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Scientific Journal of Information Engineering June 2014, Volume 4, Issue 3, PP.44-56

The Study for the Method to Weak Signal Detec-

tion Based on the Combination of the Chaotic

Ocillator System and Stochastic Resonance System Yunhong Xin

#, Lingzhi Xue

College of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University, Xi'an 710062, China

# Email: xinyh@snnu.edu.cn

Abstract

The paper presents a method, which combines chaos theory with stochastic resonance theory, to evaluate weak periodic signal of

unknown frequency in the heavy noise background. The method overcomes the disadvantage of the requirement of the frequency

value of periodic signal when detection with Duffing chaotic system. Firstly, the stochastic resonance theory is used to evaluate the

frequency of the signal to be measured. Secondly, the Duffing chaotic system is used to extract the frequency of the signal and

evaluate the amplitude of the signal. To fulfill the matching problem of amplitude orders of magnitude of the signal between the

Duffing chaotic system and the Stochastic resonance system, the method of the signal preprocessing are proposed, which not only

enlarges the range of the frequency and amplitude of the detection signal, but also improves its detection accuracy. The simulation

results show that the presented method can extract weak periodic signal under the background of Gaussian white noise with a very

high accuracy and a fast speed, and meanwhile greatly expands the signal detection range and effectively improve the practicality

of the Duffing chaotic systems and the Stochastic resonance system.

Keywords: Weak Signal; Duffing Oscillator; Stochastic Resonance; Detection

混沌振子与随机共振双系统联合微弱信号检测方

法研究*

辛云宏，薛灵芝

陕西师范大学 物理与信息技术学院，陕西 西安 710062

摘 要：针对 Duffing系统检测未知信号时需要待测周期信号频率先验值的不足，提出了一种混沌理论与随机共振理论相

结合的信号检测方法。该方法首先利用随机共振系统对信号进行检测与频率值估计，然后再通过混沌系统进行频率值的

选择与幅值估计。对于两个系统结合时涉及到的幅值数量级范围不同的问题，提出了信号预处理方法，有效扩大了混沌

系统检测与提取信号的范围，并提高了双系统结合时的信号检测精度。仿真实验结果表明，所提出方法不仅可以精确、

快速的提取出高斯白噪声下的未知微弱周期信号，而且扩大了 Duffing系统和随机共振系统的有效检测范围，提高了其实

用性。

关键词：微弱信号；Duffing振子；随机共振；检测

引言

微弱信号的检测与提取，尤其是微弱周期信号的检测，一直是国内外学者研究的重点和难点。1992 年，

Birx 等人提出了一种利用混沌振子本身的性质检测待测信号中是否存在周期信号的方法[1]，由此开创了一个

*陕西省科技攻关计划（批准号：2012K09-09）资助项目

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检测微弱信号的新领域。由于该方法过程简单且实现容易，因此很快引起了国内诸多专家学者的兴趣，在这

