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République Algérienne Démocratique et Populaire
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Université de Larbi Tébessi -Tébessa -
Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie
Département des Sciences de la Matière
MEMOIRE DE MASTER
Domaine : Sciences de la matière
Filière : Physique
Option : Physique de la matière condensée
THEME
Etude des propriétés magnétiques du modèle de
Heisenberg par la méthode de développement en séries
Présenté par :
Ghaoui Amel
Devant le jury
Manssour Mohamed El Hadi M.A.A Univ. LarbiTébeesi Président
Tag Mohamed Amin M.A.A Univ. LarbiTébeesi Rapporteur
El-Hassasna Amira M.A.B Univ. LarbiTébeesi Examinateur
Soutenue le Lundi 30/ 05 / 2016
Note :…………………. Mention :……………….
ملخص
ملخص
بطريقة النشر ) في بعد واحد وذلك1/2(سبين بدراسة الطاقة الحرة لنموذج ھايزنبرغ نختص في ھذه المذكرة
على دورات كل أجل ذلك نھدف إلى برمجة ھذه الطريقة بطريقة آلية، وجدنا خوارزمية معتمدة المتسلسل من
ثقوب والمخطط غير القابل n الثقوب،تعميم لبعض المخططات (اثنين من مخطط، ونتيجة لذلك وجدنا
لالختزال).
Abstract
Abstract
Specialize in this note examining the free energy of the model Heisenberg (spin 1/2) in one
dimension in a way serial publication for that aim to programming this way automatically, we found
a certified algorithm on the courses each scheme, and as a result we found circulating for some
schemes (two holes, n holes and planned irreducible).
Résumé
Résumé
Ce mémoire est consacré entièrement pour étudié l’énergie libre de modèle de Heisenberg de
spin1/2 à une dimension par la méthode de développement en série. Pour le but d’automatisé
cette méthode nous avons trouvé un algorithme basé sur les cycles de chaque diagramme, et
comme résultat nous avons généralisé quelque diagramme (deux trous, n trous et diagramme
irréductible).
Remerciement
Je remercie en premier lieu Dieu le tout puissant de nous avoir
accordé la puissance et la volonté pour terminer ce travail.
Je remercie Tag Mohamed Amin maitre assistance A à l’université de
Tébessa, de m’avoir proposé ce sujet de recherche, et pour m’avoir
accepté de diriger ce thèse, je tiens à lui exprimer ma gratitude qui
m’a apporté tout le long de ce travail.
Je remercie vivement Mr. Mohamed El Hadi Manssour maitre
assistance A à l’université de Tébessa, d’avoir accepté d’être président
de mon jury de thèse .Mes remerciement vont aussi à El-Hassasna
Amira maitre assistance B à l’université de Tébessa, qui est accepté de
lire et d’examiner mon travail.
Toutes mes reconnaissances et remerciements les plus chaleureux à
touts les enseignants du département de la science de la matière, qui
ont assuré notre formation le long de toutes mes années d’études.
Toutes mes reconnaissances et remerciements spécial à Pr. Fayçal
Chamem.
J’adresse mes vifs remerciements à ma famille mon père Bouguerra
ma mère Henia mon frère Mounir et sa marié Bassma, mes sœurs
Dounia, Radja et ses enfants pour son soutien moral, mon fiancé
Zakaria et mon chère intime Sara, koutaiba.
Je remercie également tous mes amis et camarades qui ont rendu leur
côtoiement si agréable et je remercie aussi Sami Abdelmalek et toutes
les personnes qui m’ont aidé de prêt ou de loin pour la réussite de ce
travail.
AMEL
Dédicace
Je dédis ce mémoire
A ma chère famille
Mon père et ma mère, mon frère Mounir et sa marie Bassma, mes sœurs Radja et son mari Rochdi, Dounia et son fiancé
Hakim, et je prie dieu de les protéger, de les sauvegarder et de leur donner une
longue vie
A la mémoire de mon cher grand père.
A ma chère grande mère.
A mon fiancé Zakaria.
A ses enfants Takoi,Fouad,Douaa
A mon chère amie Sara, Koutaiba.
Petit ou grand, proche ou lointaine.
AMEL
Sommaire
Sommaire
SOMMAIRE ملخصRésumé Abstract Remerciement Dédicace Sommaire Table des figures …………………………………………………………………………….i Liste des tableaux……………………………………………………………………………ii Liste des symboles…………………………………………………………………………..iii Introduction générale ………………………………………………………………………01 Chapitre I Modèle de Heisenberg I-1-Introduction…………………………………………………………………………………….3 I-2-Modèle de Heisenberg………………………………………………………………………….3 I-3-Hamiltonien de Heisenberg………………………………………………………….................3
I-4-Interaction d’échange………………………………………………………………..................4 I-5-Les ondes de spin……………………………………………………………………................5 I-6-Théorie des ondes de spin……………………………………………………………...............5 I.6.1.Cas ferromagnétique…………………………………………………………………......5 I.6.1.1.Cas semi classique…………………………………………………….................5 I.6.1.2.Cas quantique………………………………………………………….............. .6 I.6.2.Cas antiferromagnétique………………………………………………………………..6 I.6.2.1.Cas semi classique………………………………………………………............6 I.6.2.2.Cas quantique………………………………………………………………...6
I-7-Présentation de quelque type de comportement magnétique……………………… ……..6 I.7.1.Diamagnétisme…………………………………………………………………………7
I.7.2.Paramagnétisme……………………………………………………………...................7 I.7.3.Ferromagnétisme………………………………………………………………………..8
Chapitre II
Chaine de spin xxz
II-1-Introduction…………………………………………………………………………….…..10 II-2-Les types des chaînes de spin……………………………………………………………....10 II.2.1.La Chaîne de spin XXX…...........................................................................................10 II.2.2.La Chaîne de spin XXZ ……………………………………………………………...10 II.2.3.La chaîne de spin XYZ ………………………………………………………………11
Sommaire
II-3-Interprétation quantique de l’excitation magnétique………………………………….……11 II-4-Hamiltonien de spin et transformation de Wigner-Jordan…………………………………12 II-5-Hamiltonien de spin et transformation de Fourier…………………………………………14 II-6-La méthode de développement en série…………………………………………………....17 II.6.1.La fonction de partition……………………………………………………………...17 II.6.2.L’énergie moyenne………………………………………………………………......18 II-7-Formalisme général………………………………………………………………………...18 II.7.1.La série de perturbation…………………………………………………………......18 II.7.2.L’énergie libre…………………………………………………………………….....19 II.7.3.Les cycles mathématiques…………………………………………………………...21 II-8-La représentation en diagrammes des termes de Z………………………………………...22 II.8.1.Nouvelle description des diagrammes……………………………………………..23 II.8.2.Les nombres des états………………………………………………………….......24 II.8.3.Les présentations des diagrammes………………………………………………...25 II.8.3.1.Première ordre……………………………………………………………..25 II.8.3.2.Deuxième ordre…………………………………………………………...25 II-9-Déduire l’énergie libre à partir de diagramme…………………………………………......26
Chapitre III
Application de la méthode de développement en série
III-1-Calcule l’énergie libre à l’ordre 4……………………………………………………………..30
III-2-Généralisation de l’énergie libre de quelque diagramme……………………………………..45
III.2.1.Pour le diagramme deux trous………………………………………………………...45
III.2.2.Pour le diagramme de trous………………………………………………………….46
III.2.3.Pour le diagramme irréductible………………………………………………………..47
III-3-Programme pour les diagrammes de Hugenholtz…………………………………………….48
III.3.1.La solution de l’équation de cycle…………………………………………………….48
III.3.2.Généré la liste des positions de lignés sortant………………………………………...49
Conclusion générale………………………………………………………………………………..51
A. Annexe………………………………………………………………………………………….52
A1. Programme de générations les diagrammes de Hugenholtz………………………………….52
A2.Code pour désigner les diagrammes en Mathematica…………………………………………68
A3. Résultats des diagrammes……………………………………………………………………..69
Références.
