� * � � 0����� ��� ��� 2 - $���� �� �� 5��� ,��5� ���� * �� 5Æ ���&���� ����� �8��� �4�����

���� ���� ��0� ���� * B�����4�14������ ���� �� ���������# 5� 0�� ����.� ���� �4����� �� � ��0�������

��H���0�1���0� ��.���

F4�G B F*G5��0� .���� ���� ��� � � ��0� ���� � � �� F4�G�F*G � 2�/�0����

2 5�� ��+�������# 0����� * � �

������ �� ��� +� �5� /���� ���+�+����# .������� �� ��� .����0 ���0� ���)

��� B

��� � � *F�G

���� B �

������ /# ��� �+�6� 0�������# �� ��Æ0�� �� ���5 ���� F*G B F*G ��� ��� 0����� ��+���� * �� ���������

* �� 0����� ��� ��� 2 - $����� +# ���������# �� ����� �8���� �� ���� ��� 4 5��� * 4 ��0� ����

:A

Page 24: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

F4 � *G � 2�/# �#����;� ��..� ����� �8��� � � *F�G 5��� $ � � � : ��0� ����)

�F*G B : ��� �F� � 4G B $�

����)

F*G �

��

�� B

��

�� � F4G � F*G I 2�

��������� F*G � F*GI2��� +�0���� 2 5�� ��+�������# 0����� 5� 0�� 0��0���� ���� F*G � F*G�����0�������

��� �� ��� �+�6� �����.��� 5� 0��0���� ���� F*G � F*G����0� * � 0����� F*G B F*G

4� 5��� ����� ��� ��� ��� �����5��� ������. 5������ �����&��� ����� 0�� +� ����� �� DAE ��� �� D?E1

������ �� $����% ������������� �������

&�� $ ������'�����

��� � +� � 0�.��0� .����0 ���0� ��� ��� � ) *F�G � � +� � ������6� ������ ���0������ ��0� ����

�F�G B:����� ����� �8���� �1F�G ��0� ����)

�F�G B

��

�� � � *F�G

(�� $��������'�����

��� � +� � 0�.��0�&�������7 ���0� ��� ��������.����� � ) ���F�G� *F�G� ��0� ����)

�FGF�G B

��� � ���F�G ��� � � *F�G

�� �� ���.����0 ���.������. +��5��� ��� /���0� ���0� *F�G� ��� ���F�G�

:%

Page 25: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

:1( ��� 4��, �������# �� ��� ���0� �� ��������

��� � +� � .����0 ���0�&5� ����� ��5 ��������*� ��� ���0�1F�G +# ��C���� � +��� �� ���� �����+��������

��� ��# ����� �1F�G1������� ��� ��.��# �� ���� �� ��� ���.)

6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G B �� �1F�G )

� ���� � � ��� � 2� � B : ��� "�4���� ���� ��� �� ��� ���.���� �� *F�G ��� 2� 2� �� 2� ��� ������6� ���� ��.+���1� �� ���# �� 6����#

���� ��� ��.��# �� ���� �+������ +# 6��#��� " ���� ��� �� 2� 2� �� 2� �����C�� ��� �8��.� �� � +���� ���

� �������#1��0����0� ���� � ��.��# � �� ��+���� �� � �������0�� ���0� � ���.� � +���� ��� � �������# ��

��� ) � � �� B � ��� �� �� �� � ���� ' � �� � �� ����� �8��� ��.� ���.��� �� � ���0� ���� ' �

�� �� � �� 1� �� 0���� ����)

��6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G )

" � � �1F�G ���� ��� �� � *F�G 2� 2� �� 2� � �� B1F�G

+�0���� �1F�G& � 6�F� 2G ��� ��# 0���0� �� � � *F�G ��� ��� ��# 2 � �1

��� �� � 6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G � 6�F�� �� ��� �� � � �� �G 0������� ��� �����5��� ��.+���)

2�� B 2� �

� ��� � � ��� � B : �� "���

�� B � �

� ��� � � ���� 7 B : �� �/# ��C������ �� 6� ��� 6� ��� �+�6� ��.+��� ��� ������6�1��5 0������� ��� ���

6F���� ��� �� �� �� ��� �� 2�� 2

�� �� 2

�� Æ

�� Æ

�� �� Æ

��G

'$

Page 26: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��,� ��.� ���.��� 8 � 6F���� ��� �� �� �� ��� �� 2�� 2

�� �� 2

�� Æ

�� Æ

�� �� Æ

��G ���� � B : �� "

� ���8� � ��� B

� ���8� � ��� I � ��� � � ��� ��

� ���8� � ��� I � ��� � � ���� 2�� I

� ��� � � ���B 2� �

� ��� � � ���I � ��� � � ���B 2�

���� 8 � 6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G� ���� ��� �8�0� ��.� ����.��� 5� 0�� ���5 ���� 8 � 6�F�� �� ��� �� � � �� �G����

� 6F���� ��� �� �� �� ��� �� 2�� 2

�� �� 2

�� Æ

�� Æ

�� �� Æ

��G

6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G � 6�F�� �� ��� �� � � �� �G

4� ����� ����� �� ���� �������# �� ��� ��� ���� �� 1F�G

��� �� ��� F��&G +� � /���� ���+�+����# .������ ���0� ���� ���# �8��� �� .��� 0�����+�� ���-����

/���� ��+���� �� � 5��� ������6� .������1

������ ������� ���� ����� �8���� � ��.��# ������� �� /���� ��+���� �� � &��0� ���� �9 � � � ��� ��

��� ����5��� ���-���� ��� � � 9 F��G - $��������� ��� ���� 9� B �� � 9 ) F��G -:

���� �� 0���� ����

9 B�����9� +�0���� �� � � 9 ���� F��G - $ ���� ����� �8���� ��.� �� � � ��0� ���� F��G -

:

��5��0�

��.��# .���� ���� � � 9�� �/�0���� 9 �� ��0�����+�� ��.� �� ��� 9� .��� +� ��0�����+�� ���� ��C����1���

��# 9�� �� ��C����&��������� �� 0������� �� ����� �� I : .�.+��� ���0� ����� �8��� �� I : /���� ��+���� �� �

��# ��� ��� ��������0� ���� ����� .������� �� ������� ����

:

��1���� .���� ���� F

��������

��� G B�������

F��� G -

�� I :

����� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����

':

Page 27: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ �� ��� �� .������� � � � &K ����0��� ��� &0��6����� �� ��� 5��, �������# �� � .������ ��

��� ���# �� ) ��� �

��� � � *F�G

������ ������� C��� ���� � ��� ��� ��.� � � *F�G ��� ��.� �����6� ��.+�� 2����� ��� � K

��0� ���� � � �� � 6�F� 2G���� .���� ����� �� � � �� � 2����� ��.��# .���� ���� � �� ��

�����5 ��� ��� ����� ����0���� ��� 6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G ��.� +���0 �����+������ �� �/�0������� �

��� � � *F�G ��� � B : �� " ��0� ���� �� � � ��

� ��� � � ��� � 2��/�0���� K �� �

����0��� ��� 5� 0�� 0����� �� � K ��0� ���� �� � �� � B : �� "����0� � � ��� ��� � � ��� � 2�

� B : �� "����� .���� ���� � 6�F���� ��� �� 2� 2� �� 2�G � � ��1�� �� ����� 5���� �

������ �� ��� +� � ��� �� 1F�G1���� ��� �����5��� �����.���� ��� �H��6������1

:1 �

'1��� �

��� ��� ��� � � 4F�G 5���� 4F�G �� ��� ���0� �� ��� +������ ���� 6����� ������.�#

0��������� ���0�����1

=1 ��. F*G � F*G ��� �6��# 0����� ��� *�

(1 ��. F4G � F4G ��� �6��# ���� ��� 4�

?1 F�G� F�G ��� �6��# /���� ��� � 5���� +������# ��� �.������ $1

������ F:G� F'G ���0� 4F�G *F�G ��� ����� �� �..������ +# ������. ($1

F'G� F=G ��� * +� ��# 0����� ��� ��� ��� ���)

5� B �' � � ) �F'*G �:

��

���� � � � ��� ���� * ��� � � 5� ��� ���-���� 0����� ���� ��0� ���� �����F' �G ) ' � * ��� ' �

''

Page 28: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� � 5�� �:

������ +# �#����;� ��..� ����� �8��� ���0����� �� � 4F�G ��0� ���� ��F*G B : ���

��F� � 5�G B $������6�� �� �� ���� 0���� ���� �5����� �� ��0������� ��� ����

5� B *����0� ����� ��� ���

�+�6� �+���6������ ��� F�G 5� ���)

��. F*G � ��.

���� B

����

��5 ������� �� ��� +�0���� �5����� �� ��0������� 5� ��� ����)

��. F*G �

���� � ��.

���F5�G B F �

���5�G B F*G

F=G� F(G ��� 5 � ���� &���� � �5 B * �� 0�����1 ���� F0G 5� ��� ����)

��. F*G � F*G� ��.

F�G� ��.

F5G � F�G� F5G�

:� ��. F5G � :� F5G� F5G � ��.

F5G

���� �#..����0 �����.���� 5� 0�� ���� ���6� ���� F(G� F=G

F(G I F=G � F?G ��� � +� ��.� /���� ��� ��0� ���� F:�G B $���� +�0���� :� B � � �Æ 5� ��� ����

F� ��ÆG B $����� �.����� ����)

F�G B F�ÆG I F� ��ÆG � F�ÆG I F� ��ÆG B F�ÆG

���� F�G B F�ÆG����)

F�G B F�G I F� ��G � F�G I F� ��ÆG B F�G

'=

Page 29: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� F�G B F�G����0�)

��. F�G � ��.

F�G � F�G B F�G

���

��. F�G � ��.

F�

ÆG � F�ÆG B F�G

���� ��. F�G �8���� ��� �H���� F�G�

F?G � F:G ��� � � *F�G ��� F�G � F�G ��� �6��# /���� ��� � 5���� +������# ��� �.������

$1��C�� � ��5 .������ � �� ��� ���� ���� ��)

�F�G B F�' � � ) �F'G � ��G

��� ��# /���� ��� � �� ��� ���� ����1� �� �+6���� ���� +�0���� � �� +������ � �� 0��0�������� �� ��.�

+������ �����6�� F� �G���� � �� � ���+�+����# .������ ��������� +# ��..� =% 0�� ��6� �� .��� 0�����+��

��.+�� �� .��� ������ 1���0� ��� ��# 2 - $&5� 0�� C�� ��.+��� �� �� � ��0� ����)

F�G � B �� � �� � �� � � B ��

F��G � � �F'G � � ' � ��

F���G �� � ���� � 2 ��� ��� 7 B : �� �

F�%G F�' � � ) �F'G B ���G B $ ��� ��� 7 B : �� �

��� �� B �' � � ) ���� � �F'G � ����� �� 0���� ���� ������� ��� ���-���� /���� ���� 5��� � B������ �����

���� ���� �� ������� �� � ) � � + �� � 0��������� .�� ��� � + 5� ��6� ����)

���F�G � F���F�GGÆ ���F�G � F���F�ÆGG B ���F� ��ÆG

'(

Page 30: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ��� 0��� �� B ���FD���� ��GG ����)

�� ��� B ���FD���� ��GG � ��

��FD���� ��GG�

����D���� ��G � D���� ��G� B ��������� � �

������

B �' � � ) �F'G B ����� � �' � � ) �F'G B ���

��. ���� 5� ����0� ����� F�%G ���� F�� � �� G B $� F:��G B $��� +# F?G 5� ���) F��G � F��G ���

��� 7 B : �� ���5 ��C�� ��� ��.��� ���0���� �� �� ��� �����5��� 5�#)

��F'G B

����

������� F'G

��� ����0� ����)

F%G ��F'G� ��F'G� � 2 ��� ��� ' � ������ ����� +�0���� �� ' � � �7 B : �� ��0� ���� ' � �� ���0�)

��F'G� ��F'G� B

�F'G�����

������� F'G

B ��F'G� ����� � 2

����)

� �� � � �� B

� �� � � ��� I � ��� � � ���I � ���� � ���

� �� � � ��� I � ���� � ��I � ��� � � ����

��� � ��� � I

��� � ��� �I

� ��� � � ���� '2I

� ��� � � ��� ��� F%G�

B '2I

����

���� F��G�����

����F��G

'?

Page 31: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

B '2I

����

����F F��G� F��GG

� '2I

����

������ � F��G� F��G�

/�� +�0���� F��G� F��G ��� ��� 7 B : �� 5� ���)

��.

� �� � � �� � '2�� ������� 2� $ 5� �+���� ��� ��H����� ������

�� ��0� ����� ' � � 5� ����� ������ +# �� ��� .������ 0��0�������� �� ��� ����� '�

����������� �� ��� ) 1F�G ��0� ���� ) B ��� ) ' � � ������ � �� ��.��.�����0 �� )�

������ �������� ��� .�� � ) � � ) ��0� ���� �F'G B ����� �� 0���� +# ��� ��C������ ���� � �� :9:

��� ����14� ���� �� ���5 C��� ���� � �� 0���������1��� ��.� ����� ' � � ��� F' G � ��.� ��� �� � ��0�

���� ' � '�� ����� �� ���5 ���� � �� 0��������� 5� .��� ���5 ���� �F' G � �F'G �� �� ��7����� 5����

��� � �� �� ��� ���0� �� .������� 1F�G���� � � *F�G���� 5� ��6� ��������� B �F'G ' � � ���������

+�0���� � �� 0��������� �F' G � �F'G ��� ���� �.����� ���������� �

�������� +# ������. ($ +�0����

� 5�� ��+�������# 0����� 5� ��� ���� ��� � ���� ����� �� ���5 ���� ����� 0��������� 5� ���� �� ���5 ����

5����6�� ��� � ��&' � ' ����1/# 5�# �� 0�������0���� ������� ���� ' � ' ���� ����� �8��� ��.� ����

��� 5 ��� � ��+��� �'����� � K �� ' ��0� ���� ' � 5 ��� '� � � � 51/# �#����;� ��..� �����

�8���� � 0��������� ���0���� $ � � � : �F'G B $ ��� �F� � 5G B :����� �.����� ���������� B : � � �

�������� B $�/�� ���� �� � 0�������0���� +�0���� ��� � �� �.����� ����

������ �

�����

����������� �� ) �� � ��H��������# 0����� ��+��� �� 1F�G�

������ ��� '� +� � ��H���0� �� ������ �� � ��0� ���� ��� � ;�������� ���� �'����� ���� ��� ��6� ��#

'>

Page 32: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

0��6������ ��+��H���0�1���� ��� ��� / B �'� '� ���� �� 0����� ��� ���� ��� �� ��� ��+���� ��� 0�����1���������

����� ��� ��0� ���� ��� � ; +# ������. (: F=G 5� ��� ���� ��.���F*G � ;F*G * /���� 9 B �'�������

��� � B �'������� +� �5� ��+�����# ���-���� ��C���� ��+���� �� / B �'����� ���� �� �� 0���� ���� " � �

���� F9G B : ��� � � � ���� F�G B :����0� ��.���� F9G � ;F9G ��� ��.���� F�G � ;F�G 5��0� ��.��# .����

���� ;F9G B : ��� ;F�G B : ��� 5� ��6� ���0��� � 0�������0���� +�0���� ; �� � ���+�+����# .������1����

����� �� � ��H���0� �'������ �� �'����� ��� � ����� ' � � ��0� ���� '� � '1 �����# +# ����������� ('

5� 0��0���� ���� ��� � �� +�� 5� ���� ��6� ���� ��� � ; ���� ; B �� � )

������ �� 1F�G �� � 0�.��0� .����0 ���0� �� ��� ���# �� � �� � 0�.��0� .����0 ���0�1

������ ��� � +� � 0�.��0� .����0 ���0�1���� *F�G �� � ������+�� /���0� ���0�&��� ��� ����� ��� ���

�8�.��� D?E1���0� ����� �8���� � ��H���0� 5 B ������� � *F�G 5��0� ���.� � ����� ��+��� �� ��� ���� +���

�F$ :G ������ $ �� *F�G ����� � : ��� �� B :1��� 9 B D�: :E ��� ��C�� � .�� & ) 1F�G � 9� ��0�

����)

� �

����

���� ����

4� 5��� ���5 ���� & �� � ��.��.������.1

�& �� �� � ��) ��� � � 1F�G ��0� ���� & FG B & F�G ���� +# ��C������ �� &���� B

�����

� � ����� � � *F�G �����

���I :� �F$ :G ���0� +�0���� ������� � *F�G ���.� � ����� ��+��� �� ���

���� +��� �F$ :G ����� �8���� ��.� ��+��H���0� �� 5 �������� ��0� ���� ��� ��

���I :&���. ���� 5� ���

���� F���I :G��� � �����0��F��� I :G���� �

�F��� I :G

���I :� B

��� ����

�F��� I :G����� ��

F���I :G�

F���I :G�� B

���� +�� �� �� 0���� ����

�F���I :G���� B

�F���I :G����� ��� +# ���H������

�� ��.��� 5� ��� ������� B

����� �����# +# ������. =< 5� ��� ���� B ��

�& �� ��������) ������� ���� � ���� +# ������. ($���� �

���� � � �1���� �.�����

���� & F G� & FG�

�&���� ��������) ��� � � � +� � ��� �� 1F�G ��0� ���� & F G � & FG �1����� �

����

'<

Page 33: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� � ������ ��� ��# � � *F�G ��� +�0�����

���I :� �F$ :G ����� �8���� ��.� ��+��H���0� �� 5 &��������

��0� ���� F���I :G��� � �����0�)� �� � � �� BB �

��� �

�F���I :G���� I

�F���I :G���� �

�F���I :G����I

�F���I :G�����

����

� �� � � F���I :G���� I � F���I :G���� � � F���I :G����I � F���I :G����� � ���

��� � F���I :G���� � I F���I :G

� ���� � � ����I � �F���I :G��� � �� �� ' �� � F���I :G����I F���I :G

� ���� � � ���� ���� ��� ��0�� ���� F���I:G��� � � ��� ����

���� �

���� 5� ����6� ����)

� �� � � ��� $ ��

������� �

������ +# ������. ($ 5� ��� ���� � �

4� ����� ��5 ���6� ���� & F1F�GG �� � 0����� ��+��� �� 9��������� ���� ��� �� � ��H���0� �� .�������

�� 1F�G ��0� ���� & F�G 0��6������ �� F�� �� ��G �� 9����� � +� ��# ���0���� �� ��� ���� ������ �F$ :G ��

*F�G����� ����� �8���� ��.� ��+��H���0� �� 5 &�������� ��0� ���� ���� � �� � $ �� " � $����� � � �

5� ��� ����)

� �� � � ��� B

� �� � � ���� I � ���� � � ����� I � ����� � � ����

� �� � � ����I � ���� � � �����I � ����� � � ���� ' ���� � ��I

� ���� � � �����& F�G � F�� �� ��G ��.��# .���� ���� �

�����

����� ���� � F�� �� ��G ���0� ��.

���

������ � ���

��� ��.��

����� � ��� ����������)

��.����

� ���� � � ����� B $'A

Page 34: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����)

��.����

� �� � � ��� � ' ���� � ����5 ������� " � 5� ���

��.����

� �� � � ��� B $���� �.����� ���� � � �F$ :G ��� ��H���0� F

����G��� � � �� � ���0�# ��H���0� ���� ��� ��.�� ��.

���

����

�8���� 14� ����� ������ ���� ��.�� +# �F�G� �� ��# ���.��� � � *F�G ����� �8���� ��.� 0������� �� ��0�

���� �� � � � �F$ :G��C�� ��� ���0������ K ) *F�G� � �� ��� �����5��� 5�#

KF�G B ���F�

��G

� �� ���# �� 6����# ���� K �� � ���������6� ������ ���0������ �� *F�G ��0� ���� KF:G B :����� 5� ��6� ���

����� ���# �� ��� ���� KF� I �G B KF�G I KF�G���� ���� KF��G B �KF�G �� �..�������

KF� I �G B �����F� I �

����G B

B �����F�

����G I �����F

����G

B �����F�� �

���� � ��G I �����F

���

���� � ��G

B��������

���F�

��G I

��������

���F�

��G

B KF�G I KF�G

��� ����� ���� �� ��������# �� �6�� ������1���0� +# ������. =A ����� �8���� � ���H�� ���+�+����# .������

��0� ���� KF�G B��� � � *F�G����� � � �

KF��G B ��F���G B � ��.

���

������ B ��.

���

����� B ��

'%

Page 35: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� ����)

KF��G B

����

���0����� B �� ��� ���� .���� ���� & FG B �

�������� B ��������1� & F�G � & FG�� ����� 5����

& F1F�GG �� 0�����1/# �#0����7;� ������. 9� �� � 0�.��0� .����0 ���0� ���� +�0���� 5� ���6�� ���� &

�� � ��.��.������.1F�G �� ���� � 0�.��0� .����0 ���0�1���6�����# ��� 1F�G +� � 0�.��0� .����0 ���0�

���� +# �����������5 (= ��� (( 5� ��� ���� � �� ��.��.�����0 �� �� � 0����� ��+��� �� 1F�G1���0� � ��

� 0�.��0� .����0 ���0�

��� �����5��� ������� ���0��+�� �8���0���# ��� .����0 �� 1F�G�

������ �� � � �� � 0�.��0� .������+�� ���0� ���� ��� ���0� 1F�G �� .������+�� �� ��� 5��,

�������#�� ���������� � ����� ��+��� �� *F�G ���� )

)F G B�����

� ��� � � ���'� ����

�� � .����0 �� 1F�G ��6��� ��� 5��, �������#1

������ ��� ���0����) )1F�G 1F�G� � �� 0�����# � .����01�������� ��� .����0 ���0� F1F�G )G� ��

��0� C8�� � ��� .�� ����� �� 0�����# 0��������� �� F�)G +�0����

� ��� � � ��� � '� ����)F G� ���0�����

�� �� ����� �� *F�G �� �����5� ���� ��� ��0� � � *F�G ��� .�� �

��� �� 0��������� �� F1F�G )G 1

��������� �6��# ���� ��� �� ��� 5��, �������# �� ���� �� ��� .����0 ���0� F1F�G )G��� ���5 ��� 0��6����

�� 5��� ��Æ0� �� ���6� ��0� +��� � �1F�G ) )F G � 2� �� F1F�G )G 0������� � ��� 6�F���������� ÆG

5���� " � : �� � *F�G : � � � " ��� Æ - $�� �1F�G ��� 2 - $ ��� ��6�� &0����� ! �� ����)

�������

2

'��2

'

=$

Page 36: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ����)

Æ B2

'

������

:

'� ����

���

���� 6�F�� ������ �� ÆG � �1F�G �)F G � 2�

����������� �� ��� +� � ���+�+����# ���0� ��� ��� & ) � � � +� � 0��������� ��������.����� �� ���

0�.��0� .����0 ���0� �����)

���F Æ &��G B

�� Æ &� � � *F�G

������ � ��Æ0�� �� ���� 5��� ���� 96����� � � *F�G���C�� & )1F�G�1F�G ��0� ����)

& FGF�G B Æ &��F�G���0� 5� ��6� ���� � � �F�G)

�3�F Æ &��G B F�' � � ) & F'G � ��G B F&��F�GG B

�3Æ &� � � �F�G

������������F Æ &��G B

�� Æ &� �� � �� � ��.��� ���0����1 ��� ��.� ���.��� ����� 5��� � �� � ���9

������6� .������+�� ���0����1 /# 0������� �� ��0������� ��H���0� �� �� ��.��� ���0����� 0��6������ �����5���

�� �1��������� ��� ���.��� ����� ��� ��# 0��������� � ) � � � +# 0���������� ��� ������6� ��� ������6�

���� �� �

������ �� ��� .�� & )1F�G�1F�G �� 0��������� ��� ���1

������ � � � �*F�G �������F Æ &��G B

�� Æ &����������� �� � � �� 1F�G 5� ��6� ����)

���F� Æ &

��G B

�� Æ &�� �

�� Æ &� B

���F Æ &��G

=:

Page 37: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� �� � Æ &�� � Æ &������� ���6�� ���� & �� 0���������1� & �1F�G ��� � � D$ :E ���� � � �F�G) & F� I F:� �GGF�G B F� I F:� �GGF&���G B � F&���G I F:� �GF&���G

B F��& F G I F:� �G�& F GGF�G�� ���� 0��0����� ��� �����

4� ��� ���������� �� ����� .�.+��� �� 1F�G ���� ��� ��6������ .������� ��� &���� )

1F�& G B� �1F�G � F Æ &��G B

���� ��� 0������� �� ��� �1F�G .�,��� & � .������9������6��� ��������.����� �� F� &�F�G G�

������ �� � & )� � � �� 0��������� ��� �1F�G ���� �1F�& G �7)

�� Æ &� B

��� � � *F�G

������ ���� �� �..������ ���. ����������� (>

���0� & ) 1F�G � 1F�G �� � 0��������� ��� .�� �� � 0��6�8 0�.��0� ��+��� �� *F�G�5� 0����

��� ��� ���,�693�,����� ������.F��� D=E G�� ���5 & ��� � C8�� �����1��5�6�� 5� 5��� ���5 ����0��# ����1F�G �� ���9�.��#1��� �����5��� ��6�� �� � .����� �� 0������0���� .�.+��� �� 1F�& G�

������ �� ��� & ) � � � +� 0��������� � �������� �� � ��H���0� �� 1F�G ��� 5� ���. ��� ��5

��H���0� �������+#

� B:

�������

&�������� ��# ��.�� ����� �� ��� �� � .�.+�� �� 1F�& G1 F��0� ��.�� ������ �8��� +# ��� 0�.��0����� ��

1F�GG

='

Page 38: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ��� �� � �� 1F�G1 ��� � � *F�G�����)

� � Æ &�� � �� B ��.���

� � Æ &��� � � ���� B ��.

���

� F� Æ & � �G��� B ��.

���

�F� Æ & � �G�F

:

��

��������

&����� G

B ��.���

:

��

� �����

���

F� Æ & � �G�F &����� G

B ��.���

:

��

� �����

���

F� Æ & ��� � � Æ & �G����

B ��.

���

:

��

� F� Æ &�� � �G���� � ��.

���

:

��' ���

B $

��������� �1F�& G

==

Page 39: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ '

������2�� ����� �� � ��� �� �������� �������

'1: ��������0�� ��������

����� ������� �����5��� � 5��� +� � 0�.��0� .����0 ���0�1

��������� �� ��� ! B ������� &" B ������ �5� 0�6��� �� � ��C��)

! # " B ��� � �� ) � � 9 7 � ��

��� �� ! # " �� ���� � 0�6�� +�0���� ' � � � �� � ! ��� �� � " ��0� ���� ' � ��&' � �� F! &"

0�6��� �� �G ���0� ' � �� � � � ! # " 1��������� ! # " 0�6�� �� � 1��� ��C�� ��� �����5��� ��������

! � " $ � � " � � � ! ��0�1���� � ��

��������� �� ��� & ) � � � +� � 0��������� ��������.����� �� � &$ ) � � � 0��������� ���0����

F ��H�����# $ 5��� +� 0����� ���������G ��� ! � C���� ���� 0�6�� �� � � � : � ������� 5� ��C��

:1 !� B ! # &��F!G��� # &������F!G

����)� ! 0�6�� �� � ���� &��F!G �� ���� � 0�6�� �� ����� ' � � &���� & F'G � � 1���� � 4 � !

��0�1���� & F'G � 4 ��������� ' � &��F4G �� &��F!G �� ������ � 0�6��1� ��� ��.� .����� 5� 0��

���5 ���� � � � &��F!G �� � 0�6�� �� ����0� ! #&��F!G���#&������F!G��� � 0�6�� �� ���� &��F!G

�� �� ���� 0�6�� �� & 0��������� ��� ! �� �� ���� 0�6�� ��������� !� �� �� ���� C���� 0�6�� �� � 1

'1 �� �6��# + � &/�$ ) %F�G� �

/�$F+ G B ���

��������

$ Æ & �F'G ) ' � +

=(

Page 40: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

=1 �� �6��# � � :)

<�F$!G B ���

��!�

�8�/�$F4G

4���� ��� ��C.�. �� ��,�� �6�� ��� ���� 0�6��� �� � 0�������� �� !� �� ��� ����� �� ��0������1<�F$!G

5��� +� 0����� ��� ��������� �������������0� ���� �� ��� �+�6� ��C������ ��� ��� 0�� +� �����0�� 5���

��� +�0���� ��� 0�6��� ��� C���� ��� ���� ��� ��. �� C���� �� 5���1

� ��� �����5��� 5� 5��� ��0������ H���� ����� ��+������6� ��H���0��1���� ��.��� ��..� 5��� +� 6��#

������1

��� �� � �������� �� � ��H���0� �� ���� ��.+��� ��0� ���� ���� � �� I �� � � � � ���� ��.���

���

�8���� ��� �H���� ������

���F��� ��.�� 0���� +� ������6� ��C���#G�

������ �8 � - $���0� � - $ 0�� +� 5������ �� � B "�I � 5��� $ � � � �1����)

���B�����"�I �

���� I ��"�I �

���� I ��"�

B���"�

I��"�

/�� ��� B ��I ����I �� �� �� ���

� �� I �� I ��I ��� �� �� ���

� "�������������"�I"��"�

B��"�I������ �� � �

&" � �� ��.��������/�� � 5�� ��+�������# 0����� �� ��.

������� � � � ���0� ��.

���� ���

������������

����������� � ��.

������� ��.

���� ���

�������� � ��.

���5��0� .���� ���� ��.

���

����8���� ��� �� �� �H��� ��

�����������

������ �� ��� ��.�� = F$!G B ��.���

:

����<�F$!G �8��� ��� .����6�� �� C����1� ��0� = F$!G � ��$�� �

������ �8 � � � ��� 0������� �5� ��+�����# ���� 0�6��� �� � ��0� ���� " ! ��� & !�����

4 � " ��� 6 � & 4� 5��� �� ���5 ����

/��$F4 � &�F6 GG � /$F4G I /�$F6 G

=?

