Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse Dr. Erich Boeck1 Verzweigte und vermaschte Schaltungen besitzen mehrere

Theoretische Grundlagen und ihre Anwendung zur Analyse elektrotechnischer Prozesse

Dr. Erich Boeck 1

Verzweigte und vermaschte Schaltungen besitzen mehrere Knotenpunkte (Verzweigungen) und mehrere Maschen (geschlossene Stromkreise).

7.2 Netzwerke – verzweigte und vermaschte Schaltungen

Zur Auswahl der günstigsten Methode:1. Besitzt das Netzwerk eine oder mehrere Quellen?2. Berechnung von I, U an einem, mehreren, allen Elementen der Schaltung?

Folgende Gesetze und Gleichungen aus den Kapiteln 3 bis 5 :1. Gesetze, die ohne Einschränkungen gelten, sind

• die Kirchhoff’schen Sätze - Maschensatz und Knotenpunktsatz sowie • die Strom-Spannungs-Beziehung an den Bauelementen R, C und L

(gegebenenfalls einschließlich ihrer Nichtlinearitäten).2. Gesetze für lineare Bauelemente

• die Stromteilerregel,• die Spannungsteilerregel und• die Gleichungen zur Reihen- und Parallelschaltung von Elementen.

3. Weitere Denkweisen für zusätzliche Möglichkeiten, z.B.• das Überlagerungsprinzip (Abschnitt 7.3),• die Zusammenfassung zu Ersatzschaltungen (Abschnitt 7.4), • die Einführung von Maschenströmen bzw. Knotenspannungen (Abschnitt 7.6)• die Rechnersimulation (Abschnitt 7.5).


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Im Netzwerk bedeuten•Zweige: Schaltungsteil von einem Knoten zu dem nächsten•Maschen: Ein einfacher geschlossener Umlauf über verschiedene Zweige

Berechnung mit den Kirchhoff’schen Sätzen

U2

I1

U1 U4

I3

I2

U3

+

R4

U01

R2

R1

+

U02

R3

I II

1

Starthilfe für einen PKW (vereinfacht)

1. Schritt der Berechnung: Alle I und U wählen und bezeichnen.Achtung: Nur entweder I oder U wählen; der andere ist durch die Zählpfeilregeln festgelegt!Vorschlag: In Jedem Zweig den Strom wählen!

2. Schritt der Berechnung: Unabhängige Knoten bestimmen. Anzahl der wirklichen Knoten minus Eins

3. Schritt der Berechnung: Unabhängigen Maschen bestimmen.Anzahl Zweige minus Anzahl unabhängige Knoten

4. Schritt der Berechnung: Gleichungen aufstellen.

1 I1 = I2 + I3

I 0 = U1 + U2 – U01 II 0 = U3 + U4 + U02 – U2

Geg.: Schaltung, Bauelemente mit Parametern


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Einsetzen der Strom-Spannungs-Beziehung, Ordnen nach unbekannten Strömen → lineares Gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

1 0 = I1 – I2 – I3 Ux = Rx Ix

I U01 = R1I1 + R2I2

II U02 = R2I2 – (R3 + R4)I3

5. Schritt der Berechnung: Lösen des Gleichungssystems Beispiel: Kramer’sche Regel (weil eindeutiger Algorithmus),Matrizendarstellung

3

2

1

432

21

02

01

I

I

I

)R(R- R 0

0 R R

1- 1- 1

U

U

0

Koeffizientendeterminante

)R(R- R 0

0 R R

1- 1- 1

D

432

21

– R2(R3 + R4) + 0 – R1R2

– 0 – 0

– R1(R3 + R4)

)R(R- U0

0 UR

1- 0 1

D

4302

0112

–U01(R3 + R4)+ 0 –U02 R1

– 0 – 0 – 0

Determinante Dn

D

DI n

n

214321

1024301

43121432

10243012 RR )R )(RR(R

R U )R (RU

)R (RR - RR- )R (RR-

R U- )R (RU-I

2432

2121

R 0 )R(R- R 0

R R 0 R R

1- 1 1- 1- 1

D

)R(R- R 0

0 R R

1- 1- 1

D

432

21


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• Wurde Richtung von I2 falsch gewählt → negativer Zahlenwert → richtig → auf keinen Fall während der Rechnung die Wahl ändern!

• Spannungen anschließend durch Strom-Spannungs-Beziehung bestimmen.