Liste des figures
i
Figure N° Titre Pagefigure (I-1) Lignes de champs de deux dipôles magnétiques 4 figure (I-2) Variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une
substance diamagnétique 10
figure (I-3) variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance paramagnétique
11
figure (I-4) Variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance ferromagnétique
13
figure (II-1) La décomposition d’operateur S en fonction de xS et yS 12
figure (II-2) Représentation des interactions 22 figure (II-3) Echange de et de 22
figure (II-4) Dédoublement de la ligne d’interaction 1 22 figure (II-5) les cycles , , correspondant aux cycles (26), (3), (145) 23 figure (II-6) Représentation le diagramme dans le cas première ordre 25 figure (II-7) les cycles A, B, C correspondant les cycles (1), (2), (1,2) 26 figure (II-8) Représentation de diagramme 26 figure (II-9) les arbres de diagramme 27 figure (II-10) Représentation l’arbre A 28 figure (III-1) Représentation le diagramme correspondant l’ordre 1 30 figure (III-2) Représentation les diagrammes et correspondant l’ordre 2 31 figure (III-3) Représentation le diagramme 1 correspondant l’ordre 3 32 figure (III-4) Représentation , , correspondant le diagramme 1 33 figure (III-5) Représentation , , correspondant le diagramme 1 34 figure (III-6) Représentation , ′′, ′′′, ′′′′ correspondant le diagramme 1 36 figure (III-7) Représentation le diagramme 2 37 figure (III-8) Représentation le diagramme 3 38 figure (III-9) Représentation le diagramme 4 39 figure (III-10) Représentation le diagramme 5 39 figure (III-11) Représentation le diagramme 1correspondant l’ordre 4 40 figure (III-12) Représentation le diagramme 2 40 figure (III-13) Représentation le diagramme 3 41 figure (III-14) Représentation le diagramme 4 41 figure (III-15) Représentation le diagramme 5 42 figure (III-16) Représentation le diagramme 6 43 figure (III-17) Représentation le diagramme 7 44 figure (III-18) Représentation le diagramme 8 44 figure (III-19) Le diagramme deux trous 45 figure (III-20) Le diagramme de n trous 46 figure (III-21) Le diagramme irréductible 47
Liste des tableaux
ii
Tableau N° Titre PageTableau (I-1) les susceptibilités du Si et Se 7
Tableau (I-2) les susceptibilités du Na et Pt 8
Liste des symboles
iii
Symboles Sens physique, , Les composantes d’opérateur vectoriel
Les matrices de Pauli L’opérateur création
Moment magnétique
Champ magnétique
μ Le magnéton de Bohr g Le rapport gyromagnétique
S L’opérateur de spin
h Champ magnétique externe
j , Constante d’échange Le Hamiltonien
a L’opérateur création a L’opérateur d’annihilation n Nombre d’opérateur
Température de curie
Température de Néel
La susceptibilité magnétique
XXX, XYZ, XXZ Le Hamiltonien de la chaîne de spin
Δ Paramètre d’anisotrope
, , , Les indices de somation
, La règle d’anti commutation
Z La fonction de partition
Constante de Boltzmann
L’énergie moyenne
T L’ordre chronologie
F L’énergie libre
Ψ La fonction d’onde | | Les éléments de matrice
, , Les cycles
, , Définit la classe de la permutation
Γ Le diagramme
Les arbres
, , Les dénominateurs d’énergie
, , , Les facteurs statistiques
Le potentiel
L’énergie libre pour la grandeur irréductible
, Les diagrammes pour l’ordre 2 A, B, C Les arbres pour l’ordre 3
, , , , , , , ′′, ′′′, ′′′′
Les diagrammes correspondant le diagramme 1
D, E, F Les arbres pour l’ordre 3N Le nombre de site
P, Q Les cycles1", 1 Les deux lignes pour l’interaction 1
Liste des symboles
iv
, , Les composantes des matrices de Pauli
A, B Les sous-réseaux
Introduction
générale
Introduction générale
Page1
Introduction
Ce mémoire est consacré entièrement aux thermodynamiques de chaine XXZ spin
quantiques. Il s’agit des modèles des particules de spin 1/2 (ou plus généralement de spins) situées
sur les sites d’un réseau qui interagissent avec leurs voisins les plus proches. Introduites
initialement par Heisenberg [1] en 1928 comme une tentative d’élaborer une théorie pour la
transition ferromagnétique.
Les années 20, la chaîne XXX est un chaîne de spin quantique a été introduite par
Heisenberg en 1928, Dans les années 40 et 50, La solution pour le modèle d’Ising en 2 dimensions
proposée par L.Onsager en 1942 et publiée 2 ans plus tard [2] a joué un rôle aussi important que
l’ansatz de Bethe pour l’´etude des modèles solubles exactement. Cette approche (ainsi que ses
versions plus simples introduites par B. Kaufman [3] et par G. Newell et E. Montroll [4]) est à
l’origine de toutes les méthodes algébriques en physique statistique à 2 dimensions. Entre autres la
chaîne de spin anisotrope XXZ (qui est l’objet central de ce mémoire) a été résolue par R. Orbach
[5,6] par l’ansatz de Bethe.
Le mémoire est structuré comme suit :
Après une introduction générale, dans le Chapitre 1 de ce mémoire est consisté pour l’étude
le modèle d’Heisenberg dépend fortement du signe de la constante de couplage et la dimension de
l’espace pour positive de l’état ferromagnétique ou négative de l’état antiferromagnétique et aussi
l’étude les ondes des spins pour les cas ferromagnétique et antiferromagnétique (classique et
quantique).Le deuxième d’objet étude les propriétés magnétiques (paramagnétique, diamagnétique,
ferromagnétique).
Chapitre 2 de ce mémoire nous donnons une présentation de la modèle de Heisenberg à une
dimension (ou quasi-périodique) de spin ½, pour ce cas nous utilisons la transformation de Wigner-
Jordan et aussi la transformation de Fourier. La dernière forme Hamiltonian de ce modèle est traitée
par la méthode de développement en série et à l’aide de description diagramme de Hugenholtz, la
difficulté rencontre pour trouver toutes les diagrammes est résolue partiellement par séparation les
cycles de chaque diagramme.
Le dernière chapitre concerne à programmer les cycles de chaque diagramme par le langage C++ et
aussi par le logiciel Mathematica pour illustré ces diagrammes. Nous avons calculez à l’énergie
libre à l’ordre 4 et généralisé quelque diagramme formelle (deux trous, n trous, et le diagramme
irréductible). Finalement le mémoire est terminé par une conclusion générale.
Introduction générale
Page2
Références
[1] W. Heisenberg. Zur Theorie der Ferromagnetismus. Zeitschrift f¨ur Physik, 49:619–
636, 1928.
[2] L. Onsager. A two dimensional model with an order-disorder transition. Phys. Rev,
65:117–149, 1944.
[3]B. Kaufman .Crystal statistics. ii. partition function evaluated by spinor analysis.
Phys. Rev., 76(8):1232–1243, Oct 1949.
[4]G. F. Newell and E. W. Montroll. On the theory of the ising model of ferromagnetism.
Rev. Mod. Phys., 25(2):353–389, Apr 1953.
[5] R. Orbach. Linear antiferromagnetic chain with anisotropic coupling. Phys. Rev.,
112:309–316, 1958.
[6] L. R. Walker. Antiferromagnetic linear chain. Phys. Rev., 116:1089–1090, 1959.
Chapitre I
Modèle de
Heisenberg
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page3
I-1-Introduction
Le premier chapitre est consacré à l’étude du modèle d’Heisenberg qui traite les interactions
entre les spins. Ce modèle dépend fortement du signe de la constante de couplage ; positive pour
l’état ferromagnétique ou négatif pour l’état antiferromagnétique. On a présenté aussi l’étude les
ondes des spins pour les cas ferromagnétique et antiferromagnétique (classique et quantique). Les
propriétés magnétiques (paramagnétique, diamagnétique et ferromagnétique), ont été discutées dans
ce chapitre.
I-2-Modèle d’Heisenberg
Ce modèle permet de traiter directement un ensemble de spins en interaction relative qui
dépend de la distance entre les proches voisins [1].
Le spin est le moment cinétique intrinsèque de particule. Il s’agit d’un opérateur vectoriel à
trois composantes , , .
Dans le cas de spin 1 /2, on peut définir les opérateurs de spin en fonction des opérateurs
créations et annihilation sous la forme suivante :
∑ , (I.1)
Où sont les matrices de Pauli :
0 11 0
, 00
, 0 11 0
I-3-Hamiltonien de Heisenberg
L'énergie d'interaction entre un moment magnétique et un champ magnétique est défini
par la relation suivante . .on peut représenter les deux moments magnétiques et par
deux petits aimants qui sont orientés de façon antiparallèle pour minimiser leur énergie comme sur
la figure (I.1) :
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page4
Figure (I.1): Lignes de champs de deux dipôles magnétique
L’hamiltonien d’Heisenberg décrit un ensemble de moments magnétiques localisés en interaction
dans la théorie du magnétisme quantique.
Où l’expression de cet Hamiltonien est :
∑ , . ∑ (I.2)
Oùμ est le magnéton de Bohr
g : est le rapport gyromagnétique
S : est un opérateur de spin
h : est le champ magnétique externe
j , : est la constante d’échange. Pourj , 0 l’interaction est antiferromagnétique et pour
elle j , 0est ferromagnétique.
I-4-Interaction d’échange
L’interaction d’échange soit due à l’interaction coulombienne entres les électrons et puisse
donc être obtenue avec un Hamiltonien indépendant du spin, il est souvent pratique de construire un
Hamiltonien de spin, appelé Hamiltonien de Heisenberg dont les valeurs propres sont les mêmes
que celles de l’Hamiltonien de départ pour les niveaux de basse énergie.
L’expression d’Hamiltonein de Heisenberg s’écrit sous la forme [2] :
∑ , (I.3)
S
S
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page5
Pour les matériaux isolants l‘Hamiltonien est applicable [3], mais il ne s’applique généralement
pas pour les métaux [4], où des modèles de type Stoner qui reposent sur la structure de bandes
d’énergie sont plus adaptés .Une discussion de l’hamiltonien de Heisenberg et des termes
additionnels nécessaires pour décrire certains couplage (double échange, Dzyaloshinski-Moriya,
etc.) [5].