Page 41: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ���� ����0���� ��� ' � 4 � &�F6 G ����)

��������

$ Æ & �F'G B������

$ Æ & �F'G I�������

$ Æ & �F'G

���0�)

/��$F4 � &�F6 GG B ����

��������

$ Æ & �F'G ) ' � 4 � &�F6 G� B

����������

$ Æ & �F'G I�������

$ Æ & �F'G ) ' � 4 � &�F6 G� B

����������

$ Æ & �F'G ) ' � 4 � &�F6 G�I

�����������

$ Æ & �F'G ) ' � 4 � &�F6 G� �

����������

$ Æ & �F'G ) ' � 4�I �����������

$ Æ & �F'G ) ' � &�F6 G� �

/$F4G I �����������

$ Æ & ��F&F'GG ) ' � &�F6 G� �

� /$F4G I �����������

$ Æ & �F�G ) � � 6 � B /$F4G I /�$F6 G

���������)

�8�/��$F4 � &�F6 GG � �8�/$F4G �8�/�$F6 G

4� ���� ����0� ����)

4 � &�F6 G � "#&�F&G ! # &�F!�G

=>

Page 42: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��)

! # &�F!�G B !#&��! # ��� # &�����!#&�!#����� # &�F&������!G

B !#&��! # ��� # &�������! B !��

��. ���� 5� ����0� ����)

<��F$!G ��

"��������

�8�/��$F>G B��!�

�# ��

�8�/$F4G �8�/�$F6 G B�!�

�8�/$F4G�# ��

�8�/�$F6 G

������� ��5 ��� �6�� " ��� & ��0� ���� " ! ��� & !� �� ���0�C�� �� ��� ��C������ �� ���������

���0����� 5� ��� ����)

<��F$!G �<F$!G<�F$!G

5��0� �.����� ����)

���<��F$!G � ���<F$!GI ���<�F$!G F:G

/�0���� � �� � 0�.��0� .����0 ���0� ' � � $F'G � ��$�� �� /�$F'G B $F'GI$ Æ& F'GI ���$Æ&���F'G �

�� �$�� �� 4 � ���� /�$F4G � �� �$�� ���0�)

<�F$!G B ���

��!�

�8�/�$F4G

�� �8�F�� �$��G�

���<�F$!G � �� �$��

�����# ��� �� B ���<�F$!G ���� ��� � �I�� � � � ��� +# ��..� ?= ��� ��.�� = F$!G B ��.���

�� ���<�F$!G

�8���� ��� �� �� C����

����)= F$!G ������� �� ��� ��������.����� & �� 5���1

=<

Page 43: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� �� ��� $ ) � � � 0��������� ���0���� ��6�� ��# ���� 0�6�� " �� � &

���F$"G B���# �

������$F'G� .F�G� ) ' � � 6 ��

������ �� � ! ��� " ��� �5� ���� C���� 0�6��� �� � ��0� ���� ! ' " ����)

= F$!G �= F$"G����F$"G

������ ! ' " (� 4 � ! �6 � " ��0� ���� 4 6�� �� 0���� ���. ��� ��C������ �� L ' L ���� ��

! ' " &!� ' "����,� 4 � !����� � 6 B �F4G � "� ��0� ���� 4 6 1��� ' � � 6

�/�$F'G� /�$F�G� � �$F'G � .F�G�I �$ Æ & F'G� . Æ & F�G�I ���I$ Æ &���F'G � . Æ &���F�G

4� ,��5 ���� 6 � "����� .���� ���� ����� �8��� 6� � " ��� $ � � � � � : ��0� ���� 6 B 6� � &��F6�G �

�� � &������F6���G����� �� ' � � 6 & � ��0� ���� $ � � � �� : �'� �� � 6� ��� 5��0� '� B & �F'G �� B & �F�G

���������)

�/�$F'G� /�$F�G� � �$F'�G� .F��G�I ��I �$F'���G� .F����G� � ���F$"G�

��. ���� 5� ��� ����)

/�$F'G� /�$F�G � ����F$"G�� /�$F'G � /�$F�G� ���F$"G�

����)

/�$F4G � /�$F6 G� ���F$"G� F:G

=A

Page 44: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� & !� +� � 0�6�� �� � ��� ��� & B ��F4G ) 4 � & ��/# ��� ��C������ �� �F4G& & �� ���� �� ���� 0�6�� ��� ��� & "����������� ���. ��� ��C������ �� ��� ��������� ���0���� ��� F:G 5� ���)

�!��

�8�/�$F4G ��# ���

�8�/�$F6 G �8�F����F$"G�G � �8�F����F$"G�G<�F$"G

�����# +# ��,��� ��C.�. �6�� ��� ���� 0�6��� &���0� ���� & !�5� ����0� ����

<�F$!G � �8�F����F$"G�G<�F$"G

5��0� �.�����)

���<�F$!G �F����F$"G�G I ���<�F$"G

���0�

= F$!G �= F$"G����F$"G

�� ���� 0��0����� ��� �����

��������� �� �������� ��� ��.��# �� ��H���0�� �"����� �� ���� C���� 0�6��� ��� ��0� ���� ��.���

��� F"�G B

$���� ������ �������� = F& $G 5��� +� ��� �����.�. �� ����� ��.��� ��.= F$"�G ��,�� �6�� ��� ��0� ��9

H���0�� �� 0�6���1

����)= F& $G � ��$�� �

������ �� � �!����� �� � ��H���0� �� ���� C���� 0�6��� �� � ��0� ���� ��.���

��� F!�G B $ ���� ���

��.�� ��.���

= F$!�G �8���� ��� �H���� = F& $G�

������ 4� 5��� ���6� ��� ������. 5��� = F& $G �� C����1��� ��.� ����� ���� ������� ��� ��C���� 0���

�� 5���1 �8 2 - $ � �� 0�.��0� ���0� $ ) � � � �� ������.�# 0��������� ��� �� 5� 0����� � C���� ����

=%

Page 45: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

0�6�� ) 5��� ���.���� ��Æ0�����# �.��� ��� ���F$)G � 2('1��� +# ��� ��C������ �� �������� � �"�����

��H���0� �� ���� C���� 0�6��� ��0� ���� ��.���

��� F"�G B $ ��� = F& $G�2

(� ��.= F$"�G����� .���� ����

��� � � ��0� ���� = F$"��G � = F& $G �2

'�/�0���� ��.

������ F"�G B $ �� �� �� ��Æ0�����# ����� 5� 0��

0����� "�� B) ��0� ���� ���F$)G � 2(' ���)

= F$)G � = F& $G�2

'F:G

��� Æ +� ��� ��+����� ��.+�� ��� ��� 0�6�� ) 1F��0��� ���� Æ �� ��� ��+����� ��.+�� ��� ��� 0�6�� ) ��

�6��# ��+��� �� � 5��� ���.���� ���� �� �H��� ���� Æ ���� �� ��.� .�.+�� �� )G1��5 C8 ; � : �� ����� ��0�

���� � � ; ��� F!�G � ����0� � � ; !� ' ) +�0���� 4 � !� �? � ) ��0� ���� 4 ?+# ���

��C������ �� ��� ��+����� 0�6���1��������� +# ������. ?> ��� F:G 5� ��� ����)

= F$!�G � = F$)G� ���F$)G � = F$)G�2

'� = F& $G�

2

'�2

'B = F& $G� 2�

���0� ������� 2 � $ 5� ��� ���� ��.= F$!�G � = F& $G��� +# ��� ��C������ �� �������� = F& $G B

��.���

= F$!�G

4� ���� ���� ���� ��� ��.��# �� ��� C���� ���� 0�6��� ! �H������ 5��� ��� �������� L � L�� � ����0��� ���

K ��� = F& $G �� ��� ��.�� �� ��� ��� = F$!$G$� �

� ��� ���0���� $ �� ������0���# *���&��� �������� = F& $G �� 0����� ������ ������ � ��� ��� � ��� ��

������� +# ��%�F& G�

���!!��" �� � ) �� �� ���� C���� 0�6�� �� � ���� = F& $G � = F$)G����F$)G1

������ ��� �!����� +� � ��H���0� �� ���� C���� 0�6��� �� � ��0� ���� ��.���

��� F!�G B $ 1��� Æ +�

��� ��+����� ��.+�� ��� ��� 0�6�� ) 1��5 C8 ; � : �� ����� ��0� ���� � � ; ��� F!�G � ����0� � �

;!� ' ) +�0���� 4 � !� �? � ) ��0� ���� 4 ?+# ��� ��C������ �� ��� ��+����� 0�6���1��������� +#

($

Page 46: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������.� ?> 5� ��� ����)= F$!�G � = F$)G� ���F$)G�� ��5 ����� ��,��� ��.��� ��� ���#��� ������.

?A 5� ����0� ����)

= F& $G � = F$)G����F$)G

�� ���� 0��0����� ��� �����

������ ��

= F&� /�$G B �= F& $G

� �����0����

��%�F&�G B ���%�F& G

������ ��� � B /�$ ��� ��� ! +� � C���� ���� 0�6�� �� � 1��� ! B ! # &��F!G��� # &������F!G ���� )

!

B ! # &��F!G#�� # &������F!G BB ! # &��F!G�� # &������F!G # &��F!G # &������F!G�� # &�������

��� # &���F!G#�� # &������F!G#���� # &������F&������F!GG

B ! # &��F!G#��� # &��������F!G B ! # &��F!G#��� # &������F!G B !�

�����C��

!B !� F:G

��� ' � 4 )

������

� Æ &��F'G B

�������

/�$F&��F'GG B /�$F'G I /�$F&

�F'GG I /�$F&��F'GG I ����I /�$F&

�����F'GG

B $F'G I $F& F'GG I ��I $F&���F'GG I $F&�F'GG I $F&���F'GG I ���I $F& ����F'G

I$F&��F'GG I ���I $F&�����F'GG I ��I $F&�����F&���F'GG

B $F'G I $F& F'GG I ��I .F&���F'GG B /�$F'G

(:

Page 47: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����������

� Æ &��F'G B�������

. Æ & �F'G ' � 4

���0�)

/�F4G B /�F4G F'G

F4���� / �� 0��������� 5��� �����0� �� ��� .�� &�G��������� F:G ��� F'G �.��# ����)

<�F& $!G B <F&� �!G

���)

= F& $!G B ��.��

:

����<�F& $!G BB ��.

��

:

����<F&

� � !G B:

�= F&� � !G

����

= F&� �!G B �= F& $!G

���0� ��6�� � ��H���0� �!����� �� ���� C���� 0�6��� �� � ��0� ���� ����� ���.������ 0��6���� �� *��� ���

���.����� �� �!����� ���� 0��6���� �� *���1�� ��5 +# ����#��� ������. ?A&5� C���� ��� �����

������ �� ��� & ) � � � ��� / ) + � + +� 0��������� .������� �� ��� 0�.��0� .����0 ���0��

�+ 1��� @ ) � � + +� � 0��������� ���-�0���� ��0� ���� / Æ @ B @ Æ & &���� ��� �6��# 0��������� ���0����

$ ) + � � 5� ��6�)

= F/ $G � = F& $ Æ @G

������ ���� ���� ���� �� ' � � ���� /F@F'GG B @F& F'GG �.����� ���� /F/F@F'GGG B /F@F& F'GGG B

@F& F& F'GGG ��� ��.������# 5� ��� ���� � � � )

/� Æ @ B @ Æ & �

('

Page 48: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� � � + &���� �' � � ��0� ���� @F'G B � F@ ���-�0����G����0�)

�������

$ Æ /�F�G B�������

$ Æ /�F@F'GG B�������

$ Æ @ Æ & � F'G

��. ���� 5� ��� ���� �� ! �� �� ���� 0�6�� �� + ��� 4 � ! )

���

��������

$ Æ /�F�G ) � � 4

�B ���

��������

$ Æ @ Æ & � F'G ) ' � @��F4G

��

/�F/ $ 4G B /�F& $ Æ @ @��F4GG B� <�F/ $!G B <�F& $ Æ @ @

��F!GG�

= F/ $!G B = F& $ Æ @ @��F!GG F:G

/# ����� ������. ?> 5� ��� ���� = F& $Æ@G � = F& $Æ@ @��F!GG����F$Æ@ @��F!GG�/�� �� �� �����������5���

���� ���F$ Æ @ @��F!GG B ���F$!G���� 4 � ! ��� �� �� � 4 ���� �$F��G� $F��G� B�$ Æ @F'�G� $ Æ @F'�G�

5���� '� '� � @��F4G ��� @F'�G B �� @F'�G B ������0�

= F& $ Æ @G � = F& $ Æ @ @��F!GG � ���F$!G F'G

��� �!����� +� � ��H���0� �� ���� C���� 0�6��� �� � 5���� ���.����� 0��6���� �� *���1���� �� �� 0���� ����

��.���

���F$!�G B $&���0� +# ����� F:G&F'G ��� ������. ?A 5� ���)

= F/ $G B ��.���

= F/ $!�G B ��.���

= F& $ Æ @ @��F!�GG � = F& $ Æ @G

�� ���� C������ ��� �����

����)� @ �� �� ��-�0���� ���� �H�����# �����1

(=

Page 49: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ �� � ! �� � C���� ���� 0�6�� �� � ���� ��� �6��# " � :)

= F$!�G B = F$!G

������ �8 " � : ��� ��� A B �����/���$F'G� ) ' � ������� ����

/�����$F'G B $F'G I ���$F&���F'GG I $F&�F'GG I ���I $F& �����F'GG

B /�$F'G I /���$F&�F'GG

���

�A � /���$F&�F'GG � A

����� /�$F'G 5� ��� ���� ���� /�$F'G � A � /�����$F'G � /�$F'G I A 5��0� �.����� ���� � � : ���

4 � !�����

/�$F4G� A � /�����$F4G � /�$F4G I A F:G

4� ������ ���� ���� ���� F!�G� B !���������� �����5� +�0����)

!� B ! # &��F!G��� # &������F!G

&��!� B &��F!G���� # &��F& ������F!GG

111111

111111111

111

&������!� B &��F!G��� # &������&������F!G

���0� �� �� 0���� ���� F!�G� B !����� ��� +# ����� F:G 5� ��� ���� � � : ��� 4 � !����� )

�8�/�$F4G �8�F�AG � �8�/�����$F4G � �8�/�$F4G �8� A

((

Page 50: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� �� " �� �� ���� C���� 0�6�� ��0� ���� " !����� 5� ����0�)

�!�

�8�/�$F4G �8�F�AG ��!�

�8�/�����$F4G ��!�

�8�/�$F4G �8� A �

<�F$!�G �8�F�AG � <�����F$!G � <�F$!

�G �8� A �

��.���

:

����F<�F$!

�G �8�F�AGG � ��.���

:

����F<�����F$!GG

� ��.���

:

����F<�F$!

�G �8� AG�

��.���

:

���� �8�F�AG I ��.

���

:

����<�F$!

�G � = F$!G �

� ��.���

:

���� �8�F�AG I ��.

���

:

����<�F$!

�G�

= F$!�G B = F$!G

4��0� C������ ��� �����

'1' �������� �� ��.��0� �����0 ���0��

��������� �� ��� 8 +� � .����0 �� ��� 0�.��0� .����0 ���0� � ���� � � : 5� ��C�� �� � ��� ��5

.����0 8� )

8�F' �G B .�8�8F&�F'G & �F�GG ) $ � 7 � �� :�

��F' �G ) B ��� ���� +��� �� ��� .����0 8� 0������� �� ' ��� 5��� ������ �

B �� � � ) .�8�8F& �F'G & �F�GG ) $ � 7 � �� :� � ��

��������� �� ��� 2 - $ ��� � � :� ��� 0 � 5��� +� 0����� F� 2G � �������� �� ���F' 2G���& 0�6���

��� ���0� �� ��� / � 5��� +� 0����� F� 2G� ��������� �7 8�F' �G � 2 ' � � / ' �B ��

��� �����5��� ��.��� ��..� 5��� +� ���� H���� �����

(?

Page 51: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� �� �6��# .�8�.�� F�� ��� ����� �� ��0������G F� 2G� ��������� ��� ���.� �� F� 2G� �������� ���1

������ ��� / +� � .�8�.�� F� 2G� ��������� ��� �� ������ ' � � � / �� � / ��0� ���� 8�F' �G � 2

5��0� .���� ���� ' � ��F� 2G����� ���F� 2G���' �� � 0�6�� �� � �1� / �� � F� 2G� �������� ���

��� �����5��� 0����0����*�����F�������� ����� ��� �������� �� � .����0G ��.������ �� � �����C0��� �8����

��� 0��0������� �� ��������0�� ��������1

������ �� �� �6��# 2 - $ ��� �6��# � � : ��� 0�F2G +� � .�8�.�� F� 2G� ��������� ��� �� � 1����)

= F& $G B ��.���

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G B ��.���

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G

������ �8 2 - $ ��� ��� !F2G +� � C���� 0�6�� �� � +# ���� +���� �� �����2

'�� 5� ����0�� ����� ���

��C������ �� ��� ��������� ���0���� ��� ��� 0�� +� �����0�� +# .��&���� 5� 0�� 0����� ! ��+0�6�� �� F!F2GG�

��0� ����)

<�F$!F2GG B�!�

�8�/�$F4G

��5 ' � 0�F2G ��� 4F'G +� �� ���.��� �� ! 0��������� '����0� 0�F2G �� � F� 2G���������� ��� ��� ���0����

' *�� 4F'G �� ��-�0��6�1/�0���� �� � ' � � 0�F2G &' �B � ��0� ���� 4F'G B 4F�G ���� +��� ' � 5���� ��� ��

� ��� �� ���.���� ���� ���� 2�F4F'G �! &! ��+0�6�� �� F!F2GG� �� 4F'G B �F'�2

'G � &��F�F'�

2

'GG � �� �

&������F�F'���2

'GG 5��0� .���� ���� 4F'G �F'�

2

'GG����������)

<�F$!F2GG B�!�

�8�/�$F4G ��

��&����

�8�/�$F4�G ��

��&����

�8�/�$F'G

/�� +# ������. ?( )

= F$!F2GG B ��.���

:

����<�F$!F2GG ���.

:

����

���&����

�8�/�$F'G F:G

(>

Page 52: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� ����� ��� ��0� ���� 5��� 2� $ ��� F!F2GG� $ 5� 0�� ����# ������. ?A ��� 5� ��� ����)

= F& $G B ��.���

= F$!F2GG� ��.���

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G F'1:G

��� ��5 " +� �� ��+�����# C���� ���� 0�6�� �� � ��� ��� Æ - $ +� ��� ��+����� ��.+�� �� " 1��,� 2 �Æ

'

��� ����0� ���� " B $ �� � � : ��� ' � 0�F2G ��� F& �F��F' 2GGG � '2 � Æ1��� B � � & �F��F' 2G ���

" B $ �� � � : ���� B B & �FB�G � B & �F��G ��� �� B� � ��F' 2G����� 8FB �G B 8F& �FB�G &�F��GG �

8F& �FB�G &�F'GG I 8F& �F'G & �F��GG � 2 I 2 B '2����0� � 4�F'G � " ��0� ���� & �F��F' 2GG 4�F'G +#

��� ��C������ �� ��+����� 0�6����� ��.+���1��

&��F& �F��F' 2GG &��F4�F'GG B� ��F' 2G &

��F4�F'GG " B $ : �� �� : F'G

���0� 5� ,��5 ���. ��..� >? ���� �F��F' 2G ) ' � 0�F2G� 0�6��� � �4F'G ) ' � 0�F2G� "����� 0�6���

� & 5���� 4F'G B 4�F'G � &��F4�F'GG � ���&������F4���F'GG� ��� ��0� ���� �4F'G���&���� �� � 0�6�� �����5�

+�0���� �� ' � � � � � + ��0� ���� ' � ��F� 2G �� +# F'G ' � &��F4�F�GG " B $ : ����� � � : ��

' �������%&��F4�F�GG B 4F�G���������� ����� ����0��� ���� �4F'G ) ' � 0�F2G� "� �� � 0�6�� �� ����

��C������ �� ��������� ���0���� �.����� ����)

<�F$"G ��

��&����

�8�/�$F4F'GG F=G

���)

/�$F4F'GG B �����!���

��������

$Æ & �F�G

�B ���

��!���

��������

$Æ & �F�G I $ Æ & �F'G� $ Æ & �F'G

B �����!���

��������

$Æ & �F'G I $F& �F�GG� $F& �F'GG

(<

Page 53: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� � � 4F'G �1� � � 4�F'G � &��F4�F'GG � ���&������F4���F'GG ���� & �F�G � 4�F'G ����&& �F��F' 2GG

4�F'G 5��0� .���� ���� &�F�G & �F'G � 4�F'G ��� +�0���� 4�F'G � " & $F& �F�GG� $F& �F'GG � ���F$"G

���������)

�����!���

��������

$Æ & �F'G I $& �F�G� $& �F'G

��

�������

F$Æ & �F'G I ���F$"GG B�������

$Æ & �F'G I������%

���F$"G

B /�$F'G I ���F$"G�

����)

/�$F4F'GG � /�$F'G I ���F$"G� F(G

���0� ���. F(G)

�8�F/�$F4F'GG � �8�F/�$F'GG �8�F����F$"GG B��

�'���&����

/�$F4F'GG � �8�F����F$"GG�

��&����

�'�/�$F'G

��������� F=G �.����� ����)

<�F$"G � �8�F����F$"GG�

��&����

�'�/�$F'G

����)

= F$"G � ��.���

:

����<�F$"G � ��.

:

����F��%���(��

���&����

�8�/�$F'GG

B ��.:

����F���%���(��G I ��.

:

����

���&����

�8�/�$F'G B ���F$"GI��.:

����

���&����

�8�/�$F'G

��� 0����H�����#)

= F$"G����F$"G ���.:

����

���&����

�8�/�$F'G

(A

Page 54: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����6��)

= F$"G����F$"G ���. ������

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G

���� �� 5� ��� ��� F"G�$ ��� ����#��� ������. ?A +�0���� ���F$"G�$ 5��� ��� " �$ )

= F& $G � ��. ������

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G F'1'G

�� 0�.+����� F'�:G ��� F'�'G 5� 0��0���� ����

��.���

��.:

����

���&����

�8�/�$F'G B ��.���

:

���. ���

���&����

�8�/�$F'G B = F& $G

�� ���� C������ ��� �����

��� �� ��H�����# ��� �����5�� �������� 5��� +� ����)

= F& $ 2G B ��.:

����

���&����

�8�/�$F'G

���

= F& $ 2G B ��.:

����

���&����

�8�/�$F'G

'1= ������� ��������0 ������#

�� ��� 5���� ��0���� F� & � G 5��� +� � ���+�+����# ���0�1

��������� �� ��������� �� F � & � G �� � ��+��.��# �� � 0��������� �� .������# ���-���� ���.���� 5����

����� �� � 1� + �� � ��������� �� � ��� ' � � +��� 5��� +� ��� ���# ���.��� �� + ���� 0������� '� � +�

(%

Page 55: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� �5� ���������� �� � & ����� 7��� �� ��C��� �� )

+# � B �� � � ) � � + � � ��

��� �� ������# +#� �� ���� � ��������� �� ����� ��� �� ���������� �� � ���0� � 0�� +� ��������# �������

+#)+ � � �� +��� � ���� ' � � &�� �H��6�������# + # � B �1� ���� 0��� 5� ��# ���� + �� ����� ���� + ��

� �� � ������ ��� �� +1

� ��� �����5��� 5� ��� ����� �� �������0� ��� ������ �� ������# �� � 0�����+�� ���������1� ���� ����0����

��C�� ��� ���0���� " ) D$ :E� D$G ��)

"F�G B ��� ��� � ��� � � F$ :E

$ ��� � B $

��� ���0���� " �� 0��������� F��. F�� ��� �G B $G ��� ���� " �� ����0��# 0��0�6� 5��0� .���� ����

"F������'�G �

������"F'�G 5���� �� � $ � B : �� � ���

������ B :�

��������� �� ���+ B������B ��� ) : � � � �� +� � 0�����+�� ��������� �� � &� ������� ��.+�� �� ����

������ �� + �� ��C��� �� )

,F+G B�����

� F��G ���F��G B

�����

"FF��GG

��� �� �+ B ���&��� ���6��� ���������&,F+G B�F�G ���F�G B $���� ��+ �� C���� $ � ,F+G� ����1

������ ���� �����5� ���. 0��0�6��# �� "���� �� B:

�� B : ���� � ��� '� B F��G F+ B ���������� ���G

����)

"F

�����

:

�F��GG �

�����

:

�"FF��GG B

:

�����

"FF��GG

?$

Page 56: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����&

"F

�����

:

�F��GG �

:

�,F+G

/������F��G B : �� "F

:

�G �

:

�,F+G ���0� 9

:

����

:

��:

�CF+G����� .���� ����

CF+G � � ���:

�BB � ��� : I ���� B� ,F+G � ����

�� �H�����# ����� ���# 5��� F��G B F��G B ���� B F��G B:

��

��� �����5��� ��C������� 5��� +� 6��# ������ �� .��# 0����

��������� �� 9F'G B 9F�GF'G )B � ���F�F'GG 5��� +� 0����� ����� ����� ������������+ B ��� ) � � �� � B ��� ) 7 � ��

�5� 0�����+�� ����������1��� ����������� ������� ,F+ � �G �� + ��6�� � �� ��C��� ��)

,F+ � �G B�����

F��G

�����

�F�� � ��G

F��G���

F�� ���G

F��GB����

� F�� � ��G ���F�� � ��G

F��G

��� �������� ��������� ������� 9F+ � �GF'G �� ��C��� ��)

9F+ � �GF'G B � ���F+��� � ���� � ����G B � ���FF+��� � ����G

F����GG

��� �� � + B ��� ) ���� � B ����7��� ���� + # � ���� � ��������� ���� �� 5�# F� 7G � � � ���

F�� 7�G � � � 5� ��6� ���� F�� � ��G � F��� � ���G B � ��. ���� �����5� ���� )

��

9F+ � �G� B����

������

9F+ � �G� B����

������

� ���FF�� � ��G

F��GG�

B����

� ���FF�� � ��G

F��GG

������

� B����

� ���FF�� � ��G

F��GGF�� � ��G

B ,F+ � �G

?:

Page 57: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �� ���� 0���� ����)

:1 �G,F+ � +G B����� F��G ���

F��G

F��GB $ ���

'1 ��G,F+ � �G B����� F�� ��G ���

F�� ��G

F�GB

����� F��G ���F��G B ,F+G

��� �����5��� ������. 0����0�� ��.� �� ��� +���0 ���������� �� ������#1

������ �� ��� F� &� G +� � ���+�+����# .������ ���0� &�� +&�&- ��� 0�����+�� ���������� �� � )

:1 ,F+# � � -G B ,F+ � -G I,F� � + # -G

'1 ,F+# �G B ,F+G I,F� � +G

=1 � + � � B� ,F+ � -G �,F� � -G

(1 � + � � B� ,F+G �,F�G

?1 � � � - B� ,F+ � �G � ,F+ � -G

>1 ,F+# � � -G � ,F+ � -GI,F� � -G

<1 ,F+# �G � ,F+G I,F�G

A1 ,F+ � -G � ,F+ � �GI,F� � -G1

������ F:G��� + B ��� ) � � �� � B �� ) � �� - B �*� ) " � ��5������ ���� �� ���������# 5� 0��

����.� ���� ��� ����� ���� ��6� ������6� .������1���������)

,F+ # � � -G B������

� F�� ��� � *�G ���F�� ��� � *�G

F*�G

/�� �� ���� �� F�� � *�G �B $

F�� � �� � *�G

F*�GBF�� ��� � *�G

F�� � *�G

F�� � *�G

F*�G

?'

Page 58: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� F�� � *�G B $ ��� ���� ���� 6������� ��� 5� ���� ��� �� 0������� ��&���0�)

,F+ # � � -G B������

� F�� � �� � *�G ���F�� � �� � *�G

F�� � *�G

F�� � *�G

F*�GB

B �������

F�� � �� � *�G ���F�� � �� � *�G

F�� � *�G�������

F�� � �� � *�G ���F�� � *�G

F*�G

� �� 0���� ����)

�������

F�� � �� � *�G ���F�� � �� � *�G

F�� � *�GB ,F� � + # -G

����0� ���� ���� F� 7 "G �B F���7� "�G F�� ��� �*�G� F��� ���� �*

��G B � +�0���� +&�&- ��� ����������1����

+�0���� F����G B � )

��

F�� ��� � *�G B F��F�� � F�� � *�GGG B FF�

���G � F�� � *�GG B FF�� � *�GG

���������)

�������

F�� � �� � *�G ���F�� � *�G

F*�GB �

����

F�� � *�G ���F�� � *�G

F*�GB ,F+ � -G

F'G������� - B ��� ��� ����#��� F:G 5� ��� ����)

,F+ # �G B ,F+ # �����G B ,F+ � ���G I,F� � + # ���G B ,F+G I,F� � +G

F=G� + � � ���� + # � B � ���0� +# ����#��� F:G)

,F� � -G B ,F+ # � � -G

B ,F+ � -G I,F� � + # -G

� ,F+ � -G

?=

Page 59: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

F(G��� + � � ��� ��� - B ��� ����)

,F+G B ,F+ � ���G � ,F� � ���G B,F�G

F?G4� ��� ����� �� ��� 0��0�6��# �� ��� ���0���� "� �����# 5� ��� ����)

"F��

F*� � � G

F��G

F*� ���G

F*"GG ���

F*� � ��G

F��G"FF*" � ��G

F*�GG F:G

���� �����

F*� � ��G

F��GB

:

F��GF�

�*� � ��G B

F��G

F��GB :���� +�0���� � � - 5����6�� *� � �� �B

�&*� � �� B *� ��������� ���� �+���6����� 0�.+���� 5��� F:G ��6��)

"F��

F*�G

F��G

F*� ���G

F*�GG ���

F*�G

F��G"FF*� � ��G

F*�G

��� ����� ������ ���� +�0���� - �� � ��������� �� � �� � *� ��� ���-���� ��� ��*� B � )

"F��

:

F��GF�� � *�GG B "F

��

:

F��GF�� � �� � *�GG B "F

:

F��G

��

F�� � �� � *�GG

B "F:

F��GF�

�F�� � �� � *�GGG B "F

:

F��GF�

�F*�G � �� � ��GG

B "F:

F��GF�� � ��GG B �

F�� � ��G

F��G���

F�� � ��G

F��G

�� 5� ��6� ���� )

�F�� ���G

F��G���

F�� � ��G

F��G� �

��

F*�G

F��G

F�� � *�G

F*�G���

F�� � *�G

F*�G

?(

Page 60: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� .������#��� +��� ����� 5��� F��G ��� ��..��� �6�� � ��� 7 5� ��� )

�����

F�� � ��G ���F�� ���G

F��G� �

�����

F�� � *�G

F��G���

F�� � *�G

F*�G

4��0� .���� ����),F+ � �G � ,F+ � -G

F>G� �� ��5�#� ���� ���� + # - � -����0� ���. F?G �����5� ���� ,F� � + # -G � ,F� � -G��� +# ����#���

F�G 5� ���

,F+ # � � -G B ,F+ � -G I,F� � + # -G � ,F+ � -G I,F� � -G

F<G ���# F>G ��� - B ���

FAG /# F:G F=G F?G 5� ���)

,F+ � -G � ,F+ # � � -G B ,F� � -G I,F+ � � # -G � ,F� � -G I,F+ � �G

�� ���� 0��0����� ��� ����� �� ��� ��� �+�6� ����������

'1( ������# �� ����.������.�

��� �� ��� F��� G +� � ���+�+����# ���0� ��� ��� & ) � � � +� � .������ ������6��� ����.������.

�� � 1 �� ��� 5���� ��0���� ���������� 5��� 0������ �� ���� +�������� �� � 1� + B ������� �� � ��������� �� �

���� +# &��+ 5� ������ ��� ����������&��F��G

����1���� ����

�&��F��G

����

�� ������ � ��������� +�0����

� B &��F�G B &��F ����F��GG B �

���&��F��G ��� �� ����� �8��� ��.� ' � &��F��G � &��F��G��� �� �� � +

���� & F'G � ����� ��� ���� �� � 0�������0����1� �� ���� �����������5��� +�0���� F&��F�GG B F�G � � �

����&

,F&��+G B ,F+G

�������� �� �� ��� � � � $ +� B #���&

��F+G B&�F+G#���� # &��F+G� �� B $ ��� �������� +�

??

