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Thematique

Analyse Harmonique

Abbaye des Premontres

8 decembre 2011

Equipe d’analyse (Universite de Lorraine) 8/12/2011 1 / 13

Thematique : Analyse Harmonique

Membres permanents : 1 PR emerite, 3 PR, 1 MCF HdR, 4 MCFSalem Ben Saıd

Bruno Blind

Jean-Louis Clerc

Khalid Koufany

Jean Ludwig

Mohsen Masmoudi

Salah Mehdi

Abdel Latif Mortajine

Angela Pasquale

Doctorants :Fernando De Oliveira

Jan Emonds

Cedric Moll

Hedi Regeiba

Salem Ben Said Bruno Blind Jean-Louis Clerc Khalid Koufany

Jean Ludwig Salah Mehdi Abdel Latif Mortajine Angela Pasquale

non-commutativeet Theorie des Representations


Objet central: Groupe de Lie Ge.g. Rn, GL(n,R), SL(n,R), O(n), Heisenberg, ”ax+b”,...

1 Actions de G et geometrie des espaces homogenes de G2 Representations de G3 Analyse harmonique sur G et sur ses espaces homogenes

Á À:V=espace vectoriel topologique sur CRepresentation π de G sur V ≡ action de G sur V par transformations lineaires

i.e.: GL(V ) = {automorphismes lineaires de V}π : G→ GL(V ) est une representation si:

(a) homomorphisme de groupes(b) ∀v ∈ V l’application G→ V , g 7→ π(g)v est continue

Exemples:

G = R, V = C. Pour λ ∈ C fixe, on define πλ : R→ GL(C) = C∗, x → eiλx .

Representation adjointe de G = GL(n,C) sur V = Mat(n,C)Ad : GL(n,C)→ GL(Mat(n,C)) , Ad g(x) = gxg−1

Representation reguliere gauche Λ sur L2(G): [Λ(g)f ](x) = f (g−1x).


Objectif : “Comprendre” les representations de Girreductibles ?

(π,V ) est reductible s’il existe un sous-espace propre ferme W de V tel queπ(g)(W ) ⊂ W pour tout g ∈ G. Sinon, (π,V ) est irreductible.Exemples : • (πλ,C) are repr irreductibles de R.

• (Ad,Mat(n,C)) est une representation reductible de GL(n,C).• La representation reguliere gauche (Λ, L2(G)) est reductible.

unitaires (ou unitarizables) ?

(π,V ) est unitaire si V est un espace de Hilbert et π(g) est un operateurunitaire pour tout g ∈ G.Exemples : • (πλ,C) est unitaire si et seulement si λ ∈ R.

• (Λ, L2(G)) est unitaire pour le produit scalaire usuel sur L2(G)

equivalentes ?

Deux representations unitaires (π,V ) et (π′,V ′) de G sont dites equivalentess’il existe un isomorphisme d’espaces de Hilbert T : V → V ′ tel queπ′(g) ◦ T = T ◦ π(g) pour tout g ∈ G.

classification ?construction concrete des representations ?si reductible: decomposition en irreductibles ? Á Â

si le dual unitaire bG est connu: ses proprietes topologiques ?


Ces questions se traitent differemment si G est semisimple ou bien resoluble.

G= groupe de Lie, g=algebre de Lie de G, de crochet de Lie [·, ·].Example : G = GL(n,R), g = Mat(n,R), [A,B] = AB − BA

• g est abelian si [g, g] = 0.• Par recurrence: D0 = C0 = g, Dj+1 = [Dj ,Dj ], Cj+1 = [Cj , g]

g est resoluble s’il existe un j tel que Dj = 0g est nilpotente s’il existe un j tel que Cj = 0

• g est simple si pas abelienne et et elle ne possede pas d’ideal non-trivial• g est semisimple si elle ne possde pas d’ideal resoluble non-trivial• g est reductive si somme directe de son centre et d’un ideal semisimple

Examples :• b = {matrices triangulaires superieures dans Mat(n,R)} est resoluble• n = {X ∈ b avec des 0 sur la diagonale principale} est nilpotente• sl(n,R) = {A ∈ Mat(n,R) : Trace(A) = 0} est simple• Mat(n,R) ∼= RIn ⊕ sl(n,R) est reductive.

abelien ⊂ nilpotent ⊂ resolublesimple ⊂ semisimple ⊂ reductif

Decomposition de Levi: toute algebre de Lie est produit semi-direct de sonideal resoluble maximal (son radical) et d’une algebre de Lie semisimple.