Si l’hamiltonien de Heisenberg quantique rencontre un certain nombre de difficultés en présence
d’électrons délocalisés, il est cependant souvent possible de définir, à partir de calculs ab initia, un
hamiltonien de Heisenberg classique, c’est –à-dire pour lequel et sont des vecteurs à trois
composantes et de norme constante [6] .Pour les métaux, ce hamiltonien n’est en toute rigueur
utilisable que pour des petits écarts à l’état fondamental. Le model de Heisenberg a été utilisée avec
succès sur différents systèmes, tels que les semi –conducteurs dilués [7] ou les métaux [8]. Il est
important de noter que la portée du couplage d’échange peut alors s’étendre bien au-delà des
premiers voisins, comme dans le fer cubique centré.
I-5-Les ondes de spin
Dans les systèmes magnétiques (ferromagnétique, antiferromagnétique, ferrimagnétique) la
symétrie de rotation des moments magnétiques et l’invariance par renversement du temps sont
brisées spontanément. Lorsque la symétrie brisée est une symétrie continue il existe un théorème du
à J.Goldstone [9] selon lequel il doit apparaitre des modes d’excitations de basse énergie à basse
température ces excitations magnétiques sont appelés magnons ou onde de spin.
I-6-Théorie des ondes de spin
Nous commençons par rappeler, d’un point de vue semi classique, la description des
excitations magnétiques des systèmes infinis. Nous décrirons ensuite le formalisme quantique qui
nous permet de déterminer les énergies des spins.
I.6.1. Cas ferromagnétique
I.6.1.1. Cas semi classique
Il est souvent utile de commencer par étudier la limite dite semi classique ou les spins sont
assimilés à des vecteurs classiques à composantes de longueur unité. Considérons, par exemple, un
arrangement régulier de spin à une dimension coulée par des interactions d’échange
ferromagnétique [10].
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page6
I.6.1.2. Cas quantique
Dans un système ferromagnétique, une onde de spin est un état propre de l’Hamiltonien
d’Heisenberg, commençons donc à introduire l’Hamiltonien d’interaction entre les spins S et S :
H J∑ S S
Ou∑ désigne la somme sur les paires de premiers voisins d’un réseau de Bravais magnétique.
I.6.2. Cas antiferromagnétique
I.6.2.1. Cas semi classique
L’etat fondamental est l’état de Néel avec tous les spins ↑sur le sous-réseau A et tous les
spins ↓sur le sous réseau B. Dans le cas d’une chaine linéaire antiferromagnétique, la description
des ondes de spin est analogue à celle décrite pour une chaine linéaire ferromagnétique.
I.6.2.2. Cas quantique
Dans le cas antiferromagnétique, l’état fondamental de l’Hamiltonien de Heisenberg est
inconnu sauf dans le cas de la chaine de spin 2
1 [11] .Bien que l’état de Néel ne soit pas l’état
fondamental exact de H, nous estimons qu’il s’en approche suffisamment pour servir de point de
départ à une approximation de Holsten –Primakoff.
L’état de Néel consiste en un partage du réseau cristallin en deux sous réseaux identiques et
intercalés. Notons que cette décomposition de réseau est valable pour un réseau bipartite mais pas
pour un réseau triangulaire ou hexagonal.
I-7-Présentation de quelque type de comportement magnétique
A l’état libre, nous disons qu’un atome est magnétique s’il est porteur d’un moment
magnétique permanent représenter par un vecteur de module constant. Toute substance matérielle
est formée d’un ensemble d’atome qui peuvent être soit non magnétique soit magnétique ; dans ce
dernier cas, la direction et parfois le module du moment magnétique peuvent dépendre de
l’environnement particulier de chaque atome (nature et position des atomes voisin, température,
champ magnétiques appliqués).
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page7
Nous allons maintenant présenter très sommairement les principaux types de comportements
magnétiques. Ces principaux types de magnétique sont les suivant : diamagnétique, paramagnétique
et ferromagnétique [12].
I.7.1. Diamagnétique
Ce type de magnétique est caractérisé par une susceptibilité relative négative (fig. I.2), de
faible amplitude. Le diamagnétisme est dû à un mouvement orbital des électrons , provoqué par le
champ appliqué .Ce mouvement peut être assimilé à un courant microscopique dont le
comportement serait comparable à celui d’un courant induit dans un solénode .En vertu de loi de
Lenz ,le courant induit s’oppose au champ qui le produit ,ce qui est en accord avec le fait que
est négatif.
Tableau (I.1) : les susceptibilités du Si et Se
Figure (I.2) : variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance diamagnétique [12]
I.7.2. Paramagnétique
Le paramagnétique est caractérisé par une susceptibilité relative positive ,de faible
amplitude c'est-à-dire comprise entre 10 et10 .Il se rencontre dans les substances dont les
atomes possèdent un moment magnétique permanent ,lorsque ces moments ne sont pas couplés les
uns aux autres .Sous l’action d’un champ magnétique ,ces moments tendent à s’aligner .Toutefois
,la polarisation qui en résulte demeure très faible ,car l’effet de l’agitation thermique qui oriente
aléatoirement les moments magnétiques reste prépondérant.
Tableau Matière Matière Si - 1,2. 10-6 Se - 4,0. 10-6
Τ
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page8
Tableau (I.2) : les susceptibilités du Na et Pt
Tableau
Matière rX Matière rX
Na 8,6. 10-6 Pt 1,2. 10-5
Figure (I.3) : variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance paramagnétique [12]
I.7.3.Ferromagnétique
Le ferromagnétique est le type de magnétisme résultant de l'alignement de moments
magnétiques permanents, ces moments étant orientés parallèlement les uns aux autres par une
interaction mutuelle appelée couplage ferromagnétique. Les matériaux ferromagnétiques présentent
donc également une polarisation spontanée. Ce qui a été dit pour les matériaux ferrimagnétiques,
concernant le retour à une distribution aléatoire des moments magnétiques sous l'effet d'une
élévation de température, s'applique également ici (Figure I.4). Les matériaux ferromagnétiques ont
aussi une température de Curie , au-dessus de laquelle ils deviennent paramagnétiques, leur
susceptibilité suivant alors la loi de Curie-Weiss.
1
Τ
Chapitre I Modèle de Heisenberg
Page9
Figure(I.4) :variation thermique de la susceptibilité magnétique pour une substance ferromagnétique
1
1
Chapitre II
Chaîne de spin
XXZ
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page10
II-1-Introduction
Ce chapitre est consacré entièrement aux chaînes de spins quantiques, modèle
unidimensionnels étudiés depuis presque 80ans. Elle se trouve aujourd’hui dans les domaines de la
physique et des mathématiques si différents qu’on les appelle parfois « l’oscillateur harmonique du
XXI siècle ».
Il existe aujourd’hui des applications directes de ces modèles en physique de la matière
Condensée, en optique quantique, en physique de particules [13], le présent travail porte sur
quelque types des chaînes de spin comme la chaîne XYZ qui est appliquée en physique statistique et
la chaîne XXX a été introduite par Heisenberg en 1928 et la chaîne de spin XXZ (qui est l’objet
central de ce chapitre) a été résolue par R. Orbach [14,15] par l’ansatz de Beth.
II-2-Les types des chaînes de spin
II.2.1.La Chaîne de spin XXX
Considérons une chaîne de spins quantiques 1/2 placés sur M sites, avec des conditions de
bord périodiques. Soit la représentation de spin 1/2 de SU(2), et l’espace du é
spin; le Hamiltonien de la chaîne de spin XXX, qui agit donc sur l’espace de Hilbert ⊗ ⊗ , est
2∑ .
(II.1)
L’interaction entre spins est antiferromagnétique, donc même le vide de la théorie n’est pas trivial
[16].
II.2.2.La chaîne de spin XXZ
Le Hamiltonien de la chaine de spin 1/2 XXZ dans un champ magnétique extérieur h
Parallèle à l’axe z s’écrit sous la forme :
∑ Δ ∑ (II.2)
O ù ∆ est un réel fixé et h champs extérieurs. Cette Hamiltonien agit dans l’espace
⊗V ⊗…V .
D’après la valeur du paramètre d’anisotrope∆, il existe trois phases du système :
ferromagnétique, désordonnée et antiferromagnétique .S’il n’y a pas de champ magnétique
extérieure on obtient le régime ferromagnétique si ∆ 1 , le régime désordonné si |∆| 1 et le
régime antiferromagnétique si ∆ 1et aussi il y a plusieurs cas spéciaux du modèle XXZ ,en
particulier le point ∆=1(ou la chaine XXX, le modèle initialement introduit par Heisenberg [17] et
résolu par Bethe en 1931 [18] et le point de fermion libres ∆ 0
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page11
II.2.3.La Chaîne de spin XYZ
Le modèle XYZ de spin 1/2 est un modèle typique de la physique statistique, le magnétisme
unidimensionnel et de la communication quantique. La première solution exacte du modèle avec
limites périodiques état a été dérivée par Baxter [19, 20, 21,22] repose sur sa relation avec le
intrinsèque bidimensionnelle modèle à huit vertex classique. Dans ses célèbres œuvres de la série, la
fondamentale l'équation (l'équation de Yang-Baxter [23, 24,25]) a été mis en valeur et la méthode T
- Q était proposée. Par la suite, Takhtajan et Faddeev [26] ont résolu le modèle par la méthode de
l’Ansatz de Bethe algébrique [27,28]. Dans les deux Baxter et Takhatadzhan et Faddeev les
approches, transformation de jauge locale a joué un rôle très important dans l'obtention d'un vide
local approprié État (ou état de référence) avec laquelle les états généraux Bethe peuvent être
construits. Cependant, un état de référence approprié est jusqu'à présent uniquement disponible pour
les même N (le nombre de sites du réseau).
