Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
The 14th Whitney Problems Workshop๐๐ and Sobolev functions on subsets of โ๐
๐๐ SOLUTIONS OF SEMIALGEBRAIC EQUATIONS
Joint work with E. BIERSTONE and P.D. MILMAN
Jean-Baptiste Campesato
August 19, 2021
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 1 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ Definitions
Definition: semialgebraic setsSemialgebraic subsets of โ๐ are elements of the boolean algebra spanned by sets of the form
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โฅ 0}
where ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐].
RemarkGiven ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐], the following sets are semialgebraic
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) > 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โค 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) < 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) = 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โ 0}
Definition: semialgebraic functionsLet ๐ โ โ๐. A function ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic if its graph ฮ๐ โ โ๐+๐ is semialgebraic.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 2 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ Definitions
Definition: semialgebraic setsSemialgebraic subsets of โ๐ are elements of the boolean algebra spanned by sets of the form
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โฅ 0}
where ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐].
RemarkGiven ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐], the following sets are semialgebraic
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) > 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โค 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) < 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) = 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โ 0}
Definition: semialgebraic functionsLet ๐ โ โ๐. A function ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic if its graph ฮ๐ โ โ๐+๐ is semialgebraic.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 2 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ Definitions
Definition: semialgebraic setsSemialgebraic subsets of โ๐ are elements of the boolean algebra spanned by sets of the form
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โฅ 0}
where ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐].
RemarkGiven ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐], the following sets are semialgebraic
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) > 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โค 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) < 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) = 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โ 0}
Definition: semialgebraic functionsLet ๐ โ โ๐. A function ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic if its graph ฮ๐ โ โ๐+๐ is semialgebraic.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 2 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ Definitions
Definition: semialgebraic setsSemialgebraic subsets of โ๐ are elements of the boolean algebra spanned by sets of the form
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โฅ 0}
where ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐].
RemarkGiven ๐ โ โ[๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐], the following sets are semialgebraic
{๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) > 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โค 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) < 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) = 0} , {๐ฅ โ โ๐ โถ ๐(๐ฅ) โ 0}
Definition: semialgebraic functionsLet ๐ โ โ๐. A function ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic if its graph ฮ๐ โ โ๐+๐ is semialgebraic.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 2 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ TarskiโSeidenberg theoremTheorem (TarskiโSeidenberg): semialgebraic sets are closed under projections
If ๐ โ โ๐+1 is semialgebraic then so is ๐(๐), where ๐ โถ โ๐+1 โ โ๐, ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐+1) = (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐).
RemarkIf ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic then so is ๐.
Corollary: elimination of quantifiers
Let ๐ โ โ๐+1 be semialgebraic, then the following sets are too
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = ๐(๐)
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = โ๐ โงต ๐(โ๐+1 โงต ๐)
Example
If ๐ด โ โ๐ is semialgebraic, then so is ๐ด โ{
๐ฅ โ โ๐ โถ โ๐ โ (0, +โ), โ๐ฆ โ ๐ด,๐
โ๐=1
(๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐)2 < ๐2}
.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 3 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ TarskiโSeidenberg theoremTheorem (TarskiโSeidenberg): semialgebraic sets are closed under projections
If ๐ โ โ๐+1 is semialgebraic then so is ๐(๐), where ๐ โถ โ๐+1 โ โ๐, ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐+1) = (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐).
RemarkIf ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic then so is ๐.
Corollary: elimination of quantifiers
Let ๐ โ โ๐+1 be semialgebraic, then the following sets are too
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = ๐(๐)
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = โ๐ โงต ๐(โ๐+1 โงต ๐)
Example
If ๐ด โ โ๐ is semialgebraic, then so is ๐ด โ{
๐ฅ โ โ๐ โถ โ๐ โ (0, +โ), โ๐ฆ โ ๐ด,๐
โ๐=1
(๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐)2 < ๐2}
.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 3 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ TarskiโSeidenberg theoremTheorem (TarskiโSeidenberg): semialgebraic sets are closed under projections
If ๐ โ โ๐+1 is semialgebraic then so is ๐(๐), where ๐ โถ โ๐+1 โ โ๐, ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐+1) = (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐).
RemarkIf ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic then so is ๐.
Corollary: elimination of quantifiers
Let ๐ โ โ๐+1 be semialgebraic, then the following sets are too
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = ๐(๐)
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = โ๐ โงต ๐(โ๐+1 โงต ๐)
Example
If ๐ด โ โ๐ is semialgebraic, then so is ๐ด โ{
๐ฅ โ โ๐ โถ โ๐ โ (0, +โ), โ๐ฆ โ ๐ด,๐
โ๐=1
(๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐)2 < ๐2}
.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 3 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Semialgebraic geometry โ TarskiโSeidenberg theoremTheorem (TarskiโSeidenberg): semialgebraic sets are closed under projections
If ๐ โ โ๐+1 is semialgebraic then so is ๐(๐), where ๐ โถ โ๐+1 โ โ๐, ๐(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐+1) = (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐).
RemarkIf ๐ โถ ๐ โ โ๐ is semialgebraic then so is ๐.