些专家学者的共同努力下，至今，已经提出了多种有效的混沌信号检测方法。总体上看，这些方法可分为已

知频率信号的检测与幅值估计和未知频率信号的检测与幅值估计两大类。李月是国内在利用混沌振子进行微

弱信号检测方面影响较大的学者之一，其专著[2]详细的阐述了利用 Duffing 振子检测各种周期信号的理论与相

关技术，对混沌系统检测已知频率信号技术的发展起到积极的推动作用。在未知频率信号的检测方面，国外

学者 Donald 在文献[3]中提出了一种应用混沌理论进行微弱信号的检测方法，但只是给出了表达式，没有说明

具体的检测方案；文献[4]提出了一种比较具体的检测方法，该方法利用锁频原理检测未知信号，有效的检测

出未知周期信号；文献[5]提出了利用定向过零技术检测未知信号频率的方法，该方法通过对经过零点数量的

计算，估算出系统的周期，进而计算周期信号的频率值，仿真结果表明，该方法可以有效的检测出未知信号

的频率，而且实验过程易于再现；文献[6]在噪声背景下对纳米机器的周期谐波振荡器进行了研究，有效检测

出纳米机器所发出的周期谐波信号的频率；文献[7-8]基于 Duffing 谐波振荡器原理，提出了一种利用平衡法对

振荡器频率进行检测的方法，这是检测未知频率信号的一个新方向，相对于大量观察的实验方法，该方法具

有严谨的理论依据；文献[9]提出了一种利用混沌阵子检测未知微弱周期信号的实现方法，并且给出了具体的

检测步骤和过程，较好的实现了提取未知信号的目的；文献[10]提出了一种基于尺度变换原理的微弱信号检测

方法，该方法可检测任意频率的周期信号，在具有频率先验值的情况下，只需简单的改变系统的仿真步长，

就能精确检测出未知周期信号；文献[11]提出的间歇混沌法，利用系统输出的时域波形判断混沌间歇振动的周

期，从而有效的估测出振动的频率，具有直观性和形象化等优点。以上文献[3-11]在未知频率周期信号的检测

方面取得了较好的成果，但是，由于信号检测的准确度也受到信号幅值大小的影响，而以上方法不具备信号

幅值估计能力，致使信号检测的准确度与应用范围受到一定限制。为了解决这一矛盾，国内外学者对于幅值

估计的准确性以及检测信号精度与幅值估计精度的相互制约性也做了大量研究。文献[12]利用统计原理对周期

信号的频率和幅值进行估计；文献[13]在实际应用中利用混沌理论估测出信号幅值；文献[14]基于混沌测量系统

来研究信号的检测方法，对周期信号进行检测和幅值估计；文献[15]利用最小二乘法来估计周期信号的幅值与

混沌动力系统的特征指数之间的联系，通过两者之间的关系估测出未知信号的各种参数，可有效提取出未知

信号；文献[16]在综合考虑未知信号的检测与幅值估计后，提出一种互相关检测和混沌理论相结合的检测方法，

可以有效的检测出未知信号的频率，该方法原理简单，易于实验再现，在信号幅值低于 0.3 的情况下能有效

的检测出未知信号的频率；文献[17]基于 Duffing 混沌振子和 ML 方法检测微弱周期信号，可以把幅值门限降

到 0.0011，实验结果表明，检测精度相比最大似然法要高的多；文献[18]在研究接地网络故障诊断中提出一种

微弱信号的测量方法，可以有效的检测出待测信号的幅值；文献[19]详细研究了混沌振子检测微弱信号的方法，

可以有效的检测高斯白噪声背景下的微弱周期信号，可以把幅值门限降到 10-4。在检测未知信号时，受到提

取未知信号的制约，一般在幅值大于 10-4 时，信号的检测效果较好，在幅值更低时无法精确检测出有用信号。

随机共振方法是随着非线性动力学和统计物理理论的发展而发展起来的微弱信号检测方法[20]，它是通过

一个非线性系统，利用将噪声的部分能量转化为信号能量的机制来增强微弱信号特征。随机共振方法可以有

效的检测出信号的有无，并且估计出周期信号的频率值，但是无法检测出信号的大小；而混沌振子可以检测

出信号的大小，验证信号的频率值，但是无法估计出信号的频率值。将两者结合，就可以回避了混沌振子检

测时需要频率先验值的问题，也可以弥补了随机共振无法检测信号大小的不足，从而开创一条微弱信号检测

的新途径。目前，有关此方面的研究，国内外鲜有报道。文献[21]中提出了一种基于混沌振子与最佳匹配随机

共振的微弱信号检测方法，通过大量实验进行制表，然后利用最佳匹配的方法检测信号的有无以及大小，此

方法对信号特征值与噪声强度范围的要求过高，而且实现过程比较繁琐；文献[22]中提出了一种利用随机共振

与混沌振子相结合的方法检测复合周期信号，其中，仅从原理上说明如何运用混沌振子的频率选择性滤除随

机共振系统中检测出的虚假频率，没有具体的实现过程。

本文以 Duffing 振子与随机共振方法为基础，首次尝试提出利用信号预处理机制进行信号检测与幅值估

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计的思想及其实现技术，该方法通过 Duffing 混沌理论与随机共振理论的有效结合，解决了 Duffing 模型与随