Le hamiltonien de la chaîne de spin 1/2 XYZ s’écrit sous la forme :
∑ (II.3)
II-3-Interprétation quantique de l’excitation magnétique
Dans le cas ferromagnétique, F .Bloch a montré qu’un magnons unique est un état propre
exact du Hamiltonien de Heisenberg. Pour pouvoir traiter le cas d’un nombre thermodynamique de
magnons, il est nécessaire d’avoir recours à des approximations basées sur la seconde
quantification.
La procédure de seconde quantification consiste à remplacer les coefficients complexes des modes
de Fourier du développement du champ scalaire par des opérateurs abstraits [29] :
appelé opérateur de création
appelé opérateur de d’annihilation
Ces opérateurs obéissent, par définition, à la règle de commutation canonique :
, , (II.4)
Le spin est un opérateur vectoriel, s’écrits , , , On définit les opérateurs et par les
relations suivantes :
(II.5)
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page12
Figure (II.1) : La décomposition d’operateur en fonction de et
II-4-Hamiltonien de spin et transformation de Wigner-Jordan
Dans cette partie nous étudions la transformation de Wigner-Jordan cette dernier consiste à
remplacer les opérateurs de par des opérateurs de pseudo-fermions grâce aux relations :
1 ∑
1 ∑
(II.6)
Où kC correspond à l’opérateur de création (annihilation).
À partir l’équation (II.5) nous trouvons (II.7) sous forme :
(II.7)
Alors l’Hamiltonien XXZ s’écrit :
∑ ∆∑ ∑ (II.8)
À partir la règle d’anti commutation :
, , (II.9)
Nous remplaçons (II.7) dans (II.8) pour obtenir la relation suivante :
xSS
yS
zS
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page13
21 ∑ ∞ 1 ∑ ∞
21 ∑ ∞ 1 ∑ ∞
∆ 12
12
12 . 10
2 2∆
2∆
2∆ ∆
14
12 . 11
On utilise les relations suivantes :
(II.12)
Et la périodicité :
(II.13)
Donc l’Hamiltonien XXZ s’écrit :
∑ ∆∑ ∆ ∑ ∆
. 14
Après la transformation de Jordan-Wigner l’hamiltonien devient :
2 2∆
∆ ∆4 2
. 15
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page14
II-5-Hamiltonien de spin et transformation de Fourier
La transformation de Fourier des opérateurs de création et d’annihilation :
√∑
√∑
(II.16)
Avec :
N : est la longueur de la chaîne ou encore le nombre de sites.
Nous remplaçons (II.16) dans (II.15) et nous trouvons :
∑ ∑ , ∑ ∑
,
∆ ∑ , , , ∆ ∑ ∆
(II.17)
2
2
2∆
, , ,
∆ ∆4 2
II. 18
On utilise les permutations entres les indices de somation ↔ et ↔ donc le terme trois
s’écrit sous la forme :
∆∑ , , ,
∆∑ , , ,
(II.19)
Avec :
≡ , ⟹0 . 20
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page15
Donc :
∆∑ , , ,
∆∑ , , ,
(II.21)
2 2
∆ , , , ,
, , ,2
C C C C
∆J h C C J∆N4
hN2
(II.22)
A partir la relation d’anti commutation :
C , C δ , (II.23)
et on utilise à chaque fois les permutations entres des indices :
∑ ∆∆ ∑ , , ,, , , e e
e e e e e e C C C C J ∆
. 24
Après la transformation de Fourier nous trouvons la forme de :
Δ
4 2Δ cos
∆, 2
2
, , ,
. 25
On pose : (II .26)
Δ cos (II.27)
⟨ | | ⟩ 2 , sin sin (II.28)
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page16
Donc :
∑ ∑ ⟨ | | ⟩, , , (II.29)
On peut défini l’Hamiltonien XXZ sous la forme :
(II.30)
Avec :
∑ (II.31)
∑ | |, , , (II.32)
∑ | |, , ,
On utilise les permutations entres les indices suivants :
→ →
∑ βα| |, , , (II .33)
Donc : | | | | (II.34)
∑ | |, , , (II.35)
∑ | |, , ,
→
∑ | |, , ,
2 ∑ | | | |, , , (II.36)
Alors, l’expression de s’écrit :
∑ | |, , , (II. 37)
∑ ∑ | |, , , (II.38)
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page17
Où
| | | | | | (II.39)
⟨ | | ⟩ 2 , sin sin (II.40)
Où
| | 4 , sin sin (II.41)
Donc
∑ ∑ | |, , , (II.42)
Et
| | , sin sin (II.43)
II-6-La méthode de développement en série
II.6.1. La fonction de partition
En physique statistique, la fonction de partition Z est une grandeur principale qui englobe les
propriétés statistiques d'un dispositif à l'équilibre thermodynamique . Elle dépend des variables
extérieures imposées au système telles que la température, volume du système et le nombre de
particules du système N [30]. Avec Cette fonction on peut exprimer l'énergie totale, l'entropie,
l'énergie libre ou la pression.
La fonction de partition définie par la relation suivante :
(II.44)
Où la température inverse est par convention définie par :
Où est la constante de Boltzmann
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page18
II.6.2. L’énergie moyenne
Pour démontrer l'utilité de la fonction de partition, calculons la valeur thermodynamique de
l’énergie moyenne.
L’énergie moyenne du système est donnée par :
(II.45)
L’énergie moyenne dans le système est simplement la dérivée première de ln
Par rapport à
Donc :
(II.46)
II-7--Formalisme général
II.7.1. La série de perturbation
L’hamiltonien H d’un système de particules identiques en interaction instantanée peut
s’écrire sous la forme [31] :
C’est très difficile ou impossible l’étude des propriétés thermodynamique pour donc
nous utilisons la méthode de développement suivante :
⟨ ⟩ (II.47)
Où :
On posse : ⟨ ⟩ (II.48)
H
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page19
Avec : H 0 (II.49)
Alors :
(II.50)
T : c’est l’ordre chronologie par exemple :
⟨ τ0 ⟩ (II.51)
1 ∑ 1!
∞1 … . . ⟨H τ1 2 … . ⟩ 1000 2 … . II.52)
Dans le sens de la mécanique statistique la notation désigne la valeur moyenne.
est exprimé dans la représentation de l’interaction en fonction des opérateurs et tel
que :
(II.53)
En substituant l’expression de H τ dans (II.34), nous obtenons :
1 ∑ 1!
∞1 . . ∑ ∏ | | ⟨∏ 1 ⟩1, , ,00 1 2. . (II.54)
II.7.2. L’énergie libre
L’énergie libre F est définie par [30] :
ln (II. 55)
On commence par calculer à partir l’expression
Avec H Nε ∑ ε C C
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page20
Nous remplaçons l’expression dans et devient :
∑
On utilise l’opérateur nombre dans l’équation nous trouvons :
∏ (II.56)
Avec C C (II.57)
∏ ψ (II.58)
Où : |ψ⟩=| … . ⟩ (II.59)
… . ∏ … .
⟨ |⨂⟨ |⨂… ⟨ ⨂…⨂ ∏ ⊗. . .⨂ ⟩…⨂| ⟩
∏ (II.60)
Alors, l’expression s’écrit sous la forme :
∏ 1 (II.61)
Nous remplaçons (II.40) dans l’équation suivante pour obtenir :
∏ ln 1 (II.62)
∏ ln 1
∏ ln 1 (II.63)
On posse : ⟹ (II.64)
A la limite thermodynamique → ∞:
1 → 0
→ 2
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page21
ln 1 (II.65)
Donc l’expression de l’énergie libre per site s’écrit :
ln 1 (II.66)
II.7.3. Les cycles mathématiques
Définition : Si1 , on appelle cycle de longueur k ou k-cycle, une permutation de telle
que [32]:
, , … , , , … ,, , … , , , … ,
Où , , … , sont les éléments distincts de l’ensemble 1, . . ., n,
Exemples :
(a) Dans , la permutation est un 3–cycle. On le note (2, 5, 3) (ou (5, 3, 2) ou (3, 2, 5)).
(b) Dans , la permutation n’est pas un cycle.
(c) Dans le 5–cycle (1, 8, 5, 3,7) correspond à la permutation
II-8-La représentation en diagrammes des termes de Z
Peut-être représentation d’un système de contraction par un diagramme est connu [33], on
dessiné les unes au-dessous des autres n lignes horizontales numérotées 1,2…, n, qui correspondent
aux interactions , … , , où on posse la partie gauche et et à la partie droite les
opérateurs et t
Figure (II.2) : représentation des interactions [31]
Pour obtenir tous les diagrammes on utilise les extrémités gauches ou droites des
interactions où les éléments de matrice | | est symétrie définie pour modifier des états
Ou l’échange des états et .Par exemple la figure (II.3) montre l’échange de et .