Corollary: elimination of quantifiers
Let ๐ โ โ๐+1 be semialgebraic, then the following sets are too
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = ๐(๐)
{(๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐) โ โ๐ โถ โ๐ฆ, (๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐, ๐ฆ) โ ๐} = โ๐ โงต ๐(โ๐+1 โงต ๐)
Example
If ๐ด โ โ๐ is semialgebraic, then so is ๐ด โ{
๐ฅ โ โ๐ โถ โ๐ โ (0, +โ), โ๐ฆ โ ๐ด,๐
โ๐=1
(๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐)2 < ๐2}
.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 3 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
A semialgebraic version of Whitneyโs extension theorem
Theorem โ KurdykaโPawลucki, 1997, 2014Thamrongthanyalak, 2017Kocel-CynkโPawลuckiโValette, 2019
Given a semialgebraic ๐๐ Whitney field on a closed subset ๐ โ โ๐,i.e. a family (๐๐ผ โถ ๐ โ โ)๐ผโโ๐
|๐ผ|โค๐of continuous semialgebraic functions such that
โ๐ง โ ๐, โ๐ผ โ โ๐, |๐ผ| โค ๐ โน ๐๐ผ (๐ฅ) โ โ|๐ฝ|โค๐โ|๐ผ|
๐๐ผ+๐ฝ (๐ฆ)๐ฝ! (๐ฅ โ ๐ฆ)๐ฝ = ๐
๐โ๐ฅ,๐ฆโ๐ง(โ๐ฅ โ ๐ฆโ๐โ|๐ผ|) ,
there exists a ๐๐ semialgebraic function ๐น โถ โ๐ โ โ such that ๐ท๐ผ ๐น|๐ = ๐๐ผ and ๐น is Nash on โ๐ โงต ๐.
Nash โ semialgebraic and analytic.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 4 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Are there solutions preserving semialgebraicity?
For Whitneyโs Extension Problem
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function where ๐ โ โ๐ is closed.If ๐ admits a ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ, does it admit a semialgebraic ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ?
For the BrennerโFeffermanโHochsterโKollรกr Problem
Let ๐1, โฆ , ๐๐, ๐ โถ โ๐ โ โ be semialgebraic functions.If the equation ๐ = โ ๐๐๐๐ admit a ๐๐ solution (๐๐)๐, does it admit a semialgebraic ๐๐ solution?
โข AschenbrennerโThamrongthanyalak (2019): โ๐, for ๐ = 1 and ๐ = 0, respectively.โข FeffermanโLuli (2021): โ๐, for ๐ = 2.
โข BierstoneโC.โMilman (2021): โ๐, โ๐, with a loss of differentiability.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 5 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Are there solutions preserving semialgebraicity?
For Whitneyโs Extension ProblemLet ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function where ๐ โ โ๐ is closed.If ๐ admits a ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ, does it admit a semialgebraic ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ?
For the BrennerโFeffermanโHochsterโKollรกr Problem
Let ๐1, โฆ , ๐๐, ๐ โถ โ๐ โ โ be semialgebraic functions.If the equation ๐ = โ ๐๐๐๐ admit a ๐๐ solution (๐๐)๐, does it admit a semialgebraic ๐๐ solution?
โข AschenbrennerโThamrongthanyalak (2019): โ๐, for ๐ = 1 and ๐ = 0, respectively.โข FeffermanโLuli (2021): โ๐, for ๐ = 2.โข BierstoneโC.โMilman (2021): โ๐, โ๐, with a loss of differentiability.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 5 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Are there solutions preserving semialgebraicity?
For Whitneyโs Extension ProblemLet ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function where ๐ โ โ๐ is closed.If ๐ admits a ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ, does it admit a semialgebraic ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ?
For the BrennerโFeffermanโHochsterโKollรกr ProblemLet ๐1, โฆ , ๐๐, ๐ โถ โ๐ โ โ be semialgebraic functions.If the equation ๐ = โ ๐๐๐๐ admit a ๐๐ solution (๐๐)๐, does it admit a semialgebraic ๐๐ solution?
โข AschenbrennerโThamrongthanyalak (2019): โ๐, for ๐ = 1 and ๐ = 0, respectively.โข FeffermanโLuli (2021): โ๐, for ๐ = 2.โข BierstoneโC.โMilman (2021): โ๐, โ๐, with a loss of differentiability.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 5 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Are there solutions preserving semialgebraicity?
For Whitneyโs Extension ProblemLet ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function where ๐ โ โ๐ is closed.If ๐ admits a ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ, does it admit a semialgebraic ๐๐ extension ๐น โถ โ๐ โ โ?
For the BrennerโFeffermanโHochsterโKollรกr ProblemLet ๐1, โฆ , ๐๐, ๐ โถ โ๐ โ โ be semialgebraic functions.If the equation ๐ = โ ๐๐๐๐ admit a ๐๐ solution (๐๐)๐, does it admit a semialgebraic ๐๐ solution?
โข AschenbrennerโThamrongthanyalak (2019): โ๐, for ๐ = 1 and ๐ = 0, respectively.โข FeffermanโLuli (2021): โ๐, for ๐ = 2.โข BierstoneโC.โMilman (2021): โ๐, โ๐, with a loss of differentiability.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 5 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfies
โ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfies
โ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic,
and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfies
โ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.
โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.
โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfiesโ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐
๐โ๐,๐โ๐(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.
โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfiesโ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐
๐โ๐,๐โ๐(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfies
โ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐ (๐) = ๐e๐ (๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐ (๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the semialgebraic ๐1 extension problem(AschenbrennerโThamrongthanyalak, 2019)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be a semialgebraic function admitting a ๐1 extension ๐น โถ โ๐ โ โ.
โข Set ๐ โ {(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) โ โ๐ ร โ ร โ๐ โถ ๐ฅ โ ๐, ๐ฆ = ๐(๐ฅ),โ๐ > 0, โ๐ฟ > 0, โ๐, ๐ โ ๐ต๐ฟ (๐ฅ), |๐ (๐) โ ๐(๐) โ ๐ฃ โ (๐ โ ๐)| โค ๐โ๐ โ ๐โ}.