机共振模型之间关于检测信号幅值数量级差别的问题，有效扩大了估计信号的动态范围，实现了幅值高精度

估计。此方法具有设计直观、过程简单、易于实现等特点，能够快速、准确的检测出强噪声背景下的微弱周

期信号。

1 混沌检测方法

随着混沌理论的不断发展，利用混沌系统检测微弱周期信号的方法应运而生，并且很快以其简单的检测

过程和有效的检测结果成为现代信号检测的一种新的发展方向。Duffing 系统作为经典的非线性混沌系统，既

具有混沌系统对初值极度敏感的特性，又具有非线性系统的特性，即，对与之周期策动力频率相同的周期信

号的敏感性、零均值噪声的免疫性[23]。所以 Duffing 振子在信号检测中具有独特的优势，已成为研究信号检

测的经典混沌系统之一。

1.1 Duffing 振子的数学模型

Duffing 振子的数学模型如公式(1)所示。

5 3 cos( )x kx ax bx f t （1）

其中，k 为阻尼比； 5 3x x 为非线性恢复力，a、b 为系统参数； cos( )f t 为内置周期策动力，f 为策动力的

幅值；为策动力的角频率；为了便于说明，以下分析中均令 y x 。当 k、a、b 为固定值时，Duffing 方程

的相轨迹会随着 f 的不同而变化[24]。当 f=0 时，系统没有策动力的干扰，其动力学行为比较简单，最终状态

会停留在两个焦点之一，具体在哪一个，由初始值决定，当 f>0 时，系统存在周期扰动，出现复杂的动力学

形态，振动频率为内置周期策动力的频率，随着 f 的增加，会历经周期运动，同宿轨道，分岔混沌状态，然

后又周期运动，反复循环，把第二次周期状态称为大尺度周期状态。设 =1rad/sec，k=0.5，a=1，b=1 逐渐

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

-2 -1 0 1 2

- 1 . 5

-1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

X A x i s

Y

Ax

is

X Y P l o t

(a) =1 k=5 f=0.3612 (b) =1 k=5 f=0.7

-2 -1 0 1 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

-2 -1 0 1 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

(c) =1 k=0.5 f=0.7268 (d) =1 k=0.5 f=0.726887

图 1 Duffing 方程的相平面轨迹(分叉态、混沌态、临界态和大尺度周期态)

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增加周期策动力的幅值 f，系统动力学行为由同宿轨道进入分岔状态，如图 1(a)所示，如果继续增大 f，系统