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page22
Figure (II.3) : Echange de et de
Figure (II.4) : Dédoublement de la ligne d’interaction 1
P
Q
Figure (II.5) : les cycles , , correspondant aux cycles (26), (3), (145)
1
2
3
1
1"
1
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page23
On commence maintenant et séparé chaque interaction en deux lignes cette lignes est chiffrée
1"et 1 pour l’interaction 1 et l’interaction 2 est 2" et 2 et aussi la ligne 1" est contact à les
opérateurs de création et la ligne1 est contact à les opérateurs de d’annihilation (fig. II.4).
Le diagramme est déconnecté en certain nombre de cycle à cause de dédoublement. Ces cycles
non orientés sont déterminés de façon unique par diagramme (fig.II.5).
II.8.1. Nouvelle description des diagrammes
Dans ce diagramme nous trouvons les contractions qu’entre opérateurs et d’un côté et
les contractions entre l’opérateur et d’autre côté, ensuite les extrémités droites des interactions
sont réunies par des lignes la même chose pour les extrémités gauches et aussi sur les diagrammes
nous ne trouvons pas de liaison entre les côté gauche et droite ou renversement. Les cycles P est
correspondre la partie gauche et les cycles Q la partie droite.
On posse les cycles P et Q s’écrit sous la forme :
… .. , …
..
Où les cycles sont les permutations successives entre les positions.
La (figure 2.5) montre un exemple de diagramme :
Ou
Ou
II.8.2. Les nombres des états
Définissons maintenant le nombre de cycle sous la forme :
!
∏ ! (II.67)
Ou ∑ et 0
Exemple :
Nous considérons les cycles nombre trois (n =3) et l’ensemble , , … définit la classe de la
permutation telles que : 2 3
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page24
Les solutions de cette expression s’écrivent :
3, 0, 01, 1, 00, 0, 1
Donc :
!
! ! !
3 2
A l’ordre n il ya 2 ! états
Par exemple pour n=2 il y a 4!
4 ∑ ! !
∏ !2 ! (II.68)
Où les solutions de l’équation ∑
Et 4 ≡ 4 ⋯
4 ≡ 4 4 … 4 … 4
∑ . . . … ! !
∏ !
On posse :
! ∑ !∏!
(II.69)
Introduisons la fonction génératrice définie par la série entière
∑!
(II.70)
Nous remplaçons l’expression dans pour obtenir la relation suivante :
∏ ∑! (II.71)
∏ ln 1 4
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page25
1 4 (II.72)
Le développement de s’écrit
∑ !
! (II.73)
L’identification des séries (II.70) et (II.73) permet de conclure
2 ! (II.74)
II.8.3. Les présentations des diagrammes
II.8.3.1. Première ordre
Dans cette partie il y a un seul nombre donc on peut présenter les diagrammes pour un système des
particules dans le cas première ordre sous la forme :
Figure (II.6) : représentation le diagramme dans le cas première ordre
II.8.3.2. Deuxième ordre
Dans cette partie nous trouvons les cycles d’ordre 2 correspondent (1), (2), (1,2)
On peut écrire le cycle nombre deux (n=2) sous la forme :
2 2
Les solutions de cette expression s’écrit :
2, 0 0, 1
1 1
≡
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page26
Figure (II.7) : les cycles A, B, C correspondant les cycles (1), (2), (1,2)
II-9-Déduire l’énergie libre à partir de diagramme
Le diagramme Γ dans la Figure (II.8) donne une contribution du 4iéme ordre à l’opérateur de masse d’un système normal de fermions. On à sept lignes internes , , … , [34].
Figure (II.8) : représentation de diagramme
Nous exposons maintenant l’application de la règle proposée au calcul du diagrammeΓ, en définissant sommairement les notions utiles.
1) On dessine sur le graphe Γ , amputé de ses lignes externes, tous les arbres possibles, c’est –
à-dire les graphes connexes sans cycles de quatre sommets et de trois lignes choisies parmi
les lignes de Γ . Il existe 21arbre sur Γ .En fait, il n’est pas besoin que d’en considérer
13, qui sont représentés (figure II.9) : ceci à cause de la double ligne ,1et 2, qui joint les
deux sommets A et B.
1
2
1
2
1
2
A B C
C
6
B
21 3
A
D 7
5
4
,
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page27
Figure (II.9) : les arbres de diagramme
Il suffit de considérer seulement un arbre qui passe par l’une d’elle et de doubler le résultat, appelons ∑ la somme des contributions ∑ associées à chaque arbre.
∑ , Sommedes∑ ,
Explicitons maintenant la règle du calcule de ∑ pour un arbre particulier, par exemple de la figure (II.9).
A B
C D E
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page28
2) La contribution de l’arbre comme suivante :
Aux linges de l’arbre , , sont associés des dénominateurs d’énergie à des états intermédiaires déterminés par et autres linges de Γ n’appartenant pas à , et formant un ensemble , , , sont associés les facteurs statistiques ou
Il reste donc à préciser comment déterminer le choix entre et pour chaque linge de , et comment construire les dénominateurs d’énergie relatifs aux lignes de .
3) Dénominateurs d’énergie. La figure 2.10 montre comment sont définis les trois dénominateurs relatifs aux lignes , , relatifs aux lignes , et .
Figure (II.10) : représentation l’arbre A
Au préalable, on joint ensemble sur un sommet auxiliaire , les deux lignes externes, effectuées de la variable d’énergie Z.
Soit à déterminer .On supprime idéalement la ligne de l’arbre .Ceci a pour effet de couper l’arbre en deux arbres et de séparer les sommets de Γ en deux groupes. Dans le cas présent, on a le groupe formé du sommet A seul, et le groupe formé des sommets B, C, D.
La ligne en tirés i, est la ligne de séparation des deux groupes : la ligne de partage i, coupe les lignes de Γ et la ligne externe suivantes : , , , .Le dénominateur est , où l’on a mis le signe + devant l’énergie de l’unique ligne de qui coupe i, et les autres signes suivant le sens relatif par rapport à des lignes qui coupent i. On lit donc sur la section idéale i, le transfert total d’énergie correspondant à l’état intermédiaire défini par i. On lit de même, relativement aux sections des lignes par et par :
1
C
6
B
23
A
D7
54
Z
Z
i
Chapitre II Chaîne de spin XXZ
Page29
4) Facteur statistiques .Soit à déterminer le facteur relatif à la ligne de .On remarque que l’adjonction mentale de la ligne à l’arbre , crée un cycle et un seul formé des lignes , et .Définissons l’orientation totale de ce cycle de la façon suivante: on parcourt le cycle dans le sens indiqué par la flèche de la ligne n.6 .Le nombre total de flèche rencontrée du même sens que la ligne 6,diminué du nombre de flèche orientées dans le sens inverse de 6 ,est un nombre entier dont le signe est .Nous avons alors un facteur .
Pour la ligne 6 : cycle , , d’où 1 .
Pour la ligne 5 : cycle , d’où 1 .
Pour la ligne 1et 2 : cycle , , d’où 1 .
D’où les facteurs :
Rassemblant facteurs statistiques et dénominateurs d’énergie, on obtient pour la contribution de (A).
∑ , kk | | k k | | k k | | k k | |
.
(II.75)
Chapitre III
Application de la
méthode de
développement en
série
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page30
L’objet de ce chapitre est Calcule l’énergie libre de modèle de Heisenberg de spin ½ par la méthode de développement en série à l’ordre 4, Pour ce but on utilise un programme basé sur la séparation de chaque diagramme en cycles périodique. III-1-Calcule l’énergie libre à l’ordre 4
La définition de l’énergie libre est donnée par :
ln (III.1)
On utilise le développement (II.54) on trouve la forme de l’énergie libre sous forme de série
∑ (III.2)
L’ordre n=1
Figure (III.1) : représentation le diagramme correspondant l’ordre 1
On peut défini l’expression de l’énergie libre comme suit :
∑ (III.3)
0ù v est le potentiel
f est les facteurs statistique
12| |12
Avec :
(III.4)
Et
αβ| |γδ 2 ∆ , sin sin (III.5)
A partir (III.5) le potentiel devient comme suivant :
12| |12 2 ∆ sin sin
1 2
1,2
1
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page31
Donc :
4 ∆ sin2
4 ∆ sin
L’ordre n=2
Figure (III.2) : représentation les diagrammes et correspondant l’ordre 2
Pour le diagramme dans le cas n=2 le potentiel s’écrit sous la forme :
12| |12 14| |14 4 ∆ sin2
sin2
Donc :
22 1!