โข Then ๐ is semialgebraic, and, โ๐ฅ โ ๐, (๐ฅ, ๐น (๐ฅ), โ๐น (๐ฅ)) โ ๐.โข Semialgebraic Michaelโs Selection Lemma:
there exists ๐ โถ ๐ โ ๐ semialgebraic and continuous such that ๐๐ฅ โ ๐ = id where ๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฅ.โข Set ๐บ โ ๐๐ฃ โ ๐ โถ โ๐ โ โ๐ where ๐๐ฃ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฃ) = ๐ฃ, then ๐บ is semialgebraic, continuous and satisfies
โ๐ โ ๐, ๐(๐) = ๐(๐) + ๐บ(๐) โ (๐ โ ๐) + ๐๐โ๐,๐โ๐
(โ๐ โ ๐โ). โ
This strategy does not generalize to ๐ > 1 since the unknown (๐๐ผ )๐ผโโ๐โงต{0}|๐ผ|โค๐
canโt be described as a section.
For instance, if ๐ = 2, ๐e๐needs to satisfy
๐e๐(๐) = ๐e๐
(๐) +๐
โ๐=1
๐e๐+e๐(๐)(๐๐ โ ๐๐) + ๐
๐โ๐,๐โ๐(โ๐ โ ๐โ).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 6 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.
1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.Set ๐ โ
๐ (๐ฅ) โ ๐๐๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +
๐ (๐ฅ) โ ๐๐๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)). Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.
Set ๐ โ๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)). Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.
Set ๐ โ๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)).
Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.
Set ๐ โ๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)). Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.
Set ๐ โ๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)). Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Strategy for the planar semialgebraic extension problem (FeffermanโLuli, 2021)
๐โ โถ ๐ฆ = 0
๐+ โถ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โค ๐ฅ๐ = ๐โ โช ๐+
(0, 0)
Let ๐ โถ ๐ โ โ be semialgebraic.1 Let ๐น โถ โ2 โ โ be a ๐๐ function such that ๐น|๐ = ๐ and ๐ฝ(0,0)๐น = 0.
Set ๐ โ๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, 0) and ๐ +๐ (๐ฅ) โ ๐๐
๐ฆ๐น (๐ฅ, ๐(๐ฅ)). Then
(โ)
โงโชโชโชโชโจโชโชโชโชโฉ
(๐) ๐ โ0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, 0)
(๐๐) ๐ +0 (๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐(๐ฅ))
(๐๐๐) ๐ +๐ (๐ฅ) =
๐โ๐
โ๐=0
๐(๐ฅ)๐
๐! ๐ โ๐+๐(๐ฅ) + ๐
๐ฅโ0+(๐(๐ฅ)๐โ๐)
(๐๐ฃ) ๐ โ๐ (๐ฅ) = ๐
๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)(๐ฃ) ๐ +
๐ (๐ฅ) = ๐๐ฅโ0+ (๐ฅ๐โ๐)
2 According to the definable choice: there exist ๐ ยฑ๐ semialgebraic satisfying (โ).
3 Then ๐น (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐โ(๐ฅ, ๐ฆ)(
๐
โ๐=0
๐ โ๐ (๐ฅ)๐! ๐ฆ๐
)+ ๐+(๐ฅ, ๐ฆ)
(
๐
โ๐=0
๐ +๐ (๐ฅ)๐! (๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐
)is a semialgebraic ๐๐
extension of ๐ in a neighborhood of the origin such that ๐ฝ(0,0) ๐น = 0.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 7 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The main results: statements
Theorem โ BierstoneโC.โMilman, 2021Given ๐ โ โ๐ closed and semialgebraic, there exists ๐ โถ โ โ โ satisfying the following property:if ๐ โถ ๐ โ โ semialgebraic admits a ๐๐(๐) extension, then it admits a semialgebraic ๐๐ extension.
Theorem โ BierstoneโC.โMilman, 2021Given ๐ด โถ โ๐ โ โณ๐,๐(โ) semialgebraic, there exists ๐ โถ โ โ โ such that:if ๐น โถ โ๐ โ โ๐ semialgebraic may be written ๐น (๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ)๐บ(๐ฅ) where ๐บ is ๐๐(๐),then ๐น (๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ฅ) where ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ฅ) is semialgebraic and ๐๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 8 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The main results: statements
Theorem โ BierstoneโC.โMilman, 2021Given ๐ โ โ๐ closed and semialgebraic, there exists ๐ โถ โ โ โ satisfying the following property:if ๐ โถ ๐ โ โ semialgebraic admits a ๐๐(๐) extension, then it admits a semialgebraic ๐๐ extension.
Theorem โ BierstoneโC.โMilman, 2021Given ๐ด โถ โ๐ โ โณ๐,๐(โ) semialgebraic, there exists ๐ โถ โ โ โ such that:if ๐น โถ โ๐ โ โ๐ semialgebraic may be written ๐น (๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ)๐บ(๐ฅ) where ๐บ is ๐๐(๐),then ๐น (๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ)๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ฅ) where ๏ฟฝ๏ฟฝ(๐ฅ) is semialgebraic and ๐๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 8 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Main results: towards a common generalization
The extension problemLet ๐ โ โ๐ be semialgebraic and closed.
By resolution of singularities, there exists ๐ โถ ๐ โ โ๐
Nash and proper defined on a Nash manifold suchthat ๐ = ๐(๐).
Given ๐ โถ โ๐ โ โ and ๐ โถ ๐ โ โ, we have๐|๐ = ๐ if and only if
โ๐ฆ โ ๐, ๐(๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฆ)
where ๐ โ ๐ โ ๐.
The equation problemConsider an equation
๐ด(๐ฅ)๐บ(๐ฅ) = ๐น (๐ฅ), ๐ฅ โ โ๐.