进入混沌状态，f 在很大范围内系统都是处于混沌状态，如图 1(b)所示。直到参数 f 增加到临界值df 时达到临

界混沌状态，如果继续微小的增大 f，系统变为大尺度周期状态，如图 1(c)、(d)所示。这一过程随 f 的变化十

分迅速，而且系统的相轨迹变化十分明显，实际检测正是利用了这一特点，将周期策动力的幅值设在临界混

沌状态下，待测周期信号作为 Duffing 方程的周期策动力加入，只要待测信号中也含有与内置周期策动力同

频率( =1rad/sec)的周期信号，即使待测信号中的周期信号相对于噪声很微弱，也可以使 Duffing 系统立刻变

为大尺度周期状态。

1.2 基于 Duffing 振子的弱信号检测分析

实际待测信号并不一定都是角频率为 =1rad/sec 的周期信号，为了检测不同频率的待测信号，对 Duffing

方 程 5 3 cos( )x kx ax bx f t 进 行 尺 度 变 换 [25-27] ， 设0t ， 然 后 代 入 (1) 式 得

，取 =1rad/sec，k=0.5，a=1，b=1，整理得

2 3 5

0 0 0[( ) cos( )]x k x bx ax f （2）

通过改变式(2)中频率值0 的大小，可以测量不同频率的周期信号。本文基于 simulink 软件进行仿真，公

式(2)的仿真框图如图 2 所示。由于 a=1，b=1，所以调节图 2 中 gian3 为 1，gian4 为 1。检测频率值为0 的

待测信号，只需要调节图 2 中 gian1 和 gian2 值的大小，使得 gian1 为0k ，gian2 为 2

0 ，系统就可以检测

角频率为0 的待测信号。

根据 Duffing 方程在临界混沌状态向大尺度周期状态转变时对幅值的敏感性和变化的直接可观察性，将

临界混沌到大尺度的相变作为判断的依据，从而实现信号的检测。

设临界混沌状态的幅值为 A ，待测信号为0( ) cos( ) ( )s t a t n t ，此时系统的策动力变为

，由于系统对噪声的免疫性，临界混沌状态向大尺度周期状态转变，然后调节混

沌系统中的策动力 A，当调到相轨迹又出现临界混沌状态为止；设此时混沌系统策动力为1a ，那么

1 0A a a ，

由此便可估计出周期信号的幅值。

XY GraphSine Wave

1s

Integrator2

1s

Integrator1

K

Gain4

K

Gain3

K

Gain2

K

Gain1

u^5

u^3

Add2

Add1

Add

signal

signal

图 2 Duffing 系统 simulink 仿真模型

以上方法通过变尺度技术可以检测出任意已知频率的周期信号，同时也可估计出该信号的幅值大小。但

是，实际应用中存在大量未知频率的周期信号，对于这种未知频率的周期信号检测问题，基于锁频原理和循

环形态的检测方法是通常采用的基本技术，然而该方法的主要问题是步骤比较繁琐，实现起来较为困难。本

文以 Duffing 振子与随机共振方法为基础，通过这两种技术的有效结合，实现未知频率周期信号的高效检测

与信号幅值的高精度估计。

2 5 3

0 0 0/ / cos( )x kx ax bx f

0cos( ) cos( ) ( )A t a t n t

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2 随机共振原理

随机共振就是在一定的非线性条件下，由弱周期信号和噪声合作而导致的非线性增强周期性输出的现

象，常出现在具有亚阈输入的双稳态系统和可激励系统中。此时，系统的振动频率与待测周期信号频率一致，

通过观察系统的输出频率可估计出待测信号的频率。

由 Langevin 方程描述的非线性双稳系统是一种研究较多的随机共振系统，该系统的数学模型如公式(3)

所示。

3 ( ) ( )x ax bx s t t （3）

其中，s(t)为待测信号（周期外力）； ( )t 为强度为 D，均值为 0 的高斯白噪声； 3ax bx 为非线性外力

场（a、b 为结构参数，均为大于 0 的实数），具有双势阱 4 2( ) / 4 / 2V x bx ax 。该方程实质描述了单位质

点同时受到周期外力与噪声驱动时，在双势阱中的过阻尼运动。V(x)的最小点在mx 处，其中

mx a b ，如

图 3(a)所示，它们被垒高为 2 / (4 )V a b 的势垒所分隔。

-4 -2 0 2 4-25

-20

-15

-10

-5

0

x(t)

V(x)

-4 -2 0 2 4

-40

-30

-20

-10

0

10

20

x(t)

V(x)

(a)4 2

( ) / 4 / 2V x bx ax (b)4 2

( ) / 4 / 2+V x bx ax Ax

图 3 势阱图

根据双稳态绝热近似理论，在没有外在驱动力作用时，质点在 /x a b 处有两个稳态，此时，质点必然

在其中的一个单势阱内振荡，具体在哪一侧势阱中运动，由初始状态决定。当仅有噪声没有周期驱动力时，质

点随噪声的驱动不规则的在两个双稳态之间跃迁，跃迁的高度为 2 / (4 )V a b ，跃迁率为 ( / )

2

V D

k

ar e

。

当没有噪声仅有周期驱动力 cos( )A t 时，双稳态势阱在信号的驱动下按周期驱动力的频率发生周期倾斜变

化，相对垒高交替地上升和下降，A只要处于临界值cA 以下(

34

27c

aA

b )，质点仍然只能在某一侧势阱内以

周期策动力频率进行局部周期性运动。然而，在引入噪声以后，即使在cA A 时，甚至

cA A 时，质点也可

以从原来的势阱跃迁到另一个势阱，因为在周期外力的作用可以导致左右势阱的势垒高度周期性的抬高或降

低，尽管周期力很弱，不足以推动粒子周期性的在两势阱间跃迁，但是在噪声与周期信号的共同驱动下，粒

子就会发生周期性跃迁，并且与周期力同步，使系统输出功率谱在信号频率处出现峰值，从而产生随机共振

现象。因此，在实现过程中，只需要观察频率谱中峰值所在的位置，就可以估测周期信号的频率值。

随机共振是噪声、周期信号和非线性系统产生的一种协同作用，许多研究都假设噪声和周期信号的共同

作用就可以使粒子在势阱间跃迁产生随机共振，这种假设与很多实际情况不符合，当周期信号驱动力相对于

势垒高度很微弱时即使噪声强度很大也无法产生随机共振现象，即在势垒高度确定时，只有一定频率范围内

的周期信号才可以和噪声与非线性系统相匹配，达到随机共振。为了扩大随机共振系统检测信号的频率范围，

可以通过外加信号的方法来降低势垒高度，使质点能够容易的越过势垒。具体做法为：在方程(3)右边加一个

可控的信号 F（F 为一个关于 x 的函数），这样，输入信号 ( ) cos( )s t A t ， ( )t 是均值为零的高斯白噪声，

随机共振系统的数学表达式如公式(4)所示。

3

0( ) ( ) cos( ) ( )x ax bx s t F t V A t t （4）

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图 3(b)描述了当 a=9，b=1 时，外加信号以及未加信号时的势阱图，蓝线为加入信号 F 之前的势阱图，