Page 61: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

5��� +� ����1

��� �� �� ��# 0�����+�� ��������� +

,F+�G B ,F+G I

�����

,F+ � +��G

������ 4� ��� ����� �� ���6� ���� ���.��� ����� ����0����1 �� � B : 5� ��� ��� ������ +# ����� F'G ��

������. <(

,F+�G B ,F+#&��F+GG B ,F&��F+GG I,F+ �&��F+GG B

B ,F+G I,F+ �&��F+GG B ,F+G I��

���

,F+ � +��G

������� ��5 ���� �� �� ���� ��� �� : � $&���� +# ����� F'G �� ������. <()

,F+�G B ,F+#&��F+G#��� # &��F+GG BB ,F+ # +�� G B ,F+

�� G I,F+ � +

�� G

4� ���� ���� ����

,F+���G B ,F+#&��F+G#���� # &������F+GG B ,F&��F+#&��F+G#���� # &������F+GG

B ,F&��F+G # &��F+G#���� # &��F+GG B ,F+�� G

��,F+�G B ,F+���GI,F+ � +�� G1�� +# ����0��6� �#�������� 5� ��6� ����) ,F+

���G B ,F+GI������

,F+ � +��G���������)

,F+�G B ,F+GI�������

,F+ � +��G I,F+ � +

�� G B ,F+GI

�����

,F+ � +��G

�� ���� 0��0����� ��� �����.���

?>

Page 62: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ��..� �� ���� ��0�����#)

��� �� ��� ��H���0�� ����,F+

�G ��� ,F+ � +�� G 0��6���� �� ��� ��.� ��.��1

������ � �� 0���� ����+�� � +

���� +�0���� ' � � F+�

� G��� B &��F+G����&

��F+G���������&��F+G���� F+

���G������������

����� F=G�� ������. <( 5� ��� ����,F+ � +���� G � ,F+ � +�

� G�4��0� �.����� ���� ��� ��H���0��,F+ � +�� G���� ��

��0������� ��� +�0���� ��� �� ��� ���.� ��� ��� ������6� ��� ��H���0� �� 0��6������1 ��. � 5��� ,��5� ������

5� ����6� ���� ��� ��H���0� �� �6������ �� ���� .������� ��0������� ��� 0��6������ �� ��� ��.� ��.��&0��� ��

�� ��. ��� ���6���� ��..� 5� ��� ����)

,F+�G

�I :B,F+G

�I :I

����,F+ � +�

�G

�I :B,F+G

�I :I,F+ � +�

� G

�I :

�� +# ��,��� ��.��� +��� �����)

��.���

:

�I :,F+�G B �

C������� ��� �����1

��� �� ������ 5�# �� ���6� ��� �+�6� ��..� �� �� ���6� ���� ��� ��H���0� �� B ,F+���G �� ��++�9

����6� ��� ���� �� ����# ��..� '1=1����� ��� ��H���0� �� �� ��+������6�)

��� B ,F+����G B ,F+#&��F+G#����� # &������F+G#��� # &�������F+GG �

� ,F+#&��F+G#��������� # &������F+GG I,F&��F+G#��� # &�������F+GG

B ,F+���G I,F&��F+#��� # &�����F+GG B

B ,F+���G I ,F+��G B �� I �

��������� �� ��� ��.�� ����,F+

�G5���� �8�����0� ��� -��� +� ���5� &5��� +� 0����� ������ ���������

������� �� & 5��� �����0� �� ��� ��������� + ��� 5��� +� ������� +# �F&+G1

?<

Page 63: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��.� +���0 ���������� �� ������# ��� 0����0��� �� ��� ��8� ������.)

������ �� � + ��� � ��� 0�����+�� ���������� �� C���� ������# )

:1 �F&+G � ,F+G

'1 �F&+# �G � �F&+G I �F&�G

=1 � + � � B� �F&+G��F&�G

(1 �F&+G��F&�G I,F+ � �G

?1 �F& &��F+GG B�F&+G

>1 � " � : ���� �F&+G B�F&+�G

<1 � & �� ��6����+�� ��� " � : ���� �F&+G B�F&�#

����& �F+GG

������ F:G4� ,��5 ���� F/# ������. <( F<GG)

:

�I :,F+�G B

:

�I :,F

�#���&��F+GG �

:

�I :

�����

,F&��F+GG

1/�� � B $ �� � ,F&��+G B ,F+G ���0�:

�I :,F+�G �

:

�I :� I :,F+G B ,F+G ��� +# ��,��� ��.����

+��� ����� 5� ��� �F&+G � ,F+G1

F'G��� +# F<G ������. <(

,F�#���&��F+ # �GG B ,F

�#���&��F+G#

�#���&��F�GG � ,F

�#���&��F+GG I,F

�#���&��F�GG

���� ��6����� +��� ����� 5��� �I : ��� ��,��� ��.��� 5� ��� ����)

�F&+ # �G � �F&+G I �F&�G

?A

Page 64: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

F=G� �� 0���� ���� �� + � � ���� +�� �� �� 5���&���0� ,+�G � ,F��GF������. <( F(GG1�� ����� ��6�����

+��� ����� +# �I : ��� ��,��� ��.��� 5� ��6� ����

�F&+G��F&�G

F(G

�F&+G B ��.���

:

�,F+���G �

B ��.���

:

�,F+��� # ����G F<(F(G ��� ��� ��0� ���� +��� � +��� # ����GG

B ��.���

:

�,F+��������G I ��.

���

:

�,F����G F<(F'GG

B ��.���

:

�,F+#&��F+G#��� # &������F+G�����G I ��.

���

:

�,F����G F<(F>GG

� ��.���

:

�������

,F&��F+GG�����G I �F&�G

���������)

�F&+G � ��.���

:

�������

,F&��F+GG�����G I �F&�G F:G

������# � B $ �� �� : &��F�G � ���� ��� +# ������. <( F?G

,F&��F+GG�����G � ,F&��F+G�&��F�GG

��������� ���� �+���6����� ��� F:G �.��#)

�F&+G � ��.���

:

�������

,F&��F+G�& �F�GG I �F&�G

?%

Page 65: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� �� �� 0���� ���� � B $ �� �� : ,F&��F+G �&��F�GG B ,F+ ��G ���0�)

�F&+G � ��.���

:

�������

,F+��G I �F&�G B ,F+��G I �F&+G

F?G

,F+�G B ,F+#&��F+G#��� # &��F+GG B B ,F&��F+#&��F+G#��� # &��F+GGG

B ,F&��F+G#��� # &������F+GG B ,FF&��F+GG�G

�� ����� ��6����� +# �I : ��� ��,��� ��.��� +��������)

�F& &��F+GG B�F&+G

F>G���� ����)

F+�G�

B F+#&��F+G#��� # &��F+GG # F&��F+G#��� # &������F+GG#��� # F&��F+G#��� # &������F+G

B���#���&��F+G B +���

����)

�F&+�G B ��.���

:

�I :,DF+� G�E B ��.

���

:

�I :,F+���

G BB ��.���

" I �I :

�I :

:

" I �I :,F+���

G B

B ��.���

" I �I :

�I :��.���

:

" I �I :,F+���

G B �F&+G

>$

Page 66: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

F<G�#

����& �F+G B& �F+G#& ���F+G����#& �F+G # +#&��F+G����� # &��F+G/�� ���. F?G )

�F& & �F+G#��� # &��F+GG B �F& &��F& �F+G#��� # &��F+GGG

B �F& & ���F+G#��� # &������F+GG

���� ��������� ���� ��� " ��.�� 5� ��� ����)

�F&�#

����& �F+GG B�F&

��#���&��F+GG B�F&+��G B�F&+G F/# F>GG

�� ���� 0��0����� ��� �����

��� �����5��� ������. �� H���� ������ ��� �������� ���� F=G �� ��� ���6���� ������.1

������ �� � & ) � � � �� � .������ ������6��� ����.������. �� � ���+�+����# ���0� F� & � G ���

� B : ' ������� 0�����+�� ���������� �� C���� ������#&��� ,F+ � �G� $ �� � ����

�F&+G � ��. �����

�F&�G

� �����0���� ��� � B � B#���&��F�G )

�F&+G ��F&�G

������ /# ������. A:F(G ������6� �������

�F&+G �,F + � �G I �F&�G

>:

Page 67: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������� � 5� ��� ����)

�F&+G � ��.��

,F+ � �G I ��. ������F&�G

/�� +�0���� ,F+ � �G� $ �� �

�F&+G ���. �����

�F&� G

���� ���� 5��� ,F+ � �G � $ �� � ��� ���6���� ������&����� �����0��� � 5��� � 5��� ��,� ���

���.)

�F&+G ���. �����

�F&�G

�����# +# ������. A:F>G �F&�G B �F&�G&���0� �F&+G ��F&�G

��������� �� ��� $������� ��������� ������ � ��� �������� & ) � � � �� ��C��� ��)

��F& G B �F& G B ������F&+G�

4���� ��� �����.�. �� ��,�� �6�� ��� C���� F�� 0�����+�� �� C���� ������#G ���������� �� � 1

������ �� � & ) � � � �� � .������ ������6��� ����.������. �� � ���+�+����# ���0� F� & � G ����)

:1 �F& �G B "�F& G " � :

'1 � & �� ��6����+�� ���� �F&��G B �F& G�

������ ���� 5� ��� ����� �� ���5 ����)

�F& �+�G B "�F&+G

>'

Page 68: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ���� ����0����)

���#���F& �G�� D+#&��F+G#��� # &������F+GE B +#&��F+G#��������� # &������F+G#

#&��F+G#��� # &�������F+G#���

#&�������F+G#��������� # &�������������F+G

B����#���

&��+

���������)

�F& �+�G B ��.���

,:

�F���#���F& �G�� D

���#���

&��+EG B ��.���

:

�,F

����#���

&��+G B ��.���

"

�",F

����#���

&��+G B

B " ��.���

:

�",F

����#���

&��+G B"�F&+G

���� .����)

�F& �+�G � "�F&+G F:G

���0�)

"�F& G B " ���� �����

�F&+G B ���� �����

"�F&+G B ���� �����

�F& �+�G �

� ���� �����

�F& ��G B �F& �G

4��0� �.����� ����)

"�F& G � �F& �G F'G

�� ��� ����� ���� +�0���� + � +� +# ������. A:F=G ��� F:G 5� �+����)

�F& �+G � �F& �+�G B "�F&+G

>=

Page 69: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 +# ��,��� ��C.�. �� C���� ���������� +��� ����� 5� ��� �F& �G � "�F& G

F'G �� ��� C���� ����������)

,F���#���

& �+G B,F&��F���#���& �+GG B ,F

���#

����& �+G

���� ��������� �� : ��.�� 5� ���)

,F���#���

& �+G B ,F���#���

&��+G

5��0� �.����� ���� �F&��+G B �F&+GF+�0���� ,F+�G ��� & �� �H��� �� ,F+�

G ��� &��G��� C����#

�F&��G B �F& G

'1? �������9�0������9/���.�� ������.

� ����� �� ���6� ���� 6��# �.������� ������. 5� 5��� ���� ��� �����5��� ����� ��..��1��� F�� &G +� �

���+�+����# ���0�&��� ��� + +� � C���� ���������1

��� �� �� ��0� � � � ��� �� B 9F+�+�� G ��� �

� B ������

������ ��� ��0� # � � ��� ��0� � � + 5�

��6� ����

F�' � � ) ��F'G - #�G � ��$

������ ���� ����)

�� B 9F+�+�� GF'G B � ���

F+��� � +�����G

F+�����G

>(

Page 70: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 ��� � � + ���� �F���+�� G �� 0������� �� �6��# .�.+�� F+

�� G��� �� +

�� ��� �H��� ��

����

� �������

FF+�� G���G

�����

�����5� +�0���� �F���+�� G �� ���H�� .��$ ��� 5� ����0� ���� F+

�� G��� � +

��

����

� ����

F

����

� �������

FF+�� G���G

G� B

����

� ����

���

����)

�F���+�� G B

����

� �������

FF+�� G���G

BF+��� � +

�����G

F+�����G

���� ���� �+���6����� �� �� 0���� ����)9F+�+�� GF'G B � ��� �F���+�

� GF'G ' � ��� 5� ��C�� ��� � � +

��� B � ��� �F���+�� GF5��0� �� �H��6����� �� �

� ��� B �F���+�� G ����)

�� B����

�����

���� �����5� +�0���� ' � � ����� �8��� ���H��+��� � + ��� F+�� G��� � +

�� F' � +��� ��� ' � F+

�� G���G&����)

����

����� F'G B �

����� F'G B � ��� �F�����

�+�� GF'G B 9F+�+

�� GF'G B ��F'G

���

��� B �' � � ) ��� F'G ��� �

����F'G � # �

�� F'G - #�

� �F+�� G��� �����#�� ��������� +# +�

� �� �� 0���� ���� +�0���� ��� ��� �F+�

� G�.������+�� +# ����� ��C��9

����� ��� � �F+

�� G����������)

F��� � �G B

����

��� B

����

�F���+�� G� B

����

�� ��� � � �� $F��� G

>?

Page 71: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�

F��� ��G B �

� $F��� G

���� ����)

�' � � ) ��F'G - #� B ����

��� � �

�� ���5 ���� �' � � ) ��F'G - #� � ����

��� � � �� ���6���1 �� ��� ����� ����0���� ��,� ��.� ' � � ��0�

���� ��F'G B ������

��F'G - # ���� ����� �8��� ��.� � � � ��0� ���� ��F'G - # ��� " � � ��F'G � #��������

����� F'G B ��� F'G 5�0� ��.��# .���� ���� ' � �

�� � ���� C����# +�0���� �

�� ��� ���-���� +# �����

��C������G)

F�' � � ) ��F'G - #�G B F ����

��� ��G B

�����

F��� � �G � �

� $�����

F��� G � �

� $

��� �� ��� ���0���� �� B ������

�� F�� �� ��C��� �� ��� ���6���� ��..�G �� �������+�� 5��� ��������

+������ +# ,F+GI:�

������ /# ��..� A? 5� ��6� ���� F�' � � ) ��F'G - #�G � ��$ ��� �� �� �+6���� ���� F�' � � )

��F'G - #�G � F�G����)

F�' � � ) ��F'G - #�G � .��FF�G ��$G

��� +�0���� + �� ��������� ��

��� B����

��

��� F:G

/# � 5��� ,��5� ����������� ���. ���� �����#��� &��� ��� �8�.��� D>E)

��

��� B

� �

F�' � � ) ��F'G - #�G�# F'G

>>

Page 72: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� F:G ��� F'G �.��#)

��

��� B����

� �

F�' � � ) ��F'G - #�G�# �����

� �

.��FF�G ��$G�#

��� �F#G B ��$����� ��� �H������ �F#G B F�G ��� ���# ��� �������� +�0���� � �� ����0��# ��0�������1����

�������� �� # B � ���F�G����� # - � ���F�G �F#G � F�G ��� # � � ���F�G �F#G - F�G����������)

.��FF�G ��$G B �F�G��������� # � � ���F�G

��$����������� # - � ���F�G

���� ���� �+���6�����)

����

� �

.��FF�G ��$G�# B����

F

� � ��� ����

F�G�# I

� �

� ��� ����

��$�#G

B����

F�F�G ���F�G � ��$��� �������G

B����

F�F�G ���F�G I F�GG

B����

� F�G ���F�G I����

F�G

B ,F+GI:

�� ���� 0��0����� ��� �����

��� �� ��� ���0����� �� B 9F+�+�� G 0��6���� �1� ��� �� �

��

������ ���� ���� ��� ��� ��H���0� F��G��� B .+�� /��� F��� ��� �����#��� ��������� #� +�

� � ��� .���9

���� ��0�������&���� 5� 0�� ��� ��� ���������� ������. F������. '$G ��� ��� ��H���0� ��� B �F���+�� G�����

��� ���0����� ��� 0��6���� �1�1�� ���� �.����� ���� ��� ��H���0� �� B���

����� ���� 0��6������ �1�1���6�����0�

�� �� �����5� ���. ��� ���6���� ��..�� ��� ������. :?F��.������ 0��6�����0� ������.G

���� ����� ����� ��..�� 5� ��� ����# �� ����� ��� ���6� ��� �����5��� 6��# �.������� ������.

><

Page 73: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ �� �*�������������!�������������� + �� � 0�����+�� ��������� �� C���� ������#&���� �����

�8��� ��.���)

:1 � B ��.���

9F+�+�� G��� ��F'G B ��.

���

:

�������F& �F'GG ��� ��� '�

'1 ��.���

:

�I :9F+�G B �� ��� ��� �� �

��

=1 �F&+G B ��.���

:

�I :,F+�G B

���� B

����

������ /# ��..� A< �� B 9F+�+�� G 0��6���� �� �� �������+�� ���0���� ����������� +# /��,��7;� ������0

������. &+�0���� � �� �������+��&5� ,��5 ���� ����� �8��� ��.� ���0���� �� ��0� ����

��F'G B ��.���

:

�������

�F& �F'GG ��� �1�8

��� +# ���� F�G ����� ��.��, <= ,F+�G B�� 9F+

�G ����� �� ��Æ0�� �� ���6� ���� ��.���

:

�I :9F+�G B ��

��� ��� �� ��1/�0���� �� ���� �����

�F&+G B ��.���

:

�I :,F+�G BB ��.

���

:

�I :

��

9F+�G� B ��.���

��

:

�I :9F+�G� B

��

���

�� +# /��,��7;� ������0 ������.����� B

�������� �+����� +� � ��H���0� �� 0�����+�� ����������14�

����0� ���� ' � � )

9F+���#���+�GF'G I 9F

�#���+�GF'G B � ���

F+���� � F�#���+�G���G

FF�#���+�G���G

� ���FF�#���+�G���G

>A

Page 74: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� +� � � � ����� �8���� ���H�� .�.+�� ��+� ���� 0������� '5��0� �.����� ���� F�#���+�G��� B

�#���F+�G��������

5� 0�� ��5���� ��� ���6���� �H������ �� ��� �����5��� 5�#)

9F+���#���+�GF'G I 9F

�#���+�GF'G B � ���

FF+�G��� � ��� � F+�G���G

FF+�G��� � ��� � F+�G���G� ���FF+�G��� � ��� � F+�G���GG

B � ���FF+�G��� � ���� � F+�G���G I ���FF+�G��� � ���� � F+�G���G

� ���FF+�G��� � ���� � F+�G���G

B � ���FF�#���+�G���G B 9F

�#���+�GF'G

���������)

9F�#���+�GF'G B 9F+��

�#���+�GF'G I 9F

�#���+�GF'G

���� ��������� ���� ���0����� � ��.�� 5� �+���� ��� �����5��� �������#)

9F�#���+�GF'G B 9F+��

�#���+�GF'G I 9F+��

�#���+�GF'G���� I 9F+�G F:G

���#��� F:G ��� ��� ��H���0� �� ���������� F+�G��� B F&��+G���5� �+����)

9F+�G B 9F+�+�� G I 9F&

��+�+�� G I ���I 9F&

��+G F'G

��5 5� 5��� �� ���5 ���� 9F&��+�+�� G B 9F+�+

���� G Æ &�� ���� ����0���� ��� ' � � ���� )

9F&��+�+�� GF'G B � ���

FF&��+G��� � F&��+G������� � F&

��+G���G

FF&��+G��� � F&��+G������� � F&

��+G���G

>%

Page 75: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�������� ��� ��� F&��+G��� � F&��+G��� � ��� � F&

��+G������� ����� �8��� ���H�� �� �� ��� ���� � + ��0�

���� ' � &���� ' � &���� ��� ' � &������&�1�)

&���� � &���� � ��� � &

������ B F&��+G��� � ���� � F&

��+G���

�� �� ���� 0���� ���� +�0���� & F'G � �� & F'G � &���� ���� & F'G � &���������� 5� ��6� ���� & F'G �

�� � &���� � �� � &���������������)

�� � &���� � �� � &

���������� B +� ����F&��+G� ��� � �� � F&

������+G� ���

/�� & �� .������ ������6��� �� )

FF&��+G��� � ��� � F&��+G���G B F&���� � &

���� � ��� � &������G

B F&��F�� � &���� � ��� � &

����������G

B F�� � &���� � �� � &

����������G

B F+� ����F&��+G� ��� � �� � F&

������+G� ���G

���0�)

F+� �������� � F&������+G� ���G B FF&

��+G��� � ��� � F&��+G���G F=G

� � ��.���� 5�# 5� ��� ����)

FF&��+G� ������ � F&������+G� ���G B FF&

��+G��� � ��� � F&��+G���G F(G

<$

Page 76: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� F=G ��� F(G �.��# ����)

9F+�+���� GF& F'GG B � ���

F+� �������� � F&������+G� ���G

FF&��+G� ��� � ��� � F&������+G� ���G

B � ���FF&��+G��� � ��� � F&

��+G���G

FF&��+G��� � ��� � F&��+G���G

B 9F&��+�+�� GF'G

��&������ 9F+�+���� G Æ F& G B 9F&��+�+�

� G ���� ��� �8�0� ��.� �����.��� 5� 0�� ���6� ���� 9F+�+���� G Æ

F& �G B 9F&��+�+����G ��� ' � " � ������ ����� �+���6������ �� �� 0���� ����)

9F+�G B 9F+�+�� G I 9F&

��+�+�� G I ���I 9F&

��+G B

B 9F+�+�� G I 9F+�+

���� G Æ & I ���I 9F+G Æ &�

B �� I ���� Æ & I ���I �� Æ &�

5���� �� B 9F+�+��G ��� �� B 9F+G����������)

:

�I :9F+�G� ��

B

:

�I :

�����

���� Æ &� � ��

B

:

�I :

�����

���� Æ &� �

:

�I :

�����

� Æ & � I:

�I :

�����

� Æ & � � ��

:

�I :

�����

���� Æ &� �

:

�I :

�����

� Æ & �

I :

�I :

�����

� Æ & � � ��

/�� +# F:G F��� �� /��,��7;� ������0 ������.G ��� ��0��� ���. 0��6����� �� *��� +��� �1� ��� �� �����0�

�� ����� �� C���� ��� ����� �� ��Æ0�� �� ���5 ����)

:

�I :

�����

���� Æ &� �

:

�I :

�����

� Æ & �

B :

�I :

�����

F���� � �G Æ &�

� $

<:

Page 77: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��� �� ���� ���� ����0���� ��.� �� B �� � ���14� 5��� �� ���5 ����

:

�I :

�����

���� Æ &� � $ �1� ��� �� �� F?G

���0� & �� .������ ������6���& � � $ & � �� ���� .������ ������6��� ����)

��

���� Æ &�� B

�����

���� Æ &�� B

��

�����F Æ &��G B

��

�����

���������)

��

:

�I :

�����

���� Æ &�� B

:

�I :

�����

��

���� Æ &�� B

B:

�I :

�����

��

����� B

B:

�I :

�����

��

�� � ����� �

B:

�I :

�����

��

�� � ��� �

/�� +�0���� +# ��..� A< �� � � �� �� &:

�I :

����

�� �� � ��� � � $����� 5� ��6� ����+������ ���

�� 0��6�����0� �� F?G���5 ���)

5� F'G B ����)�

��F'G

� �� 0���� ����&�� � $ ��� F+# ��..� A<G���0� 5� ��� 5� � $ ���������6�� +�0������� ��� ������6�

5� B ����)�

�� B ����)�

�� � ��� � ����)�

�� I �

<'

Page 78: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� +# ��..� A> �����5� 5� � �����5 ��� � - ! 5� ��6�)

:

�I :

�����

���� Æ &�F'G B

:

�I :

���������

���� Æ &�F'G I

:

�I :

�����������

���� Æ &�F'G

/�� �������������% B ����� ���� ��� ��� ���� ��� � B $ ��� ��! � :

5� F'G B ����)�

��F'G � ����F'G ' � �

��� ������������ B ��� �� ��� ��� ���� ��� � B ��! ��� �

5�F'G B ����)���F'G � ����F'G ' � �

���������)

:

�I :

�����

���� Æ &� �

:

�I :

���������

5� Æ &� I

:

�I :

�������

5� Æ &�

��� D� B 5�I5� Æ& I ���I5� Æ&� 1���� ��,��� ��.��� �� +��� ����� �� ��� ���6���� ���H�����# 5� ��6�)

��.:

�I :

�����

���� Æ &� � ��.

:

�I :

���������

5� Æ &� I ��.

D� Æ &���

�I :

�� +# /��,��7;� ������0 ������. +�0���� 5� �� �������+�� ����� �� ��.� ���0���� F5� G� ��0� ����

��.���

:

�I :

�����

5� Æ &� B F5� G� ���� F>G

<=

Page 79: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� +�0�����

�����

5� Æ& � �� ��5�#� � ��. �� ! I: ������&F5��0� �.����� ���� ��. ����

������

5� Æ& � B $G

5� ��6� ����)

��.:

�I :

���������

5� Æ &� B ��.

:

�I :

�����

5� Æ &� � ��.

:

�I :

�������

5� Æ &� B

B ��.:

�I :

�����

5� Æ &�

B ��.���

:

�I :

�����

5� Æ &�

B F5� G�

� �� ���� 0���� ���� ��.D� Æ &���

�I :B $����������)

��.:

�I :

�����

���� Æ &� � F5� G� �1�� F<G

�����6�� +�0���� �5����� �� � ��0������� ��H���0� �� ���0����� �� !� � !� ���� ��.���

:

�I :

����5�� Æ &

� �

��.���

:

�I :

����5�� Æ &

� 5��0� ��.��# .���� ���� F5��G� � F5��G� ����� �F5� G����� �� ���� ��0����9

���1� �������� +�0���� 5� � $ ��.���

�5�� B $ ��� F+# /��,��7;� ������0 ������.G ��.

���

�5�� B

��.���

�F5� G�� 5� 0��0���� ���� ��.

���

�F5� G�� B $�� �� ���� ���� ���� +�0���� 5� ��� ���������6� ���

������.�# +������ +# 5� � ����� �� �� 5�� ������ +����� 5� � $ ��� F5� G� � $ ��� ��������� +# F<G

��.:

�I :

�����

���� Æ &� � $ �1�

��� ���� C������ ��� �����

� & �� ������0 ��F'G B ��.���

:

�������F& �F'GG B

��� ��� +# F=G �� ��� ���6���� ������.

��� B

����

1���0� +# F'G&

��.���

:

�I :9F+�G B �� B

���� B ��.

���

:

�I :CF+�G BB �F&+G

<(

Page 80: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� 5� 0�� 0��0���� ���� ��0���� 5��� ��� ������0 0��� �� ��� �������9�0������9/���.�� ������.

������ �� �*�������������!������ ������ ������ & ) � � � �� ������0 ��� + �� � 0�����+��

��������� �� C���� ������#&����)

��.���

:

�9F+���GF'G B �F&+G ��� ' �1�

'1> ��� ����������� ����0����

���� �������0��� ��� ������� �� ��������0�� �������� ��� .������ ��������0 ������# 5� 5��� ����� ��� .���

�.������� ������. �� ���� 0������1���� ������. 0����0�� �������� ��� ������#

������ �� �'�������� �������� +,-.+&/-.+&0-.1����� &2,3�� & ) � � � �� � 0��������� ��������.�����

�� ��� 0�.��0� .����0 ���0� � ��� $ ) � � � �� � 0��������� .�� ����)

= F& $G B ������F& G I

�$� ) �1F& G�

5���� 1F& G ������� ��� ��� �� ��� /���� ���+�+����# & � ��%������ .������� �� ��

������ ���� )� ���� ���� 5� ��� ����� �� ���6� ���� )

��F& G I

�$� � = F& $G �1F& G

� ���� ����0���� ��� � 1F& G&C8 2 - $ ��� ��� ! B ��� �� ��� ��� +� � C���� ��������� �� � ���� /����

���� 1

����. :)����� �8��� 0�.��0� ���� �� �� ��� � B : �� � ��0� ���� ��� ��� ��������� �� " B ��� ��� �� � �

F�� � �� � ��G� 5� ��6� ����

,�F!�"G � 2

<?

Page 81: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����� �� ����. :)/# ������. => +�0���� �� � /���� ���+�+����# .������ �� � .����0 ���0� �� ����9

���1��������� �� � ! � B : �� � ��� �� 0�.��0� ��0� ����

F�� ���G �2�

��F:G

���� �� 5� ��� ���� B � � F�� � �� ���G

,�F!�"G B��

���

�����

� F�� � ��G ���F�� ���G

F��GI

�����

� F�� � ����G ���F�� � ����G

F����G

� � �B 7 ��� � � �: ��� �� ��� 7 � �: ��� �� �� � �� B � ���� F�� � ��G B $�� � B 7 �� �� ���

F�� ���G B F��G�����)

,�F!�"G B

�����

� F��G ���F��G

F��GI

�����

� F�� � ����G ���F�� � ����G

F����GB

B

�����

F����GF�F�� � ����G

F����G���

F�� � ����G

F����GG

B F����G

�����

"FF�� � ����G

F����GG

���� ����)

F����G B F� � F�� � �� ���GG B FF�� � ��� � ��G � F�� � �� ���GG

/�� +�0���� �� �� � � �: �� �� ��� +&� ��� ���������� +# F:G 5� ��6�)

FF�� � ��� � ��G � F�� � �� ���GG B F�����F�� ���GG

B

�����

F�� ���G � �2�

��B2�

<>

Page 82: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����6�� " ) D$ :E� � �� � +������ ������6� ���0���� ��0� ���� "F�G � � � � D$ :E����������)

,�F!�"G BF����G

�����

"FF�� �����G

F����GG �

2�

��:

�B 2

/# ������. <(F'G ��� F(G

,�F!�G � ,�F!

� # "�G � ,�F"�G I,�F!

��"�G F'G

� ����� �� ��� .��� �����.����� ���. F'G ����0� ����)

,�F!��"�G B ,�F! # &

��F!G��� # &��F!G�"�G �

B

�����

,�F&��F!G�"�G� F/# ������. <(FAGG

� ���� ����� ���� "� � &��F"G ��� 7 B $ ��� � ���������)

,�F&��F!G�"�G � ,�F&

��F!G�&��F"GG B ,�F!�"G

��.+����� ����� ��0�� 5� ���)

,�F!��"�G �

�����

,�F!�"G

���0� ����� ��� �+�6� ���H�����# ��� ����. :&F'G ��6��)

,�F!�G � ,�F"

�G I

�����

,�F!�"G � ,�F"�G I

�����

2 B,�F"�G I �2

�� ��.��#

,�F!�G � ,�F"

�G I �2 F=G

<<

Page 83: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��. ��5 �� �� ����.��� ,�F"�G I�/�$� ���. �+�6�1

,�F"�G I

�/�$� B ,�F"

�G I

����

��

/�$� �

� ,�F"�G I

����

F�G/�$F�G

B����

� F�G ���F�G I����

F�G/�$F�G

B����

F�GF/�$F�G � ���F�GG

B����

F�GF��� �'�(��� � ���F�GG

B����

F�GF����'�(���

F�GG

����0� ����

���F�G B : ���0� +# 0��0�6��# �� ��� ��������.)