By resolution of singularities, there exists๐ โถ ๐ โ โ๐ Nash and proper defined on a Nashmanifold such that after composition, we get
๐ด(๐ฆ)๐บ(๐(๐ฆ)) = ๐น (๐ฆ), ๐ฆ โ ๐
where ๐ด โ ๐ด โ ๐ is now Nash and ๐น โ ๐น โ ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 9 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Main results: towards a common generalization
The extension problemLet ๐ โ โ๐ be semialgebraic and closed.
By resolution of singularities, there exists ๐ โถ ๐ โ โ๐
Nash and proper defined on a Nash manifold suchthat ๐ = ๐(๐).
Given ๐ โถ โ๐ โ โ and ๐ โถ ๐ โ โ, we have๐|๐ = ๐ if and only if
โ๐ฆ โ ๐, ๐(๐(๐ฆ)) = ๐ (๐ฆ)
where ๐ โ ๐ โ ๐.
The equation problemConsider an equation
๐ด(๐ฅ)๐บ(๐ฅ) = ๐น (๐ฅ), ๐ฅ โ โ๐.
By resolution of singularities, there exists๐ โถ ๐ โ โ๐ Nash and proper defined on a Nashmanifold such that after composition, we get
๐ด(๐ฆ)๐บ(๐(๐ฆ)) = ๐น (๐ฆ), ๐ฆ โ ๐
where ๐ด โ ๐ด โ ๐ is now Nash and ๐น โ ๐น โ ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 9 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The main result
Theorem โ BierstoneโC.โMilman, 2021Let ๐ด โถ โ๐ โ โณ๐,๐(โ) be Nash and let ๐ โถ ๐ โ โ๐ be Nash and proper defined on ๐ โ โ๐ aNash submanifold.Then there exists ๐ โถ โ โ โ satisfying the following property.If ๐ โถ ๐ โ โ๐ semialgebraic may be written
๐(๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ)๐(๐(๐ฅ))
for a ๐๐(๐) function ๐ โถ โ๐ โ โ๐ then
๐(๐ฅ) = ๐ด(๐ฅ) ๐(๐(๐ฅ))
for a semialgebraic ๐๐ function ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 10 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Heart of the proof: induction on dimension
Proposition: the induction stepLet ๐ต โ ๐(๐) be semialgebraic and closed.There exist ๐ตโฒ โ ๐ต semialgebraic satisfying dim ๐ตโฒ < dim ๐ต and ๐ก โถ โ โ โ such that if
1 ๐ โถ ๐ โ โ๐ is ๐๐ก(๐), semialgebraic and ๐ก(๐)-flat on ๐โ1(๐ตโฒ), and2 ๐ = ๐ด โ (๐ โ ๐) admits a ๐๐ก(๐) solution ๐,
then there exists a semialgebraic ๐๐ function ๐ โถ โ๐ โ โ๐ s.t. ๐ โ ๐ด โ ( ๐ โ ๐) is ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
Then, up to subtracting by ๐ด โ ( ๐ โ ๐) on both side, we get an equation
๐ = ๐ด โ (๐ โ ๐)
where ๐ is now semialgebraic and ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 11 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Heart of the proof: induction on dimension
Proposition: the induction stepLet ๐ต โ ๐(๐) be semialgebraic and closed.There exist ๐ตโฒ โ ๐ต semialgebraic satisfying dim ๐ตโฒ < dim ๐ต and ๐ก โถ โ โ โ such that if
1 ๐ โถ ๐ โ โ๐ is ๐๐ก(๐), semialgebraic and ๐ก(๐)-flat on ๐โ1(๐ตโฒ), and2 ๐ = ๐ด โ (๐ โ ๐) admits a ๐๐ก(๐) solution ๐,
then there exists a semialgebraic ๐๐ function ๐ โถ โ๐ โ โ๐ s.t. ๐ โ ๐ด โ ( ๐ โ ๐) is ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
Then, up to subtracting by ๐ด โ ( ๐ โ ๐) on both side, we get an equation
๐ = ๐ด โ (๐ โ ๐)
where ๐ is now semialgebraic and ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 11 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Heart of the proof: induction on dimension
Strategy: construction of a semialgebraic Whitney field
๐บ(๐, y) = โ|๐ผ|โค๐
๐๐ผ (๐)๐ผ! y๐ผ โ ๐0(๐ต)[y]
vanishing on ๐ตโฒ such that
โ๐ โ ๐ต โงต ๐ตโฒ, โ๐ โ ๐โ1(๐), ๐ ๐๐๐(x) โก ๐ ๐
๐๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐
A - Whitney regularityGiven ๐ต, there exists ๐ โ โ such that if ๐บ is a Whitney field of order ๐ โฅ ๐๐ on ๐ต โงต ๐ตโฒ then it is aWhitney field of order ๐ on ๐ต.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 12 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Heart of the proof: induction on dimension
Strategy: construction of a semialgebraic Whitney field
๐บ(๐, y) = โ|๐ผ|โค๐
๐๐ผ (๐)๐ผ! y๐ผ โ ๐0(๐ต)[y]
vanishing on ๐ตโฒ such that
โ๐ โ ๐ต โงต ๐ตโฒ, โ๐ โ ๐โ1(๐), ๐ ๐๐๐(x) โก ๐ ๐
๐๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐
A - Whitney regularityGiven ๐ต, there exists ๐ โ โ such that if ๐บ is a Whitney field of order ๐ โฅ ๐๐ on ๐ต โงต ๐ตโฒ then it is aWhitney field of order ๐ on ๐ต.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 12 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The module of relations at ๐ โ ๐(๐)We consider the equation at the level of Taylor polynomials:
๐ ๐๐ ๐(x) โก ๐ ๐
๐ ๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐ ๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐ (1)
B - Chevalleyโs functionGiven ๐ โ โ, there exists ๐ โฅ ๐ such that the derivatives of ๐ of order โค ๐ can be expressed interms of the derivatives of ๐ of order โค ๐.