红线和绿线分别表示加入 3 3F 时的势阱图，从图中可以观察到外加信号后，势垒一侧的高度有所降低，

使得微弱周期信号更容易实现势阱间的跃迁，从而更容易产生随机共振。实验证明，cF A 系统可得到最佳

信噪比。cA 为越过势垒的阈值，该阈值可以通过输入信号为常数时的势函数求出。

设输入信号为常数 A，噪声为 0，由(3)式得，非线性双稳系统的势函数变为

2 4( )2 4

a bV x x x Ax （5）

当方程(5)满足极点和拐点都为零的条件时，得到系统的输入阈值34

27c

aA

b 。随机共振系统[28-29]可以精

确的检测出未知周期信号，但是只限于检测信号的有无，无法有效的估计出信号的幅值，而 Duffing 振子能

够准确的提取出待测信号中的有用信号，可是提取信号之前无法得到信号检测时所需要的先验值。本文将

Duffing 系统对信号的提取功能和随机共振系统对信号的检测功能相结合，从而实现对未知频率信号的有效检

测与提取。

3 随机共振与 Duffing 振子协同的微弱信号检测

随机共振与 Duffing 振子协同的微弱信号检测，其思路很简单：利用随机共振系统检测出待测信号的有

无以及周期信号频率的大小，然后根据 Duffing 系统提取信号原理，估计出周期信号幅值的大小。然而经过

大量实验研究表明，待测信号幅值在 10-1 数量级时，随机共振现象比较明显。可是混沌系统中，引起相轨迹

明显变化的幅值大小为 10-4 数量级，甚至更小。随机共振与 Duffing 系统都是信号幅值在一定数量级范围内

时检测结果明显，超出范围，无法观察到实验结果。由于两个系统可观察幅值的数量级不完全相同，所以它

们直接结合会使检测过程中部分有用周期信号丢失。针对此项不足，本文提出信号预处理技术，即在待测信

号输入检测系统前，增加预处理步骤，通过预处理改变信号幅值的大小，使得待测信号能适应不同非线性系

统的检测范围。

3.1 信号处理

Duffing 振子检测微弱周期信号方法的优劣大多是以检测信噪比门限的高低作为评判标准，然而，受限于

Duffing 系统的内在特性，其检测效果不仅与信噪比有关，而且还受到待测信号幅度大小的影响，下面举例对

此作以简要说明。

设待测信号为 cos(0.02 )s A t B random ，其中，A、B、分别为信号幅度、噪声幅度与信号初始

相位。实验中，分别选取 5 组不同参数的输入信号进行测试，具体参数如表 1 所示。

表 1 输入信号参数取值表

A B SNR

s1 -43 10

-31 10 0 0.3

s2 -13 10 0.3 1 0 0.3

s3 -13 10 0 0 \

s4 -43 10

-26 10 0 0.5*10-2

s5 -43 10

-28 10 0 0.375*10-2

具体实验过程为：利用 simulink 对式(2)采用 4 阶 Rungr-Kutta 法进行求解，取初值[ (0), (0)] [0,0]x x ，当

系统输入信号为零时，调节 Duffing 系统到临界混沌状态，此时内置信号的临界幅度阈值为 f=0.72561。然后，

分别采用 s1~s5 为输入信号进行实验，结果如图 4 所示。其中，图 4(a)~图 4(d)分别是输入信号为 s1~s4时，系

统的输出相图。

观察图 4(a)、图 4(b)发现，在待测信号具有相同信噪比的情况下，如果非线性 Duffing 混沌系统中摄入幅

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度较小的待测信号，相图明显从临界混沌状态转向大尺度周期状态，易于观察；而在幅度较大的情况下，相