Problemes :

(R) Etudier les representations de la totalite des groupes resolubles est impossible(les groupes resolubles ne sont pas classifiables !)

(S) Les groupes de Lie semisimples sont classifies et leur structure (tres riche) estconnue. Toutes ces questions restent de meme (dans le cadre general)ouvertes.

on se restreint a certaines familles de groupes ou de representations

(R) Groupes nilpotents ou exponentiels (Jean Ludwig)

G groupe de Lie connexe et simplement connexe d’algebre deLie g est dit exponentiel si exp : g→ G est un diffeomorphisme.

nilpotent ⊂ exponentiel ⊂ resolubleExemples : ”ax+b”, Rd n Rn, Rd n Hn

Le dual unitaire bG de G est homeomorphe a l’espace des orbites coadjointes dans g∗

(Kirillov-Bernat-Pukansky-Vergne-Ludwig-Leptin)Quelques projets :etude de la topologie de bG, etude des C∗ algebres de groupes exponentiels


(S) Par la suite, on considere le cas semisimple (ou reductif)bG n’est pas connu, en general.Cas classique : G compact (theorie de Cartan-Weyl)L’interet est donc pour le cas de G non-compact.

Dans bG on identifie certains series de representations : serie discrete, seriesprincipales, serie complementaire...

On travaille souvent sur une classe de representations plus large des unitairesirreductibles: les representations admissibles.

π representation de G sur V de Hilbert V (pas necessairement unitaire).K maximal compact subgroup of G. On connait bK .On remplace V par un sous-espace dense sur lequel on travaille ”algebriquement” :le sous-espace VK des vecteurs K -finis de V .v ∈ V est K -fini si le sous-espace de V engendre par {π(k)v : k ∈ K} est de dim finie.La restriction de π a K se decompose en irreducibles. Pour δ ∈ bK soit V (δ) la sommede toutes les sous-representations de π equivalentes a δ. Alors VK = ⊕

δ∈bK V (δ).

On dit que (π,V ) est admissible si dim V (δ) < +∞ pour tout δ ∈ bK .rep unitaires irreducibles ⊂ admissibles

π donne reps compatibles de g et de K sur VK , i.e. (π,VK ) est un (g,K )-module.


La serie discrete (Ben Saıd, Clerc, Koufany, Mehdi)

Une representation unitaire irreductible de G est dans la serie discrete si sescoefficients sont dans L2(G).Exemples :• Si G est compact, tout element de bG est dans la serie discrete• Si G possede une structure complexe (e.g. G = SL(n,C)), alors aucune representation de Gest dans la serie discrete.

Harish-Chandra (1966) : G possede une serie discrete si et seulement sirankG = rankK (i.e. tout tore maximal de K est un sous-groupe de Cartan de G).

Parthasarathy (1972) et Atiyah-Schmid (1977) : realisation geometrique de la seriediscrete de G au moyen de l’operateur de Dirac D(en considerant le noyau de D sur de sections L2 de certains fibres vectoriels homogenes surl’espace riemannien symetrique G/K ).

Quelques resultats et projets :• Extension a des representations de la serie principale, au moyen de l’operateurcubique de Dirac de Kostant (Mehdi)(G/K est remplace par un espace homogene reductif, en general ni riemannien ni symetrique).• Realisation geometrique des series discretes quaternioniques (Koufany)(cette serie existe lorsque G/K est un espace symetrique quaternionique)


Les series discretes dite holomorphes peuvent etre realisees sur des espaces deHilbert de fonctions holomorphes (Ben Saıd, Clerc, Koufany).(cette serie existe lorsque G/K est un espace symetrique Hermitien.)