• Bei mehr als drei Unbekannten ist Aufwand deutlich höher.• Mit nichtlinearen Koeffizienten nur eine Lösung durch Rechnersimulation.• Bei zeitabhängigen Größen → Differentialgleichungssystem

Bei nur einer Quelle und einem gesuchten I (oder U) → Berechnung mit den • Teilerregeln, • den Regeln zur Reihen- und Parallelschaltung sowie • den Strom-Spannungs-Beziehungen.

Geg.: Schaltung, Bauelemente mit Parametern vereinfacht einen Audioverstärker (U0 und Ri) ein Lautsprecher (RL1) direkt ein

(RL2) über ein längeres Kabel (RK)


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U

I

Ui

UL2

I2

I1

UK

U0

RL1

Ri

+

RK

RL2

1. Schritt der Berechnung: Alle I und U bezeichnen.Am sinnvollsten physikalisch richtig!

2. Schritt der Berechnung: Reine Reihenschaltung ermitteln. Spannungsteilerregel anwenden.

KL2

L2L2

RR

R

U

U

3. Schritt der Berechnung: Aufteilung zwischen RK und RL2 geklärt→ Zusammenfassen der Parallelschaltung

L2KL1

L2KL1L1KL2

L2KL1L1KL2 RRR

)RR(RR

RR

1

R

1

R

1

. )RR)(RR(RR

RR

U

U

U

U

U

U

und RR

R

U

U

L2KL1iL1i

L2L1

0

L2

0

L2

L1KL2i

L1KL2

0

Achtung: Nur Elemente der reinen Reihenschaltung teilen sich anliegende Spannung auf.

Wieder reine Reihenschaltung. Spannungsteilerregel anwenden.


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• Erkennbar: Kabelwiderstand möglichst klein gegenüber dem Lautsprecherwiderstand (damit Lautsprecher zwei gleich „laut“).

• Berechnung kann auch mit der Stromteilerregel erfolgen.

• Mehr elektrotechnisches Verständnis, dagegen weniger mathematische Kenntnisse und Übung beim Lösen der linearen Gleichungssysteme.

• Ersatzweise kann auch vielfach hintereinander die Strom-Spannungs-

Beziehung auf Widerstände und zusammengefasste Widerstände verwendet werden, um abwechselnd Strom oder Spannung zu bestimmen.

• Auf diese Weise können die Gesamtwiderstände,gesuchte Ströme und/oder Spannungen

der meisten Schaltungen berechnet werden.


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AufgabeEine Außenlichterkette besteht aus drei parallel geschalteten Reihen von je sieben Lampen und ist an eine Quelle angeschlossen.

U0

Ri

+

7 x RL

7 x RL

7 x RL

ULNenn = 6 VILNenn = 0,1 AU0 = 45 VRi= 10 Ω

Frage 1: Wie groß ist RL; welcher Strom fließt durch jede Lampe im Normalfall? Frage 2: Wie ändert sich der Strom, wenn in einer Reihe zwei Lampen ausfallen (bei guten Ketten erlangen die Lampen dabei einen Kurzschluss, die restlichen Lampen leuchten weiter und zeigen so die ausgefallenen an.)(Hinweis: Benutzen Sie die Stromteilerregel.)

Aufgabe zuSchaltungen, in denen Brückenzweige enthalten sind

Aufgabe zuVernachlässigen von Widerstände mit geringerem Einfluss als ca. 1%


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7.3 Überlagerungsprinzip

Dem Überlagerungssatz liegt die Denkweise zugrunde, die Wirkungen jeder Quelle einzeln zu berechnen und anschließend zu addieren.

Möglich, solange Bauelemente mit linearen Strom-Spannungs-Beziehungen vorliegen.

y

x

y

xgesx1 x2

y1

y2

yges

y1

y2

yges

xxgesx1 x2

y(x1)+y(x2)

Für einen linearen Zusammenhang gilt: yges = y(xges) = y(x1+x2) ≡ y(x1) + y(x2) bei nichtlinearen Zusammenhang wird: y(x1+x2) ≠ y(x1) + y(x2) .


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U21

I11

U11 U41

I31

I21

U31

U22

I12

U12 U42

I32

I22

U32

R2

R1

U02

+

R3

R4

U01

R2

R1

+

R3

R4

1. Schritt der Berechnung: Schaltung in Schaltungen für jede Quelle aufteilen.Dazu die jeweils anderen idealen Spannungsquellen durch Kurzschluss bzw. diejeweils anderen idealen Stromquellen durch Leerlauf ersetzen.