图变化不明显，不易观察。比如，观察图 4(c)发现，由于被测信号幅度较大，相图又从大尺度周期状态很快

转入下一个混沌状态，即使没有噪声的影响，也无法观察到相图从混沌到大尺度周期状态的明显变化。然而，

只要待测信号的幅值足够小，即使信号的信噪比很低，也能得到明显的检测结果，这一点图 4(d)就给出了很

好的例证。此外，信号的信噪比也是影响检测效果的重要因素。待测信号只有达到一定的信噪比，才可能获

得较好的检测结果，否则，将导致检测失败，比如输入信号为 s5 时，虽然其幅值大小与 s4 相同，但是由于信

噪比超出一定范围，系统无法检测到周期信号。

-0.05 0 0.05-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

- 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1

- 2 . 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X AxisY

Axis

X Y Plot

(a)s1 (b)s2

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

- 0 . 0 5 0 0 . 0 5

- 2 . 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

(c)s3 (d)s4

图 4 不同信号的相图

以上实验中，输入信号的相位值均设置为 0，为了考察相位变化对检测结果的影响情况，我们分别将相

位设置为：0.2、0.4、0.8、1，其他参数不变，对以上信号进行重新实验，得到实验结果与以前的相同。这一

结果表明，相位对于检测结果没有影响。限于篇幅，这里省略了相关相图。

由此可见，只有在待测信号幅值大小合适时，利用 Duffing 系统才能获得理想的检测效果，对于随机共

振系统也是如此，限于篇幅，这里不做详细说明。为此本文提出信号预处理过程完成这一任务。其思想为利

用信号的放大缩小技术，使信号幅度大小分别与非线性系统的检测门限相匹配，这里需要指出的是，在 Duffing

系统中，尽管信号预处理技术有效扩大了混沌系统的检测范围，使得 Duffing 振子检测微弱周期信号的方法

得到进一步的完善，但是，在缩小信号的同时，待测周期信号的幅值也在缩小，当幅值缩小到与系统阈值相

差较大时，传统的幅值检测方法无法估计出周期信号幅值的大小。为此，利用参数补偿方法来解决这一问题，

以下通过一个实例说明改变参数的具体过程与作用。

设待测信号是背景强度为 -51 10 的高斯白噪声和幅值为 -61 10 、周期为 0.02Hz 的周期信号所组成的混合

信号，仿真如图 2 所示。取 Duffing 系统的参数 a=1，b=1，k=0.5，调节图 2 中内置信号和 gain1、gain2，使

系统适合检测频率为 0.02Hz 的周期信号，无信号输入时，系统由混沌状态向大尺度周期状态转变的阈值为

0.72561，将待测信号摄入Duffing系统，系统立刻由混沌状态变为大尺度周期状态，将内置信号调回到0.72560，

系统的相图如图 5(a)所示，没有从大尺度周期状态回到混沌状态。表明在幅值数量级很小时，传统的幅值估

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计方法无法准确估计出周期信号的幅值大小。为了能够在这种情况下提取出待测信号的幅值，这里引入改变

系统参数的方法，即通过调节系统参数 a、b 的值，降低阈值数量级的大小，提高信号检测灵敏度。调整系

统参数为 a= 1610 ，b=0.1，k=0.5 时，系统由混沌状态向大尺度周期状态转变的阈值为 -55.6 10 。重新调节内

置信号和 gain1、gain2，使系统适合检测频率为 0.02Hz 的周期信号。此时，将待测信号摄入经过改变参数后

的系统，系统立刻从混沌状态变为大尺度周期状态，然后调节内置信号幅值到 -55.5 10 ，相轨迹又回到临界

混沌状态，如图 5(b)所示，从而可以估计出待测幅值的大小为 -61 10 。

-2 -1 0 1 2-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

- 1 . 5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x 10-5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-4

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

(a)a=1,b=1 (b)a=10

16，b=0.1

图 5 不同参数的相图

3.2 算法步骤

通过以上分析，Duffing 系统与随机共振协同的微弱信号检测的具体步骤为：首先，对信号幅值进行数量

级大小的估计，并以随机共振系统有效幅度检测范围，即 10-1 为基准，进行相应的信号预处理。接着，将预

处理后的待测信号摄入非线性随机共振系统，如图 6 所示，对随机共振系统采用 4 阶 Rungr-Kutta 法进行求

解，分析输出频域波形。然后，根据频域波形得出可能的频率值，调节 Duffing 系统中的参数值以及信号预

处理的缩放倍数，利用的 Duffing 系统，验证待测信号中是否含有可能的频率值。最后，依据信号幅值的检

测范围，利用改变参数选取合适的阈值，估计出周期信号幅值的大小，将该幅值除以预处理时的放大倍数，

便可以得到信号的真实幅值。

4 仿真与实验数据分析

ssignal

Zero-Order

Hold2

Zero-Order

Hold1

Spectrum1

Scope2

Scope1

1s

Integrator

Gain1

k

Gain

u^3

CConstant

Add1

AddB-FFT

Spectrum2k

B-FFT

图 6 随机共振 simulink 仿真模型

本实验采用 simulink 软件仿真模拟，随机共振系统的仿真模型依据方程(4)构造，如图 6 所示。其中，系

统的初始参数设置为： [ (0), (0)] [0,0]x x ，步长 h=0.2，采样数 N=2000，随机共振系统外加信号

。实验时采用的待测周期信号选取初相位为零的正弦信号，并分为单频率与多频率两种

类型。

实验 1：单频信号 ( ) cos(2 ) ( )s t A ft n t

0 0.9 0.3464cA A

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其中，幅值 A=0.1，频率 f=0.02Hz，初相位 0 ，n(t)是强度为 2 的高斯白噪声，待测周期信号摄入到随