Formally, we stratify ๐ต = โจ๐max๐=1 ฮ๐ such that for each ๐, there exists ๐ โฅ ๐ satisfying
โ๐ โ ฮ๐ , ๐๐(โ๐(๐)) = ๐๐(โ๐โ1(๐))
whereโข โ๐(๐) is the module of relations at ๐ โ ๐(๐) formed by the ๐บ โ โJyK๐ satisfying the
homogeneous equation associated to (1) for all ๐ โ ๐โ1(๐), and,โข ๐๐ is the truncation up to degree ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 13 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The module of relations at ๐ โ ๐(๐)We consider the equation at the level of Taylor polynomials:
๐ ๐๐ ๐(x) โก ๐ ๐
๐ ๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐ ๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐ (1)
B - Chevalleyโs functionGiven ๐ โ โ, there exists ๐ โฅ ๐ such that the derivatives of ๐ of order โค ๐ can be expressed interms of the derivatives of ๐ of order โค ๐.
Formally, we stratify ๐ต = โจ๐max๐=1 ฮ๐ such that for each ๐, there exists ๐ โฅ ๐ satisfying
โ๐ โ ฮ๐ , ๐๐(โ๐(๐)) = ๐๐(โ๐โ1(๐))
whereโข โ๐(๐) is the module of relations at ๐ โ ๐(๐) formed by the ๐บ โ โJyK๐ satisfying the
homogeneous equation associated to (1) for all ๐ โ ๐โ1(๐), and,โข ๐๐ is the truncation up to degree ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 13 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
The module of relations at ๐ โ ๐(๐)We consider the equation at the level of Taylor polynomials:
๐ ๐๐ ๐(x) โก ๐ ๐
๐ ๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐ ๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐ (1)
B - Chevalleyโs functionGiven ๐ โ โ, there exists ๐ โฅ ๐ such that the derivatives of ๐ of order โค ๐ can be expressed interms of the derivatives of ๐ of order โค ๐.
Formally, we stratify ๐ต = โจ๐max๐=1 ฮ๐ such that for each ๐, there exists ๐ โฅ ๐ satisfying
โ๐ โ ฮ๐ , ๐๐(โ๐(๐)) = ๐๐(โ๐โ1(๐))
whereโข โ๐(๐) is the module of relations at ๐ โ ๐(๐) formed by the ๐บ โ โJyK๐ satisfying the
homogeneous equation associated to (1) for all ๐ โ ๐โ1(๐), and,โข ๐๐ is the truncation up to degree ๐.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 13 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Hironakaโs formal divisionโข ๐น = โ ๐น(๐ผ,๐)y(๐ผ,๐) โ โJ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐K๐ where y(๐ผ,๐) = (0, โฆ , 0, ๐ฆ๐ผ1
1 โฏ ๐ฆ๐ผ๐๐ , 0, โฆ , 0).
โข The set โ๐ ร {1, โฆ , ๐} โ (๐ผ, ๐) is totally ordered by lex(|๐ผ|, ๐, ๐ผ1, โฆ , ๐ผ๐).โข supp ๐น โ {(๐ผ, ๐) โถ ๐น(๐ผ,๐) โ 0} โข exp ๐น โ min(supp ๐น )
Theorem โ Hironaka 1964, BierstoneโMilman 1987Let ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ โ โJyK๐.
Set ฮ1 โ exp ฮฆ1 + โ๐, ฮ๐ โ (exp ฮฆ๐ + โ๐) โงต๐โ1
โ๐=1
ฮ๐, and ฮ โ (โ๐ ร {1, โฆ , ๐}) โงต๐
โ๐=1
ฮ๐.
ฮ
ฮ3
ฮ2
ฮ1Then โ๐น โ โJyK๐, โ!๐๐ โ โJyK, ๐ โ โJyK๐ such that
โข ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐
โข exp ฮฆ๐ + supp ๐๐ โ ฮ๐
โข supp ๐ โ ฮ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 14 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Hironakaโs formal divisionโข ๐น = โ ๐น(๐ผ,๐)y(๐ผ,๐) โ โJ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐K๐ where y(๐ผ,๐) = (0, โฆ , 0, ๐ฆ๐ผ1
1 โฏ ๐ฆ๐ผ๐๐ , 0, โฆ , 0).
โข The set โ๐ ร {1, โฆ , ๐} โ (๐ผ, ๐) is totally ordered by lex(|๐ผ|, ๐, ๐ผ1, โฆ , ๐ผ๐).โข supp ๐น โ {(๐ผ, ๐) โถ ๐น(๐ผ,๐) โ 0} โข exp ๐น โ min(supp ๐น )
Theorem โ Hironaka 1964, BierstoneโMilman 1987Let ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ โ โJyK๐.
Set ฮ1 โ exp ฮฆ1 + โ๐, ฮ๐ โ (exp ฮฆ๐ + โ๐) โงต๐โ1
โ๐=1
ฮ๐, and ฮ โ (โ๐ ร {1, โฆ , ๐}) โงต๐
โ๐=1
ฮ๐.
ฮ
ฮ3
ฮ2
ฮ1Then โ๐น โ โJyK๐, โ!๐๐ โ โJyK, ๐ โ โJyK๐ such that
โข ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐
โข exp ฮฆ๐ + supp ๐๐ โ ฮ๐
โข supp ๐ โ ฮ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 14 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Hironakaโs formal divisionโข ๐น = โ ๐น(๐ผ,๐)y(๐ผ,๐) โ โJ๐ฆ1, โฆ , ๐ฆ๐K๐ where y(๐ผ,๐) = (0, โฆ , 0, ๐ฆ๐ผ1
1 โฏ ๐ฆ๐ผ๐๐ , 0, โฆ , 0).