2 ∆ sin2
Avec :
(III.6)
Alors :
8 ∆12
sin2
sin2 4 cosh 1 1
1 3
2
4
3,2,1,4
Sym=‐2
2 3 14
3,4,1,2
Sym=8
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page32
Pour le diagramme dans le cas n=2 le potentiel s’écrit sous la forme :
2 1 20
4
4
12| |34 34| |12 (III.7)
12| |34 34| |12 4 ∆ sin2
sin2 , ,
1 2 3 4
3 4 1 2⇒ 3 2 1 4
1 2 4 4
2 1 4
4 2∆2 sin2 1 2
2sin2 4
2 1
2
Alors :
L’ordre n=3
Figure (III.3) : représentation le diagramme 1 correspondant l’ordre 3
A partir le diagramme1on calcule l’énergie libre des arbres A, B et C
6
213
5
4
3,4,5,6,1,2
Sym=‐24
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page33
Pour A :
Figure (III.4) : représentation , , , correspondant le diagramme 1
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
5
2 4 1
6
3
5
4 1
6
32
5
124 3
6
2 4 1
6
3
5
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page34
Donc :
224
12| |34 34| |56 56| |12
On utilise maintenant le changement suivant → et →
224
12| |56 56| |34 34| |12
On utilise maintenant le changement final → et → on trouve :
224
12| |34 34| |56 56| |12
Pour B
Figure (III.5) : représentation , , , correspondant le diagramme 1
2 4 1
6
3
5
5
12 4 3
6
2 4 1
6
3
5
4 1
6
3
5
2
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page35
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
On utilise le changement → et → on trouve
12| |34 34| |56 56| |12
Où
12| |34 34| |56 56| |12
On utilise maintenant le changement de variable → et →
224
12| |56 56| |34 34| |12
On utilise maintenant le changement final de variable → et →
224
12| |34 34| |56 56| |12
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page36
Pour C
Figure (III.6) : représentation , ′′, ′′′, ′′′′ correspondant le diagramme 1
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
Les facteurs statistiques pour est :
4 1
6
3
5
2 4 1
6
3
5
2
1
5
4
2 4 1
6
3
2 3
6
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page37
Les facteurs statistiques pour est :
On utilise le changement de variable → et →
12| |34 34| |56 56| |12
Où
224
12| |34 34| |56 56| |12
Donc l’expression de l’énergie libre dans le cas de diagramme 1 est :
Donc
12| |34 34| |56 56| |12 (III.8)
Figure (III.7) : représentation le diagramme 2 correspondant l’ordre 3
A la même méthode précédente on calcule l’énergie libre des arbres D, E et F correspondant le diagramme 2.
Pour D
26
12| |36 34| |52 56| |14
62 1 3
5
4
3,6,5,2,1,4
Sym=‐6
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page38
Pour E
26
12| |36 34| |52 56| |14
Pour F
26
12| |36 34| |52 56| |14
Donc l’expression de l’énergie libre dans le cas de diagramme 2 est :
On utilise à chaque fois le changement de variable pour obtenir la relation suivante :
2 ∆ " 6
sin sin sin sin sin
6
sin sin sin sin sin
sin (III.9)
Figure (III.8) : représentation le diagramme 3
∆ 2 sin ∏ 2 sin 2 (III.10)
2
3 1
46
5
3,2,1,6,5,4
Sym=‐2
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page39
Figure (III.9) : représentation le diagramme 4
2 ∆ 2 sin sin sin (III.11)
Figure (III.10) : représentation le diagramme 5
!
∏ 2 ∆ sin (III.12)
2
51
3
4 6
5,2,1,4,3,6
Sym=‐3
3,4,5,2,1,6
Sym=2
6
21
3
5
4
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page40
L’ordre n=4
Figure (III.11) : représentation le diagramme 1
3 8 2 1 6 4 8 2 7 5 8 2
12 38 34 16 56 74 78 52 (III.13)
Figure (III.12) : représentation le diagramme 2
12 |34 34 |56 56 |78 78 |12
(III.14)
1
2
3
4
5
6
7
8
7,6,5,8,3,2,1,4
Sym=8
1 2
3
4
5 6
7
8
3,4,5,6,7,8,1,2
Sym=64
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page41
Figure (III.13) : représentation les diagrammes 3
2
12| |34 34| |21 16| |16 38| |38 18| |18 68| |68
2
12| |34 34| |21 16| |16 28| |28 (III.15)
Figure (III.14) : représentation le diagramme 4
8
12
3
4
5
6
7
3,4,5,6,7,2,1,8
Sym=‐4
3,4,5,2,1,8,7,6
Sym=2
21
3
5
4
7
8 6
5,2,1,6,7,4,3,8
Sym=2
2
1
3
5
4
7
8
6
3,4,7,6,5,2,1,8
Sym=4
5
6
7
2
4
1
8
3
8
1
5
6
3,4,7,2,1,6,5,8
Sym=2
2
4
3
7
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page42
2
12| |34 34| |56 56| |12 18| |18 (III.16)
Figure (III.15) : représentation le diagramme 5
24 12| |36 34| |52 56| |14 58| |58 (III.17)
8
1
2
3
4
5
6
7
5,2,1,8,7,4,3,6
Sym=‐1
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page43
Figure (III.16) : représentation le diagramme 6
∆ 2 sin ∏ 2 sin 2 (III.18)
75
6
2
1 3
48
3,2,1,8,7,6,5,4
Sym=‐2
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page44
Figure (III.17) : représentation le diagramme 7
! ∏ 2 ∆ sin 2 ∆ sin Sin (III.19)
Figure (III.18) : représentation le diagramme 8
!4 ∏ 2 ∆ sin (III.20)
8
1
2
3
4
5
6
7
7,2,1,4,3,6,5,8
Sym=‐4
5,2,1,4,3,8,7,6
Sym=‐1
2 1
35
4
7
8 6
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page45
III-2-Généralisation de l’énergie libre de quelque diagramme
III.2.1. Pour le diagramme deux trous
Figure (III.19) : le diagramme deux trous
∆ 2 sin2
2 sin2
2
Mais on a que :
2 sin2
1 cos cos
21
2 cosh
Donc
∆ ∏ (III.21)
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page46
III.2.2. Pour le diagramme de trous
Figure (III.20) : le diagramme de n trous
!
∏ 2 Δ sin
Où
!
Où
4 Δ sin
!ln 1
Donc la somme
,!
ln 1
Où
ln 1,!
ln 1
Mais le développement limite
,!
ln 1 ln 1 ,
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page47
Donc on en résumé
ln 1 ln 1 ,
Où
ln 1 ln 1 (III.22)
Où
sin
III.2.3. Pour le diagramme irréductible
Figure (III.21) : le diagramme irréductible
Généralisation de grandeur réductible
2 Δ sin2
sin
2 Δ2
sin2
12
sin
L’énergie libre pour la grandeur irréductible
∆1 2
sin2 1 2
2
,
,
2
0 (III.23)
Où :
,2 ∆2
sin
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page48
III-3-Programme pour les diagrammes de Hugenholtz
L’algorithme de notre méthode est réalisé par les étapes suivantes :
III.3.1. La solution de l’équation de cycle ∑ (III.24)
L’algorithme de l’équation de cycle résumé au suivant :
La partie initialise est :
1, ;
, ;
, 0 ;
La fonction récursive (NumCyEv) retourne le vecteur ( ) qui contient les solutions de l’équation (III.1)
NumCyEv(p)
Tantque <=
Pourk=1‐>p
, , 1
Finpour
, , 1
v++
1
1
NumCyEv(p+1);
1
1
Fintantque
Fin
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page49
III.3.2. Généré la liste des positions de lignés sortant
La fonction (det) récursive de chaque diagramme (p) dans chaque cycle (q) trouvé par l’algorithme
précédent est résumée par l’algorithme suivant, cette fonction retourne un vecteur ( ) qui
donne les positions de chaque ligne sortant.
det( p, q, szALLde)
Si p=n+1
tpL=L
tpPosL=PosL
syy=faux
dv=1
Si dett2(1, , q,L,PosL,tpL,tpPosL, szALLde) est faux
Pour k=1 ‐>
, ,
Pour j= , +2 ‐> ,
Fin Pour
Fin pour
Si discSt(q,L)est faux
Pour k=1 ‐> n
, 2 1
, 2
Fin pour
1
1
Fin Si
Fin Si
Si non
Pour i=p‐>n
CCHHAAPPIITTRREE IIIIII AApppplliiccaattiioonn ddee llaa mméétthhooddee ddee ddéévveellooppppeemmeenntt eenn sséérriiee
Page50
,
det(p+1,q,szALLde);
,
Fin pour
Fin Si
Fin
La fonction (dett2) filtré les diagrammes connexes et la fonction (discSt) trouve les diagrammes
déconnectes.
Le code total est programmé par le langage C++, L’illustration de chaque diagramme est faite par
un code simple créé par le langage formel de Mathematica (Voir L’Annexe).
Conclusion
générale
Conclusion générale
Page51
Conclusion
Nous avons présenté dans ce mémoire l’étude de modèle de Heisenberg XXZ par la méthode
de développement en série. Pour le but d’automatisé la méthode nous avons programmé un
algorithme pour trouver les diagrammes de Hugenholtz par le langage C++ et à l’aide de logiciel
Mathematica pour illustré ces diagrammes.
Le calcul de l’énergie libre est fait à l’ordre 4 et généralisé à quelque diagramme (deux trous, n
trous et diagramme irréductible).