机共振系统中。由于幅值数量级的大小合适随机共振系统，所以不需要对信号进行预处理，本算法采用 ode4

的解方程方法，取仿真步长为 0.2，仿真需要时间 2 秒。图 7(a)为待测信号的时域图形，图 7(b)、(c)为待测信

号的频域图形以及局部频域放大图形，图 7(d)为待测信号通过随机共振系统后的时域图形，图 7(e)、(f)分别

为待测信号通过随机共振系统后的频域图形和局部频域放大图形。

0 20 40 60 80 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

time/s

x/v

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

frequency /Hz

magnitude/dB

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

frequency /Hz

magnitude/dB

(a)输入信号的时域图形 (b)输入信号的频域图形 (c)图(b)在 0.02Hz 的局部放大图

0 200 400 600 800 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

time/s

x/v

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-40

-30

-20

-10

0

10

frequency /Hz

magnitude/dB

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0

2

4

6

8

10

12

frequency /Hz

magnitude/dB

(d)输出信号的时域图形 (e)输出信号的频域图形 (f)图(e)在 0.02Hz 的局部放大图

图 7 随机共振系统的输入与输出信号时、频域波形图

-2 -1 0 1 2-0.5

0

0.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

-2 -1 0 1 2

-0.5

0

0.5

X Axis

Y A

xis

X Y Plot

(a)无信号时的相图 (b)输入信号后的相图

图 8 相轨迹图

通过对图 7(f)的观察，可以估测出待测信号中可能含有频率为 0.02Hz 的周期信号，然后调节 Duffing 非

线性系统的参数，使其内置周期信号的频率为 0.02Hz，并且使得整个系统对频率为 0.02Hz 的信号敏感，取

步长 h=0.2，采样长度 N=1000，信号预处理时的缩小倍数为 102。在没有信号输入的情况下，临界混沌状态

的阈值为 f=0.7256，Duffing 系统的输出相轨迹图如图 8(a)所示，此时为临界混沌状态。摄入待测信号后，Duffing

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系统的输出相轨迹变为大尺度周期状态，如图 8(b)所示。

观察图 8(a)到图 8(b)的变化，可以确定，待测信号中含有频率为 0.02Hz 的周期信号，该信号使得内置信

号的幅值得到增强。在 Duffing 系统的幅值估计时，取 Duffing 系统参数 a= 1210 、b=0.1，调节内置周期信号

幅值的大小，使得输出信号的相轨迹再一次回到图 8(a)所示的临界混沌状态，计算出经过缩小后待测周期信

号的幅值，得到幅值为 31 10 ，结合检测前的信号预处理，可得待测信号幅值为 0.1。

0 0.5 1 1.5 2 2.5-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency (Hz)

Magnitude, dB

0 0.5 1 1.5 2 2.5-40

-30

-20

-10

0

10

Frequency (Hz)

Ma

gn

itu

de

, d

B

(1)待测信号频率为 0.3 (2)待测信号频率为 0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-40

-30

-20

-10

0

10

20

Frequency (Hz)

Magnitude, dB

CH 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Frequency (Hz)