2. Schritt der Berechnung: Alle I und U bezeichnen.(Am sinnvollsten physikalisch richtig!)

+

R4

U01

R2

R1

+

U02

R3

Gleiche Schaltung


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3. Schritt der Berechnung: Für beide Schaltungen gesuchte Größe berechnen. • Mit Teilerregeln, • Regeln zur Reihen- und Parallelschaltung sowie • Strom-Spannungs-Beziehungen

4R3R2R

)4R3(R2R1

0111

432

43

2

4R3R2R

)4R3(R2R

11

21

R

UI

RRR

RR

RI

I

2R1R1R2R

43

0232

21

1

32

22

RR

UI

RR

R

I

I

4. Schritt der Berechnung: Die berechneten Anteile jeder Quelle entsprechend ihrer Richtungen addieren.

)R)(RRR(RR

RU

)R)(RRR(RR

)R(RUIII

432121

102

432121

430122212

• Mehr elektrotechnisches Verständnis, dagegen etwas weniger Übung beim Lösen der linearen Gleichungssysteme.

• Denkweise → Zuordnung der Wirkungen zu den Ursachen – den Quellen


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Aufgabe Gegeben ist die Schaltung einer Transistorverstärkerstufe. Die Kondensatoren haben für die vorliegende Signalfrequenz einen Widerstand von ≈ 0 und für Gleichstrom von ∞

UBatiA

iE

uAuE

R1 RC

R2 RE

IBat

≈U0Bat

RiBat

+u0Sig

RiSig

Frage: Wie sehen jeweils die Schaltungen für die Gleichstromversorgung (Quelle U0Bat) und die Signalverstärkung (Quelle U0Sig) aus?(Hinweise: Kondensatoren mit einem Widerstand von ≈ 0 durch „Kurzschluss“ ersetzen. Kondensatoren mit einem Widerstand von ∞ führen zum Wegfall des Zweiges, in dem kein Strom fließen kann.)


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7.4 Ersatzzweipole

Ersatzschaltungen liegt die Denkweise zugrunde, Schaltungsteile zusammenzufassen, deren Details gerade nicht interessieren.

Zusammenfassung einer Schaltung zwischen zwei Klemmen → aktiver Zweipol (bei linearen Bauelementen einfachster aktive Zweipol)

1. Schritt der Berechnung: Zusammenzufassen der Schaltung kennzeichnen.Für Ersatzzweipol die Parameter Riers und U0ers bezeichnen (alternativ Icers ).

U2

I2

U0ers

Uiers

R2

Riers

+

R4

U2

I1

U01

U1

R2

R1

+

U02

U4

+

I3

I2 R3

U3

2. Schritt der Berechnung: Bestimmung der Ersatzspannungsquelle U0ers aus der Leerlaufspannung an den Klemmen (d.h., R2 wird ∞ gesetzt).


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Aus Maschensatz folgt UL.

UL

IL

U01

U1L R1

+

U02

U4L

+

U3L

R3

R4

1L01L01L1L RIUU UUU0

Nur ein Strom im Kreis, IL durch U01 angetrieben durch U02 gebremst.

431

0201L RRR

UUI

431

1024301

431

10201010ersL RRR

RU)RR(U

RRR

R)U(UUUU

3. Schritt der Berechnung: Bestimmung des Ersatzinnenwiderstandes Riers Berechnung des Gesamtwiderstandes (von Klemmen aus gesehen). Dabei ideale Spannungsquellen → Kurzschluss, ideale Stromquellen → Leerlauf

)R(RRR 431iers 431

431

RRR

)R(RR

4. Schritt der Berechnung: Bestimmung von I2 im Grundstromkreis.

)R)(RRR(RR

RU)R(RU

RR

UI

432121

1024301

2iers

0ers2

Nützlich, wenn Ersatzzweipol wieder verwendbar


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AufgabeZwei Blockbatterien wurden parallel geschaltet, um eine Last ausreichend zu versorgen. Durch unterschiedliche Ladezustände sind U01, U02 sowie Ri1, Ri2 nicht gleich.