Annexe
Annexe
Page52
A1. Programme de générations les diagrammes de Hugenholtz
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <string>
#include <cmath>
#include <sstream>
using namespace std;
typedef short int uint;
const unsigned int MAX_LN_FIL = 1000000,MAX_2N=50,MAX_N=25;
inline bool MinBTL(int mind, int demc, uint *L1, uint *L2);
inline bool recswap(int q, int k, uint * L, uint *PosL);
bool det(uint p, int max_1, int q, int szALLde);
void affiche(uint* L, uint mdn);
void write_L(int nn, uint ALLGl[][MAX_2N], int *SymM);
inline void ADD(uint *L1, uint *L2, uint n);
inline bool egal(uint *L1,uint* L2, uint n);
uint n,dn;
static unsigned int tt=0, LN = 0, v = 0;
int Position(uint, uint*);
uint L[MAX_N], R[MAX_N], PosL[MAX_N];
int ic[MAX_N], jc[MAX_N];
uint FIL[MAX_LN_FIL][MAX_N]= {0}, CFIL[MAX_LN_FIL][MAX_N]= {0},Indx[MAX_LN_FIL][MAX_N]=
{0};
Annexe
Page53
uint lnc[MAX_LN_FIL]= {0};
int NumCyEv(int p);
uint ALLGl[MAX_LN_FIL][MAX_2N];
uint ALLDL[MAX_LN_FIL][MAX_2N];
int SymMAT[MAX_LN_FIL];
uint LisGenDet[MAX_N], LisSizDet[MAX_N], Matbeg[MAX_N];
bool dett2(int k, int fin, int q,uint *L, uint *PosL, uint *tpL, uint *tpPosL, int szALLde);
bool simpDet(int q, int p, int gnDet, int szDet, uint *tpL,int beg, uint *L);
void REV(int q, int k, uint * tpLA, uint *tpPosLA);
void FindR(int q, int k, uint *tpLA, uint *tpPosL);
static bool syy = false;
int sig = 1;
bool discSt(int q, uint *L);
int main()
{
unsigned int i,j,k,kk,ma_n,q;
uint CvR[MAX_N],CvA[MAX_N];
uint lnCk[MAX_N]= {0};
int p, max_1;
cout<< "Entrez l'ordre n" << endl;
cin>>n;
dn=2*n;
ic[0]=1;
jc[0]=n;
ic[1]=ic[0];
jc[1]=jc[0]‐ic[0];
Annexe
Page54
NumCyEv(1);
FIL[v][n]=1 ;
v++;
int r=1;
int szALLde=0;
for(q=0; q<v; q++)
{
r=1;
for(k=1; k<=n; k++)
{
lnc[q]+=FIL[q][k];
if(FIL[q][k]!=0)
{
for(int l=1; l<=FIL[q][k]; l++)
{
CFIL[q][r]=k;
Indx[q][r]=k;
Indx[q][r]+=Indx[q][r‐1];
r++;
}
}
}
}
if(n%2==0)
max_1=(n+2)/2;
else
Annexe
Page55
max_1=(n+3)/2;
for(q=0; q<v; q++)
{
for(i=1; i<=n; i++)
{
L[i] = i;
PosL[i] = i;
}
sig=1;
r=1;
j=1;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if(FIL[q][i]!=0)
{
if(FIL[q][i]>1)
{
LisGenDet[r]=FIL[q][i];
LisSizDet[r]=i;
Matbeg[r]=j‐1;
r++;
}
j++;
}
}
for(k=1;k<=lnc[q];k++)
Annexe
Page56
sig=sig*(‐1);
det(1,max_1,q,r‐1);
}
write_L(dn,ALLGl,SymMAT);
uint Vrtx[MAX_LN_FIL][MAX_N][4];
return 0;
}
uint tpL[MAX_N], tpPosL[MAX_N];
static int dv=1;
bool det(uint p, int max_1, int q, int szALLde)
{
int i, j, k;
int cc=0;
bool bff=true, ok =true;
bool ok1=false;
if(p==n+1)
{
tt++;
ADD(tpL,L,n);
ADD(tpPosL,PosL,n);
syy=false;
dv=1;
if(!dett2(1, lnc[q], q,L,PosL,tpL,tpPosL, szALLde))
{
for(k=1; k<=lnc[q]; k++)
{
Annexe
Page57
R[Indx[q][k‐1]+1]=L[Indx[q][k]];
for(j=Indx[q][k‐1]+2; j<=Indx[q][k]; j++)
{
R[j]=L[j‐1];
}
}
if(lnc[q]==1)
{
for(k=1; k<=n; k++)
{
ALLGl[LN][2*k‐1]=2*R[k]‐1;
ALLGl[LN][2*k]=2*L[k];
}
SymMAT[LN]=sig*(dv‐1);
LN++;
}
else if(!discSt(q,L))
{
for(k=1; k<=n; k++)
{
ALLGl[LN][2*k‐1]=2*R[k]‐1;
ALLGl[LN][2*k]=2*L[k];
}
SymMAT[LN]=sig*(dv‐1);
LN++;
}
Annexe
Page58
}
}
else
{
for(i=p; i<=n; i++)
{
swap(L[i],L[p]);
PosL[L[i]]=i;
PosL[L[p]]=p;
det(p+1,max_1,q,szALLde);
swap(L[i],L[p]);
}
}
return true;
}
inline void ADD(uint *L1, uint *L2, uint n)
{
for(int k=1; k<=n; k++)
L1[k]=L2[k];
}
int Position(uint val, uint * L)
{
uint pos;
for(int i=1; i<=n; i++)
if(L[i] == val)
{
Annexe
Page59
pos = i;
break;
}
return pos;
}
int NumCyEv(int p)
{
while(ic[p]<=jc[p])
{
for(int k=1; k<=p; k++)
FIL[v][ic[k]]++;
FIL[v][jc[p]]++;
v++;
ic[p+1]=ic[p];
jc[p+1]=jc[p]‐ic[p];
NumCyEv(p+1);
ic[p]++;
jc[p]‐‐;
}
return 0;
}
inline bool egal(uint *L1,uint* L2, uint n)
{
unsigned int i3;
bool res=true;
for(i3=1; i3<=n; i3++)
Annexe
Page60
{
if(L1[i3]!=L2[i3])
{
res = false;
break;
}
}
return res;
}
void affiche(uint* L, uint mdn)
{
for(int k=1; k<=mdn; k++)
cout<<L[k]<<" ";
cout<<endl;
}
void write_L(int nn, uint ALLGl[][MAX_2N], int *SymM)
{
ofstream myfile;
int k;
myfile.open("FiltreALL.txt");
myfile<<"Toutes Les cas sont "<<tt<<endl;
myfile<<"Le Length de GlauBal = "<<LN<<endl;
myfile<<"ALLGL = {";
for(int ff=0; ff<LN‐1; ff++)
{
myfile<<"{";
Annexe
Page61
for(k=1; k<nn; k++)
myfile<<ALLGl[ff][k]<<",";
myfile<<ALLGl[ff][nn]<<"},";
}
myfile<<"{";
for(k=1; k<nn; k++)
myfile<<ALLGl[LN‐1][k]<<",";
myfile<<ALLGl[LN‐1][nn]<<"}};";
myfile<<endl;
myfile<<"Sym = {";
for(int ff=0; ff<LN‐1; ff++)
myfile<<SymM[ff]<<",";
myfile<<SymM[LN‐1]<<"};";
myfile.close();
}
inline bool MinBTL(int mind, int demc, uint *L1, uint *L2)
{
for(int i=mind; i<=demc; i++)
{
if(L1[i]==L2[i]) continue;
if(L1[i]>L2[i])
{
return true;
}
else
break;
Annexe
Page62
}
return false;
}
inline bool recswap(int q, int k, uint * tpL, uint * tpPosL)
{
uint v1 = Indx[q][k‐1]+1, v2 = Indx[q][k];
swap(tpL[v1],tpL[v2]);
tpPosL[tpL[v1]]=v1;
tpPosL[tpL[v2]]=v2;
swap(tpL[tpPosL[v1]],tpL[tpPosL[v2]]);
swap(tpPosL[v1],tpPosL[v2]);
for(int j=1; j<=CFIL[q][k]‐2; j++)
{
swap(tpL[v2‐j+1],tpL[v2‐j]);
tpPosL[tpL[v2‐j+1]]=v2‐j+1;
tpPosL[tpL[v2‐j]]=v2‐j;
swap(tpL[tpPosL[v2‐j+1]],tpL[tpPosL[v2‐j]]);
swap(tpPosL[v2‐j+1],tpPosL[v2‐j]);
}
return true;
}
uint tpLk[MAX_N][MAX_N], tpPosLk[MAX_N][MAX_N];
bool dett2(int k, int fin, int q,uint *L, uint *PosL, uint *tpL, uint *tpPosL, int szALLde)
{
if(syy)
return syy;
Annexe
Page63
if(k==fin+1)
{
if(szALLde!=0)
{
for(int ld = 1; ld<=szALLde; ld++)
{
if(simpDet(q,1,LisGenDet[ld],LisSizDet[ld],tpL,Matbeg[ld],L))
{
syy = true;
return syy;
break;
}
}
}
else
{
if(egal(tpL,L,n))
{
dv++;
}
if(MinBTL(1,n,L,tpL))
{
syy = true;
return syy;
}
}
Annexe
Page64
}
else
{
for(int ki=0; ki<2*CFIL[q][k]; ki++)
{
if(ki==CFIL[q][k])
{
REV(q, k, tpL, tpPosL);
}
if(ki!=0)
recswap(q, k, tpL, tpPosL);
ADD(tpLk[k],tpL,n);
ADD(tpPosLk[k],tpPosL,n);
if(ki>=CFIL[q][k])
FindR(q,k,tpL, tpPosL);
dett2(k+1, fin, q ,L, PosL, tpL, tpPosL, szALLde);
ADD(tpL,tpLk[k],n);