โข The set โ๐ ร {1, โฆ , ๐} โ (๐ผ, ๐) is totally ordered by lex(|๐ผ|, ๐, ๐ผ1, โฆ , ๐ผ๐).โข supp ๐น โ {(๐ผ, ๐) โถ ๐น(๐ผ,๐) โ 0} โข exp ๐น โ min(supp ๐น )
Theorem โ Hironaka 1964, BierstoneโMilman 1987Let ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ โ โJyK๐.
Set ฮ1 โ exp ฮฆ1 + โ๐, ฮ๐ โ (exp ฮฆ๐ + โ๐) โงต๐โ1
โ๐=1
ฮ๐, and ฮ โ (โ๐ ร {1, โฆ , ๐}) โงต๐
โ๐=1
ฮ๐.
ฮ
ฮ3
ฮ2
ฮ1Then โ๐น โ โJyK๐, โ!๐๐ โ โJyK, ๐ โ โJyK๐ such that
โข ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐
โข exp ฮฆ๐ + supp ๐๐ โ ฮ๐
โข supp ๐ โ ฮ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 14 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponentsLet ๐ โ โJyK๐ be a โJyK-submodule.The diagram of initial exponents of ๐ is
๐ฉ (๐) โ {exp ๐น โถ ๐น โ ๐ โงต {0}} โ โ๐ ร {1, โฆ , ๐}
Note that ๐ฉ (๐) has finitely many vertices (๐ผ๐, ๐๐), ๐ = 1, โฆ , ๐.For each one, we pick a representative ฮฆ๐ โ ๐ , i.e. exp ฮฆ๐ = (๐ผ๐, ๐๐).
CorollaryLet ๐น โ โJyK๐. Then ๐น โ ๐ if and only if its remainder by the formal division w.r.t. the ฮฆ๐ is 0.
Particularly ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ generate ๐ .
Proof. Write ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐ with supp ๐ โ ๐ฉ (๐)๐ . โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 15 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponentsLet ๐ โ โJyK๐ be a โJyK-submodule.The diagram of initial exponents of ๐ is
๐ฉ (๐) โ {exp ๐น โถ ๐น โ ๐ โงต {0}} โ โ๐ ร {1, โฆ , ๐}
Note that ๐ฉ (๐) has finitely many vertices (๐ผ๐, ๐๐), ๐ = 1, โฆ , ๐.For each one, we pick a representative ฮฆ๐ โ ๐ , i.e. exp ฮฆ๐ = (๐ผ๐, ๐๐).
CorollaryLet ๐น โ โJyK๐. Then ๐น โ ๐ if and only if its remainder by the formal division w.r.t. the ฮฆ๐ is 0.
Particularly ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ generate ๐ .
Proof. Write ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐ with supp ๐ โ ๐ฉ (๐)๐ . โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 15 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponentsLet ๐ โ โJyK๐ be a โJyK-submodule.The diagram of initial exponents of ๐ is
๐ฉ (๐) โ {exp ๐น โถ ๐น โ ๐ โงต {0}} โ โ๐ ร {1, โฆ , ๐}
Note that ๐ฉ (๐) has finitely many vertices (๐ผ๐, ๐๐), ๐ = 1, โฆ , ๐.For each one, we pick a representative ฮฆ๐ โ ๐ , i.e. exp ฮฆ๐ = (๐ผ๐, ๐๐).
CorollaryLet ๐น โ โJyK๐. Then ๐น โ ๐ if and only if its remainder by the formal division w.r.t. the ฮฆ๐ is 0.
Particularly ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ generate ๐ .
Proof. Write ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐ with supp ๐ โ ๐ฉ (๐)๐ . โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 15 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponentsLet ๐ โ โJyK๐ be a โJyK-submodule.The diagram of initial exponents of ๐ is
๐ฉ (๐) โ {exp ๐น โถ ๐น โ ๐ โงต {0}} โ โ๐ ร {1, โฆ , ๐}
Note that ๐ฉ (๐) has finitely many vertices (๐ผ๐, ๐๐), ๐ = 1, โฆ , ๐.For each one, we pick a representative ฮฆ๐ โ ๐ , i.e. exp ฮฆ๐ = (๐ผ๐, ๐๐).
CorollaryLet ๐น โ โJyK๐. Then ๐น โ ๐ if and only if its remainder by the formal division w.r.t. the ฮฆ๐ is 0.
Particularly ฮฆ1, โฆ , ฮฆ๐ generate ๐ .
Proof. Write ๐น =๐
โ๐=1
๐๐ฮฆ๐ + ๐ with supp ๐ โ ๐ฉ (๐)๐ . โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 15 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponents and module of relations
Lemma โ Chevalleyโs functionLet ๐ โ โ.There exists (ฮ๐)๐ a stratification of ๐ต such that given a stratum ฮ๐ , there exists ๐ โฅ ๐ satisfying
โข โ๐ โ ฮ๐ , ๐๐(โ๐(๐)) = ๐๐(โ๐โ1(๐)),โข ๐ฉ (โ๐(๐)) is constant on ฮ๐ .