����

F�GF����'�(���

F�GG � ���F

����

F�GF�'�(���

F�GGG B ���

����

�'�(���

���������)

,�F"�G I

�/�$� � ���

����

�'�(��� F(G

����0� ���� �������� ��� ���-���� 0�.��0� ���� ���0� �� � �B 7 �F�� ��G - $ ��� 5� 0�� 0����� Æ - $ ��0� ����

$ � 'Æ � �����F�� ��G ) : � � �B 7 � �� ��� Æ �� �.��� ��0� ���� &+�0���� $ �� ������.�# 0���������&5����6��

8F' �G � Æ �� ����� ���� �$F'G� $F�G� � 2�������� ��5 �� ��+�����# .�8�.�� F� ÆG � ��������� ��� ��FÆG

��� C8 ��.� � � "��/# ��..� >? ���F� ÆG ) � � ��FÆG� �� � 0�6�� �� � 1��������� ' � � ��� � ��FÆG

��0� ���� ' � ��F�� ÆG����� ��.��# .���� ���� 8�F' ��G � Æ �� �� ��7����� 5���� 8F&�F'G & �F�GG � Æ ���

<A

Page 84: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� B $ �� �� :����0�)

�/�$F'G � /�$F��G� � �$F'G� $F��G�I �$F& F'GG� $F& F��GG�I ���I$F&���F'GG � $F&���F��GG

� �2

/�0���� � �� 0�.��0� ��FÆG �� C���� &�� 5� 0�� 0����� �F�G � ������� ��FÆG ��0� ���� /�$F�F�GG B

.�8�/�$F��G ) ' � ������0�)

' � � /�$F'G � /�$F�F�GG � /�$F'G� /�$F��G � �2

����)

/�$F�G� /�$F�F�GG � �2 F?G

4� ���� ,��5 ���� ' � �&� � ��F�� ÆG �B � ��� +�0���� �F�G � ������� 5� ���� ��6� ���� )

� � ��F�F�G ÆG �B � F>G

��5 ��� ��C������� �� ��� ��.+�� Æ ��� �� ��� ��������� " �.��# ���� B � � )

M�� � " ) � ��FB ÆG �B �� � '

� ����� �� ���6� ����&��� B � � &�� �� �����+�� ���� �FB ÆG����� �B �F��.�.+�� ���� ���� B � �F��������G

+�� ����� �� �� 5�# ��� �FB ÆG �� �������0� .��� ���� ��� �� ��� �� ��� � B : �� ��/�0���� �� ����� 5���

� 7 � �: ��� �� ��0� ���� � �B 7 ��� �FB ÆG � �� �B � �FB ÆG � �� �B � ����� 5���� ��6� +��� ��.�

�� � �FB ÆG � �� ��� �� � �FB ÆG � �� �� ���� 0��� 8F�� ��G � 'Æ��� ���� 0�������0�� ��� ��0� ����

<%

Page 85: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�F�� ��G - '� ���� ��.��� ��� ��.� ��H���H�� 5� 0�� ���6� ���� B � � )

M�� � "� ) � � ��FB ÆG �B �� � '� F<G

� .��� ������ C8 B � � ��� ��� � � "�1� ���� 0��� � �� �� ��� ���. � B ����&��F��� G����&

������F�����G

5��� ��� � " 7 B $ �� �� :� ���� 5� ��� ����� �� ���5 ���� ��� � B $ �� �� :

M�� � " ) &��F�G � ��FB ÆG �B �� � '

��� � � �$ �� � � :���� ������� ���� ����� 5��� �� �� � " � ������ ��0� ���� ��FB ÆG � &��F��G �B

� ��FB ÆG � &��F��G �B � 1��������� ��� � ��FB ÆG � &��F��G ��� ��� � ��FB ÆG � &��F��G�����0� ����

+# ��C������ �� ��� .����0 8� ��� +�0���� �� � ��FB ÆG 8F& �F��G &�FBGG � Æ���� +�0���� �� � ��FB ÆG

��� ��� ��.� ������ 8F& �F��G &�FBGG � ����� +# �������� ���H�����# 8F& �F��G &

�F��GG � '�/�� +�0����

& �F��G � �� ��� &�F��G � �� 8F&

�F��G &�F��GG � 'Æ 0�������0�� ��� ��0� ���� �F�� ��G - 'Æ�4� ���� ,��5

����)

� B ��� � &��F��� G � �� � &

������F�����G

5��� ��� � " 7 B $ �� �� :����0�)

� � "#&��F"G#���&������F"G B "�

A$

Page 86: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� 5� �������# ���5� ���� ��� 7 B $ �� � � : ����� ��� �� .��� �5� .�.+��� �� &��F"G ���� �������0�

��FB ÆG�����)

����� ��� �� .��� �5� .�.+��� �� " ���� �������0� ��FB ÆG

����� ��� �� .��� �5� .�.+��� �� &��F"G ���� �������0� ��FB ÆG

111111

111111

111111

111111

111111

����� ��� �� .��� �5� .�.+��� �� &������F"G ���� �������0� ��FB ÆG

�� ���� .���� ���� ����� ��� �� .��� '� .�.+��� �� "� ���� �������0� ��FB ÆG����0� ������)

M�� � "� ) � � ��FB ÆG �B �� � '�

���������&+# F>G ��� F<G& ��� ���0���� @ ) "� � ��FÆG ��0� ���� ��� � � "� )

� � �F�G � ��FÆG

�� �� .��� '� �� :�/# F?G 5� ,��5 ���� /�$F�F�GG � /�$F�G� �2 ���0�)

����

�8�/�$F�F�GG �����

�8�F/�$F�G� �2G

��5 0������� ��� ��� � B ��F�G ) � � "��&+�0���� @ �� �� .��� '� �� :&����� ��� �� .��� '� ��� � "�

��6��� ��� ��.� �F�G����0�)

'�����

�8�/�$F�G �����

�8�/�$F�F�GG

A:

Page 87: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� � ��FÆG ���������)

'��

������

�8�/�$F�G � '�����

�8�/�$F�G �����

�8�/�$F�F�GG

�����

�8�F/�$F�G� �2G B ����

����

�8�F/�$F�GG

���� ��,��� ��������.� �� +��� ����� 5� �+����)

���F'��

������

�8�/�$F�GG � ���F��������

�8�F/�$F�GGG B�

� ��� ' I ���F�

������

�8�/�$F�GG � �2�I ���F����

�8�F/�$F�GGG B�

��� ' I:

����F

�������

�8�/�$F�GG � �2I:

����F

����

�8�F/�$F�GGG

���� ����#��� F(G 5� ���)

�2I:

����F

����

�8�F/�$F�GGG � �2I:

�,�F"

�G I

:

�/�$�

����)

��� ' I:

����F

�������

�8�/�$F�GG � �2I:

����F

����

�8�F/�$F�GGG �

:

����F

�������

�8�/�$F�GG �:

�,�F"

�G I:

�/�$�� ��� '� 2

/�� & �� .������ ������6��� ���� " � � & ��� ���� .������ ������6��� ���0� � � ��$ Æ & �� B

�$�

��� ���� .���� ���� �/�$� B

�������

�$ Æ & �� B

�������

�$� B �

�$�

A'

Page 88: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� +# F=G)

:

����F

�������

�8�/�$F�GG �:

�,�F"

�G I

�$�� ��� '� 2 B�

:

����F

�������

�8�/�$F�GG �:

�,�F!

�G I

�$�� F��� ' I '2G

��5 +# ��,��� ��.��� +��� ����� ��� ��� ����� ��� ��C������ �� ������#&�1� ��F&!G B ��.���

,�F!�G5� �+����)

= F& $ ÆG � ��F&!GI

�$�� F��� ' I '2G

�� +# ������� Æ � $ +# ������. >> 5� ���)

= F& $G � ��F&!GI

�$�� F��� ' I '2G

��5 +# ������� 2� $ ��� ��,��� �����.�. �6�� ��� C���� /���� ���������� ! 5� ���)

= F& $G � ��F& GI

�$�� ��� ' FAG

4� ��6� -��� ���5� ���� FAG ����� ��� �6��# /���� ���+�+����# .������ &��� �6��# & .������ ������6���

������������� ��� ��� �6��# $ ) � � � 0���������1��������� 5� 0�� ����# ��� �+�6� ����.��� ��� ��� .������

������6��� ��������.����� &�F5���� & �� ��� ������� ��������.����� �� ��� ������.G ��� ��� /�$)� � �

0���������&�+�������)

= F&� /�$G � ��F&�GI

�/�$�� ��� ' F%G

A=

Page 89: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� �� 5� ��6� ���5� +������/�$� B �

�$����� +# ������. >$) = F&� /�$G B �= F& $G ��� +#

������. A( ��F&�G B���F& G����0� F%G 0�� +� 5������ ��,�)

�= F& $G � ���F& GI�

�$�� ��� '

���� ��6����� +��� ����� �� ���� ���H�����# +# � ��� ������� �� 5� �+����

= F& $G � ��F& GI

�$� �

���� )� ���� ���� 5� ��� ����� �� ���6� ����)

������F& GI

�$� ) �1F& G� � = F& $G

4� 5��� ��� ��� �����5��� ��..�)

�#$$% % &� �� � /���� ���+�+����# .������ �� � &���� ����� �8���� � C���� ��������� + ��0� ����

��� F+G � 2 ��� F:�G B $ � � +1

�����)��� � B �'� '� �� '�� +� ��2

(�������� ���&5��0� .���� ���� ��F'�

2

(G ) � B : ��� �� ���.�

� 0�6�� �� � 1 �8 � � �: ��� �� ��� ����0� ���� ��� ���� �' ) 8F' '�G B �� 5���2

(� � �

2

'��� 0�����

��� .������# ���-����1���0� ���# 0�����+�# .��# �� ���. 0�� ��6� ������6� .������ F��..� =%G1/�� ���

��.��# �� L0��0���L F�' ) 8F' '�G B ��G ��*�*

���� ��0�����+�� �� ����� �8���F��� +�� 0�����+�# .��#G �� ��0�

���� F�' ) 8F' '�G B ���G B $��� +�0���� � 5�� ��+�������# 0�����& � B : �� � � F��� +�� 0�����+�# .��#G

�� ��0� ���� F�' ) 8F' '�G B ���G B $����

*� B �� � F2

(2

'G ) F�' ) 8F' '�G B ��G - $�

A(

Page 90: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� �6��# � � �: �� �� *� �� � 0�����+�� ��+��� �� F2

(2

'G���������

�����*� �� ���� 0�����+�� ��+��� �� F

2

(2

'G ���

���� .���� ���� ����� �8��� ��.� � ��0� ���� � � �: �� ��F����0� ���� ���� � �� ��� ��.� ��� ��� � � �: �� ��G )

F�' ) 8F' '�G B ��G B $

��5 ��C�� ����0��6��# ��� ���� �� �� ��� �� �������)

�� B �' ) 8F' '�G � �� B �F'� �G

���&

� B ' �� � �� B �' ) 8F' '�G � �� � F�� � �� � ��G

B �F'� �G � F�� � �� � ��G

���� ���� ��� ��.��# ! B ��� �� ��� ��� �� � ��������� �� � 1���� �����5� +�0���� �'� '� �� '�� �� ��2

(

�������� ���&5��0� .���� ���� ��� ��.��# ��F'�2

(G ) � B : ��� �� 0�6��� � 1/�� � -

2

(���0� �� ' � �

�� B : ��� ��0� ���� ' � �F'� �G������� ��� �.������ ��0� �&���� .���� ���� ' � �F'� �G +�� ' (� �F'� �G ���

7 � � ���� ' � ���� �� ���� 0���� ���� �� ��� ���-���� ��������� ������ ! �� � ���������1�����6��

��� F��G � ��� F�F'� �GG � ��� F�F'�2

'GG B '

2

'B 2

���0� ��� ���# ����� ����&�� ����� �� ���6� ���� ! �� ��� ������� ��������� �� �� ���5 ����

F:��G B $ � B : �� �

A?

Page 91: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ���� ����0���� ����0� ���� �� �� ��������# ���� ���� :F� � �G :� � :� ��� ���� :F� � �G :� � :�

:F� ��G B � � � � F� ��GÆ B

B � � � � F�Æ � �ÆG B F� � � ��ÆG � F� � � ��ÆG

F� ��ÆG � F� ��ÆG B :� � :�

���)

:F� � �G B � � � � F� ��GÆ B

B F� ��G � F�Æ � �ÆG B F � � F�Æ � �ÆGG � F� � F�Æ � �ÆGG

F� ��ÆG � F� ��ÆG B :� � :�

� �� ,��5� ���� �� ������� :F�G B F� ��G � ����. ���� ���������6� 0����0����*����� �� +��������� �� ��

�..������ ���� :F�G B :F� ��G����0�)

:F� ��G B :F� ���G :� � :�� B :� � :�

���� ��� �+�6� ��� ��������� 5� ��� ����)

F:��G B FF�' ) 8F' '�G B ��G B $

��

F:��G B F:F�F'� �G ���GG � F:F�F'� �GG � F:��GG

� F:F�F'� �GGG I F:��G B FF�' ) 8F' '�G B ��G B $

A>

Page 92: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0������ ����0��6��# 5� ��� ���� � B : �� � F:��G B $��� ���� C������ ��� �����

�#$$% ' �� �6��# C���� ��������� = �� ��� ���0� F�� G 5���� � �� � 0�.��0� .����0 ���0�&� ��

� /���� ������+�� ��� �1F�& G&��

��+ F:�G B $ ���� ��� ������# ,�F= G �� � 0���������� ���0����

�� � � 1F�& G �� �

�����)���� �� �..������ +# ������. (:

����� �� ���� 1 �8 2 - $ ��� ��� ���F2G����� +� � ��H���0� �� .�8�.�� F� 2G���������� ���� �� ����5

��� �6��# � � : ��C�� .������� � ��� �)

� B

�������

� �8�/�$F'G�������

�8�/�$F'G��� � B

:

�������

� Æ &��

4���� � �� ��� ����0 .������ 0��0�������� �� ��� ����� '���� � +� � /���� ��+��� �� � ��� � � ��F2G B

�'� �� '��F+�0���� � �� 0�.��0� ��# F� 2G� ��������� ��� �� C����G1����)

�F�G B

�������

�F�G �8�/�$F'G�������

�8�/�$F'G

��� �F�G B $ ' � ��F2G �����0�)

�F�G B��F�G �8�/�$F'�G I ����I ��F�G �8�/�$F'�G

�������

�8�/�$F'G

��� ��� � B : �� " ��F�G B ��F�G B : ����)

�F�G B

�����8�/�$F'�G

�������

�8�/�$F'GB �F� � ��F2GG

A<

Page 93: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/# ��� ��C������ �� ��. ��� ����� �8��� ��0������� ��H���0� �������� ��0� ����)

��.���

:

�����

���������

�8�/��$F'G B ��.:

����

��������

�8�/�$F'G

��� +# ������. (( 1F�G �� 0�.��0� ���� � ����� ��� � 5��, 0��6������ ��+��H���0�1��� ��.�� �� ����

0��6������ ��+��H���0� 5��� +� � & 9��6������ ���+�+����# .������ +# ������. (%1��������� 5������ ���� ��

���������# 5� 0�� ��# ���� ����� �8��� ��0������� ��H���0� �� ������� ��.+��� �������� ��0� ����)

F�G ��,� �� &���6������1

F+G ��.���

������

��������

�8�/��$F'G B ��.�� ���

�������

�8�/�$F'G

/# ��..� ����� �8���� ��.� C���� ��������� A ��0� ���� ��� FAG � 2 ��� F:5G B $ 5 � A���5

� � � ��C�� ��� ��.+��� �� �� ��� �����5��� 5�#)

�� B�

�������

�8�/�$F'G

���0�

�F'G B�8�/�$F'G

��F:G

���� ���� 5 � A� MF5���F2GG � :����� �����5� +�0���� �� 5 � A�&5 � A # &��A # ��# &������A ���������

��� ���� ��� F5G � 2�������� ��5 ���� �' � � 5 � ��F2G ���� +�0���� ��F2G �� � F� 2G � ��������� ���

�F' �G � 2 ���� 5� ��6� ���0��� � 0�������0���� ��� ���� �.����� ���� MF5���F2GG � :����� ���� ���� A���

� ��������� �� ' � ��F2G ����� �8��� ���H�� 5 � A� ��0� ���� ' � 5����0�)

,��FA�G B

�-�.�

� �F5G ����F5G B�

�������

� �F'G ����F'G F'G

AA

Page 94: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� � ��� ��������� �� ��F2G 5��0� �� C���� ��������� �� �������)

���� B

��������

�F'G�F'G F=G

���� +# F:G&F'G ��� F=G)

,��FA�G I

�/�$�� B

��������

� �F'G ����F'G I�

�������

/�$F'G�F'G

B�

�������

�F'GF� ����F'G I /�$F'GG

B�

�������

�8�/�$F'G

��F� ���

�8�/�$F'G

��I /�$F'GG

B�

�������

�8�/�$F'G

��F� ��� �8�/�$F'G I ��� �� I /�$F'GG

B�

�������

�8�/�$F'G

����� ��

B ��� ��:

����

B ��� ��

���������)

,��FA�G I

�/�$�� B ���F

��������

�8�/�$F'GG F(G

��5&C8 1 � � ��� � � '1� �� 7 B $ : ��1 � : ��� �F7G B �F�� 7

1G � : 5���� �F'G ������� ��� �������

���� �� '����� ����)

����#���&���/���A/ B &��FA # &��A # �� # &��/���AG #

#&��/���FA # &��A # �� # &��/���AG # ���

�������� # &������/���FA # &��A # �� # &��/���AG

A%

Page 95: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�)

����#���&���/���A/ B &��A # ������ # &������/�����/���A B &��A # ������ # &����������/�����A

/��)

F�F7G I :GG1 I 7 � : B F�F�� 7

1G� : I :G1 I 7 � : B

B �F�� 7

1G1 I 7 � : �

�� 7

11 I 7 � : B

B �� 7 I 7 � : B �� :

��5 0������� ��� ��� � B �$ : ��� 7� : F�F7GI:G1 I 7 ��� �� :��� �����5� � �,��0� ���� ���0�� � �.���

��� �� : C��� ��������)

��

$ : ��� 7 � :� �� �0�

7 ���� F�F7G I :G1 I 7 � :�

F�F7G I :G1 I 7 ��� �� :� �� �0�

��������� �� �� 0���� ����)

A� B F����#���&���/���A/ G # F #

��0�&��AG

�� +# ������. <( F<G

,��FA�G �

��������

,��F&���/���A/ G I,��F #��0�

&��AG

/�� #��0�

&��A �� � C���� ��������� ��������� +# ��.��, <:)

,��F #��0�&��AG � ���FMF #

��0�&��AGG B ���FMA�0� G

%$

Page 96: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�)

,��FA�G �

��������

,��F&���/���A/ G I ���FMA�0� G

��..��� ��5 ��� 7 B $ : ��1 � : 5� ���)

1,��FA�G �

/������

��������

,��F&���/���A/ G I

/������

���FMA�0� G F?G

/����� 5� 0������� 5� ������ ���� ��� �����5���)

M � � '1

��� ��� � �� ����0��� �� ��� �+�6� �,��0� ��� 0���������# 7 ��������� M� � 1 �� 5� -��� ��6� �� ���6� ����

M� �1 +�0���� �� �� 0���� ���� � � � B � �/��)

M� B F�� :G I :� DF�F7G I :G1 I 7E B

B �� DF�F7G I :G1 I 7E B F�� 7G� F�F7G I :G1

B F�� 7G��F�� 7

1G1 � F�� 7G� F

�� 7

1� :G1

B F�� 7G��� 7

11 I1 B1

���� ����

,��F&���/���A/ G B ,���

������� FA/ G

���� �����5� ���. ��� ������� ��0� ���� )

,�F&��F+GG B

����

� F&��F�GG ��� F&��F�GG B ,����F+G

%:

Page 97: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� ����� ����� �+���6������ 5� ��6� ����)

1,��FA�G �

/������

��������

,���������� FA/ GI

/������

M � ���FMAG �/������

��������

,���������� FA/ GI

/������

'1 ���FMAG

�� " B $ 7 B $&5� ��6� ���� "1 I 7 B $&���� ��� 7 B1 � : ��� " B �F7G "1 I 7 B �� : ���0�)

1,��FA�G �

�������

,�����FA/ G I '1� ���FMAG F>G

4� ������ ���� ���� ���� �� ������� )

:

�F,��F+GI����I,��F+GG B , �

�����������

F+G

���� ����� +�0����)

:

�F,��F+GI����I,��F+GG B

:

�F����

"F�F�GG I ���I����

"F�F�GGG B

:

����

D"F�F�GG I ��I "F�F�GGE B����

D:

�F"F�F�GG I ��I

:

�"F�F�GGGE �

����

"F:

��F�G I ���I

:

��F�GG B , �

�����������

F+G

���� �������

D �� F"F�F�GG I ��I��"F�F�GGGE �

���

"F ���F�G I ���I���F�GG +# 0��0�6��# �� ��� ���0����

"����������)

�������

,�����FA/ G B �

:

�������

,�����FA/ G BB �

�������

:

�,���

��FA/ G � �,��

�������

�����FA/ G

%'

Page 98: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� ���� �+���6����� 5� 0�� 5���� F>G ��)

1,��FA�G � �,

��

�������

�����FA/ G I '1� ���FMAG

�� �� � ��7����� 5�# +�0���� ��

������

� Æ &�� B � )

1,��FA�G � �,�

FA/ G I '1� ���FMAG F<G

��.+��� F<G ��� F(G 5� ��� ����)

1,��FA�G B 1F���F

��������

�8�/�$F'GG �

�/�$�G B�

1 ���F�

�������

�8�/�$F'GG � �,�FA/ G I1

�/�$�I '1

���� ��6����� +��� ����� +# �1 5� ���)

:

����F

��������

�8�/�$F'GG �:

1,�

FA/ G I:

�/�$�I '

1

����FMAG FAG

��5 �+���6� ����)

�$� � B

�$�F

:

�������

� Æ &��G B

:

� �������

$ Æ & ��� B:

�/�$��

���0� FAG +�0�.��)

:

����F

��������

�8�/�$F'GG �:

1,�

FA/ G I �

�$� � I '

1

����FMAG

%=

Page 99: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� ���� ���� & �� � 0��������� ��������.����� ��������� :&��F�G &��F:�G � ����5 �� 5 �� ��

��+�����# .�.+�� �� A/ ����)

5 B 5� � &��5� � ��� � &

��/���5/��

5��� 5� � A ��� � � �$ ���1 � :�����0�)

:5 :5� � :&��5� � ��� � :&

��/���5/�� :5� � &��F:5�G � ��� � &

��/���F:5/��G

��5 ����� ��� ��0� ���� �� & � ��%������ 5� ��� ���� )

F:5G � F:5�G I F&��F:5�GG I ���I F&

��/���F:5/��GG

� F:5�G I F:5�G I ���I F:5/��G B $

���� ��� ����� �+���6������ ��� ��..� / 5� ��� ����)

��.���

,�FA/ G B ,FA

/ G F%G

��5 ����� ������� �� �� +��� ����� �� FAG ��� ����� ������. >> ��� F%G 5� ���)

= F& $ 2G �:

1,FA

/ G I

�$�

�� ������� 1 � 5� �+����)

= F& $ 2G � �F& AG I

�$� � ������F& G I

�$� ) �1F& G�

%(

Page 100: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����# ������� 2� $ ��� ����#��� ������. >> 5� ��6�)

= F& $G � ������F& G I

�$� ) �1F& G�

�� ���� 0��0����� ��� ��0��� ���� �� ��� �����1

%?

Page 101: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ =

������ �!����2 ���

=1: ������0����

��������� �� ��� F� 8G +� � 0�.��0� .����0 ���0� & � 0��������� .������ & ) � � � �� ���� �� +�

�������� �'������� F5��� �����0� �� ��� .����0 8G �� ��� ��.� � � � ����� �8��� 0�������� # - : ��� E - $

��0� ����

8F' �G � 'E � 8F&�F'G &�F�GG � #8F' �G

��� �� :1 & �� ������0� �8������� �� � ��� + � �� ��� �+�6� ����� ��� �6��# ' � � �FB �G ���

B � +

'1 4� ����� ������# +� �+�� �� ����.� ���� � B : 5��0� .����)

8F' �G � '�� 8F& F'G & F�GG � #8F' �G

� � �B : ��� & �� ����0���* 0��������� 5� 0�� �����0� ��� .����0 8F' �G +#������8F& �F'G & �F�GG�� & ��

��� ����0���* 0��������� 5� 0�� �����0� &� 5��� &�

� ��� �����5��� 5� ��� ����� �� ������� ��.� ���������� �� ������0� �8������� ���� .���1 ��. ��5 ��

5� 5��� ����.� ���� � .�� & �� �8������� ��)

�E ��� # - $ ��0� ���� 8F' �G � 'E �.����� 8F& F'G & F�G � #8F' �G

��� �� � & ) � � � �� � 0��������� ���� .�� ���� E - $ ����� �8���� F - $ ��0� ���� & F�F' EGG �

�F& F'G FG ' � ��

%>

Page 102: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� F ������� ���# �� ��� ����0���� �� E ��� ��� �� '�

������ �8 E - $� �� �6��# ' � � ���)

FF'G B ��� �� - $ ) & F�F' EGG � �F& F'G �G�

& �� �� ���� .�� �� & F�F' EGG �� �� ���� ��� ��� 0�����# & F'G � & F�F' �G��� �� - $ ��0� ���� �F& F'G �G

& F�F' EGG���������)

� B �� � � ) � - $ ��� & F�F' EG � �F& F'G �G� �B � ��� FF'G - $

���0� ' � �

& F�F' EGG � �F& F'G FF'GG

��� ����� 5��� +� 0�.����� �� 5� ���5 ����

F B ��� �FF'G ) ' � �� - $

/# 5�# �� 0�������0���� ������� ���� F B $�� ����� �8���� � ��H����� �� ������ '� � � ��0� ���� FF'�G� $

�� ���� �� 0�.��0� ��������� F'�G��� 5���� ��6� � 0��6������ ��+��H���0�&�� 5������ ���� �� ���������#

5� 0�� ����.� ���� '� ������ 0��6����� �� ��.� ����� � � ��/�� '� � � .���� ���� �! � � ��0� ����

� � ! 8F'� �G ���E���� �F�

��EG �F'� EG+�0���� �� B � �F�

��EG

8FB '�G � 8FB �G I 8F� '�G �:

'E I

:

'E B E ���0� B � �F'� EG

���������)

& F�F'� EGG � & F�F�:

'EGG F:G

%<

Page 103: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� +�0���� & �� ���� � 2 - $ ��0� ����

�F& F�G 2G & F�F�:

'EGG F'G

& �� 0��������� �� & F'�G� & F�G 5��0� �.����� ���� �!� � � ��0� ���� � - !� 8F& F'�G & F�GG �������

�� B � �F& F'�G�� G

8FB & F�GG � 8FB & F'�GG I 8F& F'�G & F�GG � 2

5��0� .���� ���� B � �F& F�G 2G���.��#)

�F& F'� G:

'2G �F& F�G 2G F=G

��.+����� ��� ����� ���H�������� 5� ���

& F�F'� EGG � & F�F�:

'EG � �F& F�G 2G � �F& F'�

:

'2G

4��0� �.����� ���� FF'�G ���2 � - .�8 �!��!�� +�� ���� �� � 0�������0���� +�0���� FF'�G� $

��� �� � & ) � � � �� �� ���� �8������� .�� 8F' �G � 'E B� 8F& F'G & F�GG - #8F' �G����������

& �����1� �� : � :����� �� 0���� +�0���� B � � �F' EG&8FB �G � 'E ��� 8F& FBG�& F�GG - #8FB �G ���0� ��

B �B � & FBG �B & F�G1�����H�����# +�0���� & �� ��0���# ��-�0��6� �� ��� �� ��6���� .��1

��������� �� � & ) � � � �� �8������� ��� ���� ���� ��� ��6���� �� ��� .�� & �����1� ������0��� �� ���

+��� �F& F'G FG 5��� +� ������� +# &��� �

��. ��� ���6���� ��..� 5� ,��5 ���� �F& F'G FG & F�F' EGG ��� &��� F�F& F'G FGG �F' EG�

%A

Page 104: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����������� �� �� �6��# � � �

&��F�F� FGG B ���������

&��� F�F� FGG

��� ��� '� �B '� � &��F�G &���� F�F� FGG � &���� F�F� FGG B �

������ � �� �+6���� ���� &��� F�F� FGG &��F�F� FGG ' � &��F�G ����

���������

&��� F�F� FGG &��F�F� FGG

�� ��� ����� ����0���� ��� '� � &��F�F� FGG ���� �� B & F'�G � �F� FG ���0� � � �F�� FG ��� &����F��G B

'����� �� 5� ��� ' B &���� F�G ���� & F'G B �5��0� �.����� ���� &��� F�G B '����������)

&����F�G B &��� F�G B ' F:G

����0� ���� ���� &��� ) �F& F'G FG� �F' EG ��� �� � �F� FG B �F& F'G FG1�����H�����#)

&��� F��G � �F' EG F'G

4� ,��5 ����)

&����) �F& F'�G FG� �F'� EG ��� &���� F�

�G B &���� F& F'�GG B '�

��� � � �F�� FG B �F& F'�G FG ��������� &���� F�G � �F'� EG1���� �.����� ���� 8F&���� F�G '

�G � E� /�� +# F:G

&����F�G B ' ��������� 8F' '�G � E �� �� � ��7����� 5�# +�0���� &��

��F��G B '� 8F' &��

��F��GG � E�����)

&���� F��G � �F' EG F=G

%%

Page 105: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 �� �� 0���� ���. F'G ��� F=G ���� &����

��� &��� ���� �� ���� �F' EG�/�� & �� ��-�0��6� �� �F'�EG ���

���. ���� 5��� �����5 H���� ��.��# ����)

&����F��G B &��� F��G F(G

������� ��� ��� 0������# ���� &��� F��G �B &����F��G ���� +�0���� & �� ��-�0��6� �� �F' EG +# F'G ���

F=G & F&��� F��GG �B & F&���� F��GG ���0� �� �B �� ��� ���� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����1 �����# ����� F(G

&����F��G B '� B &��� F��G

��� +�0���� �� � �F� FG '� � &��� F�F� FGG���� ' � &��F�G ��� ���� C������ ��� �����

��������� �� .�� & 5��� +� 0����� ��%����� �� �� ����� �8���� F ��0� ����)

:1 � � � &��F�F� FGG B ���������

&��� F�F� FGG&

'1 ����&��� F�F� FG

���������

��� ���-����

=1 & ������0��� �� ��0� ��� �� ����&��� F�F� FG

�+���� � ��.��.������.