Programme de Gelfand-Gindikin (1977) : decomposer la reprsentation regulieregauche sur L2(G) en irreductibles avec methodes complexes. Les fonctions sur Gsont considerees en tant que valeurs au bord de fonctions holomorphes dans desdomaines de la complexification GC de G.

Le prolongement de la serie discrete holomorphe est une partie importante de ceprogramme.

Les series principales (Ben Saıd, Clerc, Koufany, Mehdi, Pasquale)

Les representations de la serie principale sont des representations induites.Parmi eux on trouve les representations de la serie principale spherique.

(π,V ) representation de G est spherique s’il existe v ∈ V qui est K -fixe, i.e.tel que π(k)v = v pour tout k ∈ K . Dans ce cas, v est unique a une constante pres.

Les fonctions spheriques sur G/K sont les coefficients φ(g) = 〈π(g)v , v〉 avec (π,V )spherique et v ∈ V K -fixe (convenablement normalize).


Espaces symetriques

Un espace riemannien symetrique est une variete riemannienne connexe qui, enchaque point p, admet une isometrie involutive sp (la symetrie geodesique) dont p estun point fixe isole.

I(M)= groupe des isometries de M (avec topologie compacte-ouverte)Palais-Mayrs-Steenrod: I(M) admet structure de groupe de Lie .I(M) et G := I(M)0 agissent transitivement sur M. On fixe un point o ∈ M.K := {g ∈ G : g(o) = o} est un sous-groupe compact de G et M ∼= G/Kθ : G→ G def par θ(g) = so ◦ g ◦ so est un automorphisme involutif de G et

Gθ0 ⊂ K ⊂ Gθ (*)

g=algebre de Lie de G θ : g→ g automorphisme involutif

k = {X ∈ g : θ(X) = X} , p = {X ∈ g : θ(X) = −X}Alors: g = k⊕ p (decomposition de Cartan)

k=algebre de Lie de Kp ≡ ToM = ToG/K

Pareil pour les espaces pseudo-riemanniens symetriques (mais K n’est pas compact).


Espaces symetriques HermitiensUn espace symetrique Hermitien est une variete complexe connexe M munie d’unemetrique Hermitianne qui, en chaque point p, admet une isometrie involutiveholomorphe sp dont p est un point fixe isole.

Si h est la metrique Hermitienne de M, alors g = Reh est une metrique riemannienne.M est donc un espace riemannien symetrique.

Exemple (Grassmanniennes complexes) : SU(p + q)/S(U(p)× U(q)) etSU(p, q)/S(U(p)× U(q)) sont espaces symetriques hermitiens, resp. du type compact et dutype noncompact.

Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie. Un domaine bornesymetrique est un domaine (=ouvert connexe) borne D ⊂ E qui, en chaque point z,admet un diffeomorphisme biholomorphe involutif sz dont z est un point fixe isole.

Un domaine symetrique borne muni de la metrique de Bergman est un espacesymetrique Hermitien de type noncompact.

• Etude des espaces Hermitiens symetriques dans le contexte des algebre de Jordanet systemes triples de Jordan (Ben Saıd, Blind, Clerc, Koufany)

Une algebre de Jordan A est une algebre commutative, non-associative telle que(a2b)a = a2(ba) pour tout a, b ∈ A.


D’autres classes d’espaces etudies :

Espaces symetriques causaux (Ben Saıd, Clerc, Koufany, Pasquale)

Espaces prehomogenes (Mortajine)

Espaces localement symetriques Γ/G \ K (Mehdi)


Pas de tout mentionnes ici (faute de temps) :

Aussi (parmi les projets pour l’equipe) :

Cohomologie de Dirac et foncteur de Jantzen-Zuckerman (Mehdi)

Paires duales reductives de Howe et superalgebres de Lie (Pasquale)

Representations de groupes de Lie et quantification par deformation (Masmoudi)

Formes trilineaires invariantes (Clerc)

Geometrie de la frontiere de Shilov d’un domaine symetrique borne (Clerc,Koufany)

Algebres de Fourier, ensembles spectraux (Ludwig)

Theorie de Dunkl rationnelle et trigonometrique (Ben Saıd, Pasquale)


Documents

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