We set๐ตโฒ โ โ
dim ฮ๐ <dim ๐ตฮ๐
so that โ๐, ฮ๐ โงต ฮ๐ โ ๐ตโฒ.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 16 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Diagram of initial exponents and module of relations
Lemma โ Chevalleyโs functionLet ๐ โ โ.There exists (ฮ๐)๐ a stratification of ๐ต such that given a stratum ฮ๐ , there exists ๐ โฅ ๐ satisfying
โข โ๐ โ ฮ๐ , ๐๐(โ๐(๐)) = ๐๐(โ๐โ1(๐)),โข ๐ฉ (โ๐(๐)) is constant on ฮ๐ .
We set๐ตโฒ โ โ
dim ฮ๐ <dim ๐ตฮ๐
so that โ๐, ฮ๐ โงต ฮ๐ โ ๐ตโฒ.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 16 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Construction of ๐บ on ฮ๐
For ๐ โ ๐ต and ๐ก โฅ ๐, by assumption there exists ๐๐ โ โ[y]๐ such that
๐ ๐ก๐๐(x) โก ๐ ๐ก
๐๐ด(x) ๐๐(๐ ๐ก๐๐(x)) mod (x)๐ก+1โJxK๐, โ๐ โ ๐โ1(๐).
Letโs fix a stratum ฮ๐ and ๐ โ ฮ๐ .By formal division, we may write ๐๐(y) = โ ๐๐(y)ฮฆ๐(y) + ๐๐(๐, y) where the ฮฆ๐ are as above for โ๐(๐).Note that the remainder ๐๐(๐, y) โ โ[y]๐ satisfies
๐๐(y) โ ๐๐(๐, y) โ โ๐(๐) and supp ๐๐(๐, y) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐ .
Lemma๐บ๐(๐, y) โ ๐๐ (๐๐(๐, y)) is a semialgebraic Whitney field of order ๐ on ฮ๐ satisfying (1).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 17 / 20
exp ฮฆ2
exp ฮฆ1
supp ๐๐
๐ฉ (๐ ๐(๐))
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Construction of ๐บ on ฮ๐
For ๐ โ ๐ต and ๐ก โฅ ๐, by assumption there exists ๐๐ โ โ[y]๐ such that
๐ ๐ก๐๐(x) โก ๐ ๐ก
๐๐ด(x) ๐๐(๐ ๐ก๐๐(x)) mod (x)๐ก+1โJxK๐, โ๐ โ ๐โ1(๐).
Letโs fix a stratum ฮ๐ and ๐ โ ฮ๐ .By formal division, we may write ๐๐(y) = โ ๐๐(y)ฮฆ๐(y) + ๐๐(๐, y) where the ฮฆ๐ are as above for โ๐(๐).Note that the remainder ๐๐(๐, y) โ โ[y]๐ satisfies
๐๐(y) โ ๐๐(๐, y) โ โ๐(๐) and supp ๐๐(๐, y) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐ .
Lemma๐บ๐(๐, y) โ ๐๐ (๐๐(๐, y)) is a semialgebraic Whitney field of order ๐ on ฮ๐ satisfying (1).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 17 / 20
exp ฮฆ2
exp ฮฆ1
supp ๐๐
๐ฉ (๐ ๐(๐))
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Construction of ๐บ on ฮ๐
For ๐ โ ๐ต and ๐ก โฅ ๐, by assumption there exists ๐๐ โ โ[y]๐ such that
๐ ๐ก๐๐(x) โก ๐ ๐ก
๐๐ด(x) ๐๐(๐ ๐ก๐๐(x)) mod (x)๐ก+1โJxK๐, โ๐ โ ๐โ1(๐).
Letโs fix a stratum ฮ๐ and ๐ โ ฮ๐ .By formal division, we may write ๐๐(y) = โ ๐๐(y)ฮฆ๐(y) + ๐๐(๐, y) where the ฮฆ๐ are as above for โ๐(๐).Note that the remainder ๐๐(๐, y) โ โ[y]๐ satisfies
๐๐(y) โ ๐๐(๐, y) โ โ๐(๐) and supp ๐๐(๐, y) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐ .
Lemma๐บ๐(๐, y) โ ๐๐ (๐๐(๐, y)) is a semialgebraic Whitney field of order ๐ on ฮ๐ satisfying (1).
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 17 / 20
exp ฮฆ2
exp ฮฆ1
supp ๐๐
๐ฉ (๐ ๐(๐))
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
๐บ is a Whitney field of order ๐ on ฮ๐To simplify the situation, we omit ๐.Thanks to Borelโs lemma with parameter, it is enough to check that ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) = ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y).
Applying ๐ท๐,๐ฃ โ ๐ทy,๐ฃ to๐ ๐
๐ ๐(y) โก ๐ ๐๐ ๐ด(y) ๐๐ (๐, y) mod (y)๐+1โJyK๐
we get0 โก ๐ ๐
๐ ๐ด(y) (๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y)) mod (y)๐+1โJyK๐
therefore๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y) โ โ๐โ1(๐)hence, by Chevalleyโs function,
๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) โ ๐๐โ1(โ๐โ1(๐)) = ๐๐โ1(โ๐(๐))
butsupp (๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y)) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐
consequently, ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) = 0. โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 18 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
๐บ is a Whitney field of order ๐ on ฮ๐To simplify the situation, we omit ๐.Thanks to Borelโs lemma with parameter, it is enough to check that ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) = ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y).
Applying ๐ท๐,๐ฃ โ ๐ทy,๐ฃ to๐ ๐
๐ ๐(y) โก ๐ ๐๐ ๐ด(y) ๐๐ (๐, y) mod (y)๐+1โJyK๐
we get0 โก ๐ ๐
๐ ๐ด(y) (๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y)) mod (y)๐+1โJyK๐
therefore๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y) โ โ๐โ1(๐)hence, by Chevalleyโs function,
๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) โ ๐๐โ1(โ๐โ1(๐)) = ๐๐โ1(โ๐(๐))
butsupp (๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y)) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐
consequently, ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) = 0. โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 18 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
๐บ is a Whitney field of order ๐ on ฮ๐To simplify the situation, we omit ๐.Thanks to Borelโs lemma with parameter, it is enough to check that ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) = ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y).