��� �� � ' � � ��� � B � �F& F'G FG ����)

8F&��� F�G &��� FBGG � #��8F� BG

��� �� �����0����)

&��� F�F& F'G FGG �F' #�� FG �F' FG

������ � 5� ����0�� +����� &��� F�F& F'G FGG �F' EG&���0� ��� � B � �F& F'G FG 5� ��6� ����

8F&��� F�G &��� FBGG � '�&+�� & �� �8������� ��

8F& F&��� F�G & F&��� FBGGG � #8F&��� F�G F&��� FBGG

:$$

Page 106: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

5��0� �.����� ���� 8F� BG � #8F&��� F�G &��� FBGG �� �� � ��7����� 5�#)

8F&��� F�G &��� FBGG � #��8F� BG

��� �� B � �F& F'G FG �� �� ���� ����

8F&��� FBG 'G B 8F&��� FBG &��� F& F'GG � #��8FB & F'GG � #��F

��������� &��� F�F& F'G FG �F' #��FG �F' FG

��������� �� �� �6��# ' � ��6��# � � : ��� �6��# 7 B $ : ���� � � : 5���� '� B & �F'G� �� +# ���

���6���� ��..� ��� 0�.��������)

&���� Æ &���� ������� Æ &

������ ) �F&

�F'G FG� �F' FG

�� 5��� ��C��� ��� 5��� +� ������� &���

�� �8.��� ��� � B ' 1

&��� ) �F& �F'G FG� �F' FG ��� &��� )B &��� Æ &��� ���� ���� 0��� )

&��� ��� ) �F&�F'G FG� �F& F'G FG ��� &��� �� ��C��� �� �F& F'G FG ���� &��� �� 5��� ��C���1

��� �����5��� +���0 ���������� �� &��� ��� ����������5��� +# ����� ��� �������# ���6�� ���������� �� &��� �

����������� ��� :1 �� �6��# � �� �

&���F� FG B ���������

&��� F�F� FGG

��� &��� �F� FG ��� ���-����

:$:

Page 107: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

'1 �� ��� � B � �F&�F'G FG

8F&��� F�G &��� FBGG � #��8F� BG

=1 � � F

&��� F�F&�F'G �GG �F'.���E #���

�G

������ 4� 5��� ���# ��6� ��� ����� �� F:G ��� � B '�� ����� �� ���6� �� 5� ���� ��� �����5��� 0���.����.)

��� � �F� FG ��� ��� � � �1����

&��F�G B ���������

&��� F�G

��0, B � &��F�G �� � B & FBG � � �F� FG ��������� � � �F� FG B �F& FBG FG����� ���� � B & FBG �.�����

���� &��2 F�G B B���5 ��� ' B &��2 F�G���������& F'G B � 5��0� ����� �.����� ���� &��� F�G B '�����)

&��� F�G B &��2 F�G B ' F:G

4� ,��5 ���� � �F� FG B �F& F'G FG ��� �� ������� &��� F�F& F'G FGG �F' EG ����)

&��� F�G � �F' EG F'G

4� ���� ��6� ���� � � � ���0� ���F� FG �B � �� �� � ��7����� 5�# � ��F& FBG FG �B �1���� 0������� &��2

�� ��� �����5��� 5�#)

&��2 ) � � �F& FBG FG� �FB EG

�� � +�� ��.���� +�0���� � B & FBG )

&��2 ) � � �F� FG �B � � �FB EG

:$'

Page 108: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 �� �� ���# �� ��� ���� &��2 F�G B B ��� +�0���� � � � � �F� FG& &��2 F�G � �FB EG +�� &��2 F�G B '

���������)

8FB &��2 F�GG � E � 8F&��2 F�G 'G � E

4��0� .���� ����)

&��2 F�G � �F' EG

/�� & �� ��-�0��6� �� �F' EGF& �� ������0� �8�������G ���0� ����� ��� ��.� �����.��� �� �� ��� ����� ��

���������� %> &��� F�G B &��2 F�G���������� &��2 F�G B B B &��� F�G ��� +�0���� � � �&B � &��� F�G1�����6��

' B &��2 F�G � &��F�G ��� +�0���� � � �&B � &��� F�G����0� ��� ����� �� 0���. �� C������1��5 5� ��� ����#

�� ���6� F:G ��� � B '� ���� +# ����������� %>)

&��F�F� FGG B &��F&��F�F� FGGG B &��F ���������

&��� F�F� FGGG

B ���������

&��F&��� F�F� FGGG� �� ��

���� ���� B B &��� F�G � � ���0� +# ����� ��� 0���. 5� -��� ���6�� &��F�G B �,�����2�

&��, F�G ����)

&��F�F� FGG B ���������

�,�����2�

&��, F&��� F�F� FGG

����0� ���� � � &��F&��� F�GG ��� ' � &��F�G����� � � &���F�G ���)

&��F�F� FGG B �,�������

&��, F&��� �,�F�F� FGG B �,�������

&��, F�F� FGG

�� ���� 0��0����� ��� �����.���

:$=

Page 109: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

=1' �����5��� �� ��������+���

��������� ��� ��� � � �� �� ��6�� � � $ � ��H���0� F'� ) � B $ ���� �G �� ���� �� +� �� ������� �#��

��� & ) � � � �7 � B $ ��� �� : 8F& F'�G '���G � �

����)�6��# ���� ��+�� F' & F'G ���� &�F'GG ' � � �� �� �9������ ��+�� � � $

��������� ��� ��� G - $ 5� ��# ���� �� ��+�� �� ' � � &G����� � ��� ������9 ��+�� F'� ) � B $ ������ �G

�7 � B $ ��� � 8F& �F'G '�G � G

��������� ��� 4� ��# ���� � 0��������� .�� & ) � � � ��� ��� ���� ��� ������� �� G - $ �� - $

��0� ���� C���� ��6��# �9������ ��+�� 0�� +� �����5�� +# �� ��+��1

� ���� ����� ��0��� ���� � 0��������� ��������.����� & ) � � �F� 0�.��0� .����0 ���0�G �� 0�����

�8�����6� �7 �Æ - $ ��0� ����)

D � � $ 8F&�F'G &�F�GG � ÆE B� ' B �&Æ �� ��� �8�����6� 0�������1

����������� ��� ��� & ) � � � +� �� �8�����6� .��1� 'G �� ���� ���� �� �8�����6� 0������� Æ ���

� B ���� ����� �8���� �� .��� ��� ����� ' 5���� ��+�� G9�����5� ��� ������ ��+��F'�G����

������ ������� ����� ��� �5� ��0� ������ ' �1���� +# ��C������ �� �����5��� � B $ ��� 8F& �F'G '�G �

G ��� 8F& �F�G '�G � G����0� ����� �������� ���H�����# 5� ��6�6� ���� � 8F& �F'G & �F�GG � 'G � Æ1���� +#

��� ��C������ �� �8�����6����� ' B �

����������� ��� ��� & ) � � � +� �� ���� ������0� �8������� .�� ��0� ����)

8F' �G � 'E � 8F& F'G & F�GG � #8F' �G

���

�F& F'GFG & F�F' EGG ' � �

:$(

Page 110: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

D ��. ��5 �� ���� ������0� �8������� .��� 5��� +� -��� ������� +# &�1�$�3�E��� $ � G � F&$ � � �

.�� �F#� :GG F� �� F'� ) � B $ : ���� �G $ � � � �� �� �9������ ��+�� ��� '�� B &���� F'���G�1� & F'

��G B

'��� '��� � �F& F'�G FG����)

:1 �� ��� � B $ : ' ��� �� :

&���� F�F'��� GGG �F'� GG

��� 0����H�����# ��� � B : ' ��� �� : ��� 0�.���������

&� B &�����Æ &�����

Æ ������&�������) �F'� GG� �

��� 5��� ��C���1

'1 ��� ��H���0� �� 0����� ���� &�FF�F'� GGG : ���� � �� ��0������� �� ��� ����� �� ��0������ �1� ��� � B

: ' ��� �� :

&�FF�F'� GGG � &���F�F'��� GG

=1 ��� �������0���������&�F�F'� GG �� ���9�.��# ��� ��� ���5��� ��+��� F��� ��.�� : �����G�� ��� ��� ������

�� ���� �������0���� G������5 ��� ������9��+�� F'� ) $ : �� �G

������ F:G/# ��..� %> 5� ,��5 ���� � B $ : ������ �

&�����F�F& F'��G FG �F'

�� #

��FG

���0� �� G � F

&�����F�F& F'��G GGG &�����

F�F& F'��G FGG �F'�� #

��GG B�

&�����F�F'��� GGG �F'�� #

��GG

:$?

Page 111: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� &������� � 0��������� ��C��� �� �F& F'��G FG ���

�F'��� GG B �F& F'��G GG �F& F'

��G FG

���������)

&���� F�F'��� GGG &���� F�F'��� GGG �F'�� #

��GG F:G

���� ����

8F'�� '�G B 8F&���� F'���G '�G B 8F&

���� F'���G &

���� F& F'�GG � #

��8F'��� & F'�GG � #��H

��� ���� �5� ���H�������� �����5 ���. ��..� %A ��� ��� ��0� ���� �'��1��� �� �� �9 ������ ��+�� �����09

��6��#1��������� �� �� H���� �..������ ����

�F'�� #��GG �F'� #

��G I #���G F'G

/�0���� �� B � �F'�� #��GG ����

8FB '�G � 8FB '��G I 8F'

�� '�G � #

��G I #���

���0� 0�.+����� ���H�������� F:G ��� F'G 5� ����6� ����)

&�����F�F'��� GGG F�F'�� #

��GGG �F'� #��G I #��HG �F'��GG

+�0���� +# ����.����� #�� G I #�� � � #��G I #��F# � :GG B G

:$>

Page 112: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

F'G 4� 5��� ���6� ���� ���� ����� ����0����1 �� � B :

&�F�F'� GGG B &�����Æ &�����

F�F'� GGG

��� +# ����� ���� F:G 5� ��� ����) &�����Æ &�����

F�F'� GGG &������F'� GG B &�F�F'� GGG�

���0� ��� � B : F'G �����1������� ���� F'G ����� ��� � B ��1� &�FF�F'� GGG � &���F�F'��� GG����� +#

���� F:G)

&���F�F'��� GGG B &�����Æ &�����

Æ ������ Æ &������F�F'��� GGG

&�����Æ &�����

Æ ������ Æ &���� F�F'��� GGG B &���F�F'��� GGG

���� F'G ����� ��� � B �I : ��� ��� ����� �� F'G �� 0�.�����1

F=G � � �� C����&+�0���� F&�F�F'��GGGG���� �� ��0�������

�����&�F�F'��GGG �B �1��� �� � B +�0���� � ��

0�.��0� ��� ��� ��.��# �� 0����� ����F��� &� ��� ��.��.���C�.�G �&�F�F'��GGG����� ��� ��� �.��# C����

�������0����� 5� ��6� ���������&�F�F'��GGG �B �� ��5 �� 5� ��� � B

�����&�F�F'��GGG 5� ����0� ���� ��� ���

7 B $ : ' ���� �)

& �F�G B & �F�����F&�F�F'��GGGG &

�F&�F�F'��GGGG &�F&��F�F'��GGG �F'��GG

����)

' � � � B $ ��� 8F& �F'G '�G � G

5��0� .���� ���� �6��# ����� �� � G � ������� ��� ��������+�� �'������

���!!��" ��� $��� *��� ��� 4������6��# ����& ������0� �8������� .�� �����C�� ��� ���� ��� ����

����1���� ���0����# ��� $ � G � F ��� $ � H � .�� �F#� :GG F� �6��# H���������+�� 0�� +� G������5��

:$<

Page 113: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

+# �� ��+�� �� ��

������ � �� �� �..������ 0����H����� �� ���� F=G ��� ���6���� ������.

���!!��" ��� $��� 5���� 4�������� & ) � � � +� �� �8�����6� .��&������#��� ��� �����5���

�������#1���� G - $ � H - $ ��0� ���� �� ' � � ��� 8F' & �F'GG � H ��� ��.� � � :&���� ����� �8���� �

�������0 ����� �� ������ � 5���� ��+�� G������5� ��� ������ ��+�� F' & F'G ����� & ���F'G���� 0���0�� �� H

��� G ��� ��� ��.� �� �� ��� ��C������ �� �����5���& ��� 'G ��� �80������ ��� �8�����6����� 0�������1

������ 4� 0������� ��� ��H���0�)

' B F' & F'G ��� & ���F'G ' & F'G �� & ���F'G ' & F'G���G

5��0� �� �� ��C���� 0��0���������� �� F' & F'G ��� & ���F'GG�4� ����0� ���� ���� ��H����� �� �� H���������+��

+�0���� 8F& �F'G 'G � H����� +# ��� �����5��� ��..� ����� �8���� ��� ����� � � � 5���� ��+�� G������5�

���� ������ ��+��1/�� ��� ��� ���. �� ' �� ' �� 8F' & �F�GG � G 5��0� �..�������# �.����� ���� ��� ��+�� ��

& �F�G ���� G������5� 'F�� 5� ��.�6� F' & F'G ����� & ���F'GG ���. ' 5� ����� ��� ' G ���0� +# �����������

:$( & �F�G B �

��������� ��� 0��������� .�� & ) � � � 5��� ������# ��� �������� ��������� �������� �� ��� �6��#

G - $ ����� �8���� � ��0� ���� ��� �6��# C���� � ��� �6��# �������0 H���������+�� '� ��� '��� ���� ��

� ��H���0� �� ������ '� ��� '��� ��0� ���� 8F& F'�G '���������G � HF���� .���� ���� �� '� ��� '��� ��

��������+�� ��� 8F& F'���G '%G � H ����� �8���� � ����� � � � �� ������ � ��0� ���� ��� ��� $ � � � �

8F& �F�G '�G � GG

:$A

Page 114: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

=1= �@����� ���������� ����

��������� ��� ���0���� $ ) � � � �� ���� �� +� �@����� 0��������� 5��� �� �8������ $ � H � : �7 �����

�8���� * - $ ��0� ����)

�$F�G� $F'G� � *8F' �G4

��� ��� �� �@����� 0��������� ���0����� ��� ������.�# 0��������� ��� �� H B : ���# ��� ������# 0�����

�������B 0���������1

��������� ��� ,4F�G 5��� ������ ��� ���0� �� ������ 0��������� ���0����� 5��� �8������ H - $1��� ��

, � ,4F�G

I4�5F,G B ���

��,F�G� ,F'G�

8F' �G4) ' � � � ' �B � ��� 8F' �G � F

I4F,G B ���

��,F�G� ,F'G�

8F' �G4) ' � � � ' �B �

����������� ��� � , � ,4F�G F - $

J4F,G � .�8

�' �,��F4

I4�3F,G

������ ��� F � �� ��� ������� C��� ����' �,��F4

- I �3F,G����� �.����� ����)

' �,��F4

-�,F'G� ,F�G�

8F' �G4 ' � � � ' �B � ��� 8F' �G � F F:G

� ' � � � ��� ' �B � ������ 8F' �G � F �� 8F' �G - F��� ' � � � ' �B � ��0� ���� 8F' �G - F )

�,F'G � ,F�G�

8F' �G4�' �,��8F' �G4

�' �,��F4

' � � � ' �B � F'G

:$%

Page 115: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� �� ��# 0��� +# F:G ��� F'G �� ' �B �)

' �,��F4

-�,F'G � ,F�G�

8F' �G4

5��0� �.����� ����)

J4F,G �' �,��F4

B .�8

�' �,��F4

I4�3F,G

��5 ������� ����)

I �3F,G -' �,��F4

���� �.����� ���� � '� �� � � 5��� '� �B �� ��� 8F'� ��G � F ��0� ����)

�,F'�G� ,F��G�

8F'� ��G4-' �,��F4

� ' � � � ' �B � ��� 8F' �G - F ����)

�,F'G� ,F�G�

8F' �G4�' �,��F4

��,F'�G� ,F��G�

8F'� ��G4� I4�3F,G F=G

� 8F' �G � F +# ��C������)

�,F'G� ,F�G�

8F' �G4� I4�3F,G F(G

/# F=G ��� F(G 5� ��� ����)

J4F,G � I4�3F,G B .�8

�' �,��F4

I4�3F,G

��� ��� � �� H���� ���# �� 0��0, ���� ,4F�G +�0�.�� � +���0� ���0� 5��� �H������ 5��� ��� ���.

::$

Page 116: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�,���B I4F,G I �,�� ����� �� ����.��� �,���

�� �� ������ �� ����.��� I4�3F,G ��� �,�� �

� ���� ����� 5� ������ ����� � 6��# ��.��� ������. ���. ���0������ ����#���1 �� ��� ����� ��� D?E1/��

+����� 5� ������ ��0��� ���� � ��+��� �� � �������0�� ���0� 5��� +� 0����� �������� ������ �� ��� 0������ ��

0�.��0�1��� �� � �� � .����0 ���0� ��� 0 �� � /���0� ���0�&� ��+��� J �� ��� ���0� �� 0��������� .���

*F�0 G 5��� +� 0����� �6���������� �� � ����� '� � � �� ��6�� 2����� �8���� Æ ��0� ���� 5����6�� ' � �

��� �F' '�G � ���� ��F'G� �F'�G� � 2 ��� ��� � � J�

������ ��� F7�%���7���G��� � +� � 0�.��0� .����0 ���0� ��� ��� 0 +� � /���0� ���0�1��� J +� �

��+��� �� ��� ���0� �� 0��������� .��� *F�0 G 5��� ��� ���.1���� J �� ������6��# 0�.��0� �� *F�0 G �7

��� �����5��� �5� 0��������� ��� �����C��)

:1 J �� �H��0���������1

'1 �� ��0� ' � � &��� ��� JF'G B ��F'G ) � � J� �� ������6��# 0�.��0�1

��� �����5��� ������. �� � 0����H���0� �� �*���9 �0��� �����.1

������ ��� �# +������ ��+��� �� /���0� ���0� ,4F�G 5��� ��� ���. ������� ������6��# 0�.��0�

�� � ��+��� �� ��� /���0� ���0� *F�G 5��� ��� �����.�. ���. ���� ������6�� �� �,� ) � B : ' ������� �

��H���0� �� 0��������� ���0����� �� ,4F�G ��0� ���� �,���� � *&��� ��� � � : ��� ��.� 0������� * ���

��.���

�,� � ,�� B $ ��� ��.� , � *F'G ���� , � ,4F�G ��� �,���� *

������ ��� �����#����� �������� 4���� �� 8����������� & ) � � � +� � ������0� �8������� .��

��� $ ) � � � +� � �@����� 0��������� ���0���� 5��� �8������ H1���� ��� �6��# �������6� ������� � ���

B � � � ��0� ���� 8F& �FBG & �F�GG � 'E ��� �6��# 7 B $ : ���� �� : 5� ��6� ���� )

�/�$FBG� /�$F�G� � 8FF&�FBG &�F�GG4F

I4F,G

:� #�4G

:::

Page 117: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ���0� & �� ������0� �8������� ��� +�0���� 8F&���F'G &���F�GG � 'E 5� ��6� ����)

8FF&�FBG &�F�GG B 8F& F&���FBGG & F&���F�GGG � #8F&���FBG &���F�GG

��������� �� $ � 7 � � ����� �� 7 ����� 5� ��� 8FF&�FBG &�F�GG � #���8F& �FBG & �F�GG 5��0� �.����� ����

8F& �FBG & �F�GG � #������8FF&�FBG &�F�GG

��� $ �� �@����� 0��������� ���������)

$F& �F�GG� $F& �FBGG � I4F$G8F& �F�G & �FBGG4 � I4F$G#������48F&�F�G &�FBGG4

����)

�/�$F�G� /�$FBG� ��������

$F& �F�GG� $F& �FBGG � �������

I4F$G#������48F&�F�G &�FBGG4

� I4F$G8F&�F�G &�FBGG4

�������

#������4 � I4F$G8F&�F�G &�FBGG4

�������

#��

��� ���� ���H�����# ����� +�0����������#������4 B

����#�� �

������#�� ��� C����#)

�/�$F�G� /�$FBG� � I4F$G8F&�F�G &�FBGG4

�������

#�� � I4F$G8F&�F�G &�FBGG4

�����

F#�4G�

B I4F$G8F&�F�G &�FBGG4

:

:� #�4

4��0� 0��0����� �� �����.���

::'

Page 118: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��� � & �� ���� 5� 0�� �����0� ��� 0��������

L' � � � ��0� ���� 8F& �F'G & �F�GG � 'E ��� �6��# 7 B $ �� �� :L

+#

L����� �8���� ��.� ����� B � � ��0� ���� ' � � &��2 F�F&�FBG FGGL

������ ���� 0�� +� ���6�� +# ����� ��..� %A +�0����)

&��2 B &��2 Æ &��� �2� Æ ��� Æ &�������2� ) �F&

�FBG FGG� �

/�� +# ��..� %A)

&�������2�F�F&�FBG FGG B &�������2�F�F& F&

���FBGG FGG �F&���FBG FG

���� ��� �6��# 7 B $ �� �� : ��������� ��� �+�6� ���0����� �� 7 ��.�� 5� �+���� ����)

&��� ��2� Æ ��� Æ &�������2�F�F&

�FBG FGG �F& �FBG FG

� �� ���� 0���� ���� +�0���� ' � � &��2 F�F&�FBG FGG ��� �6��# 7 B $ �� �� : 5� ��� ����)

& �F'G & �F�G � &��� ��2� Æ ��� Æ &�������2�F�F&

�FBG FGG �F& �FBG FG

���0� 8F& �F'G & �F�GG � 'E�

��� ���6���� ��..� 5��� +� ���� H���� ����� �� ��� �����5��� ��� �������� �� �� H���� +���0 ��� ���# ��

���6� �� 5��� ���� ��� �� +� 6��# ������1

::=

Page 119: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� ��� ��.��.������. & ) � � �� 0�.��0� .����0 ���0�&5��� +� 0����� ������� �����

������ �� ��� ��� ����.��# ���� ���� 4 6 � ����� �8���� � � $ ��0� ���� &�F4G � 6 �B $�

������ ��� ��� �����5��� ��C������� ��� �H��6�����)

:1 F& �� ��������0���# ��������6�

'1�' � � ) >� F'G B �

��� � ����� 5Æ

=1 �' � � ��0� ���� >� F'G B �

(1 4����6�� � � 0����� ��� &� B � ������ � B � �� � �� ��5���� �����F�� 5����6�� 4 �� ����

��0� ���� &4 B 4 &4 �B � �� 4 �� �����G

?1 ����� �8���� � & 9���-�0���# �&�F'G ) � � �� ��0� ���� �6��# � � � �� ��� K9��.�� �����& ���� �� ��� �6��#

! � $ ��� ��� �&�F'G ) � - !� �� ����� �� ��

������ F:G�F'G ��� �4����� +� � 0�����+�� +��� � ��� � ����)

�' � � � >� F'G B �

�B � B

�����

��

���&4�

��� ' � � ��0� ���� >� F'G B � ��� ��� 4� � � ���� � � � ��0� ���� �� � $)

&F'G � 4� �B � B� &F'G � 4� B� ' � &�4�

��� �� � $F5��0� .���� ���� B �" ��� ��.� " � �G

&��F'G � 4� �B � B� �� � 4� ��0� ���� � � &��F'G B�

' B & �F�G B� ' � & �4� B &�4�

::(

Page 120: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� � � � � � � ��0� ���� ' � &�4� �� �� � ��7����� 5�#

' ������

��

���&4�

�� ��� ����� ����0���� ��� ' ������

��

��&4����� 4� � � ' �

��

���&4� 5��0� �.����� ���� � � �

��0� ���� &�F'G � 4� ��������� >� F'G B � 1& �� ��.��.������. �� &F4�G �� ���� � � &���0�

��

���&4� �� �� ���� ��� 5��0� �� ���� ����� +# ��C������ �� ��������6��#1��������� +# /���� �������#

������. �' � � � >� F'G B �� �� � ����� 5Æ ���1

F'G� F=G ..������

F=G � F(G ������� ���� �'� � � ��0� ���� >� F'�G B ����� � � 0����� ��0� ���� &� B �1�������

������� ���� � �� ��� ��5���� ����� �� � 4 ���� ��� 5��0� 4 � B �& 4 �B ����������� ����� �8���� � � �

5��� & �F'�G � 4 � +�� +�0���� &� B � �� & �F'�G � � 5� ���� ��6� ���� �& ���F'�G����� ������0� ����

)

�& ���F'�G����� B >� F'�G � �'� & F'�G �� &

���F'�G�

5��0� �.����� ���� �& ���F'�G����� �� ���� ����� �� �����0� �&���F'�G����� B � ��� +�0���� �& ���F'�G�����

� �� �� ���� ���� ���� � B � B ������ ������ � ��� �� �������� �� � B ��

F(G� F:G��� 4 6 +� ����.��# ���� ��+���� �� ��������

����&�4 �� �� ���� & 9��6������ ��� �� �� �� �����

+# F(G5��0� ��.��# .���� ������

����&�4 � 6 �B �����0� ����� �8��� ��.� �� � � ��� 5��0� &��4 � 6 �B �

F:G� F?G������� & �� ��������0���# ��������6�1��� 6 � ���� ��� 0������� ��� ���

DF6 G )B F' � � ) ����� �8���� � � $ ��0� ���� &�F'G � 6 G

4� 5��� ���5 ����

DF6 G B ����&��F6 G

::?

Page 121: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ' � DF6 G ���� � � � $ ��0� ���� &�F'G � 6 � ' � &��F6 G ��� ��� ����� ����0���� �� ��.����1DF6 G ��

0�����# ���� �� � ����� �� ���� ����1� �� ���� ����� ��0���� 4 ���� �� � � ��0� ���� &��F6 G �4 �B � �

DF6 G � 4 �B ����� �6����� +� � 0�����+�� +��� ��� ��� .����0 �������# �� ������ �� �����+�� +�0���� � ��

0�.��0�1/# /����;� �������# ������.

D )B ��DF&��F6�GG ) " � : ��� ! � :�

�� � ����� 5Æ ��+��� �� � ��� �� 0����� ��� �.��#&���� �����5� +�0���� " � : ��� ! � : DF&��F6�GG ��

� ����� ���� ��+��� �� � 1 ��. ���� 5� �+���� ���� ' � D ��� ! � : ��� ���-�0���# �&�F'G ) � � !� ��

����� �� � 1�� ���6� ���� ��� ' � D ��� ��� 6 +� �� ���� ��+��� �� �+�0�����6������� � +��� �� � �"� ��0�

���� 6�� 6�/�� ' � D �.����� ���� ' � DF&��F6�� GG ��� �6��# ! � :����� +# ��C������ �� DF&��F6��GG

����� �8���� ��.� �� � � ��0� ����)

&�F'G � &��F6�� G B� &���F'G � 6�� 6

���� ������ �&�F'G ) � � !� �� ����� �� � 1F?G� F:G ������� �&�F'G ) � � �� �� � ���-�0���# �� �� F%��G&���

4 6 � ���� 4 6 �B $ ���� +# F%��G �� � - $ �� � ! ��0� ���� &F'G � 4 ��� &�F'G � 6����0�

&�F'G � 6 ��� &��F&�F'GG � 4 5��0� ��6�� &�F'G � &��F4G ��� C����# 6 � &��4 �B �

������ ��� ��� � +� � 0�.��0� .����0 ���0�&& ) � � � � ��������0���# ��������6� ������0� �8�������

.�� ���� ��� �6��# �@����� 0��������� ��������� $ ) � � � ��� ��� �6��# ' � � ����� �8���� ��� ��.��

=�F& $G )B ��.���

:

����

���������

�8�/�$F'G F=1:G

���

=�F& $G B = F& $G

::>

Page 122: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �������� ����� �8���� � 0������� * ��0� ���� ��� �6��# ' � � � ��� �6��# ������6� ������� �

�������� �8�/�$F'G�������� �8�/�$F�G

� * F=1'G

������ ���� �� ��� 5� ������ ����0� ���� �� & �� �� ���� ������0� �8������� .�� ���� ' � � MF&��F'GG

�� C���� ��� ����������� �� '�4� ,��5 ���� � �� 0�.��0� ���� � B������F'� EG ��� & ������1� �� ��-�0��6�

5��0� �.����� ���� MF&��F'GG � E ' � � 1���� ����� +�0���� �� MF&��F'GG � E I : ����� 5���� �8��� ��

����� �5� ������ � B ��0� ���� � B � &��F'G ��� +��� +����� �� ��� ��.� +��� �F'� EG ��� ���� 5����

��6� +��� � 0�������0����1��5 ��� 8F' �G � F&���� ' � &��F'G 5� ��6� ���� &�F'G B ' ��� � B &��� F�G �

&��� F�F' FGG1���� �� �� 0���� ���� � ' � &��� F�F' FGG B &��� F�F&�F'G FGG� ��������� +# ��.��, ::<

8F& �F'G & �F�GG � 'E ��� 7 B $ : ���� �� :

�� ��5 5� ��� �+�� �� ����# ������. ::> �� ��� ����)

/�$F'G� /�$F�G � 8F&�F'G &�F�GG4F

J4F$G

:� #�4G � F4

J4F$G

:� #�4B *�

����)

/�$F'G � *� I /�$F�G B� �'�(��� � ����'�(��� B� �'�(��� � *�'�(���

���� ��,��� ��.� 5� ��� ���� �� 8F' �G � F

�������� �8�/�$F'G�������� �8�/�$F�G

� * F:G

::<

Page 123: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��5 +# ����� ��������6��# �� & 5� 0�� ���6� ���� �! � � F��������� �� FG ��0� ���� ��� ��� ' � � � �����

�8���� $ � � ! ��0� ����

&F�F' FGG � �F� FGG �B �

����� & �� ��������6� �� +# ������. ::% F?G �B � � ��0� ���� ��� ���-�0���# �&�FBG ) � � !� ��� ���

�������# ���� ��� �6��# ! � $ ��� ��� �&�F'G ) � - !� �� ����� �� � 1���� 5� 0�� 0����� �5� +��0,�

�� ��� ���-�0���# �� B&F& �FBG �� & ��

FBGG ��� F& �FBG �� & ��

FBGG 5��� � - L� ��� +��� �� ���. F9����� ��

�F ��� ) B �'����� 5��� +� 0����� F � ����� �� � �� ��F'� FG�����0�6��� �G ��0� ���� �&�FBG ) � � "�

��� �&�FBG ) � � �� ��� ����� �� �����0� "� ��� �� 0�� +� 0����� �� � 5�# ��0� � B��

�����F'� FG ���

� B��

�����F'� FG F'� B &

�FBGG��5 ��� ! B �� � "�� �� 0���� ���� 5� 0�� C�� � +��5��� " ��� "� �� 5��� �� �

+��5��� � ��� ���� ���� & �FBG � �F' FG ��� & �FBG � �F� FG����� ������� B �� � � ! ����0� ����

B � &��F�F� FGG� & �FBG � & ���F�F� FGG

��� & �FBG � �F' FG ����)

& �FBG � &�F�F� FGG � �F' FG

�8 ��+�����# ' � � � ��� ��� �� � &�F�F� FGG ��F' FG ���0� &F��G � �F� FG ���� �� � �F' FG 5��0�

�.����� ���� 8F' ��G � F ��� +# F:G

���������

�8� /�$F'G � *�

�����������

�8�/�$F��G

::A

Page 124: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����0� ���� +�0���� �� � &��F��G&&�F��G B ��)