Magnitude, dB

CH 1

(3)待测信号频率为 0.03 (4)待测信号频率为 0.04

图 9 不同频率的待测信号所激发的系统输出图形

由实验结果图 7(e)可以观察出，频率值主要能量集中在低频，但是整体走向是平滑的，没有出现突然的

峰值现象，只有在待测信号的频率值处，出现频率值集中于一点的现象，可以明显的观察到频率峰值出现，

而在 0.6Hz 处没有待测信号频率值的激发，但是还会出现一个明显的频率尖峰，这个检测现象会引起对检测

结果的误判，图 9 是待测信号为不同频率值时的仿真输出图形。观察图 9 可知，待测信号的频率值数量级在

10-2 的时候，其主频率与系统本底集中频率的值相差不远，所以能很好的检测出待测信号的频率值，但是当

待测信号的频率值数量级在 10-1 时，大量频率集中于低频段，且由于系统由自身的本底频率值 0.6Hz，所以

频率值在 0.6Hz 时也会出现峰值，这样就会影响检测结果的精度，这就要求我们在利用随机共振系统得到检

测结果在 0.6Hz 处有峰值时，在 Duffing 系统中对于 0.6Hz 频率值进行进一步验证。

实验 2：多频率周期信号

为了进一步检验本文所提出的信号检测方法对未知微弱周期信号的检测性能，下面选取带有多组信号和

噪声的复杂信号作为待测信号进行实验。设待测信号为： ( ) 0.2cos(2 0.03 ) 0.25cos(2 0.5 )s t t t

0.2cos(2 0.3 ) ( )t n t ，其中，n(t)是强度为 2 的高斯白噪声。该信号经过随机共振模型后，系统输出的时域图

形和频域图形如图 10 所示。

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0 0.5 1 1.5 2 2.5

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

frequency/Hz

magnitude/dB

0 200 400 600 800 1000

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

time/s

x/v

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-40

-30

-20

-10

0

10

frequency/Hz

magnitude/dB

(a)输入信号的频域图形 (b)输出信号的时域图形 (c)输出信号的频域图形

0 0.02 0.04 0.06

-10

-5

0

5

10

15

frequency/Hz

magnitude/dB

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-25

-20

-15

-10

-5

0

frequency/Hz

magnitude/dB

0 .35 0 .4 0 .45 0 .5 0 .55 0 .6 0 .65

-25

-20

-15

-10

-5

Frequency/Hz

Magnitude/dB

(d)c 图在 0.03Hz 的局部放大 (e)c 图在 0.3Hz 的局部放大 (f)c 图在 0.5Hz 的局部放大

图 10 随机共振系统的输入与输出信号时、频域波形图

图 10 为多频率信号经过随机共振系统前后的时、频域图形，通过观察图形(a)到(f)发现，经过随机共振

以后，信号的能量主要集中在低频范围，并且在待测信号含有的频率值点会有明显的峰值，由此可以直观、

快速的观察出待测信号的频率值。但是，在观察中发现，输出信号的能量不仅仅集中在待测信号所含的频率

处，而且在许多不包含于未知信号的频率值点处也有尖峰，这是因为多组信号的信噪比、频率、幅值不同，

不可能使所有信号都与随机共振系统达到最佳匹配，所以为了能够准确地检测出待测信号，需要在 Duffing

系统中进行验证。然后利用信号预处理法对待测信号中含有的周期信号进行幅值大小的估计。

实验步骤与实验 1 类似，通过随机共振系统对信号频率值的估计和混沌系统对频率值的选择与幅值的估

计，观察可以得出，待测信号中分别含有，频率值为 0.03Hz、0.5Hz、0.3Hz 的周期信号。然后，根据频率值

依次调节 Duffing 系统的内置频率，进行频率选择与幅值大小的估计，由于实验过程与实验 1 类似，限于篇

幅，这里省略了相关检测步骤与信号的相关相图，检测结果显示：待测信号中分别含有幅值为 0.2，频率值

为 0.03Hz、幅值为 0.25，频率值为 0.5Hz、幅值为 0.2、频率值为 0.3Hz 的周期信号。

5 结束语

本文运用两种非线性系统相结合的思想，提出了一种检测强噪声背景中未知微弱周期信号的有效方法。

该方法弥补了 Duffing 混沌系统检测未知信号时需要频率先验值的缺点，改变了混沌信号检测理论只适应于

检测特定频率成分信号的状况。实验结果表明，该方法不仅仿真过程简单、易于实验再现和工程实现，而且

能快速、精确的检测出未知的周期信号，为信号检测的发展提供了一个新的研究途径。然而，由于随机共振

系统基于绝热近似理论，该理论假定输入信号角频率远小于双稳系统受噪声时发生跃迁的速度，而跃迁速度

一般都远小于 1，同时，假定输入信号幅值和噪声强度都远小于 1。本文只是部分地解决了幅值与噪声强度

较小的局限性问题，因此，本方法不适合应用于频率在 1Hz 以上的信号检测。下一步的研究工作将是改进本

方法，以便适应频率范围更大的周期信号检测。

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【作者简介】

1 辛云宏（1967-），男，汉，教授，博

士，主要研究方向为微弱信号检测、被

动目标定位跟踪、WSN 的组网与节点定

位技术。

2 薛灵芝（1987-），女，汉，硕士，主要

研究方向为微弱信号的检测。

Email: xlz7218@126.com