Applying ๐ท๐,๐ฃ โ ๐ทy,๐ฃ to๐ ๐
๐ ๐(y) โก ๐ ๐๐ ๐ด(y) ๐๐ (๐, y) mod (y)๐+1โJyK๐
we get0 โก ๐ ๐
๐ ๐ด(y) (๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y)) mod (y)๐+1โJyK๐
therefore๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y) โ โ๐โ1(๐)
hence, by Chevalleyโs function,๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) โ ๐๐โ1(โ๐โ1(๐)) = ๐๐โ1(โ๐(๐))but
supp (๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y)) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐
consequently, ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) = 0. โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 18 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
๐บ is a Whitney field of order ๐ on ฮ๐To simplify the situation, we omit ๐.Thanks to Borelโs lemma with parameter, it is enough to check that ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) = ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y).
Applying ๐ท๐,๐ฃ โ ๐ทy,๐ฃ to๐ ๐
๐ ๐(y) โก ๐ ๐๐ ๐ด(y) ๐๐ (๐, y) mod (y)๐+1โJyK๐
we get0 โก ๐ ๐
๐ ๐ด(y) (๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y)) mod (y)๐+1โJyK๐
therefore๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y) โ โ๐โ1(๐)hence, by Chevalleyโs function,
๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) โ ๐๐โ1(โ๐โ1(๐)) = ๐๐โ1(โ๐(๐))
butsupp (๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y)) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐
consequently, ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) = 0. โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 18 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
๐บ is a Whitney field of order ๐ on ฮ๐To simplify the situation, we omit ๐.Thanks to Borelโs lemma with parameter, it is enough to check that ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) = ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y).
Applying ๐ท๐,๐ฃ โ ๐ทy,๐ฃ to๐ ๐
๐ ๐(y) โก ๐ ๐๐ ๐ด(y) ๐๐ (๐, y) mod (y)๐+1โJyK๐
we get0 โก ๐ ๐
๐ ๐ด(y) (๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y)) mod (y)๐+1โJyK๐
therefore๐ท๐,๐ฃ๐ ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐๐ (๐, y) โ โ๐โ1(๐)hence, by Chevalleyโs function,
๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) โ ๐๐โ1(โ๐โ1(๐)) = ๐๐โ1(โ๐(๐))
butsupp (๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1
๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y)) โ ๐ฉ (โ๐(๐))๐
consequently, ๐ท๐,๐ฃ๐บ๐โ1๐ (๐, y) โ ๐ทy,๐ฃ๐บ๐(๐, y) = 0. โ
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 18 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Gluing between strata
C - gluing between strata: the ลojasiewicz inequalityFix a stratum ฮ๐ . There exists ๐ โ โ such that if ๐ก โฅ ๐ + ๐ then lim
๐โฮ๐ โงตฮ๐๐บ๐(๐, y) = 0.
The constant term of the equation is flat on ๐ตโฒ hence on ฮ๐ โงต ฮ๐ โ ๐ตโฒ.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 19 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Summary
We constructed ๐บ(๐, y) = โ|๐ผ|โค๐
๐๐ผ (๐)๐ผ! y๐ผ a semialgebraic Whitney field of order ๐ on ๐ต such that
โ๐ โ ๐ต, โ๐ โ ๐โ1(๐), ๐ ๐๐ ๐(x) โก ๐ ๐
๐ ๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐ ๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐
Hence we obtain ๐ โถ โ๐ โ โ๐ semialgebraic and ๐๐ such that ๐ โ ๐ด โ (๐ โ ๐) is ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
Loss of differentiabilityFor ๐ โ โ, we set ๐ โฅ ๐๐, then ๐ โฅ ๐(๐) and finally ๐ก(๐) โ ๐ก โฅ ๐ + ๐ whereA. ๐ is an upper bound of Whitneyโs loss of differentiability (induction step).B. ๐ โถ โ โ โ is an upper bound of the Chevalley functions on the various strata.C. ๐ is an upper bound of ลojasiewiczโs loss of differentiability on each stratum.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 20 / 20
Semialgebraic geometry The problems The results The proof
Summary
We constructed ๐บ(๐, y) = โ|๐ผ|โค๐
๐๐ผ (๐)๐ผ! y๐ผ a semialgebraic Whitney field of order ๐ on ๐ต such that
โ๐ โ ๐ต, โ๐ โ ๐โ1(๐), ๐ ๐๐ ๐(x) โก ๐ ๐
๐ ๐ด(x) ๐บ(๐, ๐ ๐๐ ๐(x)) mod (x)๐+1โJxK๐
Hence we obtain ๐ โถ โ๐ โ โ๐ semialgebraic and ๐๐ such that ๐ โ ๐ด โ (๐ โ ๐) is ๐-flat on ๐โ1(๐ต).
Loss of differentiabilityFor ๐ โ โ, we set ๐ โฅ ๐๐, then ๐ โฅ ๐(๐) and finally ๐ก(๐) โ ๐ก โฅ ๐ + ๐ whereA. ๐ is an upper bound of Whitneyโs loss of differentiability (induction step).B. ๐ โถ โ โ โ is an upper bound of the Chevalley functions on the various strata.C. ๐ is an upper bound of ลojasiewiczโs loss of differentiability on each stratum.
J.-B. Campesato (joint work with E. Bierstone and P.D. Milman) ๐๐ solutions of semialgebraic equations 20 / 20