/��$F��G B $F��G I ����I $ Æ &���F��G I $ Æ &�F��G I ����I $ Æ &����F��G

B $F��G I ����I $ Æ &���F��G I $F��G I ����I $ Æ &��F��G

B /�$F��G I /$F��G

���0�)

/��$F��G B /�$F��G I /$F��G F'G

���)

/��$F��G B $F��G I ����I $ Æ &��F��G I $ Æ &F��G I ����I $ Æ &����F��G B /$F��G I /�$F&

F��GG

���0�)

/��$F��G B /$F��G I /�$F&F��GG F=G

��������� +# F'G)

���������

�8� /�$F'G � *�

�����������

�8�/�$F��G B *� �8�F�/$F��GG

�����������

�8�/��$F��G

��

*� �8�F�/$F��GG

�����������

�8�/��$F��G � *� �8�F� � ��� $G�

������������������

�8�/��$F��G

::%

Page 125: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�0���� ��� �� ��0������� ��� .� ��� $ � /$F��G���� +# F=G)

*� �8�F� � ��� $G�

������������������

�8�/�$F&F��G �8�/$F��G �

� *� �8�F� � ��� $G�

������������������

�8�/�$F&F��GG �8�F ���$G

B *� �8�F F���$� ��� $GG�

������������������

�8�/�$F&F��GG

��. ����� 0��0�������� 5� �+����)

���������

�8�/�$F'G � *� �8�F F���$� ��� $GG�

������������������

�8�/�$F&F��GG F(G

��5 ��� ) B ����MF&��FBGG ) B � �

�� ����0� ���� �� �� � &��F&F��GG �� �� ���� ���� ���� &�F ��G

&�F&��F&F��GG .����6�� �� �� � &�����F&F��GG �� ����� ���� &F��G � &��F&F��GG ��� ���.���

�� � &�F ��G 5� ��6� &F��G B ���/�� MF&�F ��GG � ) � )���� ���� �.�����) �� � &��F&F��GG � ��.��� )��� � &�F&��F&F��GG ��0� ���� �� � &�F ��G�1� &F��G B ��� ��. ���� 5� 0��0���� ���� )

�������������������

�8�/�$F&F��GG � )�

����������������

�8�/�$F ��G F?G

���0� +# F?G)

*� �8�F F���$� ��� $GG�

������������������

�8�/�$F&F��GG

� *� �8�F'! �$��G)�

���������������

�8�/�$F ��G

:'$

Page 126: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����# +# F:G ��� +�0���� &F��G � �F� FGG 5� ���)

*� �8�F'! �$��G)�

���������������

�8�/�$F ��G� *� �8�F'! �$��G

����������

�8�/�$F�G

��������� ����� F(G 5� ��� ����)

���������

�8� /�$F'G � *� �8�F'! �$��G�

���������

�8�/�$F�G

�� ���� 0��0����� ��� ����� �� F=�'G�

�+���6� ���� ' � � &��F'G �� � F� 'EG � ��������� ���1��,� � B � &��F'G � �B B&���� &�F�G B

&�FBG B '1� ��� �����5��� 0����� ��� �������� 7 � �$ : ��� � � :� ��0� ���� & �F�G �B & �FBG ����

8F& �F�G & �FBGG - 'E�/�0���� �� 8F& �F�G & �FBGG � 'E ����� ��� ��0� ���� & �� ������0� �8������� 5� ��� ����

8F& ���F�G & ���FBGG � #8F& �F�G & �FBGG �B $ +�� ���� 0����� ������ +�0���� 8F& ���F�G & ���FBGG B $�����

���� ���� �� � 7 � �$ : ���� �� :� ��0� ���� 8F& �F�G & �FBGG - '� ���� 8�F� BG B .�8F8F&�F�G & �FBG ) 7 B

$�: ��� �� : � - 'E��� ����� ������. >>)

��.���

���:

����

���������

�8�/�$F'G � = F& $G F>G

��5 C8 2 � 'F ��� � � : ��� 0� +� � F� 'EG9��������� ��� 0�1��6�� � +# C�����# .��# +����

�FB� 2('G �FB� 2('G �� �FB� 2('G����������)

� B &��F�G B &��F�����F�FB�

2

'GGG B

�����&��F�FB�

2

'GG

:':

Page 127: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ' � 0� ���� �7 B : �� " ��� 5��0� &�F'G � �FB� 2

'G �� ��.��# ' � &��F�FB�

�� GG����� 0�

�����&��F�FB�

�� GG

��� 0� B 0�������&��F�FB�

�� GG�� � � � ��� 7F�G +� ��.� 7 � �: ��� "� ��0� ���� � � &���FB�F�G 2('G1��5

+# ����������� :$$)

&��F�FB����2

'GG B �

,������2�����&��,� F�FB���� FGG

��� ��� ����� �� ���-����1���� ����� �� ���# ��� ���.��� B���� � &��FB����G ��0� ���� � � &

��2����

F�FB���� FGG�

��������� ��� ���0����

� *� B����

�� 5��� ��C���1 ������.��� ���� ���0���� ������0��� �� 0� � &��F�FB� 2('GG �� ��-�0��6�1����� ������� ����

��� ��.� H � � 0� � &��F�FB� 2('GG )

B� B B��4� B B����

���� ��� $ � � � �� :)

8F& �FHG & �F�GG � 8F& �FHG & �FB�GG I 8F&�FB�G &

�F�GG

/�� +# ��C������ �� B��4� H � &��2����

F�FB��4� 2('G 5��0� �.����� ���� )

� � &��2����Æ &��

� �2��4��Æ ������ Æ &��

�����2��4��F�F&�FB�FHGG 2('GG

��������� ��� $ � � � �� :)

& �FHG � &��� ��2��4��

Æ ����� Æ &�������2��4��

F�F&�FB�FHGG 2('GG

:''

Page 128: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���)

&��� ��2��4��

Æ ����� Æ &�������2��4��

F�F&�FB�FHGG 2('GG �F&�FB�FHGG 2('G

����

& �FHG � �F& �FB�FHGG 2('G

���� ��� ��.� �����.��� 5� ���

& �F�G � �F& �FB�F�GG 2('G

���� 8F& �FHG & �F�GG � 2 ��� $ � � � �� : 5��0� ��.��# .���� ����)

8�FH �G B .�8�8F&�FHG & �F�G ) � B $ ����� �� :� � 2

/�� 0� �� F�&2G ��������� ���� H B ���� ���� ���5� ���� ��� ���0���� �� ��-�0��6�1��� �� 5� ���5�� +�����

& �F�G � �F& �FB�F�GG 2('G ��� � B $ ���� �� :����� +# ����� �1/1�1�1 F������. ::>G � *���0� ����)

���&�

�8�F/�$F�GG ���

���

���&��������2� ��6��

�8�F/�$F�GG

���

���

*�

�2������2�����

�8�/�$FB�G

���

���

*�*�

���������

�8�/�$F'G

B "*�

��������

�8�F/�$F'GG

:'=

Page 129: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�)

��. ������

:

�������&�

�8�F/�$F�GG � ��. ������

:

���� "*

���������

�8�F/�$F'GG

B ��. ������

:

���� "* I ��. ���

���

:

����

���������

�8�F/�$F'GG

��5 +# ������� 2� $ ��� ����#��� ������. >> 5� �+���� )

= F& $G � ��.���

���:

����

���������

�8�/�$F'G F<G

/# F>G ��� F<G

��.���

���:

����

���������

�8�/�$F'G � = F& $G � ��.���

��� ����

��������

�8�/�$F'G

���� ������)

= F& $G B ��.���

:

����

���������

�8�/�$F'G

�� ���� 0��0����� ��� �����

������ ��� ��� & ) � � � +� �� ���� ������0� �8������� ��������0���# �������6� .��1� $ , � �

,4F'G���� ��� �����5��� ��� �H��6������)

:1 � ' � � �� � �������0 ����� �� & ��� �� � ������� ��� ������ ���� /�$F'G� /�,F'G B $

'1 ����� �8���� � 0������� * - $ ��0� ���� ��� �6��# ' � � ��� ������� � � $ 5� ��6� �/�$F'G� /�,F'G� �

*

=1 ����� �8���� � � ,4 ��0� ���� $� , B � Æ & � �

:'(

Page 130: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ F=G� F:G ��� ' +� � �������0 ����� �� & 5��� ������ ������)

/�$F'G � /�,F'G B $F'G� ,F'G I $F& F'GG� ,F& F'GG I ����I $F&���F'GG � ,F&���F'GG

B � Æ & F'G� �F'G I � Æ & �F'G � � Æ & F'G I ���I � Æ &�F'G� � Æ &���F'G

B � Æ &�F'G� �F'G B �F'G� �F'G

B $

F'G� F:G4� ����0� ���� +�0���� ' �� �������0 ��� & )

/��$F'G � /��,F'G B "/�$F'G� "/�,F'G

���� +# ����.����� �/�$F'G� /�,F'G� �*

"+# ������� " � 5� ��6�

/�$F'G B /�,F'G

F:G� F'G � �� �..������

F:G� F=G 4� ,��5 ���� & �� ��������6� �� ����� �8���� � ����� ' � � ��0� ���� ��� �6��# ! � $ ��� ��+��

�'� ) � B !! I : ������� ����� �� � 1��� E B $ � ,��� ��C�� � �� ��� ���5��� ��+�� �� ' �1� �� ��� ���

� B �'� ) � B $ : ���� +#)

�F'�G B /�EF'G

����0� ���� ����)

/�EF'G B /�$F'G� /�,F'G

� ' �� �������0 ���� >� ��� �� C���� �� 0����� 1��������� >� ��� B>� ��� B ����� �� ���� 0��� � �� 5��� ��C���

+�0���� �F'�G B $ +# F:G1��5 ������� ' �� ��� �������0 ���� '� �B ' ��� �B � ����� � �� 5��� ��C���

:'?

Page 131: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� �14� 5��� �� ���5 ���� � 0�� +� �8������ �� � �@����� 0��������� .����� �� � B � 1��� '&'� � �

��0� ���� 8F' '�G � 2 ��� 2 �.��� ������ & ���� ' ���� '��� 0�� +� G9�����5�� +# � �������0 ��+��

� ����&����F�G +# ������� ��..� F��������# :$<G 5���� 2 �� ������� �� G �� � 5�� ������� �� G �� ����

0�������#1���0�

��F'�G� �F'G� B �/�EF'G � /EF'G�

BEF'G I ���I EF&���F'GG� �F'G � ��� EF&��F'GG

BEF&F'GG I �����I EF&���F'GG

BEF'G I EF& F'GG I ����I EF&����F'GG

B �/��EF'G�

/�� � �� �������0 5��� ������ �� ���0� +# F:G)

/��EF�G B /��$F'G � /��,F'G B $

����)

��F'�G� �F'G� B �/��EF'G� /��EF�G�

�+���6� ���� ���� +# ��� G������5��� �������# �� ��� ��+�� � ��� &����F�G��� $ � � � �� � :)

8F& �F'G &�F�GG B 8F'�� &

�F�GG � G

�����6��)

8F&��F'G &��F�GG B 8F'� �G � 8F'� 'G I 8F' �G � 2(' I G � 2

:'>

Page 132: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� +# �1/1�1�1 ������. ::> 5� ��� ����)

�/��EF'G� /��EF�G� � JFEG424

� �����0���� 5� ���6�� ���� � �� ������.�# 0��������� �� � 5��0� ����5 �� �� �8���� � 0����������# ��

��/# ��,��� ��.��� 5� ��� ���� ���� �8������� �����C�� ��� ��.� �@����� ����.��� �� � �� �� ����5 ����0�

���� E B $� , B � Æ & � � �� �������&�F& F'�GG B �F'���G B /���EF'G ��� �F'1G B /�EF'G ����)

�F& F'�GG� �F'�G B EF&�F'GG B EF'�G � � �

�����# 5� 0�� �8���� ���� �H�����# �� � +# ��� ��C������ �� � ��� ��� 0��������# �� E ��� ������ $� , B

� Æ & � � �� �

:'<

Page 133: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ (

������������ ������

�� ��� 5���� 0������ & ) � � � 5��� +� �� ����&������0� �8�������& ��������0���# ��������6� .�� �� �

0�.��0� .����0 ���0� F� 8G 5��� 0�������� E # F�

(1: ������0����

��������� ��� ���+�+����# .������ �� � /���� ������+�� �� ���� �� ���� �� +� � 5���� /���� ��� ���

��������� $ �� ����� �8���� = � � ��� * � : ��0� ���� ��� ��� ' � � ��� ��� � � :)

*�� �F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� =�G� *

� �� &���6������ 5��� +� 0����� ��%������ 5���� /�����

����������� ��� ��� ��� � +� 2�++� ������ ����0����� �� ��� .�� & ��� �� � �@����� 0��������� ���������

$ 5��� 0������������ 0�������� =* ��� M) �����0��6��#1���� = B M B = F& $G ��� ��� .������� ���

� ��� �H��6������ 5��� .����� �����9��,��#. ����6���6�� ������.�# +������1

������ ���0� � �� � 0�.��0� .����0 ���0� ����� �8��� '� ��� '� � � ��0� ���� � B������F'� FG����.) ��

�6��# 0�.��0� ��� � � &��� �6��# Æ - $ ��� ��� ��� � � : ����� ������)

F�G � *)� �8�FFM� = G�GF�F�G I ÆG F(1:G

:'A

Page 134: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����� �� ����.)/# ������. => � �� ������� ���� ����� �8���� 2 - $ ��0� ���� �F�F� 2GG � �F�G I �� �����

�� ���5 ���� C8 � � : �� ����� ���� F#�� �2

'��� ��� �6��# : � � � � ��� )

�F�G B �' � &��F'�G ) � � &��� F�F'� FGG �B ��

��5 5� 5��� �� ���6� ����)

� �����

�������

&��� F�F'� FGG �F� 2G

�� ��� C��� ���H�����#)

� B������F'� FG� � B &��F�G B &��F

������F'� FGG B

�����&��F�F'� FGG

��������� ��� ���6���� ���0����� ����.�� 5� ��� ����� B�����&��F�F'� FGG�/# ����������� &

��F�F'� FGG B

����������

&��� F�F'� FGG ��� ��� ���� &��� F�F'� FGG ��� ���-���� ��� ' � &��F'�G���� � � &��F�F'� FGG B

� � ����������

&��� F�F'� FG���5 �� ' � &��F'�G ��� ' (� �F�G �� �� ���� ���� � � &��� F�F'� FGG B � ���0�)

� � &��F�F'� FGG �������

&��� F�F'� FG

���������)

� B � �� B � � F�����&��F�F'� FGGG B

�����F� � &��F�F'� FGGG

�����

�������

&��� F�F'� FGG

��5 ��� B ������

�������

&��� F�F'� FGG ���� �� B : �� � ��� ' � �F�G ��0� ���� B � &��� F�F&�F'G FGG 5����

&�F'G B '� 1/�� +�0���� ' � �F�G �� � � ��0� ���� � � &��� F�F&�F'G FGG ���� +��� &�F�G&&�FBG �

:'%

Page 135: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�F&�F'G FG ��� +# ����������� :$$)

8F&��� F&�FBGG &��� F&�F�GGG � #��'F � 8FB �G � #��'F � 2

���0� B � �F� 2G&��� 5� ��6� ���5� ���������

�������

&��� F�F'� FGG �F� 2G����������)

F�G � F�����

�������

&��� F�F'� FGGG ���

���

�������

F&��� F�F'� FGGG �

� *

�����

�������

�8�F/�$F'G � = � �G F 2�++� �����G

� *�8�M � �

�8�M � �

�����

�������

�8�F/�$F'GG

�8�= � �

B *�8�M � �

�8�= � �

�����

�������

�8�F/�$F'GG

�8�M � �

� * �) � �8�FFM� = G � �G��

���

�������

�F&��� F�F'� FGGG F� 2�++� �����G

���������)

F�G � *��

���

�������

�8�F/�$F'G� =�G F:G

��

F�G � * �) � �8�FFM� = G�G��

���

�������

�F&��� F�F'� FGGG F'G

��5 ����� ��� ��0� ���� ��� ���� &��� F�F'� FG ��� ���-���� ��� ' � �F�G 5� ��� ����)

�������

�F&��� F�F'� FGGG B �F �������

&��� F�F'� FGGG

:=$

Page 136: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���)��

���

�������

�F&��� F�F'� FGGG B

�����

�F �������

&��� F�F'� FGGG ���

���

�F�F� 2GG B � � �F�F� 2GG

���0� +# F'G)

F�G � * �) �8�FFM� = G�G��

���

�������

�F&��� F�F'� FGG �

� * �) �8�FFM� = G�G��F�F� 2GG

� *)� �8�FFM� = G�GF�F�G I ÆG

�80������� ��� ����� �� � ��� 5� ���� ��� ��� ��� � � : ����� ������ ����)

�F�G � *)� �8�FF= �MG�GFF�G I ÆG F(1'G

� 5� ����.� = �B M ��# = � M ��� 5� ����# ��� ���6���� ���H�����# ��� ��� 0�.��0� ��� � ��� ��� ��

5� ��� ���� : B �F�G � $ ��� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����1 �#..����0 ����.��� 5��,� 5��� = - M

����� F(�:G����0� = B M�����0� ���� +# ���������# �� ��� � F(�:G ��� F(�'G 0������� �� +� ���� ��� /����

��+���� �� � ���� 5� 0��0���� ���� � ��� �H��6����� ���

F*)�G�� ��

��� *)�

��5 5� ��� ����� �� ���5 ���� = B = F& $G����0� ���� F�G � *�

���

������

�8�F/�$F'G � =�G F+# :G ���

� B � ��� ����� ��,��� ��� +��� ����� 5� ���)

$ B ���F�G � ���* I ���

�� �����

�������

�8�F/�$F'G� = � �G

��

:=:

Page 137: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

B ���* I ���

������

���

������

�8�/�$F'G

�8�= � �

�����B ���* I ���

�� �����

�������

�8�/�$F'G

��� = � ����0�)

= ����*

�I:

����

�����

�������

�8�/�$F'G F=G

�+���6� ���� &��F'G �� � F� 'EG9��������� ���1� ���� ����0���� ��� B � � &��F'G&B �B � ��� ��� 7� +� ���

�������� ������� ���� �� �H��� ���� �� : ��0� ����)

8F& �FBG & �F�GG �B $

4� ,��5 ���� B � � &��F'G 5��0� �.����� &�FBG B &�F�G ��� ���� �� 0����� �.����� 8F&�FBG &�F�GG B

$���5 ������� 8F& �FBG & �F�GG � 'E ���� +�0���� & �� ������0� �8�������)

8F& F& �FBGG & F& �F�GGG � #8F& �FBG & �F�GG

+�� +# ��C������ �� 7 5� ,��5 ���� 8F& ���FBG & ���F�GG B $ ��� ���� 5� ��� $ � #8F& �FBG & F�GG - $

����� 5� ���0��� � 0�������0���� 1���0�)

8F& �FBG & �F�GG - 'E

�� ���� �.����� ����)

8�FB �G B .�8�8F&�FBG & �F�GG 7 B $ ��� �� :� - 'E

:='

Page 138: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�+���6� ���� �F�G �� � ��+��� �� &��F'G �� ���� F� 'EG����������1�����6�� ��� ��� � � $)

�����

�������

�8�/�$F'G � ��

�������

�8�/�$F'G

5����

�������

�8�/�$F'G �� ��� ������� ��..��� �.���

��� �������

�8�/�$F'G ) � B : ��� �

!"���� +# F=G 5� ��� ����)

= ����*

�I:

����F� �

��������

�8�/�$F'GG�

= ����*

�I��� �

�I:

����

��������

�8�/�$F'G

����*

�I��� �

�I:

����

����������

�8�/�$F'G

��5 +# ������. >> ����� ������� � � 5� 0��0���� ���� = � = F& $G�/�0���� �� 2�++� ����� ��� ���

���� &��� F�F' FGG ��� ���-���� +# ����������� :$$)

���������

�8�F/�$F�GG� =�G � *�

��������

F&��� F�F&�F�G FGGG

B *F ���������

&��� F�F&�F�G FGGG

� *F&��F�GG B *F�G

B *

����) ��������

�8�/�$F�G

�8�F=�G� * �

���������

�8�/�$F�G � * �8�F= � �G�

:==

Page 139: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���F�

��������

�8�/�$F�GG � ���* I = � � F(G

��5 ��6����� +��� ����� �� F(G +# � ��� ����#��� ������. >> 5� ��� ����) = F& $G � =

����������� ��� � $ ��� , ��� �5� ��+�����# �@����� 0��������� ���0�����&��� �����5��� 0��������� ���

�H��6������)

:1 $� , �� 0���.������� �� � 0������� �� ��� ���0� �� +������ ���0�����1

'1 5( B 5,

=1 5( �5, �B �

������ � �� 0���� ���� F'G �.����� F=G1� ����� �� ���6� F:G � F'G 5� ������ �+���6� ���� $ � ,

0���.������� �� � 0������� �� ��� ���0� �� +������ ���0����� .���� ���� ����� �8��� ��.� 0������� * ���

��.� +������ ���0���� � ��0� ����)

$� , � * B � Æ & � �

���� �.����� ����)

/�$� /�, � �* B � Æ &��� � �

��5 +�0���� � �� +������ +# ��� ��C������ �� 2�++� ����� 5� 5��� ��� 5( � 5, ��� 5, � 5(�� ����� ��

���5 ���� ����0� ���� �1 � � �1���0�)

/�, I �* � '1 � /�$ � /�, I �* I '1 �

�8�F/�, I �F* � = G� '1G � �8�F/�$� = � �G � �8�F/�, I �F* � = G I '1G

��5 ������� ���� � 5(����)

*�� �F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� =�G� *

:=(

Page 140: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��.+����� ��� �+�6� ���H�������� 5� ���)

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G � �F= � *GG �8� '1�

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� =�G� * �

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G � �F= � *GG� * �8� '1

��)

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G � �F= � *GG �8�F�'1G�

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� =�G� *�� �

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G � �F= � *GG� *�� �8�F�'1G

���������)

*�� �8�F�'1G �F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G � �F= � *GG� * �8� '1

4��0� .���� ���� � 55 ����5��� ���� 5, � 5( �� ������0��1

F=G � F:G������� ���� F=G �� �����C�� ��� � 5( � 5, ���� +# ��� ��C������ �� 2�++� ����� 5� ����6�

���� �** 0�������� ��0� ����)

*�� �F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� = F$G�G� *

���

*���F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�,F'G� = F,G�G� *

��6����� ����� �5� ���H�������� 5� ��� ���� ��� ��.� 0������� ) B * � *�� ' � � � � � )

)�� � �8�F/�$F'G � = F$G�� F/�,F'G � = F,G�GG � )

:=?

Page 141: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� ����#��� ��������.� �� ��� �+�6� ���H�������� 5� ��6� ����)

� ���) � /�$F'G � �= F$G� F/�,F'G� �= F,GG � ���)

�����# ���� �.����� ����)

�/�F$� = GF'G � /�F, � = GF'G� � ���)

�����H�����# +# ������. :': $�= F$G ��� ,�= F,G ��� 0���.��������1���0� ����� �8���� ��.� +������

���0���� � ��0� ����)

$� = F$G� F, � = F,GG B � Æ & � � B�

$� , � F= F$G� = F,GG B � Æ & � �

���� $� , �� 0���.������� �� � 0������� ��� ��� ����� �� 0�.�����

����������� ��� ���+�+����# & 9��6������ 2�++� ����� �� �� �H�����+���. ����� ��� & ��� $�

������ �������� �� ��+����# C���� ��������� % ���� /���� ���� �� ���.���� ���� ���� ��F� FG1����

' � � )

&��� �F& �F'G FG � %�F'G

� ���� ����0���� ���

%� B�#���% B % # &��% # ����&��%

��� ��� ��.� � � %�F'G B %F'G # &��%F'G # ������ # &��% F'G���� � =� �� =� ���.���� �� % ��0� ����

' � � =� �&��=�� ���� �&��= � ��� ��� F=�G � F � B $ ����� ������ & �F�G � �F& �F'G FG ��� � B $ ����� �

:=>

Page 142: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ���� ��.��# .���� ���� � � &��� �F& �F'G FGG ��� %�F'G &��� �F& �F'G FGG����0�)

F&��� �F& �F'G FGG � F%�F'GG F:G

/# ��� �������9 �0������ 9 /���.�� ������.&

��F& = G B

���.���

:

�9F%�G� B

���.F����

:

����F%�F'GG� �

���.���

:

�F� ���F&��� �F& �F'G FGG�

/# F:G �� ����������� :'=&��� ��0� ���� �� � 2�++� ����� ��� +�0���� � ��� �� � ��0������� ���0����)

� ���F&��� �F& �F'G FGG � � ��� �8�F/�$F'G� �= F& $GG �8�*

���0�

��F& = G �

���.���

:

�F� ���F&��� �F& �F'G FGG�

���.���

:

�F� ��� �8�F/�$F'G � �= F& $GG I ��� �8�*G�

B

���.���

:

�F� ��� �8�F/�$F'G � �= F& $GGG�I

���.���

*

��

B

���.���

:

�F� ��� �8�F/�$F'G � �= F& $GGG�

B

���.���

:

�F�= F& $GG� /�$F'GG�

B

���.���

= F& $GG��

���.���

/�$F'G

��

B = F& $G� ��.���

�/�$F'G

��

B = F& $G� ��.���

�$�

B = F& $G�

�$�

���� ��F& = G��$� � = F& $G 5��0� ��.��# �.����� �� �� �H�����+���. ����� ��� & ��� $

:=<

Page 143: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

(1' ������9 ��+����� �������� ��� �� ���-�����

��������� ��� ��� & +� � �.������+�� .��& � .������ 5��� +� 0����� #��� ��� 6�������������� 5���

�����0� �� & ��)

&�F G B Æ &�� �

���� �� �� +�0,5��� H����9��6������ 5��� �����0� �� & &+# ��� �����9��,��#. ������. :1:' ��� �6��#

.������+�� ��� � � 5� ��6�

F&��F�GG B

��

J� 5���� J B�F Æ &��G

��� ��� � &�� ��� �9+���0��� �� � +��� �F' FG .������ ��� +��� ���� 4��������47 5� ��6� ����)

J B

7����

J� 5���� J� B�F Æ F& � 4�G��

��� ��� ��� � ��� +�0,5��� H����9��6������ 5��� �����0� �� & 1����)

�F&�G

� B

7����

FF�(� G Æ F& � 4�G��GJ�

������ ��� � +� � .������+�� ��+��� �� � ���� ��� 7 B : �� � F& � 4�G��F�G ��� ���-���� ��� &��F�G B

7����F& � 4�G��F�G)

&�F�G B F&��F�GG B7�

���

FF& � 47G��F�GG B7�

���

��

� Æ F& � 4�G��

� �

B

7����

��

� Æ F& � 4�G��

� Æ F& � 4�G��� Æ F& � 47G��

� � B

��

7����

� Æ F& � 47G�� ÆJ��

:=A

Page 144: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� ���� �.����� ����)

�& �

�F'G B

7����

� Æ F& � 47G��F'GJ�F'G ' � �

5��0� C������ ��� �����

����������� ��� ��� NFBG B�F Æ F& � 47G��G

� F& FBGG �1� N B J� Æ & ��� B � 4� ���� ������ ��������

0 ) ��F G� ��F G

0F�GF'G B�

��������

�F'GNF'G

��� ��� �����5��� 6��# �.������� �������#)

0F�

� G B

�F& 1 G

��� ��� .������� �+�������# 0��������� 5��� �����0� �� 1

������

0F�

� GF'G B

���������

� F'G�F Æ F& � 47G��G

� & F'G

B�

��������

� F'G�F Æ F& � 47G��G

� F'G

B7�

���

� F& � 47G��F'GJ�F'G

B�F& 1 G

� F'G F+# ��..� :'AG

�� ���� 0��0����� ��� �����

��������� ��� ��� F�� G +� � ���+�+����# .������ ���0� ��� ��� � ) � � � +� �� �������+�� ���0����

:=%

Page 145: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����&��� � � � & ��� ���+�+����# .������ B � 5��� +� ��C��� +#)

F�G B

��

��

� ���� 0��� �� �� 0���� �����

� B ��

����������� ��� ���+�+����# .������ B � � � $ �� & 9��6������ �7 0F�G B �

������ ���� ������� ���� �� ��6������ �1� Æ &�� B ����� �.����� ����)

� B� Æ &��

/�� B � ���0�)

� B��

� B �

����)

� Æ &��

� B �

��5 ����� ��� �������# �� 0 ������� ��6�6���6���

� �� ��6�6���6��

� Æ &��

� 5� ��� ����

0F�G B 0F�

� G B

� Æ &��

� B �

�� ��� ����� ����0���� ������� 0F�G B � ��� +# ����� 5��� ,��5� ���������� F��.��, :A F=GG �� ���

�����9��,��#. ��6�6���6�� 5� ���)

� Æ &��

�B� Æ &��

� ��

�F:G

:($

Page 146: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� 0F�G B � �.����� ���� 0F�

� G B 0F�G B � ��� �� �� ��� ���6���� ����0����

��N�

� Æ &��

� ����0�

� Æ &��

� B � F'G

��� �� �� 0���� ���� F/# �������# F�G ����� ������. :1:'G ����)

�B

:7�7

B:

�F=G

�� C����# +# F:G&F'G ��� F=G 5� ���)

� Æ &��

�B �

:

�B :� B Æ &��

���� �� & 9��6������

��������� ��� ��� ������ 9�#����� ������ 0( ) ��F G� ��F G 5��� +� ��C��� ��)

0(F�GF'G B�

��������

�F'G �8�F$F'GG

��� ���0���� $ 5��� +� 0����� ��� ������� ���0����

��� ��� � 5� 0�������0( �0���� �� ��� /���0� ���0� �� 0��������� ���0����� �1� 0( ) *F�G� *F�G��

� 0��������� ������ ��������1�� ���. �� �H��� �� ������

��������

�8�F$F'GG B ���0(F�G4� 0�� 0������� ���

0��-����� �������� 0�( ) *�F�G� *�F�G �� ��� ����� �� ��� ����* �������������� ������. &�1� ��� 0��-�����

�������� ��������.� .������� ���� .������� ���� ��� � � *F�G)

0�(FGF�G B F0(F�GG B

�0(F�G�

:(:

Page 147: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��� �� �6��# � *�F�G F�� ��� ����� �� ��� ����* �������������� ������.G ��� �6��# /���� ���

� � �� 5��0� & �� ��-�0��6�)

0�(FGF�G B

�� ���

�8�$F&�� ��G�

������ � �� ��Æ0���� �� ���6� ���� ��� � �F' �G 5��� ��# ' � � ��� � ��0� ���� & �� ��-�0��6� ��

�F' '�G1�������� ��� 0����0�������0 ���0���� 2� ��� ��� F��G � � � +� � ��H���0� �� ������.�# +������

0��������� ���0����� 5��� ������� �� � B �F' '�G ��0� ���� �� � 2�F�����5��� 0��6�����0�G���� � � � )

����F0

�(FGG B 0

�(FGF��G B F0(F��GG B

�0(F��G�

��)