U01

RL

Ri1

+U02

+

Ri2

U01 = 9 VU02 = 8,1 VRi1 = 6 ΩRi2 = 9 ΩRL = 18 Ω

Frage 1: Wie groß ist der Strom durch RL?Frage 2: Welcher Strom fließt, wenn beide Batterien 9 V und Ri = 6 Ω hätten? (Hinweis: Berechnen Sie mit Hilfe eines Ersatzzweipols für beide Batterien.)

Aufgabe Die Bestimmung von Ersatzzweipolen für Ein- und Ausgang des Transistorverstärker

iER1||R2|| rBERC||rCE

iE Ic = IE ( Stromverstärkungsfaktor, IE EingangsstromRiEin = R1||R2|| rBE = 10 kΩ, = 200 und RiAus = RC||rCE = 5 kΩ.

Frage 1: Wie groß sind die Eingangsspannung uE, die Leerlaufausgangsspannung uA und die Verstärkung v0 = uE/uA bei iE = 10 μA?Frage 2: Wie groß ist die Leerlaufausgangsspannung, wenn ein Widerstand von 10 kΩ den Ausgang belastet (z. B. eine zweite Verstärkerstufe)?


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7.5 Modellierung und Simulation

Möglichkeiten numerischer Lösung (einschließlich Differentialgleichungen und nichtlineare Bauelemente) → Simulationsprogramme.

Modell für ein Simulationsprogramm → formale Sprache • elektrische Schaltzeichnungen, • Block- oder Funktionsdiagramme, (jeweils mit genau festgelegten • Petrinetze Zeichnungselementen)• Hardwarebeschreibungssprachen.

1. Modell muss physikalisch widerspruchsfrei sein.2. Anlage so stark wie möglich vereinfachen, auf wesentlichen Funktionen

beschränken (Parametervariation)3. An Stellen für genauere Untersuchung schrittweise Modell verfeinern. (Jede

Veränderung der Wirkung zuordnen.)4. Entscheidend ist Simulationsstrategie. („Experiment“: was nicht erprobt, bleibt

unbekannt.) 5. Strategie planen → vollständiger Überblick (z.B. grafische Darstellung).

Mathematische Zusammenhänge lediglich als Annäherung zu Messkurven.


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Physikalisch widerspruchsfrei bedeutet:

• Ideale Spannungsquelle, Kapazität, Schalter nicht (in irgendeiner Kombination) parallel schalten.

• Ideale Stromquelle, Induktivität, Schalter nicht (in irgendeiner Kombination) in Reihe schalten.

• Zeitkonstante τ = 0 in rückgekoppelten Kreisen führt zu Stabilitätsproblemen.

• Funktion der Schaltung nicht durch „zufällig nicht vernachlässigte“ parasitäre oder Verlustelemente (z.B. Innenwiderstand der Quelle).

Deutlich: Simulation mit einem Rechner → sehr gutes elektrotechnisches Verständnis und einige Erfahrungen voraussetzt.

Die Ergebnisse auf Plausibilität überprüfen und interpretieren.


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U01

RL

Li1

U02

+

Ri2CG

B

A

Aufgabe Ein Akku und ein Generator wurden parallel geschaltet, um eine Last ohne Unterbrechung zu versorgen. Durch die ungleiche Konstruktion sind U01, U02 sowie ω1Li1, Ri2 nicht gleich U01eff = 12 V

U02 = 12 V Li1 = 64 μHCG = 2000 μFRi2 = 0,1 ΩRL = 6 Ωω1 = 50 Hz

Frage 1: Wie sehen Strom und Spannung von RL und bei den Punkten A B über der Zeit aus?Frage 2: Welche Veränderung gibt es, wenn ein Glättungskondensator CG eingefügt wird? (Hinweis: Ideale Dioden einsetzen. Im Falle der Simulation geht der Rechner davon aus, dass im Startmoment die Quellen eingeschaltet werden.)


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7.6 Ausblick zu weiteren Analysemethoden

• Mathematische Verfahren zur Lösung (Mathematik)

• Reduzierung der Differentialbeziehungen (AEP III)

f2(Im1–Im2)U01

f1(Im1)

R2

R1

+

U02

f4(Im2)

+

R3

R4

Im1 Im2

f3(Im2)

Uk1

f1(Uk1)

U01

R2

R1

+

U02

+

f3(Uk1)

f2(Uk1)R3

R4

1

• Knotenspannungsanalyse (Grundlage für Simulationsprogramme)

• Maschenstromanalyse

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