ADD(tpPosL,tpPosLk[k],n);
}
}
if(syy)
return true;
else
return false;
}
int p1, p2;
Annexe
Page65
bool simpDet(int q, int p, int gnDet, int szDet, uint *tpL,int beg, uint *L)
{
if(syy)
return syy;
if(p==gnDet+1)
{
if(egal(tpL,L,n))
{
dv++;
}
if(MinBTL(1,n,L,tpL))
{
syy = true;
return syy;
}
}
else
{
for(int i=p; i<=gnDet; i++)
{
if(i!=p)
for(int j=0; j<szDet; j++)
{
swap(tpL[Indx[q][i+beg‐1]+1+j],tpL[Indx[q][p+beg‐1]+1+j]);
p1 = Position(Indx[q][i+beg‐1]+1+j,tpL);
p2 = Position(Indx[q][p+beg‐1]+1+j,tpL);
Annexe
Page66
swap(tpL[p1],tpL[p2]);
}
simpDet(q,p+1,gnDet,szDet,tpL,beg,L);
if(i!=p)
for(int j=0; j<szDet; j++)
{
swap(tpL[Indx[q][i+beg‐1]+1+j],tpL[Indx[q][p+beg‐1]+1+j]);
p1 = Position(Indx[q][i+beg‐1]+1+j,tpL);
p2 = Position(Indx[q][p+beg‐1]+1+j,tpL);
swap(tpL[p1],tpL[p2]);
}
}
}
if(syy)
return true;
else
return false;
}
void REV(int q, int k, uint * tpLA, uint *tpPosLA)
{
uint v1 = Indx[q][k‐1]+1, v2 = Indx[q][k];
for(int ki=0; ki<trunc(CFIL[q][k]/2); ki++)
{
swap(tpLA[v1+ki],tpLA[v2‐ki]);
tpPosLA[tpLA[v1+ki]]=v1+ki;
tpPosLA[tpLA[v2‐ki]]=v2‐ki;
Annexe
Page67
swap(tpLA[tpPosLA[v1+ki]],tpLA[tpPosLA[v2‐ki]]);
swap(tpPosLA[v1+ki],tpPosLA[v2‐ki]);
}
}
void FindR(int q, int k, uint *tpLA, uint *tpPosL)
{
uint v1 = Indx[q][k‐1]+1, v2 = Indx[q][k];
swap(tpLA[v1],tpLA[v2]);
for(int j=1; j<=CFIL[q][k]‐2; j++)
swap(tpLA[j+v1‐1],tpLA[j+v1]);
for(int j=1; j<=n; j++)
tpPosL[j]=Position(j,tpLA);
}
bool discSt(int q, uint *L)
{
int dz = 0;
for(int k=1; k<=lnc[q]; k++)
{
dz=0;
for(int j1 = Indx[q][k‐1]+1; j1<=Indx[q][k]; j1++)
for(int j2 = Indx[q][k‐1]+1; j2<=Indx[q][k]; j2++)
if(L[j1]==j2)
{
dz++;
}
if(dz==CFIL[q][k])
Annexe
Page68
{
return true;
}
}
return false;
}
A2.Code pour désigner les diagrammes en Mathematica
ClearAll[Grph]; SetAttributes[Grph,HoldFirst]; eps=0.10; ListDisks:=Table[Disk[{i,0},eps],{i,1,n/2}]; Grph[R_]:=( s=n/2; ListGraph={ListDisks}; For[k=1,k<n,k+=2, If[R[[k]]�R[[k+1]],AppendTo[ListGraph,Thick];s‐‐,AppendTo[ListGraph,Thin]]; AppendTo[ListGraph,{Arrowheads[{{Automatic,0.5}}],Arrow[BezierCurve[{{(k+1)/2,0},{((k+1)/2+R[[k]])/2,R[[k]]‐(k+1)/2},{R[[k]],0}}]]} ]; AppendTo[ListGraph,{Arrowheads[{{Automatic,0.5}}],Arrow[BezierCurve[{{(k+1)/2,0},{((k+1)/2+R[[k+1]])/2,R[[k+1]]‐(k+1)/2},{R[[k+1]],0}}]]} ] ]; Return[ListGraph] ); LisGr={}; LisT={}; Num1={}; LN=Length[GloBR]; For[i=1,i�LN,i++, Gr[i]=Graphics[Grph[ GloBR[[i]] ],ImageSize�{300,300}]; Num[[i]]=Num[[i]]/(n/2)!; Num1=AppendTo[Num1,Sym�Cross[StandardForm[(n/2)]!,Num[[i]],StandardForm[2]^s]]; LisGr=AppendTo[LisGr,Gr[i]]; If[Mod[i,5]�0||i�LN,LisT=AppendTo[LisT,LisGr];LisT=AppendTo[LisT,Num1];LisGr={};Num1={} ] ]; grd=Grid[LisT,Frame�{True,True}]; nb=CreateDocument[grd];
Annexe
Page69
A3. Résultats des diagrammes
Pour l’ordre n= 3
Sym 3! ⨯16⨯ 2
Sym 3! ⨯13⨯ 1
Pour l’ordre n= 4
Sym 4! ⨯14⨯ 2
Sym 4! ⨯18⨯ 2
Annexe
Page70
Pour l’ordre n= 5
Sym 5! ⨯15⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯110
⨯ 2
Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯ ⨯ 2
Sym 5! ⨯12⨯ 2
Sym 5! ⨯ 1 ⨯ 2
Annexe
Page71
Sym 5! ⨯15⨯ 1
références
Les references
[1] N.W. Ashcroft and N.D. Mermin .Solid state physics .W. B. Saunders Company 1976
[2] P.A .M. Dirac .Proceeding of the royal society A123, p.714 (1929).1
[3] G.T. Rado et H. Suhl, éditeur. Magnetism, t.1, chap.2.Academic press (1963).4
[4] G.T. Rado et H. Suhl, éditeur. Magnetism, t.4, chap.11.Acadimic press (1966).4
[5] G.T. Rado et H. Suhl, éditeur. Magnetism, t.2B, chap. 1.Acadimic press (1966).4
[6] A.T. Liechtenstein et al. Journal of Magnetism and Magnetic Material 67, pp.65-74(1987).4
[7] J. Kudrnovsky et al .Physical Review B69 (11), p.115208 (2004).4
[8] M. Pajda et al .Physical Review B 64(17), p.174402 (2001).4
[9] J. Goldestone. Field theories with superconductor solutions. Nuovo cimento, 19:154.
164,1961
[10] C. Kittel .Physique de l’état solide. Dunod, 2007.
[11] H. Bethe .On theory of Metals .I. Eigenvalues and Eignefunctions of a linear Chain
of Atoms . Z. Phys 74:205-226, 1931.
[12] Magnétisme, I-Fondement; Michel Cyrot et all; EDPscience ; 2000.
[13] N. Kitanine, Mémoire d’Habilitation, Université de Cergy-Pontoise, 2007.
[14] R. Orbach. Linear antiferromagnetic chain with anisotropic coupling. Phys. Rev,
112:309–316, 1958.
[15]L. R. Walker. Antiferromagnetic linear chain. Phys. Rev., 116:1089–1090, 1959.
[16] R. J. Baxter, Phys. Rev. Lett. 26 (1971), 832.
[17] R. J. Baxter, Phys. Rev. Lett. 26 (1971), 834.
[18] R. J. Baxter, Ann. Phys. (N.Y.) 70 (1972), 193.
[19] R. J. Baxter, Ann. Phys. (N.Y.) 70 (1972), 323.
[20] C. -N. Yang, Phys. Rev. Lett. 19 (1967), 1312.
[21] C. -N. Yang, Phys. Rev. 168 (1968), 1920.
[22] R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (1982) (London: Academic
Press) .
[23] L.A. Takhtadzhan and L.D.Faddeev, Rush. Math. Surveys 34 (1979), 11.
[24] E.K. Sklyanin and L.D. Faddeev, Sov. Phys. Dokl. 23 (1978), 902.
[25] V.E. Korepin, N.M. Boliubov and A.G. Izergin, Quantum Inverse Scattering Method
and Correlation Functions (1993), (Cambridge: Cambridge University Press).
[26] H. Bethe. Zur Theorie der Metalle I. Eigenwerte und Eigenfunktionen Atomkete.
Zeitschrift f¨ur Physik, 71:205–226, 1931.
[27] W. Heisenberg. Zur Theorie der Ferromagnetismus. Zeitschrift f¨ur Physik, 49:619–
636, 1928.
[28]P.Zinn-Justin, thèse de doctorat de l’université Pierre et Marie Curie (France), 1998.
[29] L. Djerroudi, mémoire de magister, université Mouloud Mammeri, Tizi-Ouzou
(Algérie) ,2012 .
[30] A Hung T.Dieb, physique statistique, Ellipses édition Marketing S.H, 2006.
[31]M.Gaudins, Nuclear physics 20 (1960), 514-520.
[32] www.math.unicaen .fr/barou/ L2Math/Algebre 2/chapitre2.pdf.
[33]N.M.Hugenholtz, physica 23(1957) ; J.Goldstone, Proc.Roy.Soc.A239(1957) 276 ; C.Bloch et C.
De dominici, Nuclear physics 7(1958).
[34] M.Gaudins,Il Nuovo Cimento,Vol 38(1965), 848,849