0(F��GF'G B�

��������

��F'G �8�$F'G

/�0���� & �� ��-�0��6� �� � ��� ' � & F�GM�&��F'G � �� B :�� �������� ��� ������� �� �� ���� �� � ����

�� Æ &�� .���� ��,� ���9*��� 6����� ���# �� & F�G1���0�

���������

��F'G �8�$F'G B ��F&����F'GG �8� $F&

����F'GG B �� � �8�$F&����GF'G

����)

0(F��GF'G B �� � �8�$F&����GF'G

� ���� ����� 5� ��� ����� ���� ��� ���# +���0� �� &��.������ & F�G �� ��� ������� �� � �� ��� ��� �������

& F�G �� �1���� ����� 0�..���� 5� ���

0�(FGF��G B

�0(F��G� B

��� � �8�$F&

�� ��G� B

�� ���

�� � �8�$F&�� ��G�

:('

Page 148: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������� 5��� �� �� ��� ��.�� 2� ��� ����� ��+����� ��.������ 0��6�����0� ������.F������. :?G 5� �+����

0�(FGF2�G B

�2��F0

�(FG B 0

�(FGF�G B

�� ���

2� �8�$F&�� ��G� B

�� ���

�8�$F&�� ��G�

�� ���� C������ ��� �����

��������� ��� .������+�� ���0���� � ) � � � �� 0����� ��� :��#��� F�� ��� ������ "�0�+���G �� �

.�� & ) � � � 5��� �����0� �� � .������ �� ��� �6��# /���� ��� � � �� 5��0� & �� ��-�0��6�

F& F�GG B

��

��

��������� ��� ��� +� +�0,5��� H����9 ��6������ .������&� ) � � D$G 5��� +� 0����� ���" ��������

�� ����� �8���� � /���� ��� � � ��0� ���� F�G B $ ��� ��� �6��# /���� ��� � � �� 5��0� & �� ��-�0��6�

F�G B

�� ���

:

� Æ F& ��G���

���!!��" ��� � � ���+�+����# .������ �����C�� 0�(FG B � ���� � �8�F�$G �� ��� "�0�+��� �� & 5���

�����0� �� �

������ ��� � +� � +���� ��+��� �� � �� 5��0� & �� ��-�0��6�1/# ��..� :=(1

�F�G B 0�(FGF�G B

�� ���

�8�F$ Æ F& ��G��G�

���0�)

F�G B

�� ���

:

� �8�F�$ Æ F& ��G��G�

���� � � �8�F�$G �� ��� 5��, -�0�+��� �� & & ��� +�0���� �8�$ � $ � �� ��� ������ "�0�+���

:(=

Page 149: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ��� ��� & ) � � � +� �� ���� ������0� �8������� .�� �� � 0�.��0� .����0 � ��� ���

$ ) � � � +� 0���������1���� ����� �8���� � ���+�+����# .������ B ( ��� � 0������� � - $ ��0� ����

0�(F G B � ���� ���0���� � �8�F�$G �� ��� ������ "�0�+��� ��� & 5��� �����0� �� ��� .������ 1

������ �������� ��� .�� �FG B ������������� �� ��� 0��6�8 ��� 1F�G ����5�� 5��� ��� 5��, �������#1���

��������.����� � �� 0��������� �� ���� �������# ���0� +# ������. ($ �,� �.����� ����)

� � *F�G 0�F�GF�G B �F0F�GG,� F0F�G B 0�FGF�G�

4� ���� ,��5 F+# ������. ((G ���� 1F�G �� 0�.��0� �� ��� 5��, �������# ��� ����� ����� �0������

9�#0����7 C8�� ����� ������. F���D'EG 5� 0�� C�� �1F�G ��0� ���� �F G B ����0�)

0�F G B � ��� � B 0�F GF�G

��� +# ��� ���6���� ��������# ��� "�0�+��� �� & �� �H��� �� � �8�F�$G

������ ��� ��� & ) � � � +� �� ����& ������0� �8������� .�� �� � 0�.��0� .����0 ���0� � ��� �

"�0�+��� � 5��� �����0� �� � ���+�+����# .������ �8����& ���� ��� �6��# /���� ��� �

:

��

�� � F& F�GG �

��

��

5���� � �� ��� ������ �� & F� )B ������ M&��F�'�GG�� �����0���� �� F�G B $ ���� F& F�GG B $�

������ ��� � +� � +���� ��+��� �� � &��� ��� ��������+� � C���� +���� ��������� �� � ��0� ���� ���

���.����� �� �� ��� �� �.��� ���� & ��� �� ��-�0��6� ��� � B : ���� �����0�

F& F�GG B F�����& F��GG �

�����

F& F��G B�����

���

�� B

��

�� F:G

:((

Page 150: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� ��� ����� ���� 5� ������ ����0� ���� ��� - �����& F��� G B $ - � ��� : � �� � ��/�0���� �� �����

5�� ' �����& F��� G ���� &

��F'G � ��� �B $ ��� 7 B : ���� ��� +�0���� ��� ����5��� ���-���� ���� 5����

�.��# ���� M�&��F'G

�- ������ ��.��# .���� ���� �� L ���0�L ��

�����& F��G 5��� +� .������ .��� ���� �

��.��&����)�����

F& F��GG � � � F�����& F��GG

���0�)

F& F�GG B F�����& F��GG �

:

�����

F& F��GG B:

�����

���

�� B:

��

�� F'G

/# F:G ��� F'G 5� ��� ����) �7�� �� � F& F�GG �

�� ��

����������� ��� ��� .������ �� ������6� �� ���9 �.��# ���� ����1�����6�� ��� �6��# � - $ ����� �8����

H B HF�G - $ ��0� ���� ' � � F�F' �GG � H

������ /�0���� & �� ��������6� ����� �8���� � � $ ��0� ���������& �F4G B �F �� ��� ����� ��� D:$EG����0�

+# ��� ���6���� ������. F4G B $ 5���� �.��# ����)

: B F�G B F�����& �F4GG �

�����

F& �F4GG B $

/�0���� F4G B $ �.����� F& F4GG B $ ��� �� ��1���0� 5� ��6� ���0��� � 0�������0����1���� �� ������6�

�� ���9 �.��# ���� ����1��5 ��� ��F'� �('G���� +� � 0�6�� �� � F� 0�.��0�G ��� ���)

1 B .������

� F�F'� �('GG�

�+���6� ���� ' � � �7 � �: ��� � ��0� ���� ' � �F'� �('G���� �� � � �F'� �('G)

8F� 'G � 8F� '�G I 8F'� 'G ��

'I�

'B �

:(?

Page 151: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� � � �F' �G����������)

�F'� �

'G �F' �G � F�F'�

'GG � F�F' �GG

���� 5� 0�� 0����� HF�G B1

������ ��� ��� .������ �� � 2�++� ����� �� $ ��� ��� � B = F& &$G

������ � ����� �� ���6� ���� ������. 5� ��� ����� �� ��� ��� �����5��� 1 �� �6��# ' � � ��� �6��#

������� � � $ )

F�F' FGG B

����������������3��

�� �8�F�/�$G�

��� � +� � ��+��� �� �F&�F'G FG 0��������� &�F'G�����)

F�G

F&��� F�GGB

F�G

F&��� Æ &��� ��� Æ ������ Æ &���������F�GG

B

B F�G

F&���������F�GG�

F&���������F�GG

F&��������� Æ &���������F�GG

� F&��������� Æ &

���������F�GG

F&��������� Æ &��������� Æ &

���������F�GG

� ����

����� � F&��� ��� Æ ������ Æ &

���������F�G

F&��� Æ &��� ��� Æ ������ Æ &���������F�GG

��� ����0� ���� ��� : � 7 � �� : )

F&��������� Æ ������ Æ &���������F�GG B F& F&

�������������

Æ ������ Æ &���������F�GGG

:(>

Page 152: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/�� +�0���� &�������������

Æ ������ Æ &���������F�G �F&�������F'G FG ��� & ���������������3� �� ��-�0��6� F& ��

������0� �8�������G 5� ��� ����)

F& F&�������������

Æ ������ Æ &���������F�GGG B

���������������

����������������

���

���(�2�� FBG

���� )

F�G

F&��� F�GGB

�����������

����

���(�

F&���������F�GG�

�����������

����������

���

���(�

F&��������� Æ &���������F�GG

� ��� �

�����

���(�

F&��F'GF�GG

� 5� �����, � �� &�F'G 5� ���)

� Æ &�

� F'G B ���(��

������� � ���(��������� � ��� � ���(��� B ����'�(���

����)

����� ���������3��

� Æ &�

� � B

����� ���������3��

����'�(� �

F�F&�F'G FGG B

����� ���������3��

����'�(� F(1=G

��� � � &��� F�F&�F'G FGG ���0� +# F�1/1�1�1 1G ������. ::> � *� 0������� ��0� ����)

/�$F'G � *� � /�$F�G � *� I /�$F'G

:(<

Page 153: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0� ��� ��.� 0������� *)

�����'�(��� � ��'�(��� � ������'�(��� �

*����'�(��� � ��'�(��� � *��'�(���

����) ����� ���������3��

����'�(� � �� �8�F�/�$F'GG* F&��� F�F&�F'G FGGG F:G

���) ����� ���������3��

����'�(� � �� �8�F�/�$F'GG*�� F&��� F�F&�F'G FGGG F'G

��5 +# F:G ��� F'G)

: � F�F&�F'G FGG B

����� ���������3��

����'�(� �� *���� �8�F�/�$F'GG F&��� F�F&�F'G FGGG F=G

/# F:G ��� ����������� (1:<)

HFFG � F�F&�F'G FGG � *�� �8�F�/�$F'GG F&��� F�F&�F'G FGGG F(G

/# F=G 5� ��� )

* � �� �8�F�/�$F'GG � F&��� F�F&�F'G FGGG

��� +# F(G 5� ���)

�� �8�F�/�$F'GG � F&��� F�F&�F'G FGGG � HFFG*��

:(A

Page 154: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

����)

HFFG*�� ��� F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'GG� * �

HFFG*�� � F&��� F�F&�F'G FGGG���� �

�8�F/�$F'GG� * �

HFFG*�� � F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'GG �8�F�� ��� �G� * �

HFFG*�� � F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G� � ��� �G� *

���0� �� � 2�++� ����� ��� ��� � B = F& $G +# ����������� (1'1/# ��� �+�6� ����� �� �� ���� 0���� ���� ���

"�0�+��� ��� &� �� �� �8�F�/�$G

��� ��� ����0� ����)

0�(F�GF'G B 0(F0(F�GF'GG B

B�

��������

0(F�GF'G �8�$F'G

B�

��������

���������

�F'G �8�$F'G �8�$F'G

B�

��������

���������

�F'G �8�$F'G �8�$F& F'GG

B�

��������

���������

�F'G �8�/�$F'GG B�

��������

�F�G �8�/�$F�G

/# � ��.��� ����0��6� ����.��� 5� ����0� ����)

0�(F�GF'G B�

��������

�F'G �8�/�$F'G

:(%

Page 155: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���� 0�(F�GF'G B

��������

�8�/�$F'G ��� =1' ���������� ��&

*�� �0�F�GF'G

0�F�GF'G� * ' � � � F(1(G

��5 �� B �� F�G ���)

F0�G�F GF�G B

� ���� �� �F0�GÆF0�GÆ��������� Æ F0�GF GF�G B

B

��� ���� �� �F0�GÆ��������F0�G Æ � F�G B�� F�G

���� �����5� +�0���� 0� �� � ������ �������� ���� 0� Æ0�F GF�G B0�� F�G B�0�F GF�G B �� F�GG� ��. ���

�+�6� 5� ���)

��BF0�G�F GF�G F:G

��� 0� Æ 0�F GF�GG B0�F GF0F�GG B 0F0F�GG B 0�F�G 5��0� �.����� ����)

F0�G�F GF�G B F0�F�GG F'G

/# F:G ��� F'G 5� ��� ���� �� B F0�F�GG���� �.����� ����)

��� �� B ��� F0�F�GG� ��� �B:

���� F0�F�GG

�� +# F(�(G)

F0�F�GG B

�0�F�GF�G� � � *

�0�F�GF'G� � B *0

�F�GF'G

���� )

��� � B ��.���

:

���� F0�F�GG � ��.

���

:

����* I ��.

���

:

����0�F�GF'G B = F& $G

:?$

Page 156: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���)

��� � B ��.���

:

���� F0�F�GF'GG � ��.

���

:

����*�� I ��.

���

:

����0�F�GF'G B= F& $G

���0�&���� 5�� � ��.��� ����0� 5�# �� 0��0���� ���� = F& &$G B ��� �

������ ��� � & �� ��������0���# �8�0�&�1� ��� �6��# ���� ��� 4 ����� �8���� ��.� � - $ ��0� ����

&�F4G B ����� ��� � �� ������6� .������ F&�F�GG� : �� ���

������ ��� � +� �� ��+�����# /���� ��� 5��� F�G - $+# ���������# �� 5� 0�� C�� � 0�.��0� ���

� � ��0� ���� F�G - $� �8 2 - $ ��� �8�0��# �� �� ����������� :'= ��� �6��# � ����� ������ 5� 0��

C�� ���� )� �� ��� ���. &��� F�F'� FGG ' � �F�G � B : ���� � ��0� ����)

F��)�G � F�G I 2

��� � ��)� ���� F4�)� ��G � 2� ���0� ��� .�������0��# �� ��� 0�6����� �� �� .��� � �� �� �����������

(1:> ��

F)� ��G � � � F��F)� ��GG � � � 2 F:G

��

F�G � F��)�G ���

F)�G F'G

/# F:G ��� F'G 5� ���) � F)� ��G� F)�G

�� � 2

F�G

���0� � ) B )� B &��� F�G � B �F'� FG ��� : � � � � ��0� ����)

F) ��G

F)G�

�2

F�G

:?:

Page 157: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����5��� �� � F)� ��G -�2

F�G F)�G 5� ���)

��

F)� ��G -�2

F�G

��

F)�G B�

� F)� ��G� F)�G

���

F�G

�� ���� �� � 0�������0����1/# ��� ����� �� ������. :(: �� �8�F�/�$G �� ��� ������ "�0�+��� ��� &�&����

&� �� ��-�0��6� �� ) B &��� F�G ����)

F&�F) ��GG B F&�F)G � &�F�GG B F� � &�F�GG B

�8��

�� �8�F�/�$G�

��)

F&�F)GG B F�G B

�8

�� �8�F�/�$G�

���0�)

F� � &�F�GG � F� � &�F�GG

F�GB

�8��

�� �8�F�/�$F'G� ��8�� �8�F�/�$F'G� �

/�� +# �1/1�1�1 ������. ::>)

*����'�(��� � ��'�(��� � *��'�(��� B�

F� � &�F�GG �* � �� � ��'�(��� F) ��G

*������'�(��� F)GB *� F) ��G

F)G� *� �2

F�G

/# ��������0�� �8�0����� �� & �! � $ ��0� ���� 7 &�F�F'� FGG B � ��� �� �����0���� &�F�G B ����5 +#

������. :=%)

F� � &�F&�F�GG B F&�F�G � &�F&�F�GG

:?'

Page 158: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

B F&�F� � &�F�GGG

B

��������

����

B

��������

�� �8�F�/�$G�

B ����������

��(��(� ����(����

B ����������

:

�(�

:

�(� �� ������ �

:

�(�����

� ����������

:

��� �(� ������ �

:

��� �(�

� �� F��� �(G�� F� � &�F�GG

� �� F��� �(G��*��2

F�G

��5 ������� 2� $ 5� �+���� F� � &�F&�F�GGG� $ �� �����0� ��.���F&���F�GG� :

������ ��� � & �� ��������0���# ��������6�&����&������0� �8������� .��&���� ��� �6��# �@����� ���������

$&��0� 0������������ 2�++� .������ �� ������01

������ /# FD:$E������. =1=1( ��� ������. =1=1%G����� �8���� � ������6� ������� � ��0� ���� &� ��

��������0���# .�8��� �� � &� 9��6������ 0�����9����9 ��� + � &5���� ������������& �F+ G B � ��� &� �9

+���� ���� �� ���� �8������� .��&�� �8�0� �� ��� .������9��������0 ����� +# F �� ��� ����� ��� D:$E ������.�

=1=1(&=1=% ��� =1<G1���0� �� F�G - $ ���� ��� �6��# 7 B $ ���� ! 5� ��6� F&��& F�G� F& �F+ GG���0�

F����&�F�GG� :� �� � +���� & 9��6������ ���� #����� F�G B :����� �.����� ������0��#1

������ ��� � & �� � ��������0���# �����0��6�&����&������0� �8������� .�� ���� �@����� ���������

$����� �� �� .��� ��� 0������������ ��6������ 2�++� .������1

������ ������� ��� ��� 0������# ���� ����� �8��� ��6������ 2�++� ������ � ��� ��.� �@����� ���������

$�1� � � 5(����� �� �� 0���� +# ��� ����� �� ����������� (1' ���� � %����� +# ������. (1'$ � ���

.��� +� ������0 & � ��%������ +�� +# ������. :1'= +�0���� � % ����� �� �� ����� 0���0� +�� B � �

:?=

Page 159: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

(1= �8�����0� �� 2�++� ������

��� ��� �������� ��� �������� 0( ��� $ B $� = F& $G&���� � � *F'G ' � � )

0(F�GF'G B�

��������

�F'G �8�$F'G B�

��������

�F'G�(����+ ���(� B ��+ ���(�0(F�GF'G

���0�

0( B ��+ ���(�0( F:G

��� ��� ��� +�0���� 0�(F G B �+ �(� ��� 0�

(3 ��+ ���(�0�( 5� ��� ����)

0�(F G B F'G

���� �� � C8�� ����� ��� ���� ��������1���0� � � *F�G

F�G B 0�(F GF�G B�

��� B

���F0�

(F GG B

�0(F�G� F=G

:?(

Page 160: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ��� �� C8�� $ 5� 5��� ������ 0( +# 0�����������)

0�� F�GF'G B�

��������

�F'G �8�F/�$F'GG

B�

��������

�F'G �8�/�F$F'G� = F& $GG

B�

��������

�F'G �8�F$F'G� = F& $G I $ Æ & F'G� = F& $G I ��

��I $ Æ &���F'G� = F& $GG

B�

��������

�F'G �8�/�F$F'G� �= F& $GG

B�

��������

�F'G���+ ���(�/�F$F'GG

B ���+ ���(�0�(F�GF'G

����)

0�� 3 ���+ ���(�0�( F(G

��5 �� �� 0���� +# F(�(G ����)

*�� �0�� F�GF'G

0�� F�GF�G� * ' � � � F?G

���� �.����� ���� � � � )

*��0�� F�GF�G � 0�� F�GF'G � *0�� F�GF�G��

*��0�� F�GF�G� � �

��

0�� F�GF'G� � �

��

*0�� F�GF�G� � �

*��0�� F�GF�G �

�0�� F�GF'G� � � *0

�� F�GF�G�

���0�� F�G �

�0�� F�GF'G� � ��� ���0�� F�G �*

��

�0�� F�G� �

:??

Page 161: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

/��)

F0�� G�F G B ���+ ���(�F0�G�F G B F��+ ���(�G��� B

���� 5��� � ��.���� ����.��� �� �� F=G

��� B

�0�� F�G� � � *F�G F>G

�� ���� �.����� ����&: B��� B

�0�� F�G� ���0�)

*�� � ��� 0�� F�G � ���0�� F�G �* F<G

��� ��� ��5 ��� ' � � � ��0� ���� ' � �F� FG

0�� F�GF'G

0�� F�GF�GB���+ ���(�0�F�GF'G

���+ ���(�0�F�GF�GB

�������� �8�/�$F'G�������� �8�/�$F�G

FAG

/�� ��� ��F'G B &��� F�G)

�������� �8�/�$F'G�������� �8�/�$F�G

� �����������

�8�/�$F'G

�8�/�$F��F'GGF%G

/�0���� �� ' � &��F'G ��'�(�����'�(�������

��

�������� ��'�(������������ ��'�(���

����)

�8�/�$F'G �

��������

�8�/�$F'G��������

�8�/�$F�G�8�/�$F��F'GG

:?>

Page 162: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��..��� +��� ����� ��� ' � &��F'G 5� ��� )

���������

�8�/�$F'G �

��������

�8�/�$F'G

��������

�8�/�$F��F'G��������

�8�/�$F�G

�� ���� �.����� ����)

: �

��������

�8�/�$F��F'G��������

�8�/�$F�G

���� �� � 0�������0���� +�0����)

���������

�8�/�$F�G ��

��������

�8�/�$F��F'GG

���� +# FAG&F%G ���)

0�� F�GF'G

0�� F�GF�G� ���

��������

�8�/�$F'G

�8�/�$F��F'GB ���

��������

�8�F/�$F'G� /�$F��F'GG F:$G

����0� ���� ��F'G B &��� F�G � &��� F�F' FGG +�0���� � � �F' FG�/�� ' B &�F'G ���� ' ��F'G � &

��� �F&�F'G FGG���5

+# ��.��,::<)

/�$F'G� /�$F��F'G �J4F$G

:� #� 8F&�F'G &�F��F'GGG

4 BJ4F$G

:� #� 8F' �G4

��� *� B:��(���$��

��� F:$G 0�� +� ��5������ ��)

0�� F�GF'G

0�� F�GF�G� �8�F*�8F' �G

4G F::G

:?<

Page 163: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�)

�0�� F�GF'G�0�� F�GF�G� B

0�� F�GF'G0�� F�GF�G� :

0�� F�GF�G � * ��8�F*�8F' �G4G� :�

B * ��8�F*�8F' �G4G� �8� $�

�+���6� ���� ' � � � �1 � � ��0� ���� *�8F' �G4 �1 +�0���� � �� 0�.��0�1���� F��G� B �� � �/ B

*�����������)

B � � D$1 E B� ��2 � �,� � *� �B � �� �

* ��8�F*�8F' �G4G� �8� $� � * � *�*�8F' �G

4 B *8F' �G4

���� 0�� F�G �� � �@����� 0���������&�1�)

�0�� F�GF'G�0�� F�GF�G� � -8F' �G

4 F:'G

����������� ��� ����� �8���� � ������6� ���0���� �( � ,4F'G ��0� ���� 0�F�(G B �( �����(� B :�

������ /# F:'G ��� F<G 0�� F�G ��6� ������.�# +������ ���.� �� ��� �@����� ���0� ,4F'G����� ���� F<G

�.����� ���� �0�� F�G�� � * ��� F::'G �.����� ���� I4F0�� F�GG � * ���� �0�� F�G���

������.�# +������1���0�

+# �*���9 �0��� ������. ��� ��H���0�)

�� B:

�������

0��F�G � � �

:?A

Page 164: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� � 0��6������ ��+��H���0�1���� 5������ ���� �� ���������# 5� 0�� ����.� ���� ����� �8��� ��.� ���0����

�( ��0� ���� �� � �(�/# ������. =1:% �( � ,4F'G�� �� ���� 0���� ���� +# F<G) *�� � �

������0��F�G �* �

*�� � �( � *

���������

0�F�(G B 0�F ��.���

��G B ��.���

0�F��G B ��.���

0�F:

�������

0��F�GG

B ��.���

:

�0�F

�������

0��F�GG B ��.���

:

�F

�����

0��F�GG B�(

�����#)

��(� B ��.

���

���� B ��.

���

:

�������

�0��F�G�

B ��.���

:

�� �

��� B :

�� ���� 0��0����� ��� �����

��� ��� �� ���+�+����# .������

0� 3 0

������ ��� �������� 0 5�� ��C��� ��)

0F�GF'G B�

��������

�F'GNF'G

:?%

Page 165: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

5���� NFBG B�F Æ F& � 4 G��G

� F& FBGG ��� B � 4� ��� 4� ���� 47 ��� ��� +���0��� �� &

���� ��� +���

�F' FG1�� ��� ����� ����)

0�F�GF'G B�

��������

�F'G�(����+ ���(�

���0� �� ����� �� ���6� ���� 0� 3 0 �� ��Æ0�� �� ���5 ����)

NF'G B �(����+ ���(� ' � � ' � &��F'G

��� ������� ���� ' � 47 ��� ��.� 7 � �: ���� �� ���� F4�G B

�� �!� �

:

� Æ F& � 4�G��� +�� ��� ������

"�0�+��� �� & 5��� �����0� �� ��� .������ �� �+ ���(��( ���� +�0���� & �� ��-�0��6� �� F& � 4�G��F�GG&5����

� �F' FG�

FF& � 4�G��F�GG B

�� ��� �!��������

:

�� �������ÆF& � 4�G���

���0� ��� B � & F4�G)

� Æ F& � 4�G��

� FBG B

:

�� �������ÆF& � 4�G��FBG

���������)

� Æ F& � 4�G��

� F& F'GG B

:

�+ ���(��(����

NF'G B �(����+ ���(�

�� ���� 0��0����� ��� �����

��� ��� !� �������� &0& 4���� &;& ��� �������� &;/ ��� ������� �( �� & � ��������� #������

0F�(GB0�F�(GB�(

��� ��� ��� .������ �( �� � 2�++� �����1

:>$

Page 166: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ��� ���0���� �( ) � � � �� +������ ��� ������6� ���� �1 - $ ��0� ���� 1�� � �( �

1����������)

1�� F&��� F�F&�F'G FGGG �

����� ���������3��

�(� �1 F&��� F�F&�F'G FGGG�

1�� F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G � = � �G�

�( F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G � = � �G�1

F&��� F�F&�F'G FGGG

�8�F/�$F'G � = � �G

/�� �� � 2�++� ����� ����

1��*�� ��( F&

��� F�F&�F'G FGG

�8�F/�$F'G � = � �G�1*

��������� �� �� 0���� ���� �( �� � 2�++� �����

!� ������ &<&.������ &<;.4���� &;& ��� 4���� &;( � ������ ����)

������ ��� �� �6��# �@����� 0��������� ���0���� $ ) � � � � � ���H�� ��6������ 2�++� ����� ����0�����

�� & ��� $ ��.��# ( B �( (

:>:

Page 167: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ ?

����� �� �� �������

� ���� 0������ � 6��# �.������� ���.����0 �����0����� �� ��������0�� �������� �� ���5�1� 0������ 0����

�������� �� ���� �� 0��0����� �������7 ��.������1

?1: 2��.����0 ������� �����#

� ���� ��0���� 5� ��� ����� �� ����� 6��# +���O# ��.� .��� ��C������� ��� � ��5 ������.� ���. ��� 6��#

+���� C��� �� ���.����0 .������ �����#1��� ������.� 5��� +� ������ 5������ ����� +�0���� ���� 5���� �80���

��� ������;� �������1 �� � �������� ����# ��� D>E1

��������� ��� � ���� ������� �� � ��� � �� � ���0���� ��C��� �� ��� ��+���� �� � ��,��� 6����� ��

D$E ��0� ����)

:1 F�G B $

'1 F�G � F�G �� � �

=1 F�������G B

����F��G ��� ��# 0�����+�� ��.��# ��� ) � � �� �� ��+���� �� ��

��������� ��� ��� � �� $ � � � $ � Æ � ���C��)

,�ÆF�G 3 ���

��������

��� F*�G���

�����*� ��� F*�G � Æ

!",�Æ �� �� ����� .������ �� �

� ��� �� �� ��� ��7�0�� �� 6����# F�G F��G ��� F���G���C�� ����)

,�F�G 3 ��.��

,�ÆF�G B ���

Æ)�,�ÆF�G

:>'

Page 168: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

,� �� ���� �� ����� .������ �� �� ��� �� 5��� +� 0����� ����������� =�����" ������� � �� �

������ ��� �� $ � � � � � ��� � �

:1 ,�F�G � �.����� ,�F�G B $

'1 ,�F�G - $ �.����� ,�F�G B

������ F:G ��� F'G ������ ��.� 0�����+�� ��.��# �������� ��0� ���� � ������� 5��� �F��G � Æ ���

�����F��G

� � ,�ÆF�G I :�����)

,�ÆF�G �

�����

�F��G� B

�����

�F��G����� B

B�����

�F��G����F��G

� � ��������

�F��G� � ���F,�

ÆF�G I :G

���������)

,�ÆF�G � Æ

���F,�ÆF�G I :G F:G

��5 ��� F:G ������� Æ � $ ��� +�0���� ,�F�G � 5� ��� ���� ,�F�G B $1� ����� �� ���6� F'G F:G 0�� +�

5������ ��)

,�ÆF�G �

,�ÆF�G

���� ���

����� ������� ����� Æ � $ ��� +�0���� ,�F�G - $ 5� ��� ���� ,�F�G B

��� �+�6� ������. ����� �� ��� 0��0��� �� =�����" ���������

��������� ��� ��� =�����" �������� �� � ��� � �� ��)

C)F�G B ����� ) ,�F�G - $� B ����� ) ,�F�G B�

B ����� ) ,�F�G -� B ����� ) ,�F�G B�

:>=

Page 169: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� ��� ��� $ � � � $� �� � �� ��� $ � Æ �&���)

= �Æ F�G B ���

�����

�F��G�

5���� ��� �����.�. �� ��,�� �6�� ��� ���-���� ��.����� F��0,����G �� 0����� +���� �������� ��0� ���� �F��G � Æ

��� ��� 0������ �� ���� ��� �� 1���� =�Æ F�G �� ��� ��0������� 5��� �����0� �� Æ ��� 5� ���)

= �F�G B ��.��

= �Æ F�G B ���

Æ)�= �Æ F�

� �� 0���� ���� = � �� .�������0 ��� = �F�G B $ +�� �� ����� �� +� � .������ +�0���� �� �� ��� 0�����+�#

��+������6�1�� ��� � .������ 5� ��C��)

%�F�G B ���

������

= �F��G ) � B�������

%� 5��� +� 0����� ��� ��������� ��������

��������� ��� ��� ������� �������� �� � ��� � �� ��)

=)F�G B ����� ) %�F�G B $� B ����� ) %�F�G ��

B ����� ) %�F�G - $� B ����� ) %�F�G B�

��������� ��� ��� � +� � +������ ��+��� �� �� � � :� �� $ � 2 ���� !F� 2G +� ��� �.������ ��.+��

�� 2�+���� ������ �� 0�6�� � )

!F� 2G B .��

�" ) �

������F'� 2G ��� ��.� '� � �

:>(

Page 170: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� ����� ��� �� ���� ��� ��������� �� � ��� ��C��� ��)

�)F�G B ��. ������

���!F� �G

� ��� ���� �)F�G B ��. ���

���

���!F� �G

� ��� �

� �)F�G B �)F�G��� 0�..�� 6���� �� 0����� #��������� �������� �� ���� ��� �������� �� � ���

�� 5��� +� ������� +# �)F�G�

��������� ��� ��� +� � /���� .������ �� �� 1���� ��� =�����" �������� �� ��� .������ �� ��C���

��)

C)FG B ����C)F+ G ) + �� ��� F�� � + G B $�

��.������# ��� ������� �������� �� ��� .������ �� ��C��� ��)

=)FG B ����=)F+ G ) + �� ��� F�� � + G B $�

������ ��� ��� +� � /���� .������ �� �� � � :�����)

:1 � ����� �8���� J� ��0� ���� ��� ��1�1 ' � �� )

��. ������

��� F�F' �GG

��� �� J�

���� C)FG � J�

'1 � ����� �8���� J� ��0� ���� ��� ��1�1 ' � ��

��. ������

��� F�F' �GG

��� �� J�

���� C)FG � J��

:>?

Page 171: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��������� ��� ��� � +� � /���� +������ ��+��� �� �� � � :� /���� ���+�+����# .������ �� � �� ����

�� +� �������� ������� 5��� �� �8������ � � $ �� ��� ���# �� ����� �8���� � 0������� * � : ��0� ����)

*�� �F�F' �GG

��� *

��� �6��# ' � � ��� �6��# $ � � � :�

������ ��� � � �� � /���� +������ ��+��� �� �� � � : ��� �� � ���.����0 .������ �� � 5���

�8������ � 5� ��6� ���� C)F�G B =)F�G B �)F�G B ��

?1' ������.�� �8������� ��������� ��� ��.������

��������� ��� .�� � ) 4 � �� 4 �� 5��� +� 0����� ������ �� �������� �� �� �� 0�����.��&��������0��

�8�0� ��� ��� ��.� � 4 0�.��0�)

:1 �F�G B �

'1 ����

���F4G B �

=1 ��� ��� �F'G� ) ' � �� - :

������ ��� ��� F��G +� � 0�����.�� �8������� ��������&��� +� � 2�++� ����� �� � ��� ��� $ ) � � �

+� � �@����� 0��������� ���0����1��� ����.� ���� = F$G B $1���� ����� �� � 0������� � � : ��� � 0�������

* � : ��0� ���� ��� ��� � �.��� ������ ��� ��� ' � � ����� �8���� � B �F' �G ��0� ����)

/�$F'G� ����

���FF*��G� ��� �F��G�F'GG����� F�F' �GG

��� ��

���� I /�$F'G

���FF*��G� ��� �F��G�F'GG�

������ ��,� �� ��+�����# ' � � 1 �8 � � F$ *��FG ��� ��� � B �F' �G � $ +� ��� ������� ������� �� ����)

�F��G�F'G� �* � F F:G

:>>

Page 172: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

4���� * �� ��� .�������0���6� 0������� �� �� ������� �� ��� ���9+������ ��..� ��� ���������� 0������������

�� ��� �@����� 0��������� ���0���� ��� �� �� � ���� 5� 5��� �� ���5 ����)

���� F�F��F'G FGG � �F' F �F��G�F'G���*��G � �F' �G F?1:G

� ���� ����0���� ����0� ���� ��� & B � ��� $ B ��� �� �� /�$ ��,�� ��� ���.)

/�$F'G B $F'G I $ Æ & F'G I ���I $ Æ &���F'G B ��� �� �F'G�I ��� �� �F�F'GG� I ���I ���� �F����F'GG

B ���� �F'G� �F�F'GG � ��� � � �F����F'GG B ��� F��G�F'G

��5 +# ������. ::>F�1/1�1�1G 5� ��� ���� � � ���� F�F��F'G FGG )

���F��G�F�G� ��� F��G�F'G � * � ���

F��G�F�G�F��G�F'G�

� * �F��G�F�G � �� F��G�F'G�

F��G�F�G � * F��G�F'G F'G

� �� 0���� ���� ' � ���� F�F��F'G FGG ��� ���� F�F��F'G FGG �� �� ���� ���1���� ��� B �F' :F���� F�F��F'G FGGG

5� ��6� ����)

�F' G ���� F�F��F'G FGG

��0, ��.� ����� ; � �F' G�:F���� F�F��F'G FGG ��� 0������� ��� ���� ���.��� / B D' ;E�� �� 0���� ���� ��

������0��� �� �F' G �� ��� �� ��� ���� ��� �.��� �� / ����� �� �� � ��.��� 0��6� 0�������� �� �F��F'G 'G

5��� ��F;G � :�F��F'G 'G����0� 5� ��6� ���� ������F��F/GG � F�/�� +# F'G)

������F��F/GG B

�2�'

�F��G�FBG� ��B� � ������F/G � * �F��G�F'G

:><

Page 173: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��. ���� 5� ��� ����)

������F/G � *��FF��G�F'G��

�� ���� 0�����# �.���� ����)

���� F�F��F'G FGG � �F' F �F��G�F'G���*��G

��� +# F:G 5� ��� ���� � � *��FF��G�F'G�� ��� ���� �.����� ����)�F' F �F��G�F'G�

��*��G � �F' �G

��5 ��,� ��.� �� � � ��0� ���� #���� � *��4� ���� �+���� ����

F�����G�F'G �* � F F=G

4� ���� 5��� �� ���5 ����)

������� F�F�����F'G FGG �F' FF�����G�F'G�� *��G �F' �G F?1'G

��� ��0��� ��0������ �� �..������ +# F'G1 �� ��� C��� ��,� ��.� ����� � � ������� F�F�����F'G FGG�����

���� ���� ' � ������� F�F�����F'G FGG +# ������. ::>F�1/1�1�1G ��� ��� ���0���� $ B �������

F�� ����0��� /����$F�G B ��� �F�

������ G�F�G�G 5� ���&+# ����� ��.� �����.���� �� +�����&����)

F�����G�F�G � * F�����G�F'GG

:>A

Page 174: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� +# .��� 6���� ������. F����.�������� 0���G 5� ��� ����)

������� F�G � ������2 F�����F'GG � * F�����G�F'GG � � �����F'G

���������) ������� F�G � ' � * F�����G�F'GG F

�� ��� C��� ��0������ �� F?�'G �����5�1��5 ����� ��� ��0� ���� �� � 2�++� ����� 5� ��� ���� ��� ��.�

0������� � � :)

��� ��8�/�$F'G

F ���� F�F��F'G FGGG���

�8�/����$F'G

�������� F�F�����F'G FGG

� � �����0� ���� /����$F'G � /�$F'G I �� ��� $���0�)

��� ��8�/�$F'G

F ���� F�F��F'G FGGG��8�/�$F'G

F�F' �GG� ������ � /�$F'G � ��� F�F' �GG �

��� F�F' �GG � ���� I /�$F'G F(G

���)

� ��8�/����$F'G

�������� F�F�����F'G FGG

� � �8�F/�$F'G I �� ��� $G

F�F' �GG� ���� � /�$F'G I �� ��� $� ��� F�F' �GG

����)

��� F�F' �GG � /�$F'G I �� ��� $� ���� F?G

:>%

Page 175: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��. F=G ��� F(G 5� ��� ����)

/�$F'G I �� ��� $� ���� � ��� F�F' �GG � ���� I /�$F'G

��5 0����� ��.� �� � : ��0� ���� ����� � .�8 ����� ��� ��� $� ������ ���������)

/�$F'G � ����� � ��� F�F' �GG � ����� I /�$F'G F>G

/# F:G ��� F'G 5� ��6�)

F*��F�����G�F'GG�� � � � F*�� �F��G�F'GG�

��B�

���FF*��G I ���FF�����G�F'GG��G � ��� � � ���FF*��G I ���F�F��G�F'GG�

��G�

���FF*��G I ���FF��G�F'GG � � �F��F'GG � � �F����F'GG � �� � � �F�����F'GG��G

� ��� � � ���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G�

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG � F��� �� ��G�� ���G � ��� � �

� ���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G�

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G� �� ��� ��� ��

�� � ��� � � ���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G

:<$

Page 176: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��6����� F>G +# F<G 5� ��� ����)

/�$F'G� �����

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G�

��� F�F' �GG

��� �

������ I /�$F'G

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G� �� ��� ��� �� ��

��5 5� 0�� �����0� ��

5��� � ������ ��.+�� � ��0� ����)

����� I /�$F'G

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G� �� ��� ��� �� ���

���� I /�$F'G

���FF*��G I ���F�F��G�F'GG���G

���0� �� 5� ��� � B � 5� ��� ��� ������� ������

��� ��� � 5� ����� +����� ��� $ B ��� �� �� ��� & B � &/�$F'G B ���F��G�F'G���� �� �� �� � �

��%������ ���+�+����# .������ ��� ���� +# /��,��7;� ������0 ������. F'G ��� ��.�� ��.���:

���� �F��G�F'G�

�8���� ��� �� �� �H��� ������ �� �� �1

��������� ��� ��� +� �� � � ��%������ ���+�+����# .������ �� � ��� ��.+������ �� �� � 5��� +� 0�����

��� �������% �������������� ������� �� ��� .�� � 5��� �����0� �� ��� .������ ��� 5��� +� ������� +#

3�F�G�

������ ��� ��� +� � 2�++� ����� ��� � ��������0���# .�8��� 0�����.�� �8������� �������� F��G

&� �� ��� � �@����� 0��������� ��������� $ ) � � �1���� ��� ���.��� �6��# ����� ' � � ����� �8����

��� ��.��)

��.���

��� F�F' �GG

��� �

�����6��&���� ��.�� �� ��.��� �6��#5���� 0������� ��� �� �� �H��� �� ��F�G(3�F�G 5���� ������� ��� ���#

� 9��6������ ���+�+����# .������ �H��6����� �� �

:<:

Page 177: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ 4������ ���� �� ���������# 5� 0�� ����.� ���� = F$G B $F���� 0�� ������ +# �����0��� $

+# $ � = F$G+# ������. ::> �� �� 0���� ���� = F$ � = F$GG B $ ���� +# ����������� :'( +�0���� ���6���#

$� F$� = F$GG �� 0���.������ �� ��� 0������� = F$G 5� ��6� ���� 5( B 5(�+ �(����5 +# ��.��, :>A ���

�1� � )

��.���

:

���� �F��G�F'G� B 3�F�G F:G

��� +# /��,��7;� ������0 ������.

��.���

:

�/�$F'G B

�$� F'G

/# ����������� :'? �� �� �H�����+���. ����� ��� & B � ��� $ B ��� �� �� 5��0� ��.��# .���� ����)

��F�G I

�$� B = F$G B $ F=G

/# ������. :>< 5� ,��5 ����)

/�$F'G� ����

���FF*��G� ��� �F��G�F'GG����� F�F' �GG

��� ��

���� I /�$F'G

���FF*��G� ��� �F��G�F'GG�

����)'�(���

� � �����

����3����� � ��������������

���� F�F' �GG

��� ��

����� I '�(���

�����3����

� � ���������������

��5 �� �� 0���� +# ��� ����� �� :>< ���� 5��� � � $&� B �F' �G� $ ����&���0� +# F:G&F'G ��� F=G)

��.���

���F�G

�3�F�G� ��.

���

��� F�F' �GG

��� �� ��.

���

���F�G

�3�F�G

���� �� �� 0���� ����

��.���

��� F�F' �GG

��� �B��F�G

3�F�G

:<'

Page 178: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� ���� 0��0����� ��� �����

������ ��� � �� � 2�++� ����� ��� ��� ��� 0�����.�� �8������� �������� F��G &� �� ��� $ ) � � �

�� � �@����� 0��������� ���������&���� ����� �8��� �������7 ��� ��0,��� ��.������� �� ���)

C)FG B =)FG B ��F�G(3�F�

������ /# ������. :>= ��� +�0���� ��.���

��� F�F' �GG

��� �B��F�G

3�F�G5� ��� �..�������# ���� C)FG B

��F�G(3�F�G

��� ��� � � �� �8������� ��� ���0����)

= F�G )B = F��� ��� �� ��G

�� C���� ��� �� �� �� � # - :&�� �����5� ����0��# ���. ��� ��C������ �� = F�G ���� �� �� �����0��# ��0������� ���.

I �� � ��������� ����� �8���� ���# ��� ����.���� �� ��0� ���� = F��G B $�

������ ��� ��� �� +� ��C��� +# = F��G B $���� $ +� ��� ��� �� �� ������0��� �� ������ ��0� 2�++� �����

0������������ �� ��� ���0���� $ �� � ���.����0 .������ 5��� ��� �8������ ���� �����0����)

��.���

��� F�F' �GG

��� �B ��

��� �6��# ' � ��

������ ���#��� ��� ������ �� ������. :>< ��� $ B ��� ��� �� �� ��� ������ ���� �� ���� 0��� /�$ B

��� ��� �F��G�F'G� �����0��� � +# �F��G�F'G���5� ��� ����)

� ���� I �� ��� �

���FF*��G I ��� ����� F�F' �GG

��� ��

���� I �� ��� �

���FF*��G I ��� �

:<=

Page 179: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ � ��5 � �� +�� ����)

� ���� I �� ��� �

��� ����� F�F' �GG

��� ������ I �� ��� �

��� �

���� 5� ��� ����)

�� ��� � � ��� F�F' �GG I ���� � ��� ��� � ���F F�F' �GG ��G�

��� � F�F' �GG � � F:G

��)

�� ��� � � ��� F�F' �GG � ���� � ��� ��� � ���F F�F' �GG(�G �

��� � F�F' �GG(� F'G

���� +# F:G ��� F'G)

������ � F�F' �GG � ����

���� ��,��� ��� +��� ����� 5� ��� ����)

������ I ��� ��� � ��� F�F' �GG � ���� I ��� ���

�� C����# ��6����� +# ��� � ��� ������� � � $ 5� ���)

�� � ��.���

��� F�F' �GG

��� �� ��

�� ���� 0��0����� ��� �����1

:<(

Page 180: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� �� �..������ 0����H���0� �� ��� �+�6� ������. ��� ������. :>? 5� ��� ��� �����5�� 6��# �.�������

������.1

������ ��� ��� �������7&���,�5�,� ��� ��0,��� ��.������ �� � F� �G 0�����.�� �8������� ��������&

�� �H��� �� �� 5���� �� �� ��C��� �� ��� ����.���� ��0� ���� = F��G B $�

:<?

Page 181: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

������ >

����� ���� �� ��� ���� ��� ���

>1: ������0����

��������� ��� ��� & ) � � � +� � 0��������� .�� �� � 0�.��0� .����0 ���0� F� 8G ��� ��� � ) � � �

+� � ��� ������6� .������+�� ���0����1 /���� ���+�+����# .������ �� � �� ���� �� +� �� ������ �� ���

& ) � � � ��)

F& F�GG B

��

��

��� ��# /���� ��� � � ��0� ���� & �� �� ��-�0��6�1���� 5��� ���� �������# 5��� +� 0����� ������1

��� ��� ��. ��� ��C������ �� � � ������ �� .������� �� �� 0���� �����F Æ & G

� B � �� ��� ���0���

����1

����������� ��� �� ��# /���� ���0���� $ ��� ��# ���0��� ��� � )

�� ���

$� B

��

F$ Æ & G��

������ � �� 5��� ,��5 ��� ��� ����� 0�� +� ����� ��� �8�.��� �� D:E ����)

�� ���

$� B

������ ����

F$ Æ & G�F Æ & G

��5 +�0���� � �� � ���0��� ����F Æ & G

� B � �� �����0�)

������ ����

F$ Æ & G�F Æ & G B

��

F$ Æ & G��

:<>

Page 182: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�� ���� C������ ��� �����.���

��������� ��� ���.� ���� & ) � � � �� +������ �� ��� ��� � ��,�� 6����� �� ����C�� ��� ������9

��+����� �������� 0� ����0����� �� ��� .�� & ��� �� ��� ���0���� �&������� ��� � .������+�� ���0����

$ ) � � �� )

0�$F'G B�

� �����

$F�G

�F�G

����������� ��� ���.� ���� ����� �8���� � C���� ��������� �� � ���� ���0��� ���� �� F: � � � �G��0� ����

��� ��� .��� & ) � � �� ��� .������+�� ���.������.�1���� �� ��0�����.�� �� ��� ���# �� 0� �0�� ��

��FG ��� 0�� B 5���� 0�� �� ��� 0��-����� �������� �� 0� �

������ ��� +� ��0�����.�� ��� ��� $ � ��FG�/# ����������� :<< 5� ��6� ����)

�� ����

$

�Æ F& ���G

��� B

���

F$

�Æ F& ���G

�� Æ & G�� B

���

$

��� B

���

$�

���0�) �� ����

$

�Æ F& ���G

��� B

���

$�

4� 5��� �� ���5 ���� 0�� B 1/��

0�� B $ F0�F$GG B F$G $ � ��FG$

�0�F$G� B

�$� $ � ��FG

����0� ���� +�0���� & ) �� � �� �� ���.������.F���� ��� :9:G& ' � �� M�&��F'G� B : ���������)

0�F$GF'G���B$

�Æ &�����

��..��� F:G � B : �� � +�0���� �������� ��������� �� �5� ��� ����)

:<<

Page 183: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�����

�� ����

$

�Æ F& ���G

��� B

�����

���

$� �

��

0�F$G� B

��

$�

�� ��� ����� ����0���� ������� ���� 0�� B ��� ��� � +� � ���0��� ��� ����

��

�� B

��

��F0�� G B

��

����F0�� G B

B

��

0�F���G�

B

��

�� �����

��F�G�F�G

�F�G� F'G

B

��

�� �����

��F�G� F'G

� ' (� & F�G ���� & F�G B ' �.����� ���� � (� � 5��0� .���� ���� ��F�G B $5���� �� ' � & F�G ����� �� ��.�

���.��� � � � ��0� ���� & F�G B & F�G ���0� +�0���� & �� ��-�0��6� �� � &&���'� � � B � ��� ���� �.�����

����) �� �����

��F�G B ��F�G B :

����) ��

�� �����

��F�G� F'G B

�� ���

�� �����

��F�G� F'G B F& F�GG

���������) ��

�� B F& F�GG

5��0� ��.��# .���� ���� �� ��0�����.��

:<A

Page 184: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

>1' 2������ ������ �� �������0���� ������.�� ��������

��������� ��� �� � ��H���0� ��� ) � � :� �� ����� ��� ��.+��)

� B ��. ������

���

5��� +� 0����� ��� ���������� ���� ���� �� ��� ) � � :��

��� ��� ��� ���������� ����.���� �� ���H���# �����.���� +# ��� �������# ����)

�����

�8�F�� � ��G

0��6����� ��� � - � ��� ��6����� ��� � � �� �� � B � �� .�# 0��6���� �� ��6����1���� �����5� +�0����

�����

�8�F�� � ��G B�����

�8�F�F���� �GG B

�����

D�8�F���� �GE�

���� �� � - � ��� ��� +�� C�����# .��# �&���� � � $ ���0� ��� ��� +�� C�����# .��# � D�8�F

���� �GE � : ���

��� ������ 0��6����� 5���� �� � � � ��� ��C�����# .��#���� � - $ ���0� ��� ������ ��6�����1

��� ��� ����� �8���� � ��H���0� ��� ) � � :� �� ������6� ����� ��0� ���� ��� ������)

�����

�� �8�F�� � ��G

��6����� �� � � � ��� 0��6����� ��� � - ����� ��.���

������

B :

������ �����

�8�F�� � ��G B+�� �� B : ��� �6��# � � :������

�8�F�� � ��G �&0����� � ��H���0�

��� ) " � :� �� ������6� �������� ��0� ���� ��.��� �������� B $ ��� 2� )B ����

��� � � � $F���� �����5� +#

:<%

Page 185: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��C�������� �� ���������� ����.����G1�������)

�� B �8�

#�

#�� � �

�� � ����2��� I

�� ������ � ����

2�

$$��� ���� � � � ��

�� �� ���# �� 0��0, ���� ��� ��..� �����5�

��� & ) � � � +� � 0��������� .�� �� � 0�.��0� .����0 ���0� F� 8G ��� ��� � ) � � � +� � ���

������6� .������+�� ���0����1

:1 ��� �������� +� � ��H���0� �� C���� ��+���� �� � ��0� ���� ��� �6��# � � :)

&��F��G ����

'1 ��C�� ��� ��H���0� �� ���� ��.+���)

�� B ���

������

�8�F/��F'GG

��� ������ +# � ��� ���������� ����.���� �� ���� ��H���0�1������ � ��H���0� ��� ) � � :� �� ������6�

����� �� �� ���6���� ��..� ��� ��� ��H���0���� ) � � :�

=1 ���� ����&+# ��..� :A'&��� � - � ��� ������������ �8�F�� � ��G 0��6�����1���0� ��C��)

1� B

�����

�� �8�F�� � ��G

:A$

Page 186: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

(1 ���� ����)

1� B

�����

�� �8�F�� � ��G B�����

�� �8�

����

������

�8�F/��F'GG

�� ��

�B

B

�����

�������

�8�/��F'G �8�F���G

B

�����

�����

�� �8�F/��F'G� ��G

��C�� ��� ���.���*�� .������)

� B:

1�

�����

�����

�� �8�F/��F'G� ��G� F>1:G

5���� � ������� ��� ���� .��� .������ �� ��� ����� ' � ����� � +� � ���0��� ���)

�F& F�GG B:

1�

�����

�����

�� �8�F/��F'G� ��G�F& F�GG

+�� +# ��C������ �� �&�F& F�GG B : �� ' � & F�G ��� �F& F�GG B $ �� ' (� & F�G1���0�)

�F& F�GG B:

1�

�����

������� ���

�� �8�F/��F'G� ��G

/�0���� & �� ��-�0��6� �� � 5� ��6� ���� & F� � &����G B & F�G ��� ��� ���� �.����� ����)

�F& F�GG B:

1�

�����

����������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G

��5 ����0� ���� +# F�G)

� ����� B F� � F���� � &��F��GG � F� � &

��F��GG

:A:

Page 187: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

��� 0�����# ��� �+�6� ����� �� ���-����1���0�)

���������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G B�

�����������������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G F:G

I�

���������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G

����0� ���� ����)

�8�D/����F'G� F�I :G�E �8�F�� �F'GG B �8�D/����F'G� ��� �I �� �F'GE B

B �8�D�F'G I /��F& F'GG� ��� �F'GE

B �8�D/��F& F'GG� ��E

����)

�8�D/����F'G� F�I :G�E �8�F�� �F'GG B �8�D/��F& F'GG� ��E F'G

��5 ����� F:G ��� F'G 5� ��� ����)

:

1�

�����

���������

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG

B:

1�

�����

���������

�� �8�D/��F& F'GG� ��E

B:

1�

�����

����������������

�� �8�D/��F& F'GG� ��E

I:

1�

�����

����������

�� �8�D/��F& F'GG� ��E

:A'

Page 188: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���������)

�F& F�GG B:

1�

�����

���������

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG� F=G

:

1�

�����

����������������

�� �8�D/��F& F'GG� ��E

?1 ���)

P�F�G B

:1�

�����

���������

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG�

��

�8�F�� �G� �

�+���6� ����)

��

�8�F�� �F'GG� � B

��

�8�F�� �G�

�:

1�

�����

�����

�� �8�F/��F'G� ��G�

B:

1�

�����

��

�����

�� �8�F/��F'G� ��G �8�F�� �F'GG��

B:

1�

�����

�������

�� �8�F/��F'G� ��G �8�F�� �F'GG

B:

1�

�����

�������

�� �8�F/��F'G� ��G �8�F�� �F'GG I

I:

1�

�������

�� �8�F�F'G� �G �8�F�� �F'GG

B:

1�

�����

���������

���� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �G

I:

1�

�������

�� �8�F�� �G

:A=

Page 189: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

���0�)

��

�8�F�� �F'GG� � B:

1�

�����

���������

�8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F��F'GG���� �8� �

I:

1�

�������

�� �8�F�� �G F(G

���� F(G 5� ��� ����)

P�F�G B

:1�

�����

��������� ���

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG�

��

�8�F�� �G� �

B �

:

1�

�����

��������� ���

�8�F/����F'G� F�I :G�G�� �8� � �8�F��F'GG �

�:

1�

�����

���������

�8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F��F'GG���� �8� �

�:

1�

�������

�� �8�F�� �G�

�:

1�������

��������� ���

�8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F��F'GGF�� �8� �� ���� �8� �G

����

������

�8�F�� �G�

�:

1�

�����

��������� ���

�� � ����

������ � �8�F�� �G ����������'���������������

I:

1��� �8�F�� �GM�� � ���

�:

1�

�����

��������� ���

������ � �8�F�� �G ���������������'���������������

I:

1��� �8�F�� �GM����

>1 ����0� ���� ��.���1� B

�����

��������� ���

���� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG B

:A(

Page 190: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

B

�����

�����

�� �8�F/��F'G� ��G B1�

��� ���� +# ��..� >�> ��.���������

B : 5��0� .���� ����)

��.���

��.���

������ � �8�F�� �G B $

��������� 5� 0�� 0��0���� ���� ��� ��# ���0��� ��� �)

��.���

P�F�G B $

<1 �# 5��, �00�.������� �����&5��� �4 �&�� ��� .������� � � ) � - �� ��C��� +# F>�:G 5��� +� 0�����

� ���� ������� ����0����� �� ��� ���0���� � ��� .�� & ��� ��� ��H���0� ��� ) � � :��

A1 ��. ��5 ��&�� ����� �� C�� 0�����.�� .������� �.��� ��� ��.�� .�������&��� ��.� /���� ��� ) �

5� 5��� 0������� ��� �����5��� 0��������)

��.���

:

1�

�����

���8�������������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G B $ F>1'G

4� 5��� ���� ��� �����5��� ��C�������)

��������� ��� ����� ' � � 5��� +� 0����� ������� ��� & �� ����� �� �� ���� ���+�������� 4 �� ' ��0�

���� & �! �� ��-�0��6�1��� ��� �� ��� 0����0�� ������ 5��� +� ������� +# *���F�G�

��������� ��� ����� ' � � 5��� +� 0����� ������� ��� & �� �� �� ������ 0����0�� �� ��� ��� 2 - $ ����� �8����

�� ���� ��� 4 �F' 2G ��0� ���� & F4G �� ��� �� ���� ��+��� �� ����� ��� �� ��� �������� ������ 5��� +�

������� +# *���F�G�

������ ��� ��� +� � /���� ���+�+����# .������ �� � ��� ��� Q +� � 0�.��0� ��� ��0� ���� *���F& G

:A?

Page 191: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

Q�� F& F�GG B�� �� ����� ��� �6��# ���0��� ��� 5���� 0������ �� ���-���� ���. Q ��� F:�G B F:& F�GG����

F& F�GG B�� �� ����� ��� �6��# ���0��� ��� ���-���� ���. Q�

������ ��� � +� � ���0��� ��� ���-���� ���. Q� �8 2 - $1/# ��� ��C������ �� *���F& G ��� ��0� �����

' � �&�1� ' � ��*���F& G ����� �8���� �� ���� �����+������ 4F'G ��0� ����)

F�G & �!��� �� ��.��.������.&

F��GF:4F'GG B F:F&4F'GGG B $

F���G4F'G � Q B �

F�%G��!����� �� � 2

� �� � 0�.��0� .����0 ���0� ���� ��0��� 0�����+�� ���0� 5� 0�� 0����� � 0�����+�� ��.��# �4�����

���. �4F'G���� ��� ��C�� ��0����6��#)

�� B 4� ��� �� B 4� � ��*���

� ���� 5�# 5� 0����� � ��5 0�����+�� 0����0���� �� ���-���� ���� 5���� ����� 0�6��� �����0�)

F& F�GG B

#&

#F�������G � �

$$B F

�����F& F� ���GGG

B�����

F& F� ���GG ������

F& F��GG B�����

���

�� B

����

��

B

������

�� I

��

�� �

��

�� I 2

���� +�0���� 2 0�� +� 0����� ��+�������# �.��� 5� 0��0���� ���� ��� ��# ���0��� ��� � ���-���� ���. Q)

F& F�GG �

��

�� F:G

:A>

Page 192: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

� ����� �� ����.��� ��� ��5�� +���� �� F& F�GG)

F& F�GG B

#&

#F�������G � �

$$B F

�����F& F� � ��GGG B

�����

F& F� ���GG

���� ���� �� 4� ��� & �!� �� ��.��.������.&���0�)

& F��G B & FF�� � �G � F�� ��GG B & F�� � �G � & F�� ��G

4��0� .���� ����)

F& F�� ��GG B F& F��GG� F& F�� ��GG

���������)

F& F�GG B

�����

F& F� � ��GG BB

�����

F F& F��GG� F& F�� ��GGG B�����

F

���

�� �

�����

�� G

�� ��� �� �� ������# F& F�GG B�� �� +�0���� ����� 0������ �� ���-���� ���. Q����0�)

F& F�GG B

�����

F

���

�� �

�����

�� G BB

�������

�� �

���������

�� �

��

�� � 2

���� �����5� +# F�%G ��� +�0���� � ������ ����0� ����� +�0���� 2 0�� +� 0����� ��+�������# �.��� 5� ���

����)

F& F�GG �

��

�� F'G

� �� 0���� F:G ��� F'G C���� ��� �����

������ ��� ��� +� � ��.�� .������ ��� ��� Q +� � 0�.��0� ��� 0������� *���F& G1���.� ���� ����

�6��# ���0��� ��� ) ��0� ���� F:)G B F:& F)GG B $ ��� ) � Q �����C�� F>�'G����� ��� �6��# ���0��� ���

:A<

Page 193: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

�)

F& F�GG B

��

�8�F�� �G�

������ ��� ) +� � ���0��� ��� ��0� ���� F:)G B F:& F)GG B $ ��� ) � Q����� +# ������. (: 5�

��6� ����)

��.���

�F�G B F�G ��� ��.���

�F& F�GG B F& F�GG

/# F>�'G 5� ��6� ����)

��.���

:

1�

�����

���8�������������

�� �8�F/��F& F'GG� ��G B $

���0� F=G 5��� ��6�)

F& F�GG B ��.���

�F& F�GG B

B ��.���

:

1�

�����

��������� ���

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG

/�� 5� ,��5 ���� ��.���P�F�G B $�4��0� ��.��# .���� ����)

��.���

:

1�

�����

��������� ���

�� �8�F/����F'G� F�I :G�G �8�F�� �F'GG

B ��.���

��

�8�F�� �G� � B

��

�8�F�� �G�

���������) F& F�GG B�� �8�F�� �G�

:AA

Page 194: THERMODYNAMICAL FORMALISM Vasileios Chousionis Thesis …/67531/metadc4631/m2/... · Chousionis, Vasileios. Thermodynamical Formalism. Master of Arts (Mathematics), August 2004, 189

189

BIBLIOGRAPHY

[1] Cohn, D. Measure Theory.

[2] Doob, JL. Stochastic Processes.

[3] Edwards, RE. Functional Analysis.

[4] Evans, LC and Gariepy, RF. Measure Theory and Fine Properties of Functions.

[5] Lang, S. Real and Functional Analysis.

[6] Mattila, P. Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces.

[7] Misiurewicz, M. “A short proof of the variational principle for….” Asterisque 40: 147-187 (1976).

[8] Parthasarathy, KR. Probability Measures on Metric Spaces.

[9] Petersen, K. Ergodic Theory.

[10] Prztycki, F and Urbanski, M. Conformal Fractals, Dimensions, and Ergodic Theory.

[11] Urbanski, M and Mauldin RD. Graph-directed Markov Systems: Geometry and Dynamics of Limit Sets.

[12] Urbanski, M. “Measures and dimensions in conformal dynamics.” Bull. Amer. Math. Soc.40: 281-321 (2003).

[13] Walters, P. “A variational principle for the pressure of continuous transformations.” Am. J. Math. 97: 937-71.

[14] Walters, P. An Introduction to Ergodic Theory.